geotecnia 1 parte iii

8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III

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GEOTECNIA I

Año Académico 2015-2016

Dr. Lorenzo BorselliInstituto de Geología

Fac. De Ingeniería, UASLP

[email protected]

www.lorenzo-borselli.eu

Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015

mailto:[email protected]://www.lorenzo-borselli.eu/http://www.lorenzo-borselli.eu/mailto:[email protected]


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Parte III

Propiedades mecánicasde los geomateriales

Objetivo: Stress - strain, stress total, presión neutral y stress eficaz definición de estrés y de deformación, módulo

de elasticidad y deformación, tensiones principales.Variables características y sus correlaciones. Circulo deMohr y stress en cualquier plano. Ámbito de aplicación:todas las áreas de la geotecnia



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A) Stress, Strain



4/80

Se vea también…

http://facul

ty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.html

Presión hidrostáticaEn un punto, adentroen un masa liquida

(kPa) 81.9γσ ≡σ z z whv

!La presión esigual en todaslas direcciones!zZ (m)


http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.htmlhttp://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.htmlhttp://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.htmlhttp://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.htmlhttp://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.html


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Los Componentes de tensión opresión se pueden ilustrargráficamente, respecto a losejes de coordenadas

(x, y, z), cuyo origen es O.Se usa comúnmente una formavectorial (dirección yintensidad).

En un cuerpo realCualquier material solido

Los esfuerzos pueden serdiferentes Dependiendoda la orientación en elespacio



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Simplificación en dos direcciones

En un elipsoide biaxial sólo haydos ejes principales. El eje vertical(v) y el eje horizontal (h).En otras palabras, el planoecuatorial del elipsoide es un

círculo.Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015


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En rocas y suelosa veces la presión verticalpuede ser menorde la horizontal…

v

h2

h1

21 σσσ

hhv >>

21 σσσ

hhv ><



9/80

(kPa) γσ z v=

(kPa) γσ z k oh=

stress (o presión)geostatico

( presión entro loscuerpos rocosos y

suelos )

Stress (o presión) Vertical

Stress (o presión) Horizontal

K0 = Lateral stress coefficient en condición estática.

Este varia entre 0.3 y 2.0 .. En media es 0.3-0.5

)(kN/munitario peso γ 3



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Stress geostatico verticala grandes profundidades

http://bc.outcrop.org/images/rocks/metamorphic/lutge8e/FG07_03A.JPG


http://bc.outcrop.org/images/rocks/metamorphic/lutge8e/FG07_03A.JPGhttp://bc.outcrop.org/images/rocks/metamorphic/lutge8e/FG07_03A.JPGhttp://bc.outcrop.org/images/rocks/metamorphic/lutge8e/FG07_03A.JPG


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Simbulo ellipsoide de los stress

Distribución de stress

Cuando la superficie no es horizontalLa dirección de estrés mayor no siempreEs vertical…


(kP )


12/80

(kPa) )](-[γγγγσ 2132211∑ d d z d d d i

iiv +++==

A cualquier profundidad z, en suelo o rocas estratificadas lapresión total vertical es la suma de la contribución de carga detodos lo estratos arriba el punto considerado

Z(m)

(kPa)σv

http://environment.uwe.ac.uk/ geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm


http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htmhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htmhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm


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http://environment.uwe.ac.uk/ geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm

(kPa) )γγσ w sat wunsat v (z-z z +=

Presión total vertical en un suelo con porción satura de agua abajode porción no satura .

Z(m)

(kPa)σv

material audiovisual: http://www.youtube.com/watch?v=qnJwHOhNIVk

γγ sat un sat

<

γ

γ

sat

unsat Peso de unitario porcion insatura

Peso de unitario porcion satura


http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htmhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htmhttp://www.youtube.com/watch?v=qnJwHOhNIVkhttp://www.youtube.com/watch?v=qnJwHOhNIVkhttp://www.youtube.com/watch?v=qnJwHOhNIVkhttp://www.youtube.com/watch?v=qnJwHOhNIVkhttp://www.youtube.com/watch?v=qnJwHOhNIVkhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm


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Concepto de stressefectivo o eficaz

En un medio poroso esequivalente a la presiónPromedia de contacto entre

Partícula y partícula.Si hay una presión de poro(hidrostática ) la presión decontacto disminuye.Efecto del principio deArchimedes ..

W =mg

W’ =W-Ww = mg-mw gPrincipio de Archimedes

W =mg

Ww =mwg

Cuerpo solido sumergido enun liquido

Spinta hidrostatica

'σv

'σv



15/80

http://environment.uwe.ac.uk /geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm

Presión total vertical en un suelo con falda de agua abajo de una porción no

satura Y su relación con la presión hidrostática de poros u en el mismo punto.

Concepto de Stress efectivo:

wwvv hu γσ'σ =<

hw

Z(m)

(kPa) ',vv

σ , uσ

vσ'

σv

u

Estress

efectivo

Presion

Neutra

Presiontotal

0σ'σ == uvv

uvv

-σ'σ =Zona satura

Zona no satura

'σv


http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htmhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htmhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htmhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm


16/80

-3

-8

-10

-14

-5.5

16γ,19γ ==unsat sat

5.15γ,5.18γ ==unsat sat



[1]

[2]

[3]

[4]

Z(m)

(kN/m3)

Calcular perfil completo de: )('σ ),( ),(σ z z u z vv

Problema da resolver 1

)/( 81.9γ 3mkN w=

PerfilGeotecnicode 4estratos

diferentes

Recordando que :


17/80

1 -3 3 19 16

2 -8 5 18.5 15.5

3 -10 2 21 18

4 -14 4 20.5 17.5

-5.5

1 -3 3 16 48 48

2A -5.5 2.5 15.5 38.75 86.75

2B -8 2.5 18.5 46.25 133

3 -10 2 21 42 175

4 -14 4 20.5 82 257

datos perfil geotecnico

strato zbase (m) espesor (m) gamma(sat) kn/m3 gamma(unsat) kn/m3

porcion satura WT (m)

stratos reales y virtuales zbase (m) espesor (m) gamma kN/m3 sigma tot parcial (kpa) Sigma cumulado (kPa)

Desarrollo ejercicio 1 en un hoja de calculo (excel/libre office)1) Estructuraras datos de base2) Construcción modelo a estratos reales y virtuales3) Calculo tensiones totales en forma simplificada

Se vea file: ejercicio1 - parte III.odsEn el material didáctico adicional



18/80

ejercicio 1 Grafico final

0 50 100 150 200 250 300

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Stress vertical

(total, neutro, eficaz)

u

Sigma tot

Sigma eff

vertical stress (kPa)

z(m)

-3

-8

-10-14

-5.5





[1]

[2]

[3]

[4]

Z(m)

(kN/m3)



19/80

-0 -0 -0 0

-0.5 0 8 8

-1 0 16 16

-1.5 0 24 24

-2 0 32 32

-2.5 0 40 40

-3 0 48 48

-3.5 0 55.75 55.75

-4 0 63.5 63.5

-4.5 0 71.25 71.25

-5 0 79 79

-5.5 0 86.75 86.75

-6 4.905 96 91.095

-6.5 9.81 105.25 95.44

-7 14.715 114.5 99.785

-7.5 19.62 123.75 104.13

-8 24.525 133 108.475

-8.5 29.43 143.5 114.07

-9 34.335 154 119.665

-9.5 39.24 164.5 125.26

-10 44.145 175 130.855

-10.5 49.05 185.25 136.2

-11 53.955 195.5 141.545

-11.5 58.86 205.75 146.89

-12 63.765 216 152.235

-12.5 68.67 226.25 157.58

-13 73.575 236.5 162.925

-13.5 78.48 246.75 168.27

-14 83.385 257 173.615

Z (m) u (kPa) Sigma tot (kPa) Sigma eff (kPa)

ejercicio 1columnas

de calculo



20/80

-3

-8

-10

-14

-5.5

No saturo !!


5.15γ,5.18γ ==

unsat sat



[1]

[2]

[3]

[4]

Z(m)

(kN/m3)

Calcular perfil completo de: )('σ ),( ),(σ z z u z vv

Problema da resolver 2(casi como ejercicio 1 pero el estrato 4 es no saturo (aquicludoimpermeable) )

)/( 81.9γ 3mkN w=

PerfilGeotecnicode 4estratosdiferentes

Recordando que :




21/80

1 -3 3 19 16

2 -8 5 18.5 15.5

3 -10 2 21 18

4 -14 4 20.5 17.5

-5.5

1 -3 3 16 48 48

2A -5.5 2.5 15.5 38.75 86.75

2B -8 2.5 18.5 46.25 133

3 -10 2 21 42 175

4 -14 4 17.5 70 245


strato zbase (m) espesor (m) gamma(sat) kn/m3 gamma(unsat) kn/m3

porcion satura WT (m)

stratos reales y virtuales zbase (m) espesor (m) gamma kN/m3 sigma tot parcial (kpa) Sigma cumulado (kPa)

Desarrollo ejercicio 2 en un hoja de calculo (excel/libre office)1) Estructuraras datos de base2) Construcción modelo a estratos reales y virtuales

3) Calculo tensiones totales en forma simplificada

Se vea file: ejercicio2 - parte III.odsEn el material didáctico adicional



22/80

ejercicio 2: Grafico final

0 50 100 150 200 250 300

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Stress vertical

(total, neutro, eficaz)

u

Sigma tot

Sigma eff

vertical stress (kPa)

z(m)

Insaturo !!




5.17γ,20γ ==unsat sat

[1]

[2]

[3]

[4]

Z(m)

(kN/m3)



23/80

-0 -0 -0 0

-0.5 0 8 8

-1 0 16 16

-1.5 0 24 24

-2 0 32 32

-2.5 0 40 40

-3 0 48 48

-3.5 0 55.75 55.75

-4 0 63.5 63.5

-4.5 0 71.25 71.25

-5 0 79 79

-5.5 0 86.75 86.75

-6 4.905 96 91.095

-6.5 9.81 105.25 95.44

-7 14.715 114.5 99.785

-7.5 19.62 123.75 104.13

-8 24.525 133 108.475

-8.5 29.43 143.5 114.07

-9 34.335 154 119.665

-9.5 39.24 164.5 125.26

-10 44.145 175 130.855

-10 0 175 175

-10.5 0 183.75 183.75-11 0 192.5 192.5

-11.5 0 201.25 201.25

-12 0 210 210

-12.5 0 218.75 218.75

-13 0 227.5 227.5

-13.5 0 236.25 236.25

-14 0 245 245

Z (m) u (kPa) Sigma tot (kPa) Sigma eff (kPa)

ejercicio 2columnas decalculo



24/80

material audiovisual : http://www.youtube.com/watch?v=ySUr60U6jiM&feature=related

Sugerencias:

Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:• Withlow (1995) – capitulo 6- secciones 6.1• Das (2007) capitulo 6 secciones 6.1 y ejercicio 6.1


B) St d f ió

http://www.youtube.com/watch?v=ySUr60U6jiM&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=ySUr60U6jiM&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=ySUr60U6jiM&feature=related


25/80

B) Stress y deformación



26/80

Stress en elemento tri-dimensional (3D) en solidos



27/80

En condición de equilibrioLas parejas de stress tangenciales

deben ser equivalentes… (pero con signo cambiado )

Stress en elementobi-dimensional (2D)

Stress en elementotri-dimensional (3D)

3D 2D


Definiciones de Deformaciones normal y de corte (normal and shear strain)


28/80

Definiciones de Deformaciones normal y de corte (normal and shear strain)

Deformaciones normal(Linear strain): (adimensional)

Deformacion de corte

(Shear strain) : (en radianes )γ

ε



29/80

Shear modulus

o modulo dedeformación

por esfuerzohorizontal

Elastic modulus

o modulo dedeformacióno modulo deYoung’s

http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/basic/stiffness.htm

Definición de modulo de elasticidad y de deformación tangencial


http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/basic/stiffness.htmhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/basic/stiffness.htmhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/basic/stiffness.htm


30/80

Los dominios de stress vs. Strain• Region elastica• Region plastica• Roptura


El comportamiento de materiales


31/80

material audiovisual:http://www.youtube.com/watch?v=gsSYq8x6oyU&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=NILdk-fBPxA&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=1tOkD1ZtSWw&feature=BFa&list=PLEFC5B3FC6D0EF866&lf=results_video

pen términos de stress y strain sepuede poner en forma grafica…

Elastic modulus

o modulo dedeformacióno modulo de Young’s


http://www.youtube.com/watch?v=gsSYq8x6oyU&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=gsSYq8x6oyU&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=NILdk-fBPxA&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=NILdk-fBPxA&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=1tOkD1ZtSWw&feature=BFa&list=PLEFC5B3FC6D0EF866&lf=results_videohttp://www.youtube.com/watch?v=1tOkD1ZtSWw&feature=BFa&list=PLEFC5B3FC6D0EF866&lf=results_videohttp://www.youtube.com/watch?v=1tOkD1ZtSWw&feature=BFa&list=PLEFC5B3FC6D0EF866&lf=results_videohttp://www.youtube.com/watch?v=NILdk-fBPxA&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=gsSYq8x6oyU&feature=related


32/80

Definición dePoisson’s ratio



33/80



34/80

Incrementomodulo deelasticidadDebido a un

incremento de lapendiente deLa porción inicial

Caso ideal de unconcreto


Modulo elástico y coeficiente de


35/80

Modulo elástico y coeficiente dePoisson’s de varios tipos de suelos

Nota:1x103 kN/m2=1 MPa


Modulo elástico estatico y


36/80

Modulo elástico estatico ycoeficiente de Poisson’s porvarios tipos de rocas ..



37/80

Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:• Withlow (1995) – capitulo 6- secciones 6.1 ,6.2,6.3


38/80

C) Distribución de tensiones en el

terreno bajo de áreas cargadas


Tensión debida a una carga


39/80

gpuntual en un semi-espacioElástico.(teoria de BUSSINESQ)

P =carga puntual (dimensiónde una presión)Z,r,L: parámetros geométricospara posicionar el punto, oelemento, adonde se necesitacalcular la tensión adicional

(delta sigma) inducida da lacarga P.

Nota: en este caso se usa un sistema decoordenadas coordinada cartesianas XYZ


En el caso de áreas cargadas uniformemente se necesita una integración de la


40/80

solución de Bussinesq (integral de superficie de la solución puntual )

Ejemplo de solución por una área rectangular:

q = presión uniforme

L,B= lados del rectángulo


Solución de Newmark


41/80

Solución de Newmark( por áreas rectangular cargada uniformemente)

Incremento de tensión vertical

Factores de escala (adimensionales)

Coeficiente de influencia que depende dafactores geométricos


S l ió d N k


42/80

Solución de Newmark(carta de Fadum, 1948)

Solución aproximada porEsquina de un área cargadaUniformemente carta de Fadum.Nota: esto coeficiente incluyeya el divisor 4 p

Dz=q x I Fadum)

I

Fadum) I Newmark) /4 p


S l i Á i l d


43/80

Solucion Área circular cargadauniformemente


Bulbo de presión bajo superficies uniformemente cargadas


44/80

Area Rectangularcon lado L infinito

(area circular )


Principio de superposición (Ejemplo aplicado a área rectangular cargada


45/80

uniformemente)

[1][2]

[3][4]

z

4321 ΔσΔσΔσΔσΔσ

z z z z z

L1 L2

L2=L3L1=L4

B3

B3=B4

B1=B2B1

En cualquier punto

interno se suman los

efectos a la esquina de 4

rectángulos cargados

uniformemente



46/80

Principio de superposición:Presión inducida bajo de Terrapleno con sección trapecio o triangular

q1

= Δσ

n I q I q I q n z σσ2σ1 ....Δσ 21 +++=

q2

q3

q4q5

Z

i

I σ

Cada depende de la geometría de carga de cada sub-elemento



47/80

Principio de superposiciónOtro ejemplo : efecto de carga concentrada a lado de una excavación con barrerade contención



48/80

Métodos aproximados (Poulos y Davis 1974) para evaluar la presiónadicional al centro de un área con una carga distribuida:

B

Zf

Zapatas circular

Zf

B

L

Zapatas rectangular



49/80

Métodos aproximados llamado 1:2 , para evaluar la presiónadicional al centro de un área con una carga distribuida :

Los métodos aproximadodan una solución con unerror Promedio de 5%respecto a la solucione deBussinesq-Newmark


Esercicio 3 - Ejemplo de aplicación: comparación de métodos


50/80

Stress vertical inducido da una área uniforme cargada uniformemente de q=200 kPa.El área tiene lados B=4 m y L=7 m. calcular el stress adicional a laprofundidad de 5 m debajo el centro del área cargada.

Z=5 m

B=4m

L=7mComparar 3 métodos1) Método de newmark-fadum2) Método de poulos y davis (1974)

3) Método 1:2

q

q

q

q


Método de newmark-fadum


51/80

1)Se subdivide el área cargada en 4 rectángulos iguales de lado B=2m y L=3.5m

2)Se calculan los factores m y n relativos a la profundidad Z=5m y con B=2m , L=3.5m

Z=5 m

L=3.5 m

B=2mm=L/z=3.5/5=0.7

n= B/z=2/5=0.4

Con los valores (m,n)= (0.7,0.4)Se deriva el valore I=0.09 en la carta deFadum.Ósea a 5 m tenemos en profundidad un 9%adicional a la presión normal, debido ala carga uniforme q en superficie.

Aplicando el principio de superposición al centrodel área cargada se tiene que considerar elacción combinada de los 4 rectángulos chiquitoy iguales. Entonces el factor de influencia final

es Ifadum =4 X 0.09=0.36 (nota que esto

coeficiente incluye ya el divisor 4 p)

Se obtiene al fin a z=5 m

Dz=q x I 200x0.36=72 (kPa )

q

q

q

q


Uso de carta


52/80

Uso de cartade Fadum, (1948)

D

z=q x I Fadum)

0.7m=0.7n=0.4

I Fadum)0.09


Mé d i d (P l D i 1974)


53/80

Métodos aproximados (Poulos y Davis 1974)

Zf

B

L

Zapatas rectangularSe obtiene al fin a z=5 m

Dz=q X I200 x 0.326 65 kpa

Con las constantes a=2.1212b=1.7334

Con el metodo 1:2

Se obtiene al fin a z=5 m

Dz=q X I200 x 0.283 56.56 kpa

q



54/80

Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:

• Das (2007) capitulo 6 secciones 6.6,6.11 y 6.12 -ejercicios 6.7 y 6.20


D) stress en cualquier plano


55/80

D) stress en cualquier plano

z

y

y’

z’

' y

' yz

' z

' zy

' yz

' zy

' z

' y

90



56/80

Concepto de stress-1 Stress UNIAXIAL


57/80

p

stress normalal plano PQ

Fuerza normalal plano PR

Fuerza tangencia

al plano PR

Ensayo cilíndricocon compresiónuniaxial


Concepto de stress-2 Stress UNIAXIAL


58/80

pstress tangencialy normal a plano

orientado de

cualquier Angulotheta

Variación de sigmaN y Tau en un ensayo cilíndrico porCualquier ángulo theta

Cual es el ángulocon max Tau y max SigmaN?


Concepto de stress-3 Stress BIAXIAL


59/80

pStress biaxial en una plataformaRectangular y stress en su elemento


Concepto de stress-4 Stress BIAXIAL


60/80

p

stress tangencial y normal a plano orientado de cualquier Angulo theta


Concepto de stress-5 Stress BIAXIAL generalizado


61/80

p




62/80

pConvenciones en geo-mecanica !

Nota importante:In geotecnia la convención de los signos

se usa una manera diferente queen otras área de mecánica de losmateriales (donde los si gnos soninvertidos).

1) tensiones normales compresivas son

positivos Y tensiones normales detracción son negativo.

2) Orientación shear stress (Tau) sigue lala regula siguiente:

Orientacion Anti-clockwise

-+Orientacion clockwise

En condicionde equilibiro




63/80

p

stress tangencial y normal a plano orientado de cualquier Angulo theta




64/80

p

shear stress máximo en un planoorientado según este ángulo:

0 si 45

0 si 2

arctan2

1

max

max

τ

τ

yz

yz

yz

z y

θ

θ


E i i 4


65/80

agua

-35°

2m

3m

2.5m

g =19 kN/m3

g=21 kN/m3k0=0.6

k0=0.6

Exercicio 4Calcular los stress sigmaV, sigmaH, sigmaN et tau en el punto A, enun plano a -35° como en el dibujo.

A

En el punto A …

sigmaV = 9.81*3+19*2+21*2.5=29.4+38+52.5=119.9 (kPa) (presion vertical)

sigmaH = 0.6 * 119.9=71.9 (kPa) (presion horizontal)

Con tauZY=0 (kPa)SigmaN ?

Tau?

[1]

[2]

[w]



66/80

Esfuerzo normal y e tangencialA un plano orientado con sigmaOrientada de un Angulo teta respectoA la horizontal

Nuestro caso:

SigmaZ=SigmaVSigmaY=SigmaH

-35°

35°

55°

Sigma N

tau

Sigma 1=sigmaV

Sigma 3=sigmaH

el plano hace -35 grados respecto a el eje horizontal y sigma NEs orientada a 55° al mismo eje horizontal

Con tauZY=0 (kPa)



67/80

= [119.9*0.671 + 71.9*0.329 ] = 104.1 kPa

= [-24* -0.9397 ] = 22.6 kPa

-35°

35°

55°

Sigma N = 104.1 kPa

Tau 22.6 kPa

sigmaV=119.9

sigmaH =71.9

Con tauZY=0 (kPa)



68/80

Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:• Parry (2002) – capitulo 1- secciones 1.1, 1.2 y 1.3


E) Círculos de Mohr


69/80

E) Círculos de Mohr

2

21

2min

1max

p 2

zy z ,

max

zy y ,

2

,n

Circulo demohrStress

principales,normales ytangencialesy maximos


12 yz

Circulo de MohrEj l di i d

Centro y rayo del circulo de stress plano


70/80

22

12

y z

medio

2

2

2max zy

y z r

Ejemplo en condiciones destress plano. Parámetros

circulo de Mohr

El circulo de Mohr permiten derepresentare y calcular gráficamente todasla condiciones de stress en un punto y encualquier plano

0n

0


Zoom del anterior…..


71/80


Determinación de orientación(ángulo ThetaP) de los

Cuando xy es diverso da0 l t i i l


72/80

2

2

2,122

zy

y z y z

2arctan

2

1

y z

zy

pθ

stress principales(máximo y mínimo )

0 los stresses principalesnon son perfectamenteverticales y horizontales.En esto caso los estress

indicados como 1 y 2tienen una orientaciónthetap con la vertical.

z

Y

y’

z’

1

1

2

p

p

2



73/80

2

21

2min

1max

p 2

zy z

,

max

zy y ,

2

,n

Circulo demohrStressprincipales,normales ytangenciales ymaximos


2

Shear stress


74/80

45

0 si 45

0 si 2

arctan2

1

max

max

max

τ

τ

τ

p

xy

zy

zy

y z

θ θ

z θ

θ

Angulo Theta donde hay el shear

stress máximo y su relación con

ThetaP

22

212

max

zy

y z maximo y su orientacion ,cuando xy es diverso da 0


Exercicio 4

Recuerdo el ejemplo de el ejercicio 4…


75/80

agua

-35°

2m

3m

2.5m

g =19 kN/m3

g=21 kN/m3k=0.6

k=0.6

Exercicio 4Calcular los stress sigmaV, sigmaH, sigmaN et tau en el punto enun plano a -35° como en el dibujo. Pero con TauZY=30 kPa

A

En el punto A …

sigmaV = 29.4+38+52.5=119.9 kPa

sigmaH = 0.6 * 119.9=71.9 kPa

tauZY=30 kPaSigmaN ?

Tau?



76/80

= [119.9*0.671 + 71.9*0.329+(30*-0.93) ] = 76.2 kPa

= [ -24* -0.9397 + 30*0.34] = 32.8 kPa

-35°

35°

55°

Sigma N = 76.2 kPa

Tau 32.8 kPa

sigmaV=119.9

sigmaH =71.9

TauZY =30


zz’


77/80

2sin2cos22

' zy

y z y z

z

Determinación de estrés en uncualquier plano rotado de unángulo teta

y

y’

' y

' yz

' z

' zy

' yz

' zy

' z

' y

90

2sin2cos22

' zy

y z y z

y

2cos2sin2

' zy y z

zy


Circulo de Mohr para el stress eficaz : el stress eficaz se calculasolamente para los stress principales y los stress normales pero no para el shear stress


78/80

p p p y p p

'

2'

'

2

11

u

u

2 '

2

Entonces la corrección debida a la presión neutra hace que semueva a la izquierda todo el circulo



79/80

http://www.t

ecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html#online

http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html#onlinehttp://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html#onlinehttp://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html#online


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Ejecutable Java software (.JRE)Circulo de Mohr con convenciones de ingenieríamecánica (importante…para aplicaciones geomecanicases necesario invertir los signos!!!)

geotecnia 1 parte iii

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