La superficie di Fermi è una superficie immaginaria tridimen-sionale che rappresenta il moto e le energie degli elettroni inun metallo. Più precisamente, una superficie di Fermi è unasuperficie nello spazio della quantità di moto al di sotto della

quale tutti gli stati elettronici di un cristallo risultano occupatialla temperatura dello zero assoluto e al di sopra della qualeessi sono tutti liberi. Questo disegno rappresenta una parte (la« terza zona ») della superficie di Fermi del piombo metallico.

Gli elettroni di conduzionenei metalli

Gli atomi e gli elettroni all'interno dei cristalli agiscono collettivamentee creano onde «quasiparticelle». Queste possono aiutarci a stabilire seun cristallo è isolante, semiconduttore, conduttore, o superconduttore

una velocità sufficientemente bassa, èdata dalla formula E = p2/2m. La leg-ge di dispersione è profondamente con-nessa con la geometria dell'universo,ovvero con l'omogeneità e l'isotropiadello spazio.

Il « vuoto » in cui si trovano le qua-siparticelle è molto più complesso: gliatomi che giacciono in punti ben de-terminati del reticolo cristallino rendo-no lo spazio inomogeneo e anisotropo(cioè dotato di proprietà dipendenti dal-la direzione). Ciò complica fortemente

la relazione fra energia e quantità dimoto di un quanto. Il primo gradinonella spiegazione dello spettro di ener-gie di un cristallo è quindi costituitodalla determinazione della legge di di-spersione per le quasiparticelle. Si po-trebbe tentare di calcolare la legge didispersione; le forze principali che agi-scono fra le particelle (fra elettroni eioni e fra elettroni ed elettroni) so-no infatti note, e pure sono state sta-bilite le leggi fondamentali che rego-lano il moto di particelle atomiche.

I calcoli sono però cosí pesanti che oc-corre introdurre ipotesi semplificatrici.

Si è anche tentato un approccio cheoffre in genere più probabilità di suc-cesso: far si che la teoria sia guidatadai risultati sperimentali. Partendo daiconcetti più generali della meccanicaquantistica, i fisici hanno costruito unateoria matematica di quei fenomeniche avvengono nei cristalli e delle pro-prietà dei cristalli che sono sensibili al-la struttura energetica del cristallo stes-so e in particolare alla legge di disper-

di M. Ya. Azber, M. I. Kaganov e I. M. Lifshitz

Ij

a civiltà tecnologica moderna sibasa sul sapiente sfruttamentodelle proprietà degli elettroni nei

metalli. Queste proprietà non determi-nano solamente le caratteristiche elet-triche dei metalli ma virtualmente tut-to il complesso di caratteristiche lega-te allo stato metallico.

Come le proprietà dei vari tipi diatomi differiscono a causa del diversospettro di energie, allo stesso modo ledifferenze esistenti fra i metalli posso-no essere ricondotte ad analoghe diffe-renze nella struttura energetica. Negliatomi e nelle molecole la strutturaenergetica è determinata dai livelli dienergia occupati da singole particelle:gli elettroni. La meccanica quantisticaspiega che le energie degli elettroni nonpossono assumere valori arbitrari masolamente alcuni valori rigidamentedeterminati (si veda la figura a pagina37). Anche nei metalli la strutturaenergetica è determinata da particelle,ma non da particelle che si comporta-no come negli atomi singoli. All'inter-no dei cristalli che costituiscono il me-tallo, quanti di energia sono associatiad atomi e a elettroni che agisconocollettivamente, producendo onde chesi muovono attraverso l'intero cristal-lo. Questi quanti, che si comportanosotto molti aspetti come normali par-ticelle, si indicano con il nome di qua-siparticelle. Esse sono i portatori ele-mentari di moto in un sistema di ato-mi interagenti. Solo nei gas le particel-le costituenti (atomi e molecole) assol-vono alle due funzioni di unità strut-turali e di portatori di moto.

La natura delle quasiparticelle puòapparire meno complicata se ci soffer-miamo a considerare come è difficilecomprendere a fondo la struttura ener-getica di un metallo, almeno in lineadi principio. Come si può costruire unavalida teoria del moto se ogni centime-

tro cubo di metallo contiene circa 1023elettroni, che si muovono a elevata ve-locità e interagiscono non solo l'unocon l'altro ma anche con gli ioni (nu-clei atomici privi di un adeguato com-plemento di elettroni) che costituisco-no i centri di carica positiva regolar-mente spaziati nel reticolo cristallino?È ovviamente impossibile descrivereil moto di ogni elettrone. Per fortunaciò non è neppure necessario, dal mo-mento che il nostro interesse è rivoltosolo alle caratteristiche e alle proprietàdel metallo cristallino nel suo comples-so. Per fortuna, il comportamento me-dio di un aggregato è sempre moltopiù facile da prevedere che non il com-portamento di ciascuno dei suoi mem-bri; questa è la base di ogni statistica,e in particolare della statistica applica-ta alla fisica.

Una proprietà fondamentale dei cri-stalli è che gli atomi che li costituisco-no occupano le stesse posizioni in unastruttura periodica e simmetrica; la piùpiccola parte di questa struttura che siripeta uguale a se stessa è indicata conil nome di cella (si veda la figura inalto a pagina 36). In ogni cella ele-mentare gli atomi situati in posizioniomologhe godono di un identico intor-no spaziale e perciò interagiscono nel-lo stesso modo con ciascuno degli ato-mi vicini. Gli atomi in un cristallo pos-sono essere visti come circuiti oscillan-ti accordati tutti sulla medesima fre-quenza e capaci di entrare in risonan-za l'uno con l'altro. Qualunque eccita-zione che interessa un atomo provocaperciò una analoga eccitazione negliatomi vicini. Ne risulta che l'eccitazio-ne non può stabilizzarsi su una posi-zione ma si muove come un'onda at-traverso l'intero cristallo. I moti con-nessi a queste onde si generano e sitrasmettono solo in forma di pacchet-ti singoli, o quanti; questi quanti sono

appunto le cosiddette quasiparticelle.In un cristallo possono esserci diver-

si tipi di quasiparticelle, prodotte dadiversi tipi di moti collettivi. Per esem-pio, le onde di vibrazione elastica nelcristallo generano quanti di suono chesono indicati con il nome di fononi.Le onde prodotte dalle oscillazioni deimomenti magnetici nei materiali fer-romagnetici e antiferromagnetici (ondedi spin) generano quasiparticelle notecome magnoni. Le quasiparticelle chetrasportano la carica elettrica nei me-talli sono gli elettroni di conduzione.Sebbene la loro carica sia la stessa de-gli elettroni liberi, i portatori di cari-ca sono tipiche quasiparticelle dotatedi proprietà ben diverse da quelle de-gli elettroni liberi. La varietà delle pro-prietà dinamiche delle quasiparticelleè ancora più grande della varietà di ti-pi esistenti. Nello studio delle qu asipar-ticelle è molto importante possedereuna marcata comprensione del tipo didati che si devono acquisire e organiz-zare. Perciò dobbiamo tracciare ulte-riori distinzioni fra quasiparticelle eparticelle ordinarie.

Le particelle elementari che costitui-scono la materia — elettroni, proto-

ni, neutroni, fotoni, neutrini e cosí via— si trovano in uno spazio particolare:uno « spazio vuoto » che è omogeneoe isotropo (privo di proprietà dipen-denti dalla direzione). Perciò, a dispet-to delle molteplici differenze che si han-no nelle loro proprietà fondamentali, leparticelle elementari mostrano un ele-vato grado di uniformità nelle proprie-tà dinamiche. Queste proprietà sono de-terminate dalla dipendenza della ener-gia della particella, E, dalla quantitàdi moto, p, della particella stessa. Que-sta dipendenza è espressa nella leggedi dispersione che, per ogni particelladotata di massa m e che si muova a

34

35

h a

Per poter discutere la struttura energetica dei cristalli bisogna utilizzare il concettodi spazio della quantità di moto. Nello spazio della quantità di moto le celle di uncristallo sono caratterizzate da dimensioni inversamente proporzionali a quelle relativeal cristallo reale. Perciò una cella di dimensione a viene trasformata nello spazio dellaquantità di moto in una cella con lato pari a h/a, dove h è la costante di Planck.

2 3 4

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

80 000

90 000

100 000

110 000

— op — 5d 5f — 5g4s — 4p — 4d — 4f

— 3s 3p 3d

— 2s — 2p

is

Gli atomi nei cristalli sono disposti secondo un preciso ordinamento tridimensionale.I cristalli più semplici sono caratterizzati da celle unitarie di formi cubica. La distanzafra gli atomi vicini in un cristallo (a) varia normalmente da uno a cinque angstrom.

a

V

sione per le quasiparticelle. Paragonan-do le previsioni della teoria con i ri-sultati sperimentali è possibile ricostrui-re la struttura energetica dei cristallipartendo dalle leggi di dispersione.

Consideriamo in maggior dettaglio co-sa si intenda per struttura energeti-

ca di un cristallo. Il termine « struttu-ra » è particolarmente appropriato; in-fatti lo spettro di energie viene de-scritto con l'ausilio di immagini geo-metriche.

Le figure geometriche sono piuttostodifficili da interpretare poiché le costru-

la figura in basso in questa pagina).Per essere rigorosi dovr-mmo mostra-re come lo stato di una quasinarticellain un cristallo è caratterizzato non dal-la quantità di moto ma da una gran-dezza del tutto simile: la « quasiquan-tità di moto ». Da un punto di vistastrettamente teorico un cristallo puòessere rappresentato da una singola cel-la, dal momento che tutte le grandez-ze che dipendono dalla quasiquantitàdi moto sono funzioni periodiche conperiodo pari a una cella; l'esperienzaha però dimostrato che risulta più con-veniente l'uso di uno spazio infinito,in cui si possa tener conto direttamen-te della periodicità.

L'energia di una quasiparticella inun cristallo è rappresentata da unacomplessa funzione periodica della suaquasiquantità di moto. Questa funzio-ne viene abitualmente tracciata nelmodo seguente: si congiungono conuna superficie tutti i punti dello spaziodella quantità di moto in cui l'energiaeguaglia un certo valore predetermina-to. Superfici isoenergetiche del tuttosimili vengono tracciate anche per al-tri valori dell'energia. Per un elettronenello spazio libero le superfici isoener-getiche sono costituite da sfere il cuiraggio aumenta proporzionalmente allaradice quadrata dell'energia. In un cri-stallo il modo in cui varia la forma del-la superficie a seconda dell'energia de-termina la legge di dispersione per lequasiparticelle.

Quando il cristallo si trova nello sta-to fondamentale (cioè allo zero assolu-to), non ci sono moti di vibrazione re-golari e perciò nemmeno quasiparticel-le. Esse appaiono quando si introduceenergia nel cristallo: quando si riscal-da il cristallo o lo si espone alla lu-ce oppure lo si bombarda con parti-celle. Le proprietà statistiche dell'ag-gregato di quasiparticelle sono stretta-mente connesse con le condizioni checaratterizzano la loro comparsa (crea-zione) o scomparsa (annichilazione). Lequasiparticelle appaiono e scompaionosia singolarmente sia a coppie: quelleche possono apparire singolarmente so-no descritte dalla statistica di Bose-Ein-stein e perciò vengono dette bosoni;quelle che possono apparire solo a cop-pie seguono la statistica di Fermi-Dirace vengono indicate con il nome difermioni.

Fononi e magnoni sono tipici esem-pi di quasiparticelle che sono bosoni.Poiché i bosoni possono apparire escomparire singolarmente, la loro leg-ge di dispersione può essere direttamen-te misurata applicando le leggi di con-servazione dell'energia e della quanti-tà di moto. Il metodo più usato per in-

vestigare la parte dello spettro di ener-gia dei cristalli dovuta ai bosoni è quel-lo di bombardare un cristallo con neu-troni e di osservare la relazione fraquantità di moto ed energia trasferiteal cristallo e quantità di moto ed ener-gia perdute dai neutroni (fenomenoquesto noto con il nome di diffusioneanelastica). La quantità di moto e laenergia assorbite dal cristallo vanno afinire nella creazione dei bosoni.

I fermioni sono creati principalmen-te dal moto degli elettroni all'internodel cristallo. Da questo punto in avan-ti limiteremo il nostro discorso a que-ste quasiparticelle cariche. Le proprie-tà elettroniche dei cristalli sono con-nesse, tuttavia, non solo al moto del-le quasiparticelle ma anche alla natu-ra dello stato fondamentale del cristal-lo: il « vuoto » in cui le quasiparticel-le vengono create e si muovono. In fi-sica quantistica lo stato fondamentalenon è uno stato di totale immobilità odi mancanza di movimento, ma solouna particolare forma di « ordine ze-ro » in cui non ci sono quasiparticelle.A una temperatura sufficientementebassa tutti i cristalli, a seconda del ti-po di stato elettronico fondamentale,possono essere divisi in quattro clas-si: dielettrici (isolanti), semicondutto-ri, metalli caratterizzati da una norma-le conducibilità e superconduttori.

Lasciando da parte il caso partico-lare dei superconduttori, cercheremodi descrivere, utilizzando un modellofortemente semplificato, lo stato elet-tronico fondamentale del cristallo spie-gando in tal modo perché certe sostan-ze (i metalli) conducono la correntequando si trovano nei pressi di questostato mentre altre (i dielettrici) non lofanno. In tutti i materiali non super-conduttori tutte le conseguenze qua-litative di questo modello restano va-lide per ogni sostanza esaminata e spie-gano in modo corretto l'essenza delfenomeno.

Nello spazio libero Io stato di unelettrone è completamente determinatodalla sua quantità di moto; in un cri-stallo ciò non avviene. Allo scopo dicaratterizzare lo stato di un elettronein un cristallo è necessario infatti spe-cificare oltre alla quantità di moto uncerto numero intero noto come nume-ro di banda. Per ogni numero di ban-da occorre introdurre un diverso spa-zio della quantità di moto per costruirele superfici isoenergetiche. Se ci chie-diamo quali valori di energia può as-sumere un elettrone in un cristallo,troviamo che sono permessi soltantocerti intervalli di energia e che questiintervalli sono separati da bande proi-

bite (si veda la figura in alto a pagi-na 39). Ogni intervallo permesso corri-sponde a un ben determinato numerodi banda e prende il nome dalla bandastessa. Le bande di energia permessedel cristallo scaturiscono come conse-guenza diretta dei livelli di energia per-messi per l'elettrone nell'atomo. Lebande possono sovrapporsi, ma anchein questo caso esse conservano la loroindividualità per il fatto che ogni ban-da è caratterizzata dal proprio spaziodella quantità di moto.

Adesso riempiamo lo spazio dellaquantità di moto relativo alla bandan-esima con elettroni veri e propri,che sono sempre presenti nel cristallo,e non con quasiparticelle. Ovviamente,nello stato fondamentale, gli elettroni

13,53

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

o

occupano lo stato a più bassa energia.Come stabilisce il principio di esclusio-ne di Pauli, in ogni stato non possonoperò coesistere più di due elettroni.Perciò una cella dello spazio dellaquantità di moto è completamenteriempita da un numero di elettroni pa-ri esattamente al doppio del numerodelle celle del cristallo reale. Riempiredi elettroni questa sola cella dello spa-zio della quantità di moto equivale ariempire tutto lo spazio, significandociò che tutti gli stati nella banda sonooccupati.

Se tutte le bande di energia permes-se in un cristallo nello stato fondamen-tale sono o piene o vuote, il cristal-lo è un dielettrico, cioè un isolante;se invece una o più bande permesse so-

zioni non si trovano nello spazio ordi-nario ma nello spazio della quantità dimoto, dove ogni punto non corrispon-de a una coordinata geometrica dellaparticella bensí alla sua quantità dimoto. Quindi dobbiamo passare mo-mentaneamente allo spazio della quan-tità di moto. Per costruire le struttureenergetiche introduciamo dapprima unasorta di supporto strutturale. Lo scopoè raggiunto separando lo spazio in cel-le identiche dotate di dimensioni inver-samente proporzionali a quelle dellecelle del cristallo le cui proprietà stia-mo cercando di descrivere (si veda

La struttura elettronica di un atomo è rappresentata dai livelli di energia che i suoielettroni sono in grado di occupare. Secondo la teoria quantistica i livelli possono as.sumere solo valori discreti. La struttura elettronica illustrata in questa figura è quelladell'atomo di idrogeno. Al crescere dell'energia i livelli permessi risultano sempre piùprossimi l'uno all'altro. Quando l'ener g ia dell'elettrone supera i 13,53 elettronvolt, tut-tavia, l'elettrone non può più essere trattenuto dalla carica positiva presente nel nucleoe sfugge alla sua attrazione. Mentre il momento della quantità di moto, I, dell'elettro-ne aumenta a intervalli interi, l'energia minima salta ogni volta di un livello più inalto. Passando dal più alto livello di energia al livello zero, un elettrone emette ra•diazione ultravioletta con una lunghezza d'onda di 916 angstrom, che corrispondequasi esattamente a 110 000 onde al centimetro, come si vede nella scala a destra.

36

37

STATI LIBERI

/

ENERGIA DI FERMI,

/STATI OCCUPATI /

STATI OCCUPATI

BANDERIEMPITEDI ELETTRONI

no solo parzialmente riempite, il cri-stallo non solo è un conduttore ma an-che un metallo (si veda la figura inbasso nella pagina a fronte). Il fluiredella corrente attraverso un condutto-re metallico è un processo complicatoin cui gli elettroni guadagnano pac-chetti infinitesimali di quantità di mo-to come risultato della forza esercita-ta dal campo elettrico; essi perdono poiquesta quantità di moto quando colli-dono con le irregolarità del reticolocristallino. Tutto il processo risulta pe-rò impossibile quando le bande per-messe sono completamente riempite dielettroni; il principio di esclusione vie-ta infatti agli elettroni di raggiungereuna nuova posizione nella banda, men-tre l'esistenza delle bande proibiteesclude la possibilità di qualsiasi inte-razione fra gli elettroni di più elevataenergia e il campo elettrico. Nei me-talli, d'altra parte, l'energia può esseretrasportata dagli elettroni caratterizza-ti da un'energia vicina a quella mas-sima nella banda; infatti questi elet-troni sono liberi di occupare stati va-canti di energia un po' più alta.

L'energia al di sotto della quale tut-ti gli stati elettronici sono occupati al-lo zero assoluto e al di sopra dellaquale sono vuoti è nota con il nomedi energia di Fermi; la corrispondentesuperficie nello spazio della quantità dimoto è indicata con il nome di super-ficie di Fermi. Un metallo nello statofondamentale può quindi essere rappre-sentato da un recipiente dalla formabizzarra completamente riempito dielettroni. Nello stato fondamentale nonci sono elettroni al di fuori di questorecipiente.

Ora che abbiamo descritto lo statofondamentale del metallo, siamo

pronti a domandarci: con quale mec-canismo si incrementa l'energia deglielettroni nei metalli? In che modo sicreano le quasiparticelle? L'energiapuò essere incrementata solo spostan-do almeno un elettrone da sotto la su-perficie di Fermi verso la regione del-lo spazio della quantità di moto che èpriva di elettroni. Quando si compiequesta operazione, si crea nella bandadi energia precedentemente piena un« buco », ovvero uno spazio vuoto. Ilbuco può essere considerato come l'an-tiquasiparticella dell'elettrone appena« creato ». Descrivendo il buco comeun'antiparticella mettiamo in risalto lapossibilità dell'annichilazione occorren-te fra buco ed elettrone; quando l'elet-trone ritorna « al suo posto », il metal-lo torna nello stato fondamentale edue quasiparticelle — un buco e un elet-trone — spariscono.

Quando si aumenta la temperaturanei dielettrici, un piccolo numero dielettroni acquista un'energia sufficien-te a sfuggire da una banda piena versouna vuota, attraversando in questo pro-cesso una banda proibita; come avvie-ne nei metalli, per ogni elettrone restaun buco nella banda inferiore. In talu-ni cristalli la banda proibita che separala banda piena da quella libera risultamolto sottile, cosicché a temperatureordinarie parecchi elettroni sono in gra-do di spostarsi nella banda libera e di-venire cosí portatori di carica insiemeai buchi che sono rimasti nella bandainferiore. Questi cristalli sono i cosid-detti semiconduttori, dei quali il ger-manio e il silicio, usati nei transistor,sono gli esempi meglio conosciuti. Neimetalli che sono buoni conduttori an-che un notevole aumento della tem-peratura produce un piccolo cambia-mento nella distribuzione degli elettro-ni nello spazio della quantità di moto.Per questo motivo la superficie di Fer-mi e il suo intorno più prossimo — laregione di spazio in cui possono esi-stere le quasiparticelle (buchi ed elet-troni) — acquistano una importanzafondamentale.

Per trovare la variazione dell'energiadelle particelle causata, per esempio,da un aumento della temperatura, bi-sogna moltiplicare la velocità delle par-ticelle per la variazione della quantitàdi moto. Un'adeguata analisi dello spet-tro di energie degli elettroni, sufficien-te per una descrizione esauriente del-le proprietà dei metalli, richiede la de-terminazione della forma della super-ficie di Fermi e delle velocità degli elet-troni sui punti della superficie stessa.Le superfici di Fermi particolarmentecomplesse sono indicate talvolta con ilnome di « mostri ». Se sulla superficiedi Fermi si rappresenta anche la velo-cità degli elettroni, la figura che ne ri-sulta è quella di un mostro con frecceche si proiettano all'esterno (si veda lafigura a pagina 40).

Poiché i buchi e gli elettroni, cometutti i fermioni, appaiono e scompaio-no a coppie, non si può determinarecon precisione la legge di dispersioneper gli elettroni nei metalli facendo usodi metodi del tipo della diffusione ane-lastica dei neutroni. Il motivo è chele equazioni che determinano la varia-zione di energia e di quantità di mo-to della particella diffusa contengonoun numero di incognite troppo eleva-to, cioè le energie e le quantità di mo-to sia dell'elettrone sia del buco. Ri-sultò pertanto necessario lo sviluppo dimetodi differenti atti a determinare leleggi di dispersione degli elettroni, ba-sati principalmente sulle particolari ca-

ratteristiche della meccanica degli elet-troni di conduzione.

La meccanica delle quasiparticellecon una complicata legge di dispersio-ne è unica, e il loro moto nei campiesterni è di solito completamente di-verso dal moto dei loro « antenati »:gli elettroni nello spazio libero. Peresempio, dal fatto che l'energia è unafunzione periodica della quantità dimoto segue che la particella è costret-ta a compiere oscillazioni in un cam-po elettrico costante e uniforme, anzi-ché partire verso l'infinito come ci sidovrebbe aspettare (si veda la figurain alto a pagina 42). Sebbene questoesempio metta in luce nel modo cor-retto il carattere unico del moto dellequasiparticelle, esso è forse troppo idea-lizzato: non abbiamo infatti preso inconsiderazione le collisioni fra gli elet-troni e le deformazioni presenti nel re-ticolo cristallino, in particolare quelleinevitabili dovute ai moti termici degliioni che lo compongono. Nelle condi-zioni reali che si verificano nei buoniconduttori l'influenza del campo elet-trico sul moto delle cariche è piccolaperché risulta impossibile produrre uncampo elettrico molto intenso; se sicerca di produrre un campo piuttostoforte, la quantità di calore sviluppatoporta alla fusione del metallo.

Il caratteristico moto delle quasipar-ticelle fa sorgere due problemi stret-tamente connessi: come questo motoinfluisca sulle proprietà elettriche deimetalli, e come sia possibile in gene-rale analizzare la dinamica degli elet-troni di conduzione, ovvero la loro leg-ge di dispersione. L'ultimo problemapuò ovviamente essere risolto solo instretta connessione con il primo. Dopotutto, è impossibile già in linea di prin-cipio estrarre le quasiparticelle dal cri-stallo per studiarne le proprietà, dalmomento che esse rappresentano unaeccitazione collettiva che interessa tut-to il cristallo. Il metodo più naturale,come già abbiamo detto, è quello distabilire teoricamente la connessionefra la dinamica degli elettroni di con-duzione (legge di dispersione) e le di-verse proprietà macroscopiche (elettri-che e magnetiche) del metallo e quin-di di utilizzare le misure sperimentalidi queste proprietà come indicative del-lo spettro elettronico. Un approcciodi questo tipo verso la soluzione delproblema dello spettro di energie deglielettroni nei metalli è stato sviluppatoa partire dal 1950 da un gruppo di fi-sici teorici presso l'Istituto Kharkovdelle basse temperature nell'URSS.

Si scopri che le proprietà di un me-tallo più intimamente connesse con lalegge di dispersione sono anche quelle

che variano sotto l'influenza di un for-te campo magnetico. La traiettoria de-gli elettroni di conduzione in un cam-po magnetico costante è determinatadalle curve ricavate come intersezionedella superficie di Fermi con il pianoperpendicolare alla direzione del cam-po magnetico (si veda la figura in altoa pagina 41). La direzione del motoè determinata a seconda che l'area rac-chiusa dall'intersezione aumenti o di-minuisca all'aumentare dell'energia: sel'area dell'intersezione aumenta (si ve-da la curva «a» nella figura in bas-so a pagina 41), la quasiparticella al-lora si muove nella stessa direzionedi un elettrone libero; se l'area dimi-nuisce (curva «b»), essa si muove nel-la direzione opposta, ovvero nella dire-zione che sarebbe seguita da una cari-ca positiva.

Nel caso di una superficie di Fermichiusa, il carattere del moto è lo stes-so per tutte le quasiparticelle che si tro-vano su tale superficie e non dipendedalla direzione del campo magnetico.Tutte le quasiparticelle si muovono occ me normali cariche negative (se lasuperficie si « gonfia » all'aumentaredell'energia) o come normali carichepositive (se la superficie si « contrae »all'aumentare dell'energia). Nel caso diun elettrone di conduzione un'inversio-ne del senso di rotazione, in conse-guenza del tipo della superficie di Fer-mi, viene descritta comunemente nonper mezzo del cambiamento del segnodella carica ma per mezzo dell'inver-sione del segno della massa elettroni-ca. Seguendo questa convenzione si as-segna una massa negativa a un elet-trone che sta ruotando inversamente al-la sua direzione normale. Se la leggedi dispersione è particolarmente com-plessa, la massa non funziona più inquesto suo ruolo universale e parecchiealtre grandezze, oltre alla massa, co-minciano a fare la loro comparsa in di-versi fenomeni. Perciò il coefficiente diproporzionalità fra forza e accelerazio-ne non è più uguale a quello fra quan-tità di moto e velocità. Quando unelettrone si muove su un'orbita chiusa,il periodo che compete al suo moto èespresso con la stessa formula che va-le per una carica libera, se si ha l'ac-cortezza di sostituire la massa della par-ticella libera con quella che viene chia-mata massa efficace. La massa effica-ce è determinata dalla rapidità di cam-biamento dell'area intersezione in fun-zione dell'energia e se l'intersezionediminuisce al crescere dell'energia que-sta massa risulta negativa.

Se la superficie di Fermi non è chiu-sa, il carattere del moto della caricadipende fortemente dalla direzione del

.z.zglg.,•g w •zzN

I livelli di energia degli elettroni in un cristallo diventano ampie bande (a destra) chepossono essere separate da bande proibite oppure possono sovrapporsi. Le bande dienergia permesse possono essere viste come la somma dei livelli di energia permessi.

BANDA DI CONDUZIONE

BANDA PROIBITA

I conduttori e i nonconduttori si distinguono dal modo in cui sono occupate le bande.In un nonconduttore (a sinistra), le bande possono essere sia del tutto piene sia com•pletamente vuote quando il cristallo si trova nel suo stato fondamentale. In un metallo(a destra), una o più bande di energia risultano solo parzialmente riempite di elettroni.

LQ

Ui

38

39

P y

Una semplice superficie di Fermi è costituita da un ellissoide. Una superficie di ti-po più complicato è illustrata a pagina 35. Nello stato fondamentale tutti gli elet-troni di un cristallo sono contenuti all'interno dell'involucro di Fermi. I vettori ve-locità degli elettroni sulla superficie possono essere rappresentati da frecce, o aghi,allo scopo di illustrare come vari la « pressione » al di sotto dello strato di Fermi.

P x

campo magnetico. Per le intersezionichiuse il moto rimane periodico; tutta-via la direzione del moto dell'elettronedipende essenzialmente sia dall'orienta-zione del campo magnetico sia dallaposizione del piano di intersezione. Sedunque l'orbita è aperta (si veda laparte a destra della figura in alto nel-la pagina a fronte), il moto nella dire-zione corrispondente risulta in genera-le aperiodico, e la carica va all'infini-to. Da tutto ciò segue che, quando unelettrone di conduzione si muove inun campo magnetico costante, la suatraiettoria è strettamente connessa conle principali caratteristiche della quasi-particella: cioè con la sua legge didispersione.

Naturalmente, se la descrizione pro-posta deve essere più di una sempli-ce idealizzazione, è necessario che il ca-rattere del moto lungo l'orbita abbiail tempo di stabilizzarsi, e che le qua-siparticelle non vengano « deviate fuo-ri strada » in conseguenza delle colli-sioni. In altre parole, le collisioni de-vono essere abbastanza rare. Questo si-gnifica che il periodo del moto nelcampo magnetico dovrebbe essere note-volmente più corto dell'intervallo ditempo relativo al cammino libero: l'in-

tervallo medio fra due collisioni suc-cessive. Dato che il periodo di rivolu-zione dell'elettrone è inversamente pro-porzionale all'intensità del campo, que-sta deve essere sufficientemente eleva-ta. Per lo stesso motivo è auspicabileavere il periodo del cammino liberopiù lungo possibile, la qual cosa impli-ca che l'esperimento deve essere effet-tuato con campioni della più elevatapurezza e a temperature le più bassepossibile. (Infatti quanto più bassa è latemperatura, tanto più deboli risultanole vibrazioni termiche casuali che in-terrompono l'ideale periodicità del cri-stallo.) Tutte queste condizioni sonosoddisfatte abbastanza facilmente incampi magnetici che abbiano un'inten-sità dell'ordine di 1000 oersted.

Come possiamo verificare il moto del-la quasiparticella sulla sua orbita in

un esperimento reale? Come è possibi-le « vedere » il suo moto dentro il cri-stallo? Risulta appropriata in questocaso un'analogia con il meccanismodella visione ordinaria. Quando vedia-mo un certo oggetto, ciò significa dauna parte che l'oggetto interagisce coni raggi di luce in modo tale da alter-narne la distribuzione e, d'altra parte,

che l'interazione con la luce è cosí de-bole da non influire praticamente sullostato dell'oggetto stesso.

Nello studio degli elettroni di con-duzione si possono usare diversi tipi di« raggi luminosi »: onde radio ad al-tissima frequenza, ultrasuoni e persinouna corrente stazionaria che scorreattraverso il campione. Descriviamoora i metodi maggiormente « grafici »:quelli connessi ai fenomeni galvano-magnetici e alla risonanza ciclotronica.

I fenomeni galvanomagnetici sonoassociati al flusso di una corrente con-tinua attraverso un conduttore immer-so in un campo magnetico costante.La corrente che scorre in una data di-rezione risulta proporzionale alla lun-ghezza del percorso lungo il quale lacarica acquista energia a spese del cam-po elettrico. Poiché il campo magne-tico fa « avvolgere » le cariche, essopermette loro di muoversi su un pianoche rimane perpendicolare al campo,ma solo per metà circa del ciclo di ri-voluzione delle cariche e non per tut-to il cammino libero. In conseguenzadi ciò la resistenza elettrica in un cam-po particolarmente intenso risulta es-sere fortemente dipendente dal carat-tere delle orbite elettroniche e pertan-to dalla legge di dispersione degli elet-troni. Se fosse possibile sintetizzare deimetalli « ideali » — metalli in cui glielettroni abbiano un periodo di cam-mino libero infinito — essi presentereb-bero una conducibilità infinita in as-senza del campo magnetico. In un cam-po magnetico questa proprietà è carat-teristica di tutti i metalli, ma solo se ilcampo magnetico è parallelo alla cor-rente. Se invece il campo magnetico èperpendicolare alla corrente, taluni me-talli ideali diventano dielettrici idealicon una resistenza infinita.

Altri metalli (per esempio quelli ca-ratterizzati da superfici di Fermi aper-te) sono sensibili non solo all'orienta-mento del campo magnetico rispettoalla corrente ma anche alla direzionedel campo magnetico rispetto agli assiprincipali del cristallo. Esistono direzio-ni del campo magnetico per le quali ilmetallo è un conduttore ideale, e altredirezioni per le quali esso si comportacome un dielettrico ideale. Nelle con-dizioni reali questo significa che, a se-conda della direzione del campo ma-gnetico, la resistenza può cambiarecentinaia di migliaia o milioni di volte.Analizzando sperimentalmente la di-pendenza della resistività dal campomagnetico possiamo non solo stabilirela « direzione di apertura » delle tra-iettorie delle cariche ma anche spiega-re molte altre proprietà della legge didispersione. Un'analisi comparativa dei

H

Le traiettorie degli elettroni con una complicata legge di di-spersione in un campo magnetico costante, H, dipendono for-temente dalla forma della superficie isoenergetica, la quale èlegata strettamente alla superficie di Fermi. Le traiettorie deglielettroni risultano sempre perpendicolari al campo magnetico.

Quando la superficie di Fermi è un mostro, ovvero complicata,le traiettorie degli elettroni possono assumere parecchie forme.Aumentando l'energia i tubi che formano la superficie diventa-no più grossi. In conseguenza di ciò le aree delimitate da certe

H

Quando la superficie isoenergetica è chiusa (a sinistra), le traiet-torie rimangono pure chiuse indipendentemente da come sifaccia ruotare la direzione del campo magnetico. Se invece lasuperficie è aperta (a destra), per certe orientazioni del cam-po magnetico gli elettroni possono sfuggire verso l'infinito.

traiettorie aumentano (a) mentre le aree delimitate da altre tra-iettorie diminuiscono (b). Un elettrone sulla curva a si muoverispetto al campo magnetico nella stessa direzione di un elet-trone libero. Sulla curva b si muove nella direzione opposta.

40 41

P

Gli elettroni che ruotano in un campo magnetico parallelo alla superficie di un me-tallo portano all'interno del campione un campo elettrico alternato. Il fenomeno è do-vuto al fatto che gli elettroni, quando abbandonano lo strato superficiale, portano consé una corrente elettrica mentre viaggiano all'interno del metallo. Le cariche si radu-nano all'estremità più bassa dell'orbita e producono ivi un massimo nella densità dicorrente, evidenziato dai picchi che si elevano nel punto d'incontro delle prime dueorbite. Il fenomeno si ripete con minore intensità presso il successivo punto d'in-contro delle orbite. Il campo magnetico è perpendicolare al piano della figura.

o

uJ

H —›

1(# " A&Adlb."AllIEFAIFAIFAIREFAIFAIM

Il percorso di un elettrone in un campo elettrico costante (asinistra) oscilla tra lo zero e un certo valore massimo, cherisulta essere funzione della quantità di moto della particella e

o-J

uJ

L'elettrone che si muove in un intenso campo magnetico pa-rallelo alla superficie di un metallo segue un percorso elicoi-dale. Durante il periodo del cammino libero esso passa ripetu.

La risonanza ciclotronica di un elettrone può essere osservatain una lastra metallica quando il diametro dell'orbita è infe-riore allo spessore della lastra. Se il diametro supera lo spessore

della forza che agisce su di essa. I limiti massimo e minimo del-l'oscillazione dell'elettrone possono anche essere rappresenta.ti graficamente sotto forma di una banda spaziale (a destra).

te volte attraverso lo strato superficiale; questo attraversamentoavviene però soltanto a condizione che lo spessore dello stra-to, d, sia molto inferiore al raggio dell'orbita dell'elettrone.

della lastra, l'elettrone viene riflesso dalla superficie interna eperciò sembra avanzare con una serie di salti. In questa fi-gura il campo magnetico è perpendicolare al piano della pagina.

risultati sperimentali con la teoria com-pleta dei fenomeni galvanomagnetici,sviluppata dagli autori di questo arti-colo insieme a V. G. Peschanskji, hafornito informazioni dettagliate riguar-danti la legge di dispersione degli elet-troni di conduzione.

Un metodo particolarmente efficacedi studiare le superfici di Fermi è co-stituito dalla risonanza ciclotronica, cheè stata prevista fin dal 1956 da unodegli autori (Azbel') insieme a E. A.Kaner. Si ponga un metallo in un cam-po magnetico costante e intenso, paral-lelo alla superficie del campione. Se letraiettorie delle cariche sono chiuse, es-se si muoveranno allora su curve chiu-se giacenti in un piano perpendicola-re alla superficie del metallo, compien-do un notevole numero di rivoluzionidurante il periodo del cammino libero(si veda la figura al centro nella pa-gina a fronte). Si diriga un flusso dionde radio all'interno del metallo. Co-me risultato della interazione delle on-de radio con gli elettroni di conduzio-ne, le onde radio si attenuano rapida-mente e penetrano per un piccolo trat-to all'interno del metallo (corrispon-dente alla profondità dello strato su-perficiale). In un metallo molto puroalla temperatura dell'elio liquido lostrato superficiale corrispondente a on-de radio di lunghezza centimetrica hauna profondità compresa tra 10- 5 e10- 6 centimetri, mentre l'orbita del-l'elettrone in un campo magnetico di10 000 oersted è molto più grande (cir-ca 10- 3 centimetri). Se il periodo di ri-voluzione della carica è un multiplo delperiodo del campo ad alta frequenzagenerato dalle onde radio, la carica, pe-netrando lo strato superficiale, verràaccelerata a ogni rivoluzione: la cor-rente aumenterà rapidamente di inten-sità e, in definitiva, si instaurerà unregime di risonanza. Il punto crucialeè costituito dal fatto che i periodi dirivoluzione di cariche diverse differi-scono fra loro e dipendono dalla posi-zione della sezione piana della super-ficie isoenergetica. Perciò non tutti glielettroni prendono parte al fenome-no della risonanza ma soltanto alcunielettroni « selezionati » che si trovanoall'interno di quelle sezioni per le qualiil periodo di rivoluzione cambia moltolentamente col mutare della sezionestessa, in modo che il maggior nume-ro possibile di cariche si trovi in con-dizioni prossime a quelle di risonanza.

La risonanza ciclotronica è divenutauno dei metodi più largamente usatiper studiare la struttura elettronica deimetalli. Si può osservare la risonanzanella lastra metallica solo finché l'or-bita corrispondente alle cariche « sele-

zionate » che prendono parte alla riso-nanza riesce a inserirsi completamentenella lastra (si veda la figura in bassonella pagina a fronte). Non appena sitrasgredisce a questa condizione le ca-riche vengono diffuse dall'altra facciadella lastra, cioè vengono per cosí direspinte fuori strada e la risonanza spa-risce. Ciò significa che si può misurareil raggio dell'orbita semplicemente de-terminando l'istante in cui sparisce larisonanza. In tal modo risulta possibi-le determinare la geometria della su-perficie di Fermi.

La risonanza ciclotronica è accom-pagnata da un fenomeno particolar-mente interessante. Le cariche che ab-bandonano lo strato superficiale porta-no con sé una corrente elettrica versol'interno del metallo, si riuniscono tut-te insieme nella parte più bassa del-l'orbita e producono ivi un massimonella densità della corrente. La corren-te alternata produce un campo elettri-co che accelera il gruppo di carichesuccessivo; queste cariche a loro voltatrasportano la « loro » corrente versol'interno del metallo, e il ciclo si ri-pete. In conseguenza di ciò compaiononel metallo picchi di campo elettrico edi corrente a distanze prefissate (si ve-da la figura in questa pagina).

La fecondità del concetto di quasi-particella applicato ai metalli è confer-mata dal fatto che nei 10 anni circada quando tali concetti sono stati svi-luppati è stato possibile prevedere e

spiegare un notevole numero di feno-meni fisici, nonché studiare a fondo lalegge di dispersione per un grande nu-mero di metalli, e in particolare stabi-lire con certezza quali superfici di Fer-mi si verifichino e in quali metalli.Questi studi hanno conseguito il risul-tato di una più profonda comprensio-ne della natura dello stato metallico edi una chiarificazione della causa delledifferenze di comportamento esistentifra i metalli. L'analisi dello spettro dienergie degli elettroni ha rivelato pro-prietà dei metalli dapprima neanchesospettate.

La fisica dello stato solido si affac-cia ora al problema di costruire unavalida teoria delle sostanze amorfe enon cristalline, delle leghe più disordi-nate e delle sostanze costituite da lun-ghe catene di molecole di polimeri. Ta-li strutture comprendono sistemi dotatidi un elevato grado di ordine di tiponon cristallino. Questi sistemi, che mo-strano un tipo di ordinamento partico-larmente complicato (in opposizione altipo di ordinamento « primitivo » pre-sentato dagli ioni nei cristalli), sono isistemi biologici. Non c'è bisogno dimettere in luce la loro importanza, ol'interesse che suscitano. Lo studio diquesti sistemi è appena iniziato, ma sipuò sperare che le idee che sono sta-te cosí feconde nell'ambito della teo-ria quantistica dello stato cristallino siriveleranno utili anche nel nuovo cam-po, almeno per certi aspetti.

42 43