giai_tich_so_le minh luu.pdf

8/16/2019 giai_tich_so_le minh luu.pdf

1/77

Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Giáo trình dùng cho sinh viên

Đại học, Cao đẳng )

NHÀ XUẤT ẢN GIÁO DỤC


2/77

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÊ MINH LƯU

GIẢI TÍCH

SỐGiáo trình dùng cho sinh viên Đại học, Cao đ ẳng

( Tái bản lần thứ 10)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC


3/77

711/GD-01/4415/307-00 Mã số: 8L711I9


4/77

Môc lôc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

Ch¬ng 1 Lý thuyÕt sai sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .3

1.1 Çc lo¹i sai sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Quy t¾c thu gän sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Ch÷ sè ch¾c, kh«ng ch¾c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.4 Hai bµi to¸n vÒ sai sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Sai sè çc phÐp to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Ch¬ng 2 XÊp xØ tèt nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 8

2.1 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn .......................................82.2 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian çc hµm liªn tôc . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . 122.3 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Ch¬ng 3 XÊp xØ hµm b»ng ®a thøc néi suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

3.1 Bµi to¸n néi suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Gi¶i hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh ®Ó x¸c ®Þnh ®a thøc néi suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Ph¬ng ph¸p néi suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Trêng hîp çc mèc néi suy çch ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3.5 Sai sè cña p¬ng ph¸p néi suy Lagrange .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.6 Chän mèc néi suy tèi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Ch¬ng 4 TÝnh gÇn ®óng ®¹o hµm vµ tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 Dïng néi suy Lagrange tÝnh gÇn ®óng ®¹o hµm . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . 314.2 TÝnh gÇn ®óng tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Ch¬ng 5 Gi¶i ph¬ng tr×nh phi tuyÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

5.1 Ph¬ng ph¸p ®å thÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Ph¬ng ph¸p chia ®«i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .375.3 Ph¬ng ph¸p lÆp ®¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385.4 Ph¬ng ph¸p d©y cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .405.5 Ph¬ng ph¸p tiÕp tuyÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.6 Gi¶i ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.7 Gi¶i hÖ hai ph¬ng tr×nh phi tuyÕn b»ng ph¬ng ph¸p lÆp ®¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Ch¬ng 6 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

6.1 Mét vµi kh¸i niÖm cÇn thiÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


5/77

Gi¶i tÝch sè 2

6 .2 P h¬ng ph¸p Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .476.3 Ph¬ng ph¸p c¨n sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

6.4 Ph¬ng ph¸p lÆp ®¬n gi¶i hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . 536.5 Ph¬ng ph¸p Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .536.6 Ph¬ng ph¸p Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.7 Ph¬ng ph¸p Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

Ch¬ng 7 Gi¶i gÇn ®óng ph¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.1 Ph¬ng ph¸p xÊp xØ liªn tiÕp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .597.2 Ph¬ng ph¸p chuçi nguyªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .617.3 Ph¬ng ph¸p Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

7.4 Ph¬ng ph¸p Euler c¶i tiÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.5 Ph¬ng ph¸p Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8


6/77

Gi¶i tÝch sè 3

Ch¬ng 1

Lý ThuyÕt Sai Sè

1.1 C¸c lo¹i sai sè

Trªn thùc tÕ khi ®o mét ®¹i lîng hoÆc x¸c ®Þnh mét ®¹i lîng mµ ta ký hiÖu lµ a∗,th«ng thêng kh«ng x¸c ®Þnh ®îc gi¸ trÞ ®óng mµ chØ biÕt ®îc gi¸ trÞ gÇn ®óng a. VËyta ®· gÆp ph¶i sai sè. Cã nhiÒu lo¹i sai sè:

1. Sai sè thùc sù: §¹i lîng := |a − a∗|gäi lµ sai sè thùc sù cña a.

2. Sai sè tuyÖt ®èi: NÕu biÕt a ≥ 0 sao cho

a − a ≤ a∗ ≤ a + ath× a gäi lµ sai sè tuyÖt ®èi cña a.

3. Sai sè t¬ng ®èi: §¹i lîngδ a :=

a|a|

gäi lµ sai sè t¬ng ®èi cña a.

1.2 Qui t¾c thu gän sè

Gi¶ sö ta cã sè gÇn ®óng a ®îc viÕt díi d¹ng thËp ph©n

a = ±(β p10 p + ... + β j10 j + ... + β p−s10 p−s)

trong ®ã β j ∈ {0, 1, 2, ..., 9}, β p > 0. Ta muèn thu gän sè a ®Õn hµng thø j . Gäi sè a lµsè thu gän ®Õn hµng thø j cña sè a vµ phÇn vøt bá lµ µ. §Æt:

a = β p10 p + ... + β j+110

j+1 + β j10 j.

Trong ®ã: β j b»ng β j + 1 nÕu 0, 5 × 10 j < µ


7/77

Gi¶i tÝch sè 4

Doa =

±(β p10

p + ... + β j10 j + µ),

a = ±(β p10 p + ... + β j10 j + β j10 j),ta cã

|a − a| = |(β j − β j) × 10 j + µ|


8/77

Gi¶i tÝch sè 5

• Sai sè t¬ng ®èi cña mét sè kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ dÊu phÈy cña nã (dÊu chÊmthËp ph©n).

1.4 Hai bµi to¸n vÒ sai sè

XÐt sè gÇn ®óng viÕt ë d¹ng thËp ph©n

a = ±(β p10 p + β p−110 p−1 + ... + β p−s10 p−s).

Cã hai bµi to¸n ®Æt ra:

Bµi to¸n 1:

BiÕt sè ch÷ sè ch¾c cña a lµ γ a, t×m sai sè t¬ng ®èi δ a cña a. Gäi a0 lµ sè a mµ saukhi dêi dÊu phÈy sao cho ch÷ sè ch¾c cuèi ë hµng ®¬n vÞ vµ toµn ch÷ sè ch¾c. Ta cã

β p × 10γ a−1 ≤ a0 ≤ (β p + 1) × 10γ a−1 ≤ 10γ a.

VËy1

(β p + 1) × 10γ a−1 ≤ δ a ≤ 1

β p × 10γ 1−1 .

NÕu kh«ng biÕt β p th× lÊy1

10s ≤δ a

≤ 1

10s−1.

Bµi to¸n 2:

BiÕt sai sè t¬ng ®èi lµ δ a, t×m sè ch÷ sè ch¾c γ a. Gi¶ sö biÕt δ a > 0, ta viÕtδ a = λ10

−m víi 0.1 < λ < 1 vµ m lµ sè nguyªn. §Æt am lµ sè a nhng dêi dÊu chÊmthËp ph©n sao cho am cã m + 1 ch÷ sè tríc dÊu chÊm thËp ph©n. Ta cã:

am ≤ (β p + 1) × 10m,

suy ra

a = amδam = amδ a = amλ10

−m

≤λ(β p + 1).

Bëi v×0, 2 < λ(β p + 1) ≤ 10.

VËy cã hai trêng hîp x¶y ra

a. NÕu λ(β p + 1) ≤ 1 th× am ≤ 1 vµ am cã m + 1 ch÷ sè ch¾c.b. NÕu λ × (β p + 1) > 1 th× am ≤ 10 vµ am cã m ch÷ sè ch¾c.


9/77

Gi¶i tÝch sè 6

Cuèi cïng ta cã thÓ kÕt luËn, nÕu δ a = λ10m

, 0.1 < λ ≤ 1 vµ λ(β p + 1) ≤ 1 th× a cãm + 1 ch÷ sè ch¾c, ngîc l¹i a cã m ch÷ sè ch¾c.

1.5 Sai sè çc phÐp to¸n

Gi¶ sö ph¶i t×m ®¹i lîng y theo c«ng thøc

y = f (x1, x2,...,xn).

Gäi x∗i , y∗, i = 1, 2,...,n vµ xi, y , i = 1, 2,...,n lµ çc gi¸ trÞ ®óng vµ gÇn ®óng. NÕu f

kh¶ vi liªn tôc ta cã

|y − y∗| = |f (x1,...,xn) − f (x∗1,...,x∗n)|

=n

i=1

|∂f (x1,...,θi,...,xn)|∂xi

|xi − x∗i |,

ë ®©y θi ∈ [xi, x∗i ], i = 1, 2,...,n. Ta cã thÓ coi (do f kh¶ vi liªn tôc vµ x∗i kh¸ gÇn xi),∂f (x1,...,θi,...,xn)∂xi ∂f (x1,...,xn)∂xi

.Do ®ã

y =n

i=1

∂f (x1,...,xn)

∂xi

xi,

vµ

δ y = y|y| =

ni=1

∂ ln f (x1,...,xn)∂xixi.

a. Sai sè phÐp tÝnh céng, trõ:

y = f (x1, x2...,xn) =ni=1

xi,

∂f (x1, x2..., xn)

∂xi

= 1

⇒ y =

n

i=1

xi.

Gi¶ sö xm = maxi=1,n{xi}, vµ ch÷ sè ch¾c cuèi cña xm ë hµng thø k, (xm =10k). Ta cã:

y ≥ xm = 10k.Do ®ã khi lµm phÐp céng, trõ nªn qui trßn çc xi ®Õn møc gi÷ l¹i 1 hoÆc 2 ch÷ sè bªn ph¶i hµng thø k.

Chó ý: Khi trõ hai sè gÇn nhau cÇn lÊy çc sè víi nhiÒu ch÷ sè ch¾c v× khi trõ haisè gÇn nhau kÕt qu¶ mÊt chÝnh x¸c.


10/77

Gi¶i tÝch sè 7

b. Sai sè phÐp to¸n nh©n, chia:

Gi¶ sö y =

x1,...,x px p+1,...,xn

= f (x1,...,x p,...,xn).

Khi ®ã

ln y =

pi=1

ln xi −n

j= p+1

ln x j

suy ra

δy =n

i=1δxi.

NÕu δxm = maxi=1,n{δxi} vµ sè ch÷ sè ch¾c cña xm lµ k th× δy ≥ δxm vµ sè ch÷ sè ch¾c cña y kh«ng vît qu¸ k. V× vËy khi lµm phÐp to¸n nh©n, chia ta chØ cÇnlÊy k + 1 hoÆc k + 2 ch÷ sè lµ ®ñ.

c. Sai sè phÐp lòy thõa, khai c¨n vµ nghÞch ®¶o:

Cho y = xα, α ∈ R,δy =

d ln y

dx

x = |α|δx.

• NÕu α > 1 th× δy > δx tøc lµ phÐp lòy thõa lµm gi¶m ®é chÝnh x¸c.• NÕu 0 < α


11/77

Gi¶i tÝch sè 8

Ch¬ng 2

XÊp XØ Tèt NhÊt

2.1. XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn

Gi¶ sö X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn. L ⊂ X lµ ®a t¹p tuyÕn tÝnh ®ãng cñaX vµ f ∈ X. Bµi to¸n ®Æt ra h·y t×m phÇn tö f ∗ ∈ L sao cho:

f − f ∗ = inf g∈L

g − f .

§Þnh lý 2.1.1 NÕu L lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu cña X th× víi mäi f ∈ X lu«n tånt¹i f ∗ ∈ L tháa

f − f ∗ = inf g∈L

g − f .

(PhÇn tö f ∗ gäi lµ phÈn tö xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L).

Chøng minh: XÐtΩ = {g ∈ L : g ≤ 2 f } ⊂ L.

DÔ thÊy Ω lµ tËp ®ãng, giíi néi trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu nªn Ω lµ Compact.

XÐt hµm φ(g) := f − g .Ta cã

|φ(g) − φ(h)| = | f − g − f − h |≤ (f − g) − (f − h) = h − g .

Do φ lµ hµm liªn tôc trªn tËp Compact Ω nªn hµm φ ®¹t cùc tiÓu trªn Ω. Tõ ®ã

∃f ∗ ∈ Ω : φ(f ∗) = ming∈Ω

φ(g).

MÆt kh¸c: NÕu g ∈ L \ Ω tøc lµ g kh«ng thuéc Ω th×

g − f ≥ g − f

> 2 f − f = f = f − θ (ë ®©y θ chØ phÇn tö kh«ng cña kh«ng gian X ). Bëi vËy ∀g ∈ L\Ω, th× g−f > f −θ ,tøc lµ

inf g∈L\Ω

g − h ≥ f − θ .

Suy ra f − f ∗ = min

g∈Ω f − g


12/77

Gi¶i tÝch sè 9

≤ f − θ ≤ inf g∈L\Ω

g − h .

Do ®ã f − f ∗ = min

g∈L f − g .

§Þnh lý ®îc chøng minh.

Chó ý: Sinh viªn cã thÓ tham kh¶o mét chøng minh kh¸c sau ®©y khi (trong ®Þnh lýtrªn) ®· biÕt c¬ së cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh L ®Ó thÊy râ h¬n ý nghÜa vÊn ®Ò.

Gi¶ sö {g1, g2,...,gn} lµ c¸c phÇn tö ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong X . §Æt (bao tuyÕn tÝnhcña c¸c phÇn tö

{g1, g2,...,gn

}trong X )

£{g1, g2,...,gn} := {ni=1

aigi, ai ∈ R}.

DÔ thÊy £{g1, g2,...,gn} lµ kh«ng gian con tuyÕn tÝnh h÷u h¹n chiÒu trong X . §ÆtL = £{g1, g2,...,gn}. XÐt phiÕn hµm

F 0(c) :=n

i=1

cigi , c = (c1, c2,...,cn) ∈ Rn.

KÝ hiÖu | c |= (ni=1 c2i ) 12 vµ ®Æt K = {c ∈ Rn, | c |= 1} th× K ⊂ Rn lµ tËp compacttrong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. Do F 0(c) lµ hµm liªn tôc trªn tËp compact nªn ®¹t cùctiÓu t¹i c0 ∈ K tøc lµ

0 ≤ m := F 0(c0) = minc∈K

F 0(c).

Bëi m kh«ng thÓ lµ 0 v× m = 0 th× F 0(c0) = n

i=1 c0igi = 0, tøc lµ c0i = 0, ∀i. §iÒunµy kÐo theo | c0 |= 0 lµ m©u thuÉn (v× c0 ∈ K ). XÐt hµm

F (c) =n

i=1cigi − f .

NÕu f ∈ L th× lÊy f ∗ = f . NÕu f kh«ng thuéc L th×

inf c∈Rn

F (c) = α > 0;

F (c) =n

i=1

cigi − f ≥ni=1

cigi − f

=| c |ni=1

ci| c |gi − f .


13/77

Gi¶i tÝch sè 10

§Æt c = ( ci|c|

, ci|c|

,..., ci|c|

) th× | c |= 1, tøc lµ c ∈ K . Tõ trªn ta cã

F (c) =| c | F 0(c)− f ≥ m | c | − f .DÔ thÊy r»ng m | c | − f → ∞ khi | c |→ ∞. Theo ®Þnh nghÜa giíi h¹n, tån t¹iM > 0, ∀c ∈ Rn, | c |> M th×

F (c) > α + 1.

Bëi qu¶ cÇu ®ãngB(0, M ) := {c ∈ Rn, | c |≤ M }

lµ tËp compact trong Rn. H¬n n÷a F (c) lµ hµm liªn tôc nªn nã ®¹t cùc trÞ trªn B(0, M ).Tøc lµ tån t¹i ĉ ∈ B(0, M ) sao cho F (ĉ) = α. LÊy

f ∗ =n

i=1

ĉigi,

dÔ thÊy f ∗ lµ phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt f trong L.

VÝ dô: XÐt X = L2[0, 1]. xÐt hÖ hµm {g0 = x0, g1 = x1, g2 = x2,...,gn = xn}. §Æt

L := £{g1, g2,...,gn} =ni=0

aixi, ai ∈R}

lµ tËp c¸c ®a thøc thùc bËc kh«ng qu¸ n vµ L lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu cñaL2[0, 1]. Theo §Þnh lý 2.1.1 víi mäi f ∈ L2[0, 1] lu«n tån t¹i ®a thøc bÆc kh«ng qu¸ nlµ Q∗n sao cho

f − Q∗n L2[0,1]= ming∈L

f − g L2[0,1] .

Tøc lµ 10

|f (x) − Q∗n(x)|2dx 1

2

= ming∈L

10

|f (x) − g(x)|2dx 1

2

.

§Þnh nghÜa 2.1.2 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn X ®-îc gäi lµ låi chÆt (ngÆt)nÕu ∀x, y ∈ X,

x = y = 1, x + y = 2,th× x = y.

§Þnh lý 2.1.3 NÕu X lµ kh«ng gian låi chÆt vµ L lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒucña X th× phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt f ∗ lµ duy nhÊt.

Chøng minh: §Æt = min

g∈L f

−g

,


14/77

Gi¶i tÝch sè 11

cã hai trêng hîp x¶y ra1) Trêng hîp = 0

⇒f

∈L vµ f ∗ = f . Tøc f ∗ lµ duy nhÊt.

2) Trêng hîp = 0 th× f /∈ L vµ > 0. Gi¶ thiÕt ph¶n chøng, tån t¹i f ∗1 vµ f ∗2 , f ∗1 = f ∗2®Òu lµ xÊp xØ tèt nhÊt f . Khi ®ã

f − f ∗1 = , f − f ∗2 = .

Ta cã:

≤ f − f ∗1 + f

∗2

2 ≤ f − f

∗1

2 +

f − f ∗2 2

=

2 +

2 = .

Suy ra f − f ∗1 + f

∗2

2 = .

Tõ ®ã phÇn tö (f ∗

1+f ∗

2)

2 còng lµ phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L. B©y giê ta xÐt hai phÇn

tö trong X lµ f −f 12

vµ f −f 22

. DÔ kiÓm tra r»ng

f − f ∗1

= f − f

∗2

= 1,

vµ h¬n n÷a

f

−f ∗1

+

f

−f ∗2

= 2f

−(f ∗1 + f

∗2 )

= 2 f − f ∗1+f ∗

1

2

= 2

f − f

∗1 + f

∗2

2 = 2.

= 2.

Bëi X lµ låi chÆt nªnf − f ∗1

≡ f − f

∗2

.

VËy f ∗1 = f ∗2 vµ ®Þnh lý ®îc chøng minh.

Chó ý:

a. NÕu X lµ låi chÆt th× víi hai ®iÓm kh¸c nhau trªn mÆt cÇu ®¬n vÞ, ®o¹n th¼ng nèihai ®iÓm ®ã kh«ng cã ®iÓm chung nµo kh¸c víi mÆt cÇu trõ chÝnh hai ®iÓm nµy (ý nghÜah×nh häc cña kh«ng gian låi chÆt).

b. Kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu Rn vµ kh«ng gian Hilbert lµ låi chÆt.

c. Kh«ng gian C [0,1] (kh«ng gian c¸c hµm liªn tôc trªn ®o¹n [0, 1]) kh«ng låi chÆt. ThËtvËy, chØ cÇn lÊy phÇn tö y1(x) = 1, y2(x) = x, ta cã y1, y2 ∈ C [0,1] vµ y1 = 1, y2 = 1.H¬n n÷a, dÔ thÊy

y1 + y2

= maxx∈[0,1]

|1 + x

| = 2 nhng y1

= y2, vËy kh«ng gian


15/77

Gi¶i tÝch sè 12

C [0,1]] kh«ng låi chÆt.

d. NÕu tån t¹i phÇn tö xÊp xØ tèi nhÊt f ∗ cña f ta ®Æt f − f ∗ := En(f ).

2.2 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian c¸c hµm liªn tôc C [a,b]

Ký hiÖu C [a,b] lµ kh«ng gian c¸c hµm liªn tôc trªn [a, b] vµ L lµ tËp mäi ®a thøc bËckh«ng qu¸ n.

§Þnh lý 2.2.1 (Wallee' - Poussin) Gi¶ sö f ∈ C [a,b] vµ Qn ∈ L. NÕu tån t¹i n + 2®iÓm ph©n biÖt

a ≤ x0 < x1 < ... < xn+1 ≤ b,sao cho

sign{(−1)i(f (xi) − Qn(xi))} = const, i = 0, 1, 2,...,n + 1,th×

:= mini=0,n+1

|f (xi) − Qn(xi)| ≤ E n(f ),

ë ®©y E n(f ) := minQ∈L f − Q .

Chøng minh: NÕu:µ := min

i=0,n+1|f (xi) − Qn(xi)| = 0,

th× ®Þnh lý lµ hiÓn nhiªn.

NÕu µ > 0 ta chøng minh b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sö ngîc l¹i

E n(f ) < µ = mini=0,n+1

|f (xi) − Qn(xi)|.

XÐt P ∈ L lµ xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L. Khi ®ã:

f − P = E n(f ) < mini=0,n+1

|f (xi) − Qn(xi)|.

Ta cã|P (xi) − f (xi)| ≤ P − f


16/77

Gi¶i tÝch sè 13

= sign[Q(xi) − f (xi)], i = 0, 1, 2,...,n + 1.

Tõ ®ã ®a thøc bËc n lµ (Qn − P ) ®æi dÊu n + 2 lÇn trªn [a, b] nªn nã cã Ýt nhÊt (n + 1)nghiÖm, vËy Qn(x) ≡ P (x).XÐt

µ = mini=0,n+1

|f (xi) − Qn(xi)| > maxx∈[a,b]

|f (x) − Qn(x)|

≥ mini=0,n+1

|f (xi) − Qn(xi)| = µ.

§iÒu nµy lµ m©u thuÉn vµ ®Þnh lý ®îc chøng minh.

§Þnh lý sau ®©y lµ kh¸ quan träng vÒ phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt trong C [a,b] v× r»ng ngoµiviÖc nã chØ ra ®îc phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt cña f liªn tôc mµ nã cßn cho ta c¸ch x¸c ®Þnh

®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt Qn(x).

§Þnh lý 2.2.2 (Chebyshev) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó Qn lµ ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n xÊp xØ tèt nhÊt cña f ∈ C [a,b] lµ tån t¹i (n + 2) ®iÓm ph©n biÖt,

a ≤ x0 < x1 < ... < xn+1 ≤ b,

sao chof (xi) − Qn(xi) = α(−1)i f − Q ,

i = 0, 1, 2,...,n + 1, α = ±1.

(Víi α = 1 hoÆc α = −1 vµ kh«ng phô thuéc vµo i. D·y ®iÓm {xi}n+1i=0 ®-îc gäi lµ d·y®iÓm Chebyshev.)

§Þnh lý nµy cã chøng minh kh¸ phøc t¹p. Chøng minh chi tiÕt sinh viªn cã thÓ t×mtrong c¸c tµi liÖu tham kh¶o. Díi ®©y chØ tr×nh bµy ng¾n gän ®Ó ngêi ®äc h×nh dung ýtëng vµ kü thuËt cña ph¬ng ph¸p chøng minh.

a. §iÒu kiÖn ®ñ: §Æt

ν = f − Qn ,µ = min

i=0,n+1|f (xi) − Qn(xi)|.

Tõ gi¶ thiÕt vµ §Þnh lý Wallee'-Poussin ta cã

ν = µ = mini

|f (xi) − Qn(xi)|

≤ En(f ) ≤ f − Qn = µ.VËy

En(f ) =

f −

Qn

.


17/77

Gi¶i tÝch sè 14

Tøc lµ Qn lµ ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt f .

b. §iÒu kiÖn cÇn. Ta x©y dùng n + 2 ®iÓm Chebyshev nh sau

ν = f − Qn = En(f ).

§Æt g = f − Qn vµ lÊyy0 = a,

y1 = min{y : g(y) = ν }.Kh«ng mÊt tæng qu¸t, xem

g(y1) = ν.

y2 = miny∈[y1,b]

{y : g(y) = −ν };..................................

ym = miny∈[ym−1,b]

{y : g(y) = (−1)mν }.

Nh vËy ta ®· x©y dùng ®îc d·y {yn}mn=0 b»ng quy n¹p. NÕu m < n + 2 th× b»ng çchx©y dùng çc d·y phï hîp ngêi ta chøng minh ®îc r»ng trêng hîp nµy kh«ng x¶yra. VËy m ≥ n + 2. Khi ®ã ta chØ cÇn lÊy {y0, y1,...,yn+1} lµm d·y ®iÓm Chebyshev vµ§Þnh lý ®îc chøng minh.

Ta ®· biÕt kh«ng gian C [a,b] kh«ng låi chÆt nªn vÊn ®Ò ®Æt ra lµ liÖu ®Þnh lý duy nhÊtvÒ phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt cßn ®óng trong C [a,b] kh«ng? C©u tr¶ lêi lµ vÉn ®óng. §iÒu ®ã®îc chØ ra trong ®Þnh lý sau:

§Þnh lý 2.2.3 §a thøc xÊp xØ ®Òu tèt nhÊt cña f ∈ C [a,b] trªn L lµ duy nhÊt.

Chøng minh: Gi¶ sö P n ∈ L, Qn ∈ L ®Òu lµ çc ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt cña f vµP n = Qn.XÐt ®a thøc

P n + Qn

2 ∈L,

ta cã

E n(f ) ≤ P n + Qn2

− f

≤ 12 f − P n +1

2 f − Qn

= 1

2E n(f ) +

1

2E n(f ) = E n(f ).

VËy

P n + Qn

2 −f

= E n(f ).


18/77

Gi¶i tÝch sè 15

§iÒu nµy suy ra ®a thøc P n+Qn2

còng lµ ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L. Gi¶ sö d·y

{xi

}n+1i=0 lµ d·y Chebyshev øng víi

P n+Qn2

th×P n(xi) + Qn(xi)2 − f (xi) = E n(f ), i = 0, 1, 2,...,n + 1.

Bëi vËy2E n(f ) = |P (xi) − f (xi) + Q(xi) − f (xi)|

≤ |P (xi) − f (xi)| + |Q(xi) − f (xi)|≤ P − f + Q − f = 2E n(f ).

Tõ ®ã,

|P (xi) − f (xi)| = |Q(xi) − f (xi)| = E n(f ), ∀i.Suy ra

P (xi) − f (xi) = λi(Q(xi) − f (xi)), λi = ±1.Ta cã,

2E n(f ) = |P (xi) − f (xi) + λi(P (xi) − f (xi))|= (1 + λi)|P (xi) − f (xi)|.

Suy ra 1 + λi = 2 tøc lµ λi = 1. Cuèi cïng ta cã:

P n(xi) − f (xi) = Qn(xi) − f (xi), ∀i ⇒ P n(xi) = Qn(xi), ∀i.Bëi P n(x) vµ Qn(x) lµ c¸c ®a thøc bËc n trïng nhau trªn n + 2 ®iÓm nªn P n(x) = Qn(x)vµ ®Þnh lý ®îc chøng minh.

§Þnh lý 2.2.4 XÊp xØ tèt nhÊt cña mét hµm ch¼n (lÎ) còng lµ mét hµm ch¼n (lÎ).

Chøng minh: Gi¶ sö f lµ ch¼n th× khi thay x bëi −x ta nhËn ®îc| f (−x) − f ∗(−x) |=| f (x) − f ∗(−x) |≤ E n(f ), ∀x.

Tõ ®ã f ∗(−x) còng lµ xÊp xØ tèt nhÊt f . Bëi phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt lµ duy nhÊt ta suy raf ∗

(x) = f ∗

(−x), ∀x. Tøc lµ f ∗

lµ hµm ch½n.

a. XÊp xØ ®a thøc bËc kh«ng Q0(x)

Cho f ∈ C [a, b]. H·y t×m ®a thøc bËc kh«ng Q0(x) xÊp xØ tèt nhÊt hµm liªn tôc f trªn ®o¹n [a, b].§Æt

m := minx∈[a,b]

f (x), M := maxx∈[a,b]

f (x).

Khi ®ãm

≤f (x)

≤M,

∀x

∈[a, b].


19/77

Gi¶i tÝch sè 16

Bëi Q0(x) lµ ®a thøc bËc kh«ng tøc lµ hµm h»ng nªn ta lÊy Q0(x) = M +m

2 vµ chØ ra r»ng

®a thøc nµy chÝnh lµ ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt f (x). Ta cã

−M − m2

≤ f (x) − Q0(x) ≤ M − m2

,

vËy

| f (x) − Q0(x) |≤ M − m2

, ∀x ∈ [a, b].Gi¶ sö f (x0) = m, f (x1) = M, x0, x1 ∈ [a, b]. DÔ thÊy r»ng x0 vµ x1 lµ d·y ®iÓmChebyshev bëi

f (x0) − Q0(x0) = −M − m2

,

f (x1) − Q0(x1) = M − m2

.

Theo §Þnh lý Chebyshev, Q0 lµ xÊp xØ tèt nhÊt cña f trªn [a, b].

b. XÊp xØ tèt nhÊt ®a thøc bËc mét Q1(x)

XÐt hµm f (x) låi liªn tôc trªn [a, b]. NÕu f (x) lµ tuyÕn tÝnh th× ®a thøc xÊp xØ tètnhÊt còng lµ f (x). Gi¶ sö f (x) kh«ng lµ hµm tuyÕn tÝnh vµ Q1(x) = px + q lµ ®a thøcxÊp xØ tèt nhÊt f (x). §Æt U (x) := f (x) − ( px + q ) th× U (x) còng lµ hµm låi nªn ®¹t cùctrÞ t¹i ®iÓm c

∈[a, b] duy nhÊt. Theo §Þnh lý Chebyshev th× cã ba ®iÓm Chebyshev lu©n

phiªn, vËy hai ®iÓm ®Çu vµ cuèi ph¶i lµ a vµ b. §iÓm cßn l¹i lµ ®iÓm c ∈ (a, b) mµ t¹i ®ãU (x) ®¹t cùc trÞ.Ta cã

U (a) = f (a) − ( pa + q ) = α f − Q1 ,U (c) = f (c) − ( pc + q ) = −α f − Q1 ,

U (b) = f (b) − ( pb + q )= α f − Q1 ; α = ±1.

Tõ U (b) − U (a)= f (b) − f (a) − p(b − a) = 0.

Suy ra

p = f (b) − f (a)

b − a .

§Ó tÝnh q ta xÐt0 = U (a) + U (c)

= f (a)

−( pa + q ) + f (c)

−( pc + q )


20/77

Gi¶i tÝch sè 17

= f (a) + f (c) − p(a + c) − 2q.

VËy2q = f (a) + f (c) − f (b) − f (a)

b − a (a + c)Suy ra

q = f (a) + f (c)

2 − (f (b) − f (a))(a + c)

2(b − a) .

Cuèi cïng ta dÔ kiÓm tra r»ng ®a thøc Q1(x) = px + q tháa c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lýChebyshev.

2.3 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian Hilbert

XÐt kh«ng gian Hilbert H vµ {ei}∞i=1 lµ hÖ trùc chuÈn ®Çy ®ñ, tøc lµ< ei, e j >= δ ij, i , j ∈ N

vµSpan(ei) = H.

Víi mçi x ∈ H lËp tæng FourierS n :=

n

i=1

ciei,

ë ®©y ci :=< x, ei > lµ hÖ sè Fourier cña x. Víi mçi n ∈ N,0 ≤ x − S n 2= x 2 −2 < S n, x > + S n 2

= x 2 −n

i=1

c2i .

VËyn

i=1 c2i ≤ x 2, ∀n ∈ N.

§iÒu nµy chØ ra chuçin

i=1 c2i héi tô vµ cã bÊt ®¼ng thøc Bessel

∞i=1

c2i ≤ x 2 .

Chóng ta ®· biÕt lµ chuçi Fourier∞

i=1 ciei héi tô vµ h¬n n÷a x =∞

i=1 ciei.B©y giê, gi¶ sö H 0 lµ mét kh«ng gian con ®ãng cña kh«ng gian Hilbert H vµ x ∈ H. Bµito¸n ®Æt ra lµ t×m h0 ∈ H 0 sao cho

x

−h0

= inf

h∈H 0 x

−h0

= d(x, H 0).


21/77

Gi¶i tÝch sè 18

Gi¶ sö h0 = arg minh∈H 0 x − h0 vµ cè ®Þnh phÇn tö h ∈ H 0 bÊt kú. Víi α ∈ R xÐthµm

F (α) := x − h0 + αh 2 .§¹o hµm cña F lµ

F (α) = 2 < x − x0, h > +2α h 2 .Râ rµng r»ng

F (0) = minα∈R

F (α) = x − h0 2 .

Bëi vËy F (0) = 0, tøc lµ < x − h0, h >= 0 víi mäi h ∈ H 0. §iÒu nµy chØ ra phÇn tö x − h0 trùc giao víi H 0, (x − h0)⊥H 0. H¬n n÷a,

h0 = arg minh∈H 0

x−

h0

.

Thùc vËy víi mäi h ∈ H 0, ta cã

x − h 2= (x − h0) + (h0 − h) 2

= x − h0 2 + h0 − h 2≥ x − h0 2 .Tøc lµ h0 = arg minh∈H 0 x − h0 . DÊu b»ng chØ x¶y ra khi vµ chØ khi h = h0.

DÔ thÊy r»ng nÕu kh«ng gian H 0 cã sè chiÒu h÷u h¹n th× phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt

h0 = arg minh∈H 0 x − h0 tån t¹i vµ duy nhÊt.


22/77

Gi¶i tÝch sè 19

Ch¬ng 3

XÊp XØ Hµm B»ng §a Thøc Néi Suy

Cho [a, b] ⊂ R. Gäi f (x), x ∈ [a, b] lµ hµm cÇn xÊp xØ, φ0(x), φ1(x),...,φn(x) lµ hÖhµm ®éc lËp tuyÕn tÝnh. §Æt

Rn =

φ(x) =

ni=0

aiφi(x), ai ∈ R

.

3.1 Bµi to¸n néi suy

Cho f (x) ∈ R, xi ∈ [a, b], (i = 0, n) lµ çc ®iÓm ph©n biÖt trªn [a, b]. Tøc lµ

a ≤ x0 < x1 < x2 < .... < xn−1 < xn ≤ b.

Bµi to¸n ®Æt ra, h·y x¸c ®Þnh hµm φ(x) ∈ Rn sao cho f (xi) = φ(xi) (çc ®iÓm xigäi lµ mèc néi suy). §Ó gi¶i bµi to¸n trªn chØ cÇn t×m çc gi¸ trÞ a0, a1,...,an sao chof (xi) =

n j=0 a jφ j(xi). Ta ®· biÕt nÕu

rank

ϕ0(x

0) ϕ

1(x

0) ... ϕn(x

0)

ϕ0(x1) ϕ1(x1) ... ϕn(x1)... ... ... ...ϕ0(xn) ϕ1(xn) ... ϕn(xn)

< n + 1,

th× bµi to¸n néi suy nãi trªn kh«ng cã lêi gi¶i (v× ®Þnh thøc = 0). VÊn ®Ò ®Æt ra lµt×m hÖ hµm {φk(xi)}nk=0 nh thÕ nµo ®Ó víi mäi mèc néi suy xi th× bµi to¸n cña ta cã lêigi¶i.

§Þnh nghÜa 3.1.1 HÖ hµm {φi(x)}ni=0 ®-îc gäi lµ hÖ Chebyshev, nÕu víi mäi d·yc0, c1, c2,...,cn kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng th× hµm x¸c ®Þnh bëi P (x) := ni=0 ciφi(x)cã kh«ng qu¸ n nghiÖm trªn [a, b].

VÝ dô: XÐt hÖ hµm {φi(x)}ni=0, φi(x) = xi th× hÖ {φi(x)}ni=0 lµ Chebyshev v× theo®Þnh lý Taylor, çc ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n cã kh«ng qu¸ n nghiÖm trªn trêng sè thùc.

Chó ý: NÕu hÖ hµm {φi(x)}ni=0 lµ Chebyshev th× nã lµ hÖ hµm ®éc lËp tuyÕn tÝnh.(®iÒu ngîc l¹i cha ch¾c ®óng).

§Þnh lý 3.1.2 NÕu víi mçi i = 0, 1, 2,...,n çc hµm φi(x) lµ kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp


23/77

Gi¶i tÝch sè 20

n + 1 trªn [a, b] vµ víi mäi k = 0, 1, 2,...,n cã ®Þnh thøc Wronskian:

W [φ0, φ1,...,φk] =

ϕ0(x) ϕ1(x) ... ϕn(x)ϕ(1)0 (x) ϕ

(1)1 (x) ... ϕ

(1)n (x)

... ... ... ...

ϕ(n)0 (x) ϕ(n)1 (x) ... ϕ

(n)n (x)

= 0,

víi mäi x ∈ [a, b]. Khi ®ã hÖ hµm {ϕi}ni=0 lµ hÖ hµm Chebyshev.

§Þnh lý 3.1.3 Víi mäi d·y ®iÓm {xi}ni=0 lµ çc mèc néi suy, víi mäi hµm f (x) th×, Tån t¹i ®a thøc néi suy khi vµ chØ khi hÖ hµm {ϕi}ni=0 lµ hÖ hµm Chebyshev.

Chøng minh: Tõ bµi to¸n néi suy ta suy ra ®Ó cã ®a thøc néi suy ta ph¶i gi¶i hÖ ®¹i

sè sau: ni=0 ciϕi(x j) = f (x j)

j = 0, n

§Ó hÖ gi¶i ®îc (cã nghiÖm) th× ®Þnh thøc

=

ϕ0(x0) ϕ1(x0) ... ϕn(x0)ϕ0(x1) ϕ1(x1) ... ϕn(x1)... ... ... ...ϕ0(xn) ϕ1(xn) ... ϕn(xn)

= 0,

víi mäi d·y ®iÓm {xi}n

i=0 vµ xi = x j, i = j .a. Gi¶ sö {ϕi}ni=0 lµ hÖ Chebyshev ta chøng minh = 0. Gi¶ sö = 0 khi ®ã

tån t¹i α j, j = 0, 1, 2,...,n mµ n

j=0 α2 j > 0 sao cho

n j=0 α jϕ j(xi) = 0, nªn hµm

P (x) = n

i=0 α jϕ j(xi) cã (n + 1) nghiÖm vµ ®iÒu nµy lµ v« lý v× hÖ {ϕi}ni=0 lµ hÖChebyshev.

b. Víi mçi hµm f , víi mçi {xi}ni=0, xi = x j, i = j mµ tån t¹i ®a thøc néi suy, tachøng minh hÖ {ϕi}ni=0 lµ hÖ Chebyshev. Gi¶ sö ngîc l¹i r»ng hÖ {ϕi}ni=0 kh«ng lµ hÖChebyshev, tõ ®ã tån t¹i hµm P (x) =

ni=0 ciϕi(x) cã n + 1 nghiÖm trªn ®o¹n [a, b] mµ

ta cã thÓ s¾p xÕp çc nghiÖm ®ã sao cho

a ≤ x0 < x1 < ... < xn ≤ b.

LÊy çc nghiÖm xi nµy lµm mèc néi suy ta cã ni=0 ciϕi(x j) = 0,

j = 0, 1, 2,...,n.

Bëin

j=0 c2 j > 0 nªn = 0, tøc lµ hÖ ®¹i sè hoÆc v« nghiÖm hoÆc v« ®Þnh lµ m©u thuÉn,

vµ ®Þnh lý ®îc chøng minh.


24/77

Gi¶i tÝch sè 21

3.2 Gi¶i hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh ®a thøc néi suy

Tõ hÖ ®¹i sè x¸c ®Þnh ®a thøc néi suy, nÕu ma trËn hÖ sè cã ®Þnh thøc

=

ϕ0(x0) ϕ1(x0) ... ϕn(x0)ϕ0(x1) ϕ1(x1) ... ϕn(x1)... ... ... ...ϕ0(xn) ϕ1(xn) ... ϕn(xn)

= 0.

§Æt

i =

ϕ0(x0) ... f (x0) ... ϕn(x0)ϕ0(x1) ... f (x1) ... ϕn(x1)... ... ... ... ...

ϕ0(xn) ... f (xn) ... ϕn(xn)

,

vµ sö dông ph¬ng ph¸p Cramer ®Ó gi¶i hÖ th× nghiÖm sÏ lµ ci = i

. Tõ ®ã ta cã

Qn(x) =ni=0

ciϕi(x) =ni=0

i ϕi(x).

Khai triÓn ®Þnh thøc ∆i trªn theo cét thø i ta nhËn ®îc

i =n

j=0 f (x j)ij,víi ij lµ phÇn bï ®¹i sè cña f (x j). ThÕ ®Þnh thøc i vµo c«ng thøc tÝnh Qn(x) ta nhËn®îc

Qn(x) =i,j

ji f (x j)ϕi(x)

=n

j=0

f (x j)

ni=0

ji ϕi(x)

=

n j=0

f (x j)φ j(x).

Bëi vËy, ta cã

Qn(x) =

n j=0

f (x j)φ j(x).

NhËn xÐt: a. Víi mçi hµm f (x) do Qn(x) lµ ®a thøc néi suy cña f (x) nªn Qn(x j) =f (x j) =

n j=0 f (x j)φ j(x), suy ra

φ j(xi) = δ ij, ∀i,j.b. Chän f (x) ≡ 1 th× f (x j) = 1 víi mäi j ta suy ra

n

i=0

φ j(xi) = 1.


25/77

Gi¶i tÝch sè 22

Chó ý: CÇn quan t©m ®Õn çc vÊn ®Ò sau:

1. Trong çc bµi to¸n thùc tÕ kh¸c nhau, cÇn chän çc hÖ Chebyshev φi thÕ nµo chophï hîp?

2. §é lÖch gi÷a hµm néi suy vµ ®a thøc néi suy?

3. Chän mèc néi suy nµo ®Ó cã lîi nhÊt?

4. §é ¶nh hëng cña sai sè vµ phÐp ®o?

3.3 §a thøc néi suy Lagrange

Trong bµi to¸n néi suy nÕu lÊy hÖ Chebyshev lµ hÖ hµm {φi(x)}ni=0 = {1,x,...,xn}th× ®a thøc néi suy P n(x) cña hµm cÇn néi suy f (x) cã d¹ng:

P n(x) =n

i=0

cixi.

Bµi to¸n néi suy quy vÒ bµi to¸n: T×m ®a thøc P n(x) sao cho:

P n(x j) = y j , j = 0, 1, 2,...,n.

§Ó x¸c ®Þnh ®a thøc P i(x) bËc n tháa P i(x j) = δ ij. Khi ®ã P i(x) cã d¹ng

P i(x) = A(x − x0)(x − x1)...(x − xi−1)(x − xi+1)...(x − xn).Do 1 = P i(xi) = A(xi − x0)(xi − x1)...(xi − xi−1)(xi − xi+1)...(xi − xn), suy ra

P i(x) = (x − x0)(x − x1)...(x − xi−1)(x − xi+1)...(x − xn)(xi − x0)(xi − x1)...(xi − xi−1)(xi − xi+1)...(xi − xn) .

VËy

P n(x) =

ni=0

yiP i(x).

§a thøc néi suy P n(x) x¸c ®Þnh nh trªn gäi lµ ®a thøc néi suy Lagrange.

VÝ dô: XÐt hµm f cho díi d¹ng b¶ng sau

x 0 2 3 5f (x) 1 3 2 5

T×m ®a thøc néi suy Lagrange cña f .


26/77

Gi¶i tÝch sè 23

Gi¶i: X¸c ®Þnh P i(x), i = 0, 3 nh sau:

P 0(x) = (x − 2)(x − 3)(x − 5)(0 − 2)(0 − 3)(0 − 5) = − 130 (x − 2)(x − 3)(x − 5),

P 1(x) = x(x − 3)(x − 5)2(2 − 3)(2 − 5) =

1

6x(x − 3)(x − 5),

P 2(x) = x(x − 3)(x − 5)3(3 − 2)(3 − 5) = −

1

6x(x − 2)(x − 5),

P 3(x) = x(x − 2)(x − 3)5(5 − 3)(5 − 2) =

1

30x(x − 2)(x − 3).

§a thøc néi suy lµ:

P m(x) = 1P 0(x) + 3P 1(x) + 2P 2(x) + 5P 3(x)

= − 130

(x−2)(x−3)(x−5)+316

x(x−3)(x−5)−216

x(x−2)(x−5)+5 130

x(x−2)(x−3)

= − 130

(x−2)(x−3)(x−5) + 12

x(x−3)(x−5)− 13

x(x−2)(x−5) + 16

x(x−2)(x−3).3.4 Trêng hîp çc mèc néi suy çch ®Òu

Trong néi suy Lagrange nÕu çc mèc néi suy çch ®Òu nhau, tøc lµ

x1 − x0 = x2 − x1 = ... = xn − xn−1 = h.Khi ®ã x1 = x0 + h; x2 = x1 + h...xn = x0 + nh. §Æt

t := x − x0

h .

Suy ra

φi(x) = (x − x0)...(x − xi−1)(x − xi+1)...(x − xn)(xi − x0)...(xi − xi−1)(xi − xi+1)...(xi − xn)

=

ht(th

−h)...(th

−(i

−1)h)(th

−(i + 1)h)...(th

−nh)

ih(ih − h)...(ih − (i − 1)h)(ih − (i + 1)h)...(ih − nh)=

(−1)n−i.t(t − i)...(t − m)i!(n − i)!(t − i)

= (−1)nt(t − 1)...(t − n)

n!

ni=0

(−1)i C inf (xi)

t − i .

VËy, ta cã c«ng thøc

P n(x) = (−1)nt(t − 1)...(t − n)

n!

n

i=0

(−1)i C inf (xi)

t−

i .


27/77

Gi¶i tÝch sè 24

NhËn xÐt:

a. HÖ sè (−1)n−i

C in

t−i kh«ng phô thuéc vµo hµm y = f (x). Nªn ta cã thÓ tÝnh s½n vµ lËpthµnh b¶ng ®Ó tÝnh.

b. NÕu thªm mèc néi suy míi th× ph¶i tÝnh l¹i tõ ®Çu.

VÝ dô 1: T×m ®a thøc néi suy trïng víi y = 3x t¹i c¸c ®iÓm x0 = −1; x1 = 0; x2 = 1.x -1 0 1y 1

3 1 3

.

Q2(x) =

1

3

x(x

−1)

−1(−1 − 1) + 1(x + 1)(x

−1)

1(0 − 1) + 3(x + 1)x

(1 + 1).1 .

= 1

3(x2 − x) − (x2 − 1) + 3

2(x2 + x)

= 4

6x2 +

8

6x + 1 =

2

3x2 +

4

3x + 1.

Tõ ®ã

Q2(x) = 2

3x2 +

4

3x + 1.

3.5 Sai sè cña c«ng thøc néi suy Lagrange

Cho f ∈ C (n+1)[a,b] . X¸c ®Þnh sai sè R(x) = f (x) − P n(x). Gi¶ sö

P n(x) =n

i=0

cixi,

lµ ®a thøc néi suy Lagrange cña f (x) trªn c¸c mèc a ≤ x0 < x1 < ... < xn ≤ b, tøc lµP (xi) = yi, i = 0, 1, 2..., n.

Gäiω(x) = Πni=0(x

−xi) = (x

−x0)(x

−x1)...(x

−xn).

B©y giê lÊy x ∈ [a, b] tïy ý, ta cè ®Þnh gi¸ trÞ x nµy vµ xem víi mäi i th× x = xi (v× nÕux = xi th× sai sè lµ 0). XÐt hµm

ϕ(z ) = f (z ) − P n(z ) − kω, k = Const.T¹i ®iÓm xi, cã

ϕ(xi) = f (xi) − P (xi) − kω(xi), i = 0, n.Chän k ®Ó ϕ(x) = 0, khi ®ã ta cã

k = −P n(x) + f (x)

ω(x)

.


28/77

Gi¶i tÝch sè 25

DÔ thÊy r»ng ϕ(z ) = 0 t¹i (n + 2) ®iÓm lµ x0, x1,...,xn, x. Tõ ®ã suy ra:§¹o hµm bËc 1, ϕ(1)(z ) = 0 t¹i (n + 1) ®iÓm;

§¹o hµm bËc 2, ϕ(2)(z ) = 0 t¹i n ®iÓm;...........................§¹o hµm bËc n, ϕ(n)(z ) = 0 t¹i 2 ®iÓm;

Cuèi cïng sÏ tån t¹i ®iÓm ξ = ξ (x) ∈ [a, b] sao cho ϕ(n+1)(ξ ) = 0. Tõ ®¹o hµm cÊpn + 1 cña ϕ(z ) suy ra

0 = ϕ(n+1)(ξ ) = f (n+1)(ξ ) − k(n + 1)!.

VËy

k = f

(n+1)

(ξ )(n + 1)! ,

k = f (x) − P n(x)

ω(x) .

Nh vËyf (n+1)(ξ )

(n + 1)! =

f (x) − P n(x)ω(x)

.

Tõ ®ã ta cã

R(x) = f (x) − P n(x) = f (n+1)(ξ )

(n + 1)! Πni=0(x − xi).

NÕu ®Æt:M n+1 = sup

x∈[a,b]

f (n+1)(x).

Suy ra:

|f (x) − P n(x)| ≤ | M n+1(n + 1)!

Πni=0(x − xi)|.

VÝ dô 2: Trong VÝ dô 1, ta ®· x¸c ®Þnh ®îc ®a thøc néi suy hµm y = 3x t¹i c¸c mècnéi suy {−1, 0, 1} lµ P 2(x) = 23x2 + 43x + 1. B©y giê, ta x¸c ®Þnh sai sè t¹i x. Sö dôngc«ng thøc sai sè ta cã

R2 = f (x) − P 2(x)=

f (3)(ξ )

3! [(x − x0)(x − x1)(x − x2)].

NÕu ®ÆtM = sup

x∈[−1,1]

|f (3)(x)| = 3(ln3)3.

Khi ®ã sai sè cho bëi

|R2| ≤ 32

(ln3)3|Π2i=0(x − xi)|.


29/77

Gi¶i tÝch sè 26

3.6 Chän mèc néi suy tèi u

Cho hµm f (x) ∈ C (n+1)[a,b] vÊn ®Ò ®Æt ra lµ chän c¸c mèc néi suy nh thÕ nµo ®Ó sai sè trong c«ng thøc néi suy lµ bÐ nhÊt?

1. §a thøc Chebyshev

XÐt ®a thøc bËc n x¸c ®Þnh bëi

T n(x) = cos[n arccos(x)],

trong ®ã n = 0, 1, 2,..., vµ x ∈ [−1, 1].

§Ó thÊy ®îc d¹ng hiÖn cña ®a thøc ta ®Æt θ = arccos(x) t¬ng ®¬ng cos θ = x.Thay vµo biÓu thøc ta cã:

T n±1(x) = cos[(n ± 1)θ]= cos nθ cos θ ∓ sin nθ sin θ.

Suy raT n+1(x) + T n−1(x) = 2xT n(x).

Ta nhËn ®îc c«ng thøc ®Ó tÝnh nh sau

T n+1(x) = 2xT n(x) − T n−1(x).Víi n = 0, 1, 2,..., +∞, ta nhËn ®îc

T 0(x) = cos0 = 1;

T 1(x) = x;

T 2(x) = 2xT 1(x) − T 0(x) = 2 ∗ x2 − 1,..................

T n+1(x) = 2xT n(x)

−T n−1(x).

NhËn xÐt: §a thøc T n(x) lµ ®a thøc bËc n cã hÖ sè ®Çu lµ 2n−1.

§Þnh lý 3.6.1 Trong tÊt c¶ c¸c ®a thøc bËc n víi hÖ sè ®Çu lµ 1 th× ®a thøc T n(x)2n−1

cã®é lÖch so víi 0 nhá nhÊt trªn [−1, 1] (hÖ sè ®Çu hiÓu lµ hÖ sè cña sè h¹ng bËc cao nhÊt trong ®a thøc), tøc lµ víi mäi ®a thøc

P (x) = xn + a1xn−1 + ... + an,

th×

P

≥

T n

2n−1

=

1

2n−1

.


30/77

Gi¶i tÝch sè 27

Chøng minh: Theo c¸ch x¸c ®Þnh cña ®a thøc Chebyshev ta cã

|T n(x)2n−1

| = |cos[n arccos x]2n−1

| ≤ 12n−1

.

§iÒu nµy cã

|T n(x)2n−1

| = 12n−1

,

suy ranθ = kπ,

tøc lµ

θ = kπ

n , k = 0, 1, 2,...,n.

Do ®ã

arccos xk = kπ

n ⇒ xk = cos( kπ

n ).

B©y giê xÐt ®a thøc

Q(x) = T n(xk)

2n−1 − P (xk) = (−1)

k

2n−1 − P (xk).

Tõ gi¶ thiÕt ph¶n chøng ta cã:

|P (xk)| ≤ P < 12n−1

.

§iÒu nµy dÉn ®Õn dÊu cña biÕu thøc Q(xk) chØ phô thuéc vµo dÊu cña biÓu thøc (−1)k

2n−k ,

tøc lµ

Sign(Q(xk)) = Sign[(−1)k2k−1

], k = 0, 1, 2,...,n.

VËy ®a thøc Q(xk) ®æi dÊu n + 1 lÇn nªn Q(x) cã Ýt nhÊt n nghiÖm trªn [a, b] lµ ®iÒu v«lý (bëi Q(x) cã bËc kh«ng qu¸ n).

2. NghiÖm cña ®a thøc Chebyshev

XÐt ®iÓm xk lµ nghiÖm cña T n(x) nghÜa lµ T n(xk) = 0. Bëi T n(x) = cos[n arccos(x)]

vµ theo c¸ch ®Æt θk = arccos(xk) nªn xk = cos(θk), suy ra θk = (2k+1)π

2n . VËy

xk = cos(2k + 1

2n )π, k = 0, 1,...,n − 1.

3. NghiÖm cña ®a thøc Chebyshev trªn ®o¹n [a, b]


31/77

Gi¶i tÝch sè 28

B©y giê xÐt x ∈ [a, b]. Tõ c«ng thøc nghiÖm cña ®a thøc Chebyshev xk ë trªn ta suyra c«ng thøc cña ®a thøc Chebyshev trªn ®o¹n [a, b] b»ng phÐp ®æi biÕn

t = 2x − a − ab

b − a , t ∈ [−1, 1].

Tøc lµ

x = 1

2{(b − a)t + (a + b)}.

Khi ®ã víi mçi ®a thøc P n(x), x ∈ [a, b] ta nhËn ®îc (sau khi ®æi biÕn) ®a thøc

P n(t) = P n(1

2[(b − a)t + (a + b)]) = ( (b − a)

n

2n tn + ...),

suy ra

P n 2n

(b − a)n ≥ 1

2n−1,

vËy

P n ≥ (b − a)n

22n−1 .

Tõ ®ã, ta cã P n = sup

x∈[a,b]

|P n(x)|

= supt∈[−1,1] |P n(b

−a

2 t +

a + b

2 )|

= supt∈[−1,1]

|(b − a)b

2n tn + ...|

= (b − a)n

2n supt∈[−1,1]

|tn + ...| ≥ (b − a)n

2n2n−1 =

(b − a)n22n−1

.

Nh vËy víi mäi ®a thøc P n x¸c ®Þnh trªn [a, b] th×

P n

≥ (b − b)n

2n

.

Nhng theo kÕt qu¶ cña ®Þnh lý trªn th× ®a thøc T n(t)2n−1

lµ ®a thøc cã ®é lÖch nhá nhÊt trªn®o¹n [−1, 1] nªn

T n(2x−a−bb−a

)

2n−1 . (b − a)

n

2n =

(b − a)n22n−1

.

Gi¶ sö nghiÖm cña T n(t) trªn [−1, 1] lµ θi = cos( 2i+1n )π, i = 1, 2,...,n suy ra

xi = 1

2{(b − a)cos 2i + 1

2(n + 1)π + (a + b)}, i = 0, 1,...,n.


32/77

Gi¶i tÝch sè 29

4. Chän mèc néi suy tèi u

Tõ c«ng thøc sai sè cña ph¬ng ph¸p néi suy

|f (x) − P n(x)| ≤ | M n+1(n + 1)!

ni=0

(x − xi)|.

Ta cã: ω(x) :=n

i=0(x − xi), lµ ®a thøc cã bËc n + 1. Theo kÕt qu¶ võa nhËn ®îc th×

ω(x) ≥ (b − a)n+1

22n+1 .

NÕu ta lÊy

ω(x) = T n+1(2x−a−bb−a )

2n . (b − a)n+1

2n + 1 ,

th×

ω(x) = T n+1(2x−a−bb−a

)

2n . (b − a)

n+1

2n+1 =

(b − a)n+122n+1

.

Bëi vËy nÕu ta lÊy çc mèc néi suy chÝnh lµ çc nghiÖm xi, i = 0, 1, 2,...,n th× sai sè

|R(x)| = |f (x) − P n(x)|

≤ | M n+1(n + 1)!

Πni=0(x − xi)| = M n+1(n + 1)!

(b − a)n+122n+1

.

VËy çc nghiÖm xi, i = 0, 1, 2,...,n chÝnh lµ çc mèc néi suy tèi u.

KÕt luËn:

§Ó cã mèc néi suy tèi u th× çc mèc néi suy xi lµ

xi = 1

2{(b − a)cos 2i + 1

2(n + 1)π + (a + b)}, i = 0, 1,...,n.

Khi ®ã, sai sè cho bëi c«ng thøc

|R(x)| ≤ M (n + 1)!

(b − a)n+122n+1

.

VÝ dô:

XÐt hµm f (x) =√

x + 1, T×m ®a thøc néi suy Q3 cña f trªn [0, 1] víi çc mèc néisuy tèi u. Nh vËy, theo kÕt qu¶ ë trªn ta cã 4 mèc néi suy tèi u lµ:

xi = 1

2{cos(

2i + 1

4

π) + 1

}, i = 0, 1, 2, 3.


33/77

Gi¶i tÝch sè 30

§a thøc néi suy

Q3(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3)(x0 − x1)(x0 − x2)(x0 − x3) +

√ x1 + 1 (x − x0)(x − x2)(x − x3)(x1 − x0)(x1 − x2)(x1 − x3)

+√

x2 + 1 (x − x0)(x − x1)(x − x3)(x2 − x0)(x2 − x1)(x2 − x3) + +

√ x3 + 1

(x − x0)(x − x1)(x − x2)(x3 − x0)(x3 − x1)(x3 − x2) .

¦íc lîng tèt nhÊt cña phÐp néi suy trong trêng hîp nµy lµ:

|√ x + 1 − Q3(x)| ≤ 14!27

.


34/77

Gi¶i tÝch sè 31

Ch¬ng 4

TÝnh GÇn §óng §¹o Hµm Vµ TÝch Ph©n

4.1 Dïng néi suy Lagrange tÝnh gÇn ®óng ®¹o hµm

Ta ph¶i tÝnh ®¹o hµm cña mét hµm d¹ng b¶ng hoÆc mét hµm ë d¹ng gi¶i tÝch phøct¹p th× th«ng thêng ta dïng ph¬ng ph¸p tÝnh gÇn ®óng. Ch¼ng h¹n ta cã thÓ thay hµmf (x) b»ng ®a thøc néi suy nµo ®ã cña f (x) lµ P (x) víi phÇn d R(x):

f (x) = P (x) + R(x),

R(x) = f (n+1)(ξ )

(n + 1)!

ni=0

(x − xi), ξ = ξ (x) ∈ (x0, x).

Khi ®ãf (x) = P (x) + R(x).

PhÇn nµy ta sö dông néi suy Lagrange ®Ó tÝnh ®¹o hµm. Thay gÇn ®óng f (x) b»ng ®athøc néi suy Lagrange cÊp n lµ Qn, khi ®ã

f (x) = Qn(x) + R(x).

Trong ®ã

Qn(x) =n

k=0

ykP k(x),

P k(x) = (x − x0)(x − x1)...(x − xk−1)(x − xk+1)...(x − xn)

(xk − x0)(xk − x1)...(xk − xk−1)(xk − xk+1)...(xk − xn) .

Theo c«ng thøc sai sè cña phÐp néi suy Lagrange ta cã:

R(x) = f (n+1)(ξ )

(n + 1)!

n

i=0

(x − xi), ξ = ξ (x) ∈ (x0, x).

Suy ra

R(x) = d

dx{f

(n+1)(ξ )

(n + 1)!

ni=0

(x − xi)}

= f (n+1)(ξ )

(n + 1)! .

d

dx{

ni=0

(x − xi)}.

Tõ ®ã, ta cã

R(xk) = f (n+1)(ξ )

(n + 1)!

d

dx{i=k

(xk − xi)}.


35/77

Gi¶i tÝch sè 32

VÝ dô trong trêng hîp sö dông néi suy Lagrange cÊp 1, Q1(x) ta cã:

Q1(x) = y0x

−x1

x0 − x1 + y1x

−x0

x1 − x0 ,

R(x) = f ”(ξ )

2! (x − x0)(x − x1).

VËy

Q(x0) = y1 − y0x1 − x0 , R

(x0) = f ”(ξ )

2! (x1 − x0).

Khi ®ã cã c«ng thøc ®Ó tÝnh ®¹o hµm cña f lµ

f (x0) = f (x1) − f (x0)

x1 − x0 − f ”(ξ )

2! (x1 − x0).

DÔ thÊy r»ng ®©y l¹i lµ khai triÓn Taylor cña f t¹i x0 ®· biÕt.

4.2 TÝnh gÇn ®óng tÝch ph©n.

Gi¶ sö cÇn tÝnh tÝch ph©n:

I :=

ba

f (x)dx.

§Ó tÝnh gÇn ®óng tÝch ph©n I , th«ng thêng ta thay hµm f (x) b»ng ®a thøc néi suy Q(x)råi lÊy tÝch ph©n ®a thøc néi suy nµy lµm gi¸ trÞ gÇn ®óng cña tÝch ph©n I , tøc lµ

I := ba

f (x)dx ba

Q(x)dx.

4.2.1 Ph¬ng ph¸p h×nh thang.

Cho hµm f (x) x¸c ®Þnh trªn [a, b]. Chia ®o¹n [a, b] thµnh n ®o¹n con b»ng nhau bëic¸c ®iÓm chia xi, víi i := 0, · · · , n sao cho:

a = x0 < x1 < · · · < xn = b.Khi ®ã xi = a + ih, h =

b−an

, i = 0, 1,...,n.

x

y

a bxi−1 xi


36/77

Gi¶i tÝch sè 33

Thay diÖn tÝch h×nh thang cong b»ng diÖn tÝch h×nh thang trªn ®o¹n [xi−1, xi], ta cã xixi−1

f (x)dx = yi−1 + yi

2 h.

T¬ng tù víi c¸c ®o¹n cßn l¹i vµ lÊy tæng trªn tÊt c¶ ®o¹n con, ta cã:

ba

f (x)dx =n−1i=0

xi+1xi

f (x)dx n−1i=0

h.yi + yi+1

2 .

Cuèi cïng ta cã c«ng thøc h×nh thang sau:

b

a

f (x)dx b − a2n

(y0 + 2y1 + ... + 2yn−1 + yn).

C«ng thøc sai sè

a. Sai sè ®Þa ph¬ng: Do ta sö dông ®a thøc néi suy Lagrange Q1(x) ®Ó xÊp xØ f (x)trªn [xi−1, xi], i = 1, 2,...,n. C«ng thøc cô thÓ :

f (x) = yi−1x − xi

xi−1 − xi + yix − xi−1xi − xi−1 + R1(x),

xixi−1

f (x)dx = yi−1 − yi2

.h + xixi−1

R1(x)dx.

Trong ®ã

|R1(x)| = |f ”(ξ )2

(x − xi−1)(x − xi)| ≤ M 2

(x − xi−1)(xi − x)

víi M = supx∈[a,b] |f ”(x)|. Tõ ®ã cã

| xixi−1

f (x)dx − yi−1 − yi2

.h| ≤ xixi−1

|R1(x)|dx

≤ M 2

xixi−1

(x − xi−1)(xi − x)dx = Mh3

12 .

b. Sai sè toµn phÇn: Sai sè toµn phÇn lµ sai sè trªn ®o¹n [a, b]. Ký hiÖu R lµ sai sè toµn phÇn, ta cã

R = n.Mh3

12 =

M (b − a)12

h2.

VÝ dô: TÝnh tÝch ph©n I = 10

ex2

dx b»ng ph¬ng ph¸p h×nh thang víi n = 10. Ta cã:

M := max

x∈[0,1]{|y(2)(x)

|}= max

x∈[0,1]{|4(4x + 1)ex

2

|}= 20.e.


37/77

Gi¶i tÝch sè 34

C«ng thøc tÝnh nh sau:

I = 10 e

x2

dx

120

{1+e+2(e(0,1)2 +e(0,2)2 +e(0,3)2 +e(0,4)2 +e(0,5)2 +e(0,6)2 +e(0,7)2 +e(0,8)2 +e(0,9)2)}.Trong ®ã sai sè toµn phÇn cho bëi:

|R| ≤ (b − a)Mh2

12 =

(0, 1)2.20.e

12 .

4.2.2 Ph¬ng ph¸p Parabol

Cho hµm f (x) x¸c ®Þnh trªn [a, b]. Chia ®o¹n [a, b] thµnh 2n ®o¹n con b»ng nhau bëic¸c ®iÓm chia xi, víi i := 0, · · · , 2n sao cho:

a = x0 < x1 < · · · < x2n = b.

Khi ®ã xi = a + ih, h = b−a2n

, i = 0, 1,..., 2n.

x

y

a bx2i−2

M 2i−2

x2i−1

M 2i−1

x2i

M 2i

Trªn mçi ®o¹n [x2i−2, x2i], i = 1, 2,...,n, ta thay f (x) b»ng ®a thøc néi suy bËc haiQ2(x) víi c¸c mèc néi suy x2i−2, x2i−1, x2i C«ng thøc cô thÓ :

Q2(x) = y2i−2 (x − x2i−1)(x − x2i)(x2i−2 − x2i−1)(x2i−2 − x2i)

+y2i−1(x − x2i−2)(x − x2i)

(x2i−1 − x2i−2)(x2i−1 − x2i)

+y2i(x − x2i−2)(x − x2i−1)

(x2i − x2i−2)(x2i − x2i−1) .

Theo c«ng thøc néi suyf (x) = Q2(x) + R2(x).


38/77

Gi¶i tÝch sè 35

Tõ ®ã

x2ix2i−2

f (x)dx = x2ix2i−2

Q2(x)dx + x2ix2i−2

R2(x)dx.

DÔ thÊy x2ix2i−2

Q2(x)dx = h

3(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i).

VËy x2ix2i−2

f (x)dx = h

3(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i) +

x2ix2i−2

R2(x)dx.

T¬ng tù víi c¸c ®o¹n cßn l¹i vµ lÊy tæng trªn tÊt c¶ ®o¹n con, ta cã:

ba

f (x)dx =

ni=1

x2ix2i−2

f (x)dx ni=1

h3 (y2i−2 + 4y2i−1 + y2i).

Cuèi cïng ta cã c«ng thøc ®Ó tÝnh tÝch ph©n nh sau: ba

f (x)dx b − a6n

(y0 + 4y1 + 2y2 + ... + 4y2n−1 + y2n).

C«ng thøc sai sè

a. Sai sè ®Þa ph¬ng: §Æt

R =

xi+hxi−h

f (x)dx − h3

[f (xi − h) + 4f (xi) + f (xi + h)].

XÐt hµm

Φ(t) =

xi+txi−t

f (x)dx − t3

[f (xi − t) + 4f (xi) + f (xi + t)].

§Æt

F (t) := Φ(t) − ( th

)5Φ(h), 0 ≤ t ≤ h.DÓ thö l¹i r»ng F (0) = F (h) = 0; F (0) = F ”(0) = 0,

F (3)(t) = − t3

[f (3)(xi + t) − f (3)(xi − t)] − 60t2

h5 Φ(h).

Sö dông ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh cho f (3) nªn tån t¹i ξ ∈ [xi + t, xi − t] sao chof (3)(xi + t) − f (3)(xi − t) = f (4)(ξ )(xi + t − xi + t).

Suy ra

F (3)(t) =

−2t2

3

[f (4)(ξ ) + 90

h5Φ(h)].


39/77

Gi¶i tÝch sè 36

Bëi F (0) = F (h) nªn tån t¹i t1 ∈ (0, h),

F (t1) = 0.

Bëi F (0) = F (t1) nªn tån t¹i t2 ∈ (0, t1),

F ”(t2) = 0.

Bëi F ”(0) = F ”(t2) nªn tån t¹i t3 ∈ (0, t2),

F (3)(t3) = 0.

Suy ra

Φ(h) = −h5

90f (4)(ξ ), xi − t3 ≤ xi + t3.

VËy xi+hxi−h

f (x)dx = h

3[f (xi − h) + 4f (xi) + f (xi + h)] − h

5

90f (4)(ξ ).

§Æt M := maxx∈[a,b] |f (4)(x)|, ta nhËn ®îc

|R| ≤ Mh5

90 .

b. Sai sè toµn phÇn lµRTp ≤ (b − a)

180 Mh4.

VÝ dô: TÝnh tÝch ph©n I = 10

ex2

dx b»ng ph¬ng ph¸p Parabol víi n = 5. Ta cã:

M := maxx∈[0,1]

{|y(4)(x)|} = maxx∈[0,1]

{|4(4x4 + 12x3 + 3)ex2|} = 76.e.

C«ng thøc tÝnh nh sau:

I = 1

0

ex2

dx

130

{1+e+2(e(0,2)2+e(0,4)2+e(0,6)2+e(0,8)2)+4(e(0,1)2+e(0,3)2+e(0,5)2+e(0,7)2+e(0,9)2)}.Trong ®ã sai sè toµn phÇn cho bëi:

|R| ≤ (b − a)Mh4

180 =

(0, 1)4.76.e

180 .


40/77

Gi¶i tÝch sè 37

Ch¬ng 5

Gi¶i Ph¬ng Tr×nh Phi TuyÕn

Ch¬ng nµy tr×nh bµy mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh f (x) = 0 trong ®ãf : R→ R.

5.1 Ph¬ng ph¸p ®å thÞ

§Çu tiªn ta t×m çch ®a ph¬ng tr×nh f (x) = 0 vÒ d¹ng t¬ng ®¬ng

g(x) = h(x),

TiÕp theo vÏ ®å thÞ cña çc hµm y = g(x) vµ y = h(x) ®Ó t×m giao ®iÓm cña çc ®å thÞnµy. Hßanh ®é giao ®iÓm chÝnh lµ nghiÖm ξ cÇn t×m.

x

y

0

y = g(x)

y = h(x)

a bξ

5.2 Ph¬ng ph¸p chia ®«i.

Gi¶ sö f (x) liªn tôc trªn (a, b) vµ f (a).f (b) < 0 th× f (x) cã Ýt nhÊt mét nghiªm trªn

(a, b). Ta dïng ph¬ng ph¸p chia ®«i liªn tiÕp ®o¹n [a, b] ®Ó t×m gi¸ trÞ gÇn ®óng cñanghiÖm nh sau. Kh«ng mÊt tæng qu¸t xem f (a) < 0 < f (b). Chia ®«i [a, b] bëi ®iÓm

c = a + b

2 . NÕu f (c) = 0, th× c = ξ . NÕu f (c) = 0, x¶y ra hai trêng hîp:

a. NÕu f (c)f (a) < 0, th× chän ®o¹n [a1, b1], a1 = a, b1 = c.b. NÕu f (c)f (b) < 0, th× chän ®o¹n [a1, b1], a1 = c, b1 = b.

Khi ®ã f (a1) vµ f (b1) tr¸i dÊu. TiÕp tôc qu¸ tr×nh nªu trªn, cuèi cïng hoÆc cã c ®Ó

f (c) = 0, hoÆc ta x©y dùng ®îc d·y ®o¹n th¾t l¹i [an, bn], n ∈ N, mµ bn − an = b − a2n

tháa f (an) < 0 < f (bn). Theo nguyªn lý d·y ®o¹n th¾t l¹i sÏ tån t¹i ξ, an < ξ


41/77

Gi¶i tÝch sè 38

bn, ∀n ∈ N. Ta chøng minh f (ξ ) = 0. ThËt vËy. Do bn − an = b − a2n

→ 0, khi n → ∞,

nªn cã limn→∞

an = limn→∞

bn = ξ.

Bëi f liªn tôc suy ra, f (ξ ) = limn→∞

f (an) ≤ 0 vµ f (ξ ) = limn→∞

f (an) ≥ 0. VËy f (ξ ) = 0.

x

y

0a1 = a a2 a3

b4

a4

b1 = bb2b3

f (a)

f (b)

ThuËt tãan thùc hiÖn nh sau:

Bíc 1. LÊy c = a+b2 .

NÕu f (c) = 0. Ta cã c lµ nghiÖm vµ dõng thuËt to¸n.

NÕu f (c).f (a) < 0 th× b := c.

NÕu f (c).f (a) > 0 th× a := c.

Bíc 2. NÕu |b − a| < ε th× nghiÖm gÇn ®óng lµ c. NÕu kh«ng quay l¹i bíc 1.

VÝ dô: Dïng ph¬ng ph¸p chia ®«i gi¶i gÇn ®óng f (x) = x4 + 2x3 − x − 1 trªn ®o¹n[0, 1] víi sè bíc n = 5. Do f (0) = −1, f (1) = 1 nªn nghiÖm x∗ ∈ [0, 1].Chia ®«i [0, 1], c1 = 0.5, f (0.5) = −1.19. Ta chän [a1, b1] = [0.5, 1]. TiÕp tôc chia ®«ita cã:

F (0.75) = −0.59, f (0.875) = 0.05,f (0.8125) = −0.304, f (0.8438) = −0.135, f (0.8594) = 0.043.

VËy nghiÖm gÇn ®óng

x∗ 12

(0.859 + 0.875) = 0.867.


42/77

Gi¶i tÝch sè 39

5.3 Ph¬ng ph¸p lÆp ®¬n.

§Ó gi¶i ®îc b»ng ph¬ng ph¸p lÆp ta ®a ph¬ng tr×nh f (x) = 0 vÒ d¹ng

x = Φ(x).

NÕu Φ(x) ∈ [a, b] , Φ(x) ≤ q 0, khi phÐp lÆp tháac«ng thøc

| xn+1 − xn |< (1

−q )

q

th× dõng vµ lÊy xn+1 lµ nghiÖm gÇn ®óng (c«ng thøc nµy lµ ®iÒu kiÖn dõng). ThËt vËy:D·y {xn} lµ d·y Cauchy v× víi mäi n, ∃cn ∈ [a, b] sao cho

| xn+1 − xn |=| Φ(xn) − Φ(xn−1) |

=| Φ(cn) | × | xn+1 − xn |≤ q | xn+1 − xn | .Tõ ®ã, ta cã

| xn+1 − xn |≤ q | xn − xn−1 |,

| xn − xn−1 |≤ q | xn−1 − xn−2 |,| x2 − x1 |≤ q | x1 − x0 | .

VËy| xn+1 − xn |≤ q n | x1 − x0 | .

Víi mçi p ∈ N ta cã:| xn+ p − xn |

=| xn+ p − xn+ p−1 + xn+ p−1 − ... + xn+1 − xn |≤ q n+ p+1 | x1 − x0 | +... + q n | x1 − x0 |= q n(1 + q + q 2 + ... + q n−1) | x1 − x0 | .

Tõ ®ã

| xn+ p − xn |≤ q n

1 − q | x1 − x0 | .

Bëi 0 ≤ q


43/77

Gi¶i tÝch sè 40

Cho p → +∞ trong biÓu thøc

| xn+ p − xn |≤ q n

1 − q | x1 − x0 | .

Ta cã

| xn − x∗ |≤ q n

1 − q | x1 − x0 | .

Cã nhiÒu c¸ch ®a ph¬ng tr×nh f (x) = 0 vÒ d¹ng gi¶i ®îc b»ng ph¬ng ph¸p lÆp ®¬n,ch¼ng h¹n xÐt hµm nµo ®ã µ(x) = 0, ∀x ∈ [a, b], ®Æt

Φ(x) = x + µ(x)f (x).

Hµm µ(x) ®îc chän sao cho ∀x ∈ [a, b], | Φ(x) < 1. VÝ dô, nÕu f (x∗) = 0 ta cã thÓlÊy

µ(x) = − 1f (x)

.

Khi ®ã

Φ(x) = x − f (x)f (x)

.

H¬n n÷a ®¹o hµm cÊp 1 cña Φ lµ

Φ = f.f ”

(f )2.

Bëi Φ(x∗) = 0 vµ Φ liªn tôc nªn tån t¹i α > 0 sao cho

∀x ∈ (x∗ − α, x∗ + α) ∝, | Φ(x) |≤ q


44/77

Gi¶i tÝch sè 41

5.4 Ph¬ng ph¸p d©y cung

Gi¶ sö ph¬ng tr×nh f (x) = 0 cã nghiÖm duy nhÊt trªn [a, b], f ∈ C 2[a,b], vµ f , f ”kh«ng ®æi dÊu trªn [a, b]. §iÓm x ∈ [a, b] ®îc gäi lµ ®iÓm Fourier, nÕu f (x)f ”(x) > 0.

a) Trêng hîp f 0, ∀x ∈ [a, b]. DÔ thÊy trong trêng hîp nµy a lµ ®iÓmFourier v× f (a) > 0.Gäi xk lµ xÊp xØ thø k cña nghiÖm, x0 = b lµ xÊp xØ ban ®Çu

x

y

0

y = f (x)

a bξ x1x2

M (a, f (a))

N 0(b, f (b))N 1(x1, f (x1))

Hoµnh ®é giao ®iÓm cña d©y cung M N k vµ trôc hoµnh trong ®ã M (a, f (a)) vµN k(xk, f (xk)) lµ xÊp xØ xk+1.Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua M vµ N k nh sau:

y = f (a) + f (xk) − f (a)

xk − a (x − a).Cho y = 0 ta cã:

xk+1 = xk − f (xk)(xk − a)f (xk) − f (a) .

Suy ra

xk+1 − xk = − f (xk)

f (xk) − f (a) (xk − a).Cuèi cïng ta nhËn ®îc c«ng thøc d©y cung

xk+1 = xk − f (xk)f (xk) − f (a)(xk − a), k = 1, 2, ..., +∞.

VËy trong trêng hîp nµy d·y {xk} lµ d·y ®¬n ®iÖu gi¶m héi tô tíi nghiÖm.


45/77

Gi¶i tÝch sè 42

b) Trêng hîp f > 0, f ” > 0. Còng t¬ng tù nh trêng hîp a) ®· tr×nh bµy ë trªnnhng víi ®iÓm b lµ Fourier vµ xÊp xØ ban ®Çu lµ a ta cã c«ng thøc lÆp sau:

xk+1 = xk − f (xk)(xk − b)f (xk) − f (b) .

C«ng thøc sai sè

1. C«ng thøc sai sè thø nhÊt: Gi¶ sö |f (x)| ≥ m > 0, ∀x ∈ [a, b]. Khi ®ã cã

|f (xk)| = |f (xk) − f (x∗)|

= |f (uk)(xk − x∗)| ≥ m|xk − x∗|.VËy ta cã c«ng thøc sai sè thø nhÊt:

|xk+1 − x∗| ≤ |f (xk)|m

.

2. C«ng thøc sai sè thø hai: Gi¶ sö

∀x ∈ [a, b], 0 < m ≤ |f (x)| ≤ M.

Tõ c«ng thøc d©y cung ta cã:

xk+1 = xk − f (xk)(xk − a)f (xk) − f (a) .

Suy ra

−f (xk) = f (xk) − f (a)xk − a (xk+1 − xk).

XÐt vÕ tr¸i, do f (x∗) = 0 vµ tõ c«ng thøc sè gia, tån t¹i uk ∈ (x∗, xk) sao cho

−f (xk) = f (x

∗)

−f (xk) = (x

∗

−xk)f

(uk).

XÐt vÕ ph¶i, tõ c«ng thøc sè gia, tån t¹i x̄k ∈ (xk+1, xk) sao chof (xk) − f (a)

xk − a .(xk+1 − xk) = f ( x̄k)(xk+1 − xk).

VËy(x∗ − xk)f (uk) = f ( x̄k)(xk+1 − xk).

Tõ ®ã(x∗ − xk+1 + xk+1 − xk)f (uk) = f ( x̄k)(xk+1 − xk).


46/77

Gi¶i tÝch sè 43

Hay

|x∗

− xk+1| = |f ( x̄k)

−f (uk)

||f (uk)| .|xk+1 − xk|.H¬n n÷a do

|f ( x̄k − f (uk)| ≤ M − m,suy ra cã c«ng thøc sai sè thø 2,

|xk+1 − x∗| ≤ M − mm

|xk+1 − xk|.

VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh f (x) = x3 − 0.02x2 − 0.2x − 1.2 = 0 trªn [0, 1.5] víi = 0.002.

DÔ thÊy ®iÓm Fourier lµ b = 1.5 vµ m = 3.49. §Æt

f n = x3n − 0.2x2n − 0.2 − 1.2

ta cã

xn+1 = xn − f n1.425 − f n (1.5 − xn).

Bëi x3 = 1.198, f (x3) −0.0072. Sai sè cho bëi

| x3 − x∗ |< 0.00723.49

0.002.

5.5 Ph¬ng ph¸p tiÕp tuyÕn

XÐt hµm f (x) cã nghiÖm duy nhÊt, cã c¸c ®¹o hµm cÊp 1 vµ 2 liªn tôc vµ gi÷ nguyªndÊu (f , f ” hoÆc d¬ng hoÆc ©m) trªn ®o¹n [a, b]. Chän ®iÓm x0 sao cho f (x0)f ”(x0) > 0,®iÓm nµy ®îc gäi lµ ®iÓm Fourier.

Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®êng cong y = f (x) t¹i ®iÓm M 0(x0, f (x0)) cã d¹ng

y = f (x0)(x − x0) + f (x0).

TiÕp tuyÕn c¾t trôc hßanh t¹i ®iÓm x1,

0 = f (x0)(x1 − x0) + f (x0).

Tõ ®ã, ta cã

x1 = x0 − f (x0)f (x0)

.

Víi vai trß x0 lµ xn ta cã d¹ng tæng qu¸t

xn+1 = xn

−

f (xn)

f

(xn)

, n = 1, 2,..., +

∞.


47/77

Gi¶i tÝch sè 44

D·y lÆp nµy ta gäi lµ d·y lÆp Newton.

§Þnh lý 5.5.1 Víi c¸c gi¶ thiÕt trªn, d·y lÆp Newton héi tô tíi nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh f (x) = 0.

Chøng minh: Kh«ng gi¶m tæng qu¸t coi f ” > 0, f x∗ th× do f


48/77

Gi¶i tÝch sè 45

§Ó m« t¶ vÒ mÆt h×nh häc cña thuËt to¸n nªu trong chøng minh cña ®Þnh lý trªn, taxem h×nh sau:

x

y

0

y = f (x)

a b

x∗

x1x2

M (b, f (b))

N 1(x1, f (x1))

N (a, f (a))C«ng thøc sai sè

Gi¶ sö |f ”(x)| ≤ M 1 vµ |f (x)| ≥ M 2 víi mäi x ∈ [a, b]. Mét mÆt ta cã

f (xn+1) = f (xn+1) − f (x∗) = f (x̄n+1)(xn+1) − x∗).

Suy ra

|xn+1 − x∗| ≤ f (xn+1)M 2 |xn+1 − xn|2.MÆt kh¸c tõ c«ng thøc Taylor, ta cã

f (xn+1) = f (xn) + f (xn)(xn+1 − xn) + f ”(ξ n)

2 (xn+1 − xn)2

= f ”(ξ n)

2 (xn+1 − xn)2.

Tõ ®ã, suy ra

|f (xn+1)| ≤ M 1

2 |xn+1 − xn|2

.VËy ta cã c«ng thøc sai sè

|xn+1 − x∗| ≤ M 12M 2

|xn+1 − xn|2.

Tèc ®é héi tô nhanh h¬n ph¬ng ph¸p d©y cung, lËp tr×nh t¬ng ®èi ®¬n gi¶n.

VÝ dô: Dïng ph¬ng ph¸p tiÕp tuyÕn gi¶i ph¬ng tr×nh tg(x)x − 1 = 0 trªn (π, 3.π

2 ) sai

sè = 0.0001.


49/77

Gi¶i tÝch sè 46

ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh trªn nh sau:

f (x) = sin(x) − x sin(x) = 0.DÔ thÊy f (x) < 0, f ”(x) < 0, ∀x ∈ (π, 3.π

2 ). Dïng c«ng thøc

xn+1 = xn − f (xn)f (xn)

, n = 0, 1, 2,...

LÊy x0 = 3.π2

, ta nhËn ®îc x1 = 9, x2 = 4.50004, x3 = 4.49343. Sai sè cho bëi c«ngthøc:

|x3 − x∗| ≤ 3.π4 |x3 − x2|2

= 3.π4 |4.49343 − 4.50005|2

= 3.π

4 |0.00662|2 0.0001.

5.6 Gi¶i ®a thøc

PhÇn nµy xÐt ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh f (x) = 0 víi f (x) lµ mét ®a thøc bËc nnµo ®ã. Gi¶ sö f (x) =

ni=0 aix

i ta cã thÓ viÕt l¹i nã ë d¹ng Horner

f (x) = a0 + x(a1 + ... + x(an−1 + xan))...).

§Ætbn−1 = an

bn−2 = an−1 + xbn−1

...............

bi−1 = ai + xbi

...............

b0 = a1 + xb1

f (x) = a0 + xb0.

§Ó tÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc mµ ta dïng c¸ch ®Æt ë trªn, ta gäi lµ ph¬ng ph¸p Horner.TÝnh to¸n ®îc thùc hiÖn theo s¬ ®å sau:

Gi¶ sö cÇn chia ®a thøc f (x) cho (x − x0). Ta viÕt nh sau

f (x) = (x − x0)Qn−1(x) + f (x0).

Trong ®ãQn−1(x) = β 0 + β 1x + ... + β n−1x

n−1.


50/77

Gi¶i tÝch sè 47

Tõ ®ã cã

f (x) = β n−1xn

+ (β n−2 − x0β n−1)xn−1

+ ... + (β 0 − x0β 1)x + f (x0) − x0β 0.So s¸nh c¸c hÖ sè, ta cã

an = β n−1,

an−1 = β n−2 − x0β n−1,.................

a1 = β 0 − x0β 1,a0 = f (x0) − x0β 0.

So s¸nh víi ph¬ng ph¸p Horner ®· tr×nh bµy ë trªn víi f (x0) ta suy ra bi = β i,

∀i :=

0, 1...n. Sö dông liªn tiÕp ph¬ng ph¸p, ta cã

f (x) = (x − x0)Qn−1(x) + R0(x0),Qn−1(x) = (x − x0)Qn−2(x) + R1(x0),

.................

Q1(x) = (x − x0)Q0(x) + Rn−1(x0),Q0(x) = Rn(x).

VËy

f (x) = R0(x0) + R1(x0)(x − x0) + ... + Rn(x0)(x − x0)n

.Theo c«ng thøc Taylor th×

f (x) =ni=0

f (i)(x0)

i! (x − x0)i.

So s¸nh hai biÓu thøc cïng cña f (x) suy ra:

f (i)(x0) = i!Ri(x0), i := 0, 1,...,n.

trong ®ã Ri(x0) ®îc tÝnh tõ ph¬ng ph¸p Horner.

5.7 Gi¶i hÖ hai ph¬ng tr×nh phi tuyÕn b»ng ph¬ng ph¸p lÆp ®¬n

XÐt hai ph¬ng tr×nh víi hai Èn: F 1(x, y) = 0,F 2(x, y) = 0.

Gi¶ sö hÖ cã nghiÖm c« lËp. §Ó sö dông ph¬ng ph¸p lÆp ta ®a hÖ trªn vÒ d¹ng:

x = Φ1(x, y),y = Φ2(x, y).


51/77

Gi¶i tÝch sè 48

ThuËt to¸n thùc hiÖn nh sau:

xn+1 = Φ1(xn, yn),yn+1 = Φ2(xn, yn).

Trong ®ã (x0, y0) lµ gi¸ trÞ ban ®Çu.

Gi¶ sö hÖ chØ cã nghiÖm duy nhÊt (x∗, y∗) trong U = [a, b] × [a, b] ⊂ R2. C¸c hµmΦ1(x, y), Φ2(x, y) kh¶ vi liªn tôc trong U .

|∂ Φ1∂x

| + |∂ Φ2∂y

| ≤ q 1 < 1,

|∂ Φ1∂x | + |∂ Φ2∂y | ≤ q 2 < 1.HoÆc

|∂ Φ1∂x

| + |∂ Φ1∂y

| ≤ q 1 < 1,

|∂ Φ2∂x

| + |∂ Φ2∂y

| ≤ q 2 < 1.

C¸c gi¸ trÞ (xn, yn) ∈ U, ∀n = 0, 1, 2, ..., +∞, th× d·y ®iÓm xÊp xØ (xn, yn) x¸c ®Þnh trªnhéi tô tíi nghiÖm (x∗, y∗) cña hÖ. Sai sè cho bëi:

|xn − x∗| + |yn − y∗| ≤ max{q 1, q 2}1 − max{q 1, q 2}(|xn − xn−1| + |yn − yn−1)|.


52/77

Gi¶i tÝch sè 49

Ch¬ng 6

Gi¶i HÖ Ph¬ng Tr×nh §¹i Sè TuyÕn TÝnh

6.1 Mét vµi kh¸i niÖm cÇn thiÕt

XÐt hÖ ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2,

......................................an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn.

Ma trËn hÖ sè cña hÖ

A :=

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n.....................an1 a12 ... ann

ViÕt díi d¹ng to¸n tö tuyÕn tÝnh

Ax = b.

Trong ®ãb = (b1, b2,...,bn)

∈ Rn x = (x1, x2,...,xn) ∈ Rn.

6.2 Ph¬ng ph¸p Gauss

6.2.1 Ph¬ng ph¸p Gauss gi¶i hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh

§Ó thuËn tiÖn cho thuËt to¸n ta xÐt hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh trªn víi c¸ch ®Æt (c¸c sè h¹ngtù do) ai,n+1 := bi. Khi ®ã hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh trë thµnh

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = a1,n+1,a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = a2,n+1,......................................................an1x1 + an2x2 + ... + annxn = an,n+1.

Ph¬ng ph¸p ®îc chia thµnh hai bíc


53/77

Gi¶i tÝch sè 50

a. Bíc thuËn: Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®a hÖ vÒ d¹ng tam gi¸c trªn (D∗)sau:

x1 + b(0)12 x2 + b

(0)13 x3 + ... + b

(0)1,n−1xn−1 + b

(0)1,nxn = b

(0)1,n+1

0.x1 + x2 + b(1)23 x3 + ... + b

(1)2,n−1xn−1 + b

(1)2n xn = b

(0)2,n+1

................................................................................

0.x1 + 0.x2 + 0.x3 + ... + xn−1 + b(n−2)n−1,nxn = b

(n−2)n−1,n+1

0.x1 + 0.x2 + 0.x3 + ... + 0.xn−1 + xn = b(n−1)n,n+1

Ph¬ng ph¸p cô thÓ nh sau: Gi¶ sö a11 = 0 ta chia ph¬ng tr×nh ®Çu cho phÇn tö dÉn a11 cã:

x1 + b(0)12 x2 + b

(0)13 x3 + ... + b

(0)1,n−1xn−1 + b

(0)1,nxn = b

(0)1,n+1.

Víib(0)1 j =

a1 ja11

.

§Ó khö x1 trong çc ph¬ng tr×nh cßn l¹i ta lÇn lît nh©n ph¬ng tr×nh trªn choa21, a31,...,an1 vµ lÊy çc ph¬ng tr×nh thø i, i = 2, 3,...,n trõ t¬ng øng cho çc ph¬ngtr×nh võa nhËn ®îc. KÕt qu¶ ta nhËn ®îc hÖ míi:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = a1,n+1,

0x1 + a(1)22 x2 + ... + a

(1)2n xn = a

(1)2,n+1,

......................................................

0x1 + a(1)n2 x2 + ... + a

(1)nnxn = a

(1)n,n+1.

Trong ®ãa(1)ij = aij − aikb(0)kj , i = 2, 3,...,n,j = 2, 3,...,n.

TiÕp tôc ta chia ph¬ng tr×nh thø hai cho phÇn tö dÉn a(1)22 cã

x2 + b(1)23 x3 + ... + b

(1)1n xn = b

(1)2,n+1.

Víi

b(1)2 j =a(1)2 j

a(1)22

, j = 3, 4,...,n.

T¬ng tù nh trªn cho tíi khi nhËn ®îc hÖ tam gi¸c trªn (T ∗) sau:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = a1,n+1,

0x1 + a(1)22 x2 + ... + a

(1)2n xn = a

(1)2,n+1,

.............................................................

0x1 + 0.x2 + ... + a(n−1)nn xn = a

(n−1)n,n+1.


54/77

Gi¶i tÝch sè 51

Chia ph¬ng tr×nh thø i trong hÖ nµy cho phÇn tö dÉn t¬ng øng a(i−1)ii , i = 1, 2,...,nta nhËn ®îc hÖ cã d¹ng tam gi¸c trªn (D∗).

b. Bíc ngîc: Dïng phÐp thÕ liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ ph¬ng tr×nh cuèi cïng trë lªn ®Óx¸c ®Þnh nghiÖm xn, xn−1,...,x2, x1. C«ng thøc tÝnh nh sau:

a(k)ij = a(k−1)ij − a(k−1)ik b(k−1)kj , i, j = k, k + 1,...,n,

b(k−1)kj =a(k−1)kj

a(k−1)kk

, j = k + 1,...,n.

Ph¬ng ph¸p trªn thùc hiÖn ®îc nÕu a(k−1)kk = 0. NÕu kh«ng th× b»ng çch chuyÓn dßng(cét) t¬ng øng ®Ó cã ®îc trêng hîp trªn.

VÝ dô: Ph¬ng ph¸p ®îc tr×nh bµy cô thÓ (cho hÖ 4 ph¬ng tr×nh 4 Èn) nh sau

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = a15,a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = a25,a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = a35,a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = a45.

a. Bíc thuËn: Gi¶ sö a11 = 0, ta chia ph¬ng tr×nh thø nhÊt cho phÇn tö dÉn a11 thu

®îc:x1 + b

(0)12 x2 + b

(0)13 x3 + b

(0)14 x4 = b

(0)15

víi b(0)1 j = a1ja11

.

§Ó khö x1 trong ba ph¬ng tr×nh cßn l¹i ta lÇn lît nh©n ph¬ng tr×nh trªn choa21, a31, a41 vµ lÊy çc ph¬ng tr×nh thø i, i = 2, 3, 4 trõ t¬ng øng cho çc ph¬ng tr×nhvõa nhËn ®îc. KÕt qu¶ ta nhËn ®îc hÖ míi:

a(1)

22 x

2 + a(1)

23 x

3 + a(1)

24 x

4 = a(1)

25 ,

a(1)32 x2 + a

(1)33 x3 + a

(1)34 x4 = a

(1)35

a(1)42 x2 + a(1)43 x3 + a

(1)44 x4 = a

(1)45 .

Trong ®ãa(1)ij = aij − aikb(0)kj , i = 2, 3, 4, j = 2, 3, 4, 5.

TiÕp tôc ta chia ph¬ng tr×nh thø nhÊt cho phÇn tö dÉn a(1)22 cã

x2 + b(1)23 x3 + b

(1)14 x4 = b

(1)25 .


55/77

Gi¶i tÝch sè 52

Víi

b(1)

2 j =

a(1)2 j

a(1)22 , j = 3, 4, 5.

T¬ng tù c¸ch trªn ta khö x2 trong hÖ ta nhËn ®îc hÖ a

(2)33 x3 + a

(2)34 x4 = a

(2)35 ,

a(2)43 x3 + a(2)44 x4 = a

(2)45 ,

víia(2)ij = a

(1)ij − a(1)i2 b(1)2 j , i = 3, 4, j = 3, 4, 5.

Chia ph¬ng tr×nh ®Çu cña hÖ cho a(2)33 ®îc

a(3)44 x4 = a

(3)45 .

Trong ®ã

a(3)ij = a

(2)ij − a(2)i3 b(2)3 j , i = 4, j = 4, 5.

Chia ph¬ng tr×nh nhËn ®îc cho a(3)44 cã

x4 = a

(3)45

a(3)44

= b(3)45 .

GÐp c¸c ph¬ng tr×nh nhËn ®îc, ta ®îc hÖ

x1 + b(0)12 x2 + b

(0)13 x3 + b

(0)14 x4 = b

(0)15 ,

0.x1 + x2 + b(1)23 x3 + b

(1)24 x4 = b

(1)25 ,

0.x1 + 0.x2 + x3 + b(2)34 x4 = b

(2)35 ,

0.x1 + 0.x2 + 0.x3 + x4 = b(3)45 .

Bíc thuËn kÕt thóc.

b. Bíc ngîc: Tõ ph¬ng tr×nh cuèi cïng, ta cã

x4 = b(3)45 .

ThÕ x4 vµo ph¬ng tr×nh thø ba ®îc

x3 = b(2)35 − b(2)34 x4.

ThÕ x3, x4 vµo ph¬ng tr×nh thø hai cã:

x2 = b(1)25 − b(1)24 x4 − b(1)23 x3.


56/77

Gi¶i tÝch sè 53

ThÕ x2, x3, x4 vµo ph¬ng tr×nh cßn l¹i ta nhËn ®îc nghiÖm

x1 = b(0)15 − b(0)14 x4 − b(0)13 x3 − b(0)12 x2.§Õn ®©y kÕt thóc bíc nghÞch vµ t×m ®îc tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña hÖ. ThuËt to¸n kÕt thóc.

6.2.2 Dïng ph¬ng ph¸p Gauss tÝnh ®Þnh thøc

§Ó tÝnh ®Þnh thøc cña ma trËn A ta thùc hiÖn chØ bíc thuËn t¬ng tù nh khi gi¶i hÖ®¹i sè tuyÕn tÝnh víi vÕ ph¶i lµ 0 cho tíi khi nhËn ®îc hÖ tam gi¸c trªn (T ∗),

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0,

0x1 + a

(1)

22 x2 + ... + a

(1)

2n xn = 0,................................................

0x1 + 0.x2 + ... + a(n−1)nn xn = 0.

Ma trËn hÖ sè:

T ∗ =

a11 a12 ... a1n0 a

(1)22 ... a

(1)2n

..........................

0 0 ... a(n−1)nn

B©y giê ta chia dßng (i) cña ma trËn T ∗ cho phÇn tö dÉn a(i−1)ii sÏ nhËn ®îc ma trËn

B :=

1 b(0)12 b

(0)13 ... b

(0)1n

0 1 b(1)22 ... b

(1)2n

..........................0 0 0 ... 1

DÔ thÊy det B = 1. VËy

det A = a(0)11 .a

(1)22 ...a

(n−1)nn .

6.2.3 T×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng ph¬ng ph¸p Gauss

§Ó t×m ma trËn nghÞch ®¶o A = (xij)n cña ma trËn kh«ng suy biÕn A = (aij)n b»ngph¬ng ph¸p Gauss ta gi¶i n hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cã cïng ma trËn hÖ sè A tøc lµ

nk=1

aikxkj = δ ij, i , j = 1, 2,...,n.

Trong ®ã

δ ij = 0, if i = j,1, if i = j.


57/77

Gi¶i tÝch sè 54

6.3 Ph¬ng ph¸p c¨n sè (ph¬ng ph¸p Cholesky)

XÐt hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi ma trËn hÖ sè lµ ma trËn ®èi xøng tøc lµ aij =a ji, ∀i, j = 1, 2,...,n. Ta biÓu diÔn ma trËn A thµnh tÝch hai ma trËn:

A = S T S,

trong ®ã S = (sij lµ ma trËn tam gi¸c trªn tøc lµ (sij = 0, ∀i > j vµ S T lµ ma trËnchuyÓn vÞ cña ma trËn S . §Ó ph©n tÝch ma trËn A thµnh tÝch cña S T S , ta sö dông c«ngthøc nh©n hai ma trËn:

aij =n

k=1

sikskj , i ≤ j.

Hay

s11 = (aii −i−1k=1

s2ki)1

2 , i = 2, 3,...,n, ;

sij = aij −

i−1k=1 skiskj

sii, ∀i < j,

sij = 0,

∀i > j.

NÕu sii = 0, ∀i = 1, 2,...,n, th× detA = s11.s22...snn = 0 khi ®ã hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.Cô thÓ ta t×m ®îc:

S :=

s11 s12 ... s1n0 s22 ... s2n

.....................0 0 ... tnn

B©y giê ®Ó gi¶iAx = b

ta viÕtS T S = b.

§Æt S x = y ®îc S T y = b. §Çu tiªn, ta gi¶i hÖ tam gi¸c díi

S T y = b,

®Ó x¸c ®Þnh y . Sau khi gi¶i hÖ nµy, ta nhËn ®îc nghiÖm

y1 = b1s11

;


58/77

Gi¶i tÝch sè 55

yi = bi −

i−1k=1 skiyk

sii, ∀i > 1.

Sau ®ã gi¶i hÖ S x = y ®Ó t×m nghiÖm x, cô thÓ nghiÖm sÏ ®îc tÝnh nh sau:

xn = ynsnn

;

xi =yi −

nk=i+1 sikxk

sii, ∀i < n.

6.4 Ph¬ng ph¸p lÆp ®¬n gi¶i hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh

Trong kh«ng gian Rn, xÐt çc chuÈn sau:

x∞ = max1≤i≤n

|xi| :

x1 =n

i=1

|xi| :

x2 =

ni=1

x2i .

Khi ®ã ta cã çc chuÈn t¬ng thÝch cña ma trËn A lµ

A∞ = max1≤i≤n

n j=1

|ai,j| :

A1 = max1≤ j≤n

ni=1

|ai,j| :

A2 = max1≤i≤n

λi(AT A),

trong ®ã λi(AT A) lµ çc gi¸ trÞ riªng cña ma trËn AT A.

§Ó gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p lÆp ®¬n ®Çu tiªn ta ®a ph¬ng tr×nh Ax = b vÒ d¹ng

x = Bx + g.

Tõ nguyªn lý ¸nh x¹ co ta cã kÕt qu¶ sau: NÕu B


59/77

Gi¶i tÝch sè 56

trong ®ã x0 ∈Rnchän bÊt k× lµ héi tô tíi nghiÖm x∗ duy nhÊt.Sai sè ®îc cho bëi:

xk − x∗ ≤ Bk1 − Bx1 − x0,

xk − x∗ ≤ B1 − Bxk − xk−1.

6.5 Ph¬ng ph¸p Jacobi

Ma trËn A = (aij)n gäi lµ cã ®êng chÐo tréi nÕu mét trong hai ®iÒu kiÖn sau tháa

c1. j=i

|aij| < |aii|, ∀i = 1, 2,...,n,

c2.i= j

|aij| < |a jj |, ∀ j = 1, 2,...,n.

§Þnh lý NÕu A cã ®-êng chÐo tréi th× cã thÓ ®-a ph-¬ng tr×nh Ax = b vÒ d¹ng x = Bx + g víi ma trËn B cã chuÈn nhá h¬n 1.

Chøng minh: XÐt trêng hîp c1, tõ

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,a21

x1 + a

22x2 + ... + a

2nxn

= b2,

..............................................an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn,

ta chia ph¬ng tr×nh thø i cho aii vµ chuyÓn c¸c sè h¹ng j = i sang vÕ ph¶i ta ®îc

xi = −a11aii

x1 − a12aii

x2 − ... − a1naii

xn + biaii

.

Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh

x1 = 0.x1 − a12a11 x2 − ... − a1na11 xn + b1aii ,x2 = −

a21a22 x1 + 0.x2 − ... −

a2na22 xn +

b2a22 ,

..............................................................xn = − an1annx1 −

giai_tich_so_le minh luu.pdf

Documents