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Ana

lysi

s R

efer

ence

Geotechnical Solution for Practical Design

SoilW

orks

We Analyze and Design the Future

Analysis Reference

Part I

Part II

Part III

Part IV

Part V

Part VI

Part VII

Constitutive Models

Tunnel

Slope Stability

Consolidation

Foundation

Seepage

Dynamic

Part

II |

G

eoXD A

nalysis

유한

요소

법

Par

t I

| C

onst

itutiv

e M

odel

s


SoilW

orks


Constitutive Models

Chapter 1

Chapter 2

Chapter 3

Chapter 4

재료모델 개요

구조 재료모델

지반 재료모델

침투 구성모델

Part I

Par

t II

|

GeoXD A

nalysis

유한

요소

법

Analysis Reference

Contents

Constitutive Models

Chapter 1 재료모델 개요 / 001 1.1 일반사항 / 001

1.2 탄소성 모델의 항복 기준 / 003

1.2.1 응력 불변량 / 003

Chapter 2 구조 재료모델 / 009

2.1 선형 요소에 대한 토목 섬유 모델 / 009

2.2 탄성연결요소의 비선형 탄성거동 / 010

2.3 계면 거동 모델 / 011

2.3.1 일반사항 / 011

2.3.2 재료 물성 / 011

2.3.3 재료 거동 모델 / 012

2.4 Pile nonlinear model / 015

2.4.1 일반사항 / 015

2.4.2 재료 물성 / 015

2.4.3 비선형 탄성거동 / 016

2.5 앵커, 락볼트, 네일 요소의 계면거동 / 019

2.5.1 일반사항 / 019

2.5.2 입력 물성 / 021

2.5.3 재료거동 설명 / 022

Chapter 3 지반 재료모델 / 025

3.1 선형탄성모델 / 025

3.1.1 일반사항 / 025

3.1.2 재료물성 / 026

3.2 Tresca / 029

3.2.1 일반사항 / 029

3.2.2 재료 물성 / 029

3.2.3 Tresca 모델의 항복함수 / 030

3.3 von Mises / 033

3.3.1 일반사항 / 033

3.3.2 재료 물성 / 033

3.3.3 von Mises 모델의 항복함수 / 033

3.4 Mohr-Coulomb / 035

3.4.1 일반사항 / 035

3.4.2 재료 물성 / 037

3.4.3 Mohr-Coulomb 모델의 항복함수 / 038

3.5 Drucker-Prager / 042

3.5.1 일반사항 / 042

3.5.2 재료 물성 / 042

3.5.3 Drucker-Prager 모델의 항복함수 / 042

3.6 Hyperbolic model / 046

3.6.1 일반사항 / 046

3.6.2 재료 물성 / 047

3.6.3 초기계수 / 048

3.6.4 접선계수 / 049

3.6.5 제하-재재하 계수 / 050

3.6.6 포아송 비 / 051

3.6.7 항복영역 / 051

3.7 Hoek-Brown model / 053

3.7.1 일반사항 / 053

3.7.2 재료 물성 / 053

3.7.3 항복함수 / 054

3.8 Modified Cam-Clay model / 056

3.8.1 일반사항 / 056

3.8.2 재료 물성 / 057

3.8.3 항복함수 / 060

3.8.4 초기조건 / 063

3.9 D-min model / 066

3.9.1 일반사항 / 066

3.9.2 재료 물성 / 068

3.10 Sekiguchi-Ohta model / 070

3.10.1 일반사항 / 070

3.10.2 재료 물성 / 070

3.10.3 항복함수 / 077

3.10.4 초기조건 / 079

3.11 Modified Mohr-Coulomb model / 081

3.11.1 일반사항 / 081

3.11.2 재료 물성 / 081

3.11.3 비선형 탄성 / 082

3.11.4 항복함수 / 083

3.11.5 흐름 법칙 / 085

Chapter 4 침투구성모델 / 086

4.1 투수계수 함수 / 086

4.2 체적함수비 함수 / 087

4.3 연성 함수 / 089

부록 / 090

A. 안전율 출력기능 / 090

B. 소성상태 출력기능 / 092

재료모델 개요

Chapter 1

SoilWorks 1

1.1 일반사항

SoilWorks에서 사용 가능한 구성모델의 종류는 사용 목적에 따라 다음과 같이 분류하고 있습니다.

1) 구조적 구성모델 (structural constitutive model)

탄성연결 요소의 비선형 탄성거동

토목 섬유 모델

계면 거동 모델

Pile nonlinear model

락볼트, 앵커, 네일의 계면거동 모델

2) 지반 구성모델 (geotechnical constitutive model)

Linear elastic model

Tresca model

von Mises model

Mohr-Coulomb model

Drucker-Prager model

Hyperbolic model (Duncan-Chang model)

Hoek-Brown model

Modified Cam-Clay model

D-min model

Sekiguchi-Ohta model

Modified Mohr-Coulomb model

3) 침투 구성모델 (seepage constitutive model)

투수계수 함수

체적함수비 함수

연성 함수

Constitutive Models

SoilWorks 2

앞에서 분류된 구조적 구성모델과 지반 구성모델들은 재료적 거동 특성에 따라 탄성 및 비선형

탄성, 탄소성거동으로 분류할 수 있으며, 다음과 같습니다.

A. 탄성 모델 (elastic model)

A-1. 선형 탄성 모델 (linear elastic model)

Linear elastic model

A-2. 비선형 탄성 모델 (nonlinear elastic model)

탄성연결 요소의 비선형 탄성거동

선형 요소에 대한 토목 섬유 모델

Pile nonlinear model

D-min model

B. 탄소성 모델 (elastoplastic model)

계면 거동 모델

앵커, 락볼트, 네일의 계면거동 모델

Tresca

von Mises

Mohr-Coulomb

Drucker-Prager

Hyperbolic model (Duncan-Chang model)

Hoek-Brown model

Modified Cam-Clay model


Modified Mohr-Coulomb model

C. 탄점소성 모델 (elasto-viscoplastic model)


비선형탄성모델의 해석과 탄소성 재료모델의 해석 알고리즘에 대해서는 Tunnel 매뉴얼의 “1.3 비

선형 해석”부분을 참고하시기 바랍니다. 본 매뉴얼의 1.2장에서는 탄소성 재료모델의 항복을 정의

하는 항복 기준(yield criteria)에 대한 내용을 설명하겠습니다. 이어서 2장에서는 구조적 구성모델

에 대한 설명을 시작으로 3장 및 4장에서는 지반 구성모델과 침투 구성모델에 대해서 각각 설명

하겠습니다.

Chapter 1 재료모델 개요

SoilWorks 3

1.2 탄소성 모델의 항복 기준 (Yield criteria)

일반적으로 사용되는 다축상태의 응력성분으로 항복함수를 나타내는 데에는 기하학적으로나 물리

학적으로 많은 어려움이 있습니다. 따라서 응력좌표축에 독립적인 성분을 사용하여 항복함수를

나타내는 것이 일반적이며, 다음과 같이 주응력을 사용하여 항복조건을 정의합니다.

1 2 3, , 0f (1.2.1)

항복함수를 표현하는 하나의 편리한 방법은 응력 불변량을 사용하는 것입니다.

1.2.1 응력 불변량(stress invariants)

1.2.1.1 응력 불변량

재료 내 임의의 점에 발생하는 응력은 응력텐서 ij 를 사용하여 나타내며, 주응력 방향을 정의

하는 방향벡터 jn 를 사용하면 다음의 식이 성립됩니다.

0ij ij jn (1.2.2)

여기서, ij 은 크로네커 델타(Kronecker delta)입니다.

위의 식 (1.2.2)에서 0jn 이며, 식 (1.2.2)를 만족하기 위한 필요충분조건은 다음과 같습니다.

0ij ij (1.2.3)

행렬식 (1.2.3)은 주응력에 대한 3차 방정식으로 나타낼 수 있으며 다음과 같습니다.

3 21 2 3 0I I I (1.2.4)

Constitutive Models

SoilWorks 4

여기서,

1

2 2 2 22 1

33 1 1

1

2

1 1 1

3 2 6

x y z ii

x y y z z x xy yz zx ij ji

x xy xz

yx y yz ij jk ki ij ji

zx zy z

I

I I

I I I

(1.2.5)

1I , 2I , 3I 를 주응력 1 , 2 , 3 을 사용하여 나타내면 다음과 같습니다.

1 1 2 3

2 1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

I

I

I

(1.2.6)

1.2.1.2 편차응력 불변량

응력텐서 ij 는 정수압과 편차응력성분으로 나누어 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

ij ij m ijs (1.2.7)

여기서, 1/3 /3m x y z I 이며, 평균응력을 의미합니다. 그리고 ij ij m ijs 는 편

차응력이라 하며, 순수전단상태를 나타냅니다.

식 (1.2.3)에서 주응력에 대한 불변량을 계산한 것처럼, 편차응력에 대한 불변량을 계산하기 위해

서는 다음과 같은 수식을 풀어야 합니다.

0ij ijs s (1.2.8)

식 (1.2.8)을 방정식형태로 나타내면 다음과 같습니다.


SoilWorks 5

3 21 2 3 0s J s J s J (1.2.9)

여기서,

1

2

2 2 2 2 2 2

3

0

1

21

6

1

3

ii x y z

ij ji

x y y z z x xy yz zx

x xy xz

ij jk ki yx y yz

zx zy z

J s s s s

J s s

s

J s s s s

s

(1.2.10)

1J , 2J , 3J 을 편차주응력 1s , 2s , 3s 로 나타내면 다음과 같습니다.

1 1 2 3

2 2 22 2 22 1 2 3 1 2 2 3 3 1

3 3 33 1 2 3 1 2 3

0

1 1

2 61

3

J s s s

J s s s

J s s s s s s

(1.2.11)

1I , 2I , 3I , 1J , 2J , 3J 는 모두 스칼라로 표현되는 불변량으로써 좌표축에 독립적인 특성을

갖는다. 이중 항복함수를 기하학적으로 편리하게 나타내기 위하여 1I , 2J , 3J 의 세 불변량을

주로 사용하며 1I 을 1차 불변량, 2J 는 2차 불변량, 3J 는 3차 불변량이라 합니다.

1.2.1.3 세 응력 불변량이 가지는 기하학적 의미

대부분의 재료모델들에서 항복은 편차응력에 의해 주로 지배됩니다. 따라서 항복함수를 정수압성

분과 편차응력성분으로 나누어 나타내는 것은 항복함수의 기하학적 형상을 정의하는데 매우 편리

하게 사용됩니다.

Constitutive Models

SoilWorks 6

다음은 임의의 응력상태를 나타내는 한 점 1 2 3, , P 를 등압축과 편차축 성분으로 나누어

표현하는 방법에 대해 설명하겠습니다.

θ0

O

σ1

σ1

σ 2

σ3

σ3

σ2

ξ

= =r

N

P(σ 1, σ 2, σ 3)

e

그림 1.2.1 주응력 공간에서의 응력상태 정의

그림 1.2.1에서와 같이 주응력 공간상에 임의의 응력상태로 표현되는 점 1 2 3, , P 가 정의

되는 경우 벡터 O P 를 정의할 수 있습니다. 벡터 O P 는 정수압축을 따르는 벡터 ON 과 정수

압축에 수직인 편차평면상에 존재하는 벡터 N P 로 나누어 질 수 있으며, 그 크기는 다음과 같

습니다.

1

2

1

3

2

I

r J

ON

NP

(1.2.12)


SoilWorks 7

θ0

r

σ1

σ2 σ3

N

P(σ 1, σ 2, σ 3)

그림 1.2.2 편차평면상에서의 응력상태 정의

그림 1.2.2는 등압축에 수직인 평면인 편차평면을 나타냅니다. 앞에서 정의된 벡터 N P 는 편차

편차평면 상에서 점 P 를 정의하기 위해 1 축으로부터 0 만큼 회전되어야 합니다. 이때 0 를

상이각(similarity angle)이라 하며 다음과 같습니다.

1 30 3 / 2

2

1 3 3cos

3 2

J

J

(1.2.13)

이때 0 는 다음의 범위를 가집니다.

003

(1.2.14)

수치해석을 위해서는 0 보다는 로데의 각(Lode’s angle) 를 사용하는 것이 편리하며, 다음과

같이 정의합니다.

1 33 / 22

1 3 3sin

3 2

J

J

(1.2.15)

Constitutive Models

SoilWorks 8

이때 0 6

이며 다음의 범위를 가집니다.

6 6

(1.2.16)

재료의 항복함수를 정의하는데에는 종종 주응력을 응력불변수로 나타내는 것이 편리할 때가 있으

며, 로데의 각을 사용하여 이를 정리하면 다음과 같습니다.

1

2 12

3

2sin

3 12

sin 133

14sin

3

J I

(1.2.17)

구조 재료모델

Chapter 2

SoilWorks 9

2.1 선형 요소에 대한 토목 섬유 모델

SoilWorks에서 제공하는 보강용 선형 요소인 토목 섬유 모델은 트러스 요소에 인장전담 거동을

하도록 제한한 모델을 말합니다. 인장전담 거동은 크게 비선형 탄성과 탄소성 모델로 정의하는

것이 일반적이며, SoilWorks에서는 거동의 편리성을 위해 비선형 탄성모델로써 토목 섬유의 거동

을 정의하고 있습니다.

SoilWorks에서 지원하는 비선형 탄성 거동모델은 다중 선형 함수를 사용하여 정의하는 것으로써,

인장 전담 거동에 대한 거동 정의는 그림 2.1.1과 같이 사용합니다.

그림 2.1.1 인장 전담 거동

그림 2.1.1에서 d 는 연결된 절점 간의 상대변위를 나타내며, P 는 부재내력을 나타냅니다.

Constitutive Models

SoilWorks 10

2.2 탄성연결요소의 비선형 탄성거동

SoilWorks에서는 탄성연결요소의 거동으로서 다음의 거동모델들을 지원하고 있습니다.

일반 거동 (general)

강체 거동 (rigid)

인장 전담거동 (tension Only)

압축 전담거동 (compression Only)

일반거동의 경우 입력된 강성을 사용하여 연결된 두 절점의 상호 거동을 정의하며, 강체 거동의

경우 매우 큰 강성값을 사용하여 두 절점의 상호 거동을 강체로 가정하여 정의하는 모델입니다.

이 기능은 강체 연결요소와 동일한 거동을 나타냅니다. 그러나 강체 연결요소처럼 주 절점과 종

속 절점의 관계가 필요하지 않습니다.

인장 전담거동 및 압축 전담거동은 2.1절의 선형 요소에 대한 토목 섬유 모델의 비선형 탄성 거

동과 유사하게 그림 2.2.1과 같이 힘과 변위의 관계를 사용하여 비선형 거동을 정의합니다.

(a) 압축 전담모델 (b) 인장 전담모델

그림 2.2.1 탄성 연결요소의 비선형 탄성 거동

그림 2.1.1과 마찬가지로 그림 2.2.1에서 d 는 연결된 절점 간의 상대변위를 나타내며, P 는

부재내력을 나타냅니다.

SoilWorks 11

Chapter 2 Structural Constitutive model

2.3 계면 거동 모델

2.3.1 일반사항

계면 거동 모델은 이질 재료 또는 동질 재료의 경계면 거동을 모사하기 위해 개발된 거동모델입

니다. 사용 상의 분류로 구조적 구성모델로 분류되어있지만, 암반의 절리 또는 지층의 층리 등에

지반 모델로서 사용될 수 있습니다. 계면 거동 모델은 지반뿐만 아니라 건축 및 토목 전반에 걸

쳐 많은 종류의 경계면 거동을 정의하기 위해 사용되고 있는 거동모델입니다. 계면 거동모델은

Coulomb의 마찰법칙(1785)에 근거하여 계면의 마찰력은 계면의 마찰계수와 계면에 작용하는 법

선 방향 수직 구속력의 크기에 비례한다는 가정을 따릅니다.

주된 사용분야는 마찰말뚝과 지반 경계면, 흙막이 벽체와 지반의 경계면 및 라이닝과 지반 등 구

조물과 지반 사이의 경계면 및 암반의 절리 등을 모사하는데 사용됩니다. 건축의 경우는 조적식

벽돌구조의 모사 등에 이용되며, 토목의 경우 강재와 콘크리트, 또는 콘크리트의 이산 균열모델

및 콘크리트와 철근의 본드슬립 등에 사용되는 등 그 사용범위가 날로 증대되고 있습니다.

2.3.2 재료 물성

이질 또는 동질재료의 경계면 비선형거동을 정의하는 쿨롱마찰재료의 특성을 정의하기 위한 재료

물성은 아래 표 2.3.1과 같습니다.

표 2.3.1 쿨롱마찰거동의 재료 물성

입력물성 설명

Normal Stiffness Modulus ( nk ) 계면의 법선방향 강성계수

Shear Stiffness Modulus ( tk ) 계면의 접선방향 강성계수

Cohesion ( c ) 계면 점착력

Internal Frictional Angle ( ) 계면의 내부 마찰각

Tensile Strength for Tension Cut-off 인장 강도 고려모델

Reduced Shear Stiffness for Mode-II Model 전단 강성 감쇠율

Cohesion Multilinear Hardening Function 점착력에 대한 경화거동 함수

Friction Angle Multilinear Hardening Function 내부마찰각에 대한 경화거동 함수

Constitutive Models

SoilWorks 12

2.3.3 재료 거동 모델

c

/ tanc

tt

nt

그림 2.3.1 쿨롱마찰 기준

쿨롱마찰모델의 파괴함수 f 와 포텐셜함수 g 는 마찰각을 나타내는 와 점착력을 나타내는 c

및 팽창각 값으로 구성된 3계수를 사용하여 식 (2.3.3)과 같이 정의하며, 응력면 상에서의 형

상은 그림 2.3.1과 같습니다.

2

2

tan ( ) ( ) 0

tan

t n

t n

f t t c

g t t

(2.3.3)

여기서,

( )k : 내부변수 의 함수로 정의되는 내부마찰각

( )c k : 내부변수 의 함수로 정의되는 내부마찰각

: 팽창각, 수직응력에 대해 일정한 값을 가지는 상수로 정의

소성상대변위 pu 는 다음과 같이 크기를 나타내는 소성승수와 소성방향을 나타내는 성분으로

구분하여 정의할 수 있습니다.

SoilWorks 13


p g

u

t

(2.3.4)

외력에 저항하는 구조체의 소성응답거동을 정의하기 위해 Taylor series 1차 확장을 사용하여 파괴

함수 f 를 확장하면 다음과 같이 증가율형태로 수식화할 수 있습니다.

0

Tf f

f

t

t

(2.3.5)

이때 소성승수 는 식(2.3.5)에 식 (2.3.2), (2.3.4)를 대입하여 에 대해 정리하면 다음과 같습니

다.

T T

e e

T Te e

f f

f f g f gh

D Dt t

u u

D Dt t t t

(2.3.6)

여기서, h 는 경화계수(hardening parameter)입니다.

내부변수 증가량 과 소성승수 증가량 의 관계는 다음과 같습니다.

21 tanT

pt

g g g u

t t t

tan 1

(2.3.7)

여기서, / tan / | |t tg t t t

최종적으로 응력증가량은 식(2.3.2)에 식(2.3.4), (2.3.6)을 대입하여 정리하면 다음과 같이 식

(2.3.8)로 나타낼 수 있습니다.

Constitutive Models

SoilWorks 14

T

e e

eT

e

g f

f gh

D Dt t

t D u

Dt t

(2.3.8)

여기서,

0

0ne

t

k

k

D

pt

pt

f fh

t u

t u

tan t

t

g t

t

t

tan ( ) T

t

t

f tk

t

t

위의 식을 정리하여 다시 쓰면 다음과 같습니다.

( ) tan1

tan tantan ( ) ( tan tan )

tn t n t

t

tn tn t t n

t

tk h k k k

t

th k kk k k k h k

t

t u

(2.3.9)

이때 인 경우 식 (2.3.9)에서 대괄호 안의 행렬은 비대칭이 되어 비상관소성흐름이 발생

하며, 인 경우 식 (2.3.9)에서 대괄호 안의 행렬은 대칭이 되어 상관소성흐름이 발생합

니다. 상관소성흐름해석을 수행할 경우 계면에 수직한 방향으로 과도한 열림현상이 발생하게 되

며 이는 실제거동과 맞지 않게 됩니다. 그러나 비상관소성흐름해석을 수행할 경우 강성행렬의 저

장량이 커짐에 따라 메모리와 수행속도가 증가하여 해석이 느리게 진행될 수 있습니다. 특히

값과 값의 차이가 클 경우, 즉 비상관성이 큰 해석의 경우에는 수렴이 잘 되지 않는 현상이

관찰됩니다. 이를 위해 SoilWorks에서는 20 가 되도록 권장하고 있습니다.

SoilWorks 15


2.4 Pile nonlinear model

2.4.1 일반사항

말뚝 요소의 거동은 정확히 이야기 하면 모체요소인 지반요소와 말뚝인 보나 트러스 요소 사이의

계면거동을 의미합니다. 말뚝에 대한 계면 거동은 말뚝에 대해서 두 개의 법선 방향 거동과 하나

의 접선 방향 거동으로 나눌 수 있습니다. 여기서 두 개의 법선 방향 거동은 말뚝과 모체요소가

완전 일체된 강체 거동을 하는 것으로 가정하며, 접선 방향거동은 비선형 탄성거동을 하는 것으

로 간주합니다.

말뚝 단 요소의 거동은 모체요소와 말뚝 단의 한 절점 사이의 상대 거동 즉, 계면거동을 나타냅

니다. 말뚝 단 요소의 요소 좌표축에서 말뚝에 대한 법선 방향거동은 말뚝 거동과 동일하게 강체

거동을 하는 것으로 가정하며, 접선 방향거동은 비선형 탄성거동을 하는 것으로 간주합니다. 각

요소의 형상 및 요소좌표계는 Tunnel 메뉴얼을 참고하시기 바랍니다.

SoilWorks에서는 말뚝의 계면 거동을 비선형 탄성 거동을 사용하여 정의할 수 있으며, 2.4.3절에

소개되어있습니다.

2.4.2 재료 물성

말뚝 요소 모델을 위한 입력자료는 표 2.4.1과 같습니다.

표 2.4.1 말뚝 및 말뚝 단 거동모델의 재료 물성

입력자료 설명

Ultimate Shear force 한계 전단력

Shear Stiffness modulus 전단방향 강성

Function 말뚝 전단 함수

Normal Stiffness modulus (Kn) 법선방향 강성

Reference Height 말뚝요소의 기준높이

Constitutive Models

SoilWorks 16

Slope of Friction-Rel. Disp. Curve 위치에 따른 상대변위와 마찰력 관계

곡선 변화율

Tip Bearing Capacity 말뚝단 지지력

Tip spring Stiffness 말뚝단 강성

Fuction 말뚝단 요소의 함수

2.4.3 비선형 탄성거동

말뚝 및 말뚝 단 요소의 계면 거동은 말뚝의 접선방향 거동과 법선방향 거동으로 나눌 수 있습니

다. SoilWorks에서는 주된 관심이 되는 접선방향 거동은 비선형 탄성 거동으로 정의하며, 법선방

향 거동은 선형탄성 거동으로 정의합니다.

말뚝 요소와 말뚝 단 요소의 접선 방향 계면에서 발생되는 비선형 탄성 거동을 정의하는 방법에

는 항복력을 정의하는 방법과, 함수형태로 정의하는 방법의 두 가지가 있습니다.

항복력으로 정의하는 경우, 아래 그림 2.4.1과 같이 높이에 따라 기울기 및 항복력이 변화되는 거

동을 한다고 가정합니다.

또한 함수형태로 정의하는 경우에는 사용자가 정의한 함수의 기울기에 따라서 구성방정식이

구성됩니다.

그리고 사용자가 입력한 상대변위-마찰력 관계 곡선은 기준 높이로부터의 면내 강성 그래프의

변화를 나타냅니다. 실제와 근사한 전단방향의 계면력 값을 산정하기 위해서는 기준 높이와

상대변위 마찰력 관계곡선을 이용하여 보정된 곡선을 사용하여야 합니다. 기준 높이와 상대변위-

마찰력 관계곡선에 의한 보정된 강성은 아래 그림 2.4.2 의 관계를 수식화 한 식 (2.4.1)을 통해

계산합니다.

SoilWorks 17


그림 2.4.1 relation of relative displacement and traction

sK

그림 2.4.2 Variation of shear stiffness at reference height

Constitutive Models

SoilWorks 18

( )

1

ref ref incs s s

ref

k k y y k

y yf a

t

(2.4.1)

여기서,

sk : 접선방향 강성계수

refy : 기준 높이

refsk : 기준 높이에서의 강성계수

f : 강성 증가량 계수

y : 현재 계산되는 적분점 위치

a : 상대변위와 마찰력 관계곡선 변화율

t : 한계전단력

강성 뿐만이 아니라 한계 전단력 역시 위 강성증가량 계수에 의해서 산정됩니다.

이 때 그림 2.4.2와 같이 깊이 방향은 전체좌표 -Z방향임을 주의하여야 합니다.

SoilWorks 19


2.5 앵커(Anchor), 락볼트(Rockbolt), 네일(Nail) 요소의 계면거동

2.5.1 일반사항

앵커, 락볼트, 및 네일 요소는 지반에 매립된 형태의 1차원 요소로서 1차원 요소와 지반 요소 사

이에 경계면요소를 추가한 것이다. 1차원 요소는 트러스 요소를 사용하고 경계면 요소는 트러스와

지반 요소 사이의 정착장부에 대해 선경계면요소를 적용하였다. 앵커 요소는 그림 1과 같이 자유

장(free length)과 정착장(bond length) 부분으로 나누어져 있다. 반면 락볼트 및 네일 요소는 앵커

요소와는 달리 트러스와 지반 요소 사이의 경계면이 모두 정착장부에 해당된다.

그림 2.5.1 앵커 요소

Constitutive Models

SoilWorks 20

그림 2.5.2 락볼트 또는 네일 요소

SoilWorks 21


2.5.2 입력 물성

앵커, 락볼트, 및 네일 요소의 입력 물성치는 다음 표와 같다.

표 2.5.1 앵커 요소의 입력 물성

재료 물성값 단위

보강재

탄성계수(Elastic modulus) 2/N mm

압축항복강도(Compressive yield strength) MPa

인장항복강도(Tensile yield strength) MPa

직경(Diameter) mm

정착장 내부절점 번호

정착장 길이(Bond length) mm

그라우트

압축강도(Grout compressive strength) MPa

전단강도(Grout shear modulus) MPa

마찰각(Grout friction angle) Degree

그라우트 두께(Grout annulus thickness) mm

지반 압축강도(Compressive strength) MPa

표 2.5.2 락볼트 및 네일 요소의 입력 물성

재료 물성값 단위

보강재

탄성계수(Elastic modulus) 2/N mm

압축항복강도(Compressive yield strength) MPa

인장항복강도(Tensile yield strength) MPa

직경(Diameter) mm

그라우트

압축강도(Grout compressive strength) MPa

전단강도(Grout shear modulus) MPa

마찰각(Grout friction angle) Degree

그라우트 두께(Grout annulus thickness) mm

Constitutive Models

SoilWorks 22

지반 압축강도(Compressive strength) MPa

2.5.3 재료거동 설명

앵커, 락볼트, 및 네일 요소의 1차원 요소의 거동은 midas GTS 매뉴얼 Constitutive Model에 기

술되어 있다. 여기서는 경계면 요소의 재료거동에 대해서만 기술하기로 한다. 경계면 요소의 재료

거동은 보강재와 지반 사이의 전단거동에 의해 결정된다. 경계면 요소의 거동은 보강재/그라우트

경계면 또는 그라우트/암반 경계면 사이의 상대변위를 이용하여 다음 그림과 같이 탄성-완전소성

모델로 모사될 수 있다.

(a) Unloading

SoilWorks 23


(b) Reloading

그림 2.5.3 그라우트의 전단거동

그림 2.5.4 그라우트의 최대전단강도

bondK 는 현장인발시험을 통하여 직접 산정할 수 있으나 원하는 실험결과를 얻지 못한 경우에는

다음 식과 같이 근사적인 bondK 값을 이용할 수 있다.

Constitutive Models

SoilWorks 24

2

10ln 1 2 /bondG

GK

t D D

(2.5.1)

여기서 G 는 그라우트의 전단탄성계수, Gt 는 그라우트의 두께, D 는 보강재의 직경이다.

그라우트의 최대전단강도와 마찰각 또한 실험을 통하여 얻을 수 있다. 그림 4에 나타난 것과 같

이 최대전단강도는 유효구속압 m 의 크기에 따라 선형적으로 증가한다고 가정하여 다음 식과

같이 나타낼 수 있다.

maxaxial bond friction mt S S (2.5.2)

여기서 frictionS 는 그라우트 마찰각, m 은 유효구속압을 의미한다.

bondS 는 지반과 그라우트의 전단강도 중에서 작은 값으로 선택한다. 지반과 그라우트의 전단강도

는 근사적으로 일축압축강도의 1/2값을 사용할 수 있다.

유효구속압 m 은 보강재의 절점 위치에서 보강재 축과 수직인 평면에 작용하는 구속응력을 의

미하는 것으로 절점이 연결된 지반 요소의 응력을 보간하여 얻는다. m 은 다음 식과 같이 계산

될 수 있다.

2nn zz

m p

(2.5.3)

여기서,

2 21 2 1 22nn xx yy xyn n n n

zz 는 면외방향의 응력, p 간극수압, in 는 보강재 축방향의 방향코사인을 말한다.

지반 재료모델

Chapter 3

SoilWorks 25

3.1 선형탄성모델(Linear elastic model)

3.1.1 일반사항

그림 3.1.1 선형 탄성 응력-변형율 거동

SoilWorks에서 가장 단순한 구성모델은 응력이 변형율에 직접적으로 비례하는 선형탄성 모델입니

다. 비례 상수는 탄성계수( E )와 포아송 비( )입니다. 3차원거동에 대한 응력과 변형율의 관계식

은 다음과 같습니다.

1

1

1

1 2

21 1 21 2

21 2

2

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

E

(3.1.1)

Constitutive Models

SoilWorks 26

2차원 해석에 대해서 0yz zx yz zx 이고 특히, 평면변형 해석에 대해서 0z 입니다.

가 0.5에 접근하면 1 2 2 항은 ‘0(zero)’으로 접근하고 1 항은 에 접근합니다. 이것

은 응력과 변형율이 직접 순수 부피 변형율을 나타내는 상수에 의해 관계된다는 것을 의미합니다.

또한, 1 1 2E 항은 1 2 항이 ‘0(zero)’으로 접근함에 따라 무한대로 됩니다. 물리

적으로 볼 때, 이것은 가 0.5에 가까워질수록 부피 변형율이 ‘0(zero)’에 가까워짐을 의미합니다.

수치해석을 위해 는 0.5가 되면 안되며, 0.49보다 큰 값은 수치 오류를 야기할 수 있습니다.

SoilWorks에서는 0.5보다 큰 값은 제한하지만, 수치 오류를 방지하기 위한 다른 제한사항은 없

습니다. 비압축성(incompressible) 고체에 대한 해석이 필요할 때에는 사용자가 최대한 0.5에 가

까운 값을 입력하고 수치 오류가 발생한 것이 아닌지는 결과를 보고 판단해야 합니다.

3.1.2 재료물성

선형탄성 모델을 위한 입력자료는 표 3.1.1과 같습니다.

표 3.1.1 선형탄성 모델의 입력자료

입력자료 설명

Modulus of Elasticity ( E ) 탄성계수

Poisson’s Ratio ( ) 포아송 비

Inc. of Elastic Modulus 높이에 따른 탄성계수의 증가량

Reference Height 기준 높이

선형탄성 모델은 항복값이 정의되지 않으므로 계산된 응력 및 변형율은 매우 비현실적일 수 있습

니다. Mohr-Coulomb 파괴기준을 따르는 점착력과 내부마찰각은 계산된 전단응력을 이론적인 항

복응력과 시각적으로 비교할 수 있도록 해줍니다. 따라서 일반적인 해석의 경우 Mohr-Coulomb

또는 다른 기타 비선형 재료모델을 사용할 것을 권장합니다.

SoilWorks 27

Chapter 3 Geotechnical Constitutive model

SoilWorks에서는 높이에 따른 탄성계수의 변화를 모사할 수 있습니다. 높이에 대한 탄성 증가량

이 ‘0(zero)’이면 탄성계수는 일정한 값으로 사용되고 ‘0(zero)’이 아니면 기준 높이에 대해 탄성계

수는 식 (3.1.2)와 같이 계산됩니다.

ref ref inc ref

ref ref

E E Z Z E Z Z

E E Z Z

(3.1.2)

여기서,

refE : 입력된 탄성계수 값

incE : 탄성계수의 증분 기울기

refZ : refE 값을 측정한 깊이

refZ

1

refE

incE

그림 3.1.2 탄성계수 증분에 대한 개념도

위의 식 (3.1.2)에서 Z 는 현재 유한요소법에서 계산이 진행되는 요소의 적분점 위치를 나타냅니

다. 만약 적분점 위치가 refZ 보다 높은 곳에 위치하는 경우는 위치에 따라 탄성계수값이 0보다

작아지는 경우가 발생하므로 이를 방지하기 위해 탄성계수 E 값을 더 이상 줄이지 않고 refE 값

을 사용합니다.

Constitutive Models

SoilWorks 28

선형탄성 모델은 보통 매우 비선형적인 지반을 모델링하는 경우는 부적절합니다. 그러나, 지반에

비해 강도가 매우 큰 콘크리트나 강재로 만들어진 구조물의 거동을 모델링 하기에는 적합합니다.

SoilWorks 29


3.2 Tresca

3.2.1 일반사항

Tresca 기준은 원래 금속재료의 항복조건에 사용하기 위해서 개발되었습니다. 지반 분야에서는

비배수 거동 시 지반 재료의 거동을 모사하는데 많이 사용되고 있습니다. 이 기준은 한 점에서의

최대전단응력이 한계치 k 에 도달했을 때 파괴되는 것으로 간주하며, 다음과 같이 수학적으로 나

타냅니다.

3 1

1

2k

(3.2.1)

여기서, k 는 3 및 1 가 최대 및 최소 주응력일 3 2 1( ) 순수전단의 파괴(항복)응력을

나타내며 경화 파라미터의 함수로서 실험으로 결정되는 상수입니다. 보다 일반적인 실험 물성 값

을 사용하기 위해 식 (3.2.1)은 다음과 같이 변환될 수 있습니다.

3 1 y (3.2.2)

여기서, y 는 일축 압축강도입니다.

3.2.2 재료 물성

Tresca 모델을 위한 입력자료는 표 3.2.1과 같습니다.

표 3.2.1 Tresca 모델의 재료 물성

입력자료 설명

Yield Stress ( y ) 일축 압축강도

Constitutive Models

SoilWorks 30

3.2.3 Tresca 모델의 항복함수

식 (3.2.2)는 응력 불변량 2J 와 0 의 항으로 다음 식 (3.2.3)과 같이 나타낼 수 있습니다

0(0 60 ) .

1 3 2 0 0

1 2cos cos

33yJ

(3.2.3)

위의 식을 다시 정리하면,

2 0 2 0

1, 2 sin 0

3 yf J J

(3.2.4)

0, , 의 항으로 나타내면,

0 0

1, 2 sin 2 0

3 yf

(3.2.5)

또는, 1 2, ,I J 의 항으로 나타내면 다음과 같습니다

6 6

.

2 0 2

2

2 2 4, sin sin

3 33

2 cos 0

y

y

f J J

J

(3.2.6)

이 기준에서는 파괴면에 작용하는 정수압의 영향을 고려하지 않으므로 정수압 응력 1I 에 무관합

니다. Tresca 파괴기준은 그림 3.2.1에서와 같이 주응력 공간에서 정수압축에 평행한 정육면체 기

둥이 되고, 축차평면에서는 그림 3.2.2(a)에서 보는 바와 같이 정6각형으로 나타납니다.

SoilWorks 31


Tresca 기준을 토질재료에 적용시키기에는 여러 가지 결점이 있습니다. 첫째로 전단강도가 정수

압(또는 구속압)에 무관하다는 가정은 일반적인 흙의 거동으로는 맞지 않습니다. 둘째로 이 기준

에서는 압축과 신장에서 동일한 파괴응력을 나타내나, 실험결과에 의하면 흙은 일반적으로 압축

강도보다 신장 시의 강도가 작습니다. 또한, 중간 주응력의 영향도 고려하지 않습니다.

그러나, 포화토의 비배수 조건에서 전응력 해석을 할 때(이런 유형의 해석을 0 해석이라 함)

는 Tresca 파괴기준을 사용하더라도 적절한 결과를 얻을 수 있습니다. 실험결과에 의하면 비배수

재하 시 포화토의 전단강도는 정수압 응력(평균응력)성분 ( 1I )에 무관하므로 Tresca 파괴기준을

사용할 수 있습니다. 이 경우 상수 k 는 비배수 전단강도 ( 0)u uc 를 나타내므로 이 값은 비압

밀 비배수 삼축압축시험의 결과로부터 결정되어야 합니다.

3

-σ 1

-σ2

-σ

hydr

osta

tic a

xis

그림 3.2.1 주응력 공간에서의 Tresca 항복면 형상

Constitutive Models

SoilWorks 32

1

2 3

r

tr

cr

6

tr

6

cr

(a) 평면에서의 항복면 형상 (b) 6

에서의 메리디안 평면에 대한 항복면 형상

그림 3.2.2 평면과 메리디안 평면에서의 Tresca 항복면 형상

SoilWorks 33


3.3 von Mises

3.3.1 일반사항

von Mises 모델은 정팔면체 전단응력 oct 가 한계치에 도달했을 때 파괴가 일어난다는 원리로써

주로 강재와 같은 연성재료의 거동을 정의하는데 사용됩니다. SoilWorks에서는 지반요소뿐만 아

니라 트러스, 매립형 트러스 및 판 요소에 von Mises 모델을 적용할 수 있습니다. 따라서 강재로

만들어진 앵커나 네일 및 강관 파일 등을 모사하는 경우 적절히 사용할 수 있습니다.

3.3.2 재료 물성

von Mises 모델을 위한 입력자료는 표 3.3.1과 같습니다.

표 3.3.1 von Mises 모델의 재료 물성

입력자료 설명

Yield Stress ( y ) 일축 압축강도

3.3.3 von Mises 모델의 항복함수

von Mises 모델의 항복함수 식을 일축강도를 사용하여 나타내면 다음과 같습니다.

2 23 0yf J J (3.3.1)

von Mises 파괴면은 그림 3.3.1과 같이 주응력 공간에서 정수압축에 평행한 원통 형상을 나타냅

니다. 만약, von Mises와 Tresca 기준을 압축과 신장자오선 즉, 0( 0 )c 및 0( 60 )t 에서

서로 일치시키면, 축차평면에서의 von Mises 곡면은 Tresca의 6각형을 외접하는 원이 됩니다(그

림 3.3.2(a)).

Constitutive Models

SoilWorks 34

이 경우 예상되는 파괴응력의 최대차는 단순전단자오선 0( 30 ) 을 따라서 일어나며, von Mises

와 Tresca 기준의 파괴전단응력의 비는 2/ 3 1.15 입니다. 다른 한편으로 만약 두 기준을 단순

전단 (동일한 k 값)에 일치시키면 von Mises원은 Tresca 6각형을 내접하게 되며, 두 기준간의 최

대 예상오차는 압축자오선 0( 0 ) 과 신장자오선 0( 60 ) 을 따라 생깁니다.

von Mises 파괴기준은 토질재료에 적용시킬 때 Tresca 기준에서 언급한 바와 같이 신장과 압축

강도의 크기가 같다는 점과 정수압에 무관하다는 결점을 갖고 있습니다. 그러나, Tresca 기준과

마찬가지로 포화토의 비배수 강도는 von Mises 파괴조건으로 적절히 나타낼 수 있을 것입니다.

von Mises 기준은 Tresca 곡면의 6각형 모서리 때문에 생기는 수학적 어려움과 수치해석의 복잡

성이 없으므로 실제의 적용에서는 매우 편리합니다.

3

-σ 1

-σ2

-σ

hydr

osta

tic a

xis

그림 3.3.1 주응력 공간에서의 von Mises 항복면 형상

SoilWorks 35


1

2 3

r

tr

cr

1

2 3

r

(a) 평면에서 외접한 경우 Tresca 와의 관계 (b) 평면에서 내접한 경우 Tresca 와의 관계

6

tr

6

cr

(c) 6

에 대한 메리디안 평면에서의 항복면 형상

그림 3.3.2 평면과 메리디안 평면에서의 von Mises 항복면 형상

Constitutive Models

SoilWorks 36

3.4 Mohr-Coulomb

3.4.1 일반사항

Mohr-Coulomb모델은 대부분의 지반을 모사하는데 사용되는 모델로써 SoilWorks에서는 아래 그

림 3.4.1과 같이 탄성-완전 소성거동으로 정의되어있습니다. 이러한 거동적 가정은 일반적인 영역

의 지반 비선형해석에 대해 충분히 신뢰성 있는 결과를 보여줍니다.

Mohr-Coulomb

Real soil

q

p

constant:

(a) 응력-변형률 관계 (b) 항복 함수 형상

그림 3.4.1 Mohr-Coulomb 모델의 재료거동 및 항복함수

Mohr-Coulomb 파괴기준은 흙 재료에 사용하는데 있어서 두 가지 주요한 결점을 가지고 있습니

다. 첫 번째 결점은 중간주응력이 파괴에 영향을 미치지 않는다는 것으로써, 시험의 결과와 상반

되는 가정입니다. 두 번째 결점은 Mohr 도형의 자오선과 파괴포락선이 직선으로서 강도파라미터

가 구속압(또는 정수압)에 따라 변하지 않는다는 것입니다(그림 3.4.1(b)). 그러므로 이 기준은

구속압의 제한된 범위 내에서는 정확하나 구속압의 범위가 확대됨에 따라 정확도가 떨어지게 됩

니다. 또한, 파괴면에는 모서리가 있기 때문에 수치해석의 어려움이 있습니다.

그러나 이 기준은 실용적인 구속압의 범위에서 상당히 정확한 결과를 얻을 수 있고 사용이 간편

하기 때문에 가장 많이 사용되는 파괴모델이며, 지반공학에 관한 많은 수치해석 문제에서 성공적

으로 사용되고 있습니다.

SoilWorks 37


3.4.2 재료 물성

Mohr-Coulomb 모델을 위한 재료 물성은 표 3.4.1과 같습니다.

표 3.4.1 Mohr-Coulomb 모델의 재료 물성

입력자료 설명

Inc. of Elastic Modulus ( incE ) 높이에 따른 탄성계수 증가량

Inc. of Cohesion ( incc ) 높이에 따른 점착력 증가량

Reference Height ( refy ) 기준 높이

Dilatancy Angle ( ) 팽창각

Tensile Strength ( t ) 인장 강도

SoilWorks에서는 Mohr-Coulomb모델에 높이에 따른 탄성계수와 점착력의 변화를 모사할 수 있습

니다. 탄성계수의 변화는 3.1장에 설명된 내용과 동일합니다. 여기서는 점착력의 변화에 대해서

말씀 드리겠습니다. 높이에 대한 점착력 증가량이 ‘0(zero)’이면 탄성계수는 일정한 값으로 사용되

고 ‘0(zero)’이 아니면 기준 높이에 대해 탄성계수는 식 (3.4.1)과 같이 계산됩니다.

ref ref inc ref

ref ref

c c y y c y y

c c y y

(3.4.1)

여기서,

refc : 입력된 점착력 값

incc : 점착력의 깊이에 따른 증분량

refy : refc 값을 측정한 깊이

Constitutive Models

SoilWorks 38

refy

1

refc

incc

그림 3.4.2 점착력 증분에 대한 개념도

위의 식 (3.4.1)에서 y 는 현재 유한요소법에서 계산이 진행되는 요소의 적분점 위치를 나타냅니

다. 만약 적분점 위치가 refy 보다 높은 곳에 위치하는 경우는 위치에 따라 점착력이 0보다 작아

지는 경우가 발생하므로 이를 방지하기 위해 점착력값을 더 이상 줄이지 않고 refc 값을 사용합니

다.

3.4.3 Mohr-Coulomb 모델의 항복함수

Mohr(1900)의 기준에 의하면 파괴는 다음과 같은 식으로 표시됩니다.

f (3.4.2)

여기서, 임의 평면에서의 한계전단응력 는 동일평면상의 수직응력 에만 관계됩니다. 식

(3.4.2)는 대응하는 Mohr원의 파괴포락선을 나타내며 파괴포락선 f 는 시험으로 결정되는 함

수입니다. Mohr의 기준에 의하면 재료의 파괴는 가장 큰 Mohr원이 파괴포락선에 접하는 응력상

태로 될 때 발생됩니다. 이것은 중간주응력 2 1 2 3( ) 가 파괴조건에 영향을 미치지 않는

다는 것을 의미합니다.

SoilWorks 39


Coulomb 항복면의 가장 간단한 형상은 직선입니다. 이 직선 항복면의 항복함수는 다음과 같습니

다.

tanc (3.4.3)

여기서,

,c : 재료의 강도파라미터,

c : 점착력,

: 내부마찰각

식 (3.4.3)의 파괴기준을 Mohr-Coulomb 기준이라 하며, 간단하고 정확한 장점 때문에 현재까지

지반 재료에 대해서 가장 널리 사용되고 있습니다.

Mohr-Coulomb식을 주응력의 항으로 나타내면 1 2 3( ) , 식 (3.4.3)으로부터 다음과 같이

변환됩니다.

1 3

1 sin 1 sin1

2 cos 2 cosc c

(3.4.4)

식 (3.4.3)을 수치해석에 많이 사용되는 1 2,I J 및 의 항으로 나타내면 다음과 같습니다.

1 2 1 2

1 1, , sin cos sin sin cos 0

3 3f I J I J c

(3.4.5)

식 (3.4.3)을 불변량 , 및 0 의 항으로 나타내면 다음과 같습니다.

Constitutive Models

SoilWorks 40

0 0

0

, , 2 sin 3 sin3

cos sin 6 cos 03

f

c

(3.4.6)

소성포텐셜 함수는 식 (3.4.5)의 형태를 사용하면 다음과 같습니다.

1 2 1 2

1 1, , sin cos sin sin cos 0

3 3g I J I J c

(3.4.7)

Mohr-Coulomb 기준은 그림 3.4.3에서 보는 바와 같이 주응력공간에서 불규칙6각형 피라미드 형

상이고 자오선은 직선이며, 평면 1 2 3( 0) 상의 축차도형은 불규칙6각형입니다. 불규칙

6각형을 그리기 위해서는 0t 와 0c 의 길이가 필요하며, 이들 길이는 0 0( 0, , 60 )t

및 ( 0, 0 0, 0 )c 의 조건을 식 (3.4.6)에 대입하여 계산합니다.

0

2 6 cos

3 sint

c

(3.4.8)

0

2 6 cos

3 sinc

c

(3.4.9)

식 (3.4.8)과 식 (3.4.9)로부터 0 0/t c 는 다음과 같습니다.

0

0

3 sin

3 sint

c

(3.4.10)

Mohr-Coulomb 파괴면의 축차단면은 모두 기하학적으로 닮은 꼴이기 때문에 임의의 축차단면에

대한(즉, 1I 또는 의 다른 값에 대한) /t c 비는 항상 일정합니다.

0

0

3 sin

3 sint t

c c

(3.4.11)

SoilWorks 41


인장 강도의 입력은 Mohr-Coulomb모델의 인장측 주응력들이 인장 강도를 넘을 수 없다는 제한

을 두게 됩니다. 이러한 인장 영역의 제한을 Tension-cutoff라 하며, SoilWorks에서는 Rankine의

항복기준을 인장측에 적용하여 Mohr-Coulomb 모델과 함께 혼용하여 사용하도록 정식화 되어있

습니다.

3

-σ 1

-σ2

-σ

hydr

osta

tic a

xis

그림 3.4.3 주응력공간에서의 Mohr-Coulomb 항복면 형상

1

2 3

r

0cr0tr

6

0

2 6 cos

3 sint

cr

6

3 cotc

0

2 6 cos

3 sinc

cr

(a) 평면 항복면 형상 (b) 6

에서의 메리디안 평면상의 항복면 형상

그림 3.4.4 평면과 메리디안 평면에서의 Mohr-Coulomb 항복면 형상

Constitutive Models

SoilWorks 42

3.5 Drucker-Prager

3.5.1 일반사항

Drucker-Prager모델은 Drucker and Prager(1952)가 Mohr-Coulomb 모델의 모서리 부분에서 발

생되는 수치적 문제점을 해결하기 위해 개발 된 모델입니다. 이 모델은 von Mises 모델에서 편차

응력을 등압축에 따른 함수로 정의함으로써 수정하여 확장시킨 것으로써 실제 문제에 널리 적용

되고 있으며, 이러한 이유로 Extended von Mises 기준이라고도 합니다.

3.5.2 재료 물성

Drucker-Prager 모델을 위한 재료 물성은 표 3.5.1과 같습니다.

표 3.5.1 Drucker-Prager 모델의 재료 물성

입력자료 설명

Inc. of Elastic Modulus ( incE ) 탄성계수 증가량

Inc. of Cohesion ( incc ) 점착력 증가량

Reference Height ( refy ) 기준 높이

Drucker-Prager 모델은 Mohr-Coulomb 모델과 마찬가지로 탄성계수 증가량과 점착력 증가량을

고려할 수 있으며, 그 내부 알고리즘은 Mohr-Coulomb 모델과 동일합니다.

3.5.3 Drucker-Prager 모델의 항복함수

Drucker-Prager 기준을 응력불변량 1I 및 2J 의 항으로 나타내면 다음과 같습니다.

1 2 2 1, 0f I J J I k (3.5.1)

SoilWorks 43


또는, 1 / 3I 및 22J 의 관계식을 사용하면,

, 6 2 0f k (3.5.2)

여기서, 두 파라미터 와 k 는 재료상수로써 시험결과로부터 결정할 수 있습니다. 재료상수

와 k 는 응력상태를 일치시킴으로써 Mohr-Coulomb 기준의 상수 c 와 에 관련 지어 나타낼

수 있습니다. 가 ‘0(zero)’이면 식 (3.5.2)는 von Mises 파괴기준으로 환원됩니다.

Drucker-Prager 파괴면을 주응력공간에 나타내면 그림 3.5.1과 같습니다. 이 파괴면은 공간대각

선(정수압축, 1 2 3 )을 축으로 하는 정원추형 입니다. Drucker-Prager 파괴면은 매끈한

Mohr-Coulomb의 파괴면 또는 흙과 같이 정수압 의존 재료에 대한 von Mises 파괴면의 확장 형

태로 생각할 수 있으며, 이러한 이유로 Extended von Mises모델이라 불리기도 합니다.

Drucker-Prager 기준의 장점은 재래식 삼축시험으로부터 쉽게 결정할 수 있는 두 개의 파라미터

와 k 만을 포함하고 있기 때문에 파괴기준이 간단하다는 것입니다. 또한 파괴면은 매끈하고 3

차원에 적용시킬 때도 수학적으로 편리하게 사용될 수 있습니다. Drucker-Prager모델은 von

Mises모델과 달리 정수압의 영향을 고려하고 있으나, 파괴면의 도형이 메리디안평면에서 직선형

상이므로, 곡선적 특징을 무시해도 좋은 거동모델에서 적절한 결과를 도출할 수 있습니다.

Drucker-Prager 기준과 Mohr-Coulomb 기준의 재료상수간의 관계는 다음과 같습니다.

Mohr-Coulomb의 육각면을 Drucker-Prager의 원추에 적합시키는 방법은 몇 가지 있습니다. 두

곡면의 꼭지점을 공간대각선 상에 서로 일치 시켰을 때 Drucker-Prager 원추의 크기를 조정하는

하나의 추가 적합조건만이 필요합니다. 예로써, 두 곡면을 0 0 인 압축자오선 c 를 따라 일치

시키면, 두 항의 재료상수( , k 및 ,c )의 관계식은 다음과 같습니다.

2sin 6 cos

,3 3 sin 3 3 sin

ck

(3.5.3)

Constitutive Models

SoilWorks 44

식 (3.5.3)의 상수에 대응하는 원추는 6각형피라미드를 외접하며, Mohr-Coulomb 파괴면의 바깥

경계를 나타냅니다. 다른 한편으로 0 60 인 신장자오선 t 를 지나는 내측원추의 상수는 다음

과 같습니다.

2sin 6 cos

,3 3 sin 3 3 sin

ck

(3.5.4)

다른 경우에 대해서도 위와 같은 상수식을 구할 수 있으나, 실제로 필요성이 거의 없습니다. 그러

나, 예로써 평면변형율의 경우 Drucker-Prager와 Mohr-Coulomb 기준이 하중지지력 문제에 대해

서 동일 한계하중(또는 소성파괴하중)을 나타내는 것이 예상되며 (e.g., Chen, 1975 참조), 상수

와 k 를 결정하기 위해서 다음과 같은 두 조건이 사용되어야 합니다.

평면 변형율의 변형조건

단위체적당 역학적 에너지의 동일한 소산속도의 조건

위의 조건을 근거로 하여 재료상수의 관계식은 다음과 같이 결정됩니다(Drucker and Prager,

1952).

1/ 2 1/ 22 2

tan 3,

9 12 tan 9 12 tan

ck

(3.5.5)

평면변형율의 경우에 식 (3.5.5)를 사용하면, 파괴함수식 (3.5.1)은 Mohr-Coulomb 모델의 식

(3.4.3)으로 변환됩니다.

SoilWorks 45


3

-σ 1

-σ2

-σ

hydr

osta

tic a

xis

그림 3.5.1 주응력 공간에서의 Drucker-Prager 항복면 형상

1

2 3

r

0r

6

0 2r c

6

3

c

0 2r c

1

1

6

6

(a) 평면에서의 항복면 형상 (b) 메리디안 평면에서의 항복면 형상

그림 3.5.2 평면과 메리디안 평면에서의 Drucker-Prager 항복면 형상

Constitutive Models

SoilWorks 46

3.6 Hyperbolic model (Duncan-Chang model)

3.6.1 일반사항

지반의 응력-변형율 거동은 파괴조건에 근접할수록 비선형으로 됩니다. 비선형탄성 모델은 지반계

수를 변화함으로써 이러한 지반 거동을 묘사하는 모델입니다. SoilWorks에서는 지반계수를 계산

하기 위해 Duncan and Chang (1970)에 의해 제시된 수식을 사용합니다. 이 식에서 응력-변형율

곡선은 쌍곡선이고 지반계수는 구속응력(confining stress)과 전단응력의 함수입니다. 이 비선형 재

료 모델은 삼축압축시험이나 문헌으로부터 쉽게 얻어질 수 있는 물성치만 필요로 하기 때문에 매

우 유용합니다.

Duncan and Chang의 비선형 응력-변형율 곡선은 전단응력 1 3( ) 에 대한 축변형율 공간 사

이에서 쌍곡선 형태를 나타냅니다. 응력상태와 응력경로에 따라 세 가지 지반계수가 필요합니다.

즉, 초기계수 ( )iE , 접선계수 ( )tE , 그리고 제하-재재하(unloading-reloading)계수 ( )urE 입니다. (그

림 3.6.1 참조)

13

1

iE

1

urE

tE1

그림 3.6.1 비선형 응력-변형율 거동

SoilWorks 47


3.6.2 재료 물성

Hyperbolic 모델을 위한 재료 물성은 표 3.6.1과 같습니다.

표 3.6.1 Hyperbolic 모델의 재료 물성

입력자료 설명

Poisson’s Ratio ( ) bK

가 0일 때 사용되는 상수 값

Cohesion ( c ) 점착력

Friction Angle ( ) 내부마찰각

Initial Loading Modulus ( K ) 초기 재하계수

Exponent ( n ) 초기 강성을 위한 지수

Failure Ratio ( fR ) 파괴비

urK 제하-재재하 계수

bK 부피 계수번호

Exponent (m ) 부피 계수를 위한 지수

Min. Tangential Modulus 최소 접선계수

Min. Confining Stress ( min ) 최소 구속압력

Atmospheric Pressure( aP ) 대기압

비선형탄성 모델에 대한 계수와 지수 값들은 그림 3.6.2에 보여지듯이 log 대 log 도표에 삼축압

축시험 결과를 세로축이 aE p 와 m aB p 가 되도록 하고 가로축을 3 ap 이 되도록 그래프를 그

릴 수 있습니다. 세로축이 aE p 일 때 3 1ap 인 점에서의 함수값을 통해 초기 재하계수 K

값을 얻을 수 있습니다. 또한 세로축이 aE p 일 때의 그래프 기울기로부터 초기 강성을 위한 지

수 n값을 계산할 수 있으며, 세로축이 m aB p 인 경우에 그래프 기울기로부터 부피 계수를 위한

지수 m을 얻을 수 있습니다.

Constitutive Models

SoilWorks 48

그림 3.6.2 비선형 지반물성치의 결정

부피계수 mB 은 식 (3.6.1)과 같이 정의됩니다.

1 2 3 3m

v

B

(3.6.1)

여기서,

: 주응력의 변화량,

v : 부피 변형율의 변화량

3.6.3 초기계수

지반이 ‘0(zero)’의 전단응력(즉, 1 3 0 일 때)을 받을 때, 그 응력-변형율 거동은 초기계수

iE 를 사용하여 모델링 됩니다. 이 초기 접선계수는 구속응력 3 에 의해 제어되고 식 (3.6.2)과

같이 계산됩니다.

3

n

i L aa

E K pp

(3.6.2)

SoilWorks 49


여기서,

iE : 구속응력의 함수인 초기 접선계수,

LK : 재하계수,

ap : 대기압(정규화 인자로써 사용됨),

3 : 구속응력,

n : 초기계수에 대한 구속압력의 영향을 정의하기 위한 지수

지수 n 이 1.0이라면 초기 접선계수 iE 는 구속응력에 직접적으로 비례하는 반면 ‘0(zero)’이면

iE 는 구속응력과 무관합니다.

구속응력이 ‘0(zero)’이거나 ‘-(음)’(즉, 지반이 인장상태)이면, 초기계수가 ‘0 (zero)’이나 ‘-(음)’이 될

수 있습니다. 이러한 문제를 방지하기 위해 SoilWorks에서는 구속응력에 대한 하한치를 설정하도

록 되어있습니다. 그 기본값은 0.01 ap 입니다.

3.6.4 접선계수

지반은 이전에 경험한 것보다 큰 전단응력을 받을 때 재하경로를 따르는 것으로 알려져 있습니다.

이 재하경로를 따를 때 그 구성 거동은 접선계수 tE 에 의해 지배됩니다. 이 접선계수는 다음과

같이 Duncan and Chang 모델에서 지반 물성, 삼축편향응력 1 3( ) , 그리고 구속응력 3( )

의 함수로써 정의됩니다.

2

1 3

3

1 sin1

2 cos 2 sinf

t i

RE E

c

(3.6.3)

여기서,

tE : 접선계수,

iE : 초기 접선계수,

: 지반의 내부마찰각,

Constitutive Models

SoilWorks 50

c : 지반의 점착력,

fR : 쌍곡선에 대한 점근선과 최대전단강도 간의 비

(보통 0.75 ~ 1 사이의 값)

여기서, tE 는 최소값이 제한될 수 있습니다. 최소 접선계수의 기본값은 ap 입니다. 이 값이 너무

작으면 수렴 문제를 야기할 수 있습니다.

3.6.5 제하-재재하 계수

지반이 큰 전단응력 상태로부터 제하될 때 비선형 모델은 제하-재재하 계수 urE 을 사용합니다.

이 계수는 LK 대신 제하-재재하 계수 번호 urK 을 사용한다는 점을 제외하면 초기계수와 비슷

한 방식으로 계산됩니다. 그러므로 식 (3.6.4)와 같습니다.

3

n

ur ur aa

E K pp

(3.6.4)

접선계수와 달리 이 계수는 전단응력 수준의 영향을 받지 않습니다.

제하-재재하 계수 번호 urK 이 정의되지 않으면 재하 계수 번호 LK 과 같은 것으로 정의됩니다.

3.6.6 포아송 비

비선형탄성 모델의 포아송 비는 응력상태에 관계없는 상수로 규정되거나 구속응력에 따른 토질

부피계수로부터 계산될 수 있습니다. 후자의 경우에 부피계수는 식 (3.6.5)에 의해 주어집니다.

SoilWorks 51


3

m

m b aa

B K pp

(3.6.5)

여기서,

mB

: 부피계수(bulk modulus),

bK

: 부피 계수번호,

m : 부피 계수지수

포아송 비에 대한 부피계수의 관계는 식 (3.6.6)과 같이 탄성이론에 따라 정의될 수 있습니다.

3 1 2m

EB

(3.6.6)

위 식에서 포아송 비가 ‘0(zero)’이면 3mB E 이고 포아송 비가 0.49이면 17mB E 입니다.

계산된 포아송 비의 값은 0 ~ 0.49까지로 제한됩니다.

3.6.7 항복영역

비선형탄성 모델에 대해 항복조건은 정의될 수 없습니다. 다만 이 재료에 대해 전단응력이 큰 영

역을 보여주기 위해 다음 기준이 만족될 때 그러한 영역을 항복영역으로 정의합니다.

1 3 1 3 sin cos

2 2 fR c

(3.6.7)

Duncan-Chang의 식에서 파괴비 fR (failure ratio)는 식 (3.6.8)과 같이 사용됩니다.

1 3 1 3ff ultR

(3.6.8)

Constitutive Models

SoilWorks 52

극한강도 1 3 ult 항은 쌍곡선 응력-변형율 곡선이 큰 변형율에서 접근하는 점근선을 나타냅

니다. 또한, 1 3 f 는 파괴시의 편향응력입니다.

Mohr 원에서 다음의 조건이 얻어집니다.

1 3 1 3 sin cos2 2

ult ult c

(3.6.9)

여기에 fR 를 곱하고 앞의 식을 대입하면 식 (3.6.10)와 같이 쓰여집니다.

1 3 1 3sin cos

2 2f f

fR c

(3.6.10)

두 식을 비교하면 앞에 주어진 부등식은 응력 상태가 얼마나 파괴상태에 가까운지에 대한 지표를

제공한다고 할 수 있습니다.

SoilWorks 53


3.7 Hoek-Brown model

3.7.1 일반사항

Hoek과 Brown은 1980년 jointed rock mass의 파괴에 의한 응력감소현상을 정의하기 위해 등가

연속체 개념을 사용하는 방법을 제안하였습니다. 먼저 Hoek과 Brown은 intact rock과 broken

rock을 구분하기 위한 파괴함수를 제안하였으며, 제안된 파괴함수에 의해 암반의 파괴가 정의되

면 파괴함수를 정의하는 특정 계수값을 감소시켜 응력감소현상을 묘사하도록 하였습니다. Hoek과

Brown에 의해 제안된 방법은 기존 Mohr-Coulomb 방법이 고려할 수 없는 암반의 일축압축강도

를 정의함으로써 암반의 거동을 보다 정확하고 간편하게 나타낼 수 있는 장점이 있으며, 이로 인

해 현재까지도 암반의 해석에 많이 사용되고 있습니다.

3.7.2 재료 물성

Hoek-Brown 모델을 위한 입력자료는 표 3.7.1과 같습니다.

표 3.7.1 Hoek - Brown모델의 입력자료

입력자료 설명

Initial m Intact 상태에서의 초기 m값

Initial s Intact 상태에서의 초기 s값

Residual m Broken 상태에서의 m값

Residual s Broken 상태에서의 s값

Uniaxial Compression

Strength 암반의 일축압축강도

Constitutive Models

SoilWorks 54

3.7.3 항복함수

다음은 Hoek과 Brown에 의해 제안된 파괴기준을 나타냅니다. 이 파괴기준에서는 중간주응력항

은 무시됩니다.

21 3 3c cm s

(3.7.1)

여기서, c 는 일축압축강도를 나타내며, m 과 s 는 암반의 파괴를 정의하기 위한 경험에 의한

계수값 입니다.

탄소성 유한요소 계산의 편리성을 위해 식 (3.7.2)를 응력 불변수를 사용하여 나타내면 다음과 같

습니다.

2 212

sin4 cos 2 cos 0

33HB c c c

IF J m m s

(3.7.2)

여기서, 1I 은 일차불변수, 2J 는 이차불변수를 나타내며 c 는 암반의 일축압축강도를 나타내고

/ 6 / 6 입니다.

주응력공간 상에서 Hoek-Brown 모델은 등압축을 따라 총알모양으로 벌어지는 형상을 가지고 있

으며 편차 평면형상은 6개의 곡면으로 이루어진 각진 6각형상을 나타냅니다. 이러한 6각 형상은

곡면과 곡면이 만나는 부분에 꼭지점이 생기며 이는 수치해석 시 도함수의 계산에 오류를 발생시

킬 수 있습니다. 따라서 SoilWorks에서는 Wan(1994)이 제시한 수정된 Hoek-Brown기준을 사용

함으로써 이러한 오류를 제거하였습니다.

2 2 * * 2( ) ( ) 3 0c c cF q g qg p s (3.7.3)

여기서, * / 3c cm , 23q J , 1 /3p I 이며 편차평면형상을 정의하는 ( )g 는 다음과 같습

니다.

SoilWorks 55


2 2 2

2 2

4(1 ) cos ( / 6 ) (1 2 )( )

2(1 ) cos ( / 6 ) (2 1)

e eg

e e D

(3.7.4)

여기서,

2 2 24(1 ) cos ( / 6 ) 5 4D e e e

그림 3.7.1은 Hoek-Brown모델의 응력공간 상에서의 형상을 보여줍니다.

10

2.4

0.082

c MPa

m

s

3

2

1

그림 3.7.1 Hoek-Brown failure surface

Constitutive Models

SoilWorks 56

3.8 Modified Cam-Clay model

3.8.1 일반사항

Modified Cam-clay 모델은 탄성-소성경화 재료이면서 임계상태 모델입니다. 그 수식은 Atkinson

and Brandsby (1978), 그리고 Britto and Gunn (1987)에 의한 식에 기반을 두고 있습니다.

Modified Cam-clay 모델의 정식화에 사용되는 응력은 모두 유효응력 인자들을 사용합니다.

정규압밀선(normal consolidation line)과 과압밀선(over-consolidation line)을 포함하는 일반적인 지

반의 부피 변화량에 대한 압력의 관계를 그림 3.8.1에 나타내었습니다. 과압밀선은 팽창선

(dwelling line)이라고도 하며, 과압밀선 상의 응력상태를 고려합니다. 작용된 응력의 증가는 응력

상태가 과압밀선을 따라 정규압밀선으로 이동하게 됩니다. 두 선의 교차점을 통과하면 추가적인

응력증가는 응력상태가 정규압밀선을 따라 내려갑니다.

(a) (b)

그림 3.8.1 부피-압력과 응력-변형률 관계 간의 유사성

그림 3.8.1(a)가 반시계 방향으로 90°만큼 회전되면 과압밀선과 정규압밀선은 그림 3.8.1(b)에 그

려진 탄성-경화소성 응력-변형률 곡선의 특징을 보입니다. 과압밀선은 초기 선형탄성구간과 유사

합니다. 그러나 정규압밀선은 응력-변형률 관계의 소성경화구간과 유사합니다.

SoilWorks 57


3.8.2 재료 물성

Modified Cam-clay 모델을 위한 입력 재료 물성은 표 3.8.1과 같습니다.

표 3.8.1 Modified Cam-clay 모델의 재료 물성

입력자료 설명

Over Consolidation Ratio (OCR) 과압밀비

Slope of Consol. Line ( ) 정규압밀선의 기울기

Slope of Over Consol. Line ( ) 과압밀(팽창)선의 기울기

Pre-Consolidation void ratio ( ec ) 선행압밀 간극비

Critical State Specific Vol. ( ) p가 1일 때의 비적

Slope of Critical State Line ( M ) 임계상태선의 기울기

Pre-Consolidation pressure (cp) 선행 압밀하중

Pre-Consolidation stress (c) 선행 압밀응력

위의 물성값에서 과압밀비 OCR은 지반조사 결과, 문헌, 계측자료, 인접설계 사례를 분석하여 결

정된 값을 사용합니다. 정규압밀상태의 해석 시 그 값은 1을 사용합니다.

위 표 3.8.1에서의 , , , M 은 그림 3.8.2에서 설명될 수 있습니다. 특히 M 값은 그림

3.8.2(a)에 보여지는 임계상태선(critical state line)을 그림 3.8.2(b)에서와 같이 p q 평면에 투영

하였을 때의 직선 기울기로 정의할 수 있습니다.

Constitutive Models

SoilWorks 58

(a) 처녀곡선 및 과압밀 곡선 (b) 임계상태선

그림 3.8.2 Modified Cam-clay 모델 물성치의 결정

지반의 압축 대 수직압력 특성치는 보통 1차원 압밀실험으로부터 얻어지고 공극률 ( )e 에 대한

10log p 의 그래프로부터 압축지수 cC 와 재압축지수 sC 를 얻는 것이 일반적입니다. 압축지수와

재압축지수는 식 (3.8.1)의 관계에 의해 , 와 연관성이 있습니다.

2.303

2.303

c

s

C

C

(3.8.1)

또한, 와 는 공극률에 대한 10log p 대신 공극률에 대한 ln p 의 그래프로부터 추정할 수

도 있습니다.

Modified Cam-clay의 정식화는 kN-m 단위의 실험값을 토대로 작성되었기 때문에 압축지수와 재

압축지수를 산출 시 실험결과의 단위를 kN-m로 고정하여야 하며, 프로그램 입력 시에도 프로그

램의 단위를 kN-m 단위로 고정할 것을 권장합니다.

인자 N 은 정규압밀선을 비적 V 에 대한 ln p 그래프의 p가 1.0인 수직선에 투영함으로써

추정할 수 있습니다. 일단 N 이 구해지면 인자 는 식 (3.8.2)에 의해 계산될 수 있습니다.

SoilWorks 59


ln2N (3.8.2)

여기서, 인자 는 그림 3.8.2(a)에서와 같이 임계상태선과 1.0p 인 경우에 대한 함수선의 교

점으로 정의됩니다.

실험 데이터로부터 e-logP곡선을 아래 그림과 같이 측정할 수 있는데, 선행압밀상태 즉 아래 그

래프에서의 꺽인점을 선행압밀간극비 ce , 선행압밀연직응력 0v 로 정의합니다.

그림 3.8.3. 선행압밀상태 그래프

프로그램에서는 한계상태비적 뿐만 아니라, 선행압밀간극비 ce 를 사용하여, 선행압밀비적을 나타

낼 수 있습니다.

1c ce (3.8.3)

한계상태선의 기울기 M 은 유효 전단저항각(배수시험에 의한 전단 저항각)과의 관계를 통해서

추정할 수 있습니다. 여기서, 는 삼축압축시험으로부터 구한 유효응력 개념의 유효 내부마찰각

입니다.

6 sin

3 sinM

(3.8.4)

Constitutive Models

SoilWorks 60

SoilWorks에서 선행 압밀하중 cp값을 입력 받는 방법은 자동계산 방법과 유저가 정의하는 방식

과 한계 응력으로부터 산정하는 방식, 세 가지 방법을 지원하고 있습니다. 자동계산 방법은 식

(3.8.17)에 자세히 거론되며, 사용자 입력 방식은 사용자가 추정한 임의의 값을 입력하여 계산을

수행할 수 있도록 합니다. 이때 입력되는 값은 식 (3.8.17)에 나와있는 값과 같거나 크게 입력해

야 수치해석 시, 수렴의 안정성을 확보할 수 있습니다.

Modified Cam-clay 모델을 사용하기 위해 필요한 또 다른 중요한 정보는 현재의 (초기) 현장 응

력상태와 초기 항복면입니다. 현재 초기 응력상태를 구성하는 것은 상대적으로 단순하고

SoilWorks의 다른 비선형 해석에 대한 것과 같은 과정입니다. 초기 항복면을 구성하는 것은 재료

물성치로서 전 압밀압력 cp

를 규정하거나, 규정된 과압밀비 OCR로 초기 현장응력으로부터 cp

를 계산함으로써 얻을 수 있으며, 이에 대해서는 3.8.4장에 자세히 언급하였습니다.

3.8.3 항복함수

Modified Cam-clay 모델의 항복곡선은 아래 그림 3.8.3과 타원형 형상을 가집니다.

0.5X CP P

CP

q

P

그림 3.8.4 Modified Cam-clay 모델의 항복함수

SoilWorks 61


Modified Cam-clay의 항복함수는 식 (3.8.5)에 의해 주어집니다(Britto and Gunn, 1987).

2 2 2 2cq M p p M p (3.8.5)

여기서, cp는 선행 압밀하중을 나타냅니다.

Modified Cam-clay 모델에 대한 항복면의 크기를 결정하기 위해 최대 평균응력 xp를 사용합니다.

최대 평균응력 xp 는 그림 3.8.3에서와 같이 지반이 임계상태에 도달할 때의 등방성 압력입니다.

임계상태에서 전단응력 q 는 식 (3.8.6)에 의해 주어집니다.

xq Mp (3.8.6)

이 값을 수정된 항복함수에 대입하면, 식 (3.8.7)과 같습니다.

2c xp p (3.8.7)

그러므로 Modified Cam-clay 모델에 대한 항복함수 F 는 식 (3.8.8)과 같이 쓰여질 수 있습니다.

22 22 x

qF M p M p

p

(3.8.8)

여기서,

1

2

3

3

Ip

q J

(3.8.9)

과압밀선과 임계상태선에 대한 방정식은 최대 평균응력 xp를 계산하기 위해 사용될 수 있습니다.

그림 3.8.5에 보여지듯이 특정 과압밀선에 대한 임계 상태에서의 비적 xV

는 식 (3.8.10)와 같이

Constitutive Models

SoilWorks 62

쓰일 수 있습니다.

0 0ln lnx xV V p p (3.8.10)

N

XV

0 ln XP CP

0 0( , )P VCV

그림 3.8.5 Modified Cam-clay 모델에 대한 지반 물성치의 정의

임계상태선으로부터 같은 비적 xV 는 식 (3.8.11)으로부터 계산될 수 있습니다.

lnx xV p (3.8.11)

이들 두 방정식으로부터 비적 xV 를 제거하면 최대 평균응력 xp 에 대한 식(3.8.12)을 도출합니다.

0 ln

expx

V pp

(3.8.12)

SoilWorks 63


3.8.4 초기조건

초기 지반조건은 초기응력과 함께 초기 비적 0V 에 의해 정의됩니다. Modified Cam-clay 모델을

사용하는 해석에서는 초기응력이 정의되어야 합니다. 0V 를 계산하기 위해서는 초기 선행 압밀하

중(pre-consolidation pressure) cp 를 아는 것이 필요합니다. 초기 비적 0V 와 선행 압밀하중 cp

간의 관계는 그림 3.8.5에서 설명됩니다.

사용자는 모델 인자를 정의할 때 선행 압밀하중 cp 을 직접 정하거나 초기응력(in-situ stresses),

과압밀비(over-consolidation ratio ; OCR), 그리고 정지 토압계수 0K 로부터 선행 압밀하중 cp을

SoilWorks가 자동으로 계산하도록 할 수 있습니다. 선행 압밀하중이 Modified Cam-clay 지반을

정의할 때 규정되지 않은 경우에는 다음의 방식으로 cp 를 추정합니다. Modified Cam-clay 모델

을 사용한 해석에서 초기응력은 현재의 초기응력 상태를 반영합니다. 현재의 초기응력 상태는 식

(3.8.13)와 같습니다.

0

00

0

0

X

Y

Z

XY

(3.8.13)

지반이 경험한 최대 수직응력은 보통 Oedometer 실험으로부터 결정됩니다. 과거의 최대 수직응

력 maxv 과 현재의 수직응력 v의 비는 과압밀비(over-consolidation ratio ; OCR)이라고 합니다.

OCR은 각 지반 형식에 대해 사용자 정의된 인자입니다. 최대 수직응력 maxv 과 최대 수평응력

maxh 간의 관계는 식 (3.8.14)과 같이 근사화 됩니다.

0

max 0 max

1 sin

h v

K

K

(3.8.14)

전단응력이 ‘0(zero)’라고 가정하면 최대 응력벡터 max 는 식 (3.8.15)와 같이 쓰일 수 있습니

다.

Constitutive Models

SoilWorks 64

max 0 0

max 0max

max 0 0

OCR

OCR

OCR

0 0

X Y

Y Y

Z Y

K

K

σ

(3.8.15)

과거 이력의 최대 평균응력 maxp 과 최대 전단응력 maxq 은 각각 다음과 같습니다.

max max max

2 2 2

max max max max max max

1

31

2

m x y z

m x y y z z x

p

q

(3.8.16)

선행 압밀하중 cp 은 Modified Cam-clay의 항복함수식 (3.8.5)에 식 (3.8.16)의 값을 대입하여 도

출할 수 있습니다.

2 2 2

max max2 2max

1cp q M pM p

(3.8.17)

일단 선행 압밀하중 cp 이 사용자 정의된 값 또는 위 식 (3.8.17)으로부터 얻어지면, 초기비적

0V 를 계산합니다. 우선, 정규압밀선 N 과 수직축의 교점(즉, ln 0p 인 점)이 식 (3.8.18)로부터

계산됩니다.

ln2N (3.8.18)

선행 압밀하중 cp를 지나는 정규압밀선으로부터 임계상태의 비적은 다음에 의해 주어집니다.

lnc cv N p (3.8.19)

SoilWorks 65


또한, 선행 압밀하중 cp 를 지나는 과압밀선으로부터 초기비적 0V 는 식 (3.8.20)와 같이 표현될

수 있습니다.

00

ln cc

pv v

p

(3.8.20)

이 식에서 초기 평균응력 0p는 초기응력으로부터 식 (3.8.21)을 사용하여 계산될 수 있습니다.

0 0 0 0

1

3 x y zp (3.8.21)

Constitutive Models

SoilWorks 66

3.9 D-min model (일본 전력중앙연구소 모델)

3.9.1 일반사항

본 모델은 일반적으로 암반(경암, 연암 등)에 대해서 적용되는 것으로 일본 전력중앙연구소, 하야

시, 히비노에 의해서 제안된 구간별 선형 모델입니다. 자세히 말하면, 각 시공단계별로 강성이 다

르지만, 하나의 시공단계 내에서는 강성이 고정 값이 되도록 정식화된 모델입니다.

파괴포락선에 대해 모아원이 접근함에 따라서 암반의 내부결합상태가 완화되어 탄성계수는 감소

하고, 포아송비는 증대하는 것으로 가정합니다. 따라서 모아원과 파괴포락선 사이의 상대 거리에

따라서 구간별로, 탄성계수와 포아송비가 결정됩니다. 앞에서 언급한 것과 같이, 이 모델의 재료

물성값은 하중단계별로 고정되어 있습니다. 따라서 하중단계별로 반복해석은 필요하지 않습니다.

파괴포락선 식은 아래와 같습니다.

1

a

R t

(3.9.1)

여기서, 는 hydrostatic stress이고, 는 전단응력입니다. 그리고 a , t , R 는 사용자에 의해

서 입력 받는 값으로, a는 모아원계수, t 는 인장강도, R 는 전단강도입니다.

파괴포락선과 모아원 사이의 관계는 그림 3.9.1과 같이 나타낼 수 있습니다.

SoilWorks 67


t

2D

m 3

R

min

1 2

2t

dR

mind

1R t

1D

1 2a

그림 3.9.1 D-min model의 파괴포락선과 모아원

위 그림 3.9.1과 같이 완충계수( R )로 파괴판정을 실시합니다. 완충계수가 1이상이면, 탄성영역이

고, 완충계수가 0이하이면, 파괴가 발생한다고 가정합니다.

' 0.0 1.0R k R R (3.9.2)

여기서,

min

1 3

'

2t

dR

이때 mind 은 파괴포락선과 모아원의 최소거리입니다. 그리고 k는 사용자 입력변수로 완충지수입

니다.

안전률( sF )은 아래와 같습니다.

1 2

1 3

min ,

2

s

D DF

(3.9.3)

Constitutive Models

SoilWorks 68

이때 완충계수는 적분점에서 산정이 되며, 완충계수로부터 다음 구간에 사용되는 탄성계수와 포

아송비를 산정할 수 있습니다.

( )

( )

mi cr cr

ni cr cr

E R E E E

R

(3.9.4)

이 때, m , n , iE , crE , i , cr 은 재료 입력변수이며, m , n은 비선형 재료 계수이며, iE ,

crE 은 초기 탄성계수와, 한계 탄성계수이며, i , cr 는 초기 포아송비와 한계 포아송비입니다.

3.9.2 재료물성

전력중앙연구소 모델을 위한 입력자료는 표 3.9.1과 같습니다.

표 3.9.1 전력중앙연구소 모델의 입력자료

입력자료 설명

Initial Modulus of Elasticity ( iE ) 초기 탄성계수

Critical Modulus of Elasticity ( crE ) 한계 탄성계수

Nonlinear Property factor (m ) 비선형 재료 계수

Initial Poisson’s Ratio ( i ) 초기 포아송 비

Critical Poisson’s Ratio ( cr ) 한계 포아송 비

Nonlinear Property factor ( n ) 비선형 재료 계수

Shear Strength ( R ) 전단 강도

Tensile Strength ( t ) 인장 강도

Mohr’s envelop Parameter ( a ) 모아원 계수

Relax factor ( k ) 완충 지수

SoilWorks 69


모아원 계수( a )와 완충 지수( k )는 초기 탄성계수( iE )가 증가함에 따라서 같이 증가하는 경향이

있습니다. 삼축압축시험 결과를 바탕으로 일본 도로공단이 1986년에 정리한 각종 암석의 모아원

계수( a )와 완충 지수( k )와 초기 탄성계수( iE )과의 관계를 다음 표 3.9.2에 나타냅니다.

표 3.9.2 초기 탄성계수에 따른 파라메터 (일본 도로공단)

초기 탄성계수( iE2/kgf cm ) 완충 지수( k ) 모아원 계수( a )

100 1,000iE 2.0 1.0

1,000 10,000iE 4.0 2.0

10,000 100,000iE 6.0 3.0

100,000 iE 10.0 4.0

Constitutive Models

SoilWorks 70

3.10 Sekiguchi-Ohta model

3.10.1 일반사항

Sekiguchi-Ohta(1977)1 모델은 Ohta(1971)2 모델을 Shibata(1963)3가 제안한 dilatancy theory에

근거하여 확장한 모델입니다. 기존 Cam-Clay 모델과 함께 점성토의 거동을 나타내는 대표적인

모델로서, 탄소성 뿐만 아니라 탄점소성 거동까지 고려할 수 있도록 개발되었으며, 두 거동 모델

모두 압밀해석 시에 사용할 수 있습니다. 또한, 기존에 지원되는 SoilWorks의 다른 재료 모델 및

요소들과 혼용하여 사용할 수 있습니다.

3.10.2 재료 물성

3.10.2.1 탄소성 모델 재료 물성

Sekiguchi-Ohta 모델의 탄소성 거동 정의를 위한 기본 입력 추가 재료 물성은 표 3.10.1과 같습

니다.

표 3.10.1 Sekiguchi-Ohta 점소성 모델의 재료 물성

입력자료 설명

Over Consolidation Ratio (OCR) 과압밀비

Pre-Consolidation void ratio ( ce ) 선행압밀 간극비

Slope of Consol. Line ( ) 정규압밀선의 기울기

Slope of Over Consol. Line ( ) 과압밀(팽창)선의 기울기

Coefficient of dilatancy (D ) 팽창계수

Coefficient of earth pressure at

preconsolidation ( 0CK ) 선행 정지토압계수

Pre-Consolidation vertical stress ( vc ) 선행 압밀연직응력

1 Sekiguchi, H, Ohta, H. (1977). Induced anisotropy and time dependency in clays. 9th ICSMFE, Tokyo, Constitutive equations of Soils, 17, 229~238 2 Ohta, H. (1971) Analysis of deformations of soils based on the theory of plasticity and its application to settlement of mbankment, Dr.Eng. thesis, Kyoto University, Japan.

3 柴田徹 : ー学研粘土のダイラタンシについて，京都大防災究所年報 6 号, pp.128-134, 1963

SoilWorks 71


위의 물성값에서 과압밀비 OCR은 지반조사 결과, 문헌, 계측자료, 인접설계 사례를 분석하여 결

정된 값을 사용합니다. 정규압밀상태의 해석 시 그 값은 1을 사용합니다.

위 표 3.10.1에서의 , 은 Modified Cam-Clay 모델 설명 시 그림 3.8.2에서 설명된 내용과 동

일한 내용입니다.

Modified Cam-Clay에서 설명된 바와 같이 압축지수와 팽창지수는 식 (3.8.1)의 관계에 의해

/ 2.303cC , / 2.303rC 를 통해 계산됩니다. 또한, 와 는 공극률에 대한 10log p 대

신 공극률에 대한 ln p 의 그래프로부터 추정할 수도 있습니다.

팽창계수 D는 등압 p 을 일정하게 유지하며 진행되는 삼축 CD 시험으로부터 계산될 수 있으

며, 아래 식 (3.10.1)을 사용하여 계산할 수 있습니다.

01D

M e

(3.10.1)

여기서 M 은 critical state line의 기울기로서 내부마찰각을 사용한 식 (3.8.3)을 통해 계산할 수

있습니다.

선행 정지토압계수 0CK 는 선행압밀 시의 정지토압계수를 나타냅니다. 이 값은 삼축 0K 압밀 시

험을 통해 산정할 수 있습니다.

3.10.2.2 탄점소성 모델 재료 물성

탄점소성 모델의 재료 물성은 탄소성 모델의 재료 물성에 추가적으로 아래의 두 가지 물성을 필

요로 합니다.

이차 압밀계수 는 Oedometer 시험을 통해 산정할 수 있습니다.

Constitutive Models

SoilWorks 72

표 3.10.2 Sekiguchi-Ohta 탄점소성 모델의 재료 물성

입력자료 설명

Coefficient of secondary compression ( ) 이차 압밀계수

Initial volumetric strain rate ( 0 ) 초기 체적변형률비

초기 체적변형률비 0 는 이차 압밀이 시작되는 시점에서의 체적변형률비를 나타내며 아래의 식

으로부터 계산할 수 있습니다.

00t

(3.10.2)

여기서 0t 는 일차압밀 완료 시간을 나타냅니다.

3.10.2.3 재료 물성의 자동계산기능

SoilWorks에서는 Sekiguchi-Ohta 모델의 입력 물성 중 삼축시험과 같은 어려운 시험을 해야지만

산정할 수 있는 물성값들을 손쉽게 구할 수 있는 물성들을 사용하여 자동으로 계산할 수 있도록

해주는 기능을 탑재하고 있습니다.

그림 10.1의 “추가파라미터 자동계산”을 클릭하게 되면 아래 그림 10.2와 같이 입력창이 변형됩

니다.

추가파라미터 자동계산의 계산 방법으로는 “Karibe식”에 의한 방법과 “경험식”에 의한 두 가지 방

법을 지원하고 있습니다.

SoilWorks 73


그림 10.1 추가파라미터 계산창

그림 10.2 추가파라미터 자동계산 입력창

Constitutive Models

SoilWorks 74

Karibe 식

Karibe 식은 기본적으로 아래의 입력값을 요구합니다.

표 3.10.3 Karibe 식 사용 시의 입력 재료 물성

입력자료 설명 적용모델

Plastic index ( pI ) 소성지수 탄소성, 탄점소성

Compression index ( cC ) 압축지수 (선택사항) 탄소성, 탄점소성

Slope of Over Consol. Line ( ) 과압밀(팽창)선의 기울기 탄소성, 탄점소성

Over consolidation rate (OCR) 과압밀비 탄소성, 탄점소성

Drainage distance ( H ) 배수거리 (cm) 탄점소성

위의 입력값을 사용하여 계산되는 재료 물성은 아래와 같습니다.

0.015 0.007 pI (3.10.3)

0 1 sincK (3.10.4)

01D

M e

(3.10.5)

01

e

e

(3.10.6)

0 2 90%v vH T c

(3.10.7)

위의 식 (3.10.7)에서 배수거리 H 는 cm의 단위로 고정이 되어 있습니다. 입력 시 각별한 주의

가 필요합니다. 또한, 압축지수 cC 를 사용자 입력하는 경우 위의 식 (3.10.3)의 는 아래의 식

을 사용하여 계산됩니다.

0.434 cC (3.10.8)

SoilWorks 75


위의 식 (3.10.3-7)에서 사용된 M은 식 (3.8.3)을 사용하여 계산되며, 나머지 내부마찰각 , 비

복원률(irreversibility ratio)과 초기 공극비(initial void ratio)은 아래 식을 사용하여 산정합니다.

sin 0.81 0.233log pI (3.10.9)

/1.75M (3.10.10)

0 3.78 0.156e (3.10.11)

0.05 /e (3.10.12)

2log 0.025 0.25 1 / minv pc I cm (3.10.13)

90% 0.848vT (3.10.14)

경험식

경험식은 아래의 입력값을 요구합니다.

표 3.10.4 경험식 사용 시의 입력 재료 물성

입력자료 설명 적용모델

Plastic index ( pI ) 소성지수 탄소성, 탄점소성

Compression index ( cC ) 압축지수 탄소성, 탄점소성

Swelling index ( rC ) 팽창지수 (선택사항) 탄소성, 탄점소성

Over consolidation rate (OCR) 과압밀비 탄소성, 탄점소성

Drainage distance ( H ) 배수거리 탄점소성

위의 입력값을 사용하여 계산되는 재료 물성은 아래와 같습니다.

0.434 cC (3.10.15)

/ 10 (3.10.16)

0cK : 식 (3.10.4)와 동일

D : 식 (3.10.5)와 동일

Constitutive Models

SoilWorks 76

: 식 (3.10.6)과 동일

0 : 식 (3.10.7)과 동일

만약 사용자가 팽창지수 rC 값을 입력하는 경우, 식 (3.10.16)은 아래와 같이 수정됩니다.

0.434 rC (3.10.17)

※ 자동 계산 기능을 사용하는 경우 내부 마찰각 값은 사용자 입력된 값이 아닌 자동 계산된

값을 사용하여 계산을 수행합니다.

SoilWorks 77


3.10.3 항복함수

3.10.3.1 탄소성 항복함수

탄소성 모델에 대한 Sekiguchi-Ohta 모델의 항복함수는 아래와 같습니다.

*

0

, ln 0p pv v

pf MD D

p

σ (3.10.18)

여기서 pv 은 소성 체적변형률이며, * 은 일반화된 응력비로서 아래와 같이 정의됩니다.

* 0

0

3

2 p p

s s

(3.10.19)

여기서,

p : 평균 유효응력

s : 편차응력벡터

0s : 선행압밀응력에 대한 편차응력벡터

0p : 선행압밀응력에 대한 평균 유효응력

아래 그림 10.3은 주응력 공간에서 Sekiguchi-Ohta 모델의 항복함수 형상을 보여줍니다.

Constitutive Models

SoilWorks 78

0K

cp p

q1

2 3

(a) shape of yielding surface in deviatoric and meridian plane

(b) 3D view in principal stress space

그림 10.3 Sekiguchi-Ohta 모델의 항복면 형상

3.10.3.2 탄점소성 항복함수

Sekiguchi-Ohta 모델의 탄점소성 거동에 대한 항복함수는 식 (3.10.20)과 같습니다.

0, ln 1 exp 0p vpv v

fv tf

σσ

(3.10.20)

여기서,

: 이차 압밀계수

0 : 초기 체적변형률비

SoilWorks 79


t : 압밀 지속 시간

vpv : 점소성 체적변형률

식 (3.10.20)에 사용된 f σ 은 식 (3.10.18)을 사용하여 아래와 같이 정의합니다.

*

0

lnp

f MD Dp

σ (3.10.21)

3.10.4 초기조건

Cam-Clay 계열의 점성토 모델들은 일반적으로 선행 압밀 상태를 근거로 초기 상태가 결정됩니다.

따라서 초기 상태의 결정은 이러한 재료모델들에 대해서 매우 중요한 사항이 된다고 할 수 있습

니다. Sekiguchi-Ohta모델의 경우 지반계수가 선형 압밀 상태에서와 초기 상태로 분리하여 고려

할 수 있으며, 초기 응력을 나타내는 0p 와 0s 를 항복함수 식에 반영함으로써 점성토 기반 모델

에 대해서 보다 정확한 거동을 예측할 수 있도록 해줍니다.

초기상태의 유효응력은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

iXX

iYYi

iZZ

iXZ

σ (3.10.22)

만약 중력 방향을 -Z축으로 정의하면 선행압밀에 대한 수직응력 0ZZ 은 아래와 같이 산정됩니다.

0ZZ iZZ OCR (3.10.23)

따라서, 선행압밀에 대한 유효응력 oσ 은 아래와 같이 구성될 수 있습니다.

Constitutive Models

SoilWorks 80

0 0 0

0 0 00

0 0

0 0

XX Z C

YY Z C

ZZ Z

XZ

K

K

σ (3.10.24)

위의 값을 사용하여 0p 와 0s 은 아래와 같습니다.

0 0 0

0

0 0 0

3XX YY ZZp

p

s σ 1 (3.10.25)

여기서, 1,1,1,0T1

SoilWorks 81


3.11 Modified Mohr-Coulomb model

3.11.1 일반사항

Modified Mohr-Coulomb model은 Mohr-Coulomb 모델을 개선한 것으로써 실트나 모래지반에 특

화된 모델입니다. Modified Mohr-Coulomb model은 power-law를 따르는 비선형 탄성모델과 탄소

성모델의 조합된 거동을 모사하고 있습니다.

3.11.2 재료 물성

Modified Mohr-Coulomb 모델을 위한 입력자료는 표 3.11.1과 같습니다.

표 3.11.1 Modified Mohr-Coulomb 모델의 입력자료

입력자료 설명

Elastic Modulus at loading ( loadingE ) 삼축시험 시 극한강도의 50%에 대한 할선

탄성계수

Elastic Modulus at unloading or reloading

( unloadingE )

Oedometer 테스트 시 기준압에 대한

탄성계수

Reference Pressure ( refP ) 삼축시험 시 기준압

Power of Stress Level

Dependency ( m ) Power law 비선형탄성 모델의 계수

Porosity 공극률

Ratio of Normal Consolidation 정규압밀 응력비

Ultimate Dilatancy Angle ( ) 극한상태에서의 팽창각

Friction Angel at shear ( ) 전단 파괴면의 최대 마찰각

Cohesion ( c ) 점착력

Pressure of Compression ( cP ) 압축항복응력

Coefficient of cap ( ) 캡 파괴기준의 계수

Constitutive Models

SoilWorks 82

3.11.3 비선형 탄성

Modified Mohr-Coulomb 모델은 비선형 탄성 모델이며, 탄성 체적 응력-변형률(elastic volumetric

stress-strain)관계를 얻기 위해 power-law를 가정합니다. 접선 압축계수(tangent compression

modulus)는 현재 정수압의 급수 형태로 가정합니다.

1'

'

m

t refref

pK K

p

(3.11.1)

여기서, refK , 'refp 는 각각 기준압축계수와 기준압력이고, m 은 유리수이며 모래의 경우 0.5를

이용합니다.

인장 압력( tp )을 고려하면 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

1'

'

m

tt ref

ref

p pK K

p

(3.11.2)

여기서, 인장 압력은 초기 압력이 0인 상태를 가정하는 상황에서 인장 응력을 고려하기 위한 수

치적 고안물이지만, 실제로 초기 응력이 없는 상태에서 토질 해석을 하는 경우는 거의 없습니다.

위 식 (3.11.2)는 아래 식 (3.11.3)과 같은 체적 응력-변형률(volumetric stress-strain) 관계를 이끌

어냅니다.

1'

'

m

etref V

ref

p pdp K d

p

(3.11.3)

위 식 (3.11.1)을 적분 후에 정리하면 아래 식 (3.11.4)를 얻을 수 있습니다.

SoilWorks 83


1

' ' 10

m mm e et t ref ref V Vp p p p mp K F (3.11.4)

3.11.4 항복함수

Modified Mohr-Coulomb 모델의 항복면은 전단 항복과 압축 항복이 서로 영향을 미치지 않는

(decoupled) 이중 경화(double hardening) 모델입니다. 이 조합된 항복면은 p q 공간에서 다음

식과 같이 주어집니다.

11

2

2 22

2

6sin0

3 sin

0c

qf p p

R

qf p p p

R

(3.11.5)

q

pcp p p

cp

0

6sin

3 sin

그림 3.11.1 p-q 평면에서의 항복함수 형상

Constitutive Models

SoilWorks 84

1

2

3

15

35

1( 0) 0

6

6

그림 3.11.2 축차 평면에서의 항복함수 형상

식 (3.11.5)의 함수 1R , 2R 는 삼축 압축과 삼축 인장에서 강도의 차이를 모델링하며,

의 함수입니다. Modified Mohr-Coulomb 모델은 축차 평면(deviatoric plane)에서 함수 1R ,

2R 로 Mohr-Colomb 모델과 같게 할 수 있습니다.

삼축 인장 Mohr-Coulomb 모델에 맞추기 위해 아래 식 (3.11.6)과 같은 관계를 유도합니다.

11

1

1 sin3

1

n

R

(3.11.6)

여기서, n = -0.229 입니다.

1 은 마찰각과 다음 식 (3.11.7)과 같이 연계가 됩니다.

1

1 1

3 sin1

3 sin

3 sin1

3 sin

n

n

(3.11.7)

SoilWorks 85


여기서, 1 0.7925 입니다.

1 의 최대값은 마찰각( )이 46.55°인 Mohr-Coulomb 기준과 같습니다. 또한, 2R 를 이용

해서 압축 캡(cap)의 모양을 변경할 수 있습니다. 2R 는 아래 식 (3.11.8)과 같습니다.

2

22

2

1 sin3

1R

(3.11.8)

이때, n = -0.229 이고 2 는 기본 값 ‘0’을 이용하는 경우 원형 캡(cap)과 같습니다.

3.11.5 흐름 법칙

비탄성 변형률비의 방향은 소성 포텐셜 면(plastic potential surface)에 의해 정해집니다. 여기서,

Modified Mohr-Coulomb 모델의 경우 다음 2가지 면을 적용합니다.

1

2 2 22

6sin

3 sin

c

q q p p

q p p q p

(3.11.9)

이것은 p q 평면에서는 associative flow를 축차공간(diviatoric space)에서는 nonassociated flow

를 암시합니다. Rowe의 응력 팽창(stress dilatancy) 이론에 의해 팽창각(dilatancy angle, )는 마

찰각( )을 이용해서 식 (3.11.10)과 같이 표현할 수 있습니다.

sin sin

sin1 sin sin

cv

cv

(3.11.10)

여기서, sin cv 는 부피가 일정할 때의 마찰각입니다.

침투 구성모델

Chapter 4

SoilWorks 86

4.1 투수계수 함수

액체상태의 물은 그물과 같이 얽혀져 있으나, 지반 내부적으로 연결된 연속적인 흐름통로를 통해

흐르는 것으로 고려될 수 있습니다. 함수비가 줄어 들면 흐름통로의 크기와 숫자가 줄어드는 효

과가 나타나고 이로 인해 흙을 통해서 흐르는 물의 양이 감소합니다. 극단적으로 보면, 건조한 흙

에서는 물로 채워진 연속적인 흐름통로를 통한 물의 투수성은 사라지게 됩니다. 포화된 흙에서는

모든 흐름통로가 유용하게 되므로 투수성도 최대가 됩니다.

흙 속에 흐르는 물의 양은 Darcy의 법칙에 의해 투수계수(또는 동수전이도)로부터 계산할 수 있습

니다. 그러나, 불포화 지반 내 흐름의 경우 투수계수는 함수비에 의존합니다. 불포화영역의 투수

계수는 포화된 경우에 최대치를 나타내며 함수비가 감소함에 따라 급격하게 감소하는 경향을 보

입니다. 함수비는 간극수압의 함수이고 투수계수는 함수비의 함수이므로 결국 투수계수는 또한

간극수압의 함수입니다. 그림 4.1.1은 투수계수와 간극수압 사이의 전형적인 곡선관계를 보여줍니

다.

Coe

f fici

ent

of

per m

e ab

i lity

Pore-Water Pressure0

그림 4.1.1 투수계수함수

Chapter 4 Seepage Constitutive model

SoilWorks 87

4.2 체적함수비 함수

물이 지반 내에서 흐를 때 일정량이 지반구조 속에 보유되며, 이 양은 모관 흡수력과 지반구조의

특성에 의해 지배됩니다. 침투해석에서 이 함수량은 전체 부피에 대한 비인 체적함수비로 나타내

는 것이 편리하며, 그 식은 다음과 같습니다.

wV V (4.2.1)

여기서,

: 체적함수비,

wV : 물의 체적,

V : 전체적

이 때 체적함수비와 간극수압의 관계를 나타내는 곡선을 함수특성곡선이라 하고 일반적인 형태를

그림 4.2.1에 나타내었습니다. 함수특성곡선의 기울기는 간극수압의 변화에 따라 흙에 보유되는

물의 양의 변화율을 나타내며, wm 로 표시됩니다.

Pore-Water Pressure0

Vo

lum

etir

c w

a ter

co

nte n

t

그림 4.2.1 함수특성곡선

Constitutive Models

SoilWorks 88

1

s rw r mn

h

(4.2.2)

여기서,

w : 불포화 상태에서 체적함수비 (unsaturated volumetric water content)

s : 포화 체적함수비 (saturated volumetric water content)

r : 최소잔류 체적함수비 (residual volumetric water content)

, n , m : 곡선 형상 계수 ( =1/단위길이 , 1 1/m n )

h : 음(-)의 간극 수압 수두

포화도가 100%일 때 체적함수비는 흙의 간극률과 같으며, 전체적에 대한 간극의 체적비로 나타


간극수압수두가 ‘0(zero)’에 가깝고 외부 하중이 일정한 완전 포화토가 있다고 생각하면, 간극수압

수두가 커져 ‘+(양)’가 되면 유효응력은 줄어 들고 흙이 팽창하여 결국 흙에서의 함수량은 증가합

니다. 간극수압수두가 ‘-(음)’이 되면 흙에서 물이 배수되고 함수량은 줄어듭니다. 궁극적으로 흙에

서 물이 다 빠져나가면 간극수압수두가 더 감소한다 하더라도 함수량은 더 이상 변화하지 않습니

다.

함수특성곡선의 경사( wm )는 간극수압수두의 변화에 따른 흙에서의 함수량의 변화율을 표현합니

다.


SoilWorks 89

4.3 연성 함수

4.1 투수 계수 함수와 4.2의 체적함수비 함수 모두 압력수두에 대한 항으로 표현되나 이는 각각

압력수두에 대한 함수로만 정의되었습니다. 그러나 실제로 흙의 비선형 특성은 압력수두 변화에

따라 체적함수비와 투수계수가 동시에 영향을 받게 됩니다. 이에 대해 SoilWorks에서는 압력수두

-함수비-투수계수비 형태의 함수를 정의하고 압력수두에 따라 함수비의 변화를 구한 후 함수비에

의한 투수계수비를 고려하도록 하는 연성함수를 지원합니다. 이와 마찬가지로 함수비와 포화도의

관계를 이용하여 압력수두-포화도-투수계수비 형태의 함수를 지원합니다.

(a) 압력수두-함수비-투수계수비 곡선 (b) 압력수두-포화도-투수계수비 곡선

그림 4.3.1 연성함수

Constitutive Models

SoilWorks 90

부록

A. 안전율 출력기능

SoilWorks에서 안전율을 출력함으로써 사용자가 모델에 대한 안전성을 보다 쉽게 판별하게 하는

후처리 편의 기능입니다. 따라서 이 기능은 다른 해석 결과에 영향을 미치지 않습니다.

이 기능은 터널 모듈에만 제한되며, 모든 재료에서 사용이 가능합니다.

안전율의 계산은 현재의 응력 상태와 파괴 시의 응력 상태에 대한 비의 형태로 나타내어집니다.

파괴기준은 지반과 같은 취성재료에서 가장 많이 사용되는 Mohr-Coulomb 파괴기준을 사용합니

다. 아래 그림 1과 같이 지반 내 한 점의 응력상태로 정의될 수 있는 Mohr의 원 A가 Coulomb

의 마찰법칙으로 설명되는 직선 B와 만나는 경우 파괴가 진행된다고 가정한 파괴기준입니다.

ctan

그림 A.1. Mohr-Coulomb 파괴기준

Mohr-Coulomb 파괴기준에 근거한 안전율 수식은 아래와 같습니다.

Df

R (A.1)

여기서

R : Mohr원의 반지름

D : Mohr원의 중심점에서부터 직선 B까지의 거리


SoilWorks 91

만약 응력 상태가 , , ,T

xx yy zz xz 이고, 모델링된 면이 X-Z 평면이며, 중력방향이 -Z방향인 경

우에 대해서 zz xx 라 하면, Mohr의 원은 아래와 같습니다.

0 0,O

,zz xz

,xx xz

그림 2. 응력 상태에 대한 Mohr 원

그림 2를 통해 그림 1의 Mohr 원의 반지름 R 과 Mohr원의 중심점 D 은 아래와 같이 계산될

수 있습니다.

1 20 2

(A.2)

2 21 0R (A.3)

0 0

22

tan

tan

cD

c

(A.4)

여기서,

0 : 모아원의 중심 응력

1 : 최대 주응력

2 : 최소 주응력

. : 안전율 산정에 이용되는 점착력

.: 안전율 산정에 이용되는 마찰각

Constitutive Models

SoilWorks 92

이때 예외사항으로 최대/최소 주응력이 등압축에 있는 경우는 Mohr 원이 점이 되기 때문에 안전

율을 산정할 수 없어서 -1로 출력됩니다. 그리고 모아원의 중심이 인장영역을 벗어나게 되는 경

우에는 -2로 출력됩니다.

B. 소성상태 출력기능

이 기능은 소성상태를 보다 직관적으로 표시하기 위한 편의기능입니다. 재료적인 특성에 따라서

파괴기준을 정의하는 것이 다르기 때문에 아래 표와 같이 각 재료마다 탄성과 소성상태를 별도로

표시하였습니다. 또한 하중의 재하 혹은 제하 상태에 따라서도 응력의 진행 상태가 달라지기 때

문에, 적분점에서의 응력이 재하, 제하 혹은 인장파괴인지 상세히 구분하였습니다.

Duncan-Chang

State State Variable Post Symbol

Elastic 11

Failure 12

Unloading or reloading 13

Tension 14

D-min model


Elastic 21

Failure 22

Tension 23


SoilWorks 93

Mohr-Coulomb


Elastic 31

Plastic 32


Tension failure 34

Drucker-Prager


Elastic 41

Plastic 42


Tension failure 44

Modified Cam-Clay


Elastic 61

Plastic 62


Hoek-Brown


Elastic 71

Plastic 72


Constitutive Models

SoilWorks 94

Von Mises


Elastic 81

Plastic 82


Tresca


Elastic 91

Plastic 92


Sekiguchi-Ohta


Elastic 101

Plastic 102


Tension failure 104

Par

t II

|

Tunn

el


SoilW

orks


Tunnel

Chapter 1

Chapter 2

Chapter 3

Chapter 4

비선형 유한요소 해석

정적해석

시공단계해석

응력침투 연계해석

유한요소

Part II

Part

II |

G

eoXD A

nalysis

유한

요소

법

Analysis Reference

Contents

Tunnel 비선형 유한요소 해석 / 001

Chapter 1 정적해석 / 003

1.1 일반사항 / 003

1.2 선형 정적 해석 / 005

1.3 비선형 해석 / 015

1.3.1 일반사항 / 015

1.3.2 비선형 탄성해석 / 015

1.3.3 탄소성해석 / 016

Chapter 2 시공단계 해석/ 027

2.1 일반사항 / 027

2.2 요소의 추가와 제거 / 030

2.3 하중의 추가와 제거 / 032

2.4 경계조건의 추가 및 제거 / 034

2.5 하중분담율 / 035

2.6 변위 초기화 / 036

2.7 물성 변환 / 036

2.8 In-situ 응력 / 037

2.8.1 0K 방법 / 37

2.8.2 자중해석 방법 / 37

2.9 비배수 해석 / 038

Chapter 3 응력침투 연계해석 / 039

3.1 일반사항 / 039

3.2 유효응력 / 040

3.3 지배 방정식 / 041

Chapter 4 유한요소 / 043

4.1 평면 변형 요소 / 044

4.1.1 일반사항 / 044

4.1.2 요소형상, 절점번호 및 요소자유도 / 045

4.1.3 요소 물성 / 047

4.1.4 유한요소 정식화 / 048

4.1.5 요소결과 출력 / 051

4.2 트러스 요소 / 054

4.2.1 일반사항 / 054

4.2.2 요소형상, 요소좌표계 절점번호 및

요소 자유도 / 054

4.2.3 요소 물성 / 055

4.2.4 유한요소 정식화 / 057

4.2.5 요소결과 출력 / 058

4.3 매립형 트러스요소 / 060

4.3.1 일반사항 / 060

4.3.2 유한요소 정식화 / 060

4.3.3 요소결과 출력 / 063

4.4 보 요소 / 065

4.4.1 일반사항 / 065

4.4.2 요소형상, 요소좌표계 및 요소자유도

/ 065

4.4.3 요소 물성 / 067

4.4.4 유한요소 정식화 / 068

4.4.5 요소결과 출력 / 072

4.5 계면 요소 / 075

4.5.1 일반사항 / 075

4.5.2 요소 좌표계, 요소 형상 및 요소 자유도

/ 077

4.5.3 요소 물성 / 077

4.5.4 유한요소 정식화 / 077

4.5.5 요소결과 출력 / 080

4.6 말뚝/앵커/네일/락볼트 요소 / 081

4.6.1 일반사항 / 081

4.6.2 요소형태, 요소좌표계 및 요소 자유도

/ 082

4.6.3 요소 물성 / 083

4.6.4 유한요소 정식화 / 083

4.6.5 요소결과 출력 / 087

4.7 말뚝 단 요소 / 088

4.7.1 일반사항 / 088

4.7.2 요소형태, 요소좌표계 및 요소자유도

/ 089

4.7.3 요소 물성 / 090

4.7.4 유한요소 정식화 / 090

4.7.5 요소결과 출력 / 092

4.8 토목섬유 요소 / 093

4.9 탄성 연결 요소 / 094

4.10 강체 연결 / 095

4.11 절점 스프링 / 096

지반해석(geotechnical analysis)은 일반적인 구조해석(structural analysis)과 비교하여 설명되곤 합

니다. 구조해석에서는 구조물에 작용하는 하중의 불확실성에 비중을 두기 때문에 동일한 구조물

에 대하여 다양한 하중을 재하하고 다양한 결과를 체계적으로 조합함으로써 합리적인 범위 내에

서 가장 큰 부재력에 대하여 부재 설계를 수행합니다. 이에 반하여 지반해석에서는 하중보다는

시공 단계 및 재료 자체의 불확실성에 중점을 두고 지반 내부에 존재하는 물리적 상태를 파악하

는 것이 중요합니다. 따라서, 지반해석에서는 고체요소를 사용하여 지반의 형상과 시공 상황을 최

대한 반영하도록 모델링하고 재료의 다양한 비선형성, 이방성 및 원지반 응력 상태를 고려하여

실제 현장상태를 최대한 반영할 수 있어야 합니다.

지반 해석을 위한 프로그램은 실제 현장상태를 모사함으로써 설계조건 또는 시공조건이 적합한지

를 판단하기 위하여 사용될 수 있습니다. SoilWorks는 지반 및 터널분야 해석에 필요한 제반 기

능을 집적하여 개발된 최상의 통합 솔루션입니다. SoilWorks는 지반해석에 있어서 일반적인 정적

해석 뿐만 아니라 침투해석, 응력-침투 연계해석, 압밀해석, 시공단계해석, 동적해석, 사면안정해

석 등 다양한 해석 분야를 다룰 수 있습니다.

SoilWorks에서 제공하는 지반해석 기능은 다음과 같습니다.

A. 정적해석 (Static Analysis)

1) 선형 정적해석

2) 비선형 정적해석 (비선형 탄성 및 탄-소성해석)

B. 시공단계 해석 (Construction Stage Analysis)

1) 비선형 해석

2) 정상류 해석

3) 비정상류 해석

4) 압밀 해석

C. 침투-응력 연계해석 (Seepage-Stress Coupled Analysis)

Chapter 1

1.1 일반사항

정적해석은 이론적으로 볼 때 구조물에서 진동이 전혀 발생하지 않는 상태에 대한 해석을 의미합

니다. 그러나, 실무적으로는 외부하중의 진동수가 지반 및 구조물 고유진동수의 1/3 이하인 경우

에는 해당 문제를 정적해석 문제로 취급할 수 있습니다. 정적해석 문제는 거동적 형상에 따라 다

시 선형 거동과 비선형 거동으로 나눌 수 있습니다. 선형 거동은 비선형 거동의 특수한 경우로

인식할 수 있으며, 정적 해석에서 비선형성이 발생되는 원인은 다음과 같습니다.

재료의 비선형 거동

유한소 변형(finite strain)에 의한 기하학적 비선형 거동

경계면의 미끌림, 벌어짐 등에 의한 비선형 거동

지반 문제에서 재료의 비선형 거동은 대부분 흙의 거동을 나타내기 위해서 사용되며, 종종 상세

거동을 모사하기 위해 구조물의 재료적 비선형성을 부여하여 해석을 수행하기도 합니다. 재료의

비선형을 고려하기 위해 사용되는 재료 모델의 종류는 다음과 같이 분류할 수 있습니다.

선형 탄성 모델

비선형 탄성 모델

탄소성 모델

점탄성 모델

점탄소성 모델

이 중 SoilWorks에서는 선형 탄성 모델과 비선형 탄성 모델, 탄소성 모델 등을 지원하고 있습니

다. 자세한 재료 모델 목록은 Material 매뉴얼을 참고하시기 바랍니다.

물체의 거동에 의해 발생되는 변형은 무한소 변형과 유한소 변형으로 나누어집니다. 대부분의 지

반 문제는 무한소 변형으로 외력에 의해 발생하는 지반의 변형량이 매우 작다는 가정을 통해 역

학관계를 정의하는 방법입니다. 유한소 변형율을 고려하는 기하학적 비선형 거동은 강재나 고무

와 같은 연성 재질의 구조물에 매우 큰 변형이 발생하는 경우에만 그 영향이 크게 나타납니다.

또한 강재나 고무 같은 연성재료로 만들어진 구조물이라도 변형이 매우 작다면, 기하학적 비선형

성이 거동에 미치는 영향은 크지 않습니다. 따라서 지반 문제와 같이 해석 대상물의 변형이 크지

않은 경우에는 기하학적 비선형 거동을 고려하지 않는 것이 일반적입니다.

경계면의 거동에 의한 비선형 거동은 이질 재료의 경계면에서 발생되는 비선형 거동을 나타냅니

다. 이질 재료의 경계면에서는 외력의 형태에 따라 전단 미끌림(shear slip), 벌어짐(crack opening

or opening), 맞닿음(contact) 등의 다양한 거동이 발생됩니다. 이러한 거동을 정의하기 위해서는

경계면에 특수한 형태의 요소를 사용하여 거동을 정의하는 것이 일반적입니다. 이러한 특수한 형

태의 요소 및 거동은 다음과 같습니다.

경계면 요소 (Interface, Contact Element) : slip, cracking or opening, contact, bending

탄성 연결 요소 (Elastic Link) : tension only, compression only, hook, gap

스프링 요소1 (Spring) : tension only, compression only, hook, gap

SoilWorks에서 지원하는 정적 해석에 관한 해석 종류는 거동의 선형성에 따라 다음과 같이 분류

합니다.

선형 정적 해석 (linear static analysis)

비선형 정적 해석 (nonlinear static analysis)

넓은 의미에서 선형 거동은 비선형 거동의 특수한 형태로 보는 경우가 일반적이지만, 선형 해석

의 편리성과 직관성으로 인해 SoilWorks에서는 선형 정적 해석을 별도의 해석 종류로 나누고 있

습니다. 선형 정적 해석의 경우 재료를 선형 탄성 재료모델로 제한하며, elastic link 요소와 truss

요소의 tension only, compression only, hook, gap거동을 사용할 수 있습니다. 따라서 선형 정적

해석은 지반의 개략적인 거동을 관찰하거나 시공단계의 초기 조건 구성 또는 터널 라이닝 해석을

수행하는 경우 유용하게 사용할 수 있습니다.

1 SoilWorks의 스프링 요소는 현재 비선형 거동을 지원하고 있지 않습니다.

비선형 재료 모델을 지반이나 구조물에 정의하고 선형 정적 해석을 수행하는 경우, SoilWorks는

재료 모델을 모두 선형 모델로 자동 전환하여 선형 정적 해석을 수행하도록 내부적으로 정의하고

있습니다.

1.2 선형 정적 해석

선형 정적 해석은 지반 및 암반재료를 선형탄성 재료로 가정하고 정적해석을 통하여 하중에 대한

거동 특성을 파악하는 해석입니다. 지반재료가 선형탄성 거동을 보이는 시기는 하중이 재하되기

시작하여 변형율이 미소하게 발생하는 하중재하 초기단계에 국한됩니다. 그러나, 선형탄성 해석은

파괴에 대해서 고려하지 않고 응력-변형율 관계를 직선형태로 이상화하여 해석을 수행함으로써,

원지반의 응력분포나 응력 집중부의 파악 등, 간편 해석이 필요한 경우에 널리 이용되고 있습니

다. 이론적 관점에서 볼 때 비선형 유한요소 방정식은 증분 방정식을 사용하여 해를 찾으며, 이러

한 증분 방정식에 사용되는 증분 구간은 Hooke의 법칙에 근거한 선형탄성 방정식의 형태에 근거

하여 정식화되기 때문에 비선형탄성 해석이나 탄소성 해석도 궁극적으로 선형탄성 방정식의 형태

로 해석을 수행할 수 있습니다.

지반에 대하여 유한요소법을 이용한 비선형탄성 해석이나 탄소성 해석은 실무적으로 1990년대

초반부터 활용되기 시작하였습니다. 그 이유는 비선형 탄성 및 탄소성 해석은 결과수렴을 위한

해석 시간이 선형탄성 해석에 비하여 상당히 길고 기술적으로 어려움이 많았기 때문입니다. 그러

나, 오늘날 컴퓨터 해석속도의 비약적 향상과 비선형탄성 및 탄소성 해석 알고리즘의 발달로 인

하여 비선형 해석은 폭넓게 이용되고 있습니다. 그럼에도 불구하고 선형탄성 해석은 특유의 효율

성 및 결과의 직관성 때문에 비선형성이 비교적 적은 재료에 대한 간편 해석이나 비선형 특성이

강한 재료에 대한 예비해석으로 널리 이용되고 있습니다.

대부분 토목 분야에서의 해석 문제는 ‘구조물이 주어진 하중에 대하여 안전 한가?’라는 질문과

‘완전한 파괴에 도달하지 않는 상태에서 변형은 어느 정도로 발생하는가?’라는 질문으로 압축할

수 있습니다. 지반의 변형량을 얻기 위해서는 응력-변형율 관계가 필요하며, 지반재료의 응력-변

형율 관계는 대단히 복잡합니다. 예를 들어, 응력-변형율 관계는 재료의 구성, 간극비, 응력이력

및 하중이 재하 되는 방식에 따라 다르게 나타납니다.

지반의 응력-변형율 관계는 선형탄성 거동으로 가정할 때 가장 간단하게 구할 수 있습니다. 응력-

변형율 관계는 매우 복잡한 비선형 특성을 보이기 때문에 정확하게 수학적으로 모델링하는 것은

불가능합니다. 그러므로 실무에서는 구성모델의 이상화를 통하여 지반의 응력-변형율 관계를 모델

링하고 있습니다. 구성모델의 이상화 과정에서 탄성계수와 포아송비 만으로는 지반의 거동 특성

을 정확하게 표현할 수 없지만, 특정한 응력상태에서의 거동특성을 근사적으로 파악할 수 있습니

다. 여기서 특히 주의해야 할 점은 구성모델의 이상화에 이용되는 탄성계수에 대한 명확한 정의

입니다.

일반적으로 재료특성을 나타내는 주요변수로써 탄성계수를 사용하며, 접선탄성계수(tangent

modulus)와 할선탄성계수(secant modulus)에 대한 개념이 가장 많이 사용되고 있습니다. 완전한

선형탄성 재료의 경우에는 접선탄성계수와 할선 탄성계수가 동일하지만, 지반재료에서는 비선형

성 때문에 우리가 관심을 갖는 응력범위 내에서 할선탄성계수를 구하여 이를 변형계수

(deformation modulus)라는 이름으로 사용합니다.

SoilWorks의 선형탄성 해석(linear elastic analysis)에 사용되는 기본 방정식 중에 하나인 평형방정

식(equilibrium equation)은 식 (1.2.1)과 같습니다.

Ku p (1.2.1)

여기서, K : 지반 및 구조물의 전체강성행렬(stiffness matrix),

u : 각 자유도에 발생되는 변위벡터(displacement vector),

p : 하중벡터(load vector) 또는 불평형력 벡터(unbalanced force vector)

상기 방정식을 통해 구해지는 값은 변위벡터입니다. 일차 해석결과를 이용하여 변위벡터를 구하

는 이러한 해석기법을 변위법(displacement method) 이라고 합니다. 구해진 변위벡터는 적합방정

식(compatibility equation)을 통하여 변형율을 얻게 되며, 이때 변형율은 구성방정식(constitutive

equation)을 통하여 응력을 계산하는데 사용됩니다.

재료가 변형될 때 재료 내부에 있는 임의의 좌표(x, y, z)의 절점은 새로운 좌표 (x+u, y+v, z+w)로

이동하게 됩니다. 요소가 강체가 아닌 경우 변위벡터(u, v, w)는 요소내부에서 연속적으로 변화하

며, 이러한 분포는 (x, y, z)좌표의 함수로 표현할 수 있습니다. 아래 그림 1.2.1에서 볼 수 있듯이

임의의 재료공간 내부의 미소한 길이 (x, y, z)에 대한 방향성을 갖는 3개의 파이버(fiber)는 변

형 후에는 새로운 위치를 갖는 변위벡터를 생성하게 됩니다.

uU v

w

그림 1.2.1 변위(u, v, w)의 정의

x

y

z

xy

yz

zx

uxvywzv ux yw vy zu wz x

(1.2.2)

탄성재료에 일축 응력을 재하하면, 변형율은 응력 방향과 포아송 효과에 의해 횡방향으로 발생합

니다.

z

z

x y z

E

(1.2.3)

여기서, , ,x y z : x, y, z축 방향의 변형율,

E : 각 탄성계수,

: 포아송 비

전단응력 zx 가 작용하는 경우에 전단변형율은 식 (1.2.4)와 같습니다.

zxzx G

(1.2.4)

여기서, G : 전단탄성계수(shear modulus)

전단탄성계수는 탄성계수와 포아송 비의 관계를 통하여 유도할 수 있으며, 식 (1.2.5)와 같습니다.

2 1EG

(1.2.5)

지반재료의 체적변형율은 식 (1.2.6)과 같습니다.

( )

(1 2 )x y zx y z

VV E

(1.2.6)

여기서, 1 [ ( )]

1 [ ( )]

1 [ ( )]

x x y z

y y z x

z z x y

E

E

E

(1.2.7)

그러므로 체적탄성계수 K(bulk modulus)는 식 (1.2.8)과 같이 나타낼 수 있습니다.

[( ) / 3]

/ 3(1 2 )x y z EK

V V

(1.2.8)

지반이 갖는 연속체의 특성상 체적탄성계수 K(bulk modulus)와 전단탄성계수 G(shear modulus)는

다소 논란의 여지는 있을 수 있지만, E와 보다 간결하고 명확하게 표현될 수 있기 때문에 보다

편리하게 이용될 수 있습니다. 아래 그림 1.2.2는 K와 G가 가지는 역학적 의미를 간결하게 설명

한 것입니다.

z

z

zx

xz

xzxz

xz

G

z

z

E

zx

xz

K

z

z

M

그림 1.2.2 다양한 종류의 계수

좌우 경계가 구속된 상태에서 일차원적 변형이 발생되는 경우에 구속탄성계수 M (constrained

modulus)을 구할 수 있습니다. 특히, 0x y 의 경우에 수평방향 응력과 구속탄성계수는 식

(1.2.9) 및 (1.2.10)과 같습니다.

1x y z

(1.2.9)

1

1 1 2M E

(1.2.10)

현장시험에 따라 얻는 탄성계수는 앞서 언급한 여러 가지 탄성계수 중 하나가 될 수 있으며, 적

절하게 변환함으로써 실무에 적용할 수 있습니다.

일차원 압밀거동의 경계조건은 구속탄성계수를 구하는 경우의 경계조건과 동일하기 때문에 구속

탄성계수는 연약지반의 일차원 압밀거동특성과 밀접한 관련이 있습니다. 아래 표 1.2.1은 구속탄

성계수와 여러 가지 일차원 압밀특성 파라미터와의 관계식을 정리하고 있습니다.

표 1.2.1 압밀특성 파라미터와 구속탄성계수의 관계식

압밀관련 매개변수 M 과의 관계식

coefficient of volume change, vm

체적변화계수

1vm M

coefficient of compressibility, va

압축계수

01v

eaM

compression index, cc

압축지수

0(1 )0.435

vac

ecM

표 1.2.2 암석 및 기타재료의 탄성계수와 포아송 비

지반재료 탄성계수 (tonf/m2) 포이송 비

amphibolite 9.4~12.1 106 0.28~0.30

anhydrite 6.8 106 0.30

siabase 8.7~11.7 106 0.27~0.30

siorite 7.5~10.8 106 0.26~0.29

solomite 11.0~12.1 106 0.30

sunite 14.9~18.3 106 0.26~0.28

deldspathic

gneiss 8.3~11.9 106 0.15~0.20

gabbro 8.9~11.7 106 0.27~0.31

granite 7.3~8.6 106 0.23~0.27

ice 7.1 106 0.36

limestone 8.7~10.8 106 0.27~0.30

marble 8.7~10.8 106 0.27~0.30

mica Schist 7.9~10.1 106 0.15~0.20

obsidian 6.5~8.0 106 0.12~0.18

oligoclasite 8.0~8.5 106 0.29

quartzite 8.2~9.7 106 0.12~0.15

rock salt 3.5 106 0.25

slate 7.9~11.2 106 0.15~0.20

aluminum 5.5~7.6 106 0.34~0.36

steel 20.0 106 0.28~0.29

표 1.2.2에 나와있는 탄성계수는 균열이 없는 작은 시험체에 대한 실험실 값으로 무결암(intact

rock)의 탄성계수에 해당합니다. 따라서, 현장을 고려하여 탄성계수를 적용할 때에는 대형 스케일

의 암반 내 불연속면을 고려하여 감소된 탄성계수 값을 적용해야 합니다. 그림 1.2.3은

RQD(Rock Quality Designation)에 따른 탄성계수 감소비를 나타낸 실측 데이터를 그래프로 표현

한 것입니다. RQD란 균열이 포함된 시추코아 100cm 길이에서 10cm 길이를 초과하는 코어 조

각 길이의 합을 전체길이에 대한 백분율로 표현한 값입니다. RQD가 100%라고 해서 무결암이라

고 볼 수는 없습니다. 그러나, RQD가 높을수록 암질은 우수하다고 볼 수 있으며, 풍화가 많이 진

행된 암반일수록 RQD의 수치가 작아집니다.

Rock Quality Designation (%)

0 20 40 60 80 1000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

??

?

Mod

ulus

Red

uctio

n R

atio

(EL/E

M)

Results from DWORSHAK DAM, Deere et.al., 1967

Results after Coon and Merritt, 1970

ORANGE FISH TUNNEL ㅡ VERTICAL JACKING TESTS, Oliver, 1977

ORANGE FISH TUNNEL ㅡ HORIZONTAL JACKING TESTS

DRAKENSBERG TESTS

ELANDSBERG TESTSOTHER DATA, 1978

그림 1.2.3 RQD와 탄성계수 감소비율(EL/EM)과의 관계

그림 1.2.3에서 RQD가 70%만 되어도 실험실 탄성계수를 20%로 감소해야 함을 알 수 있습니다.

3차원 조건에서의 재료의 응력-변형율 관계식을 행렬 형태로 나타내면 식 (1.2.11)과 같습니다.

1/ / / 0 0 0

/ 1 / / 0 0 0

/ / 1/ 0 0 0

0 0 0 1/ 0 0

0 0 0 0 1/ 0

0 0 0 0 0 1/

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

E E E

E E E

E E E

G

G

G

(1.2.11)

상기 행렬의 형태를 역행렬 형태로 변환하면 식 (1.2.12)와 같습니다.

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0.5 0 0

0 0 0 0 0.5 0

0 0 0 0 0 0.5

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

A

(1.2.12)

여기서, (1 2 )(1 )

EA

즉,

σ Dε (1.2.13)

( ) / 3 ( )x y z x y zK (1.2.14)

여기서, 3 1 2EK

적합 행렬과 관련된 D행렬은 식 (1.2.15)와 같습니다.

1 2 2

2 1 2

2 2 1

3

3

3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

D D D

D D D

D D D

D

D

D

(1.2.15)

여기서, 1

2

3

(4 / 3)

(2 / 3)

D K G

D K G

D G

1.3 비선형 해석

1.3.1 일반사항

지반의 정확한 거동을 묘사하기 위해서는 비선형거동을 예측할 수 있어야 합니다. 지반 해석의

경우 이러한 비선형 거동은 지반 재료의 비선형 거동에 의해 나타납니다. 재료의 비선형 거동은

거동적 가정에 따라 비선형 탄성, 탄소성, 점탄소성으로 분류합니다. 각 모델들은 해석하고자 하

는 지반의 특성에 따라 나뉠 수 있습니다. 이 중 작은 변형율의 범위에서는 비선형 탄성 모델이

유용하게 사용되며, 큰 변형율의 범위에서 하중이나 침하의 속도에 관계된 경우 점탄소성 해석이

유용합니다. 이외 나머지 대부분의 해석에 탄소성해석이 사용되고 있습니다. SoilWorks에서는 비

선형 탄성 해석과 탄소성 해석만을 지원하고 있습니다.

1.3.2 비선형 탄성해석

비선형탄성 재료는 재료의 탄성특성이 해석결과에 따라 변화하는 경우를 말하며, 대표적인 예로

는 Duncan-Chang model과 같은 Hyperbolic model을 들 수 있습니다. 이 모델에서 응력-변형율

곡선은 쌍곡선 형태로 나타나며, 지반 계수는 지반이 경험하는 구속(confinement)응력과 전단응력

의 함수입니다. 이 비선형재료 모델을 정의하기 위해서는 삼축압축시험이나 문헌으로부터 쉽게

얻을 수 있는 지반 물성치만 필요하기 때문에, 매우 유용하게 연구에 적용할 수 있는 모델이지만,

손상 후의 강성저하 등을 묘사하는 것이 불가능한 단점이 있습니다.

그림 1.3.1 Duncan-Chang model 의 응력-변형율 곡선

1.3.3 탄소성해석

1.3.3.1 일반사항

재료의 소성거동은 탄성거동과 달리 재하된 하중을 제거하여도 구조물에 영구변형이 발생합니다.

이러한 거동적 특성을 나타내기 위해 변형율은 다음과 같이 탄성과 소성성분으로 나누는 변형분

리가정에 따라 정식화합니다.

e p ε ε ε (1.3.1)

여기서, ε : 총 변형율

eε : 탄성 변형율 (elastic strain)

pε : 소성 변형율 (plastic strain)

후크의 법칙(Hook’s law)은 탄성범위에서의 변형과 응력의 관계를 정의하며, 이를 식 (1.3.1)에 적

용하면 응력은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

e p σ Dε D ε ε (1.3.2)

여기서, σ : 응력벡터

D : 재료강성 행렬 (material stiffness matrix)

하중을 받는 구조물 내 임의의 한 점에 발생하는 응력은 그 점의 탄-소성상태를 정의하는 척도가

됩니다. 탄성 및 소성을 정의하는 이러한 기준은 강재나 콘크리트 등 재료의 특성에 따라 다르게

정의되며, 이를 항복기준(yield criterion)이라 합니다. 재료의 항복기준은 다양한 응력상태에 대한

실험을 통해 정의되며, 소성흐름(plastic flow)을 유발하는 시점의 응력값들은 응력공간 상의 함수

형태로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

, 0f σ (1.3.3)

여기서, f : 항복함수 (yield function)

: 경화변수 (hardening parameter)

항복함수 f 가 0보다 작을 경우 소성흐름은 발생하지 않으며, f 가 0보다 클 경우 소성흐름이

발생합니다.

1.3.3.2 소성흐름법칙(Plastic flow rule)

재료의 항복은 소성흐름을 유발하며, 이러한 소성흐름은 재료의 평형상태를 유지하기 위해 응력

의 재분배를 유발합니다. 이러한 소성흐름의 계산은 비선형 형태로 이루어지며 이를 위해 일반적

으로 증분 형태를 사용하여 정식화됩니다. 재료의 탄소성해석에서 소성흐름의 계산에 사용되는

일반적인 값들 중 대표적인 것은 증분응력방향과 소성변형율방향이며, 이중 증분응력방향은 다음

과 같습니다.

ii

f

nσ

(1.3.4)

여기서, n 은 항복면에 수직한 증분응력의 방향을 나타내는 기울기벡터를 나타내며, i 는 항복함

수가 여러 개로 이루어진 경우의 항복함수개수를 의미합니다.

증분소성변형율은 코이터의 법칙(Koiter’s law)에 따라 다음과 같이 크기와 방향성분으로 분리하여

나타냅니다.

n ni

p i i ii 1 i 1

g

ε mσ

(1.3.5)

여기서, ig 는 소성포텐셜함수(plastic potential function)로써 응력과 경화변수 에 의한 함수

i( , )g σ 이며 일반적으로 재료실험을 통해 얻어집니다. i 는 소성승수(plastic multiplier)이며, 다

음과 같이 쿤-터커 조건(Kuhn-Tucker condition)을 만족해야 합니다.

0f ; i 0 ; i 0f (1.3.6)

위의 조건으로부터 항복함수 f 가 0보다 작은 경우 i 은 항상 0이 되며, 소성흐름이 발생하지

않음을 알 수 있습니다.

식 (1.3.5)에서 m 은 증분소성변형율의 방향을 정의하는 벡터입니다. 이때 소성포텐셜함수 g 를

사용하지 않고 항복함수 f 를 사용한 /f σ 으로 증분소성변형율 방향을 정의하는 방법을 상관

소성흐름법칙(associated flow rule)이라 하며, 소성포텐셜함수를 사용하여 /g σ 으로 증분소성변

형율방향을 정의하는 방법을 비상관소성흐름법칙(non-associated flow rule)이라 합니다. 일반적으

로 von Mises나 Tresca 모델과 같이 응력공간 상에서 등압축(hydrostatic axis)을 따라 일정한 편

차응력(deviatoric stress)의 분포를 나타내는 형태의 재료모델인 경우는 상관소성흐름법칙을 사용

합니다.

그러나 Mohr-Coulomb과 Drucker-Prager 모델과 같이 응력공간 상에서 편차응력이 등압축을 따

라 변하는 형태의 재료모델인 경우 비상관소성흐름법칙을 사용합니다. 등압축에 따라 편차응력이

변화하는 재료모델에 비상관소성흐름법칙을 적용하는 경우 응력방향과 변형율방향의 불일치로 인

하여 발생되는 과도한 체적팽창현상을 억제하는 효과가 있습니다. 그러나 강성행렬이 비대칭이

되어 비대칭 솔버를 이용해서 계산해야 하기 때문에, 수렴속도가 느려지는 단점이 있습니다.

1.3.3.3 선형화된 적합 조건(Linearized consistency condition)

탄-소성 물질의 내적변화 상태는 미소증가 형태로 표현되는 점증적 구성관계에 의하여 정의됩니

다. 소성흐름은 항복조건에 도달할 때 시작되며, 와 같은 소성상태변수에 의해 제어됩니다.

비상관소성흐름에서 미소변형상태에 대한 구성관계식은 식 (1.3.2)에 기초하여 다음과 같이 나타


p( ) ( ) σ D ε ε D ε m (1.3.7)

응력상태가 항복면상에 놓일 때 선형화된 일관성조건(linearized consistency condition)은 함수를

테일러 급수(Taylor series)의 1차 확장을 통해 다음과 같이 정의합니다.

T

T, 0f ff h

σ σ n σ

σ (1.3.8)

여기서, f

nσ

, h 는 경화계수(hardening modulus)라고 하며, fh

입니다.

이때 /f 는 실험으로부터 f 관계를 도출하여 계산합니다. / 는 재료의 항복모델에

따라 다르며, 1.2절에서 항복모델 별로 정의된 관계식을 사용하여 계산합니다.

위의 식 (1.3.8)에 식 (1.3.7)을 대입하여, 소성승수 에 대하여 정리하면 다음과 같습니다.

T

Th

n D εn Dm

(1.3.9)

식 (1.3.9)을 식 (1.3.7)에 대입하면 응력과 변형율의 증분형태 관계식으로 나타낼 수 있습니다.

Tep

Th

Dmn Dσ D ε D εn Dm

(1.3.10)

여기서, epD 는 탄-소성 접선 연산자로써 재료의 접선강성행렬입니다. 이때 비상관소성흐름법칙을

도입하면 m n 이므로, epD 는 비대칭행렬이 됩니다.

1.3.3.4 증분방정식의 적분(Integration of rate form)

증분형태 방정식에 대한 적분방법은 크게 명시적 전방 오일러 방법(explicit forward Euler

algorithm with sub-increment)과 암시적 후방 오일러 방법(implicit backward Euler algorithm)으로

나눌 수 있습니다.

명시적 전방 오일러 방법에서 소성흐름의 방향은 증분응력과 항복면이 만나는 A점(그림 1.3.2와

1.3.3)에서 계산되지만, 암시적 후방 오일러 방법에서는 최종 응력 지점인 B점(그림 1.3.4)에서 계

산됩니다.

명시적 전방 오일러 방법은 상대적으로 단순하고 적분점(integration point)에서 반복계산과정이 필

요하지 않지만, 다음과 같은 단점이 있습니다.

조건에 따라서만 안정적이다.

허용 가능한 정확도를 위해 부증분(sub-increment)이 필요하다. (그림 1.3.3).

항복면으로 되돌리기 위한 추가적 보정이 필요하다. (그림 1.3.2).

또한, 명시적 전방 오일러 방법은 적합 강성행렬(consistent tangent stiffness matrix)을 구성할 수

없습니다. 암시적 후방 오일러 방법은 부증분이나 인위적 회귀 없이 충분히 정확한 결과를 도출

하고 조건에 관계없이 안정적이지만, 적분점에서 반복계산이 필요합니다. 그러나 이 방법을 사용

하면 적합 강성행렬(consistent tangent stiffness matrix)을 구성할 수 있기 때문에 명시적 전방 오

일러 방법보다 효율적입니다.

(a) 교차점 A 의 위치

(b) A 점의 접선방향을 따라 C 로 이동한 후 D 위치로 보정

그림 1.3.2 명시적 전방 오일러 방법

Yield surfaceX

A

B∆σe

그림 1.3.3 명시적 전방 오일러 방법에서의 부증분

1.3.3.5 명시적 전방 오일러 방법(Explicit forward Euler method)

명시적 전방 오일러 방법에서는 먼저 탄성 변형을 가정한 탄성 증분응력을 산정합니다. (그림

1.3.2(a)의 B점).

e

eB X

σ D εσ σ σ

(1.3.11)

다음으로 탄성한계를 정의하는 증분응력량을 계산합니다. 초기 탄성 증분응력은 탄성범위 내의

증분응력인 허용 증분응력 e1 r σ 과 허용 불가능한 항복함수 바깥쪽의 증분응력 erσ 으로

나누어 집니다. 탄성한계를 정의하는 증분응력은 다음 식을 이용하여 계산합니다(그림 1.3.2(a)의

A점).

eX

B

B X

1 , 0f r

frf f

σ σ (1.3.12)

식 (1.3.10)와 식 (1.3.11)의 첨자는 그림 1.3.2를 참조.

A

X

B B´ C

D

Yield surface

-∆λ mAA

-∆λ mBB

-∆λ mB´B´

부증분방법을 사용하기 위해서는 항복면을 벗어난 증분응력 erσ 를 k개의 작은 부증분응력으로

나누어 근사화합니다(그림 1.3.3). 부증분의 개수는 오차의 크기에 직접적으로 관계되며, 식

(1.3.13)과 같이 계산합니다.

effB effA effAINT 8 1k (1.3.13)

여기서, effA 와 effB 는 그림 1.3.2(a)의 A점과 B점에서의 유효응력을 나타냅니다.

최종 응력상태가 항복면상에 있지 않을 경우, 다음의 인위적 회귀 방법을 사용하여 항복면상으로

응력상태가 옮겨지도록 합니다(그림 1.3.3의 D점).

C

C TC C

D C C C

fh

n Dmσ σ Dm

(1.3.14)

1.3.3.6 암시적 후방 오일러 방법(Implicit backward Euler method)

명시적 전방 오일러 방법은 교차점 A에서의 항복면에 수직한 방향성분을 이용하여 다음 응력값을

추정하기 때문에 교차점의 계산이 반드시 요구됩니다. 그러나, 항복면에 수직한 방향성분을 그림

1.3.4와 같이 B점에서 추정한다면 교차점의 계산이 불필요해집니다.

C B C σ σ Dm (1.3.15)

식 (1.3.15)에서와 같이 좌변과 우변에 모두 미지점 C에서의 값이 존재하므로 반복해석을 통해

값을 찾아야 하며, 이러한 반복해석을 위해 현재응력과 backward-Euler stress와의 차를 나타내는

잔여벡터 r 의 개념을 도입합니다.

C B C r σ σ Dm (1.3.16)

그림 1.3.4 암시적 후방 오일러 방법

잔여벡터 r 은 최종 응력상태가 항복면 상에 놓이는 경우 0으로 수렴해갑니다. 테일러급수 1차

확장을 사용하여 반복계산 시 새로운 잔여벡터 newr 값을 정의하면 다음과 같습니다.

new old

mr r σ Dm D σσ

(1.3.17)

수렴된 최종 응력에 의한 잔여벡터 new 0r 이므로, 이를 식 (1.3.17)에 대입하고 σ 에 대해 정리

하면 식 (1.3.18)과 같습니다.

1

1old old

mσ I D r Dm R r Dmσ

(1.3.18)

또한, 항복함수를 테일러급수를 사용하여 1차 확장하면 다음과 같습니다.

new old old 0Tf ff f f h

σ n σ

σ (1.3.19)

Yield surfaceX

B∆σe

C

따라서 식 (1.3.19)에 식 (1.3.18)을 대입하여 에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

1old old

1

Tfh

n R rnR Dm

(1.3.20)

1.3.3.7 구성행렬(constitutive matrix)

소성 구성방정식(plastic constitutive equation)을 구성하는 방법은 다음과 같습니다. 미소 증분응력

은 미소 증분변형률 벡터의 탄성 부분에 의하여 결정됩니다. 즉,

p σ D ε ε Dε Dm (1.3.21)

현재 응력은 항상 항복면 상에 위치해야 하기 때문에 적합조건(consistency condition)을 만족해야

합니다. 식 (1.3.21)에 식 (1.3.9)를 대입하고 이를 미소 증분변형율에 대하여 정리하면, 미소 증분

응력은 식 (1.3.22)와 같이 계산할 수 있습니다.

h

Tep

T

Dmn Dσ D ε D εn Dm

(1.3.22)

명시적 전방 오일러 방법에서 뉴튼 랩슨(Newton-Raphson) 반복과정이 사용될 때 적합접선강성행

렬(consistent tangent stiffness matrix)을 사용하면, 뉴튼 랩슨 반복과정의 2차 수렴 특성으로 인

하여 더욱 빠른 수렴해를 얻을 수 있습니다. 이러한 2차 특성을 고려하기 위하여 식 (1.3.15)를

미분하면 다음과 같습니다.

m mσ Dε Dm D σ Dσ

(1.3.23)

여기서, 은 의 변화량입니다.

식 (1.3.23)은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

Aσ Dε Dm (1.3.24)

여기서,

mA I Dσ

,

mm m

이때 1H A D 라하면 식 (1.3.24)은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

σ H ε m (1.3.25)

식 (1.3.25)를 선형화된 적합조건(linearized consistency condition)을 사용하여 전체 변형율 항으로

정리하면 다음의 식을 얻을 수 있습니다.

Tep

Th

Hmn Hσ H ε C εn Hm

(1.3.26)

식 (1.3.22)에서 epD 는 접선강성행렬(tangent stiffness matrix)이라 하며, 식 (1.3.26)의 epC 은 적

합접선강성행렬이라 합니다.

Chapter 2

2.1 일반사항

지반의 전 시공과정에 걸친 수치해석은 대부분 시공단계해석이라고 볼 수 있습니다. 지반해석은

보통 재료비선형 해석이며, 재료비선형 특성은 지반 내부의 초기 조건으로부터 얻을 수 있습니다.

여기서 초기 조건은 시공에 앞서 현장에 존재하는 조건을 의미합니다. 이는 원지반 조건이라고도

부르는데, 원지반 응력이 대표적입니다. SoilWorks에서는 원지반 조건 해석이 수행되는 경우 모든

재료 모델은 선형 탄성이라 가정하고 해석을 수행합니다.

일단 원지반 응력이 얻어지면, 이로부터 굴착하중, 그리고 Mohr-Coulomb과 같은 재료특성을 적

용한 전단강도도 얻을 수 있습니다. 그러므로 시공단계 해석은 원지반 조건에서 순차적인 전 시

공과정을 포함한 해석을 수행합니다. 현장의 시공단계는 매우 복잡하고 가변적이기 때문에 해석

에서는 이를 단순화 하여 비중이 큰 시공단계를 중심으로 해석을 수행합니다.

예를 들어 터널의 시공단계는 아래와 같습니다.

1단계 : 원지반 응력,

2단계 : 제1막장 굴착,

3단계 : 제1막장 보강 + 제2막장 굴착,



……… (반복) …………

SoilWorks을 사용하여 시공단계해석을 수행할 때 고려할 수 있는 내용은 다음과 같습니다.

1. 시공단계의 표현

지반요소의 추가 및 제거

하중의 재하 및 소거

경계조건의 변화

지반물성의 변화

하중 분담율

시공단계별 지하수위

배수-비배수 해석

변위 초기화

In-situ 해석

Restart

2. 지하수 해석

시공단계별 정상류 해석

시공단계별 비정상류 해석

3. 응력-침투 연계해석

지하수 해석 결과로 얻어진 간극수압을 이용한 유효응력 해석

4. 압밀 해석

성토 등에 의한 압밀해석

기본적으로 요소의 생성 및 소멸, 하중의 재하 및 소거, 경계조건의 변화 등 모든 변경사항은 매

시공단계의 first step에서 이루어집니다. 그러므로 실제 시공 중에 여러 가지 원인에 의하여 구조

계의 변화가 발생하면, 이 시기를 반영하는 시공단계를 생성시켜야 합니다. 즉, 구조계의 변화가

잦을수록 시공단계의 수는 많아지게 됩니다.

임의의 시공단계에 요소가 생성되는 경우에 이전 시공단계의 하중이력에 의한 구조물이나 내부응

력은 새로 생성되는 요소에는 영향을 미치지 않습니다. 즉, 생성 요소는 그 시공단계에서 구조물

이 어떠한 하중을 받는지에 관계없이 요소의 내부 응력이 ‘0(zero)’인 상태에서 생성됩니다.

하중분담율이 100%인 요소를 소멸시키는 경우에는 소멸되는 요소의 내부응력이 남아있는 구조

물로 모두 재분배가 되어, 구조물에서 다른 요소의 응력이 변화하게 됩니다. 이에 반하여 하중분

담율이 0%인 요소를 소멸시키는 경우에는 소멸되는 요소의 내부 응력이 남아있는 구조물로 전혀

전달되지 않기 때문에 다른 요소의 응력이 변화되지 않습니다.

이 응력 재분배율을 적당히 조절하면 요소가 소멸되면서 남아있는 요소에 전달할 응력의 양을 조

절할 수 있습니다. 이 기능은 시공단계별 해석에서 각 단계마다 요소가 사라졌다 할지라도 응력

이완이 완전히 끝나지 않은 상태 등을 고려할 때 사용됩니다. 예를 들면, 터널해석에서는 굴착부

분 요소의 응력을 한번에 전부 이완시켜 주는 것이 아니라 락볼트(rock bolt) 및 숏크리트

(shotcrete) 등의 시공 단계에 따라 점차적으로 이완을 시켜주게 됩니다. 이처럼 시공 단계별 응력

의 이완을 점차적으로 고려해야 하는 경우 하중분담율을 단계별로 고려하여 적용해야 합니다.

SoilWorks에서는 각각의 시공 단계별 해석모델을 독립모델로 만들어서 해석을 수행하는 것이 아

니라, 시공 단계별로 구조계 또는 하중의 변화만을 입력하여 해석을 수행한 후 앞 단계의 해석결

과에 누적하여 해석을 수행하는 누적 모델 개념을 사용하고 있습니다. 그러므로 시공단계 해석에

서는 앞 단계에서 발생한 구조계의 변화 및 하중이력이 뒤에 있는 시공 단계의 해석 결과에 영

향을 미칩니다. 예를 들어, 임의의 시공 단계에 하중을 재하하면, 이후의 시공 단계에서는 재하된

하중을 소거하지 않는 한 계속해서 하중이 가해진 상태가 됩니다.

요소의 생성도 임의의 시공단계에서 필요한 모든 요소를 생성시키는 것이 아니라, 그 시공단계에

필요한 요소만을 생성시킵니다.

2.2 요소의 추가와 제거

시공단계해석 중에 추가되는 요소는 ‘0(zero)’인 응력상태로 도입됩니다. 그리고 기존 구조물에는

추가된 요소 자중만큼의 하중을 부가합니다. 최초 도입 단계 이후에는 기존의 구조물과 동일하게

취급됩니다.

지반은 요소 제거 전에 응력을 받고 있습니다. 만약, 제거된 요소 주위에 하중이 작용하고 있다면,

나머지 재료가 적당한 응력이완을 통해 새로운 자유면이 응력을 받지 않도록 해야 합니다.

그림 2.2.1에서와 같이 물체 A가 물체 B로부터 제거된다고 가정합니다. 제거 전에 각 물체의 응

력은 각각 AO 와 BO 이고, 이 응력을 만드는 모든 외력이 고려 되어있습니다. 두 물체는 평형

상태이므로, 하중 ABF 가 BO 를 유지하기 위해 물체 A로 인해 물체 B에 적용되어야 하고, 마찬

가지로 BAF 가 물체 A에 적용되어야 합니다. 그러므로 어떤 경계에 작용하는 굴착하중은 굴착되

는 요소의 응력 상태와 그 요소의 자중에 따릅니다. 이것은 식 (2.2.1)로 정의될 수 있습니다.

AO

BO

ABF

BAF

그림 2.2.1 요소 제거의 하중 정식화 개념도

A A

T TBA AO A AV VF dV dV B N (2.2.1)

여기서, B : 변형율-변위 행렬,

AV : 굴착된 부피,

N : 요소 형상함수,

: 지반의 단위중량

현재 시공단계의 전체 강성은 식 (2.2.2)와 같이 현재 시공단계에서 사용되는 요소들의 강성을 조

합하여 계산합니다. 전체 시공단계에 걸쳐 사용되는 모든 요소는 데이타베이스로 저장되며, 현재

시공단계에 사용되는 요소정보는 전체 시공단계의 요소 데이타베이스를 검색하여 초기단계부터

현재단계까지 활성화된 모든 요소를 추가하고 비활성화된 모든 요소를 제거함으로써 정의합니다.

1

nTi i i

iK L k L (2.2.2)

여기서, K : 현재 시공단계의 구조물 강성

iL : 구조물 강성 내 요소 강성의 위치를 나타내는 행렬

ik : 현재 시공단계에 활성화된 요소 강성

n : 현재 시공단계에 활성화된 요소 개수

2.3 하중의 추가와 제거

시공단계해석은 단계별 증분형태의 해석으로 구성되며, 이러한 증분해석을 위해 현재 시공단계의

증분하중이 요구됩니다. 현재 시공단계에서 증분하중 currentF 은 현재 단계의 총 하중 currentF 와

이전 단계의 총 하중 previousF 의 차를 통해 계산되며, 다음과 같습니다.

current current previous F F F (2.3.1)

전체 시공단계에 걸쳐 사용되는 모든 하중은 데이터베이스로 저장되며, 현재 시공단계의 총 하중

currentF 은 전체 시공단계의 하중 데이터베이스를 검색하여 초기단계부터 현재단계까지 활성화된

모든 하중을 추가하고 비활성화된 모든 하중을 제거함으로써 정의합니다.

현재 시공단계의 총 하중은 다음과 같이 표면력(surface force)과 체적력(body force)으로 구분할

수 있습니다.

current current currentsurface body F F F (2.3.2)

이때 표면력에는 절점하중이나 분포하중등과 같이 절점과 관련된 하중이 포함되며, 체적력에는

자중과 같이 요소와 관련된 하중이 포함됩니다. 표면력의 경우는 하중이 작용되는 절점의 절점자

유도 정보가 추가로 입력되기 때문에 이를 사용하여 조합하지만 체적력의 경우는 요소의 추가 및

제거와 관련되기 때문에 현재 시공단계에서 계산된 식 (2.2.2)의 행렬 iL 를 사용하여 조합합니다.

하나의 시공단계 내에서 정의되는 증분 하중단계(incremental load step)는 식 (2.3.1)에서 계산된

시공단계 증분하중 currentF 에 미리 정의된 현재 시공단계 내에서의 하중계수(load factor) 를

곱하여 계산하며, 이를 임의의 하중단계 i 에 대해 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

current previous current currenti i F F F (2.3.3)

임의의 하중단계 i 에서 구조물의 응답을 계산하기 위한 정해석(static analysis)의 선형대수방정식

(linear algebraic equation)은 다음과 같습니다.

ubfi i iF K d (2.3.4)

이때 iK 는 i 번째 하중단계에서의 구조물 강성이며, id 는 i 번째 하중단계에서의 절점변위를

나타낸다. ubfiF 은 i 번째 단계에서의 불평형력(unbalance force)이라 하며, 현재 하중단계의 총 하

중에서 이전단계 총 내력을 빼줌으로써 다음과 같이 정의한다.

ubf current internal1i i i F F F (2.3.5)

식 (2.3.5)에서 currentiF 은 식 (2.3.3)에서 이미 정의되었으며, internal

1iF 은 이전 하중단계에 대한 구조

물의 총 내력으로써 이전 하중단계의 요소 응력을 사용하여 다음과 같이 계산합니다.

internal T T1

1 1 d

n nT

i j j j j jVj j

V

F L f L B σ (2.3.6)

여기서, jf : 요소의 부재력

jL : 총하중 내 요소 하중의 위치를 나타내는 행렬

jB : 변위-변형율 기울기행렬

jσ : 요소의 응력

V : 체적

n : 현재 시공단계에 활성화된 요소 개수

이때 1i 인 경우 internal0F 은 이전 시공단계의 최종 하중단계에 대한 총 내력을 나타냅니다. 또한

요소의 응력은 시공단계 내에서 각 하중단계의 계산이 끝나는 시점에 업데이트됩니다.

2.4 경계조건의 추가 및 제거

현재 시공단계의 경계조건 정보는 요소 및 하중과 마찬가지로 모든 시공단계의 경계조건을 데이

타베이스로 만들고 초기단계부터 현재단계까지 검색하여 활성화된 경계조건을 추가하고 비활성화

된 경계조건을 제거함으로써 정의합니다. 이때 현재 단계에 추가된 경계조건과 제거된 요소에 의

해 어떤 요소에도 포함되지 않는 절점인 자유절점(free node)이 발생할 수 있으며, 이러한 자유절

점은 활성화된 요소에 포함된 절점정보를 사용하여 제거함으로써 해석에 불필요한 절점자유도를

제거하여 해석 속도를 향상시킬 수 있습니다.

2.5 하중분담율

시공단계 해석을 단순화하기 위해 하중분담율의 개념이 도입됩니다. 이것은 여러 시공 단계를 모

사하기 위해 요소 변경의 효과가 순차적으로 적용되도록 하는 수치해석적 기법입니다. 하중분담

율은 3차원을 2차원으로 단순화하여 모델링 하거나, 3차원 모델의 시공단계를 축소하여 해석할

때 사용합니다.

SoilWorks에서는 임의의 단계에서 분할하여 하중분담율을 정의할 수 있으므로 유연성 있는 모델

링이 가능합니다.

가령 굴착단계부터 연속한 3단계에 걸쳐 40%, 30%, 30%의 응력이완이 발생한다고 가정합니다.

SoilWorks에서는 이 경우에 굴착단계를 정의하고 정의된 굴착단계에서 하중분담율 옵션을 활성화

합니다. 옵션 창에서 ‘이후 단계 0, 1, 2’에 각각 0.4, 0.3, 0.3의 하중분담율을 입력하면 됩니다(그

림 2.5.1).

그림 2.5.1 하중분담율 옵션 대화상자

2.6 변위 초기화

시공단계해석 도중에 변위를 초기화하는 조건이 필요할 수 있습니다. 가령 초기 조건을 포함하는

시공단계를 해석 한 후에 변위는 초기화되어야 합니다.

SoilWorks에서는 임의의 단계에서 변위 초기화가 가능하므로 초기 단계를 얻기 위해 몇 번의 중

간 단계 해석을 고려할 수 있습니다.

2.7 물성 변환

시공단계해석 중에 지반교란이나 개량, 시간에 따른 경화 등을 모델링 하기 위해 지반 물성을 바

꾸어야 하는 경우도 있습니다. 또한 라이닝 콘크리트의 경화나 라이닝 두께의 변화 등과 같이 중

간에 구조물의 물성이 바뀌는 경우도 있습니다.

SoilWorks에서는 횟수의 제한 없이 특정 요소의 재료 물성을 바꿀 수 있습니다. 바뀐 물성은 이

전 단계 요소 결과(예를 들어 변위, 응력, 변형률 등)에 연속되어 해석이 수행됩니다.

선형 탄성 재료를 사용하는 경우 물성의 변환이 자유롭지만 비선형 재료모델을 사용하는 경우는

주의를 요합니다.

지반과 같은 비선형 재료 모델에 대해 예를 들면, 시공 단계 해석 시 굴착 후 다른 재료로 채우

는 경우, 실제로 요소의 제거와 추가를 하지 않고 물성변환만을 사용하여 모델링 하는 경우가 있

습니다. 비선형 재료모델의 경우 이전 단계 응력상태를 그대로 다음 단계 해석에 반영하기 때문

에 물성변환을 하는 경우 물리적으로 맞지 않는 거동을 하게 됩니다. 따라서 비선형 재료 모델에

대한 요소의 물성을 변환하는 경우는 반드시 요소를 제거하시고, 다시 추가하는 단계에서 물성

변환을 해주시기 바랍니다. 요소가 새롭게 추가되는 경우 SoilWorks는 내부적으로 새롭게 생성되

는 요소의 응력과 변형률 및 내부 상태변수 등을 ‘0(zero)’로 초기화 시킵니다.

2.8 In-situ 응력

In-situ 응력을 산정하는 방식은 다음의 두 가지가 있습니다.

2.8.1 0K 방법

0K 방법은 0 /h vK 인 상수 0K 값을 이용하여 수직응력으로부터 수평응력을 계산하여 초기

응력으로 설정하는 방식입니다.

이 방식을 사용하면 먼저 자중해석에 의해 수직응력 v 를 구하고, 그 값으로부터 0h vK 에

의해 수평응력을 구합니다. 이때 전단응력은 해석 후 도출된 결과값을 그대로 유지합니다.

지면이 수평인 경우에는 이 방법을 사용하는 것이 아무 문제가 없지만, 그렇지 않은 경우에는 이

상과 같이 구한 응력상태는 자중과 평형을 이루지 못합니다. 따라서, 평형상태를 이루기 위해 자

중과 위에서 계산된 응력상태에 의해 내력간의 불평형력을 사용하여 해석을 수행해야 합니다. 이

단계는 사용자가 아무 조건이 변하지 않는 null stage를 도입함으로써 수행될 수 있습니다. 그러

면, 이 null stage가 수행된 이후에 전체 계는 평형을 이루고, 이 상태를 초기응력 상태로 사용합

니다.

2.8.2 자중해석 방법

자중에 의한 해석을 통해 얻어지는 응력상태를 초기응력 상태로 설정합니다. 지면이 수평일 때,

이 방식은 0 /(1 )K 인 0K 방법과 동일합니다. 그렇지 않은 경우에는 수평방향의 변형률이

존재하므로, 0K 방법과는 다른 결과를 도출하고, 전단응력도 발생하게 됩니다.

일반적으로 지반이 사면인 경우에는 이 방법을 사용하는 것이 좋습니다. 다만, 이 방법은 1보다

큰 0K 값을 설정하는 것이 불가능하므로, 1보다 큰 0K 값을 사용하고자 하는 경우에는, 불가피

하게 0K 방법을 사용한 후 null stage를 이용하여 평형을 이루도록 하면 됩니다.

2.9 비배수 해석

SoilWorks에서는 원하는 요소와 시공단계에 대해서만 비배수해석을 적용할 수 있습니다.

SoilWorks에서 비배수 해석을 적용하는 방법은 두 단계가 있습니다. 첫 번째로 재료 모델에서 비

배수 해석에 대한 물성값을 정의하는 단계와 두 번째로 시공단계 입력 시 정의하는 단계가 있습

니다. 만약 재료 모델에서 비배수 물성을 선택하고 시공단계에서 비배수 해석을 수행하지 않는다

면 재료는 배수 거동을 수행합니다. 반대로 재료 모델에서 배수 물성을 정의하고 시공단계에서

비배수 해석을 수행하는 경우도 마찬가지로 배수 거동을 수행합니다. 비배수 해석을 수행하기 위

해서는 반드시 재료 물성과 시공단계 정의 시 모두 비배수에 대한 물성과 해석을 정의해야 합니

다.

배수 및 비배수 해석을 시공단계 별로 번갈아 수행하는 경우의 모사도 가능합니다. 이전 단계에

서 비배수 해석을 수행하고 현 단계에서 배수 해석을 수행하는 경우 과잉 간극수압이 소산되어

간극수압이 줄어드는 현상을 관찰 할 수 있습니다. 또한 이전 단계에서 배수 해석을 수행 후 현

재 단계에서 비배수 해석을 수행하며 하중을 재하하는 경우, 과잉 간극수압의 증가로 인한 간극

수압의 변화를 관찰할 수 있습니다.

Chapter 3

3.1 일반사항

지하수 침투현상은 침투영역 주변경계의 수두차 또는 유량경계에 의해 발생합니다. 지하수의 유

동이 발생하면 물과 흙의 골격 사이에 발생되는 마찰에 의한 침투력 (seepage force)이 발생하며,

이에 의해 변위와 응력이 발생합니다. 침투력은 간극수압을 적분한 것과 같습니다.

SoilWorks에서는 침투해석에서 구한 간극수압(pore water pressure)을 이용하여 침투력의 효과를

얻습니다.

간극수압은 침투해석에서 얻는 전수두(total head)에서 위치수두(elevation head)를 빼서 얻은 압력

수두(pressure head)에 물의 단위중량을 곱합니다. 보통 침투력은 전수두의 크기가 급격히 감소하

는 유출측 경계에 인접한 영역에 집중됩니다. 이 영역은 보통 구속압력이 작아서 전단강도가 작

고, 인장강도도 상대적으로 작습니다. 이 때문에 지질 조건이 암반 상태가 아닌 토사 상태에서 침

투압을 고려한 유효응력(effective stress) 해석을 할 경우에는 지반이 쉽게 파괴될 수 있습니다. 그

러므로 침투응력 해석은 토사 지반의 안정성 해석 (analysis for stability)에 중요한 분야라고 할 수

있습니다.

3.2 유효응력

지반의 간극수압은 전응력에 영향을 줍니다. Terzaghi의 원리에 따르면 전응력 는 유효응력

과 간극수압 wp 으로 나누어질 수 있습니다.

물은 전단응력을 받을 수 없다고 가정되므로 유효 전단응력은 총 전단응력과 같습니다. 즉, 전응

력은 식 (3.2.1)과 같이 표현됩니다.

xx xx w

yy yy w

zz zz w

xy xy

yz yz

zx zx

ppp

(3.2.1)

여기서, 간극수압 wp 은 다시 정상상태 간극수압 steadyp 과 과잉 간극수압 excessp 으로 분할됩

니다.

w steady excessp p p (3.2.2)

정상상태 간극수압은 지하수 해석의 결과로부터 얻어지는 입력 자료로 지하 수면의 높이에 의해

생성됩니다. 과잉간극수압은 비배수 재료거동을 보이는 재료의 응력계산 중이나 압밀해석 중에

생성됩니다. 이에 해당하는 과잉간극수압의 계산은 “2.9장 비배수 해석”이나 “압밀 매뉴얼”을 참

고하시기 바랍니다.

3.3 지배 방정식

미소 변화량으로 표현된 Hooke의 법칙을 얻기 위해 식 (3.3.1)과 같이 역변환된 탄성 Hooke의

법칙을 고려합니다.

1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 010 0 0 2 2 0 00 0 0 0 2 2 00 0 0 0 0 2 2

exxxx

eyyyy

ezzzz

exyxy

eyzyz

ezxzx

E

(3.3.1)

여기서, ,E : 유효 재료 물성치

그런데, 식 (3.2.2)에서 정상상태 성분 steadyp 의 미분은 ‘0(zero)’ 이므로,

w excessp p (3.3.2)

이고, 식 (3.2.1)을 이용하면, 위 식 (3.3.2)는 다음과 같습니다.

1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 010 0 0 2 2 0 00 0 0 0 2 2 00 0 0 0 0 2 2

exx excessxx

eyy excessyy

ezz excesszz

exyxy

eyzyz

ezxzx

ppp

E

(3.3.3)

Chapter 4

SoilWorks에서 사용 가능한 유한요소의 종류(element library)는 사용 목적에 따라 다음과 같이

분류하고 있습니다.

1) 지반 요소 (geotechnical element)

평면변형 요소 (plane strain element)

2) 구조 요소 (structural element)

트러스 요소 (truss element)

매립형 트러스 요소 (embedded truss element)

보 요소 (beam element)

3) 응용 요소 (applied element)

계면 요소 (interface element)

말뚝, 락볼트, 앵커, 네일 요소 (pile, rock bolt, anchor, nail element)

말뚝 단 요소 (pile tip bearing element)

토목 섬유 요소 (geogrid element)

탄성연결 요소 (elastic link)

강체연결 요소 (rigid link)

절점 스프링 요소 (spring)

유한요소의 생성은 유한요소의 종류와 재료물성, 강성데이터 그리고 위치, 모양, 크기를 정의하기

위한 연결절점좌표를 입력함으로써 이루어집니다.

4.1 평면 변형 요소

4.1.1 일반사항

평면 변형 요소는 댐(dam), 터널(tunnel) 또는 지반 등과 같이 일정한 단면을 유지하면서 그림

4.1.1과 같이 길이가 긴 3차원적 형상을 회색 단면과 같이 2차원적으로 단순화하여 모사하기 위

해 사용됩니다.

그림 4.1.1 2 차원 평면변형 요소의 두께

이 요소는 평면변형적 특성을 근거로 하기 때문에 두께방향 변형률 성분은 존재하지 않으며, 두

께방향의 응력성분은 Poisson’s effect에 의해 존재하는 것으로 가정합니다.

이 요소는 트러스, 보, 인터페이스, 탄성경계 및 탄성연결 요소 등의 모든 구조 및 응용요소와 혼

용할 수 있으며, 동해석, 터널, 사면안정, 연약지반 등의 모듈에서 유한요소해석 시 적용이 가능합

니다.

평면변형 요소는 사각형 또는 삼각형 모양을 가질 수 있으며, 평면내의 인장, 압축, 전단강성과

두께방향의 인장, 압축강성을 가집니다. 평면변형 요소는 3절점 삼각형 요소보다는 그림 4.1.2에

서와 같이 4절점 사각형 요소나 6절점, 8절점의 고차 요소를 사용하는 것이 바람직하며, 요소 형

상비도 정삼각형이나 정사각형에 가까운 1.0의 값이 되도록 하는 것이 좋습니다.

1.0(unit thickness)

plane strain elements

4.1.2 요소형상, 절점번호 및 요소자유도

SoilWorks에서 지원하는 평면변형 요소의 요소형상, 요소좌표계, 요소자유도와 절점번호는 그림

4.1.2를 따릅니다. 평면변형 요소는 지반 요소로써의 해석 특성 상 요소좌표계 보다는 전체좌표계

를 따르는 것이 해석 및 결과 출력에 효과적이기 때문에 모든 기준 축은 전체좌표축을 사용합니

다. 따라서 그림 4.1.2의 요소좌표계는 큰 의미를 가지지 않고, 절점의 내력은 전체좌표계를 따릅

니다.

평면변형 요소의 요소자유도는 절점마다 전체좌표계를 기준으로 선택된 좌표평면 상에서 수평과 수

직 두 방향의 이동변위 자유도만을 가지게 됩니다.

(a) 사각형 요소

ECS y-axis

ECS x-axis

1

2

3

4

8 6

7

5

ECS y-axis

ECS x-axis

1

2

3

4

(b) 삼각형 요소

그림 4.1.2 평면변형 요소의 배치 및 요소좌표계, 절점내력

절점 번호 순서는 반시계방향을 원칙으로 합니다. 고차요소의 경우 변의 중간에 생성되는 중간

절점은 모서리 부분의 절점 번호를 붙인 후 나중에 번호를 붙이는 것으로 합니다.

SoilWorks의 평면변형 요소는 2차원모델에서 사용되고, 요소 평면이 X-Z평면으로 고정되어있으며,

중력방향은 -Z방향이 됩니다.

ECS y-axis

1

2

3

ECS x-axis(1 →2 direction)

1

6

4

5

2

3 ECS y-axis

ECS x-axis(1 → 2 direction)

4.1.3 요소 물성

평면변형요소는 지반 요소로써 기본적으로 요구하는 재료물성값은 선형 탄성 재료로 정의하는 경

우 다음과 같습니다.

탄성계수 (Modulus of Elasticity) : E

포와슨 비 (Poisson’s Ratio) :

습윤 단위 중량 (Weight Density) : t

포화 단위 중량 (Saturated Weight Density) : sat

초기하중 계수 (Initial Stress Parameter) : 0K

열팽창 계수 (Thermal Coefficient) :

또한 평면변형 요소는 2차원 지반 요소로써 SoilWorks에서 지원하는 모든 비선형 지반 재료 모

델들을 사용할 수 있습니다. 이에 대한 추가적인 물성은 “재료비선형 모델” 매뉴얼을 참고하시기

바랍니다.

평면 변형 요소는 일반적인 3차원적 거동 중에서 길이가 긴 구조물의 경우 두께방향 수직 변형률

과 두께방향 전단변형률 및 전단 응력이 0이 되는 특성을 이용하여 2차원적 거동으로 가정하여

만들어진 요소입니다. 이러한 거동적 가정을 따르는 평면변형요소의 구성방정식은 σ Dε 이며,

등방성 선형 탄성 재료의 경우 행렬형태로 나타내면 다음과 같습니다.

1 01 0

1 0 0(1 )(1 2 )1 20 0 0

2

xx xx

yy yy

zz zz

xy xy

E

(4.2.1)

평면변형 요소의 구조적 물성으로는 두께가 있으며, 그림 4.1.1과 같이 X-Z 평면에 대해 수직한

방향으로 단위 폭(1.0)만큼 프로그램 내에서 자동으로 고려합니다.

4.1.4 유한요소 정식화

SoilWorks에서 이 요소는 등매개 평면변형이론(isoparametric plane strain formulation)을 근거로

개발되었으며, 사용된 수식은 다음과 같습니다.

T T TnA A L

t dA bt dA pt dL B DB u N N p (4.1.2)

여기서, L= 요소경계의 길이,

t = 1 (요소두께)

식 (4.1.2)에서 N 은 형상함수(shape function)로써 SoilWorks의 평면변형요소에서 사용하는 형상

함수는 최대 2차 함수로 되어 있습니다. 그림 4.1.2의 3절점 삼각형 요소, 4절점 사각형 요소는 1

차(linear) 요소이며, 6절점 삼각형 요소, 8절점 사각형 요소는 2차(quadratic) 요소입니다.

형상함수는 요소 형태에 따라 다음과 같이 정의합니다.

3절점 요소

1

2

3

1NNN

(4.1.3)

4절점 요소

1 2

3 4

1 11 1 , 1 14 41 11 1 , 1 14 4

N N

N N

(4.1.4)

6절점 요소

1 2

3 4

5 6

1 1 2 2 , 2 1

2 1 , 4 1

4 , 4 1

N N

N N

N N

(4.1.5)

8절점 요소

1 5 8

2 5 6

3 6 7

4 7 8

2 25 6

2 27 8

1 1 11 14 2 21 1 11 14 2 21 1 11 14 2 21 1 11 14 2 21 11 1 , 1 12 21 11 1 , 1 12 2

N N N

N N N

N N N

N N N

N N

N N

(4.1.6)

평면변형 요소의 변형률은 다음의 공학적 변형률(engineering strain)입니다.

0

x

y

z

xy

u xv y

u y v x

ε (4.1.7)

따라서, 변형률-변위 행렬은 식 (4.1.8)과 같이 정의됩니다.

1

1

1 1

0 0

0 0

0 0 0 0

np

np

np np

NNx x

NNy y

N NN Ny x y x

B

(4.1.8)

Jacobian 행렬은 식 (4.1.9)와 같습니다.

1 11 2

2 2

1 2

np

np

np np

x yNN Nx yx y

x y NN Nx y

J

(4.1.9)

평면변형 요소에 대한 수치적분은 식 (4.1.10)과 같습니다.

1 21

nT T

j j j j j jAj

t dA t W W

B DB B D B J (4.1.10)

여기서, 1 2,j jW W : 적분점의 , 방향 가중치

4.1.5 요소결과 출력

2차원 평면변형 요소의 요소 결과로써 부재 내력 및 응력, 변형률이 있으며, 삼각형 또는 사각형

의 형상이나, 저차요소와 고차요소 간의 차수에 대한 결과 항목의 차이는 없습니다. 평면변형 요

소의 모든 요소 결과는 지반 요소의 특성 상 전체좌표계에 대하여 출력됩니다.

4.1.5.1 요소내력 결과

부재력은 요소의 절점 별로 내력이 출력되며, 부호규약은 4절점 사각형 요소의 경우 그림 4.1.3

과 같고, 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미합니다.

Y

X

1XF

1YF

4YF

2YF

3YF

2XF

3XF4XF

YX

1XF

1YF

2YF3YF

2XF3XF

그림 4.1.3 평면변형 요소의 절점 부재력

4.1.5.2 요소응력 및 변형률 결과

요소의 응력 및 변형률은 요소 내의 적분점(Gauss point)에서 연산된 응력을 외삽법(extrapolation)

을 사용하여 절점결과로 변환하여 출력합니다. 또한 요소 중앙점에서의 결과도 출력하며, 적분점

값들의 산술평균 값을 사용하여 나타냅니다.

응력과 변형률에 대한 부호규약은 4절점 사각형 요소에 대해서 그림 4.1.4와 같고, 화살표 방향

이 ‘+’를 의미합니다.

,XZ XZ

,XX XX

,XZ XZ

,ZZ ZZ

X

Z

그림 4.1.4 평면변형 요소의 응력 및 변형률 부호규약

요소 응력 출력결과값은 다음과 같습니다.

XX : Effective normal stress in the GCS X direction

YY : Effective normal stress in the GCS Y direction

ZZ : Effective normal stress in the GCS Z direction

XX : Total normal stress in the GCS X direction

YY : Total normal stress in the GCS Y direction

ZZ : Total normal stress in the GCS Z direction

XZ ZX : Shear stress in the GCS X-Y direction

1 2 3, , : Effective principal stresses in the direction of principal axes, 1, 2, and 3

max : Tresca (maximum shear stress) = 3 2 2 1 3 1max , ,2 2 2

vm : von Mises stress = 2 2 21 ( ) ( ) ( )2 1 2 2 3 3 1σ σ σ σ σ σ

mean : Mean effective stress = XX YY ZZ

3

mean : Mean total stress = XX YY ZZ

3

편면변형 요소의 변형률 출력결과는 다음과 같습니다.

XX : Normal strain in the GCS X direction

YY : Normal strain in the GCS Y direction

ZZ : Normal strain in the GCS Z direction

XY YX : Shear strain in the GCS X-Y direction

1 2 3, , : Principal strains in the direction of principal axes, 1, 2, and 3

max : Tresca (maximum shear stress) = 3 2 2 1 3 1max , , 2 2 2

dev : Deviatoric strain = 2 2 21 2 2 3 3 1

29

vol : Volumetric strain = XX YY ZZ

pXX : Plastic normal strain in the GCS X direction

pYY : Plastic normal strain in the GCS Y direction

pZZ : Plastic normal strain in the GCS Z direction

p pXY YX : Plastic shear strain in the GCS X-Y direction

p p p1 2 3, , : Principal plastic strains in the direction of principal axes, 1, 2, and 3

p : Equivalent plastic strain = p 2 p 2 p 21 2 3

23

4.2 트러스 요소 (truss element)

4.2.1 일반사항

트러스 요소는 구조요소로서 주로 지반 구조물 중 앵커(anchor), 네일(nail), 락볼트(rock bolt) 및

휨거동을 무시한 말뚝(pile)을 모사하기 위해 사용됩니다. 또한 트러스 요소는 일반적으로 공간트

러스(space truss) 또는 대각부재(diagonal brace) 등을 모델링하는데 사용되며, 정적(선형/비선형)

해석 및 동적 해석에 모두 사용할 수 있습니다. SoilWorks에서는 트러스 요소는 2절점 저차 요소

만을 지원합니다.

트러스 요소는 회전강성이 없어서 양단의 연결절점에서 회전변위에 대한 자유도를 갖지 못하기

때문에, 트러스 요소들 또는 기타 회전자유도가 없는 요소끼리 접하는 절점에서는 해석과정에서

특이성 오류(singular error)가 발생됩니다. SoilWorks에서는 이러한 경우 해당절점의 회전자유도를

자동구속 시킴으로써, 특이성 오류의 발생을 방지하고 있습니다.

또한, 이 요소들이 회전방향 강성을 가진 보 요소와 연결될 때에도 별도로 특이성 오류를 방지하

기 위한 조치가 필요 없습니다.

4.2.2 요소형상, 요소좌표계, 절점번호 및 요소 자유도

트러스 요소의 요소형상 및 요소좌표계는 그림 4.2.1과 같습니다. 트러스 요소는 구조요소로서 지

반요소와 달리 축방향에 대한 요소좌표계만이 해석 및 결과 분석 시 주된 고려대상이 됩니다. 트

러스 요소의 요소좌표계 x 축 방향은 절점 1에서 절점 2 방향을 향하는 것으로 가정합니다.

요소자유도는 요소좌표계 x 축 방향으로 하나의 이동변위 자유도만 가집니다. 2차원 평면 상에

경사지게 배치된 트러스의 절점에 경계조건을 적용하는 경우 요소축 방향으로 경계조건을 적용해

야 정확한 해석을 수행할 수 있습니다. 요소축 방향의 경계조건 정의는 트러스 요소의 절점 국부

좌표계를 요소축과 동일하게 정의하여 적용할 수 있습니다.

,xx xx

,xx xx

X

Z

그림 4.2.1 트러스요소의 좌표계와 응력/변형률

4.2.3 요소 물성

트러스 요소는 구조 요소로서 기본적으로 요구하는 재료물성값은 선형 탄성 재료로 정의하는 경

우 다음과 같습니다.


포아송 비 (Poisson’s Ratio) :

단위 중량 (Weight Density) : t


또한 트러스 요소는 축방향(axial) 힘만을 전달하며, 일정한 초기간격(gap/hook distance)을 가진

인장전담(tension-only) 또는 압축전담(compression-only) 및 비선형 탄성(nonlinear elastic) 특성을

부여할 수 있습니다.

트러스 요소의 구성방정식은 식 (4.2.1)과 동일하며, 등방성 선형 탄성 재료의 경우 행렬형태로 나

타내면 다음과 같습니다.

xx xxE (4.2.1)

트러스 요소의 구조적 물성으로는 단면적(cross section area)과 스페이싱(spacing)이 있습니다.

SoilWorks에서는 구조해석에 많이 사용되는 여러 가지의 단면형상을 지원하고 있으며, 각 형상

별로 대표적인 단면 치수를 입력하면 자동으로 단면적을 계산하여 정의할 수 있도록 지원하고 있

습니다. 단면적은 트러스 요소의 길이를 따라 일정하다고 가정합니다. 다음은 SoilWorks에서 지

원하는 단면형상입니다.

Solid Round :

Solid Rectangle :

Pipe :

Box :

H-Section :

T-Section :

Rebar : 단면적 직접 입력

Strand : 단면적 직접 입력

사용자 정의 단면 : 단면적 직접 입력

스페이싱 기능은 2차원 보강재를 사용하여 3차원 형상의 입체적 보강효과를 고려하기 위한 기능

입니다. 예를 들어 동일한 물성의 트러스 간격이 2차원 상에서 두께 방향으로 1m 당 2개씩 배치

되어있을 경우 스페이싱 값은 0.5가 되며, 단위 두께에 대한 트러스 보강재의 강성은 두 배가 됩

니다. 해석에서는 트러스 보강재의 강성은 단위 두께에 대한 강성을 사용하여 계산합니다. 출력

시 부재력은 트러스 보강재 하나에 대한 부재력으로 출력되므로 부재력 검토 시 그대로 사용할

수 있습니다.


트러스 요소는 요소좌표계에서 x 방향 이동변위(translation) u 만을 가집니다.

i iuu (4.2.2)

임의의 좌표 x 와 이동변위 u 는 형상함수를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

2

1i i

ix N x

, 2

1i i

iu N u

(4.2.3)

1 21 1, 1 1

2 2N N

(4.2.4)

절점 변위와 변형률의 관계는 iB 에 의하여 식 (4.2.5)와 같이 나타낼 수 있습니다.

2

1i i

iε B u (4.2.5)

행렬 iB 는 형상함수의 미분값으로 다음과 같이 표현됩니다.

ii

Nx

B (4.2.6)

행렬 iB 를 이용하여 축방향 변형에 관계된 요소강성행렬을 표현하면 다음과 같습니다.

e

Tij i jL

dL K B DB , A ED (4.2.7)

여기서,

A : 단면적

eL : 요소 길이

식 (4.2.7)을 정리하여 트러스 요소의 강성행렬을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

1 11 1e

EAL

K (4.2.8)


트러스 요소의 해석결과로는 절점 1, 2 위치에서 요소내력(element force)과 응력 및 변형률을 출

력하고, 방향은 요소좌표계를 따릅니다.

,x xxN

,x xxN

그림 4.2.2 트러스요소의 결과 출력위치 및 성분

4.2.5.1 요소부재력 결과

출력되는 요소부재력은 축방향의 힘 ( )x xxN A 이고, 그림 4.2.2와 같이 인장응력이 작용할 경

우에 ‘+’ 부호를 가집니다. 일반적으로 양 끝단에서의 요소내력은 동일하지만 자중이 입력된 경우

에는 달라질 수도 있습니다.

Fx xN : 요소좌표 x 방향 축력


요소의 응력과 변형률은 트러스 요소가 2절점 요소이고 형상함수를 1차로 가정하기 때문에 길이

방향에 따라 일정한 값을 가집니다. 따라서 임의 점에서의 응력과 변형률은 그 요소 전체의 응력

과 변형률 값을 대표합니다. 응력은 축방향 응력 xx 가 출력되며, 변형률은 전체변형률 xx 과

재료 종류에 따라 소성변형률 pxx 가 출력될 수 있습니다.

Sx xx : 요소좌표 x 방향 축응력

Ex xx : 요소좌표 x 방향 축전체변형률

PEx pxx : 요소좌표 x 방향 축전체소성변형률

4.3 매립형 트러스요소 (embedded truss element)

4.3.1 일반사항

매립형 트러스 요소는 트러스 요소와 동일하게 주로 앵커, 네일, 락볼트와 같은 휨거동이 무시된

요소에 사용됩니다. 뿐만 아니라, 요소형상, 요소좌표계, 물성치 등 입력 변수는 트러스와 동일합

니다. 그리고 축방향에 따라서 일정한 초기간격을 가진 gap / hook과 허용하중을 가진 압축전담

또는 인장전담 및 비선형 탄성의 재료특성을 부여하는 것이 가능합니다.

일반 트러스 요소는 2차원 평면 변형률 요소와 같이 사용될 때 반드시 절점을 공유해야 하는 불

편함이 있습니다. 하지만 매립형 트러스 요소는 절점공유를 할 필요가 없이 지반요소인 평면 변

형률 요소나 벽체 또는 터널의 보요소에 맞닿도록 해주기만 하면 자동으로 계산에 반영되도록 하

기 때문에 편리하게 모델링을 수행할 수 있습니다.


매립형 트러스 요소와 사용이 가능한 모체요소(mother element)는 지반요소인 평면변형 요소이며,

다음과 같습니다.

평면 변형 요소

3절점/6절점 삼각형 요소 (Triangle)

4절점/8절점 사각형 요소 (Quadrilateral)

그림 4.3.1. 모체요소 내의 매립형 트러스 요소

정식화에 앞서 매립형 트러스 요소의 절점은 항상 모체요소 내에 존재하기 때문에 매립형 트러스

요소에 대한 수식은 아랫 첨자로 ‘tru’를 사용하고, 모체요소에 대한 수식은 아래첨자로 ‘mot’를

사용하여 구분하였습니다.

모체요소의 요소좌표계에서 x , y 방향의 이동변위(translation) u , v를 가집니다.

,i i imot mot motu vu (4.3.1)

모체요소와 트러스 요소 사이의 축 변환 행렬은 방향벡터 d로부터 산정할 수 있습니다.

1 2

1 2

0 00 0d d

d d

T (4.3.2)

이때, 트러스는 1축 요소이기 때문에 요소축에서의 x축에 대한 방향벡터만으로 변환행렬을 구성

할 수 있습니다.

1 2,d dd (4.3.3)

모체요소의 Isoparametric 좌표계에서 트러스요소의 절점좌표를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

,i i itru a (4.3.4)

따라서 모체요소 좌표계에서의 트러스 이동변위는 다음과 같이 산정할 수 있습니다.

1

1

,

,

mot

mot

Ni i i i

tru mot motiN

i i i itru mot mot

i

u N u

v N v

(4.3.5)

그리고 트러스 요소 좌표계에서의 트러스 이동변위는 변환행렬로부터 산정할 수 있습니다.

ˆ tru tru u T u (4.3.6)

절점 변위 ˆ truu 와 변형률 truε 의 관계는 변형률-변위 관계행렬 itruB 에 의하여 다음과 같이 나타


1

ˆtruN

i itru tru tru

iε B u (4.3.7)

이 때, 변형률-변위 관계행렬 itruB 는 형상함수의 미분값으로 다음과 같이 표현됩니다.

i trutru

tru

Nx

B (4.3.8)

매립형 트러스 요소강성행렬을 표현하면 다음과 같습니다.

tru

Tij tru mot tru mot truL

dL K B TN D B TN , A ED (4.3.9)

여기서, A는 단면적, truL 는 트러스 요소의 길이입니다.


트러스 요소의 해석결과로는 절점 I단과 J단에서 요소내력(element force)과 응력 및 변형률을 출

력하고, 방향은 요소좌표계를 따릅니다.

xx

xx

그림 4.3.2 매립형 트러스요소의 결과 출력위치 및 성분

4.3.3.1 요소부재력 결과

출력되는 요소부재력은 축방향의 힘 ( )x xxN A 이고, 3장 3.1절의 그림 3.1.2와 같이 인장응력

이 작용할 경우에 ‘+’ 부호를 가집니다. 일반적으로 양 끝단에서의 요소내력은 동일하지만 자중이

입력된 경우에는 달라질 수 있습니다.

Fx xN : 요소좌표 x 방향 축력


요소의 응력과 변형률은 트러스 요소가 2절점 요소이고 형상함수를 1차로 가정하기 때문에 길이

방향에 따라 일정한 값을 가집니다. 따라서 임의 점에서의 응력과 변형률은 그 요소 전체의 응력

과 변형률 값을 대표합니다. 응력은 축방향 응력 xx 가 출력되며, 변형률은 전체 변형률 xx 과

재료 종류에 따라 소성변형률 pxx 가 출력될 수 있습니다.

Sx xx : 요소좌표 x 방향 축응력

Ex xx : 요소좌표 x 방향 축전체변형률

PEx pxx : 요소좌표 x 방향 축전체소성변형률

4.4 보 요소 (beam element)

4.4.1 일반사항

보 요소는 구조요소로서, 단면치수에 비해 길이가 긴 휨을 받는 부재의 모델링에 주로 사용됩니

다. 요소의 특성 상 구조물의 모델링에 많이 사용되며, 지반 분야에서는 흙막이 벽체, 말뚝, 터널

라이닝, 암거 등의 지중 구조물을 모델링하는데 사용됩니다. 그리고 보 요소는 절점당 6개의 자유

도를 가지기 때문에, 자유도가 서로 다른 요소끼리 연결될 때 두 요소 사이에 넣어서 하중전달용

요소로도 사용될 수 있습니다.

보 요소의 정식화에는 Timoshenko beam theory (중립축에 수직한 단면은 변형 후에 평면을 유지

하지만, 중립축에 수직일 필요는 없다.)가 사용되었으며, 보의 전단변형을 고려할 수 있습니다. 전

단변형을 무시하고자 할 경우에는 단면특성을 입력할 때 전단면적을 ‘0(zero)’으로 입력하면 됩니

다. 길이에 대한 단면의 폭 또는 높이비가 대략 1/5 보다 커질 경우에는 전단변형에 의한 영향이

커지게 되므로 평면변형 요소에 탄성재료 물성을 적용하여 조밀한 요소망이 형성되도록 모델링하

는 것이 바람직합니다.

보 요소의 단면성질 중 비틀림 강성(torsional resistance)은 단면의 극관성 모멘트(polar moment

of inertia)와는 다르며(원형 또는 원통형 단면의 경우는 동일), 실험적 방법에 의해 결정되기 때문

에 비틀림 변형의 영향이 클 경우에는 주의해야 합니다.

그리고 절점자유도가 서로 다른 요소끼리 접하는 경우에는 강체 보 요소(rigid beam element)를

사용하면 효과적입니다. 일반적으로 강체 보 요소의 강성은 연산오류를 감안하여 인접한 요소의

탄성계수에 비해 대략 105~108배 정도의 값을 사용하는 것이 바람직합니다.

4.4.2 요소형상, 요소좌표계 및 요소자유도

요소자유도는 요소좌표계를 따라 절점당 세 개의 이동변위(translation) 자유도성분과 세 개의 회

전변위(rotation) 자유도성분을 가지게 됩니다.

요소좌표계는 절점 1번에서 2번방향을 요소축 x 로하고, 요소축 x 에서 전체좌표계 Z 축 방향

을 요소축 z 라 하며, 오른손 법칙을 사용하여 나머지 요소축 y 축을 정의합니다. 만약 x 축과

Z 축이 평행한 경우는 y 축을 전체좌표계 Y 축과 평행하고 하고 나머지 요소축인 z 축을 오른

손 법칙을 적용하여 정의합니다.

ˆy Z xe e e xe

ˆZe

xeye

z z ye e e

그림 4.4.1 요소좌표계의 정의

4.4.3 요소 물성

보 요소는 구조 요소로서 기본적으로 요구하는 재료물성은 선형 탄성 재료로 정의하는 경우 다음

과 같습니다.


포아송 비 (Poisson’s Ratio) :

단위 중량 (Weight Density) : t


보 요소의 구조적 물성으로는 단면물성과 스페이싱이 있습니다. SoilWorks에서는 구조해석에 많

이 사용되는 여러 가지의 단면형상을 지원하고 있으며, 각 형상 별로 대표적인 단면 치수를 입력

하면 자동으로 단면 물성을 계산하여 정의할 수 있도록 지원하고 있습니다. 다음은 보 요소의 단

면 물성 종류입니다.

단면적 : A

비틀림 상수 : xI

요소좌표계 y축에 대한 단면 2차 모멘트 : yI

요소좌표계 z축에 대한 단면 2차 모멘트 : zI

요소좌표계 y축에 대한 유효 전단 면적 : yA

요소좌표계 z축에 대한 유효 전단 면적 : zA

스페이싱 기능은 트러스 요소와 동일합니다.


SoilWorks에서 보 요소는 인장 및 압축, 전단, 굽힘, 비틀림 등의 거동에 대한 강성을 갖도록 정

식화(Timoshenko beam theory)되어 있습니다. 편의상 X-Z 평면상에서 거동하는 2D 보에 대해서

정식화 과정을 설명합니다.

요소의 변형은 다음과 같이 독립적으로 가정됩니다.

and yu z x w w x (4.4.1)

여기서,

u : x방향 변위,

z : z방향 좌표,

y : y축에 대한 회전각,

w : z방향 변위

변형률과 곡률은 다음과 같이 주어집니다.

yb x y

s xz y

u z zx xwx

(4.4.2)

여기서,

b : 휨으로 인한 축변형률,

s : 전단변형률,

y : y축에 대한 곡률

모멘트와 곡률, 전단력과 전단변형률장의 구성관계는 다음과 같습니다.

yy b y

y s xz s xz

M D EIx

V D GA

(4.4.3)

여기서,

bD : 휨강성

sD : 전단강성

E : 탄성계수,

I : 단면2차 모멘트,

G : 전단계수,

sA : 전단면적.

2절점 보에서 회전에 대한 형상함수는 다음과 같이 가정됩니다.

1 1 2 2 3 3

21 2 3

1 1, , 12 2

y y y yN N N

N N N

(4.4.4)

이 형상함수를 이용하면 곡률은 식 (3.3.2)로부터 다음과 같이 계산됩니다.

31 21 2 3

1 31 21 2 3

1

11 1 31 23

2

2

3

0 0

y y y y

y y y

yy

y

b b y

NN Nx x x

NN NJ

wNN N

J Jw

B

B u

(4.4.5)

여기서, 2

x lJ

(Jacobian operator)

또한, 전단변형률장은 다음과 같이 계산됩니다.

2

2

1y y ybxz

s s s

V M DD D x D x

(4.4.6)

이제 회전각 y 를 다음과 같이 요소 길이에 대한 이차함수로 가정합니다.

1 2 31 4 1y y y yx x x xl l l l

(4.4.7)

식 (4.4.7)을 (4.4.6)에 대입하면, 전단변형률장은 다음과 같습니다.

3 3 3 3 2 2

2 12 12, 3

bxz s y y

s s

D EIBD l GA l (4.4.8)

그런데, 전단변형률장은 다음의 구속조건을 만족해야 합니다.

0

0l

xz xz dx (4.4.9)

따라서, 다음 조건식이 성립합니다.

2 1 1 2 3 32 1 0

2 2 3y y yl lw w l (4.4.10)

이제 중앙의 가상 절점의 회전각은 다음과 같이 나머지 절점회전각의 항으로 표현될 수 있습니다.

1

13

23

2

1

3

1 1 12 2 213

2 1 , 1 13 2 2

yy

y

w

w

w

l lwl

l lA l

Au

A A A

A A

(4.4.11)

식 (4.4.5)와 (4.4.8)로부터 곡률과 전단변형률장은 다음과 같이 표현됩니다.

y b b b b b

xz s s s

B B

B

B u Au B A u B u

Au B A u B u (4.4.12)

여기서,

bB : 곡률-변위 행렬

sB : 전단변형률장-변위 행렬

강성행렬은 다음과 같이 구해집니다.

0 0,

b sl lT T

b b b b s s s sD dx D dx

K K K

K B B K B B (4.4.13)

이 적분은 대수학적으로 계산되고 최종적인 보 강성은 다음과 같습니다.

3 2 3 2

3 32

33 2

3

12 6 12 6

4 6 21 14 2

12 61

4Sym. 14

l l l l

l llEI

l l

l

K

(4.4.14)

이상의 정식화는 x, y, z가 보의 요소좌표계와 일치하는 좌표계에서 수행한 것이므로, 먼저 강성행

렬의 조합 전에 전체좌표계로 변환하는 것이 필요합니다.


보 요소의 결과는 요소 부재력과 단면 응력이 있습니다.

4.4.5.1 요소 부재력 출력

요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 4.4.2와 같고, 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미합

니다.

Fx : 요소좌표 x방향 축력

Fy, Fz : 요소좌표 , zy 방향 전단력

Mx : 요소좌표 x에 대한 비틀림 모멘트

My, Mz : 요소좌표 , zy 에 대한 휨 모멘트

xN

zQ

yM

zQ

yM

xN

그림 4.4.2 보 요소의 요소좌표계 및 요소내력(또는 응력) 출력치의 부호규약

4.4.5.2 요소 응력 출력

부재응력의 부호규약은 요소내력과 동일합니다. 단, 휨모멘트에 의한 응력의 경우는 인장일 때 ‘+’

그리고 압축일 때 ‘-’ 부호를 가집니다. 응력을 출력하는 위치는 그림 4.4.3(a)에 나타난 것과 같이

최외곽의 화이버 1, 2, 3, 4에서 입니다. 보의 단면에 작용하는 수직응력은 그림 4.4.3(b)와 같이

휨응력과 축응력의 조합응력으로 나타낼 수 있으며, 전단응력은 그림 4.4.3(c)와 같이 단면 내의

값을 모두 평균하여 하나의 값으로 출력합니다.

x yz

x y

z

xz

그림 4.4.3 보 요소의 응력

Fx : 축력

Fz : 전단력

My : 휨모멘트

Sax : 요소좌표 x방향 축응력 xx

Ssz : 요소좌표 z 방향 전단응력 xz

Bending Sbz+ : 요소좌표 y축의 휨모멘트 yM 응력(+방향) [위치 3]

Bending Sbz- : 요소좌표 y축의 휨모멘트 yM 응력(-방향) [위치 4]

Combined Max : 위치 1, 2, 3, 4 중에서 최대, 최소 조합응력

Combined 1 : 위치 1에서의 조합응력 (축응력 + 휨응력)

Combined 2 : 위치 2에서의 조합응력 (축응력 + 휨응력)

4.5 계면 요소(Interface element)

4.5.1 일반사항

SoilWorks에서는 물성이 서로 다른 재료나 큰 강성차를 갖는 재료간에 발생하는 미끄러짐을 허용

할 수 있도록 Goodman의 접촉면 요소가 사용됩니다. 보통의 등매개변수(isoparametric) 요소를

사용하여 강성을 적절히 선택하면 이러한 모델링이 가능합니다. 그러나, 계면 요소는 mesh를 세

분화할 필요 없이 얇은 요소의 사용을 가능하게 합니다.

계면 요소를 따른 전단 응력도는 사용자에 의해 정의된 경계면의 전단강도에 의해 제한되며,

Coulomb의 마찰 항복기준이 전단응력도가 최대 전단강도를 넘는지 판단하기 위해 사용됩니다.

이때 최대 전단강도를 넘게 되면, 소성이론에 의해 소성흐름이 발생됩니다.

또한, 요소가 인장을 받는지에 대하여 검토합니다. 인장을 받는 상태이면 수직강성과 전단강성 모

두 0이 되며, 계면은 외력에 저항을 할 수 없는 것으로 가정하여 계면활동에 의한 절리를 모사할

수 있습니다.

계면 요소에 대한 절점 좌표는 요소의 길이나 너비 차원을 따른 절점의 두 열에 대하여 같습니다.

그리고 각 절점에 연결된 평면 또는 고체 요소와 같은 개수의 자유도를 가집니다.

계면 요소는 일반적인 유한요소 정식화 과정을 사용하지만, 요소의 두께는 0이 됩니다. 두께가 0

인 계면 요소를 수치 해석적으로 정의하기 위해서 벌칙강성(penalty stiffness)을 적용합니다. 만약

벌칙강성이 너무 크게 되면 수치적인 문제가 야기되고, 너무 적은 경우에도 계면요소 상대변위의

정확한 결과값을 얻을 수가 없습니다. 그러므로 사용자는 적절한 벌칙강성값을 입력하여야 합니

다. SoilWorks에서는 벌칙강성을 10 / v k E d 와 같이 추천합니다. 이때 E 의 값은 모델의 요

소 중 가장 작은 영 계수이고, vd 는 요소의 가상두께입니다. 벌칙강성의 정의에 사용되는 가상

두께는 일반적으로 0.1 ~ 1의 값을 사용합니다. 가상두께는 말 그대로 실제적인 요소의 두께가 아

니라 벌칙강성의 단위와 크기를 조절해주는 scale factor의 개념으로 사용되게 됩니다. 이유는 탄

성계수의 단위는 2/N m 이지만 벌칙강성의 크기는 3/N m 이 되어야 하기 때문입니다.

수치해석을 수행하기 위하여 벌칙방법에 근거하여, 상대변위(relative displacement) u 와 계면력

(traction) t의 관계는 식 (4.5.1)과 같은 구성방정식으로 정의합니다.

t D u (4.5.1)

t , D , u 값은 식 (4.5.2)와 같으며, 경계면 상에 존재하는 적분점에서의 상대변위와 계면력을

그림 4.5.1과 같이 나타낼 수 있습니다.

x

y

tt

t , 0

0x

y

kk

D , x

y

uu

u (4.5.2)

yu

xu

yt

xt

(a) 상대변위 (b) 계면력

그림 4.5.1 선형 계면요소에서 상대변위와 계면력

여기서,

점선 : 경계면

xt : 법선 계면력 [ 2/N m ]

yt , zt : 접선 계면력 [ 2/N m ]

xu : 법선 상대변위 [m ]

yu : 접선 상대변위 [m ]

식 (4.5.2)의 선형 구성방정식에서 상대변위와 계면력은 각 방향에 대해서 상관관계를 가지지 않

습니다. 즉 법선방향의 계면력은 접선방향의 거동에 아무런 영향을 미치지 않습니다.

4.5.2 요소 좌표계, 요소 형상 및 요소 자유도

SoilWorks에서 선형 계면 요소(line interface element)는 그림 4.5.3과 같이 4절점의 저차와 6절점

의 고차요소 두 가지를 제공합니다. 선형 계면 요소는 평면요소와 평면요소 사이 또는 평면요소

와 선형요소 사이에서 탈부착이나 슬립 등의 상대거동을 나타내기 위해 사용됩니다.

xz

ytopyutop

xutopzu

botxu

botzu

botyu

botxu

botzu bot

yu

topyutop

xu

topzu

x zy

그림 4.5.3 선형 계면요소

4.5.3 요소 물성

계면 요소의 물성은 재료물성이 있으며, 구조적 물성에서 선형 계면 요소의 경우는 단위 두께 1

을 사용하도록 내부적으로 정의합니다. 다음은 계면 요소의 재료물성입니다.

xk : 요소좌표계 x 방향의 강성계수

yk : 요소좌표계 y 방향의 강성계수


요소좌표계에서 계면력은 요소좌표계에서의 계면 요소 상대변위 xΔu , yΔu 와 강성행렬 D 로부

터 유도될 수 있습니다.

x x

y y

t ut u

D (4.5.3)

계면 요소의 변형률 에너지(strain energy) 식을 변분하여 얻어지는 강성행렬 식은 다음과 같습니

다.

Tinter inter interd

K B DB (4.5.4)

그리고 내력(internal force)식은 다음과 같습니다.

Tinter inter d

F B t (4.5.5)

식 (4.5.4)와 (4.5.5)를 수치적분 식으로 다시 전개하면 다음과 같은 계면 요소의 강성행렬의 식으

로 나타낼 수 있습니다.

1

detipN

j T j j jinter inter inter

jK B DB J W (4.5.6)

1

detipN

j j jinter inter

jF B t J W (4.5.7)

여기서,

ipN : 계면요소에 대한 적분점의 수

interB : 내력 산정 시 상대변위-요소변위 행렬

선형 계면 요소의 구성관계를 정의하는 강성행렬 D 는 식 (4.5.2)와 동일합니다.

선형 계면 요소의 임의 점에서의 전체 좌표는 형상함수를 이용하여 식 (4.5.6)과 같이 정의합니다.

1 1 2 2 5 5

3 3 4 4 6 6

1 1 2 2 5 5

3 3 4 4 6 6

( )

( )

( )

( )

bot bot bot bot bot bot bot

top top top top top top top



x N x N x N x

x N x N x N x

y N y N y N y

y N y N y N y

(4.5.8)

여기서, 괄호 안의 좌표는 고차요소를 나타냅니다. 그리고 어떤 점에서의 전체 변위는 식 (4.5.9)

와 같이 나타냅니다.

1 1 2 2 5 5

3 3 4 4 6 6

1 1 2 2 5 5

3 3 4 4 6 6

( )

( )

( )

( )





u N u N u N u

u N u N u N u

v N v N v N v

v N v N v N v

(4.5.9)

선형 계면 요소에 대한 등매개변수 형상함수는 식 (4.5.10)과 같이 정의됩니다.

1 3

2 4

1 121 12

bot top

bot top

N N

N N

(4.5.10)

그리고 고차요소는 식 (4.5.11)과 같이 나타난다.

1 3

2 4

5 6

2

1 12

1 121

bot top

bot top

bot top

N N

N N

N N

(4.5.11)

(5, 6절점은 선형 계면 요소의 고차 절점입니다.)

SoilWorks에서는 상단요소와 하단요소 사이에 존재하는 계면에 적분점 위치가 존재하며, 이때 적

분법은 뉴튼-코츠법(Newton-Cotes method)을 사용하기 때문에 적분점 위치는 절점에 존재합니다.

계면 요소의 경우 가우스 적분법을 사용하는 경우 적분점의 위치가 요소 내에 존재하여 정확한

경계면의 절점 거동을 모사할 수 없으며, 그 결과가 진동하는 경향을 나타냅니다. 따라서 정확한

거동적 모사를 위하여 뉴튼-코츠법을 사용합니다.


계면 요소의 결과로는 계면력과 상대변위 및 소성 상대변위가 있으며, 다음과 같습니다.

계면력

xt : 요소좌표계 x 방향 계면력

yt : 요소좌표계 y 방향 계면력

상대변위

xu : 요소좌표계 x 방향 상대변위

yu : 요소좌표계 y 방향 상대변위

pxu : 요소좌표계 x 방향 소성상대변위

pyu : 요소좌표계 y 방향 소성상대변위

4.6 말뚝/앵커/네일/락볼트 요소(pile/anchor/nail/rock bolt

element)

4.6.1 일반사항

지반에 말뚝 기능을 모사하기 위해서는 보 요소를 지반요소의 절점에 공유시켜서 모델링을 하고

보 요소 절점과 지반요소의 절점을 선형 계면 요소를 사용하여 분리시켜서 모델링을 수행해야 했

습니다. 이러한 복잡한 모델링 작업을 극복하기 위해 말뚝 요소는 지반요소와 보 요소의 절점공

유 없이 보 요소가 지반요소에 매립되어있는 형태로 만들어지며, 보 요소의 절점과 지반요소의

매립된 가상 절점 사이에 선형 계면 요소를 넣어서 지반의 비선형 거동을 쉽게 모사할 수 있도록

해줍니다.

이 요소는 앵커/네일/락볼트 요소로도 활용이 가능합니다. 일반적인 말뚝과 앵커/네일/락볼트 요

소의 차이점은 단순히 계면상에서 정의되는 재료거동만이 존재합니다. 용어의 복잡성을 피하기

위해 이후로는 말뚝 요소로 명칭을 통일하도록 합니다.

SoilWorks에서의 말뚝 요소란 지반에 매립된 보 요소와 지반 사이의 거동을 연결해주는 선형 계

면 요소를 말하며, 이를 도식화하면 그림 4.6.1과 같습니다.

그림 4.6.1 Pile element

4.6.2 요소형태, 요소좌표계 및 요소 자유도

요소의 형태는 그림 4.6.1에서와 같이 보 요소의 절점과 지반요소의 매립된 위치의 가상절점 사

이에 생성되는 특별한 형태의 선형 계면 요소입니다. SoilWorks에서는 가상 절점 두 개와 실제

보 요소의 절점 두 개를 사용하여 만들어진 저차 형태의 4절점 선형 계면 요소를 지원하고 있습

니다.

요소좌표계는 그림 4.6.2의 i-end에서 j-end 방향을 요소축 x 로 하고, 요소축 x 에서 전체좌표계

Z 축 방향을 요소축 y 로 정의합니다. 만약 x 축과 Z 축이 평행한 경우는 y 축을 전체좌표계

X 축과 평행하게 정의하여 사용합니다.

요소 자유도는 그림 4.6.2와 같습니다.

xy

그림 4.6.2 말뚝요소의 좌표계

4.6.3 요소물성

말뚝 요소는 강체거동으로 가정하는 경우 다음과 같은 재료물성을 갖습니다.

xk : 요소좌표계 x 방향 강성계수

yk : 요소좌표계 y 방향 강성계수

SoilWorks에서는 말뚝 요소의 거동에서 강체거동 이외에도 깊이 별로 강도와 강성이 변화하도록

설정할 수 있습니다. 자세한 사항은 “유한요소 재료모델” 매뉴얼을 참조하시기 바랍니다.


말뚝 요소가 매립될 수 있는 평면변형 요소는 저차/고차 요소를 모두 사용할 수 있습니다. 사용할

수 있는 평면변형 요소의 종류는 다음과 같습니다.

3절점/6절점 삼각형 요소

4절점/8절점 사각형 요소

사용할 수 있는 말뚝을 모사하기 위한 선형요소는 다음과 같습니다.

2절점 트러스 요소

2절점 보 요소

계면 요소의 전체좌표계는 다음과 같습니다.

X ZX (4.6.1)

계면 요소의 요소좌표계는 다음과 같이 전체좌표계를 사용하여 나타낼 수 있습니다.

1 1 1 2 2 2, ,x X Z x X Zx (4.6.2)

그림 4.6.3 지반 요소와 선 요소의 접촉면 요소 종류

전체 좌표축은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

IX (4.6.3)

요소좌표계는 다음과 같이 나타낼 수 있고 직교행렬입니다.

1 11 22 21 2

X XX X

x (4.6.4)

요소좌표계를 사용하여 절점 좌표는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

1 1 2 21 1 2 2 1 2

1 11 1 2 21 2

1 1 2 2 1 22 21 2

, ,

, ,T

x x x x x x

X Xx X X x X X

X X

x (4.6.5)

1차 형상함수의 모양과 식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

그림 4.6.4 1 차 형상함수의 모양

1

2

1 121 12

N

N

(4.6.6)

Gauss 적분점에서의 형상함수를 lkN 과 같이 나타낼 때, k 는 절점번호에 따른 번호이고, l 은

적분점의 번호입니다. 적분점이 2개가 있다면 1,2l 입니다. 절점의 좌표는 kia 과 같이 절점번호

k 와 자유도 번호 l를 사용하여 나타낼 수 있습니다. 평면변형 요소의 경우 자유도는 변위 자유

도 2개가 사용됩니다.

3 3

1 21 1

,l k l k lk k

k ka N a N

a (4.6.7)

la 은 요소 좌표계에서 선 요소의 Gauss 적분점 좌표입니다. 평면변형 요소의 Isoparametric 좌

표계에서 선 요소의 적분점 좌표를 알고 있으므로 평면변형 요소의 절점좌표를 사용하여 평면변

형 요소의 요소좌표계에서 선 요소의 적분점 좌표계를 알 수 있습니다.

Isoparametric 좌표계에서의 좌표를 얻어내면 다음과 같습니다.

,l l l α (4.6.8)

만약 기본요소가 6절점 삼각형요소라고 한다면 형상함수를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

6 lkN (4.3.8)

여기서, k 는 형상함수의 지수이고, l은 적분점의 지수입니다. 6절점 삼각형에 2절점 말뚝이 지나

가게 되는 경우 다음과 같이 상대변위-변위 행렬을 구성할 수 있습니다.

6 61 6 1 2

6 61 6 1 2

0 0 0 00 0 0 0

l l l ll

l l l l

N N N NN N N N

B

(4.3.9)

Plane Strain-Beam interface 요소의 기울기 강성행렬은 다음과 같습니다.

np

lll

lTlt W

1det JTBBK (4.3.11)

여기서, tK 는 기울기 강성, lW 은 무게, T 는 상대변위-마찰력 관계행렬입니다.

말뚝 요소에서 사용할 수 있는 재료모델 선형탄성(Linear Elastic)과 비선형탄성(Nonlinear Elastic)

두 종류의 재료모델이 있으며, 상대변위-마찰력의 관계행렬은 다음과 같이 구성됩니다.

0

0x

y

kk

D (4.3.12)

수직응력( )과 전단응력( )은 수직과 접선 변형률에 대한 구성방정식에 의해 이루어집니다. 그

리고 3차원 구조물의 경우 한 개 성분의 수직방향과 두 개 성분의 접선방향의 변형률에 의해 구

성됩니다.

x x

y y

z z

t ut ut u

D (4.3.13)


말뚝 요소의 결과는 경계면에 발생되는 계면력(traction)과 상대변위가 있습니다.





4.7 말뚝 단 요소(pile tip bearing element)

4.7.1 일반사항

Pile tip bearing은 기존의 Pile 요소에 추가되는 기능으로 기존의 Pile 요소가 지반-1차원 요소의

연결역할을 해왔다면, Pile tip bearing은 지반-1차원 요소의 선단 연결역할을 하게 됩니다.

SoilWorks에서 사용할 수 있는 말뚝요소의 말뚝 단 기능을 활성화 시키면, 그림 4.7.1과 같이 말

뚝요소와 유사하게 지반-절점 계면 요소(Pile tip bearing)를 추가한 것과 같습니다.

beam

or t

russ

soil element

virtual node

real node

Pile tip bearing element(

)

beam

or t

russ

soil element

그림 4.7.1 말뚝 단 거동의 선택 시 말뚝요소의 구성개념도

4.7.2 요소형태, 요소좌표계 및 요소자유도

아래 그림 4.7.2에서와 같이 말뚝 단 요소는 4절점과 8절점 사각형 요소 및 3절점과 6절점 삼각

형 요소에도 사용할 수 있습니다.

그림 4.7.2 여러 형상의 요소에 대한 말뚝 단 요소의 적용

다음 그림 4.7.3은 말뚝 단 요소의 요소좌표계를 나타냅니다. 먼저 보 요소나 트러스 요소의 축방

향을 x 축으로 정의하고, 면외 방향과 x 축 방향에 대한 외적 방향이 y축이 됩니다.

yxx

그림 4.4.3 말뚝 단 요소의 요소 좌표계

4.7.3 요소물성

말뚝 단 요소는 강체거동으로 가정하는 경우 다음과 같은 재료물성을 갖습니다.

xk : 요소좌표계 x 방향 강성계수

yk : 요소좌표계 y 방향 강성계수

SoilWorks에서는 말뚝단 요소의 거동에서 강체 거동 이외에도 강도감소곡선을 따르는 거동을 정

의할 수 있습니다. 자세한 사항은 Material 매뉴얼을 참조하시기 바랍니다.


말뚝 단 요소는 점계면요소(point interface element)와 비슷한 수식전개 과정을 가지며, 모체요소

와 점요소간의 점계면요소를 말뚝 단 요소로 정의합니다. 수식전개의 편의성을 위해서 모체요소

를 2차원 요소로 가정합니다.

말뚝 단 요소의 이동변위를 정의하기 위해서는 모체요소의 변위 imotu 와 점요소의 변위 i

ptu 가 먼

저 정의되어야 합니다.

,

,

i i imot mot mot

i i ipt pt pt

u v

u v

u

u (4.7.1)

말뚝 단 요소의 축 변환 행렬은 1차원 요소이므로 사용자에게 입력 받지 않고, 편의성을 위해 말

뚝요소의 변환 행렬과 동일한 값을 사용합니다.

tip pileT T (4.7.2)

모체요소의 등매개 좌표계에서 말뚝 단 요소의 절점좌표를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

,i i itip iso iso a (4.7.3)

그리고 이를 모체요소의 등매개 좌표계에서 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.

,iso iso

그림 4.7.4 모체요소의 등매개좌표계 상에서 말뚝 단 요소의 좌표

그리고 말뚝 단의 형상함수는 말뚝 단 요소의 위치에서의 모체요소의 형상함수와 점요소의 형상

함수 차이로 나타낼 수 있습니다.

, ,i i i i i itip mot iso iso pt ptN N N (4.7.4)

따라서 모체요소 좌표계에서 말뚝 단 요소의 상대변위는 다음과 같이 산정할 수 있습니다.

,Ti i i

tip tip mot pt u N u u (4.7.5)

말뚝 단 요소 좌표계에서의 상대변위는 변환행렬로부터 산정할 수 있습니다.

ˆ tip tip tip u T u (4.7.6)

말뚝 단 요소의 강성행렬을 표현하면 다음과 같습니다.

tip

T

ij tip tip tip tip tipVdV K T N D T N (4.7.7)

이때, D 는 구성행렬로써 사용자로부터 입력 받는 축방향의 강성으로부터 정의됩니다. 말뚝 단은

1차원 요소이지만, 모체요소가 2차원 요소이므로 차수를 맞추기 위해 2X2로 표시하며, 말뚝의 축

방향 외의 강성은 0(zero)으로 정의합니다.

00 0nk

D (4.7.8)

계면력(traction) tipt 은 상대변위(relative displacement) tipu 와의 관계식으로 아래와 같은 구성방

정식으로 정의할 수 있습니다.

ˆ ˆtip tip

x xt u

t D u

D (4.7.9)


말뚝 단 요소의 결과는 경계면에 발생되는 계면력(traction)과 상대변위가 있습니다.





4.8 토목섬유 요소(geogrid element)

토목섬유란 모래, 흙, 자갈 등의 환경에 사용되는 고분자 재료로서 토목공사의 시공기술과 밀접한

관계가 있는 섬유제품이며, 토사의 세굴 방지와 여과의 목적으로 이용되었다가 그 후에는 지반의

분리, 보강 또는 배수의 기능으로 널리 이용되어 왔으며 최근에는 방수, 균열방지, 지반구조물 보

호, 충격흡수 등의 목적으로 사용되고 있습니다.

토목섬유는 휨강성은 없지만, 축강성을 가지는 얇고 편평한 구조물이며, 압축에는 견디지 못하고

오직 인장력만을 받을 수 있습니다. 평면 상에서는 선형 형태로 2절점 저차 형태로 트러스 요소

와 동일한 형태로 사용할 수 있습니다.

토목섬유 요소는 트러스 요소와 동일한 요소를 사용하며, 재료거동은 tension only를 사용합니다.

구조적 물성은 트러스 요소에 적용되는 단면적에서 단위 폭(1)을 사용한다고 가정하기 때문에 두

께만을 입력 받습니다.

4.9 탄성 연결 요소(elastic link)

탄성연결요소는 두 절점을 사용자가 입력한 강성으로 연결하는 기능이며, 강성을 제외한 구조적

특성은 가지고 있지 않습니다. 탄성연결요소의 좌표계 방향은 그림 4.9.1과 같습니다. 탄성연결요

소는 인장전담(tension-only)이나 압축전담(compression-only) 특성을 부여할 수 있는데, 이러한

경우에는 요소좌표계 x 방향으로만 강성을 입력할 수 있습니다. 탄성연결요소의 입력은 각각 3방

향의 이동(translation) 및 회전(rotation) 강성으로 구성되어 있습니다. 탄성연결요소의 강성 크기는

이동 방향은 단위길이당 힘, 회전방향은 단위각도(radian)당 모멘트로 입력합니다.

탄성연결요소는 교량구조물의 상부와 하부 교각부를 연결해주는 탄성받침이나, 압축전담 특성을

갖는 지반 경계조건에 적절하게 사용할 수 있습니다. 또한 강체 연결기능을 선택하면 rigid link와

같이 두 절점을 강체로 연결할 수도 있습니다.

x

그림 4.9.1 탄성연결요소의 좌표계

4.10 강체 연결 요소(Rigid link)

강체연결요소는 구조물의 기하학적(geometric) 상대거동을 상호 구속하는 기능입니다. 기하학적

상대거동의 구속은 임의 절점의 자유도에 한 개 또는 그 이상의 절점 자유도를 종속시킴으로써

이루어집니다. 여기서 임의 절점을 주절점(master node)이라 하고 자유도가 종속되는 절점을 종속

절점(slave node)이라 합니다. 강체연결요소에 의한 주절점과 종속절점의 상호구속방정식은 식

(4.10.1)과 같습니다.

Xs Xm

Zs Zm

Ys Ym

U UU UR R

(4.10.1)

여기서,

,Xs ZsU U : 종속절점의 전체좌표계 , ,X Y Z 방향 이동변위

,Xm ZmU U : 주절점의 전체좌표계 , ,X Y Z 방향 이동변위

YsR : 종속절점의 전체좌표계 , ,X Y Z 방향 회전변위

YmR : 주절점의 전체좌표계 , ,X Y Z 방향 회전변위

강체연결요소는 두 개의 자유도가 서로 종속되어있는 것으로써 지반 모델링 시 계면요소가 활성

화되기 이전의 시공단계에서 지반의 거동을 연속적으로 표현하기 위해 주로 사용됩니다.

강체연결요소는 종속절점의 변위가 항상 주절점으로 설정된 절점의 변위를 따르도록 되어있습니

다.

4.11 절점 스프링(Point spring)/감쇠(Damping)

절점스프링은 모델의 경계부분에 위치한 인접구조물 또는 지반경계조건 등의 탄성 강성을 고려할

때, 혹은 자유도가 부족한 요소(트러스, 평면응력 요소 등)가 상호 접합될 경우에 발생할 수 있는

특이성 오류(singular error)를 방지하고자 할 때 사용됩니다.

절점스프링은 절점당 전체좌표계 기준의 3개 자유도(이동방향 2개 성분, 회전방향 1개 성분)에 대

해 입력이 가능합니다. 이동방향 강성은 단위길이당 힘으로 입력하고, 회전방향 강성은 단위각도

(radian)당 모멘트로 입력합니다. 지반을 모델링할 때는 지반반력계수(modulus of subgrade

reaction)에 해당절점의 유효면적(effective area)을 곱한 강성값을 사용합니다.

절점감쇠는 절점의 감쇠 스프링을 입력하는데 사용됩니다. 지반의 점성 경계조건 모델링에 많이

사용되며, 절점당 3개의 자유도(이동방향 2개 성분, 회전방향 1개 성분)에 대해 입력이 가능합니

다. 절점 감쇠는 특성상 일반 정적해석에는 반영되지 않고 동해석의 경우에만 적용됩니다.

절점 스프링과 절점 감쇠의 좌표축은 기본적으로는 전체좌표계를 따르지만 절점좌표계가 선언되

어 있는 경우에는 절점좌표계를 기준으로 합니다.

그림 4.11.1 절점 스프링/감쇠의 좌표계

Par

t III

|

Slo

pe S

tabi

lity


Soi

lWor

ks


Slope Stability

Chapter 1

Chapter 2

Chapter 3

Chapter 4

사면안정 해석

강도감소법

응력해석법

한계평형법

암반사면 한계평형법

Part III

Par

t II

|

GeoXD A

nalysis

유한

요소

법

Analysis Reference

Contents

Slope Stability 사면안정 해석 / 001

Chapter 1 강도감소법 / 005

1.1 일반사항 / 005

1.2 이론적 배경 / 007

1.3 최소안전율 계산 방법 / 008

Chapter 2 응력해석법 / 011

2.1 일반사항 / 011

2.2 안전율 산정방법 / 012

2.3 가상활동면을 따른 응력의 적분 / 013

Chapter 3 한계평형법 / 015

3.1 일반사항 / 015

3.2 여러 가지 해석법 / 016

3.2.1 Fellenius 법 / 016

3.2.2 Simplified Bishop 법 / 017

3.2.3 Simplified Janbu 법 / 019

3.2.4 Spencer 법 / 020

3.2.5 Morgenstern-Price 법 / 021

3.2.6 Sarma 법 / 022

3.2.7 해석 방법의 비교 / 023

3.3 사면 파괴면의 정의 / 024

3.3.1 원호 파괴면 / 025

3.3.2 자동 원호 파괴면 정의 / 030

3.3.3 다중 선형 파괴면 / 034

3.3.4 원호절단선 / 036

3.3.5 인장균열 / 037

3.4 절편 분할 / 039

3.4.1 원호 파괴면의 절편 / 039

3.4.2 다중 선형 파괴면의 절편 / 042

3.5 하중 / 044

3.5.1 자중 / 044

3.5.2 선하중 / 045

3.5.3 정적지진 하중 / 048

3.6 지반 재료의 정의 / 049

3.6.1 깊이에 따른 점착력의 변화 / 049

3.6.2 비선형 옵션 / 050

3.6.3 비등방 조건 / 051

3.7 보강재 / 052

3.7.1 Anchor / 052

3.7.2 Nail / 054

3.7.3 Strip & Fabric / 063

3.7.4 Strut / 064

3.8 결과연동해석을 이용한 간극수압 산정 / 065

3.8.1 파괴면에서의 간극수압 및 수위결정 / 065

Chapter 4 암반사면 한계평형법 / 067

4.1 일반사항 / 067

4.2 파괴유형별 해석법 / 068

4.2.1 평면파괴 / 068

4.2.2 쐐기파괴 / 069

4.2.3 안정성 평가 / 070

4.3 지반재료특성 / 072

4.3.1 지반재료의 정의 / 072

4.3.2 거칠기와 충전물 고려 / 073

4.4 하중 / 075

4.4.1 수압 / 075

4.4.2 정적지진하중 / 078

4.4.3 외부하중 / 079

4.5 보강재 / 080

부록 / 059

A 확산폭과 확산각의 정의 / 081

B 보강재의 분배율 / 082

사면안정 해석

SoilWorks 1

성토사면, 굴착사면의 안정해석은 지반공학에서 가장 빈번하게 다루어지는 문제들 중에 하나입니

다. 사면은 중력에 의한 자중의 위치에너지를 항상 가지고 있는 상태이며, 여기에 간극수압, 재하

중, 지진, 파력 등의 외력이 작용하면 사면의 안정은 크게 영향을 받습니다. 이때 자중 및 외력에

의해 발생되는 사면 내부의 전단응력이 사면 토질이 갖고 있는 전단강도보다 크게 되면 사면파괴

가 발생합니다. 이와 같이 전단응력과 전단강도에 따라 사면파괴에 대한 안정성을 계산에 의하여

검토하는 것을 사면안정 해석이라 합니다.

이러한 사면안정 문제를 해석하는 경우에는 변형과 안정성을 분리시켜 각각의 해석법에 의하여

적용, 분석해 왔습니다(Duncan, 1984; Huang, 1983; Brunsden 등, 1984). 그러나, 실제 지반의

붕괴현상은 서서히 변형이 증대되어 국부적인 영역에 대변형이 발생되며, 변형과 붕괴과정은 분

리되지 않고 진행적인 파괴에 이르는 과정을 거치는 것을 알 수 있습니다(Chowdhury, 1978;

Griffiths, 1993). 따라서, 지반의 안정해석에 있어서 초기변형부터 붕괴에 도달할 때까지 연속적으

로 추적할 수 있는 해석법의 확립이 중요합니다.

s

SF

T=

그림 1 사면파괴 모식도

SoilWorks 2

Slope Stability Analysis

사면안정 해석법으로는 다음과 같은 방법들이 제안되어 있습니다.

한계평형이론(limit equilibrium theory)에 의한 일체법(mass procedure)과 절편법(slice method)

강소성론에 의한 극한해석법(limit theory)

탄소성이론에 의한 유한요소법(finite element method)

한계평형해석은 간단한 해석이론과 현재까지 많이 적용된 사례 등을 통하여 오래된 이론임에도

불구하고 가장 많이 사용되고 있습니다. 하지만, 한계평형해석은 사면의 최소안전율만을 산정할

수 있는 단점을 지니고 있는데, 현장에서 사면에 대한 안전관리를 위해서는 위와 같은 사면의 최

소안전율에 대한 계산뿐만 아니라, 사면의 붕괴거동에 대한 분석이 필요하며, 사면의 진행적 파괴

에 대한 적절한 계측위치 및 계측관리 값을 사전에 파악하여 관리할 수 있도록 해야 합니다. 유

한요소 방법은 이러한 계측관리 방법에 대하여 적절한 해석결과를 줄 수 있으며, 사면의 진행성

파괴 거동을 분석할 수 있는 방법입니다(Anderson 등, 1987; Duncan, 1996).

컴퓨터의 발달로 유한요소법이 지반의 변형 및 응력, 간극수압 등을 산정할 수 있도록 구조물의

거동해석을 위해 주로 사용되어 왔으나, 최근 들어 단순히 지반의 거동분석에만 한정시키지 않고,

사면의 붕괴거동에 대한 안정성을 평가하는 수단으로 확장시키려는 연구가 활발히 진행 중입니다.

따라서 SoilWorks에서는 한계평형법(limit equilibrium method)을 기본적으로 제공하며, 뿐만 아니

라 유한요소방법으로 사면안정 해석을 수행하는 방법인 강도감소법(strength reduction method)과

한계평형법에 근거한 응력해석법(stress analysis method)을 사용할 수 있습니다.

사면안정해석에서 사용되는 요소, 지점조건, 물성 및 하중은 아래 표 2와 같으며, 이는 터널 해석

에서 상세히 설명하고 있기 때문에 이를 참고하기 바랍니다.

SoilWorks 3


표 1 한계평형법 및 유한요소법의 비교

사면해석 한계평형법 유한요소법

해석원리 - 절편법

- 힘 또는 모멘트 평형 적용

- 유한요소로 모델링

- 구성방정식

해석결과 - 안전율, 임계단면 - 변형형상, 응력분포

장점 - 간단한 이론

- 많은 성공적인 시공사례

- 다양한 지반특성 해석

- 변위, 응력 결과

단점

- 파괴시 변형형상 및

응력분포를 파악하기 힘듬

- 가정이 필요함

- 결과해석의 어려움

- 안정성 평가 자료 부족

입력자료 - 점착력, 내부마찰각 - 구성모델에 필요한 입력값

(SoilWorks 에서 구성모델은 mohr coulomb)

표 2 사면안정에서 사용되는 요소, 하중 및 경계

SRM SAM LEM

지반요소 Plane strain O O X

Geometry X X O

구조요소

Beam O O

Truss / Embedded O O X

Pile 및 보강재 O O X

Interface O O X

Spring O O X

Elastic Link O O X

Rigid Link O O X

Geogrid O O X

Spring O O X

보강재(LEM) X X O

하중 자중 O O O

하중(터널모듈) O O X

SoilWorks 4


선하중(LEM) X X O

정적지진하중(LEM) X X O

경계

경계(터널모듈) O O X

원호파괴면 X O O

다변파괴면 X X O

파괴면자동탐색 X X O

원호절단선 X X O

원호통과제한 X X O

인장균열 X X O

지반물성

탄성재료 △ O X

Mohr Coulomb O O X

Mohr Coulomb(LEM) X X O

구조물성 탄성재료 O O X

여기서, O는 사용가능, X는 사용불가, △는 사용가능 하지만, 제한사항이 있음을 의미합니다. 강도

감소법에서 탄성지반을 사용하면, 무조건 사용자가 정의한 최대값의 안전율을 가지게 되어 의미

없는 결과를 가지게 됩니다.

강도감소법

Chapter 1

SoilWorks 5

1.1 일반사항

유한요소방법은 원래 변형형상과 응력분포의 결과를 얻는데 중점적으로 연구가 진행되었지만, 근

래에 이를 사면안정해석에 적용하고자 하는 시도가 진행되고 있습니다. 유한요소법을 이용한 사

면안정해석은 사면 각 지점의 힘 평형 조건과 적합조건, 구성방정식 및 경계조건을 모두 만족시

키는 정밀한 근사해법으로 실제와 가까운 파괴형상을 구현하고 현장 조건을 좀 더 잘 반영할 수

있는 해석이며, 사면의 최소안전율 계산과 사면의 파괴거동을 자세히 분석할 수 있는 수치해석

방법입니다. 특히, 사면의 파괴활동에 대한 사전의 가정 없이 자동적으로 파괴과정을 모사할 수

있는 방법입니다(Griffith등 1999; Matsui, 1990).

유한요소방법으로 사면안정 해석을 수행하는 방법은 크게 두 가지로 강도감소법(strength

reduction method)을 사용하는 직접법과 계산된 응력 값을 이용하여 기존의 한계평형법과 혼합하

여 안전율을 분석하는 간접법(Pasternack, S.C. and Gao, S, 1988)으로 나눌 수 있습니다(Naylor,

1999). 직접법인 강도감소법에서는 전단강도 ( , )c φ 를 서서히 감소시켜 가면서, 계산이 수렴되지

않는 지점까지 해석을 수행하여 그 시점을 사면의 파괴로 간주하고, 그때의 최대 강도 저하율을

사면의 최소안전율로 생각합니다.

이러한 방법은 비선형 해석을 여러 번 수행하여야 하므로 해석비용이 많이 들긴 하지만, 전산 속

도의 향상을 바탕으로 합리적인 시간 안에 보다 정확한 결과를 얻을 수 있게 되었습니다.

강도감소법의 장점을 정리하면 아래와 같습니다.

1. 파괴면을 미리 가정할 필요가 없습니다. 흙의 전단강도가 흙의 중량에 의한 전단강도보다 작을

때 파괴가 발생하게 됩니다. 다음 장에서 보다 자세하게 기술되어 있습니다.

2. 유한요소법은 절편에 대한 정보 및 개념이 필요 없습니다. 따라서 절편력과 같은 개념은 적용

되지 않으며, 파괴전까지는 평형상태를 만족하게 됩니다.

SoilWorks 6


3. 흙의 물성이 정확하다면, 현장에서의 사면에 대한 응력 및 변형에 대한 정보를 해석을 통해서

얻을 수 있습니다.

4. 강도감소법은 파괴까지의 변형형상 과정을 알 수 있으며, 파괴 후의 정보도 얻을 수 있습니다.

SoilWorks 7

Chapter 1 Strength Reduction Method

1.2 이론적 배경

최초의 유한요소법에 의한 강도감소법 적용은 Zienkiewicz 논문(1975)에서 볼 수 있습니다. 그림

1.2.1과 같은 사면의 안전율을 계산하기 위해서는 사면의 임의의 지점인 한 요소의 가우스 점 A

를 주목합니다. 이 점의 응력상 태를 Mohr 원으로 표시하면 그림 1.2.1과 같이 나타낼 수 있습니

다. 사면의 파괴활동을 모사하기 위해서는 가상 활동면의 응력상태에 대한 Mohr 원이 파괴포락선

에 접하도록, 임의의 안전율 값 F로 그 지점의 전단강도를 나누어 Mohr 원에 접하도록 합니다.

즉, 그 점의 응력상태를 파괴상태로 보정합니다. 이러한 파괴점이 증가함에 따라서 사면이 전반적

인 붕괴가 발생됩니다. 그 때의 유한요소해석에서는 계산이 발산이 되어 더 이상의 해석이 진행

되지 않는 상태가 되며, 그 한계 F 값을 사면의 최소 안전율로 정의합니다. 이 방법에 의한 해석

에서는 파괴거동에 대한 안정해석을 하기 위해서는 충분히 안정성 있는 방법을 이용해야만 하는

어려움이 있으나, 일관성 있게 계산이 수행되고 사면의 실제적인 파괴거동을 표현하는 것이 가능

합니다.

τ τ

'σ 'σ

그림 1.2.1 강도감소법

SoilWorks 8


1.3 최소안전율 계산 방법

강도감소법에 사용되는 지반 모델은 Mohr coulomb를 사용합니다. 이때 사용되는 입력변수는 탄

성계수 E , 포아송 비 ν , 점착력 c 값과 마찰각 φ , 팽창각 ψ 이며, 주어진 사면의 탄성계수와

포아송 비는 일정하게 간주하고, 점착력과 마찰각 및 팽창각은 아래와 같이 점진적으로 감소시켜

계산이 발산이 되는 지점의 안전율 sF 값을 결정하는 것입니다. 전단파괴에 따라, 사면파괴에 대

한 안전율은 다음과 같이 계산됩니다.

sf

Fττ

= (1.3.1)

여기서, τ 은 경사 재료의 전단강도이며, Mohr-Coulomb 기준을 통해 다음과 같이 계산됩니다.

tanncτ σ φ= + (1.3.2)

그리고 fτ 는 활동 면에서의 전단응력이며, 다음과 같이 계산될 수 있습니다

tanf f n fcτ σ φ= + (1.3.3)

여기서, SRFf

cc = : 전단강도인자,

1 tantanSRFf

φφ − =

: 전단강도인자,

SRF : 강도감소계수

강도감소법은 수렴하기 직전까지의 SRF값이 안전율로 평가됩니다. 따라서 사용자가 입력한 수렴

횟수 및 불평형력 놈의 조건에 따라서 안전율이 많이 달라질 수 있습니다. 현재 SoilWorks에서

기본값으로 제공하는 값은 최대수렴횟수는 50회, 불평형력 놈은 0.03이 됩니다. 그리고 최소안전

율을 결정하기 위해서는 sF 값이 매우 작은 증분으로 증가되지 않으면 정확한 최소안전율을 계산

하기 힘들며, 계산시간이 길어집니다.

SoilWorks 9

Chapter 1 Strength Reduction Method

또한 보다 현장의 결과와 일치하는 변형형상 및 안전율을 얻기 위해서는 팽창각에 대한 이해가

필요합니다. 팽창각 ψ 가 마찰각 φ 와 동일할 경우, 상관소성조건으로 이때 강성행렬은 대칭이

되므로 해석속도 및 수렴에 유리하지만, 지반이 과도하게 부풀어 오르는 경향을 보입니다. 그러나,

팽창각이 0인 경우에는 비상관소성조건으로 체적의 변화가 없기 때문에 실제 현장을 잘 묘사하며,

안전율의 신뢰성을 보다 높일 수 있습니다.

SoilWorks 10


응력해석법

Chapter 2

SoilWorks 11

2.1 일반사항

사면안정해석은 크게 간편법과 수치해석법으로 분류할 수 있으며 한계평형법은 간편법에 속하는

방법으로써 실제 설계에 가장 많이 사용되는 사면안정해석 방법 중 하나입니다. 그러나 한계평형

법의 사용은 실제 사면의 형성 과정에 따른 응력이력효과나 지하수에 의한 지반응력의 변화를 고

려하기 어렵습니다. 또한 수치해석법으로 잘 알려진 유한요소법은 사면의 형성 과정이나 기타 지

반 특성을 고려할 수 있으나 이에 따른 사면안정해석은 많은 양의 해석 시간을 요구하며, 사면의

안전성 평가를 위한 평가 자료가 부족합니다. 이러한 간편법과 수치해석법의 장점을 모아 최근

많은 연구들이 진행되고 있으며 이중 KAIST에서 개발된 김주용(1998)의 유한요소법을 이용한 사

면안정해석 기법을 사용하여 사면안정해석을 수행합니다.

이 방법은 먼저 유한요소법을 사용하여 사면에 대한 응력해석을 수행하고 이 응력해석결과를 바

탕으로 한계평형법에서 사용하는 가정된 여러 경우의 가상활동면들에 대한 안전율을 산정하여 이

중 최소가 되는 안전율값과 이때의 임계단면을 산정하는 방식입니다. 유한요소해석을 수행할 때

지반재료의 구성 모델은 한계평형방법의 파괴규준과 동일한 Mohr-Coulomb 항복규준을 사용하게

됩니다.

SoilWorks 12


2.2 안전율 산정방법

유한요소법에서 사용되는 안전율은 다음과 같이 정의합니다.

fS

s

mS

dF

d

τ

τ

Γ=

Γ

(2.2.1)

mτ 은 유발되는 전단응력이며 fτ 는 Mohr-Coulomb파괴규준에 따른 전단강도를 나타내며 다음과

같이 나타냅니다.

( )tan

1 sin 2 cos22

f n

m y x xy

cτ σ φ

τ σ σ θ τ θ

= +

= − + (2.2.2)

여기서, 활동면에 수직한 방향응력인 nσ 은 다음과 같다.

2 2sin cos sin 2n x y xyσ σ θ σ θ τ θ= + − (2.2.3)

이때 c 는 점착력, φ 는 재료의 내부마찰각, θ 는 수평면과 활동면이 이루는 각도를 나타냅니다.

또한, xσ , yσ 는 각각 x 방향과 y 방향의 수직응력을 나타내고 xyτ 는 전단응력을 나타냅니다.

그림 2.2.1 사면의 응력성분

SoilWorks 13

Chapter 2 Stress Analysis Method

식 (2.2.1)에서 정의된 것과 같이 안전율을 계산하기 위해서는 가상활동면을 따른 응력적분이 수

행되어야 합니다. 이러한 응력적분은 Gaussian 적분점에서의 값보다 절점에서 정의된 연속된 응

력장에서의 결과를 보다 신뢰할 수 있기 때문에 SoilWorks에서는 전체응력 평활화기법 (global

stress smoothing method, Hinton & Compbell, 1974)을 사용하여 각 절점에서의 연속된 응력장을

계산합니다.

2.3 가상활동면을 따른 응력의 적분

가정된 가상활동면의 안전율을 정의하기 위해서는 식(2.2.1)과 같이 활동면을 따라 전단응력을 적

분하는 과정이 요구됩니다. 이러한 과정은 요소를 지나는 활동면의 경로를 산정하여 활동면이 지

나는 모든 요소들에 대해 적분을 수행함으로써 계산될 수 있습니다.

요소 내 임의 점에서의 전단응력은 전체응력 평활화법에 의해 계산된 절점응력값으로부터 다음과

같이 계산합니다.

nodenode

1i i

i=

=σ N σ (2.3.1)

여기서, iN 는 절점 i 에서의 형상함수를 나타내고 nodeiσ 는 절점 i 에서의 절점응력을 나타내고

σ 는 요소 내 임의 점에서의 응력을 나타냅니다.

2차원 전체좌표계에서의 가상활동면에 따른 응력적분은 1차원 국부좌표계에서의 적분형태로 변환

시켜 다음 식과 같이 계산됩니다.

( ) ( ) ( )intn2 1

1 11

,2 2

n

i ini

L Lx y d d Wτ τ ξ ξ τ ξ

−=

Γ = = T T (2.3.2)

SoilWorks 14


여기서, ξ : 국부좌표계에서의 좌표변수

iW : 적분점 i 에서의 적분상수

T : 요소좌표계를 따르는 응력을 전체좌표계로 변환해주는 변환 행렬

L : 요소의 길이

τ : 가상활동면 상의 전단응력 mτ 또는 전단강도 fτ

최종적으로 주어진 가상활동면에 대한 전체 안전율은 다음과 같습니다.

2

1

2

1

nel n

n1

nel n

n1

fi

s

mi

dF

d

τ

τ=

=

Γ=

Γ

(2.3.3)

여기서,

nel : 가상활동면이 지나는 요소 수

1n : 요소 내 가상활동면의 시작 점

2n : 요소 내 가상활동면의 끝 점

응력해석법은 유한요소해석법을 기반으로하여 얻어지는 응력장과 한계평형법에서 사용하는 파괴

면을 이용한 해석법입니다. 따라서 유한요소해석의 장점인 응력분포와 변형형상을 얻을 수 있으

며, 한계평형법의 장점인 임계단면을 얻는데 있어서 최적화 되어 있습니다. 강도감소법에 비해서

상당히 적은 해석시간이 소요되며, 다양한 지반과 보강재를 별 다른 가정 없이도 정확히 산정할

수 있는 해석법입니다.

한계평형법

Chapter 3

SoilWorks 15

3.1 일반사항

한계평형법에은 지반을 하나의 토체로 간주하여 임의의 파괴면에 대한 힘 또는 모멘트의 평형조

건을 고려하는 해석법입니다. 이러한 개념을 바탕으로 한계평형방법의 기본 가정은 직선, 원호로

가정된 표면이나 불규칙적인 표면을 따라 Mohr-Coulomb의 파괴규준이 만족된다는 것으로, 활동

면을 따라 파괴가 일어나려는 순간에 대한 토체의 안정성을 해석하는 방법입니다. 문제를 단순화

하기 위한 가정을 설정하고 이 방법을 사용하면, 간단한 정역학이론으로 해를 결과로 얻을 수 있

게 됩니다. 한계평형법은 절성토 사면의 안정해석에 널리 사용되고 있으며, 이 방법의 유용성과

신뢰성은 현재까지 축적된 경험을 통하여 잘 알려져 있습니다. 한계평형이론에 의한 사면안정해

석 방법은 여러 가지가 있으나 그 정확성은 강도 정수와 사면의 기하학적 조건의 정확도 및 각

해석방법 고유의 정밀도에 따라 좌우됩니다.

해석방법으로는 0φ = 해석법, Fellenius 법, Bishop 법, Modified Bishop 법, Janbu 법, Spencer

법, Morgenstern and Price 법, 일반한계평형법(GLE), 흙쐐기해석법, 대수나선해석법 등이 있습니

다.

한계평형법에 의한 사면안정해석은 미지수의 수가 방정식의 수보다 많은 부정정 문제가 되기 때

문에 이 차이를 극복하기 위한 적절한 가정을 도입해야만 합니다.

그림 3.1.1에서의 절편이 n 개가 있다면 방정식 수는 3n 개가 됩니다. 이는 각 절편의 연직력,

수평력 및 모멘트 평형에 대한 수식으로 이루어집니다. 미지수의 개수는 힘의 평형에 대해

3 1n − 개가 되며, 모멘트 평형에 대해 2 1n − 개가 되어 총 5 2n − 개가 됩니다. 따라서 n 개의

절편에 대해서 2 2n − 차 부정정이 발생됩니다. 여러 가지 해석방법에서 이러한 해석적 가정에 대

해 설명되어있습니다.

SoilWorks 16


b

W RX

LX

LE

LURURE

R

P U

그림 3.1.1 절편에 작용하는 힘

3.2 여러 가지 해석법

3.2.1 Fellenius법

Fellenius 방법은 ordinary method of slices 또는 swedish method라고도 하며, 사면안전율을 활동

면 중심에서의 모멘트평형으로 구하고 각 분할절편간의 작용력의 합력은 평형이라는 가정을 사용

하여 안전율을 계산하는 방법입니다. Fellenius 방법에서 사면 활동에 저항하려는 저항력은 전단

저항능력을 통해 정의 되며, 전단 저항능력은 전단 응력값에 절편 밑면적을 곱한 값이 되어 다음

과 같이 계산됩니다.

R lτ= (3.2.1)

이때 전단 강도 τ 는 Coulomb의 파괴규준에 따라 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

( ) tanc uτ σ φ′= + − (3.2.2)

SoilWorks 17

Chapter3 Limit Equilibrium Method

여기서,

c′ : 유효응력에 근거한 점착력

σ : 절편 밑면에서의 전응력

u : 간극수압

φ′ : 유효응력에 근거한 내부마찰각

사면의 활동을 유발하는 전단력 T 는 다음과 같이 계산됩니다.

cosT W α= (3.2.3)

여기서,

T : 절편 밑면에서 활동을 일으키려는 힘

W : 절편의 전체 무게

α : 절편 활동면의 기울기

최종적으로 Fellenius법에서의 안전율은 아래 수식과 같이 정의할 수 있습니다.

( ) tancos /Fellenius

ext

c u lF

W M R

σ φα

′ ′Σ + − =Σ + Σ

(3.2.4)

3.2.2 Simplified Bishop 법

비숍의 간편법은 해석이 비교적 간편하고, 그 결과가 이론 상으로 정확한 해에 가깝게 나오기 때

문에 절편법 가운데 가장 많이 사용되는 방법입니다.

Bishop은 절편의 양 수직면에 작용하는 힘의 합력이 수평방향으로 작용한다고 가정하는 방법을

제시하였습니다. 이 방법은 가상회전 중심을 사용함으로서 비원호 활동면에 대해서도 다음과 같

이 적용할 수 있습니다.

0R LX X− = (3.2.5)

SoilWorks 18


R

P

W

α

LE

RE

RXLX

O

그림 3.2.1 Bishop 법의 절편력

이때 절편 활동면에서의 평형 방정식은 다음과 같습니다.

(3.2.6)

여기서, 0R LX X− = 으로 가정하였으므로 P 는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

( )1 1sin tan sinP W c l ulF mα

α φ α ′ ′= − −

(3.2.7)

여기서,

따라서 그림 3.2.1의 원호 중심 O에 대한 모멘트 평형을 고려하면 다음과 같이 안전율 F 를 나

타낼 수 있습니다.

SoilWorks 19


( ){ }tan

sinc l P ul

FW

φα

′Σ + −=

Σ (3.2.8)

비숍의 간편법은 위의 식에서 보는 바와 같이 좌항과 우항에 모두 안전율 F 를 가지고 있기 때

문에 시산법을 사용하여 반복적으로 해석을 수행한 후 최종 안전율 F 를 계산하여야 합니다.

SoilWorks는 시산법 사용 시 초기 가정 F 값으로 Fellenius의 안전율 값을 사용함으로써 초기 가

정에 의한 불안정한 수렴을 방지하고, 적은 횟수의 반복해석을 통해 보다 빠른 해석속도를 구현

하였습니다.

3.2.3 Simplified Janbu 법

얀부의 간편법은 비숍의 간편법과 비슷한 방법으로 산정이 됩니다. 다만, 비숍의 간편법은 모멘트

평형상태를 기본 가정하고 있지만, 얀부의 간편법은 수평력 평형상태를 기본 가정으로 하고 있습

니다.

0X = (3.2.9)

따라서 사면이 서로 다른 재료 물성치를 가지는 여러 층으로 구성되어 있는 경우, 보다 좋은 결

과를 얻을 수가 있습니다.

이때 절편 활동면에서의 평형 방정식은 비숍 간편법과 동일합니다. (식 (3.2.6)을 참고)

그러므로, P 는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

( ) ( )1 1sin tan sinR LP W X X c l ulF mα

α φ α ′ ′= + − − −

(3.2.10)

여기서, tan tancos 1m

Fαα φα = +

SoilWorks 20


수평력의 평형상태( 0X = )를 고려하면 다음과 같이 안전율 F 를 나타낼 수 있습니다.

( ){ }tan cos

sinc l P ul

FP

φ αα

′Σ + −=

Σ (3.2.11)

얀부의 간편법도 비숍의 간편법과 마찬가지로 반복적으로 해석을 수행한 후 최종 안전율 F 를

계산하여야 합니다.

3.2.4 Spencer 법

Spencer 방법은 모멘트 평형조건과 수평력에 대한 힘의 평형조건을 모두 고려한 방법으로, 비숍

의 간편법과 얀부의 간편법에서 0으로 고려했던 절편 측면의 수직력이 수평력과 일정한 관계가

있다고 가정합니다.

/ tanX E θ= or λ (3.2.12)

여기서, θ : 수직력과 수평력이 이루는 각도, 즉 절편 측면에 작용하는 힘의 합력 방향

λ : 수직력과 수평력의 비율

식 (3.2.10)의 수직력을 각각 모멘트 평형을 나타내는 식 (3.2.8)과 힘의 평형을 나타내는 식

(3.2.11)에 대입하여 두 안전율이 같아지는 λ 를 구할 때까지 반복계산을 하여 전체 평형을 계산

합니다.

Spencer 방법은 모멘트 평형과 힘의 평형 조건을 모두 만족시키는 방법이므로 정확한 안전율을

제공한다는 장점이 있으나, 두 개의 평형을 모두 고려하므로 비숍의 간편법과 얀부의 간편법에

비해 상대적으로 수렴을 하지 않는 경우도 발생하며, 해석시간도 상대적으로 길어집니다.

SoilWorks 21


3.2.5 Morgenstern-Price 법

Morgenstern-Price 방법은 Spencer 방법과 동일하게 모멘트 평형과 힘 평형을 모두 고려한 방법

입니다. 다만 Spencer 방법에서 절편 측면의 수평력과 수직력이 일정한 관계를 가진다고 가정한

것과 달리 특정 함수 형태의 관계를 가진다고 가정합니다

( )/X E f xλ= (3.2.13)

여기서, ( )f x : 수직력 분포 함수

수직력 분포함수는 그림 3.2.2와 같이 half-sine, clipped sine, trapezoidal 및 사용자 입력을 통해

정의할 수 있습니다. Morgenstern-Price 방법은 다양한 수직력 분포함수를 가정하고 해석하므로

수직력의 분포 형태를 예측할 수 있다는 장점이 있습니다.

(a) sine (b) Clipped sine

SoilWorks 22


(c) Trapezoidal (e) 사용자 입력 함수

그림 3.2.2 Morgenstern-Price 법의 수직력 분포 함수

3.2.6 Sarma 방법

Sarma 방법은 수직 분할 절편 또는 임의의 다양한 형태의 분할 절편에 대해 모멘트 평형과 힘

평형을 모두 고려하여 해석하는 방법입니다. 현재 SoilWorks 에서는 수직 분할 절편에 대해서만

Sarma 방법을 적용하였습니다.

Spencer 방법과 Morgenstern-Price 방법이 절편 측면에 작용하는 수직력과 수평력의 관계를 단

순한 함수로 가정한 것에 비해 Sarma 방법은 수직력과 수평력의 관계를 Coulomb의 파괴규준에

준하는 식으로 나타내었습니다.

( )tan 'X Ch Eλ φ= × + (3.2.14)

여기서, C : 사면의 점착력

h : 절편의 높이

'φ : 사면의 마찰각

Sarma 방법은 임의 형태의 분할 절편에 대해 수평력과 수직력의 관계가 특정 함수가 아닌 파괴

SoilWorks 23


규준에 준하는 식을 적용하므로 이론적으로 이해하기가 쉬운 반면 사면에 대한 점착력이나 마찰

각을 가정하기 어려운 문제가 있습니다. 점착력이 작은 경우는 Spencer 방법이나 Morgenstern-

Price 방법과 유사한 형태가 되므로 식의 특성상 점착력이 없거나 작은 암반 사면의 해석에 주로

적용합니다.

3.2.7 해석 방법의 비교

각 해석방법에 대한 특징을 간단히 비교 정리하면 표 x.x와 같습니다. Bishop의 간편법과 Janbu

의 간편법은 평형 조건을 간소화하여 상대적으로 해석이 간편하고 반복계산시 수렴이 잘 되는 장

점이 있습니다. 그러나 평형 조건이 생략되어 있으므로 경우에 따라서는 부정확한 결과가 얻어집

니다.

이와는 반대로 Spencer 방법, MP 방법 그리고 Sarma 방법 모두 힘 평형과 모멘트 평형을 고려

하므로 해석 시간이 오래 걸리고 경우에 따라 수렴하지 않는 경우도 있으나, 힘과 모멘트 평형을

모두 고려하므로 정확한 해석 방법이라 할 수 있습니다.

표 3.2.1. SoilWorks에서 제공하는 LEM 해석 방법의 해석 조건

해석 방법 가 정 수직력 평형 수평력 평형 모멘트 평형

Simplified Bishop 0R LX X− = ○ × ○

Simplified Janbu 0X = ○ ○ ×

Spencer / tanX E θ= or λ ○ ○ ○

Morgenstern-Price ( )/X E f xλ= ○ ○ ○

Sarma (vertical) ( )tan 'X Ch Eλ φ= × + ○ ○ ○

SoilWorks 24


표 3.2.2. SoilWorks에서 제공하는 LEM 해석 방법의 비교

해석 방법 특 징 장점 단점

Simplified

Bishop 간편법

- 짧은 해석시간

- 원호/비원호 모두 적용가능

- 수평력 작용시 부정확한 결과를

줄 수 있음 (수평지진하중)

Simplified

Janbu 간편법

- 짧은 해석시간

- 얕은 사면 해석에 적합

- 일반적으로 다른 방법에 비해

보수적인 결과 도출

Spencer 정확법 - 원호/비원호 모두 적용

- 간편법에 비해 정확한 안전율도출

- 간편법에 비해 해석시간 소요

- 수렴하지 않는 경우 발생

Morgenstern

-Price 정확법

- 내부 수직력 예측 가능




Sarma

(vertical) 정확법

- 암반 사면 해석에 적합




- 점착력, 마찰각의 가정 필요

3.3 사면 파괴면의 정의

한계평형법에서 파괴면은 형상적으로 원호 파괴면과 다중 선형 파괴면으로 구분하여 지원하고 있

습니다. 원호 파괴면의 경우 파괴면 자체의 정의보다 “원호 중심점 영역”이 먼저 정의되어야 하며,

정의된 원호 중심점 영역에서의 원호 중심점과 부수적인 설정을 통해 원호 파괴면을 정의할 수

있습니다. SoilWorks에서는 앞서 언급된 부수적인 설정 방법에 대한 다양한 방식을 지원하고 있

어 사용자가 보다 쉽게 원호 파괴면을 설정할 수 있도록 지원하고 있습니다.

또한 원호 파괴면의 정의 시 원호 중심점 영역을 설정하는 것은 많은 경험적 판단을 요구합니다.

SoilWorks에서는 이러한 경험적 판단이 어려운 경우 자동 원호 파괴면 정의 기능을 통해 원호 파

괴면을 정의할 수 있는 기능을 지원하고 있습니다.

다중 선형 파괴면의 경우는 테이블 형식의 입력이나 마우스 클릭을 통해 손쉽게 정의할 수 있도

록 지원하고 있습니다.

SoilWorks 25


3.3.1 원호 파괴면

원호 파괴면은 파괴면을 정의하기 전에 먼저 원호의 중심점 영역을 정의하는 것이 선행되어야 합

니다. 원호의 중심점 영역은 그림 3.3.1(a)에서와 같이 해석 후 최소 안전율이 발생할 것으로 예

상되는 원호가 가정한 원호 중심점 영역 내에 발생하도록 예측하여 정의하는 것이 중요하며, 그

림 3.3.1(b)에서와 같이 해석 후 최소 안전율이 원호 중심점 영역의 최 외곽에 위치하는 경우 원

호 중심점의 영역을 점선과 같이 최소 안전율 점이 원호 중심점 영역의 중간부분에 위치하도록

이동하여 재해석을 수행하여 최소 안전율이 원호 중심점의 영역 내로 들어오도록 해야 합니다.

또한 SoilWorks에서는 그림 3.3.1(c)에서와 같이 여러 개의 원호 중심점 영역을 지정하고 여러 해

석케이스를 한번에 수행할 수 있도록 지원하고 있어 최소 안전율 값을 보다 빠르게 찾을 수 있습

니다.

(a) 원호 중심점 영역의 설정

SoilWorks 26


(b) 최소 안전율이 최 외곽에 위치한 경우 원호 중심점 영역의 이동 후 재해석

(c) 여러 원호 중심점 영역의 설정

그림 3.3.1 원호 중심점 영역의 설정

SoilWorks 27


정의된 원호 중심점 영역에 포함되어있는 각각의 중심점에서 그려지는 원호 파괴면을 정의하는

방법으로는 아래와 같이 원호 접선 방법과 원호 반경과 길이를 사용하는 방법이 있습니다.

3.3.1.1 원호 접선 방법

원호 접선 방법은 아래 그림 3.3.2와 같이 원호가 접하는 직선들을 정의함으로써 원호 중심점에

서 원호를 그릴 수 있도록 하는 기능입니다.

이때 원호 중심점 영역은 마우스 클릭으로 간단히 설정할 수 있으며, “원호반경 증가개수”와

“증가할 원호반경” 및 “접선방향 전환” 기능들을 사용하여 하나의 원호 중심점에서 생성할

원호의 개수와 반지름을 정의하는 방법입니다.

그림 3.3.2 원호 접선 방법을 사용한 원호의 정의

3.3.1.2 원호 반경과 길이를 사용하는 방법

SoilWorks 28


원호 반경과 길이를 사용하는 방법은 "최단반경 원호” 기능과 “통과점 정의” 기능의 두 가지

가 있습니다. 또한 이 두 기능 모두 설정된 원호에 “통과점 제한 레이어” 기능을 사용하여 제

한 사항을 부여할 수 있습니다. 각각의 기능에 대해서는 아래 내용을 참고하시기 바랍니다.

a. 최단반경 원호

최단반경 원호는 원호 중심점으로부터 사면까지의 거리 중 가장 짧은 거리에 있는 절점과 직선을

탐색합니다. 탐색된 절점과 직선을 통해 원호 중심점에서부터 절점까지의 거리와 직선까지의 거

리를 산정한 후 이 두 값 중 작은 값을 최단 반경 원호 m inr 으로 정의합니다. 정의된 최단 반경

원호와 입력된 반지름 증가량 rΔ 과 반지름 증가개수 n 을 사용하면, 하나의 원호 중심점에서 n

개의 원호 반경은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

minir r r i= + Δ × ( )1i n= (3.3.1)

여기서,

ir : i 번째 반지름

minr : 탐색되어 찾아진 최단반지름

rΔ : 입력된 반지름 증가량

n : 입력된 반지름 증가개수

b. 통과점 정의

통과점 정의 기능은 그림 3.3.3에서와 같이 원호 중심점으로부터 입력된 통과점 A까지의 거리를

산정하고 이 값을 초기값으로 하여 초기 원호 0r 으로 정의합니다. 정의된 초기 원호와 입력된 반

지름 증가량 rΔ 과 반지름 증가개수 n 을 사용하면, 하나의 원호 중심점에서 n 개의 원호 반경은

다음과 같이 정의할 수 있습니다.

( )0 1ir r r i= + Δ × − ( )1i n= (3.3.2)

SoilWorks 29


0r

A

rΔrΔ

그림 3.3.3 통과점 정의에 의한 반지름의 산정

c. 통과 제한 레이어세트

통과 제한 레이어세트 기능은 위에서 언급된 두 개의 원호 정의 기능에 부수적인 기능으로써 이

미 정의된 여러 개의 원호반경 중에서 입력된 특정 레이어를 통과하는 경우 제한을 두는 기능입

니다. 아래 그림 3.3.4에서와 같이 반지름이 3개가 정의되고 통과 제한 레이어가 layer A로 설정

된 경우, 세 번째 반지름은 무시되며, 대신 중심점부터 layer A까지 최단 거리가 되는 C점에 접하

는 최단 반경 원호를 계산하여 대체합니다. 따라서 해당 원호 중심점에서 정의된 반지름의 개수

는 여전히 세 개가 됩니다.

SoilWorks 30


그림 3.3.4 통과 제한 레이어 설정 및 반지름 정의

3.3.2 자동 원호 파괴면 정의

원호 파괴면을 사용하여 해석을 수행하는 경우 원호 중심점 영역을 어떻게 설정하는가에 따라 해

석결과와 원하는 결과를 얻기 위한 시간이 결정될 수 있습니다. 그러나 원호 중심점 영역을 설정

하는 것은 많은 경험을 필요로 하기 때문에 상당히 어려운 부분이 될 수 있습니다. SoilWorks에

서는 이러한 문제에 보다 쉽게 접근할 수 있도록 하기 위하여 원호 중심점 영역을 자동으로 탐색

하여 설정하는 기능인 자동 원호 파괴면 정의 기능을 지원하고 있습니다. 자동 원호 파괴면 정의

기능은 사용자가 정의한 몇 개의 개략적인 정보를 사용하여 최소 안전율 점을 찾아내는 기능으로

SoilWorks 31


써 사용자가 정의하는 정보에는 간격개수, 원호반경 증가, 원호반경 증가개수, 통과점, 한계점이

있습니다.

간격개수는 그림 3.3.5에서 A의 개수를 정의된 A 선 상에 원호반경 증가값과 원호반경 증가개수

를 사용하여 원호의 중심점을 정의합니다. 이렇게 정의된 원호 중심점의 개수는 다음과 같습니다.

원호 중심점 개수 = 간격개수 X 원호반경 증가개수

자동 원호 파괴면 정의 방법은 두 번의 해석과정을 수행합니다. 첫 번째 해석은 위에서 계산된

원호 중심점을 사용하여 해석을 수행하고, 최소 안전율이 발생하는 원호 중심점을 찾는 단계입니

다. 두 번째 해석은 첫 번째 해석에서 탐색된 최소 안전율을 가지는 원호 중심점 주위를 보다 세

밀하게 영역을 나누어 탐색하는 단계입니다.

두 번째 해석에서 최소 안전율 부근으로 보다 세밀하게 원호 중심점을 탐색하는 과정은 먼저 최

소 안전율 중심점 A가 발생한 B1선과 양 옆의 B2, B3선을 찾습니다. 또한 만약 B1 선상의 중심

점들 중 i번째 중심점에 최소 안전율이 발생하였다면, B2, B3선 상에서 각각 i-1번째와 i+1번째에

해당하는 네 개의 중심점 위치를 그림 3.3.6의 A1, A2, A3, A4와 같이 찾습니다. 이렇게 1차 해

석 후 탐색된 네 중심점 A1, A2, A3, A4을 잊는 사변형의 내부를 입력받은 간격개수를 사용하여

양 방향으로 보다 세밀하게 분할하여 보다 상세한 원호 중심점 영역을 정의합니다.

SoilWorks 32


그림 3.3.5 1 차 해석을 위한 자동 원호 중심점 정의

SoilWorks 33


그림 3.3.6 2 차 해석에 사용되는 원호 중심점

SoilWorks 34


3.3.3 다중 선형 파괴면

다중 선형 파괴면은 원호 파괴면을 정의할 때와 다르게 원호 중심점 영역을 정의할 필요가 없이

그림 3.3.7과 같이 파괴면을 다중 선형형태로 정의하면 됩니다.

그림 3.3.7 여러 형상의 다중 선형 파괴면

다중 선형 파괴면 정의 시 주의 사항은 그림 3.3.8과 같은 경우이며, 이러한 형상이 발생하지 않

도록 주의하여 파괴면을 정의해야 합니다.

(a) 끝 단이 외곽선과 만나지 않는 경우

SoilWorks 35


(b) 수직선을 그렸을 때 두 개의 만나는 점이 발생하는 경우

(c) 최외곽 경계면과 만나도록 설정하는 경우

그림 3.3.8 다중 선형 파괴면 정의 시 피해야 하는 파괴면 형상

SoilWorks 에서는 다중 선형 파괴면 정의시 평형조건을 만족하는 안전율을 구하기 위해 세 가지

방법을 적용하고 있습니다.

(1) 사용자가 정의한 다중 선형 파괴면에 근접한 원의 중심을 최소제곱법을 이용하여 찾고 이 점

에 대해 안전율을 계산

(2) 임의의 기준점을 사용자가 정의하면 이 점을 기준으로 안전율을 계산.

(3) 다중 선형 파괴면에 대해 반경이 무한히 큰 원으로 가정하여 원호파괴면에 대해 안전율을 계

산하는 방법과 같은 방법으로 안전율을 계산.

SoilWorks 36


그림 3.3.9 다중 선형 파괴면에 대한 원의 중심점

3.3.4 원호 절단선

원호 절단선은 아래 그림과 같이 원호와 절단선의 교집합에 해당하는 영역에 대해서 최소안전율

을 찾아주는 기능입니다. 실제 현장에서 연약층등의 다양한 조건에 의해서 파괴면이 꼭 원호처럼

발생하지는 않습니다. 이런 경우, 다중 선형 파괴면을 사용하여야 하는데 이 또한 많은 경우의 파

괴면을 고려하기에는 적합하지 않기 때문에 원호 파괴면과 절단선을 이용하여 이를 간단하게 고

려할 수 있습니다.

원호 절단선의 입력 방식은 위에서 설명한 다중선형 파괴면과 거의 동일합니다. 하지만, 이 기능

은 원호 파괴면의 부수적인 기능으로 사용되기 때문에 별도로 중심점을 넣는 기능은 없습니다.

SoilWorks 37


그림 3.3.10 원호파괴면과 원호절단선

3.3.5 인장균열

사면은 물의 침투작용에 의해서 인장균열이 자주 발생하며, 인장균열에 의해서 일부 파괴가 진행

되었거나, 예상이 가능할 때, 이 기능을 사용합니다. 아래 그림과 같이 인장균열은 수직으로만 발

생한다고 가정하며, 이를 정의하는 방식은 사용자 편의에 따라서 3가지로 가능합니다.

그림 3.3.11 인장균열과 수압

SoilWorks 38


1. 자동탐색 : 파괴면에 발생한 법선방향의 절편력이 부압(-)이 발생하는 경우, 이 이후의 절편은

저항력이 발생하지 않는다고 가정하여 계산합니다.

2. 인장균열 발생각도 : 파괴면이 일정각도 이상인 경우, 저항력이 발생하지 않는다고 생각하여

절편을 수직으로 절단합니다.

3. 선 : "선"으로 정의되는 경우에는 교차점에서 인장균열이 발생한다고 가정하여, 이후 절편을 절

단합니다.

이때 인장균열 사이로 물이 침투하여, 팽창작용을 하는 경우가 발생하기도 하는데, 이런 경우를

묘사하기 위해서 사용자가 포화도를 이용하여, 임의의 수압을 고려할 수 있습니다.

SoilWorks 39


3.4 절편 분할

LEM은 분류적으로 절편법에 해당하는 방식으로써 정의된 원호 파괴면이나 다중선형 파괴면을 절

편으로 분할하는 것은 해석 시 필수적으로 거쳐야 하는 과정입니다.

절편 분할 방식은 여러 가지 방식이 있을 수 있으며, 크게 두 가지 방법으로 나눌 수 있습니다.

첫 번째 방법은 폭을 일정하게 하는 방식이며, 두 번째 방법은 절편 파괴면의 길이를 일정하게

하는 방식입니다. 두 방법 모두 일반적인 모델에서의 안전율에는 크게 차이를 보이지 않습니다.

그러나 절편 파괴면의 기울기가 크고, 보강재가 들어간 경우 두 방식 사이에 약간의 결과차이가

발생하기도 하며, 이런 경우, 공학자의 판단에 의해 선택하도록 하기 위해서, soilworks에서는 두

기능 모두 제공하고 있습니다.

3.4.1 원호 파괴면의 절편

원호 파괴면의 절편은 원호를 따라 등간격 또는 폭에 따라서 등너비로 자르도록 설정이 되어

있습니다.

만약 등간격으로 선택한 경우 정의된 원호의 총 길이가 L 이고 분할 개수가 n 이라면, 그림

3.4.1에서와 같이 “절편 활동면” A의 원호면 길이는 /L n 과 같습니다.

만약 원호 파괴면의 형상이 아래 그림 3.4.2와 같이 비현실적으로 그려지는 경우는 안쪽으로 굽

어지는 점선부분을 무시하고 수직으로 올려서 계산을 수행합니다. 수직으로 올려진 이 부분을

“연직 파괴면”이라 하며, 연직 파괴면의 경우 해석 방법에 따라 응력의 정의가 달라져야 합니다.

Fellenius 방법 : 0σ ′ =

Bishop 방법 : minσ σ′ =

여기서,

0φ ≠ 인 경우 : tan

cσφ

′ = −min , max 0τ =

0φ = 인 경우 : minσ ′ = −∞ , max cτ =

SoilWorks 40


/L nα

그림 3.4.1 원호 파괴면의 절편 분할 방법 (등간격)

그림 3.4.2 연직 파괴면의 설정 (등간격)

또한 폭에 따라서 같은 길이로 분할된 경우 아래 그림과 같이 원호의 폭이 W 이고 분할 개수가

이라면, 한 절편의 폭은 /W n 와 같습니다. 이 경우에는 절편 분할시에 지반의 외각선의 형태

를 고려하고 있습니다.

n

SoilWorks 41


그림 3.4.3 원호 파괴면의 절편 분할 방법 (등너비)

그리고 원호의 중심점이 원호보다 아래인 경우, 아래 그림과 같이 음의 절편각을 가지게 되는 경

우가 발생하는데 이 경우는 임의의 각으로 올려 처리하였습니다.

그림 3.4.4 연직 파괴면의 설정 (등너비)

잘려진 각각의 절편 활동면은 직선으로 연결하여 활동면을 정의하며, 그림 3.4.5에서 보여지는 것

과 같이 원호와 직선 사이의 오차는 미미한 것으로 가정하여 무시합니다.

SoilWorks 42


그림 3.4.5 원호 활동면과 가정된 직선 파괴면과의 오차

3.4.2 다중 선형 파괴면의 절편

다중 선형 파괴면의 경우는 그림 3.4.6에서와 같이 각각의 선형 구간 i 를 전체 분할 비율로 나누

어 산정하도록 되어있으며, 다음과 같습니다.

α

그림 3.4.6 다중 선형 파괴면의 분할 (등간격)

SoilWorks 43


ii

i

ii

i

ln N

l

ll

n

=Σ

Δ = (3.4.1)

여기서,

in : 구간 i 에서의 분할 개수

il : 구간 i 에서의 선분 길이

N : 전체 분할 개수

ilΔ : 구간 i 에서의 선분 분할길이

또한 다중 선형 파괴면에서도 원호 파괴면과 같이 원호의 폭을 같은 길이로 분할하여 계산하는

옵션을 추가하였습니다. 이 때에도 외각선의 형태를 고려하기 때문에, 등길이로 분할하는 것보다

구간이 많이 발생하게 됩니다.

W1 W2 W3 W4 W5 W6

W4 /n4

그림 3.4.7 다중 선형 파괴면의 분할 (등너비)

SoilWorks 44


3.5 하중

3.5.1 자중

SoilWorks에서 자중은 그림 3.5.1에서와 같이 모델이 만들어지는 시기에 자동으로 “자중”이라는

하중세트이름에 자중계수를 전체 좌표계 Z축으로 -1.0의 값을 가지도록 입력되어있습니다. 여기

서 -1.0이란 재질 입력 창에서 입력한 지반의 단위 중량값에 곱해지는 자중계수값이 1.0이며, (-)

는 자중의 방향이 전체 좌표계 Z축의 하향이라는 의미입니다. 예를 들어 Z축 입력 창에 -1.5의

값을 입력한다면, 모든 입력된 지반의 단위 중량값에 1.5의 값을 곱하여 하중을 계산하고, 그 방

향을 전체 좌표계 Z축의 하향으로 적용하겠다는 의미입니다.

만약 +1.0의 값을 입력한다면, 중력방향이 전체 좌표계 Z축의 상향이 되도록 설정이 됩니다. 그

러나 실제적으로 LEM의 기본 가정 상 이러한 현상은 발생하지 않기 때문에 –의 값을 스케일 팩

터 앞에 항상 붙여서 입력하도록 합니다.

그림 3.5.1 자중 입력창

그림 3.5.1에서와 같이 SoilWorks LEM모듈의 자중 입력창에서는 일반 유한요소 모델에서와 마찬

가지로 X방향과 Z방향 자중계수를 모두 입력할 수 있도록 되어있습니다. 그러나 X방향에 대한 자

중계수는 입력하더라도 해석에 반영되지 않습니다.

SoilWorks 45


아래 그림 3.5.2에서와 같이 수위가 있는 경우, 예시된 절편에서 수위 윗면의 지반인 A부분은 건

조 단위 중량을 사용하며, 수위 아래 면의 지반인 B는 전응력 개념을 도입하기 위해 물에 의한

단위중량이 고려된 포화 단위중량을 사용합니다.

그림 3.5.2에서 C로 표현된 지반 표면 중 물에 잠겨있는 부분은 물에 의한 수평력을 하중으로 치

환하여 안전율 계산에 적용합니다.

C

water level

external water pressure load

B

A

그림 3.5.2 자중 및 수압의 고려

3.5.2 선하중

SoilWorks LEM 모듈에서 선하중이란 일반적인 정적하중을 이야기합니다. 이러한 정적하중의 형

태에 따라 점하중, 선하중, 모멘트 하중의 소단위로 분류하여 정의하고 있습니다.

3.5.2.1 점하중

점하중이란 3차원 상에서 모델의 두께방향으로 선분포의 형태를 가지고 있는 하중을 2차원 모델

상에 표현하기 위해 사용하는 하중으로써 열차하중이나 옹벽 등의 자중을 모사하는데 사용할 수

있습니다.

점하중은 아래 그림 (3.5.3)에서와 같이 원호 반경 안쪽이나 다중 선형 파괴면의 범위 내에 포함

SoilWorks 46


되는 경우에만 안전율 계산에 적용되며, 그렇지 않은 경우 점선으로 표시된 하중과 같이 무시됩

니다. 하중의 방향은 지면의 법선방향과 전체좌표축에서의 X, Z방향으로 총 세 종류의 방향을 정

의할 수 있습니다.

그림 3.5.3 점하중의 정의

3.5.2.2 선하중

선하중은 3차원 상에서 넓은 면분포의 형상을 가지는 하중을 2차원 모델에 표현하기 위해 사용되

는 하중입니다. 수직방향에 따른 분포하중을 절편력에 고려함으로써 안전율 계산에 반영되며, 중

력방향인 전체 좌표계 -Z방향으로만 입력이 가능합니다.

또한 그림 3.5.4에서와 같이 시작점과 끝점의 크기가 다른 선형 분포에 대해 고려가 가능하여 사

다리꼴이나 삼각형 형태의 선형 분포하중도 쉽게 고려할 수 있습니다.

SoilWorks 47


그림 3.5.4 선하중 재하

3.5.2.3 모멘트 하중

모멘트 하중은 실무적으로 많이 사용되지 않는 하중이지만, 종종 매우 큰 규모의 사면에 매우 작

은 크기의 옹벽을 일일이 모델링하기 힘든 경우 각각의 옹벽을 모멘트 하중으로 치환하여 사용될

수 있습니다.

모멘트 하중은 아래 그림의 실선으로 표시된 모멘트 하중과 같이 파괴원호 안쪽이거나 다중 선형

파괴면의 폐합된 도형 내에 위치하여야 안전율 계산에 포함되며, 그렇지 않은 점선으로 표시된

모멘트 하중의 경우에는 무시됩니다.

그림 3.5.5 모멘트 하중의 재하

SoilWorks 48


3.5.3 정적지진 하중

정적지진 하중은 지진 시 발생되는 동적 하중을 정적 하중으로 치환하여 LEM계산에 고려할 수

있도록 한 하중을 말합니다. 지진 하중의 특성 상 하중의 방향은 그림 3.5.6과 같이 수평과 수직

방향 모두 고려할 수 있습니다. 정적 지진 하중 계산시 물에 작용하는 지진의 영향은 고려하지

않습니다.

ha

va

그림 3.5.6 지진계수의 적용

SoilWorks 49


3.6. 지반 재료의 정의

LEM에서 절편 활동면의 저항 능력을 평가하기 위해서 일반적으로 Coulomb의 마찰법칙을 사용

합니다. Coulomb의 마찰법칙은 두 계수로 평가되는 파괴면을 정의하고 있으며, 이때 사용되는 두

계수는 점착력 c 와 내부마찰각 φ 입니다. 이러한 두 계수는 보다 현실적인 거동을 모사하기 위

해 깊이나 절편 활동면의 각도 및 σ τ− 관계도의 형상에 따라 아래와 같이 달라 질 수 있습니다.

3.6.1 깊이에 따른 점착력의 변화

깊이에 따라 점착력이 증가하는 현상을 모사하기 위해서는 재료 물성 입력값 중 점찰력을 아래와

같이 깊이에 따라 변화하도록 해야 합니다. 따라서 계산하고자 하는 절편의 활동면에서의 점착력

c 는 다음과 같이 계산됩니다.

그림 3.6.1 깊이에 따른 점착력의 변화

( )0 0 ic c c z z= + Δ − (3.6.1)

여기서,

0c : 절편 활동면 B가 포함된 layer A의 초기 점착력

cΔ : 단위 깊이에 대한 점착력의 증감량 (kN/m3)

0z : 절편 활동면이 포함된 layer의 상단 C점 높이

iz : 절편 활동면 B의 중앙점 D의 높이

SoilWorks 50


3.6.2 비선형 옵션

SoilWorks는 절편 활동면의 저항 능력을 규정하기 위해 기본적으로 Coulomb의 파괴규준을 사용

합니다. 그러나 Coulomb 파괴규준은 그림 3.6.1(a)에서와 같이 직선 형상의 단순한 거동만을 표

현하고 있어 그림 3.6.1(b)와 같이 실험을 통해 얻은 비선형 형태의 보다 복잡하고 정확한 형태는

고려할 수 없습니다. 이러한 이유로 SoilWorks에서는 절편 활동면의 저항 능력을 규정하기 위해

기본적인 직선 형태의 Coulomb 파괴면 뿐만 아니라 비선형 형태의 곡선 관계를 입력할 수 있는

비선형 옵션을 추가로 지원하고 있습니다.

τ

σ

c

φSliceτ

Sliceσ

(a) Coulomb 파괴규준

τ

σSliceσ

Sliceτ

(b) 사용자 정의 파괴규준

그림 3.6.2 여러 가지 파괴규준

SoilWorks 51


3.6.3 비등방 조건

점착력은 깊이에 따라 변화하기도 하지만 그림 3.6.2와 같이 고려되는 절편 활동면의 각도 α 에

따라서도 변화할 수 있습니다. SoilWorks에서는 이러한 관계를 정의할 수 있도록 기능을 지원하

고 있습니다. 그림 3.6.2에서 보이는 바와 같이 절편 활동면의 각도 α 는 -90에서부터 90까지

입력할 수 있습니다. 의 정의는 원호와 다중 선형 파괴면에 대해서 각각 그림 3.4.1과 3.4.4를

참고하시기 바랍니다. (화살표 방향이 +)

α

그림 3.6.3 비등방 조건에서 절편 활동면 각도에 대한 점찰력 변화

비등방 조건을 사용하는 경우에는 “깊이에 따른 점착력의 변화”나 “비선형 옵션”을 사용할 수 없

습니다.

α

SoilWorks 52


3.7 보강재

일반적으로 아무런 외적 요인이 없는 원지반 사면의 경우 파괴는 일어나지 않지만, 도로나 기타

시설을 위한 절삭이나 물의 침투 또는 배면 하중 등의 외적 요인 변화에 의해 파괴가 유도됩니다.

이러한 외적 요인은 필요에 의해 발생되며, 이러한 사면의 파괴를 방지하게 위해 여러 가지 보강

대책이 알려져 있습니다. 이 중 대표적이고 널리 사용되는 것이 보강재를 사용하여 사면을 파괴

를 방지하는 형태입니다.

SoliWorks LEM 모듈에서 지원하는 보강재는 앵커, 네일, 스트립, 스트럿의 네 가지 형태입니다.

각각의 보강재는 그 사용목적에 따라 분류되며, 각각의 특성을 정확히 이해하고 그 쓰임에 따라

적절히 정의하여야 정확한 안전율 값을 산정할 수 있습니다.

SoilWorks의 모든 보강재는 확산폭과 확산각을 이용하여 보다 실질적인 거동에 맞게 설정을 할

수 있습니다. 이 기능에 대해서는 부록을 참고하시기 바랍니다.

3.7.1 Anchor

앵커는 사면에 보강재를 설치하고 여기에 긴장력을 줌으로써 사면 활동에 보다 효과적으로 저항

하도록 만든 형태의 보강재입니다. 앵커는 특성 상 축방향 힘만으로 사면 활동에 저항하는 보강

재입니다. 앵커는 크게 긴장재부분과 실제로 긴장력에 저항하는 정착부로 크게 나눌 수 있습니다.

앵커가 사면 활동에 저항하는 축방향 매커니즘은 크게 두 가지 항목으로 나눌 수 있습니다. 하나

는 앵커의 인발 저항력 ResistP 이며, 다른 하나는 앵커의 인장강도 YieldT 입니다.

앵커의 인장강도가 충분히 강하다는 가정 아래 사면 활동면이 긴장재를 지나가는 경우, 앵커가

사면 활동을 유발하는 힘에 저항하지 못하고 뽑힌다면, 긴장재는 사면 활동에 제 역할을 못한다

고 볼 수 있습니다. 따라서 이렇게 인장강도가 충분히 큰 경우는 사면 활동면에 저항할 수 있는

앵커의 최대 저항력 AnchR 은 앵커의 인발 저항력이 되며, 안전율 계산 시 인발 저항력을 사용하

여 계산되어야 합니다. 반대로 사면 활동을 유발하는 힘이 매우 크다고 하더라도 인발 저항력이

SoilWorks 53


이보다 월등히 큰 경우는 앵커의 최대 저항력 AnchR 은 앵커의 인장강도로 제한됩니다. 그 이유는

앵커가 인발되지 않고 굳건히 사면 활동에 저항하는 경우 앵커의 인장력은 점차로 증대되며, 결

국 인장력이 앵커의 인장강도에 도달하는 경우 사면 활동이 발생하기 때문입니다. 이러한 일련의

매커니즘은 TA 86 규준에 명기되어있으며, 수식으로 앵커의 저항력 AnchR 를 나타내면 다음과 같

습니다.

( )min ,Anch Resist YieldR P T= (3.7.1)

SoilWorks에서는 위의 식에서 앵커의 인발 저항력 ResistP 와 인장강도 YieldT 중 작은 값을 입력창

의인장강도로 입력하도록 하고 있습니다.

긴장력을 보강재에 도입하기 위해서는 긴장력에 저항할 수 있는 정착부가 필요합니다. 이 정착부

는 긴장재가 사면활동에 저항하는 저항력을 발휘하도록 하는데 핵심역할을 합니다. 가장 문제가

되는 부분은 사면 활동면이 정착부를 지나갈 때 발생합니다. 사면 활동면이 그림 3.7.1의 A와 같

이 굵은 실선으로 표시된 정착단 외의 긴장재를 지나가는 경우는 인발 저항력 ResistP 를 고려하여

계산을 수행합니다. 그러나 사면 활동면이 정착부를 지나가는 B와 C의 경우에는 특별한 룰에 따

라 고려되어야 합니다.

그림 3.7.1에서와 앵커 B와 C의 정착단에 있는 흰색 점은 정착단의 중간부분을 나타냅니다. 현재

SoilWorks에서는 이 정착단의 중간부분이 원호나 다중 선형 파괴면의 영역 내에 들어오는 B앵커

와 같은 경우 앵커가 사면 활동에 저항하는 것으로 정의하며, 정착단의 중간부분이 원호나 다중

선형 파괴면의 바깥쪽에 위치하는 C앵커와 같은 경우 사면 활동에 저항하지 못하는 것으로 판단

하여 안전율 계산 시 반영하지 않도록 하고 있습니다.

그림 3.7.1 앵커의 계산범위

SoilWorks 54


또한 앵커에서 전단력을 고려할 수 있습니다. 입력하는 방식은 값을 직접 입력하거나, 함수로 입

력이 가능합니다. 이 때 함수 입력방식은 각-전단력의 함수로써, 아래 그림과 같이 수평과 이루는

각에 따라서 전단력의 변화를 고려할 수 있는 기능입니다.

그림 3.7.2 각-전단력 함수

3.7.2 Nail

네일은 사면 활동을 방지하기 위해 설치하는 보강재 중 가장 많이 사용되는 형태의 보강재입니다.

앵커와 달리 긴장력이 도입되지 않으며, 단면이 큰 특징을 가지고 있습니다. 단면이 크기 때문에

사면 활동에 저항하는 저항 매커니즘은 축방향 저항과 단면의 전단저항으로 나눌 수 있습니다.

축방향과 전단방향의 저항 매커니즘에 따라서 SoilWorks에서는 아래와 같이 3가지 옵션을 제공

하고 있습니다.

표 3.7.1. SoilWorks에서 제공하는 Nail 옵션

옵션 축방향 전단방향

SoilWorks 55


Nail 인장강도와 인발저항력으로부터 산정

한 값

일정한 값이나 함수로 입력한 값

Pile 사용하지 않음 전단 저항력을 산정한 값

Nail + Pile 인장강도와 인발저항력으로부터 산정

한 값

전단 저항력을 산정한 값

위 표에서 입력 및 산정하는 방법은 아래에서 자세히 설명하겠습니다.

3.7.2.1 축방향 저항 정의

네일의 축방향 저항 매커니즘은 앵커와 마찬가지로 인발 강도와 인장강도로 나눌 수 있습니다.

또한 축방향 활동 저항력의 정의도 앵커와 동일한 식 (3.7.1)을 사용하여 정의하게 됩니다. 그러나

앵커의 경우 인발 저항력 와 인장강도 중 작은 값을 사용자에게서 입력받지만 네일

의 경우 인장강도와 길이 당 인발 저항력 RCS 값을 직접 입력 받아 프로그램에서 인발 강도를

자동 계산하여 축방향 활동 저항력 을 산정합니다.

(3.7.2)

이때 인발 저항력 은 아래의 수식을 사용합니다.

(3.7.3)

여기서,

: 활동면 바깥쪽 네일 길이 (m)

: 단위 길이 당 인발 저항력 (kN/m)

SoilWorks에서는 RCS의 산정을 두 가지 방법으로 정의할 수 있습니다. 첫 번째 방법은 사용자가

직접 입력하는 방식이며, 두 번째 방법은 네일이 포함된 지반의 단위 면적당 한계 마찰력 Sq 값

으로부터 RCS를 산정하여 사용하는 방법이며, 아래와 같습니다.

ResistP YieldT

_Nail axialR

( )_ min ,Nail Axial Resist YieldR P T=

ResistP

( )0

extl

Resist extP l RCS dl= ×

extl

RCS

SoilWorks 56


2RCS qs Rπ= × × (3.7.4)

여기서,

Sq : 단위 면적당 한계 마찰력 (CLOUTERRE, TA 86, Fascicule 62 이나 실험

또는 논문자료를 통해 얻을 수 있는 값)

: 원주율

R : 등가 반경

등가 반경은 인발에 저항하는 보강재의 반경을 이야기 하며, 네일 둘레에 그라우트나 차수에 의

한 부수적인 단면적의 추가로 인해 발생하는 인발 저항력의 증가가 있는 경우와 같은 특수한 상

황이 아니라면 일반적으로 네일의 단면적을 사용하면 됩니다.

하지만, 전단저항력만을 고려하는 옵션을 사용했을 경우에는 축방향 저항력은 무시되며, 아래 전

단 저항력만을 고려하게 됩니다.

3.7.2.2 전단 저항 정의

1. 전단저항력을 입력하는 방법

전단 저항을 정의하는 방법으로는 일정한 값이나 함수로 입력하는 방법과 물성치로부터 산정해주

는 방법이 있습니다.

먼저 네일에서 전단 저항을 입력하는 방법은 전단 저항력 _Nail shearR 는 일반적으로 길이에 따라

일정하게 분포하지만 그림 3.7.3와 같이 경우에 따라 길이방향으로 전단 저항력의 분포가 변할

수도 있습니다. 이러한 특성을 모두 고려하기 위해 SoilWorks에서는 길이방향으로 전단 저항력이

일정한 경우와 변하는 경우 모두 지원하고 있습니다. 저항력 분포 함수는 네일 두부로부터 떨어

진 거리에 대한 전단력의 값을 함수값으로 입력하도록 되어있습니다.

π

SoilWorks 57


그림 3.7.3 네일 길이방향에 따른 네일의 전단력 분포함수

네일의 경우 앵커와 같은 정착단이 없기 때문에 네일 중 일부분이 파괴면과 만나더라도 사면 활

동에 저항하는 것으로 간주하여 안전율 계산에 적용합니다.

2. 전단저항력을 산정해 주는 방식

전단저항 특성을 지닌 보강재는 Tresca 기준을 따르며, 전단 저항력은 인장 강도의 50%를 넘길

수 없습니다.

2Axial ShearT T= (3.7.5)

22 2

2Axial

Shear Shear

RR T

+ ≤

(3.7.6)

여기서,

Axia lT : 축방향 인장 강도

ShearT : 전단 강도

AxialR : 축방향 저항력,

ShearR : 전단 저항력.

SoilWorks 58


AxialR

ShearR

AxialT

ShearT

그림 3.7.4 보강재의 안전영역

그리고, 전단 저항력은 길이에 따라서 보강재를 강재로 간주하는 여부에 따라서 거동의 차이가

발생합니다. 기준길이는 아래와 같습니다.

42refsoil

EIL

E

= ×

(3.7.7)

여기서,

EI : 보강재의 휨강성,

soilE : 지반의 횡방향 탄성계수.

그리고 SoilWorks에서는 기준길이에 따라서 아래표와 같이 최소값을 전단저항력으로 산정합니다.

표 3.7.2. 길이에 따른 Nail 보강재 분류

refL L< (rigid)

1 0.25shear LimitR p B L= ⋅ ⋅ ⋅

2

2 20.10 4.05 1 /Axialshear Limit plastic

Axial

RR p B L M L

T

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ −

refL L≥ (flexible) 1 0.25shear Limit refR p B L= ⋅ ⋅ ⋅

SoilWorks 59


2

2 20.12 3.24 1 /Axialshear Limit ref plastic ref

Axial

RR p B L M L

T

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ −

여기서, Limitp 는 지반의 한계압력, B 는 보강재의 폭, plasticM 는 강재의 소성모멘트입니다.

보강재의 최대 소성 모멘트는 아래 그림과 같이 최대 굽힘변형이 발생하는 위치에서 발생하게 됩

니다.

그림 3.7.5. 최대 모멘트가 발생하는 위치

최대 소성 모멘트가 발생하는 위치에서 완전한 소성이 발생하였다고 생각하면, 응력상태는 아래

그림과 같습니다.

그림 3.7.6. 완전 소성상태에서 전단 응력

SoilWorks 60


폭 b 를 가진 사각형 단면에서 완전 소성이 발생했다고 가정하면, 인장력과 I에서의 모멘트는 아

래 식과 같이 정의됩니다.

( )2axial t t cT k b h h= −

( )2 2I t t cM k b h h= +

여기서 tk 는 보강재의 전단강도, th 는 인장력이 미치는 높이, ch 는 압축력이 미치는 높이입니다.

최대 소성 모멘트는 아래식과 같습니다.

2t c

plastic I axial

h hM M T

− = −

( ) ( )

( )

2 2 22

2

t cplastic t t c t t c

t t c

h hM k b h h k b h h

k b h h

− = + − −

=

그리고 단순보의 최대 허용 모멘트는 사용자가 입력하며, 아래처럼 계산이 됩니다.

2

2t

allowable

k bhM =

이때 t ch h h= + 이므로,

( )2

4plastic t c

allowablet c

M h hM

h h

+= 입니다.

( )2axial t t cT k b h h= − , ( )2axial t t cR k b h h= + 이므로,

최대 소성 모멘트는 위 식들에 의해서 아래처럼 정리됩니다.

SoilWorks 61


2

21 axialplasitc allowable

axial

TM M

R

= −

위 표 3.7.2에서 산정한 축방향 저항력과 전단 저항력을 이용하여 아래와 같이 도시할 수 있으며,

이때 T가 보강재력으로 산정됩니다.

AxialR

ShearR

AxialT

ShearT

θ

1shearR

2shearR

ResistP

θ

그림 3.7.7. 전단력 산정방법 도시

보강재는 또한 파괴원과의 상대 각도에 따라서 아래의 그림과 같이 3가지 경우로 정의하고 있습

SoilWorks 62


니다. 따라서 이때 필요한 임계각( critθ )을 추가로 입력받게 됩니다. 이때 임계각에 의한 경계선

( critθ , 2 crit

π θ− )에서는 안전율이 급격히 변하는 현상이 발생할 수 있기 때문에, 5o 이하로 정의

하는 것이 일반적입니다.

θcritθ

θcritθ

θ2 crit

π θ−

그림 3.7.8. 임계각 적용방법

SoilWorks 63


3.7.3 Strip & Fabric

스트립은 사면 또는 굴착면의 사면 활동 거동에 저항하도록 강재나 섬유 종류의 보장재를 사용하

는 형태의 보강재입니다. 스트립이 사면활동에 저항하는 매커니즘은 스트립의 인발강도가 주된

항목이 되며, 이러한 인발강도는 그림 3.7.9에서와 같이 배면 지반의 자중으로 인해 발생되는 스

트립 수직력이 유발하는 Coulomb 법칙에 의한 스트립 부재방향 마찰력입니다. 이러한 마찰력은

활동면 바깥부분으로 저항하게 되며, 이러한 매커니즘을 통한 스트립의 최대 저항력 /strip fabricR

은 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

/ ( )0

extl

strip fabric v inputR i B dlσ μ= ⋅ ⋅ (3.7.8)

여기서,

i : 마찰면의 수

extl : 활동면 바깥쪽 스트립 길이

B : 스트립 폭

( )v inputσ : 스트립에 발생하는 수직 응력 (사용자 입력)

μ : Coulomb 마찰계수

그리고 상세법인 경우에는 현재 사용되고 있는 지반의 단위중량을 이용하여, 수직응력

을 산정하여 최대 저항력을 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

( )/ ( )0tanextl

strip fabric v calR i B c dlφ σ= ⋅ ⋅ ⋅ + (3.7.9)

여기서,

( )v calσ : 스트립에 발생하는 수직 응력 (사용지반에서 산정)

,cφ : 마찰각과 점착력

SoilWorks 64


만약 활동면 바깥쪽으로 스트립 길이가 0(zero)인 경우, 즉 황동면 안쪽에 스트립 전체가 포함되

는 경우는 스트립이 활동면에 저항하지 않는 것으로 가정하여 계산에서 고려하지 않습니다.

extl

hv hσ γ=

그림 3.7.9 스트립 매커니즘

3.7.4 Strut

스트럿은 굴착면에 흙이 흘러내리는 것을 방지하기 위해 설치하는 외부 보강을 의미합니다. 주된

역할이 흙의 흘러내림을 방지하는 것이지만 결과적으로 사면 활동에 저항하는 역할을 하게 됩니

다.

스트럿은 보강재 이지만 그 역할과 계산방식은, 확산폭과 확산각을 정의하고 활동면에 직접 작용

하는 하중처럼 처리합니다.

SoilWorks 65


3.8 결과연동해석을 이용한 간극수압 산정

일반적으로 침투해석의 정상류, 비정상류 해석을 통해서 간극수압을 산정하지만, 이를 이용하여

정확한 수위를 결정하고 한계평형법에 적용하기는 상당히 어려움이 많습니다. 왜냐하면, 일반 침

투해석인 경우 유한요소를 이용한 해석을 수행하는 반면, 한계평형법은 절편을 이용하여 해석을

수행하기 때문입니다.

본 프로그램에서는 결과연동해석을 이용하여, 침투해석의 간극수압 결과를 보다 쉽게 한계평형법

에 적용할 수 있도록 하였습니다. 적용하는 방법에 대해서는 아래에서 보다 자세하게 기술하겠습

니다.

3.8.1 파괴면에서의 간극수압 및 수위결정

파괴면의 어느 특정점에서의 간극수압을 산정하기 위해서는 아래 그림과 같이 산정하려는 점이

속하는 요소를 선별한 후 해당 절점의 간극수압을 이용합니다. 이때 산정하려는 점은 대부분의

경우 절점의 좌표와 일치하지 않기 때문에 절점의 간극수압을 보간하여 해당 점의 간극수압을 산

정합니다.

그림 3.8.1. 파괴면에서의 간극수압 산정방법

SoilWorks는 절점 간극수압을 이용하여, 양의 간극수압이 속한 부분을 수위로 구분합니다. 이 때

양과 음의 간극수압이 존재하는 부분에서는 보간을 통해서 적절한 위치에 수위를 산정합니다.

SoilWorks 66


수위가 산정되면, 토체의 중량을 산정할 때 수위 아래 부분은 포화단위 중량을 사용하고, 위 부분

은 건조단위 중량을 사용합니다.

그림 3.8.2. 간극수압을 이용한 수위산정

한계평형법에서 연계 해석을 통해 간극수압을 결정하는 방법은 산정하고자 하는 위치에서 요소를

찾는 작업이 반복적으로 수행됩니다. 따라서 요소와 절편이 많아서 산정하고자 하는 점이 많은

경우에는 탐색작업에 많은 해석시간이 소요됩니다. 따라서 아래 그림과 같이 적당한 간격에 따라

서 요소를 구분한 후 해당 bucket에 있는 요소만 탐색하게 되면 효과적으로 탐색이 가능하게 됩

니다.

그림 3.8.3 Bucket List를 이용한 요소 배분

SoilWorks 67

암반사면 한계평형법

Chapter 4

4.1 일반사항

암반사면을 해석하고 설계에 적용함에 있어서 가장 중요한 요소는 깎기사면 배후의 암반 지질조

건과 불연속면의 방향, 연속성 입니다. 이는 토사, 풍화대, 파쇄대 지반과 다르게 암반의 경우 불

안정요인이 기 존재하는 불연속면의 기하학적 특성과 전단강도(거칠기, 충전물)에 의한 역학적 특

성이기 때문입니다.

일반적으로 사면의 파괴는 규모와 거동에 따라 낙석과 같은 붕괴와 가장 취약한 파괴면을 따라

발생하는 슬라이딩으로 구분할 수 있습니다. 특히 암반사면은 기 존재하는 불연속면과 깎기사면

의 방향,각도 조합에 의해 1) 평면파괴 2) 쐐기파괴 3) 전도파괴로 구분됩니다.

Chapter 3 에서 설명된 토사,풍화대에서의 원호파괴 유형과 마찬가지로, 암반사면에서도 한계평

형해석은 가장 널리 사용되고 있으며, 정확한 파괴블럭의 규모만 예측한다면 간단한 힘의 평형조

건으로 안전율을 계산할 수 있습니다.

그림 4.1.1 암반사면 파괴유형

여기서 원호파괴는 토사(풍화대)사면의 파괴형태와 일치하며, 사면모듈의 한계평형법을 이용하며

해석이 가능합니다. 그리고 대표적인 암반파괴의 형태인 평면파괴와 쐐기파괴를 따로 암반사면

모듈로 분리하여, 보다 편리하게 파괴블럭을 모델링하고 해석이 가능하도록 하였습니다. 주어진

암반사면의 모델에 대해서 해석적인 안정성을 평가한 후 파괴형태에 따른 보강여부를 결정할 수

있게 됩니다.

SoilWorks 68


4.2 파괴유형별 해석법

4.2.1 평면파괴

평면파괴는 사면의 경사각이 불연속면의 경사각보다 큰 경우 파괴가 발생하며, 평면 변형율 요소

와 같이 깊이 방향에서 하중 및 힘은 고려되지 않는 2차원상의 해석입니다. 즉, 다음과 같은 가정

을 기반으로 계산됩니다.

a) 활동면, 인장균열면의 주향은 사면의 주향과 일치하여 2차원 구조를 가진다.

b) 활동면에 작용하는 모든 하중(무게,수압,보강력등)은 무게중심을 기준으로 작용하므로, 회

전에 대한 힘의 평형은 항상 만족한다.

c) 파괴블럭의 양 측면은 이완면으로 어떠한 저항력도 작용하지 않는다.

그림 4.2.1 평면파괴 기하형상

SoilWorks 69


4.2.2 쐐기파괴

쐐기 파괴는 두 방향의 불연속면이 교차하여 파괴가 발생합니다. 따라서 기하학적인 형상과 힘(작

용력과 저항력)이 3차원으로 계산되어야 하며, 경사각뿐만이 아니라, 경사방향의 회전각이 같이

고려되어야 합니다. 또한 다음과 같은 운동학적 조건을 만족할때 쐐기파괴에 대한 안정성을 검토

하게 됩니다.

a) 두 불연속면의 교차선 경사(Plunge)는 절리면의 내부 마찰각 보다 커야 한다. 즉, 미끄러져

내려가는 활동력이 절리면 전단강도보다 커야 파괴가 발생한다.

b) 두 불연속면의 교차선 경사(Plunge)는 사면 경사보다 작아야 한다. 파괴블럭이 형성될 수

있는 기하학적 조건에 해당된다.

c) 두 불연속면의 교차선 방향(Trend)은 사면의 경사방향과 평행하거나 오차범위 ±20도 이내

로 사면과 교차해야 한다.

그림 4.2.2 쐐기파괴 기하형상

SoilWorks 70


4.2.3 안정성 평가

그림 4-2-3은 가장 기본적으로 자중만 재하되는 경우, 힘의 평형에 따라서 안전율을 산정하였습

니다. 암반모듈은 파괴블럭의 자중 산정 시 기본적인 형태뿐만 아니라, 사면의 형상변화, 다양한

소단의 형태에 따른 자중을 자동으로 고려함으로써, 기존에 임의의 평균각도를 이용하여 계산하

는 것보다 정확한 해석을 수행할 수 있도록 하였습니다.

여러가지 하중(정적지진하중, 수압, 외부하중)과 보강재(락볼트, 락앵커)를 고려할 수 있으며, 이에

대한 자세한 내용은 별도로 각 장에서 자세히 기술하였습니다.

그림 4.2.3 파괴블럭 자중에 의한 작용력

안전율 (F.S)은 아래와 같이 활동력과 저항력의 비로 나타냅니다.

. . 저항력 활동력

파괴블럭의 자중만 고려하고, 절리면의 강도특성이 Mohr-Coulomb파괴기준을 만족한다고 볼때,

안전율은 다음과 식과 같이 계산됩니다.

. . ,

여기서, W 는 파괴블럭의 자중, N 은 자중에 의한 법선력, T 는 자중에 의한 활동력, nσ 은

SoilWorks 71


수직응력, τ 은 전단강도, faill 는 파괴면의 길이, φ 는 마찰각, c는 점착력, θ 는 파괴각입니

다. 그리고 쐐기 파괴인 경우에는 자중에 의한 법선력( N )이 파괴면에 따로 존재하며, 아래와 같

은 수식으로 산정할 수 있습니다.

·· , ··

자중이외의 추가하중조건, 즉 수압, 정적지진하중, 외부하중, 보강력등이 고려되면 이는 각각 활동

력, 저항력을 증가 혹은 감소시키는 역할을 하게 됩니다. 파괴블럭에 이 모든 조건이 동시에 작용

할 경우 아래 예제와 같이 위의 일반식을 풀어서 계산할 수 있습니다. 모든 작용력은 파괴블럭의

무게중심에 작용하여 모멘트에 의한 평형은 항상 만족하는 것으로 가정합니다.

그림 4.2.4 평면파괴시 힘의 작용력

. .

여기서 c와Φ는 절리면의 점착력과 마찰각, A는 절리면의 길이, W는 파괴블럭의 무게, sc는 지진

계수, U는 절리면 작용수압, V는 인장균열면 작용수압, T는 보강재의 인장력, S는 보강재의 전단력

에 해당되며, θ는 보강재와 절리면 사잇각, β는 파괴가능으로 판정된 절리면의 경사각 입니다.

SoilWorks 72


4.3 지반재료특성

4.3.1 지반재료의 정의

암반사면의 안전율은 정확한 파괴블럭의 규모 예측과 함께 슬라이딩이 발생하는 절리면의 전단강

도 특성을 정의하는 것이 가장 중요합니다. 현장조건, 계측및 실험된 데이터의 종류에 맞게 절리

면의 강도특성을 명확하게 정의할 수 있도록 대표적으로 많이 사용되는 5가지 모델에 대해서 적

용 가능합니다. 쐐기 파괴인 경우에도 두 면에 대해서 별도로 선택이 가능하도록 구현되어 있습

니다.

(1) Mohr-Coulomb

지반의 가장 대표적인 재료 모델로써, 전단강도와 수직응력의 관계는 아래의 수식과 같이 나타낼

수 있습니다.

tann cτ σ φ= ⋅ +

여기서, τ 은 전단강도, nσ 은 수직응력, φ 는 마찰각, c는 점착력입니다.

(2) Barton-Bandis

Barton-Bandis의 전단응력은 아래식과 같습니다.

10tan logn bn

JCSJRCτ σ φ

σ

= ⋅ +

여기서, bφ 은 파괴면의 기초 마찰각, JRC 는 접촉부의 거칠기 계수, JCS 는 접촉부의 압축

강도입니다.

SoilWorks 73


(3) Hoek-Brown

Hoek-Brown의 한계강도는 아래의 식과 같습니다.

1/2

31 3 ci

ci

m sσσ σ σσ

= + +

여기서, 1σ 은 최대 주응력, 3σ 은 최소 주응력, ciσ 암반의 일축압축강도, m , s 는 암반의

재료 상수입니다.

(4) Generalized Hoek Brown

아래 수식은 Hoek Brown의 식을 보다 일반화 시킨 것입니다.

31 3

a

cici

m sσσ σ σσ

= + +

(5) Power Curve

Power Curve의 전단강도는 아래의 수식과 같이 나타낼 수 있습니다.

( )b

na cτ σ= +

여기서, τ 은 전단강도, nσ 은 수직응력, c는 점착력, a , b 는 암반의 재료 상수입니다.

4.3.2 거칠기와 충전물 고려

암반절리면의 경우 그 특성상 하나의 재료모델만으로는 역학적 거동을 명확하게 정의하는데 한계

가 있습니다. 현장조건을 보다 상세하게 정의하여 해석에 반영하기 위해 암반모듈은 다음과 같은

추가 고려옵션을 제공하고 있습니다. 충전물의 경우 절리면의 전단강도 특성과 무관하게 충전물

의 종류와 충전율에 따라 안전율에 절대적인 영향을 미칩니다.

SoilWorks 74


(1) 거칠기 고려

절리면의 거칠기 따라 전단강도는 증가하고, 안전율도 선형으로 증가합니다.

아래 식과 같이 작용하는 법선방향 응력에 대해 거칠기 각도만큼 증가되는 전단강도를 더해주는

역할을 합니다.

( )tanR n Rτ σ φ= ⋅

여기서, Rτ 은 거칠기의 전단강도, Rφ 은 거칠기의 마찰각입니다.

(2) 충전물 고려

충전물은 강도, 거칠기, 수압과 함께 절리면의 전단거동을 지배하는 대표적인 요소로 인접한 절리

면 사이를 채우고 있는 물질입니다. 대부분 모래,실트,점토와 같이 절리면의 전단강도를 저하시키

는 물질로 충전물의 두께와 충전물의 강도특성이 암반사면의 안정성을 좌우합니다. 충전물이 고

려된 절리면의 전단강도는 아래의 식과 같습니다.

( )max max min tanh tm

aμ μ μ μ = − −

여기서, μ 는 응력비( / nτ σ= ), maxμ 는 충전되지 않은 절리면의 응력비, minμ 충전재의 응력

비, m 은 재료상수, t

a은 충전재 두께와 거칠기 진폭(asperity) 비입니다.

SoilWorks 75


4.4 하중

4.4.1 수압

암반사면은 토사사면과 달리 암반자체의 투수특성은 현저히 낮기 때문에 절리면과 인장균열면 사

이의 침투수에 의한 압력하중의 형태로 그 영향성을 고려하였습니다. 분포형태와 수위높이 (수압

작용영역%)에 따라 수압(u )는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

( )0

hw

wu h h t dlγ ξ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

여기서, wγ 는 물의 단위 중량, h 는 수위로부터 해당 깊이, ( )hξ 는 형상계수 (soilworks에서

는 선형분포, 삼각형분포, 등분포를 제공), t 는 깊이방향 두께입니다.

계산된 수압은 각 불연속면의 법선방향으로 파괴블럭 자중에 대해 저항력을 감소시키고 활동력을

증가시켜 비탈면의 안정성을 저해하는 가장 큰 요소가 됩니다.

수압은 충전물의 투수특성, 즉 충전물의 존재여부, 비탈면 하부의 배수특성여부에 따라 서로 다른

분포형태를 가집니다. 암반모듈 에서는 다음과 같이 인장균열 고려 여부에 따른 수압분포형태를

정의할 수 있습니다.

(1) 선형분포

최대수압이 절리면 시작점에 작용한다는 설정입니다. 4가지 분포형태 중 최대수압의 크기가 가장

크게 계산되며, 절리 시작점, 즉 비탈면 하부에서 투수율이 낮은 점토 충전물이나, 동결등에 의해

지하수가 유출되지 않을경우 적용합니다.

SoilWorks 76


그림 4.4.1 선형분포

(2) 삼각형분포

수압작용영역 중 최대수압이 중간지점에 작용한다는 설정입니다. 선형으로 증가하고 감소하여 절

리시작점과 끝점의 작용수압은 0이 되며, 비탈면 하부에 배수가 원활하여 지하수가 유출되는 경

우에 해당됩니다

그림 4.4.2 삼각형분포

SoilWorks 77


(3) 등분포 (사용자정의)

실제 작용수압에 대한 데이터가 있을 경우 주관적 판단하에 유용하게 사용될 수 있는 옵션입니다.

절리면과 인장균열면에 평균수압을 압력하중의 형태로 직접 입력하며 수압을 자동 계산하기 위한

물의 단위중량, 수압작용영역 (지하수높이)에 대한 정보는 필요로 하지 않습니다.

그림 4.4.3 등분포 (사용자정의)

(4) 인장균열 기준

인장균열을 따라 지하수위가 위치할때 적용하며 삼각형 분포와 같이 비탈면 하부는 배수가 원활

한 조건입니다. 특히, 단기적인 집중호우와 활동면(절리면)에 투수성이 작은 점토 충전물등이 있을

경우 인장균열에만 수압이 작용하고 활동면에는 수압이 작용할 가능성이 적어지기 때문에, 이 때

절리면 작용수압을 임의로 고려하지 않고 수압을 적용할 수 있습니다.

SoilWorks 78


그림 4.4.4 인장균열기준

4.4.2 정적지진하중

정적지진 하중은 지진시 발생하는 동적하중을 정적으로 치환하여 고려한 하중을 말합니다.

수평 방향/절리면 방향 뿐만 아니라, 사용자의 의도에 따라서 전체좌표계를 이용하여 직접 입력

가능합니다. 일반적으로 지표면에서 지진파의 지표면 최대수평가속도의 50%를 파괴블럭의 무게

에 곱한 하중을 등가정적하중으로 치환하여 안정성을 검토합니다. 지진하중으로 인한 지표면 최

대수평가속도를 amax라 하면, 지진으로 인하여 파괴블럭에 추가로 작용하는 횡방향 힘은 다음과

같습니다.

Kh = amax / g ( × 50%) W

여기서, amax = 지표면 최대 수평가속도, W = 파괴블럭의 무게, g = 중력가속도

SoilWorks 79


적용하는 지진계수는 다음 표와 같이 지반종류에 따른 지진구역계수와 내진성능목표를 고려한 위

험도 계수를 곱하여 적용합니다.

지반종류 지진구역 내진등급

특등급 1등급 2등급

SA I 0.18 0.13 0.09

II 0.10 0.07 0.05

SB I 0.22 0.15 0.11

II 0.14 0.10 0.07

SC I 0.26 0.18 0.13

II 0.16 0.11 0.08

SD I 0.32 0.22 0.16

II 0.22 0.15 0.11

SE I 0.44 0.31 0.22

II 0.34 0.24 0.17

4.4.3 외부하중

비탈면 상단에 재하되는 구조물 하중, 또는 절리시작점/소단에 저항력 증가의 목적으로, 여러 방

향과 크기의 하중을 동시에 적용할 수 있습니다. 작용력은 보강재의 인장력과 같이 입력된 각도

에 따라 축방향력으로 고려됩니다.

SoilWorks 80


4.5 보강재

암반모듈에서는 락앵커(Rock Anchor)와 락볼트(Rock Bolt) 두 종류의 보강재를 제공합니다.

인장력은 아래 수식과 같이 인발력과 비교하여 최소값으로 산정하며, 전단력은 락앵커일 경우는

고려하지 않습니다.

그림 4.5.1 보강재특성 (보강력옵션)

( )min ,axial tension pulloutR P P=

extl

pulloutP q D dlπ= ⋅ ⋅

여기서, axialR 은 축방향 보강력, tensionP 은 인장력, pulloutP 은 인발력, q 은 단위면적당 인발

응력, D 은 보강재의 직경, extl 보강재의 파괴면 외부 길이입니다.

암반모듈에서는 배치이후 개별 보강재의 파괴면 외부길이(정착길이)를 자동으로 계산하여 인발력

을 고려합니다.

SoilWorks 81


부록

A. 확산폭과 확산각의 정의

실제 보강재는 파괴면 상에서 보강재가 설치된 위치뿐만 아니라 어느 정도 주변 영역에 보강력을

분배시키는 역할을 합니다. 이러한 분배 효과를 고려하기 위하여 SoilWorks에서는 확산폭과 확산

각이라는 개념을 도입하여 실제 보강력의 분배 효과를 고려할 수 있도록 하고 있습니다.

확산폭(diffusion width)과 확산각(diffusion angle)은 보강재가 보강효과를 발휘하는 영역에 대한 가

시적인 현상을 그림 A.1에 나타내었습니다.

a

a

그림 A.1 보강재에 사용되는 확산폭과 확산각

그러나 실제 영향을 고려할 수 있다는 장점에 비해 확산폭과 확산각을 어느 정도 입력해야 실제

와 유사한 현상을 반영할 수 있는지는 잘 알려져 있지 않습니다. 일반적으로 diffusion width는 보

강재의 두부 부분 평균 폭을 사용하는 것이 좋으며, 확산각은 실험을 통해 얻는 것이 좋지만 그

렇지 않을 경우 일반적으로 10~20도 정도를 줍니다.

SoilWorks 82


B. 보강재의 분배율

보강재의 보강 효과는 부록 A.의 확산폭과 확산각을 사용하여 특정 영역에 보강력을 분산시키도

록 되어있습니다. 이때 분산된 보강력은 보강재와 이루는 각이 작은 절편에서는 그 효과가 크고

보강재와 이루는 각이 큰 경우 그 효과가 작아지게 됩니다. 이러한 분포를 고려하기 위해 3.7장

에서 계산된 보강재의 보강력에 아래에서 계산된 분배율 ρ 를 곱하여, 각 절편에 분포된 보강력

을 산정함으로써 절편에 따라 분배를 시킵니다.

aa

iShearR

iAxialR

iSlicel

iB ATotalShearR

TotalAxialR

그림 B.1 i 번째 절편에서 분배된 보강력도

먼저 그림 B.1에서 확산폭과 확산각에 의해 정의된 A 점과 i 번째 절편 중심점 iB 까지의 거리를

산정합니다. 그리고 보강재에서 iB 까지 수직선을 그린 후, 절편이 이 수직선에 투영된 길이

iSlicel 를 계산합니다. 이렇게 모든 절편의 계산 과정을 거친 후 이를 이용하여 분배율을 결정하고,

산정된 분배율을 통해 i 번째 절편에서의 절편력을 산정하면 아래와 같습니다.

i TotAxial i AxialR Rρ= (B.1a)

i TotShear i ShearR Rρ= (B,1b)

이때 iρ 은 절편 i 에서의 보강력 분배율이며, iSlicel 와 iAB 를 사용하여 다음과 같이 계산됩니다.

SoilWorks 83


iSlice

ii i

Slice

ii

l

ABl

AB

ρ =

(B.2)

또한 힘의 평형조건을 통해 아래의 조건 식이 성립되어야 합니다.

Total iAxial Axial

i

R R= (B.3a)

Total iShear Shear

i

R R= (B.3b)

그러나 위의 식 (B.3)은 모멘트 평형은 만족시키지 못합니다.

위의 식 (B.1)과 (B.3)을 근거로 절편의 보강력 분배율은 다음의 조건을 만족해야 합니다.

1ii

ρ = (B.4)

만약, 확산각 a 가 0(zero)의 값으로 설정되는 경우 점 A 는 발생하지 않습니다. 이러한 경우는

아래의 방법으로 분배율을 산정합니다.

iSlice

i iSlice

i

l

lρ =

(B.5)

식 (B.1)을 통해 계산된 i 번째 절편의 분배된 보강력은 보강재 방향이며, 실제 절편의 법선 및 접

선방향 절편력인 iNormalR 와

iTangentialR 로 사용하려면, 절편 활동면 방향으로 회전시켜주어야 합니

다. 이는 그림 B.2에서와 같이 벡터의 회전 알고리즘을 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있습니

다.

sin( ) cos( )i i iNormal Axial i Shear iR R Rα β α β= + − + (B.1a)

SoilWorks 84


cos( ) sin( )i i iTangential Axial i Shear iR R Rα β α β= + + + (B,1b)

여기서

β : 수직축과 보강재 사이의 각 (그림 B.2 참조)

iα : 그림 3.4.1에서와 같이 i 번째 절편의 α 값

iShearR

iAxialR

iTangentialR

iNormalR iα

β

그림 B.2 β 의 정의

Par

t IV

|

Con

solid

atio

n


SoilW

orks


Consolidation

Chapter 1

Chapter 2

압밀해석

유한요소해석

1차원 이론 해석

Part IV

Part

II |

G

eoXD A

nalysis

유한

요소

법

Analysis Reference

Contents

Consolidation 압밀해석 / 001

Chapter 1 유한요소해석 / 003

1.1 지배 방정식 / 003

1.2 유한요소 정식화 / 004

1.3 압밀 요소의 특성 / 009

1.3.1 평면변형 요소의 자유도 / 010

1.4 압밀 해석 시 주의할 점 / 012

1.4.1 시간 및 하중의 입력 / 012

Chapter 2 1차원 이론해석 / 015

2.1 일반사항 / 015

2.2 침하량 계산법 / 016

2.2.1 점성토의 압밀침하량 / 016

2.2.2 사질토층의 침하량 / 018

2.2.3 점성토의 Rebound량 / 020

2.2.4 2차 압밀침하량 / 023

2.3 유효상재압 및 수직증가응력 계산법 / 024

2.3.1 유효상재압 / 024

2.3.2 성토하중 / 024

2.3.3 집중하중 / 026

2.3.4 선하중 / 026

2.3.5 띠하중 / 027

2.3.6 구형하중 / 028

2.3.7 지중응력증가량 계산방법 / 029

2.3.8 성토하중의 재하거리 설정 / 030

2.4 침하시간에 따른 압밀도 산정 / 032

2.4.1 미개량 시 아밀시간 / 032

2.4.2 압밀층의 두께 환산 / 032

2.4.3 배수공법에 따른 압밀도의 산정 / 035

2.5 성토하중에 의한 지반의 강도증가량 / 048

2.5.1 일반식 / 048

2.5.2 SCP 또는 GCP 처리시의 강도증가량

/ 048

2.6 단계재하 시 시간에 따른 침하량 / 049

2.6.1 일반사항 / 049

2.6.2 총하중법 / 049

2.6.3 개별하중법 / 056

압밀해석

SoilWorks 1

압밀해석은 물이 외적 하중에 저항을 하는 경우 발생하는 과잉간극수압이 시간에 따라 소산되는

과정을 계산하는 해석방법입니다.

비배수 조건에 의해 미처 빠져나가지 못하고 하중을 견디던 물은 배수조건 경계를 통하여 시간이

경과함에 따라 서서히 빠져나가므로 과잉간극수압은 시간에 따라 감소하게 되고 물이 분담하고

있는 내력부분을 점차 흙의 골격이 저항하는 것으로 전환되어 흙의 골격에 점진적으로 변형을 일

으킵니다. 이로 인해 골격에 존재하는 응력인 유효응력이 증가하게 됩니다.

압밀해석에서는 일반적으로 경과시간에 따라 과잉간극수압은 감소하고 유효응력은 증가하는 메커

니즘이 발생합니다. 그리고 시간에 따른 유효응력의 증가는 흙의 골격부 변형을 유도하고, 이러한

변형은 중력방향에 따라 누적되어 전체적으로 시간 경과에 따라 중력 방향으로 침하되는 거동을

보여줍니다.

이러한 시간에 따른 변형의 증가는 구조물 기초부에 침하를 발생시키며, 구조물 기초부에 발생되

는 부등침하 등의 영향은 구조물의 안정성에 크게 영향을 미치는 요인으로 작용합니다.

압밀해석 중에 지반은 밀도, 강성 및 강도가 증가하고, 파괴는 거의 발생하지 않습니다. 압밀해석

은 일반적으로 비배수 해석이 선행되며, 비배수해석 중에 파괴가 발생하지 않으면, 압밀해석 중에

지반은 파괴가 발생하지 않습니다.

이러한 압밀해석을 수행하는 방법에는 이론식에 근거한 1차원 압밀해석기법과 유한요소법에 의한

방법으로 크게 나눌 수 있습니다. 1차원 압밀해석의 경우 간단한 과정을 통해 쉽게 결과를 얻을

수 있다는 장점이 있지만 2차원 해석에 국한되어있으며, 일반화되고 복잡한 형상의 지반해석에

사용하기에는 제한사항이 많습니다. 유한요소해석법의 경우는 이러한 형상적 제약 사항이나 일반

해석에 제약이 많지 않은 대신 모델링 및 해석에 시간이 많이 걸린다는 단점이 있습니다.

SoilWorks에서는 1차원 압밀해석기법과 유한요소법에 의한 압밀해석을 모두 지원하고 있습니다.

SoilWorks 2

Consolidation Analysis

유한요소해석

Chapter 1

SoilWorks 3


지금까지 고체와 유체의 해석은 개별적 혹은 중첩적으로 고려되었습니다. 그러나, Biot는 토질역

학에 적용된 연계된 고체-유체 상호작용에 대한 이론을 정식화 하였습니다. 지반은 공극을 갖는

탄성고체로 다루어지고, 공극의 유체는 압축성과 연속성 조건에 의해 고체와 연계됩니다.

Biot의 지배방정식은 식 (1.1.1)과 같이 주어집니다.

2 2 2

2 2 2w w w w

x y zw

K p p p p pk k kx y z t t

(1.1.1)

여기서, K : 지반의 체적탄성계수,

p : 평균 전응력

식을 단순하게 하기 위해 2차원 상태를 가정합니다. 평형 조건에서 요소하중이 없을 때 유효응력

의 변화율은 간극수압의 변화율에 의해 식 (1.1.2)와 같이 증가됩니다.

0

0

xyx w

xy y w

px y x

px y y

(1.1.2)

구성법칙은 앞에서 고체(식 (1.1.1))과 유체(식 (1.1.2))에 대해 각각 정의 되었습니다. 최종적으로

완전포화와 비압축성을 가정하면, 지반 요소로부터의 물의 유출은 요소의 부피를 감소시킵니다.

따라서, 아래 식과 같이 나타낼 수 있습니다.

yx qq d u vx y dt x y

(1.1.3)

SoilWorks 4


식 (1.1.1)로부터 세 번째 미분방정식이 식 (1.1.4)와 같이 주어집니다.

2 2

2 2 0yx w w

w w

kk p p d u vx y dt x y

(1.1.4)

1.2 유한요소 정식화

지반 내에 발생되는 물리적 문제와 흐름문제를 연관지어 해석을 수행하기 위해서는 물리적 문제

에 대한 평형방정식과 지하수 흐름에서의 두 가지 평형조건을 모두 만족시켜야 합니다. 이를 위

해 먼저 지반입자 사이에 발생되는 물리적 문제에서의 에너지 평형조건을 가상일의 원리를 사용

하여 유도하면 다음과 같습니다.

포화된 지반의 내적 가상일 inW 은 아래와 같이 유도할 수 있습니다.

Tin V

W dV ε σ (1.2.1)

이때, 전응력 σ 은 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

111000

xx

yy

zzw w

xy

yz

zx

σ σ m (1.2.2)

여기서,

σ : 유효응력

w : 간극수압

1,1,1,0,0,0 Tm

SoilWorks 5

Chapter 1 FEM Consolidation Analysis

이때, 유효응력 σ 은 아래와 같이 나타냅니다.

σ Dε DBd (1.2.3)

여기서,

D : 재료강성 행렬

ε : 탄성 변형률

B : 변형률-변위 관계 행렬

d : 변위

또한, 요소 내 임의 위치에서의 간극수압 w 은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

w w N p (1.2.4)

여기서,

wN : 간극수압에 대한 요소형상함수

p : 절점 간극수압

따라서 식 (1.2.2)는 아래와 같이 변형됩니다.

w σ DBd mN p (1.2.5)

식 (1.2.5)를 식 (1.2.1)에 대입하고, :T T T ε d B 을 통해 가상 변위 Td 에 대해 정리하면 아

래 식 (1.2.6)과 같습니다.

int

T TwV

T

W dV

d B DBd BmN p

d Kd Cp (1.2.6)

여기서 T

VdV K B DB , T

wVdV C B mN 입니다.

SoilWorks 6


외적 가상일은 표면력과 체적력을 고려하는 경우 아래와 같습니다.

T T Text body surfaceW d f d f d F (1.2.7)

식 (1.2.6)과 (1.2.7)은 평형을 이루어야하며, 이러한 조건에서 가상일의 원리를 적용하면 아래와

같이 물리적 관점에서의 평형방정식을 얻을 수 있습니다.

Kd Cp F (1.2.8)

전술한 바와 같이 압밀해석에서 물리적 문제와 흐름 문제가 완전 연관된 해석을 위해서는 식

(1.2.8)에서의 물리적 문제에 대한 평형방정식 외에 흐름 문제에 대한 평형방정식이 추가로 요구

됩니다.

아래 그림 1.2.1과 같이 검사 체적 내에 단위시간 당 유입되는 유량을 Q라하고, 각 방향별로 흐

르는 물의 유속을 각각 xv , yv , zv 라 하면, 유입되는 유량은 아래와 같습니다.

int ext extyx z

x y z

vv vQ v dydz v dxdz v dxdy q V qdx dy dz

(1.2.9)

또한, 유출되는 양은 아래와 같습니다.

out

yx zx y z

y yx z x z

dvdv dvQ v dx dydz v dy dxdz v dz dxdydx dy dzv dvv v dv dvV V

dx dy dz dx dy dz

(1.2.10)

물의 비압축성 가정과 토질이 완전 포화된 상태라는 가정에 근거하면, 유입량과 유출량의 차이는

시간에 따른 검사체적의 변화로 인한 것으로 볼 수 있습니다. 따라서 이러한 관계를 정식화하면

아래와 같습니다.

SoilWorks 7


extyx zdvdv dv d VV q

dx dy dz dt

(1.2.11)

위의 식 양변을 전체 체적 V 로 나누어 단위 체적에 대한 유량으로 변환하면 다음과 같습니다.

yx z vdvdv dv d q

dx dy dz dt V

ext (1.2.12)

dx

dy

dz

xy

z

extq

zv

xx

dvv dxdx

zz

dvv dzdz

xv

yv

yy

dvv dy

dy

그림 1.2.1 검사체적 내 물의 유출입도

가상일의 원리를 통해 단위 체적에서의 내적 가상일 intTp q 을 전체 검사 체적에 대해 적분하면,

내적 가상일은 다음과 같습니다.

intT T v

V

dW p v p dVdt

(1.2.13)

이때 T T Twp p B 와 T T T

wp p N 및 Tv m Bd을 대입하면

SoilWorks 8


int1 1

1

T T T Tw w wV

w

T T

W dVdt

dt

p B αB p N m Bd

p C d Sp (1.2.14)

여기서 T T TwV

dV C N m B , 1 T

w wVw

dV

S B αB 입니다.

외적 가상일은 다음과 같습니다.

extTW p Q (1.2.15)

식 (1.2.6)과 (1.2.7)은 평형을 이루어야 하며, 이러한 조건에서 가상일의 원리를 적용하면 아래와

같이 물리적 관점에서의 평형방정식을 얻을 수 있습니다.

1 T

dt C d Sp Q (`1.2.16)

위의 식 (1.2.8)과 (1.2.16)을 시간 t 가 t t t 로 증분할 때 시간에 대한 차분방정식으로 표

현하면 다음과 같습니다.

0 K d C p p F

0T t t C d S p p Q

위의 식을 행렬형태로 나타내면 다음과 같습니다.

0

0T t t

F CpK C dC S p Q Sp

SoilWorks에서는 후방차분방정식을 적용하여 내부적으로 1 을 사용하고 있습니다.

SoilWorks 9


1.3 압밀 요소의 특성

압밀해석의 유한요소적 해법에서 구해야 할 주요 변수는 변위와 간극 수압(pore fluid pressure)입

니다. 증분 변위가 내삽함수(interpolation function)를 통해 절점들의 변위와 관계를 가지 듯이, 증

분 간극수압 또한 비슷한 방식으로 내삽함수을 통하여 절점 간극수압과 관계를 갖습니다.

nodalwp N p (1.3.1)

위 관계식에서 우변은 요소 내 임의 점에서의 증분 간극수압을 의미하며, 좌변은 각각 간극수압

의 내삽함수와 절점의 증분 간극수압을 의미합니다. SoilWorks에서 간극수압의 내삽함수는 변위

의 내삽함수와 동일하다고 간주합니다.

압밀해석에서 요소들은 절점에 변위자유도와 함께 간극수압에 대한 자유도를 추가로 가지게 됩니

다. SoilWorks의 압밀해석에서는 두 가지 경계조건 (미압밀 조건, 배수 조건)이 지정되지 않는 한

모든 요소가 간극수압에 대한 자유도를 가지고 있는 것으로 간주합니다. 따라서 성토재와 같이

압밀 거동이 직접적으로 발생하지 않는 요소는 아래 그림 1.3.1과 같이 미압밀요소 조건을 정의

해 주어 일반 구조요소로서 작용하게 해야 합니다. 또한 압밀요소에서 배수가 발생하는 경계에는

반드시 배수 조건을 정의해 주어야 합니다. 정상적으로 경계조건이 정의되고 압밀해석이 수행된

경우라면 미압밀 조건과 배수 조건이 적용된 부분의 과잉간극수압(excess pore pressure)은

0(zero)이 되어야 합니다.

그림 1.3.1 압밀요소의 경계조건

현재 압밀 요소에 적용될 수 있는 요소들은 평면변형(3절점, 6절점, 4절점, 8절점) 요소이며, 각 요

소들의 변위, 간극수압의 자유도와 적분 방식에 대한 자세한 설명은 다음과 같습니다.

SoilWorks 10


1.3.1 평면변형 요소의 자유도

고차 요소의 경우 응력 해석결과 출력을 위해 선형 보간을 통하여 절점 사이의 과잉간극수압 결

과를 출력하도록 합니다. 이 가상의 과잉간극수압 절점은 해석상에서는 존재하지 않는 절점입니

다. 압밀해석에서 사용되는 모든 과잉간극수압 절점은 모서리에 위치하게 되며, 그 내삽함수는 모

든 요소에 대하여 1차 함수를 사용하게 됩니다. 이는 수압의 분포 특성에 적절한 것으로 알려져

있습니다.

삼각형 요소

그림 1.3.2 저차 3 절점과 고차 6 절점 삼각형 요소의 자유도

SoilWorks 11


사각형 요소

그림 1.3.3 저차 4 절점과 고차 8 절점 사각형 요소의 자유도

SoilWorks 12


1.4 압밀 해석 시 주의할 점

1.4.1 시간 및 하중의 입력

압밀 해석을 수행할 때 추가 하중이 재하되는 적절한 시간과 하중의 분배는 다음과 같은 시간과

하중계수의 입력으로써 이루어집니다.

(a) 초기하중 (b) 추가하중 (c) 장기간 방치

그림 1.4.1 시간과 하중계수의 입력 대화상자

(a) 초기하중 (b) 추가하중 (c) 장기간 방치

그림 1.4.2 시간과 하중의 그래프

SoilWorks 13


Modified Cam-Clay 재료모델을 활용한 압밀해석의 경우 자중과 같은 초기하중에 대한 선행해석

이 반드시 필요하게 됩니다. 일반적으로 선형범위 내에서 초기응력을 정의하기 위한 해석이기 때

문에 그림 1.4.2의 ‘(a) 초기하중’과 같이 한 단계의 시간에 하중을 즉각적으로 재하하는 방식을

취하게 됩니다.

시공단계 압밀과 같은 추가 하중이 재하되는 경우 그림 1.4.2의 ‘(b) 추가하중’과 같이 재하되는

총 시간에 걸쳐서 적절한 간격으로 하중을 재하하게 됩니다. 그림 1.4.2의 (b)의 예시는 추가하중

이 10일에 걸쳐서 10단계의 등간격으로 재하되는 것을 나타내고 있습니다. 여기서 총 하중계수의

합은 1.0이 됩니다. 추가하중이 갑작스럽게 크거나 해석시간이 적절치 못하게 크게 되면, 압밀해

석의 수렴성 확보에 어려움이 발생하게 됩니다. 따라서 이러한 경우 적절히 시간 스텝을 작게 줄

여주고, 하중계수를 작게 설정해 주어 수렴성을 높일 필요가 있습니다. 물론 이 경우에도 하중계

수는 특별한 의도가 없는 한 1.0이 되어야 합니다.

성토가 완료된 후 시간만이 경과하는 방치해석을 수행하게 됩니다. 이때 그림 1.4.2의 ‘(c) 장기간

방치’에 나타낸 바와 같이 시간만이 재하되고 추가적인 외력 하중은 시공단계에서 고려하지 않습

니다. 압밀해석의 특성상 해석 초기의 응력변화가 급격하기 때문에 그림 1.4.2(c)와 같이 처음의

시간 스텝은 작게 시작하고 시간이 지날수록 큰 시간 간격을 주어 수렴성과 해석의 속도를 동시

에 고려할 수도 있습니다.

SoilWorks 14


1 차원 이론해석

Chapter 2

SoilWorks 15

2.1 일반사항

이 장에서는 연약지반 해석의 이론적 배경에 관해 기술합니다. 1차원 압밀침하량 산정을 위한 연

약지반 해석에서는 다음과 같은 기능을 제공합니다.

연약점성토의 압밀침하량 산정 (Cc법, Mv법, △e법)

하중재하단계를 고려한 침하량 및 압밀도 계산

하중재하단계별 강도증가량 산정

Boussineq식에 의한 응력 증가량 산정

사질토의 즉시침하량 산정 (De Beer법, B.K.Hough법)

2차 압밀침하량 산정

임의의 외부하중 적용가능 (집중하중, 선하중, 띠하중, 구형하중)

e-logP, logMv-logP, logCv-logP 곡선을 이용한 층별 토질계수 산정

과압밀 및 정규압밀 해석 가능

SCP, GCP 처리시 침하저감율 고려 가능

Smear effect, Well resistance 고려 가능

SoilWorks 16


2.2 침하량 계산법

2.2.1 점성토의 압밀침하량

1) cC 법

01eS He

(2.2.1)

여기서, S : 압밀침하량, H : 압밀대상층 두께, 0e : 초기간극비, e : 간극비 변화량

정규압밀점토일 경우 ( 0 cP P )

0logcP Pe CP

(2.2.2)

0

0

log1cC H P PSe P

(2.2.3)

과압밀점토일 경우 ( 0 cP P )

0 0 cP P P P 일 경우

0

0

logsP Pe CP

(2.2.4)

0

0 0

log1sC H P PSe P

(2.2.5)

0 0cP P P P 일 경우

SoilWorks 17

Chapter 2 1D Consolidation Analysis

01 2

0

log logcs c

c

P P Pe e e C CP P

(2.2.6)

0

0 0 0

log log1 1s c c

c

C H P C H P PSe P e P

(2.2.7)

여기서, S : 압밀침하량, H : 압밀대상층 두께, sC : 팽창지수, 0P : 유효상재하중, cP : 선행압밀

하중, 0e : 초기간극비, cC : 압축지수, P : 성토 및 외부하중에 의한 수직응력 증가분

2) e 법

0 1

01e eS H

e

(2.2.8)

여기서, S : 압밀침하량, H : 압밀대상층 두께, 0e : 초기간극비 (유효상재압 0P 에 대한 간극비),

1e : 압밀 후의 간극비 (유효상재압 0P P 에 대한 간극비), P : 성토 및 외부하중에 의한 수

직응력 증가분

3) vM 법

vS M P H (2.2.9)

여기서 S : 압밀침하량, H : 압밀대상층 두께, vM : 체적압축계수 ( log logvM P 곡선에서

0 2PP

에 대한 체적압축계수), P : 성토 및 외부하중에 의한 수직응력 증가분

위의 압밀침하량 공식의 특징과 적용범위는 다음 표와 같이 나타낼 수 있습니다.

SoilWorks 18


표 2.2.1 압밀침하량 공식의 특징

압밀침하량

공식 특징 적용범위

e 법

구배 또는 간극비의 차는 비교적 정도가 좋지만

간극비의 절대치로는 오차가 큰 편임.

많은 압밀시험 결과를 모으면 loge P 곡선들이

흩어지는 선이 되어 한가지 평면적 곡선을 결정하기가

어려움.

실제 설계계산에는

거의 사용되지 않음

vM 법

체적압축계수를 사용할 경우 과압밀영역에서는 구배

분산이 크나 정규압밀영역에서는 구배 분산이 적어

한가지 직선으로 나타나므로 전체적으로 정도가

양호함.

시험결과치가 많은

지역 또는 넓은

지역에 사용

cC 법

압축지수는 loge P 곡선의 직선 구배로 정의되지만

평균적인 값을 적용하는 것은 구배가 직선이 아닌

역 S 자형 곡선 또는 간극비의 불균일성 등으로 인하여

매우 곤란하고 과대평가라는 위험이 있음. 심도별 cC

는 추정이 곤란함.

압밀시험개소가 적은

지역, 압밀시험을 하지

않고 물리적 시험치를

가지고 개략 침하량

산정시에 사용

2.2.2 사질토층의 침하량

사질토층에서 발생하는 침하는 하중의 재하와 동시에 발생하는 즉시침하입니다. 즉시침하량을 산

정하는 방법은 Schmertmann, Meyerhof, Peck, De Beer, Parry 등이 제안한 방법이 있으며 방법

에 따라 침하량의 차이가 있습니다.

특히 사질토 지반은 불교란시료 채취 및 성형이 어려워 정확한 역학적 특성값을 산정하기 어려우

므로 여기서는 표준관입시험치( N )를 이용하여 사질토 지반의 침하량을 계산하는 De Beer 방법과

B.K.Hough 도표법을 적용하였습니다.

SoilWorks 19


1) De Beer 법

0 00.4 logic

P P PS HN P

(2.2.10)

여기서 N : 표준관입시험치, H : 압밀대상층 두께, 0P : 유효상재하중, P : 성토 및 외부하중에

의한 수직응력 증가분

2) B.K.Hough 도표법

B.K.Hough 도표법은 그림 2.2.1 또는 표 2.2.2를 이용하여 간극비를 추정하는 방법입니다.

표 2.2.2 압밀압력에 따른 간극비 (B.K.Hough 도표법)

압밀압력

(P)

간극비 e

매우 느슨

(N=0~4)

느슨

(N=4~10)

중간

(N=10~30)

조밀

(N=30~50)

매우 조밀

(N=50~100)

0.2 0.967 0.780 0.586 0.490 0.395

0.3 0.947 0.760 0.578 0.484 0.392

0.5 0.922 0.742 0.567 0.477 0.388

1.0 0.889 0.714 0.554 0.467 0.383

2.0 0.855 0.688 0.540 0.457 0.378

3.0 0.836 0.678 0.532 0.451 0.375

5.0 0.811 0.662 0.521 0.443 0.372

10.0 0.778 0.640 0.507 0.433 0.367

20.0 0.744 0.621 0.493 0.423 0.362

30.0 0.725 0.611 0.485 0.417 0.359

50.0 0.700 0.600 0.475 0.410 0.355

SoilWorks 20


그림 2.2.1 loge P 곡선 (B.K.Hough 도표법)

2.2.3 점성토의 Rebound량

성토 중에 성토 및 외부하중을 제거할 경우 점성토의 리바운드(rebound)가 발생하며 리바운드량

의 계산은 침하량 계산법에 따라 다음과 같습니다.

1) cC 법

cC 에서 리바운드량은 제거되는 응력 P 와 제거 후의 loge P 곡선의 기울기인 sC 를 이용하

여 다음과 같이 계산됩니다(그림 2.2.2).

210

1 2

log1

sh b

C P PS He P

(2.2.11)

여기서 sC : 제거계수, 1e : 제거직전의 간극비, bH : 제거직전의 층두께 (초기 층두께 0H 에서

제거직전단계까지의 침하량을 뺀 값), 2P : 제거후의 응력 (= 1P P )

SoilWorks 21


그림 2.2.2 cC 법에서의 제거계수의 정의

2) e 법

e 법에서의 리바운드량은 하중제거 전·후의 간극비와 제거후의 loge P 곡선의 기울기인 R

을 이용하여 다음과 같이 계산됩니다(그림 2.2.3).

2 1

11h be eS H

e

(2.2.12)

여기서 1e : 제거직전의 간극비, 2e : 제거후의 간극비, bH : 제거직전의 층두께 (초기 층두께 0H

에서 제거직전단계까지의 침하량을 뺀 값), 2P : 제거후의 응력 (= 1P P )

SoilWorks 22


그림 2.2.3 e 법에서의 제거계수의 정의

3) vM 법

vM 법에서의 리바운드량은 다음과 같이 계산됩니다.

h vr bS M P H (2.2.13)

여기서 vrM : 제거계수, bH : 제거직전의 층두께 (초기 층두께 0H 에서 제거직전단계까지의 침

하량을 뺀 값)

제거계수는 항상 (+)의 부호를 가지는 것으로 봅니다. 제거계수가 0인 경우는 하중제거시 리바운

드량이 없는 것으로 간주합니다. 또한 사질토(sand)에서는 리바운드량을 계산하지 않습니다.

SoilWorks 23


2.2.4 2차 압밀침하량

과잉간극수압이 완전히 소산된 후 압축되는 현상을 2차압밀(secondary consolidation)이라 합니다.

다음 그림에서 1차압밀 완료 후에 2차압밀은 거의 직선을 보이며 이 직선의 기울기로부터 2차압

밀계수 aC 를 구할 수 있습니다.

10logp

a

H HC

t

(2.2.14)

그림 2.2.4 2 차압밀계수의 결정

일반적으로 2차압밀계수는 NAVFAC DM 7.2에서 자연함수비에 해당하는 값을 사용합니다. 2차압

밀 침하량은 다음과 같이 계산됩니다.

2 log sa p

p

tS C Ht

(2.2.15)

여기서 2S : 2차압밀 침하량, aC : 2차압밀계수, pH : 최초두께에서 1차압밀 침하량을 제외한 압

밀층의 두께, st : 가정한 2차압밀, pt : 1차압밀 종료시간

SoilWorks 24


SoilWorks 25


2.3 유효상재압 및 수직증가응력 계산법

2.3.1 유효상재압

지하수위보다 상부에 위치한 지반층에 대해서는 단위체적중량으로 습윤단위체적중량을 사용하고

지하수위보다 아래의 지반층에서는 유효응력을 계산하므로 수중단위중량을 사용합니다. 그림과

같이 세분화된 토층 i의 중앙점에서의 유효상재압(하중재하전 원지반의 자중에 의한 압력)을 계산

하면 다음과 같습니다.

0, 1 1 1 11...2i i i i iP H H H (2.3.1)

그림 2.3.1 유효상재압

2.3.2 성토하중 (embankment load)

성토하중에 의한 지중응력 증가량은 인접한 두 점 사이의 미소구간에 대하여 띠하중개념으로 증

가응력을 구한 다음 합산하여 계산합니다(그림 2.3.2).

1

2

i

1H

2H

iH 0,iP

SoilWorks 26


그림 2.3.2 성토하중에 의한 지중응력

미소구간에 대한 하중 nq

1 1 2 2 ...n i iq h h h (2.3.2)

미소구간에 대한 하중 nq 에 의해 임의점 (x,y)에 발생하는 지중응력증가 nP

sin cosnn

qP

(2.3.3)

nP P (2.3.4)

여기서 1 2 , 1 2 , 1 11 tan

n

x xY

, 1 2

2 tann

x xY

γ

γ

∴

SoilWorks 27


2.3.3 집중하중 (point load)

Boussinesque는 다음 그림과 같이 지표면에 집중하중 P 가 작용할 때 지반 내의 흙요소에 작용

하는 응력의 관계식을 다음과 같이 제안하였습니다.

그림 2.3.3 집중하중에 의한 지중응력

3 3

552 2 2

3 32 2P y P yPR r y

(2.3.5)

여기서,

2 2r x z , 2 2 2 2 2R x y z r y (2.3.6)

2.3.4 선하중 (line load)

그림 2.3.4와 같이 지표면에 단위길이당 선하중 q 가 작용할 때, 지반내의 임의점에서의 응력증

가량은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

SoilWorks 28


3

22 2

2qyPx y

(2.3.7)

그림 2.3.4 선하중에 의한 지중응력

2.3.5 띠하중 (strip load)

띠하중은 선하중에 의한 응력을 띠폭에 대해서 적분함으로서 구할 수 있습니다. 다음 그림과 같

이 띠하중에 의한 응력증가량은 다음의 식과 같이 계산됩니다.

그림 2.3.5 띠하중에 의한 지중응력

SoilWorks 29


2

1

2

1

3

22 2

31

2 2 2

1 12 2 1 12 2 2 22 1

2 12 12 2

2 1

2

2 1 1 tan2

tan tan

x

x

x

x

q yP dxx y

qy x xy x y y y

q x y x x y xx y y x y y

q x y x yR R

(2.3.8)

2 2 21 1R x y , 2 2 2

2 2R x y 을 이용하여 위 식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.

2 2 1 1 2 1

2 1 2 1 2 1

sin cos sin cos

sin cos

qP

q

(2.3.9)

여기서 1 2 , 1 2 , 1 11 tan x x

Y

, 1 2

2 tan x xY

라 두면

sin cosqP

(2.3.10)

2.3.6 구형하중 (rectangular load)

그림과 같은 구형하중이 작용하는 지반의 응력증가량은 다음과 같이 계산됩니다.

12 2

3 3 1 2

2 1 1tanq ab abyPyR R R R

(2.3.11)

여기서 2 21R a y , 2 2

2R b y , 2 2 23R a b y (2.3.12)

SoilWorks 30


그림 2.3.6 구형하중에 의한 지중응력

계산점이 구형내부에 있을 경우 계산점을 중심으로 네 개의 사각형으로 분할하여 그것의 응력의

합에 의해 응력증가량을 계산합니다.

P (내부) 1 2 3 4P P P P (2.3.13)

계산점이 구형외부에 있을 경우 계산점을 중심으로 위 그림과 같은 가상의 네 개의 사각형을 구

성하여 원래의 사각형에 대한 응력증가량을 계산합니다.

P (외부) 1 2 3 4 2 4 1 3 4P P P P (2.3.14)

2.3.7 지중응력증가량 계산방법

지표면에 작용하는 하중에 의한 유효수직증가응력을 계산하는 방법은 다음과 같이 두 가지가 있

습니다.

SoilWorks 31


층중앙에서 계산하는 방법

각각의 침하 대상층 중앙에서의 응력증가량을 사용하는 방법입니다.

Simpson법을 이용하여 계산하는 방법

층의 상면, 중간면, 하면의 수직응력을 각각 계산하여 아래 식과 같이 simpson법에 의해 각 층의

중앙에서의 응력증가량을 계산하는 방법입니다.

1 46 t m bP P P P (2.3.15)

그림 2.3.7 Simpson 법을 이용한 응력증가량 계산

2.3.8 성토하중의 재하거리 설정

성토하중에 의한 지중응력증가량 계산을 위한 재하거리(z)는 성토저면으로부터 계산하는 방법과

원지반으로부터 계산하는 방법 등의 두 가지가 있습니다. 여러 단계의 성토를 실시하는 경우 재

하거리는 다음과 같이 계산될 수 있습니다.

1) 성토저면으로부터 재하거리 계산

단계성토시 각 단계의 성토저면으로부터 지중응력증가량 계산지점까지의 거리를 재하거리로 하여

SoilWorks 32


지중응력증가량을 계산합니다.

그림 2.3.8 성토저면으로부터 재하거리를 계산하는 경우

2) 원지반면으로부터 재하거리 계산

단계성토시 성토단계에 관계없이 항상 원지반으로부터 지중응력 계산지점까지의 거리( 1 2z z )를

재하거리로 하여 지중응력증가량을 계산합니다.

그림 2.3.9 원지반으로부터 재하거리를 계산하는 경우

SoilWorks 33


2.4 침하시간에 따른 압밀도 산정

2.4.1 미개량시 압밀시간

도로의 성토는 실제로 2차원이나 3차원적으로 압밀현상을 나타내지만 압밀도에 따른 압밀시간의

계산은 Terzaghi의 1차원 압밀이론으로 순간 재하에 따른 압밀도와 시간계수를 고려하여 다음 식

에 의하여 계산합니다.

2v d

v

T DtC

(2.4.1)

여기서 t : 압밀시간, dD : 간극수의 배수거리, vT : 시간계수, vC : 압밀계수

시간계수 vT 는 Terzaghi의 간이계산식을 이용하였습니다.

2

4 100vUT

: 0% < U < 53%인 경우 (2.4.2)

1.781 0.933 log 100vT U : 53% < U < 100%인 경우 (2.4.3)

2.4.2 압밀층의 두께 환산

압밀계수 vC 가 각 지층마다 다른 경우에는 층두께 환산법에 따라 구한 환산두께 H 및 환산압

밀계수 vC 를 이용하여 전 층의 평균압밀도를 구하며 그 산정식은 다음과 같습니다.

1 21 2

......v v vn

v v vn

C C CH H H HC C C

(2.4.4)

여기서 H : 환산층두께, nH : 환산전 n층의 두께, vC : 기준이 되는 환산압밀계수, vnC : 환산

SoilWorks 34


전 n층의 압밀계수

기준이 되는 환산압밀계수 vC 는 다음의 세 가지 방법 중 한가지를 선택할 수 있습니다.

각 층의 평균값을 vC 값으로 사용하는 경우

맨 상부층의 vC 를 vC 값으로 사용하는 경우

맨 하부층의 vC 를 vC 값으로 사용하는 경우

각 층의 배수조건은 층별로 지정할 수 있지만 하나의 환산층을 구성하는 모든 층은 같은 배수조

건(일면 또는 양면)이 입력되어야 합니다. 다층지반에서의 배수조건과 층별 환산층의 구성은 다음

그림과 같이 나타낼 수 있습니다.

SoilWorks 35


그림 2.4.1 다층지반의 배수조건 및 환산층의 구성

연속된 여러 층의 연약점토층 내부에 미압밀 점토층이 존재할 경우에는 환산층두께 계산시 이를

고려할 수도 있고 고려하지 않을 수도 있습니다.

아래 그림과 같이 배수층이 하부에 있고 상단부에 얇은 미압밀층이 존재한다면 환산층두께 계산

시 상단의 미압밀층 때문에 중간의 압밀층을 일면배수로 간주하여 계산하는 것은 합리적이지 못

합니다. 따라서 이와 같은 경우는 상부의 얇은 미압밀층의 침하량은 계산하지 않지만 침하시간

계산을 위한 환산배수거리 산정시에는 미압밀층의 두께를 포함함으로서 환산층두께 계산시 미압

밀층을 고려할 필요가 있습니다. 얇은 미압밀층이 여러 연약점토층 사이에 존재하는 경우에도 환

산층두께 계산시 미압밀층을 고려하는 것이 바람직합니다.

그림 2.4.2 환산층두께 계산시 미압밀층을 고려하는 경우

SoilWorks 36


다음 그림과 같이 압밀층보다 미압밀층이 상대적으로 두꺼운 경우에는 환산층두께 계산시 미압밀

층의 두께를 포함하는 것은 바람직하지 못하므로 미압밀층을 고려하지 않는 것이 좋습니다.

그림 2.4.3 환산층두께 계산시 미압밀층을 고려하지 않는 경우

2.4.3 배수공법에 따른 압밀도의 산정

2.4.3.1 압밀도의 산정 방법

압밀배수 이론식은 드레인 간격의 영향을 공통적으로 고려하고 있으며 연직배수재 시공과정에서

발생할 수 있는 교란효과(smear effect)와 연직배수재 내부에서 압밀수 배수과정에서 발생할 수

있는 웰저항(well resistance)의 고려 여부에 따라 Barron(1948), Hansbo(1981), Yoshikuni(1979),

Onoue(1988) 등의 제안식이 있습니다.

일반적으로 교란효과와 웰저항을 모두 고려할 수 있는 Hansbo 제안식이 가장 많이 사용되고 있

습니다. 본 프로그램에서는 Barron, Hansbo, 및 Yoshikuni 제안식을 적용할 수 있습니다.

1) Hansbo(1981)의 제안식

Hansbo는 연직배수재의 설치시 지반이 교란되는 영향(smear effect) 및 배수재의 흐름저항(well

resistance)를 고려하기 위하여 임의의 깊이에서의 평균압밀도를 다음과 같은 식으로 제안하였습

니다.

배수층 또는 비배수층

환산 1층압밀층 1

압밀층 2

비압밀층

SoilWorks 37


81 exp hh

TUF

(2.4.5)

s rF F n F F (2.4.6)

2h

he

C tTd

(2.4.7)

여기서, hU : 수평방향의 평균압밀도, hT : 수평방향 시간계수, F n : 드레인 간격의 영향, sF :

교란영역의 영향, rF : 웰저항의 영향, hC : 수평방향의 압밀계수, ed : 영향원의 직경

드레인 간격의 영향 F n

3ln4

F n n : 20n 인 경우 (2.4.8)

2 2

2 2

3 1ln1 4

n nF n nn n

: 20n 인 경우 (2.4.9)

교란영역의 영향 sF

1 lnh ss

s w

k dFk d

(2.4.10)

웰저항의 영향 rF

2 hr

w

kF z L zq

(2.4.11)

여기서 e

w

dnd

, ed : 영향원의 직경, wd : 연직배수재의 직경, hk : 비교란 점토지반의 수평투수

계수, sk : 교란영역의 수평투수계수, sd : 드레인 주위의 교란영역의 직경( 2s md d ), md : cone,

casting의 직경, wq : 드레인의 통수능력2

4w w

wk dq

, wk : 수직배수재의 투수계수, L : 드레

인의 배수길이 (단면배수일 경우 L H , 양면배수일 경우는 2L H )

SoilWorks 38


연직방향의 압밀도와 수평방향의 압밀도를 동시에 고려한 전 압밀층에 대한 평균압밀도는 다음과

같이 계산됩니다.

1 1 1vh h vU U U (2.4.12)

수평방향 배수에 의한 압밀도 계산시 다층지반의 토층에 대하여 등가투수계수를 적용할 수 있습

니다. 다층지반으로 이루어진 토층의 두께를 각각 1 2, , ... , nh h h 이라 하고 각 층에 대응되는 투수

계수를 1 2, , ... , nk k k 이라 하면 등가의 수평투수계수는 다음과 같이 표현됩니다.

1 1 1 11

1 1...n

h n n j jj

k k h k h k h k hh h

(2.4.13)

2) Barron(1948)의 제안식

Barrondms Terzaghi의 압밀이론을 바탕으로 압밀층 전층에 대한 평균압밀도는 등변형압밀(equal

strain consolidation)조건에서 다음 식과 같이 계산된다고 하였습니다.

81 exp h

hTU

F n

(2.4.14)

2 2

2 2

3 1ln1 4

n nF n nn n

(2.4.15)

여기서 F n : 드레인 간격의 영향, e

w

dnd

, ed : 영향원의 직경, wd : 연직배수재의 직경

3) Yoshikuni(1979)의 제안식

Yoshikuni는 웰저항(well resistance)의 영향만을 고려한 평균압밀도를 다음과 같이 제안하였습니

다.

SoilWorks 39


81 exp hh

TUm

(2.4.16)

0.8m F n L (2.4.17)

2 2

2 2

3 1ln1 4

n nF n nn n

(2.4.18)

2

2

32 h

w w

k HLk d

(2.4.19)

여기서 L : 웰저항 계수, H : 배수재 길이 (양면배수일 경우는 2H 를 사용)

4) Onoue(1988)의 제안식

Onoue는 투수성에 관계없이 smear zone과 well resistance 효과를 고려할 수 있는 Yoshikuni와

Nakamodo(1974)가 제안한 배수저항계수 L 을 사용하여 다음 식을 제안하였습니다.

81 exp

0.8h

hTU

F n L

(2.4.20)

2 2

2 2

3 1ln

1 4n n

F n nn n

(2.4.21)

2

2

32 h

w w

k HLk d

(2.4.22)

여기서 1n nS , h

s

kk

, s

w

dSd

, H : 배수재 길이 (양면배수일 경우는 2H 를 사용)

SoilWorks 40


2.4.3.2 연직배수공의 영향

1) 교란영역 (Smear zone)

맨드릴을 관입하면 흙이 교란되고 압밀계수가 저하되여 압밀지연이 발생합니다. 이러한 교란이

발생하는 영역을 교란영역(smear zone)이라 하며 케이싱의 크기와 형상, 지반의 구조와 종류 및

배수재의 타입방식 등에 따라 다르게 나타납니다. 이론식에 설계정수를 입력하여 교란효과에 의

한 압밀지연 정도를 설계에 반영합니다.

교란영역의 범위 sd 와 투수계수 감소비 s hk k 는 제안자에 따라 다음과 같이 다양하게 제안되

었습니다.

표 2.4.1 교란영역 sd 의 범위

제안자 교란영역의 범위

Jamiolkowski (1985) 2.5 ~ 3.0 d

Hunt (1986) 1.3 ~1.5 d

Hansbo (1987) 2.0d

Bergado (1991) 2.0d

d : 배수재 또는 케이싱 직경

표 2.4.2 투수계수 감소비 s hk k

제안자 투수계수 감소비

Jamiolkowski (1985) 0.50~0.67

Onoue (1991) 0.20~0.67

Bergado (1991) 0.57

SoilWorks 41


2) 웰저항 (Well resistance)

압밀이 진행됨에 따라 연직배수재의 통수능력이 저하되어 압밀이 지연됩니다. Hansbo는 길이방

향으로 무한한 투수계수를 갖는 드레인은 존재하지 않으며 드레인에 웰저항(well resistance)이 존

재하므로 이를 무시할 경우 드레인 설치시 과소설계가 될 수 있다고 하였습니다. 웰저항의 영향

인자를 파악하여 장기적으로 배수저항을 최소화할 필요가 있습니다. 웰저항의 검토항목으로는 다

음과 같은 것들이 있습니다.

웰저항의 영향인자

PBD 굴곡 (bending and folding)

토압에 의한 PBD 필터의 크리프 변형

동수구배의 변화

웰저항의 고려대상

간극수중에 용존공기가 다량일 때

대상지반의 투수성이 클 때

PBD의 길이가 긴 경우

PBD의 사용기간이 긴 경우

2.4.3.3 연직배수재 공법의 종류

연직배수공법은 1930년대 Porter가 Sand Drain 공법을 소개한 이래 1940년 후반부터 이론 및

시공기술의 급진전이 이루어졌습니다. 또 Kjellman 등은 1936년에 Card Board라는 지제판을 이

용한 Paper Drain 공법을 제안한 바 있으며 1978년에 일본에서 소구경의 Sand Drain을 망과 같

이 설치하여 지반을 개발하는 Pack Drain 공법이 개발되었습니다.

연직배수공법은 주상의 투수층을 촘촘하게 땅속에 설치하여 점성토층의 배수거리를 짧게함으로서

압밀침하를 촉진시켜 짧은 시간에 지반을 안정시키는 방법입니다. 대표적인 공법으로는 Sand

Drain, Pack Drain 및 Paper Drain, Sand Compaction Pile, Gravel Compaction Pile, Cylindrical

Drain 공법 등이 있으며 그 원리가 모두 동일합니다.

SoilWorks 42


1) Sand Drain 공법

Sand Drain 공법은 지중에 연직으로 모래기둥을 설치하여 간극수를 탈수시켜 배수거리를 단축시

킴으로서 압밀을 촉진시키는 공법입니다. 연약지반에 성토 등의 하중이 재하되면 그 하중에 의해

지반 내에 과잉간극수압이 생기고 배수층과의 사이의 수두구배에 의해 탈수되어 압밀이 발생합니

다. 연약지반이 두껍고 그 사이에 배수층이 없으면 투수경로가 길어지게 되므로 지반에 샌드드레

인을 조성하여 배수층을 형성시킴으로서 투수거리가 짧아져 탈수가 빨리 진행되고 압밀이 촉진되

는 효과가 있습니다.

2) Paper Drain (Cylindrical Drain) 공법

Paper Drain 공법의 원리는 연약한 점성토 지반에 배수가 잘되는 드레인용 보드를 타입하여 지반

내의 간극수를 지표면으로 배출시킴으로서 압밀침하를 촉진시키는 공법입니다.

3) Pack Drain 공법

지반 중에서 배수단면이 절단되기 쉬운 Sand Drain의 단점을 보안하여 연약점토층의 압밀배수를

촉진시켜 지반의 압밀기간을 단축할 목적으로 사용되는 공법으로서 폴리에틸렌 망태에 모래를 채

워 넣은 모래기둥을 지반 중에 타설하여 지반의 압밀배수를 촉진시키는 공법입니다. Pack Drain의

경우 배치간격은 장비의 구조상 Sand Drain과 달리 등간격으로 배치되지 않으므로 그림 2.4.4와

같이 각 단면마다 드레인 1본이 부담하는 면적을 고려하여 전체의 평균압밀도를 계산합니다.

드레인을 사각형 배열로 배치할 경우 등가영향원의 직경은 다음과 같이 나타냅니다.

1 11.128ed L ; 2 1 21.128ed L L ; 3 21.128ed L (2.4.23)

시간계수 hT 는 다음과 같습니다.

1 21

hh

e

C tTd

; 2 22

hh

e

C tTd

; 3 2

3

hh

e

C tTd

(2.4.24)

SoilWorks 43


그림 2.4.4 Pack Drain 공법의 배치간격

분할된 각 영역에 대한 간격비 n 은 다음과 같습니다.

11

e

w

dnd

; 22

e

w

dnd

; 33

e

w

dnd

(2.4.25)

위 식으로부터 평균압밀도는 다음과 같이 계산됩니다.

1 1 2 2 3 3

1 2 3

22

AU AU AUUA A A

(2.4.26)

4) Sand Compaction Pile 또는 Gravel Compaction Pile 공법

Sand Compaction Pile 공법은 연약지반 중에 진동하중을 이용하여 모래 또는 자갈을 압입하여

다짐말뚝을 조성하는 공법으로 지반의 밀도를 증가시켜 지지력의 증가와 압밀침하의 감소, 수평

저항력 증가, 지반의 균일화, 압밀배수효과 등을 도모할 수 있습니다. 이 공법은 느슨한 사질토와

점성토, 유기질토 등 거의 모든 토질에서 적용되고 있습니다.

치환율 sa 은 원지반을 1로 볼 때 모래(자갈)말뚝의 체적비로 개량 정도를 나타내는 정도이며 사

질토나 육상점성토의 개량에서는 0.3이하, 해저에서는 0.3~0.8의 범위가 일반적입니다.

SoilWorks 44


정사각형 배치 b : 2s s

sA AaA d

정사각형 배치 c : 2

23

s ss

A AaA d

여기서 sA : 모래(자갈)말뚝의 단면적, A : 모래(자갈)말뚝의 단면적+점성토의 단면적

점성토와 모래(자갈)말뚝으로 형성된 복합지반에 구조물이 재하될 때 점성토와 압축된 모래(자갈)

말뚝의 물리적, 역학적 성질의 차이로 점성토와 모래(자갈)말뚝이 분담하는 응력의 분포 및 크기

는 다르게 되며 일반적으로 모래(자갈)말뚝에 응력이 집중되는 것으로 알려져 있습니다.

모래지반인 경우 조밀화에 의한 원지반 강도증가는 명확하지 않으며 점성토에 적용되었을 경우

점성토와 모래말뚝으로 이루어진 복합지반으로서의 효과를 고려한 이론에 의하여 설명되고 있습

니다. 여러 개의 모래다짐말뚝이 연약한 점성토에 조성되어 이루어진 복합지반 위에 하중이 재하

된 경우 점성토와 조성된 모래말뚝과는 그 물리적 역학적 성질이 서로 다르기 때문에 각각 분담

하는 응력이 다르며, 모래말뚝 쪽으로 응력이 집중되는 현상이 발생합니다. 이 때문에 점성토에

걸리는 응력이 대폭 감소하게 되고 지지력 증대, 침하감소 등의 효과가 나타나게 됩니다.

복합지반은 위의 그림에서와 같이 복합지반 위에 평균응력 가 재하되어 지반 반력으로 말뚝에

s , 점성토에 c 의 응력이 발생하고, 각각의 면적 sA , cA 의 범위 내에서 응력이 일정하다고 하

면 다음식이 성립합니다.

s s c cA A A (2.4.27)

응력분담비 s cn 를 이용하여 이 식을 변형하면 다음과 같습니다.

c s c c c s cA n A A n A A (2.4.28)

말뚝과 점성토에 발생하는 응력비는 다음과 같이 계산됩니다.

SoilWorks 45


1 1s

ss c s

n A nn A A n a

(2.4.29)

1

1 1c

cs c s

An A A n a

(2.4.30)

여기서 s : 말뚝의 응력집중계수, c : 점성토의 응력저감계수, sa : 모래(자갈)의 치환율

s sa A A

위 식으로부터 다음의 관계식을 얻을 수 있습니다.

1 1s s c sa a (2.4.31)

그림 2.4.5 Sand Compaction Pile 의 응력분포

실무에서 적용하고 있는 일반적인 응력분담비 n 는 치환율( sa )에 따라 다음 표와 같습니다. 현

장에서 지중응력을 측정하여 n 을 구했을 경우에는 위 식을 이용하여 s 와 c 를 구할 수 있습

SoilWorks 46


니다.

표 2.4.3 응력분담비 n

치환율 ( sa )

모래(자갈)의

내부마찰각

s

응력분담비

n

0 ~ 0.4 30 3

0.4 ~ 0.7 30 2

0.7 이상 30 ~ 35 1

일반적인 연직배수재 공법에서 등가영향원의 직경은 그림 2.4.6과 같이 얻어집니다.

(a) 정삼각형 배열 (b) 정사각형 배열

그림 2.4.6 Sand Compaction Pile 의 등가영향원 직경

2.4.3.4 복합지반의 압밀계산법

SoilWorks 47


복합지반에서 압밀계산은 샌드드레인과 큰 차이가 없지만 설계방법이 다릅니다. 침하에 대한 문

제는 현장에서 시공결과에 따라 관측되고 경험적으로도 어느 정도 정량적으로 파악되고 있습니다.

일반적으로 무처리 지반침하량의 1/3에서 2/3 정도로 감소되는 것으로 알려져 있습니다. 그 원인

은 원지반의 개량효과와 복합지반으로서의 특성에 따른 것으로 보며 복합지반의 침하량은 점성토

에 걸리는 연직응력에 의하여 결정됩니다.

압밀도를 구하는 경우는 모래다짐말뚝이 연직배수재 말뚝으로서 작용한다고 보고 계산하는 것이

보통입니다. 복합지반의 침하특성은 침하감소 효과라고 볼 수 있고 이는 점성토에 작용하는 응력

이 모래말뚝의 응력보다 작기 때문입니다. 치환율 sa 이 커질수록 침하량이 작아지는 경향이 있

습니다.

여기서는 Aboshi et. Al(1979)과 Barksdae(1981) 등에 의해 제시된 평형법을 이용하여 복합지반의

침하량을 계산하는 방법을 소개하기로 합니다. 이 방법에 사용된 가정은 다음과 같습니다.

등가유효원주 개념이 전 지반에 적용됨.

등가유효원주에 가해진 상재하중은 점토와 모래말뚝에 발생한 응력의 합과 같음(평형상태 유지).

모래말뚝과 점토의 침하량은 같음.

상재압에 의해 모래말뚝에 유발된 응력은 말뚝 전 길이에 걸쳐 일정하거나 압축지층을 몇 개의

요소로 분할했을 때 요소 내에서 일정함.

cC 법에서 최종 압밀침하량은 다음과 같이 표현됩니다.

010

0 0

log1

c cf

CS He

(2.4.32)

무처리시 침하량에 대한 복합지반 침하량의 비는 다음 식으로 나타낼 수 있습니다.

SoilWorks 48


010

0

010

0

log

log

c

fSS

(2.4.33)

여기서 0 : 초기 유효상재압, : 하중에 의한 상재압.

유효응력 0 가 매우 크고(모래말뚝이 긴 경우), 상재압 가 작으면 fSS

비는 c 값에 수렴합

니다.

1

1 1f

cs

SS n a

(2.4.34)

SoilWorks 49


2.5 성토하중에 의한 지반의 강도증가량

2.5.1 일반식

점토지반의 성토에 대한 강도증가율 m 은 자연상태의 비배수강도 uC 와 가해진 토피압 0P 의

비로 표시되며 하중재하에 의한 강도증가는 다음 식으로 나타낼 수 있습니다.

0 0 cC C m P P P U (2.5.1)

여기서 C : 점착력, 0C : 초기점착력, P : 하중증가량, m : 강도증가율, U : 압밀도, 0P : 유효상

재하중, cP : 선행압밀하중

2.5.2 SCP 또는 GCP 처리시의 강도증가량

강도증가 계산시 지반처리 공법이 Sand Compaction Pile 또는 Gravel Compaction Pile 공법인

경우는 다음과 같은 방법으로 강도증가를 산정할 수 있습니다.

1tan tan sm (2.5.2)

0 01 s c cC a C m P P U (2.5.3)

m : 강도증가율, s : 모래(자갈)의 내부마찰각, s : 말뚝의 응력증가계수

1 1s

ss

nn a

, c : 점성토의 응력저감계수 1

1 1c

csn a

, s : 모래(자

갈)가 부담하는 응력, c : 점토가 부담하는 응력, : 성토하중 재하에 의한 증가응력, sa : 모래

(자갈)의 치환율 sA A , n : 응력분담비

SoilWorks 50


SoilWorks 51


2.6 단계재하시 시간에 따른 침하량

2.6.1 일반사항

연약지반 처리를 위한 성토하중 및 외부하중 등의 재하는 재하 기간 및 방치기간 등을 고려하여

단계별로 재하됩니다. 한 단계 성토하중에 의한 지반 압밀이 완료되기 전에 다음단계 하중이 재

하되므로 재하 하중이 2단계 이상 재하된 후의 침하곡선은 1단계 하중에 의한 침하와 2단계 하

중에 의한 침하가 복합적으로 발생하게 됩니다.

실제의 공사현장에서는 전 하중을 순간적으로 재하하는 순간 재하보다 하중을 점진적으로 증가하

여 최종하중에 도달하는 점증 재하를 적용하는 경우가 많습니다. 성토 또는 구조물을 축조하는

기간이 압밀 시간에 비하여 매우 짧은 경우는 근사적으로 순간 재하로 간주할 수도 있으나 재하

과정 중에 일어나는 압밀을 무시할 수 없는 경우에는 점증 재하로 간주하여 압밀을 계산하여야

합니다.

본 프로그램에서는 단계별 시간-침하량 계산시 총하중법(total load method)과 개별하중법

(incremental load method)의 두 가지 방법을 적용할 수 있습니다.

2.6.2 총하중법

총하중법은 성토하중 또는 외부하중이 단계 재하되는 경우 각 단계별로 누계하중인 총하중에 대

한 시간별 침하 및 총침하량을 계산하게 되며 이때 각 단계별 지반조건은 초기 원지반 상태로 규

정합니다. 즉, 1단계 하중 재하시 원지반조건에 대하여 침하 및 시간을 계산하고 2단계 하중재하

시 원지반조건에 대한 침하 및 시간을 계산하여 1단계 침하곡선과 2단계 침하곡선이 2단계 하중

재하 시작일에서 동일한 발생 침하량으로 교차하도록 침하곡선을 평행 이동시켜 작성하는 방법입

니다.

SoilWorks 52


그림 2.6.1 단계성토 침하곡선의 평형이동

2.6.2.1 재하단계 침하곡선

1) 배수처리가 없는 경우의 침하곡선

0 1m mt t t (재하기간)

배수처리가 없는 경우 재하기간의 시간계수 vtT 는 다음 식과 같이 나타냅니다.

01

20

2m

v

vt

t tC t

TH

(2.6.1)

SoilWorks 53


여기서 vC : 압밀계수, 0H : 원지반의 압밀층두께, t : 시간(day), 0mt : m 단계 성토시 하중재하

시작일, 1t : 평행이동시간

m 단계 성토시 압밀도 mU 은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

4 vtm

TU

: 53%mU 인 경우 (2.6.2)

1.7810.933101

100

vtT

mU

: 53%mU 인 경우 (2.6.3)

m 단계 성토시 평행이동시간 1t 은 다음과 같이 표현됩니다.

2 20

1 4 v

H UtC

: 53%U 인 경우

(2.6.4)

20

1

1.781 0.933 log(100 100 )

v

H Ut

C

: 53%U 인 경우

(2.6.5)

여기서 0 1 ft m mU S S , 0 1t m mS : ( 1m )단계 하중재하시 m 단계성토 재하시작일의 발생침

하량, fS : m 단계 하중재하시 최종침하량

따라서 m 단계 성토시 재하기간 동안의 압밀침하량 t mS 은 다음 식과 같습니다.

0

0 1 0 11 0

mtm f m t m m t m m

m m

t tS S U S St t

(2.6.6)

여기서 0mt : m 단계 성토시 하중재하 시작일, 1mt : m 단계 성토시 하중재하 종점일

1mt t (방치기간)

SoilWorks 54


시간계수 vtT 는 다음 식과 같이 나타낼 수 있습니다.

0 11

20

2m m

v

vt

t tC t t

TH

(2.6.7)

압밀도 mU 은 식 (2.6.2), (2.6.3)과 같다. 평행이동시간 1t 은 식 (2.6.4), (2.6.5)와 같습니다. m

단계 성토시 방치기간 동안의 압밀침하량 t mS 은 다음 식과 같습니다.

t m f mS S U

(2.6.8)

그림 2.6.2 단계성토 침하곡선의 점증보정

SoilWorks 55


그림 2.6.1과 같이 두 단계로 구성된 단계성토를 실시할 경우 순간 재하 조건으로 산정된 2단계

침하곡선 ②를 02t 에서 1단계 침하곡선과 교차하도록 침하곡선②를 1t 만큼 평행이동 시켜 침

하곡선 ③을 작성합니다. 그리고 그림 2.6.2와 같이 2단계 재하 기간 내에서 점증보정을 수행하

여 침하곡선 ④를 완성할 수 있습니다. 이때 점증보정과 함께 t 만큼의 평행이동이 이루어진다.

t 는 반복과정을 통해 계산되는 값입니다.

2) 배수처리된 경우의 침하곡선

0 1m mt t t (재하기간)

배수처리된 경우 재하 기간의 시간계수 htT 는 다음 식과 같이 나타냅니다.

01

2

2m

h

h te

t tC t

Td

(2.6.9)

여기서 hC : 수평방향 압밀계수, ed : 영향원의 직경

압밀도 mU 은 압밀도 산정방법에 따라 다음과 같이 여러 방법이 제안되어 있습니다(2.4.3절 참

고).

81 exp hTUF n

: Barron법 (2.6.10)

81 exp hTUF

: Hansbo법 (2.6.11)

81 exp hTUm

: Yoshikuni법 (2.6.12)

81 exp

0.8hTU

F n L

: Onoue법 (2.6.13)

SoilWorks 56


m 단계 성토시 평행이동시간 1t 은 다음과 같이 표현됩니다.

2 2

1 4e

h

d UtC

: 53%U 인 경우

(2.6.14)

2

1

1.781 0.933 log(100 100 )e

h

d Ut

C

: 53%U 인 경우 (2.6.15)

여기서 0 1 ft m mU S S , 0 1t m mS : ( 1m )단계 하중재하시 m 단계성토 재하 시작일의 발생

침하량, fS : m 단계 하중재하시 최종침하량

따라서 m 단계 성토시 재하기간 동안의 압밀침하량 t mS 은 식(2.6.6)과 같습니다.

1mt t (방치기간)

시간계수 htT 는 다음 식과 같이 나타낼 수 있습니다.

0 11

2

2m m

h

h te

t tC t t

Td

(2.6.16)

m 단계 성토시 방치기간 동안의 압밀침하량 t mS 은 식(2.6.8)과 같습니다.

2.6.2.2 제하단계 침하곡선

성토 중에 성토 및 외부하중을 제거할 경우 점성토의 리바운드(rebound)가 발생하며 리바운드량

의 계산은 2.2.3절에서 기술하였습니다. 그림 2.6.3과 같이 1단계, 2단계, 및 4단계는 재하하중을

가지고 3단계는 하중제하단계를 가지는 총 네 단계로 구성된 단계성토의 침하곡선을 작성하기로

합니다. 제하단계인 3단계의 경우 1단계 침하곡선의 최종침하량보다 3단계 침하곡선에서 리바운

드량을 감안한 03t 시간의 침하량( A점)이 더 작을 경우 그림 2.6.3과 같이 1단계 침하시간 단축량

SoilWorks 57


인 t 만큼 평행 이동합니다.

그림 2.6.3 제하하중 단계시 침하곡선의 평행이동

1단계 침하곡선의 최종침하량보다 A 점이 더 클 경우 그림 2.6.4와 같이 A 점의 침하량을 다음

단계 재하단계 이전까지의 침하량으로 일정하게 취할 수 있습니다.

SoilWorks 58


그림 2.6.4 제하하중 단계시 일정한 값의 침하량

2.6.3 개별하중법

개별하중법은 성토하중 또는 외부하중이 단계 재하되는 경우 각 단계별로 순하중에 대한 시간별

침하 및 총침하량을 계산하여 이를 누계하여 침하곡선을 작성하는 방법입니다. 이때 각 단계별

지반조건은 시간에 대해 변화하는 것으로 규정합니다. 즉, 1단계 하중재하시 원지반조건에 대하여

침하 및 시간을 계산하고 2단계 하중재하시부터 지반의 유효응력 변화 및 발생침하량을 고려한

침하대상층 두께 등이 재구성되어 적용됩니다. 각 단계별 침하곡선을 누적하여 최종 침하곡선을

얻게 됩니다.

다음 그림은 1단계의 성토 후에 2단계 성토에 의한 침하곡선을 1단계 침하곡선에 누적시키는 방

법을 보여주는 것입니다.

SoilWorks 59


그림 2.6.5 개별하중법에서 성토단계 침하곡선의 누적

다음 그림과 같이 1, 2, 3단계 성토 후에 4단계에서 하중 제하를 시킬 경우 3단계까지의 침하곡선

을 누적하여 (1+2+3)단계 침하곡선을 작성하고 4단계 제하 시작일에서 리바운드량만큼 감하여 수

평하게 4단계 침하곡선을 작성한 것을 나타낸 것입니다. 4단계의 침하곡선은 1, 2, 4단계 침하곡

선을 누적한 (1+2+4)단계 침하곡선이 됩니다.

SoilWorks 60


그림 2.6.6 개별하중법에서 제하단계 침하곡선의 누적

Par

t V

| F

ound

atio

n


SoilW

orks


Foundation

Chapter 1

Chapter 2

Chapter 3

기초해석

수평하중 재하시 지반응답곡선

축하중의 지반응답곡선

수평하중을 받는 군말뚝 효과

Part V

Part

II |

G

eoXD A

nalysis

유한

요소

법

Analysis Reference

Contents

Foundatoin 기초해석 (Foundation Analysis) / 001

Chapter 1 수평하중 재하 시 지반응답곡선 / 003

1.1 자유수면 조건에서의 연약 점성토 / 005

1.2 자유수면 조건에서의 견고한 점성토 / 009

1.3 자유수면의 영향이 없는 견고한 점성토 / 015

1.4 지하수면 조건하에서의 사질토 / 018

1.5 사질토의 지반응답곡선 / 024

1.6 c 지반에서의 지반응답곡선 / 027

1.7 암반의 지반응답곡선 / 033

1.7.1 견고한 암반에서 지반응답곡선 / 033

1.7.2 연약한 암반의 지반응답곡선 / 034

Chapter 2 축하중의 지반응답곡선 / 039

2.1 개요 / 039

2.2 점성토에서 마찰저항에 대한 하중전이 곡선 / 042

2.3 점성토에서 선단에서의 하중전이 곡선 / 044

2.4 사질토에서 마찰저항에 대한 하중전이 곡선 / 046

2.5 사질토에서 선단에서의 하중전이 곡선 / 048

Chapter 3 수평하중을 받는 군말뚝 효과 / 051

3.1 개요 / 051

3.2 횡방향 감소계수 / 054

3.3 종방향 감소계수 / 055

3.4 사선말뚝의 감소계수 / 057

기초해석

SoilWorks 1

기초해석은 주로 구조물의 연직하중을 지지하는 해석뿐만 아니라, 최근에는 풍하중, 파랑하중 등

수평력을 받는 말뚝의 해석에 대해서도 활발히 연구가 진행되었습니다. 이를 위해서 지반의 비선

형 거동을 반영할 수 있는 해석 모델이 필요하게 되었습니다. Reese와 Matlock 등에 의해 흙의

종류별 수평재하시험을 통한 연구가 수행되었으며, 이를 바탕으로 흙의 탄성한계를 넘어 항복에

이르기까지의 말뚝변형에 따른 지반반력의 크기를 심도별로 정리한 지반응답곡선을 제안하게 되

었습니다. 말뚝머리에 수평하중이 작용하는 경우, 작은 외부하중에도 불구하고 지반이 특히 연약

층인 경우에는 탄성한계를 쉽게 초과하며, 이 때 비선형 지반응답곡선을 사용하지 않으면, 실제거

동과 해석거동은 큰 차이를 보이게 됩니다.

SoilWorks에서 기초해석에서 사용되는 요소, 하중 및 경계조건은 아래 표와 같으며, 요소, 하중

및 경계조건은 터널해석편에 보다 상세하게 설명되어 있습니다.

표 1 기초해석에서 사용되는 요소, 하중 및 경계

대분류 중분류 소분류

요소

지반요소 Nonlinear Point Spring

말뚝요소 Beam

기초요소 Rigid Link

하중 기초 두부에 작용하는 하중 절점하중

경계 두부경계 Beam end release

선단 경계 지점 경계

SoilWorks 2

Foundation Analysis

x

yz

Node Local Axis

그림 1 기초해석의 구조계

수평하중 재하 시 지반응답곡선

Chapter 1

SoilWorks 3

말뚝에 수평하중이 재하되면 저항력( p )와 변위( y )간에 비선형 거동을 합니다. 그림 1.1은

Reese(1983)가 제시한 지반응답곡선의 개념이 도시되어 있습니다. 말뚝의 시공 이후에 심도 1x

에서는 모든 방향에서 응력이 일정하게 나타납니다. 하지만, 말뚝의 변위가 발생했다면, 말뚝의

앞쪽은 응력이 증가하게 되고, 뒤쪽은 응력이 감소하게 됩니다.

지반반력( p )의 값이 임의 심도( x )와 말뚝의 변위( y )에 대해서 정의된다면, 지반응답곡선을 고려

한 말뚝거동을 해석할 수 있습니다. 따라서 극한지반반력( up )을 말뚝 심도별로 산정하여 근사적

으로 말뚝의 거동을 해석하게 됩니다.

그림 1.1 지반응답곡선의 정의

SoilWorks 4

Foundation Analysis

수평하중을 받는 말뚝의 경우 지반변형계수( sE )는 아래 그림 1.2처럼 변위가 미소하게 일어난 경

우에는 최대 강성을 발휘하다가, 변위가 증가할수록 강성이 점차 감소하는 스프링으로 생각할 수

있습니다. 그림에서 점선은 지반강성을 의미하고 변형이 진행됨에 따라서 기울기가 완만해 지는

것을 알 수 있습니다. 그리고 일반적으로 심도에 따라서 전단강도가 증가하기 때문에, 그림 1.2b

에서처럼 지반변형계수의 값도 증가하게 됩니다.

기울기가 변하기 때문에 p-y곡선은 비선형 물성으로 고려해야 실제의 거동과 보다 일치하게 됩니

다. 따라서 반복해석을 통해서 수렴해가는 계산과정이 필요합니다.

그림 1.2 깊이 별 지반응답곡선

p-y곡선에 가장 큰 영향을 미치는 것은 지반의 종류, 말뚝의 제원, 그리고 하중의 특성, 이 3가지

입니다.

SoilWorks 5

Chapter 1 Lateral Response

1.1 자유수면 조건에서의 연약 점성토

Matlock(1970)은 직경 12.75 ft , 길이 42 ft 의 강관말뚝에 대하여 횡방향 재하시험을 실시하여,

연약점성토 지반에 대한 p-y 곡선을 제안하였습니다. 전단강도가 2800 /lb ft (Lake Austin)와 평균

전단강도가 2300 /lb ft (Sabine Pass, Texas)에서의 현장재하시험을 통해서 곡선식을 제안하였습

니다.

다음 그림은 단기간 정하중 작용 시 연약점성토 지반에서의 지반응답곡선입니다. 재하시험은 정

하중 뿐만 아니라 반복하중 하에서도 수행되었으며, 반복하중인 경우 지하수가 응답에 많은 영향

을 미치는 것으로 판단됩니다.

그림 1.1.1 자유수면하에서 연약점토의 지반응답곡선

SoilWorks 6

Foundation Analysis

정하중 작용시 연약 점성토의 지반응답곡선은 다음과 같은 순서에 따라서 결정됩니다.

① 지반의 깊이에 따라서 비배수 전단강도( uc )와 포화단위중량( )을 측정합니다. 그리고 최대축

차응력의 절반에 해당하는 변형률 50 의 값을 구합니다. 만약 응력-변형률 곡선이 없는 경우

에는 아래 표 1.1.1을 이용해서 일반적인 50 의 값을 구합니다.

표 1.1.1 점성토의 변형율 값

점성토의 상태 50

Soft 0.020

Medium 0.010

Stiff 0.005

② 말뚝의 단위 길이 당 극한지반반력을 결정합니다. 극한지반반력 up 은 아래 식 중 작은 값을

사용합니다.

'3uJp x x cb

c b

(1.1.1)

9up cb (1.1.2)

여기서, ' 는 지표면으로부터 해당심도까지의 평균 유효단위중량, x 는 지표면으로부터 해

당심도까지의 깊이, c 는 심도 x 에서의 전단 강도, b 는 말뚝의 폭, J 는 Matlock(1970)가

시험을 통해서 연약점토인 경우에는 0.5, 중간점토인 경우에는 0.25의 값을 제시하였습니다.

하지만, 일반적으로 J 는 0.5의 값을 많이 사용하며, Soilworks에서는 0.5를 적용하였습니다.

③ 다음 식에서 극한지반저항의 50%에 해당하는 변위 50y 을 구합니다.

50 502.5y b (1.1.3)

④ 다음 식으로부터 p-y곡선을 산정할 수 있습니다.

13

50

0.5u

p yp y

(1.1.4)

SoilWorks 7


⑤ 위 그림에서와 같이 508y y 인 경우, up p 로 일정하게 유지됩니다.

반복하중 작용시 지반응답곡선은 다음 순서에 따라서 결정됩니다.

⑥ 0.72 up p 인 경우는 정하중과 같은 방법으로 p-y곡선이 결정됩니다.

⑦ 식 (1.1.1)과 (1.1.2)를 연립방정식으로 풀면 up 가 동일해지는 전이지점 rx 을 산정할 수 있

습니다. 만약 전단 강도와 단위 중량이 일정하게 유지되면, 전이지점은 아래와 같습니다. 하

지만, 전단 강도와 단위 중량이 심도에 따라 변화하면, 지반의 물성에 따라서 전이지점 rx 이

산정되어야 합니다.

6

'rcbxb Jc

(1.1.5)

⑧ 만약 p-y곡선을 산정하는 지점 x 가 전이지점 rx 보다 깊다면, 503y y 인 지점에서 p 는

0.72 up 로 동일하게 유지됩니다.

⑨ 만약 p-y곡선을 산정하는 지점 x 가 전이지점 rx 보다 얕으면, 503y y 인 지점에서

0.72 up p 값을 가지며, 변위가 증가할수록 지반반력은 감소하여, 5015y y 까지는 다음 식

과 같습니다.

0.72 ur

xp px

(1.1.6)

⑩ 5015y y 인 경우, 일정한 값으로 유지됩니다.

추천 토질 시험

p-y곡선을 결정할 때 주요한 지반의 전단 강도를 결정하기 위해 Matlock(1970)은 아래의 시험을

추천하였습니다.

① 토질분류를 위한 시료채취 및 현장 베인(vane) 전단 시험

② 상재하중과 동일한 구속압을 가진 비압밀, 비배수 삼축압축 시험

③ 시료에서의 축소 베인 시험

SoilWorks 8

Foundation Analysis

④ 구속하지 않은 상태에서의 압축 시험

지반의 단위중량을 결정하기 위해서 위의 시험이 수행되어야 합니다.

SoilWorks 9


1.2 자유수면 조건에서의 견고한 점성토

Reese, Cox & Koop(1975)는 직경이 24in , 길이가 50 ft 인 강관 말뚝으로 견고한 점성토 지반에

서 수평재하 시험을 하였습니다. 이때 점성토의 비배수 전단 강도는 지표면에서 12 ft 심도까지

21 /ton ft 에서 23 /ton ft 으로 변하였습니다.

다음 그림은 단기간 정하중에서의 시험 결과입니다. 동일한 현장에서 반복하중에 대한 지반 시험

도 병행되었으며, 그 결과 같은 장소에서 실시된 시험임에도 불구하고 반복하중에 대한 지반저항

력은 정하중의 지반저항력에 비해 크게 감소한 것으로 나타났습니다. Long과 Reese(1983)는 반

복하중에 의해 저항력이 감소하는 원인을 정확히 규명하지 못했으며, 단지 재하시험을 통해 제시

된 p-y곡선이 대단히 보수적이라는 결론을 얻었습니다.

국내에서는 실물 크기의 재하 시험이 시행되지 못하여, 보수적이지만, 외국의 결과를 그대로 가져

다 쓰는 실정입니다.

그림 1.2.1 자유수면하의 견고한 점토에서 정하중이 작용할 때 지반응답곡선

정하중 작용 시 견고한 점성토의 지반응답곡선은 다음과 같은 순서에 따라서 결정됩니다.

① 해당 지점에서 비배수 전단강도( uc ), 포화단위중량( ' )과 말뚝의 직경( b )을 측정합니다.

② 심도 x 까지 평균 비배수 전단강도 ac 를 산정합니다.

SoilWorks 10

Foundation Analysis

③ 말뚝의 단위 길이당 지반의 극한지반반력을 계산합니다. 극한지반반력은 다음 식 중에서 작

은 값이 사용됩니다.

2 ' 2.83ct a ap c b bx c x (1.2.1)

11cdp cb (1.2.2)

④ 아래 그림으로부터 무차원 심도계수 sA 를 결정합니다. ( sxAb

)

그림 1.2.2 상수 As 와 Ac 의 값

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

(x/b

)

As & Ac

Ac (Cyclic)

As (Static)

SoilWorks 11


⑤ p-y곡선의 초기 직선구간을 산정합니다.

p kx y (1.2.3)

여기서 k 의 값은 아래 표를 통해서 적절한 sk , ck 를 산정합니다.

표 1.2.1 평균 비배수 전단강도에 따른 지반반력계수

평균 비배수 전단 강도 ( 2/tonf ft )

0.5~1 1~2 2~4

sk (정적하중, 3/lb in ) 500 1000 2000

ck (동적하중, 3/lb in ) 200 400 800

⑥ 50y 를 구합니다.

50 50y b (1.2.4)

50 의 값은 시험을 통해서 결정되지만 시험이 시행되지 않은 경우, 아래 표로부터 적절한 값을

선택합니다.

표 1.2.2 평균 비배수 전단강도에 따른 변형률

평균 비배수 전단 강도 ( 2/tonf ft )

0.5~1 1~2 2~4

50 0.007 0.005 0.004

⑦ 아래 수식을 통해서 p-y곡선의 초기 곡선 구간을 산정할 수 있습니다. 이때 cp 는 식

(1.2.1)과 (1.2.2)를 통해서 산정됩니다.

0.5

50

0.5 cyp py

(1.2.5)

SoilWorks 12

Foundation Analysis

식 (1.2.5)는 식 (1.2.3)과 만나는 교점부터 50sy A y 구간까지 적용됩니다.

⑧ p-y곡선의 두 번째 곡선 구간은 아래 식에 의해서 산정됩니다.

0.5 1.25

50

50 50

0.5 0.055 sc c

s

y y A yp p py A y

(1.2.6)

식 (1.2.6)은 50sy A y 에서 506 sy A y 까지 적용됩니다.

⑨ 그 다음 구간은 직선 구간이며, 아래 식에 의해서 산정됩니다.

0.550

50

0.06250.5 6 0.411 6c s c c sp p A p p y A yy

(1.2.7)

식 (1.2.7)은 506 sy A y 에서 5018 sy A y 까지 적용됩니다.

⑩ 마지막 직선 구간은 아래 식과 같습니다.

0.50.5 6 0.411 0.75c s c c sp p A p p A (1.2.8)

1.225 0.75 0.411c s sp p A A (1.2.9)

식 (1.2.8)은 5018 sy A y 인 구간에서 적용됩니다.

여기서 단계별로 지반응답곡선을 완성하는 과정에서, 식 (1.2.3)과 (1.2.5) 사이에 교점이 존재하면,

그림 1.2.3과 같이 p-y곡선이 정의됩니다. 하지만, 식 (1.2.3)과 다른 수식 사이에 교점이 존재하

지 않으면, 교점이 존재하는 그 다음 곡선까지 식 (1.2.3)으로 정의되고, 만약 교점이 전혀 존재하

지 않으면, 식 (1.2.3) 자체만으로 p-y곡선이 정의됩니다.

다음 과정은 반복하중에서 p-y곡선을 정의합니다.

SoilWorks 13


정적하중의 경우와 동일하게 ①, ②, ③, ⑤, ⑥ 과정을 수행합니다.

④ 그림 1.2.2에서 무차원 깊이 xb

에 해당하는 반복하중계수 cA 을 결정합니다.

504.1p cy A y (1.2.10)

⑦ p-y곡선의 곡선구간은 다음 식과 같습니다.

0.250.45

10.45

pc c

p

y yp A p

y

(1.2.11)

식 (1.2.11)는 식 (1.2.3)과의 교점에서부터 0.6 py y 까지 적용됩니다.

⑧ p-y곡선에서 다음 직선구간은 다음식과 같이 정의됩니다.

50

0.0850.936 0.6c c c pp A p p y yy

(1.2.12)

식 (1.2.12)는 0.6 py y 에서 1.8 py y 까지 적용됩니다.

⑨ 마지막 직선구간은 다음 식과 같이 정의됩니다.

50

0.1020.936 c c c pp A p p yy

(1.2.13)

식 (1.2.13)은 1.8 py y 인 구간에서 적용됩니다.

SoilWorks 14

Foundation Analysis

그림 1.2.3 자유수면하의 견고한 점토에서 반복하중이 작용할 때 지반응답곡선

여기서 반복하중의 경우에도 식 (1.2.3)과 식 (1.2.11)의 교점이 존재하면, 그림 1.2.3과 같은 곡선

이 나타납니다. 하지만, 식 (1.2.3)과 다른 수식 사이에 교점이 존재하지 않을 수도 있으며, 이런

경우에는 작은 값을 사용하게 됩니다.

추천 토질시험

견고한 점성토지반에서 p-y곡선을 얻는데 필요한 시험은 다음과 같이 추천하고 있습니다.

① 현장에서 구속압 조건하에서 비압밀 비배수 삼축 압축시험으로 지반의 전단강도를 측정할 수

있습니다.

② 최대축차응력의 절반에 해당하는 변형률 50 은 채취한 불교란 시료를 이용하여 실내시험을 통

하여 결정합니다.

③ 견고한 점성토 지반에 대한 지반전단강도 평가는 삼축압축시험을 통한 강도평가를 권장하고

있습니다. 비록 삼축압축시험을 통한 전단강도 평가가 다소 보수적인 측면이 있긴 하지만, 다른

시험결과에 비하여 말뚝의 거동해석에 있어서는 가장 현실적인 강도 수준을 제시하는 것으로 평

가되고 있습니다. 그리고 기본적으로 단위 중량 평가도 함께 이루어져야 합니다.

SoilWorks 15


1.3 자유수면의 영향이 없는 견고한 점성토

Welch와 Reese(1972, 1975)은 자유수면의 영향이 없는 견고한 점성토 지반에 대한 응답곡선을

현장재하시험을 통해 제안하였습니다. 재하시험에 사용된 말뚝은 직경이 36in , 매립된 길이는

42 ft 입니다. 평균 비배수 전단강도는 지표에서 20 ft 되는 지점에서 측정한 결과 22, 200 /lb ft

인 점성토 지반을 사용하였습니다.

단기간 정하중이 작용하는 경우 말뚝의 거동은 그림 1.3.1과 같습니다. 그리고 다음과 같은 절차

로 이루어집니다.

그림 1.3.1 자유수면이 없는 경우 견고한 점토에서 정하중이 작용할 때 지반응답곡선

① 해당 지점에서 비배수 전단강도( uc ), 단위중량( )와 말뚝의 직경( b )을 결정합니다. 그리고,

응력-변형률 곡선으로 50 을 산정합니다. 사용 가능한 응력-변형률 곡선이 없다면, 표 1.1.1

을 사용합니다. 보통의 경우, 0.01에서 0.005사이의 값을 사용하는데, 큰 값일수록 안정적인

결과를 얻을 수 있습니다.

② 말뚝의 단위길이당 극한지반반력을 산정합니다. 극한지반반력 up 는 연약 점성토의 경우와

동일한 방법으로 산정합니다. 식 (1.1.1)과 식 (1.1.2) 중 작은 값을 사용합니다.

SoilWorks 16

Foundation Analysis

③ 극한지반반력의 절반에 해당하는 변위 50y 을 식 (1.1.3)과 동일하게 결정합니다.

④ p-y곡선의 초기부분은 아래의 수식과 같이 산정됩니다.

0.25

50

0.5u

p yp y

(1.3.1)

⑤ 5016y y 인 경우에서는 up p 로 일정한 값으로 유지됩니다.

반복하중일 경우, 아래 그림 1.3.2와 같이 거동하며, 그 절차는 아래와 같습니다.

그림 1.3.2 자유수면이 없는 경우 견고한 점토에서 반복하중이 작용할 때 지반응답곡선

① 정하중인 경우와 동일한 방법으로 p-y곡선을 산정합니다.

② 말뚝에 작용하게 될 반복하중의 반복횟수를 결정합니다.

SoilWorks 17


③ 반복하중 영향계수 C는 실험실내의 반복하중 시험에 의해 결정됩니다. 하중반복횟수가 증

가함에 따라, 흙의 종류에 따라 나타나는 u

pp 값을 산정하여 이들의 변화추세를 수식으로 산

정합니다. 만약 이러한 자료가 없는 경우에는 Welch와 Reese(1972)가 제안한 다음 식으로

이를 결정합니다.

4

9.6u

pCp

(1.3.2)

④ 앞에서 산정된 C값을 이용하여, 다음 식으로 cy 를 결정합니다.

50 logc sy y y C N (1.3.3)

여기서, cy 는 N 번의 반복하중에 의한 변위, sy 는 단기 정하중에 의한 변위, 50y 는 단기 정하

중에 의한 극한저항의 50%에서의 변위, N 은 하중의 반복횟수입니다.

⑤ 반복하중인 경우 sy 대신에 cy 를 적용하여 반복횟수( N )에 대한 p-y곡선 식을 정의합니다.

추천 토질시험

비배수 삼축압축시험을 실시하여, 점성토의 전단강도와 응력-변형률의 관계곡선을 구할 수 있습니

다. 일반적으로 점성토 지반에서 수행하는 강도시험 및 원위치시험을 통하여 지반의 전단강도를

평가하고 불교란 시료를 채취하여 실내시험을 통한 응력-변형률 관계 곡선을 얻어야 합니다. 이들

시험으로부터 얻은 강도정수는 사용목적 및 해석대상을 고려하여 적절히 사용해야 할 것이며 또

한 필요에 따라서는 필요한 시험항목을 추가로 고려해야 할 것입니다. 기본적으로 물성시험을 실

시하여 지반의 단위중량을 측정하여야 합니다.

SoilWorks 18

Foundation Analysis

1.4 지하수면 조건하에서의 사질토

Cox, Reese와 Grubbs(1974)는 직경 24in , 길이 69 ft 의 말뚝을 이용하여, 모래지반에서의 수

평재하시험을 시행 하였습니다. 단기간 정하중 시험과 반복하중시험 모두 수행하였으며 지반의

응답반응을 계측하였습니다. 이때 사용된 사질토의 물성은 내부마찰각이 39 , 포화단위중량은

366 /lb ft 입니다.

P

0 b/60 3b/80y

mk

yk

Pk

ks - x

ym

PmmPu u

yu

x=0

x=x1

x=x2

x=x3

x=x4

그림 1.4.1 정하중과 반복하중하에서 사질토의 지반응답곡선

단기 정하중에 의한 지반응답곡선은 아래와 같습니다.

① 해당 사질토의 내부마찰각( ), 단위중량( ), 말뚝의 직경( b )을 정의합니다.

② 다음 변수들을 결정합니다.

2

SoilWorks 19


452

0 0.4K

2tan 452aK

③ 말뚝의 단위길이 당 사질토의 극한지반반력을 산정합니다. 아래 식 중 작은 값이 극한지반반

력값이 됩니다.

0

0

tan sin tan tan tantan cos tan

tan tan sin tan

st

a

K xp x b x

K x K b

(1.4.1)

8 40tan 1 tan tansd ap K b x K b x (1.4.2)

④ 식 (1.4.1)과 식 (1.4.2)의 교점 tx 를 산정합니다. 전이지점 tx 의 윗부분은 식 (1.4.1)을 사용

하고, 아랫부분은 식 (1.4.2)를 사용합니다.

⑤ 산정하고자 하는 p-y곡선의 해당심도 x 를 결정합니다.

⑥ 극한변위(380uby )가 발생하는 지점에서 극한지반반력을 다음 수식에서 산정합니다.

u s sp A p or u c sp A p (1.4.3)

여기서 sA 와 cA 은 그림 1.4.2와 같이 무차원 심도에 따라서 정의되며, 정적하중과 반복하중으

로 구분되어 정의됩니다. 4단계에서 결정된 식 (1.4.1)과 식 (1.4.2)로부터 산정된 적절한 sp 를 사

용합니다.

SoilWorks 20

Foundation Analysis

그림 1.4.2 상수 As, Ac 의 값

⑦ 말뚝 변위 60mby 에 해당하는 지반반력 ( mp )를 계산합니다.

m s sp B p or m c sp B p (1.4.4)

여기서 sB 와 cB 은 그림 1.4.3과 같이 무차원 심도에 따라서 정의되며, 정하중과 반복하중으로

구분되어 정의됩니다. 적절한 sp 를 사용합니다. 60mby 이후부터는 지반응답곡선의 기울기

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

(x/b

)

As & Ac

As (Static)

Ac (Cyclic)

SoilWorks 21


m 을 가지면서 선형적으로 서서히 증가하여 up 와 만나게 되는 것을 볼 수 있습니다.

그림 1.4.3 상수 Bs, Bc 의 값

⑧ p-y곡선의 초기 직선구간은 아래 수식과 같이 정의됩니다.

p kx y (1.4.5)

여기서 변수 k 는 표 1.4.1과 1.4.2로부터 산정할 수 있습니다.

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

(x/b

)

Bs & Bc

Bs (Static)

Bc (Cyclic)

SoilWorks 22

Foundation Analysis

표 1.4.1 지하수 아래에서 k의 대표적인 값

상대밀도 Loose Medium Dense

k ( 3/lb in ) 20 60 125

표 1.4.2 지하수 위에서 k의 대표적인 값

상대밀도 Loose Medium Dense

k ( 3/lb in ) 20 90 225

⑨ p-y곡선의 포물선구간은 아래의 수식과 같습니다.

1/np C y (1.4.6)

k 와 m 사이의 포물선 곡선을 그리기 위해서는 아래의 과정이 추가로 더 필요합니다.

a. m 과 u 사이의 기울기는 다음과 같습니다.

u m

u m

p pmy y

(1.4.7)

b. k 과 m 사이의 곡선부분에 대한 차수 n 값은 다음 식으로 결정됩니다.

m

m

pnm y

(1.4.8)

c. 계수 C을 결정합니다.

1/mn

m

pCy

(1.4.9)

d. k 점 위치를 결정합니다.

SoilWorks 23


1nn

kCyk x

(1.4.10)

e. 위 수식들로부터 적절한 변수를 정의하여, 식 (1.4.6)와 같은 포물선 구간을 산정합니다.

초기 직선수식과 포물선 수식 사이의 교점 k 가 존재하면, 그림 1.4.1과 같이 p-y곡선의 정의됩니

다. 하지만, 초기 직선수식과 포물선 수식 사이에 교점이 존재하지 않으면, 그 후속 수식과의 교

점을 찾아서 p-y곡선을 완성하게 됩니다. 만약, 후속 수식과의 교점이 전혀 발생하지 않을 경우에

는 초기 직선 수식이 전체 p-y곡선을 구성하게 됩니다.

반복하중이 작용하는 경우에는 정하중과 동일한 방법으로 지반응답곡선을 산정합니다. 이때 sk ,

sA , sB 대신에 ck , cA , cB 를 사용합니다.

추천 토질시험

유효 상재하중을 구속압으로 하는 삼축압축시험을 통하여 지반의 내부마찰각을 산정합니다. 그러

나 사질토에서 말뚝의 거동을 해석하기 위해 삼축압축시험을 실시한다는 것은 그리 쉬운 일은 아

닙니다. 교란되지 않은 시료를 채취한다는 것은 불가능하기 때문입니다. 따라서 현장의 상황에 따

른 적절한 공학적인 판단이 개입되어야 할 것입니다. 일반적으로 사질지반에 대해 표준관입시험

과 프레셔미터 시험 등의 현장 원위치 시험을 통한 평가방법이 많이 활용되고 있습니다.

SoilWorks 24

Foundation Analysis

1.5 사질토의 지반응답곡선(API RP2A)

아래에서 설명하고 있는 사질토의 지반응답곡선은 미국석유공사(America Petroleum Institute)에서

제시한 방법입니다. API에서 제시한 사질토에 대한 p-y곡선인 경우, 현장의 경험적 요소가 포함되

어있습니다. 일반적으로 Reese와 API가 제시한 극한지반반력( up )는 차이가 없습니다. API에서 제

시한 수식이 좀 더 편리합니다. 가장 큰 차이는 지반반력의 초기계수값과 곡선의 형상함수입니다.

아래의 계산과정은 단기간의 정하중과 반복하중이 작용했을 때 API RP2A(1987)에서 제시한 p-y

곡선의 수식입니다.

① 내부마찰각( )과 단위중량( )과 말뚝의 직경( b )을 산정합니다.

② 해당 심도 x 에서 극한지반반력을 산정합니다. 이때, 얕은 심도에서는 식 (1.5.1)이 적용되며,

깊은 심도에서는 식 (1.5.2)가 적용됩니다. 주어진 식에서 작은 값을 사용합니다.

1 2 'usp C x C b x (1.5.1)

3 'udp C b x (1.5.2)

여기서, up 는 단위길이당 극한지반반력, ' 은 유효단위중량, x 는 해당심도, 는 사질토의 내

부마찰각, 1C , 2C , 3C 은 그림 1.5.1에서 마찰각 ( )의 함수로 정의된 계수, b 는 평균 말뚝의

직경입니다.

SoilWorks 25


그림 1.5.1 마찰각에 따른 계수

③ 단계 ②에서 결정된 up 로부터 하중-변위곡선을 정의할 수 있습니다. 사질토의 수평지반반력

-변위의 관계식은 비선형이며, 아래의 수식과 같습니다.

tanhuu

kxp Ap yAp

(1.5.3)

여기서, A는 정적 또는 반복하중에서 산정된 계수입니다.

3.0 0.8 0.9xAb

정적하중인 경우,

0.9A 반복하중인 경우

SoilWorks 26

Foundation Analysis

up 는 식 (1.5.1)과 식 (1.5.2) 중 작은 값입니다. k 은 초기 지반반력계수, 내부마찰각( )의 함수

로 구성된 그림 1.5.2로부터 산정됩니다. y는 횡방향 변위, x 는 해당 심도입니다.

그림 1.5.2 API 에서 제시한 사질토의 초기 지반반력계수

SoilWorks 27


1.6 c 지반에서의 지반응답곡선

지금까지는 순수한 점성토와 사질토에 대한 지반응답곡선을 살펴보았습니다. 이는 구조물 기초

설계시에 편의성 및 안정성을 위해서 점착력 또는 내부마찰각 하나의 물성만 갖는 토질로 국한시

켜 적용하였습니다. 하지만, 실제 대부분의 자연상태의 지반은 순수한 점성토이거나 사질토보다는

c 와 를 동시에 가진 지반입니다.

특히 완전히 포화되지 않은 점성토의 경우에는 강도시험에 의한 파괴포락선을 그려보면 c 와

를 동시에 가지고 있는 것으로 나타납니다. 지하수의 상승 또는 강우 등의 이유로 포화상태가 되

면 순수 점성토의 물성만 가지게 되지만, 말뚝거동에서 불포화 상태에서 취약한 상태를 보이기도

하기 때문에, c 와 를 동시에 가지고 있는 토질에 대한 지반응답곡선이 정의되어야 합니다. 또

한 사질토인 경우에도 지반이 고결된 경우, 점착력 성분이 증가하면서 전단강도도 증가하게 됩니

다. 이러한 현상은 주로 얕은 지층에서 종종 발생합니다.

c 와 를 동시에 가지는 대표적인 경우는 압밀 배수상태의 점성토입니다. 즉 점성토 지반이 장

기간 압밀이 진행되고 지하수위 조건이 변경된 조건하에서 점착력과 내부마찰각을 동시에 가지게

됩니다.

그림 1.6.1은 단기간 정적하중 또는 반복하중이 재하된 경우에 지반응답곡선을 나타냅니다. 앞서

제시한 사질토의 지반응답곡선의 절차와 상당히 유사하게 진행됩니다. 개념적으로, 극한지반반력

( up )는 수평하중에 의해 말뚝이 거동할 때, 말뚝 전면에서 저항하는 흙의 수동저항으로 고려합니

다. 또한 여기에 말뚝의 측면에서 작용하는 저항력을 더하면 말뚝의 배면에서 작용하는 활동력을

초과하지 않는다고 간주합니다. 그리고 말뚝의 배면에서 작용하는 주동토압과 말뚝 측면에서 작

용하는 저항력은 수동저항력에 비해 매우 미소하기 때문에 대부분 무시합니다.

SoilWorks 28

Foundation Analysis

그림 1.6.1 점착력과 마찰각성분을 동시에 가지는 흙의 지반응답곡선

Evans와 Duncan(1982)는 이러한 사실을 바탕으로 c 지반의 극한지반반력 근사식을 다음과

같이 제안하였습니다.

p p hp b C b (1.6.1)

여기서, p 는 3차원 수동측 쐐기효과를 고려한 수동토압, b 는 말뚝의 너비, pC 는 무차원 보정

계수입니다.

그리고 h 는 랭킨(Rankine) 이론에 의한 수동토압이며, 아래 식으로 나타낼 수 있습니다.

2tan 45 2 tan 452 2h x c

(1.6.2)

여기서, 는 흙의 단위중량, x 는 수동저항이 고려되는 심도, 는 흙의 내부마찰각, c 는 점착

력입니다.

SoilWorks 29


무차원 보정계수 pC 는 점착력과 내부마찰각 항으로 나누어 생각할 수 있습니다. 점착력 항을

pcC 로 표기하고, 내부마찰각 항을 pC 로 표기하면, 다음 식과 같이 나타낼 수 있습니다.

2tan 45 tan 452 2u p pcp C x C b

(1.6.3)

Evans와 Duncan(1982)가 제시한 개념을 바탕으로 c 지반에서의 p-y곡선을 간단히 정리하면

다음과 같습니다.

u u ucp Ap p (1.6.4)

여기서, A는 그림 1.6.2로부터 산정할 수 있습니다. 마찰각 항에서의 극한지반반력( up )은 아래

수식 중 작은 값을 택합니다.

0

0

tan sin tan tan tantan cos tan

+ tan tan sin tan

u

a

K xp x b x

K x K b

(1.6.5)

8 40tan 1 tan tanu ap K b x K b x (1.6.6)

점착력 항에서의 극한지반반력( ucp )은 아래 수식 중 작은 값을 택합니다.

'3ucJp x x cb

c b

(1.6.7)

9ucp cb (1.6.8)

c 지반의 거동은 응력-변형률 관계곡선에 있어서 점성토보다는 사질토와 유사하다는 판단 아

래 Reese et al(1974) 가 제안한 사질토의 수식 계산 절차를 따릅니다.

SoilWorks 30

Foundation Analysis

① 380uby 에 해당하는 up 를 산정합니다.

su u ucp A p p (1.6.9)

cu u ucp A p p (1.6.10)

여기서 sA , cA 는 그림 1.4.2로부터 무차원 심도에 따른 정적 또는 반복하중에서의 적절한 값을

선택합니다.

② 60mby 에 해당하는 mp 를 산정합니다.

m s sp B p , m s sp B p (1.6.11)

여기서 sB , cB 는 그림 1.4.3으로부터 무차원 심도에 따른 정적 또는 반복하중에서의 적절한 값

을 선택합니다.

그림 1.6.1에서 지반응답곡선은 60mby 에서

380uby 까지 직선으로 변화되며, 이 직선은 mp

와 up 값이 산정되면 결정할 수 있습니다.

③ 초기 직선부분의 지반응답곡선은 다음 식과 같습니다.

p kx y (1.6.12)

여기서, k 는 마찰각항과 점착력항으로 나누어 고려되며, 아래 수식과 같습니다.

ck k k (1.6.13)

그리고 ck 와 k 는 아래 그림으로부터 결정됩니다.

SoilWorks 31


그림 1.6.2 실트에서 k 대표값

④ p-y곡선의 포물선구간을 산정합니다.

1/np Cy (1.6.14)

k 와 m 사이 구간에서 곡선은 다음 과정에 의해 정의됩니다.

a. m 과 u 사이의 기울기를 구합니다.

u m

u m

p pmy y

(1.6.15)

b. 곡선구간 수식의 급수는 다음과 같이 구합니다.

m

m

pnmy

(1.6.16)

SoilWorks 32

Foundation Analysis

c. 계수 C를 산정합니다.

1/mn

m

pCy

(1.6.17)

d. k 점의 변위를 산정합니다.

1nn

kCykx

(1.6.18)

직선구간과 곡선구간에서 교차점이 존재하는 경우 그림 1.6.1과 같이 나타납니다. 만약 교점이 존

재하지 않은 경우는 후속 곡선부와의 교점을 검색하게 되며, 교점이 전혀 존재하지 않으면, 초기

직선구간이 전체 지반응답곡선이 됩니다.

SoilWorks 33


1.7 암반에서 지반응답곡선

암반은 지반의 상부 주요 구조물이나 규모가 큰 구조물을 지지하는 기초지반으로 고려되고 있습

니다. 암반에서 시공과정은 대부분 항타가 불가능하고 지반을 천공한 후 말뚝을 타설하는 방법을

쓰고 있습니다. 따라서 지반응답곡선도 점성토 또는 사질토와는 다른 양상을 가집니다.

암반은 강도에 따라서 크게 견고한 암반(strong rock)과 연약한 암반(week rock) 두 종류로 구분됩

니다. 이 때 암반의 강도는 R.M.R (Rock Mass Rating) 및 R.Q.D (Rock Quality Designation)으로

평가되며, 본 프로그램에서는 R.Q.D의 값을 사용하고 있습니다.

암반에서 말뚝거동을 해석하기 위한 지반응답곡선은 불확실한 요소를 많이 포함하고 있습니다.

암반의 종류, 절리 특성 등 암반을 구체적으로 정의할 수 있는 사항이 지반응답곡선을 정의하는

데 고려되지 않고 있습니다. 따라서 암반을 현실적으로 판단하기 위해서는 공학자의 주관적 판단

이 많이 개입될 수 밖에 없습니다.

또한, 암반에서 말뚝의 변형은 매우 미소하기 때문에 현장에서 재하시험을 실시하더라도 암반의

극한저항을 확인할 수 없습니다. 하지만 수평력이 재하 경우, 말뚝의 파괴거동을 알아내기 위해서

는 반드시 지반의 극한 저항력을 평가할 수 있어야 합니다. 이러한 사실 또한 암반의 지반응답곡

선을 산정하는데 어려운 점으로 작용합니다.

1.7.1 견고한 암반에서 지반응답곡선

횡방향 하중이 재하된 경우 p-y곡선은 그림 1.7.1과 같이 나타나고 있습니다. 암반에서는 p-y곡

선을 정의할 변수가 상당히 부족하기 때문에 심도에 따라서 증가하는 강도를 반영하지 못하고 있

습니다. 또한 반복하중에 대한 영향도 고려하지 못합니다.

그림에서 보듯이 말뚝의 수평방향 변위가 0.0004b을 초과하는 경우에 취성 파괴가 발생하게 됩

니다. 하지만, 암반에서는 실험 데이터가 상당히 제한적이기 때문에, 공학자의 주의깊은 판단이

요구됩니다. 현장에서 암반은 시험체의 강도를 따라 거동하는 것이 아니라, 절리, 균열 등에 의해

거동합니다.

SoilWorks 34

Foundation Analysis

그림 1.7.1 견고한 암반에서 지반응답곡선

1.7.2 연약한 암반에서 지반응답곡선

그림 1.7.2 연약한 암반에서의 지반응답곡선

SoilWorks 35


연약한 암반의 지반응답곡선은 사질토의 곡선과 유사합니다. 연약한 지반의 극한지반반력은 암반

이 쐐기파괴를 일으킨다는 가정하에 다음과 같이 산정합니다.

1 1.4 rur r ur

xp q bb

, 0 3rx b (1.7.1)

5.2ur r urp q b , 3rx b (1.7.2)

여기서, urq 은 암반의 일축압축강도, r 은 강도 감소계수, b 은 말뚝의 직경, rx 은 대상심도입

니다.

연약한 암반에 대한 지반응답곡선은 사암(sand stone)을 대상으로 한 것이며 판단기준은 암석의

일축압축강도 urq 가 유일합니다. 단순히 일축압축강도 6.9urq MPa 인 경우 연약한 암반으로 정

의하는데에는 보다 전반적인 평가가 추가되어야 합니다.

SoilWorks 36

Foundation Analysis

MODULUS R

ATIO

1000

500

200

100

그림 1.7.3 암반의 지반변형계수와 일축압축강도

또한 암반에서는 약간의 변형만으로도 파괴가 될 수 있기 때문에, 일축압축강도만 사용하여 암반

을 평가할 경우에는 강도감소 계수를 고려해야 합니다. 이는 실험실에서는 양호한 암석의 시편을

이용하게 되지만, 현장에서는 말뚝시공으로 인해 지반이 교란된 상태이기 때문입니다. 말뚝의 거

동을 예측하는데 있어 강도감소계수 r 은 RQD로 의 함수로 나타냅니다. 일반적으로 RQD가

100인 경우 1/ 3r 을 적용하고, RQD가 0인 경우 1r 인 값으로 선형적으로 증가하는 함수

로 고려합니다.

그림 1.7.2에서 irK 의 값은 보(beam)가 균질한 탄성체 지반에 놓여있는 것으로 생각하여, 다음

식으로 나타낼 수 있습니다.

ir ir irK k E (1.7.3)

여기서, irE 은 암반의 초기 지반반력계수, irk 는 무차원 계수입니다.

SoilWorks 37


이때 무차원 계수 irk 은 다음과 같이 정의됩니다.

100 4003r

irxkb

0 3rx b (1.7.4)

500irk , 3rx b (1.7.5)

irp K y Ay y (1.7.6)

0.25

2ur

m

p ypy

Ay y , urp p (1.7.7)

urp p (1.7.8)

rm rmy k b (1.7.9)

여기서, 0.0005 ~ 0.00005rmk 을 가지는 무차원 상수입니다.

Ay 는 식 (1.7.6)과 식 (1.7.7)의 교점으로서, 아래의 수식과 같이 산정됩니다.

43

0.252ur

Arm ir

pyy K

(1.7.10)

위 수식들을 바탕으로 연약한 암반의 p-y곡선이 산정됩니다.

일반적으로 암반은 그 자체가 충분한 지지력을 가지고 있기 때문에 따로 말뚝기초를 시공하진 않

지만, 암반이 풍화가 심하게 진행된 상태여서 지지력을 가지고 있지 못한 경우에는 현장타설 말

뚝으로 시공하는 경우가 있습니다. 이런 경우에도 앞에서 언급한 것처럼 충분한 자료를 바탕으로

정의된 수식이 아니므로, 공학자의 주의가 필요합니다.

SoilWorks 38

Foundation Analysis

축하중의 지반응답곡선

Chapter 2

SoilWorks 39

2.1. 개요

앞 장에서는 수평하중에 의한 하중과 변위관계에 대해서 알아보았습니다. 이번 장에서는 수직하

중에 의한 하중과 침하관계에 대해서 알아보겠습니다. 축하중 시험을 통해 하중-침하곡선은 직접

적으로 산정할 수 있지만, 많은 케이스의 경우, 특히 예비 설계시에는 이러한 관계식은 필요가 없

습니다. 이번 장에서는 하중-침하곡선의 예측에 대해서 해석적인 관점에서 기술하도록 하겠습니다.

전형적으로 깊은 기초에서 하중-침하곡선은 그림 2.1.1과 같이 나타납니다. 그림에서 오른쪽편의

수직점선은 충진으로 발생한 하중입니다. 이 하중은 하중의 증가 없이 말뚝의 침하를 진행시킵니

다. 만약 하중이 pQ 값까지 증가한다면, 총 침하량도 점 P까지 증가하게 됩니다. 만약 하중이

제하되면, 왼쪽편 선을 따라서 거동하게 되고, 하중이 모두 제하된 이후에도 잔류 침하가 발생하

게 됩니다.

Settle

ment

Load

Net Settlement After Removal

Load Qp

Grass SettlementUnder Load Qp

Load Qp Plunging Load

P

그림 2.1.1 축하중-침하의 일반적인 거동

SoilWorks 40

Foundation Analysis

말뚝에 재하된 하중이 흙으로 분산되는 과정은 다음과 같습니다. 일반적으로 깊은 기초에서 축방

향 하중이 길이에 따라서 분포하는 것은 그림 2.1.2와 같습니다. 이때 기울기는 하중의 분배율을

나타냅니다.

그림 2.1.2 축하중이 작용하는 말뚝에서의 심도별 하중분포

축방향 하중이 재하된 깊은 기초에 대해서 이상화된 모델로 정의되는 것은 없습니다. 실제의 말

뚝을 나타내기 위해서는 몇 가지의 요소들이 조합되어야 하며, 이를 그림 2.1.3와 같이 나타내고

있습니다.

SoilWorks 41

Chapter 2 Axial Response

그림 2.1.3 지반의 축방향 거동

그림 2.1.3은 실제 구조계를 스프링 요소로 단순화 시켜서 나타낸 것으로, 말뚝에 하중이 TQ 만

큼 재하되었을 때 선단에서 BQ 와 마찰면에서 R만큼의 하중이 평형상태를 이루는 것을 나타내

고 있습니다. 비선형 스프링은 말뚝의 길이 방향뿐만 아니라 선단에서도 묘사되고 있습니다.

말뚝의 거동을 파악하기 위해서는 주어진 하중에 대해서 말뚝 길이 방향으로 이동하는 해당지점

에서 비선형 수식을 풀어야 합니다.

SoilWorks 42

Foundation Analysis

2.2 점성토에서 마찰저항에 대한 하중전이 곡선

Coyle와 Reese (1966)은 현장 및 실험실에서의 시험을 통해서 하중전이 곡선을 제안하였습니다.

이 곡선은 실제규모의 시험으로 수행된 결과입니다. 계산된 결과와 시험의 결과는 비교적 일치하

였으며, 그 표는 아래와 같습니다.

표 2.2.1 점성토에서 침하량에 따른 하중전이

하중전이 / 최대하중전이 말뚝 침하량 ( in )

0 0

0.18 0.01

0.38 0.02

0.79 0.04

0.97 0.06

1.00 0.08

0.97 0.12

0.93 0.16

0.93 0.20

0.93 0.20

Reese와 O’Neill(1987)은 수차례 현장재하시험을 실시하며, 아래 그림과 같이 발전된 하중전이

곡선을 발표하였습니다. 그림 2.2.1에서 최대 하중전이는 말뚝 직경의 약 0.6%입니다. 말뚝의 직

경이 24in 에서 36in 를 시험에서 사용하였기 때문에, 전체하중전이의 침하량은 약 0.2in 입니

다. 그 이상의 경우에서는 Coyle와 Reese의 수식을 사용해야 합니다.

SoilWorks 43


그림 2.2.1 점성토에서 하중-침하 무차원 곡선 (Reese and O'Neill, 1987)

SoilWorks 44

Foundation Analysis

2.3 점성토에서 선단에서의 하중전이 곡선

Skempton(1951)은 실험실에서의 점성토에서 응력-변형율 곡선 실험을 통해서 말뚝 선단에서 하

중과 선단변위와의 관계식을 발표하였습니다. 극한 압축하중의 50%에서의 변형율( 50 )은 0.005

에서 0.02의 제한을 가집니다. 수식은 아래와 같습니다.

2f

b cq N

(2.3.1)

502bwB

(2.3.2)

여기서, bq 는 기초에서 파괴응력, f 는 파괴압축응력, cN 는 지지력 계수, B는 기초의 직경,

50 는 비구속 압축상태에서의 변형율, bw 는 기초의 침하량입니다.

응력-변형율 곡선은 많은 시험을 통해서 얻을 수 있으며, 이 때 곡선의 기울기는 log축에서 약

0.5로 나타납니다. 따라서 시험 데이터가 없는 경우에는 파괴응력까지는 기울기 0.5인 것을 사용

하면 됩니다.

말뚝 선단에서의 하중-침하 곡선은 다음과 같습니다.

nb b bQ K w (2.3.3)

여기서, bK 는 조절계수이며, 보통의 경우 n 은 0.5를 사용합니다.

Reese와 O’Neill (1987)은 점성토에서 관입말뚝 시험을 수차례 실시한 결과, 하중-침하 곡선을

발표하였습니다. 그림 2.3.1은 논문에서 제시된 곡선입니다.

SoilWorks 45


그림 2.3.1 점성토 지반에서 선단 하중-침하 무차원 곡선 (Reese and O'Neill, 1987)

SoilWorks 46

Foundation Analysis

2.4 사질토에서 마찰저항에 대한 하중전이 곡선

Coyle와 Sulaiman (1967)은 사질토에서 강말뚝으로 주변 마찰의 하중전이에 대해서 시험하여, 그

림 2.4.1과 같은 결과를 얻었습니다.

γ

그림 2.4.1 사질토에서의 하중전이 곡선 (Coyle and Sulaiman, 1967)

위 곡선에 대한 수식은 아래와 같습니다.

0.15

swf KB

, 0.07ZB (2.4.1)

여기서, f 은 하중전이, w은 말뚝의 침하량, B는 말뚝의 직경, sK 는 조절계수입니다.

Reese와 O’neill (1987)은 많은 실물크기의 시험을 수행하였으며, 사질토에서 하중-침하곡선은

SoilWorks 47


그림 2.4.2와 같이 산정하였습니다.

그림 2.4.2 선단에서 변위-저항력 관계함수

Mosher(1984)는 사질토에서 주변마찰에 대한 하중 전이 곡선을 다음과 같이 산정하였습니다.

max

1 1

s

wfw

E f

(2.4.2)

여기서, f 는 단위 하중전이, w 은 말뚝의 침하량, maxf 는 최대 단위 하중전이, sE 는 토질계수

입니다.

표 2.4.1 사질토에서 물성치

상대밀도 마찰각( ) sE 2/ /lbs ft in

성김 28-31 6,000-10,000

중간 32-34 10,000-14,000

조밀 35-38 14,000-18,000

SoilWorks 48

Foundation Analysis

2.5 사질토에서 선단에서의 하중전이 곡선

Vijayvergiya (1977)와 Mosher (1984)는 여러번 시험을 통해서 사질토의 말뚝 선단에서 하중-침하

곡선을 아래와 같이 제시하였습니다.

1/3

maxc

zq qz

(2.5.1)

여기서 최대 지지력 ( maxq )는 아래 수식과 같습니다.

max v qq N (2.5.2)

여기서, v 는 유효 수직응력, qN 는 지지력 계수이며, Meyerhof식에 의해 아래처럼 산정됩니다.

tan 2tan 452qN

(2.5.3)

Vijayvergiya (1977)은 한계 변위( cz )를 말뚝선단의 폭과 연관시켜서 고려하였습니다. 변위 ( z )가

한계 변위( cz )보다 작은 경우는 변위의 증가에 따라서 선단지지력도 증가하고, 변위가 한계변위

를 넘어선 경우에는 선단지지력은 일정하게 유지됩니다.

Mosher (1984)는 그림 2.4.2와 같이 탄소성 재료와 비슷한 거동이 나타난다는 가정하에 최대 선

단지지력을 정의하였습니다. 선단의 변위가 0.25in이상이면, 말뚝이 항복상태에 도달한다고 가정

하고 있습니다.

1/ 3

max0.25zq q

(2.5.4)

이 수식은 현장에서의 측정값과 보다 일치하며, 다른 밀도에서 현장 측정값으로 종합해본 결과는

아래와 같습니다.

SoilWorks 49


Loose 1/ 2max4q z q

Medium 1/ 3max4q z q

Dense 1/ 4max4q z q

여기서, 최대 항복선단지지력( maxq )는 식 (2.5.2)로부터 산정됩니다.

SoilWorks 50

Foundation Analysis

수평하중을 받는 군말뚝 효과 (Group Pile)

Chapter 3

SoilWorks 51

3.1 개요

비선형 p-y곡선을 얻기 위해 실험실에서 이루어 지는 시험은 대부분의 경우, 단말뚝(Single pile)로

이루어 집니다. 하지만, 대부분의 현장에서는 군말뚝(Group pile)으로 시공이 이루어 집니다. 군말

뚝으로 시공된 경우, 말뚝의 간격이 너무 좁으면, 횡방향 하중에 대해서 저항력은 단말뚝의 저항

력에 비해 감소합니다. 이에 착안하여, Brown et al(1987)은 그림 3.1.1과 같이 mf 계수를 도입하

여 이러한 효과를 고려하였습니다.

그림 3.1.1 fm 의 정의

SoilWorks 52

Foundation Analysis

그림 3.1.2 군말뚝 효과

그리고, 말뚝간에 서로 영향을 줄 정도로 가까운 거리일 경우, 탄성론에 입각하여 그림 3.1.2와

같이 정의됩니다. 이 경우에는 군말뚝인 경우에도 단말뚝의 경우와 동일한 극한저항력을 가지게

됩니다.

하지만, 현장에서는 대부분의 경우 군말뚝의 저항력이 단말뚝의 저항력에 비해 떨어집니다. 따라

서 그림 3.1.3과 같이 앞에서 언급한 Brown외(1987)의 식처럼 저항력을 감소하는 것이 필요합니

다.

그림 3.1.3 군말뚝 효과에 의한 저항력 감소

SoilWorks 53

Chapter 3 Group Pile

군말뚝의 저항력이 감소하는 원인은 여러가지가 있겠지만, SoilWorks프로그램에서는 말뚝 사이의

간격에 관한 효과만 고려하였습니다. 3.2와 3.3장에서는 개별 말뚝 사이의 횡방향과 종방향 이격

거리를 고려하여 감소계수를 결정하는 방법을 설명하였으며, 3.4장에서는 사선방향의 이격거리를

고려한 감소계수 결정 방법에 대하여 설명하였습니다.

SoilWorks 54

Foundation Analysis

3.2 횡방향 감소계수(side by side reduction factor)

Prakash(1962), Cox외(1984), Wang(1986), Lieng(1988)은 현장에서 수평방향 하중이 재하된 횡방

향 군말뚝에 대해서 연구하였습니다. 감소계수 a 는 그림 3.2.1과 같이 /S b ( S 는 말뚝 중심간

의 거리, b 는 말뚝의 직경)의 관계식으로 나타납니다.

그림에서 보듯이, 말뚝의 직경과 간격이 동일하면, 극한저항은 절반으로 감소하게 됩니다. 그리고

간격이 직경의 3배 이상이 되면 전혀 감소가 없습니다. 이 감소계수 함수는 토질의 종류와는 무

관합니다.

그림 3.2.1 말뚝의 횡방향 감소계수

SoilWorks 55


3.3 종방향 감소계수 (line by line reduction factor)

하중방향과 일치하는 방향으로 말뚝과 하중간의 상호작용은 횡방향인 경우보다 좀 더 복잡합니다.

Dunnavant와 O’Neill(1986)는 종방향 말뚝의 거동을 말뚝간의 간격과 선행말뚝과 연행말뚝으로

구분지어 고려하였습니다. 하지만, 종방향 감소계수에서도 마찬가지로 토질의 물성은 고려하지 않

았습니다. 종방향에서 선행말뚝은 그림 3.3.1b와 같이 나타납니다. 그림 3.3.1a에서 1번 말뚝이

2번과 3번 말뚝의 선행말뚝이고, 2번 말뚝은 3번 말뚝의 선행말뚝이 됩니다.

그림 3.3.1 선행 말뚝의 종방향 감소계수

연행말뚝에 대한 감소계수는 그림 3.3.2b와 같습니다. 그림 3.3.2a에서 3번 말뚝은 1번과 2번 말

뚝의 연행말뚝이며, 2번 말뚝은 1번 말뚝의 연행말뚝이 됩니다. 그림 3.3.2b에서 보듯이 /s b 가

6이상인 경우 연행말뚝의 효과는 없어집니다.

SoilWorks 56

Foundation Analysis

3 2 1

그림 2 후행 말뚝의 감소계수

SoilWorks 57


3.4 사선말뚝의 감소계수

사선말뚝의 감소계수는 경험적으로 알기는 어렵습니다. 극좌표계에서 타원의 수식을 이용하여, 수

학적으로 간단히 산정할 수 있습니다. 그림 3.4.1은 하중방향에 사선으로 배치된 말뚝인 경우 상

호관계를 나타냅니다. 그림 3.2.1을 이용하여 횡방향 감소계수 a 를 산정할 수 있고, 그림 3.3.1

과 3.3.2를 이용하여 b 를 산정할 수 있습니다. 이를 바탕으로 감소계수는 아래와 같이 산정됩

니다.

1

2 2 2 2 2cos sins b a (3.4.1)

여기서 는 하중방향과 말뚝간의 직선 사이의 각이 됩니다.

그림 3.4.1 사선말뚝의 감소계수

SoilWorks 58

Foundation Analysis

Par

t VI

|

Seep

age


SoilW

orks


Seepage

Chapter 1

Chapter 2

Chapter 3

침투해석

침투 방정식

유한요소 정식화

비선형 침투

Part VI

Part

II |

G

eoXD A

nalysis

유한

요소

법

Analysis Reference

Contents

Seepage 침투해석 (Seepage Analysis) / 001

Chapter 1 침투 방정식 / 003

1.1 흐름 법칙 / 003

1.2 지배 방정식 / 004

Chapter 2 유한요소 정식화 / 009

2.1 유한요소 방정식 / 009

2.2 시간적분 방정식 / 012

2.3 해석 결과 / 014

Chapter 3 비선형 침투 / 015

3.1 일반사항 / 015

3.2 경계조건 / 015

3.2.1 투수 경계 함수 / 015

3.2.2 침투면 경계 / 016

3.2.3 강우 해석을 위한 유량-수두

변환 경계 / 018

3.2.4 수위변화 해석을 위한 수두-유량

변환 경계 / 019

침투해석

SoilWorks 1

이 매뉴얼은 SoilWorks의 침투해석 부분 solver 함수의 개발과 구성에 이용된 방법, 방정식 절차,

기술 등에 대한 내용을 포함하고 있습니다. 이를 이해하면 프로그램의 적용, 문제의 해결 및 해석

결과의 수용 여부를 결정하는데 많은 도움이 될 것 입니다.

침투해석은 크게 정상류 해석(steady state analysis)과 비정상류 해석(transient analysis)으로 분류

할 수 있습니다.

정상류 해석은 지반 내부 및 외부의 경계조건이 시간에 따라 변화하지 않는 경우의 해석입니다.

그러므로 해석영역에 존재하는 유입량과 유출량이 언제나 일치합니다. 반면에 비정상류 해석

(transient analysis)에서는 정상상태 경계조건을 적용하더라도 시간차에 의해 유입량과 유출량이

다르게 나타날 수 있습니다.

지하수가 스며들 수 있는 투수성의 지반영역(aquifer)이 존재하고 영역의 경계에 수두차(head

difference) 또는 유량(flux)이 존재하면 지하수의 침투 현상이 발생합니다.

침투류(seepage flow)는 지반 내부의 토립자 사이의 빈 공간으로 연결된 수로를 따라 흐릅니다.

이 흐름은 Darcy의 법칙을 따릅니다. 이에 의하면 정상류 조건에서 흙의 체적을 통과하는 침투유

량은 투수계수에 동수경사 및 단면적을 곱한 것과 같습니다. Darcy 이론은 원래 포화영역에서 출

발하지만 불포화영역까지 적용이 가능합니다.

불포화영역이란, 완전 건조상태에서 거의 포화상태에 가까운 상태까지를 포괄합니다. 포화도가

100% 미만으로 감소함에 따라 토립자 사이의 빈 공간에는 물 외에 공기방울이 존재하게 되고,

포화도가 아주 낮은 경우에는 물방울이 오목한 표면형태로 토립자 사이에 붙어있습니다.

포화도가 감소함에 따라 간극수압은 표면장력의 영향으로 점차 인장상태로 발전하게 되는데, 이

때문에 음(-)의 간극수압(negative pore pressure)을 흡입압(suction pressure)으로 표현하기도 합니

다. 대부분의 경우, 포화도가 떨어질 수록 흡입압은 증가합니다.

SoilWorks 2

Seepage Analysis

비정상류 해석(transient analysis)은 지반 내부 또는 외부의 경계조건이 시간에 따라 변화하는 경

우의 해석입니다.

비정상류 해석이 정상류 해석과 다른 점은 경계조건이 시간에 따라 변화하는 점과 체적함수비

(volumetric water content)가 필요하다는 점입니다. 지하수위가 상승 또는 하강하는 경우, 상승속

도 및 하강속도와 밀접한 영향 요소로 불포화영역의 함수비와 공극률 등이 필요합니다.

흙 댐이 완전히 건조한 상태에서 담수(water filling of reservoir)를 시작하는 경우와 어느 정도 함수

비를 갖는 상태에서 담수를 하는 경우를 비교하면, 내부의 침투가 정상상태에까지 도달하는 시간

에는 현저한 차이가 있습니다.

침투 방정식

Chapter 1

SoilWorks 3

1.1 흐름 법칙

SoilWorks에서는 지반의 포화영역과 불포화영역에 존재하는 침투현상을 나타내기 위해 Darcy의

법칙을 사용하며, 다음과 같은 식으로 표현 됩니다.

q ki (1.1.1)

여기서, q : 침투유량,

k : 투수계수,

i : 동수경사

Darcy 법칙은 원래 포화토에서 유도된 법칙이지만, 후에 여러 연구에 의해 불포화토의 흐름에도

적용될 수 있는 것으로 알려졌습니다. 단지, 한 가지 차이점은 불포화토의 투수계수가 일정한 상

수가 아니라, 함수비 그리고 간접적으로 간극수압(혹은 압력수두)의 변화에 따라 변한다는 것입니

다.

Darcy 법칙은 다음 식과 같이 표현할 수도 있습니다.

v ki (1.1.2)

여기서, v 는 Darcian 속도로 알려져 있습니다. 물이 흙 속에서 흐를 때 실제 평균속도는

darcian 속도를 흙의 간극율로 나눈 값으로 간극율은 1보다 작으므로 실제 평균속도는 darcian

속도보다는 항상 빠릅니다.

SoilWorks 4

Seepage Analysis


SoilWorks에서 이용되는 침투에 대한 지배미분방정식은 다음 식과 같습니다.

x y zH H Hk k k Q

x x y y z z t

(1.2.1)

여기서, H : 전수두 (m )

xk : x 방향의 투수계수 ( / secm )

yk : y 방향의 투수계수 ( / secm )

zk : z 방향의 투수계수 ( / secm )

Q : 흙의 단위 체적당 단위 시간당 물의 유출입 량 ( 3 3/ secm m )

: 체적함수비

t : 시간 ( sec )

이 방정식은 지반 내부의 임의의 위치와 임의의 시간 동안 미소 체적에 유입 및 유출되는 유량의

변화량이 체적함수비의 변화량과 같음을 의미합니다. 간단히 말하자면, x, y, z 방향의 흐름변화율

에 외부작용 유량을 더한 값은 시간에 대한 체적함수비 변화율과 같다는 것입니다.

위의 지배방정식은 비정상류의 침투방정식을 나타내며, 정상류에서는 미소체적에 유입 및 유출되

는 유량의 크기가 시간에 관계없이 일정하므로 우변을 ‘0 (zero)’으로 놓으면 식 (1.2.2)와 같은 지

배방정식을 얻을 수 있습니다.

0x y zH H Hk k k Q

x x y y z z

(1.2.2)

체적함수비의 변화는 응력상태의 변화와 흙의 특성에 의존합니다.

SoilWorks 5

Chapter 1 Seepage Equation

포화조건 및 불포화조건의 응력상태는 두 개의 상태변수로 표현됩니다. 이는 ap 와

a wp p 인데, 여기서, 는 전응력이고 ap 는 간극대기압, wp 는 간극수압입니다.

SoilWorks의 침투해석은 일정한 전응력 조건으로 구성되어 있습니다. 즉, 흙 자체에 재하 및 제

하가 없다는 것입니다. 흙 자체에 제하가 없으므로 비정상 상태 흐름 과정 동안에 대기압 상태에

서 간극대기압이 일정합니다. 즉, ap 가 일정하고 체적함수비의 변화에 어떠한 영향도 주지

않는다는 것입니다. 그러므로 체적함수비의 변화가 단지 a wp p 응력상태의 변화에 의존하고,

ap 가 일정하므로 체적함수비의 변화는 단지 간극수압 변화의 함수가 됩니다.

체적함수비의 변화는 응력상태와 흙의 성질에 따른 간극수압의 변화에 관련이 있는데, 그 관계는

다음 식과 같이 나타낼 수 있습니다.

w wm u (1.2.3)

여기서, wm : 함수비곡선의 기울기 (1/ m )

wu : 압력수두 (m )

또한, 전수두는 식 (1.2.4)과 같이 압력수두와 위치수두의 합으로 표현될 수 있습니다.

w

w

pH y

(1.2.4)

여기서, H : 전수두 (m )

wp : 간극수압 ( 2/N m )

w : 물의 단위중량 ( 3/N m )

y : 표고 (m )

식 (1.2.4)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

SoilWorks 6

Seepage Analysis

w H yu (1.2.5)

식 (1.2.5)를 식 (1.2.3)에 대입하면 다음 식과 같이 됩니다.

wm H y (1.2.6)

식 (1.2.6)을 식 (1.2.1)에 대입하면 다음과 같은 미분방정식으로 정리할 수 있습니다.

x y z w

H yH H Hk k k Q m

x x y y z z t

(1.2.7)

만약 표고가 일정하면 시간에 대한 y의 도함수는 없어지고 다음 식과 같습니다.

x y z w

H H H Hk k k Q m

x x y y z z t

(1.2.8)

체적함수비 는 전체 체적에 대한 물의 체적 비율로 나타낼 수 있으며 이는 다시 포화도와 유

효간극률에 대한 관계식으로 표현할 수 있습니다.

w vw

v

w

V VS nV VVV

(1.2.9)

여기서, wS : 포화도

n : 유효 간극률

vV : 공기의 체적

식 (1.2.1)의 우변 시간 미분은 체적함수의 미분항이며, 좌변의 수두 미분과 같이 취급할 수 없기

때문에 우변항도 수두에 대한 미분항으로 정리하면 다음 식과 같습니다.

SoilWorks 7

Chapter 1 Seepage Equation

x x x wH H H Hk k k Q S n

x x x x x x H t

(1.2.10)

식 (1.2.10)의 우변 시간 미분항의 계수항을 정리하면 식 (1.2.11)과 같습니다.

ww w

n SS n S nH H H

(1.2.11)

식 (1.2.11) 우변의 첫째 항은 포화지반의 수두 변화에 의한 공극 변화와 이에 따른 유출/유입을

의미하는 것이므로 불포화상태에서 이 변화는 고려하지 않습니다. 따라서 1wS 인 포화상태인

경우만을 고려하는 것을 의미하며 비저류계수로 정리할 수 있습니다.

w

w s

dn dVdH dH

g nc S

(1.2.12)

여기서, : 대수층의 압축성

wc : 물의 압축성

식 (1.2.11)의 우변의 둘째 항은 수두에 대한 포화도의 변화를 나타낸 것으로 식 (1.2.9)의 관계를

적용하면 다음과 같습니다.

ww

Sn nSH H H

(1.2.13)

따라서 식 (1.2.1)에 (1.2.11), (1.2.13)를 대입하면 다음과 같이 비저류계수와 함수비를 모두 고려

할 경우에 대한 식으로 확장하여 정리할 수 있습니다.

x x x sH H H Hk k k Q S

x x x x x x H t

(1.2.14)

SoilWorks 8

Seepage Analysis

유한요소 정식화

Chapter 2

SoilWorks 9

2.1 유한요소 방정식

침투해석에 대한 유한요소 방정식에 적용되는 평면요소는 기본적으로 평면변형률 요소와 동일합

니다. 그러나 평면변형률 요소가 절점변위를 자유도로 하여 수직방향과 수평방향의 거동을 나타

내는 것과는 달리 침투해석 평면요소는 절점수두를 자유도로 흐름을 나타냅니다.

침투해석에는 평면변형률 요소와 마찬가지로 저차의 3절점, 4절점, 6절점, 8절점 요소를 사용할

수 있으며, 각 요소의 형상함수는 아래와 같습니다.

■ 3절점 삼각형 평면요소

1 1N , 2N , 3N

■ 4절점 사각형 평면요소

11 1 14

N , 21 1 14

N , 31 1 14

N , 41 1 14

N

■ 6절점 삼각형 평면요소

1 1 1 2 2N , 2 (2 1)N , 3 2 1N

4 4 1N , 5 4N , 6 4 1N

■ 8절점 사각형 평면요소

11 1 1 14

N , 21 1 1 14

N

31 1 1 14

N , 41 1 1 14

N

25

1 1 12

N , 261 1 12

N

SoilWorks 10

Seepage Analysis

27

1 1 12

N , 281 1 12

N

각 절점의 자유도가 수두를 나타내므로 수두의 변화량은 형상 함수를 미분하여 나타낼 수 있으며

식 (2.1.1)과 같습니다.

Ti i

iN Nx y

B (2.1.1)

가중잔차(weighted residual)의 Galerkin 방법 적용에서 지배 미분방정식에 이르기까지의 유한요소

방정식은 다음과 같습니다.

,T T

V V A

TtdV dV q dA B CB H N N H N (2.1.2)

여기서, B : 동수경사 행렬,

C : 요소 투수계수 행렬,

H : 절점수두 벡터,

N : 보간함수 벡터,

q : 요소 변의 단위유량,

: ( wm ) 비정상상태 침투에 대한 저류 항목

,tH : (t

H) 시간에 따른 수두변화

SoilWorks에서는 2차원 해석의 경우 모든 요소에서 두께가 일정하다고 간주됩니다. 유한요소 방

정식은 결과적으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

,T T TtA A L

b dA b dA qb dL B CB H N N H N (2.1.3)

여기서, b 는 요소두께이고 전체적에 걸쳐 두께가 일정하다면, 전면적의 적분이 됩니다. 그리고

전면적의 적분은 한 절점에서 다른 절점까지의 길이에 대한 적분이 됩니다.

SoilWorks 11

Chapter 2 Finite Element Formulation

유한요소 방정식을 약식으로 표기하면 다음 식과 같습니다.

,t KH MH Q (2.1.4)

여기서, T

Ab dA K B CB : 요소특성 행렬,

T

Ab dA M N N : 질량 행렬,

T

Lqb dL Q N : 적용된 유량 벡터

식 (2.1.4)는 비정상류 침투해석의 일반적인 유한요소 방정식입니다. 정상류 침투해석의 경우 수두

는 시간의 함수가 아니므로 ,tMH 항은 제외되어 유한요소 방정식은 다음과 같이 간략하게 표현

됩니다.

KH Q (2.1.5)

SoilWorks 12

Seepage Analysis

2.2 시간적분 방정식(Time Integration)

비정상류 침투해석의 유한요소 해는 유한요소 방정식 (2.2.1)에서 ,tH 의 항으로 알 수 있듯이 시

간의 함수입니다. 시간 it 에서 수두 0H 와 시간 1it 에서 수두 1H 가 각각 식 (2.1.4)를 만족한다

고 가정하면 다음과 같습니다.

0 0 0,t KH MH Q (2.2.1a)

1 1 1,t KH MH Q (2.2.1b)

식 (2.2.1)을 변수 와 1 로 가중평균하면 식 (2.2.2)과 같습니다.

1 0 1 0 1 01 , 1 , 1t t K H H M H H Q Q (2.2.2)

식 (2.2.2)에 시간변화에 대한 수두의 변화를 나타내는 식 (2.2.3)의 관계를 적용하면 0H , 1H 으

로 이루어진 식 (2.2.4)와 같은 형태로 방정식을 정리할 수 있습니다.

1 01 0, 1 ,t t t

H HH H (2.2.3)

1 0 1 01 1t t t K M H Q Q M K H (2.2.4)

여기서, t : 시간증분,

: 0과 1사이의 비,

1H : 시간증분 끝부분에서의 수두,

0H : 시간증분 시작부분에서의 수두,

1Q : 시간증분 끝부분에서의 절점 유량,

0Q : 시간증분 시작부분에서의 절점 유량,

K : 요소특성 행렬,

M : 요소질량 행렬

SoilWorks 13

Chapter 2 Finite Element Formulation

식 (2.2.4)는 적용하는 적분변수 값에 따라 몇 가지 방법으로 구분됩니다.

0.0 : 전향 차분법(forward difference method)

0.5 : Crank-Nicolson 방법

2 / 3 : Galerkin 방법

1.0 : 후방 차분법(backward difference method)

전향 차분법을 제외한 나머지 방법들은 시간 증분에 관계없이 수치적으로 안정한 방법들입니다.

특히 Crank-Nicolon의 경우 2차의 수렴도를 가진다는 장점으로 인해 수치해석에서 많이 사용되

나 시간 증분 크기에 따라 오실레이션 현상이 발생하기도 하여 시간 증분 크기 선정에 주의를 요

합니다. 후방 차분법의 경우 Crank-Nicolon의 경우와 비교할 경우 상대적으로 큰 오차를 보입니

다만 오실레이션 현상이 발생하지 않고 안정적인 해를 얻을 수 있습니다. SoilWorks는 1.0 를

적용한 후방차분법을 이용합니다.

비정상류 유한요소 방정식에서는 가 1.0이므로,

1 1 0t t K M H Q MH (2.2.5)

식 (2.2.5)에 나타나듯이 시간증분의 최종 단계의 수두를 알기 위해서는 시간증분 초기단계의 수

두를 알아야 합니다. 비정상류 해석을 위해서는 초기조건을 반드시 알아야 하며, SoilWorks에서는

비정상류 해석을 위한 초기 조건으로 정상류 해석의 결과를 사용합니다.

SoilWorks 14

Seepage Analysis

2.3 해석 결과

침투 해석을 통해 얻어진 각 절점의 수두를 이용하여 요소마다 동수구배와 Darcian 속도를 계산

하고, 이를 절점 결과로 변환하여 출력합니다. 이와 함께 불포화토 특성을 지정하여 함수비와 투

수계수 변화를 고려하여 해석한 경우에는 불포화토 특성이 반영된 투수계수의 변화와 체적함수비

변화도 확인이 가능합니다.

x

y

ii

TΒH (2.3.1)

여기서,

xi : x 방향 동수 경사

yi : y 방향 동수 경사

T : 적분점 결과를 절점 결과로 보간하는 보간 행렬

x

y

vv

TCΒH (2.3.2)

여기서,

xv : x 방향 속도

yv : y 방향 속도

비선형 침투

Chapter 3

SoilWorks 15

3.1 일반사항

침투해석에서 비선형 거동을 나타내는 요인은 크게 재료의 불포화토 특성을 고려하는 경우와, 경

계조건이 비선형성을 가지는 경우로 나눌 수 있습니다.

불포화토 특성에 의한 비선형 거동은 침투계수의 변화와, 비저류계수의 변화 및 두 가지 물성이

연성되는 거동으로 나눌 수 있습니다. 이에 대한 내용은 Material 매뉴얼에서 확인하실 수 있습니

다. 아래는 경계조건에 대한 내용을 설명합니다.

3.2 경계조건

3.2.1 투수 경계 함수

시간에 따른 경계조건의 변화를 설정하는 기능이며, 비정상류 해석의 경우 역시 시간에 따른 경

계조건의 변화를 설정할 수 있습니다. 비정상류 경계조건을 설정하는 예는 다음과 같습니다.

관개 수로의 운행 시 일년 주기

저수지 수위의 변화

지표면으로 강우의 계절적인 유입과 유출

우물로부터의 양수율 변화

여름 동안에만 사용되고 있는 관개 수로의 경우를 고려해 보면, 관개 시기가 시작될 때에는 수로

의 수위가 낮습니다. 수위는 수요가 증가함에 따라 충분한 공급 수위로 올라갑니다. 관개 시기가

끝날 즈음부터 수로에 물이 전혀 남지 않는 겨울이 올 때까지는 수로에서 물이 천천히 빠져나갑

니다.

다음 그림은 수로에서의 비정상류 조건을 묘사한 경계함수를 나타냅니다.

SoilWorks 16

Seepage Analysis

그림 3.2.1 관개 수로에 대한 경계함수

3.2.2 침투면 경계(review boundary)

침투해석의 어떤 형태에서는 흐름과정에 따라 경계조건이 달라집니다. 그 예로 균질한 댐의 하류

면에서의 침투가 있습니다. 하지만, 댐 하류면을 교차하는 침윤면의 위치는 알지 못합니다. 그러

므로 수정경계조건을 설정하려면 비선형 유한요소 방정식을 해결하기 위해 수행했던 것처럼 반복

계산 절차가 필요합니다.

미지의 수정경계가 설정된 경계를 따라 모든 절점들은 경계 재조사 설정을 통해 재검토 절점으로

표시됩니다. 모든 절점에 대하여 수두가 계산된 후 재검토 절점들 중 하나라도 계산된 수두가 절

점의 위치수두 보다 크면, 즉 간극수압이 0(zero)보다 크면 재검토 절점들은 수정됩니다.

그림 3.2.2 재검토 절점의 전형적인 지정구역

재검토 절점을 수정하는 방법에는 두 가지 기준이 있는데 잠재 침투면 설정에서 최대 압력에 의

한 방법과 최소 높이에 의한 방법이 있습니다. 최소 높이에 의한 방법은 재검토 절점을 가장 낮

SoilWorks 17

Chapter 3 Nonlinear Seepage Behavior

은 높이와 동일시하고 다음 계산절차를 위해 수두를 높이(z 좌표) 와 같게 설정합니다. 최대 압력

에 의한 방법은 최대 양(+)의 압력수두를 가지는 재검토 절점이 동일시 됩니다. 다음 계산절차를

위해 이 절점에서의 수두는 높이(z 좌표)를 지정하게 됩니다.

두 가지 방법을 선택하는 확실한 규칙은 없습니다. 침투면 경계 조건을 설정은 예상되는 흐름형

태에 따라 적절한 것을 찾기 위해 두 방법에 대해 해석을 수행해 보는 것을 권장합니다.

그림 3.2.3 잠재 침투면 설정 방법

그림 3.2.4 최대 압력에 의한 재조사가 가능한 경우

그림 3.2.4은 일정한 경사를 가지는 균질한 흐름의 예를 나타낸 것으로, 이 경우 침윤면은 반드시

경사의 가장 낮은 높이에서 시작하여 발전됩니다. 따라서 하류 경사면을 따라 절점들은 최소 높

SoilWorks 18

Seepage Analysis

이에 의한 재조사를 해야 합니다. 수위 급강하의 경우에는 하류면과 상류면의 경사 모두 최소 높

이에 의한 재조사를 해야 합니다.

그림 3.2.4는 저수지 하류면의 경사가 변하는 흐름의 예를 나타낸 것으로 이 경우 하부 절점 B보

다 상부 절점 A가 먼저 수정되는 것이 타당할 것이므로 하류면 절점은 최대 압력에 의한 재조사

를 통해 검토되어야 할 것입니다.

3.2.3 강우 해석을 위한 유량-수두 변환 경계 (면유량 > 투수계수이면, 전수두

= 위치수두)

침투류 모델링에서 지표면에 강우가 발생하는 경우 지표면의 경계조건에 강우강도를 사용하여 정

의하는 경우가 있습니다. 이러한 지표면 경계조건은 지표면에 강우강도만큼의 유입량을 강제적으

로 주는 것으로써, 만약 토층의 지표면에서 강우를 흡수할 수 있는 능력이 강우강도보다 큰 경우

는 토층이 모두 흡수하여 실제거동과 유사한 해석이 수행됩니다. 그러나 토층에서 강우를 흡수할

수 있는 능력이 강우강도보다 작은 경우는 강우량 중 토층이 흡수할 수 있는 능력값 만큼만 지표

면을 통해 흡수되고, 나머지 강우량은 지표면을 따라 흐르게 됩니다. 만약 이러한 경우에도 지표

면 경계조건을 강우강도 값으로 강제적으로 적용한다면, 해석결과는 실제 현상과는 매우 다른 경

향의 결과를 보이게 됩니다.

이렇게 강우강도가 지표면이 강우를 흡수할 수 있는 능력값보다 큰 경우, 지표면의 경계는 강우

가 발생하는 동안 포화된 상태로 수위가 있는 것과 같은 현상을 보이게 되며, 경계조건을 수위조

건으로 변경해 주는 것이 맞습니다.

SoilWorks에서는 아래 그림 3.2.5와 같이 “면유량 > 투수계수이면, 전수두 = 위치수두”라는 선택

옵션을 사용하여 면에 작용하는 강우강도 q값이 지표면이 흡수할 수 있는 유입능력 satK (입력된

초기투수계수) 보다 큰 경우에만 지표면의 경계를 기존의 강우강도 유입조건에서 자동으로 수위

조건으로 변경해주는 기능이 있어 강우해석 시 보다 편리한 모델링을 수행할 수 있습니다. 이 기

능은 면유량 정의시 값 뿐만이 아니라 함수인 경우에도 적용 가능합니다.

SoilWorks 19

Chapter 3 Nonlinear Seepage Behavior

그림 3.2.5 지반 흡수능력에 따른 강우강도 경계조건 변경기능 입력 창

강우해석 시 주의사항은 아래와 같습니다.

-. 지표면에 아스팔트나 콘크리트 및 에폭시 등의 불투수 포장재가 도포되어있고, 이 부분이 강우

에 노출되어있는 경우, 강우 경계를 사용해서는 안됨.

-. 홍수로 인해 지표면 위로 수위가 발생하는 경우는 정확한 모사가 되지 않음.

3.2.4. 수위변화 해석을 위한 수두-유량 변환 경계 (전수두 < 위치수두 이면, 유

량 = 0으로 취급)

저수지나 댐과 같이 곳에서 수위가 하강하는 것을 실제와 같이 모델링 하기 위해서는 경계조건에

서 수위가 떨어진 부분의 간극수압을 소산시켜 주어야 합니다. SoilWorks에서 제공하는 “전수두

< 위치수두 이면, 유량 = 0” 옵션은 이러한 현상을 쉽게 모델링 할 수 있도록 해줍니다.

갑자기 수위가 변화하는 모델인 경우, 흡입압이 발생하여, 이로 인해, 침투흐름이 댐을 넘어가는

경우도 발생하게 되는데, 이 옵션은 이러한 현상이 발생하는 것을 막아줍니다.

SoilWorks 20

Seepage Analysis

이 옵션은 우리나라와 같이 계절에 따라 강우차가 발생하여, 수위가 주기적으로 변화하는 곳에

적용하기 편리한 옵션입니다. 따라서 시간의 변화에 따른 함수와 동시에 적용이 가능합니다.

하지만, 수위 변화에 의한 물의 흐름이 지반 내부인 경우에는 이 옵션이 체크되어야 하지만, 지반

외부로 물이 유출되는 경우에는 옵션이 체크되면 안됩니다.

Par

t VII

|

Dyna

mic


SoilW

orks


Dynamic

Chapter 1

Chapter 2

Chapter 3

Chapter 4

Chapter 5

동해석

고유치 해석

감쇠

응답스펙트럼 해석

시간이력 해석

등가선형 해석

Part VII

Part

II |

G

eoXD A

nalysis

유한

요소

법

Analysis Reference

Contents

Dynamic Analysis 동해석 / 001

Chapter 1 고유치 해석 / 005

1.1 고유벡터 해석 / 005

1.2 Subspace 반복법 / 012

1.3 Lanczos 반복법 / 013

Chapter 2 감쇠 / 017

2.1 일반사항 / 017

2.2 비례감쇠 / 018

Chapter 3 응답스펙트럼 해석 / 021

Chapter 4 시간이력 해석 / 027

4.1 일반사항 / 027

4.2 모드중첩법 / 028

4.3 직접적분법 / 030

Chapter 5 등가선형 해석 / 035

5.1 1차원 동적해석(이론해) / 035

5.2 2차원 동적해석(유한요소법) / 040

5.2.1 일반사항 / 040

5.2.2 운동 방정식 / 041

5.3 전달경계조건 / 044

동해석

SoilWorks 1

지반과 지하구조물에서 동적하중은 지진, 기계운동, 말뚝 항타, 폭발 등과 같은 것에 의해 발생합

니다. 이 하중들이 지반 또는 지하구조물에 주는 영향과 특징은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

지진: 지반 및 지하구조물에 작용하는 동적하중 중에서 가장 큰 영향력을 가지며, 지

진이 발생하면 구조물의 기초가 침하되고, 구조물은 기울어지며, 지반은 액상화되어

구조물을 지지할 능력이 손실되고, 경량구조물은 떠오를 수 있습니다. 지진은 모든

방향에서 임의의 운동을 일으키는 것으로 알려져 있으며, 언제 어디에서 발생할지에

대한 예측이 거의 불가능한 특징을 가지고 있습니다.

기계운동 : 기계에 의한 동적하중은 기계의 왕복운동이나 회전운동에 의해 발생하기

때문에 지반 또는 지하구조물에 작용하는 동적하중은 주로 정현파(sine wave)곡선으로

나타낼 수 있는 조화하중(harmonic load)의 특성을 가지고 있습니다.

말뚝 항타 또는 폭발: 주로 건설 공사 중에 발생하는 동적하중이며, 매우 짧은 시간에

큰 에너지를 발생하는 경우로 충격하중이라고도 합니다. 충격하중은 지진하중과 같이

주기성이 없는 하중에 속합니다.

그림 A.1 지진피해 사진

지반의 지진응답해석(Ground Response Analysis)은 설계응답스펙트럼의 작성, 지반의 동적 응력-

Dynamic Analysis

SoilWorks 2

변형율 관계의 정립 및 지진 발생시 지반구조물의 작용하는 지진하중을 결정하기 위해 수행됩니

다. 암반노두에서의 지진파 특성은 기전암반에서의 지진파 특성과 거의 유사하다고 할 수 있지만,

연약지반이나 깊은 지반의 지표면에서의 지진파 특성은 지반의 특성에 따라 크게 달라질 수 있습

니다. 특히 연약지반 위에 놓인 구조물의 동적거동은 지반과 상호 영향을 주고 받는 ‘지반-구조물

상호작용(soil-structure interaction)’에 의해 크게 달라질 수 있습니다. 전단 변형율이 610 이하이

고 전단파 속도가 1,100m/sec 이상인 암반상에 건설되는 구조물은 지반-구조물 상호작용 효과가

거의 없기 때문에 무시할 수 있습니다.

지반-구조물 상호작용 효과는 크게 2가지로 정리할 수 있습니다. 첫 번째는 구조계의 동특성 변

화인데, 통상 구조물보다 강성이 작은 지반의 영향으로 구조계의 강성과 고유진동수가 작아집니

다. 두 번째는 방사감쇠(radiation damping)의 추가로 인한 구조계의 감쇠가 증가되는 것입니다.

이런 효과는 지반의 적층 형상, 물성, 입력지진과 구조물의 진동수 특성에 따라 다르므로, 지반-

구조물 상호작용을 고려할 경우 해석결과는 고정지반 가정에 의한 일반 지진해석결과에 비해 응

답이 크거나 혹은 작게 산정될 수 있습니다.

지진 시 지반-구조물 상호작용은 크게 ‘운동상호작용(kinematic interaction)’과 ‘관성상호작용

(inertial interaction)’으로 구분할 수 있습니다. 운동상호작용은 지진시 ‘무질량 구조물(massless

structure)’이 놓인 지반의 거동은 구조물이 없는 경우의 지반 거동과 다르게 나타나는 현상을 말

합니다. 고차 진동수 성분을 갖는 입사파(incident wave)는 파장이 짧아 기초 강성에 의해 흡수,

반사되지만, 저차 진동수 성분을 갖는 입사파는 파장이 길어 구조물을 통과하여 구조물의 운동을

유발시키며, 수직 입사하는 전단파의 경우 주로 구조물의 ‘회전운동(rocking motion)’을 유발시킵

니다. 여기서 운동 상호작용에 의해 발생하는 지반운동을 ‘산란운동(scattering motion)’이라고도

합니다. 운동상호작용은 입사파의 형태와 기초의 형상에 주로 영향을 받습니다. 운동 상호작용은

구조물이 지표면 상에 놓이거나 기초의 묻힌 깊이가 얕은 경우, 또는 표면파를 고려하지 않을 경

우에는 그 영향은 크지 않으므로 지진 해석시에는 무시할 수 도 있습니다. 관성상호작용은 지진

입력파가 구조물을 진동 시켰을 때 구조물의 질량에 의해 관성력이 발생하고 관성력에 의한 구조

물의 운동에너지는 다시 ‘원역지반(far field soil)’으로 방사되면서 지반의 ‘방사운동(radiation

motion)’을 유발시킵니다. 관성 상호작용은 구조물과 근역지반 간의 강성차가 클수록 커지므로 강

SoilWorks 3

Dynamic analysis

성이 매우 큰 구조물이 연약한 지반에 놓이게 되는 경우 그 영향이 더 크게 나타납니다.

지반-구조물 상호작용해석방법은 크게 ‘부분구조법(substructure method)’과 ‘직접법(direct

method)’으로 나눌 수 있습니다. 부분구조법은 다음과 같이 일련의 단계별 해석과정을 수행하고,

그 결과를 종합하여 최종응답을 구하는 방법입니다.

Step1: 자유장에서 정의된 통제운동으로부터 지반의 특성과 기초의 영향을 고려하

여 지반-구조물의 접촉면에서의 입력운동을 결정

Step2: 지반-구조물 접촉면에서 반무한체 지반의 동적강성을 결정

Step3: Step2에서 구한 지반의 동적강성을 구조물과 조합하여 지반-구조물 시스템

을 모델링한 후, Step1에서 구한 입력운동으로 가진하여 구조물의 응답을 계산

지반의 비선형 특성을 자세히 고려하긴 힘들지만 각 단계별로 가장 적합한 해석방법을 선택하여

해석할 수 있으며, 단계별 결과에 대한 평가와 민감도 분석 등이 가능하고 직접법에 비해 경제적

인 해석을 수행할 수 있습니다.

직접법은 구조물과 일정한 범위의 근역 지반을 ‘유한요소법(finite element method)’, ‘유한차분법

(finite difference method)’등을 사용하여 동시에 모델링하는 방법으로 지반-구조물 상호작용해석을

한 번에 수행하는 것입니다. 직접법은 해석시간이 부분구조법에 비해 많이 걸리지만 지반-구조물

경계면에서의 비선형 적합조건, 지반의 비선형성 등을 고려할 수 있는 장점이 있습니다.

SoilWorks에서는 시간이력해석법과 등가선형해석법으로써 직접법을 지원하고 있습니다.

Dynamic Analysis

SoilWorks 4

그림 A.2 유한요소를 이용한 지진하중을 받고 있는 교대기초와 지반의 동적 해석 모델

고유치 해석

Chapter 1

SoilWorks 5

고유치 해석은 어떤 지반 또는 지하구조물이 가지고 있는 고유의 동적 특성을 분석하는데 사용되

는 것으로 그 지반 또는 지하구조물의 동적 응답의 특징과 양상을 예측하는데 사용됩니다. 특히

각 모드 별로 분리되는 모드의 직교성(orthogonality relationship)을 이용하게 되면 모드중첩법, 응

답스펙트럼해석법 등과 같은 해석방법을 가지고 지반 또는 지하구조물의 동적 응답을 보다 쉽게

예측할 수 있기 때문에 고유치 해석은 동적 해석에 있어서 매우 중요한 해석법이라 할 수 있습니

다.

SoilWorks에서 사용하고 있는 고유치해석 방법은 ‘Subspace iteration method’와 ‘Lanczos

method’입니다. ‘Subspace iteration method’와 ‘Lanczos method’에 대해서는 1.2절과 1.3절에서

자세하게 다루고 있습니다.

1.1 고유벡터 해석

SoilWorks에서 비감쇠 자유진동 조건 하의 모드형상(mode shape)과 고유주기(natural periods)를

구하기 위해 사용된 특성방정식은 다음과 같습니다.

n n n K M (1.1.1)

여기서, K : 지반 또는 지하구조물의 강성행렬(stiffness matrix),

M : 지반 또는 지하구조물의 질량행렬 (mass matrix),

n : n번째 모드의 고유치(eigenvalue),

n : n번째 모드의 모드형상(mode vector)

SoilWorks 6

Dynamic Analysis

(a) 고유모드형상

1 1.87510407

1 1.78702 secT 2 4.69409113

2 0.28515 secT 3 7.85475744

3 0.10184 secT

(b) 고유주기

그림 1.1.1 균일단면을 가진 외팔보의 고유모드형상 및 고유주기

SoilWorks 7

Chapter 1 Eigen Value Analysis

고유치해석은 지반 또는 지하구조물 고유의 동적 특성을 분석하는데 사용되며, 자유진동 해석

(free vibration analysis) 이라고도 합니다. 고유치해석을 통해 구해지는 지반 또는 지하구조물의

주요한 동적 특성은 고유모드(또는 모드형상), 고유주기(또는 고유진동수), 그리고 모드기여계수

(modal participation factor) 등이며 이들은 지반 또는 지하구조물의 질량과 강성에 의해 정해집니

다.

고유모드(vibration modes)는 지반 또는 지하구조물이 자유진동(또는 변형) 할 수 있는 일종의 고

유형상이며, 주어진 모양으로 변형시키기 위해 소요되는 에너지(또는 힘)가 제일 작은 것부터 순

차적으로 1차 모드형상(또는 기본진동형상), 2차 모드형상, n차 모드형상이라고 합니다. 그림 1.1.1

은 외팔보의 진동모드를 저차(적은 에너지로 변형시킬 수 있는 모양)부터 순차적으로 나타낸 것입

니다.

고유주기는 고유모드와 1:1 대응되는 고유한 값으로 지반 또는 지하구조물이 자유진동상태에서

해당 모드형상으로 1회 진동하는데 소요되는 시간을 의미합니다. 참고로 단일자유도계에서 고유

주기를 구하는 방법은 다음과 같습니다. 단일자유도계의 운동방정식에서 하중과 감쇠항을 ‘0(zero)’

으로 가정하여 자유진동 방정식을 만들게 되면 식 (1.1.2)와 같은 선형 2차 미분방정식이 됩니다.

( )

0mu cu ku p tmu ku

(1.1.2)

여기서, u가 진동에 의한 변위이므로, cosu A t (여기서, A는 초기 변위치와 관련한 상수)라고

가정하면, 위 식 (1.1.2)는 식 (1.1.3)과 같습니다.

2( ) cos 0m k A t (1.1.3)

상기의 등식이 항상 만족하기 위해서는 좌변 괄호 안의 값이 ‘0(zero)’이 되어야 하므로 고유치는

식 (1.1.4)와 같은 형태로 구해지게 됩니다.

2 1, , ,2

k k f Tm m f

(1.1.4)

SoilWorks 8

Dynamic Analysis

여기서, 2 : 고유치 (eigenvalue),

: 회전고유진동수 (rotational natural frequency),

f : 고유진동수 (natural frequency),

T : 고유주기 (natural period)

그리고 모드기여계수는 해당 모드의 영향을 총 모드에 대한 비율로 나타낸 것으로 식 (1.1.5)와

같이 표현됩니다.

2i im

mi im

M

M

(1.1.5)

여기서, m : 모드기여계수 (modal participation factor),

m : 임의의 모드차수 (mode number),

iM : 임의의 i 위치의 질량 (mass),

im : 임의의 i 위치의 m차 모드벡터 (mode shape)

일반 내진설계기준에서는 해석에 포함되는 모드별 유효질량(effective modal mass)의 합이 전체

질량의 90% 이상을 확보하도록 요구하고 있습니다. 이는 해석결과에 영향을 주는 대부분의 주요

모드를 포함하도록 하기 위한 것입니다.

2

2im i

mim i

MM

M

(1.1.6)

여기서, mM : 모드 별 유효질량 (effective modal mass)

임의의 질량의 자유도가 구속되어 있을 경우에는 질량 성분이 총 질량에는 반영되지만, 해당 자

유도의 모드벡터가 억제되어 유효 질량에는 포함되지 않습니다. 그러므로 모드 별 유효질량을 계

산하여 전체질량에 대한 비를 평가하고자 할 경우에는 질량이 입력된 성분의 자유도가 구속되지

않도록 해야 합니다.

SoilWorks 9


지반 또는 지하구조물의 동적거동을 제대로 분석하기 위해서는 고유치를 결정하는 질량과 강성을

정확하게 반영하는 것이 가장 기본이 되는 작업입니다. 여기서 강성은 구조부재를 유한요소로 모

델링함으로써 거의 모든 강성성분을 비교적 근접하게 반영할 수 있으나, 질량은 구조부재 자체의

질량이 전체 질량에 비해 작기 때문에 모델에 포함되지 않은 재료에 대한 질량성분을 정확하게

파악하여 입력 하는 것이 매우 중요합니다.

질량성분은 각 절점에 대해 6개의 자유도 성분에 따라 일반적으로 이동질량성분(translational

masses) 3개와 회전질량성분(rotational mass moment of inertia) 3개로 입력됩니다. 여기서, 회전

질량성분은 회전질량관성에 기인한 것으로 내진설계에서는 지진이 선방향 지진가속도로 가해지기

때문에 동적응답에 직접적인 영향을 미치지는 않습니다. 하지만, 지반 또는 지하구조물이 비정형

일 때(질량중심과 강성중심이 일치하지 않을 때)는 모드형상을 일부 변형시킴으로써 동적응답에

간접적인 영향을 미치게 됩니다.

질량성분은 다음과 같이 계산됩니다(표 1.1.1 참조).

이동질량성분 : dm (1.1.7)

회전질량관성모멘트 : 2r dm

여기서, r : 전체 무게중심에서 해당 미소질량성분 중심까지의 거리

질량의 입력단위계는 중량을 중력가속도로 나눈 단위([중량(시간2/길이)])와 같으며, 회전질량 관성

모멘트의 단위계는 질량에 길이 단위의 제곱을 곱한 단위([중량(시간2/길이)길이2])와 같습니다. 예

를 들면, MKS 또는 English 단위계를 사용할 경우에는 중량에 중력가속도를 나눈 값을 질량으로

입력해야 하며, SI 단위계를 사용할 경우에는 MKS 단위계에서 사용되는 중량치를 그대로 질량으

로 입력하여야 합니다. 대신 탄성계수값이나 하중을 입력할 때는 MKS 단위계에서 사용되는 값에

중력가속도를 곱하여 입력하면 됩니다.

SoilWorks에서는 해석작업의 효율성을 고려하여 집중질량(lumped mass)을 사용하고 있습니다.

질량데이터는 주메뉴의 ‘모델 > 하중 > 집중질량’ 기능을 이용하여 입력됩니다.

표 1.1.1 질량데이터의 산정방법

SoilWorks 10

Dynamic Analysis

: mass per unit area : mass center

shape translation mass rotational mass moment of

inertia

rectangular shape

M bd

3 3

12 12m

bd dbI

2 2

12M

b d

triangular shape

M area of

triangle m x yI I I

circular shape

2

4d

M

4

32m

dI

general shape

M dA m x yI I I

SoilWorks 11


line shape

L mass per unit

lengh

LM L

3

12m L

LI

eccentric mass

eccentric mass : m

M = m

rotational mass moment of

inertia about its mass

center : oI

2m oI I mr

SoilWorks 12

Dynamic Analysis

1.2 Subspace 반복법

Subspace 반복법은 부분공간 kE 를 이루는 sN 개의 벡터 kX 가 반복계산과정을 통하여 고유모

드 1 2 ..sN

에 수렴하도록 하는 방법입니다. k 번의 반복을 통하여 부분공간 kE 를 구

성하는 벡터 kX 를 계산해 나가는 과정은 다음과 같습니다.

- 첫 번째 반복계산의 경우 1E 을 구성하는 sN 개의 초기 벡터 1X

- k 번째 반복계산의 경우

- 선형 연립 방정식 풀이 k kKY MX

- 강성 행렬의 투영(projection) 1T

k k k K Y KY

- 질량 행렬의 투영(projection) 1T

k k k M Y MY

- 투영된 고유치 문제 풀이 1 1 1 1 1k k k k k K Q M Q Λ

* * *1 1 2 ...

sk N Q

*1

*2

1

*s

k

N

Λ

- 1k X 의 계산 1 1k k k X Y Q

위의 반복계산과정을 통하여 계산되는 *n 와 kX 는 다음과 같이 고유치와 고유모드로 각각 수렴

하게 됩니다.

*1 2, ...

sm m k N X (1.2.1)

kX 가 sN 개의 벡터로 이루어져 있을 때, 반복계산과정의 반복 횟수와 관계 없이 kK 와 kM 의

크기는 s sN N 로 고정됩니다. Subspace 반복법을 k 번 수행하여 계산된 고유치의 ( 1)km

의 수

렴 여부는 값의 변화 정도에 의하여 다음과 같이 판단합니다.

SoilWorks 13


( 1) ( )

( 1)

k km m

km

(1.2.2)

SoilWorks에서 사용하는 Subspace 반복법에서는 Subspace kX 의 크기 sN , 최대 반복 횟수

IN , 그리고 식 (1.2.2)의 수렴 허용오차 을 설정할 수 있습니다. 실제로 계산에 사용되는

Subspace의 크기 sN 는 다음과 같습니다. 여기서 _ 0sN 는 사용자가 입력한 sN (subspace

dimension)값이고 fN 는 계산하고자 하는 고유치 개수입니다.

_ 0max{ ,min(2 , 8)}s s f fN N N N (1.2.3)

Subspace 반복계산 과정의 최대 반복 횟수 기본값은 20IN 이며, 수렴 허용오차 기본값은

101.0 10 입니다.

1.3 Lanczos 반복법

Lanczos반복법은 Krylov 부분공간(subspace) 1, 2( ,..., )kspan V V V 을 생성하는 과정을 통하여 발

생하는 삼중 대각행렬 kT 를 이용하여 고유치의 근사값을 구하는 방법입니다. 지반 또는 지하구

조물의 진동해석에서 발생하는 고유치 문제 식 (1.1)에 Lanczos반복법을 효과적으로 적용하기 위

해서는 고유치 m 을 1/m m 로 치환하여야 합니다. 이러한 방법을 Shift-invert 기법이라

하며, 는 첫 번째 고유치로 예상되는 값입니다. Shift-invert 기법을 적용한 Lanczos 반복계산

과정을 간단하게 요약하면 다음과 같습니다.

- 첫 번째 반복계산의 경우 블록(block) 벡터의 초기값 1V 을 가정

- k 번째 반복계산의 경우

- 질량 행렬 곱셈 k kU MV

- 선형 연립 방정식 풀이 ( ) k k K M W U

- 직교화 *1 1

Tk k k k W W V B

- 행렬 kC 계산 *k k kC V MW

SoilWorks 14

Dynamic Analysis

- 직교화 ** *k k k k W W V C

- 블록 벡터 내 정규화 **1k k kW V B

SoilWorks에서는 효과적인 고유치 계산을 위하여 블록 벡터 mV 를 이용하며, 이를 블록 Lanczos

방법이라 합니다. 위의 반복계산 과정을 통하여 발생하는 블록 삼중 대각 행렬 kT 는 다음과 같

습니다.

1 1

1 2

1 1

1

T

kT

k kTk k

C BB C

TC BB C

(1.3.1)

kT 를 이용하여 고유치 문제 * * *k m m m T 를 풀게 되면 * *1/m m 을 이용하여 *

m 을 구할

수 있으며, *m 은 본래의 고유치 문제 식 (1.1.1)의 근사값입니다. kV 의 블록 크기를 bN 이라 할

때, 반복계산 과정의 반복 횟수가 늘어날 수록 kT 의 크기는 bN 만큼 커지게 되며, *m 는 m 으

로 수렴합니다. 고유모드 m 의 근사값 *m 는 다음 식을 통하여 구할 수 있으며, *

m 과 함께 수

렴합니다.

* *1 2 3 ...m k m V V V V (1.3.2)

Lanczos 반복법으로 계산된 고유치와 고유모드의 수렴 여부는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.

* * *m m m

K M

K (1.3.3)

여기서, . 은 2-norm을 의미합니다. SoilWorks에서는 162.22 10 를 이용합니다.

SoilWorks 15


SoilWorks에서 사용하는 Lanczos 반복법은 두 개의 진동수 1f , 2f 에 의해 계산하고자 하는 진

동수의 관심영역(range of interest)을 결정할 수 있습니다. 그리고 진동수의 관심 영역은 Shift-

invert 기법에서 고유치 예상 값을 21(2 )f 로 설정함으로써 계산에 반영할 수 있습니다. 그림

1.2는 1f 과 2f 의 관계에 따라 계산하게 되는 고유치의 영역과 순서를 그린 것입니다. 계산하고

자 하는 고유치 개수를 fN 이라 할 때, 1f , 2f 의 크기에 따라 다음과 같이 고유치를 계산합니

다.

- 1 2f f 인 경우 : 1f 에 가까운 진동수 fN 개를 계산

- 1 2f f 인 경우 : 영역 1 2[ , ]f f 에서 1f 에 가까운 진동수 fN 개를 계산

- 1 2f f 인 경우 : 영역 2 1[ , ]f f 에서 1f 에 가까운 진동수 fN 개를 계산

그림 1.3.1 고유치 검색 방향

진동수의 관심영역 1f , 2f 의 기본값은 1 20, 1600f f 입니다.

1 2 34 f

1 2f f

1 2 3 4 f

1f 2f

1234 f

1f2f

SoilWorks 16

Dynamic Analysis

감쇠

Chapter 2

SoilWorks 17

2.1 일반사항

동적해석에서 지반 또는 지하구조물의 감쇠는 크게 다음과 같이 분류할 수 있습니다.

A. 점성감쇠(Voigt 형태, Maxwell 형태)

B. 이력형감쇠

C. 마찰감쇠

1) 내부마찰 감쇠(재료감쇠)

2) 외부마찰 감쇠

3) 미끄러짐 마찰감쇠

D. 발산감쇠

E. 모드감쇠

1) 비례감쇠

질량비례형

강성비례형

Rayleigh형

Caughey형

2) 비비례감쇠

에너지 비례형

SoilWorks 18

Dynamic Analysis

상기와 같이 감쇠를 표현하는 방법은 많지만, 일반적으로 수치 해석 상에서 건물의 감쇠 효과를

표현하기 위해서는 모드감쇠가 제일 많이 사용됩니다.

모드감쇠는 진동계의 각 차수의 고유 진동수에 대해서 감쇠값을 정하는 것으로, 크게는 비례감쇠

와 비비례감쇠로 분류할 수 있습니다.

SoilWorks에서는 비례감쇠인 질량비례형, 강성비례형, Rayleigh형 감쇠를 사용할 수 있습니다.

2.2 비례감쇠

질량비례형 감쇠는 공기저항 등에 의한 외부 점성감쇠를 표현한 것으로 감쇠 행렬이 질량에 비례

한다고 가정합니다. 한편, 강성 비례형감쇠는 발산감쇠효과 (진동에너지의 지반에의 방출 효과)가

직접 표현되기 어려워 감쇠 강성에 비례한다고 가정하므로 고차 모드의 감쇠를 과대평가할 우려

가 있습니다.

Rayleigh형 감쇠(Rayleigh damping)는 이러한 강성 비례형에서의 고차 모드의 감쇠정수를 수정한

것으로서 질량비례형과 강성비례형의 합으로 표현할 수 있습니다.

비례감쇠 매트릭스 C의 일반형태는 Caughey에 의해 식 (2.2.1)과 같이 정의됩니다.

N 1

1 jj

j 0C M{ a ( M K ) }

(2.2.1)

여기서, ,j N : 절점의 자유도(모드 차수)

식 (2.1)에서 1M K 는 이하와 같이 비감쇠계의 자유진동식에서 구할 수 있습니다.

M{ y } K{ y } 0 (2.2.2)

SoilWorks 19

Chapter 2 Damping

iax{ y } {u }e (2.2.3)

로 가정하고 이것을 식 (2.2)에 대입하면,

2( M K ){u } {0 } (2.2.4)

로 되어 식 (2.2.4)로부터 1 2M K 로 됩니다. 여기서, 2 는 모드 수만큼 존재하기 때문에 모

드 차수를 고려하여 2s 로 표기합니다.

식 (2.2.2)~(2.2.4)에서 구한 1M K 을 식(2.2.1)에 대입하고 앞부분에 Ts{ u } 을 곱하고 뒷부분에

s{ u }을 곱하면 식 (2.2.5)와 같이 됩니다.

N 1 N 1

T 2 j T 2 js s s j s s s j s s

j 0 j 0{ u } C{ u } C a { u } M { u } a M

(2.2.5)

또한, s차 모드의 감쇠정수 sh 는 식 (2.2.6)과 같이 표현할 수 있습니다.

s s s sC 2 h M (2.2.6)

식 (2.2.5), (2.2.6)에서 감쇠정수 sh 는

2 jss j s

s s s

3 2N 301 s 2 s N 1

s

C 1h a2 M 21 a( a a a ), s 1 N2

(2.2.7)

으로 되어 N개의 고유모드에 대한 감쇠정수가 각각 정해집니다.

질량비례형, 강성비례형태의 감쇠정수 및 감쇠행렬은 각각

SoilWorks 20

Dynamic Analysis

0s 0

s

ah , C a M2

: 질량비례형 (2.2.8)

1 ss 1

ah , C a M2

: 강성비례형 (2.2.9)

으로 되어 Rayleigh형의 경우는 식 (2.2.10)과 같이 됩니다.

0s 1 s 0 1

s

1 ah ( a ), C a M a K2

(2.2.10)

여기서, 1 2 1 2 2 10 2 2

2 1

2 ( h h )a( )

2 2 1 11 2 2

2 1

2( h h )a( )

응답스펙트럼 해석

Chapter 3

SoilWorks 21

SoilWorks의 응답스펙트럼 해석에 사용된 지진하중을 받고 있는 지반 또는 지하구조물의 동적 평

형방정식은 식 (3.1)과 같습니다.

( ) ( ) ( ) ( )gM u t C u t K u t M w t (3.1)

여기서, M : 질량행렬(mass matrix),

C : 감쇠행렬(damping matrix),

K : 강성행렬(stiffness matrix),

gw : 지반가속도

이고, ( )u t , ( )u t , ( )u t 은 각각 상대변위, 속도, 가속도를 의미합니다.

응답스펙트럼 해석법은 다자유도시스템을 단일자유도시스템의 복합체로 가정합니다. 미리 수치적

분 과정을 통해 임의의 주기(또는 진동수) 영역범위 내의 최대 응답치에 대한 스펙트럼(가속도, 속

도, 변위 등)을 준비하고, 이를 이용하여 조합 해석하는 방법으로 설계용 스펙트럼을 이용한 내진

설계에 주로 활용됩니다.

응답스펙트럼 해석법에서는 임의의 모드에서의 최대 응답치를 각 모드별로 구한 다음 적정한 조

합방법을 이용하여 조합함으로써 최대 응답치를 추측하게 됩니다. 예를 들어, 내진해석 시 임의의

모드의 임의의 자유도에 대한 변위와 관성력은 식 (3.2)와 같이 계산됩니다.

xm m xm dmd S , xm m xm am xF S W (3.2)

SoilWorks 22

Dynamic Analysis

여기서, m : m차 모드에서의 모드기여계수,

xm : 임의의 x 위치에서의 m차 모드벡터,

dmS : m차 주기에서의 normalized spectral displacement,

amS : m차 주기에서의 normalized spectral acceleration,

xW : 임의의 x 위치에서의 질량

구조해석 프로그램에서 임의의 주기치에 대한 스펙트럴 데이터가 입력되면, 해석된 고유주기에

해당하는 스펙트럴 값을 찾기 위해 일반적으로 선형 보간법을 사용합니다. 그러므로 스펙트럼 곡

선의 변화가 많은 부위에 대해서는 가능한 세분화된 데이터를 사용하는 것이 바람직합니다(그림

1.22 참조). 그리고 스펙트럴 데이터의 주기범위는 반드시 고유치 해석 시 산출된 최대, 최소 주

기 범위를 포함할 수 있도록 입력되어야 합니다.

SoilWorks에서는 내진해석 시 사용되는 spectral data를 규준에 따른 동적계수, 지반계수, 지역계

수, 중요도계수, 반응수정계수 등의 입력으로 쉽게 생성할 수 있어 편리합니다.

SoilWorks는 전체좌표계 X-Z 평면의 임의의 방향과 Z방향에 대한 응답스펙트럼 해석이 가능하며,

모드 별 해석결과의 조합(modal combination)은 사용자의 선택에 따라 CQC(Complete Quadratic

Combination) 방법과 SRSS(Square Root of the Sum of the Squares) 방법 등을 사용할 수 있습

니다.1

각 모드별 응답을 조합하는 방법은 다음과 같습니다.

SRSS(Square Root of the Sum of the Squares)

1 22 2 2

max 1 2 nR R R R (3.3)

1 SoilWorks에서는 모드 별 조합과정에서 삭제된 부호를 재생하여 응답스펙트럼 해석결과에 반영할 수 있습니다.

자세한 내용은 On-line Manual의 “해석 > 해석 케이스 > 응답스펙트럼의 해석제어”참조.

SoilWorks 23

Chapter 3 Response Spectrum Analysis

ABS(ABsolute Sum)

max 1 2 nR R R R (3.4)

CQC(Complete Quadratic Combination)

1 2

max1 1

N N

i ij ji j

R R R

(3.5)

여기서, 2 3 2

2 2 2

8 (1 )(1 ) 4 (1 )ij

r rr r r

,

j

i

r

,

maxR : 최대 응답치,

iR : 임의의 i차 모드에서의 최대 응답치,

r : i번째 모드에 대한 j번째 모드의 고유진동수 비율,

: 감쇠비(damping ratio)

상기 식 (3.5)에서 i = j 이면, 감쇠비에 관계없이 1ij 이 되고, 감쇠비()가 ‘0(zero)’인 경우

CQC와 SRSS의 결과가 동일한 값을 가집니다.

위 방법 중에서 ABS가 가장 큰 조합치를 산출합니다. 그리고 종래에는 SRSS가 주로 사용되었지

만, 이 방법은 고유 진동수들이 근접한 값을 가질 경우 조합결과가 과대 또는 과소평가 되는 경

향이 있기 때문에 최근에는 모드간 확률적인 상관도를 고려할 수 있도록 고안된 CQC 방법의 사

용이 늘고 있습니다.

예를 들어, 감쇠비가 0.05이고 3개의 자유도를 가진 지반 또는 지하구조물의 고유진동수와 각 모

드별 변위가 다음과 같이 계산되었을 경우, SRSS와 CQC의 적용결과를 비교하면 다음과 같습니

다.

SoilWorks 24

Dynamic Analysis

고유진동수

1 0.46 , 2 0.52 , 3 1.42

모드 별 최대변위 : ijD (j 고유차수에 대한 i 자유도의 변위성분)

0.036 0.012 0.0190.012 0.014 0.005

0.049 0.002 0.017ijD

각 자유도에 대한 응답치를 SRSS에 의해 구하면,

1 22 2 2

max 1 2 3 0.042 0.046 0.052R R R R

그리고 CQC를 사용하여 구하면,

12 21 0.3985

13 31 0.0061

23 32 0.0080

1 22 2 2max 1 2 3 12 1 2 13 1 3 23 2 32 2 2

0.046 0.041 0.053

R R R R R R R R R R

상기의 두 가지 결과를 비교해보면 SRSS 방법을 사용할 경우가 CQC에 비해 첫 번째 자유도 성

분에 대해서는 과소평가되고 두 번째 자유도 성분에 대해서는 과대평가 되었습니다. 이와 같이

고유 진동수들이 상대적으로 근접한 값을 가질 때 SRSS 방법은 과소 또는 과대평가된 결과를

산출함을 알 수 있습니다.

SoilWorks 25

Chapter 3 Response Spectrum Analysis

1nT nT1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T

6T 7TxT

1S

2S

3S4S

5S

6S

7S

1nS nS

6S

7S

그림 3.1 스펙트럼 곡선 및 임의의 주기에 대한 스펙트럴 데이터의 참조 방법

SoilWorks 26

Dynamic Analysis

시간이력 해석

Chapter 4

SoilWorks 27

4.1 일반사항

SoilWorks의 시간이력 해석(time history analysis)에 사용된 동적 평형방정식은 식 (4.1.1)과 같습

니다.

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )M u t C u t K u t p t (4.1.1)

여기서, [ ]M : 질량행렬 (mass matrix),

[ ]C : 감쇠행렬 (damping matrix),

[ ]K : 강성행렬 (stiffness matrix),

( )p t : 동적하중 (dynamic load)

이고 ( )u t , ( )u t , ( )u t 는 각각 변위, 속도, 가속도를 의미합니다.

시간이력 해석은 지반 또는 지하구조물에 동적하중이 작용할 경우에 지반 또는 지하구조물의 동

적 특성과 가해지는 하중을 사용하여 임의의 시간에 대한 지반 또는 지하구조물 거동(변위, 부재

력 등)을 동적 평형방정식의 해를 이용하여 계산하는 것입니다. SoilWorks에서는 시간이력 해석을

위해 모드중첩법(modal superposition method)과 직접적분법(direct integration method)을 사용하

고 있습니다.

다음은 모드중첩법에 대한 개략적인 개념과 데이터의 입력 시 주의해야 할 사항을 서술한 것입니

다.

SoilWorks 28

Dynamic Analysis

4.2 모드중첩법

모드중첩법은 지반 또는 지하구조물의 변위를 서로 직교성을 갖는 변위형상의 선형조합 형태로

구하는 방법으로, 감쇠행렬이 질량행렬과 강성행렬의 선형조합으로 이루어질 수 있다는 가정을

전제로 합니다. 이 방법은 다음과 같이 표현됩니다.

C M K (4.2.1)

( ) ( ) ( ) ( )T T T TM q t C q t K q t F t (4.2.2)

( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i im q t c q t k q t P t ( 1, 2,3, , )i m (4.2.3)

( ) ( )m

i ii j

u t q t

(4.2.4)

( )

0

(0) (0)( ) (0)cos sin

1 ( ) sin ( )

i i

i i

t i i i ii i Di Di

Di

t ti Di

i Di

q qq t e q t t

P e t dm

(4.2.5)

여기서, 21Di i i ,

, : Rayleigh 계수,

i : i 번째 모드의 감쇠비,

i : i 번째 모드의 고유주기,

i : i 번째 모드 형상,

( )iq t : i 번째 모드에 의한 단자유도 방정식의 해

시간이력 해석에서 지반 또는 지하구조물의 변위는 식 (4.2.5)와 같이 모드 형상과 단일자유도계

방정식 해와의 곱으로 결정되며, 이것의 정확성은 사용하는 모드 수에 영향을 받습니다.

SoilWorks 29

Chapter 4 Time History Analysis

모드중첩법은 구조해석 프로그램에서 가장 많이 사용되는 것으로 대형지반 또는 지하구조물의 선

형 동적해석에 매우 효과적인 방법입니다. 그러나, 비선형 동적해석이나 특별한 감쇠장치가 포함

되어 감쇠를 강성과 질량의 선형조합으로 가정할 수 없을 경우에는 사용할 수 없는 단점이 있습

니다.

모드중첩법을 이용할 경우 요구되는 데이터와 입력 시 주의사항은 다음과 같습니다.

전체 해석시간(또는 해석횟수) : 해석하고자 하는 시간이나 해석횟수

해석 시간 간격 : 해석에 사용되는 시간 간격으로 해석의 정확성에 상당한 영향을 미

칠 수 있으며, 시간 간격의 크기는 지반 또는 지하구조물의 고차모드의 주기나 하중의

주기와 밀접한 관계를 갖습니다. 해석시간 간격은 식 (4.2.4)의 적분 항에 직접적인 영

향을 주게 되어 부적절한 값이 입력되어 부정확한 결과를 나타낼 수 있습니다. 일반적

으로 고려하고자 하는 최고차 모드 주기의 1/10 정도의 시간간격이 타당하며, 해석 시

간간격은 입력된 하중의 시간간격 보다는 작아야 합니다.

10pTt (4.2.6)

여기서, pT : 고려하고자 하는 최고차 모드 주기

모드 별 감쇠비(또는 Rayleigh 계수) : 지반 또는 지하구조물의 감쇠를 결정하기 위해

필요로 하는 값으로, 전체 지반 또는 지하구조물의 감쇠비나 각 모드 별 감쇠비

동적하중 : 지반 또는 지하구조물의 절점이나 기초부에 직접 가해지는 동적하중으로

시간의 함수로 표시되며, 전체 하중 변화를 충분히 나타낼 수 있어야 합니다. 입력되

지 않은 시간에서의 하중 값은 선형보간하여 사용합니다.

SoilWorks 30

Dynamic Analysis

4.3 직접적분법

직접적분법은 동적 평형방정식을 시간에 따라 점진적으로 적분하여 해를 구하는 방법입니다. 평

형방정식의 형태 변화 없이 시간단계마다 적분을 사용하여 해를 구하게 되고, 다양한 적분 방법

이 사용될 수도 있습니다.

SoilWorks에서는 수렴성이 좋은 Newmark 방법을 사용하여 직접적분법을 수행하고 있습니다. 기

본적인 가정과 적분방법은 아래와 같습니다.

Δ[( ) ]t t t t t tu u 1 u u t (4.3.1)

ΔΔ [( ) ]Δ1

2t t t t t t t 2u u u t u u t (4.3.2)

식 (4.3.2)에서 t tu 를 구하고 이 값을 식 (4.3.1)에 대입하여 t tu 를 계산하면, 식 (4.3.3)과 같

이 이전 단계의 변위, 속도, 가속도와 현재의 변위로 표현할 수 있습니다.

Δ

t t t t t t t

t t t t t t t

u f ( u , u , u , u )

u f ( u , u , u , u )

(4.3.3)

식 (4.3.4)의 값들을 식 (4.3.5)와 같은 동적 평형방정식에 대입하면, 이전 단계의 변위, 속도, 가

속도와 현단계 변위에 대한 식으로 나타낼 수 있고, 식 (4.3.6)과 같은 식으로 현 단계의 변위를

계산할 수 있습니다. 현 단계의 변위를 구하면, 이 값과 이전 단계의 값들을 사용하여 식 (4.3.7)

과 같이 현 단계의 가속도와 속도를 계산할 수 있습니다. 감쇠는 식 (4.3.8)과 같이 강성과 질량을

사용하여 비례식으로 계산합니다.

[ ] [ ] [ ]t t t t t t t tM u C u K u p (4.3.4)

SoilWorks 31


[ ] [ ] [ ] [ ]( )

[ ]( )

t t t t t t t

0 1 0 2 3

t t t

1 4 5

K a M a C u p M a u a u a u

C a u a u a u

(4.3.5)

[ ] t t t tˆ ˆK u p (4.3.6)

[ ] [ ] [ ] [ ]0 1K̂ K a M a C

[ ]( ) [ ]( )t t t t t t t t t t

0 2 3 1 4 5p̂ p M a u a u a u C a u a u a u

( )t t t t t t t

0 2 3u a u u a u a u , t t t t t t

6 7u u a u a u (4.3.7)

여기서, 20 1 2 3

1 1 11

t t t 2a a a a, , ,

( ),4 5 6 7

t1, 2 t 1 t

2a a a a,

, : Newmark 적분변수(average acceleration 0.5 , 0.25 사용)

t : 적분 시간간격

[ ]C [ ] [ ]a K b M (4.3.8)

여기서, a, b : 감쇠계산을 위한 질량과 강성의 비례상수

강성이나 감쇠의 비선형성을 고려한 해석을 위해서는 대부분의 경우 직접적분 방법을 사용해야

합니다. 직접적분법의 경우는 모든 시간단계에 대하여 해석을 수행하므로 시간 단계의 수에 비례

하여 해석시간이 소요됩니다. 직접적분 방법의 사용 시에 요구되는 데이터와 입력 시 주의 사항

은 다음과 같습니다.

전체 해석시간(또는 해석횟수) : 해석하고자 하는 시간이나 해석횟수

해석 시간 간격 : 해석에 사용되는 시간 간격으로 해석의 정확성에 상당한 영향을 미

칠 수 있으며, 시간 간격의 크기는 지반 또는 지하구조물의 고차모드의 주기나 하중의

SoilWorks 32

Dynamic Analysis

주기와 밀접한 관계를 갖습니다. 해석시간 간격은 식 (4.3.7)의 적분항에 직접적인 영

향을 주게 되어 부적절한 값이 입력되어 부정확한 결과를 나타낼 수 있습니다. 일반적

으로 고려하고자 하는 최고차 모드 주기의 1/10 정도의 시간간격이 타당하며, 해석 시

간간격은 입력된 하중의 시간간격 보다는 작아야 합니다.

10pTt (4.3.9)

여기서, pT : 고려하고자 하는 최고차모드 주기

해석 시간간격의 수에 따라 해석 소요시간이 비례하여 증가하기 때문에 필요 이상으로

시간간격을 작게 하지 않아야 합니다.

강성과 질량을 사용한 감쇠의 정의 : 강성과 질량의 비례식으로 감쇠를 정의합니다.

시간적분방법 : Newmark 방법의 적용 시 필요한 적분 변수를 입력합니다. constant

acceleration인 경우에는 모든 조건하에서 발산하지 않고 안정적으로 수렴한 값을 계

산하지만, linear acceleration인 경우에는 조건에 따라서 수렴하지 않을 수도 있습니다.

가능한 constant acceleration에 해당하는 적분 변수를 사용하는 것이 타당합니다.

동적하중 : 지반 또는 지하구조물의 절점이나 기초부에 직접 가해지는 동적하중으로

시간의 함수로 표시되며, 전체 하중 변화를 충분히 나타낼 수 있어야 합니다. 입력되

지 않은 시간에서의 하중 값은 선형 보간하여 사용합니다.

다음은 사용자의 이해를 돕기 위해 지반 또는 지하구조물의 동적해석에 필요한 기초적인 사항을

서술한 것입니다.

그림 4.3.1은 단일자유도 지반 또는 지하구조물의 운동을 이상화한 것입니다. 단일자유도계에 작

용하는 힘들에 대한 평형방정식은 식 (4.3.10)과 같습니다.

( ) ( ) ( ) ( )I D Ef t f t f t f t (4.3.10)

SoilWorks 33


( )If t (관성력)는 지반 또는 지하구조물의 운동 속도가 변화하는데 대해 저항하려는 관성 효과를

힘으로 나타낸 것으로, 크기는 ( )mu t 가 되며 작용 방향은 가속도의 반대 방향입니다.

( )Ef t (탄성력)는 지반 또는 지하구조물에 변형이 발생하면 구조계가 이에 저항하여 원위치로 복

귀하려는 성질에 따른 탄성복원력으로, 그 크기는 ( )ku t 이며 작용 방향은 변위와 반대 방향입니

다.

( )Df t (감쇠력)는 지반 또는 지하구조물에 추가의 외력을 가하지 않을 경우 내부마찰 등으로 인한

운동에너지의 소멸로 운동의 진폭이 점점 작아지는 현상을 고려하기 위한 구조계 내부의 가상의

힘이며, 그 크기는 ( )cu t 이고 작용 방향은 운동속도와 반대 방향입니다.

u t

f tk

mcf

Ef

Df

If

(a) 모델 (b) 평형 상태도

그림 4.3.1 단일자유도 운동계

위의 각 힘들을 정리하면 다음과 같습니다.

( )( )( )

I

D

E

f mu tf cu tf ku t

(4.3.11)

여기서, m : 질량,

c : 감쇠계수,

k : 탄성계수

SoilWorks 34

Dynamic Analysis

그림 4.3.1(b)의 힘의 평형관계로부터 변위에 대한 단일자유도 운동계의 운동방정식은 다음과 같

습니다.

( )mu cu ku f t (4.3.12)

위 식에서 ( ) 0f t 으로 두면 자유진동에 대한 방정식이 되고 여기에 0c 인 조건을 추가하

면 비감쇠 자유진동 방정식이 됩니다. 그리고 ( )f t 를 임의의 시간에 대한 기진력(또는 기진변위,

속도, 가속도 등)으로 두면 강제진동 해석 문제로 귀결되며, 모드중첩법(mode superposition

method) 또는 직접적분법(direct integration method)을 이용하여 해를 구할 수 있습니다.

등가선형 해석

Chapter 5

SoilWorks 35

5.1 1 차원 동적해석(이론해)

구조물이 건설되기 이전의 지반상태에서 지진입력에 대한 지반의 응답을 구하는 것을

자유장(Free Field) 해석이라고 한다. 자유장 해석은 설계응답스펙트럼을 결정하기 위한 지표면

진동예측, 액상화 평가를 위한 동적 응력과 변형율 산정 그리고 지반 또는 토류 구조물의

불안정을 초래하는 지진하중의 결정 등에 주로 사용됩니다.

자유장 해석은 선형점탄성 영역을 통과하는 전단파의 수직전파에 의한 지반의 응답을 구하는

문제로 해석 지반은 그림 5.1.1 과 같이 수평 방향으로 무한한 여러 개의 지층과 반무한 영역인

바닥층으로 구성됩니다. 각각의 지층은 균질하며 등방성 재료의 특성을 가진 것으로 가정합니다.

해석 모델에서 진동은 모델 지반을 연직 방향으로 투과 및 반사하여 전달하는 전단파에 의해

발생하고 변위는 수평방향으로만 발생합니다. 따라서 모든 지층에서 파동방정식인 식 (5.1.1)을

만족하여야 합니다.

2 2 3

2 2 22u u uG Gt x x t

(5.1.1)

여기서 u 는 시간 t 에서 수평변위를 의미하며, 과 G 그리고 는 각각 질량밀도, 전단탄성

계수, 이력감쇠비(hysteretic damping ratio)를 의미합니다.

변위함수를 식 (5.1.2)와 같은 조화함수로 나타내어 식 (5.1.1)을 진동수 영역으로 변환하면 식

(5.1.3)과 같은 지배방정식이 되며, 응력-변위 관계식은 식 (5.1.4)와 같습니다.

( , ) ( , ) i tu x t u x e (5.1.2)

2* 2

2 ( , ) ( , ) 0G u x u xx

(5.1.3)

SoilWorks 36

Dynamic Analysis

*( , ) ( , )x G u xx

(5.1.4)

여기서 ( , )x 는 전단응력이며 * (1 2 )G G i 로서 복소전단탄성계수입니다.

1 1 1 G

m m mG

1 1 1 m m mG

N N NG

그림 5.1.1 1 차원 자유장 해석 모델

일반적으로 1차원 파동전달방정식의 해를 구하기 위하여 자유장지반을 그림 5.1.1과 같이 나타낼

수 있습니다. 층 경계의 일련번호를 지표면으로부터 부여하고, 지표면으로부터 m번째 층의 응답

을 mu 으로 표현하면 이 응답은 m번째 층 상단으로부터 깊이 mx 의 함수로 식 (5.1.5)-(5.1.6)과

같이 나타낼 수 있습니다.

* *

( , ) ( ) ( )m m m mik x ik xm m m mu x A e B e

(5.1.5)

* ** *( , ) ( ( ) ( )m m m mik x ik xm m m m m mx ik G A e B e

(5.1.6)

SoilWorks 37

Chapter 5 Equivalent Linear Analysis

여기서 * */m smk V , * * /sm m mV G 이고 mA 과 mB 은 층 응답계수로서 mA 는 상향으로

전달되는 탄성파, mB 은 하향으로 전달되는 탄성파 성분입니다. 그리고 인접한 층 경계에서는 식

(5.1.7) 같은 적합조건과 힘의 평형조건이 만족되어야 합니다.

1 1

1 1

( ) ( 0) 1,2,...,( 1)

( ) ( 0)m m m m m

m m m m m

u x h u xm N

x h x

(5.1.7)

식 (5.1.5)와 (5.1.6)을 위 (5.1.7)에 대입하면 계수 사이의 관계식을 식 (5.1.8)과 같이 유도할 수

있습니다.

* *

* *

1 1* *

1 1 * *1 1

, 1,2,...,( 1)

m m m m

m m m m

ik h ik hm m m m

ik h ik hm mm m m m

m m

A B A e B em Nk GA B A e B e

k G

(5.1.8)

이를 정리하여 인접한 지반 층의 응답계수 사이의 관계를 유도하면 다음 식 (5.1.9)와 같은

점화식 형태가 됩니다.

* *

* *

* *1

* *1

1 1(1 ) (1 )

2 21 1(1 ) (1 )2 2

m m m m

m m m m

ik h ik hm m m m m

ik h ik hm m m m m

A A e B e

B A e B e

(5.1.9)

여기서 mh 은 m번째 층의 두께이며 *m 는 인접한 층 사이의 동적강성비입니다.

* **

* *1 1

m mm

m m

k Gk G

(5.1.10)

지표면에서 전단응력이 항상 0이므로 식 (5.1.6)으로부터 1 1A B 임을 알 수 있습니다. 따라서

m 번째 층의 응답계수는 첫 번째 층으로부터 m 번째 층까지 식 (5.1.9)의 점화식을 순차적으로

적용하여 구할 수 있습니다.

SoilWorks 38

Dynamic Analysis

1

1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

m m

m m

A a AB b B

(5.1.11)

여기서 1 1 1a b 임을 알 수 있습니다.

층경계 i 와 층경계 j 사이의 전달함수 ( )ijH 는 아래와 같이 구할 수 있습니다.

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )i i i

ijj j j

u a bHu a b

(5.1.12)

전달함수 ( )ijH 가 정해지고 층경계 j 에서 응답 ( )ju 가 주어지면 층경계 i 에서 응답

( )iu 를 식 (5.1.13)과 같이 구할 수 있습니다.

( ) ( ) ( )i ij ju H u (5.1.13)

주파수영역해석법을 사용할 경우, 지반에서 비선형거동의 영향은 일반적으로 등가선형화기법

(equivalent linearization technique)을 사용하여 고려합니다. 이 같은 등가선형화기법을 사용하는

이유는 주파수영역해석법은 기본적으로 지반을 선형거동으로 가정하기 때문입니다.

주파수영역해석에서는 모든 시간에 대해 일정한 강성(즉, 전단탄성계수)과 감쇠를 가지는 것으로

해석되므로, 그림 5.1.2 와 같이 실제 전단변형도에 따른 강성의 변화를 고려할 수 없습니다.

따라서 주파수영역해석법에서는 그림 5.1.3 과 같이 이전 단계에서 계산된 전단변형도에 따라

지반의 강성과 감쇠비를 변경하는 선형해석을 반복 수행하여 지반의 비선형거동을 고려합니다.

이때 강성과 감쇠값을 정하기 위하여 식 (5.1.5)와 같이 이전 단계에서 계산된 최대전단변형도에

1 보다 작은 일정한 값(예를 들면, 0.65)을 곱한 유효전단변형도를 사용합니다. 이 같이

유효전단변형도를 사용하는 이유는 그림 5.1.2 와 같이 최대전단변형도는 실제 거동에 비해 큰

변형 에너지를 유발하기 때문입니다. 이와 같은 등가선형화기법에 의한 지반의 비선형성

고려방법을 정리하면 표 5.1.1 과 같습니다.

max max { ( )}t oct t (5.1.14)

SoilWorks 39


2 2 2 2 21( ) ( ) ( ) { ( ) ( )} 6 ( ) 6 ( )3oct x z x z yz xzt t t t t t t (5.1.15)

그림 5.1.2 최대변형도와 유효변형도의 차이

그림 5.1.3 등가선형화기법에 의한 비선형 전단탄성계수와 감쇠계수 수렴과정

표 5.1.1 등가선형화기법에 의한 자유장해석 절차

SoilWorks 40

Dynamic Analysis

1. 각 층의 전단탄성계수(G)와 감쇠비(h)의 초기값을 설정한다. 일반적으로 변형도가 매우

작을 때의 값을 사용합니다.

2. 초기값을 사용한 자유장해석을 수행하여 각 층에서 최대전단변형도 max 를 계산합니다.

3. 각 층에서 유효전단변형도 eff를 계산합니다.

maxeff R

여기서 R 는 유효전단변형도와 최대전단변형도의 비율로서 0.65 를 사용하거나 지진의

규모 M 에 따른 아래 값을 사용합니다(Seed & Sun, 1992). 1

10MR

4. 각 층의 유효전단변형도 eff 로부터 각 층의 max/ effG G 곡선과 effh 곡선에

따른 전단탄성계수 G와 h 를 결정합니다.

5. 위의 2 에서 4 까지 과정을 G와 h 가 수렴할 때가지 반복한다. 일반적으로 상대오차가

5% 정도면 수렴된 것으로 하며 반복과정은 5 회 이내에 끝납니다.

5.2 2 차원 동적해석(유한요소법)

5.2.1 일반사항

지반-구조물 상호작용 문제가 보통의 구조동력학 문제와 비교할 때 가장 다른 점은 지반영역의

무한성으로 인하여 발생하는 발산감쇠(radation damping) 현상입니다. 보통의 감쇠특성이 재료적

인 마찰 등을 통하여 구조물의 운동을 감쇠시키는데 비하여 발산감쇠는 파동에너지를 지반의 무

한영역으로 방출시킴으로써 구조물의 운동에너지가 감쇠하는 현상에 기인합니다.

발산감쇠는 운동방정식에서 감쇠항으로 포함되며, 외부로 전파되는 파동의 형태에 따라 그 크기

가 결정됩니다. 파동의 형태는 주파수영역에서 쉽게 모형화가 가능하므로 이를 고려하기 위해서

는 주파수 영역해법을 사용하는 것이 효율적입니다. 일반적으로 지반재료는 근본적으로 비균질성

재료이며 이의 역학적 거동은 비선형성이 매우 심하게 됩니다.

지반-구조물 상호작용문제를 정확히 해석하려면 위의 발산 감쇠 현상과 비선형성의 중요한 특징

SoilWorks 41


을 동시에 고려하여야 합니다. 따라서 발산감쇠를 모형화하기 용이한 주파수 영역해법이 사용되

고 있으며, 재료의 비선형성 등은 등가선형화 기법(equivalent linearization method)을 사용하여 해

석을 수행합니다.

해석과정은 FFT(Fast Fourier Transform)를 사용하는 표준 진동수영역 해석과정을 사용하며 운동

방정식은 자유장 응답을 입력운동으로 하는 통합된 지반-구조물 시스템을 구성하므로 지반이 응

답과 구조물의 응답이 한번의 연산으로 함께 얻어집니다. 운동방정식을 푸는 과정에서 해를 구하

는 진동수 숫자를 줄이기 위해 단자유도 전달함수 보간법을 사용하는데 이런 기법의 사용은 두

연속 진동수에 대한 전달함수 해에 기초한 전달함수의 보간된 값을 얻기 위해서입니다. 따라서

기본적인 진동수들의 선정이 중요하며 지반운동 해석의 타당성을 확보하기 위해서는 충분히 높은

cut-off 진동수를 정의해야 합니다.

5.2.2 운동 방정식

해석과정에서 살펴본 바와 같이 자유장해석 결과로부터 기반암에서의 지진응답을 지반-구조물의

운동방정식인 식 (5.2.1)의 입력운동으로 작용하여 해석을 수행합니다.

[ ]{ } [ ]{ } { } { } { }M u K u m y F T (5.2.1)

여기서 { }u 는 모델 저면에 대한 각 절점의 상대변위벡터를 나타내며, [ ]M 는 단위두께의 2차원

지반-구조물 시스템의 질량행렬을, [ ]K 는 감쇠효과가 포함된 단위두께를 가지는 2차원 지반-구조

물 시스템의 복소강도행렬을 나타냅니다. 또한 { }m 은 입력운동 방향에 대한 질량벡터를 나타내

며, y 는 모델의 저변에 작용하는 입력운동을 나타냅니다.

식 (5.2.1)에서 { }F 는 지반-구조물 시스템의 수직단에 작용하는 하중을 나타내며 식 (5.2.2)과 같

습니다.

{ } [ ]{ }fF G u (5.2.2)

여기서 [ ]G 는 자유장의 복소강도행렬이며, { }fu 는 자유장의 변위벡터를 나타낸다.

식 (5.2.1)에서 { }T 는 전달경계조건으로 표시되는 파동에너지의 수평전달에 의한 힘을 나타내며

SoilWorks 42

Dynamic Analysis

식 (5.2.3)과 같습니다.

{ } ([ ] [ ])({ } { })fT R L u u (5.2.3)

여기서, [ ]R 과 [ ]L 는 Lysmer, Drake 및 Wass에 의하여 개발된 경계조건의 진동수에 따른 강도

행렬입니다.

식 (5.2.1)의 입력운동 ( )y t 를 식 (5.2.4)와 같은 유한한 수의 조화진동의 합으로 가정하여 진동

수영역의 해석을 수행합니다.

/ 2

0( ) Re s

Ni t

ss

y t Y e

(5.2.4)

여기서, N 은 입력운동을 나타내는 점들의 수이다. 따라서, 지반-구조물 시스템의 응답을 식

(5.2.5)과 같이 나타낼 수 있습니다.

/ 2

0{ } Re { } s

Ni t

ss

u U e

(5.2.5a)

/ 2

0{ } Re { } s

Ni t

f f ss

u U e

(5.2.5b)

식 (5.2.5)과 식 (5.2.2)를 식 (5.2.1)에 대입하여 정리하면 식 (5.2.6)을 얻을 수 있습니다.

2([ ] [ ] [ ] [ ]){ }

{ } ([ ] [ ] [ ] ){ }s s s s

s s s f s

K R L M Um Y G R L U

(5.2.6)

식 (5.2.6)에서 { }f sU 를 식 (5.2.7)과 같이 나타낼 수 있으며, { }f sA 는 저변 입력운동에 대한 전

달함수입니다.

{ } { }f s f s sU A Y (5.2.7)

SoilWorks 43


식 (5.2.7)을 식 (5.2.6)에 대입하여 정리하면 식 (5.2.8)의 식을 구할 수 있으며, [ ]sK 는 시스템의

진동수에 따른 강도행렬을 나타내며, { }sP 는 1sY 인 입력운동에 대한 하중벡터를 나타냅니다.

[ ] { } { }s s s sK U P Y (5.2.8a)

2[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]s s s sK K R L M (5.2.8b)

{ } ([ ] [ ] [ ] ){ } { }s s s f sP G R L A m (5.2.8c)

식 (5.2.8)의 양변을 sY 로 나눈 식 (5.2.9)를 이용하여 해를 구하면, [ ]sK 및 { }sP 는 진동수

에 의한 함수이고 { }sA 도 진동수의 함수가 됩니다.

[ ] { } { }s s sK A P (5.2.9)

이와 같이 식 (5.2.9)에서 { }sA 를 구하면 식 (5.2.5a)로부터 { }u 를 식 (5.2.10)과 같이 구할 수

있습니다.

{ } Re { } si ts su A Y e (5.2.10)

또한 시간영역에서의 응답은 FFT방법을 이용하여 식 (5.2.6)을 시간영역으로 역 변환하여 구할 수

있습니다.

SoilWorks 44

Dynamic Analysis

5.3 전달경계조건

지반-구조물 해석을 수행하기 위해 사용되는 2차원 모델로는 실제 거의 무한히 존재하는 지반을

정확히 묘사하기 어렵다. 따라서 공학적으로 적합한 위치에 모델의 경계를 설정하고 설정된

경계는 가능한 실제 부지조건과 유사하도록 처리하여야 한다.

지반모델링에서 경계조건은 크게 요소경계조건, 점성경계조건, 전달경계조건으로 나눌 수 있다.

요소경계조건은 자유장에 대한 경계지점에서의 지진응답하중의 힘을 입력하는 자유단, 변위를

입력하는 고정단 그리고 수평회전단과 수직회전단으로 나타낼 수 있는 회전단으로 나뉜다.

요소경계조건은 자유장의 지진파 영향을 충분히 고려할 수 있지만, 구조물이 있는 경우 그

기초슬래브에서 반사되는 반사파의 영향을 고려할 수 없다. 또한, 그 영향은 경계의 위치가

기초슬래브에서 가까울수록 커진다.

점성경계조건은 요소경계조건의 단점을 해결하기 위하여 Kuhlemeyer, Ang, Newmark 등이

경계에 일정한 각도를 갖는 물질파를 흡수할 수 있는 경계조건을 개발하였다. 하지만,

점성경계조건도 복잡한 표면파의 영향을 완벽하게 처리할 수 없기 때문에 요소경계와 마찬가지로

경계의 위치를 기초슬래브에서 일정한 거리를 두고 설정해야 한다.

전달경계조건은 점성경계조건의 단점을 보완하여 거의 모든 형태의 물질파와 표면파의 영향을

고려할 수 있도록 한 것으로 수평방향의 토층을 진동수의 함수로 표시되는 스프링과 댐퍼로써

나타낸다. 전달경계조건은 일반적으로 지반 각 층의 수평방향특성이 균일하다고 가정하기 때문에

구조물 자체에 경계조건을 부착해도 만족할 만한 결과를 얻을 수 있으나, 수평방향의 변형도에

따른 특성변화를 정확하게 고려하기 위해서는 기초슬래브와 경계 사이에 일정한 거리를 유지하는

것이 효과적이다.

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