giorgio spinolo – scienza dei materiali - 6 marzo / 19 aprile 2007 – corsi ordinari iuss laser...

Giorgio SPINOLO – Scienza dei Materiali - 6 marzo / 19 aprile 2007 – Corsi ordinari IUSS

Laser

Un breve presentazione


Laser

Decadimento radiativo (approccio di Einstein)

Interazione della luce con Ntotale atomi identici.

Due livelli elettronici: fondamentale con energia E1 ed

eccitato con E2.

Livelli non degeneri con numero di atomi N1 e N2

Ntotale = N1 + N2


TkB

Se

Energia termica

Gli atomi non possiedono energia per transizione dallo stato 1 allo stato 2:

:

N1 = Ntotale

E2 - E1 >> kBT


Campione esposto a radiazione elettromagnetica di frequenza ν12

1212 EEh

Alcuni atomi assorbono luce e compiono transizione da stato 1 a stato 2


Densità di energia radiante ρ: energia radiante per unità di volume (J m-3)

Densità spettrale di energia radiante ρv: misura della densità di

energia radiante per unità di frequenza ρv = dρ/dv (J m-3 s)

Per la transizione da 1 a 2: ν = ν12

ρv(ν12)

Consideriamo la densità spettrale di energia radiante a ν12 della

luce incidente:


Tasso di eccitazione dallo stato fondamentale allo stato elettronico eccitato:

)()()(

112121 tNvB

dt

tdNtasso

B12 è detto coefficiente di Einstein


Ovviamente occorre considerare anche che l’atomo emette energia per tornare nello stato elettronico fondamentale.

L’aspetto fondamentale della teoria di Einstein è di considerare accanto all’ovvia emissione “spontanea” anche una emissione “stimolata” dalla stessa radiazione elettromagnetica

1) Emissione spontanea

Gli atomi emettono fotoni di energia 1212 EEh

)()(

2122 tNA

dt

tdN

spont

A12 : coefficiente di Einstein


2) Emissione stimolata

Per un atomo in stato elettronico eccitato esposto a radiazione em di energia h = E – E, il tasso di emissione stimolata è:

)()()(

212212 tNvB

dt

tdN

stim

B21 è un coefficiente di Einstein (non necessariamente uguale a B12)


Per esposizione alla luce un atomo subisce simultaneamente assorbimento, emissione spontanea ed emissione stimolata. Il tasso di variazione delle popolazioni (dello stato elettronico fondamentale e dello stato elettronico eccitato) è dato da:

)()()()()(

)()(

2122121211212

21

tNvBtNAtNvBdt

tdN

dt

tdN


Le relazioni tra i coefficienti di Einstein

L’equazione vale per condizioni qualunque (cioè per differenti valori delle variabili N1 e N2).

)()()()()()(

21221212112122 tNvBtNAtNvB

dt

tdN

Nell’equazione cinetica compaiono tre coefficienti (A, B12 e B21) che NON dipendono da N1 e N2.

Quindi vale anche nel caso (molto particolare) in cui i due livelli sono all’equilibrio. In questo caso, le condizioni di equilibrio permettono di introdurre relazioni addizionali che alla fine consentono di ricavare i coefficienti (che ovviamente sono sempre quelli, anche in condizioni FUORI equilibrio).


Le relazioni tra i coefficienti di Einstein

1

8/

312

312 12

kThec

h

L’equilibrio termico del campo elettromagnetico è descritto dalla legge di Planck:

Le condizioni di equilibrio riguardano i due livelli e il campo elettromagnetico.

In un sistema all’equilibrio a T: TkhTkEE BB eeN

N //

1

2 1212

)()()()()(0)(

21221212112122 tNvBtNAtNvB

dt

tdN

ed anche:


Sostituendo:

TkhTkhTkEE BBB etN

tNtree

N

N /

2

1//

1

2 121212 ;

21/

12

1212 12

)(BeB

Av

Tkh B

)(

)()(;

)()()(

)()(

2

1

2112

12

221112

21212 tN

tNtr

BBtr

A

tNBtNB

tNAv


Le equazioni:

sono equivalenti se (e soltanto se):

B12 = B21

e

213

312

12

8B

c

vhA

e 1

18/3

312

12 12

kThec

h

1221/

12

1212 /

1)(

12 BBeB

Av Tkh B

Per sistemare la dipendenza dalla T

Per sistemare la parte indipendente dalla T (fattore di scala)


Per avere amplificazione, occorre che un fotone che passa attraverso il campione abbia maggiore probabilità di stimolare l’emissione (da parte di un atomo eccitato) che di essere assorbito (da parte di un atomo nel suo stato fondamentale).

)()()()( 1121221221 tNvBtNvB

N2 > N1 INVERSIONE DI POPOLAZIONE:

Il processo di emissione stimolata produce DUE FOTONI a partire da UN FOTONE,

cioè moltiplica i fotoni,

cioè amplifica l’intensità della luce

Si possono costruire dispositivi che amplificano la luce usando l’emissione stimolata (laser)


Un sistema a due livelli non può raggiungere

l’inversione di popolazione

)()]()()[()()(

2211221 tANtNtNvB

dt

tdN

dt

tdN

Considerando (come caso tipico) che al tempo t =0 tutti gli atomi siano nello stato fondamentale: N1 = Ntotale e N2 = 0


Questo valore massimo dipende dalle caratteristiche del sistema (cioè da A e da B) ma non può comunque superare il valore ½ (che si ottiene come limite per A << B, oltre che per t ).

Per un dato sistema, irradiando un campione che inizialmente è nello stato fondamentale, la popolazione dello stato eccitato parte da zero e raggiunge il suo valore massimo allo stato stazionario (t ).


Il numero di atomi nello stato eccitato non può mai superare il numero di atomi nello stato fondamentale.

Un sistema a due livelli non può raggiungere l’inversione di popolazione


Generalizzazioni

Non occorre parlare di atomi, nella trattazione non c’è nulla che non possa essere riferito a sistemi più complessi (molecole, ad esempio).

Si possono considerare vari livelli discreti (fondamentale 1; primo eccitato 2, secondo eccitato 3, …:Allora avremo:

tanti Aij (quante sono le coppie ij con i > j) etanti Bik (quante sono le coppie ik con i k)


Per una certa coppia di livelli, si ottengono risultati analoghi al caso in cui si considerano due soli livelli:

I coefficienti Bik (con i > k) di emissione stimolata ed i coefficienti Bik (con i < k) di assorbimento sono legati tra loro da relazioni del tipo Bik = Bki e sono legati ai coefficienti Aik di emissione spontanea dalle relazioni Aik = (8h3/c3)Bik.

Generalizzazioni


L’inversione di popolazione si raggiunge in un sistema a tre (o più)

livelli

Due stati eccitati con energie E2 e E3


In condizioni di stazionarietà per lo stato 2:

23232332322213322 )()(0

)(NBvNBvNANA

dt

tdN

323232

323221

2

3

)(

)(

BvA

BvA

N

N

Ovvero:

L’inversione di popolazione tra gli stati 3 e 2 è possibile quando gli atomi eccitati nello stato 3 decadono spontaneamente nello stato 2 più lentamente di quanto gli atomi eccitati nello stato 2 decadono spontaneamente nello stato fondamentale (A32 < A21)

Tale sistema è denominato mezzo amplificatore e può funzionare come laser


Sistema laserante a tre livelli

3

2

1

lento

veloce

pompa

Transizione laserante


Sistema laserante a quattro livelli

3

2

1

lento

veloce

pompa

Transizione laserante

4

veloce

giorgio spinolo – scienza dei materiali - 6 marzo / 19 aprile 2007 – corsi ordinari iuss laser...

Documents