MODULOVANÉ SIGNÁLY

Ing. Iveta Gladišová, PhD.

prof. Ing. Ján Mihalík, PhD.

Laboratórium číslicového spracovania obrazov a videokomunikácií

Katedra elektroniky a multimediálnych telekomunikácií

Fakulta elektrotechniky a informatiky

Technická univerzita v Košiciach

OBSAH

1. ÚVOD 1

2. SPOJITÉ MODULOVANÉ HARMONICKÉ SIGNÁLY 7

2.1. Amplitúdová modulácia (AM) 7

2.2. Uhlová modulácia (UM) 13

2.3. Fázová modulácia (PM) 14

2.4. Frekvenčná modulácia (FM) 16

2.4.1. Širokopásmová FM (β >> 1) 19

2.4.2. Úzkopásmová FM (β << 1) 22

2.4.3. Praktická šírka spektra FM signálov 23

3. NESPOJITE MODULOVANÉ HARMONICKÉ SIGNÁLY

(KĽÚČOVANÉ SIGNÁLY) 24

3.1. Amplitúdové kľúčovanie – ASK 25

3.2. Frekvenčné kľúčovanie – FSK 28

3.3. Fázové kľúčovanie – PSK 31

4. SPOJITÉ MODULOVANÉ PULZNÉ SIGNÁLY 34

4.1. Pulzná amplitúdová modulácia (PAM) 36

4.2. Pulzná šírková modulácia (PWM) 40

4.3. Pulzná polohová modulácia (PPM) 43

5. HILBEROVA TRANSFORMÁCIA A ANALYTICKÝ

(KOMPLEXNÝ) SIGNÁL 45

5.1. Hilbertova transformácia 45

5.2. Aplikácia Hilbertovej transformácie 51

5.3. Analytický (komplexný) signál 54

LITERATÚRA 63

1

1. ÚVOD

Základnou úlohou každej prenosovej sústavy je prenos správ od odosielateľa k prijímateľovi. Každý neelektrický signál (správa) nesúci informáciu sa transformuje na vhodný elektrický signál (napätie, prúd, elektromagnetické vlnenie) a nazývame ho primárnym signálom. Sú to zvyčajne nízkofrekvenčné (nf) signály (reč) alebo videosignály (obraz), ktoré sú materiálnym nosičom informácie. Keby sa primárne signály prenášali cez prenosovú sústavu bez úpravy, ich spektrá by sa prekrývali, čoho príčinou by bolo vzájomne rušenie (skreslenie). V takomto prípade by nebolo možné oddeliť signály patriace rôznym zdrojom informácie (odosielateľom).

Pre efektívne využitia prenosovej cesty je potrebné realizovať prenos správ pomocou vysokofrekvenčných (vf) signálov (v úzkom frekvenčnom pásme), čiže pomocou úzkopásmových vf signálov a tieto nazývame sekundárnymi signálmi. Napr. vlnová dĺžka elektromagnetického vlnenia vyžiareného anténnou sústavou musí byť dostatočne malá v porovnaní s jej rozmermi, aby vyžarovanie a šírenie bolo účinné. Dovolené rozmery anténnych sústav sú obmedzené, preto je potrebné, aby frekvencia signálu vysielaného v tvare elektromagnetického vlnenia bola vysoká (t.j. dĺžka vlny malá).

Proces pôsobenia primárneho signálu (nf) na niektorý z parametrov sekundárneho signálu (vf) sa nazýva modulácia. Signál, ktorý obsahuje celú prenášanú informáciu sa nazýva modulačným signálom. Jedná sa zvyčajne o nízkofrekvenčný signál, ktorý ovplyvňuje parametre iného vysokofrekvenčného signálu. Signál, ktorý je modulovaný modulačným signálom sa nazýva sa nosným signálom ( skrátene „nosná“, angl. carrier). Modulačný signál môže byť buď determinovaný alebo náhodný, spojitý alebo diskrétny. Nosné signály bývajú harmonické alebo impulzné, determinované alebo náhodné signály.

Obr.1.1. Princíp modulácie.

MODULÁTOR

nosný signál modulovaný signál

modulačný signál

2

Na obr.1.1 je zobrazená bloková schéma princípu modulácie. Výsledkom modulácie bude zmena jedného alebo niekoľkých parametrov nosného signálu (vf), ktorá je priamo úmerná modulačnému signálu (nf). Nosný signál, pri ktorom aspoň jeden z jeho parametrov je zmenený, sa nazýva modulovaný signál (t.j. výsledok modulácie).

Matematický model determinovaného nosného signálu vo všeobecnejšom tvare je nasledovná funkcia času t určená n parametrami , , … ,

, , , … , (1.1)

Potom matematický model modulovaného signálu bude (došlo k zmene jedného alebo niekoľkých parametrov nosného signálu) = , , , …, (1.2)

kde = (1.3) pričom je transformáciou z modulovaného signálu a(t). Najčastejšie zmeny modulovaného parametra sú úmerné modulačnému signálu (prenášanej správe), to znamená, že = = + (1.4)

kde iα je hodnota parametra, c(t) je modulačný signál a k je konštanta

úmernosti.

Niekedy sa uskutočňuje viacnásobná modulácia. Najprv modulačný signál moduluje niektorý subnosný signál a potom tento zase moduluje základný nosný signál.

Nosný harmonický signál, ktorý je popísaný kosínusovou funkciou, je definovaný takto

)tcos(A)t(a 0000 Θ+ω= (1.5)

a neobsahuje v sebe žiadnu prenášanú správu. Jeho frekvencia ω0 veľmi vysoká v porovnaní s frekvenciou signálov, ktoré prenášajú správy (nf signály).

3

Matematický model spojite modulovaného harmonického signálu má vo všeobecnosti tvar

))t(tcos()t(A)t(cos)t(A)t(a Θ+ω=ϕ= 0 (1.6)

pričom amplitúda A(t) a uhol φ(t) sa menia úmerne s prenášanou správou (úmerne so spojitým modulačným signálom). V závislosti od toho, či sa pri

modulácii mení spojite amplitúda A alebo Θ (tým aj ϕ ), rozlišujeme dva druhy modulácií:

1. amplitúdová

2. uhlová.

1. Amplitúdovú moduláciu (AM) získame tak, že meníme amplitúdu nosného signálu úmerne s modulačným signálom, pričom uhol sa nemení;

2. Uhlovú moduláciu (UM) dostaneme tak, že sa určitým spôsobom ovplyvňuje uhol nosného signálu úmerne modulačnému signálu, pričom amplitúda sa nemení.

Uhlovú moduláciu možno ďalej rozdeliť na dva druhy:

- frekvenčnú (FM – Frequency Modulation)

- fázovú (PM – Phase Modulation)

Na obr.1.2 je zobrazená schéma rozdelenia spojitých modulácií.

Obr.1.2. Základné rozdelenie spojitých modulácií.

fázová (PM)

SPOJITÉ MODULÁCIE

amplitúdová (AM)

uhlová (UM)

frekvenčná (FM)

4

Medzi FM a PM existuje jednoznačná korelácia a rozdiel medzi nimi pri tom istom modulačnom signáli spočíva len v charaktere časovej zmeny uhla φ(t).

Môžu sa vyskytovať aj modulované signály s kombinovanými moduláciami napr. amplitúdovo-frekvenčnou, kde oba druhy modulácie sú užitočné (požadované). Často sa stáva, že jeden z druhou modulácie je užitočný a druhé sú nežiadúce, ktoré vznikajú v dôsledku nedokonalosti technickej realizácie modulácie alebo skreslením spektra modulovaného signálu pri jeho prenose rádioelektronickou sústavou.

Keď je prenášaná správa diskrétna, t.z., že modulačný signál je diskrétny. V tomto prípade modulácia harmonického nosného signálu sa nazýva diskrétna modulácia, známa aj ako kľúčovanie. To znamená, že zmeny modulovaného parametra nosného signálu nie sú spojité, ale diskrétne (skokové, nespojité). Aj v prípade diskrétnej modulácie rozpoznávame dva druhy:

- amplitúdové kľúčovanie

- uhlové kľúčovanie (frekvenčné a fázové).

Keď je modulačný signál spojitý a nosný signál je impulzný (periodická postupnosť pravouhlých impulzov), hovoríme o spojite modulovaných impulzných signáloch. Pretože periodická postupnosť impulzov je charakterizovaná 4 parametrami, t.j.: amplitúdou, šírkou, polohou a frekvenciou, preto rozoznávame

1. amplitúdové modulované impulzné signály,

2. šírkové modulované impulzné signály,

3. polohové (fázové) modulované impulzné signály,

4. frekvenčne modulované impulzné signály.

Tomuto druhu modulácii sa zjednodušene hovorí impulzná (pulzná) modulácia. Podobne, ako v prípade harmonického signálu, sa môžu vyskytnúť impulzné signály s kombinovanou moduláciou.

Ak modulačný aj nosný signál sú diskrétne, hovoríme o kódovaných signáloch, digitálnych signáloch resp. číslicových moduláciách.

Pri prenose správ cez rádioelektronické sústavy je potrebná, aby šírka spektra modulačného signálu bola malá s porovnaním s frekvenciou nosného

5

signálu. Čím je užšia šírka spektra prenášaného modulovaného signálu, tým menej sa prejavuje nedokonalosť charakteristík prenosovej sústavy. Preto, čím je širšie spektrum modulačného signálu, tým vyššia musí byť frekvencia nosného signálu.

Každý modulovaný signál možno potom považovať za „úzkopásmový“ signál, aj keď ide v skutočnosti o prenos „širokopásmových“ modulačných signálov. To treba chápať v relatívnom slova zmysle napr. pri prenose rečovom reči alebo hudby, ak Fmax spektra signálu je 10 kHz a nosná frekvencia f0 = 150 kHz, je pomer 0600 ,fFmax = . Pri prenose toho istého signálu pri f0 = 20 MHz je tento

pomer 0,0005.

To znamená, že spektrum modulačného signálu sa v porovnaní s frekvenciou nosného signálu nachádza v oblasti nízkych frekvencií. Modulované parametre nosného signálu sa preto menia s časom v porovnaní s periódou nosného signálu veľmi pomaly, čiže tieto zmeny parametrov možno považovať za „pomalé“ funkcie času. To znamená, že relatívne zmeny modulovaného parametra za jednu periódu vysokofrekvenčného nosného signálu sú malé. Potom možno modulovaný signál počas jednej periódy nosného signálu považovať za harmonický. Modulované signály sa preto vyznačujú tým, že majú vždy úzke spektrum, sú to úzkopásmové signály v relatívnom zmysle, vzhľadom na uhlovú frekvenciu nemodulovaného nosného signálu.

V komunikačných sústavách je často žiaduce posunúť frekvenčné spektrum. Obyčajne sa to dosiahne násobením signálu f(t) harmonickým signálom. Tento proces je známy pod názvom modulácia. Pretože harmonický signál o frekvencii 0ω možno vyjadriť ako súčet dvoch exponenciálnych

funkcií, je zrejmé, že násobenie signálu f(t) harmonickým signálom (modulácia) má za následok posunutie celého frekvenčného spektra

Pre súčin

[ ]tjtj e)t(fe)t(f)tcos()t(f 000 2

1 ω−ω +=ω . (1.1)

platí

[ ])(F)(F)tcos()t(f 000 2

1 ω−ω+ω+ω→←ω . (1.2)

6

Podobne platí

[ ])(F)(Fj)t(sin)t(f 000 2

1 ω−ω−ω+ω→←ω . (1.3)

To znamená, že pri modulácii sa frekvenčné spektrum modulačného signálu f(t) posunuje o hodnotu 0ω± . Toto frekvenčné posunutie sa niekedy nazýva

modulačnou teorémou.

7

2. SPOJITÉ MODULOVANÉ HARMONICKÉ SIGNÁLY

2.1. Amplitúdová modulácia (AM) Pri AM je časový priebeh obálky amplitúd nosného signálu priamo

úmerný prenášanej správe, teda modulačnému signálu. Frekvencia a počiatočná fáza nosného signálu sa pritom nemenia. Na obr.2.1 je zobrazený harmonický modulačný signál (nf), pod ním je harmonický nosný signál (vf) a výsledný amplitúdovo-modulovaný signál. V pravej časti obrázku sú zobrazené ich zodpovedajúce spektrá.

Uvažujeme harmonický nosný signál

)tcos(A)t(a 0000 θ+ω= , (2.1)

v ktorom sa bude meniť amplitúda A0 podľa nasledujúceho predpisu

)t(ckA)t(A += 0 , (2.2)

pričom c(t) je modulačný signál a k je konštanta úmernosti AM. Potom výraz pre amplitúdovo modulovaný signál bude

[ ] ( )00000 θ+ω+=θ+ω= tcos)t(ckA)tcos()t(A)t(a . (2.3)

Charakter obálky A(t) je daný tvarom modulačného signálu. Absolútna hodnota maximálnej zmeny A(t) nemá byť väčšia ako A0, aby nedošlo k skresleniu prenášanej správy.

Kvôli jednoduchosti predpokladajme, že počiatočná fáza nosného signálu 00 =θpotom AM signál bude

[ ] ( )tcos)t(ckA)t(a 00 ω+= . (2.4)

Prevedieme nasledovnú úpravu

)tcos()t(cA

kA)t(a 0

00 1 ω

+= (2.5)

a ďalej ako modulačný signál uvažujme harmonický signál

)tcos(C)t(c Ω= 0 . (2.6)

8

Obr.2.1. Princíp spojitej amplitúdovej modulácie.

Po dosadení do rov.(2.5) dostaneme

( ) )tcos(tcosA

CkA)t(a 0

0

00 1 ω

Ω+= . (2.7)

Zavedieme substitúciu 0CkAm =∆ , čo predstavuje maximálnu zmenu

(odchýlku) amplitúdovej obálky nosného signálu alebo tzv. amplitúdový zdvih.

Pomer

0

0

A

Ckm= resp.

0A

Am m∆

= (2.8)

sa nazýva činiteľ hĺbky amplitúdovej modulácie, jednoduchšie činiteľ (index) AM.

f0 >> fm

9

Po dosadení parametra m bude matematický model AM signálu mať tvar

( )[ ] ( )tcostcosmA)t(a 00 1 ωΩ+= . (2.9)

Ak má sa jednať o amplitúdovú moduláciu bez skreslenia, potom 1≤m . Na

obr. 2.2 sú zobrazené priebehy AM signálu pri rôznych hodnotách parametra hĺbky AM, ktorý je vyjadrený v percentách.

Obr.2.2. Zobrazenie AM signálu pri rôznych hodnotách činiteľa hĺbky amplitúdovej modulácie.

Ak 1≤m (neskreslená modulácia), amplitúda nosného signálu sa mení od

minimálnej hodnoty po maximálnu, pričom

( )mAA

)m(AA

max

min

+=−=

1

1

0

0 . (2.10)

So zmenou amplitúdy signálu sa mení aj stredný výkon za periódu vf nosného

signálu. Špičkám obálky zodpovedá výkon ( 21 m+ )-krát väčší ako výkon nosného signálu bez modulácie. Za periódu modulačného signálu je stredný výkon modulovaného signálu úmerný časovej strednej hodnote štvorca

amplitúdy (obálky) a(t), teda )m,(A 220 501+ , t.j.

)m

(P)m

(R

A)

mm(

R

A

R

UP m

AM 21

21

2441

22

2

0

220

2220

2

+=+=++== . (2.11)

10

Ak P0 predstavuje výkon nosného signálu, tak pri m = 1 sa špičkový výkon rovná 4P0 a stredný výkon 1,5P0. Je zrejmé, že zväčšenie výkonu nosného signálu spôsobené moduláciou, ktorý ma podstatný vplyv na podmienky získania správy pri príjme, neprevyšuje ani pri m = 1 polovicu výkonu nosného signálu.

Vzťah medzi spektrom modulačného a amplitúdovo modulovaného signálu

Z rov.(2.9) po roznásobení získame výraz pre AM signál, ktorý obsahuje pôvodný nosný signál a zmiešaný signál

)tcos()tcos(mA)tcos(A)t(a 0000 ωΩ+ω= . (2.12)

Zo súčinu kosínusových signálov použitím súčtových vzorcov dostaneme

( )[ ] ( )[ ]tcosmA

tcosmA

)tcos(A)t(a Ω−ω+Ω+ω+ω= 00

00

00 22, (2.13)

pričom sme vymenili poradie Ω a ω0, pretože platí, že ω0 » Ω.

Na obr.2.3 je zakreslené spektrum tohto AM signálu.

Obr.2.3. Spektrum amplitúdovo modulovaného harmonického signálu, ak modulačný signál je tiež harmonickým signálom.

Frekvencie druhej a tretej zložky AM signálu a(t), teda Ω+ω0 a 0ω − Ω

v rovnici (2.13) sa nazývajú hornou a dolnou postrannou frekvenciou spektra AM signálu. Šírka frekvenčného pásma (t.j. šírka spektra) toho AM signálu je

B 2= Ω. (2.14)

11

Získané výsledky možno ľahko zovšeobecniť pre AM ľubovoľne zložitým modulačným signálom.

Komplexné spektrum pre amplitúdovo modulovaný signál

Pri amplitúdovej modulácii dochádza k posunutiu spektra modulačného signálu do bodu daného nosnou frekvenciou ω0, pričom šírka frekvenčného pásma amplitúdovo modulovaného signálu je rovná dvojnásobku maximálnej frekvencie modulačného signálu.

AM signál z rov.(2.4) môžeme rozložiť na dve zložky:

výkonová zložka energetická zložka

[ ] )tcos()t(kc)tcos(A)tcos()t(kcA)t(a 00000 ω+ω=ω+= , (2.15)

)t(a1 )(2 ta

Potom pre jednotlivé zložky signálu môžeme napísať, že

tjtjtjtj

eA

eAee

A)tcos(A)t(a 000000

0001 222ω−ω

ω−ω

+=+=ω= (2.16)

tjtjtjtj

e)t(ck

e)t(ckee

)t(kc)tcos()t(kc)t(a 0000

02 222ω−ω

ω−ω

+=+=ω= .

(2.17)

Signál a1(t) je vlastne nosný harmonický signál, ktorý má známe spektrum, t.j.

konštanta 20A

pri frekvencii ω0 a tá istá konštanta pri frekvencii - ω0.

Nech modulačný signál c(t) má spojité komplexné spektrum )(C ω t.j.

)(C)t(c ω⇔ . Fourierova transformácia signálu )t(a2 a jeho komplexné

spektrum vyzerá takto

[ ]

+= ω−ω tjtj e)t(ck

e)t(ck

F)t(aF 00

222 (2.18)

12

)(Ck

)(Ck

)(A 00222

ω+ω+ω−ω=ω , (2.19)

kde môžeme vidieť, že spektrum modulačného signálu )(C ω sa posúva do

frekvencie nosného signálu ω0.

Výsledné komplexné spektrum AM signálu

)(Ck

)(CkAA

)(A 0000

222200

ω+ω+ω−ω++=ωω−=ωω=ω

, (2.20)

z ktorého následne vieme získať modulové a argumentové spektrum.

Na obr.2.4 je hore zobrazený príklad spektra modulačného signálu (jeho modulové spektrum) a dole je modulové spektrum výsledného AM signálu.

Obr. 2.4. Modulové spektrá modulačného signálu (hore) a amplitúdovo-modulovaného signálu a(t) (dole).

Medzi výhody AM patrí:

• jednoduchá konštrukcia modulátorov a demodulátorov AM signálov,

• na prenos informácie stačí preniesť iba jedno postranné pásmo (z informačného hľadiska sú obidve postranné pásma identické),

13

• výsledný modulovaný signál má presne definované a ohraničené pásmo postranných zložiek.

Nevýhody AM:

• malá účinnosť,

• náchylnosť na rušenie (výkyv amplitúdy).

Amplitúdová modulácia je teda pomerne jednoducho realizovateľná, má malú šírku frekvenčného pásma a je veľmi citlivá na aditívne rušenie.

2.2. Uhlová modulácia (UM) Pri UM zostáva amplitúda nosného signálu konštantná (a teda aj výkon), lebo modulačný signál ovplyvňuje len uhol (okamžitú fázu) nosného signálu. UM patrí medzi nelineárne modulácie, lebo modulačný signál je transponovaný do oblasti vyšších frekvencií prostredníctvom nelineárnej transformácie v exponenciálnom vyjadrení signálov.

Ako sme už uviedli, podľa spôsobu ovplyvňovania uhla modulačným signálom rozlišujeme 2 druhy UM:

1. frekvenčnú moduláciu (FM)

2. fázovú moduláciu (PM)

Vo všeobecnosti môžeme uhlovo modulovaný signál vyjadriť

[ ])t(cosA)t(au ϕ= 0 , (2.21)

pričom okamžitá fáza (uhol) 00 θ+ω=ϕ t)t( , kvôli jednoduchosti však budeme

predpokladať, že počiatočné fáza nosného signálu 00 =θ .

Na obr. 2.5 sú zobrazené obidva druhy uhlovej modulácie, ktoré sú priamo úmerne ovplyvnené modulačným signálom c1(t). Ten má kvôli názornosti poukázania na zmeny v priebehoch FM a PM tvar pravouhlého signálu. Pri FM signáli vzrastie jeho frekvencia, pretože vzrástla hodnota modulačného signálu z nuly na kladnú konštantnú hodnotu. Pri zmene modulačného signálu z konštantnej kladnej hodnoty naspäť na nulovú hodnotu sa frekvencia FM signálu zmení na pôvodnú frekvenciu, čo je vlastne frekvencia nosného signálu. Fáza zostáva nezmenená. Pri PM signáli vidíme, že pri zmene modulačného

14

signálu dôjde k zmene fázy PM signálu na opačnú hodnotu, pričom frekvencia signálu sa nemení.

Obr. 2.5. Princíp uhlovej modulácie.

2.3. Fázová modulácia (PM)

Pre fázovú moduláciu bude platiť, že počiatočná fáza nosného signálu sa mení priamo úmerne zmene modulačného signálu c(t) podľa vzťahu

)t(ck)t( PM+θ=θ 0 . (2.22)

Ak predpokladáme, že , potom okamžitá fáza

)t(ck)t( PM=θ (2.23)

00 =θ

15

a model PM signálu má tvar

[ ])t(cktcosA)t(a PMPM +ω= 00 , (2.24)

kde PMk je konštanta úmernosti pre PM.

Obr. 2.6. Princíp fázovej modulácie.

Na obr. 2.6. môžeme vidieť princíp PM, kde so skokovitou zmenou modulačného signálu (čiarkovane) dochádza k zmene fázy nosného signálu. Amplitúda ani frekvencia nosného signálu sa nemenia.

Integráciou modulačného signálu c(t) dostaneme z fázovo modulovaného signálu FM signál, podobne deriváciou c(t) z frekvenčne modulovaného signálu dostaneme naopak PM signál (obr.2.7). Z uvedených vzťahov pre FM a PM signály vyplýva, že priebehy týchto modulovaných signálov sa v časovej oblasti ťažko znázorňujú, lebo modulačný signál c(t) sa pri FM aj PM nachádza v argumente trigonometrickej funkcie a takýto signál sa ťažko kreslí. Podobne je prakticky nemožné vyjadriť všeobecne spektrum uhlovo modulovaného signálu v dôsledku nelinearity exponenciálnej modulácie. Pre praktické účely postačí určiť praktickú šírku spektra. Výhodné je použiť harmonický signál ako signál modulačný, lebo vtedy je možné jednoduchšie vyjadriť spektrum.

Obr. 2.7. Spôsoby získania FM a PM signálu.

16

2.4. Frekvenčná modulácia (FM)

Pre frekvenčnú moduláciu platí, že sa frekvencia nosného signálu mení priamo úmerne zmene modulačného signálu c(t) podľa vzťahu

)t(ck)t( FM+ω=ω 0 , (2.25)

z čoho okamžitá fáza (uhol) bude

[ ]∫ ∫ ∫+ω=+ω=ω=ϕt t t

FMFM dt)t(cktdt)t(ckdt)t()t(0 0 0

00 , (2.26)

kde FMk je konštanta úmernosti pre FM.

Obr. 2.8. Princíp frekvenčnej modulácie.

Na obr.2.8. je znázornený princíp frekvenčnej modulácie, kde vidieť, ako so stúpajúcou hodnotou modulačného signálu stúpa frekvencia FM signálu a naopak. Amplitúda a fáza nosného signálu sa nemienia, zostávajú konštantné.

Model FM signálu v časovej oblasti

+ω= ∫

t

FMFM dt)t(cktcosA)t(a0

00 . (2.27)

17

Uvažujme harmonický modulačný (nf) signál s nulovou počiatočnou fázou

tcosC)t(c Ω= 0 , (2.28)

potom frekvencia nosného signálu bude mať tvar

tcosCk)t(ck)t( FMFM Ω+ω=+ω=ω 000 . (2.29)

Zavedieme označenie 0CkFM=ω∆ , čo predstavuje maximálnu odchýlku

frekvencie modulovaného signálu od frekvencie nosného signál a toto označenie nazývame frekvenčný zdvih. Frekvenčný zdvih je daný konštantou úmernosti kFM a amplitúdou (úrovňou) modulačného signálu C0 , čiže nezávisí od jeho frekvencie Ω, čo je charakteristické pre FM.

Vypočítame okamžitú fázu

tsintdt)tcos(dt)t()t( ΩΩω∆+ω=Ωω∆+ω=ω=ϕ ∫ ∫ 00 (2.30)

Na základe analógie s AM označme pomer

Ωω∆=β , t.j. hĺbka (index) FM

(2.31)

Index frekvenčnej modulácie je závislý od frekvencie modulačného signálu Ω na rozdiel od frekvenčného zdvihu ∆ω.

Potom FM signál má tvar

[ ]tsintcosA)t(aFM Ωβ+ω= 00 . (2.32)

Je zrejmé, že β má význam maximálnej odchýlky fázy modulovaného signálu FM od hodnoty t0ω . Podľa hodnoty β rozlišujeme dva druhy FM:

• širokopásmová FM, keď β >>1,

• úzkopásmová FM, keď β <<1

Vzhľadom na toto rozdelenie existuje rozdiel medzi FM a PM. Neexistuje totižto širokopásmová PM, pretože okamžitá odchýlka fázy, ktorá je pri PM úmerná amplitúde modulačného signálu, nemôže prekročiť vzhľadom k nejednoznačnosti hodnotu ±.

18

Pri harmonickom modulačnom signáli (rov. 2.28) je PM signál definovaný nasledovne

[ ]tcosCktcosA)t(a PMPM Ω+ω= 000 (2.33)

resp.

[ ]tcostcosA)t(a PMPM Ωβ+ω= 00 , (2.34)

pričom

0CkPMPM =β (2.35)

je hĺbka (index) fázovej modulácie alebo fázový zdvih (odchýlka) modulácie.

Z porovnania rovníc (2.34) a (2.32) vidno, že výraz pre FM signál je zhodný s výrazom pre PM signál až na index modulácie. Pri FM je index modulácie β funkciou modulačnej frekvencie Ω, naopak index PM - PMβ - nezávisí od Ω,

ale len od amplitúdy modulačného signálu 0C .

Pretože vyjadrenie signálov v časovej oblasti je pre obidva druhy modulácie (PM aj FM) rovnaké, budú rovnaké aj výrazy pre ich spektrá. Nezávislosť indexu βPM od modulačnej frekvencie Ω sa pri spektre PM signálu prejaví tým, že hodnoty Besselovych funkcií a teda aj amplitúdy jednotlivých zložiek spektra nezávisia pri konštantnej amplitúde C0 modulačného signálu od frekvencie Ω.

Pri určovaní praktickej šírky spektra úzkopásmového PM signálu (|βPM| < π) možno vychádzať z rovnakých úvah ako pri FM, čiže praktická šírka spektra sa zredukuje na členy obsahujúce frekvenčné zložky ω0, ω0 + Ω a ω0 - Ω. Úzkopásmový PM signál potom predstavuje lineárnu ľahko realizovateľnú moduláciu. Preto sa pre vytvorenie FM signálu používajú úzkopásmové fázové modulátory doplnené integračným obvodom na vstupe. Ak chceme realizovať širokopásmovú FM dáme za fázový modulátor ešte násobičku.

19

2.5. Širokopásmová FM ( β >> 1)

Z matematiky je známe, že zložená trigonometrická funkcia, ktorej argument je opäť trigonometrická funkcia možno vyjadriť pomocou Besselovych funkcií.

Model FM signálu v rov. (2.32) možno upraviť na tvar

tj)tsint(jFM e)t(sReeARe)t(a 00

0ωΩβ+ω == , (2.36)

kde tsinjeA)t(s Ωβ= 0 . (2.37)

Funkcia )t(s je periodická s periódou Ωπ= 2

T a môžeme ju vyjadriť pomocou

Fourierovho radu

∑∞

−∞=

Ω=n

tjnn eC)t(s (2.38)

kde

[ ]dteAdte)t(sC tntsinjtjnn ∫∫

Ωπ

Ωπ−

Ω−ΩβΩ

π

Ωπ−

Ω−

πΩ=

πΩ= 022

. (2.39)

Pripomeňme si Besselovu funkciu 1. druhu a n-tého rádu s argumentom β (obr. 2.9)

= !"!#$" . (2.40)

Po substitúcii $ = Ω dostaneme z rov. (2.39)

& = (). (2.41)

20

Obr. 2.9. Priebehy Besselovych funkcií.

Dosadením (2.41) do (2.38) dostaneme * = ∑ ()Ω,-."- (2.42)

Potom z rov. (2.36) získame výraz pre FM signál

/0 1 2 3 ()Ω,456,-."- 7

/0 () ∑ 8*9) :Ω-."- , (2.43)

sú Besselove funkcie prvého druhu. Rozšírením rovnice na niekoľko členov dostaneme výraz

/0 ());<=<>?@A 8*9);<<=<<>B6 ();<<=<<>?@A 8*9) Ω;<<<=<<<>B64/

()";<<=<<>?@A 8*9) C Ω;<<<=<<<>B6"/

();<<=<<>?@A 8*9) 2Ω;<<<<=<<<<>B64/ ()";<<=<<>?@A 8*9) C 2Ω;<<<<=<<<<>B6"/

⋯

kde ω0 je kruhová frekvencia nosného signálu, Ω je kruhová frekvencia modulačného signálu. Vidíme, ako amplitúda klesá so stúpajúcou hodnotou rádu n Besselovych funkcií .

21

Na obr. 2.10 znázornený vplyv je amplitúdy a frekvencie modulačného signálu na tvar spektra FM signálu. Je zrejmé, že so zväčšovaním vzdialeností od nosnej kruhovej frekvencie ω0 amplitúdy klesajú, aj keď pokles nemusí byť monotónny. Z hľadiska rozdelenia signálov môže to byť signál periodický resp. kváziperiodický, opäť v závislosti od vzájomného vzťahu ω0 a Ω (ak ω0 bude celistvým násobkom Ω, bude to periodický signál, ak ω0 nebude celistvým násobkom Ω, tak to bude kváziperiodický signál). Predchádzajúca analýza poukazuje na zložitosť spektra FM signálu pre obecné modulačné signály.

Zo vzťahu (2.43) a z priebehov Besselovych funkcií vypláva:

1. Spektrum FM signálu obsahuje nosnú frekvenciu ω0 (n=0) a nekonečne mnoho zložiek o frekvenciách ω0 ± Ω, ω0 ± 2Ω, ω0 ± 3Ω, ...atď. Rozdiel oproti AM je v tom, že harmonický modulačný signál vytvára pri AM len dve postranné zložky a preto pri AM bola šírka pásma B = 2Ω. V prípade FM ten istý modulačný harmonický signál teoreticky spôsobí, že šírka pásma B je nekonečná.

2. Pre malé β približne platí:

J0(β) ≈ 1 J1(β) ≈ ± β/2 Jn(β) ≈ 0 ; n >1. (2.44)

Keď je β malé dostaneme pri FM len dve postranné zložky a hovoríme o úzkopásmovej FM.

3. Amplitúda nosného signálu, ako je vidieť z modelu aFM(t), je rovná A0J0(β), čiže sa mení so zmenou β.

22

Obr. 2.10. Vplyv amplitúdy modulačného signálu na tvar spektra FM signálu pri rôznych hodnotách modulačného indexu β.

2.6. Úzkopásmová FM ( β << 1) V rov. (2.32) pre FM signál rozpíšeme kosínusovú funkciu podľa vzorca pre cos(α + β), potom

/0 () cos9) cos sinΩ C () sin9) sin sinΩ. (2.45)

Pretože β << 1, potom

sin sinΩ K sinΩ (2.46) 8* sinΩ K 1 (2.47)

Vychádzajúc z týchto vzťahov dostaneme pre FM signál

23

/0 () cos9) − () sin9) sinΩ (2.48)

A po úprave

/0 = () cos9) + 12() cos9) + Ω − 12() cos9) − Ω (2.49)

Je zrejmé, že pri úzkopásmovej FM obsahuje modulovaný signál iba 2 postranné zložky s frekvenciami ω0 + Ω a ω0 - Ω, podobne ako u AM signálov (je to približné vyjadrenie).

2.7. Praktická šírka spektra FM signálov Spektrum FM signálu je teoreticky nekonečne široké, v skutočnosti však amplitúda vyšších harmonických zložiek sa pomerne rýchlo zmenšuje a vždy možno nájsť určitú konečnú šírku spektra (praktickú šírku), ktorá zaručí, že skreslenie neprekročí dovolenú hodnotu. Pre veľké hodnoty β platí, že zložky vzdialené od ω0 o viac ako ∆ω sú už nepodstatné, čiže praktická šírka spektra je pre β >>1 približne rovná

B ≅ 2∆ω. (2.50) Naopak, pre malé β (β << 1)je potrebné preniesť aspoň dve postranné zložky, aby signál bol vôbec modulovaný, čiže praktická šírka spektra

B ≅ 2Ω . (2.51)

Všeobecne pre určenie praktickej šírky spektra FM signálov, pre β >>1, môžeme použiť približný vzťah (Carsonov)

M≅ 2∆9 + 2Ω = 2∆9 O1 + P (2.52)

24

3. NESPOJITE MODULOVANÉ HARMONICKÉ SIGNÁLY

(KĽÚČOVANÉ SIGNÁLY)

Keď modulačný signál (správa) c(t) má len diskrétne (nespojité) hodnoty, parametre nosného signálu sa menia pri modulácií skokovite. Skokovitá zmena parametrov sa nazýva diskrétnou moduláciou alebo kľúčovaním. Rozoznávame tri druhy kľúčovania:

• amplitúdové kľúčovanie (ASK - Amplitude-Shift Keying) • frekvenčné kľúčovanie (FSK - Frequency-Shift Keying (FSK) • fázové kľúčovanie (PSK - Phase-Shift Keying (PSK)

Na obr. 3.1 je znázornená binárna správa s dvoma diskrétnymi hodnotami a signály pri amplitúdovom, frekvenčnom a fázovom kľúčovaní.

Pri ASK jednému zo symbolov správy zodpovedá amplitúda nosného signálu 0,5 A0(1 - m) a druhému 0,5 A0(1+ m). Najčastejšie sa používa signál s m = 1.

Pri FSK sa skokovite mení frekvencia nosného signálu o hodnotu ω∆± okolo 0ω . Na základe analógie s FM možno zaviesť index diskrétnej

frekvenčnej modulácie, t.j. frekvenčného kľúčovania

Ωω∆=β / , (3.1)

kde i/F τπ=π=Ω 2 je uhlová frekvencia kľúčovania pri prenose periodickej

postupnosti impulzov a iτ je šírka impulzu.

Zmena fázy ϕ∆ voči fáze nemodulovaného nosného signálu sa pri PSK

volí obyčajne 90°. Potom dva základné signály sa fázovo líšia o 180°. Možno dokázať, že takéto signály zabezpečujú najväčšiu vernosť prenosu správ, preto sa najčastejšie používajú. Modifikáciou fázového kľúčovania je tzv. rozdielové alebo diferenčné fázové kľúčovanie, ktoré sa vyznačuje vysokou odolnosťou voči rušeniu.

25

Obr. 3.1. Základné princípy kľúčovania, signály ASK, FSK a PSK.

3.1. Amplitúdové kľúčovanie – ASK

Princíp amplitúdového kľúčovania t.j. ASK je zrejmý z obr. 3.2. Do násobičky vstupuje modulačný signál (správa) c(t) v tvare pravouhlých impulzov a nosný harmonický signál z oscilátora s vysokou frekvenciou f0. Výstupom z násobičky je signál ASK.

Matematický model signálu ASK možno zapísať v tvare

( )tsin)t(cA)t(a 00 ω= (3.1)

kde periodická postupnosť pravouhlých signálov (modulačný signál) c(t) na intervale jednej periódy T = 2iτ sa rovná

26

<≤τ−τ<≤

=00

01

t

t)t(c

i

i (3.2)

Funkciu c(t) vyjadríme Fourierovym radom

∑∞

=Ωπ−

π+=

1

11

2

1

n

)tn(sinn

ncos)t(c (3.3)

kde iT τ

π=π=Ω 2. (3.4)

Obr. 3.2. Princíp ASK.

Potom signál ASK nadobudne tvar

( ) =ω

Ωπ−π

+= ∑∞

=tsin)tn(sin

n

ncosA)t(a

n0

10

11

2

1

( ) ( ) −Ω−ωπ−π

+ω= ∑∞

=10

000

1

22

1

n

tncosn

ncosAtsinA

násobička

oscilátor

f0

nosný signál

modulovaný signál

27

( )∑∞

=Ω+ωπ−

π−

10

0 1

2 n

tncosn

ncosA (3.5)

Z rov. (3.5) vidíme, že diskrétne spektrum signálu ASK sa skladá z frekvenčnej

zložky nosného signálu 0ω s amplitúdou 02

1A a 2 postranných pásiem, ktorých

spektrálne zložky majú amplitúdy

21

200 ππ

=π−π

= nsin

n

A

n

ncosAAn . (3.6)

Obr.3.3. Diskrétne spektrum signálu ASK.

Obálka spektra signálu ASK

( )

( )( )

τω−ωτ=τω−ω

τω−ωτ=ω

222

22

00

0

0

0 ii

i

i

i SincAsinA

)(A (3.7)

t.j. predstavuje spektrum impulzného signálu c(t) posunutého o frekvenciu 0ω .

Vyplýva to z vety o frekvenčnom posunutí (translácii) – ak

f (t) F( ),←→ ω potom

( ) ( )0j t0f t e F ,ω ←→ ω − ω (3.8)

28

Táto veta znamená, že posun o 0ω vo frekvenčnej oblasti je ekvivalentný

násobeniu činiteľom tje 0ω v časovej oblasti. Je zrejmé, že násobenie týmto

činiteľom posunuje celé frekvenčné spektrum )(F ω o hodnotu 0ω .

Vlastnosti ASK:

• jednoduchá realizácia modulátora aj demodulátora

• nízka odolnosť voči rušeniu (aditívny šum) – je citlivá na zmeny amplitúdových pomerov počas prenosu

• potrebný vysoký prenášaný výkon

• možné modifikácie smerujúce k zúženiu potrebného prenosového pásma – potlačenie nosnej, jedno postranné pásmo.

3.2. Frekvenčné kľúčovanie - FSK

Pri analýze spektra signálu FSK treba rozlišovať dva spôsoby frekvenčného kľúčovania:

• pripínanie dvoch nezávislých oscilátorov majúcich frekvenciu f1°a f2 (obr.3.2),

• kľúčovanie frekvencie jedného oscilátora.

Obr. 3.4. Princíp FSK pomocou prepínania dvoch oscilátorov a priebeh signálu FSK.

čas

napätie

29

V prvom prípade signál FSK je súčet dvoch signálov ASK s rôznymi nosnými frekvenciami f1°a f2 a v takom istom signáli dochádza k skokom fázy pri prechode z jednej frekvencie na druhú.

V druhom prípade je okamžitá fáza signálu spojitá.

Signál FSK v komplexnom tvare vyzerá nasledovne

[ ] )t(jtjdt)t(ctjeeAeA)t(a Θωω∆+ω =∫= 0

00

0 . (3.9)

kde

τ<≤ττ−ω∆

τ<≤τ−ω∆−=Θ

2

3

2

22

iii

ii

t)t(

tt)t( (3.10)

Na obr. 3.5 sú zobrazené zmeny frekvencie ω(t) a fázy )t(Θ pri FSK.

Obr.3.5. Zmeny frekvencie a fázy pri FSK.

Pretože )t(Θ je periodická funkcia, bude aj jej )t(je Θ periodické funkcia a môže

byť vyjadrená pomocou Fourierovho radu takto

30

∑∞

−∞=

ΩΘ =k

tkjk

)t(j eCe (3.11)

kde

[ ]dteC

i

i

tk)t(j

i

k ∫

τ

τ−

Ω−Θ

τ=

2

3

2

2

1. (3.12)

Po integrácii a uvažujúc vyššie uvedené vzťahy pre )t(Θ dostaneme, že

( )( )( )22

502

k

k,sinCk −βπ

+βπβ= . (3.13)

Ak vezmeme iba reálnu časť signálu a(t), dostaneme vyjadrenie pre signál FSK

( )( )( ) t)kcos(

k

k,sinA)t(a

k∑∞

∞−=Ω+ω

−β+βπ

πβ= 022

0 502 (3.14)

Na obr.3.6. sú zobrazené spektrá signálu FSK pre rôzne hodnoty β vypočítané podľa vzťahu (3.14).

Obr.3.6. Spektrá signálov FSK.

31

1. Pri malých β je energia signálu sústredená vo frekvenčnom pásme v okolí

0ω . Najbližšie postranné zložky sú väčšie ako pri ASK.

2. So zväčšovaním β sa energia signálu sústreďuje v blízkosti frekvencií „zapnutia“ a „vypnutia“.

3. Amplitúdy postranných zložiek pri dostatočne veľkých hodnotách klesajú

nepriamo úmerne 2k .

4. Pri kľúčovaní so skokovitou zmenou fázy je spektrum signálu superpozíciou spektier dvoch signálov ASK s nosnými frekvenciami 1ω a

2ω . Amplitúdy postranných zložiek klesajú nepriamo úmerne k.

To znamená, že spojitosť fázy pri kľúčovaní vedie k rýchlejšiemu utlmeniu spektrálnych zložiek, ako pri skoku fázy. Je to prakticky veľmi dôležité z hľadiska vzájomných porúch a tiež určenia prepúšťacieho pásma prijímača. Praktická šírka BFSK sa určuje ako BFM.

Vlastnosti FSK:

• modulácia s konštantnou amplitúdou je necitlivá na zmeny amplitúdy na rozdiel od ASK

• FSK so skokovou zmenou fázy má nižšiu efektivitu využitia šírky prenosového pásma ako u ASK, resp. PSK

• existuje ešte tzv. úzkopásmová FM (index modulácie ∆F/f < 1)

- ∆F- frekvenčný zdvih, f - frekvencia modulačného signálu

• vyššia chybovosť ako u PSK

• je však najjednoduchšie realizovateľná s pomedzi digitálnych modulácií s podobnými vlastnosťami, preto sa v praxi často využíva.

3.3. Fázové kľúčovanie – PSK

Signál PSK možno zapísať v tvare

[ ])t(ctsinA)t(a ϕ∆+ϕ+ω= 000 (3.15)

32

a po dosadení súčtového vzorca dostaneme

[ ] [ ] [ ] [ ]000000 ϕ+ωϕ∆+ϕ+ωϕ∆= tcos)t(csinAtsin)t(ccosA)t(a

(3.16)

Periodickú pravouhlú postupnosť impulzov, teda modulačný c(t), ktorý určuje pravidlá zmeny fázy na intervale jednej periódy T = 2 iτ , možno vyjadriť v tvare

<≤τ−−τ<≤+

=01

01

t

t)t(c

i

i (3.17)

Po posadení za c(t) do rov. (3.16) dostaneme signál PSK v nasledujúcom vyjadrení

( ) ( ) ( ) ( )000000 ϕ+ωϕ∆+ϕ+ωϕ∆= tcossinA)t(ctsincosA)t(a

(3.18)

Periodickú funkciu c(t) možno vyjadriť pomocou Fourierovho radu

∑∞

=Ωπ−

π=

1

12

n

)tn(sinn

ncos)t(c (3.19)

a po dosadení c(t) do rov. (3.16) a úprave dostaneme

( ) ( ) +ϕ+ωϕ∆= 000 tsincosA)t(a

( ) ( ) =Ωπ−ϕ+ωϕ∆π

+ ∑∞

=100

0 12

n

)tn(sinn

ncostcossin

A

( ) ( ) −ϕ+ωϕ∆= 000 tsincosA

( ) [ ]+ϕ+Ω−ωπ−ϕ∆π

− ∑∞

=100

0 1

n

t)n(sinn

ncossin

A

( ) ( ) [ ]∑∞

=ϕ+Ω+ωπ−ϕ∆

π+

100

0 1

n

t)n(sinn

ncostcossin

A (3.20)

Spektrum signálu PSK pre rôzne hodnoty zdvihu fázy ∆φ je zobrazené na základe rov.(3.20) na obr.3.7. Skladá sa z nosnej frekvencie a dvoch postranných pásiem. Amplitúda nosného signálu závisí od ∆φ nasledovne:

33

( )ϕ∆=ω cosA)(A 00 a pri ∆φ = 90° sa rovné 0. Amplitúdy spektrálnych zložiek

v postranných pásmach tiež závisia od ∆φ. Pri zväčšovaní ∆φ od 0°do 90° amplitúda nosného signálu klesá na nulu a amplitúdy postranných zložiek sa zväčšujú. Keď ∆φ = 90°, celá energia PSK signálu sa nachádza len v postranných pásmach. Podobne ako pri ASK, obálka diskrétneho spektra postranných zložiek predstavuje spektrum impulzného signálu c(t)posunutého o frekvenciu ω0 a násobenú sin(∆φ), t.j. obálka má tvar posunutej Sinc funkcie

( )

( )( )

τω−ωϕ∆τ=τω−ω

τω−ω

ϕ∆τ=ω2

2

2 00

0

0

0i

ii

i

i Sinc)(sinAsin

)(sinA)(A

(3.21)

Obr.3.7. Spektrum signálu PSK.

34

4. SPOJITE MODULOVANÉ PULZNÉ SIGNÁLY

Základný rozdiel spojite modulovaných pulzných signálov oproti spojite modulovaným harmonickým signálom je v tom, že nosným signálom je postupnosť pravouhlých impulzov s periódou T, pričom parametre týchto impulzov sú nasledovné:

• výška (amplitúda) impulzov A • šírka impulzov τ • poloha impulzov ti na časovej osi

Dôležitou vlastnosťou pulzných modulácií je spojitosť v hodnote, ale nespojitosť v čase. Pulzné modulácie sú určené na prenos vzorkovaných signálov. Zo spojitého modulačného signálu odoberáme vzorky v diskrétnych časových okamihoch a podľa hodnoty týchto vzoriek meníme niektorý zo základných parametrov postupnosti impulzov, pričom každej vzorke zodpovedá jeden vyslaný impulz. Podľa toho, ktorý z parametrov je ovplyvňovaný zodpovedajúcimi vzorkami, rozlišujeme tieto tri základné druhy pulznej modulácie:

• pulzná amplitúdová (výšková) modulácia (PAM - Pulse-Amplitude Modulation)

• pulzná šírková modulácia (PWM - Pulse-Width Modulation) • pulzná polohová (fázová) modulácia (PPM - Pulse-Position Modulation)

Doba trvania impulzu je obyčajne veľmi krátka v porovnaní s dobou medzi dvoma za sebou nasledujúcimi impulzmi , čím možno dosiahnuť vyššiu účinnosť vysielaného signálu. Medzi dva za sebou nasledujúce impulzy možno umiestniť impulzy zodpovedajúce ďalším signálom, čím sa dá uskutočniť prenos viacerých signálov jednou prenosovou cestou. Nazýva sa to aj viacnásobný prenos s časovým delením, čiže časový multiplex – TDM (Time-Division Multiplexing). Základom všetkých pulzných modulácií je vzorkovacia teoréma. Ak nemá byť pulzne modulovaný signál skreslený, potom musí platiť, že τ << T a súčasne

mfT

2

1≤ , (4.1)

kde fm je maximálna frekvencia modulačného signálu c(t).

35

Šírka prenášaného pásma B je

mi

fB >>τ

>2

1 , (4.2)

čiže omnoho väčšia, ako šírka pásma pôvodného modulačného signálu. Odolnosť voči poruchám však bude väčšia.

Na obr. 4.1. sú znázornené priebehy pulzných modulácií pre všetky tri základné druhy spolu s daným modulačným signálom c(t). Pulzná frekvenčná modulácia (PFM - Pulse-Frequency Modulation) nepatrí medzi základný druh pulzných modulácia, je korelovaná s PPM.

Obr. 4.1. Priebehy pulzných modulácií.

c(t)

a(t) PAM

a(t)

PWM

t

t

t

A0

t

a(t)

PPM

36

4.1. Pulzná amplitúdová modulácia (PAM)

Pulzná amplitúdová modulácia sa delí na dva druhy:

• PAM1 - pulzná amplitúdová modulácia prvého druhu,

• PAM2 - pulzná amplitúdová modulácia druhého druhu.

Pri PAM závisia amplitúdy (výšky) impulzov od veľkosti príslušných vzoriek. V prípade PAM1 vrcholy vzorkovacích impulzov a1(t) sledujú, či „kopírujú“ tvar modulačného signálu c(t) (obr. 4.2). Pri PAM2 vrcholy impulzov a2(t) sa v dobe svojho trvania nemenia, sú konštantné a ich výška závisí od okamžitej hodnoty modulačného signálu c(t).

Obr. 4.2. Princíp pulznej amplitúdovej modulácie (PAM1 a PAM2).

Analyzujme spektrá oboch druhov PAM. Predpokladajme harmonický nízkofrekvenčný modulačný signál

)tsin(C)t(c Ω= 0 . (4.3)

Pre periodickú postupnosť pravouhlých impulzov s amplitúdou B, šírkou τi,

kruhovou frekvenciou Ω1 a opakovacou periódou T (obr.4.3) platí z Fourierovej analýzy

+Ω

τ+Ω

τΩπ

+πτΩ= ∑

∞

=)tncos()t(ncos

nsin

n

BB)t(a i

,i

n

i111

1

1

10 22

12

2

PAM1 PAM2

a1(t) a2(t) c(t) c(t)

nTd Td Td

nTd t t

37

+ )tnsin()t(nsinn

sinn

B i,

i

n111

1

1 22

12 Ω

τ+Ω

τΩπ ∑

∞

= (4.4)

Obr. 4.3. Periodická postupnosť pravouhlých impulzov.

Keď označíme ii AB,

T,t =π=Ωτ−= 2

2 11 , po úprave dostaneme

ΩτΩ

τΩ

+τ= ∑∞

=11

1

1

0

2

221

n i

i

ii )tncos(n

nsin

T

A)t(a (4.5)

Pretože pri PAM1 sa amplitúda impulzov mení podľa toho istého priebehu ako modulačný signál, bude

[ ])tsin(mAA ii Ω+= 10 , (4.6)

kde 0

0

iA

Ckm= je hĺbka amplitúdovej modulácie, pričom k je činiteľ úmernosti.

Po dosadení Ai do a0(t) v rov. (4.5) a využitím platnosti vzťahu, že

38

2

22 1

1

1

i

i

i

n

nsin

nSinc τΩ

τΩ

=

τΩ (4.7)

dostaneme výraz pre modulovaný signál PAM1

[ ]

Ω

τΩ+Ω+τ= ∑∞

=11

101 2

211n

iii )tncos(n

Sinc)tsin(mT

A)t(a (4.8)

a po jeho rozpísaní

+

Ω

τΩ+τ= ∑∞

=11

101 2

21n

iii )tncos(n

SincT

A)t(a

[ ]+Ω+Ω

τΩ+Ω+ ∑∞

=11

1

2n

i )t)n(sinn

Sincm)tsin(m

[ ]

Ω−Ω

τΩ+ ∑

∞

=11

1

2n

i )t)n(sinn

Sincm (4.9)

Prvý člen výrazu predstavuje spektrum nemodulovaných impulzov. AM spôsobuje, že okolo každej zložky tohto spektra vznikajú postranné pásma, zodpovedajúce spektru modulačného signálu (správy). To znamená, že spektrum signálu PAM1 predstavuje akoby mnohonásobné zopakovanie spektra obyčajnej AM, pričom úlohu nosného signálu plnia harmonické zložky pulzov.

Názorné spektrum signálu PAM1 je na obr.4.4 dole. Spektrum modulačného signálu (obr.4.4 hore) bolo vybrané tak, aby sa poukázalo na to, že vzorky spektra pravouhlých impulzov, ktorých obálkou je Sinc funkcia, nemajú vplyv na skreslenie tvaru obdĺžnikového spojitého spektra modulačného signálu (menia len jeho výšku podľa veľkosti vzoriek Sinc funkcie).

K získaniu modulačného signálu stačí priviesť modulované impulzy PAM 1 na dolnopriepustný filter. Potom na jeho výstupe získame modulačný signál.

39

Obr.4.4. Spektrum modulačného signálu C(ω) (hore), b) spektrum PAM1

signálu A1(ω) (dole).

Podobne pre modulovaný signál PAM2 dostaneme výraz

( ) +Ω

τΩ+τ= tsinn

SincmT

A)t(a iii

21 10

2

( ) ( )( )∑∞

=

−Ω+Ω

τΩ+Ω+Ω

τΩ+1

11

11

222

n

ii tnsin)n(

Sincmtncosn

Sinc

( )( )

Ω−Ω

τΩ−Ω− tnsin)n(

Sincm i1

1

2 (4.10)

Spektrum signálu PAM2 je na obr.4.5

40

Obr.4.5. Spektrum modulačného signálu C(ω) (hore), b) spektrum PAM2

signálu A2(ω)(dole).

Dostávame podobný výsledok ako pre PAM 1, ale je tu jeden podstatný rozdiel. Veľkosť a najmä tvar všetkých spektrálnych zložiek vrátane základnej zložky sú ovplyvňované spojitou Sinc funkciou. Spektrum základnej zložky, ktorú môžeme získať pomocou dolnofrekvenčného filtra bude v tomto prípade vykazovať lineárne skreslenie. Signál PAM2 po prechode týmto filtrom nedáva presne modulačný signál na jeho výstupe.

4.2. Pulzná šírková modulácia (PWM)

Pulzná šírková modulácia sa delí na dva druhy:

• PWM1 - prvého druhu, jednostranná

• PWM2 - druhého druhu, dvojstranná.

Pri PWM závisí šírka impulzov od veľkosti príslušných vzoriek modulačného signálu, čiže sa mení v súlade s prenášanou správou. Vrcholová hodnota impulzov a ich poloha vzhľadom na polohu vzoriek sa nemení. Pri jednostrannej PWM sa mení (posúva) len jedna hrana každého impulzu, buď predná (čelo) alebo zadná (tylo). Pri obojstrannej (symetrickej) PWM sa posúvajú rovnako u každého impulzu obe hrany (čelo aj tylo). Analýza signálu PWM je veľmi

41

zložitá, preto sa obmedzíme iba na jednostrannú PWM1, pričom budeme predpokladať, že sa mení len predná hrana impulzov

Budeme predpokladať, že periodická postupnosť nemodulovaných pravouhlých impulzov (nosný signál) má šírku impulzu τi a amplitúdu (výšku) Ai0. Na začiatok časovej osi zvolíme časový okamih zodpovedajúci strednej polohe impulzu, potom na intervale jednej periódy T platí

>>≤≤

=21

2100 0 ttt

tttA)t(a i (4.11)

Tento signál je na obr.3.6 hore, z ktorého vidno, že t1 a t2 určujú polohu prednej a zadnej hrany každého impulzu a šírka impulzu τi = t2 – t1.

Predpokladajme, že pri modulácii šírky impulzu podľa modulačného signálu )tsin()t(c Ω= (na obr. 4.6 v strede) sa mení len časová poloha prednej hrany

impulzu, zatiaľ čo poloha zadnej hrany zostáva nezmenená (PWM1), viď obr.4.6 dole. Označíme maximálnu odchýlku prednej hrany impulzu ∆τ, pričom ∆τ ≤ τi. Potom pre polohy hrán impulzov pri PWD platí

i

i

,t

)tsin(,t

τ=Ωτ∆−τ−=

50

50

2

1 (4.12)

Pre periodickú postupnosť nemodulovaných pravouhlých impulzov potom platí Fourierov rad

( )[ ] ( )[ ] ∑∞

=−Ω−−Ω

π+−=

12111

01200

1

n

ii ttnsinttnsinn

A

T

)tt(A)t(a

(4.13)

Po dosadení za t1 a t2 z rov.(4.12) do rov.(4.13) dostaneme výraz pre modulovaný signál PWM1

+Ωτ∆+τ= )tsin(T

A

T

A)t(a iii 00

1

∑∞

=

τ−Ω−

Ωτ∆+τ+Ωπ

+1

110

22

1

n

iii tnsin)tsin(tnsinn

A

(4.14)

42

Obr.4.6. Princíp jednostrannej pulznej šírkovej modulácie (PWM1).

Z rov.(4.14) je zrejmé, že pri modulácii koeficienty Fourierovho radu nie sú konštantné, ale sú to periodické funkcie času. Z teórie Besselovych funkcií platí, že

)mzxsin()y(J)zsinyxsin(m

m +=+ ∑∞

−∞= (4.15)

preto modulovaný signál PWM1 možno upraviť na tvar

+

τ−Ωπ

−Ωτ∆+

κ= ∑

∞

=1101 2

11

n

ii tnsin

n)tsin(

TA)t(a

( )∑ ∑∞

=

∞

−∞=

κπ+Ω+Ω

κττ∆π

π+

11

21

n im

m

ntmnsin

nJ

n, (4.16)

kde i

Tτ=κ je strieda signálu.

c(t)

a0(t)

a1(t)

τi

t1 t2

PWM1

∆τ

t

t

t

t2 t2

43

Spektrum PWM 1 signálu má zložitejšiu štruktúru ako spektrum signálu PAM pri tom istom modulačnom signáli. Okolo harmonických frekvenčných zložiek nΩ1 signálu a0(t) je v prípade PWM teoreticky nekonečný počet postranných frekvenčných zložiek Ω±Ω mn 1 pre m = 1, 2, ....atď. Ich amplitúdy sú dané

hodnotami Besselovej funkcie m-tého rádu a uvedeného argumentu v rov. (4.16) t.j. závisia od pomeru iττ∆ , ktorý možno nazvať koeficientom hĺbky

modulácie šírky impulzov. Tento koeficient určuje aj hodnotu amplitúdy zložky Ω modulačného signálu, teda správy. Limitná hodnota pomeru iττ∆ =1.

4.3. Pulzná polohová (fázová) modulácia (PPM)

Pri PPM sa pôsobením modulačného signálu mení časový posun (poloha, fáza) pravouhlých impulzov nosného signálu vzhľadom na polohu vzoriek modulačného signálu. Veľkosť tohto posunu nezávisí od frekvencie modulačného signálu, ale len od veľkosti príslušných vzoriek modulačného signálu. Vrcholová hodnota a šírka pravouhlých impulzov sa nemení (viď obr.4.7).

Obr.4.7. Princíp pulznej polohovej (fázovej) modulácie (PPM).

c(t)

a0(t)

a1(t)

t

t

t

44

Analyzujme spektrum signálu PPM pre prípad, že modulačný signál )tsin()t(c Ω= . Predpokladajme, že pri 0>Ω )tsin( sa impulzy pri PPM

posúvajú doprava vzhľadom na polohu vzoriek (predbiehanie) a pri 0<Ω )tsin(

doľava, čo sa dá matematicky vyjadriť takto

( )[ ]τ∆−Ωτ∆−τ=Ωτ∆−τ=

tsin,)t(t

)tsin(,)t(t

i

i

50

50

2

1 (4.17)

Po dosadení do rov.(4.13) nosného signálu dostaneme pre signál PPM

+

τ−Ω

τΩ+

κ= ϕ 22

101

iii tcossinmA)t(a

( ) ( ) −

κπ+Ω+Ωπ

π+∑ ∑

∞

=ϕ

∞

−∞=11

1

nm

m

ntmnsinmnJ

n

( ) ( )∑ ∑∞

=ϕ

∞

−∞=

τΩ−κπ−Ω−Ωπ

π−

11

1

nim

m

mn

tmnsinmnJn

(4.16)

Spektrum signálu PPM má všeobecne zložitejšiu spektrálnu štruktúru ako signál PAM. Amplitúdy postranných zložiek Ω±Ω mn 1 závisia od Tm τ∆=ϕ 2 .

Spektrálna zložka Ω je časovo oneskorená o 2iτ a jej amplitúda je úmerná

( )2isin τΩ , čiže závisí od modulačnej frekvencie Ω.

45

5. HILBERTOVÁ TRANSFORMÁCIA A ANALYTICKÝ (KOMPLEXNÝ) SIGNÁL

Reálne signály sa v praxi vyskytujú bežne. Spektrum reálneho signálu získané Fourierovou transformáciou obsahuje nenulové zložky v časti kladných frekvencií, ako aj v časti záporných frekvencií.

Analytický signál je umelo vytvorený signál z východzieho reálneho signálu. Spektrum analytického signálu obsahuje iba zložky v oblasti kladných frekvencií, má teda jednostranné spektrum. Obr.5.1 nám zobrazuje porovnanie spektier reálneho a analytického signálu. Dôvod nesymetrie týchto dvoch spektier je v tom, že k tomuto reálnemu signálu je v definícii analytického signálu pripojená imaginárna časť. Tato imaginárna časť spôsobuje odstránenie spektrálnych zložiek na záporných frekvenciách a zdvojnásobenie veľkosti zložiek na kladných frekvenciách. Imaginárna časť je definovaná tak, aby umožnila ľahko analyzovať modulačné efekty nízkofrekvenčných signálov na nosné signály o vyšších frekvenciách, než je najvyššia frekvencia modulačného signálu. K vytvoreniu imaginárnej časti analytického signálu je použitá Hilbertova transformácia ktorú si popíšeme v nasledujúcej kapitole.

Obr.5.1. Spektrum a) reálneho signálu, b) analytického signálu.

5.1. Hilbertova transformácia

Hilbertova transformácia (HT) sa dá odvodiť z Fourierovej transformácie (FT). Je to transformácia z časovej oblasti do časovej oblasti alebo z frekvenčnej do frekvenčnej oblasti. Je to transformácia v tej istej oblasti. Zo spätnej Fourierovej transformácie platí, že signál

46

$ 12 Q RS95,#9-"- 5.1

Ak napíšeme, že RSω = ω + WX9,5.2 potom

$ = 12 Qω + WX9cos9 + W*Y:9#9-"- =

= ω cos9 − X9 sin9#9-"- 5.3 párne funkcie (môžeme zmeniť hranice integrácie).

Dostaneme, že

$ = 1Q98*9 − X9*Y:9#95.4-)

čo je trigonometrický tvar spätnej FT.

K funkcii x(t) môžeme priradiť takú funkciu y(t), aby výsledkom transformácie bola znovu reálna funkcia. Potom

\ = 1QX98*9 + 9*Y:9#9.-) 5.5

Tento predpis priradenia spočíva v tom, že v trigonometrickom tvare spätnej FT nahradíme koeficient pri cosωt záporne vzatým koeficientom pri sinωt a koeficient pri sinωt nahradíme koeficientom pri cosωt. Funkcia y(t) predstavuje obraz ku x(t).

Zavedieme substitúciu za a(ω), b(ω), potom

\ = 1πQ ^_−Q $` sin9` #`-"- a cos9 + _Q $` cos9` #`-

"- a sin9b-) #9 =

47

1πQ #ω-) Q $`*Y:9 − `#`5.6-

"-

Touto rovnicou je daný analytický predpis pre výpočet funkcie y(t) z funkcie x(t). Dvojnásobný integrál pravej strany nazývame integrálom pridruženým k Fourierovmu integrálu pre funkciu x(t). K funkcii y(t) teraz spätne priradíme funkciu času podľa tých istých zásad. Dostaneme

1Q−98*9 + X9*Y:9#9-) =

= − 1Q98*9 − X9*Y:9#9-) = −$5.7

Platia tieto dve rovnice

\ = 1πQ #ω-) Q $`*Y:9 − `#`-

"- − efYghi5.8 $ = − 1πQ #ω-

) Q \`*Y:9 − `#`-"- − *eä:áhi5.9

Skrátená forma zápisu \ = ℋo$p (5.10) $ = ℋ"o\p (5.11)

Dá sa dokázať, že pre reálne funkcie platia tieto vety alebo vlastnosti HT: ℋo$p = \ (5.12) ℋo$ + p = \ + (5.13)

a > 0 ℋo$p = \ (5.14)

ℋo$−p = −\ (5.15) ℋo$ + $p = \ + \(t) (5.16)

a1,a2 – reálne konštanty

48

ℋ"o\ \p $ $ (5.17)

Z nich vidno, že HT je podobne ako FT a LT (Laplaceova transformácia) integrálnou a lineárnou transformáciou.

Zjednodušíme dvojné integrály v priamej a spätnej HT nasledovne

\ 1π lims→- Q#9s) Q x`*Y:9 − `#`5.18-

"-

Zmena poradia integrálov je prípustná, ak je napríklad funkcia x(τ) absolútne integrovateľná na celej osi. Potom

\ = 1π lims→- Q $`#τ-"- Q*Y:9 − `#9 =s

)

= 1π lims→- Q 1 − 8*w − ` − ` $`#τ-"- =

= 1π 2 Q $` − ` #τ-

"- −lims→- Q 8*w − ` − ` $`#τ-"- 75.19

Ďalej platí, že

lims→- Q 8*w − ` − ` $`#τ-"- = x*yX*YúY:w − ` = | => ` = − |w~ =

= lims→- Q 8*|| $ O − |wP#z-

"- = Q cos|| $#z-"- = $ Q cos|| #z-

"- = 0, (5.20)

pretožeQef:e = Q:e = 0.

49

Čiže pre priamu HT sme dostali výraz, ktorý už neobsahuje 2 integrály:

\ 1 Q $` − `-

"- #`,5.21 je to vlastne konvolúcia signálu x(t) a funkcie = ,. Inak povedané, HT je

konvolúcia medzi spojitým časovým signálom x(t) a prevrátenou hodnotou jeho

premennej. Teda

\ = $ ∗ = $ ∗ , (5.22)

Podobne dostaneme spätnú HT

$ = − 1 Q \` − `-

"- #`5.23 Integrály na pravej strane sa rozumejú v zmysle Cauchyho hlavnej hodnoty integrálu, napr.

Q $` − `-

"- #` = lim→)→- Q $` − ` dτ,"" + Q $` − ` dτ

,4 5.24

Potom formálne skrátený zápis pre HT:

\ = 1 $ ∗ 1 5.25 $ = − 1 \ ∗ 1 5.26

kde symbol ∗ označuje konvolučný súčin.

Vo frekvenčnej oblasti je potom HT definovaná ako = R. (5.27)

kde R = o$p (5.28)

je Fourierova transformácia reálneho signálu x(t) a

50

op x ,~ CW*: W OP, 0CW O"P, 0

(5.29)

je Fourierova transformácia funkcie g(t)= , (výraz sng je v rovnici (5.29)

nazývaný signum a nadobúda hodnoty, ktoré sú uvedené za svorkovou zátvorkou). Grafický priebeh funkcie g(t) a jej spektra môžeme vidieť na obr.5.2.

Obr.5.2 Fourierova transformácia funkcie h(t)=1/πt.

Zo vzťahov (5.27) a (5.29) vyplýva že spektrálne zložky R sú na záporných

frekvenciách násobené činiteľom W (čo zodpovedá fázovému posunu o +) a zložky na kladných frekvenciách činiteľom – W (čo zodpovedá fázovému

posunu o -), viď obr.5.3.

Obr.5.3 Grafické zobrazenie dôsledku Hilbertovej transformácie.

51

Vzájomný vzťah medzi časovou a frekvenčnou oblasťou môžeme vyjadriť pomocou inverznej Fourierovej transformácie ako

$ ∗ "oRp (5.30)

5.2. Aplikácia Hilbertovej transformácie

Symbolická bloková schéma tvorby analytického signálu pomocou Hilbertovej transformácie je zobrazená na obr.5.4.

Obr. 5.4 Bloková schéma tvorby analytického signálu.

Hlavným blokom na obr.5.4 je Hilbertov transformátor, ktorý vystupuje ako fázovací článok (allpass). Prenosová funkcia CW*: tejto lineárnej sústavy posúva fázové spektrum o ± π/2 a impulzná odozva je rovná

1/, jedná sa teda o nekauzálnu a nestabilnú sústavu. Zo vzťahu (5.29) vyplýva že amplitúdovo frekvenčná charakteristika

|| 1 (5.31)

a fázovo frekvenčná charakteristika

C , 0 , 0 (5.32)

Grafické zobrazenie frekvenčných charakteristík Hilbertoveho transformátora je uvedené naobr.5.5.

52

Obr. 5.5 Frekvenčné charakteristiky Hilbertovho transformátora

a) amplitúdové spektrum, b) fázové spektrum.

Vytvorenie analytického signálu teda môžeme popísať nasledujúcimi krokmi:

1) Výpočet Fourierovej transformácie reálneho signálu, ktorý je zároveň

reálnou častou analytického signálu.

2) Aplikácia Hilbertovej transformácie na spektrum reálneho. Výsledkom tejto

operácie vznikne spektrum imaginárnej časti analytického signálu.

3) Aplikácia inverznej Fourierovej transformácie na výsledok

predchádzajúceho kroku. Výsledkom tejto operácie vznikne Hilbertov obraz

reálneho signálu.

4) Súčin Hilbertovho obrazu a činiteľa W. 5) Súčet reálneho signálu a Hilbertovho obrazu do výsledného analytického

signálu.

Príklad aplikácie Hilbertovej transformácie na signál 8*9 je zobrazený naobr.5.6. a ďalšie transformácie vybraných signálov sú uvedene v Tab.5.1.

53

Obr.5.6 Dôsledok aplikácie Hilbertovej transformácie na časový priebeh

a spektrum signálu.

Tab. 1 Porovnanie signálov a ich Hilbertovych obrazov

Signál Hilbertova transformácia *Y: C8* 8* *Y: , CW, ", W, 1 1

1 sin 1 C cos

⊓ 1 8 12 C 12 1

V ďalšom si ukážeme, že HT je veľmi dôležitým matematickým prostriedkom v teórii signálov, ako aj v teórii lineárnych sústav.

54

5.3. Analytický (komplexný) signál

Z matematického hľadiska každý reálny signál je reálnou funkciou času. Niekedy je však výhodnejšie zobraziť signál pomocou vektora (fázora) v komplexnej rovine alebo ho matematicky vyjadriť v symbolicko-komplexnom tvare. Prečo sa prevádza signál (funkcia) do komplexnej roviny? Lebo potom sa s tým dajú vykonávať jednoduchšie matematické operácie a s menším počtom.

Uvažujme harmonický signál opísaný pomocou kosínusovej funkcie

* ()8*9) C ) ()8*,5.33 A0 – amplitúda, ω0 – frekvencia, φ0 - počiatočná fáza, Θt - priebežná fáza.

Pri teoretickej analýze je užitočné vyjadriť ho v komplexnom tvare (fázor) zSt:

| = ()56,"¡6 = ()¢, = ()8* + W() sin=

= * + W£ (5.34) zSt je komplexná funkcia času, ktorej reálnu zložku vypočítame pomocou operátora st = RezSt. To znamená, že symbolicko-komplexný model signálu dostaneme, ak k reálnej časti s(t) pridáme imaginárnu časť, ktorú určíme podľa zvoleného predpisu. Imaginárna časť sa volí tak, aby kolmý priesek zSt na vodorovnú os zodpovedal danej reálnej funkcii 1| = *. V našom prípade ¥gzSt = £t je otočená o uhol π/2, čiže je ortogonálna voči reálnej časti.

Vektor zSt = A)e§¨© o dĺžke A0 sa otáča uhlovou rýchlosťou ω) = ª¨©ª© proti

pohybu hodinových ručičiek (vektor opisuje kružnicu). Signál s(t) možno vyjadriť v tvare: * = (8*, kde

( = «* + £ je dĺžka výsledného vektora alebo obálka signálu s(t),

σt = Im|t zSt

st = Re|t ()

55

f ®,¯, - je uhol, ktorý zviera výsledný vektor s vodorovnou osou.

Zložku £t nazývame pridruženou k signálu s(t). Je zrejmé, že zložka σt a harmonický signál s(t) predstavujú dvojicu HT (sú v tej istej oblasti, sú ortogonálne.

Funkcie £t pridružené k periodickým funkciám s(t) pomocou HT sú tiež periodické s tou istou periódou. Tieto funkcie sú na intervale periódy vzájomne ortogonálne, t.j. och skalárny súčin

Q*£#°)

0.5.35 Predpokladajme, že £t je pridružená k všeobecnému signálu s(t) pomocou priamej HT a naopak, s(t) je spätnou HT funkcie £t. Platí

£t = ℋ* = 1 Q *` − `-

"- #`5.36 * = ℋ"£ = − 1 Q £` − ` #`

-"- 5.37

Komplexná funkcia

|t = st + W£t = * + W 1 Q *` − `-

"- #`5.38 t. j. analytický signál.

Imaginárna zložka signálu je HT jeho reálnej zložky.

Spektrum analytického (komplexného) signálu

Predpokladajme, že s(t) je reálny signál. Ak k nemu pripojíme imaginárnu zložku £t pomocou HT, dostaneme náhradu signálu s(t) jeho fázorom, t.j. komplexným (analytickým) signálom | = * + W£5.39

56

Na základe vety o linearite bude spektrálna hustota analytického signálu

±9 o|p o* W£tp o*p Wo£tp, t.j. ±9 ²9 WS®95.40

kde ²ω s(t) - spektrálna hustota neperiodického signálu s(t), FS®ω £t- spektrálna hustota zložky£t, ktorá bola pridružená pomocou HT k s(t).

Vypočítame spektrum imaginárnej zložky pomocou FT

S®9 = Q £"5,# = 1 Q "5,# Q *` − ` #`-

"--

"--

"- 5.41 Výmenou integrálov a zavedením substitúcie ´ = − ` ; #´ = #; pričom "5, = 8*9 − W*Y:9 dostaneme

S®9 = Q *`"5µ#`-"-;<<<<=<<<<>¶5

Q 8*9´ − W*Y:9´´ #´-"-;<<<<<<=<<<<<<>§·¸¹º»)"§·¸¹º¼)

5.42 Potom pre spektrum imaginárnej zložky analytického signálu dostávame

S®9 = ½−W²9 = ²9" preω > 0,9 > 00,9 = 0W²9 = ²9 preω < 0,9 < 05.43 Všetky záporné frekvencie signálu dostanú +90° fázový posun a všetky kladné frekvencie dostanú -90° fázový posun.

Spektrum analytického signálu bude

±9 = ¿ ²9 + W−W²9 = 2²9, 9 > 0²9, 9 = 0²9 + WW²9 = 09 < 05.44

57

Tato definícia má jednoduché vysvetlenie vo frekvenčnej oblasti. Tam vyzerá spektrum analytického signálu ±9tak, že:

a) sú odstránené všetky jeho spektrálne zložky na záporných frekvenciách,

b) jednosmerná zložka zostane rovnaká, ako u pôvodného reálneho signálu s(t),

c) kladným frekvenčným zložkám sa hodnota zdvojnásobí:

Analytický signál má teda polovičnú šírku pásma v porovnaní so signálom reálnym. To znamená, že spektrum ±9 analytického signálu | má len jedno postranné pásmo (čiže analytický signál je signál s jedným postranným pásmom). Toto je dôležitý výsledok použiteľný pre modulované alebo pásmové signály (napr. preložiť signál do základného pásma, zdvojnásobiť jeho spektrálne zložky a odstrániť hodnoty pri záporných frekvenciách).

Pomocou spätnej FT dostaneme výraz pre analytický signál v časovej oblasti.

| 12 Q ±95,-"- #9 = 1Q ²95,-

) #95.45 lebo 0 => |)"- = 0; 2²-) 9. Tento výraz umožňuje nájsť matematický model analytického signálu priamo, bez počítania zložky £t pridruženej k signálu s(t).

Všeobecný analytický signál zSt = st + jσt môžeme zapísať v Eulerovom tvare | = * + W£ = (¨,5.39 kde * = (8*Θ ( = ||| = «* + £ - obálka (amplitúda) signálu,

(5.40)

Θ =arctanO®,¯,P- okamžitá fáza signálu. (5.41)

Okamžitá hodnota frekvencie pôvodného signálu je odvodená pomocou derivácie fázy analytického signálu:

= φà = ÄÄ, = ÄÄ, f: O®,¯,P (5.42)

58

Keď £ 0, signál s(t) sa stotožňuje s obálkou * (. Po umocnení rovnice pre výpočet amplitúdy na druhú a diferencovaní dostaneme

( * £| ## 5.43 (#(# *#*# £ #£# 5.44

Ak s(t) = A(t) a σ(t) = 0, tak sa rovnajú ich derivácie, t.j. majú spoločnú dotyčnicu. Okrem toho vždy platí, že ( Å *. To znamená, že A(t) a s(t) sa nikdy nepretínajú a majú spoločné dotyčnice v bodoch, kde σ(t)=0. Preto možno funkciu A(t) nazvať obálkou signálu s(t).

Uvedené výrazy sú pritom spojité reálne funkcie času. Jedná sa teda o signál, ktorého reálnu a imaginárnu zložku môžeme vyjadriť ako

* 1o|p ( cosΘ,5.45 £ ¥go|p ( sinΘ.5.46 Grafické vyjadrenie signálov a ich spektier je na obr.5.7. Je vidieť, že spektrum na kladných frekvenciách má dvojnásobnú veľkosť a veľkosť spektra na záporných frekvenciách je nulová.

Obr.5.7. Analytický signál, časový priebeh a spektrum. Reálna zložka (vľavo), imaginárna zložka (uprostred) a komplexný signál (vpravo).

59

Pomocou analytického signálu možno vypočítať celkovú normovanú energiu signálu s(t)

Æ Q *#-"-

121 Q|| ||∗-

"-#Ç 12 Q ||∗

-

"-#

5.47Operátor Re reálnej hodnoty nemusíme písať pred posledným integrálom, lebo súčin je reálne číslo. Toto zjednodušenie sme dosiahli preto, lebo pomocou Parcevalovej teorémy môžeme dokázať, že

Q ||-"-

# 0.5.48 Dôkaz:

Q ||-"-

# 12 Q ±9-

"-±−9#9 05.49

= 0

Z poslednej rovnice môžeme odvodiť nasledovné výrazy:

*-"- # £-"- #;...normované energie Re aj Im zložky sú rovnaké,

Q *£#-"-

Q Q **` C `--

-"-

##` 05.50 teda s(t), σ (t) sú na celom intervale vzájomne ortogonálne.

Zavedenie analytického signálu v teórii signálov je analogické zavedeniu fázorovej reprezentácie harmonických resp. všeobecne periodických signálov a je výhodný všade tam, kde sa vyžadujú lineárne operácie s náhodným signálom, napr. pri vyšetrovaní pôsobenia lineárnych sústav na takéto signály, alebo v analýze elektrického stavu lineárnych sústav. Je tiež veľmi užitočným pojmom najmä v prípade úzkopásmových amplitúdovo, frekvenčne a fázovo modulovaných signálov. To znamená, že HT nám umožnila zaviesť analytický signál pre ľubovoľný signál.

60

Vlastnosti analytického signálu sú :

- analytický signál má oproti reálnemu signálu polovičnú šírku spektra.

- z časovej oblasti signálu môžeme vypočítať okamžitú amplitúdu a frekvenciu signálu.

Využitie analytického signálu :

Napr. ako klasifikátor modulácií na báze štatistických príznakov. Na rozpoznanie reálnych modulovaných signálov pomocou počítača je treba vykonať tieto operácie:

- prevedenie reálneho spojitého signálu na jeho diskrétnu formu pomocou vzorkovania s vhodnou vzorkovacou frekvenciou,

- transformácia diskrétnej formy signálu na analytický signál,

- výpočet okamžitej amplitúdy skúmaného signálu,

- výpočet okamžitej fázy signálu ,

- výpočet okamžitej frekvencie signálu,

- výpočet vhodných kľúčových príznakov,

- vlastná klasifikácia.

Ďalej uvažujme napr. Fourierove spektrum AM signálu (obr. 2.4), ktoré obsahuje okrem spektra nosnej zložky ešte ďalšie dve spektrá modulačného signálu posunuté oproti nulovej frekvencii o 9) a C9), t.j. do bodu nosnej frekvencie. Nosná zložka a modulačný signál sú reálne signály, preto sú v absolútnej hodnote symetrické vzhľadom k nulovej frekvencii. Spektrum modulovaného signálu obsahuje okrem nosnej zložky tiež horné a dolné postranné pásmo. Z dvojice zložiek Fourierového spektra, ktoré sú rozložené symetricky okolo nosnej zložky a ich počiatočné fázy sú opačné, môžeme určiť amplitúdový modulačný signál aj bez nástrojov k detekcii obálky. Ak je však zistených viac postranných zložiek, potom priebeh modulačného signálu je možné detekovať výpočtom obálky analytického signálu s použitím Hilbertovej transformácie (rov. 5.40). Ak okrem vybranej nosnej zložky s postrannými pásmami obsahuje spektrum ďalšie zložky, potom je potrebné tieto zložky zo

61

spektra odstrániť ich nulovaním. Reálna a imaginárna časť analytického signálu, z ktorého je vypočítaná obálka, obsahuje vo svojich spektrách iba nosnú zložku a postranné pásma a ostatné zložky majú nulové amplitúdy. Nulovanie niektorých zložiek Fourierového spektra je možné označiť za filtráciu vo frekvenčnej oblasti.

Komplexná obálka spektra analytického signálu je (nízkofrekvenčný) signál v základnom pásme, ktorý popisuje pásmový signál. K získaniu komplexnej obálky spektra je potrebné posunúť spektrum analytického signálu do základného pásma (o ω0 vľavo), ako je to zobrazené na obr. 5.8.

Obr.5.8. Spektrum pásmového signálu (hore), spektrum analytického signálu (uprostred) a komplexná obálka signálu v základnom pásme.

62

Iný príklad využitia analytického signálu je pri komplexnom zmiešavaní signálov, kedy môžu nastať tri základné prípady zmiešavania:

- zmiešavanie reálneho signálu s iným reálnym signálom (obr.5.9),

- zmiešavanie analytického signálu s reálnym signálom (obr.5.10) a

- zmiešavanie dvoch rôznych analytických signálov (obr.5.11).

Obr.5.9 Zmiešavanie dvoch reálnych signálov.

Obr.5.10 Zmiešavanie analytického modulačného signálu s reálnou nosnou.

Obr.5.11 Zmiešavanie analytického modulačného signálu s analytickou nosnou.

63

LITERATÚRA

[1] Mihalík,J. - Gladišová, I. - Zavacký,J.: Neperiodické a modulované

signály (Návody na cvičenia). LČSOV FEI TU Košice, 2014.

[2] Chmúrny, J. – Židek, F.: Signály a sústavy. SVŠT Bratislava, 1984.

[3] Oppenheim, V. A. – Willsky, S. A.: Signals & Systems. Prentice – Hall

International, New Jersey, 1997.

[4] McClellan, J.H. - Schafer, R.W. – Yoder, M.A.: Signal Processing First.

Pearson Education, Inc., 2003.

[5] Yeung, R. W.: A First Course in Information Theory, Springer, New

York, USA, 2002.

[6] Baskakov, S. I.: Signals and Circuits. Mir Publishers, 1986.

[7] Ondráček, O.: Signály a sústavy. STU Bratislava, 2008.

[8] Tůma, J.: Zpracovaní signálu z mechanických systému užitím FFT,

Štramberk, 1997.

[9] Du, K-L. – Swamy, M. N. S.: Wireless Communication Systems: From

RF Subsystems to 4G Enabling Technologies. Cambridge University

Press, 2010.

[10] Pospíšil, J.: Teórie zpracování signálů. UP Olomouc, 1994.

[11] King, F. W.: Hilbert Transforms 2, Cambridge University Press, 2009.

[12] Kak, S.: "Number theoretic Hilbert transform", Circuits Systems Signal

Processing 33, 2014, pp. 2539–2548.