1. EastyKartika2. FitrianaTandidiling 3. Ofirenty ElyadaNubatonisKontroversiterhadap postulat kesejajaran Euclid.Geometri HiperbolikMengganti postulat kesejajaran Euclid dengan negasinyaMenggunakan empat postulat geometri Euclid Terjadi perbedaan sifat antara Eucliddan HiperblikEuclid ???? Hiperbolik ???? Tokoh-tokoh yang Berkaitan dengan Geometri Hiperbolik Saccheri Postulat KesejajaranPaling tidak ada dua garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis tersebut A Teorema Non-metricalSebarang garis lurus seluruhnya berada dalam sudut tertentu. Bukti: Misalkan diketahui garis l. Tentukan titik Pdi luar l. Buat garis m dan n yang melalui P dan sejajar l (Postulat kesejajaran Lobachevsky). Titik Pterletak diantara A dan A' pada garis m dan diantara Bdan B'pada garis n. l P m n A' B' A B Teorema 1 Garismdann,membagi bidangmenjadi4daerah, yangmasing-masing merupakanbagiandalam suatusudut,yaitu:ZAPB, ZAPB ZAPB ZAPB. Misalkan Q adalah titik pada garis l. KarenaltidakmemotongmdannmakaQtidakterletak pada m dan n. Karena Q tidak terletak pada m dan n, maka Q berada pada salahsatudari4bagiandalamsudutdiatas,misalnyapada ZA'PB. l P m B' A' A B n Q Dimana letak garis l ? TitikQterletakpadagarisldanQberadapadabagiandalam ZA'PB, dan l tidak memotong sisi-sisi sudutnya yaitu, PA'dan PB. Jadi,lberadadidalamZAPB,yangberartigarislseluruhnya termuat di dalam ZAPB. l P m B' A' A B n Q TEOREMA AKIBAT Ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis itu. Bukti: l Q P m B' A' A B n Misalkandiketahuigarisldan titik P. Gunakan Teorema 1. Misalkan R sebarang titik di dalam daerah ZAPB. Buatgarisyangmelalui titik Pdan R. R n l Q P m B' A' A B R PRkecualititikPseluruhnyatermuatdalam daerah ZAPB dan ZAPB. PRtidakmemotonggarislyang termuat dalam ZAPB. Jadi, PR // l KarenaterdapattakberhinggagarisyangsepertiPR, sehingga teorema akibat terbukti. Jadi, ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis itu. h l P JUMLAH SUD UT SEGITIGA DALAM GEOMETRI HIPERBOLIK LEMMA 1 Jumlahbesarduasudutdalamsegitigaadalahkurangdariatau samadenganbesarsudutluaryangtidakbersisiandengansudut tertentuBukti: A B C Perhatikan segitiga ABC Menurut teorema Saccheri Lagendre : ZA + ZB + ZCs 180 Kedua ruas dikurangi ZC, diperoleh :ZA + ZB s 180 - ZC, Lemma tersebut berlaku karena sudut luar C sama dengan180 - ZC, LEMMA 2 Misalkan diketahui garis l Titik P di luar l, dan titik Q pada l. misalkan diberikan sisi PQ, maka ada titik R pada l yang terletak satu pihak dengan PQ sedemikian hingga Z PRQadalah terkecil yang diinginkan.BUKTI: l P QR Bukti: Misalkan a adalah suatu sudut yang terkecil. AditadatitikRpadalyangterletakdisebelahkananPQ sedemikian hingga ZPRQ < a. Pertama, bentuk barisan sudut-sudut: , ,2 1Q PR Q PR Z Zdenganbesarsetiapsuduttidaklebihbesardarisudut sebelumnya. Misalkan1R pada titik l danberadadisebelahkanansisiPQ sedemikian hingga PQ QR =1l Q P R1 P l Q R1 TarikPR1sehinggaterbentukAPQR1samakakidan ZQPR1=ZQR1P = b1. MisalkansudutluarAPQR1diQadalahb,makamenurut Lemma 1, diperoleh:b1+b1= 2b1 s bb1 b1 ) 1 ..( ..........211b b s l R1 Q P b1 b1 Dengan langkah yang sama, kita buat segitiga baru. PerpanjangQR1melaluiR1danR2sedemikianhingga R1R2=PR1 Tarik PR2 maka APQR2 sama kaki danZR1PR2=ZPR2R1 = ZPR2Q = b2 berdasarkan Lemma 1, diperoleh:b2+b2= 2b2 s b1 R2 b2 b2 Dari (1) dan (2) diperoleh:b b2221s) 2 ..( ..........211 2b b s Ulangilangkahsebelumnyasebanyaknkalisehingga diperolehtitikRn padaldandisebelahkanansisiPQ sedemikian hingga:b Q PR bnn n21s Z =dengan memilih nyang cukup besar, maka diperoleh: JadiuntukR=Rn ,

ZPRQadalahsudutterkecilsepertiyang diinginkan. (terbukti) sehingga ZPRnQ < a a bn