MEKANIKA 1

GERAK ROTASI BENDA TEGAR KECEPATAN DAN PERCEPATAN SUDUT Partikel bergerak dari = 0 radian ke titik P dan menempuh lintasan

sejauh panjang busur s, dimana : s = r ---> = s/r Besaran dalam radian ( 2 rad = 3600 , atau 1 rad 57,30 )

Kecepatan sudut rata-rata partikel :

Kecepatan sudut sesaat :

_ 2 - 1 = --------- = ----- t2 - t1 t

= lim /t = d/dt t ← 0

P(t1)

Q(t2)

x

y

o

sr

MEKANIKA 2

Jika kecepatan sudut sesaat benda berubah dari 1 ke 2 dalam

selang waktu t Percepatan sudut rata-rata :

Percepatan sudut sesaat :

Catatan : Rotasi benda tegar pada sumbu tetap, setiap titik pada benda

mempunyai kecepatan sudut sama dan percepatan sudut yang sama.

Arah dicari dengan aturan arah maju skrup putar kanan, sedangkan arah sama dengan arah d/dt yang sama dengan bila dipercepat dan berlawanan dengan arah bila diperlambat.

_ 2 - 1 = --------- = ----- t2 - t1 t

= lim /t = d/dt t → 0

MEKANIKA 3

Gerak Rotasi dengan percepatan sudut tetap Persamaan gerak rotasi

Persamaan gerak rotasi bersesuaian dengan gerak translasi = o + t

= o + o t + ½ t2

2 = o2

+ 2 ( - o ) Hubungan kinematika linier dan kinematika rotasi dari partikel yang

bergerak melingkar s = r v = ds/dt = d/dt . r = r at = dv/dt = d/dt . r = r ; percepatan tangensial ar = v2/r = 2 r ; percepatan radial (sentripetal)Kecepatan total partikel : a = ar

2 + at

2

at

ar

a

MEKANIKA 4

Torsi Dan Momentum Sudut Pada Sebuah Partikel Torsi (momen gaya) oleh gaya F pada sebuah partikel

= r x FBesar Torsi : = r F sin atau = r (F sin ) = r F ; dan = F (r sin ) = F r dimana :

F = komponen F yang tegak lurus rr = komponen r yang tegak lurus F

Momentum sudut :I = r x p, dimana p = mvI = r p sin

Diturunkan : dl/dt = d(rxp)/dt = (r x dp/dt)+(dr/dt x p) = (r x F) + (v x mv)diperoleh : dI/dt = → Laju perubahan momentum sudut terhadap waktu

sebesar torsi yang bekerja pada partikel tersebut

F F sin

x

y

r sin

r

y p

p sin

x

r sin

r

MEKANIKA 5

Energi Kinetik Rotasi Dan Kelembaman Rotasi

Sebuah benda melakukan gerak rotasi pada sumbu tetap. Bila ada n partikel pada benda, maka energi kinetik total partikel adalah :K = ½ m1v1

2 + ½ m2v2

2 + ……..+ ½ mnvn2

Karena v = r, maka

K = ½ m1 2r12

+ ½ m2 2r12 + ……..+ ½ mn 2rn

2

K = ½ ( mi ri2) 2

Energi Kinetik rotasi benda :K = ½ I 2

dimana I = mi ri

2 adalah momen kelembaman rotasi atau momen inersia sistem partikel tersebutUntuk benda-benda kontinu : I = r2 dm

rdm

MEKANIKA 6

MOMEN INERSIA BEBERAPA BENDA

NO BENTUK MOMEN INERSIA KETERANGAN

1. batang homogen I0 = 1/12 ML2 sumbu tegak lurus batang2. Silinder pejal I0 = 1/2 MR2 Sumbu = sumbu silinder3. Silinder berongga I0 = 1/2 M(R1

2+R22) Sumbu = sumbu

silinder4. Bola pejal I0 = 2/5 MR2 Sumbu tetap

CATATAN :Jika sumbu rotasi berjarak d dari pusat massa maka :

SOAL : 1. Tentukan momen Inersia batang homogen jika sumbunya di ujung batang !2. Tentukan momen Inersia silinder tipis ?

I = I0 + m d2

MEKANIKA 7

Dinamika Rotasi Benda TegarSebuah gaya F bekerja pada partikel di titik P yang berotasi pada sumbu-z. Torsi yang bekerja pada partikel adalah : = r x FSetelah selang waktu dt partikel berputar menempuh sudut d sejarak ds, dimana ds = r d

Usaha yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini adalahdw = F . dsdw = F cos dsdw = F cos (r d )dw = d

Daya (P) atau laju usaha yang dilakukan adalahdw/dt = d/dt

P = Pada benda tegar tidak ada disipasi energi, sehinggalaju usaha yang dilakukan sama dengan laju pertam-bahan energi kinetik rotasi

dw/dt = dK/dt = d(½ I 2)/dt = ½ I d2/dt = I d/dt = I ---> = I

PF

MEKANIKA 8

GERAK MENGGELINDING

Suatu benda disebut menggelinding murni jika X = R θ. Gerak rotasi merupakan gabungan dari gerak translasi dan rotasi. Dengan demikian pada setiap gerak rotasi berlaku hukum II Newton

untuk translasi : ∑F = m auntuk rotasi : ∑τ = I αdengan : a = R α

Pada benda yang menggelinding bebas, berlaku hukum kekekalan energi mekanik, dengan energi kinetik merupakan jumlah dari energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi : Ek = ½mv2 + ½ I ω2

Dengan demikian energi mekanik benda yang menggelinding :Em = mgh + ½mv2 + ½ I ω2

MEKANIKA 9

RESUME GERAK ROTASI

TRANSLASI ROTASIKETERANGAN

Posisi (X) Posisi sudut (θ) X = R θKecepatan v = dX/dt Kec.sudut ω = dθ/dt v = R ωPercepatan a = dv/dt perc. Sudut α = dω/dt a = R αv = v0 + at ω = ω0 + α t GRBBx = x0 + v0 t +½ at2 θ = θ 0 + ω0 t +½ αt2 GRBBv2 = v0

2 + 2 a ∆x ω2 = ω02 + 2 α ∆θ GRBB

Massa (m) Momen Inersia I = ∫r2 dm =∑mr2

Gaya (F) Momen Gaya (τ) τ = r x FHk.2 Newton : a=F/m Hukum-2 Newton α = τ/IMomentum p = mv Momentum sudut L = I ωEk-translasi = ½mv2 Ek-rotasi = ½Iω2

MEKANIKA 10

CONTOH SOAL 1. Sebuah silider yang jejarinya 20 cm menggelinding di atas lantai horisontal.

Semula kecepatan sudut pusat silinder tersebut 4 rad/s. Silinder bergerak diperlambat beraturan hingga berhenti setelah berputar 10 kali. Berapakah perlambatan sudut perputaram silinder tersebut ?

2. Dua buah katrol yang jejarinya berbedadihubungkan melalui sabuk seperti terlihatpada gambar disamping ini. Jika jejarikatrol pertama dua kali jejari katrol kedua,Tuliskan hubungan θ(t), dan ω(t) antara kedua katrol tersebut ?

3. Dalam waktu 2 detik, kecepatan sudut suatu benda yang bewrotasi beraturan berubah dari 1 rad/s menjadi 2 rad/s. Berapa sudut pusat yang ditempuh selama itu ?

MEKANIKA 11

4. Titik tangkap sebuah gaya berada pada koordinat (2,1). Sedangkan ujungnya pada (6,4). Jika setiap skala menyatakan gaya 100N atau jarak 1 cm, tentukan torsi gaya tersebut terhadap sebuah titik pada koordinat (4,0) ?

5. Sebuah batang rapat massanya terdistribusi sebagai ρ(x) = x + 0,5 x2 (kg/m), dengan x bernilai antara 0 dan 2. Tentukan :a. dimanakah pusat massanya ?b. momen Inersia batang tersebut jika diputar dengan sumbu di 0 !c. momen Inersia batang jika diputar dengan sumbu melalui pusat massa !

6. Sebuah silinder pejal yang massanya 2 kg menggelinding dengan kecepatan 4 m/s. Berapakah energi kinetik silinder tersebut ?

7. Sebuah silinder tipis dilepaskan dari puncak bidang miring yang tingginya h. Jika silinder menggelinding murni sepanjang bidang miring, berapakah kecepatan silinder tersebut ketika mencapai dasar bidang miring ?

8. Sebuah yoyo ditarik dengan gaya F horiontal melalui porosnya. Berapakah percepatannya jika yoyo menggelinding di atas lantai horisontal ?

MEKANIKA 12

Keseimbangan Benda Tegar Dan Elastisitas1. Benda TegarBenda yang tidak mengalami perubahan bentuk bila gaya dikerjakan pada benda tersebut, dinamakan benda tegar

2. Keseimbangan Benda TegarBenda tegar akan mengalami keseimbangan mekanis, apabila :- Percepatan linier pusat massa sama dengan nol ( apm = 0)- Percepatan sudut sama dengan nol ( = 0)Benda dalam keseimbangan statik, bila - Kecepatan pusat massa sama dengan nol ( vpm = 0)- Kecepatan sudut sama dengan nol ( = 0)

F

MEKANIKA 13

Untuk apm = 0, maka gaya eksternal Feks = 0Gaya-gaya yang bekerja dalam 3 dimensi :

F1x + F2x + F3x +……….+ Fnx = Fx = 0F1y + F2y + F3y +……….+ Fny = Fy = 0F1z + F2z + F3z +……….+ Fnz = Fz = 0

Untuk = 0, maka eks = 0

1x + 2x + 3x +……….+ nx = x = 01y + 2y + 3y +……….+ ny = y = 01z + 2z + 3z +……….+ nz = z = 0

Torsi pada titik sembarang O´ adalah samaO = (r1 x F1) + (r2 x F2) +…..+ (rn x Fn)O´ = (r1 - r´ )x F1 + (r2 - r´ )x F2 +…..+ (rn - r´ )x Fn

O´ = {(r1 x F1) + (r2 x F2) +…..+ (rn x Fn)} - {r´ x (F1 + F2 +…..+ Fn)}Jika sistem dalam keseimbangan, F = 0

∑ O´ = 0.

MEKANIKA 14

CONTOH SOAL1. Sebuah beban 200 N digantung melalui

tali seperti pada gambar. Tentukan tegangan pada setiap penggal tali !

2. Balok homogen disandarkan pada tembok.Berapakah sudut antara tangga denganlantai saat balok mulai tergelincir, jika :a. tembok licin, lantai kasar dengan μ = 0,4b. tembok dan lantai kasar dengan μ = 0,4

3. Sebuah papan massanya 100 N berukuran 120 cm(mendatar) dan 90 cm (vertikal). Papan tersebut digantungpan di dinding licin seperti pada gambar.Jika pada sudut kanan atas diletakkan benda yangberatnya 10 N, berapa sudut kemiringannya ?

37o

o

90 cm

120 cm

MEKANIKA 15

3. ElastisitasSesungguhnya benda mengalami perubahan bentuk saat mendapatkan gaya. Bentuk perubahan antara lain disebabkan oleh tekanan dan regangan.

Tekanan

Jika batang dalam keadaan tertarik dengan gaya F yang sama pada kedua sisi, maka pada irisan terdapat tarikan dengan gaya F yang merata pada penampang irisan. Tegangan di irisan dapat didefinisikan sebagai perbandingan antara gaya F dengan luas penampang A,

Tegangan : S = F / A [ satuan S : N/m2 = Pascal]

Jadi gaya pada balok mengarah ke luar, tegangannya disebut Tegangan Tarik.

F FF FF F

FF

FF

MEKANIKA 16

Bila irisan dibuat sembarang, maka gaya dapat diuraikan menjadi dua komponen

Tegangan Normal = F / A’Tegangan Geser (Tangensial) = F// / A’

Bila gaya pada balok mengarah ke balok, maka tegangan disebut Tegangan Tekan

ReganganBila balok mengalami tegangan tarik, maka balok juga mengalami regangan.

L - Lo LRegangan Tarik = ——— = ——

Lo Lo Regangan Geser = x / h = tan ( x << h )

F F

F//

F

Lo

L

L

h

x

MEKANIKA 17

Elastisitas

Perbandingan antara tegangan dan regangan disebut Modulus Elastik bahanTegangan Tarik Tegangan Tekan

Modulus Young : Y = ——————— = ———————Regangan Tarik Regangan Tekan

F / A’ = ———

L / Lo

Tegangan Geser F// / A’ Modulus Geser : S = ——————— = ———

Regangan Geser x / h dp dp

Modulud Bulk : B = - —— = - Vo —— dV/Vo dV

Kompresibilitas : k = 1 / B

MEKANIKA 18

CONTOH SOAL

1. Apakah satuan dari Modulus Young, Modulus Bulk, Modulus Geser, dan Kompresibilitas.

2. Sepotong kawat yang panjangnya 120 cm diameternya 2 mm. Jika kawat tersebut ditarik dengan gaya 100 N akan bertambah panjang 1 cm. Tentukan a. Tegangan pada kawat tersebut !b. Regangan pada kawat tersebut !c. Modulus elastisitas bahan kawat tersebut !

3. Dua buah kawat yang panjangnya sama diameternya berbanding 1 : 2. Jika kedua kawat ditarik dengan gaya yag sama, ternyata pertambahan panjangnyapun sama. Berapakah perbandingan modulus Young kedua kawat tersebut ?