Gleichgewicht: Thales, Pythagoras und Archimedes

Hans Walser

www.math.unibas.ch/~walser

Rollt der Kreis ab?

Wo ist der Schwerpunkt?

Rollt der Kreis ab?

Archimedes comes in

Lokale Schwerpunkte

Archimedes comes in

Lokale SchwerpunkteHebelgesetze

Archimedes comes in

Hebelgesetze

Gleichgewichtsfigur:Punkte auf einem Kreis, Mittelpunkt ist Schwerpunkt

Einfachstes Beispiel: Durchmesser im Thaleskreis

A1

A2

CA1

A2

d2

r

Pythagoras: d12+ d2

2= 4r2

d1

Einfachstes Beispiel: Durchmesser im Thaleskreis

C

Normierung:

A1

A2

Pythagoras:

r = 1

r = 1

d2

d1

d12+ d2

2= 4

Einfachstes Beispiel: Durchmesser im Thaleskreis

Hypotenuse ein Rechteck

A1

A2

d12+ d2

2+ d3

2+ d4

2= 8

A4

4 Punkte:

C

A3

d4

d3

2 Punkte:

(trivial!)

d2

d1

d12+ d2

2= 4

d12+ d2

2= 4

Hypotenuse ein Dreieck

A1

A2

4 Punkte:

C

A3d3

2 Punkte:3 Punkte: d1

2+ d2

2+ d3

2= ?

d2

d1

d12+ d2

2+ d3

2+ d4

2= 8

d1 = 2

d2 = 1

d3 = 1

Sonderfall: Symmetrie

A1

A2

C

d1

d2

A3

d3

d12+ d2

2+ d3

2= 6

A1

A2

= Cd1

d2

A3d3 = 0

Sonderfall: Symmetrie d12+ d2

2+ d3

2= 6

d1 = 3

d2 = 3

d3 = 0

A1

A2

C

A3

Sonderfall: Symmetrie im Raum d12+ d2

2+ d3

2= 6

d1 = 2

d2 = 2

d3 = 2

Und?

A1

A2

C

A3

Vermutung: d12+ + dn

2= 2n

n = Anzahl Punkte

Vermutung:

Symmetrische Beispiele in der Ebene:

Stoeter, Carsten und Wohlrabe, Klaus: Vergessene Längen. Besondere Eigenschaften regulärer Vielecke. MNU 62/1 (15. 1. 2009), S. 10-14

Stoeter, Carsten und Wohlrabe, Klaus: Zu: Vergessene Längen. MNU 64/1 (15. 1. 2011)

d12+ + dn

2= 2n

Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

Beweis:

Koordinatenursprung im Mittelpunkt

Punkte auf Kreis:

Schwerpunkt im Mittelpunkt:

Beliebiger Punkt C:

Abstand:

a j = OAj , j 1,…,n{ }

1n

a jj=1

n= 0

c = OC

a j c

Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

Beweis:

Koordinatenursprung im Mittelpunkt

Punkte auf Kreis:

Schwerpunkt im Mittelpunkt:

Beliebiger Punkt C:

Abstand:

a j = OAj , j 1,…,n{ }

1n

a jj=1

n= 0

c = OC

a j c

Wenn man aufhören würde,Mathematik verstehen zu wollen,könnte man sie genießen wie Musik.

Norbert A Campo

Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

Beweis:

Koordinatenursprung im Mittelpunkt

Punkte auf Einheitskreis/ -Kugel:

Schwerpunkt im Mittelpunkt:

Beliebiger Punkt C:

Abstand:

a j = 1

1n

a jj=1

n= 0

c = MC

d j = a j c

a j = MAj , j 1,…,n{ }

Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

Beweis:

Koordinatenursprung im Mittelpunkt

Punkte auf Einheitskreis/ -Kugel:

Schwerpunkt im Mittelpunkt:

Beliebiger Punkt C:

Abstand:

a j = 1

1n

a jj=1

n= 0

c = MC

d j = a j c

a j = MAj , j 1,…,n{ }

Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

Beweis:

Koordinatenursprung im Mittelpunkt

Punkte auf Einheitskreis/ -Kugel:

Schwerpunkt im Mittelpunkt:

Beliebiger Punkt C:

Abstand:

a j = 1

1n

a jj=1

n= 0

c = MC

d j = a j c

a j = MAj , j 1,…,n{ }

S = d j2

j=1

n= a j c( )

2

j=1

n= a j

2

j=1

n

=n

2c a jj=1

n

=0

+ nc2 = n 1+ c2( )

c2 = 1 S = 2n

Summe der Quadrate der Abstände

Dimensionsunabhängig

S = d j2

j=1

n= a j c( )

2

j=1

n= a j

2

j=1

n

=n

2c a jj=1

n

=0

+ nc2 = n 1+ c2( )

c2 = 1 S = 2n

Summe der Quadrate der Abstände

Dimensionsunabhängig

S = d j2

j=1

n= a j c( )

2

j=1

n= a j

2

j=1

n

=n

2c a jj=1

n

=0

+ nc2 = n 1+ c2( )

c2 = 1 S = 2n

Summe der Quadrate der Abstände

Dimensionsunabhängig

S = d j2

j=1

n= a j c( )

2

j=1

n= a j

2

j=1

n

=n

2c a jj=1

n

=0

+ nc2 = n 1+ c2( )

c2 = 1 S = 2n

Summe der Quadrate der Abstände

Dimensionsunabhängig

Punkte auf

Einheitskreis

Schwerpunktim Mittelpunkt

S = d j2

j=1

n= a j c( )

2

j=1

n= a j

2

j=1

n

=n

2c a jj=1

n

=0

+ nc2 = n 1+ c2( )

c2 = 1 S = 2n

Summe der Quadrate der Abstände

Dimensionsunabhängig

Punkte auf

Einheitskreis

Schwerpunktim Mittelpunkt

S = d j2

j=1

n= a j c( )

2

j=1

n= a j

2

j=1

n

=n

2c a jj=1

n

=0

+ nc2 = n 1+ c2( )

c2 = 1 S = 2n

Summe der Quadrate der Abstände

Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

Kreisbögen („runde Abstände“)

CA1

A2

2

1

1

Kreisbögen

CA1

A2

2

1

1

1 + 2 = cos 2( ) = cos 1( ) cos 1( ) + cos 2( ) = 0

Vermutung:

CA1

A2

2

1

1

cos j( )j=1

n= 0

1 + 2 = cos 2( ) = cos 1( ) cos 1( ) + cos 2( ) = 0

Vermutung:

C

cos j( )j=1

n= 0

Die rote Spinne

Vermutung:

C

cos j( )j=1

n= 0

Die rote Spinne?

Vermutung:

C

cos j( )j=1

n= 0

Die rote Spinne?

Vermutung:

Beweis:

cos j( )j=1

n= 0

cos j( ) =a jc

a j c= a jc

cos j( )j=1

n= a jcj=1

n= c a j

j=1

n

0

= 0

Vermutung:

Beweis:

cos j( )j=1

n= 0

cos j( ) =a jc

a j c= a jc

cos j( )j=1

n= a jcj=1

n= c a j

j=1

n

0

= 0

Einheitskreis/ -Kugel

Vermutung:

Beweis:

cos j( )j=1

n= 0

cos j( ) =a jc

a j c= a jc

cos j( )j=1

n= a jcj=1

n= c a j

j=1

n

0

= 0

Vermutung:

Beweis:

cos j( )j=1

n= 0

cos j( ) =a jc

a j c= a jc

cos j( )j=1

n= a jcj=1

n= c a j

j=1

n

0

= 0

Schwerpunktim Mittelpunkt

Gleichgewichtsfiguren, Beispiele:

- Regelmäßige Vielecke

- Platonische Körper

- Punktsymmetrische Vielecke / Körper mit Umkreis / -Kugel

- Kombination von Gleichgewichtsfiguren

- Andere?

Gleichgewichtsfiguren: Kombination von Gleichgewichtsfiguren

Gleichgewichtsfiguren: Kombination von Gleichgewichtsfiguren

Gleichgewichtsfiguren: Kombination von Gleichgewichtsfiguren

Gleichgewichtsfiguren: Konstruktion von Gleichgewichtsfiguren

M

Beispiel: n = 5

Gleichgewichtsfiguren: Konstruktion von Gleichgewichtsfiguren

M

A1

Beispiel: n = 5

A1 beliebig

Gleichgewichtsfiguren: Archimedes

M

A1

Beispiel: n = 5

A1 beliebig

Da hängen vier Massen dran.

Gleichgewichtsfiguren: Konstruktion von Gleichgewichtsfiguren

M

A1

Beispiel: n = 5

A1 beliebig

Da hängen vier Massen dran.

A2

A2 beliebig

Gleichgewichtsfiguren: Algorithmus

M

A1

Beispiel: n = 5

A1 beliebig

Da hängen drei Massen dran.

A2

A2 beliebig

M

A1

Beispiel: n = 5

A1 beliebig

Da hängen drei Massen dran.

A2

A2 beliebig

A3

A3 beliebig

Gleichgewichtsfiguren: Algorithmus

M

A1

Beispiel: n = 5

A1 beliebig

Da hängen zwei Massen dran.

A2

A2 beliebig

A3

A3 beliebig

Gleichgewichtsfiguren: Algorithmus

Nicht so ganzbeliebig

Gleichgewichtsfiguren: Ende des Algorithmus

M

A1

Beispiel: n = 5

A1 beliebig

A2

A2 beliebig

A3

A3 beliebig

Punkt-spiegelung

M

A1

Beispiel: n = 5

A1 beliebig

A2

A2 beliebig

A3

A3 beliebig

Punkt-spiegelung

A5

A4 A4 und A5konstruiert

Gleichgewichtsfiguren: Ende des Algorithmus

Gleichgewichtsfiguren:

M

Beispiel: n = 5

Gleichgewichtsfiguren:

Verschiedene HebeltopologienWie viele Möglichkeiten gibt es?

M M

Gleichgewichtsfiguren:

Verschiedene HebeltopologienWie viele Möglichkeiten gibt es?

M M

Gleichgewichtsfiguren:

Verschiedene HebeltopologienWie viele Möglichkeiten gibt es?

n # Hebeltopologien h n( ) Zerlegung

1 1 1

2 1 1

3 3 1 3

4 15 1 3 5

5 105 1 3 5 7

6 945 1 3 5 7 9

Gleichgewichtsfiguren:

Verschiedene HebeltopologienWie viele Möglichkeiten gibt es?

n # Hebeltopologien h n( ) Zerlegung

1 1 1

2 1 1

3 3 1 3

4 15 1 3 5

5 105 1 3 5 7

6 945 1 3 5 7 9

Von derselbenQualität wie

0! = 1

Gleichgewichtsfiguren:

Verschiedene HebeltopologienWie viele Möglichkeiten gibt es?

n # Hebeltopologien h n( ) Zerlegung

1 1 1

2 1 1

3 3 1 3

4 15 1 3 5

5 105 1 3 5 7

6 945 1 3 5 7 9

Von derselbenQualität wie

0! = 1

Gewusst wie

ist besser als

Verstanden warum

Gleichgewichtsfiguren:

Unterteilung in zwei Klassen mit n – k und k Elementen.

n # Hebeltopologien h n( ) Zerlegung

1 1 1

2 1 1

3 3 1 3

4 15 1 3 5

5 105 1 3 5 7

6 945 1 3 5 7 9

h n( ) = 12 kn( )h n k( )h k( )

k=1

n 1

Rekursion:

Von derselbenQualität wie

0! = 1

Gleichgewichtsfiguren:

Beweis mit Catalan-Zahlen (Skript)

n # Hebeltopologien h n( ) Zerlegung

1 1 1

2 1 1

3 3 1 3

4 15 1 3 5

5 105 1 3 5 7

6 945 1 3 5 7 9

Rekursion: h n( ) = 12 kn( )h n k( )h k( )

k=1

n 1

Gleichgewichtsfiguren: Algorithmus bei regelmäßigen Vielecken

x t( ) =

sin t( )tsin t( )

sin t( )tcos t( )

t ,[ ]

Herzkurve und Kardioide

x t( ) =

sin t( )tsin t( )

sin t( )tcos t( )

t ,[ ]

x t( ) =121+ cos t( )( )sin t( )

121+ cos t( )( )cos t( )

t ,[ ]

Danke

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