giải tích 12 phần ii - cực trị của hàm số

July 15 ,2009 http://my.opera.com/vinhbinhpro

Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp

Biên tập PPS : vinhbinhpro

http://my.opera.com/vinhbinhpro

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a ,b) và điểm0

;x a b

đƣợc gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu :

00; (; )\ ( )f x fb x xx a

0( )f x gọi là giá trị cực đại của hàm số f

Điểm0 0

M ; ( )x f x gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số f

đƣợc gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu :

00; (; )\ ( )f x fb x xx a

0( )f x gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

Điểm0 0

M ; ( )x f x gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f

c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm ĐIỂM CỰC TRỊ

d) Giá trị cực đại , giá trị cực tiểu (thƣờng viết ;cd ct

y y ) gọi chung là CỰC TRỊ

a) Điểm0

x

b) Điểm0

x


x

y

0xx

0( )f x

( )f x

0 0M ; ( )x f x là điểm cực tiểu

của đồ thị hs

0xx

0( )f x

( )f x

0 0M ; ( )x f x là điểm cực đại

của đồ thị hs

x

y

Điểm cực đại của đồ

thị hàm số

điểm cực tiểu

của hàm số

điểm cực đại của

hàm số

Điểm cực tiểu của đồ

thị hàm số

1x

2x

Giá trị

cực

tiểu

Giá trị

cực đại

điểm cực

tiểu của

hàm số

Điểm cực đại

của hàm số


2. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ

Định lý :Hàm số f có đạo hàm tại

f đạt cực trị tại0

0'( )f x

Kết quả : Tiếp tuyến tại điểm cực trị song song hoặc trùng với trục hoành

*Chú ý : Mệnh đề đảo chưa chắc đúng

x

y’

y

cực trị

0

* Trường hợp đặc biệt

x

y’

y

cực trị

ǁ

0x

0x

0x

0x


3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ

a) DẤU HIỆU I

ĐỊNH LÝ: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm xₒ và có

đạo hàm trên (a ; xₒ) và (xₒ ; b ). Khi đó :

1. Nếu f’(x) đổi dấu từ DƢƠNG sang ÂM khi x đi qua xₒthì xₒlà một điểm

cực đại của hàm số

2. Nếu f’(x) đổi dấu từ ÂM sang DƢƠNG khi x đi qua xₒthì xₒlà một

điểm cực tiểu của hàm số

x

y’

y

a b

+ -

0( )

cdy f x

CĐ

0

x

y’

y

a b

+0

CT

0( )

cty f x

Chú ý : Nếu xₒ là một điểm cực trị thì ta nói

hàm số đạt cực trị tại điểm xₒ

-0

x0

x


Bƣớc 1 : Tìm tập xác định D - tính f’(x)

Bƣớc 2 : Giải phƣơng trình f’(x) = 0 tìm tất cả các nghiệm 1 2( , ,...)i

x i

Tại các điểm 1 2( , ,...)i

x i đạo hàm của hàm số bằng 0

* trường hợp đặc biệt : tìm điểm xₒmà tại đó hàm số liên tục nhƣng không có đạo hàm

Bƣớc 3 : Xét dấu f’(x) - Căn cứ vào dấu hiệu 1 tìm ra tất cả các điểm cực trị

Tính tiếp Giá trị cực đại ,giá trị cực tiểu (nếu có ) -Tìm ra điểm cực đại

và cực tiểu của đồ thị hàm số

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số : 3 21

4 153

y x x x

28 15B1: 'D R y x x

0 3 5B2: 'y x hay x

x

y’

y

-∞ +∞3 5

0 0̶ ̶+

CT CĐB3: Điểm cực tiểu : x = 3 , điểm cực đại x = 5

3 213 3 4 3 15 3

3( ) . . -18

CTy y

3 21 505 5 4 5 15 5

3 3( ) . .

CDy y


b) Dấu hiệu II

Định lý : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tới cấp 2 tại điểm xₒ

1. Nếu0

0

0

0

'( )

''( )

f x

f xthì xₒ là điểm cực tiểu

2. Nếu thì xₒ là điểm cực đại0

0

0

0

'( )

''( )

f x

f x

Bƣớc 1 : Tính f’(x)

Bƣớc 2 : Giải phƣơng trình f’(x) = 0 tìm tất cả các nghiệm 1 2( , ,...)i

x i

Bƣớc 3 : Tìm f”(x) - Tính ''( )i

f x Căn cứ vào định lý trên để kết luận .

http://my.opera.com/vinhbinhproBiên tập pps : vinhbinhpro

Bài tập

2 2

2

3 6 4 2 1

2 2 3a) b)

x x x xy y

x x x

Bài tập 1 : Tìm cực trị , nếu có , của hàm số

Hƣớng dẫn2

2

41 2

2) : \ '

x xa B D R y

x

22 0 4 0 0 4: 'B y x x x hay x

B3: Xét dấu y’x

y’

y

- ∞ +∞-2- 4 0

0 0+ +- -CT CĐ

KL: Điểm cực tiểu x = 0 , điểm cực đại x= - 4 2

3 6 16 12 64 11

2 4 2( )

CT CT

CT

CT

x xy y

x

2 311

1

'

'

CTCT

CT CT

CT

u xxhay y y

v x

0 0 60 3

0 2

'( )( )

'( )

CD

CD CD

CD

u xy y y

v x

Bài tập

Hƣớng dẫn câu b)

22

3 20 51

2 2 3

B1 : \ ; 'x

D R y

x x

10 20 5 0

4B 2: ' y x x

B3 : Xét dấu y’ : x

y’

y

- ∞ +∞3

2

1

41

0 - -+ +

CĐ

Điểm cực đại : x = 1

4(Học sinh tự tính giá trị cực đại )

*Bài tập tƣơng tự : Tìm điểm cực trị của hàm số3 2

5 3

4 2

1 2 2 1

2 25 3

3 2

4 2 1

.

.

. ( )

.

y x x x

x xy

y x x

y x x

Bài tập


2 21 2 2 4. .y x x x y x x

Hƣớng dẫn câu 1)

2

2 2

1 2 10 2 1

2 2

B1 : [ ; ] 'x x x x

D yx x x x

20 2 1 0 2B2 : ' ;y x x x x

2 022

1 1 2 2

2 4 1 22 1

x xx

x xx x x

B3: Xét dấu y’ : x

y’

0 22 2

2

0

1 2 21 1 0 0 0

2( '( ) ' , ,y y x

+ -CĐ

2 2 2 2 21 2

2 2 2x y

Đồ thị có điểm cực đại có tọa độ là :

2 21 2

2;

Bài tậpHướng dẫn câu 2)

2

2

2 42 2 0

4

B 1 : ; ; 'x

D yx

x

y’

y

-2 2-∞ +∞

-+ +

không xác định

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định . Đồ thị không có điểm cực trị

Bài tập tương tự : Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số sau (nếu có)

2

2

23

1 3

2 2 2

3 8

4 5

.

.

.

.

y x x

y x x

y x

y x x

Bài tập


2 21 3 0 2 2. sin cos , ; . siny x x x y x x

Hướng dẫn câu 1)

1 0 2 3 2 3: ; ' sin cos sin sin cosB D y x x x x x

3 50 0 0

2 6B2: ; sin ' cosx x y x x

B3: Dùng qui tắc 2 2 2 3'' cos cosy x x

5 5 5 1 3 12 3 2 3 0

6 3 6 2 2 2'' cos cos .y

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm5 5 7

6 6 4;

CDx y y

Hướng dẫn câu 2)

1 4 1 2 2B1: . ' sin cos sinD R y x x x

1

2

1 120 2

52

12

B2 : ' sin ( , )

x k

y x k l Z

x l

Bài tập

B3 : Dùng Qui tắc 2

1

4 2

4 2 2 3 06

'' cos

'' cos

y x

y x k

Vậy :12

x k là các điểm cực đại

2

54 2 2 3 0

6'' cos .y x l

Vậy: 5

12x l là các điểm cực tiểu

Bài tập tương tự : Tìm cực trị của hàm số

1 2 2 0

2 0 2

3 2

4 2 2

. sin cos ; ;

. sin cos ; ;

. sin

. sin cos

y x x x

y a x b x x x

y x x

y x x

Bài tập ( Bài toán tìm cực trị có tham số)

Bài tập 4 : Định a để hàm số :

22 2x ax

yx a

đạt cực tiểu khi x = 2

Hƣớng dẫn

2 2

2

2 2 2'

x ax ay

x a

22 0 2 4 2 0 2Y CBT '( ) ( )y a a a

1a

(Học sinh cần thử lại vì đây chỉ mới là điều kiện cần)

Thử lại : Với2

2

21 0 0 2

1, '

x xa y x hay x

x

x

y’

0 1 2

0 0+ ̶ ̶ +CĐ CT

Vậy hàm số đạt cực tiểu khi x = 2 và a = 1 là giá trị cần tìm



Bài tập 5: Định a và b để đồ thị hàm số : 2

21

+2ax x by

xcó điểm cực

đại có tọa độ là ( 1 ; 5 )

2

22

2 2

1

, 'x a b x

D R y

x

* Hàm số đạt cực trị tại xₒ = 1 1 0 0'( )y a ab b

* Giá trị cực trị tính theo công thức :

0

0

0 0

2 1 1

11

2

2

0' .

'

u x ax ay

v x xa

05 1 45 ay a mà a = b nên b = 4

(theo cách giải trên ( xₒ,yo ) chƣa phải là điểm cực đại , nên cần phải thử lại)

Thử lại : Với a = b = 42

22

2 20

1

1'x

y

x

x

Lập bảng xét dấu y’ , ta đƣợc x = 1 chính là điểm cực đại . Vậy nhận a = b = 4



Bài tập 6 : a) Chứng minh với mọi m , hàm số :

2 2 41 1x m m x m

yx m

luôn luôn có cực đại và cực tiểu

b) Định m để điểm cực đại của đồ thị hàm số thuộc góc phần tƣ thứ

nhất của hệ trục tọa độ

2 2

2

2 1) \ , '

x mx ma D R m y

x m

2 20 0

1

2 1

1

'

y x mx m

h mx myx xm a

Dấu của y’ phụ thuộc vào tam thức :2 2

2 1( )g x x mx m

g(x) có 2 nghiệm phân biệt nên có dấu đổi hai lần khi x đi qua x = m-1 và x = m+1

Vậy hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m

b) Ta có : m-1 m m+1

0 0

x

y’ + +- -Vậy điểm cực đại là xₒ =m-1 Giá trị cực đại :

2

0 3

0

2 12

1

x m my m m

0

23

0

10 1 0

0 1 2 02 0Y CBT

mx m

y m m mm m1m

Bài tập tự rèn luyện


Bài tập 1 : Cho hàm số2

2 3x x my

x m

a) Định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng

b) Định m để đồ thị hàm số có đúng 1 điểm cực trị thuộc góc phần tƣ thứ II

của mặt phẳng tọa độ .

nhỏ nhất.

Đáp số : a) m = - 3 / 2 b) -2 < m < -1

Bài tập 2 : Định m để đồ thị hàm số :3 2

3y x mx m có hai điểm cực

trị thẳng hàng với điểm A ( -1 , 3 )

Đáp số : m = 1 , m = - 3/2

Bài tập 3 : Tính giá trị cực trị của hàm số :3 2

2 1y x x x

Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua 2 điểm cực trị .

Đáp số :11 4 7

4 13

, y x

giải tích 12 phần ii - cực trị của hàm số

Education