gestione della produzione e della supply ... - dii.unisi.itdetti/gestscorte2.pdf · nella pratica...

Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione

Università di Siena

Gestione della produzione e della supply chain

Logistica distributiva

Programmazionedellaproduzioneeges1onedellescorte:Pianificazionealungo

termine

Il modello del lotto economico (EOQ) si basa sulle seguenti assunzioni: •  tasso della domanda noto e costante nel tempo (ad es. unità vendute all’anno) •  Ogni prodotto indipendente dagli altri •  Gestione continuos review •  Lead time noti e costanti •  Capacità del magazzino infinita

Programmazionedellaproduzioneeges1onedellescorte:Pianificazionealungotermine

Nella pratica la domanda ed i costi di produzione e/o approvvigionamento e di immagazzinamento possono essere soggetti a fluttuazioni stagionali, o ad oscillazioni dovute all’imprevedibilità del mercato.



DescrizionedelproblemaUn’azienda produce palloni da calcio, e vuole decidere per i prossimi sei mesiquan1palloniprodurreognimese.Da1Ladomandaprevistaeicos1diproduzioneperiprossimiseimesisono:

Ilmassimonumerodipallonichepuòessereprodo@oinunmeseè30000.Ilcostodistoccaggioedilcostodi immobilizzodelcapitale,perunitàdiprodo@o,allafinediognimeseèdatodal5%(s1ma)delcostodiproduzione.Ilmagazzinohaunacapacitàmassimadi10000palloni,[email protected]’aziendavuoledeciderequan1palloniprodurreognimese,inmododasoddisfareladomandaeminimizzareicos1diproduzioneedimagazzino.

Mese 1 2 3 4 5 6Domanda prevista (migliaia) 10 15 30 35 25 10Costo unitario di produzione 12,5 12,55 12,7 12,8 12,85 12,95

UnaformulazionediProgrammazioneLineare

Definizionedellevariabili:

• Pinumerodipalloniconfeziona1nelmesei,i=1,…,6• Iipallonigiacen1inmagazzinoallafinedelmesei,i=1,…,6

FunzioneobieOvo:

( )

( )∑=

+

=+++++

++++++

6

1

654321

654321

05,0min

95,1258,128,127,1255,125,1205,095,1258,128,127,1255,125,12min

iiiii IcPc

IIIIIIPPPPPP

Mese 1 2 3 4 5 6Domanda prevista (migliaia) 10 15 30 35 25 10Costo unitario di produzione 12,5 12,55 12,7 12,8 12,85 12,95

VincolisullacapacitàproduOvaedistoccaggio:

6,...,1 100006,...,1 30000

=≤

=≤

iIiP

i

i

Lowerboundsullevariabili:

1,...,6i 0, =≥ii IP

Vincolisulladomandaneiseimesiconsidera1:

6,...,1 1 =+=+− iIDPI iiii

1

P1

D1=10000

I16

P6

D6=10000

I52

P2

D2=15000

I2I0=5000

30000 )3 15000 )2

500010000 )1

332

221

011

=−+

=−+

=−=−

IPIIPI

IIP

10000 )6 25000 )5 35000 )4

665

554

443

=−+

=−+

=−+

IPIIPIIPI

Formulazionecomplessiva:

( )

1,...,6i 0,6,...,1 100006,...,1 30000 10000 )6 25000 )5 35000 )4 30000 )3 15000 )2

5000 )1to subject

95,1258,128,127,1255,125,1205,095,1258,128,127,1255,125,12min

665

554

443

332

221

11

654321

654321

=≥

=≤

=≤

=−+

=−+

=−+

=−+

=−+

=−

+++++

++++++

ii

i

i

IPiIiP

IPIIPIIPIIPIIPI

IP

IIIIIIPPPPPP


Il problema della programmazione della produzione e delle scorte (Lot Sizing) nasce dalla necessità di contemperare a due esigenze contrastanti: minimizzare i costi fissi di produzione ed i costi di immagazzinamento. •  I primi sono costi indipendenti dall'entità della produzione

stessa (costi necessari all'attrezzaggio, alla riconfigurazione, ed all'accensione delle macchine) e devono essere sostenuti ogni volta che si attiva la produzione.

•  I costi di immagazzinamento sono legati all’immobilzzo del capitale: il materiale presente in produzione (materiale grezzo, semilavorati, prodotti finiti) non produce profitto prima del momento in cui è venduto (capitale immobilizzato).


Nella pra1ca esistono una serie di vantaggi che gius1ficanol’immobilizzodiquotedicapitalea@raversolacreazionediscorte:•  Avvalersi di economie di scala (aumentando i volumi produttivi o le quantità ordinate ai fornitori diminuisce il costo marginale) •  L’aumento dei volumi produttivi riduce l’incidenza dei costi fissi di produzione •  Le scorte disaccoppiano le diverse fasi di produzione


ConsideriamounorizzontetemporalesuddivisoinTperiodit=1,…,TCos1diproduzioneedistoccaggio:•  costo fisso di produzione nel periodo t: st •  costo variabile di produzione nel periodo t (funzione della quantità prodotta xt nel periodo): qt(xt) •  costo fisso di stoccaggio nel periodo t: ht •  costo variabile di stoccaggio nel periodo t (funzione della quantità in magazzino It nel periodo): ct(It)

Domandavariabileneltempo:Supponiamonotaladomandadt inogniperiodot,cont=1,…,T


Costi variabili •  costo variabile di produzione : qt(x) •  costo variabile di stoccaggio: ct(I) Le funzioni qt(x) e ct(I) si assumono concave (diminuzione del costo marginale all’aumentare delle quantità prodotte o immagazzinate)

I,x

q t(x

),ct(I

)

Pianificazionealungotermineeges1onedellescorte:ilmodellodiWagnerWhi1n

•  E’ unmodello dinamico per la ges1one del magazzino nel caso didomandavariabileneltempo• ConsentedideterminareladimensionedeiloOdiproduzioneinogniperiodoprodu3vo(Lotsizing)• Siconsideraunsingoloprodo@o• SiassumeunacapacitàproduOvaedi immagazzinamentoinfinita inogniperiodo

Siindichicon:• ItIllivellodimagazzinoallafinedelperiodot• xtlaquan1tàprodo@aduranteilperiodotRicordandochedtèladomandanelperiodotSihalaseguenterelazione:

It=It-1+xt-dt

Programmazionedellaproduzioneeges1onedellescorte:unaformulazionediProgrammazioneMatema1ca

dt

xt

It=It-1+xt-dt

tItIt-1


It=It-1+xt-dt

1

x1

d1

I1T

xT

dT

IT-12

x2

d2

I2


⎩⎨⎧

=

>=

0 per 00 per 1

)(t

tt x

xxδ

Costofissodiproduzione:(presentesoloseproducoint)

stδ(xt )+htδ(It )( )t=1

T

∑

)( tt xs δCos1fissodiimmagazzinamento:(presentesolosehomagazzinoint)Dove

e

)( tt Ih δ

CostofissototalesutuOiperiodi:

⎩⎨⎧

=

>=

0 per 00 per 1

)(t

tt I

IIδ


Costi fissi

Costovariabilediproduzione:

( ) ( )( )∑=

+++T

ttttttttt IcIhxqxs

1)()()()( δδ

qt (xt )

Costovariabilediimmagazzinamento:

ct(It )

Costofissoevariabiletotalesutu9iperiodi:


Costi variabili

( ) ( )( )∑=

+++T

ttttttttt IcIhxqxs

1)()()()( δδ

Costototalesutu9iperiodi:


Il problema decisionale: determinare quando e quanto produrre inmododasoddisfareladomandadiogniperiodoeminimizzareilcostototale.

ObieOvodaoOmizzare:• minimizzazionedeicos1diimmagazzinamentoediproduzione

( ) ( )( )∑=

+++T

ttttttttt IcIhxqxs

1)()()()(min δδ


( ) ( )( )∑=

+++T

ttttttttt IcIhxqxs

1)()()()(min δδ

FunzioneobieOvo:

Vincolidibilanciamentodeimateriali:

)0 e 0 con(,...,1 01 ===−+= − Ttttt IITtdxII

Vincolidinonnega1vità:

1,...,1 0,...,1 0

−=≥

=≥

TtITtx

t

t


( ) ( )( )

1,...,1 0,...,1 0

01,...,2

)()()()(min

1

1

111

1

−=≥

=≥

−+=

−=−+=

−=

+++

−

−

=∑

TtITtxdxI

TtdxIIdxI

IcIhxqxs

t

t

TTT

tttt

T

ttttttttt δδ


Stru@uradellesoluzionioOme

1,...,1 0,...,1 0

01,...,2

1

1

111

−=≥

=≥−+=

−=−+=

−=

=−

−

TtITtxdxI

TtdxIIdxI

P

t

t

TTT

tttt

IlpoliedroPèunpolitopo(poliedrolimitato).InfaO,sommandoivincolidiuguaglianzasioOene:

Chevincolalexadassumerevalorifini1.

∑∑==

=T

tt

T

tt xd

11

( ) ( )( )

PIx

IcIhxqxsT

ttttttttt

∈

+++∑=

,

)()()()(min1

δδ

Stru@uradellesoluzionioOmeValeilseguenterisultatoTeoremaSeilproblemaamme@e una soluzione oOma, esiste una soluzione oOma che èanchever1cedelpoliedroP.

( ) ( )( )

PIx

IcIhxqxsT

ttttttttt

∈

+++∑=

,

)()()()(min1

δδ

Stru@uradellesoluzionioOmeValeilseguenterisultatoTeoremaSeilproblemaamme@e una soluzione oOma, esiste una soluzione oOma che èanchever1cedelpoliedroP.Datocheilproblemaèinformastandard:per il teorema precedente esiste una soluzione di Base (checorrispondeadunver1ce)oOma.

0

)(min

≥

=

ybAyyf

Stru@uradellesoluzionioOme( ) ( )( )

1,...,1 0,...,1 0

1,...,2

)()()()(min

1

1

111

1

−=≥

=≥

=+

−==−+

=−

+++

−

−

=∑

TtITtx

dxITtdIxI

dIx

IcIhxqxs

t

t

TTT

tttt

T

ttttttttt δδ

Lamatricedeicoefficien1dei vincolidibilanciamentohadimensioneT*(2T-1):unabasedellamatriceèquindiunamatriceT*T.Inognisoluzioneammissibiledibase(=ver1cediP),TvariabilisonoinbaseeT-1fuoribase.LeT-1variabilifuoribasesono0inognisoluzioneammissibiledibase.

Stru@uradellesoluzionioOmePoichédeveessere:almenounadelle variabilixt , It-1 deveesserediversada0perognit=2,…,T.Poiché in ogni soluzione ammissibile di base almeno T-1 variabilidevonoesserea0,siha:ProprietàEsa@amenteunadellevariabili (xt , It-1)deveesserediversada0perogniperiodot=2,…,T.

TtdxIdx

ttt ,...,2 00

1

11

=>≥+

>≥

−

Stru@uradellesoluzionioOmeProprietàInogni soluzioneammissibiledi baseesa@amenteunadelle variabili(xt,It-1)deveesserediversada0perogniperiodot=2,…,T.Lasoluzioneo9madelproblemaèdaricercarsinellesoluzioniincui:• x1>0•  in ogni periodo t=2,…,T, esa@amente una delle variabili xt e It-1 èdiversada0

Stru@uradellesoluzionioOmeProprietàInogni soluzioneammissibiledi baseesa@amenteunadelle variabili(xt,It-1)deveesserediversada0perogniperiodot=2,…,T.Lasoluzioneo9madelproblemaèdaricercarsinellesoluzioniincui:• x1>0•  in ogni periodo t=2,…,T, esa@amente una delle variabili xt e It-1 èdiversada0

Nella soluzione ammissibile di base o9ma, la domanda in ogniperiodo t deve essere soddisfaDa o solo dalla produzione oppuresolodalmagazzino.


∑+

=

=τt

tkkt dx

LaproprietàprecedenteimplicacheinunasoluzioneoOmalequan1tàprodo@esonosolodellaforma

Esempio: si consideri un problema con T=3 e le rela1vedomanded1d2d3Lepossibilisoluzionidibasesono:

;0,0,);0,,);,0,)

;,,)

323211

332211

332211

332211

==++=

=+==

==+=

===

xxdddxdxddxdxc

dxxddxbdxdxdxa

x1 = d1,x2 = d2 +d3,x3 = 0I1 = 0,I2 = d3

x1

d1

x2

d2 d3

Il problema di determinare il dimensionamento dei loOdiproduzione (lot sizing) equivale ad individuare quali sono iperiodiproduOvi(xt>0)

1I1

2I2

3


UnalgoritmoperilcalcolodellasoluzioneoOma:ilmetododiWagnerWhi1n

Definiamocon

M(j,k)il costo di produzione e di immagazzinamento chedeve essere sostenuto per soddisfare la domandadal periodo j al periodo k producendo solo nelperiodoj(xj>0,xr=0conr=j+1,…,k)

xj

dj

Ij

dk

Ik-1

dj+1

( )

∑

∑∑

+=

−

==

=

+++=

k

rppr

k

jrrrr

k

jrrjj

dI

dove

IchdqskjM

1

1

)()(),(

j kj+1


),(...)1,()1,()( 3221 kjMjjMjjMkF n++−+−=

• SupponiamodiconoscereilvaloredellasoluzioneoOmaF(k)rela1vaall’orizzontetemporale{1,…,k}•  Sia Jk={j1, j2,…, jn} l’insiemedei periodi produOvi(cioè,xt>0setèunperiodoinJk)nellasol.oOma• Ilsuovaloreè


dj2+2dj1+2 dj2

),(...)1,()1,()( 3221 kjMjjMjjMkF n++−+−=

j1

dj1

Ij1j1+1 j1+2

dj1+1

j2Ij2

j2+1 j2+2

dj2+1

xj1=dj1+1+dj1+2+…+dj2-1 xj2=dj2+1+dj2+2+…+dj3-1


)1,(...)1,()1,()1( 13221 −++−+−=− − nnn jjMjjMjjMjF

E’ facile dimostrare che la soluzione cos1tuita daiperiodi produOvi Jk\{jn} è ancora oOmanell’orizzontetemporale{1,…,jn-1},ovveroche


)1,(...)1,()1,()1( 13221 −++−+−<− − nnn jjMjjMjjMjF

InfaO, se Jk\{ jn } non fosse la soluzione oOmanell’orizzontetemporale{1,…,jn-1}Siavrebbe:


njJ∪'

EquindisipotrebberosceglierealtriperiodiproduOviJ’={j’1,…,j’q}nell’orizzontetemporale{1,…,jn-1}taliche:

)(),(}){\(),()'( kFkjMjJZkjMJZ nnkn =+<+

ContraddicendoladefinizionediF(k)

Z(J ') =M( j '1, j '2−1)+M( j '2, j '3−1)+ ...+M( j 'q, jn −1) <

M( j1, j2 −1)+M( j2, j3 −1)+ ...+M( jn−1, jn −1) = Z(Jk \ { jn })

considerandolasoluzionesiavrebbe


),()1()( kjMjFkF nn +−=

Sihaquindi:

)1,(...)1,()1,()1( 13221 −++−+−=− − nnn jjMjjMjjMjF

Edinpar1colare:


{ }kjkjMjFkF ,...,1 ogni per ),()1()( ∈+−≤

Diconseguenzaingeneralesiha:

EquindiunaformularicorsivaperF(k)è:

{ } ),()1(min)( 1 kjMjFkF kj +−= ≤≤


Ponendo F(0)=0 possono essere calcola1successivamenteivaloriF(1),F(2),…,F(T)

{ } ),()1(min)( 1 kjMjFkF kj +−= ≤≤

Una soluzione oOma del problema può esserecalcolataimpiegandolafunzionericorsiva


Esempio

{ } ),()1(min)( 1 kjMjFkF kj +−= ≤≤

( )( )∑=

++

=T

ttttttt

t

Icxqxs

h

1

)(

0

δ

Periodo Domanda st qt ct 1 2 3 4

20 30 40 30

30 40 30 50

3 3 4 4

2 2 1 1

I cos1 variabili sono lineari, non esistono cos1 fissi diimmagazzinamento:

Esempio

{ } 90M(1,1)F(0))1,()1(min)1( 11 =+=+−= ≤≤ jMjFF j

1 2 3 4 1 2 3 4

90 - - -

240 130

- -

520 330 190

-

760 510 340 170

PonendoF(0)=0,F(1)èdatoda:

CalcolodellamatricedegliM(j,k)

Esempio(segue)

{ }{ } { }{ }

{ }{ }

{ } 560170340;41010;2205760;90minM(4,4)F(3)M(3,4);F(2)M(2,4);F(1)M(1,4);F(0)minF(4)

41019080;220052520;90minM(3,3)F(2)M(2,3);F(1)M(1,3);F(0)minF(3)

220130240;90minM(2,2)F(1)M(1,2);F(0)minF(2) 90M(1,1)F(0))1,()1(min)1( 11

=+++=

=++++=

=+++=

=+++=

=+=++=

=+=+−= ≤≤ jMjFF j

M(j,k) 1 2 3 4

1 2 3 4

90 - - -

240 130

- -

520 330 190

-

760 510 340 170

F(0)=0

Pianificazionealungotermine:modellocon“backlogging”

E’possibilegeneralizzare ilmodelloed ilmetododiWagnerWhi1nnel caso in cui ladomanda inundatoperiodopossaessere soddisfa@a con la produzione nei periodi futuri(situazionedibacklogging).TalegeneralizzazioneèdovutaaW.I.Zangwill(1966).

t

Ilmodellodello@oeconomico(EOQ)conbacklogging

Q

In caso di backlogging il livello delmagazzino It può essere“nega1vo”

It=It-1+xt-dt

Pianificazionealungotermine:ges1onedellescortecondomandavariabile,ilmodellodiZangwill

00

≥

≥

−=

−

+

−+

t

t

ttt

I

I

III

DiconseguenzanelmodellodiProgrammazioneMatema1calevariabiliItpossonoassumerevalorinega1viUnavariabilenonristre@ainsegnopuòessereespressacomeladifferenzadiduevariabilinonnega1ve:

DiconseguenzailvincolodibilanciamentoalmesetdiventaLa variabile rappresenta la quan1tà prodo@a nei periodisuccessiviatpersoddisfareladomandaint.La variabile rappresenta la giacenza che si avrebbe inmagazzinoselaquan1tàfossestataprodo@aint.


−tI

dt

xt

t

+tI

−−1tI

+−1tI

tttttt dIIxII =+−+− −+−−

+− 11

−tI

+tI

−tI

1

x1

d1

T

xT

dT

2

x2

d2


tttttt dIIxII =+−+− −+−−

+− 11

−2I

+2I

−1I

+1I

−−1TI

+−1TI

( ) ( ) ( )( )∑=

−−−−++++ +++++T

ttttttttttttt IcIhIcIhxqxs

1)()()()()()(min δδδ

ObieOvodaoOmizzare:• minimizzazionedeicos1diimmagazzinamentoediproduzione•  per i cos1 di immagazzinamento, dis1nguiamo il costo per ilmagazzinoposi1voenega1vo:

• FunzioneobieOvo:


)()()()(

−−−−

++++

+

+

tttt

tttt

IcIh

IcIh

δ

δ

UnmodellodiProgrammazioneMatema1ca

min stδ(xt )+qt (xt )( )+ ht+δ(It+)+ ct

+(It+)( )+ ht−δ(It

−)+ ct−(It

−)( )( )t=1

T

∑

x1 − I1+ + I1

− = d1

It−1+ − It−1

− + xt − It+ + It

− = dt t = 2,...,T −1

IT−1+ − IT−1

− + xT = dTxt ≥ 0 t =1,...,T

It+ ≥ 0 t =1,...,T −1

It− ≥ 0 t =1,...,T −1

1

x1

d1

T

xT

dT

2

x2

d2

−2I

+2I

−1I

+1I

−−1TI

+−1TI


1,...,1 0,...,1 0

0,...,2

1

1

111

−=≥

=≥−+=

=−+=

−=

=−

−

TtITtxdxI

tdxIIdxI

P

t

t

TTT

tttt

Anche in questo caso il poliedroP è un politopo (poliedrolimitato).

x1 − I1+ + I1

− = d1

It−1+ − It−1

− + xt − It+ + It

− = dt t = 2,...,T −1

IT−1+ − IT−1

− + xT = dTxt ≥ 0 t =1,...,T

It+ ≥ 0 t =1,...,T −1

It− ≥ 0 t =1,...,T −1

TeoremaSe il problema amme@e una soluzione oOma, esiste una soluzioneoOmacheèanchever1ce(soluzioneammissibiledibase)delpoliedroP.


Lamatricedeicoefficien1deivincolidibilanciamentohadimensioneT*(3T-2):unabasedellamatriceèquindiunamatriceT*T.Inognisoluzioneammissibiledibase(=ver1cediP),Tvariabilisonoinbasee2T-2fuoribase.Levariabilifuoribasesono0inognisoluzioneammissibiledibase.

min stδ(xt )+qt (xt )( )+ ht+δ(It+)+ ct

+(It+)( )+ ht−δ(It

−)+ ct−(It

−)( )( )t=1

T

∑

x1 − I1+ + I1

− = d1

It−1+ − It−1

− + xt − It+ + It

− = dt t = 2,...,T −1

IT−1+ − IT−1

− + xT = dTxt ≥ 0 t =1,...,T

It+ ≥ 0 t =1,...,T −1

It− ≥ 0 t =1,...,T −1

Stru@uradellesoluzionioOmePoichédeveessere:Inognisoluzioneammissibiledibase,valelaseguenteproprietà.ProprietàEsa@amenteunadellevariabili deveesserediversada0perogniperiodot=1,…,T(con )La domanda di ciascun periodo produOvo è soddisfa@a dallaproduzione eladomandadiciascunperiodononproduOvoèsoddisfa@aodallagiacenzaodalbacklogging

01,...,2 0

0

1

1

111

>=+

−=>=++

>=+

+−

−+−

−

TTT

tttt

dxI

TtdIxI

dIx

),,( 1−+

− ttt IxI

I0+ = I0

− = 0,IT+ = IT

− = 0

td

+−1tI

−tI

tx ( )0=tx

Quindi,dataunasol.amm.dibase,èpossibiledecomporrel’orizzontetemporale1,…,Tinintervallidiproduzione{j,…,k}taliche:•  esiste un solo periodo produOvo t(j,k) all’internodell’intervallo•  la domanda di tuO i periodi dell’intervallo {j,…,k} èsoddisfa@adallaproduzionedelperiodoproduOvot(j,k)

Sino1chenelcasodibackloggingilperiodoprodu3vononènecessariamente ilprimoperiododelrela1vointervallodiproduzione


Unasol.amm.dibase,ècompletamentespecificatadall’insiemeJk={j1,j2,…,jn}deiperiodiinizialidegliintervallidiproduzione.InfaO:

• gliintervallidiproduzionesono{j1,…,j2-1},{j2,…,j3-1}…{jn-1,…,jn-1},{jn,…,k}•  inogni intervallodiproduzione{j,…,k} ilperiodoproduOvot(j,k)èdato da quel periodo che minimizza il costo di produzione e distoccaggionell’intervalloconsiderato.


Sia M(j,K) il costo totale di produzione e di stoccaggiorela1voall’intervallodiproduzione{j,…,k}.Ossia:IlperiodoproduOvoèdatodall’indicetchedefinisceM(j,k)


( ) ( ) ( )

∑∑∑

∑∑

=

−

+=

+

=

−

=

−−−−−

=

++++∈

===

+++++=

r

jllr

k

rllr

k

jllt

t

jrrrrr

k

trrrrrttttkjt

dIdIdx

dove

IcIhIcIhxqxskjM

)()()()()()(min),(

1

11

},...,{ δδδ

UnalgoritmoperilcalcolodellasoluzioneoOma:ilmetododiZangwill

Anche inquestocaso,èpossibilemostrarechevalela seguente formula ricorsiva di programmazionedinamica:

{ } ),()1(min)( 1 kjMjFkF kj +−= ≤≤

Come nel modello di Wagner Whi1n, sia F(k) lasoluzioneoOmadelproblemarela1vaall’orizzontetemporale{1,…,k}

t

Esempio

{ } ),()1(min)( 1 kjMjFkF kj +−= ≤≤

( )( )∑=

−−++

−+

+++

==T

ttttttttt

tt

IcIcxqxs

hh

1)(

0

δ

Periodo Domanda st qt c+t c-

t-1 1 2 3 4

20 30 40 30

30 40 30 50

3 3 4 4

2 2 1 -

- 2 1 1

I cos1 variabili sono lineari, non esistono cos1 fissi diimmagazzinamento:

−tI

dt

xt+tI

−−1tI

+−1tI

M( j,k) =mint∈{ j ,...,k } stδ(xt )+qt (xt )( )+ hr+δ(Ir

+)+ cr+(Ir

+)( )r=t

k−1

∑ + hr−δ(Ir

−)+ cr−(Ir

−)( )r= j

t−1

∑

M(1,1) = 90;M(2,2) =130;M(3,3) =190;M(4,4) =170M(1,2) =min 180+ 60;190+ 40{ } = 230M(2,3) =min 250+80;310+30{ } = 330M(1,3) =min 520;310+120;390+50+ 2 * 20{ } = 430

M(1,4) =min 760;40+120 * 3+ 2 * 70+30+ 2 * 20;30+120 * 4+30+50+ 20 * 2;50+120 * 4+90+50+ 2 * 20

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= 610

M(2,4) =min 510;30+ 400+30+30;50+ 400+70+30{ } =min 510;490;550{ } = 490M(3,4) =min 30+ 280+30;50+ 280+ 40{ } =min 340;370{ } = 340

EsempioPeriodo Domanda st qt c+

t c-t-1

1 2 3 4

20 30 40 30

30 40 30 50

3 3 4 4

2 2 1 -

- 2 1 1

EsempioPeriodo Domanda st qt c+

t c-t-1

1 2 3 4

20 30 40 30

30 40 30 50

3 3 4 4

2 2 1 -

- 2 1 1

340)4,3(;490)4,2(610)4,1(;430)3,1(;330)3,2(;230)2,1(170)4,4(;190)3,3(;130)2,2(;90)1,1(

==

====

====

MMMMMMMMMM

F(1) = 90F(2) =min{F(1)+M(2,2);M(1,2)} = 220F(3) =min{F(1)+M(2,3);F(2)+M(3,3);M(1,3)} = 410F(4) =min{F(0)+M(1,4);F(1)+M(2,4);F(2)+M(3,4);F(3)+M(4,4)} = 560

Programmazione della produzione a lungo termine e gestione delle scorte: caso con capacità

Contesto. Il problema della gestione delle scorte consiste nel pianificare e controllare i processi di approvvigionamento dei magazzini di un sistema produttivo, siano essi magazzini di materie prime, magazzini di semilavorati o di prodotti finiti. Ogni processo di approvvigionamento ha lo scopo di produrre/acquistare beni (materie prime, semilavorati, prodotti finiti) per soddisfare la domanda ad un livello successivo (produzione di semilavorati, assemblaggio, domanda finale). Nei sistemi di produzione manifatturiera, il problema della programmazione della produzione consiste nel determinare la dimensione dei lotti di produzione in un dato orizzonte temporale, ed è, quindi, un particolare aspetto del problema di gestione delle scorte.

Contesto (segue) L’impiego delle scorte nei sistemi produttivi ha una serie di vantaggi:

– usufruire delle economie di scala derivanti dall’aumento dei volumi di produzione o delle quantità ordinate, con conseguente minor incidenza dei costi fissi di produzione o del lancio di un ordine; – rendere più flessibile la produzione disaccoppiando le diverse fasi produttive; – ripartire in modo uniforme i carichi di lavoro sull’intero orizzonte produttivo.

D’altra parte le scorte costituiscono per l’azienda un immobilizzo di capitale e quindi un costo.


Il caso reale. Il sistema di produzione che consideriamo è un’azienda manifatturiera che produce centinaia di prodotti differenti. Consideriamo un solo prodotto A. Il prodotto A ha la seguente domanda mensile che deve essere soddisfatta: I costi vivi di avvio produzione non sono trascurabili. Prima della produzione, infatti, l’impianto deve essere portato in uno stato di esercizio che costa, in termini di personale, materiali, energia elettrica ecc…, circa 2000 Euro, a cui va aggiunto il costo unitario delle materie prime impiegate per la produzione. Da uno studio dei dati storici aziendali si stima che tale costo varia mensilmente secondo la seguente tabella: Si supponga che all’inizio del mese di gennaio il magazzino sia vuoto e che il costo di stoccaggio sia pari a 25 Euro al mese per ogni tonnellata di prodotto finale immagazzinato.

mese Gen Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Sett

Domanda (ton) 200 50 160 120 100 120 90 50 150

mese Gen Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Set

Costo per ton 35 35 30 33 40 33 38 30 40


Il problema decisionale. Considerando che la capacità produttiva del sistema è limitata, si chiede di trovare un piano produttivo, in modo tale che la domanda mensile sia soddisfatta, e che il costo totale di produzione e di stoccaggio sia minimo.


Dati •  i periodi del prossimo orizzonte temporale: {1,…,T} (T=9) •  la domanda nel periodio t : dt •  i costi di magazzino variabili e i costi fissi e variabili di produzione:

•  Costo fisso di produzione nel periodo t : st •  Costo variabile di produzione nel periodo t : qt •  Costo variabile di stoccaggio nel periodo t : ct

•  La capacità produttiva nel periodo t : Kt •  La capacità del magazzino nel periodo t : Ft


Obiettivo trovare un piano di produzione (quando e quanto produrre) in modo da minimizzare i costi di immagazzinamento e di produzione.


•  It Il livello di magazzino alla fine del periodo t •  xt la quantità prodotta durante il periodo t It e xt sono legate dalla relazione

It= It-1+ xt - dt

t

xt

dt

It It-1

Definizione delle variabili:

⎩⎨⎧

=altrimenti 0

periodo nel produce si se 1 tyt

Una formulazione di PLI per il problema

It= It-1+ xt - dt

1

x1

d1

I1 T

xT

dT

IT-1 2

x2

d2

I2 I0=0

Costi di produzione: styt +qtxt

Costi di immagazzinamento: ctIt

Funzione obiettivo

min styt +qtxt( )+ ctIt( )t=1

T

∑


Vincoli di capacità produttiva:

Vincoli di bilanciamento di materiali nel magazzino:

TtdxII tttt ,...,1 1 =−+= −

Vincoli di non negatività:

TtxI tt ,...,1 0 0, =≥≥

xt ≤ Kt yt t =1,...,T

Upper bound sulle variabli I:

It ≤ Ft t =1,...,T


Formulazione complessiva

min styt +qtxt( )+ ctIt( )t=1

T

∑

xt ≤ Kt yt t =1,...,TIt = It−1 + xt −dt t =1,...,T0 ≤ It ≤ Ft , xt ≥ 0 t =1,...,T

yt ∈ 0,1{ } t =1,...,T


Complessità del problema


Il problema è NP-completo * Diversi sono i metodi, sia esatti che euristici, proposti in letteratura (studio di formulazioni per il calcolo di lower bound, algoritmi euristici per il calcolo di buone soluzioni ammissibili….) * Florian M, Lenstra JK, Rinnooy Kan AHG. Deterministic production planning algorithms and complexity. Management Science 1980;26(7):669–79

gestione della produzione e della supply ... - dii.unisi.itdetti/gestscorte2.pdf · nella pratica...

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