August 16 ,2009 http://my.opera.com/vinhbinhpro

Biên tập PPS : vinhbinhpro

http:my.opera.com/vinhbinhpro

Phần IX

ÔN TẬP CHƢƠNG I

http://my.opera.com/vinhbinhpro

http://my.opera.com/vinhbinhpro

I. Các kiến thức cơ bản

1. Tính đơn điệu của hàm số .

2. Cực trị của hàm số.

3. Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số.

4. Đồ thị - Công thức chuyển hệ tọa độ.

5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

6.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm Đa thức và Hữu tỉ.

7. Bài toán thường gặp về đồ thị ( tìm giao điểm ; sự tiếp xúc của 2 đường )

II. Các kiến thức cần bổ sung (căn cứ vào hệ thống bài tập và câu hỏi trắc nghiệm )

1. Khoảng lồi - lõm - điểm uốn .

2. Vẽ đồ thị có dấu trị tuyệt đối - Tiếp tuyến với đường cong - Tìm tập hợp

điểm - Tìm điểm cố định - Bài toán có chứa tham số . . . .

http://my.opera.com/vinhbinhpro

Câu 1 : (3 điểm) Cho hàm số2 1

2

xy

x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến

Giải

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

. TXĐ : D = R\{2}

2

5' 0

2y

x= x ≠ 2 nên hàm số luôn nghịch biến trên D .

2 2

. lim ; limx x

y y x = 2 là tiệm cận đứng

lim 2 ; lim 2x x

y y y = 2 là tiệm cận ngang

(trích Đề thi tốt nghiệp PT - 2009 )

BÀI TẬP 1

bằng - 5

. Bảng biến thiên :

x

y’

y

- 2 +

─ ─

2-

-

+

2+

Giao điểm với trục tọa độ : 1 1

0 ; ; ; 02 2

. Đồ thị:

o 2 x

y

2

1

2

1

2

2) Viết phƣơng trình tiếp tuyến

. Hệ số góc của tiếp tuyến tại xo là : -5

2

0

55

2x

2

04 3 0x x

0

0

3

1

x

x

0

0

7

3

y

y

. Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) : y – y0 = y’ (x – x0)

7 5 3

3 5 1

y x

y x

5 22

5 2

y x

y x

Câu 1 : (2 điểm) Cho hàm số 2

2 3

xy

x=

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1) , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành và

trục tung lần lượt tại 2 điểm A , B và tam giác OAB cân có đỉnh tại O .

Giải

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1) của hàm số đã cho

. TXĐ : D = R\{-3/2}

2

1' 0

2 3y

x

x ≠ -3/2 nên hàm số luôn nghịch biến trên D .

3 3

2 2

. lim ; lim

x x

y y x = -3/2 là tiệm cận đứng

1 1lim ; lim

2 2x x

y y y = 1/2 là tiệm cận ngang

Bài tập 2

(1)

(trích đề thi ĐẠI HỌC khối A - năm 2009 )

. Bảng biến thiên :

x

y’

y

- -3/2 +

─ ─

1/2

-

+

1/2+

Giao điểm với trục tọa độ : 2

0 ; ; 2 ; 03

. Đồ thị:

o-2 x

y

2/3

3

2

1

2

2) Viết phƣơng trình tiếp tuyến

. Vì OAB cân tại O nên tt song song với y = 1 nên Hệ số góc của tiếp tuyến tại xo là :

0 2

0

1' 1

2 3x

yx

2

0 04 12 9 1x x 0

0

1

2

x

x

0

0

1

0

y

y

. Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) : y – y0 = y’ (x – x0)

1 1 1

1 2

y x

y x 2

y x Loai

y xvinhbinhpro

Bài tập 3

Cho hàm số :3 21 2

1 2 33 3

y x m x m x

Với giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên khoảng 1; ?

Hướng dẫn:

(bài 1.81 - sách giáo khoa)

21

' 2 1 2 3 ; ' 0 ( 2)3 2

xy x m x m y m

x m

+Trƣờng hợp 1 : 23 2 1 mm

x

y’

- ∞ + ∞3 - 2m - 1

0 0- ++

1

Với m > 2 hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; ); thỏa YCBT . Nhận : m > 2 (1)

+Trƣờng hợp 2 : 23 2 1 mm

x

y’

+ ∞- ∞ -1 3 - 2m

0 0- ++

1

Hàm số đồng biến trên ( 1 ; + ∞) 3 1 12 mm

so với điều kiện trên m < 2 1 2 (2)m

Bài tập 3

+ Trƣờng hợp 3 : m = 2

Lúc này ' 0 ,y x R Hàm số đồng biến trên R

=> Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1 ; + ∞ )

Nhận m = 2 (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) ta có đáp số :

1m

http://my.opera.com/vinhbinhpro

Bài tập 4

Cho hàm số : 3 21 2 1 2 ( )

my x m x m x m C

a) Chứng minh rằng : , ( )m

m C luôn đi qua 1 điểm cố định

b) Chứng minh : Mọi đường cong ( )m

C tiếp xúc nhau tại 1 điểm

Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường cong ( )m

C

( bài 1.83 sách giáo khoa)

Tìm điểm cố định mà : ( ) : ( , )m

C y f x m luôn đi qua

* Gọi 0 0( ; )x y là điểm cố định mà ( )

mC luôn đi qua

0 0( , ) , (1)y f x m m

* Viết (1) thành dạng : 0 0 0 0( ; ) ( ; ) 2)0 ; (A x y B x ym m

* Phương trình bậc 1 theo m (2) có vô số nghiệm nên : 0 0

0 0

(*)( , ) 0

( , ) 0

A x y

B x y

Giải hệ (*) ta tìm được những điểm cố định mà ( )m

C luôn đi qua

HƯ

ỚN

G D

ẪN

TỔ

NG

QU

ÁT

http://my.opera.com/vinhbinhpro

Bài tập 4*

Hướng dẫn : a) * Gọi 0 0( ; )x y là điểm cố định mà ( )

mC luôn đi qua

Ta có : 3 2

0 0 0 01 2 1 2 , (1)y x m x m x m m

2 3 2

0 0 0 0 0 0(1) 2 1 2 2 0x x x x xm my

2

00 0

3 2

00 0 0 0

12 1 0(1)

42 2 0

xx x

yx x x y

Vậy ( )m

C luôn đi qua 1 điểm cố định A ( 1 ; - 4 )

2) ' 3 2 1 2 1b y x m x m

' ' 1 3 2 2 2H 12SGtt AA

y x y mk m m R

HSG 1ttA

m Rk

Vậy : các đường cong ( )m

C luôn tiếp xúc nhau tại điểm cố định A (1 ; - 4 )

* Phương trình tiếp tuyến chung của mọi đ. cong ( )m

C tại điểm A

( )A ttA A

y y k x x 4 1( 1)y xThay vào : 3y x

Bài tập 5

Cho hàm số :4 2

2 4 (1)y x x

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

2. Với các giá trị nào của m , thì phương trình 2 22x x m

có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ? ( trích Đề thi Đại học khối B - năm 2009)

Hướng dẫn :

* Tập xác định : D = R .

* Sự biến thiên :

+ Giới hạn : lim limx x

y y

+ Chiều biến thiên :3 2

' 8 8 8 ( 1 0 1) ' 0y x x x x y x x

-∞ + ∞0-1 1x

y’ 0 0 0 +-+-Hàm số nghịch biến trên ( - ∞ ; - 1 ) ; ( 0 ; 1 ) ; đồng biến trên (- 1 ; 0) ; ( 1 ; +∞)

Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 1 ; 2CT

x y và đạt cực đại tại x = 0

0CD

yhttp://my.opera.com/vinhbinhpro

Bài tập 5 *

* Bảng biến thiên : x

y

y’

-∞ +∞0-1 1

0 0 0 +-+-+∞

+∞

ct ct

CĐ-2 -20

CDy

f(x)=2*x^4-4*x^2

Series 1

-3 -2 -1 1 2 3

5

10

15

x

f(x)

-2

* Đồ thị :

+ Tính thêm điểm đặc biệt :

2 ; 16 ; 2 ; 16

Bài tập 5 **

Giải câu b) cần bổ sung thêm kiến thức :

HƯ

ỚN

G D

ẪN

TỔ

NG

QU

ÁT Bước 1 : Viết phương trình (1) thành dạng f(x) = g(m)

Bước 2 : Vẽ đồ thị (C) : y = f(x) và (d) : y = g(m)

(thông thường (d) là các đường thẳng // hoặc trùng với trục Ox )

Bước 3 : Căn cứ và số giao điểm hoặc tiếp điểm để kết luận .

Số giao điểm của (d) và (C) = Số nghiệm của phương trình (1)

Một tiếp điểm của (d) và (C) = Một nghiệm kép của phương trìnht (1)

Hướng dẫn câu b)2 2 2 2 4 2

2 2 2 2 2 4 2 (1)x x m x x m x x m

Xem phương trình (1) là pt. hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số :

4 22 4 ( )y x x C và y = 2m (d)

Bài tập 5 ***

* Vẽ đồ thị hàm số : 4 2

12 4 ( ')y x x C

Đặt :4 2

( ) 2 4 ( )y f x x x C

4

1

2; ( ) 0 ( )

2 4 ( );

( )

( ) 0 () )(

f x af xx x f x

f x bxy

f

Từ (a) : 1

( )f yy x => (C’) trùng (C) trên khoảng ứng với ( ) 0f x

Từ b)1

( )f xy y => (C’) đối xứng với (C) qua Ox trên khoảng ứng với

( ) 0f x

Bài tập 5²**

f(x)=2*x^4-4*x^2

Series 1

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

5

10

15

x

f(x)

2

- 2

y = 2m

Phương trình (1) đã cho có 6 nghiệm phân biệt Đường thẳng y = 2m cắt đồ thị

(C’) tại 6 giao điểm .

Dựa vào đồ thị trên , yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi :

0 2 2m 0 1m

0

Bài tập 6

Cho hàm số :4 2

3 2 3y x m x m

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0

2.Tim m để đường thẳng y = - 1 cắt

độ nhỏ hơn 2 . ( trích Đề thi Đại học khối D - năm 2009)

Hướng dẫn :

* Tập xác định : D = R .

* Sự biến thiên :

+ Giới hạn : lim limx x

y y

+ Chiều biến thiên :3 2

' 4 4 4 ( 1 0 1) ' 0y x x x x y x x

-∞ + ∞0-1 1x

y’ 0 0 0 +-+-Hàm số nghịch biến trên ( - ∞ ; - 1 ) ; ( 0 ; 1 ) ; đồng biến trên (- 1 ; 0) ; ( 1 ; +∞)

Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 1 ; 1CT

x y và đạt cực đại tại x = 0

0CD

yhttp://my.opera.com/vinhbinhpro

có đồ thị là ( )m

C , m là tham số

( )m

C tại 4 điểm phân biệt đều có hoành

4 21.Khi 0 , 2y x xm

Bài tập 6 *

* Bảng biến thiên : x

y

y’

-∞ +∞0-1 1

0 0 0 +-+-+∞

+∞

ct ct

CĐ-1 -10

CDy

* Đồ thị :

+ Tính thêm điểm đặc biệt :

2 ; 8 ; 2 ; 8

f(x)=x^4-2*x^2

Series 1

-3 -2 -1 1 2 3

-2

2

4

6

8

x

f(x)

Bài tập 6**

2. Phương trình hoành độ giao điểm của ( )m

C và đường thẳng y = - 1

4 23 2 3 1x m x m

4 23 2 3 1 0 (*)x m x m

Đặt :2

; 0t x t

2(*) : 3 2 3 1 0 (1)t m t m

1 3 1t hay t m

Theo yêu cầu bài toán , phương trình ( 1 ) phải có 2 nghiệm dương nhỏ hơn 4 :

3 1 1

0 3 1 4

m

m

0

11

3

m

m

Bài tập 7

Cho hàm số :2 2

3 2 2(1)

3

m x m xy

x mm là tham số thực

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2.Tìm các giá trị m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45

(trích đề thi ĐH khối A -năm 2008)

Hướng dẫn: Câu 1 ) ( học sinh tự giải)

Câu 2) . Lấy tử chia mẫu :

2 23 2 2 6 2

23 3

m x m x my m x

x m x m

* m = 1/3 : đồ thị hàm số không tồn tại 2 đường tiệm cận.

6 2: lim 21 / 3 lim 0

3x x

my m x

x mm => y = mx - 2 là tiệm cân xiên

3

limx m

y => x = - 3m là tiệm cận đứngGọi :

1: 3 0 VTP 1 ; 0T nd x m

2' : 2 0 VTP ; 1T nd mx y m

Góc giữa d và d’ bằng 45 1 2

2

1 2

. 2cos 45

21

n n m

n n m

1m

Bài tập 8

Cho hàm số :3 2

4 6 1 (1)y x x

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua

(trích đề thi ĐH khối B -năm 2008)

Hướng dẫn: Câu 1 ) ( học sinh tự giải)

Câu 2) .

điểm A (- 1 ; - 9)

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k .

( ) 9 ( 1 9)A A

y y k x x y k kk xx y

* (d) là tiếp tuyến của hàm số (1)

3 2

2

4 6 1 ( 1) 9 (2)

12 12 (3)

x x k x

x x kcó nghiệm

3 2 2 3 24 6 10 12 1 8 6 12 10 0x x x x x x xThay (3) vào (2) :

2

1 8 10 01

5 / 4xx x

x

* Với x = -1 => k = 24 . Phương trình tiếp tuyến là : y = 24 x + 15

* Với x = 5/4 => k = 15/4 . Phương trình tiếp tuyến là : y = 15/4 x - 21/4

f(x)=4*x^3-6*x^2+1

f(x)=24*x+15

f(x)=15/4*x-21/4

Series 1

-3 -2 -1 1 2 3

-10

-5

5

x

f(x)

-9A

Bài tập 9

Cho hàm số :

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2.Chứng minh rằng với mọi đường thẳng đi qua I ( 1 ; 2) với hệ số góc k (k > - 3)

(trích đề thi ĐH khối D -năm 2008)

Hướng dẫn: Câu 1 ) ( học sinh tự giải)

Câu 2) .

đều cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm I,A,B , đồng thời I là trung điểm đoạn AB

Gọi (d) là đường thẳng đi qua I (1 ; 2) và có hệ số góc k (k >- 3 ).

Nhận xét : I ( 1 ; 2) thuộc đồ thị (C) của hàm số (1)

( ) ; 2 2( 1)I I

y y k x x y kk kx y x

Hoành độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của phương trình :

3 2 23 4 1 2 1 2 2 0 ( )x x k x x x x k a

2

1

2 2 0 (*)

x

x x k

(ứng với giao điểm I )

Với k > -3 nên ∆’ = 1 + ( k +2) = k + 3 > 0 và x = 1 không là nghiệm của (*) nên

phương trình ( a) luôn có 3 nghiệm phân biệt => (d) luôn cắt (C) tại 3 giao điểm

Bài tập 9*

Giao điểm A , B có hoành độ : ;A B

x x là nghiệm của phương trình (*)

Ta có : 2

2 21 2

A B

A B I I

x xx x S x x

Ngoài ra I , A , B cùng nằm trên đường thẳng (d) nên I là trung điểm AB (đpcm)

f(x)=x^3-3*x^2+4

f(x)=x+1

Series 1

-3 -2 -1 1 2 3

-5

5

x

f(x)

I