gog, magog et involution de schützenberger · 2011-07-20 · gog, magog et involution de...
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Gog, Magog et involution de Schützenberger
Hayat Cheballah
LIPN-Université Paris 13
Journées ALÉA
8 avril 2011
Le schéma
TSSCPPs2n×2n×2n Magogn ASMsnGogn
?
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Matrices à signes alternants(ASM)
Matrice carrée de 0, 1,−1, telle quedans chaque ligne et dans chaquecolonne
Les 1 et −1 apparaissentalternativement.
La somme sur chaque ligne etsur chaque colonne est égale à1.
0 1 0 0 00 0 1 0 01 −1 0 0 10 1 −1 1 00 0 1 0 0
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Partitions planes(PP) : elles peuvent être vues comme unempilement de cubes dans un coin.
une PP est une 3D-partition :tableau bidimensionnel h de suitesdécroissantes d'entiers en ligne et encolonne
6654336643336643324331333332
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
TSSCPP
PP Totalement symétriques Auto-complémentaires (TSSCPP)
Les TSSCPPs de taille 2n× 2n× 2nsont munies de toutes les symétriesde l'hexagone.
⇒ Domaine fondamental : douzième de l'hexagone original.
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Enumération et Problématique
Théorème [Zeilberger]
|ASMsn×n| =n−1∏j=0
(3j + 1)!(n+ j)!
= |TSSCPPs2n×2n×2n|
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Enumération et Problématique
Théorème [Zeilberger]
|ASMsn×n| =n−1∏j=0
(3j + 1)!(n+ j)!
= |TSSCPPs2n×2n×2n|
Problème ouvert
Donner une construction bijective.
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Triangles de Gelfand-Tsetlin de taille n
Arrangement triangulaire de n(n + 1)/2 éléments X =(xi,j)16j6i6n
xn,1 6 xn,2 6 xn,3 6 · · · 6 xn,n
xn−1,1 6 xn−1,2 6· · ·6 xn−1,n−1
xn−2,1 · · · xn−2,,n−2
· · · · · ·
x1,16
6
6
6
66
>
>
>
> >
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Triangle Gog de taille n
arrangement triangulaire de n(n+ 1)/2 éléments ∈ [[1, n]]
xn,1 < xn,2 < xn,3 < · · · < xn,n
xn−1,1 < xn−1,2 <· · ·< xn−1,n−1
xn−2,1 · · · xn−2,n−2
· · · · · ·
x1,16
6
6
6
66
>
>
>
> >
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Triangle Gog de taille n
arrangement triangulaire de n(n+ 1)/2 éléments ∈ [[1, n]]
q1 q2 q3 · · · qn
xn,1 < xn,2 < xn,3 < · · · < xn,n
xn−1,1 < xn−1,2 <· · ·< xn−1,n−1
xn−2,1 · · · xn−2,n−2
· · · · · ·
x1,16
6
6
6
66
>
>
>
> >
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Statistiques
X triangle Gog de taille n.
l(X) : x1,1
r(X) : ]k tel que xk,k = n
1 2 3 4 51 3 4 5
1 4 (5)2 4
(3)
l(X) = 3 r(X) = 3
ASMj
i
1
11 −1 1
1 −11
1
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Trapèzes Gog
(n, k, l)−Gog trapèze : les l dernières diagonales Est des k lignesdu bas tel que (l 6 k) d'un triangle Gog et de niveau n.• • • • •• • • n
• • •• ••
k
l (n, 4, 2)-Gog Trapèze
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Prolongement canonique d'un (n, k, l)−Gog trapèze en un(n, k)−Gog trapèze en insérant à l'ouest de ce (n, k, l)−Gogtrapèze le Gog de taille k − l suivant
• n
• •• •
• •• •
• ••
l
k
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Prolongement canonique d'un (n, k, l)−Gog trapèze en un(n, k)−Gog trapèze en insérant à l'ouest de ce (n, k, l)−Gogtrapèze le Gog de taille k − l suivant
1 2 3 4 · · ·1 2 · · · · · ·· · · · · · · · ·
1 21
k − l• n
• •• •
• •• •
• ••
l
k
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Prolongement canonique d'un (n, k, l)−Gog trapèze en un(n, k)−Gog trapèze en insérant à l'ouest de ce (n, k, l)−Gogtrapèze le Gog de taille k − l suivant
1 2 3 4 · · ·1 2 · · · · · ·· · · · · · · · ·
1 21
• n
• •• •
• •• •
• ••
1 · · · · · · · · · n
• · · · · · · •1 2 3 4 · · · n− 1 n
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Triangles Magog de taille n
Arrangement triangulaire de n(n+ 1)/2 éléments ∈ [[1, n]]
xn,1 6 xn,2 6 xn,3 6 · · ·6 xn,n 6 n
xn−1,1 6 xn−1,2 6· · ·6 xn−1,n−1 6 n− 1
xn−2,1 · · · xn−2,n−2 6 n− 2
· · · · · ·
x1,1 6 16
6
6
6
66
>
>
>
> >
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Statistiques
X un triangle Magog de taille n
l(X) =(∑n
j=1 xn,j −∑n−1
j=1 xn−1,j
)r(X) : hauteur de sortie du Chemin de X
1 1 2 3 4 51 1 3 3 4
1 1 3 41 2 3
1 21
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Statistiques
X un triangle Magog de taille n
l(X) =(∑n
j=1 xn,j −∑n−1
j=1 xn−1,j
)r(X) : hauteur de sortie du Chemin de X
1 1 2 3 4 51 1 3 3 4
1 1 3 41 2 3
1 21
P16P12
l(X) = 4
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Statistiques
X un triangle Magog de taille n
l(X) =(∑n
j=1 xn,j −∑n−1
j=1 xn−1,j
)r(X) : hauteur de sortie du Chemin de X
1 1 2 3 4 51 1 3 3 4
1 1 3 41 2 3
1 21
4k = max{j/xjj = j}
xkk
l(X) = 4
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Statistiques
X un triangle Magog de taille n
l(X) =(∑n
j=1 xn,j −∑n−1
j=1 xn−1,j
)r(X) : hauteur de sortie du Chemin de X
1 1 2 3 4 51 1 3 3 4
1 1 3 41 2 3
1 21
3 4k = max{j/xjj = j}
xkk
l(X) = 4
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Statistiques
X un triangle Magog de taille n
l(X) =(∑n
j=1 xn,j −∑n−1
j=1 xn−1,j
)r(X) : hauteur de sortie du Chemin de X
1 1 2 3 4 51 1 3 3 4
1 1 3 41 2 3
1 21
3 4k = max{j/xjj = j}2
xkk
l(X) = 4
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Statistiques
X un triangle Magog de taille n
l(X) =(∑n
j=1 xn,j −∑n−1
j=1 xn−1,j
)r(X) : hauteur de sortie du Chemin de X
1 1 2 3 4 51 1 3 3 4
1 1 3 41 2 3
1 21
3 4k = max{j/xjj = j}1 2
xkk
r(X) = 3
l(X) = 4
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Trapèzes Magog
(n, k, l)−Magog trapèzes : les l dernières diagonales Est d'untriangle Magog des k lignes du haut tel que (l 6 k) et de niveaun.
n = max(u1, u2 + 1, u3 + 2, · · · , uk + k − 1)
tel que ui pour 1 6 i 6 k sont les éléments de la dernièrediagonale.
• • • • u1
• • • u2
• • •• uk
•
l
k
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Prolongement canonique d'un (n, k, l)−Magog trapèze en un(n, k)−Magog trapèze en insérant à l'ouest de ce(n, k, l)−Magog trapèze le Magog de taille k − l suivant
• •• •
• •• •
• •• ••
l
k
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Prolongement canonique d'un (n, k, l)−Magog trapèze en un(n, k)−Magog trapèze en insérant à l'ouest de ce(n, k, l)−Magog trapèze le Magog de taille k − l suivant
1 1 · · · · · · 11 1 · · · 1· · · · · · · · ·
1 11
k − l• •
• •• •
• •• •
• ••
l
k
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Prolongement canonique d'un (n, k, l)−Magog trapèze en un(n, k)−Magog trapèze en insérant à l'ouest de ce(n, k, l)−Magog trapèze le Magog de taille k − l suivant
1 1 · · · · · · 11 1 · · · 1· · · · · · · · ·
1 11
• •• •
• •• •
• •• ••
1
. . . 1
. . . 1
. . . 1
. . .. . .
. . .. . .
1 · · · 11 · · · 1
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Conjecture sur les triangles
|Gog|n,r,l = |Magog|n,r,l
rl
1
2
3
1 2 3
0
0
0 0
1 2 31 21
1 2 31 22
1 2 31 31
1 2 32 32
1 2 31 22
1 2 31 33
1 2 32 33
triangles Gog de taille 3
rl
1
2
3
1 2 3
0
0
0 0
1 1 11 11
1 1 21 21
1 1 21 11
1 2 21 21
1 1 31 21
1 1 31 11
1 2 31 21
triangles Magog de taille 3
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Exemple pour n = 7
r l 1 2 3 4 5 6 71 429 1287 2002 2002 1287 429 0
2 1287 4160 6838 7176 4849 1716 0
3 2002 6838 11908 13260 9594 3718 0
4 2002 7176 13260 15912 12714 5720 0
5 1287 4849 9594 12714 11869 7007 0
6 429 1716 3718 5720 7007 7436 0
7 0 0 0 0 0 0 7436
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Conjecture sur les trapèzes
Il existe une bijection entre les triangles Gog et Magog quipréserve les statistiques r et l et les trapèzes.
Nous construisons une bijection explicite entre les (n, 3)−Gogtrapèzes et les (n, 3)−Magog trapèzes.Cette construction se base sur deux opérations
Transformation de l'Inversion ϕ.
Involution de Schützenberger S.
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
a b c
d e
f
(n, 3)−Gog trapèze
ϕ
a′ b′ c′
d′ e′
f ′
Gelfand-Tsetlin
a′′ b′′ c′′
d′′ e′′
f ′′
(n, 3)−Magog trapèze
S
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
a b c
d e
f
(n, 3)−Gog trapèze
ϕ
a′ b′ c′
d′ e′
f ′
Gelfand-Tsetlin
a′′ b′′ c′′
d′′ e′′
f ′′
(n, 3)−Magog trapèze
S
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Inversion dans un triangle Gog
1 2 3 4 51 3 4 5
1 4 52 4
3
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Inversion dans un triangle Gog
1 2 3 4 51 3 4 5
1 4 52 4
3
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Inversion dans un triangle Gog
1 2 3 4 51 3 4 5
1 4 52 4
3
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Inversion dans un triangle Gog
1 2 3 4 51 3 4 5
1 4 52 4
3
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Inversion dans un triangle Gog
1 2 3 4 51 3 4 5
1 4 52 4
3
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Inversion dans un triangle Gog
1 2 3 4 51 3 4 5
1 4 52 4
3
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Inversion dans un triangle Gog
1 2 3 4 51 3 4 5
1 4 52 4
3
••
•
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Inversion dans un triangle
Soit x un Gog trapèze. x contient une inversion
• • • • •
• • • •
• • •
• •
•
Les éléments sont couverts par l'inversion.
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Con�gurations d'inversions dans (n, 3)−Gog trapèzes
• • •
• •
•
• • •
• •
•
• • •
• •
•
• • •
• •
•
• • •
• •
•
• • •
• •
•
• • •
• •
•
• • •
• •
•
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Transformation de l'inversion (ϕ)
La transformation de l'inversion agit sur les (n, 3)−Gog trapèzeen diminuant les éléments couverts par chaque inversion de 1
• • •
• •
•
• • • − 1
• • − 1
•
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Problème
1 3 4
2 3
2
ϕ�1 3 2
2 2
2
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Problème
1 3 4
2 3
2
ϕ�1 3 2
2 2
2
Solution
• • •• ••
• • • − 2• • − 1•
• • − 1 • − 2• • − 1•
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Problème
1 3 4
2 3
2
ϕ�1 3 2
2 2
2
Solution
• • •• ••
• • • − 2• • − 1•
• • − 1 • − 2• • − 1•
1 3 4
2 3
2
ϕ1 2 2
1 2
2
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Involution de Schützenberger
Soit un trapèze de Gelfand-Tsetlin de taille n . Dé�nissons l'opéra-tion τ sur un élément d'une ligne comme suit :
• • • •
• • •
• •
•
• • • •
• • •
• •
•
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Involution de Schützenberger
Soit un Gelfand-Tsetlin trapèze de taille n . Dé�nissons l'opéra-tion τ qui agit sur un élément d'une ligne comme suit :
• • • •
• • •
• •
•
• • • •
• • •
• •
•
max min
τ (•) = max + min −•
τi agit sur tous les éléments de la ime ligne.
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Involution de Schützenberger
Soit un Gog ou Magog trapèze de taille n. On note Sn l'involutionde Schützenberger qui agit comme suit
Sn = τ1τ2 · · · τn−1τ1τ2 · · · τn−2 · · · τ1τ2τ1
Exemple :
1 6 82 8
4
τ11 6 8
2 86
τ21 6 8
5 66
τ11 6 8
5 65
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
(n, 3)−Gog trapèze
Gelfand-Tsetlin
(n, 3)−Magog trapèze
Sϕ
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
(n, 3)−Gog trapèze
Gelfand-Tsetlin
(n, 3)−Magog trapèze
Sϕ
Théorème [C, Biane]
Cet algorithme est une bijection qui préserve les statistiques l etr.
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Concluons · · ·
0 0 10 1 01 0 0
1 0 00 1 00 0 1
0 0 11 0 00 1 0
1 0 00 0 10 1 0
0 1 01 0 00 0 1
0 1 00 0 11 0 0
0 1 01 −1 10 1 0
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger
Merci
Hayat Cheballah Gog, Magog et involution de Schützenberger