giuseppina

trifiletti

un bit è una cifra binaria, (in inglese "binary digit") ovvero uno dei due simboli del sistema numerico binario

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L’informaticaL’informatica

pervade le pervade le disciplinediscipline

In che senso In che senso

l'informatica pervade le l'informatica pervade le

discipline ?discipline ?Forse perché tutte

utilizzano tecnologie

informatiche ?

La nostra La nostra ideaidea

non è questa.non è questa.

g. trifilettig. trifiletti

CHIEDE LA SFINGE A PITAGORACHIEDE LA SFINGE A PITAGORA

Il pensiero, Il pensiero,

la la

letteratura, letteratura,

l'arte, ..., l'arte, ...,

la natura, la natura, nascondono un cuore nascondono un cuore

cheche

pulsa al ritmo di 0 e

1 ?

Oppure indossandoOppure indossando

occhiali digitali

possiamo possiamo

evidenziareevidenziare

un cuore digitale ?

Gli Gli occhiali digitali

potrebbero fornire un potrebbero fornire un

modo di guardare il modo di guardare il

mondo più efficacemondo più efficace

di quelli utilizzati fino ad di quelli utilizzati fino ad

ora?ora?

Che cerchi pure, io non

sono previsto, dovrà

inventarmi

Io dico che il punto c’è.

Non lo vedo ma ci

credo!!!

IL SIGNOR Q un uomo più che discreto e … densamente razionale, pazientemente cerca …

cerca MISTER un tipo che di discreto non ha nulla ed è tutt’altro che razionale

retta numerica

0 1 2 3

2 e 3 NON sono numeri razionali, ma sono

irrazionali, sono ambedue numeri reali

0 2

r=1

NON è un numero

razionale, ma è irrazionale,

è un numero reale

l’insieme dei numeri reali non è numerabile, non è quindi possibile metterlo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, R ha la potenza del continuo

0 1 2 3-1-2-3

0 1/21/4 2/3 11/81/16 5/6 11/12

0 1 2 3

Questi non sono numeri razionali,ma numeri irrazionali,e occupano punti della retta.

Di numeri irrazionalice ne sono infiniti altri …,

anzi ce ne sono molti di più degli stessi numeri razionali

Ci sono punti della retta a cui non corrisponde nessun numero razionale, Pitagora e quelli della sua setta rimasero folgorati da questa scoperta.

MA È SORPRENDENTE!

È NUMERABILE

CIOÈ I NUMERI RAZIONALI SONO TANTI QUANTI I NUMERI NATURALI !!!

CIOÈ È POSSIBILE METTERE IN CORRISPONDENZA BIUNIVOCA, UNO A UNO, I NUMERI NATURALI E I NUMERI RAZIONALI, COME SEGUE:

HA CARDINALITÀ

"metodo diagonale" di Cantor

La numerabilità dei razionali

Il fatto che la cardinalità dei razionali sia la stessa degli interi è abbastanza sorprendente,

in quanto si è passati da un insieme "discreto", cioè con punti staccati uno dall'altro,

ad un insieme denso, cioè con la caratteristica che tra due numeri qualunque ce ne sono sempre infiniti.

Cantor ipotizzò che non esistesse nessun insieme con una cardinalità intermedia compresa fra quella di e quella di ℕ ℝ(ipotesi del continuo).

Così come i numeri naturali rappresentano il primo livello di infinito, i numeri reali rappresenterebbero, secondo tale ipotesi, il livello immediatamente successivo.

L’ IPOTESI DEL CONTINUO

segue immediatamentea

Così come i numeri naturali rappresentano il primo livello di infinito, i numeri reali rappresenterebbero, secondo tale ipotesi, il livello immediatamente successivo.

CANTOR E L’INFINITO ATTUALE

TANTI DIVERSI INFINITI, ANZI,

INFINITI TRANSFINITI

Ma ci sono infiniti altri infiniti, basta fare l’insieme delle parti dell’insieme infinito e si aumenta di un grado l’infinito

Così, ad esempio, il "numero" dei naturali è differente da quello degli insiemi di naturali e poi da quello degli insiemi di insiemi di naturali e così via, in un procedimento senza fine che produce infiniti sempre nuovi.

I reali sono tanti quanti i sottoinsiemi dei naturali

I fisici hanno hanno paura degli degli

universi discreti e e

basano le loro teorie sul basano le loro teorie sul

continuo e sulla continuo e sulla

simmetriasimmetria

Gli Gli universi discreti

sono molto più sono molto più

complicati degli complicati degli

universi continui

il continuo nasce dai numeri

naturali con una serie di

passi che conducono alla

fine del percorso

all’aggiunta di un postulato:

il postulato di continuità

della retta

Al di là dei più appariscenti

sviluppi tecnologici, la valenza

culturale dell’informatica si

evince dalle sue potenzialità nel

favorire il dialogo fra scienze

esatte e scienze umane

L’Informatica non ha solo un

valore tecnologico-strumentale,

ma anche un valore scientifico e

culturale autonomo. Fornisce una

prospettiva sul mondo e una

chiave di lettura della realtà

originale e irriducibile a quelle

fornite dalla fisica, dalla

matematica e dalle altre scienze.

DIO HA FATTO I NUMERI NATURALI TUTTO IL RESTO È OPERA DELL’UOMO

KRONECKER

Leopold Kronecker (7 dicembre 1823, Liegnitz, Prussia / Legnica, Polonia - 29 dicembre 1891, Berlino),

matematico e logico tedesco, noto per la sua convinzione che l'analisi potesse essere interamente fondata sui numeri interi, convinzione che viene bene rappresentata dal suo noto aforisma: "Dio fece i numeri naturali; tutto il resto è opera dell'uomo".

Questo atteggiamento pose Kronecker in conflitto con alcune delle estensioni della nozione di numero e della matematica introdotte da Georg Cantor.

Kronecker, che pure era stato il maestro di Cantor durante i suoi studi universitari a Berlino, ne rifiutò le scoperte: "il lavoro di Cantor sui numeri transfiniti e sulla teoria degli insiemi non è Matematica, ma misticismo" ed aggiungeva, come già ricordato, che "i numeri interi positivi sono i soli creati da Dio; tutto il resto è opera dell'uomo e quindi sospetto".

Altri grandi matematici apprezzarono invece l'opera di Cantor e la accolsero con entusiasmo. David Hilbert definiva la teoria dei cardinali "un prodotto sbalorditivo del pensiero umano" e commentava: "nessuno riuscirà mai a cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi"

l’informatica si fonda sui

NUMERI NATURALI

trasforma tutto in numero

utilizza la base 2,

solo 0 e 1solo 0 e 1

Trova il maggiore

e il minore di N oggetti diversi,

ma con il minor

numero di passi!

La programmazione è un buon medium per riuscire ad esprimere idee confuse mal formulate nella forma di metodi chiari ed efficaci.

marvin minskygulpgulp!?

!

il nostro cervello risolve automaticamente ogni giorno molti problemi ma con meccanismi che non sono completamente consci e quindi non espliciti: cercare di far risolvere al computer gli stessi basilari problemi ci consente quindi di capire come il nostro cervello svolge molte funzioni

Rendiamo espliciti i procedimenti semi-consci

I problemi proposti sono tutti impostati sul confronto di oggetti differenti: si presupponeva di avere otto oggetti differenti e di avere a disposizione soltanto una bilancia a due piatti, senza pesi, per confrontare gli oggetti.

ESPLOSIONE

dell’

informazione

contenuta

in un

confronto

1. Trovare il maggiore tra un insieme di otto numeri diversi.

2. Trovare il più grande e il più piccolo tra un insieme di otto numeri diversi.

3. Trovare i due numeri più grandi tra un insieme di otto numeri diversi.

1. Presentazione del problema;

2. Analisi del problema e sviluppo di

un algoritmo risolvente;

3. Ottimizzazione dell’algoritmo;

4. Analisi del numero dei confronti

in funzione del numero dei dati;

5. Domanda conclusiva: si può fare

meglio?

Trovare il più grande numero in un insieme di otto numeri diversi, potendoli soltanto confrontare a due a due.

Si può procedere confrontando tutti i numeri fra di loro ma così avremmo una sovrabbondanza di informazioni inutilizzate.

Quelli che seguono sono i due alberi che schematizzano due algoritmi risolventi ottimali.

ALGORITMO OTTIMALE 1ALGORITMO OTTIMALE 1

ALGORITMO OTTIMALE 1ALGORITMO OTTIMALE 1

TTOORRNNEEOO DDI I AARRTTII

MMAARRZZIIAALLII

OPPURE TORNEO DI TENNISOPPURE TORNEO DI TENNIS

Trovare il più grande e il più piccolo numero in un insieme di otto numeri diversi, confrontandoli a due a due.

a destra solo i vincentia destra solo i vincenti

a sinistra procedono i perdentia sinistra procedono i perdenti

P V

Però così avremmo una sovrabbondanza di informazioni inutilizzate:

dai primi quattro confronti infatti sappiamo già qual è il maggiore e il minore di ogni coppia iniziale;

questa informazione ci consente quindi di eliminare i primi quattro confronti a sinistra che sono inutili.

ALGORITMO OTTIMALE 2ALGORITMO OTTIMALE 2

perdenti vincenti

P V

Trovare i due numeri più grandi in un insieme di otto numeri arbitrari, potendoli soltanto confrontare a due a due

VV

Se il maggiore fosse

SS

ALGORITMO OTTIMALE 3ALGORITMO OTTIMALE 3

VV SS

Se = VV

Se si desidera trovare solo il vincitore non serve tenere conto di coloro che perdono, ma solamente di coloro che vincono al primo turno, al secondo turno, al terzo turno, quello finale. In tutto 7 confronti.

Un torneo con 8 tennisti Il confronto avviene a due a due

Se si desidera trovare anche il peggiore, bisogna tenere conto di coloro che hanno perso al primo turno per poi confrontarli a due a due come si fa per i vincitori. In tutto 10 confronti: 7 per il migliore più 3 per trovare il peggiore tra i quattro che hanno perso al primo turno.

Se si desidera trovare il primo e il secondo più bravi, bisogna ad ogni turno tenere conto non solo dei vincitori, ma anche di coloro che hanno perso, e con chi hanno perso, in modo tale che, una volta trovato il vincitore, si possano confrontare tra di loro gli unici perdenti che possono aspirare al secondo posto: coloro che hanno perso con il vincitore. In tutto 9 confronti: 7 confronti per trovare il migliore più 2 per trovare il migliore tra i tre che hanno perso con il vincitore nei tre turni per le selezioni.

E se il numero di oggetti è 15(nei nostri esempi gli oggetti sono partite)

quale sarà il minor numero di confronti nei tre casi esaminati?

E se il numero di oggetti è NN(nei nostri esempi gli oggetti sono partite)

quale sarà il minor numero di confronti nei tre casi esaminati?

SECONDO ROBLEMA1. per N pari 3/2*N-22. per N dispari 3/2*(N-1)

TERZO PROBLEMAN-1+log2N-1log2N pprossimato per eccesso

PRIMO PROBLEMAN-1

Perché non si può fare meglio?

Preziosiconsigli

alla nonna

Progetto SeTUniversità di Udine e Liceo Copernico

Appunti tratti da