giaotrinhxacsuatthongke dh chu y

- 1 -

Ch¬ng 1: biÕn cè ngÉu nhiªn vµ x¸c suÊt

1.1. tËp hîp - gi¶i tÝch tæ hîp.

1.1.1. Kh¸i niÖm vÒ tËp hîp

Kh¸i niÖm tËp hîp ®îc xem lµ kh¸i niÖm nguyªn thuû kh«ng ®Þnh nghÜa, t¬ng tù nh kh¸i niÖm ®iÓm, ®êng th¼ng trong h×nh häc. Çc danh tõ ®ång nghÜa víi tËp hîp: hä, hÖ, ®¸m, quÇn thÓ, v.v… Çc vÝ dô vÒ tËp hîp: o TËp hîp häc sinh trong mét trêng nµo ®ã. o TËp hîp çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 – 3x +2 = 0.

o TËp hîp N çc sè tù nhiªn.

Muèn x¸c ®Þnh mét tËp hîp, cã thÓ dïng mét trong hai çch:

o LiÖt kª mäi phÇn tö cña nã. Ch¼ng h¹n: A={a, b, c} lµ tËp hîp ba ch÷ ®Çu cña b¶ng ch÷ çi tiÕng ViÖt. o ChØ ra mét tÝnh chÊt ®Æc trng cho çc phÇn tö tËp hîp. VÝ dô:

2}|x:|R{xA lµ tËp mäi sè thùc tho¶ m·n tÝnh chÊt 2x2 .

§Ó biÓu thÞ x lµ phÇm tö cña tËp hîp A ta viÕt Ax ( ®äc lµ x thuéc A).

§Ó biÓu thÞ y kh«ng ph¶i lµ phÇn tö cña tËp A, ta viÕt Ay ( ®äc lµ y kh«ng

thuéc A). Còng cã khi ph¶i xÐt çc tËp mµ cha biÕt ch¾c nã cã phÇn tö nµo kh«ng, v× vËy ®iÒu hîp lý lµ ®a vµo kh¸i niÖm tËp rçng, ®ã lµ tËp kh«ng chøa phÇn tö

nµo. Ký hiÖu tËp rçng lµ Ø. Cho hai tËp hîp A vµ B. NÕu mçi phÇn tö cña A còng lµ phÇn tö cña B th× ta nãi A lµ tËp con cña B vµ ký hiÖu lµ BA (®äc lµ A chøa trong B hay B chøa A). NÕu ®ång thêi BA vµ AB , tøc lµ mäi phÇn tö cña A còng lµ phÇn tö cña B vµ ngîc l¹i, th× ta nãi A b»ng B vµ viÕt A=B. NÕu A lµ tËp con cña B, A kh¸c rçng vµ BA th× ta nãi A lµ mét tËp con thùc sù cña B.

1.1.2. Çc phÐp tÝnh trªn tËp hîp

1. Hîp: Hîp ( hay tæng) cña A vµ B lµ tËp gåm çc phÇn tö hoÆc thuéc A

hoÆc thuéc B, kÝ hiÖu lµ BA .

VÝ dô 1: NÕu A={a, b, c}; B={c, d} th× d} c, b, {a,BA

2. Giao: Giao cña A vµ B lµ tËp gåm çc phÇn tö võa thuéc A võa thuéc B,

kÝ hiÖu BA (hay AB). NÕu BA Ø th× ta nãi A kh«ng giao B.

VÝ dô 2: Víi A vµ B trong vÝ dô 1 ta cã BA {c}. DÔ dµng mëi réng çc phÐp hîp, giao tõ hai tËp sang mét d·y h÷u h¹n

hoÆc v« h¹n çc tËp Ai(i N).

- 2 -

Çc ký hiÖu

1ii

A,A1i

i t¬ng øng lµ hîp, giao cña n tËp A1, A2, …, An.

3. HiÖu: HiÖu cña tËp A ®èi víi tËp B lµ tËp hîp gåm çc phÇn tö thuéc A

nhng kh«ng thuéc B, vµ kÝ hiÖu lµ A\B. VÝ dô 3: NÕu A={a, b, c}; B={c, d, e} th× A\B={a, b}. Nãi riªng, hiÖu X\A gäi lµ phÇn bï cña tËp hîp A øng víi tËp hîp X, vµ kÝ

hiÖu lµ X\A= A . DÔ thÊy r»ng BAB\A .

1.1.3 Quy t¾c céng – Quy t¾c nh©n

1. Quy t¾c céng

Ta xÐt vÝ dô ®¬n gi¶n sau:

VÝ dô 4: Cã 8 qu¶ t¸o vµ 6 qu¶ lª. Hái cã bao nhiªu çch chän mét trong çc qu¶ Êy?

Gi¶i: Cã 8 çch chän t¸o vµ 6 çch chän lª, vµ khi chän t¸o (lª) th× kh«ng

chän lª (t¸o), cho nªn cã c¶ thÈy 8+6 = 14 çch chän mét trong 14 qu¶ ®· cho.

Quy t¾c céng: NÕu cã n çch chän x, m çch chän ®èi tîng y, vµ nÕu çch

chän ®èi tîng x, kh«ng trïng víi bÊt kú çch chän ®èi tîng y nµo th× cã

m+n çch chän “x hoÆc y”.

Tæng qu¸t: NÕu cã m1 çch chän ®èi tîng x1, m2 çch chän x2,…, mn çch

chän xn, vµ nÕu çch chän ®èi tîng xi kh«ng trïng víi bÊt kú çch chän ®èi

tîng xj nµo (i ≠ j; i, j=1,2,…,n), th× cã: m1+m2+...+mn çch chän ®èi tîng

x1, hoÆc x2,…, hoÆc xn.

VÝ dô 5: Tõ çc ch÷ sè 1, 2, 3 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè kh¸c nhau cã ch÷

sè kh¸c nhau?

Gi¶i:

+) Tõ çc ch÷ sè 1, 2, 3 cã thÓ lËp ®îc ba sè 1 ch÷ sè kh¸c nhau. §ã lµ 1, 2, 3. +) Tõ çc ch÷ sè 1, 2, 3 cã thÓ lËp ®îc s¸u sè kh¸c nhau cã 2 ch÷ sè kh¸c nhau. §ã lµ 12, 21, 13, 31, 23, 32. +) Tõ çc ch÷ sè 1, 2, 3 cã thÓ lËp ®îc s¸u sè 3 ch÷ sè kh¸c nhau. §ã lµ 123, 132, 213, 231, 312, 321. +) Çch lËp trªn ®«i mét kh«ng trïng nhau. VËy theo qui t¾c céng, c¶ th¶y cã 3 + 6 + 6 =15 çch lËp çc sè cã çc ch÷ sè kh¸c nhau tõ çc ch÷ sè 1, 2, 3.

2. Quy t¾c nh©n

Ta xÐt vÝ dô ®¬n gi¶n sau:

VÝ dô 6: Tõ tØnh A ®Õn tØnh B cã 4 con ®êng. Tõ tØnh B tíi tØnh C cã thÓ ®i

hai con ®êng. Muèn ®i tõ A tíi C, b¾t buéc ph¶i ®i qua B. Hái cã bao nhiªu çch ®i tõ tØnh A tíi tØnh C?

- 3 -

Gi¶i: øng víi mçi çch ®i tõ tØnh A tíi tØnh B, cã hai çch ®i tõ B tíi C. V× cã

4 çch ®i tõ A tíi B, nªn cã c¶ thÈy 4.2=8 çch ®i tõ A tíi C.

Quy t¾c nh©n: NÕu cã m çch chän ®èi tîng x, vµ sau ®ã víi mçi çch chän

x nh thÕ cã n çch chän ®èi tîng y, th× cã m.n çch chän ®èi tîng “x råi

y”.

Tæng qu¸t: NÕu cã m çch chän ®èi tîng x1, vµ sau ®ã víi mçi çch chän x1

nh thÕ cã m2 çch chän ®èi tîng x2, sau ®ã víi mçi çch chän x1 vµ x2 nh

thÕ cã m3 çch chän ®èi tîng x3,vv…Cuèi cïng víi mçi çch chän x1, x2,

x3,…,xn nh thÕ cã mn çch chän ®èi tîng xn, th× cã m1.m2….mn çch chän

®èi tîng “x1 råi x2 råi x3… råi xn”.

Cã thÓ ph¸t biÓu mét çch ng¾n gän nh sau: NÕu mét phÐp chän ®îc thùc

hiÖn qua n bíc liªn tiÕp:

o Bíc 1 cã m1 çch.

o Bíc 2 cã m2 çch.

o ……

o Bíc n cã mn çch.

o Th× phÐp chän ®ã cã thÓ thùc hiÖn theo m1.m2….mn çch kh¸c nhau.

1.1.4 §¹i sè tæ hîp

1. ChØnh hîp

§Þnh nghÜa: ChØnh hîp chËp k tõ n phÇn tö lµ mét nhãm cã thø tù gåm k

phÇn tö cã thø tù lÊy tõ n phÇn tö ®ã.

Ký hiÖu: k)!(n

n!1)k2)...(n1)(nn(nk

nA

.

VÝ dô 7: Hái cã bao nhiªu çch chän hai ngêi tõ mét nhãm ba ngêi (A, B,

C) ®Ó ®i lµm mét nhiÖm vô nµo ®ã. Ai ®îc chän ®Çu tiªn sÏ ®îc lµm nhãm trëng cña nhãm Êy?

Gi¶i: Ta cã 6 çch chän: AB, AC, BC, CA, CB. Theo c«ng thøc:

63.2.1 2)1)(33(323

A .

2. ChØnh hîp lÆp

§Þnh nghÜa: ChØnh hîp lÆp chËp k tõ n phÇn tö lµ mét nhãm cã thø tù gåm k

phÇn tö mµ mçi phÇn tö cã thÓ lËp lµi lÊy tõ k phÇn tö ®· cho.

Ký hiÖu: sè chØnh hîp lÆp: knkn

~A

VÝ dô 8: Cã mÊy çch s¾p xÕp r qu¶ cÇu kh¸c nhau vµo n hép?

Gi¶i: Mçi qu¶ cÇu cã thÓ bá vµo n hép kh¸c nhau, nªn cã thÓ coi sè çch s¾p

xÕp r qu¶ cÇu vµo n hép nh sè çch chän ra r hép (cã thÓ lÆp l¹i vµ cã thø tù)

tõ tËp n hép. VËy ta cã r

r

nn~A

3. Ho¸n vÞ

- 4 -

§Þnh nghÜa: Ho¸n vÞ cña n phÇn tö lµ mét nhãm gåm n phÇn tö Êy ®îc s¾p

xÕp theo thø tù nµo ®ã.

Ký hiÖu: sè ho¸n vÞ: Pn=n!

VÝ dô 9: Hái cã mÊy çch s¾p xÕp ba ngêi A, B, C vµo ba chç ngåi?

Gi¶i: Ta cã: P3=3!=3.2.1=6 çch

Çch s¾p xÕp nh sau: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA.

4. Tæ hîp

§Þnh nghÜa: Tæ hîp chËp k cña n phÇn tö lµ mét nhãm gåm k phÇn tö kh¸c

nhau ®îc lÊy tõ n phÇn tö ®· cho (kh«ng ph©n biÖt thø tù).

Ký hiÖu: sè tæ hîp: k!

kn

A

k)!(nk!

n!knC

.

VÝ dô 10: Hái cã bao nhiªu çch chän 2 ngêi tõ nhãm 3 ngêi?

Gi¶i: Ta cã: 32)!(32!

3!23

C

. Çch chän nh sau: AB, AC vµ BC.

5. NhÞ thøc Newt¬n – Tam gi¸c Pascal

Ta ®· rÊt quen thuéc çc h»ng ®¼ng thøc: (x+a)2= x2 + 2ax + a2

(x+a)3= x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 Trong ®ã x vµ a lµ nh÷ng sè thùc tuú ý. B»ng phÐp nh©n ®a thøc cã thÓ thu ®îc çc khai triÓn cña (x+a)4, (x+a)5, …Tuy nhiªn nÕu n kh¸ lín th× viÖc khai triÓn (x+a)n theo ph¬ng ph¸p thñ c«ng nµy sÏ mÊt nhiÒ th× giê. Díi ®©y ta sÏ chøng minh c«ng thøc tæng qu¸t cho phÐp khai triÓn nhanh chãng (x+a)n, trong ®ã n lµ sè tù nhiªn bÊt kú. C«ng thøc nµy mang tªn Newt¬n, cã d¹ng nh sau:

na...kaknx

k!

1)k1)...(nn(n

...2a2nx2

1)n(na1nnxnxna)(x

Ta cã: n)k(1kn

Ck!

1)k1)...(nn(n

vµ 10

nC víi n lµ sè tù nhiªn bÊt

kú, th× cã thÓ viÕt l¹i c«ng thøc Newt¬n díi d¹ng gän h¬n:

n

ok(1)kaknxk

nCnannC...kaknxk

nC

...2a2nx2nCa1nx1

nCnxonCna)(x

Ta chøng minh c«ng thøc (1) b»ng quy n¹p. §Ó tiÖn dïng trong thùc tiÔn ngêi ta thêng dïng tam gi¸c Pascal, cho phÐp viÕt nhanh chãng çc hÖ sè cña khai triÓn nhÞ thøc (x+a)n nh sau 1

- 5 -

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … … … … … … … … … Trong tam gi¸c Pascal, dßng thø k+1 lµ çc hÖ sè cña çc sè h¹ng cña khai triÓn (x+a)k (k=1,2,…) ch¼ng h¹n muèn viÕt khai triÓn (x+a)5 ta dùa vµo dßng thø 6: (x+a)5= x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5

1.2. phÐp thö vµ biÕn cè (sù kiÖn) 1.2.1. PhÐp thö vµ biÕn cè

Çc kh¸i niÖm ®îc gÆp ®Çu tiªn trong lý thuyÕt x¸c suÊt lµ “phÐp thö” vµ “biÕn cè”. Danh tõ “phÐp thö” ®îc hiÓu lµ thùc hiÖn mét bé ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh, nã cã thÓ lµ mét thÝ nghiÖm cô thÓ hay viÖc quan s¸t sù xuÊt hiÖn mét hiÖn tîng nµo ®ã, phÐp thö ®îc kÝ hiÖu lµ (η ). Mét phÐp thö cã thÓ cã nhiÒu kÕt côc kh¸c nhau, çc kÕt côc nµy ®îc gäi lµ çc “biÕn cè” hay “sù kiÖn”. BiÕn cè thêng ®îc ký hiÖu bëi ch÷ in hoa A, B, C, v.v… ®«i khi cã kÌm theo chØ sè. Çc vÝ dô: o Gieo mét ®ång tiÒn trªn mÆt ph¼ng: ®ã lµ mét phÐp thö (η ). KÕt qu¶ cã thÓ xÈy ra khi gieo ®ång tiÒn: “XuÊt hiÖn mÆt sÊp”: ®ã lµ mét biÕn cè. “XuÊt hiÖn mÆt ngöa”: ®ã lµ mét biÕn cè. Hai biÕn cè nµy gäi lµ biÕn cè s¬ cÊp cña mét phÐp thö. o Gieo mét con xóc s¾c: ®ã lµ mét phÐp thö . “XuÊt hiÖn mÆt k chÊm”: ®ã lµ mét biÕn cè, t¬ng øng k =1,2,3,4,5,6, lµ 6 biÕn cè s¬ cÊp øng víi phÐp thö ®ac cho. TËp hîp çc biÕn cè s¬ cÊp gäi lµ kh«ng gian çc biÕn cè hay kh«ng gian mÉu. Ak, biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt k,

k=1,2,…,6. Kh«ng gian mÉu }.6

A,5

A,4

A,3

A,2

A,1

{AΩ

“XuÊt hiÖn mÆt cã sè chÊm 7”: ®ã lµ mét biÕn cè, nhng biÕn cè nµy kh«ng thÓ x¶y ra khi phÐp thö ®îc thùc hiÖn. Ta gäi lµ biÕn cè kh«ng thÓ

(hay biÕn cè trèng). Ký hiÖu lµ Ø.

“XuÊt hiÖn mÆt cã sè chÊm 6 vµ 1 ”: ®ã lµ mét biÕn cè, biÕn cè nµy lu«n lu«n x¶y ra khi phÐp thö ®îc thùc hiÖn. BiÕn cè nµy ®îc gäi lµ biÕn cè ch¾c ch¾n. Ký hiÖu lµ Ω . “XuÊt hiÖn mÆt cã sè chÊm ch½n”: ®ã lµ mét biÕn cè, biÕn cè nµy cã thÓ x¶y ra mµ còng cã thÓ kh«ng x¶y ra. Lo¹i biÕn cè nµy ®îc gäi lµ biÕn cè ngÉu nhiªn.

- 6 -

1.2.2. Quan hÖ gi÷a c¸c biÕn cè 1. Quan hÖ kÐo theo

BiÕn cè A kÐo theo biÕn cè B khi vµ chØ khi biÕn cè A x¶y ra th× suy ra biÕn cè

B x¶y ra. Ký hiÖu: AB.

VÝ dô 1: Mét sinh viªn mua vÐ sè §Æt A: BiÕn cè sinh viªn ®ã tróng ®éc ®¾c. B: BiÕn cè sinh viªn ®ã tróng thëng. NhËn xÐt: Tróng ®éc ®¾c Tróng thëng Do ®ã: BiÕn cè A x¶y ra th× biÕn cè B x¶y ra. Suy ra AB.

2. Quan hÖ t¬ng ®¬ng

Hai biÕn cè A vµ B gäi lµ t¬ng ®¬ng víi nhau khi vµ chØ khi AB vµ BA.

Ký hiÖu: A=B.

VÝ dô 2: Tung hai con xóc s¾c §Æt A: BiÕn cè tæng sè chÊm xuÊt hiÖn trªn hai mÆt xóc x¾c lµ mét sè ch½n. B: BiÕn cè chÊm xuÊt hiÖn trªn hai mÆt xóc x¾c lµ cïng ch½n hoÆc cïng lÎ. Th× A=B.

3. Tæng cña hai biÕn cè

Tæng cña hai biÕn cè A vµ B x¶y ra khi vµ chØ khi cã Ýt nhÊt mét trong hai biÕn

cè x¶y ra. Ký hiÖu: AB.

VÝ dô 3: Hai sinh viªn A vµ B dù thi m«n To¸n x¸c suÊt thèng kª. §Æt A: BiÕn cè sinh viªn A ®Ëu. B: BiÕn cè sinh viªn B rít. C: BiÕn cè cã Ýt nhÊt 1 sinh viªn ®Ëu. Th×: C=A+B.

Tæng qu¸t:

n

1i iA

n

1i iAC . C x¶y ra khi vµ chØ khi cã Ýt nhÊt mét Ai x¶y ra,

i=1,2,…,n.

VÝ dô 4: KiÓm tra chÊt lîng n s¶n phÈm. Gäi Ai lµ biÕn cè s¶n phÈm thø i

xÊu, i=1,2,…,n. Th× biÕn cè cã Ýt nhÊt i s¶n phÈm xÊu lµ

n

1i iAC

4. TÝch cña hai biÕn cè

TÝch cña hai biÕn cè A vµ B x¶y ra khi vµ chØ khi A x¶y ra vµ B x¶y ra. Ký

hiÖu: AB (hoÆc A.B hoÆc AB).

VÝ dô 5: A: BiÕn cè trêi ®ang ma. B: BiÕn cè trêi n¾ng. Th×: C=A.B: “BiÕn cè trêi ®ang n¾ng, l¹i cã ma”.

- 7 -

Tæng qu¸t: n

1i iAD

. D xÈy ra khi vµ chØ khi tÊt c¶ çc Ai cïng x¶y ra,

i=1,2,…,n.

VÝ dô 6: Sinh viªn khã 2 dù thi m«n 1-To¸n, 2-X¸c suÊt thèng kª vµ 3-TriÕt. §Æt Ai: BiÕn cè sinh viªn ®¹t m«n thø i C: BiÕn cè sinh viªn ®¹t c¶ ba m«n

Th×: 3

1i iAC

.

5. Hai biÕn cè xung kh¾c

Hai biÕn cè ®îc gäi lµ xung kh¾c víi nhau nÕu: AB = Ø. Nãi çch kh¸c A vµ

B gäi lµ xung kh¾c nÕu x¶y ra biÕn cè nµy th× kh«ng x¶y ra biÕn cè kia.

VÝ dô 7: Mét hép phÊn cã 10 viªn tr¾ng, 5 viªn ®á, 3 viªn xanh. LÊy ngÉu nhiªn 1 viªn phÊn tõ hép. §Æt T: BiÕn cè ®îc viªn phÊn tr¾ng. §: BiÕn cè ®îc viªn phÊn ®á. Th× T vµ § lµ hai biÕn cè kh«ng thÓ ®ång thêi x¶y ra.

Suy ra T vµ § lµ hai biÕn cè xung kh¾c. Suy ra T.§ = Ø.

6. HiÖu cña hai biÕn cè

HiÖu cña hai biÕn cè A vµ biÕn cè B x¶y ra khi vµ chØ khi A x¶y ra nhng B

kh«ng x¶y ra. Ký hiÖu: A\B

7. BiÕn cè ®èi lËp

A ®îc gäi lµ biÕn cè ®èi lËp cña biÕn cè A khi vµ chØ khi A x¶y ra th× A

kh«ng x¶y ra vµ ngîc l¹i, tøc lµ: A = Ω \A.

NhËn xÐt:

a) Ta cã thÓ më réng çc quan hÖ biÕn cè cho 3, 4 biÕn cè hoÆc nhiÒu h¬n n÷a. b) Khi xÐt quan hÖ gi÷a çc biÕn cè ta kh«ng nªn dïng minh ho¹ b»ng h×nh häc ®Ó thay thÕ cho ®Þnh nghÜa mµ ph¶i b¸m chÆt vµo ®Þnh nghÜa ®Ó xÐt.

VÝ dô 8: XÐt trêng hîp sau: A = {Anh thø nhÊt b¾n tróng bia} B = {Anh thø hai b¾n tróng bia} Khi ®ã khã cã thÓ m« t¶ biÕn cè tÝch AB b»ng h×nh häc, vµ nÕu ta biÓu diÔn biÕn cè tÝch AB lµ phÇn chung gi÷a A vµ B th× trong trêng hîp nµy phÇn chung ®ã biÓu diÔn b»ng h×nh häc nh thÕ nµo. Ta cã thÓ nhÇm tëng r»ng phÇn chung cña A vµ B kh«ng cã. V× thÕ A vµ B xung kh¾c,… Nhng ta b¸m s¸t ®Þnh nghÜa th× biÕn cè tÝch AB lµ anh thø nhÊt b¾n tróng vµ anh thø hai b¾n tróng. Hai biÕn cè nµy kh«ng xung kh¾c.

- 8 -

Sau khi më réng quan hÖ biÕn cè cho mét sè lín h¬n 2 biÕn cè, ta xÐt nhãm ®Çy ®ñ çc biÕn cè:

8. Nhãm ®Çy ®ñ çc biÕn cè

Cho n biÕn cè A1, A2,…, An gäila mét nhãm ®Çy ®ñ çc biÕn cè nÕu tho¶ m·n

hai ®iÒu kiÖn sau:

1) Chóng xung kh¾c víi nhau tõng ®«i mét: AiAj= Ø, i ≠ j.

2) Tæng cña n biÕn cè t¬ng ®¬ng víi biÕn cè ch¾c ch¾n:

A1 A2 … An= .

VÝ dô 9: Nhãm A , A lµ mét nhãm ®Çy ®ñ víi n=2.

9. Çc biÕn cè ®éc lËp

BiÕn cè A ®éc lËp víi biÕn cè B nÕu sù xuÊt hiÖn hay kh«ng xuÊt hiÖn B

kh«ng ¶nh hëng g× tíi sù xuÊt hiÖn hay kh«ng xuÊt hiÖn A, vµ ngîc l¹i.

NÕu A ®éc lËp víi B th× B ®éc lËp víi A.

§Þnh nghÜa 1:

Çc biÕn cè A1, A2,…, An ®îc gäi lµ ®éc lËp tõng ®«i nÕu mçi cÆp biÕn cè

trong chóng lµ ®éc lËp.

§Þnh nghÜa 2:

Çc biÕn cè A1, A2,…, An ®îc gäi lµ ®éc lËp toµn phÇn nÕu mçi biÕn cè

trong chóng ®éc lËp víi tÝch cña mét sè bÊt kú trong çc biÕn cè cßn l¹i.

9. TÝnh chÊt cña biÕn cè

a) TÝnh giao ho¸n: A + B = B + A, A.B = B.A b) TÝnh kÕt hîp: A +(B + C) = (A + B) + C A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C c) TÝnh ph©n phèi: A.(B + C) = A.B + A.C d) Quy t¾c dèi ngÉu De Morgan:

BAA.B

B.ABA

Tæng qu¸t:

i

n

1in21

n

1ii

i

n

1in21

n

1ii

AA...AAA

AA...AAA

Quy t¾c trªn më réng cho mét sè h÷u h¹n bÊt kú çc biÕn cè.

VÝ dô 10: KiÓm tra chÊt lîng 5 s¶n phÈm. §Æt Ak: BiÕn cè s¶n phÈm thø k tèt, k=1,2,3,4,5. H·y biÓu diÔn qua Ak çc biÕn cè sau: a) TÊt c¶ 5 s¶n phÈm ®ã ®Òu tèt. b) TÊt c¶ 5 s¶n phÈm ®ã ®Òu xÊu. c) Cã Ýt nhÊt mét s¶n phÈm tèt.

- 9 -

d) Cã Ýt nhÊt mét s¶n phÈm xÊu. e) Cã ®óng mét s¶n phÈm tèt.

Gi¶i:

a) TÊt c¶ çc s¶n phÈm ®Òu tèt khi : S¶n phÈm thø 1 tèt, s¶n phÈm thø 2 tèt,…, vµ s¶n phÈm thø 5 tèt. Suy ra A = A1. A2. A3. A4. A5. b) TÊt c¶ çc s¶n phÈm ®Òu xÊu khi: s¶n phÈm th 1 xÊu, s¶n phÈm thø 2

xÊu,…,vµ s¶n phÈm thø 5 xÊu. Suy ra B = 54321

AAAAA

c) Cã Ýt nhÊt mét s¶n phÈm tèt khi: s¶n phÈm thø nhÊt tèt hoÆc s¶n phÈm thø hai tèt hoÆc…hoÆc s¶n phÈm thø 5 tèt. Suy ra: C = A1 + A2 + A3 + A4 + A5. Cã thÓ ¸p dông c«ng thøc De Morgan:

C = TÊt c¶ çc s¶n phÈm ®Òu xÊu.

C = 54321

AAAAA .

5432154321AAAAAAAAAAC

Hay C = A1 + A2 + A3 + A4 + A5. d) D: cã Ýt nhÊt mét s¶n phÈm xÊu.

¸p dông c«ng thøc De Morgan cho D : TÊt c¶ çc s¶n phÈm ®Òu tèt. Suy ra

D = A1. A2. A3. A4. A5

D= 54321

AAAAA 54321

AAAAA

e) Cã ®óng mét s¶n phÈm tèt khi: - S¶n phÈm thø 1 tèt 4 s¶n phÈm cßn l¹i xÊu, hoÆc: - S¶n phÈm thø 2 tèt 4 s¶n phÈm cßn l¹i xÊu, hoÆc: - S¶n phÈm thø 5 tèt 4 s¶n phÈm cßn l¹i xÊu.

.A.A.A.A.AA.A.A.A.A

A.A.A.A.AA.A.A.A.AA.A.A.A.AE

5432154321

543215432154321

1.3. X¸c suÊt cña biÕn cè 1.3.1. Kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt

Quan s¸t çc sù kiÖn ngÉu nhiªn ta thÊy r»ng kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn cña chóng nãi chung kh«ng ®ång ®Òu, mét sè sù kiÖn thêng hay x¶y ra, mét sè kh¸c thêng Ýt x¶y ra. Tõ ®ã n¶y sinh vÊn ®Ò t×m çch ®o lêng “®é ch¾c” cña mét sù kiÖn. Muèn vËy ngêi ta t×m çch g¸n cho mçi sù kiÖn mét sè P(A) kh«ng ©m, sè nµy ®îc gäi lµ x¸c suÊt cña sù kiÖn A. (P viÕt t¾t tõ ch÷ Probability). §Ó phï hîp víi néi dung thíc ®o “®é ch¾c” cña sù kiÖn, x¸c suÊt P(A) ph¶i x©y dùng sao cho tho¶ m·n ®ßi hái hîp lý sau: o X¸c suÊt cña biÕn cè ch¾c ch¾n b»ng 1: P( )=1.

- 10 -

o X¸c suÊt cña biÕn cè trèng b»ng 0: P(Ø) = 0 (ch¾c ch¾n 100% kh«ng x¶y ra).

o X¸c suÊt cña mäi biÕn cè ngÉu nhiªn A bÞ kÑp gi÷a 0 vµ 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1

1.3.2. §Þnh nghi· (X¸c suÊt d¹ng cæ ®iÓn)

XÐt phÐp thö (η ). Gi¶ sö A1, A2,…, An lµ n biÕn cè s¬ cÊp cã kh¶ n¨ng cïng xuÊt hiÖn. NÕu cã m biÕn cè s¬ cÊp thuËn lîi cho biÕn cè A th× x¸c suÊt cña biÕn cè A lµ:

P(A)= ).( 11 n¨ngkh¶ ång cÊp s cè biÕn çcc¶ tÊt Sè

A cho lîi thuËn cÊp s cè biÕn çc sè

n

m

Tõ c«ng thøc (1.1) ta dÔ dµng suy ra tÝnh chÊt cña P(A):

i) 0 ≤ P(A) ≤ 1

ii) P( ) =1, P(Ø) = 0

VÝ dô 1: Mét sè ®iÖn tho¹i ë thµnh phè gåm 6 ch÷ sè. Gi¶ sö ta chän sè ®iÖn tho¹i mét çch ngÉu nhiªn. T×m x¸c suÊt ®Ó chän ®îc sè ®iÖn tho¹i sao cho: a. Sè 5 ®Çu tiªn vµ 6 sè kh¸c nhau. b. Sè 5 ®Çu tiªn vµ çc sè cßn l¹i la sè ch½n. c. Sè 5 ®Çu tiªn vµ çc sè cßn l¹i lµ kh¸c nhau, sè cuèi cïng ch½n. d. Sè 5 ®Çu tiªn vµ 5 sè cßn l¹i lµ ®èi xøng. e. Sè 5 ®Çu tiªn, sè 0 cuèi cïng vµ 4 sè gi÷a trïng víi n¨m sinh cña chñ hé.

Gi¶i:

Ta thÊy sè ®iÖn tho¹i ®Òu lËp nªn tõ tËp hîp gåm 10 ch÷ sè: 0,1,2,…,9. Mµ sè ®iÖn tho¹i gåm 6 ch÷ sè th× phÐp thö cña ta chÝnh lµ chän ngÉu nhiªn tõng sè mét cã hoµn l¹i 6 lÇn. Do ®ã sè trêng hîp cã thÓ lµ 106. §Æt A, B, C, D, E lµ çc biÕn cè t¬ng øng víi 5 trêng hîp cÇn t×m x¸c suÊt. a. A={Sè 5 ®Çu vµ 6 sè kh¸c nhau}.

Sè thuËn lîi cho A lµ 1.5

9A

Suy ra P(A)= 01512010

15120

10

56789

10 666.

....A5

9

b. Sè çch thuËn lîi cho B lµ: 1.5.5.5.5.5=55 ( cã 5 sè ch½n: 0, 2, 4, 6, 8)

0031250102

15

..10

5)(

6

5

BP

c. Sè çch thuËn lîi cho C lµ: 1.5. 4

9A ( sè ®Çu tiªn cã mét kh¶ n¨ng, sè cuèi

cïng cã 5 kh¶ n¨ng, 4 sè cßn l¹i kh¸c nhau vµ kh¸c sè cuèi cïng)

Suy ra P(C)= 01512010

15120

10

67895

10 666.

.....5A4

9

d. Sè çch thuËn lîi cho D lµ: 1.10.10.10.1.1=103

- 11 -

0010.10

10)(

6

3

DP

e. Sè çch thuËn lîi cho E lµ: 1.1.1.1.1.1=1

610

610

1)(EP

VÝ dô 2: Trong mét thïng cã 3 qu¶ cÇu tr¾ng vµ 5 qu¶ cÇu ®en gièng hÖt nhau vÒ kÝch thíc. LÊy ngÉu nhiªn 2 qu¶ cÇu tõ thïng ®ã. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ®îc: a) Hai qu¶ tr¾ng b) Mét qu¶ tr¾ng vµ mét qu¶ ®en.

Gi¶i: Tæng sè qu¶ cÇu trong thïng lµ 8. Mçi çch lÊy ra 2 qu¶ cÇu øng víi

viÖc chän mét tæ hîp chËp 2 tõ 8 phÇn tö. Do ®ã cã tÊt c¶ n = 2

8C biÕn cè s¬

cÊp ®ång kh¶ n¨ng. Gäi A lµ biÕn cè xuÊt hiÖn hai qu¶ cÇu tr¾ng thÕ th× çc biÕn cè thuËn lîi cho A lµ nh÷ng çch chän 2 trong sè 3 qu¶ tr¾ng trong thïng theo ba çch

( 1

3C ), qu¶ ®en cã thÓ chän tõ 5 qu¶ ®en theo 5 çch ( 1

5C ). Thµnh thö sè biÕn cè

thuËn lîi cho B lµ m = 1

3C

1

5C . Do ®ã

28

152

8

1

5

1

3 C

CC

n

mBP )( .

1.3.3. §Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt theo quan ®iÓm thèng kª.

Muèn x¸c ®Þnh x¸c suÊt cña biÕn cè A theo ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn th× ph¶i t×m ®îc mét nhãm ®Çy ®ñ çc biÕn cè ®ång kh¶ n¨ng, ®Ó dùa vµo ®ã mµ t×m sè çc trêng hîp thuËn lîi cho biÕn cè A vµ sè çc trêng hîp cã thÓ cã. §iÒu ®ã kh«ng ph¶i bao giê còng cã, ®Ó kh¾c phôc nhîc ®iÓm trªn ngêi ta ®a ra ®Þnh nghÜa x¸c suÊt theo thèng kª. XÐt phÐp thö ( η ) vµ biÕn cè A nµo ®ã. LÆp l¹i mét phÐp thö n lÇn, gäi

m lµ sè lÇn biÕn cè A xuÊt hiÖn trong n phÐp thö. Tû sè n

mf

n ®îc gäi lµ

tÇn suÊt cña biÕn cè A.

§Þnh nghÜa 1:

X¸c suÊt cña biÕn cè A lµ gi¸ trÞ æn ®Þnh cña tÇn suÊt khi sè phÐp thö t¨ng lªn v« h¹n.

n

n

fAP lim)(

VÝ dô 3: §©y lµ çc kÕt qu¶ cña Pearson vµ Buffon khi tung 1 ®ång tiÒn:

Ngêi thÝ nghiÖm Sè lÇn tung Sè lÇn sÊp TÇn suÊt

Buffon Pearson Pearson

4040 12000 24000

2048 6019 12012

0.5080 0.5016 0.5005

- 12 -

Qua kÕt qu¶ trong b¶ng trªn, ta chÊp nhËn x¸c suÊt xuÊt hiÖn mÆt sÊp P(S)=0,5. VÝ dô 4: VÊn ®Ò tÝnh x¸c suÊt sinh con trai hay con g¸i, tõ l©u ®· ®îc çc nhµ sinh lý häc, nh©n chñng häc nghiªn cøu tõ l©u. Ngêi cæ Trung Hoa tõ n¨m 2228 tríc C«ng nguyªn ®· qua thèng kª kinh nghiÖm ®a ra tû sè sinh con g¸i lµ 0.5. Laplace nghiªn cøu sinh ®Î ë Lu©n ®«n, Petecbua vµ Beclin trong 10 n¨m ®· ®a ra tû sè sinh con g¸i lµ 21/43. §acnon nghiªn cøu sinh ®Î ë Ph¸p vµ cho çc sè liÖu sau:

N¨m 1806 1816 1836 1856 1903 1920

TÇn suÊt sinh con g¸i

0.485 0.484 0.485 0.487 0.488 0.489

NhËn xÐt: §Þnh nghÜa x¸c suÊt d¹ng thèng kª hay ®Þnh nghÜa x¸c suÊt theo

tÇn suÊt chØ cho ta gi¸ trÞ xÊp xØ vµ møc ®é chÝnh x¸c cña viÖc xÊp xØ tuú thuéc vµo sè lÇn thùc hiÖn phÐp thö. Nh ®· nãi, ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn cã hai h¹n chÕ: 1) Sè biÕn cè cña phÐp thö lµ h÷u h¹n. 2) Çc biÕn cè cña phÐp thö ph¶i ®ång kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn. §Þnh nghÜa thèng kª kh¾c phôc ®îc h¹n chÕ thø 2. §Ó kh¾c phôc ®îc h¹n chÕ thø nhÊt (®ång thêi vÉn gi¶ thiÕt çc biÕn cè ®ång kh¶ n¨ng), ngêi ta ®a vµo ®Þnh nghÜa x¸c suÊt theo h×nh häc. XÐt mét phÐp thö v« h¹n kÕt côc ®ång kh¶ n¨ng. Gi¶ sö ta cã thÓ biÓu thÞ tËp hîp mäi kÕt côc nµy bëi mét miÒn h×nh häc G nµo ®ã: mét ®o¹n th¼ng, mét miÒn ph¼ng, mét m¶nh mÆt cong hay mét khèi kh«ng gian, v.v…; vµ nh÷ng kÕt côc thuËn lîi cho biÕn cè A bëi çc ®iÓm thuéc miÒn con g’ G. Víi çc gi¶ thuyÕt trªn, x¸c suÊt cña sù kiÖn A ®îc tÝnh nh sau:

G miÒn thíc KÝch

g miÒn thíc KÝchP(A)

Tuú theo G lµ ®o¹n th¼ng, miÒn ph¼ng hay khèi kh«ng gian mµ kÝch thíc ®îc hiÓu lµ ®é dµi, diÖn tÝch hay thÓ tÝch.

VÝ dô 5: Cã mét ®o¹n th¼ng chiÒu dµi l. BÎ g·y ngÉu nhiªn thµnh ba ®o¹n.

TÝnh x¸c suÊt ®Ó ba ®o¹n ®ã t¹o thµnh mét tam gi¸c.

Gi¶i: XÐt ®o¹n th¼ng trªn nh trªn trôc sè tõ 0 ®Õn l.

Ta ký hiÖu x lµ to¹ ®é cña ®iÓm chia thø nhÊt vµ y lµ to¹ ®é cña ®iÓm chia thø hai th× ®o¹n th¼ng ®îc chia lµm ba ®o¹ncã ®é dµi t¬ng øng lµ: x, (y-x) vµ 1-y. Mçi çch chia ®o¹n th¼ng sÏ ®îc biÓu thÞ b»ng mét ®iÓm M(x, y) trªn mÆt ph¼ng XOY. Ta nhËn thÊy 0 < x < y <1 nªn “miÒn ®ång kh¶ n¨ng” lµ tam gi¸c OAB. §Æt A lµ biÕn cè ba ®o¹n t¹o thµnh tam gi¸c. Ta ph¶i tÝnh P(A).

- 13 -

Ta ph¶i t×m “miÒn thuËn lîi” cho A. Muèn t¹o tam gi¸c th× tæng cña hai c¹nh ph¶i lín h¬n c¹nh thø ba, vËy:

2

lx xy)(lx)(y

2

lxy xyy)(lx

2

ly ylx)(yx

“MiÒn thuËn lîi” cho A chÝnh lµ tam gi¸c IJK.

VËy: 4

1

ΔAOB

ΔIJK

S

SP(A) .

Chó ý: Bµi nµy cã thÓ gi¶i b»ng h×nh häc s¬ cÊp:

o Trong mét tam gi¸c ®Òu víi ®é dµi chiÒu cao lµ l, th× tõ mét ®iÓm M bÊt kú ta h¹ 3 ®êng vu«ng gãc xuèng ba c¹nh. Gäi h1, h2, h3 t¬ng øng lµ chiÒu dµi ba ®êng ®ã, ta sÏ cã: h1+ h2+ h3 = l. Nh vËy mçi ®iÓm M trong tam gi¸c ABC ®Æc trng cho mét çch chia ba ®o¹n th¼ng: ABC. o Muèn ba ®o¹n t¹o thµnh mét tam gi¸c, th×:

2

lh,

2

lh,

2

lh

321

o VËy miÒn thuËn lîi lµ tam gi¸c IJK. Ta còng cã: P(A)=1/4.

VÝ dô 6: Trªn mét vßng trßn b¸n kÝnh R cã mét ®iÓm A cè ®Þnh. Chän ngÉu nhiªn trªn vßng trßn ®ã mét ®iÓm. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ®iÓm nµy çch A kh«ng qóa R.

Gi¶i:

§iÓm M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn vßng trßn nªn “miÒn ®ång kh¶ n¨ng” lµ c¶ vßng trßn. §Æt A lµ biÕn cè ®iÓm M çch A kh«ng qu¸ R. TÝnh x¸c suÊt P(A). Muèn cã biÕn cè A th× ®iÓm M chØ ®îc n»m trªn cung IJ.

VËy: 3

1

trßn vßngdµi é§

IJcung dµi é§P(A) .

1.4. Çc ®Þnh lý c¬ b¶n tÝnh x¸c suÊt 1.4.1. §Þnh lý céng x¸c suÊt

1. Trêng hîp cã hai biÕn cè

§Þnh lý 1: Víi A, B lµ hai biÕn cè ngÉu nhiªn, ta cã:

P(A + B) = P(A) + P(B) nÕu A.B= Ø

P(A + B) = P(A) + P(B) –P(A.B) nÕu A.B≠Ø (1.2)

Chøng minh.

- 14 -

NhËn xÐt: A = A.B + A.B víi A.B vµ A.B xung kh¾c.

B = A.B + A .B víi A.B vµ A .B xung kh¾c.

A + B = A.B + A.B + A .B.

Ta suy ra: P(A) = P(A.B + A.B ) = P(A.B) + P(A. B )

P(A. B ) = P(A) - P(A.B) 1)

P(B) = P(A.B + A .B) = P(A.B) +.P(A B)

P( A .B) = P(B) - P(A.B) (2)

P(A+B) = P(AB + AB + A B) = P(AB) + P(A B ) + P( A B) (3) Tõ (1),(2) vµ (3) suy ra: P(A +B) = P(A) + P(B) – P(AB) VÝ dô 1: Trong sè 300 sinh viªn n¨m thø nhÊt cã 100 sinh viªn biÕt tiÕng Anh, 80 sinh viªn biÕt tiÕng Ph¸p, 30 sinh viªn biÕt c¶ hai ngo¹i ng÷ Anh – Ph¸p. Chän ngÉu nhiªn mét sinh viªn n¨m thø nhÊt. TÝnh x¸c suÊt sinh viªn nµy biÕt Ýt nhÊt mét ngo¹i ng÷ (Anh hoÆc Ph¸p).

Gi¶i:

§Æt A: biÕn cè sinh viªn nµy biÕt tiÕng Anh. B: biÕn cè sinh viªn nµy biÕt tiÕng Ph¸p. N: biÕn cè sinhviªn nµy biÕt Ýt nhÊt mét ngo¹i ng÷.

Ta cã: N= A + B, A.B ≠ Ø.

2

1

300

30

300

80

300

100P(AB)P(B)P(A)B)P(AP(N)

2. Trêng hîp cã n biÕn cè bÊt kú

)...AAP(A(-1) ... -

)AAP(A)AP(A)P(A)AP(

n21

1)-(n

kj

n

kjiij

n

jii

n

1i

n

1iii

(1.3)

NÕu A1, A2, …, An lµ c¸c biÕn cè xung kh¾c tõng ®«i, tøc lµ Ai.Aj=Ø víi 1≤

i, j ≤ k, i ≠ j th×:

)P(A...)P(A)P(A)P(AAP(A)k21

k

1ii

k

1ii

VÝ dô 2: C«ng ty du lÞch cã 60 nh©n viªn. Trong ®ã cã 20 ngêi th¹o tiÕng Anh, 25 ngêi th¹o tiÕng Ph¸p, 14 ngêi th¹o tiÕng NhËt, 12 ngêi th¹o c¶ tiÕng Anh vµ Ph¸p, 8 ngêi th¹o c¶ tiÕng Anh vµ NhËt, 4 ngêi th¹o tiÕng Ph¸p vµ NhËt. Gi÷a nh÷ng ngêi nµy cã 2 ngêi th¹o ba thø tiÕng: Anh, Ph¸p, NhËt. B¹n ®Õn c«ng ty, t×nh cê gÆp mét ngêi. T×m x¸c suÊt ®Ó ngêi ®ã th¹o mét trong ba thø tiÕng.

Gi¶i:

Gäi A: biÕn cè gÆp mét ngêi th¹o tiÕng Anh. B: BiÕn cè gÆp mét ngêi th¹o tiÕng Ph¸p. C: BiÕn cè gÆp mét ngêi th¹o tiÕng NhËt.

- 15 -

H: BiÕn cè gÆp mét ngêi th¹o mét trong ba thø tiÕng. Nh vËy x¸c suÊt cÇn t×m lµ: P(H)= P(ABC) = P(A + B + C). BiÕt r»ng:

60

2vµ P(ABC)

,60

4P(BC),

60

8P(AC),

60

12P(AB)

,60

14P(C),

60

25P(B),

60

20P(A)

Suy ra:

60

37

60

2

60

4

60

8

60

12

60

14

60

25

60

20

P(ABC)P(BC)P(AC)P(AB)P(C)P(B))P(A P(H)

HÖ qu¶ 1: NÕu A vµ A lµ hai biÕn cè ®èi lËp th×

P( A ) = 1 - P(A) (1.4)

Qu¶ vËy theo gi¶ thuyÕt A+ A = Ω vµ A A =Ø nªn theo ®Þnh lý 1.5.1:

P(A) + P( A ) = P(A + A ) = P(Ω) =1.

C«ng thøc (2) cho phÐp chuyÓn viÖc tÝnh x¸c suÊt cña A qua viÖc tÝnh x¸c suÊt

P( A ) trong nhiÒu trêng hîp ®a tíi kÕt qu¶ nhanh h¬n. VÝ dô 3: Mét ®ît xæ sè ph¸t hµnh N vÐ, trong ®ã cã M vÐ cã thëng. Mét ngêi mua r vÐ (r< N – M). TÝnh x¸c suÊt ®Ó ngêi ®ã cã Ýt nhÊt mét vÐ tróng thëng.

Gi¶i:

Gäi A: BiÕn cè trong r vÐ cã Ýt nhÊt mét vÐ tróng thëng, thÕ th× A : lµ biÕn cè

c¶ r vÐ ®Òu trît. Ta tÝnh P( A ).

Ta cã: .C

CA)P(

r

N

r

MN

Do ®ã: r

N

r

MN

C

C1)AP(1P(A) .

1.4.2. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn – C«ng thøc nh©n x¸c suÊt.

1. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn

Trªn ®©y khi nãi ®Õn biÕn cè A vµ xÐt x¸c suÊt P(A) ta chØ chó ý ®Õn ®iÒu kiÖn cña phÐp thö ( η ) trong thùc tÕ nhiÒu khi ngoµi ®iÒu kiÖn cè ®Þnh ban ®Çu ngêi ta cßn cho thªm ®iÒu kiÖn phô, ®iÒu kiÖn nµy cã thÓ ¶nh hëng ®Õn kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn cña biÕn cè A.

VÝ dô 4: N¨m sinh viªn ®îc 3 suÊt häc bæng, b»ng c¸ch bèc th¨m. NhËn xÐt: Tríc lóc b¾t th¨m, x¸c suÊt ®îc häc bæng cña mçi sinh viªn ®Òu nh nhau: P(A) =3/5

- 16 -

NÕu cho biÕt thªm ®iÒu kiÖn tríc ®ã sinh viªn B ®· ®îc mét suÊt th× x¸c suÊt ®Ó sinh viªn A ®îc häc bæng lµ 2/4. Nh thÕ sù xuÊt hiÖn cña B ®· lµm thay ®æi kh¶ n¨ng ®îc häc bæng cña A.

§Þnh nghÜa 1:

X¸c suÊt cña biÕn cè A ®îc tÝnh víi gi¶ thuyÕt biÕn cè B ®· x¶y ra gäi lµ x¸c

suÊt cã ®iÒu kiÖn cña A víi ®iÒu kiÖn B. Ký hiÖu lµ P(A/B)

2. §Þnh lý nh©n x¸c suÊt

§Þnh lý: X¸c suÊt cña tÝch hai biÕn cè b»ng tÝch x¸c suÊt cña mét trong chóng

nh©n víi x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè kia víi gi¶ thuyÕt biÕn cè thø nhÊt ®· x¶y ra: i) P(A.B) = P(B).P(A/B)=P(A).P(B/A) (1.5) ii) NÕu A vµ B lµ ®éc lËp, ta cã: P(AB)= P(A). P(B) Dïng qui n¹p cã thÓ tæng qu¸t ho¸ ®Þnh lý nh©n x¸c suÊt cho mét sè h÷u h¹n c¸c biÕn cè: P(A1A2…An)= P(A1)P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1) Trong trêng hîp c¸c biÕn cè Ai (i =1, 2,…, n) ®éc lËp trªn toµn thÓ, c«ng thøc trªn trë thµnh: P(A1A2…An) = P(A1)P(A2)…P(An).

VÝ dô 5: Gi¶ sö mét líp chia lµm ba nhãm thùc tËp. Nhãm I cã 30 sinh viªn trong ®ã cã 10 n÷. Nhãm II cã 25 sinh viªn trong ®ã cã 10 n÷. Nhãm III cã 25 sinh viªn trong ®ã cã 8 n÷. Chän ngÉu nhiªn trong líp ra 1 sinh viªn. Gäi A ={sinh viªn ®îc chän ra lµ n÷} B ={sinh viªn ®îc chän thuéc nhãm II}

Ta cã: P(A) P(A/B)0,4;25

10 P(A/B)0,35;

80

28P(A)

3. TÝnh chÊt cña x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn

i) 0 ≤ P(A) ≤1. ii) P(B/B) = 1.

iii) NÕu AC = Ø th× P(AC/B)=P(A/B) + P(C/B)

iv) P( A /B)=1-P(A/B) VÝ dô 6: Mét hép cã 5 bi ®á vµ 3 bi xanh. LÊy ngÉu nhiªn ra mét viªn bi ta ®îc bi ®á. Sau ®ã lÊy liªn tiÕp 1 bi n÷a trong sè bi cßn l¹i. Gäi B ={ Viªn bi lÊy ra lÇn ®Çu lµ mµu ®á} A ={Viªn bi lÊy ra lÇn sau lµ ®á} Ta cã: P(A/B) = 4/7 Trong khi ®ã P(B/A) khã t×m h¬n nhiÒu ( ch¾c ch¾n chóng ta sÏ lóng tóng khi tÝnh nã). V× vËy trong trêng hîp nµy ta nªn dïng:

P(AB)=P(B)P(A/B)=14

5

7

4

8

5.

- 17 -

VÝ dô 7: Mét ngêi cã 3 con gµ m¸i, 2 con giµ trèng nhèt chung mét lång. Mét ngêi ®Õn mua, ngêi b¸n b¾t ngÉu nhiªn ra mét con. Ngêi mua chÊp nhËn mua con ®ã. a) T×m x¸c suÊt ®Ó ngêi ®ã mua ®îc con gµ m¸i. Ngêi thø hai ®Õn mua, ngêi b¸n gµ l¹i b¾t ngÉu nhiªn ra mét con. b) T×m x¸c suÊt ngêi thø hai mua ®îc gµ trèng, biÕt r»ng ngêi thø nhÊt ®· mua ®îc gµ m¸i. c) X¸c suÊt nµy sÏ b»ng bao nhiªu nÕu ngêi b¸n gµ quªn mÊt r»ng con gµ b¸n cho ngêi thø nhÊt lµ gµ trèng hay gµ m¸i?

Gi¶i:

Gäi Bi = {Ngêi thø i mua ®îc gµ m¸i}, i=1,2. a) Ta cã: P(B1) =3/5 = 0,6

b) V× ngêi thø hai mua sau khi ngêi thø nhÊt ®· mua xong, cho nªn:

0.54

2)/BBP(

12

c) Ta cã: 212121122

BBBBB)B(BBΩ.B

V× 1

B1

B =Ø nªn 2121

BBBB =Ø

Theo c«ng thøc céng (2) ta cã:

)BBP()BP(B)BP(21212

Do B1, B2 kh«ng ®éc lËp nªn 2121

B,B vµ B,B kh«ng ®éc lËp, theo c«ng thøc

nh©n x¸c suÊt ta cã:

404

1

5

2

4

2

5

31211212

...)/().()/().()( BBPBPBBPBPBP

VÝ dô 8: Cã mét nhãm sinh viªn mçi ngêi cã mét ¸o ma gièng hÖt nhau. Mét h«m trêi ma, c¶ nhãm cïng ®Õn líp vµ treo ¸o ë m¾c ¸o. Lóc ra vÒ v× véi vµng mçi ngêi lÊy “hó ho¹” mét c¸i ¸o. TÝnh x¸c suÊt cã Ýt nhÊt mét sinh viªn chän ®óng ¸o cña m×nh.

Gi¶i:

§Æt Ai: BiÕn cè sinh viªn thø i nhËn ®óng ¸o cña m×nh, i =1, 2,…, n A: BiÕn cè Ýt nhÊt mét sinh viªn nhËn ®óng ¸o cña m×nh. Ta cã: A = A1 + A2 +…+ An +) X¸c suÊt ®Ó sinh viªn thø i nhËn ®óng ¸o cña m×nh lµ:

1n!

1)!n(n)P(A

n!

1)!(n

n

1)P(A

n

1iii

- 18 -

+) X¸c suÊt ®Ó sinh viªn thø k vµ i nhËn ®óng ¸o cña m×nh:

2!

1

n!

2)!(n.

2)!(n2!

n!)A.P(AC)AP(A

n!

2)!(n

1n

1.

n

1)/A).P(AP(A)AP(A

ik

2

ni

n

ikk

ikiik

+) X¸c suÊt ®Ó c¸c sinh viªn thø k, (k =1, 2,…, m; m ≤ n) nhËn ®óng ¸o cña

m×nh lµ: m!

1

n!

m)!(nC)...AAP(A

m

nm21

Suy ra:

!)(...

!2!

1-1

)...AAP(A1)(...)AP(A)P(A)AP(P(A)m21

n

i

n

ikk

n

1kk

n

1kk

n

n 11

3

1

Khi e

11~P(A),n

VÝ dô 9: §Ó dËp t¾t n¹ s©u bÖnh h¹i lóa, ®éi b¶o vÖ thùc vËt cña hîp t¸c x· ®· tiÕn hµnh phun thuèc ba lÇn liªn tiÕp trong mét tuÇn. X¸c suÊt s©u bÞ chÕt sau lÇn phun thø I lµ 0,5. NÕu s©u sèng sãt th× kh¶ n¨ng bÞ chÕt sau lÇn phun thø II lµ 0,7. T¬ng tù sau lÇn phun thø III lµ 0,9. T×m x¸c suÊt s©u bÞ chÕt sau ®ît phun thuèc. Gäi A ={s©u bÞ chÕt sau ®ît phun thuèc} Ai={s©u bÞ chÕt sau lÇn phun thø i}, i =1, 2, 3. A1, A2, A3 kh«ng ®éc lËp.

Ta cã: 321211

AAAAAAA

¸p dông c«ng thøc céng vµ nh©n ta tÝnh ®îcP(A). HoÆc ta lµm c¸ch nh sau:

321

AAAA {s©u sèng sãt sau ®ît phun thuèc}

...)P(-1P(A)

0.0150.9)-0.7)(1-0.5)(1-(1

))AA/P(A).(1A/P(A)).(1P(A-(1

AA/A).P(A/A).P(AP()AP(

213121

213121

985001501

A

1.4.3. C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ vµ Bayes:

1. C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ

Mét hÖ qu¶ quan träng cña ®Þnh lý céng vµ nh©n x¸c suÊt lµ c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ.

- 19 -

Gi¶ sö n21

A,...,A,A lµ mét nhãm ®Çy ®ñ çc biÕn cè xung kh¾c vµ F lµ

mét biÕn cè nµo ®ã (trong cïng phÐp thö); Cho biÕt çc x¸c suÊt P(A1) vµ P(F/Ai) (i=i,2,…,n). H·y tÝnh x¸c suÊt cña P(F) Theo gi¶ thuyÕt, râ rµng ta cã:

F = FΩ = F(n21

A...AA ) = n21

FA...FAFA

V× çc biÕn cè A1, A2,…, An xung kh¾c nªn çc biÕn cè AiF (i=1,2,…,n) còng xung kh¾c, do ®ã theo c«ng thøc céng x¸c suÊt ta cã:

P(F) = P(n21

FA...FAFA ) = P( )P(FA...)P(FA)FAn21

H¬n n÷a theo ®Þnh lý nh©n x¸c suÊt: P(AiF) = P(A1).P(F/Ai). Do ®ã:

P(F)= )).P(F/AP(A...)).P(F/AP(A)).P(F/AP(Ann2211

(1.6)

C«ng thøc (1.6) lµ c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ.

VÝ dô 10: Mét l« h¹t gièng ®îc ph©n lµm 3 lo¹i. Lo¹i I chiÕm 2/3 sè h¹t cña l«. Lo¹i II chiÕm 1/4, cßn l¹i lµ lo¹i III. Lo¹i I cã tû lÖ n¶y mÇm 80%, lo¹i II cã tû lÖ n¶y mÇm 60% vµ lo¹i III cã tû lÖ n¶y mÇm 40%. Hái tû lÖ n¶y mÇm chung cña l« h¹t gièng lµ bao nhiªu? (Nãi çch kh¸c: Ta lÊy ngÉu nhiªn tõ l« ra 1 h¹t. T×m x¸c suÊt ®Ó ®îc h¹t n¶y mÇm).

Gi¶i:

Gäi Ai lµ biÕn cè h¹t gièng lÊy ra thuéc lo¹i i, i = 1, 2, 3. Gäi F lµ biÕn cè h¹t gièng lÊy ra thuéc lo¹i h¹t n¶y mÇm.

Ta thÊy 321

A ,A ,A lËp thµnh mét nhãm ®Çy ®ñ çc biÕn cè; F x¶y ra th×

h¹t ®ã ph¶i thuéc mét trong ba lo¹i tøc lµ mét trong ba biÕn cè 321

A ,A ,A

ph¶i x¶y ra.

Ta cã: .) P(A,4

1) P(A,

3

2)P(A

32112

1

40.)A P(F/0.6,) P(F/A0.8,)P(F/A321

¸p dông c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ, ta cã:

7040

12

160

4

180

3

2,,.,.,.

)A )P(F/ P(A ) P(F/A)P(A ))P(F/AP(AP(F)332211

2. C«ng thøc Bayes

Víi cïng gi¶ thuyÕt nh c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ. TÝnh x¸c suÊt cña biÕn cè Ak víi ®iÒu kiÖn F ®· x¶y ra. Theo c«ng thøc nh©n x¸c suÊt ta cã: P(AkF) = P(F).P(Ak/F) = P(Ak).P(F/Ak)

- 20 -

n

1kkk

kkkk

k

)).P(AP(F/A

)).P(AP(F/A

P(F)

)).P(AP(F/A/F)P(A (1.7)

C«ng thøc (1.7) ®îc gäi lµ c«ng thøc Bayes.

VÝ dô 11: Trong mét tr¹m cÊp cøu pháng cã 80% bÖnh nh©n pháng do nãng vµ 20% pháng do ho¸ chÊt. Lo¹i pháng do nãng cã 30% bÞ biÕn chøng. Lo¹i pháng do ho¸ chÊt cã 50% bÞ biÕn chøng. a) TÝnh x¸c suÊt khi b¸c sü më tËp hå s¬ cña bÖnh nh©n gÆp mét bÖnh ¸n cu¶ bÖnh nh©n bÞ biÕn chøng. b) BiÕt ®· gÆp mét bÖnh ¸n cña bÖnh nh©n bÞ biÕn chøng. TÝnh x¸c suÊt do: i) Nãng g©y nªn. ii) Ho¸ chÊt g©y nªn.

Gi¶i:

Gäi F: BiÕn cè bÖnh nh©n bÞ biÕn chøng. A1: BiÕn cè bÖnh nh©n pháng do nãng. A2: BiÕn cè bÖnh nh©n pháng do ho¸ chÊt. Ta cã A1, A2 lËp thµnh mét nhãm ®Çy ®ñ. P(A1) = 0,8; P(A2) = 0,2; P(F/A2) = 0,3; P(F/A2)=0,5.

a) ¸p dông c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ ta cã: P(F) =P(A1)P(F/A1) + P(A2)P(F/A2) = 0,8.0,3 + 0,2.0,5 = 0,34 = 34%

b) ¸p dông c«ng thøc Bayes, ta cã:

29,5%0,2950,34

)(0,2).(0,5

P(F)

)).P(F/AP(A/F)P(A ii)

70,5%0,7050,34

)(0,8).(0,3

P(F)

)).P(F/AP(A/F)P(A i)

222

111

VÝ dô 12: Cã 2 b×nh lo¹i I, 2 b×nh lo¹i II, 1 b×nh lo¹i III. B×nh lo¹i I cã 2 bi tr¾ng, 3 bi ®en. B×nh lo¹i II cã 1 bi tr¾ng, 4 bi ®en. B×nh lo¹i III cã 4 bi tr¾ng, ®îc bi tr¾ng. TÝnh x¸c suÊt bi ®ã thuéc b×nh lo¹i III.

Gi¶i:

Gäi T: BiÕn cè chän ®îc bi tr¾ng. Ai: BiÕn cè chän ®îc b×nh lo¹i i, I = 1, 2, 3. Ta cã: A1, A2, A3 lËp thµnh mét nhãm ®Çy ®ñ. P(A1) =2/5, P(A2) = 2/5, P(A3) =1/5. P(T/A1) =2/5; P(T/A2) =1/5; P(T/A3) = 4/5;

¸p dông c«ng thøc Bayes, ta cã:

- 21 -

%,

...

.5

1

)).P(T/AP(A)).P(T/AP(A)).P(T/AP(A

)).P(T/AP(A/T)P(A

332211

33

3

4040

5

4

5

1

5

1

5

2

5

2

5

25

4

1.4.4. D·y çc phÐp thö Bernoulli

1. §Þnh nghÜa:

TiÕn hµnh n phÐp thö ®éc lËp (tøc lµ çc kÕt qu¶ cña phÐp thö nµy kh«ng ¶nh hëng g× ®Õn kÕt qu¶ cña çc phÐp thö kia) ®îc gäi lµ n phÐp thö Bernoulli ( hoÆc lµ lîc ®å Bernoulli) nÕu tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau:

i) Mçi phÐp thö cã 2 kÕt qu¶: A, A . ii) P(A) = p: P(A) nh nhau ®èi víi mäi phÐp thö.

VÝ dô 13: o Gieo 1 ®ång tiÒn 10 lÇn ®ã lµ phÐp thö Bernoulli. o Gieo 1 con xóc s¾c 1000 lÇn, A={xuÊt hiÖn mÆt ngöa}. §ã lµ 100 phÐp thö Bernoulli. o Mét ngêi b¾ng tróng 5 viªn ®an, b¾n tõng viªn mét vµo mét môc tiªu. §ã lµ 5 phÐp thö Bernuolii. (Nhng nÕu 5 ngêi b¾n, mçi ngêi b¾n 1 viªn th× nãi chung ®ã l¹i kh«ng lµ 5 phÐp thö Bernoulii)

2. TÇn sè xuÊt hiÖn biÕn cè A

Ta t×m x¸c suÊt cho trong n phÐp thö Bernoulli biÕn cè A xuÊt hiÖn m lÇn. Ký hiÖu x¸c suÊt nµy lµ Pn(m, p).

Ta cã: Pn(m, p)= n0,m;p)(1pC m)(nmm

n

(1.8)

Thùc vËy çc kÕt qu¶ cã thÓ cña n phÐp thö Bernoulli sÏ lµ mét d·y gåm n

ch÷ A vµ A (ë phÐp thö thø i A xuÊt hiÖn ta ghi A. A xuÊt hiÖn ta ghi A )

n

AAAA...AA

§Ó trong n phÐp thö nµy biÕn cè A xuÊt hiÖn m lÇn th× trong d·y cã m ch÷

A, (n - m) ch÷ A .

Víi mét çch s¾p xÕp cè ®Þnh m ch÷ A, (n - m) ch÷ A , do tÝnh ®éc lËp nªn

x¸c suÊt t¬ng øng lµ; pm.(1- p)n - m. Nhng ta l¹i cã m

nC çch s¾p xÕp m ch÷ A

trong n vÞ trÝ.

VËy x¸c suÊt cÇn t×m lµ: Pn(m, p) = m

nC .pm.(1- p)n – m

3. Sè cã kh¶ n¨ng nhÊt

Ta tung mét ®ång tiÒn c©n ®èi, ®ång chÊt 5 lÇn. A: BiÕn cè xuÊt hiÖn mÆt sÊp. Suy ra: P(A) =1/2.

- 22 -

Sè mÆt sÊp xuÊt hiÖn cã thÓ 0,…, 5. T¬ng øng víi c¸c x¸c suÊt:

P5(m,1/2) = m

nC (1/2)m(1/2)5 - m, m = 50, .

Trong 6 con sè trªn sÏ tån t¹i sè lín nhÊt. Sè m t¬ng øng víi x¸c suÊt lín nhÊt sÏ lµ sè hay x¶y ra nhÊt. Trong trêng hîp trªn m = 2 vµ 3, tøc lµ trong 5 lÇn tung ®ång tiÒn mÆt sÊp cã thÓ xuÊt hiÖn 0 lÇn, 1 lÇn, …, 5 lÇn, nhng xuÊt hiÖn 2 lÇn vµ 3 lÇn lµ cã kh¶ n¨ng nhÊt. Sè m0 mµ øng víi nã Pn(m0, p) lín

nhÊt, ®îc gäi lµ sè cã kh¶ n¨ng nhÊt. Pn(m0, p) = p)(m,Pn

nm0max

Quy t¾c t×m sè cã kh¶ n¨ng nhÊt nh sau:

- NÕu np +p -1 lµ mét sè nguyªn th× m0 chÝnh lµ np+p-1 vµ np+p.

- NÕu np +p -1 lµ mét sè thËp ph©n th× m0 chÝnh lµ sè nguyªn bÐ nhÊt nhng

lín h¬n np +p -1, tøclµ m0=[np +p -1]+1. ([x] lµ phÇn nguyªn cña x]).

VÝ dô 14: Tû lÖ m¾c bÖnh A ë mét vïng nµo ®ã lµ 10%. Trong ®ît kh¸m tuyÓn nghÜa vô qu©n sù ngêi ta ®· kh¸m cho 100 ngêi. T×m x¸c suÊt ®Ó: a) Trong 100 ngêi cã 6 ngêi bÞ bÖnh A. b) Trong 100 ngêi cã 95 ngêi kh«ng bÞ bÖnh A. c) Trong 100 ngêi cã Ýt nhÊt 1 ngêi bÞ bÖnh A. d) T×m sè ngêi bÞ bÖnh A cã kh¶ n¨ng nhÊt. TÝnh x¸c suÊt t¬ng øng.

Gi¶i:

ë ®©y cã 100 phÐp thö Bernoulli. A: BiÕn cè bÞ bÖnh A, vµ P(A) = p = 0,1 Do ®ã ta cã:

a) P100(6; 0,1)= 6

100C .0,16.0,94.

b) P100(95;0,9)= 95

100C .0,195.0,95.

c) P100(m ≥1; 0,1) = 1- P100(m = 0; 0,1) = 1 - 0

100C .0,10.0,9100=1- 0,9100

d) Np + p – 1 =100.0,1 + 0,1 – 1 = 9,1. Sè ngêi bÞ bÖnh A cã kh¶ n¨ng nhÊt khi kh¸m 100 ngêi lµ 10 ngêi lµ:

P100(10; 0,1)= 10

100C .0,110.0,990.

VÝ dô 15: Mét l« h¹t gièng tû lÖ h¹t lÐp lµ 5%. CÇn ph¶i lÊy 1 mÉu cì bao nhiªu sao cho x¸c suÊt ®Ó bÞ Ýt nhÊt 1 h¹t lÐp kh«ng bÐ h¬n 0,95. Gi¶i:

a) Ta cã: Pn(m ≥1; 0,05) = 1 - Pn(m = 0; 0,05) = 1- 0

nC .0,050.0,95n = 1- 0,95n

Theo ®Ò bµi: 1- 0,95n ≥ 0,95.

Suy ra 0,05 ≥ 0,95n hay n

950

050

,ln

,ln

- 23 -

Bµi tËp ch¬ng i

gi¶i tÝch tæ hîp

1) Tõ çc ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè ch½n cã ba ch÷ sè

( kh«ng nhÊt thiÕt kh¸c nhau)?

2) Tõ çc ch÷ sè 1,5,6,7 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu ch÷ sè cã 4 ch÷ sè ( kh«ng

nhÊt thiÕt kh¸c nhau)?

3) Cã bao nhiªu ch÷ sè cã 5 ch÷ sè, trong ®ã çc ch÷ sè çch ®Òu ch÷ sè gi÷a

gièng nhau?

4) Cã bao nhiªu sè cã 6 ch÷ sè vµ chia hÕt cho 5?

5) Tõ thµnh phè A ®Õn thµnh phè B cã m con ®êng; tõ thµnh phè A ®Õn

thµnh phè C cã n con ®êng, tõ thµnh phè B ®Õn thµnh phè D cã q con ®êng. Kh«ng cã con ®êng nµo nèi thµnh phè B vµ thµnh phè C. Hái cã bao nhiªu con ®êng ®i tõ thµnh phè A ®Õn thµnh phè D?

6) Cho çc ch÷ sè 1,2,3,4,5. Tõ çc ch÷ sè ®· cho

a) Cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè ch½n cã ba ch÷ sè kh¸c nhau? b) Cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã ba ch÷ sè kh¸c nhau lín h¬n hay b»ng 245? c) Cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã ba ch÷ sè kh¸c nhau bÐ h¬n nay b»ng 245?

7) Tõ 5 sè kh¸c nhau a,b,c,d,e cã thÓ lËp ®îc tÊt c¶ bao nhiªu tÝch

cña: a) Hai thõa sè kh¸c nhau. b) Ba thõa sè kh¸c nhau. c) Bèn thõa sè kh¸c nhau. d) N¨m thõa sè kh¸c nhau.

8) Çc ®êng chÐo cña mét ®a gi¸c låi c¹nh gÆp nhau t¹i bao nhiªu ®iÓm, nÕu

bÊt kú 3 ®êng chÐo nµo còng kh«ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm?

9) Cã bao nhiªu çch ph©n phèi 5 ®å vËt cho 3 ngêi, sao cho mçi ngêi ®Òu

nhËn ®îc Ýt nhÊt mét ®å vËt?

10) A cã 7 quyÓn s¸ch to¸n kh¸c nhau, B cã 9 quyÓn s¸ch v¨n kh¸c nhau. Hái

hai b¹n cã thÓ trao ®æi cho nhau mçi lÇn 5 quyÓn theo bao nhiªu çch?

11) Tõ mét tæ gåm hai b¹n n÷ vµ 10 b¹n nam, cã bao nhiªu çch thµnh lËp

mét ®oµn 8 ngêi trong ®ã cã Ýt nhÊt mét b¹n n÷?

12) Ngêi ta rót hó ra 3 qu¶ cÇu tõ mét çi hép ®ùng 6 qu¶ cÇu tr¾ng, 4 qu¶

cÇu ®en. a) Cã bao nhiªu çch rót ra nh thÕ? b) Cã bao nhiªu çch rót ra hai qu¶ cÇu tr¾ng vµ 1 qu¶ cÇu ®en? c) Cã bao nhiªu çch rót ra Ýt nhÊt 2 qu¶ cÇu tr¾ng?

13) T×m sè ®êng chÐo cña ®a gi¸c n c¹nh.

- 24 -

14) Trªn mÆt ph¼ng cho n ®iÓm trong ®ã, ngo¹i trõ m ®iÓm (m≥2) ®iÓm n»m

trªn 1 ®êng th¼ng, bÊt kú 3 ®iÓm nµo kh¸c cu·ng kh«ng th¼ng hµng. Hái: a) Cã bao nhiªu ®êng th¼ng nèi çc ®iÓm ®ã? b) Cã bao nhiªu tam gi¸c kh¸c nhau cã ®Ønh t¹i çc ®iÓm ®· cho?

15) Mét l« hµng cã n s¶n phÈm, trong ®ã co m phÕ phÈm. Cã bao nhiªu çch

chän ra mét s¶n phÈm, trong ®ã cã k phÕ phÈm?

16) Trong mét l« hµng cã 20 bãng ®Ìn, trong ®ã cã 6 bãng ®Ìn 110V, cßn l¹i

lµ bãng 220V. a) Hái cã bao nhiªu çch chän ra 4 bãng ®Ìn tuú ý? b) Hái cã bao nhiªu çch chän ra 4 bãng ®Ìn, trong ®ã ph¶i cã 2 bãng 110V? c) Hái cã bao nhiªu çch chän ra 4 bãng ®Ìn, trong ®ã ph¶i cã Ýt nhÊt 2 bãng 110V?

17) Tõ mét khu tËp thÓ nhµ khoa häc gåm cã 2 nhµ To¸n häc vµ 10 nhµ kinh

tÕ häc. Cã bao nhiªu çch thµnh lËp 1 ph¸i ®oµn 8 ngêi, trong ®ã cã Ýt nhÊt 1 nhµ To¸n häc?

18) Mét ®éi c«ng nh©n gåm 15 ngêi, gåm 9 nam vµ 6 n÷:

a) Cã bao nhiªu çch thµnh lËp 1 tæ c«ng t¸c gåm 4 nam vµ 2 n÷ tõ ®éi c«ng nh©n ®ã/ b) Trong ®éi cã vî chång anh Thu vµ chÞ Chi v× cã con nhá nªn kh«ng thÓ cïng tham dù mét tæ ®îc. Hái cã bao nhiªu çch thµnh lËp tæ c«ng t¸c nh trªn ®Ó chiÕu cè t×nh h×nh nµy?

BiÕn cè

1) Khi nµo th× cã ®¼ng thøc:

a) A+B = A

b) A.B = A c) A+B = A.B

2) Çc biÕn cè A vµ BA cã ph¶i lµ hai biÕn cè xung kh¾c nhau kh«ng?

3) Hai ®Êu thñ ch¬i 1 v¸n cê tíng. Gäi A lµ biÕn cè ngêi thø nhÊt th¾ng, B

lµ biÕn cè ngêi thø 2 th¾ng. Hái ph¶i thªm vµo biÕn cè nµo ®Ó cã mét hÖ ®Çy ®ñ çc biÕn cè?

4) Mét chiÕc tµu thuû gåm 1 b¸nh l¸i, 4 nåi h¬i, 2 tuyÕc-bin. Gäi A, Bi (i= 41, )

, Cj (j =1,2) lÇn lît lµ çc biÕn cè b¸nh l¸i ho¹t ®éng tèt, nåi h¬i thø i ho¹t ®éng tèt, tuyÕc-bin thø j ho¹t ®éng tèt. BiÕt r»ng tµu ho¹t ®éng tèt khi vµ chØ khi b¸nh l¸i, Ýt nhÊt mét nåi h¬i vµ Ýt nhÊt mét tuyÕc-bin ®Òu ho¹t ®éng tèt.

Gäi D lµ biÕn cè tµu ho¹t ®éng tèt. H·y biÓu diÔn D vµ D qua A, Bi, Cj.

5) Hai x¹ thñ cïng ®Õn trêng b¾n, mçi ngêi b¾n mét viªn vµo bia. Gäi Ai

ngêi thø i b¾n tróng bia (i=1,2). H·y biÓu diÔn çc biÕn cè sau qua A1, A2. a) ChØ cã ngêi thø nhÊt b¾n tróng bia. b) Cã ®óng mét ngêi b¾n tróng.

- 25 -

c) Cã Ýt nhÊt mét ngêi b¾n tróng. d) C¶ hai ngêi cïng b¾n tróng. e) Kh«ng cã ai b¾n tróng. f) Cã kh«ng qu¸ 1 ngêi b¾n tróng.

x¸c suÊt

1) Líp häc m«n x¸c suÊt cã 70 sinh viªn, trong ®ã cã 25 n÷. Chän ngÉu nhiªn

ra mét nhãm gåm 10 sinh viªn . T×m x¸c suÊt ®Ó trong nhãm chän ra cã 4 sinh viªn n÷.

2) Mét sinh viªn ®i thi m«n TriÕt häc chØ n¾m ®îc 20 trong sè 25 c©u hái cña

ch¬ng tr×nh. Mçi phiÕu ghi gåm 3 c©u. TÝnh x¸c suÊt ®Ó anh ta tr¶ lêi ®îc 3 c©u.

3) Tung ®ång thêi 2 con xóc s¾c. TÝnh x¸c suÊt ®Ó:

a) Tæng sè nót xuÊt hiÖn trªn hai con xóc s¾c lµ 7. b) Tæng sè nót xuÊt hiÖn trªn hai con xóc s¾c lµ 8. c) Sè nót xuÊt hiÖn trªn hai con xóc s¾c h¬n kÐm nhau lµ 2.

4) Mét chiÕc hép ®ùng 6 qu¶ cÇu tr¾ng, 4 qu¶ cÇu ®á vµ 2 qu¶ cÇu ®en. Chän

ngÉu nhiªn 6 qu¶ cÇu. T×m x¸c suÊt ®Ó chän ®îc 3 qu¶ cÇu tr¾ng, 2 qu¶ cÇu ®á vµ 1 qu¶ cÇu ®en.

5) §oµn tµu ®iÖn gåm 3 toa tiÕn vµo s©n ga, ë ®ã cã 12 kh¸ch ®ang chê lªn

tµu. Gi¶ sñ¨ c¸c hµnh kh¸ch ®Òu lªn tµu mét c¸ch ngÉu nhiªn vµ ®éc lËp víi nhau, mçi toa cßn Ýt nhÊt 12 chç trèng. T×m x¸c suÊt ®Ó: a) Toa thø nhÊt cã 4 ngêi lªn, toa thø hai cã 5 ngêi kªn, sè cßn l¹i lªn toa thø ba. b) Mçi toa cã 4 ngêi lªn. c) Hai hµnh kh¸ch A vµ B cïng lªn mét toa.

6) Thang m¸y cña mét tÇng kh¸ch s¹n 10 tÇng xuÊt ph¸t tõ tÇng mét víi 5

kh¸ch. T×m x¸c suÊt ®Ó: a) TÊt c¶ cïng ë tÇng 5. b) TÊt c¶ cïng ra ë mét tÇng. c) Mçi ngêi ra ë mét tÇng kh¸c nhau. d) Hai ngêi cïng ra mét tÇng, ba ngêi cßn l¹i ra ë ba tÇng kh¸c nhau.

7) Ba x¹ thñ, mçi ngêi b¾n mét viªn ®¹n vµo môc tiªu víi x¸c suÊt tróng ®Ých

cña mçi ngêi lµ 0,6;0,7;0,8. T×m x¸c suÊt: a) ChØ cã ®óng ngêi thø hai b¾n trón. b) Cã ®óng mét ngêi b¾n tróng. c) Cã Ýt nhÊt mét ngêi b¾n tróng. d) C¶ ba ngêi ®Òu b¾n tróng. e) Cã ®óng hai ngêi b¾n tróng. f) Cã Ýt nhÊt hai ngêi b¾n tróng. g) Cã kh«ng qu¸ hai ngêi b¾n tróng.

- 26 -

8) Cã 10 hép bi, trong ®ã cã 4 hép lo¹i I, 3 hép lo¹i II, cßn l¹i lµ hép lo¹i III.

Hép lo¹i I cã 3 bi tr¾ng vµ 5 bi ®á, hép lo¹i II cã 4 bi tr¾ng vµ 6 bi ®á, hép lo¹i III cã 2 bi tr¾ng vµ 2 bi ®á. a) Chän ngÉu nhiªn 1 hép vf tõ ®ã lÊy ngÉu nhiªn 1 bi. T×m x¸c suÊt ®Ó ®îc bi ®á. b) Chän ngÉu nhiªn mét hép vµ tõ ®ã lÊy ngÉu nhiªn 1 bi th× ®îc bi tr¾ng. T×m x¸c suÊt ®Ó viªn bi ®ã lÊy ra thuéc lo¹i II.

9) Cã hai l« s¶n phÈm, l« thø nhÊt cã 10 s¶n phÈm lo¹i I vµ 2 s¶n phÈm lo¹i II.

L« thø hai cã 16 s¶n phÈm lo¹i I vµ 4 s¶n phÈm lo¹i II. Tõ mçi l« ta lÊy ngÉu nhiªn mét s¶n phÈm. Sau ®ã, trong 2 s¶n phÈm thu ®îc ta l¹i lÊy hó ho¹ ra 1 s¶n phÈm. T×m x¸c suÊt ®Ó s¶n phÈm lÊy ra sau cïng lµ s¶n phÈm lo¹i I.

10) Cã 2 l« gµ. L« thø nhÊt gåm 15 con, trong ®ã cã 3 con gµ trèng. L« thø

hai gåm 20 con, trong ®ã cã 4 con gµ trèng. Mét con tõ l« thø hai nh¶y sang l« thø nhÊt. Sau ®ã tõ l« thø nhÊt ta b¾t ngÉu nhiªn ra mét con. T×m x¸c suÊt ®Ó con gµ b¾t ra lµ gµ trèng.

11) Cã hai chuång thá. Chuång thø nhÊt 5 con thæ ®en vµ 10- con thá tr¾ng.

Chuång thø hai cã 3 con thá tr¾ng vµ 7 thá ®en. Tõ chuång thø hai ta b¾t ngÉu nhiªn mét con thá cho vµo chuång thø nhÊt. Sau ®ã ta l¹i b¾t ngÉu nhiªn 1 con thá tõ chuång thø nhÊt ra, th× ®îc thá tr¾ng. T×m x¸c suÊt ®Ó thá tr¾ng nµy lµ ë chuång thø nhÊt.

12) Mét ngêi cã 3 chç a thÝch nh nhau ®Ó c©u ç. X¸c suÊt c©u ®îc ç ë

chç ®ã lÇn lît lµ 0,6; 0,7; 0,8. BiÕt r»ng ë mçi chç ngêi ®ã th¶ c©u 3 lÇn vµ chØ c©u ®îc mét con ç. T×m x¸c suÊt ®Ó ç c©u ®îc ë chç thø nhÊt.

13) Cã 3 hép, mçi hép ®ùng 5 viªn bi, trong ®ã hép thø i cã i viªn bi ®á

(i=1,2,3). a) LÊy ngÉu nhiªn tõ mçi hép ra 1 viªn bi. 1. T×m x¸c suÊt ®Ó ®îc 3 bi ®á. 2. BiÕt trong 3 bi lÊy ra cã 1 bi ®á. T×m x¸c suÊt ®Ó viªn bi ®ã lµ cña hép thø nhÊt. b) Chän ngÉu nhiªn 1 hép, råi tõ ®ã chän ngÉu nhiªn ra 3 bi. T×m x¸c suÊt nh c©u a)

14) Cã 3 hép phÊn: hép I cã 7 viªn phÊn tr¾ng vµ 3 viªn phÊn vµng; hép II cã

16 viªn phÊn tr¾ng vµ 4 viªn phÊn vµng; hép thø III cã 42 viªn phÊn tr¾ng vµ 8 viªn phÊn vµng. Ta tung ®ång thêi 3 ®ång xu c©n ®èi vµ ®ång chÊt: nÕu ®îc c¶ 3 mÆt sÊp th× chän hép I; nÕu ®îc 1 mÆt sÊp vµ 2 mÆt ngöa th× chän hép II; trêng hîp cßn l¹i chän hép III. Tõ hép ®· chän ®îic ta lÊy ngÉu nhiªn ra 1 viªn phÊn. a) TÝnh x¸c suÊt ®Ó lÊy ®îc viªn phÊn tr¾ng. b) Gi¶ sö ta lÊy ®îc viªn phÊn vµng tõ hép ®· chän. TÝnh x¸c suÊt ®Ó viªn phÊn ®ã lÊy ®îc tõ hép III.

- 27 -

15) Ba m¸y tù ®éng s¶n xuÊt cïng mét lo¹i chi tiÕt, trong ®ã m¸y I s¶n xuÊt

25%, m¸y II s¶n xuÊt 30% vµ m¸y III s¶n xuÊt 45% tæng s¶n lîng. Tû lÖ phÕ phÈm cña c¸c m¸y lÇn lît lµ 0,1%; 0,2%; 0,4%. T×m x¸c suÊt ®Ó khi chän ngÉu nhiªn ra mét s¶n phÈm tõ kho th×: a) §îc chi tiÕt phÕ phÈm. b) Chi tiÕt phÕ phÈm ®ã do m¸y I s¶n xuÊt.

16) Ba khÈu ph¸o cïng b¾n vµo mét môc tiªu víi x¸c suÊt b¾n tróng ®Ých cña

mçi khÈu lµ 0,4; 0,7; 0,8. BiÕt r»ng x¸c suÊt ®Ó môc tiªu bÞ tiªu diÖt khi tróng mét ph¸t ®¹n lµ 30%, khi tróng 2 ph¸t ®¹n lµ 70%, cßn tróng 3 ph¸t ®¹n th× ch¾c ch¾n môc tiªu bÞ tiªu diÖt. Gi¶ sö mçi khÈu ph¸o b¾n 1 ph¸t. a) TÝnh x¸c suÊt ®Ó môc tiªu bÞ tiªu diÖt. b) BiÕt r»ng môc tiªu ®· bÞ tiªu diÖt. TÝnh x¸c suÊt ®Ó khÈu thø 3 cã ®ãng gãp vµo thµnh c«ng ®ã.

17) Hép I cã 10 linh kiÖn trong ®ã cã 3 bÞ háng. Hép II cã 15 linh kiÖn trong

®ã cã 4 bÞ háng. LÊy ngÉu nhiªn tõ mçi hép ra 1 linh kiÖn. A. TÝnh x¸c suÊt ®Ó c¶ 2 linh kiÖn lÊy ra ®Òu háng. B. Sè linh kiÖn cßn l¹i trong hai hép ®em bá vµo hép III. Tõ hép III lÊy ngÉu nhiªn ra 1 linh kiÖn. TÝnh x¸c suÊt ®Ó linh kiÖn lÊy ra tõ hép III bÞ háng. C. BiÕt linh kiÖn lÊy ra tõ hép III lµ háng. TÝnh x¸c suÊt ®Ó 2 linh kiÖn lÊy ra tõ hép III bÞ háng.

18) Cã 12 l« hµng, mçi l« cã 20 s¶n phÈm. C¸c l« chia lµm 3 lo¹i: lo¹i 1 cã 5

l«, lo¹i II cã 4 l«, lo¹i II cã 3 l«. L« lo¹i I cã 5 s¶n phÈm lo¹i A, l« lo¹i II cã 10 s¶n phÈm lo¹i A, l« lo¹i III cã 15 s¶n phÈm lo¹i A. LÊy ngÉu nhiªn mét l« hµng, trong l« hµng lÊy ngÉu nhiªn 1 s¶n phÈm. a) TÝnh x¸c suÊt ®Ó s¶n phÈm lÊy ®îc lµ lo¹i A. b) Theo b¹n s¶n phÈm lo¹i A thêng lÊy ë l« lo¹i nµo.

19) Cã hai hép s¶n phÈm: hép I cã 25 s¶n phÈm tèt vµ 5 s¶n phÈm háng; hép

II cã 30 s¶n phÈm tèt vµ 10 s¶n phÈm háng. a) Chän ngÉu nhiªn 1 hép vµ tõ ®ã lÊy ra 1 s¶n phÈm. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ®îc 1 s¶n phÈm tèt. b) Dån 2 hép thµnh 1 råi lÊy liªn tiÕp ( lÇn lît kh«ng hoµn l¹i ) 5 s¶n phÈm. TÝnh x¸c suÊt ®Ó cã Ýt nhÊt 1 s¶n phÈm háng.

- 28 -

Ch¬ng II: biÕn ngÉu nhiªn Trong ch¬ng tríc ta ®· nghiªn cøu çc hiÖn tîng ngÉu nhiªn díi d¹ng çc biÕn cè ngÉu nhiªn xuÊt hiÖn trong çc phÐp thö. Trong thùc tÕ ta thêng gÆp mét lo¹i biÕn ngÉu nhiªn kh¸c lµ çc ®¹i lîng nhËn gi¸ trÞ víi mét x¸c suÊt nhÊt ®Þnh, ®ã lµ biÕn ngÉu nhiªn. Trong ch¬ng nµy ta xÐt çc ®¹i lîng ngÉu nhiªn, ph©n phèi x¸c suÊt cña chóng vµ çc sè ®Æc trng cña biÕn ngÉu nhiªn : Kú väng, ph¬ng sai.

2.1. biÕn ngÉu nhiªn (§¹i lîng ngÉu nhiªn)

2.1.1. §Þnh nghÜa

XÐt mét phÐp thö cã m« h×nh x¸c suÊt, ¸nh x¹

X(ω( ω

R Ω :X

®îc gäi lµ mét biÕn ngÉu nhiªn. Trong ®ã lµ kh«ng gian biÕn cè s¬ cÊp (cßn gäi lµ kh«ng gian mÉu). TËp hîp R}x x; X(ω( : {ω ë ®©y chÝnh lµ biÕn cè ngÉu nhiªn.

Nãi çch kh¸c: BiÕn ngÉu nhiªn lµ ®¹i lîng mµ tuú theo kÕt qu¶ cña mçi

phÐp thö, nã nhËn mét gi¸ trÞ b»ng sè x¸c ®Þnh nµo ®ã. BiÕn ngÉu nhiªn ®îc kÝ hiÖu lµ X, Y, Z,… Çc gi¸ trÞ mµ biÕn ngÉu nhiªn nhËn thêng viÕt b»ng ch÷ nhá: x, y, z,…

VÝ dô 1: Tung mét ®ång tiÒn xu c©n ®èi ®ång chÊt. Gäi X lµ sè lÇn xuÊt hiÖn mÆt sÊp, th× X chÝnh lµ mét biÕn ngÉu nhiªn. Gi¸ trÞ cña X lµ 0,1. Víi mäi sè thùc x ta m« t¶ cô thÓ biÕn cè x}X(ω(:{ω nh sau:

ë ®©y X cã hai gi¸ trÞ lµ 0 vµ 1. Ta cã N}{S,Ω vµ

1xkhi

1x0khi}N{

0xkhi

x)(X

ë vÕ ph¶i râ rµng Ω {N}, Φ, ®Òu lµ nh÷ng biÕn cè ngÉu nhiªn. Theo ®Þnh

nghÜa 1, X lµ biÕn ngÉu nhiªn.

VÝ dô 2: Gäi X lµ sè ®¹n tróng ®Ých khi b¾n n viªn ®¹n ®éc lËp vµo mét môc tiªu. X lµ biÕn ngÉu nhiªn víi gi¸ trÞ 0, 1, 2,…,n.

VÝ dô 3: Gäi X lµ sè phÕ phÈm trong l« hµng cã n s¶n phÈm th× X lµ biÕn ngÉu nhiªn víi gi¸ trÞ 0, 1,…, n. VÝ dô 4: Gäi X lµ sè chÊm ë mÆt trªn cña con xóc s¾c khi gieo mét lÇn con xóc s¾c c©n ®èi vµ ®ång chÊt. X lµ biÕn ngÉu nhiªn víi gi¸ trÞ cã thÓ nhËn lµ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

- 29 -

NÕu X, Y lµ çc biÕn ngÉu nhiªn th× X ± Y, X.Y, X/Y(Y ≠0), Xn (n > 0), cX (

c lµ h»ng sè), còng lµ çc biÕn ngÉu nhiªn.

1. §Þnh nghÜa (BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c): X ®îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn

rêi r¹c nÕu chØ nhËn mét sè h÷u h¹n hoÆc v« h¹n ®Õm ®îc çc gi¸ trÞ. NghÜa lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c chØ cã thÓ nhËn mét sè h÷u h¹n hoÆc v« h¹n çc gi¸ trÞ rêi r¹c víi nhau. Trong çc vÝ dô 2, 3, 4 ë trªn X lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c.

2. §Þnh nghÜa ( BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc): X ®îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn

liªn tôc nÕu çc gi¸ trÞ X(ω) lÊp ®Çy mét kho¶ng nµo ®ã. VÝ dô 5: ThÝ nghiÖm ngÉu nhiªn lµ sinh mét con. Ta liªn kÕt mét kÕt qu¶ víi mét sè thùc: Träng lîng cña trÎ s¬ sinh. Gäi X lµ träng lîng cña trÎ s¬ sinh th× X lµ biÕn ngÉu nhiªn. Ta cã thÓ ph©n phèi x¸c suÊt cho träng lîng cña trÎ s¬ sinh nh sau:

Líp (kg) X¸c suÊt pi

[2; 3) [3; 3,5) [3,5; 4) [4; 4,5) [4,5; 5) [5; 6]

0,12 = P ( 2 ≤ X < 3 )

0,28 = P ( 3 ≤ X < 3,5 )

0,25 = P ( 3,5 ≤ X < 4 )

0,15 = P ( 4 ≤ X < 4,5 )

0,12 = P ( 4,5 ≤ X < 5 )

0,15 = P ( 5 ≤ X ≤ 6 )

Ta cã 1i

ip vµ X cã thÓ lÊy bÊt kú gi¸ trÞ nµo trªn [2, 6] nªn X lµ biÕn

ngÉu nhiªn liªn tôc.

2.1.2. LuËt ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn

1. BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c

a. B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt:

B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c gåm 2 dßng: - Dßng thø nhÊt ghi çc gi¸ trÞ sè cña biÕn ngÉu nhiªn. - Dßng thø hai ghi x¸c suÊt t¬ng øng.

X

X1 X2 ........ Xn

P{X = xi}

p1 p2 ………… pn

Víi pi = P{X = xi};

n

1ii

1p .

VÝ dô 1: Tung ®ång thêi 2 ®ång tiÒn c©n ®èi vµ ®ång chÊt. Gäi X lµ biÕn ngÉu nhiªn chØ sè lÇn xuÊt hiÖn mÆt sÊp. Ta cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt sau:

- 30 -

X

0 1 2

P{X = xi}

1/4 2/4 1/4

Gäi Ai lµ biÕn cè ®ång tiÒn thø i xuÊt hiÖn mÆt sÊp; I =1, 2. Ta cã A1, A2 ®éc lËp.

BiÕn cè (X = 0) = 1

A . 2A => P(X = 0) = P(1

A ).P( 2A ) =1/2.1/2 =1/4.

BiÕn cè (X =1) = A1 2A A2 1A

=>P(X=1) = P(A1).P( 2A ) + P(A2)P(1

A )=1/2.1/2+1/2.1/2=1/2

BiÕn cè (X = 2) = A1A2 => P(X =2) = 1/4

VÝ dô 2: Tung 1 con xóc s¾c c©n ®èi ®ång chÊt 100 lÇn. Gäi X lµ biÕn ngÉu nhiªn chØ sè lÇn xuÊt hiÖn mÆt lôc trong 100 lÇn tung trªn. Khi ®ã theo c«ng thøc Bernoulli ta cã ph©n phèi x¸c suÊt cña X lµ:

0,100m;(5/6)(1/6)Cm)P(X m100mm

100

Trong ®ã p =P ( xuÊt hiÖn mÆt lôc) = 1/6. VÝ dô 3: Mét x¹ thñ ®em theo 5 viªn ®¹n ®Õn trêng b¾n ®Ó chØn sóng tríc ngµy thi ®Êu. Anh ta b¾n tõng viªn 1 vµo bia víi x¸c suÊt tróng t©m lµ 0,9. Anh ta thö sóng theo c¸ch sÏ th«i kh«ng b¾n n÷a nÕu

a) Cã 3 viªn liªn tiÕp tróng t©m. b) Cã 3 viªn tróng t©m.

Gäi X, Y lµ sè ®¹n mµ anh ta ®· dïng ®Ó thö sóng t¬ng øng theo 2 nguyªn t¾c trªn. LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X vµ Y.

X 3 4 5

P(X = xi) 0,93 0,93.0,1 1 - (0,93 + 0,93.0,1 )

Cã thÓ thÊy r»ng biÕn cè (X = 4) = T .T.T.T (T: tróng, T : trît). Trêng hîp Y ta cã:

Y 3 4 5

P(Y = yi) 0,93 1

3C .0,93.0,1 1- (0,93 +

1

3C .0,93.0,1 )

b. Hai biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp

- 31 -

Ta ®· biÕt sù ®éc lËp gi÷a hai biÕn cè ®îc m« t¶ bëi c«ng thøc : P(A.B) = P(A).P(B)

ë ®©y ta xÐt sù ®éc lËp gi÷a hai biÕn ngÉu nhiªn.

§Þnh nghÜa 1:

Cho hai biÕn ngÉu nhiªn X, Y. Víi X( ) = {x1, x2, …, xn} ; Y( ) = {y1, y2, …, ym}

§Æt Ai = (X= xi) ; i = n1, ;

Bj = (Y= yj) ; j = m1, ;

Hai biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y ®îc gäi lµ ®éc lËp víi nhau khi vµ chØ khi: P(Ai Bj) = P(Ai).P(Bj) , víi mäi i,j. NghÜa lµ, P(X = xi; Y = yj) = P(X = xi).P(Y= yj) VÝ dô 4: Cho hai biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y ®éc lËp víi b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt nh sau:

X 0 1 2

P(X=xi) 0,3 0,4 0,3

H·y lËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X2, X + Y, X.Y.

Gi¶i:

X vµ Y ®éc lËp víi nhau nªn mäi biÕn cè liªn quan ®Õn X ®éc lËp víi biÕn cè bÊt kú liªn quan ®Õn Y. Ta cã P(X2 = xi

2) = P(X = xi), tøc lµ kh¶ n¨ng nhËn gi¸ trÞ xi còng chÝnh lµ kh¶ n¨ng X2 nhËn gÝa trÞ xi

2. VËy

X2 0 1 4

P(X2 =xi2) 0,3 0,4 0,3

Do X vµ Y ®éc lËp nªn: (X+Y = -1) = (X = 0) (Y = -1)=> P(X +Y = -1) = P(X = 0).P(Y=-1) = 0,12 T¬ng tù, (X+Y = 0) = (X= 1) (Y=-1) (X+Y = 1) = (X= 0) (Y=1) (X= 2) (Y=-1) (X+Y = 2) = (X= 1) (Y=1) (X+Y = 3) = (X= 2) (Y=1) Tõ ®ã,

X + Y -1 0 1 2 3

P(X+Y=k) 0,12 0,16 0,3 0,24 0,18

Y -1 1

P(Y=yi) 0,4 0,6

- 32 -

B©y giê xÐt X.Y. (X.Y = -2) = (X= 2) (Y=-1) (X.Y = -1) = (X= 1) (Y=-1) (X.Y = 0) = (X= 0)[(Y=-1) (Y=1)] = (X = 0). = (X = 0) (X.Y = 1) = (X= 1) (Y=1) (X.Y = 2) = (X= 2) (Y=1) Ta nhËn ®îc b¶ng ph©n phèi

X.Y -2 - 1 0 1 2

P(X.Y=k) 0,12 0,16 0,3 0,24 0,18

2. BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc

a. §Þnh nghÜa 2 ( BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc)

X ®îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc nÕu cã mét hµm mËt ®é x¸c suÊt f(x) – tøc lµ hµm sè x¸c ®Þnh trªn ®o¹n [a, b] ( a vµ b cã thÓ v« h¹n ) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau:

1. f(x) lµ hµm sè x¸c ®Þnh trªn [a, b], f(x) ≥ 0 víi mäi x [a, b].

2. .1f(x)dxb

a

3. 2

1

c

c

21f(x)dx)cXP(c víi bÊt kú [c1, c2] [a, b]

NÕu biÕn ngÉu nhiªn X cã hµm mËt ®é f(x) ta sÏ cã ®¼ng thøc 3. §iÒu nµy

cã nghÜa lµ x¸c ®Þnh ®îc )cXP(c21

, x¸c suÊt ®Ó X nhËn ®îc gi¸ trÞ

trong ®o¹n [c1, c2]. Nh vËy ta ®· cã ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn X.

b. Chó ý: NÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c nhËn c¸c gi¸ trÞ sè xi víi x¸c

suÊt pi = P(X = xi) th×:

21

cXci21

cc víip )cXP(c21

trªn trôc sè thùc R (2.1)

NÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc víi hµm mËt ®é f(x) x¸c ®Þnh trªn ®o¹n [a,b] th×:

2

1

c

c

21f(x)dx)cXP(c víi bÊt kú [c1, c2] [a, b] (2.2)

Chøng minh: Suy trùc tiÕp tõ ®Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt cña x¸c suÊt.

3. Hµm ph©n phèi x¸c suÊt

§Ó ®Æc trng ®Çy ®ñ cho mét biÕn ngÉu nhiªn chóng ta cã thÓ ®a ra mét hµm thÓ hiÖn ®îc sù ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn trªn miÒn gi¸ trÞ cña nã vµ gäi lµ hµm ph©n phèi x¸c suÊt.

- 33 -

Trong vÝ dô 2.1.1 khi x thay ®æi, tËp [w: X(w) < x] thay ®æi. Do ®ã x¸c suÊt P[w: X(w) < x] còng thay ®æi, vËy nã lµ hµm phô thuéc vµo x, ta ký hiÖu lµ F(x) = P[w: X(w) < x].

§Þnh nghÜa 3: Cho biÕn ngÉu nhiªn X.

¸nh x¹ F: [0,1] tho¶ ®iÒu kiÖn

F(x) = P[w: X(w) <x] = P(X < x) víi mäi xR, ®îc gäi lµ hµm ph©n phèi

x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn X. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta cã c«ng thøc sau: NÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c nhËn c¸c gi¸ trÞ sè xi víi x¸c suÊt

pi = P(X = xi) th×

xx

i

i

pF(x) (2.3)

( trong ®ã ký hiÖu xi < x díi dÊu cã nghÜa lµ tæng nµy ®îc lÊy theo mäi

trÞ sè xi cña biÕn ngÉu nhiªn bÐ h¬n x). NÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc víi hµm mËt ®é f(x) th×

x

f(t)dtF(x) (2.4)

Hay f(x) = F’(x) VÝ dô 5: Trë vÒ vÝ dô 2.1.1, hµm ph©n phèi cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn chØ sè lÇn xuÊt hiÖn mÆt sÊp trong mét lÇn gieo ®ång xu c©n ®èi vµ ®ång chÊt lµ:

1x víi 1P[Ω[

1x0 víi1/2P[N]

0x víi 0P(Φ(

x)]X(w:P[wF(x)

VÝ dô 6: Tung mét con xóc s¾c. Gäi X lµ sè nót xuÊt hiÖn. T×m hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña X.

Gi¶i:

Ta cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X:

X 1 2 3 4 5 6

P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Ta cã:

- 34 -

6x u nÕ1

6x5 nÕu5/6

5x4 nÕu2/3

4x3 nÕu1/2

3x2 nÕu1/3

2x1 nÕu1/6

1x u nÕ0

F(x)

VÝ dô 7: Tung ®ång thêi 4 con xóc s¾c. Gäi X lµ sè mÆt ch½n xuÊt hiÖn. Y lµ sè mÆt lÎ xuÊt hiÖn. a) H·y lËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X, cña Y. X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña X. b) §Æt Z= X.Y, lËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt vµ hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña Z.

Gi¶i:

a) Ta cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X:

X 0 1 2 3 4

P 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

Vµ b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña Y

Y 0 1 2 3 4

P 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

Hµm ph©n phèi cña X lµ:

4x nÕu 1

4x3 nÕu2/3

3x2 nÕu1/2

2x1 nÕu5/16

1x0 nÕu1/16

0x Õu n0

F(x)

b) XÐt Z = X.Y. V× lu«n cã X +Y = 4, nªn Z chØ cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ 0, 3, 4. ThËt vËy, nÕu X = 0 th× Y = 4, Z = 0. NÕu X = 4 th× Y = 0, Z = 0. NÕu X =3 th× Y =1, Z = 3.

- 35 -

NÕu X = 2 th× Y =2, Z = 4. NÕu X = 1 th× Y = 3, Z = 3. Tõ ®ã: (Z = 0) = (X = 0; Y = 4) + (X = 4; Y = 0) = (X = 0) +(X = 4) Do hai biÕn cè xung kh¾c nªn P(Z = 0) = P(X = 0) + P( X = 4) = 1/8. T¬ng tù, (Z = 3) = (X = 1; Y = 3)+ (X = 3; Y = 1) = (X = 1) +(X = 3); P(Z = 3) = P(X = 1) + P( X = 3) = 4/8. Vµ (Z = 4) = (X = 2; Y = 2) = (X = 2) P(Z = 4) = P(X = 2) = 3/8. Ta cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña Z:

Z 0 3 4

P 1/8 4/8 3/8

Hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña Z cã d¹ng:

4z nÕu 1

4z3 nÕu5/8

3z0 nÕu1/8

0z Õu n0

F(z)

VÝ dô 8: Mét sinh viªn b¾n tªn vµo mét tÊm b×a h×nh trßn t©m O, b¸n kÝnh R=1. Gi¶ sö sinh viªn nµy lu«n lu«n b¾n tróng bia. §Æt X lµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm tªn tróng bia ®Õn t©m O. X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña X.

Gi¶i:

X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn liªn tôc. V× sinh viªn lu«n lu«n b¾n tróng bia, do ®ã X cã gi¸ trÞ n»m trong ®o¹n [0,1]. Suy ra: NÕu x< 0 th× P(X < x) = 0 NÕu x >1 th× P(X < x) = 1

NÕu 0 < x < 1 th× P(X<x) = 22

2

2

x1

x

π.R

π.x

X¸c suÊt ®Ó mòi tªn tróng bia t¹i 1 ®iÓm c¸ch O mét ®o¹n b»ng x b»ng

biacña tÝch DiÖn

x kÝnhb¸n cã trßndÜa tÝch DiÖn

VËy hµm ph©n phèi cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn liªn tôc X lµ:

1x nÕu 1

1x0 nÕux

0x Õu n0

F(x) 2

TÝnh chÊt cña hµm ph©n phèi

- 36 -

i) 0 ≤ F(x) ≤ 1. ii) Hµm ph©n phèi cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn X lµ kh«ng gi¶m.

iii) ) 1)F( hay( 1F(x)limx

0).)0(hayF(F(x)limx

iv) P( a ≤ X <b) = F(b) –F(a).

VÝ dô 9: Cho hµm sè )xArctgx(π

1

2

1F(x)

a) Chøng minh F(x) lµ hµm ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. b) TÝnh P( 0 < X< 1).

Gi¶i:

a) ë ®©y F(x) cã ®¹o hµm vµ F’(x) = x,0)x1.(

12

Suy ra F(x) lµ hµm t¨ng. Ta cã:

0Arctgx)1

2

1(F(x)

1Arctgx)1

2

1(F(x)

limlim

limlim

xx

xx

π

π

VËy F(x) lµ hµm ph©n phèi cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn liªn tôc. b) P(0 < X < 1) = F(1) - F(0) =1/4.

4. Hµm mËt ®é x¸c suÊt

Cßn nhiÒu tÝnh chÊt cña biÕn ngÉu nhiªn mµ chØ nghiªn cøu hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña nã th× kh«ng thÓ biÕt x¸c ®Þnh ®îc hÕt. Còng nh khi kh¶o s¸t mét hµm sè, nÕu hµm ph©n phèi x¸c suÊt F(x) cña biÕn ngÉu nhiªn X mµ kh¶ vi th× sù biÕn thiªn cña F(x) hay mËt ®é tËp trung x¸c suÊt cña X cã thÓ dÔ dµng xem xÐt th«ng qua ®¹o hµm F’(x) vµ gäi lµ hµm mËt ®é cña X.

§Þnh nghÜa 4: NÕu ®¹i lîng ngÉu nhiªn liªn tôc X cã hµm ph©n phèi F(x)

kh¶ vi, khi ®ã ®¹o hµm f(x) = F’(x) gäi lµ hµm mËt ®é cña X.

TÝnh chÊt cña hµm mËt ®é: NÕu X cã hµm mËt ®é f(x) th×:

i) f(x) ≥ 0, víi mäi sè thùc x.

ii)

x

dttfxF )()(

iii) β

α

f(x)dxβ)xP(α

iv)

1f(x)dx

- 37 -

ThËt vËy ta cã:

1)F(--)F(f(x)dx

ý nghÜa h×nh häc cña c«ng thøc iii) ë trªn lµ phÇn diÖn tÝch h×nh thang ch¾n bëi çc ®êng y = f(x), trôc ) Ox vµ çc ®êng th¼ng x= , x= .

Theo ý nghÜa h×nh häc cña ®¹o hµm ta thÊy ë n¬i nµo f(x) lín th× F(x) t¨ng nhanh, ë ®ã tËp trung x¸c suÊt cao, ®ã còng lµ ý nghÜa cña tªn gäi cña hµm mËt ®é x¸c suÊt f(x). NÕu ®¹i lîng ngÉu nhiªn X chØ nhËn gi¸ trÞ trong kho¶ng (a,b) th× tÝnh

chÊt iv) ë trªn cã d¹ng: b

a

f(x)dx=1

NhËn xÐt: Hµm mËt ®é cña mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X cã vai trß gièng

b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c, trong b¶ng cho ta biÕt mËt ®é tËp trung x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn t¹i mét sè h÷u h¹n çc ®iÓm x1, x2, …, xn lÇn lît lµ p1, p2, …,pn.

VÝ dô 10: Cho hµm mËt ®é

[0,1]x u nÕ0

[0,1]x Õua nf(x)

a) X¸c ®Þnh a ®Ó f(x) lµ hµm mËt ®é cña mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X nµo ®ã. b) TÝnh P(1/4 < X < 1/2) c) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi cña X.

Gi¶i:

a) §iÒu kiÖn hµm f(x) lµ hµm mËt ®é:

f(x)dx

x 0f(x)

VËy a ph¶i d¬ng. §Ó tho¶ ®iÒu kiÖn sau th×

.1a0

1axadxf(x)dx

1

0

Ta cã hµm mËt ®é

[0,1]x u nÕ0

[0,1]x u nÕ1f(x)

b) P(1/4 < X < 1/2)= 1/2

1/4

1/4f(x)dx

c) Ta cã xdtf(t)dtF(x)x

0

x

Suy ra hµm ph©n phèi

- 38 -

0x nÕu0

1x0 nÕux

1x nÕu1

F(x)

VÝ dô 11: Cho hµm sè f(x) = Abe-bx, x≥0, b>0 a) X¸c ®Þnh A ®Ó f(x) lµ hµm mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X. b) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi cña X. c) TÝnh P(1< X < 2). d) §Æt Y = X2. X¸c ®Þnh hµm mËt ®é, hµm ph©n phèi cña Y.

Gi¶i:

a) §iÒu kiÖn ®Ó f(x) lµ hµm mËt ®é lµ:

f(x)dx

x 0f(x)

Ta cã AdxeAbdxAbef(x)dx1 bx-bx-

Suy ra f(x) = be-bx (x≥ 0,b>0)

b) Ta cã F(x) = bx

x

0

bt-

x

e1dtbef(t)dt

Suy ra F(x) = 1- e-bx ( x≥0, b>0); F(x) = 0 (x<0) c) P( 0 < X < 2) = F(2) –F(0) = 1- e-2b d) Y = X2 Theo ®Þnh nghÜa hµm ph©n phèi th× ta cã:

G(y) = P(Y< y) = P(X2< y) = P( yXy )

= dxbey

0

bx

=1 – e-bx

VËy, hµm ph©n phèi G(y) = 1 – yb

e

(y > 0, b > 0);

G(x) = 0 (y ≤ 0)

Hµm mËt ®é: g(y) = )b;y(ey

b yb00

2

G(y) = 0 víi y ≤ 0

VÝ dô 12: Cho biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X cã ph©n phèi ®Òu trªn [0,1]. a) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi cña X. b) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi, hµm mËt ®é cña

Y = tg

2

ππX

c) TÝnh P(0 < Y< 1).

- 39 -

Gi¶i:

a) BiÕn ngÉu nhiªn X ph©n phèi ®Òu trªn [a,b] cã hµm mËt ®é

b][a,x nÕu 0

b][a,x nÕuab

1

f(x)

Tõ ®ã, X ph©n phèi ®Òu trªn [0,1] cã hµm mËt ®é

[0,1]x nÕu0

[0,1]x nÕu1f(x)

Vµ hµm ph©n phèi F(x) = x

dt)t(f0

=x

Suy ra

0x 0

1x0 x

1x 1

f(x)

b) Theo ®Þnh nghÜa ph©n phèi, ta cã:

G(y) = P(Y<y) = P

y)

2X(tg = P

arctgy

2X

= arctgyπ

1

2

1dx

arctgyπ

1

2

1

0

Do ®ã, Y cã hµm ph©n phèi

G(y) = arctgyπ

1

2

1 (- ∞<y<+∞)

Vµ hµm mËt ®é

)y1.(

1)y(g

2 (- ∞<y<+∞)

c) P(0 < Y< 1) = G(1) – G(0) = 4

1

2.2.çc tham sè ®Æc trng cña biÕn ngÉu nhiªn

Çc luËt ph©n phèi x¸c suÊt lµ sù m« t¶ ®Çy ®ñ nhÊt cña biÕn ngÉu nhiªn, cho ta th«ng tin ®Çy ®ñ vÒ nã. Tuy nhiªn trong thùc tÕ nhiÒu khi kh«ng ®ßi hái ph¶i biÕt çc quy luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn mµ chØ cÇn biÕt mét sè çc ®Æc trng cho ta th«ng tin vÒ mét mÆt nµo ®ã cña biÕn ngÉu nhiªn. Hai ®Æc trng quan träng nhÊt lµ kú väng (hay sè trung b×nh) vµ ph¬ng sai.

2.2.1. Kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn

- 40 -

1. §Þnh nghÜa1: Gi¶ sö biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X nhËn c¸c trÞ sè x1,

x2,…,xn,… víi c¸c x¸c suÊt t¬ng øng p1, p2,…, pn,…,

1iip vµ chuçi

1iii p.x héi tô tuyÖt ®èi th× tæng cña chuçi ®îc gäi lµ kú väng cña biÕn

ngÉu nhiªn X (kÝ hiÖu E(X)) vµ E(X)=

1iii p.x

VÝ dô 1: §¹i lîng ngÉu nhiªn X cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt nh sau:

X -1 1 3

P 0,25 0.25 0,5

Khi ®ã kú väng cña X lµ: E(X) = -1(0,25) + 1.(0,25) + 3.(0,50 = 1,5

2. §Þnh nghÜa 2: X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc cã hµm mËt ®é f(x) vµ nÕu

dx)x(xf

héi tô tuyÖt ®èi, th× gi¸ trÞ cña tÝch ph©n ®ã ®îc gäi lµ kú väng cña

biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X.

E(X) = M(X) =

dx)x(xf (2.7)

VÝ dô 2: X lµ biÕn ngÉu nhiªn cã ph©n phèi ®Òu trªn [-1, 1]. TÝnh kú väng cña X.

Gi¶i:

Ta cã:

1,1][x nÕu0

1,1][x nÕu2

1

f(x)

E(X)= 02

1

1

dxx

dx)x(xf

VÝ dô 3: X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn cã hµm mËt ®é f(x)= aeax

(x > 0, a > 0). TÝnh kú väng cña X.

Ta cã E(X) = a

dxxaedx)x(xfax 1

0

VÝ dô 4: X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn cã hµm mËt ®é f(x)=|x|

e

2

1 (-∞< x <+∞).

- 41 -

Ta cã E(X) = 02

1

dxxedx)x(xf|x|

VÝ dô 5: Cã mét trß ch¬i nh sau: Tung ®ång thêi 3 con xóc s¾c. NÕu xuÊt hiÖn 3 mÆt mét chÊm ®îc 1000 ®, xuÊt hiÖn 2 mÆt mét chÊm ®îc 500®, mét mÆt mét chÊm ®îc 100®, kh«ng xuÊt hiÖn mÆt mét chÊm th× kh«ng ®îc g× c¶. Mçi lÇn ch¬i ®ãng a®. Hái a bao nhiªu ®Ó trß ch¬i c«ng b»ng.

Gi¶i:

Gäi X lµ sè tiÒn ®îc, thua trong 1 v¸n. Trß ch¬i ®îc gäi lµ c«ng b»ng nÕu E(X) = 0. Ta cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X lµ

X -a 100 – a 500 – a 1000 – a

P 125/ 216 75/216 15/216 1/216

E(X) = - .216

125 a + ( 100 – a ) .

216

75 + ( 500 – a ) .

216

15

+ ( 1000 – a ).216

1 =

216

16000216 a

V× E(X) = 0 suy ra a = 16000/216 74(®)

3. ý nghÜa cña kú väng

Kú väng là sè trung b×nh theo x¸c xuÊt cña tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cã thÓ cã cña biÕn ngÉu nhiªn.

Gi¶ sö X lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c nhËn çc gi¸ trÞ x1, x2,……, xn víi x¸c

suÊt t¬ng øng p1, p2,……, pn.

NÕu xem x1, x2,…., xn lµ mét hÖ chÊt ®iÓm t¹i ®ã cã ®Æt çc khèi lîng t¬ng øng lµ p1, p2,…, pn th× kú väng chÝnh lµ träng t©m cña hÖ chÊt ®iÓm ®ã.

VÝ dô 6: X lµ c©n nÆng cña trÎ s¬ sinh, ta thùc hiÖn quan s¸t 5 lÇn ®îc x1 =

3,28 kg; x2= 2,92kg; x3= 3,47kg; x4= 3,53kg; x5 = 3,5kg. Do ®ã träng lîng trung b×nh 5 lÇn quan s¸t lµ :

3435

54321 ,xxxxx

X

4. TÝnh chÊt cña kú väng

i) E (C) = C víi C - biÕn ngÉu nhiªn h»ng. ii) E ( X+Y ) = E(X) + E(Y)

iii) E ( . X ) = .E)X) (R )

iv) E[X – E(X)] = 0 v) NÕu X > 0 th× E(X) > 0 vi) E(X.Y) = E(X).E(Y) th× X,Y ®éc lËp. vii) Víi X,Y lµ hai biÕn ngÉu nhiªn, ta cã:

- 42 -

222YE.XEY.XE ( BÊt ®¼ng thøc Cauchy)

VÝ dô 7: Tung ®ång thêi 2 ®ång xu. Gäi X lµ sè mÆt sÊp xuÊt hiÖn. Y lµ sè mÆt ngöa xuÊt hiÖn. a) TÝnh E(X2), E(Y2), E(X,Y). b) KiÓm chøng l¹i bÊt ®¼ng thøc Cauchy.

Gi¶i:

a) B¶ng ph©n phèi cña X vµ Y cïng cã d¹ng:

Khi ®ã 2

3

2

3

4

12

4

21

4

10 22222

YE,XE

B¶ng ph©n phèi cña X.Y:

X.Y 0 1

P 2/4 2/4

Vµ E(X.Y) = 0.2

1

4

21

4

2

.

Suy ra 4

12Y.XE

b) Ta cã: E 22 YE.X4

9

2

3

2

3

;

4

12Y.XE

Suy ra ,YE.XEY.XE 222 tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc Cauchy

2.2.2. Ph¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn

Gi¶ sö ta cã biÕn ngÉu nhiªn X víi kú väng E(X) = a, E(X) cã thÓ ®îc xem nh thÓ hiÖn gi¸ trÞ trung b×nh cña biÕn ngÉu nhiªn. Trong thùc tÕ ®«i khi ngêi ta muèn xÐt xem c¸c trÞ sè cña biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi nh thÕ nµo xung quanh kú väng, ngêi ta ®a ra kh¸i niÖm ph¬ng sai ®Ó ®o sù ph©n t¸n ®ã. HiÖu sè X- a, biÓu thÞ ®é lÖch ngÉu nhiªn gi÷a X víi kú väng E(X). Gi¸ trÞ nµy liªn quan trùc tiÕp ®Õn ®é ph©n t¸n cña biÕn ngÉu nhiªn, do ®ã ngêi ta muèn dïng nã ®Ó lµm c¬ së ®¸nh gi¸ ®é ph©n t¸n cña c¸c trÞ sè cña biÕn ngÉu nhiªn xung quanh kú väng. Tuy nhiªn v× E(X- a) = 0, nghÜa lµ gi¸ trÞ trung b×nh cña ®é lÖch lu«n lu«n b»ng 0, cho nªn kh«ng thÓ lÊy E (X – a) ®Ó ®¸nh

X 0 1 2

P 1/4 2/4 1/4

- 43 -

gi¸ ®é ph©n t¸n cña X, v× vËy thay vµo ®ã ngêi ta dïng kú väng cña b×nh ph¬ng ®é lÖch: E(X – a )2

1. §Þnh nghÜa 3: Ph¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn X lµ kú väng cña b×nh

ph¬ng ®é lÖch, vµ ký hiÖu lµ D(X),VarX, 2

x .

D(X) = E(X – a )2 = i

n

i

p)ax( i2

1

nÕu X rêi r¹c (2.8)

D(X) = E(X – a )2=

dx)x(f)ax(2 nÕu X liªn tôc (2.9)

Çch tÝnh ph¬ng sai:

2

x = E(X – a )2= E(X2 – 2aX + a2) = EX2 – 2aEX + a2=

= X2 – a2

D(X)= EX 2 - (EX)2

VarXDX)X( gäi lµ ®é lÖch chuÈn cña biÕn ngÉu nhiªn X.

2. ý nghÜa cña ph¬ng sai

Ph¬ng sai biÓu thÞ ®é tËp trung hay ph©n t¸n cña çc gi¸ trÞ cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn xung quanh kú väng cña nã. NÕu D(X) cµng lín th× çc gi¸ trÞ cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn cµng ph©n t¸n. NÕu D(X) cµng bÐ th× çc gi¸ trÞ cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn cµng tËp trung quanh kú väng cña nã.

o Trong c«ng nghiÖp, ph¬ng sai biÓu thÞ ®é chÝnh x¸c cña çc s¶n phÈm. o Trong ch¨n nu«i, ph¬ng sai biÓu thÞ ®é t¨ng trëng ®ång ®Òu cña çc

gia sóc. o Trong trång trät ph¬ng sai biÓu thÞ møc ®é æn ®Þnh cña n¨ng suÊt.

VÝ dô 8: X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn rêi r¹c cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt: X 1 2 3

P 0,3 0,3 0,4

Ta cã: a = E(X) = 2,1

Var X = D(X) = E(X – a )2 = i

n

i

p)ax( i2

1

= (1-2,1)2(0,3) + (2- 2,1)2(0,3)+ (3-2,1)2(0,4)= 0,69.

VarXDX)X( = 690,

VÝ dô 9: X cã ph©n phèi ®Òu trªn [0,1]. TÝnh D(X)

Ta cã:

[0,1]x nÕu0

[0,1]x nÕu1f(x)

X2 1 4 9

P 0,3 0,3 0,4

- 44 -

E(X)= 2

11

0

dxxdx)x(xf

D(X)= 12

1

2

1 21

0

2

dx)x(dx)x(f)ax(

3. TÝnh chÊt cña kú ph¬ng sai

i) D(X)= EX 2 - (EX)2 = EX 2 - a2 ii) D(C) = 0 ; C – biÕn ngÉu nhiªn h»ng

iii) D(X) = 2 DX

iv) D(X + Y) = DX + DY nÕu X vµ Y ®éc lËp. v) D(X + C) = DX; C- biÕn ngÉu nhiªn h»ng

vi) DX ≥ 0 víi mäi X vµ DX = 0 khi vµ chØ khi X = C.

NhËn xÐt:

V× DX cã cïng ®¬n vÞ víi (X - a)2 nªn ta ®Þnh nghÜa thªm DX)X( ζ

gäi lµ ®é lÖch chuÈn cña biÕn ngÉu nhiªn X. Khi ®ã )X(ζ cã cïng ®¬n vÞ víi

(X - a) nghÜa lµ cïng ®¬n vÞ víi X.

2.2.3. Mèt vµ trung vÞ

Ngoµi kú väng lµ ®Æc trng quan träng nhÊt vÒ vÞ trÝ cña biÕn ngÉu nhiªn.

Trªn thùc tÕ ®«i khi ngêi ta cßn dïng c¸c ®Æc trng vÒ vÞ trÝ mèt (mod) vµ trung vÞ (Median)

1. §Þnh nghÜa 4: Mèt cña biÕn ngÉu nhiªn X lµ trÞ sè cña biÕn ngÉu nhiªn

cã x¸c suÊt cùc ®¹i (®èi víi biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c); lµ trÞ sè cña biÕn ngÉu nhiªn cã mËt ®é x¸c suÊt cùc ®¹i (®èi víi biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc), ký hiÖu lµ modX. BiÕn ngÉu nhiªn cã thÓ cã mét hay nhiÒu mèt. VÝ dô 10: Trong gia ®×nh cã hai ngêi con. Gäi X lµ sè con trai. B¶ng ph©n phèi cña X:

X 0 1 2

P 0,25 0,5 0,25

Tõ ®ã ta cã mod X= 1 v× P(X =1) = 0,5 lµ x¸c suÊt lín nhÊt.

VÝ dô 11: Trong gia ®×nh cã 3 ngêi con. Gäi X lµ sè con trai. Khi ®ã ta cã

X 0 1 2 3

P 1/8 3/8 3/8 1/8

- 45 -

Ta cã mod X =1 v× P(X = 1) =3/8. HoÆc mod X =2 v× P(X=2) =3/8

VÝ dô 12: Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn cã hµm mËt ®é:

xe2π

1f(x) 2

x2

.

Ta cã f(x) ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 0 Suy ra mod X = 0.

2. §Þnh nghÜa 5: Trung vÞ (hay median) cña biÕn ngÉu nhiªn X lµ trÞ sè m

cña X sao cho P(X < m) = P(X > m), ký hiÖu lµ med X.

ý nghÜa h×nh häc cña trung vÞ: Trung vÞ lµ hoµnh ®é cña ®¹i lîng ngÉu

nhiªn t¹i ®ã diÖn tÝch giíi h¹n bëi ®êng cong mËt ®é ®îc chia lµm hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau. Trêng hîp ®¹i lîng ngÉu nhiªn X cã ph©n phèi ®èi xøng vµ cã mèt th× ba ®Æc sè: trung vÞ, mèt vµ kú väng trïng nhau. Ta trë l¹i vÝ dô 2.2.10, ta cã P(X < 1) = P(X >1), suy ra med X =1. Trong vÝ dô 2.1.12 P(X > 0) = P(X < 0) = 1/2, suy ra med X = 0.

2.3.c¸c qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt th«ng Dông 2.3.1. BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c

1. LuËt ph©n phèi nhÞ thøc B(n,P).

a. §Þnh nghÜa 1: NÕu thùc hiÖn mét d·y phÐp thö Bernoulli, (n phÐp thö

lÆp ®éc lËp), trong mçi phÐp thö chØ quan t©m tíi biÕn cè A víi x¸c suÊt P(A)= p. BiÕn ngÉu nhiªn X biÓu diÔn sè lÇn xuÊt hiÖn A trong n phÐp thö t¬ng øng sÏ nhËn c¸c gi¸ trÞ 0, 1,…, n vµ X cã hµm x¸c suÊt:

P(x) = )qp;n,x(qpC xnxxn 10

(2.10)

Hay cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt:

X 0 1 ... x ….. n

P qn npqn-1 … xnxx

n qpC ….. pn

Khi ®ã X gäi lµ tu©n theo luËt ph©n phèi nhÞ thøc, ký hiÖu: X~ B(n,p). Ta cã:

nn

ii qp

0

npqn-1 +…+ xnxx

n qpC + …..+ pn =

n

x 0

xnxxn qpC

= (p+q)n = 1

VÝ dô 1: T¹i mét ®Þa ph¬ng theo sè liÖu thèng kª cho biÕt cã 25% d©n sè bÞ sèt rÐt. Chän ngÉu nhiªn 6 ngêi. TÝnh kh¶ n¨ng ®Ó cã 4 ngêi bÞ sèt rÐt.

Gi¶i:

Mçi lÇn chän ngÉu nhiªn mét ngêi, cã hai hËu qu¶ x¶y ra bÞ sèt rÐt hoÆc kh«ng, víi P(sèt rÐt) =1/4. Gäi X lµ sè ngêi bÞ sèt rÐt trong 6 lÇn chän, X~ B(6, 1/4). Suy ra:

- 46 -

P(X=4) = .,.!!.

!C 03330

4

9

24

6

4

3

4

16

2446

b. §Þnh lý 1: NÕu X~ N(n,p) th×:

i) np - q ≤ Mod X < np+q ii) E(X) = np

iii) D(X) = npq; nqpX

Chøng minh:

i) §Æt pk = P(X=k) = )qp;n,k(qpC knkkn 10

Ta xÐt trêng hîp pk+1 ≥ pk

.k)qp(kqnpkn

q

k

p

qp)!kn(!k

!nqp

)!kn()!k(

!n knkknk

1

11

11

§Æt k0 lµ sè nguyªn bÐ nhÊt lín h¬n hay b»ng np-q, ta cã:

np – q ≤ k0 <np – q + 1 = np +p

Suy ra

np – q ≤ k0 <np+p

Xet k sao cho k≤ k0 thi k≥ np-q

Suy ra pk+1 ≤ pk (k≤ k0)

VËy {pk} lµ d·y t¨ng (k≤ k0). Suy ra pk≤pko (k≤ k0).

XÐt k sao cho k0≤ k th× np - q ≤ k

suy ra pk+1 ≥ pk (k ≥k0)

V ậy {pk}là d·y giảm (k ≥k0) )kk(ppkk 0

0

KÕt luËn: np - q ≤ mod X < np+q.

ii)Ta sÏ chøng minh (i) vµ (ii) ®ång thêi. §Æt Xi lµ sè lÇn xuÊt hiÖn A ë phÐp thö thø i (i= 0,1,…,n), khi ®ã b¶ng ph©n phèi cña X cã d¹ng:

X 0 1

P p q

Suy ra E(Xi) = p, D(Xi) = pq. V× d·y c¸c ®¹i lîng ngÉu nhiªn Xi lµ ®éc lËp, nªn:

- 47 -

n

i

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

npqpqDXXD

nppEXXE

000

000

Vµ X=

n

iiX

0

, vËy EX = np; DX= npq

VÝ dô 2: Tung 5 lÇn mét ®ång xu. Gäi X lµ sè lÇn xuÊt hiÖn mÆt sÊp trong 5

lÇn tung. TÝnh mod X, EX, DX.

Gi¶i:

Ta cã X~ B(5, 1/2) ; q =p = 1/2 Suy ra: np – q =2. Mod X = 2. EX = 2,5; DX = 1,25

2. LuËt ph©n phèi Poisson

a. Bµi to¸n 1: Trong mét miÒn B, çc ®iÓm ph©n bè mét çch ngÉu nhiªn

theo mét çch nµo ®ã sao cho x¸c suÊt ®Ó mét sè ®iÓm cho tríc r¬i vµo mét

phÇn tuú ý BBω lµ kh«ng phô thuéc vµo sè nh÷ng ®iÓm r¬i vµo nh÷ng phÇn

kh¸c nhau cña miÒn B vµ c¶ nh÷ng ph©n bè cña chóng trong nh÷ng phÇn ®ã. H·y t×m luËt ph©n phèi cña sè nh÷ng ®iÓm r¬i vµo B, gi¶ sö ®· biÕt kú väng cña nã. Gi¶i bµi to¸n nµy ®a ®Õn luËt ph©n phèi ®îc gäi lµ luËt ph©n phèi Poisson.

b. §Þnh nghÜa 2: Thùc hiÖn n d·y phÐp thö lÆp ®éc lËp, trong mçi phÐp thö

chØ quan t©m ®Õn sù xuÊt hiÖn biÕn cè A víi x¸c suÊt P(A) = p. Cho 0 p,n sao cho λnp lµ mét h»ng sè, khi ®ã:

§¹i lîng ngÉu nhiªn X nhËn çc gi¸ trÞ (0, 1, 2,…) vµ cã hµm x¸c suÊt:

)x(Pλ!x

e λx λ (x=0,1,2,…)

Hay cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt:

X 0 1 …. k …..

P

λe !

e λ

1

λ1

…. !k

e λk λ …

®îc gäi lµ tu©n theo luËt ph©n phèi Poisson, ký hiÖu lµ X~ P( )

!x

eqpC

λxxnxx

n

λ

- 48 -

Trong b¶ng trªn, hµng 1 cho gi¸ trÞ cña x = k, hµng 2 cho c¸c gi¸ trÞ

)x(Pλ!x

e λx λ lµ x¸c suÊt n»m trªn « t¬ng øng víi cét x = k

c. §Þnh lý 2: NÕu X~ P( ) víi tham sè λ th×:

i) EX = . ii) DX = .

iii) -1 ≤ Mod X < .

Chøng minh:

i) Theo ®Þnh nghÜa:

λ1

λλ

1

λ

λ

1

1λ

1

λ

λ

i

i

i

1i

i

1iii

)!i(e

)!i(

!e

i!

eipxEX

V× λ

i

k

e!k

λ

1

.

ii) Theo ®Þnh nghÜa: D(X) =

1i

i2

i!

e)λ-(i

λλ

XÐt .λλii)i(iλλii)λi( 2222 212

Suy ra:

!i

!λeλ

)!i(

λe)λ(

!i

!λe

!i

λe)λi( λ

iλλ

iλ

22

121

Suy ra: DX = λ 2+(1-2λ )+λ 2 = λ .

iii) Ta xÐt trêng hîp: pk+1≤ pk

.k!k

e

)!k(

e kk

1λλ

1

λ λ1λ

Gäi ko lµ sè nguyªn bÐ nhÊt tho¶ m·n 01λ k

Ta cã 01λ k vµ 11λ 0 k 01λ k λk 01λ

§Æt mod X = k0

Mäi k < k0 th× }p{ppk kkk 11λ lµ d·y t¨ng 00 k,k .

Suy ra 0kk pp

Mäi k >k0 th× }p{ppk kkk 11λ lµ d·y gi¶m 00 k,k .

Suy ra 0kk pp

VËy -1≤ Mod X < .

- 49 -

d. §Þnh lý giíi h¹n Poisson

!x

λeqpClim

xλxnxx

nn

λnp

p

0

(2.12)

Chó ý: §Þnh lý nãi r»ng trong ph©n phèi nhÞ thøc nÕu n lín, p nhá, np = λ th×

ta cã thÓ xÊp xØ nhÞ thøc b»ng Poisson ®Ó viÖc tÝnh dÔ dµng h¬n.

VÝ dô 3: Cho X~B(50, 1/10). TÝnh P(X-10). Ta cã n lín, p nhá, np=5.

P(X=10) ..!

e 018010

5105

VÝ dô 4:

1) Trong mét l« thuèc, tû lÖ thuèc háng p = 0,003. KiÓm nghiÖm 1000 èng. TÝnh x¸c suÊt ®Ó gÆp 3 èng bÞ háng. 2) Gi¶ sö x¸c suÊt tö vong cña bÖnh sèt xuÊt huyÕt lµ 0,7%. TÝnh x¸c suÊt ®Ó cã ®óng 5 ngêi chÕt do sèt xuÊt huyÕt trong 1 nhãm 400 bÖnh nh©n.

Gi¶i:

1) p = 0,003 bÐ, n =1000 lín Gäi X lµ sè viªn thuèc háng trong 1000 viªn. Khi ®ã X~P(λ ) víi 3 npλ .

P(X=3) = 22403

335 .

!e

2) 820070400λ ,,.np .

P(X = 5) = ..!

,e , 08720

5

82 582

3. LuËt ph©n phèi siªu béi.

a. Bµi to¸n 2: Trong mét tËp hîp N phÇn tö, cã ®óng M phÇn tö cã thÝnh

chÊt Q. LÊy ngÉu nhiªn n phÇn tö. TÝnh x¸c suÊt ®Ó trong n phÇn tö ®ã cã k phÇn tö cã tÝnh chÊt Q.

Gi¶i:

Gäi X lµ sè phÇn tö mang tÝnh chÊt Q trong n phÇn tö ®îc lÊy ra.

¸p dông nguyªn lý nh©n ta cã:

P(X=k)= Mk,n,kC

CC

nN

knMN

kM

0

(Chøng minh xem nh bµi tËp).

VÝ dô 5: Mét hép gåm 20 viªn bi, trong ®ã cã 8 viªn ®á. LÊy ngÉu nhiªn 5 viªn. TÝnh x¸c suÊt ®Ó cã kh«ng qu¸ 2 viªn ®ã.

Gi¶i: Gäi X lµ sè viªn bi ®á trong 5 viªn ®îc lÊy ra. B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt

cña X:

- 50 -

X 0 1 2 3 4 5

P

520

512

08

C

CC

520

412

18

C

CC

520

312

28

C

CC

520

512

08

C

CC

520

212

48

C

CC

520

012

58

C

CC

X¸c suÊt ®Ó kh«ng cã qu¸ hai viªn bi ®á lµ

P(X≤ 2) = 312

28

412

18

512

085

20

210

1CCCCCC

Cppp

b. §Þnh nghÜa 3: BiÕn ngÉu nhiªn X cã ph©n phèi siªu béi lµ biÕn ngÉu

nhiªn rêi r¹c nhËn c¸c gi¸ trÞ k = 0, 1, 2,…, n víi hµm x¸c suÊt

pk=P(x) = kn

xkmn

xm

C

CC (2.13)

Hay cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt: X 0 1 …. i ….. N

P

kn

kmnm

C

CC 0

kn

kmnm

C

CC 11 ….

kn

ikmn

im

C

CC …

kn

mnkm

C

CC 0

Khi ®ã ®¹i lîng ngÉu nhiªn X gäi lµ tu©n theo luËt ph©n phèi siªu béi, ký hiÖu lµ X~H(n, k, p) , víi p = m/n.

c. §Þnh lý 3: NÕu X~H(n, k, p) th× EX = kp vµ DX = kpq1

n

kn

VÝ dô 6: Gäi X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn trong vÝ dô 2.3.5. TÝnh DX vµ EX.

Gi¶i:

Ta cã X~H(20, 5, 8/20) Suy ra EX = 2; DX =18/19.

2.3.2. §¹i lîng ngÉu nhiªn liªn tôc

1. LuËt ph©n phèi ®Òu

a. §Þnh nghÜa 4: BiÕn ngÉu nhiªn X cã ph©n phèi ®Òu liªn tôc trªn [a,b],

ký hiÖu X~U(a,b) (uniform), nÕu cã hµm mËt ®é:

.

b][a,x 0

b][a,x ab

1

)x(f

b. §Þnh lý 4:

NÕu X~ U(a,b) th× EX = 2

ba ; DX =

12

2)ab(

- 51 -

2. LuËt ph©n phèi chuÈn

a. §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt

MÖnh ®Ò 1: (TÝch ph©n Euler-Poisson)

TÝch ph©n suy réng: dte

t

2

2

lµ héi tô vµ cã giíi h¹n lµ 2

§Þnh nghÜa 5:

i) Hµm 2

x2

e2

1)x(

lµ hµm mËt ®é cña hµm Gauss.

ii) Hµm F(x) =

x

dt)t( lµ hµm ph©n phèi Gauss.

iii) Hµm x

0

dt)t()x( lµ tÝch ph©n Laplace

§Þnh nghÜa 6: §¹i lîng ngÉu nhiªn liªn tôc X ®îc gäi lµ tu©n theo luËt

ph©n phèi chuÈn, ký hiÖu X~ N(a, 2 ), nÕu X cã hµm mËt ®é:

)Rx(e)x(f

)ax(

2

2

ζ2

π2ζ

1 (2.14)

Trong ®ã a vµ lµ çc h»ng sè, ®îc gäi lµ çc tham sè cña ph©n phèi (>0)

ý nghÜa cña çc tham sè a vµ ζ :

Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo ph©n phèi (5). Ta chøng minh r»ng tham sè a chÝnh lµ kú väng Ï, cßn ζ chÝnh lµ ®é lÖch chuÈn cña X. §Ó chøng minh ®iÒu nµy ta chØ viÖc tÝnh Ï vµ DX cña biÕn ngÉu nhiªn X cã mËt ®é f(x) cho bëi (5). Ta cã;

dxexdx)x(fxEX

)ax(2

2

ζ2

π2ζ

1

§Æt ,tax

tõ ®ã x= a+ t, dx=dt. TÝch ph©n trªn trë thµnh:

dttedtaedte)ta(EX

ttt2

2

2

2

2

2

ζπ2

1

π2

1ζ

π2ζ

1

Chó ý r»ng 2

2t

te

lµ hµm lÎ cña t nªn tÝch ph©n thø hai b»ng kh«ng, cßn:

2dtte2

2t

( TÝch ph©n Euler-Poisson)

- 52 -

VËy EX = aπ2.a2

1

VËy tham sè a cña ph©n phèi chuÈn chÝnh lµ kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi nµy.

T¬ng tù, b»ng phÐp ®æi biÕn t =

ax vµ phÐp tÝnh tÝch ph©n ph©n ®o¹n ta

tÝnh ®îc: DX = 2 . §å thÞ cña hµm mËt ®é (2.14) ®îc gäi lµ ®êng cong ph©n phèi chuÈn.

§êng cong nµy cã d¹ng h×nh chu«ng, ®¹t cùc ®¹i ymax= 2

1 t¹i x = a cã

hai ®iÓm uèn t¹i x= a- vµ x= a + . Khi a thay ®æi, ®êng cong dÞch chuyÓn song song víi trôc 0x cßn d¹ng th× gi÷ nguyªn. NÕu thay ®æi th× ®êng cong dÑp xuèng (khi t¨ng) hoÆc låi lªn ( khi gi¶m). §iÒu nµy hoµn toµn phï hîp víi ý nghÜa cña tham sè lµ thíc ®o ®é t¶n m¸t c¸c gi¸ trÞ cña biÕn ngÉu nhiªn.

§Þnh lý 5: NÕu X~ N(a, 2) th× phÐp ®æi biÕn Z = ζ

aX cho ta mét biÕn

ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn víi EZ = 0, DZ = 1, tøc lµ Z~N(0, 1).

Chøng minh:

Khi X nhËn gi¸ trÞ x th× Z nhËn gi¸ trÞ z =

ax.

Do vËy dx = dz vµ

dzedzedxeI

zz)ax(

2

22

2

2

π2

1

π2ζ

1

π2ζ

12ζ2

Nh thÕ f(z) = 2

2

π2

1z

e

lµ hµm mËt ®é x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn ph©n

phèi chuÈn víi hai tham sè a = 0, =1. §iÒu ®ã chøng tá ZN(0, 1). Ta cã

EZ = 0π2

1 2

2

dzez

z

v× hµm trong dÊu tÝch ph©n lµ hµm lÎ. Vµ

- 53 -

1π2

20

dzeπ2

2

0e

π2

2ezd

π2

2

dzez2dz)z(θz2dz)z(θzDZ

2

z

0

2

z

2

z

0

2

z

0

2

0

22

222

2

b. TÝch ph©n Laplace vµ ph©n phèi chuÈn

XÐt Z lµ biÕn ngÉu nhiªn cã ph©n phèi chuÈn víi hai tham sè a = 0 vµ 1 , ZN(0,1) – khi ®ã Z ®îc gäi lµ tu©n theo qui luËt chuÈn ho¸.

Quan hÖ gi÷a tÝch ph©n Laplace vµ biÕn ngÉu nhiªn Z cho bëi ®Þnh lý sau.

§Þnh lý 6: TÝch ph©n Laplace:

dze)t(

z2

2

π2

1

i) §ã lµ phÇn diÖn tÝch n»m díi hµm mËt ®é f(z) trªn ®o¹n [0,t].

ii) P(0 ≤ Z ≤ t) = )t( , do ®ã P(-t ≤ Z ≤ t) = P(|Z| ≤ t) = 2 )t(

iii) )t( = - )t( ( lµ hµm lÎ).

Chøng minh:

i) V× 2

2

π2

1z

e

lµ hµm mËt ®é f(z). Cho nªn ®· ®îc gi¶i thÝch tõ ý nghÜa cña

tÝch ph©n x¸c ®Þnh ii) Ta cã

).t(dze2

1dz)z(f)tZ0(P

t

0

2

zt

0

2

iii) Do:

0

t

t

0

t

0

t

0

dz)z(fdz)z(fdz)z(fdz)z(f)t( do hµm f(z) ®èi

xøng qua trôc tung t¹i z = 0.

§Þnh lý 7: NÕu X~N(a,2ζ ) th×:

i) F(x) =

ax

2

1

trong ®ã dte)x(Fx

)at(

2

2

ζ2

π2ζ

1

- 54 -

ii)

aa)(F)(F)x(P

iii)

ζ

ε2

ζ

ε)|aX(|P

iv) P(X< )=F( ) =

ζ

a

2

1

v) P(X > )=1- F( ) =

ζ

α

2

1 a

HÖ qu¶ 1: ( quy t¾c k-xÝch ma)

Cho X~ N(a, 2 ) th×: i) 68012ζζ ,)()aXa(P

ii) 955,0)2(2)2|aX(|P)ζ2aXζ2a(P

iii) 997032ζ3ζ3ζ3 ,)()|aX(|P)aXa(P

Díi d¹ng ®å thÞ, quy t¾c trªn ®îc minh ho¹ bëi h×nh sau: Ph©n phèi chuÈn víi vïng 3,2,1

Chøng minh:

XÐt x¸c suÊt:

)|aX(|P ζ3 9974,0)3(23

2dxeπ2ζ

1 3

3

ζ2

)ax(

2

2

Ta cã 2

x2

e2

1)x()x(f

, hµm )x( lµ mét hµm ch½n, c¸c gi¸ trÞ cña nã

®îc cho trong b¶ng. Ph©n phèi N(0,1) gäi lµ ph©n phèi chuÈn t¾c vµ phÐp ®æi biÕn trong ®Þnh lý trªn gäi lµ phÐp qui chuÈn (chuÈn ho¸). Hµm )x( lµ mét hµm lÎ: )x(θ = - )x(φ .

B¶ng cho gi¸ trÞ cña )x( víi x cã hai ch÷ sè thËp ph©n, cét 1 chØ gi¸

trÞ cña x víi mét ch÷ sè thËp ph©n ®Çu, hµng 1 cho c¸c gi¸ trÞ thËp ph©n thø 2. Sè n»m trªn hµng chøa x víi sè thËp ph©n thø nhÊt vµ trªn cét chøa sè thËp ph©n thø hai cña nã b»ng )x( .

Do )x( lµ hµm ®¬n ®iÖu t¨ng nªn tõ )x(θ 0 nÕu biÕt x0 tõ b¶ng gi¸

trÞ ta t×m ®îc vµ ngîc l¹i. Khi x >5 gi¸ trÞ cña )x( gÇn nh kh«ng t¨ng

nªn khi ®ã ta lÊy )5()x(θ

VÝ dô 6: Thêi gian ®Ó ®éi thî A x©y xong mét c¨n phßng lµ mét biÕn ngÉu nhiªn cã ph©n phèi chuÈn víi kú väng lµ 500 giê vµ ®é lÖch chuÈn lµ 100 giê. i) T×m x¸c suÊt ®Ó ®éi A x©y xong trong kho¶ng [400 giê, 700 giê]. ii) T×m x¸c suÊt ®Ó ®éi A hoµn thµnh sím h¬n 580 giê.

- 55 -

Gi¶i:

Gäi X lµ thêi gian ®éi A x©y xong c¨n phßng. Nh vËy X~N(a, 2ζ ) víi a=500, 100ζ . i) Ta cã:

0,81750,340,4775Φ(1)Φ(2)

100

500400Φ

100

500700Φ

F(400)F(700)700)XP(400

ii) Ta cã:

7881028810508050

100

500580

2

1580580

,,,.),(,

)(F)X(P

3. LuËt ph©n phèi khi b×nh ph¬ng ).n(χ 2

§Þnh nghÜa7: Hµm dtet)x(tx

0

1 ®îc gäi lµ hµm Gamma.

Ta cã: i) )x()x()x( 11 .

ii) NÕu n nguyªn d¬ng th× )!n()n( 1

iii)

2

1

§Þnh nghÜa 8: §¹i lîng ngÉu nhiªn X gäi lµ cã ph©n phèi 2 víi n ®é tù do,

ký hiÖu X~ )n(2 nÕu cã hµm mËt ®é:

0x nÕuxe

2

n2

1

0x Õu n 0

f(x)1

2

n

2

x

2

n (2.15)

Trong ®ã: dtet)x(tx

0

1 (x > 0). §å thÞ cã d¹ng:

- 56 -

§Þnh lý 8: NÕu X lµ n biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n phèi chuÈn Xi~

N(0,1) th× biÕn ngÉu nhiªn

n

iin XU

1

2 cã ph©n phèi )n(χ2 , ®ång thêi:

E(Un)= n vµ D(Un) = 2n.

TÝnh chÊt:

i) NÕu X~ )m(~Y),n( 22 ®éc lËp th× X+Y ~ ).mn(2

ii) NÕu )n,i(),ζ,a(N~X i 12 ®éc lËp vµ

)X...X(n

X n 1

1 th× ).1n(~)XX(

1 22n

1ii2

Ph©n vÞ x¸c suÊt )]n(X[P 2 víi bËc n tù do ®îc cho trªn b¶ng

5. Gi¸ trÞ cña )n(2χ ®Ó )]n(X[P 2 ký hiÖu lµ ),n(χ 2 .

Trong b¶ng 5 cét mét chØ bËc tù do n, hµng mét chØ møc x¸c suÊt , cßn ph©n

vÞ 2χ lµ gi¸ trÞ n»m trªn hµng n vµ cét . Nh vËy nÕu biÕt gi¸ trÞ cña ®¹i

lîng ngÉu nhiªn 2χ vµ bËc tù do n ta t×m ®îc møc x¸c suÊt , ngîi l¹i

nÕu biÕt ®îc bËc tù do n vµ møc x¸c suÊt , ta t×m ®îc gi¸ trÞ 2χ mµ

α)]n(χX[P 2.

VÝ dô 7:

a) Cho X~2χ (12). T×m P[X> 23,3]

b) Cho X~2χ (20) . T×m

2χ tháa m·n P[X >2χ ] = 0,95.

Gi¶i:

a) Víi n=12, 2χ =23,3, lÊy hµng n=12, gi¸ trÞ 23,3 n»m trªn cét øng víi 0,025.

VËy 0250,α hay P[X>23,3]= 0,025.

b) Víi n=20, 950,α tra b¶ng 5, lÊy hµng n=20 vµ cét 950,α ta ®îc 2χ 0,95(20) = 10,9.

4. LuËt Student

- 57 -

Bµi to¸n 3: Cho hai biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp U~N(0,1) vµ V~2χ (n).

T×m ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn

n

V

UX

§Þnh nghÜa 9: §¹i lîng ngÉu nhiªn X ®îc gäi lµ cã ph©n phèi Student n

bËc tù do, ký hiÖu X ~ T(n), cã hµm mËt ®é

2

12

1

2

2

1 )n(

n

x

nπn

n

)x(f

( x R , n > 0) (2.16)

§Þnh lý 9: NÕu X~T(n), th× EX = 0 vµ DX =2n

n. Víi n ≥ 30, ph©n phèi

T(n) gÇn trïng víi ph©n phèi N(0,1).

Trong b¶ng phô lôc, cho gi¸ trÞ αnt ®Ó P( t ≥

αnt ) =

2

.

Do hµm mËt ®é f(x) lµ hµm ®èi xøng qua trôc ) Oy cho nªn P( t ≤ - αnt ) =

2

.

VÝ dô 8: Cho t lµ biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi Student víi n =19, cét 0,1. Ta cã

.,t , 72911019

§iÒu ®ã cã nghÜa lµ; P(t ≤ -1,729)=P(t ≥ 1,729) = 5% = 0,05.

2.3.3. Çc ®Þnh lý giíi h¹n

Çc ®Þnh lý giíi h¹n vµ luËt sè lín lµ mét trong nh÷ng kÕt qu¶ ®Æc thï

vµ lý thó cña lý thuyÕt x¸c suÊt. ý nghÜa cña chóng kh«ng chØ lµ nh÷ng kÕt qu¶ ®Ñp vÒ mÆt to¸n häc, mµ chñ yÕu ®em l¹i nhiÒu c¬ së cho çc lËp luËn cña thèng kª to¸n häc khi lµm viÖc víi ®¸m ®«ng (mÉu).

1. Sù cña d·y biÕn ngÉu nhiªn

§Þnh nghÜa 1: D·y {Xn} çc biÕn ngÉu nhiªn ®îc gäi lµ héi tô theo x¸c suÊt

®Õn h»ng sè C nÕu víi mäi 0ε th×

0

)ε|CX(|P nnlim (2.17)

Ký hiÖu: CXp

n

§Þnh nghÜa 2: Gi¶ sö d·y {Xn} çc biÕn ngÉu nhiªn cã d·y çc hµm ph©n

phèi x¸c suÊt t¬ng øng {Fn(x)} vµ biÕn ngÉu nhiªn X cã hµm ph©n phèi F(x).

Ta nãi r»ng d·y {Xn} héi tô theo luËt ®Õn X, ký hiÖu Xn XL nÕu d·y hµm

{Fn(x)} héi tô ®Õn hµm F(x) t¹i mäi ®iÓm liªn tôc cña F(x).

2. BÊt ®¼ng thøc Chebyshev

- 58 -

BÊt ®¼ng thøc Chebyshev cho chóng ta mét íc lîng x¸c suÊt trong mét sè suy luËn vÒ sau.

§Þnh lý 1: Cho hai ®¹i lîng ngÉu nhiªn X cã kú väng EX = a vµ ph¬ng sai

h÷u h¹n. Víi mäi 0ε , ta cã:

2ε

DX)ε|EXX(|P (2.18)

hoÆc .DX

)|EXX(|P2ε

1ε

Chøng minh:

Gi¶ sö f(x) lµ hµm mËt ®é cña X, ta cã:

ε).|EXP(Xεf(x)dxε

f(x)dxEX)(Xf(x)dxEX)(XDX

2

ε|EXX|

2

ε|EXX|

22

VËy 2

DXε)

ε|EXX(P .

BÊt ®¼ng thøc Chebyshev lµ c¬ së ®Ó chøng minh çc ®Þnh lý luËt sè lín.

3. Çc ®Þnh lý giíi h¹n vµ øng dông

a. Çc ®Þnh lý giíi h¹n Movre-Laplace

§Þnh lý 2: Cho mét d·y çc phÐp thö ®éc lËp. Gäi p lµ x¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn

cè A trong mçi phÐp thö. Pn(k) lµ x¸c suÊt A xuÊt hiÖn k lÇn trong n phÐp thö. Khi ®ã

0enpq2

1)k(P npq2

)npk(

nn

2

lim

Tõ ®ã nÕu X~B(n,p) ®Æt ).x(npq

npkx 00

Trong ®ã, 2

x2

e2

1)x(

®îc gäi lµ hµm sè Gauss vµ gi¸ trÞ cho bëi b¶ng

1, vµ ®©y chÝnh lµ mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn N(0,1).


cè A trßng mçi phÐp thö. Pn(k1,k2) lµ x¸c suÊt A xuÊt hiÖn k1<k<k2 lÇn. Khi ®ã

0π2

1 2

1

2

221

x

x

t

nn

dte)k,k(Plim

- 59 -

Víi ),i(npq

npkx i

i 21

Khi n kh¸ lín:

).x()x(dte)k,k(P

x

x

t

n 122

21

2

1

2

π2

1

(2.20)

Chó ý:

+) Khi tra b¶ng )x( nÕu x>5 cã thÓ ®Æt )x( = 0,5.

+) Tõ ®Þnh lý trªn ta cã thÓ xÊp xØ ph©n phèi nhÞ thøc b»ng ph©n phèi chuÈn khi n lín. VÝ dô 1: Lo¹i bÖnh B chiÕm 10% d©n sè. Chän ngÉu nhiªn 100 ngêi. TÝnh x¸c suÊt: a) Cã 6 ngêi bÞ bÖnh B b) Kh«ng cã tíi 6 ngêi bÞ bÖnh B c) Sè ngêi bÞ bÖnh trong kho¶ng 6-12 ngêi. Gäi X lµ sè ngêi bÞ bÖnh B trong 100 lÇn chän

Gi¶i:

Ta cã X~B(100,1/10).

P(X=6) =

9466100

10

9

10

1

C

P(X )5 = P(0) + P(1) +…+ P(5)

P(6 )X 12 = P(6) + P(7) +…+ P(12)

PhÐp tÝnh c¸c x¸c suÊt trªn rÊt cång kÒnh, ta ¸p dông ®Þnh lý Moivre-Laplace:

656804082024680331670

3

106

3

1012126

053016030341

3

101006

9010100

16

,,,),(),(

)X(P

,,,),(φ3

1

,φ

,,)X(P

b. §Þnh lý giíi h¹n Poisson


cè A trong mçi phÐp thö. Pn(k) lµ x¸c suÊt A xuÊt hiÖn k lÇn trong n phÐp thö. Khi ®ã, nÕu n vµ 0p sao cho: np ==const th× ta cã:

λλ

e

!k)k(Plim

k

n_n

- 60 -

Tõ c«ng thøc trªn, khi n ®ñ lín vµ p ®ñ bÐ, ®Æt npλ ta cã c«ng thøc xÊp xØ:

λλ e!k

)k(Pk

n

2

1

λ21

λk

ki

i

n e!i

)k,k(P (2.21)

VÝ dô 2: Tû lÖ phÕ phÈm cña mét lo¹i s¶n phÈm lµ 0,2%. T×m x¸c suÊt ®Ó trong 1000 s¶n phÈm: a) Cã 12 phÕ phÈm. b) Cã kh«ng qu¸ 10 phÕ phÈm.

Gi¶i:

ë ®©y n =100; p = 0,002; .20002,01000np

Sù dông b¶ng ta ®îc;

a) P1000(k =12) = 000001012

2 212

,!

e

b) P1000(0;10) = 9999920210

0

2

,!i

e

i

i

c. §Þnh lý giíi h¹n trung t©m

Trùc tiÕp suy réng cña ®Þnh lý giíi h¹n Moivre - Laplace lµ ®Þnh lý giíi h¹n trung t©m. §Þnh lý sau ®©y do Lindeberg chøng minh (1992). Sau ®ã ®îc nhiÒu t¸c gi¶ suy réng.

§Þnh lý 5 ( §Þnh lý giíi h¹n trung t©m)

Cho mét d·y {Xn} c¸c ®¹i lîng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n

phèi. Gi¶ sö )X(D),X(E k

2

k víi mäi k vµ hai sè . Khi ®ã víi

n

kkn XS

1

ta cã: )(F)(Fn

nSP n

(khi )n (2.22)

Trong ®ã .dze2

1)x(F 2

zx2

Nh vËy F(x) lµ hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn Z cã ph©n phèi chuÈn Z ~ N(0,1).

§Ó ®¬n gi¶n, ta ký hiÖu n

SX n . Khi ®ã:

n

X

n

nXn

n

nSn

ζ

μ

ζ

μ

ζ

μ

Chóng ta nhËn ®îc mét ph¸t biÓu kh¸c cña ®Þnh lý giíi h¹n trung t©m:

- 61 -

Khi ),(N~Z

n

XZ,n ' 10

ζ

μ

, hay ®èi víi n ®ñ lín

n,N~X ζμ

HÖ qu¶ 1: Trong thùc tÕ ngêi ta sù dông c«ng thøc xÊp xØ nµy víi n ≥ 30 . Tõ

®©y ta cã mét kÕt luËn thó vÞ kh¸c.

Do n

X

n

X...X

n

SX

n

kk

nn

11

Vµ ),(N~ZZ ' 10 hay

n

1kkX nªn .Z.nnX

n

kk ζμ

1

Nh vËy , lµ

h»ng sè vµ cè ®Þnh n th×

n

kkX

1

cã ph©n phèi xÊp xØ ph©n phèi chuÈn.

Víi 30n : Thùc tÕ trõ nh÷ng tÝnh to¸n yªu cÇu ®é chÝnh x¸c cao, ngêi ta

coi X=

n

kkX

1

lµ biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn, tøc lµ X~N(EX, 2

X ).

§ã lµ hÖ qu¶ cña ®Þnh lý giíi h¹n trung t©m. ý nghÜa cña nã nh sau: Khi cã nhiÒu lÇn mét lo¹i nh©n tè ngÉu nhiªn nµo ®ã t¸c ®éng, th× sù tÝch luü thËt nhiÒu lÇn kÕt qu¶ t¸c ®éng ®ã cã d¹ng chuÈn. Nã cho phÐp kÕt luËn: RÊt nhiÒu t¸c ®éng ngÉu nhiªn trong ®êi sèng lµ biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn.

VÝ dô 3: Kh¶o s¸t ë mét vïng trång chuyªn canh cam cã thÓ xem träng lîng

cña tr¸i cam lµ biÕn ngÉu nhiªn cã kú väng lµ 220 gram vµ ®é lÖch tiªu chuÈn lµ 20 gram. a) Mçi sät cam chøa 100 tr¸i. Gäi X lµ träng lîng riªng cña sät (trõ bao b×). T×m ph©n phèi cña X. b) Mçi sät sÏ ®îc xÕp lo¹i A nÕu träng lîng riªng Ýt nhÊt lµ 22kg. LÊy ra mét sät bÊt kú mét çch ngÉu nhiªn. T×m x¸c suÊt ®Ó xuÊt lÊy ra ®îc mét sät lo¹i A. c) Mua 36 sät. XÕp lªn xe t¶i mét çch ngÉu nhiªn. TÝnh x¸c suÊt ®Ó trong ®ã sè sät lo¹i A Ýt nhÊt ®îc 15 sät vµ nhiÒu nhÊt ®îc 24 sät.

Gi¶i:

a) Do sè lîng cam nhiÒu, viÖc h¸i vµ xÕp cam vµo sät cã thÓ coi lµ hoµn toµn ngÉu nhiªn. Mçi sät chøa 100 tr¸i. VËy träng lîng riªng cña sät lµ: X = X1 +…+ Xi +…+ X100. Çc träng lîng tõng tr¸i Xi cã thÓ xem lµ biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp.

Ta cã: EX= kggram)X(Ei

i 22220100100

1

- 62 -

DX=22

100

1

0004020100 gr.)gram()X(Di

i

Suy ra .gr200DXX

Do n =100 vµ c¸c Xi cã ph©n phèi gièng nhau, ®éc lËp. Theo hÖ qu¶ cña ®Þnh lý 5 ta cã X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn cã ph©n phèi chuÈn X~N(22kg;0,2kg). b) LÊy ngÉu nhiªn mét sät.

P( Sät lÊy ra thuéc lo¹i A) = P(träng lîng riªng ≥ 22kg)

= P(X ≥ 22kg) = P(X≥ EX = 22kg)=1/2 ( do X lµ ph©n phèi chuÈn).

c) XÕp lªn xe 36 sät mét c¸ch ngÉu nhiªn. Tøc lµ 36 lÇn lÆp l¹i mét c«ng viÖc. Gäi p x¸c suÊt ®Ó lÊy ra mét sät lo¹i A b»ng 0,5 ( lµ x¸c suÊt thµnh c«ng cña mét phÐp thö ngÉu nhiªn). VËy sè sät lo¹i A lµ mét ®¹i lîng ngÉu nhiªn cã ph©n phèi nhÞ thøc víi n = 36; p = 0,5. Gäi Y lµ sè sät lo¹i A cã trong 36 sät. Ta t×m:

81750123

1815

3

18242415 ,)()()Y(P

4. LuËt sè lín

a. Mét sè ®Þnh lý ®Æc biÖt mang tªn luËt sè lín

§Þnh lý 6: Gi¶ sö {Xk} lµ d·y biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp cã kú väng h÷u h¹n,

ph¬ng sai bÞ chÆn bëi mét h»ng sè (DXk<C víi mäi k). Khi ®ã víi mäi 0ε :

.εn

)S(ESP nn

nlim 1

Chøng minh:

Do

n

kkn XS

1,

n

SX n lµ biÕn ngÉu nhiªn, ta cã:

n

kk

n

kk

)X(Enn

X

E)X(E1

1 1 h÷u h¹n.

Theo ®Þnh lý 2.5.3 vµ gi¶ thuyÕt bÞ chÆn cña ph¬ng sai D(Xk), ta cã:

n

C

n

nC)X(D

nn

X

D)X(Dn

kk

n

kk

21

2

1 1.

- 63 -

Theo ®Þnh lý 2.5.2: .εn

C

ε

)X(Dε)X(EXP

2211

Do x¸c suÊt kh«ng vît qu¸ 1, cho nªn:

limn

ε )X(EXP =1 hay .εn

)S(ESP nn

nlim 1

§Þnh lý 7: Cho d·y biÕn ngÉu nhiªn {Xk} cã ph©n phèi gièng nhau víi a =

E(Xk), )X(Dζ k2. Khi ®ã víi mäi 0ε tuú ý:

)n(an

X...XP n

0ε1 (2.23)

ý nghÜa thùc tÕ cña mÖnh ®Ò nµy rÊt lín, khi n ®ñ lín gÝa trÞ trung b×nh cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn sÏ rÊt gÇn a.

VÝ dô 4: Mçi chuyÕn tµu ®i qua, sÏ lµm mßn ®êng ray trung b×nh 0,015 mm mçi bªn. Sau 1000 chuyÕn tµu, ®êng ray mçi bªn sÏ mßn bao nhiªu?

Gi¶i:

Lîng ®êng ray bÞ mßn, sau khi chuyÕn tµu thø k ®i qua, lµ mét biÕn ngÉu nhiªn Xk, víi E(Xk) = 0,015 mm = a víi n =1000, kh¸ lín.

§é hao mßn tæng céng lµ

1000

1kkX lµ mét biÕn ngÉu nhiªn. Trung b×nh cña nã

1000

10001 X...XX

sÏ rÊt gÇn gi¸ trÞ a = 0,015mm. VËy t¸c ®éng tæng céng

cã thÓ tÝnh lµ .mm,aXk

k 015010001000

1

LuËt sè lín sÏ cßn rÊt nhiÒu lîi Ých trong thèng kª to¸n häc.

b. Mét sè trêng hîp riªng hay gÆp

§Þnh lý 8(Bernoulli): Cho d·y c¸c phÐp thö Bernoulli. Gäi fn=n

m lµ tÇn suÊt,

m lµ sè lÇn xuÊt hiÖn biÕn cè A trong n phÐp thö ®Çu tiªn, p lµ x¸c suÊt x¶y ra biÕn cè A. Víi 0ε , ta cã:

1

εpfP nnlim (2.24)

ChÝnh kÕt luËn cña ®Þnh lý nµy ®· mang l¹i c¬ së khoa häc cho ®Þnh nghÜa x¸c suÊt p theo thèng kª.

- 64 -

Bµi tËp ch¬ng 2 1. Tung ®ång thêi 2 ®ång xu. Gäi X lµ sè mÆt sÊp xuÊt hiÖn.

a) LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X. b) LËp hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña X.

c) TÝnh P(X≤ 1).

2. Cho hai biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp X, Y víi c¸c ph©n phèi

X -1 0 1 2

P 0,2 0,3 0,3 0,2

a) LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X2, X + Y, 2Y, X - 2Y vµ X.Y. b) TÝnh kú väng, ph¬ng sai cña X2, X + Y, 2Y, X - 2Y vµ X.Y.

3. Hai ngêi thî s¨n ®éc lËp b¾n vµo mét con thó, x¸c suÊt b¾n tróng cña mçi

ngêi lÇn lît lµ 0,7:0,8. Mçi ngêi b¾n 2 viªn. Gäi X lµ sè viªn ®¹n b¾n tróng con thó.

a) H·y lËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X. b) TÝnh x¸c suÊt ®Ó sè viªn ®¹n tróng thó th× b»ng nhau.

4. Mét ngêi b¾n 3 viªn ®¹n vµo bia víi x¸c suÊt b¾n tróng cña mçi lÇn lµ

70%. LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt vµ hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña sè lÇn b¾n tróng.

5. Tung ®ång thêi hai hét xÝ ngÇu. Gäi X lµ tæng sè chÊm trªn hai mÆt cña mét

xÝ ngÇu. a) LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt vµ hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña X.

b) TÝnh P(X<7) . P(X≥ 6) , P(X=1) . P(X+12).

6. BiÕn ngÉu nhiªn X ®îc gäi lµ cã ph©n phèi mò nÕu hµm mËt ®é cña nã cã

d¹ng:

sè) thamlµ θ ( 0x khiae

0hix k0

)x(fθ

x-

H·y x¸c ®Þnh: a) HÖ sè a. b) Hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña X. TÝnh P(0<X<θ).

7. Cho hµm sè

2,2)(x 0

2,2)(x x4

c

)x(f 2

a) X¸c ®Þnh c ®Ó f lµ hµm mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn X nµo ®ã. b) LËp hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña X.

Y -1 0 1

P 0,3 0,4 0,3

- 65 -

c) TÝnh P(-1≤X≤1).

8. Cho biÕn ngÉu nhiªn X cã hµm ph©n phèi x¸c suÊt lµ:

.arctgxπ

)x(F1

2

1

a) TÝnh P(0 < X < 1) b) T×m hµm mËt ®é cña X.

9. B¾n 2 viªn ®¹n vµo 1 tÊm bia. Bia cã 2 vßng. B¾n tróng vßng 1 ®îc 10

®iÓm, tróng vßng 2 ®îc 5 ®iÓm. Gäi X lµ tæng sè ®iÓm cña 2 viªn ®¹n ®· b¾n. a) LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X. BiÕt r»ng x¸c suÊt b¾n tróng vßng

1 lµ 0,6, b¾n tróng vßng 2 lµ 0,3 vµ b¾n trît lµ 0,1. b) TÝnh kú väng ph¬ng sai vµ mod cña X.

10. Hai cÇu thñ bãng ræ mçi ngêi nÐm 2 qu¶ vµo ræ. X¸c suÊt nÐm tróng ræ

cña mçi ngêi lÇn lît lµ 0,7:0,8. Gäi X lµ sè qu¶ nÐm tróng ræ cña 2 ngêi. a) LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X. b) TÝnh x¸c suÊt ®Ó sè qu¶ nÐm tróng ræ cña hai ngêi b»ng nhau. c) §Æt Y = 2X – 5. TÝnh M(Y), D(Y).

11. Mét m¸y s¶n xuÊt ra s¶n phÈm víi tû lÖ phÕ phÈm lµ 2%. Cã mét l« hµng

cã 10 s¶n phÈm cã tû lÖ phÕ phÈm lµ 40%. LÊy 2 s¶n phÈm do m¸y s¶n xuÊt vµ 2 s¶n phÈm tõ l« hµng. Gäi X lµ sè s¶n phÈm tèt trong 4 s¶n phÈm lÊy ra.

a) LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X. b) TÝnh M(X), D(X). c) TÝnh x¸c suÊt ®Ó sè s¶n phÈm tèt do m¸y s¶n xuÊt vµ sè s¶n phÈm tèt

lÊy ra tõ l« hµng b»ng nhau.

12. Cã 3 l« s¶n phÈm, mçi l« cã 10 s¶n phÈm. BiÕt r»ng l« thø i cã i+1 phÕ

phÈm, i=1, 2, 3. LÊy ngÉu nhiªn mçi l« 1 s¶n phÈm. Gäi X lµ sè s¶n phÈm tèt trong 3 s¶n phÈm lÊy ra.

a) LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X.

b) TÝnh P( 1 ≤ X ≤ 3 ). c) TÝnh x¸c suÊt ®Ó sè s¶n phÈm tèt lÊy ra ®îc b»ng tæng sè mÆt sÊp khi

tung 2 ®ång xu.

13. Cã 3 hép phÊn: Hép I cã 7 viªn phÊn tr¾ng vµ 3 viªn phÊn vµngg, hép I cã

16 tr¾ng vµ 4 vµng, hép III cã 42 tr¾ng vµ 8 vµng. Tõ mçi hép lÊy ra 1 viªn phÊn. Gäi X lµ sè viªn phÊn vµng cã trong 3 viªn phÊn lÊy ra.

a) LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt vµ hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña X. b) TÝnh kú väng vµ ph¬ng sai cña X.

c) TÝnh P(X≤ 2).

14. Mét hép cã 4 qu¶ bãng bµn ®îc ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 4. LÊy ngÉu nhiªn 2

qu¶ tõ hép vµ gäi X lµ tæng c¸c sè trªn 2 qu¶ bãng lÊy ra. a) LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt vµ hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña X.

b) TÝnh M(X), D(X), Mod(X).

- 66 -

15. Mét hép cã 10 viªn bi trong ®ã cã 4 viªn bi ®á. LÊy ngÉu nhiªn 3 viªn bi

tõ hép ®ã vµ gäi X lµ sè viªn bi ®á cã trong 3 viªn bi lÊy ra. a) LËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt vµ hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña X.

b) TÝnh kú väng vµ ph¬ng sai cña X.

16. Mét x¹ thñ cã x¸c suÊt b¾n tróng bia mçi lÇn lµ 80%.

a) B¾n 5 lÇn. TÝnh x¸c suÊt ®Ó cã ®óng 1 lÇn tróng bia. b) B¾n tèi thiÓu mÊy lÇn ®Ó x¸c suÊt cã Ýt nhÊt 1 lÇn tróng bia lín h¬n hay

b»ng 0,9.

17. S¶n phÈm ®îc ®ãng thµnh tõng hép; mçi hép cã 10 s¶n phÈm, trong ®ã

cã 4 s¶n phÈm lo¹i I. Ngêi mua hµng quy ®Þnh çch kiÓm tra nh sau: tõ hép lÊy ra ngÉu nhiªn 3 s¶n phÈm ®Òu lµ lo¹i I th× nhËn hép ®ã. Gi¶ sö kiÓm tra 100 hép. TÝnh x¸c suÊt ®Ó:

a) Cã 25 hép ®îc nhËn. b) Cã kh«ng qu¸ 30 hép ®îc nhËn. c) Ph¶i kiÓm tra Ýt nhÊt bao nhiªu hép ®Ó x¸c suÊt cã Ýt nhÊt mét hép ®îc

nhËn lín h¬n hay b»ng 95%.

18. Mét ngêi nu«i 100 con gµ m¸i. X¸c suÊt ®Ó 1 con gµ m¸i bÊt kú ®Î trøng

trong ngµy lµ 60%. Ngêi ®ã xem mét ngµy thu ®îc kh«ng Ýt h¬n 60 qu¶ trøng lµ “ngµy vui”, tÝnh x¸c suÊt ®Ó trong 1 n¨m (365 ngµy) ngêi ®ã sÏ cã:

a) 180 ngµy vui. b) Kh«ng Ýt h¬n 200 ngµy vui.

19. Mét chi tiÕt m¸y do m¸y tiÖn s¶n xuÊt ra lµ mét ®¹i lîng ngÉu nhiªn X~N

( 20mm;4mm2). Chi tiÕt m¸y ®îc gäi lµ hîp quy çch nÕu X dao ®éng tõ 18mm ®Õn 22mm. Cho s¶n xuÊt 100 chi tiÕt, tÝnh x¸c suÊt ®Ó cã:

a) 50 chi tiÕt m¸y hîp qui çch. b) Kh«ng cã qu¸ 80 chi tiÕt m¸y hîp qui çch. c) Ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu chi tiÕt ®Ó x¸c suÊt cã Ýt nhÊt mét chi tiÕt hîp

qui çch ≥ 0,95.

20. Mét xÝ nghiÖp cã 3 m¸y. Trong ngµy thi thî giái, mçi c«ng nh©n dù thi sÏ

chän ngÉu nhiªn mét m¸y vµ víi m¸y ®ã s¶n xuÊt kh«ng Ýt h¬n 70 th× ®îc vµo vßng trong. X¸c suÊt ®Ó ®îc s¶n phÈm lo¹i I trªn 3 m¸y lÇn lît lµ 0,6:0,7:0,8.

a) TÝnh x¸c suÊt ®Ó c«ng nh©n N ®îc vµo vßng trong. b) Gi¶ sö c«ng nh©n N dù thi 200 lÇn. Sè lÇn ®îc vµo vßng trong tin

ch¾c nhÊt lµ bao nhiªu? c) C«ng nh©n N ph¶i dù thi Ýt nhÊt bao nhiªu lÇn ®Ó x¸c suÊt cã Ýt nhÊt

mét lÇn vµo vßng trong ≥ 90%.

20. Cho 3 ®¹i lîng ngÉu nhiªn ®éc lËp X, Y , Z víi:

X~N(12;25); Y~B(2:0,6); Z~H(10; 6; 3/100). §Æt U=M(X).Y + D(X).Z – Mod(X).Mod(Y).

a) TÝnh M(U), D(U). b) TÝnh x¸c suÊt P(Y=Z).

- 67 -

Ch¬ng 3: BiÕn ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu

3.1. BiÕn ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu rêi r¹c

TËp hîp n biÕn ngÉu nhiªn, xÕp thµnh vect¬, sÏ ®îc gäi lµ vect¬ ngÉu nhiªn hay biÕn ngÉu nhiªn n chiÒu. §Ó cho ®¬n gi¶n trong phÇn nµy ta chØ xÐt biÕn ngÉu nhiªn hai chiÒu ( n = 2 )

3.1.1. B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt biÒn ngÉu nhiªn hai chiÒu (X,Y):

(x1<x2<…<xm; y1<y2<…<yn; n vµ m cã thÓ b»ng + ) Trong ®ã: pij = P(X = xi; Y=yj) = P(xi, yj) ®îc gäi lµ x¸c suÊt ®ång thêi (x¸c suÊt x¶y ra ®ång thêi hai sù kiÖn X = xi vµ Y= yj). §Ó ý r»ng:

P(X = xi) =j

P(X=xi; Y=yj)= j

pij = p1(xi) (2.25)

P(Y = yj) =i

P(X=xi; Y=yj)= i

pij = p2(yj) (2.26)

j,i

pij=i

P(X=xi) =j

P(Y=yj)= 1

*) Gièng nh trêng hîp 1 chiÒu, ta cã thÓ x¸c ®Þnh hµm ph©n phèi x¸c suÊt ®ång thêi:

F(x; y) = P(X<x; Y<y). *) Hµm ph©n phèi nµy c¶m sinh ra c¸c hµm ph©n phèi lÒ (hµm ph©n phèi thµnh phÇn):

),y:x(F)yY;X(P)y(F

),y:x(F)Y;xX(P)x(F

lim

lim

x

y

2

1

*) §Ó ý lµ:

1

0

);(F

);(F)y;(F);x(F

yj xi

y1 y2 yn

x1 p11 p12 p1n

x2 P21 p22 P2n

xm pm1 pm2 pmn

- 68 -

3.1.2. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn:

)y(p

)y;x(p)yYxX(P)yx(p

2

(2.27)

)x(p

)y;x(p)xXyY(P)xy(p

1

(2.28)

*) Tæng qu¸t h¬n cã thÓ xÐt hµm ph©n phèi x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn:

)yYy(P

)yYy;xX(P)y,yx(F

21

2121

(2.29)

*) Hai biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y ®îc gäi lµ ®éc lËp nÕu vµ chØ nÕu: F(x;y) = F1(x) F2(y)

(HoÆc )xX(P)x(p)yx(p i 1111 víi mäi i, j…).

VÝ dô 1: Cho biÕn ngÉu nhiªn hai chiÒu (X,Y) cã luËt ph©n phèi ®ång thêi nh sau:

xi yj

x1 x2 x3

y1 0,18 0,22 0,16

y2 0,08 0,16 0,2

T×m luËt ph©n phèi cña tõng biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y.

Gi¶i:

Theo c«ng thøc 2.25 ta cã: p1(x1) = P(X = x1) = 0,18 + 0,08 = 0,26. T¬ng tù: p1(x2) = 0,38; p1(x3) = 0,36. LuËt ph©n phèi cña biÕn X cã d¹ng:

xi x1 x2 x3

pi 0,26 0,38 0,36

B»ng c¸ch tÝnh 2.26 ta cã luËt ph©n phèi

yj y1 y2

pj 0,56 0,44

- 69 -

Chó ý: p1(xi) lµ tæng cña cét, cßn p2(yj) lµ tæng cña hµng t¬ng øng cña b¶ng

gèc.

VÝ dô 2: Cho b¶ng ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn (X,Y)

xi yj

1 2 3

1 0,15 0,20 0,10

2 0,35 0,05 0,15

a) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi ®ång thêi cña (X, Y) b) Hai biÕn X vµ Y cã ®éc lËp kh«ng? c) TÝnh P(X=1|Y=2) = p(1|2).

Gi¶i:

a) Tõ ®Þnh nghÜa hµm ph©n phèi ®ång thêi F(x; y) = P(X < x; Y < y) ta cã F(x; y) cho bëi b¶ng sau

xi yj

x ≤ 1 1< x ≤ 2 2< x ≤3 3 < x

y ≤ 1 0 0 0 0

1< y ≤2 0 0,15 0,35 0,45

2 < y 0 0,5 0,75 1

b) Ch¼ng h¹n p(1;1) = 0,15, trong khi ®ã:

p1(1).p2(1) = 0,5.0,45 = 0,225 );(p 11

Nªn X vµ Y kh«ng ®éc lËp.

c) Dïng (2)-(3), ta cã:

11

7

550

350

2

2121

2

,

,

)(p

);(P)(p

Chó ý: p(1;2) chÝnh lµ P(X =1;Y = 2) = p12= 0,35.

VÝ dô 3: Ta cã hai hép, mçi hép cã 6 viªn bi: Hép I cã mét bi mang sè 1, hai bi sè 2 vµ ba bi sè 3 Hép II cã hai bi mang sè 1, ba bi sè 2 vµ mét bi sè 3. Gäi X vµ Y t¬ng øng lµ sè hiÖu cña viªn bi t¬ng øng chän ngÉu nhiªn tõ hai hép (mçi hép chän mét bi). X©y dùng b¶ng ph©n phèi cña cÆp biÕn (X,Y) vµ chøng tá r»ng X vµ Y lµ hai biÕn ®éc lËp.

Gi¶i:

- 70 -

Tæng sè c¸ch rót ra hai viªn bi tõ hai hép lµ 6.6 = 36 (®ång kh¶ n¨ng), trong ®ã sè c¸ch rót ra ®îc cÆp (1;1) lµ 1.2=2; cÆp (1;2) lµ 1.3=3; cÆp (1;3) lµ 1; cÆp (2;1) lµ 2.2=4; cÆp (2;2) lµ 2.3=6; cÆp (2;3) lµ 2.1=2; cÆp (3;1) lµ 3.2=6; cÆp (3;2) lµ 3.3=9; cÆp (3;3) lµ 3.1=3. Tõ ®ã ta cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cÇn t×m:

xi yj

1 2 3

1 1/18 1/9 1/6

2 1/12 1/6 1/2

3 1/36 1/18 1/12

§Ó kiÓm tra tÝnh ®éc lËp, ta x©y dùng ph©n phèi (biªn) cña X vµ Y theo (2) hoÆc trùc tiÕp tõ ®iÒu kiÖn bµi to¸n:

xi 1 2 3

pi 1/6 1/3 1/2

yj 1 2 3

pj 1/3 1/2 1/6

DÔ dµng kiÓm tra r»ng p(xi;yj) = p1(xi).p2(yj); víi mäi i,j. Ch¼ng h¹n

P(1;2) =1/12= p1(1).p2(2)= 2

1

6

1.

3.2. BiÕn ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu liªn tôc

LuËt ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn hai chiÒu (X;Y) liªn tôc ®îc x¸c ®Þnh nhê hµm mËt ®é x¸c suÊt ®ång thêi f(x;y). Më réng trêng hîp 1 chiÒu, cã thÓ thÊy r»ng x¸c suÊt ®Ó ®iÓm ngÉu nhiªn (X;Y) r¬i vµo miÒn D ®îc tÝnh b»ng c«ng thøc:

P[(X;Y) D ]= D

dxdy)y;x(f

§Ó ý r»ng, trong ®ã: f(x,y)≥ 0 vµ 1MP

dxdy)y;x(f (lÊy trªn toµn mÆt

ph¼ng).

- 71 -

Hµm ph©n phèi ®ång thêi F(x;y) lµ hµm sao cho: yx

)y;x(F)y;x(f

2

T¬ng ®¬ng víi nã lµ: F(x;y) =

x y

.dv.du)v,u(f

3.2.1. Hµm ph©n phèi cã ®iÒu kiÖn

Hµm ph©n phèi cã ®iÒu kiÖn

2121 yYyxX(P)y,yx(F ®îc x¸c ®Þnh nh sau:

2

1

2

1

21 y

y

x y

y

dv.du)v,u(f

dv.du)v,u(f

)y,yx(F

3.2.2. Hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn

)y(f

)y;x(f)yx(f

21 , nÕu f2(y) kh¸c 0.

Díi d¹ng tÝch ph©n

dx)y;x(f

)y;x(f)yx(f1

dy)y;x(f

)y;x(f)yx(f2

§èi víi hai biÕn X vµ Y ®éc lËp ta lu«n cã: F(x;y) =F1(x).F2(y) hoÆc f(x;y) = f1(x).f2(y). VÝ dô 4: BiÕn ngÉu nhiªn hai chiÒu (X;Y) cã hµm mËt ®é ®ång thêi:

222

22222

ryx khi 0

ryx hi k)ya(xy)f(x;

T×m hÖ sè a.

Gi¶i: HÖ sè a ®îc x¸c ®Þnh tõ ph¬ng tr×nh:

122 dxdy)yx(aD

, trong ®ã D lµ h×nh trßn 222 ryx .

§æi biÕn sang hÖ to¹ ®é cùc:

r

0

32

0

1dqqda , suy ra 4r

2a

.

- 72 -

VÝ dô 5: Hµm ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn hai chiÒu (X;Y) cã d¹ng:

0y hoÆc0x khi 0

y0,x khieee1y)(x;F

yxyx 0

T×m hµm mËt ®é f(x,y) vµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn f(x )y

Gi¶i:

Theo c«ng thøc (2), tríc tiªn t×m:

0y hoÆc0x khi 0

y0,x khi ee

x

F yxx 0

Tõ ®ã

0y hoÆc0x khi 0

y0,x khie

yx

F)y;x(f

yx 02

§Ó t×m hµm )yx(f ta dïng c«ng thøc (3). §Çu tiªn tÝnh:

.dxkhiyedx)y;x(f)y(fyx 0

0

2

Tõ ®ã suy ra:

0y i kh0

0y khiey)(f

x

2

DÔ thÊy do )yx(f kh«ng phô thuéc y (cïng víi miÒn x¸c ®Þnh) nªn hai biÕn X

vµ Y ®éc lËp. VÝ dô 6: Cho hai biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y ®éc lËp vµ cã ph©n phèi ®Òu trªn

[a;b]. X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi cña Z = X + Y.

Gi¶i:

Ta ®· biÕt nÕu X cã ph©n phèi ®Òu trªn [a,b] th× cã hµm mËt ®é:

b][a,x 0

b][a,x ab

1

)x(f

Do hai biÕn X, Y ®éc lËp nªn:

Dy)(x, khi 0

Dy)(x, khia)(b

1

)y(f).x(f)y;x(f 221

Trong ®ã D lµ h×nh vu«ng. XÐt ®iÓm ngÉu nhiªn (X;Y) trªn mÆt ph¼ng xOy víi miÒn biÕn thiªn cña nã lµ h×nh vu«ng ABCD. Theo ®Þnh nghÜa hµm ph©n phèi:

- 73 -

11

2

1

DD

dxdy)ab(

dxdy)y;x(f)zZ(P)z(F

Trong ®ã D1 lµ phÇn h×nh vu«ng n»m díi ®êng th¼ng z=x+y. Tõ ®ã

12

1DS

)ab()z(F

Trong ®ã 1DS lµ diÖn tÝch cña miÒn D1.

Ta cã:

NÕu 02 )z(Faz

NÕu 2

2

2

22

)ab(

)az()z(Fbaza

NÕu 2

2

2

212

)ab(

)zb()z(Fbzba

NÕu 12 )z(Fbz

Cã thÓ dÔ dµng t×m hµm mËt ®é tõ c«ng thøc (2).

3.2.3. Kú väng vµ ph¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu:

1. Kú väng( biÕn hai chiÒu):

*) BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc:

E(X) =

YX mdx)x(xf)Y(E;mdx)x(xf 21

*) BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c:

iji j

jYi j

ijiX pym;pxm

2. Ph¬ng sai:

D(X) = E[(X- m)]2; D(Y) = E[(Y - mY)2]

3.3. TÝnh t¬ng quan gi÷a hai ®¹i lîng ngÉu nhiªn:

X vµ Y lµ 2 ®¹i lîng ngÉu nhiªn cã: DX.DY 0 Th× trÞ sè

DY.DX

m.m)XY(E

DY.DX

EY.EX)XY(Er YX

®îc gäi lµ hÖ sè t¬ng quan cña X vµ Y. +) Trêng hîp r = 0 ta nãi X vµ Y kh«ng t¬ng quan. +) Trêng hîp r = 1 ta nãi X vµ Y t¬ng quan tuyÕn tÝnh. VÝ dô 7: Tung 3 lÇn 1 con xóc s¾c. Gäi X lµ sè lÇn xuÊt hiÖn mÆt ch½n. Y lµ sè

lÇn xuÊt hiÖn mÆt lÎ. TÝnh hÖ sè t¬ng quan gi÷a X vµY.

Gi¶i:

- 74 -

Ta cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X, Y, XY X 0 1 2 3

P 1/8 3/8 3/8 1/8

Y 0 1 2 3

P 1/8 3/8 3/8 1/8

XY 0 2

P 2/8 6/8

Ta cã: EX=3/2, EY=3/2; E(XY) =3/2; .4/3DY,4/3DX

Suy ra hÖ sè t¬ng quan cña X vµ Y lµ:

1DY.DX

)Y(E).X(E)Y.X(Er

VÝ dô 8: Gi¶ sö ta cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt ®ång thêi:

xi yj

1 2 3

1 0,15 0,20 0,10

2 0,35 0,05 0,15

TÝnh hÖ sè t¬ng quan gi÷a X vµ Y.

Gi¶i:

C¸c b¶ng ph©n phèi lÒ cña X vµ Y cã thÓ t×m ®îc:

xi 1 2 3

pi 0,5 0,25 0,25

yi 1 2

pi 0,45 0,55

- 75 -

Kú väng cña chóng: mX = 1.0,5 + 2.0.25 + 3.0,25 =1,75 mY =1.0,45 + 2.0,55 =1,55. B©y giê tÝnh E(XY):

2,652.3.0,152.2.0,052.1.0,351.3.0,11.2.0,21.1.0,15

.p.yxE(XY) ijji j

i

Ph¬ng sai: DX = 0,69; DY = 0,25. HÖ sè t¬ng quan:

1505,0DY.DX

m.m)XY(Er YX

VÝ dô 9: Hµm mËt ®é ®ång thêi cña (X,Y) to¹ ®é cña biªn ®é dao ®éng cña thïng xe «t« lµ:

Dy)x, khi( 0

Dy) khi(x;y)sin(x2

1

)y,x(f

Trong ®ã D lµ miÒn: }2

y0,2

x0:)y,x{(

. X¸c ®Þnh hÖ sè t¬ng quan

gi÷a X vµ Y.

Gi¶i:

T×m kú väng:

4dx)ysinx(sinx

2

1

dy.dx)yxsin(x2

1dy.dx)y;x(xfdx)x(xfm

2

π

0

2

0

2

0

1X

T¬ng tù:

4mY

(do tÝnh ®èi xøng cña X vµ Y).

T×m ph¬ng sai:

16

328mdy.dx)yxsin(x

2

1)X(E)X(E

22

X

2

π

0

22

π

0

222

X

2ζY =16

32π8πζ

22

YXX ζ.ζ .

- 76 -

E(XY)= 8

168

2

1 2

π

0

2

π

0

πdy.dx)yxsin(xy

HÖ sè t¬ng quan:

.2454,0ζ

m.m)XY(E

DY.DX

EY.EX)XY(Er

yx

YX

- 77 -

PhÇn II: Lý thuyÕt thèng kª to¸n Ch¬ng 4: MÉu thèng kª vµ íc lîng tham sè

Trong thùc tÕ ta cÇn nghiªu cøu mét dÊu hiÖu X nµo ®ã trªn mét tËp hîp cã sè lîng lín çc phÇn tö. Tuy nhiªn chóng ta kh«ng thÓ quan s¸t tÊt c¶ çc phÇn tö cña tËp hîp v× nhiÒu lý do nh kh«ng ®ñ thêi gian, chi phÝ tèn kÐm... V× vËy chóng ta chØ chän ra tËp con gåm h÷u h¹n n phÇn tö vµ dùa vµo kÕt qu¶ quan s¸t n phÇn tö ®ã ®Ó nghiªn cøu dÊu hiÖu X mµ ta quan t©m trªn

TËp ®îc gäi lµ tËp chÝnh hay tæng thÓ hay tËp nÒn. Çc phÇn tö thuéc tËp chÝnh gäi lµ çc ç thÓ. ViÖc chän tËp con tõ ra ®Ó quan s¸t ®îc gäi lµ phÐp lÊy mÉu, tËp con ®îc lÊy ra gäi lµ tËp mÉu. Sè lîng çc phÇn tö cña ký hiÖu lµ N vµ ®îc gäi lµ kÝch thíc cña mét tæng thÓ, cßn sè phÇn tö n cña tËp mÉu gäi lµ kÝch thíc mÉu.

NÕu x¸c ®Þnh mét ¸nh x¹ X: R øng mçi dÊu hiÖu cÇn quan s¸t cña

mét ç thÓ trong tËp chÝnh víi mét sè x, khi ®ã víi n phÇn tö cña tËp mÉu sÏ cho ta bé n sè: (x1,x2,...,xn) vµ ta gäi nã lµ mét mÉu quan s¸t hay lµ mÉu thèng kª. Ch¼ng h¹n khi cÇn nghiªn cøu chiÒu cao cña mét céng ®ång ngêi, ta chän ngÉu nhiªn n ngêi vµ ®o chiÒu cao cña n ngêi ®ã, kÕt qu¶ cho ta mét bé n sè (x1,x2,...,xn) t¬ng øng lµ chiÒu cao cña hä. Nh vËy (x1,x2,...,xn) lµ mét mÉu thèng kª vÒ chiÒu cao lÊy tõ céng ®éng ngêi cÇn quan s¸t. Tõ mÉu thèng kª (x1,x2,...,xn) vÒ chiÒu cao thu ®îc ta cã thÓ nghiªn cøu nhiÒu vÊn ®Ò vÒ nh©n chñng häc hoÆc dïng ®Ó íc lîng kÝch thíc cho çc mÉu hµng ho¸ cÇn dïng nh quÇn ¸o may s½n hoÆc çc ®å dïng thiÕt yÕu liªn quan ®Õn chiÒu cao cña ngêi tiªu dïng... §¬ng nhiªn trong c«ng viÖc íc lîng nµy, ngêi ta sÏ gÆp ph¶i mét sè vÊn ®Ò kh«ng tr¸nh khái, ®ã lµ sai sè vµ ®é tin cËy trong íc lîng ®ã. Trong ch¬ng nµy chóng ta sÏ nªu vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò trªn, nghÜa lµ nªu lªn ph¬ng ph¸p t×m íc lîng vµ kho¶ng tin cËy cô thÓ cho çc trêng hîp thêng gÆp, vµ trong chõng mùc nhÊt ®Þnh nªu lªn c¬ së lý luËn cña çc ph¬ng ph¸p ®ã dùa trªn lý thuyÕt x¸c suÊt.

4.1. MÉu – Tham sè mÉu

4.1.1. MÉu

Tõ tæng thÓ N phÇn tö, chän ngÉu nhiªn mét tËp n phÇn tö. TËp hîp nµy ®îc gäi lµ mÉu. Sè phÇn tö cña mÉu ®îc gäi lµ kÝch thíc mÉu. V× sau khi chän mÉu ta sÏ c¨n cø vµo mÉu ®Ó rót ra çc kÕt luËn cÇn thiÕt vÒ tÝnh chÊt cÇn kh¶o s¸t cho toµn bé tæng thÓ, nªn ®ßi hái mÉu ph¶i thùc sù ®¹i diÖn cho tæng thÓ.

1. Chän mÉu cã hoµn l¹i

- 78 -

LÊy ngÉu nhiªn mét phÇn tö tõ tæng thÓ vµ kh¶o s¸t nã. Sau ®ã tr¶ phÇn tö ®ã l¹i tæng thÓ tríc khi lÊy 1 phÇn tñ kh¸c. TiÕp tôc nh thÕ n lÇn, ta ®îc mét mÉu cã hoµn l¹i gåm n phÇn tö.

VÝ dô 1: KiÓm tra chÊt lîng s¶n phÈm cña 1 l« hµng gåm N=1000 s¶n phÈm.

LÊy ngÉu nhiªn 1 s¶n phÈm kiÓm tra tèt, xÊu, sau ®ã bá vµo l¹i, x¸o trén råi lÊy tiÕp 1 s¶n phÈm. Lµm nh thÕ 1000 lÇn ta ®îc mét mÉu cã hoµn l¹i gåm n=1000 phÇn tö.

Chó ý: Khi sè phÇn tö N cña tæng thÓ kh¸ lín, kÝch thíc cña mÉu kh«ng

®¸ng kÓ so víi N, th× sù ph©n biÖt gi÷a phÐp chän mÉu cã hoµn l¹i vµ kh«ng hoµn l¹i kh«ng ®¸ng kÓ.

2. Mét sè d¹ng mÉu ®¬n gi¶n thêng gÆp

a. MÉu d¹ng ®iÓm

X m

1x

…

kx

1m

…

km

mi: Sè lÇn X nhËn gi¸ trÞ xi

, i=1,2,…,k, hay gäi lµ tÇn sè.

nmk

ii

1

n: gäi lµ dung lîng mÉu.

VÝ dô 2: §iÓm thi m«n To¸n cu¶ 100 thÝ sinh dù thi vµo Khoa C«ng nghÖ cu¶

mét trêng §¹i häc n¨m 2000 cho trong b¶ng sau:

b. MÉu d¹ng kho¶ng

X m

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 5 10 30 40 5 2 1 0 0 100

- 79 -

§a vÒ d¹ng ®iÓm víi 2

iii

bac

VÝ dô 3: Chän ngÉu nhiªn 100 con gµ s¾p xuÊt chuång trong 1 tr¹i ch¨n nu«i, x¸c ®Þnh träng lîng, ®îc sè liÖu sau:

§a vÒ

d¹ng ®iÓm

4.1.2. §a gi¸c tÇn suÊt vµ tæ chøc ®å

Khi nghiªn có mét mÉu cã dung lîng n, kh«ng lo¹i trõ kh¶ n¨ng mét gi¸ trÞ nµo ®ã xuÊt hiÖn nhiÒu lÇn trong mÉu. B»ng viÖc gép çc gi¸ trÞ b»ng nhau l¹i ta cã thÓ biÓu diÔn mÉu b»ng b¶ng sau ®©y:

X x1 x2 x3 … xk

m m1 m2 m3 ... mk

Trong ®ã mi lµ sè lÇn xuÊt hiÖn gi¸ trÞ xi (i =1, 2,…, k) çc mi chÝnh lµ tÇn sè cña gi¸ trÞ xi t¬ng øng vµ m1 + m2+…mk = n. §Ó ý r»ng khi tÊt c¶ çc mi ®Òu b»ng 1, ta sÏ cã mÉu víi çc gi¸ trÞ kh¸c nhau vµ trong ®ã k = n (dung lîng mÉu).

X m

)b,a( 11

…

)b,a( kk

Tæng

1m

…

km

n

X m

1c

…

kc

Tæng

1m

…

km

n

X m

1,5 – 1,8 1,8 – 2,0 2,0 – 2,2 2,2 – 2,5 2,5 – 2,8

20 30 30 10 10 n=100

X m

1.65 1.9 2,1 2,35 2.65

20 30 30 10 10 n=100

- 80 -

Tû sè gi÷a tÇn sè vµ dung lîng mÉu ®îc gäi lµ tÇn suÊt cña gi¸ trÞ t¬ng tøng vµ ®îc ký hiÖu lµ wi = mi/n (i=1,2,…k). Cã thÓ chøng tá dÔ dµng r»ng:

.n

mm

nn

mw

k

ii

k

i

ik

ii 1

1

111

B¶ng sè sau ®©y thiÕt lËp mèi quan hÖ t¬ng hç gi÷a çc gi¸ trÞ mÉu vµ tÇn suÊt cña chóng:

(1.1)

B¶ng sè trªn ®îc gäi lµ ph©n phèi thùc nghiÖm (ph©n phèi mÉu) cña biÕn X. Nã rÊt gièng b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt. V× vËy viÖc x¸c ®Þnh hµm ph©n phèi thùc nghiÖm sÏ chÝnh lµ qu¸ tr×nh ®i t×m tÇn sè tÝch luü. Trªn hÖ to¹ ®é ta

®Æt çc ®iÓm

n

m,x i

i , i=1,2,…,k. TËp çc ®iÓm ®ã ®îc gäi lµ biÓu ®å tÇn

suÊt hoÆc ®a gi¸c tÇn suÊt (nèi çc ®iÓm l¹i ta ®îc ®a gi¸c tÇn suÊt).

Gäi pi = P(X = xi), theo luËt sè lín ta cã: 1

i

i pn

mP , khi n cµng

lín tung ®é cña biÓu ®å tÇn suÊt xÊp xØ tung ®é cña biÓu ®å x¸c suÊt cÇn t×m.

VÝ dô 4: KÕt qu¶ cña 25 phÐp thö ®éc lËp vÒ biÕn ngÉu nhiªn X nµo ®Êy nh sau:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

m 1 2 3 1 3 5 3 3 2 2

H·y x©y dùng biÓu ®å tÇn suÊt. Ta cã: X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

m i 0,04 0,08 0,12 0,04 0,12 0,2 0,12 0,12 0,08 0,08

BiÓu ®å tÇn suÊt:

X x1 x2 x3 … xk

w w1 w2 w3 ... wk

- 81 -

VÝ dô 5: Trong 1 cuéc ®iÒu tra Glucoza trong m¸u ë 100 ngêi ta thu ®îc kÕt

qu¶ nh sau ( mg%):

Kho¶ng Glucoza

Sè ngêi Kho¶ng Glucoza

Sè ngêi

(65-70) (70-75) (75-80) (80-85) (85-90) (90-95) (95-100)

1 0 2 5 8 16 18

(100-105) (105-110) (110-115) (115-120) (120-125) (125-130)

17 16 9 5 2 1

H·y x©y dùng tæ chøc ®å øng víi mÉu trªn.

ë ®©y çc sè liÖu ®· ®îc ghÐp thµnh çc kho¶ng b»ng nhau cã ®é dµi b»ng h =2,5 do ®ã ta chän çc kho¶ng dµi lµ (ai - h, ai + h).

Ta tÝnh 51002

ii m

hn

m t¬ng øng víi çc kho¶ng.

Ta cã b¶ng sau:

Kho¶ng Glucoza h.n

mW i

2

Kho¶ng Glucoza h.n

mW i

2

(65-70) (70-75) (75-80) (80-85) (85-90) (90-95) (95-100)

0,002 0 0,004 0,01 0,016 0,032 0,036

(100-105) (105-110) (110-115) (115-120) (120-125) (125-130)

0,034 0,032 0,018 0,014 0,014 0,002

Nh×n vµo ®å thÞ ta thÊy cã tÝnh ®èi xøng, cã thÓ xÊp xØ víi ®êng cong mËt ®é chuÈn. VÝ dô 6: Khi ®o ®é dµi cña 30 chi tiÕt ®îc chän ngÉu nhiªn tõ mét nhµ m¸y, ngêi ta thu ®îc sè liÖu sau ®©y: 39 41 40 43 41 40 44 42 41 43 41 42 39 40 42 43 41 41 42 39 42 42 41 42 40 41 43 41 39 40 H·y x©y dùng:

a) B¶ng ph©n phèi thùc nghiÖm vµ hµm ph©n phèi mÉu t¬ng øng. b) §êng cong gÊp khóc ph©n phèi cña ®é dµi chi tiÕt ®o ®îc.

Gi¶i:

a) Sè liÖu ®· cho cÇn tËp hîp l¹i vµo b¶ng sè sau ®©y:

- 82 -

X 39 40 41 42 43 44

n 4 5 9 7 4 1 30

Tõ b¶ng sè liÖu trªn b»ng c¸ch t×m tÇn suÊt tÝch luü, ta cã hµm ph©n phèi mÉu:

40 x1

44x43 30

29

43x42 6

5

42x41 5

3

41x40 10

3

40x39 15

2

39x 0

(x)F30

§©y lµ ®å thÞ d¹ng bËc thang. b) §êng gÊp khóc ph©n phèi Nèi c¸c ®iÓm Mi(xi, fi) , fi lµ tÇn sè øng víi gi¸ trÞ xi, ta ®îc ®êng gÊp khóc ph©n phèi.

- 83 -

4.1.3. Çc ®Æc trng mÉu

1. Trung b×nh mÉu

Cho mÉu {x1,x2,…,xn} lÊy tõ tËp çc gi¸ trÞ cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn X nµo ®ã:

n

x

n

x...xxX

n

ii

n

121 ®îc gäi lµ trung b×nh mÉu.

Trêng hîp cã mi gi¸ trÞ xi (i=1,2,…,k) víi nmk

ii

1

th×:

).(n

xm

m...mm

xm...xmxmX

n

iii

n

nn 101

21

2211

2. Ph¬ng sai mÉu

Ph¬ng sai mÉu lµ trung b×nh céng cña ph¬ng sai çc ®é lÖch cña tõng sè liÖu so víi trung b×nh mÉu.

2

1

2 1)Xx(

n)x(S

n

ii

Trêng hîp cã mi gi¸ trÞ xi (i=1,2,…,k ) víi nmk

ii

1

, ta cã

(0.2) )X(xmn

)x(S 2n

1iii

12

S2(X) cã thÓ ®îc viÕt díi d¹ng:

222 )X(X)X(S víi 2

1

2 1i

k

iixm

nX

vµ i

k

iixm

nX

1

1

§Ó ®¬n gi¶n ph¬ng sai mÉu viÕt lµ S2.

3. §é lÖch mÉu

C¨n bËc hai cña ph¬ng sai mÉu ®îc gäi lµ ®é lÖch chuÈn cña mÉu.

(0.3) )X(xmn

)x(S2

n

1iii

1

4. Hµm ph©n phèi mÉu

Gi¶ sö trong (1.1) x1< x2<…< xk, ta cã:

- 84 -

(0.4) )1k1,(h

xx 1

xxx w

xx 0

(x)F

h

h

1i1hhi

i

n

TÝnh chÊt cña c¸c tham sè mÉu

i) YXYX

ii) XαXα víi α lµ h»ng sè

iii) CXCX víi C lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn h»ng.

iv) YXY.X nÕu X vµ Y ®éc lËp.

i) S2( X )= )X(S22 .

ii) S2(X+C)=S2(X). iii) S2(X+Y)=S2(X)+S2(Y) nÕu X vµ Y lµ ®éc lËp.

VÝ dô 6: X¸c ®Þnh träng lîng cña 100 con gµ, cã sè liÖu sau:

a) TÝnh träng lîng trung b×nh cña mét con gµ b) TÝnh ph¬ng sai mÉu, ®é lÖch chuÈn mÉu.

Gi¶i:

§a vÒ d¹ng ®iÓm

a) kg,],.,.,.,.[xmn

Xk

iii 6313210021081406130

100

11

1

b) 9923210021081406130100

11 2222

1

22 ,]),.(),.(),.(),.([xmn

Xk

iii

kg,S.)kg,(),(,)X(XS 5780336106319932 22222

X(kg) m

1,5 – 1,7 1,7 – 1,9 1,9 – 2,1 2,1 – 2,5

30 40 10 10

X(kg) m

1,6 1,8 2,0 2,3

30 40 10 10

- 85 -

Çch tÝnh X vµ S2

Cho mÉu (x1,x2,…,xk) quan s¸t tõ ®¹i lîng ngÉu nhiªn X. Khi ®ã:

22

1

2

11

11)X(xm

nS;xm

nX;nm i

k

ii

k

iii

k

ii

Ta cã thÓ lËp b¶ng ®Ó tÝnh çc tham sè mÉu nh sau:

ix im 2ix iixm

im2ix

n

Tõ b¶ng trªn ta tÝnh ®îc:

22

1

2

1

11)X(xm

nS;xm

nX i

k

ii

k

iii

Trong viÖc tÝnh to¸n b»ng çc ph¬ng tiÖn th« s¬, th× viÖc lËp b¶ng tÝnh vµ thu gän sè liÖu vÉn rÊt quan träng.

VÝ dô 7: Trë l¹i sè liÖu ®îc cho trong vÝ dô 2:

Gäi X lµ lîng Glucoza trong m¸u (mg%) a) TÝnh träng lîng Glucoza trung b×nh b) TÝnh ph¬ng sai mÉu, ®é lÖch chuÈn mÉu.

Theo sè liÖu ®· cho. Ta cã b¶ng tÝnh sau:

Çc kho¶ng Glucoza

im ix 2ix iixm

im2ix

60-70 1 67,5 4556,25 65,5 4556,25

70-75 0 72,5 5256,25 0 0

75-80 2 77,5 6006,25 155 12012,5

80-85 5 82,5 6806,25 412,5 34031,25

85-90 8 87,5 7656,25 700 61250

90-95 16 92,5 8556,25 1480 136900

95-100 18 97,5 9506,25 1755 171112,5

100-105 17 102,5 10506,25 1742,5 178606,3

105-110 16 107,5 11556,25 1720 184900

110-115 9 112,5 12656,25 1012,5 113906,3

115-120 5 117,5 13806,25 587,5 69031,25

120-125 2 122,5 15006,25 245 30012,5

125-130 1 127,5 16256,25 127,5 16256,25

100 1267,5 128131,3 10005 1012575

- 86 -

Ta cã: .,S.,S;,X X 76107511505100 2

4.1.3. Qui luËt ph©n phèi cña c¸c tham sè mÉu

1.§Þnh lý 1

Gi¶ sö mÉu ngÉu nhiªn lÊy tõ 1 tæng thÓ cã ph©n phèi chuÈn X~N .n

ζ,a

2

2. §Þnh lý 2

Gi¶ sö X lµ trung b×nh mÉu kÝch thíc n, lÊy tõ 1 tæng thÓ cã kú väng a

vµ ph¬ng sai 2ζ . Khi ®ã ph¬ng sai cña X nhá h¬n n lÇn ph¬ng sai cña biÕn thµnh phÇn.

Ta cã thÓ chuÈn ho¸ X vµ ta cã: ),(N~nζ

aX10

khi n lín.

Trêng hîp ph¬ng sai 2ζ cña tæng thÓ cha biÕt, cã thÓ thay thÕ bëi

2

1

22

1

1

1)Xx(

nS

n

nS

n

ii

'

nghÜa lµ: ),(N~nS

aX'

10

khi n lín.

112

2

n

n

S

S '

khi n lín.

3. §Þnh lý 3

Kú väng cña S’2 b»ng 22'2 )S(E. .

Ta nhËn thÊy r»ng víi 2

1

2 1)Xx(

nS

n

ii

th× 22

n

1n)S(E

.

4. §Þnh lý 4

NÕu mÉu lÊy tõ tæng thÓ cã ph©n phèi N(a, 2ζ ) th× ).1n(~

S)1n 2

2

2'

5. §Þnh lý 5

NÕu lÊy mÉu tõ tæng thÓ cã ph©n phèi N(a, 2ζ ) th×

)n(Student~nS

aXT

'1

®é tù do.

6. §Þnh lý 6 (ph©n phèi hiÖu 2 trung b×nh)

Cho hai mÉu ngÉu nhiªn ®éc lËp, lÊy tõ 2 tæng thÓ;

+) MÉu I lÊy tõ tæng thÓ cã kú väng a1, ph¬ng sai 21ζ

+) MÉu II lÊy tõ tæng thÓ cã kú väng a2, ph¬ng sai 22ζ

Gäi Y,X lµ trung b×nh cña 2 mÉu.

§Æt D = YX , khi ®ã D lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn vµ

- 87 -

21 aa)Y(E)X(E)YX(E)D(ED .

.nn

)Y(Var)X(Var)YX(VarVarD2

2

2

12

D

Theo ®Þnh lý giíi h¹n trung t©m ta cã: ).,(N~ζ

DD

D

10

Trong trêng hîp hai mÉu lÊy ra cïng 1 tæng thÓ, nghÜa lµ: a1 = a2=a.

Suy ra D = 0; 22

221 ζζζ vµ ).1,0(N~

n

1

n

1

)YX(

BiÕn ngÉu nhiªn nµy rÊt thêng gÆp trong viÖc so s¸nh trung b×nh cña 2 mÉu.

7. §Þnh lý 7

NÕu mÉu dung lîng n lÊy tõ tæng thÓ theo luËt ph©n phèi N(0,1), víi tham sè p lµ x¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A vµ f lµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn A trong

mÉu. Khi ®ã ).,(N~n)p(p

pfZ 10

1

4.2. Lý thuyÕt íc lîng 4.2.1. Kh¸i niÖm vÒ íc lîng Gi¶ sö biÕn ngÉu nhiªn X cÇn nghiªn cøu cã ph©n phèi thuéc hä ph©n

phèi phô thuéc vµo tham sè θ nµo ®ã.

Khi ®ã ®Ó x¸c ®Þnh hoµn toµn ph©n phèi cña X ta ph¶i x¸c ®Þnh ®îc çc gi¸ trÞ tham sè θ. Ch¼ng h¹n ta biÕt X cã ph©n phèi Poisson, nhng tham sè λ b»ng bao nhiªu (θ chÝnh lµ λ ), hoÆc ta biÕt X cã ph©n phèi chuÈn, nhng a,

2ζ nhËn gÝa trÞ nµo th× cha râ (θ chÝnh lµ cÆp (a, 2ζ )),…

Ngay trong trêng hîp ta cha biÕt g× vÒ ph©n phèi cña X, khi ®ã biÕt ®îc çc sè ®Æc trng cña X lµ rÊt cã gi¸ trÞ.

Do ®ã viÖc t×m çc íc lîng cho çc tham sè Èn cña ph©n phèi hoÆc íc lîng cho çc sè ®Æc trng cña biÕn ngÉu nhiªn lµ bµi to¸n rÊt cÇn thiÕt.

1. Ưíc lîng ®iÓm

X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn trªn tæng thÓ. Gi¶ sö ®· biÕt d¹ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X phô thuéc vµo 1 hoÆc nhiÒu tham sè θ cha biÕt. Tõ tæng thÓ lÊy ngÉu nhiªn mét mÉu, dùa vµo mÉu ta cã thÓ lËp mét ®¹i lîng thèng kª

)x,...,x(θ n1 ®Ó thay thÕ θ. Ta sÏ ®a ra mét sè ph¬ng ph¸p tÝnh θ .

C«ng viÖc tÝnh vµ ®¸nh gi¸ θ nh trªn ®îc gäi lµ phÐp íc lîng (hay

íc lîng). θ lµ íc lîng cña θ. Trong phÇn nµy, ta sÏ ®Ò cËp ®Õn 2 bµi to¸n íc lîng cô thÓ lµ: +) C¨n cø vµo gi¸ trÞ trung b×nh cña tËp hîp mÉu ta sÏ íc lîng gÝa trÞ trung b×nh cña tæng thÓ.

- 88 -

+) C¨n cø vµo tû lÖ cña tËp hîp mÉu, ta sÏ íc lîng tû lÖ cña tæng thÓ

§Þnh nghÜa 1: §¹i lîng thèng kª )x,...,x(θ n1 ®îc chän ®Ó thay thÕ θ ®îc

gäi lµ hµm íc lîng cña θ ( hay cßn gäi lµ íc lîng c¶u θ)

NhËn xÐt:

1) θ lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn v× nã lµ mét ®¹i lîng thèng kª phô thuéc vµo mÉu ngÉu nhiªn ®îc chän ra.

2) Víi mçi gi¸ trÞ cô thÓ )x,...,x(θ n1 cña mÉu th× θ lµ mét ®iÓm trªn trôc sè

thùc, ®iÓm Êy ®îc dïng thay choθ, v× thÕ cßn gäi θ lµ íc lîng ®iÓm cña

θ, chØ phô thuéc vµo mÉu chø kh«ng phô thuéc vµo θ.

3) §Ó ®¬n gi¶n, ta cã thÓ viÕt θ thay cho )x,...,x(θ n1 .

Gi¶ sö E(X) = a; D(X) = 2ζ lµ trung b×nh vµ ph¬ng sai cña ®¹i lîng ngÉu

nhiªn X trªn tæng thÓ. 2S,X lµ trung b×nh vµ ph¬ng sai cña ®¹i lîng ngÉu

nhiªn X trªn mÉu chän ra. Khi ®ã:

+) Xa lµ íc lîng cña a

+) 22ζ Sˆ lµ íc lîng cña 2ζ VÝ dô 2: Gi¶ sö p lµ x¸c suÊt cña biÕn cè A trªn tæng thÓ, f lµ tÇn só©t cña biÕn

cè A trªn mÉu. Ta cã fp lµ íc lîng cña p.

V× θ lµ mét ®¹i lîng ngÉu nhiªn nªn cã thÓ xÐt E( θ ), D(θ ).

2. íc lîng kh«ng chÖch, íc lîng v÷ng

a) §Þnh nghÜa 2: íc lîng cña ®îc gäi lµ íc lîng kh«ng chÖch

nÕu E( )= . NÕu E( ) θ th× lµ íc lîng chÖch cña .

b) §Þnh lý 1

i) X lµ íc lîng kh«ng chÖch cña E(X) = a. ii) f lµ íc lîng kh«ng chÖch cña p

iii) S2 lµ íc lîng kh«ng chÖch cña 2ζ

c) §Þnh nghÜa 3: íc lîng cña ®îc gäi lµ íc lîng v÷ng nÕu

1)|ˆ(|P,0 limn

, nghÜa lµ héi tô theo x¸c suÊt ®Õn khi n .

d) §Þnh lý 2: 2'S,f,X t¬ng øng lµ íc lîng v÷ng cña kú väng E(X),

x¸c suÊt p, ph¬ng sai D(X) = 2ζ , ph¬ng sai hiÓu chØnh mÉu

22

1S

n

nS

'

lµ

íc lîng kh«ng chÖch cña ph¬ng sai D(X) VÝ dô 3: TiÕn hµnh ®o chiÒu cao cho 100 em häc sinh líp 3 ( 8 tuæi) ë mét trêng phæ th«ng c¬ së, ta cã kÕt qu¶ sau:

Kho¶ng chiÒu Sè em mi Kho¶ng chiÒu Sè em mi

- 89 -

cao (cm) cao (cm)

110-112 112-114 114-116 116-118 118-120

5 8 14 17 20

5 13 27 44 64

120-122 122-124 124-126 126-128

16 10 6 4

80 90 96 100

Gäi X lµ chiÒu cao cña çc em häc sinh (cm). H·y chØ ra íc lîng ®iÓm cho EX, DX vµ p =P{116 < X < 124}.

Gi¶i:

Ta tÝnh 2S,X .

.,f;,S;,SX 630100

1016201797738156152

VËy: íc lîng ®iÓm cho EX lµ 118,62.íc lîng ®iÓm cho DX lµ 15,8156.

íc lîng ®iÓm cho p lµ 0,63. VÝ dô 4: §Ó ®¸nh gÝa tû lÖ ngêi m¾c bÖnh bíu cæ ë mét vïng cao, ta chän ngÉu nhiªn vµi b¶n lµng vµ ®iÒu tra sè ngêi m¾c bªnh ë çc b¶n nµy. KÕt qu¶ cho thÊy trong sè 264 ngêi cã 156 ngêi bÞ m¾c bÖnh bíu cæ. Hái tû lÖ m¾c bÖnh bíu cæ ë vïng cao nµy lµ bao nhiªu (ta coi nh t×nh h×nh m¾c bÖnh ë çc b¶n kh¸c nhau trong vïng lµ nh nhau)?

Gi¶i:

Ta cã %,f 59590246

156 .

Ta íc lîng tû lÖ m¾c bÖnh thùc sù cña c¶ vïng lµ 59%.

2. íc lîng kho¶ng

a) Kho¶ng íc lîng

§Ó íc lîng gi¸ trÞ thùc cña tham sè θ, ta dïng mét gÝa trÞ cñ thÓ θ , theo çch lµm nµy ta kh«ng thÓ ®¸nh gi¸ ®îc sai sè cña íc lîng còng kh«ng thÓ tr¶ lêi ®îc c©u hái: íc lîng ®ã “®¸ng tin cËy” tíi møc ®é nµo. §Ó kh¾c phôc nh÷ng nhîc ®iÓm cña ph¬ng ph¸p íc lîng ®iÓm, ngêi ta ®a ra ph¬ng ph¸p íc lîng b»ng kho¶ng tiÕn hµnh nh sau: 1) Chän tríc sè 0α kh¸ nhá thêng lµ 10%, 5%, 1% Víi mçi α cho tríc, ta t×m ®îc 0ε sao cho

α)|ˆ(|P 1εθθ

(Trong ®ã θ lµ íc lîng cña θ) 2) Gi¸ trÞ ε biÓu thÞ ®é chÝnh x¸c cña íc lîng. 3) HÖ thøc trªn cã ý nghÜa nh sau:

X¸c suÊt ®Ó kho¶ng ( θ -ε , θ+ε ) chøa θ b»ng 1-α

§Þnh nghÜa 1: Gi¶ sö θ lµ íc lîng cña θ, ε lµ sai sè cho phÐp.

- 90 -

Khi ®ã x¸c suÊt γ α)|ˆ(|P 1εθθ ®îc gäi lµ ®é tin cËy cña íc lîng.

b) NhËn xÐt:

1) Kho¶ng ( θ -ε , θ+ε ) ®îc gäi lµ kh¶ng tin cËy.

2) C¸c ®iÓm θ -ε ,θ+ε lµ c¸c giíi h¹n tin cËy 3) Kho¶ng tin cËy lµ mét ®¹i lîng ngÉu nhiªn v× nã phô thuéc vµo mÉu chän ra. 4) NÕu sai sè ε cho phÐp cµng lín th× ®é tin cËy cµng cao, nghÜa lµ muèn tan¨g ®é tin cËy ph¶i gi¶m ®é chÝnh x¸c. V× thÕ ngêi ta cßn gäi ε lµ ®é chÝnh x¸c.

4.2.2. íc lîng trung b×nh

θ = a lµ trung b×nh tæng thÓ

θ = X lµ trung b×nh mÉu.

1. Trêng hîp n 30

i) BiÕt ph©n phèi cña tæng thÓ

Ta cã ),(N~nζ

aXZ 10

Ta cã )z()|a(|P α 2εX

Tõ ®ã suy ra

nz vµ a =

nzX

ii) Kh«ng biÕt ph©n phèi cña tæng thÓ.

Theo ®Þnh lý giíi h¹n trung t©m ta cã: .n

ζ,aN~X

2

NÕu biÕt 2ζ , suy ra: ),(N~n

ζ

aXZ 10

. Ta cã trêng hîp i).

NÕu cha biÕt 2ζ , th×: ),(N~n

aXZ 10

S'

. Ta cã trêng hîp i), ë ®©y thay

thÕ ζ bëi ®é lÖch chuÈn mÉu hiÓu chØnh S’.

Khi ®ã, ζ

nεza vµ a =

n

ζzX a .

VÝ dô 5: Chän ngÉu nhiªn 36 c«ng nh©n cña mét xÝ nghiÖp A thÊy l¬ng trung

b×nh lµ 280 ngµn ®ång, biÕt l¬ng c«ng nh©n tu©n theo luËt ph©n phèi b×nh thêng víi ®é lÖch chuÈn ζ =14 ngµn ®ång. Víi ®é tin cËy lµ 95%. H·y íc lîng møc l¬ng trung b×nh cña c«ng nh©n thuéc xÝ nghiÖp A.

Gi¶i:

a: L¬ng trung b×nh cña c«ng nh©n.

- 91 -

X : L¬ng trung b×nh theo mÉu.

X~N(a, 2ζ ) ),(N~nζ

aXZ 10

.

Xa .

Ta cã: )z(α)|a(|P α21εX

Suy ra 96147502

950

2,z,

,γ)z( αα (tra b¶ng Laplace).

Tõ ®ã: n

ζzXa α =280 64280

36

14,

KÕt luËn: L¬ng trung b×nh cña c«ng nh©n xÝ nghiÖp A n»m trong kho¶ng (275,4; 284,6).

VÝ dô 6: T¹i mét ®Þa ph¬ng A, chän ngÉu nhiªn 100 ngêi vÒ hu thÊy tuæi thä trung b×nh lµ 70 tuæi víi ®é lÖch chuÈn mÉu ®iÒu chØnh lµ S’=8,9 n¨m. H·y íc lîng tuæi thä trung b×nh cña ngêi vÒ hu t¹i ®Þa ph¬ng A víi ®é tin cËy 90%.

Gi¶i:

a : L¬ng trung b×nh cña c«ng nh©n.

X : L¬ng trung b×nh theo mÉu, Xa . 30n .

Suy ra X tu©n theo ph©n phèi chuÈn

),(N~naX

Z 10S'

.

Ta cã ®é tin cËy:

γ .,)z()|a(|P 902α1εX α

.,εXa 5170

VËy tuæi thä trung b×nh t¹i ®Þa ph¬ng A trong kho¶ng (68,5; 71,5). VÝ dô 7: §iÓm trung b×nh m«n To¸n cña 100 thÝ sinh thi vµo Khoa Sinh - §i¹ lµ 5 víi ®é lÖch chuÈn mÉu lµ S’=2,5 ®iÓm.

a) H·y íc lîng ®iÓm trung b×nh m«n To¸n cña toµn thÓ thÝ sinh víi ®é tin cËy 95%.

b) Víi ®é chÝnh x¸c (sai sè cho phÐp) lµ 0,25 ®iÓm. H·y x¸c ®Þnh ®é tin cËy cña íc lîng.

Gi¶i:

a) Xa =5; n=100; γ=95% .,zα 961

Tõ 5055010

529961,εXa,

),(,ε

S

nεz

'α

- 92 -

KÕt luËn: ®iÓm trung b×nh cña toµn thÓ thÝ sinh trong kho¶ng (4,5; 5,5)

b) Tõ: 152

100250

,

,ε

S

nεz

'α

%17,6834134,0)1()z(

Víi ®é chÝnh x¸c lµ 250,ε th× ®é tin cËy lµ %,γ 1768 .

VÝ dô 8: Tuæi thä cña mét lo¹i bãng ®Ìn do xÝ nghiÖp A s¶n xuÊt ®îc biÕt tu©n theo quy luËt ph©n phèi chuÈn, víi ®é lÖch chuÈn 100 giê. a) Chän ngÉu nhiªn 100 bãng ®Ó thö nghiÖm, thÊy tuæi thä trung b×nh lµ 1000 giê. H·y íc lîng tuæi thä trung b×nh cña bãng ®Ìn cña xÝ nghiÖp A s¶n xuÊt víi ®é tin cËy 95%. b) Víi ®é chÝnh x¸c lµ 15 giê, h·y x¸c ®Þnh ®é tin cËy. c) Víi ®é chÝnh x¸c lµ 25 giê vµ ®é tin cËy 95% th× cÇn thö nghiÖm bao nhiªu bãng?

Gi¶i:

a) a: Tuæi thä trung b×nh cña bãng ®Ìn do XN A s¶n suÊt

:X Tuæi thä trung b×nh dùa theo mÉu

Xa =5; n=100; =95% .,zα 961

Tõ 201000619100

100961 εXa,

)(,ε

ζ

nεzα

VËy tuæi thä trung b×nh cña bãng ®Ìn lµ (980; 1020) giê. b) Víi 25ε giê, ζ = 100 giê n = 98

Suy ra: .,,)z(,n

z 860γ43051100

10015

ζ

εαα

VËy ®é tin cËy lµ 86%.

c) Víi 15ε giê, ζ =100 giê, n=100 αz =1,96

Tõ .n;,)(,

nn

z 6284725

100961

ζ

εα

VËy víi ®é chÝnh x¸c 25 giê, ®é tin cËy 95% th× cÇn ph¶i thö nghiÖm n = 62 bãng.

2. Trêng hîp n<30:

i) Tæng thÓ tu©n theo ph©n phèi chuÈn, ph¬ng sai 2ζ ®· biÕt.

Ta cã ),(N~nζ

aXZ 10

. Khi ®ã

ζ

εα

nz

Suy ra, n

ζzXa α

- 93 -

ii) Tæng thÓ theo ph©n phèi chuÈn, ph¬ng sai cha biÕt.

Ta xÐt Student~naX

T'S

(n-1) ®é tù do. γ ).t(S)|a(|P n 1εX

Tõ 'S

nεt , suy ra

ntXa

'S

iii) Kh«ng biÕt quy luËt ph©n phèi cña tæng thÓ. Sù dông bÊt ®¼ng thøc Chebyshev.

Ta cã: 2

11

k)X(Dk|aX|P

Tõ

1

k1k

11 2

2

Suy ra n

kX)X(DkXaζ

NÕu cha biÕt 2ζ th× thay thÕ b»ng ph¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh S’:

n

SkXa

'

VÝ dô 9: Träng lîng c¸c bao bét m× t¹i mét cöa hµng l¬ng thùc tu©n theo

quy luËt ph©n phèi chuÈn. KiÓm tra 20 bao, thÊy träng lîng trung b×nh cña bao bét m× lµ 48 kg, víi ph¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh lµ S’ = 0,5 kg. Víi ®é tin cËy lµ 95%, h·y íc lîng träng lîng trung b×nh cña mét bao bét m× thuéc cöa hµng.

Gi¶i:

a: Träng lîng trung b×nh mét bao bét m× cña cöa hµng.

X : träng lîng trung b×nh mét bao bét m× theo mÉu. 2220 ζ);ζ,a(N~X;n;Xa cha biÕt.

Ta cã:

Student~naX

T'S

(n-1) ®é tù do.

Víi 039,2)19(t1%952

1

Tõ 22302

,εS

nεt

2230482230 ,,Xa

VËy, träng lîng trung b×nh cña mét bao bét m× thuéc cöa hµng trong kho¶ng (47,78;48,22) (kg).

- 94 -

VÝ dô 10: KiÓm tra chÊt lîng 15 TV cña mét hµng A, thÊy tuæi thä trung

b×nh lµ 8900 giê, ®é lÖch chuÈn mÉu ®iÒu chØnh lµ 500 giê. Víi ®é tin cËy lµ 90%, h·y íc lîng tuæi thä trung b×nh cña TV thuéc h·ng A.

Gi¶i:

8900 X;Xa giê; S’=500 giê; %γ 90

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Chebyshev, ta cã

2

11

kn

Sk|aX|P

'

Tõ 162310101

1γ 2

2,kk

k

Suy ra 4088900 n

SkXa

'

VËy tuæi thä trung b×nh n»m cña TV n»m trong kho¶ng (8492, 9308) giê. VÝ dô 11: Mét gièng lóa míi ®îc trång t¹i mét ®Þa ph¬ng A, n¨ng suÊt lóa tu©n theo quy luËt chuÈn. a) Trong thêi gian ®Çu gÆt ®îc 10 mÉu thÊy n¨ng suÊt trung b×nh lµ 2,5 tÊn/mÉu, ®é lÖch chuÈn mÉu ®iÒu chØnh S’=1,08 tÊn. H·y íc lîng n¨ng suÊt trung b×nh cña gièng lóa míi nµy víi ®é tin cËy 90%. b) Víi ®é chÝnh x¸c lµ 0,78, h·y x¸c ®Þnh ®é tin cËy.

Gi¶i:

a) 52,X;Xa tÊn/mÉu; S’=1,08 tÊn; n=10

Ta cã Student~naX

T'S

9 ®é tù do.

Víi 62,0%90

Suy ra 62052 ,,εXa

VËy n¨ng suÊt trung b×nh cña gièng lóa míi trong kho¶ng (1,88:3,12) (tÊn/mÉu) b) Víi 780,ε tÊn, S’=1,08 tÊn; n=10

Ta cã %γ,,

,

S

nt

'95282

081

10780

VËy, ®é tin cËy lµ 95%.

4.2.3. íc lîng tØ lÖ

θ=p: tØ lÖ tæng thÓ

θ=f: tØ lÖ mÉu

- 95 -

Gi¶ sö X lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn cã ph©n phèi Bernoulli X~B(1,p). Khi

®ã c¸c ®Æc trng mÉu t¬ng øng lµ n

)p(p)X(D;p)X(E;f

n

mX

1. NÕu

chän thèng kª n)f(f

pfz

1. Khi n kh¸ lín ).,(NZ

L10

1. Trêng hîp 30n :

Ta cã: )z(2)|fp(|P

Víi )f(f

nεz

1

VÝ dô 1: T¹i mét ®Þa ph¬ng th¨m dß 100 hé d©n, thÊy cã 60 hé cã TV a) Víi ®é tin cËy 90%, h·y íc lîng tØ lÖ hé cã TV t¹i ®i¹n ph¬ng. b) Víi ®é chÝnh x¸c 0,1 h·y x¸c ®Þnh ®é tin cËy.

Gi¶i:

a) fp

f = 0,06 lµ tØ lÖ hé d©n cã TV theo mÉu %90 651,t

Tõ 0801

ε,ε

)f(f

nz

Suy ra: 080600 ,,εfp

VËy tØ lÖ hé d©n cã TV : 0,52<p<0,68 b) Víi 1006010 n,,f,,ε

Ta cã 0421

ε,

)f(f

nz

%,,γ,)z( 86959586047930

VËy ®é tin cËy lµ 95%.

VÝ dô 2: §Ó íc lîng tØ lÖ s¶n phÈm xÊu cña mét kho ®å hép, ngêi ta kiÓm

tra ngÉu nhiªn 100 hép thÊy cã 10 hép xÊu. a) H·y íc lîng tØ lÖ s¶n phÈm xÊu cña kho víi ®é tin cËy 95%. b) Víi ®é chÝnh x¸c lµ %ε 3 , h·y x¸c ®Þnh ®é tin cËy. c) NÕu ®é tin cËy lµ 90%, ®é chÝnh x¸c lµ 0,05 cÇn ph¶i kiÓm tra bao nhiªu hép, víi tØ lÖ s¶n phÈm xÊu kho¶ng 10%.

Gi¶i:

a) Víi 9619510010 ,z%γ;n;,fp

Tõ 060100601

ε,,p,ε

)f(f

nz

VËy tØ lÖ s¶n phÈm xÊu cña toµn kho trong kho¶ng 0,04<p<0,16.

- 96 -

b) Víi 030,ε

Ta cã .,γ,)z()f(f

nz 6803401

1

ε

KÕt luËn ®é tin cËy lµ 68%. c) Víi .65,1z45,0)z(1,0f;05,0%;90

Tõ 981

ε

n

)f(f

nz

VËy cÇn kiÓm tra 98 s¶n phÈm VÝ dô 3: T¹i mét ®Þa ph¬ng, kiÓm tra 100 em bÐ thÊy 60 em ®· chÝch ngõa b¹i liÖt. a) Víi ®é tin cËy 99%, h·y íc lîng tû lÖ trÎ em trong ®é tuæi ®· ®îc chÝch ngõa b¹i liÖt t¹i ®Þa ph¬ng. b) Víi ®é chÝnh x¸c lµ 10%, h·y x¸c ®Þnh ®é tin cËy.

Gi¶i:

a) Víi 99100600 γ;n;,fp

Suy ra z = 2,58

Tõ )f(f

nεz

1130,ε

Suy ra: 13060 ,,p

VËy tØ lÖ trÎ em trong ®é tuæi ®· ®îc chÝch ngõa trong kho¶ng : 0,47<p<0,73. b) Víi ε =0,1

Ta cã: )f(f

nεz

1=2,04

.,γ,)z( 9586047930

VËy ®é tin cËy lµ 95,86%.

VÝ dô 4: §Ó íc lîng sè ç trong hå.

LÇn I: ngêi ta vít lªn 100 con ç, ®eo vßng cho chóng, råi th¶ l¹i vµo hå. LÇn II: ngêi ta vít lªn 100 con ç, thÊy cã 20 con ç ®eo vßng. H·y íc lîng sè ç trong hå víi ®é tin cËy lµ 90%.

Gi¶i:

Gäi N lµ sè ç trong hå.

Np

100 : Tû lÖ sè ç cã ®eo vßng trong hå.

100

20f : Tû lÖ ç ®eo vßng ®îc vít ë lÇn II.

,fp víi %γ 90 z=1,65

- 97 -

Tõ )f(f

nεz

10660,ε

Suy ra .,,p 066020

VËy, tû lÖ sè c¸ ®eo vßng trong hå trong kho¶n: 0,134<p<0,266.

.N,N

, 7473762660100

1340

VËy, sè c¸ trong hå trong kho¶ng: (376-747) con.

Tãm t¾t íc lîng trung b×nh: Xa

Tæng thÓ KÝch

thíc mÉu

®· biÕt 2ζ Cha biÕt 2ζ

X~N(a,2ζ ) 30n

nzXa

ζ

nzXa

'S

n<30

nzXa

ζ

ntXa

'S

Kh«ng biÕt quy luËt ph©n phèi

30n

nzXa

ζ

nzXa

'S

n<30

nkXa

ζ

nkXa

'S

+) íc lîng tû lÖ: .fp

+) n > 30: p=f n

)f(fz

1

VÒ íc lîng trung b×nh cã 3 bµi to¸n sau:

i) Cho ®é tin cËy γ , kÝch thíc mÉu n, ph¬ng sai 2ζ ( hoÆc ph¬ng sai mÉu

S’2 ). TÝnh ®é chÝnh x¸c ε , kho¶ng tin cËy.

ii) Cho biÕt ®é chÝnh x¸c ε , kÝch thíc mÉu n, ph¬ng sai 2ζ ( hoÆc ph¬ng

sai mÉu S’2 ). T×m ®é tin cËy.

iii) Cho biÕt ®é tin cËy γ , ®é chÝnh x¸c ε , ph¬ng sai 2ζ ( hoÆc ph¬ng sai

mÉu S’2 ). T×m kÝch thíc mÉu

- 98 -

VÒ íc lîng tû lÖ cã 3 bµi to¸n sau:

i) Cho ®é tin cËy γ , kÝch thíc mÉu n, x: sè lÇn xuÊt hiÖn A trong mÉu. TÝnh ®é chÝnh x¸c ε , kho¶ng tin cËy.

ii) Cho biÕt ®é chÝnh x¸c ε , kÝch thíc mÉu n, x: sè lÇn xuÊt hiÖn A trong mÉu. T×m ®é tin cËy.

iii) Cho biÕt ®é tin cËy γ , ®é chÝnh x¸c ε , tû lÖ cÇn íc lîng. T×m kÝch thíc mÉu n.

Bµi tËp ch¬ng 4 1) Quan s¸t chiÒu cao X (cm) vµ søc nÆng Y (kg) cña 200 ngêi, ®Æt:

2

55

5

155

Yy;

Xx . Ta tÝnh ®îc

11385605422070 22 y;xy;x;y;x

T×m kho¶ng íc lîng chiÒu cao vµ c©n nÆng trung b×nh ë ®é tin cËy 0,95.

2) Ta muèn íc lîng tû lÖ viªn thuèc bÞ søt mÎ p cña mét m¸y dËp viªn A.

a) Ph¶i quan s¸t Ýt nhÊt mÊy viªn ®Ó sai sè íc lîng kh«ng qu¸ 0,03 ë ®é tin cËy 0,95. b) Quan s¸t ngÉu nhiªn 150 viªn tõ m¸y dËp ®ã th× thÊy cã 15 viªn bÞ søt mÎ. T×m kho¶ng íc lîng cña tû lÖ viªn thuèc bÞ søt mÎ víi ®é tin cËy 0,95. Trong trêng hîp nµy nÕu muèn sai sè íc lîng kh«ng vît qu¸ 0,03, ë ®é tin cËy 0,95 th× ph¶i quan s¸t bao nhiªu trêng hîp.

3) Quan s¸t chiÒu cao X(cm) vµ søc nÆng Y(kg) cña 150 ngêi råi thu gän sè

liÖu b»ng c¸ch ®æi biÕn sè:

5

55

5

160

Yy;

Xx . Ta tÝnh ®îc

40058015009018 22 y;xy;x;y;x

T×m kho¶ng íc lîng chiÒu cao vµ c©n nÆng trung b×nh ë ®é tin cËy 0,95.

4) Quan s¸t chiÒu cao X (cm) vµ søc nÆng Y (kg) cña mét sè ngêi, ta ghi

nhËn:

Y X

38-42 42-46 46-50 50-54 54-58 58-62 62-66

140-145 145-150 150-155 155-160 160-165

1 2 2 1 1 3 2 1 1 4 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 2 1

- 99 -

165-170 1 1 5 2

T×m kho¶ng íc lîng cho )Y(μ);X(μ ë ®é tin cËy 0,95.

5) Quan s¸t ngÉu nhiªn 180 trÎ em ë vïng A, thÊy cã 27 trÎ em suy dinh

dìng. H·y íc lîng tû lÖ p cña trÎ em bÞ suy dinh dìng ë vïng A víi ®é tin cËy 95% vµ 99%. NÕu muèn sai sè íc lîng kh«ng qu¸ 0,02 ë ®é tin cËy 95% th× quan s¸t mÉu Ýt nhÊt mÊy trêng hîp?

6) Ta muèn íc lîng tû lÖ p cña bÖnh B ë TPHCM. NÕu muèn sai sè íc

lîng kh«ng vît qu¸ 0,03 ë ®é tin cËy 0,95 th× quan s¸t mÉu Ýt nhÊt m©ý ngêi? Quan s¸t ngÉu nhiªn 180 ngêi, thÊy cã 25 ngêi m¾c bÖnh B: a) H·y íc lîng p víi ®é tin cËy 0,95 b) NÕu muèn sai sè íc lîng kh«ng qu¸ 0,03 ë ®é tin cËy 0,95 th× quan s¸t mÉu Ýt nhÊt mÊy ngêi?

7) Quan s¸t ngÉu nhiªn 200 lä tõ mét l« thuèc, ta thÊy cã 38 lä háng,

T×m kho¶ng tin cËy 95% cña tû lÖ thuèc háng cña l« thuèc ®ã. Víi ®é tin cËy 95% nÕu muèn sai sè íc lîng kh«ng qu¸ 1% th× cì mÉu tèi thiÓu lµ bao nhiªu?

- 100 -

Ch¬ng 5: kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt

5.1. Kh¸i niÖm Trong thùc tÕ s¶n xuÊt vµ nghiªn cøu ta thêng gÆp vÊn ®Ò: ph¶i nhËn ®Þnh xem mét gi¶ thuyÕt H0 nµo ®ã ®óng hay sai.

VÝ dô 1: KiÓm tra chÊt lîng s¶n phÈm cña mét xÝ nghiÖp. Ban Gi¸m ®èc b¸o ço tû lÖ s¶n phÈm xÊu cña xÝ nghiÖp lµ 1%. Bµi to¸n ®Æt ra lµ ta b¸c bá hay chÊp nhËn b¸o ço ®ã, nghÜa lµ chÊp nhËn hay b¸c bá gi¶ thuyÕt: H0: p=1% P: tû lÖ s¶n phÈm xÊu cña tæng thÓ H0: ®îc gäi lµ gi¶ thuyÕt thèng kª.

VÝ dô 2: Mét ®Þa ph¬ng b¸o ço n¨ng suÊt lóa t¹i ®i¹ ph¬ng lµ 3 tÊn/mÉu.

ChÊp nhËn hay b¸c bá gi¶ thuyÕt : H0: a = 3 tÊn/mÉu. a: n¨ng suÊt lóa

VÝ dô 3: So s¸nh chiÒu cao trung b×nh cña 2 thÕ hÖ cha, con (ë tuæi trëng thµnh). H0: a1=a2 a1 : ChiÒu cao trung b×nh cña thÕ hÖ cha a2 : ChiÒu cao trung b×nh cña thÕ hÖ con. ChÊp nhËn hay b¸c bá gi¶ thuyÕt chiÒu cao trung b×nh cña thÕ hÖ cha vµ con kh«ng thay ®æi.

VÝ dô 4: Çc b¸c sÜ cÇn so s¸nh 2 ph¬ng ph¸p ®iÒu trÞ bÖnh k. Xem ph¬ng ph¸p nµo cã hiÓu qu¶. H0: p1=p2

p1: Tû lÖ khái bÖnh khi ®iÒu trÞ b»ng ph¬ng ph¸p I p2 :Tû lÖ khái bÖnh khi ®iÒu trÞ b»ng ph¬ng ph¸p II. ChÊp nhËn hay b¸c bá gi¶ thuyÕt: 2 ph¬ng ph¸p kh«ng kh¸c nhau. ViÖc chÊp nhËn hay b¸c bá gi¶ thuyÕt H0 trong thèng kª goÞ lµ kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt. Trong ph¬ng ph¸p thèng kª to¸n häc ngêi ta kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt H0 th«ng qua viªc quan s¸t mÉu ngÉu nhiªn lÊy tõ tæng thÓ. Sau ®ã dùa trªn mét tiªu chuÈn kiÓm tra gi¶ thuyÕt thèng kª ®Ó chÊp nhËn hay b¸c bá H0. Bµi to¸n kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª tæng qu¸t ®îc ®Æt díi d¹ng sau: +) ThiÕt lËp gi¶ thuyÕt H0 vµ ®èi thuyÕt H1. +) GØa sö gi¶ thuyÕt H0 ®óng vµ tõ ®ã x©y dùng mét tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh. +) Trong qu¸ tr×nh kiÓm ®Þnh cã thÓ m¾c ph¶i 2 lo¹i sai lÇm:

Sai lÇm lo¹i 1: Ta b¸c bá gi¶ thuyÕt H0 ( nghÜa lµ chÊp nhËn H1) mÆc dï H0

®óng. Sai lÇm nµy ®îc ®Æc trng bëi x¸c suÊt P (b¸c bá H0/H0 ®óng)

Sai lÇm lo¹i 2: Ta chÊp nhËn gi¶ thuyÕt H0 tuy r¨ng H0 sai. Sai lÇm nµy ®îc

®Æc trng bëi x¸c suÊt P (chÊp nhËn H0/H0 sai).

- 101 -

Hai sai lÇm nµy m©u thuÉn víi nhau: Ch¼ng h¹n muèn gi¶m sai lÇm lo¹i 2, nghÜa lµ h¹n chÕ sù chÊp nhËn H0, nhng lµm nh thÕ kh¶ n¨ng b¸c bá H0 khi H0 ®óng sÏ t¨ng lªn, tøc lµ kh¶ n¨ng m¾c sai lÇm lo¹i 1 sÏ t¨ng lªn. V× thÕ ngêi ta t×m c¸c tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh sao cho khi ¸p dông tiÓu chuÈn nµy th× x¸c suÊt m¾c sai lÇm lo¹i 1 sÏ nhá h¬n mét møc quy ®Þnh trø¬c, vµ x¸c suÊt m¾c sia lÇm lo¹i 2 sÏ bÐ mét c¸ch hîp lý. Tõ ®ã ngêi ta coi tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh lµ chÊp nhËn ®îc nÕu sai lÇm lo¹i 1 bÐ h¬n mét sè α cho tríc. NghÜa lµ P(B¸c bá H0/H0 ®óng) α .

α: gäi lµ møc cã ý nghÜa, ®îc Ên ®Þnh kh¸ nhá, thêng lµ α=5%. §iÒu nµy cã nghÜa lµ nguy c¬ ®Ó b¸c bá H0

khi H0 ®óng cã x¸c suÊt nhá h¬n hoÆc b»ng 5%. Trong thùc tÕ tuú theo tõng trêng hîp cô thÓ ta cã thÓ lÊy α ë møc 5%, 1%.

5.2. So s¸nh gi¸ trÞ trung b×nh

5.2.1. So s¸nh trung b×nh mÉu víi trung b×nh lý thuyÕt

1. Trêng hîp cì mÉu n 30

Ph¬ng sai 2ζ ®· biÕt

V× n 30 , ph©n phèi chuÈn ®îc dïng ®Ó kiÓm tra gi¶ thuyÕt vÒ trung b×nh lý thuyÕt a. ThiÕt lËp gi¶ thuyÕt H0: a = a0. §èi thuyÕt H1:a a0

X : trung b×nh mÉu, α: møc cã ý nghÜa.

Víi møc cã ý nghÜa α ta cã thÓ tÝnh ®îc 2 gi¸ trÞ giíi h¹n 1X , 2X

Suy ra : 21 XXX lµ miÒn chÊp nhËn H0

Vµ 1XX , XX 2 lµ miÒn b¸c bá H0

Ta cã P(B¸c bá H0/H0 ®óng) α . T¬ng ®¬ng: P(chÊp nhËn H0/H0 ®óng) α1 . Gi¶ sö H0 ®óng.

Ta cã ).,(N~nζ

aX10

§Æt .naX

Zζ

Tõ P( 21 XXX ) =1-α suy ra miÒn chÊp nhËn H0 ®îc

x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc:

ααα zα)z(α)z|Z(|P 11 ( tra b¶ng Laplace)

TÝnh nζ

|aX||Z|Z

.

- NÕu αzz : chÊp nhËn H0

- 102 -

- NÕu αzz : B¸c bá H0.

VÝ dô 5: Gi¸m ®èc cña mét xÝ nghiÖp cho biÕt l¬ng trung b×nh cña mét c«ng

nh©n thuéc xÝ nghiÖp lµ 260 ngµn ®ång/ th¸ng. Chän ngÉu nhiªn 36 c«ng nh©n thÊy l¬ng trung b×nh lµ 240 ngµn / th¸ng, víi ®é lÖch chuÈn 43ζ ngµn. B¸o c¸o cña gi¸m ®èc cã tin cËy kh«ng , víi møc cã ý nghÜa lµ α=5%?

Gi¶i:

§Æt

o X : l¬ng trung b×nh dùa trªn mÉu. o A: l¬ng trung b×nh thËt sù o a0: l¬ng trung b×nh theo gi¸m ®èc. LËp gi¶ thuyÕt: H0: a = 260 ngµn (cã nghÜa l¬ng trung b×nh thùc sù kh«ng kh¸c l¬ng trung b×nh theo lêi gi¸m ®èc). H1: a 260 ngµn

Víi α=5% αz =1,96.

TÝnh 792ζ

,n|aX|

Z

Suy ra αzz .

NÕu b¸c bá gi¶ thuyÕt H0. Cã nghÜa lµ l¬ng trung b×nh thùc sù kh¸c víi l¬ng trung b×nh theo lêi gi¸m ®èc. VËy lêi gi¸m ®èc kh«ng ®¸ng tin cËy.

Chó ý: Trêng hîp 2ζ cha biÕt thay thÕ bëi S’2 ph¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh.

VÝ dô 6: ë thËp niªn 70, träng lîng trung b×nh cña thanh niªn løa tuæi 20 lµ

42 kg. Nay ®Ó x¸c ®Þnh l¹i träng lîng Êy ngêi ta chän ngÉu nhiªn 100 thanh niªn ®o träng lîng vµ ®îc träng lîng trung b×nh lµ 48 kg, víi ph¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh S’2 = 15 kg)2. Träng lîng sinh viªn hiÖn nay ph¶i ch¨ng cã khuynh híng t¨ng, víi møc cã ý nghÜa lµ 5%?

Gi¶i:

§Æt a: trong luîng trung b×nh cña sinh viªn hiÖn nay.

0a : träng lîng trung b×nh cña thanh niªn thËp niªn 70.

X : träng lîng trung b×nh cña thanh niªn theo mÉu. LËp gi¶ thuyÕt: H0: a= 42 kg (Träng lîng trung b×nh c¶u thanh niªn kh«ng ®æi) H1: a 42 kg.

Víi α=5% αz =1,96.

TÝnh 410015

4248

ζ

||n

|aX|Z

Suy ra αzz b¸c bá gi¶ thuyÕt H0.

VËy, träng lîng trung b×nh cña thanh niªn hiÖn nay cã khuynh híng t¨ng.

- 103 -

2. Trêng hîp cì mÉu n < 30:

Tæng thÓ tu©n theo ph©n phèi chuÈn, 2ζ ®· biÕt. ThiÕt lËp gi¶ thuyÕt H0: a = a0 §èi thuyÕt H1:a a0

§Æt naX

Zζ

Khi ®ã Z tu©n theo ph©n phèi chuÈn N(0,1). Víi møc cã ý nghÜa lµ α miÒn chÊp nhËn H0 ®îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc:

α21 z)z(α)z|Z(|P αα

o TÝnh : n|aX|

Zζ

o NÕu αzz : chÊp nhËn H0

o NÕu αzz : B¸c bá H0.

VÝ dô 7: Mét lo¹i bãng ®Ìn ®îc cho biÕt tuæi thä trung b×nh lµ 4.200 giê,

kiÓm tra ngÉu nhiªn 10 bãng thÊy tuæi thä trung b×nh lµ 4000 giê, víi ®é lÖch chuÈn ζ=200 giê, tuæi thä bãng ®Ìn ®îc biÕt tu©n theo luËt ph©n phèi chuÈn. Víi møc ý nghÜa lµ 5%, tuæi thä thËt sù cña bãng ®Ìn cã ph¶i lµ 4 200 giê?

Gi¶i:

§Æt a: tuæi thä trung b×nh cña bãng ®Ìn. a0 : tuæi thä trung b×nh ®îc biÕt

X : tuæi thä trung b×nh theo mÉu. LËp gi¶ thuyÕt: H0: a= 4 200 giê H1: a 4 200 giê.

Víi n=10; α=5% αz =1,96.

TÝnh .,||

n|aX|

Z 16310200

42004000

ζ

Suy ra αzz b¸c bá gi¶ thuyÕt H0.

VËy, tuæi thä thËt sù cña bãng ®Ìn kh«ng ph¶i lµ 4200 giê.

Chó ý: NÕu cha biÕt ph¬ng sai 2ζ , thay thÕ bëi ph¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh

S’2( sù dông ph©n phèi student). VÝ dô 8: Mét cöa hµng thùc phÈm nhËn thÊy thêi gian võa qua trung b×nh 1

kh¸ch hµng mua 15 ngµn ®ång thùc phÈm. TuÇn nµy cöa hµng chän ngÉu nhiªn 15 kh¸ch hµng thÊy trung b×nh 1 kh¸ch hµng mua 14 ngµn ®ång thùc phÈm víi ph¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh lµ S’2=(2ngµn)2, cho biÕt søc mua cña kh¸ch hµng tu©n theo ph©n phèi chuÈn. Víi møc ý nghÜa lµ 5%, søc mua cña kh¸ch hµng hiÖn nay cã thùc sù gi¶m sót?

- 104 -

Gi¶i:

§Æt a: Søc mua trung b×nh hiÖn nay cña kh¸ch hµng. a0 :søc mua trung b×nh tríc ®©y

X : søc mua trung b×nh hiÖn nay theo mÉu. LËp gi¶ thuyÕt: H0: a= 15 ngµn ( søc mua kh«ng thay ®æi) H1: a 15 ngµn.

Víi n=15; α=5% αt =2,14.

TÝnh .,||

n|aX|

t 941152

1514

S'

Suy ra αtt , ta chÊp nhËn H0.

VËy, søc mua cña kh¸ch hµng kh«ng ®æi.

5.2.2. So s¸nh 2 trung b×nh quan s¸t trªn 2 mÉu

Trong thùc tÕ ta thêng gÆp bµi to¸n so s¸nh 2 gÝa trÞ trung b×nh.

VÝ dô 1: So s¸nh sù t¨ng träng cña 2 lo¹i gµ. So s¸nh n¨ng suÊt lao ®éng do 2 ph¬ng ph¸p kü thuËt ®a l¹i… Khi ®ã ®Ó kiÓm ®Þnh ngêi ta tiÕn hµnh lÊy mÉu vµ so s¸nh hai gi¸ trÞ trung b×nh mÉu, tõ ®ã dùa vµo tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh, kÕt luËn thùc chÊt hai trung b×nh kh¸c hoÆc gièng nhau.

1. Trêng hîp mÉu lín: 3030 21 n,n .

Quan s¸t 2 mÉu lÊy tõ 2 tæng thÓ: 211 ζ,a : trung b×nh vµ ph¬ng sai cña tæng thÓ A

222 ζ,a : trung b×nh vµ ph¬ng sai cña tæng thÓ B

1X : trung b×nh mÉu lÊy tõ tæng thÓ A

n1: kÝch thíc mÉu A.

2X : trung b×nh mÉu lÊy tõ tæng thÓ B

n2: kÝch thíc mÉu B. ThiÕt lËp gi¶ thuyÕt: H0: a1= a2 ( hai trung b×nh kh«ng kh¸c nhau) H1: a1 a1. α: møc cã ý nghÜa.

§· biÕt 21ζ

22ζ, .

V× n1, n2 > 30 1X , 2X tu©n theo ph©n phèi chuÈn.

- 105 -

Suy ra D = 1X - 2X còng cã ph©n phèi chuÈn víi trung b×nh b»ng kh«ng vµ

ph¬ng sai: 2

2

2

1

2

12

Dnn

. §Æt

2

2

2

1

2

1

21

n

ζ

n

ζ

|XX|Z

khi ®ã Z ~ N(0,1).

Tõ møc ý nghÜa α. Suy ra miÒn chÊp nhËn H0 ®îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc:

P(|Z|< αz ) =1- α αz .

TÝnh

2

22

1

21

21

ζζ

nn

|XX|Z

o NÕu αzz : chÊp nhËn H0

o NÕu αzz : B¸c bá H0.

VÝ dô 2: Chän ngÉu nhiªn 80 bãng ®Ìn cña xÝ nghiÖp A thÊy tuæi thä trung

b×nh lµ 1,258 giê, ®é lÖch chuÈn 941 ζ giê. Chän ngÉu nhiªn 60 bãng ®Ìn

cña xÝ nghiÖp B thÊy tuæi thä trung b×nh lµ 1,029 giê, 2ζ =68 giê. Víi møc cã

ý nghÜa lµ 5%, h·y kiÓm ®Þnh cã ph¶i thùc sù tuæi thä cña 2 lo¹i bãng ®Ìn kh¸c nhau?

Gi¶i:

LËp gi¶ thuyÕt: H0: a1= a2 (tuæi thä hai bãng ®Ìn nh nhau) H1: a1 a1.

a1: tuæi thä trung b×nh cña bãng ®Ìn XN A a2 : tuæi thä trung b×nh cña bãng ®Ìn XN B

1X =1,258 giê, 2X = 1,029 giê; víi α=5% αz =1,96.

TÝnh : .,|,,|

nn

|XX|Z 7316

60

68

80

94

02912581

ζζ 22

2

22

1

21

21

αzZ . Ta b¸c bá gi¶ thuyÕt H0.

VËy, tuæi thä cña bãng ®Ìn XN A lín h¬n tuæi thä cña bãng ®Ìn XN B.

Chó ý: NÕu 21 ζ,ζ cha biÕt th× thay thÕ bëi ph¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh.

VÝ dô 3: Nhµ to¸n häc Pearson muèn so s¸nh chiÒu cao cña thÕ hÖ cha vµ con ë løa tuæi ®· trëng thµnh, «ng ®· ®o chiÒu cao cña 1078 ngêi cha vµ 1078 ngêi con ®· trëng thµnh, ®îc sè liÖu sau:

Cha: 1X =171,98 cm, 'S1 =47,74 cm

Con: 2X =174,42 cm, '

S 2 =49,03 cm

- 106 -

Víi møc cã ý nghÜa lµ 1%, h·y kiÓm ®Þnh xem chiÒu cao cña thÕ hÖ cha vµ thÕ hÖ con cã kh¸c nhau?

Gi¶i:

LËp gi¶ thuyÕt: H0: a1= a2 (chiÒu cao trung b×nh cña 2 thÕ hÖ kh«ng kh¸c nhau) H1: a1 a1.

víi =1% αz =2,56.

TÝnh : .,

,

,

,

,

|,,|

nn

|XX|Z 171

0781

0349

0781

7447

4217498171

ζζ 22

2

22

1

21

21

αzZ . Cha ®ñ c¬ së b¸c bá gi¶ thuyÕt H0.

VËy chiÒu cao trung b×nh cña thÕ hÖ con kh«ng cao h¬n chiÒu cao trung b×nh cña thÕ hÖ cha.

2. Trêng hîp mÉu nhá: 3030 21 n,n

Hai tæng thÓ theo ph©n phèi chuÈn cã ph¬ng sai b»ng nhau, nhng cha biÕt. 22

21

'' S,S : ph¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh.

C¸c ký hiÖu gièng nh 3.1 Ngêi ta chøng minh ®îc thèng kª

2121

222

211

21

11

2

Sn

nnnn

Sn

|XX|T

''

cã ph©n phèi Student víi ( 221 nn ) ®é tù do.

Víi møc ý nghÜa α suy ra miÒn chÊp nhËn H0 ®îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc:

αα1 tt|T|P α

o NÕu: T< αt : chÊp nhËn H0

o NÕu: T αt : b¸c bá H0

VÝ dô 4: L¬ng trung b×nh cña 10 c«ng nh©n thuéc xÝ nghiÖp A lµ 180 ngµn,

víi 'S1 =14 ngµn . L¬ng trung b×nh cña 12 c«ng nh©n thuéc xÝ nghiÖp B lµ

170 ngµn, '

S 2 =10 ngµn. Thùc sù l¬ng trung b×nh cña 2 xÝ nghiÖp cã kh¸c

nhau kh«ng, víi møc cã ý nghÜa 5%?

Gi¶i:

H0: a1= a2 (l¬ng trung b×nh cña hai xÝ nghiÖp nh nhau)

- 107 -

H1: a1 a1.

1X =180, n1= 10, 2X = 170, n2=12, víi α=5% αt =2,09 (tra b¶ng Student 20

bËc tù do). TÝnh

.,..

||

nnnn

Sn

|XX|T

''8581

12

1

10

1

20

10121410

170180

11

2

Sn 22

2121

222

211

21

Tõ ®ã T< αt : cha ®ñ c¬ së ®Ó b¸c bá H0.

VËy l¬ng trung b×nh cña hai xÝ nghiÖp nh nhau. VÝ dô 5: Theo dâi trong 15 n¨m, lîng ma trung b×nh vµo th¸ng 5 t¹i ®Þa

ph¬ng A lµ 1,94 (inch) víi ®é lÖch chuÈn mÉu 'S1 =0,45 (inch). Theo dâi

trong 10 n¨m, lîng ma trung b×nh t¹i mét ®Þa ph¬ng B vµo th¸ng 5 lµ 1,04

(inch), '

S 2 =0,26 (inch).

KiÓm ®Þnh xem ph¶i ch¨ng vµo th¸ng 5 t¹i ®Þa ph¬ng A ma nhiÒu h¬n ®Þa ph¬ng B, víi møc ý nghÜa lµ 1%.

Gi¶i:

H0: a1= a2 (lîng ma trung b×nh t¹i 2 ®Þa ph¬ng nh nhau) H1: a1 a1.

1X =1,94, n1= 15, 2X = 1,04, n2=10, víi α=1% αt =2,81 (tra b¶ng Student

23 ®é tù do).

TÝnh .,

nnnn

Sn

|XX|T

''4865

11

2

Sn

2121

222

211

21

Tõ ®ã T> αt : b¸c bá H0.

VËy vµo th¸ng 5 t¹i ®Þa ph¬ng A ma nhiÒu h¬n ®Þa ph¬ng B.

5.3. KiÓm ®Þnh tû lÖ

5.3.1. So s¸nh tû lÖ mÉu víi tû lÖ lý thuyÕt

1. Cì mÉu n30:

Tæng thÓ theo luËt ph©n phèi “0-1” víi tham sè p. P: tû lÖ lý thuyÕt F: tû lÖ mÉu +) Quy t¾c kiÓm ®Þnh ThiÕt lËp gi¶ thuyÕt:H0: p= p0 H1: p p0. α: møc cã ý nghÜa

- 108 -

NÕu H0 ®óng, khi ®ã f cã ph©n phèi nhÞ thøc víi trung b×nh p vµ ®é lÖch chuÈn

n

pq khi n lín, f cã ph©n phèi gÇn chuÈn.

§Æt )p(p

pfZ

00

0

1

khi ®ã Z~N(0,1).

Víi møc ý nghÜa α suy ra miÒn chÊp nhËn H0 ®îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc:

αα α1 zz|Z|P (tra b¶ng Laplace)

TÝnh

n)p(p

|pf|Z

00

0

1

o NÕu: Z< αz : chÊp nhËn H0

o NÕu: Z αz : b¸c bá H0

VÝ dô 6: Theo nguån tin tû lÖ hé d©n thÝch xem ch¬ng tr×nh “trong nhµ ngoµi phè” trªn TV lµ 80%. Th¨m dß 36 hé d©n thÊy cã 25 hé thÝch xem ch¬ng tr×nh nµy. Víi møc ý nghÜa lµ 5%. KiÓm ®Þnh xem nguån tin nµy cã ®¸ng tin cËy kh«ng?

Gi¶i:

H0: p = 0,8 H1: p 0,8.

α =5% αz =1,96.

F= 7036

25, (tû lÖ theo th¨m dß).

P0= 0,8 ta suy ra

511 00

0 ,n)p(p

|pf|Z

Tõ ®ã: Z< αz : chÊp nhËn H0

VËy, nguån tin ®¸ng tin cËy.

VÝ dô 7: T¹i mét tr¹i ch¨n nu«i gµ, tû lÖ gµ m¾c bÖnh K lµ 34%, sau mét thêi gian ®iÒu trÞ, ngêi ta kiÓm tra 100 con thÊy cã 20 con m¾c bÖnh K, cã thÓ kÕt luËn sù ®iÒu trÞ cã hiÓu qu¶ kh«ng? Víi møc cã ý nghÜa lµ 5%.

Gi¶i: H0: p = 30% (tû lÖ gµ bÞ bÖnh K tríc vµ sau ®iÒu trÞ kh«ng ®æi)

H1: p 30%.

α=5% αz =1,96.

p0= 0,3, f = 0,2 (tû lÖ gµ m¾c bÖnh K theo mÉu) TÝnh:

- 109 -

.,n)p(p

|pf|Z 172

1 00

0

Tõ ®ã: Z > αz : b¸c bá H0

VËy, sù ®iÒu trÞ cã hiÓu qu¶. VÝ dô 8: Nhµ to¸n häc Cramer thèng kª t¹i Thuþ §iÓn trong 88073 trÎ em míi

sinh trong 1 n¨m cã 45682 con trai. Cã thÓ kÕt luËn tû lÖ con trai lín h¬n hay tû lÖ con g¸i lín h¬n? Víi møc cã ý nghÜa lµ 1%.

Gi¶i:

H0: p = 1/2(tû lÖ sinh trai g¸i nh nhau) H1: p 1/2.

α =1% αz =2,58.

f = 518007388

68245,

.

,

TÝnh:

.,n)p(p

|pf|Z 6910

1 00

0

Tõ ®ã: Z> αz : b¸c bá H0

VËy, tû lÖ sinh con trai lín h¬n tû lÖ sinh con g¸i.

2. So s¸nh tû lÖ cña hai mÉu:

a. MÉu lín (n130; n2 30):

Tæng thÓ tu©n theo luËt ph©n phèi “0-1” víi tham sè p, (p:x¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A). MÉu I: cã tû lÖ f1, kÝch thíc n1 MÉu II: cã tû lÖ f2, kÝch thíc n2 Víi n1 , n2 lín th× f1, f2 cã ph©n phèi chuÈn, víi trung b×nh p vµ ®é lÖch chuÈn:

1

1n

pqζ ,

22ζ

n

pq

ThiÕt lËp gi¶ thuyÕt: H0: p1= p2 H1: p1 p2.

NÕu H0 ®óng, khi ®ã D = f1 - f2 cã ph©n phèi gÇn chuÈn víi trung b×nh 0 vµ ®é lÖch chuÈn

21

Dn

pq

n

pqζ

- 110 -

§Æt:

21

21

n

pq

n

pq

|ff|Z

, khi ®ã Z~N(0,1).

Tõ møc ý nghÜa lµ α suy ra miÒn chÊp nhËn H0 ®îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc :

αα α1 zz|Z|P

TÝnh :

2

00

1

00

21

n

qp

n

qp

|ff|Z

,

víi .nn

xx

nn

fnfnp

21

21

21

22110

x1,x2: lµ sè lÇn xuÊt hiÖn A trong tõng mÉu.

o NÕu: Z< αz : chÊp nhËn H0

o NÕu: Z αz : b¸c bá H0

VÝ dô 9: Tõ kho ®å hép I, lÊy ngÉu nhiªn 1000 hép ®Ó kiÓm tra thÊy cã 20 hép bÞ h. Tõ kho thø II, lÊy ngÉu nhiªn 900 hép thÊy cã 30 hép bÞ h. Hái chÊt lîng b¶o qu¶n cña 2 kho cã thùc sù kh¸c nhau hay kh«ng ? Víi møc ý nghÜa lµ 5%.

Gi¶i:

H0: p1= p2 ( tû lÖ ®å hép bÞ h ë 2 kho nh nhau). H1: p1 p2.

α = 5% αz =1,96.

p1 : tû lÖ ®å hép bÞ h ë kho I. p2 : tû lÖ ®å hép bÞ h ë kho II. f1= 0,02 : tû lÖ ®å hép bÞ h ë kho I theo mÉu. f2= 0,0333 : tû lÖ ®å hép bÞ h ë kho II theo mÉu.

.,nn

xx

nn

fnfnp 02630

9001000

3020

21

21

21

22110

TÝnh: 8081

2

00

1

00

21 ,

n

qp

n

qp

|ff|Z

Tõ ®ã Z < αz : cha ®ñ c¬ së ®Ó b¸c bá H0

VËy, hai kho b¶o qu¶n t¬ng tù nhau.

- 111 -

VÝ dô 10: BÖnh A ®îc ®iÒu trÞ theo 2 ph¬ng ph¸p. Sau mét thêi gian thÊy kÕt qu¶ nh sau: +) Trong 102 bÖnh nh©n ®îc ®iÒu trÞ theo ph¬ng ph¸p I cã 82 ngêi khái bÖnh. +) Trong 98 bÖnh nh©n ®îc ®iÒu trÞ theo ph¬ng ph¸p II cã 69 ngêi khái bÖnh. Hái hai ph¬ng ph¸p ®iÒu trÞ cã hiÓu qu¶ kh¸c nhau kh«ng?Víi møc ý nghÜa lµ 5%.

Gi¶i:

H0: p1= p2 ( tû lÖ khái bÖnh cña 2 ph¬ng ph¸p nh nhau). H1: p1 p2.

α =5% αz =1,96.

f1 = 80102

82,

f2 = 7098

69, .,

nn

xx

nn

fnfnp 750

98102

6982

21

21

21

22110

TÝnh: 641

2

00

1

00

21 ,

n

qp

n

qp

|ff|Z

Tõ ®ã Z < αz : chÊp nhËn H0

VËy, hai ph¬ng ph¸p ®iÒu trÞ cã hiÓu qu¶ nh nhau. VÝ dô 11: §Ó ®¸nh gi¸ hiÖu qu¶ cña 2 d©y chuyÒn s¶n xuÊt ngêi ta tiÕn hµnh

kiÓm tra 1000 s¶n phÈm do d©y chuyÒn I s¶n xuÊt thÊy cã 10 s¶n phÈm háng, kiÓm tra 1000 s¶n phÈm do d©y chuyÒn II s¶n xuÊt thÊy cã 8 s¶n phÈm háng. Víi møc cã ý nghÜa lµ 5%, cã thÓ kÕt luËn g× vÒ tû lÖ s¶n phÈm háng tõ hai d©y chuyÒn trªn.

Gi¶i:

H0: p1= p2 ( tû lÖ s¶n phÈm háng cña hai d©y chuyÒn nh nhau). H1: p1 p2.

=5% αz =1,96.

f1 = 0,01 : tû lÖ s¶n phÈm háng cña d©y chuyÒn I theo mÉu. f2= 0,008 : tû lÖ s¶n phÈm háng cña d©y chuyÒn II theo mÉu.

.,nn

xx

nn

fnfnp 0090

10001000

810

21

21

21

22110

- 112 -

TÝnh: 47140

2

00

1

00

21 ,

n

qp

n

qp

|ff|Z

Tõ ®ã Z < αz : chÊp nhËn H0

VËy, hai d©y chuyÒn s¶n xuÊt cã tû lÖ s¶n phÈm háng nh nhau.

5.4. Håi quy vµ t¬ng quan tuyÕn tÝnh

5.4.1. Kh¸i niÖm

Trong çc phÇn tríc, ta chØ kh¶o s¸t mét ®¹i lîng ngÉu nhiªn trªn tæng thÓ, tuy nhiªn trong thùc tÕ ®«i khi chóng ta cÇn xÐt ®ång thêi 2 ®¹i lîng ngÉu nhiªn trong mèi quan hÖ rµng buéc víi nhau trªn cïng mét tæng thÓ. §Ó minh ho¹ chóng ta xÐt çc vÝ dô sau: i) Quan hÖ gi÷a chu vi ®êng trßn Y vµ b¸n kÝnh X. ii) §é dµi ®o¹n ®êng di chuyÓn Y vµ thêi gian di chuyÓn X. iii) Gi÷a chiÒu cao X vµ søc nÆng Y cña mét ngêi. Qua çc vÝ dô trªn, chóng ta thÊy sù phô thuéc gi÷a çc ®Æc tÝnh cã thÓ thÓ hiÖn díi hai d¹ng chÝnh sau:

Sù phô thuéc hµm:

Trong vÝ dô (i) vµ (ii) cã mèi t¬ng quan gi÷a X vµ Y ®îc x¸c ®Þnh bëi çc hµm: Y = 2X Y = VX NghÜa lµ víi mçi gi¸ trÞ X = x cã t¬ng øng mét gi¸ trÞ x¸c ®Þnh Y. Ta gäi sù phô thuéc ®ã lµ sù phô thuéc hµm.

Sù phô thuéc thèng kª:

Trong vÝ dô (iii) çc ®¹i lîng ngÉu nhiªn X, Y kh«ng bÞ rµng buéc víi nhau b»ng 1 quy t¾c chÆt chÏ nh vÝ dô (i) vµ (ii), tuy nhiªn gi÷a çc ®Æc tÝnh ®ã vÉn cã mét sù t¬ng quan nhÊt ®Þnh. Khi cho X mét gi¸ trÞ x, th× Y cã thÓ nhËn nhiÒu gÝa trÞ kh¸c nhau, çc

gi¸ trÞ nµy ph©n phèi quanh gi¸ trÞ trung b×nh XY t¬ng øng víi x.

Trong trêng hîp ®ã ta nãi Y cã sù phô thuéc thèng kª ®èi víi X. Nãi kh¸c ®i sù phô thuéc thèng kª cña Y ®èi víi X biÓu hiÖn ë chç khi X thay ®æi th× ph©n phèi çc gi¸ trÞ cña Y thay ®æi. Trong trêng hîp ®Æc biÖt khi sù phô thuéc thèng kª biÓu hiÖn díi d¹ng: nÕu mét trong hai ®¹i lîng X vµ Y thay ®æi th× gÝa trÞ trung b×nh cña ®¹i lîng kia còng thay ®æi nh mét hµm cña ®¹i lîng ®ã. Khi ®ã ta nãi 2 ®¹i lîng cã t¬ng quan lÉn nhau.

VÝ dô 1: Y: s¶n lîng lóa. X: lîng ph©n bãn. Y kh«ng phô thuéc hµm ®èi víi X.

- 113 -

V× cïng mét diÖn tÝch ®Êt cïng mét lîng ph©n bãn, s¶n lîng l¸u cã thÓ kh¸c nhau. Tuy nhiªn thùc nghiÖm cho biÕt s¶n lîng trung b×nh cña lóa l¹i lµ hµm cña lîng ph©n bãn, nghÜa lµ: Y vµ X t¬ng quan lÉn nhau.

NhËn xÐt trùc quan sù phô thuéc t¬ng quan b»ng ®å thÞ ph©n t¸n

XÐt hai ®¹i lîng ngÉu nhiªn X vµ Y. Gäi xi, yi (i=1,2,…,n) lµ çc gi¸ trÞ cô thÓ cña çc ®Æc tÝnh X vµ Y. Ta biÓu diÔn mçi cÆp sè (xi, yi) bëi ®iÓm Mi trªn mÆt ph¼ng hÖ to¹ ®é vu«ng gãc xOy. Çc ®Øªm Mi lËp nªn mét “®¸m m©y thèng kª” thêng ®îc gäi lµ ®å thÞ ph©n t¸n. i) Çc ®Øªm Mi n»m s¸t theo ®êng th¼ng hay mét ®êng Parabol,… ta ph¶i nghÜ r»ng gi÷a X vµ Y cã liªn quan hµm. ii) Çc ®Øªm Mi n»m r¶i r¸c kh«ng theo mét quy t¾c nµo , ta nghÜ r»ng X, Y ®éc lËp. iii)Çc ®Øªm Mi tËp trung vµo 1 vïng nhÊt ®Þnh cã d¹ng h×nh bÇu dôc +) NÕu trôc lín cña h×nh bÇu dôc nghiªng lªn, ta cã ý nghÜ X vµ Y ®ång biÕn vµ cã t¬ng quan thuËn. +) NÕu trôc lín nghiªng xuèng, ta cã ý nghÜ X vµ Y nghÞch biÕn vµ cã t¬ng quan nghÞch. Trong ph¹m vi cña phÇn nµy, chóng ta chØ xÐt d¹ng t¬ng quan tuyÕn tÝnh.

1. M¹ng t¬ng quan – b»ng t¬ng quan - ®êng håi quy thùc

nghiÖm

a. M¹ng t¬ng quan

X vµ Y lµ hai ®¹i lîng ngÉu nhiªn trªn mét tæng thÓ. Chän ngÉu nhiªn mét kÝch thíc n. Trong ®ã (X, Y) nhËn çc gÝa trÞ (x1,y1),…,(xn,yn). S¾p xÕp vµ ®¸nh sè l¹i, chóng ta cã thÓ viÕt çc cÆp gÝa trÞ nµy cña X vµ Y vµo b¶ng sau:

X Y

x1 x2 x2i

xr ny

y1 n11 n12 n1i n1r ny1

y2 n21 n22 n2i n2r ny2

yj nj1 nj2 nji njr nþ

ys ns1 ns2 nsi nsr nþs

ns 1xn 2xn

sxn xrn n

- 114 -

B¶ng trªn gäi lµ m¹ng t¬ng quan.

VÝ dô 2: §é tuæi vµ chiÒu cao cña 100 em bÐ. X: Tuæi Y: ChiÒu cao (cm) M¹ng t¬ng quan cña X vµ Y

X Y

4 6 8 nY

80 15 8 2 25

90 10 32 13 55

100 0 5 15 20

nX 25 45 30 n=100

VÝ dô 3: Gi¸ thµnh s¶n phÈm vµ sè lîng s¶n phÈm cña 50 xÝ nghiÖp. X: sè lîng ®¬n vÞ s¶n phÈm ( chiÕc) Y: Gi¸ thµnh mét ®¬n vÞ s¶n phÈm (ngµn ®ång) M¹ng t¬ng quan cña X vµ Y.

X Y

50 100 150 200 nY

10 2 1 3

20 3 6 6 15

30 3 8 6 3 20

40 5 4 1 10

50 2 2

nX 10 15 15 10 n=50

b. B¶ng t¬ng quan

øng víi mçi gi¸ trÞ X=xi ta cã 1 d·y gÝa trÞ Y xuÊt víi nh÷ng tÇn sè kh¸c nhau, nªn ta t×m çch thay thÕ ph©n phèi çc gi¸ trÞ Y ®ã b»ng mét ®¹i lîng cã ®ñ t çch ®¹i diÖn cho chóng.

Ngêi ta sù dông XY = E (YX) lµm gÝa trÞ tiªu biÓu ®¹i diÖn cho çc gi¸

trÞ YX øng víi X=x.

§Æt g(x)= xY .

+) Hµm sè nµy ®îc gäi lµ hµm håi quy cña Y theo X.

+) Ph¬ng tr×nh : g(x)= xY ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh håi quy cña Y theo X.

+) §å thÞ cña hµm g ®îc gäi lµ ®êng håi quy cña Y theo X. T¬ng tù ta cã:

- 115 -

+) h(Y) = YX : ph¬ng tr×nh håi qui cña X theo Y

VÝ dô: XÐt ®é tuæi, chiÒu cao cña 100 em bÐ. Ta cã: ChiÒu cao trung b×nh cña mét em bÐ 4 tuæi:

+) ChiÒu cao trung b×nh cña mét em bÐ 6 tuæi:

.cm,...

Y 338945

510032908806

+) ChiÒu cao trung b×nh cña mét em bÐ 8 tuæi:

.cm,...

Y 339430

1510013902808

Suy ra b¶ng t¬ng quan cña Y theo X:

X 4 6 8

xY 84 89,33 94,33

§å thÞ: §êng håi qui thùc nghiÖm VÝ dô 4: Gi¸ thµnh s¶n phÈm vµ sè lîng s¶n phÈm. Ta cã:

....

Y 3910

25054033050

.,...

Y 673015

440830320100

.....

Y 2415

140630620210150

....

Y 2210

330620110200

B¶ng t¬ng quan cña Y theo X:

X 50 100 150 200

xY 39 30,67 24 22

§å thÞ: ®êng håi qui thùc nghiÖm.

NhËn xÐt:

.cm...

Y 8425

0100109015804

- 116 -

Çc ®iÓm cña hµm g(x)= xY qua 2 vÝ dô trªn s¾p xÕp theo mét ®êng

gÇn th¼ng, v× vËy ta cã thÓ dù ®o¸n r»ng cã thÓ xÊp xØ g(x) víi mét hµm tuyÕn

tÝnh d¹ng : bxay .

§¬ng nhiªn trong sù xÊp xØ nµy cã sù sai sè vµ ta cÇn ph¶i x¸c ®Þnh

çc gi¸ trÞ b,a sao cho sai sè bÐ nhÊt.

2. Çc çch x¸c ®Þnh ®êng håi qui tuyÕn tÝnh

Gi¶ sö çc ®Æc tÝnh ®¹i lîng X vµ Y cã håi qui tuyÕn tÝnh, khi ®ã ®êng håi qui tuyÕn tÝnh lµ ®êng th¼ng. ®Ó x¸c ®Þnh ®êng th¼ng håi qui ta thùc hiÖn n phÕp thou ®éc lËp vµ thu ®îc çc cÆp trÞ sè t¬ng øng cña (X, Y) lµ : (x1,y1),…,(xn,yn). VÊn ®Ò ®Æt ra lµ tõ çc sè liÖu ®ã h·y x¸c ®Þnh ®êng th¼ng håi qui, ë ®©y ta xÐt trêng hîp ®¬n gi¶n, mçi gÝa trÞ xi cña X chØ t¬ng øng 1 gi¸ trÞ cña Y lµ y.

V× ®êng håi qui lµ ®êng th¼ng nªn cã d¹ng: bxay .

Ta cÇn x¸c ®Þnh ®êng th¼ng thÓ hiÖn sù phô thuéc cña Y theo X dùa vµo çc cÆp (xi, yi), cã nhiÒu çch x¸c ®Þnh ®êng th¼ng ®ã, ë ®©y ta t×m ®êng th¼ng sao cho tæng b×nh ph¬ng cña çc kho¶ng çch (theo chiÒu song song víi Oy) tõ çc ®iÓm Mi(xi, yi) ®Õn ®êng ®ã bÐ nhÊt.

Bµi to¸n dÉn vÒ viÖc x¸c ®Þnh b,a sao cho tæng sau bÐ nhÊt:

§Æt : .ybxa)yy(Fn

ìiii

n

ii

2

1

2

1

Muèn thÕ ta ph¶i cã:

02

02

0δ

δ

0

1

1

n

ìii

i

n

ìii

ybxa

xybxa

b

F

aδ

Fδ

Gi¶i hÖ trªn suy ra:

n

ì

n

ìii

n

ì

n

ìi

n

ìiii

xxn

yxyxn

a

1

2

1

2

1 11

- 117 -

n

ì

n

ìii

n

ì

n

ìii

n

ìii

n

ìi

xxn

yxxyx

b

1

2

1

2

1 111

2

Ph¬ng tr×nh bxay thêng ®îc viÕt l¹i lµ:

G(x)= xY bxa . Vµ gäi lµ ph¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh mÉu.

Çch x¸c ®Þnh b,a ®îc gäi lµ ph¬ng ph¸p b×nh ph¬ng bÐ nhÊt. b,a

còng cã thÓ ®îc viÕt díi d¹ng

n

ii

n

iii

)Xx(

)Yy)(Xx(

S

Y.XXY

XX

Y.XXYa

1

2

1

222

XaYb VÝ dô 5: LËp ph¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh gi÷a ®é tuæi vµ chiÒu cao cña 100 em bÐ.

X: ®é tuæi Y: chiÒu cao (cm)

X Y

4 6 8 nY

80 15 8 2 25

90 10 32 13 55

100 0 5 15 20

nX 25 45 30 n=100

Ta cã : 655158916 ,XY;,Y;,X

192439 22 ,)X(S;,X

Suy ra 7673582673582 ,x,)x(g,b;,a lµ ph¬ng tr×nh håi qui

tuyÕn tØnh cña Y ®èi víi X.

Ta cã: 655158916 ,XY;,Y;,X

75448055 22 ,)Y(S;Y

Suy ra 1775126017751260 ,x,)y(h,b;,a lµ ph¬ng tr×nh håi

qui tuyÕn tØnh cña X ®èi víi Y. VÝ dô 6: Ph¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh cña gi¸ thµnh s¶n phÈm vµ sè lîng s¶n phÈm cña 50 xÝ nghiÖp:

X 50 100 150 200 nY

- 118 -

Y

10 0 0 2 1 3

20 0 3 6 6 15

30 3 8 6 3 20

40 5 4 1 0 10

50 2 0 0 0 2

nX 10 15 15 10 n=50

Ta cã : 32705628125 XY;,,Y;X

262518250 22 )X(S;X

Suy ra 1243116012431160 ,x,)x(g,b;,a lµ ph¬ng tr×nh

håi qui tuyÕn tØnh cña Y ®èi víi X.

NhËn xÐt :

+) Hµm sè nghÞch biÕn

+) Tõ ®ã suy ra : lîng s¶n phÈm cµng nhiÒu th× gÝa thµnh s¶n phÈm cµng

gi¶m.

+) T¬ng tù ta còng tÝnh ®îc ph¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh cña X theo Y lµ

h(y) = -3,366 y+ 221,4

3. HÖ sè t¬ng quan mÉu

X, Y lµ 2 ®¹i lîng ngÉu nhiªn rêi r¹c, hÖ sè t¬ng quan gi÷a X vµ Y lµ:

n

i

n

iii

n

iii

)Yy()Xx(

)Yy)(Xx(

)Y(S).X(S

Y.XXYr

1 1

22

1 .

+) TÝnh chÊt cña hÖ sè t¬ng quan:

11 r 1r th× X vµ Y t¬ng quan tuyÕn tÝnh r=0 th× X vµ Y kh«ng t¬ng quan tuyÕn tÝnh (®Æc biÖt nÕu thªm ®iÒu

kiÖn X vµ Y tu©n theo luËt chuÈn th× 2 biÕn sÏ trë nªn ®éc lËp ) r ®Æc trng cho mèi quan hÖ tuyÕn tÝnh gi÷a X vµ Y. Khi |r| cµng lín th×

X vµ Y cµng cã quan hÖ chÆt chÏ. +) Liªn hÖ gi÷a håi qui vµ hÖ sè t¬ng quan:

.S

Sra

X

Y

Trong ®ã r: lµ hÖ sè t¬ng quan mÉu. SX, SY: lµ c¸c ®é lÖch chuÈn mÉu (hoÆc ®é lÖch chuÈn mÉu hiÖu chØnh).

- 119 -

VÝ dô 7: HÖ sè t¬ng quan gi÷a ®é tuæi vµ chiÒu cao cña 100 em bÐ: (theo sè liÖu ë vÝ dô xÐt ë trªn).

57070,)Y(S).X(S

Y.XXYr

VÝ dô 8: HÖ sè t¬ng quan gi÷a lîng s¶n phÈm vµ gi¸ thµnh s¶n phÈm theo sè liÖu vÝ dô xÐt ë trªn.

.,)Y(S).X(S

Y.XXYr 6350

VÝ dô 9: Ngêi ta nghiªn cøu ¶nh hëng cña lîng ph©n bãn víi n¨ng suÊt lóa, lµm thÝ nghiÖm ë 100 m¶nh ruéng cã kÕt qu¶ sau:

Lîng ph©n bãn N¨ng suÊt (kg) Lóa (kg)

9-11 11-13 13-15 15-17

75-125 22

125-175 8 10 3

175-225 14 15 12

225-275 16

a) T×m ph¬ng tr×nh t¬ng quan tuyÕn tÝnh cña n¨ng suÊt ®èi víi lîng ph©n bãn. §¸nh gi¸ møc ®é chÆt chÏ cña mèi phô thuéc t¬ng quan tuyÕn tÝnh nµy. b) TÝnh n¨ng suÊt trung b×nh thùc nghiÖm víi ®iÒu kiÖn lîng ph©n bãn tõ 9kg-11kg. c) Gäi y0 lµ n¨ng suÊt tÝnh theo ph¬ng tr×nh t¬ng quan tuyÕn tÝnh mÉu víi ®iÒu kiÖn 9<x<11. Gi¶ sö dïng y0 ®Ó kÕt luËn n¨ng suÊt lóa toµn bé (víi ®iÒu kiÖn lîng ph©n bãn 9<x<11), th× cã chÊp nhËn ®îc kh«ng?

Gi¶i:

a) Ta lËp b¶ng:

X Y

10 12 14 16 nY nYY NYY2

100 22 2200 22600

150 8 10 3 21 3150 472500

200 14 15 12 41 8200 1640000

250 16 16

nX 44 25 15 16 n=100

17550

Y

2Y

3332500

nXX 440 300 210 256

1206

X

- 120 -

nXX2 4400

3600

2940

4096

15036

2

X

219900

XY

TÝnh c¸c tham sè:

.5,175;06,12100

1206

Y

n

XX

2182924061236150 2222X ,ζ,),(,)X(Xζ X

24750ζ7525245175100

3332500ζ 2222

Y ,,),()Y(Y Y

.,,.,

,.,

ζζ

Y.XXYr

YXXY 740

247502182

517506122199

T×m ph¬ng sai håi qui:

218,2

06,1274,0

247,50

5,175

ζζˆˆ

XYXXr

YYbXaY X

X

XY

Y

XX

.,X,,.,

,.,,X

,

,,YX 672676160612

2182

247507405175

2182

24750740

Gi÷a X vµ Y cã t¬ng quan thuËn (rXY > 0). §iÒu nµy còng dÔ hiÓu v× lîng ph©n bãn t¨ng th× s¶n lîng nãi chung cã xu híng t¨ng. rXY = 0,74 mèi t¬ng quan tuyÕn tÝnh còng kh«ng ®îc chÆt chÏ l¾m. b) Víi ®iÒu kiÖn 9 < X < 11, ta coi nh X = 10. Khi ®ã trung b×nh thùc nghiÖm cña Y tÝnh nh sau:

9114044

1420081502210010 ,

...Y

c) Víi ®iÒu kiÖn 9 < X < 11, ta coi nh X = 10. Tõ ph¬ng tr×nh t¬ng quan tuyÕn tÝnh mÉu ta tÝnh ®îc gi¸ trÞ trung b×nh Y:

96514067526107641610 ,,.,Y

§©y lµ bµi to¸n kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt vÒ trung b×nh víi a10 cha biÕt. Cßn theo

gi¶ thuyÕt th× trung b×nh ®ã lµ 010a =140,965.

Ta ®Æt gi¶ thuyÕt: H0: a0=010a =140,965.

Ta tiÕn hµnh kiÓm tra gi¶ thuyÕt nµy. Víi 9 < X < 11 ta cã b¶ng sè liÖu:

Yi ni

100 150 200

22 8 14

- 121 -

9114010 ,Y tÝnh ë trªn.

.3,448,1962S

1962,8

.14140,91)(200.8140,91)(150.22140,91)(10044

1

'

2222'

10

S

ë ®©y n=44> 30, ζ cha biÕt, ta tÝnh:

00810

44344

9651409114001010 ,

,

|,,|

nS

|aY|z

'

z qu¸ nhá, ta chÊp nhËn gi¶ thuyÕt vµ ®iÒu dù ®o¸n lµ ®óng.

Bµi TËp ch¬ng 5

1) §Ó íc lîng hao phÝ trung b×nh trªn 100km cña mét lo¹i m«t« ngêi ta quan s¸t 600 xe vµ thu ®îc b¶ng kÕt qu¶:

LÝt/km 1,7-1,8 1,8-1,9 1,9-2,0 2,0-2,1 2,1-2,2 2,2-2,3 2,3-2,4

Sè xe 40 60 90 120 140 100 50

Víi ®é tin cËy 95%. H·y íc lîng hao phÝ x¨ng trung b×nh trªn 100km cña lo¹i m«t« ®ã. 2) Mét h·ng phÇn mÒn tuyªn bè sÏ cung cÊp vµ cµi ®Æt s¶n phÈm cho c¸c kh¸ch hµng trong thµnh phè chËm nhÊt sau 30 phót tÝnh tõ lóc nhËn ®îc ®iÖn tho¹i ®Æt hµng. Chän mét mÉu gåm 28 kh¸ch hµng th× thÊy thêi gian cung cÊp

trung b×nh X =34,5 phót víi 'S =2,3. Cã thÓ chÊp nhËn tuyªn bè cñ h·ng ®ã

hay kh«ng (α=0,1). 3) §Þnh møc thêi gian ®Ó s¶n xuÊt 1 lo¹i s¶n phÈm lµ 45 phót. Sau c¶i tiÕn

c«ng nghÖ, ngêi ta s¶n xuÊt thö 100 s¶n phÈm th× thu ®îc X =42,5 víi 'S =1,2. Víi møc α= 0,05 cã thÓ cho r»ng c«ng nghÖ míi gi¶m b¬t thêi tian

s¶n xuÊt mét s¶n phÈm kh«ng? 4) Hai c«ng ty chÕ t¹o thuèc sóng chµo hµng. §Çu tiªn chóng ta muèn kiÓm tra xem c¸c s¶n phÈm cña hä cã cïng chÊt lîng hay kh«ng. Mét trong nh÷ng chØ tiªu ngêi ta hay quan t©m lµ tèc ®é xuÊt ph¸t cña ®¹n khi sóng ph¸t ho¶. Ë mçi c«ng ty chän ra 10 mÉu thö nghiÖm vµ kÕt qu¶ thu ®îc ë mÉu cña c«ng

ty 1: 25501210 211 'S;X , cßn ë bé mÉu thø 2 : 25501210 2

22 'S;X . Cã

thÓ kÕt luËn vÒ chÊt lîng s¶n phÈm gièng nhau cña hai c«ng ty ®ã hay kh«ng ( víi møc ),α 050 .

5) Cã hai ®Æc tÝnh X vµ Y ®o ®¹c trªn 5 phÇn tö, kÕt qu¶ nh sau:

X 1 2 3 4 5

Y 6 5 8 12 13

- 122 -

T×m ph¬ng tr×nh ®êng håi qui cña Y theo X. 6) XÐt sù liªn quan gi÷a träng lîng trÎ s¬ sinh (Ygam) vµ vßng bong s¶n phô (Xcm) trªn mét mÉu cì n=160. B»ng c¸ch ®æi biÕn sè bëi c«ng thøc:

200

3200

5

5087

Yy;

,Xx . Ta tÝnh ®îc:

5511641609316 22 y;xy;x;y;x

i) T×m kho¶ng tin cËy 95% cña träng lîng trung b×nh trÎ míi sinh. ii) Vßng bong s¶n phô víi träng lîng trÎ s¬ sinh cã thËt sù t¬ng quan kh«ng? iii) T×m ph¬ng tr×nh ®êng håi qui cña träng lîng trÎ míi sinh theo vïng bông mÑ. 7) Quan s¸t chiÒu cao X(cm) vµ søc nÆng Y(kg) cña 150 ngêi , råi thu gän sè liÖu b»ng c¸ch ®æi biÕn sè:

5

55

5

160

Yy;

Xx . Ta tÝnh ®îc

.400;580;1500;90;18 22 yxyxyx

i) T×m kho¶ng íc lîng trung b×nh cña X; Y ë ®é tin cËy 0,95. ii) TÝnh hÖ sè t¬ng quan thùc nghiÖm R(X,Y); hai biÕn X, Y cã thùc sù t¬ng quan kh«ng? iii) T×m ph¬ng tr×nh håi qui cña Y theo X. 8) Quan s¸t chiÒu cao X(cm) vµ søc nÆng Y(kg) cña mét sè ngêi ta ghi nhËn:

Y X

38- 42 42- 46 46-50 50-54 54-58 58-62 62-66

140-145 145-150 150-155 155-160 160-165 165-170

1 2 2 1 1 3 2 1 1 4 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 2 1 1 1 5 2

i) T×m kho¶ng íc lîng trung b×nh cña X; Y ë ®é tin cËy 0,95. ii) TÝnh hÖ sè t¬ng quan thùc nghiÖm R(X,Y); hai biÕn X, Y cã thùc sù t¬ng quan kh«ng? iii) T×m ph¬ng tr×nh håi qui cña Y theo X.

giaotrinhxacsuatthongke dh chu y

Documents