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7/25/2019 GOLDARAZ GAINZA, J. - Afinación y temperamentos históricos.pdf

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J Jv Gdáz Gíz

nacón y trantos hstórcos

iz ii



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eptiva autorizaión.

© J Javier Goldáraz Gínza© Alianza Edioril, S A Madrid, 2004Clle Juan Ignaio Lua de Tena, 5 28027 Madrid; teéf 33 88 88

wlianzaedicorilesISBN: 8420665460

Depósito legl M

3342004Focoomposiión e impresión: EFCA AParque Industrial « Monjas»28850 Torrejón de rdoz (Madrid)

Printed in Spain



Índice

Gloio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

INTODCCIÓN.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

Sitem de notción................................................................... 1Clicción de o dieente item .... ... ... . .. .. .. . 13L unidd logtmic cent.. ... ..... ... ...... ..... ...... ...... ..... .. ..... .... ..... ...... 14Anción tempemento btido cononnci y dionnci ................ 1 5Beve htoi de l ncione y tempemento en Occidente 18Agdecimiento 19

l GECIA . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1

El item muicl giego.... ...... ..... ..... ...... .... ...... . ... ... ... . ...... ...... ..... 1nción de l ecl .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

AFINACIONES PITAGÓICA Y STA . . ... ... . ... ... ... .. . ... ... .. .. . .. 49

L nción pitgóic .. ..... .. ...... ...... ...... ...... ..... ...... ...... .... ...... ...... ...... ..... 49L jut entonción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 AFINACIÓN «SEMIPITAGÓICA. TEMPEAMENTOS IEGLES . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . 73

Tempemento «ci pitgóico».................................................... 76Tempemento iegule. El tempemento de A Schlick . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 77



8 fnación y teperamnos hstórico

4 EL HUMANISMO MUSICAL RENACENTISTA JUSTA ENTONA-CIÓN Y DIISIÓN MÚLTIPLE DE LA OCTAVA ................ 83

5 RENACIMIENTO. TEMPER AMENTOS MESOTÓNICO E IGUAL 109

Introducción................................... 109 Temperamentos de tonos medios o mesotónicos ........... 112El temperamento igual.............................. 120El arciórgano de N Vicentino 31 partes por octava............... 129

6 LOS INICIOS DE LA CIENCIA ACÚSTICA EN EL SIGLO XVII Y TEÓRICOS IMPORTANTES DEL XIII................... 135

La revolución acústica del siglo XII 135 Tres teóricos importantes del siglo XI: Euler, Rameau Tartini.... 155

7 TEMPERMENTOS MESOTÓNICOS DEL SIGLO XVIII ......... 165

Introducción.............................. 165Modicación del mesotónico regular............ 6Nuevos temperamentos mesotónicos........................ 69

SIGLO XVIII. TEMPERMENTOS IRREGULRES BARROCOS . 11

Francia: el «tempérament ordinaire» o «l'accord ordinaire» 12Los «buenos temperamentos» Alemania Italia Inglaterra...... 1

9 TEMPERMENTOS CÍCLICOS. LA MICROTONALIDAD DEL SI-GLO 203

Temperamento cíclico ............................. 204

Temperamentos cíclicos anteriores al siglo X. Sistemas derivados de untemperamento mesotónico 207Microtonalidad en la música del siglo X...................................................... 21

Apéndice l. Cálculo de intervalos .............. 237 Apéndice II Nociones elementales de acústica...................... 241 Apéndice III. Comparación de intervalos ............... 250 Apéndice I Razones y cents... 253 Apéndice Resumen ............................... 255

Bibliografía 261

ndice onomástico................................. 269



Glosario

Anión. Sstema en e ue prevaecen determnados ntervaos ustos Todos os nervaospueden epresase raconamente

Anión jus Véase:just ntnión

Anión pitgóri. Sstema de anacón basado en a octava (2/1) y a unta (3/2) Todas operacoes de suma y esta de ntervaos pueden reducrse a a mutpcacón de a razóde a unta y dvsón por a de a octava

Aptmé Semtono mayor cromátco en a anacón ptagórca E a dferenca entre e tono(9/8) y e limm (256243) y su razón es 2187/2.048 (114 cents

Áur (sión Su razón es ()/2Bun tmprmnt Tempeamento cícco propo de os sgos II y III en e ue se

puede modua a todas as tonadades E círcuo de untas presenta una dsposcónreguar

Cnt Undad ea de medda de ntervaos

cetésma parte de u semtono en e tempera

mento gua octava compede 1200 cents y por tanto a razón de cen es C quint. Dsposcón de as notas de un sstema por untas de modo ue se rmeun crcuo cerrado en e ue una o más untas puede ser de drente tamao ue asdemás

Cmm pitgóri Dferenca entre 6 tonos mayor y a octava o en e círcuo de unasentre 12 untas y 7 octavas En a anacón ptagórca es a dferenca entre notas enarmóncas S#Do Re#M etc Su razón es 531441 : 524288 74/73 c 24 cens)

Cmm sintóni. Dferenca entre e dtono ptagórco (8164) y a tercera mayor usta(5/4), o etre e tono mayor (9/8) y e tono menor (10/9) Su razón es 81/80 c 22cents

Crmi ( Apcado a a octava cuando e ésta aparecen ateracones dando ugar a varossemtonos contguos Apcado a semtono menor en a anacón usta (25/24) y mayoren a ptagórca (2187/2048)

Ditóni (. Apcado a a escaa ésta se dvde en tonos y dos semtoos Apcado a semtono meor en a aacón usta (25/24) y mayor en a ptagórca (2187/2048)



1

nación pamentos

históro

Díesis. Literalmente, «sepaación» Es la diferencia entre los semitonos mayor y menor o, enla anación justa y los tempeamentos mesotónicos, la diferencia de 7 octavas sobre 12quintas

División arimética División de la diferencia ente dos cantidades en pates iguaes, de rmaque resulte una progresión aritmética 10 : 9 : 8 7 : 6; 10-9= 9-8= 8-7 7 6División armónica. División de la diferencia entre dos cantidades de ta rma que la zón

de las diferencias sea igual a la azón de tales cantidades 6 : 4 3; 6- 4= 2; 4-3= ;2/1=63

División geomérca División poporcional ente dos cantidades en propociones iguales demodo que resulte una progresión geométrica 4 2 4/2 2/ En caso que sea posible,divide la razón de un intervalo en dos pates iguaes

División múlp/ de ! octava División de la octava en más de 2 partes.Enarmónico (a) Género clásico en el que aparecen intervlos menores que el semitono Apli

cado a la octava, división de ésta en díesis, diferencia ente el semitono mayo y el menor, D - Do# Re - Re Re# - Mi Mi.., etc notas separadas po µna díesiscoinciden en el tempeamento igual (Do#= Mi# =Fa, etc

fusta entonación. Anación con intevalos puos o naturales octava 2/, quinta 3/2, terceamayo 5/4

Quinta del bo. Quinta mayor o menor que las del resto del sistema colocada generalmenteente Sol# y Mi e impracticable

Limma Semitono menor diatónico en la anación pitagórica, de zón 256/243 (90 censMesotónico Temperamento con tonos igules gracias a la eliminación del comma sintónico.

Véase: temperamento mesotónico.Merde Unidad de medida de intervos usado por Sauveur

E143 de la octava y, por tanto,

su rzón, equivae a 4 Cada meri se divide en heptameris y cada heptamerien 1O camris.

Meso!bio Instrumento mecánico atribuido a Arquímedes para hllar dos o más medidsproporcionales, imposibles de consegui por medios aritéticos o geométricos.

Monocordio En su origen, instumento musical de una sola cuerda Colocada ésta sobre unkanon o egla numerada sirve para la determinación matemática exacta de ls razones delos intervaos.

Schma. Diferencia entre los commsintónico y pitagóico de rzón 32.805 : 32768 (c 2 centsSistema cíico Disposición de las quintas de rma que no haya ninguna impracticable, sean

o no iguales.

Sistema irre! Vése temperamento irre!Sstema regu! Disposición del crcuo de quintas en el que todas o todas menos una tienenel mismo tamaño

Supearcu! Razón de la rma n+ /n.mpera Vaiar ligeramente la anación de lgunos intervalos, en especil las quintas, para

conseguir determinadas ventajas armónics; terceras aceptables (temperamentos mesotónicos o eliminación de la quinta del lobo (temperamentos iregulares e igual

Temperamento ial octava se divide en 12 partes o semitonos igules de azón Lasquints quedan ligeamente bajas y las terceras mayoes muy altas

mperamento irregu!r. Sistema en el que más de una quinta es diferente a las demás Hayque exceptuar la justa entonación

mperamento mesotónico En sentido estricto, de tonos medios ente el mayo (9/8 y elmenor (10/9 quints deben reducirse 4 para que las tecers mayores sean justas (5/4.



Introducción

Nuestra escala actual consta de doce partes doce semtonos guales Porqué 12 y no 35 o 157? Y por qué guales? Son ben conocdas otras escaas como la pentána (Chna Jaa) heptáfona (Sam) os 1 nteralos

de a músca árabe o los 22 s' ts de la músca hndú algunas en temperamento gual otras no La dsón de la octaa (la octaa es e nterao básco a ddr; los nteralos mayores pueden ncurse en ella) está estrechamente emparentada con la aprecacón de las consonancas dentro de cadacutura A escuchar dos sondos sucesos o smultáneos su combnacónnos resulta más o menos agradable» Un desderatum sera que en a dsón de la octaa se ncuyesen el mayor número posble de nteralosagradables» es decr de consonancas Hay agunas de éstas que parecen

gozar de certa unersaldad como la octaa o qunta (y cuarta) no asotras como las terceras y sextas producto de la polna occdental Edescubrmento de la sere de los armóncos dotó de una certa naturadad» a las consonancas pero las condcones culturaes parecen ncdrmás que aquélla en su eleccón dentro de a estétca muscal Nuestra actual escala temperada no contene nnguna consonanca justa a excepcónde a octaa

Este lbro no pretende entrar en consderacones extramuscales de tpocultural regoso o eststco sobre los dferentes sstemas de anacón de

la octaa en la cultura occdenta (n squera se oecen ejemplos muscales) No es tampoco un manual para anadores o un tratado de organologa aunque se ncluyen drentes nrmacones de carácter hstórco alrespecto que pueden resultar nteresantes para los anadores de nstrumen



12 Adó

tmpres

sic

o hóo El deaollo de ualquea de eo ópo alagaa exaodnaamene la expoón de nueo ema Lo que peende el lbo eoee de ma laa euea y exaa una muea ampla de la pnpae anaone y empeameno que han apaedo y e han pueo enpáa a lo lago de nuea hoa mual No e n embago una oleón o aálogo de empeameno En el láo lbo de Babou(151) apaeen má de 0 de ale ema Lo que nenamo oeee de ma hóamene onexualzada aquello ema de empeameno má mpoane de nuea hoa mual y que en la páa eeduen a e o ee Éo lo má mpoane e aaán de una mamá deenda peo e nluyen ammo oo meno mpoane empa

enado on ello o que han endo algn po de elevana hóa oeóa

Sia oaió

Hay ma deene de moa la elaón ene la noa de un emamual M Lndley po ejemplo (200a) ua un ema ombodal en elque e ve la elaón ene quna y eea mayoe Babou ua la noa

ón de Ez en la que el exponene 0 (eo) degna la noa jua en el nodel ema y el exponene ± n añaddo a la noa nda que e ha aumenadoo dmnudo en n omma nóno Todo ello po la ldad que uponela expeón en ma lneal En el empeameno de 1/ de omma poejemplo la ada mayo de Do queda Doº M Sol (eea mayojua y quna eduda en 1 de omma epeo al Do nal) El «ulode quna» en ma lneal e expeaa en la «anaón jua» (on la noaón angloajona) de la ma guene

Ab Eb Bb P Cº Gº D E B F# C# G#

Se muea a ómo hay e adena de quna jua epaada ene po ene S�Fa ReLa y Fa#Do#

Cuando e quee alea la noa on oo monevalo éo pueden ndae gualmene e Cº E nda una eea mayo pagóaeduda en un omma pagóo o u equvaene una eea mayo juameno un hma (dena ene ambo omma)

Pemo n embago emno n má a ulo de quna en el quee ve de ma dea la mplaone de ada ema aunque ea el leoquen enga que aa la oneuena mpla en ada uno de elloulo de quna que moaemo namene en la anaone y empe



Iodcn 3

amenos más impoanes En los demás nos emiimos a su exposiión lineal El ejemplo aneio quedaía

La M S Fa Do Sol La M S Fa# Do# Sol#o o -l o o o -l o o o -l o

Claaió d d a

En el siglo Bosanque (6, p 60 y ss) inodujo una nomenlaualasiaoia de los disinos sisemas de anaión y empeameno que se haheho anónia ésa

Sstemas regures Regur Systems) son aquellos en los que odas sus noaspueden odenase en una seie oninua de quinas iguales sin que neesaiamene men un íulo eado La anaión piagóia y el empeamenomesoónio son sisemas egulaes aunque una quina (de poblemáio uso)no sea igual a las demás

Sstemas regures cíccs Regur Cycca Systems) son aquellos que nosólo son egulaes sino que en ellos se vuelve a la misma noa as un nmeodeeminado de quinas Cada uno de esos sisemas divide la oava en unnmeo dado de paes iguales, 2 o los que sean Anes de Bosanque se lesha denominado de vaias mas, «isemas empeados» Sauveu), «empeamenos geoméios» (G L So) po la división de la oava en paesiguales, «sisemas iulanes» (G iai), lo ual es obvio, o «sisemas de inevalos onmensuables» (R Smih) ( Babiei, 9, p 29 , n , quien añade la aual eminología anglosajona de ETS Equa Tmpered Systems

Bosanque denomina a los sisemas egulaes psvs o negatvs segnsus quinas sean mayoes o menoes que las del empeameno igual (00

ens) Esa efeenia al empeameno igual omo puno de ompaaión ydemaaión nos aleja del objeivo geneal del pesene libo Las quinas jusas, mayoes que las de ese empeameno, haían, lao, un sisema posiivo

stemas rregures (nos paee peo eminología «sisemas desiguales» o«no iguales») son aquellos que, además de la del lobo, pesenan un íuloon quinas de difeenes amaño, omo es el aso de los «buenos empeamenos» baoos

Dvsón mútpe de ctava ilizamos ese émino uando se añadennoas paa onsegui deeminadas venajas en la páia musial (Sol• y a�

omo noas difeenes, po ejemplo, paa dispone de una IIIM a pai deMi o una Im desde ) En oos asos, al efeinos, en geneal, a más de 2 noas po oava



Afón

eperent

to

a loaa

Dede Págoa, lo nevalo e epean medane una azón Sn emba

go, al ema ene numeoo nonvenene paa uma y ea nevalo hay que mulpla o ea u azone, paa dvd un nevalo en npae hay que halla endo mpoble a menudo la dvón (geoméa) en pae guale, o e dl la ompaaón ene nevalo uandoeo on muy pequeño. Ya dede la Angüedad hubo neno de eonve la azone en andade lneale dea n muho éo. Se ongue ólo a pa del glo XII medane el uo de logamo Lo logamo onveen peamene la mulplaone y dvone en uma y

ea y pemen «ve» nmedaamene la «longud» de un nevalo E abdo que log log + log , log log log , log log y log () log. Ello no pemá epea la aone en undade lneale que puedan umae y eae La undad logama má uada enla aualdad e el «en» («enémo») n «en» e la enéma pae deun emono empeado, el ual ene 1 00 en, la oava 1 200, quna00, e Como 1 en e la 200ava pae de la oava 2 1 ( \) , paaanma una aón en en baa apla la mula 1 .200 X log(pq) que puede anmae en ea oa, 200/log2 X log (pq) paa

pode ulza logamo nauale (vd. Apénde 1 paa una eplaónmá deallada).lzando po ano la mula equvalene log (pq) 200/log2 y

pueo que 200/log2 396,3 1 , paa halla lo en oepondene auna azón baa egu eo e pao

a) halla la aón dvdendo el numeado po el denomnadob) halla u logamo) mulpla el eulado po 3 96,3 1

Pongamo el ao de la de azón 32 a) 32 1 ,5, b) log 1 ,5 0, 16 ,) 0,16 X 396,3 1 01 ,954346 02 en.

Ahoa paa uma una y una en luga de ulza la epeón 32 X 43mplemene umamo 02 + 49 en Puede vee ómo lo epevo00 y 500 en del empeameno gual e devan lgeamene de lo de laanaón jua A la hoa de uae un nevalo de oo mplemene eamo u epevo en

No meno mpoane e la pobldad de dvd una ononana enpae guale La dvón de una IIIM jua en do pae guale uandoaone ea, uando en, 400 200 200 lzamo lo enoepondene al empeameno gual, paa el que eá adapado ea dv



Iduccó 15

sión y en el que ada inevalo equivale a la anidad de semionos de que seompone mulipliados po 100

na venaja adiional esá en las fáiles ompaaiones que pueden esa

bleese ene inevalos Es difíil, po ejemplo, sabe si el omma piagóiode azón 531441:5242 exede o no y en qué popoión al omma sinónio de azón 10 Taduido a ens, el pimeo equivale a 24 y el segundo a 22 ens Es il ve que uno exede al oo en 2 ens, la 50 pae deun semiono empeado

Hay sin embago algn inonveniene en el uso sisemáio de ens Ellislos diseñó paa el empeameno igual, el habiual en 1 5 Si lo ompaamos on la anaión jusa, vemos que los «nmeos edondos» apaeen en

los inevalos empeados, no en los jusos, dando la falsa impesión de queson las onsonanias jusas las desviadas espeo a las empeadas, uando elaso es exaamene el onaio

naión jusa, 01 ,95 ens; IIIM 363 1 ens, Im, 3 1 50 ensTempeameno igual, = 00 ens, IIIM = 400 ens, m = 300 ens

En el aso de la , la difeenia es poa, peo en el aso de la IIIM hay+ 1 369 ens de eo en el empeameno igual y en el de la Im 1 50 de

difeenia Toda desviaión que supea los 3 ens es apeiable paa un oídono y en nueso aual empeameno las eeas páiamene lo quinuplian No vamos a ena en la polémia ene defensoes o deaoes de laanaión jusa y/o empeameno igual Paa un odo aual, aosumbado aese limo, la enonaión naual suena un ano apagada y lánguida, mienas que, dien, si uno se eedua, el empeameno igul le esula agesivo ydisodane (los esimonios hisóios al espeo han sido abumadoes hasa la geneaizaión de ése)

Aó, po bdo, oo do

El émino «anaión» puede enendese en un senido amplio omo lapuesa a puno de un insumeno musial paa su uilizaión (ana uninsumeno») En senido esio, «ana> se eeiía a ajusa ada noa individual a su popia euenia En ese senido sólo hay dos anaiones, lapiagóia (quinas jusas) y la jusa (quinas y eeas jusas) Como ana

quinas y eeas jusas (además de la oava) es imposible, hablamos de«empeameno» «Tempea» es algo así omo «desana onvenienemene»una seie de onsonanias paa que sujan esalas paiables, llegando a unompomiso en onsonanias inompaibles paa que la páia sea posi



16 {nó y tmprent tó1ico

ble. No hablamo de «empeameno piagóio» o «empeameno juo»,que eía una onadiión, aí omo no deimo «anaión meoónia».Como diía Taini a mediado del iglo

XIIIe aa de «dema la azo

ne de ma azonable» y, omo e de epea, la poibilidade de «deajue» on mliple.

Como veemo on má deenimieno, la difeenia ene uao quinay una eea mayo e el cmma sntónc Paa u eliminaión (de eo aael empeameno) eá neeaio epaila ene la uao quina deanándola en 14 de omma (/4) ada una Oo inevalo a elimina epaiéndola ene oo inevalo e la díess enarmónca la difeenia ene unaoava y e eea mayoe Finalmene, el cmma ptagórc muea la inompaibilidad ene 2 quina jua y 7 oava La eliminaión ano dela díei omo del omma piagóio pemie «ea el íulo» de quinahaiendo oinidi en una mima noa oeido y bemole Lo difeeneempeameno eponden a la eliminaió de ale «eo» que apaeenuando inenamo auna oava, quina y eea (y quizá épima menoe).

Aunque ee no e un manual paa anadoe, e neeaio india alguno elemeno que enan en juego en el empeameno, del que enonamo en lo eóio muiale do ipo de deipione na, de índole

páia, uiliza eminología de ee ipo, «baja un poo la quina de almodo que la eea ea ai jua» Témino omo «un poo» o «ai» o «oleable» on evidenemene ambiguo peo ile paa un anado habiualOa deipión, má eia, inena delimia uáno e alea un inevaloeaamene y ómo afea al eo. Hay eóio que deiben empeameno en uo del pime ipo, muy eano a la páia muial onea(Roueau), oo on eóio de oe maemáio que alulan de maabaa la aione de omma en que un inevalo e alea un ano, almagen de la eaia muial (Romieu) y oo, nalmene, anan la peiia

muial on el onoimieno de la eoía (alino o Salina) E evidene queun embalia que dipone de poo iempo paa ana u inumeno noalula la aleaione en «uao de omma». Tale álulo e haen a poeioi

La páia habiual e ana lo inevalo puo de ada iema, eableiendo lo límie de u noa y luego empea de ma igual la quinaque lo omponen. n ao enillo en el empeameno de Aon, anamola IM DoMi jua y, maneniendo ja ea noa, eanamo (empea

mo) la uao quina que la omponen aoándola en la mima anidad.Si la IIIM e epeo a la piagóia, e obvio que hemo epaido diho omma de difeenia ene la uao quina y que po ano ada unade ella ha deendido en 14 de omma. Lo mimo podemo hae on el



dc 17

eso: ana los inevalos jusos que haya en el sisema y eana las quinasque los componen

En la anación «a odo» ano de inevalos jusos como empeados los

anadoes ecuen al fenómeno fsico de los baidos Cuando en el unsonoo en una consonancia vaiamos ligeamene la ecuencia (alua) de uno delos sonidos comienzan a escuchase una seie de pulsaciones sonoas llamadas «baidos» con una ecuencia deeminada Tales baidos desapaecencuando los dos sonidos vuelven a coincidi o se sepaan lo suciene comopaa hace oo inevalo La ecuencia de los baidos que pueden conasecuando no es muy gande es la difeencia ene las ecuencias de ambos sonidos y nicamene se escuchan cuando ésas esán muy póximas Po

ejemplo ene un sonido de 440 Hz y oo de 442 o 43 Hz la ecuenciade baido seá de 2 Hz po seguno posiiva en un caso negaiva en el ooCuando ambos sonidos se sepaan más de 1 5 Hz sus pulsaciones demasiadoápidas ya no se apecian y se oyen como dos sonidos sepaados no de losobjeivos de odo empeameno seá la eliminación en lo posible o conolde los baidos que son una heamiena a uiliza po el anado Hay queene en cuena que en cada ocava supeio la ecuencia de los sonidos seduplica

El eco de los baidos puede oece ambién una explicación de la con

sonancia Sólo en el limo cuao del siglo y gacias sobe odo a los hallazgos de H Helmholz sabemos que el efeco de la consonancia y disonanciaes un hecho sicosiológico de gan complejidad que se debe ndamenalmene a la coincidencia de los pimeos amónicos de cada sonido baseComo odo msico sabe un sonido gave lleva ociados oos sonidos másagudos que man una seie la seie de amónicos La consonancia es poduco de la coincidencia de amónicos ene dos o más noas; la disonanciade una meno coincidencia o una cecana excesiva ene amónicos que puede poduci baidos La compaación de los amónicos de dos sonidos explica muchos nómenos Ene Do y Sol po ejemplo coinciden aquellos amónicos que ienen la elación 32, 3, 6 9 de Do y 2, 4, 6 de Sol eneDo y Fa 4, 12. con 3, 6, 9 mando 43, ec (véase Apéndice 11. ninevalo es más consonane cuanos más amónicos (y más cecanos a lasnoas base) engan en comn

Hay oos hechos ineesanes Po ejemplo la IIIM es más difcil de ana que la poque pueden poducise baidos ene paciales poco sepaados ene s como ene los amónicos 4, 6 y de Do y los 3, 5 y 6 de Mi a

disancia de un semiono DoSi SolSol# DoSi Nada de eso ocue en elcaso de la Oo hecho ineesane es qué ocue con la complemenaiedadde dos consonancias en la ocava En el caso de que la consonancia menoesé en el gave y la mayo en el agudo (división aiméica) ambas baen con



18 c y tp·mes s

la misma velocia; en el caso contaio (ivisión amónica), la meno e lapate agua batiá con oble ecuencia que la mayo en la gave

VII

4Do

IV

3Fa

V

do

VIII

6Do

V

4Sol

IV

3do

En el pime caso, el 4 amónico e Do (o') coincie con el 3 e Fa(o') y con el 2 e o (o') ; en el seguno, el 3 amónico e Do (sol) lo

hace con el 2 e Sol (sol) , peo sólo el 4 e Sol (sol') coincie con el 3 eo (sol') (y con el 6 e Do, sol') El ecuso e complementa quintas ycuatas a la octava es muy utilizao po los anaoes, peo igual ocue conotos intevalos complementaios IIMm o MIm

B hioa aaio pao O

En Gecia apaecen ifeentes anaciones e la octava De ellas estacan tes:

la anación pitagóica, el sistema e Aistóenos y la ivisión iatonosinto-no e Ptolomeo Sólo la pimea pasó a la Ea Meia a tavs e la oba eBoecio Es una anación e quintas justas con teceas mayoes muy aguas,muy buena paa la monona

El nacimiento y esaollo e la polina eigiá el uso e teceas y se-tas más justas, algo que la anación pitagóica no oeca Seá en el Renaci-miento cuano se establezca la entonación natual o justa que coincie conla e Ptolomeo Esta entonación es imposible llevase a la páctica tal cualy aá oigen tanto a la ivisión mltiple e la octava como a ivesas vaie-aes e tempeamentos e tonos meios o mesotónicos Mientas, habanapaecio ifeentes tempeamentos semipitagóicos e iegulaes, en especialpaa la y vihuela, con lo que en los siglos X hay una gan cantia esistemas e anación en juego

En el siglo XII asistimos a la Revolución Cientca y al nacimiento e laacstica mientas es, en geneal, el mesotónico e /4c el tempeamento ha-bitual Peo este tempeamento pesenta el gave poblema e que no cieael cculo e quintas ampliación sucesiva el ámbito moulatoio haá

que en el III se planteen vaias opciones e tempeamentos iegulaes oesiguales que, sepaano las tonaliaes iatónicas e las comáticas, pemi-tan el ciee el cculo e quintas y la moulación a toas las tonaliaesSon los tempeamentos baocos anceses y alemanes que pemiten a a



dci 19

caa tonalia sus caactesticas emocionales paticulaes epenieno e laifeente gaación e los intevalos

En el siglo

Ise impone enitivamente el tempeamento igual, un

tempeamento ya conocio y pectamente estuctuao po Salinas a nales el siglo peo que haba io sieno echazao po sus teceas muyaguas en un pincipio y espués po hace iguales toas las tonaliaes sinque éstas pesenten caactesticas popias Genealizao en España y Fanciapimeo y luego en Alemania e Italia, nglatea e el último pas en aop-talo ebio al consevauismo e sus oganeos Puee consiease un heeeo e la anación pitagóica po sus quintas casi justas o e las ivisionese Aistóenos po la ivisión e los intevalos en pates iguales En el

siglo con la plena aopción el tempeamento igual, han sugio no obstante altenativas a la ivisión e la octava en 12 pates iguales eivaas elas nuevas necesiaes sonoas, casi toas ellas ya eploaas en épocas anteoes

Este libo intenta mosta las ifeentes altenativas e anación y tempeamento que se han ao en Occiente y las cooenaas conceptuales coesponientes paa que el lecto cuioso puea, y este es el pincipal objetivoel libo, acui a las entes, conocieno e antemano los pesupuestos teóicos y pácticos e los ifeentes autoes Sólo se han eploao, y ese un

punto e vista históico o histoicista, las popuestas más conocias y las quemás éito han tenio, hasta el punto e que muchas e ellas se siguen utilizano hoy a Mencionamos también otas obsoletas hoy a peo que en sumomento ecibieon la atención e los teóicos musicales En cualquie caso,nos ha paecio más inteesante esboza el conteto históico en que apaecen los istintos sistemas e anación y tempeamento que a una lista esnua e éstos, po muy completa que ese Ello nos ha llevao a veces a ci-tas elativamente etensas e tetos impotantes e nuesto pasao musicalAunque puea paece engooso, lo pefeimos a una eelaboación posteio a pati e entes secunaias o e intepetaciones paticulaes

Aademeo

Este libo está eicao en pime luga a mi muje, que me ha aguantaomientas lo esciba

Y e ma especial a Cistina Boas y Luis Robleo, sin cuyos conoci-

mientos, amista, convesación, consejos y nutia biblioteca musical hubiese sio totalmente imposible e lleva a cabo Gacias



Greca

El a al o

Cnsnancas

Antes e e inos a los sistemas e anación e a tigüea es necesaioconoce algo e su sistema musica y su vocabulaio especco que contienematices algo ifeentes a os nuestos Las tes consonancias impotantes ela msica en Gecia son a octava o dapn («a tavs e toas las notas),quinta o dapente («a tavs e cinco) y cuata o datessarn («a tavs e cua-to) El tmino giego «iapaso> epesa mejo que el e «octava el hechoacstico e que en a octava están «toas las notas, es eci, cualquie inte-

vao que supee la octava puee intoucise en sta No hay, po ota pate,una consonancia meno que la cuata El tmino paa sta, teracrd, haceefeencia eplcita a as cuato cueas e instumento musical oo inte-valo meno que un tetacoio se consiea isonante (vase Aistóenos, 2 , , 45)

La octava se compone e quinta y cuata o e os cuatas sepaaas poun tono

IV V

V IVVI M L Si IV TonoIV



Afcn epemt

itór

Fente a esta teminología usual apaece ota menos impotante Nicóma-co Manua i) ice que Filolao enominó a la octava harmna (e armz«ajusta», «hace encaja) efeio al ajuste e cuata y quinta De ahí que lasifeentes especies e octava giegas se enominen harmna (lo que luegose enteneía no muy eactamente como «moos») La cuata se enominaía syba symban, «toma conjuntamente», «euni») po se la uniaconsonante más elemental, y la quinta dean díma, «pasa>, «on-clui») poque, con la cuata, completa la octava

Dvsón tetracr Géners

Las os notas etemas e un tetacoio son jas hesttes} y las os inteme-ias móviles kenumen) algo así como notas e paso, vaiables segn lostes ifeentes géneos

Géneos (los nmeos inican los tonos o acciones e tono)Diatónico La 1 Sol 1 Fa Y MiComático La Y Sol Y Fa Y MiEnamónico La 2 So

Fa

Mi

Las notas se han colocao en ma escenente, tal como apaece en lateoía musical clásica giega Sólo a pati e Boecio (siglo apaecen enma ascenente Las acciones hacen efeencia e ma muy genéica atonos o acciones e tono no muy bien enios El gupo e los os intevalos menoes en los géneos comático (Sol FaMi) y enamónico (Sol -Fa Mi), meno que el pime intevalo, se enomina pycnn (lat spssum onsum Tanto en la taición pitagóica como aistoénica se an ivesas

calicaciones a los tetacoios, maakn (suave), syntnn {intenso), etc(véase más aelante) Hay que supone que los giegos, como muchos pueblos hoy ía, istinguían intevalos menoes que el semitono

L que ahoa intentaá oecenos la teoía musical es un intento e siste-matización y posteio cuanticación e esta páctica musical. Filolao y Nicómaco ( II , p 262) enominan díess (sepaación) al «cuato e tono» yAistóenos (, 14, , 46) al intevalo mínimo que puee apecia el oío,istinguieno ente díess crmáca y díess enarmónca Segn A uintiliano (, 9), el témino «enamónico» poviene el «estechamiento» ap tu sy

nermós) e los intevalos el pycnn segn Nicómaco, «iatónico», poque en este géneo se pogesa «po tonos» d tn tónn) ineistentes en losotos géneos; «comático», evientemente, e «colo» chrma) géneo in-temeio ente los otos os «como el colo lo es ente el blanco y el nego».



Ge

El gneo más usual ea sin ua el iatónico, mientas el enamónico ea elmás ebuscao y ifcil (Aistóenos, , Según Plutaco, el comático haba sio intoucio po imoteo y el enamónico po Oimpo (nao

el ate el aus gneo que ebió i esapaecieno poco a poco e lapáctica musical ebio a su icuta Ptolomeo (I, 3 po su pate nosice que e Aquitas e pimeo en clasica os tes gneos ebio a su intes en a meición e os intevalos.

A magen e estas apeciaciones, lo que es conveniente eci es que e gneo enamónico, visto con eticencia po Platón, e paa la posteia ungneo «mtico» pues no estuvo en páctica espus, mientas se supona quepouca «efectos» etaoinaios en e oyente. eemos cómo humanistas

como icentino intentaán su estauación siglos más tae Sobe el comático hay que señaa la iente concepción que tiene en la páctica musicalgiega y en a occiental posteio La música giega ea casi con toa seguia mononica y la cuata se ivia en tes intevalos en la posteio páctica musical occiental, el tmino «comático» se eee a a ivisión e laoctava en semitonos, «coloeano» e iatónico; a cuata puee componesee cinco semitonos. Aplicaos a os semitonos, los tminos «iatónico» y«comático» haán eencia a os ientes tipos, e semitono iatónico,ente os notas e nombe iente (MiFa), comático ente notas e mis

mo nombe (MiMi�)

Sstemas

As como las consonancias se componen e intevalos menoes, los sistemassystemata) se componen e consonancias E meno e stos sea, segúnPtolomeo, la octava (+I Sin embago, os sistemas pueen constuise a

pati e a unia tetacoal meiante conjunción synapé) o isyuncióndaeus) e tetacoios El heptacoio se compone e os tetacoiosconjuntos, el octacoio e os tetacoios isuntos, sepaaos po untono.

El pimeo coesponea a la clásica lia e siete cueas cuya ma enitiva la haba estabecio epano en el sigo I aC Mi Fa Sol La Si�Do Re, os tetacoios iguaes conjuntos MiLaRe, en el moo Mioliio(vase Ceónies, Isaggé 12; Plinio, Hstra natura I, 204) Las notas seesignan meiante las cueas e a lia,

Mi Hypate, «la más alta» (el instumento es la e sonio más gave) Fa Pahypate, «la cecana a a hypate».Sol Lichanos, «eo nice» (se tocaa con este eo)



24

a Mese, «a de medio»

Afnn to hto

Si� Paramese, «la erana a Mese» (a vees, Trite; la terera ontandodesde Nete)

Do Paranete, «erana a Nete»Re Nete, «la más baja» (en el instrumento; la de sonido más agudo)

El otaordio se ompone de dos tetraordios iguales disjuntos rmandouna otava Mia, Simi. Plinio atribuye la adiión de la otava nota a Si-mónides (556468 a.C) y Boeio (, 20) a un desonoido yaon de Samos Debió ourrir haia la poa en que Pitágoras, según la tradiión, haíasus desubrimientos aústios a nueva nominaión de as uerdas del tetra

ordio agudo es Si Paramese, Do Trite, Re Paranete, mi Nete Es la rmaanónia de a otava en Greia dos tetraordios separados por un tono (hayotras variedades extrañas, de tipo igio por ejemplo, vase Maran, p 1 8, oproduto de la onjunión de tres tetraordios, evin, pp 23 1 232) A partirdel siglo apareen ira de oho, nueve y má uerdas (es bien onoida lareferenia de Pausanias a la ondena de os espartanos a Timoteo ca 450360 a.C. por añadir uatro uerdas a las siee de a antigua lira)

Hay sistemas mayores que a otava de los que e más importante es el«Sistema inmutable» stema téen ametabn) ompuesto d otaordio

entral on tetraordios onjuntos en los extremos y otro interno moduatorio de notas onjuntas» Synemmenn) más una nota grave «añadida» Prsmbanmens} para ompetar dos otavas

Synemmenon conjunto» Cued Tetcodio

l Nete Hypeboleon Hypeboleonol Pnete Hypeboleon ñdido» upeio»

Tie Hypeboleon

f Nete Diezeugmemenon Diezeugmenon- e Nete Synemmenon e Pnete Diezeugmenon dijunto»

do Pnete Synemmenon do Tie Diezeugmenon S Pmee

i Tie Synemmenon- l Mee -l Mee Meon:

Sol Lichno Meon «del medio»F Pypte Meon

Mi Hypte Meon Hypton:

e Lichno Hypton el má lto»Do Pypte Hypton Si Hypte Hypton

Polmbnomeno Not ñdid»



G 25

Hay que señalar que los diferentes sistemas podrían darse en los tres g-neros manteniendo jas as notas comunes en os extremos de cada tetracordio y variando as móvies No hay referencias a estos sistemas mayores en

Aristóxenos (370 aC) peo sí en Eucides (300 aC) Debió ser en estosaños su sistematización (los citan además de Euclides, Cleónides, Nicómaco,Ptoomeo, Gaudencio y Aipio)

Aaó d a

No hemos mencionado e compejo mundo de a modaidad griega, de as

harmna y las octavas de transposición Pero lo que legó a Occidente tantode los sistemas como de os modos» e sobre todo a constitución de a oc-tava a partir de modo dórico (griego, no medieva) descendente

R Do S L So Fa MT T S T T T S

Do R M Fa So L S do

{ T onoS sono

En realidad, a octava como unidad de anación» no aparece sino a na-

les del siglo X con Ramos de Pareja y como una herencia de la especuacióngriega tras los sistemas hexacordales de medievo

Como hemos dicho, cuartas», tonos» y semitonos» son unidades ar-mónicas cuaitativas, dependientes de la separación entre cuerdas y que ahoraserá necesaio anar», es decir dotar a estos y os demás intervlos de unamedida» concreta si eso es posibe as dos escuelas de pensamiento que encaran e pobema son a pitagórica, en la que prima el elemento matemáticoraciona, y la de Aristóxenos, con predominio de a sensación y a memoria

La tradcón ptagórca

Descubrimiento de las consonancias

Aunque la gura de Pitágoras (siglo aC) está envueta en a eyenda, se eatribuyen una serie de importantes descubrimientos matemáticomusicaesque constituyen e inicio de a ciencia armónica, como e descubrimiento de

las proporciones musicales, a importancia de la aritmtica para la música, lateoría de la música de las esferas etc (c el lugar clásico en Aristótees, Metasca, 5, 985b986a) El primer autor del que conservamos a narraciónegendaria de sus descubrimientos acústicos es Nicómaco de Gerasa, del si



26An tmpns

stico

Dcubrimin d rn d cnnancia pr par d uba Pigra Gari T heca mce Min



G 27

glo I Posteriormente y con pocas variaciones nos la reeren Teón de Esmirna (siglo Censorino (siglo m ámbico (siglos mv) Macrobio (si-glo v) Gaudencio (siglo v)) y Boecio (sigos La versión de este útimo

(«Quemadmodum Pythagoras proportiones consonantiarum investigaverit»,I, x) nos dice que, desconando del voluble juicio de odo y de os instru-mentos, Pitágoras buscó criterios más rmes e inaterables de as razones delas consonancias A pasar por delante de una herrera y escuchar os diferen-tes sonidos producidos por e golpear de os martillos, apreció que tales soni-dos rmaban una consonancia { eaudvt e dverss sns unam qummd cncnentam persnare) Sorprendido y cavilando sobre e hecho, pensóque la diversidad de os sonidos podra deberse a la distinta erza de los golpes pero comprobó que no era as mandando cambiar de mano os martillosExamina entonces e peso de stos que, por azar, eran cinco Aqueos cuyospesos se encontraban en una proporción dupla producan el intervalo de oc-tava secundum dapasn cnsnantam respnbant) Igualmente, las razonesentre pesos de 43 (sesquitertia), 32 (sesquiatera) y 98 (sesquioctava) danlos intervaos de cuarta (diatessaron), quinta (diapente) y tono El quintomartilo es abandonado por no ser consonante cnsnans) De estos intervalos, a cuarta es a consonancia mnima Posteriormente repitió los experimentos con cuerdas, siempre con e resultado de que las razones de las con-

sonancias se encuentran en los números 12986 con la VIII entre 26, Ven 28 y 96, IV en 129 y 8 6 y Tono tnum) 98Boecio entiza a desconanza de Pitágoras en los sentidos nus huma

ns aurbus crens. . e designio divino del descubrimiento dvn qummtu) y el eserzo menta que precedió al descubrimiento duque aestuansnqurebat) Otros autores oecen diversos detales signicativos como es ecaso de Nicómaco, quien además de acudir al designio divino del descubri-miento señaa el aspecto visua de ste o los pesos atados a as cuerdas Teónañade a a tensión de as cuerdas producida de esta rma los experimentoscon autas o vasos parcialmente lenos de agua Que matemáticos más o menos competentes como Nicómaco no apreciasen a fasedad del experimentoen e caso de los pesos atados a cuerdas parece rerzar la idea de carácter legendario de la narración La misma leyenda, cristianizada mediante la atribu-ción al bblico Tubal, hijo de Lamech y supuesto inventor del arpa y el salterio, la reeren Calcidio, ulgencio o Isidoro de Sevila Ptolomeo (, 8)rechaza su atribución a Pitágoras mientras Aristóxenos menciona que Hipasode Metaponto realizó experimentos parecidos con discos de bronce Sea lo

que ere, casi todos los tratadistas occidentales repiten la eyenda de osmartillos sin variación hasta su descrdito a nales del siglo Los experimentos pitagóricos pueden ejemplicarse en e monocordio E

mncrd (o mnacard era en principio un instrumento musical consis



28 Ai

}

ments

stóc

ene en una uerda endida enre do exremo jo (Polomeo, 11 8) Conuna regla numerada o a obre la ual puedan medire la rawne de lodivero onido produido por lo agmeno de la uerda onora e on-

viere en el inrumeno armónio por exelenia Según iógene Laerioe invenión del propio Piágora

Si omamo una uerda y, maneniendo onane la enión, haemo onar oda la uerda y u miad, el inervalo enre lo do onido, uya razóne 2 e la oava ividida la uerda en re pare y haiendo onar oda lauerda y do pare (32) el inervao e la quina dividida en uaro pare yomando re (43) , enemo el inervalo de uara

Ocaa ua Cuara 4

La Dula

» Ssquara» Ssqura

Quedan aí eableida numriamene la re ononania de la múi-a griega inluida en la oava Obrvee que erera y exa no e onideraban ononania Boeio die explíiamene iaearon, qui e on-onania mnima» Ello e debido al aráer mononio de la múia griegay a que la uara era el elemeno mínimo eruura de lo gnero y lo i

emaPodemo ahora operar on la rawne al margen de la perepión onoraSe omprueba que la oava e ompone de quina y uara, 3 2 43 2 o,a la invera, que la uara e la diferenia enre oava y quina, 2 1 32 43(para umar o rear inervalo e muliplian o dividen u razone) El ono,diferenia enre quina y uara, iene la razón 32 43 98 El reuadopuede omprobare dividiendo la uerda en nueve pare y omando oho

E difíil valorar hoy día de rma adeuada la imporania de eo de-ubrimieno que oniuyen la primera apliaión de la maemáia a unheho enorial, io y eio ue una prueba deiiva para lo piagóriode que el omo e ompone de número y que la vivenia eia ubjeivapuede er menurable Cenorino ya no deía que e neearia la repreena-ión numria de lo onido para poder medirlo «Quemadmodum voe,ne ub oulo, ne ub aum adene, haberi poe menura » (10) Elmonoordio iene un papel muy imporane en la anaión de inervaohaa el iglo XIII oniuyendo inluo enone una demoraión oular» (curi dema) de lo inervalo La radiión e an periene

que inluo un iego omo F Saina aude a l A Quiniliano (III, 2) nodie que el propio Piágora, al morir, reomendaba enareidamene a udiípulo eudiar el monoordio (mrdíi) pue la perfeión de lamúia debe omprendere ineleualmene y no por el oído



G 29

Los uato pimeos números desubiertos en el expeimento de los matillos man la tacs de la dada» 2340 reinto simbólio sagado de la espeulaión pitagóia y que oupa tambin en la osmología un

luga destaado Haiendo todas las ombinaiones ente estos uatro pimeros númeos, las onsonanias resultantes son Unísono, : Otava (Dapason) 2: Otava más quinta (DponDiapnt) 3: Doble otava (Disdiapason) 4: ; Quinta (Diapnt) 3:2; Cuata (Diatssaron) 4:3. El esultadoenaja bien en el sistema musial giego de doble otava Hay sin embargouna onsonania que no apaee, la otava más uata 2: 4:3 8:3 Unode sus trminos sobepasa la tetatys y no es una razón ni múltiple ni su-perpartiular Ptolomeo (, 4) la admite poque toda onsonania más laotava es una onsonania El tono de azón 9:8 no es, obviamente, unaonsonana

Aritmtia pitagória Teoría de las medias

A margen de teoías numerológias omo las de Niómao, la Seión delCanon atribuida a Eulides 300 aC) reoge la teoía numriomusial pitagória desde los tiempos de Aquitas de Tarento, ontemporáneo de Pla-

tón Se apuntan aquí una serie de inteesantes propiedades que van a rmarun orpus de teoía musial epetido inesantemente por los teórios musia-les posteioes y que Eulides pesenta de rma dedutiva

Hay una elaión entre números y sonidos Todo intevalo puede epesentarse mediante una aión, habiendo una exata orrespondenia en-tre músia y aritmtia Así, para «suma intervalos se multiplian sus azones y paa «resta se dividen Dividir un intevalo en m partes igualesequivale a hallar la aíz m de diho intervalo 2 Los sonidos onsonantes están siempe en razones múltiples nn) o superpatiulaes (n+n) 3 Losintervalos son tanto más onsonantes uanto más ea de la unidad se en-uentra su azón La quinta 3:2 es más onsonante que la uata 4:3 por-que sus trminos se aean más al unísono : Este pinipio adquiee enlos pitagórios un aáter asi místio 4 La multipliaión de dos azonesmúltiples dan omo resultado ota razón múltiple 2: 2: 4: y vie-versa, si una razón múltiple puede bisease, el resultado son dos azonesmúltiples 5) multipliaión de dos azones supepatiulaes da omo esultado una razón que no es múltiple ni superpatiula Y vieversa, una a-

zón superpatiular no puede dividise en dos partes iguales (esto se aplia ala meno de las múltiples, 2: . Se tata de un orolaio a una proposiiónmás general que die que la multipliaión de dos razones no múltiples daomo resultado ota que no es ni múltiple ni superpartiula Taduido a



3 Afnn mpto hitos

onsonanias musiales la suma de dos onsonanias (menoes que la otava) siempe da luga a una disonania Esto ha sido de una impotania apital en toda la teoa musial posteio ninguna onsonania la otava o me

no que la otava (azón supepatiula) puede dividise en pates iguaesAostumbados omo estamos a la suma de semitonos paa halla intevalos mayoes el heho de que no pueda habe una unidad mnima uya adiión omponga intevalos mayoes ha sido siempe un esollo en todo teoiza musial Peo el heho es ieto las tes onsonanias más impotantesotava quinta y uata no pueden dividise en pates iguaes sino en patesdesiguaes las uales a su vez vuelven a dividise en pates desiguales y asindenidamente Una V podemos dividila en IIIM y Im la IIIM en tonomayo y meno el tono en semitono mayo y meno el semitono (uandoveamos la anaión justa onstataemos el heho numiamente) 6) Laotava no puede dividise en tonos iguales (ada tono equivalda a seis tonos de azón 98 supean la otava 2 en el llamado comma pitagóco

6 oos Do R M Fa# Sol# a# S(98) 21 = 531 44 1 524288

1 ocaa Do Do

Los sonidos que hoy onsideamos enamónios no oiniden SiDoMi�Re et Su dienia es el omma pitagóio a vo de los sostenidos pueba eulidea es algo más ompliada que la pesentada aqu peo el esultado es el mismo (Levin p 29)

Los pitagóios desaollaon tambin la teoa de las medias popoionaes de amplia apliaión en la teoa amónia ámblio ama que Pitágoas apendió en Mesopotamia tes medias popoionaes la aitmtiageomtia y amónia Posteiomente los popios pitagóios añadieon

más (Heath , p 1 1 8) Medi ritmti El tmino B es la media aitmtia ente A y C (A C)

s i A B BC; B (A+ C) 2. división aitmtia de la otava es 4 3 2 43 32); la uata está

en la pate infeio y la quinta en la supeioMedi geomtri B es a C omo A es a B; B BC; B A estableese la igualdad ente azones en vez de ente las difeenis la

media geomtia dividia una azón en dos pates iguales aso de se posible

Hemos visto la imposible división de otava 2, quinta 32 y uata 43en pates iguales debido a se aiones del tipo (n+ )n Dividi la otava endos part

ual s equivale a que ada pate sea en la quinta en lauata ': : Supepatiulais popotio sindi in aequa medio popoio



Grec 1

nalter nterposta numero non potest [ ] quam enm demonstratonem pont Arhytas [ quora nullus ndt medus numerus, qu eam proportonem aequalter sndat» (Boeo, 111 1 1 )

Arqutas onsdera ómo el tono 9:8 no puede dvdrse en dos partesguales y ómo el imma (vase) no es la mtad del tono o msmo ourrríaon ualquer razón superpartular o on la dvsón de sta en m partesguales

[m

"

(n+ ) n] Medi rmóni Hay una dvsón armóna entre tres números uando

la razón de las dferenas de los números onseutvos es la msma que la delos extremos (AB) : (BC) = A : C; B (2AC) (A+C)

a dvsón armóna de la otava da una relaón nversa a la artmta

en la oloaón de las onsonanas a mayor está en el grave y la menor (IV) en el agudo 6 4 3. Nómao atrbuye a lolao el desubrmento de la meda armóna, quen la adoptó de la armona geomtra del ubo,12 lados, 8 ángulos y 6 aras, sendo 8 la meda armóna (kat tn armonikén) entre 12 y 6 Nómao la denomna «la más perfeta» 11 29), Jámblo, «musal por exelena» Es, en efeto, la prerda de los teóros por laoloaón «armóna» de los ntervalos (tambn en la dvsón de la V se oloaría la IIIM en el grave y la Im en el agudo)

Dvsón ptagóra de la otava El monoordo

ero el noble áoras no quería que se juzase la úsca edane los sendos porque decía que su rud debe aprehenderse sólo por e neleco Así nola juzaba sólo por el oído sno analócaene por haronía Y pensaba queera sufcene lar el esudo de la úsca a la ocaa s Pluarco D Mui 37

Podemos estableer la dvsón de la otava medante la aplaón de dosde las medas

Dsón arca 2 4 3 2

IV 1

V

Dsón aróncaVIII 2 1 6 4 3

V 1

IV

Nótese la dferente oloaón de los ntervalos en ambas dvsonesCombnando ambas dvsones, la otava queda dvdda en V y IV o dos IVseparadas por un Tono 98 de separaón,



32

VM

12 IV

VIII

L Si

9 8Tono

nain tmpen hric

6IVV

Ese conjuno numrico 12 : 9 : 8 : 6 era para los piagóricos algo másque una mera división numrica de la ocava que se correspondiese con laprácica musical. Además de los senidos clásicos de Diapason como diaoco (a raves de ocho sonidos) o de su signicado acúsico (dos noas unacon el doble de ecuencia que la ora) la «ocava» iene un ere sabor me-

asico de «harmona» en senido global como compendio de una serie depropiedades numricas que permiirán «ana ano el cosmos («músicamundana») como el alma humana («música humana») Enconramos porejemplo la proporción áurea que relaciona ambas medias; el número mayor 12 es a la media arimica 9 como la media armónica 8, es al núme-ro menor 12:9 8:6 Podemos decir igualmene que el produco de los medios es igual al de los exremos 98 126 Esa «sión» de elemenosdirenes (V y IV) en una unidad superior (VIII) considerada como la«consonancia perfeca» (symphonia) siempre sedujo a pensadores de endencia más o menos msicas y especulaivas como Plaón los neoplaónicos oSan Agusn

De las diversas rmas de esablecer la perfeca enonación de la ocavamediane el monocordio merece desacar la más sencilla aribuida al propioPiágoras por Gaudencio 1, 14: dividir la cuerda en 1 2 pares y haciendosonar oda la cuerda primero y luego su miad 6 enemos la ocava (subdup) la cuerda enera y res cuaras pares de sa 9 rman la cuara (subssquitrtia) el oa y dos ercios 8 pares la quina (subssquiatra) Polomeo

1, 8 presena diversos «insrumenos musicales» para conseguir el mismoefeco a los que denomina «Helicona» consisenes en cuadrados o recángulos sobre los que diferenes divisiones lineales deerminan las consonancias.

Teón de Esmirna consigue de rma similar diversas «uerdas» del sisemageneral griego (Adkins p. 64:

2 3

Proslabanoenos

4 5 6 7

Mese

Hyae Meson Lchanos Hyaon

8 9 10 1 1 2

Nee Hyerboaon Nee Dezeuenon



Geia

Eclides 920 Astides Qintiliano 111 lego Boecio taen dien-tes mtodos de división monocodal paa halla las cedas del Sistema Inmu-table giego Resumimos el de Boecio paa el gneo Diatónico (I 3437.

Gan pate del libo IV del D Mica está dedicado a las divisiones de lascuedas en tes gneos)

A D EAB ros! CB Hy DB Mese EB Ney

A F FB Hy Hy

ACB

La escala del Timeo

B Hy MesonB Tono (32 : 43)

K KB Me KBDB Tono

K

D B a

D

D

M MB NeSy

N NB NeD

X aHy

B 1:4

B 1 :9

B 1:3

B 34:4

B 12:9

B 2:4

B 12:3

B 916:2

Coenzó [el Deuro a ddr as rero exrao una are del odo a connuacón sacó una orcón el doble de sa oserorene oó la ercera orcónque era una ez y eda la seunda y res eces la rera y la cuara el doble dela seunda y la quna el rle de la ercera y la sexa ocho eces la rera y fnalene la sa ensee eces la rera Desus llenó los neralos dobles y rles corando aún orcones de la ezcla ornara y colocándolas enre

los rozos ya corados de odo que en cada neralo hubera dos edos uno [arónco que suera y es suerado or los exreos en la sa faccón oro [arco que suera y es suerado or una candad nurcaene ual Desusde que enre los reros neralos se ornaran de esas conexones los de res



34 Ai

y tpmo

htico

ana d r Gari racica usic Min



G 35

edos [hmiólic 3:2 de cuaro ercos [pi 4:3 y de nuee ocaos [pódic 98, llenó odos los de cuaro ercos con uno de nuee ocaos y deó un resoen cada uno de ellos cuyos rnos enían una relacón nurca de doscenos

cncuena y ses a doscenos cuarena y res laón Tm 3536

A pareer los primitivos pitagórios no eron más allá en la división dela otava Debemos a Platón meo 3436 la primera desripión ono-ida de la división de los tetraordios de la otava en e gnero diatónio Esla «esala del Timeo» o «anaión pitagória» a únia qe de rma efetivapasó a la Edad Media a travs de Boeio Era qizás onoida por iloao yArqitas; Ptolomeo 11 4 a denomina «de Eratóstenes»

Como pede verse en la ita la división de la otava se enentra inmersa

en na ompleja intiión osmoógia en a qe e Demirgo divide el madel mndo de aerdo a las medias (vase el ásio Cornrd pp 6772Platón estabee rmando na mb dos ttradas en progresión geomtri-a teniendo 1 omo elemento omún na on múltiplos de 2 ( 1 , 2, 4, 8) laotra on múltiplos de 3 ( 1 , 3, 9 27 De la ombinaión de amba se obtiene a serie 1 2, 3, 4, 8 9 27. En ela se enentran la otava 2 , otavamá qinta 3 , qinta 32, dobe otava 4, arta 43, tripe otava(8 1 ) tono (98) y atro otavas más sexta mayor 27 1) Insertando os me-

dios {o medias) armónios y aritmtios entre los trminos de ada na deas series y ombinando ambas se obtienen la arta y la qinta de entre lostrminos sesivos de la progresión así omo s direnia e tono 9 8

2 3 4 8 9 2743 32 83 92 163 6 272 18

lenando los intervalos de arta on tonos de razón 98 qedan nos«restos» (immata) entre la arta y dos de estos tonos de razón 43 (98)

256243. (a tradión die «on no de neve otavos»; hay qe enten-der «on el de 98» no «on no soo»)

4:3 43fl

Re Do S La Sol Fa M9:8 9:8 256:243 9:8 9:8 98 256:243T T L T T T L

Do Re M Fa Sol La S do1 9:8 81:64 4:3 3:2 27: 16 243:1 28 2

Hay qe haer direntes observaiones respeto a esta esala para evitare proyetar nestras onepiones msiaes atales de orte armónio so-bre a prátia msial griega ndamentamente monódia En primer gar



36 Afncin pto

hto

peden preer exgerdos os pntementos osmoógos de Ptón pregr n restdo tn mgro y eement dvdr s rts on os tonosHy qe tener en ent e ráter de entddes rees qe os números y ss

reones tenen pr Ptón y ómo stos y qs se enrnn en re-dd L es restnte es pes go más qe e restdo de n mero á-o nmro

E moso «semtono» ptgóro no es t E trmno imma o «mm»omo o denomnn os tnos sgn «resdo» no es n ntervo en sen-tdo estrto sno «o qe qed» desps de her s operones pertnen-tes Pero ndo se «desrz» es de Tmeo es n «semtono» qepnte mútpes dtdes No sóo no está en n rzón sperprtromo e tono y s onsonns sno qe s rzón se ej mho de -qer onsderón de regrdd y smpdd nmrs o no dejóde nqetr Ptón T «semtono» my peqeño sóo pree omo «res-to» o «resdo» en e gnero dtóno y Arqts mostró qe s rzón no es mtd de tono oo denomn «mm» dsis seprón

Los dtonos o «terers myores» ompests de dos tonos (98) 8 1 64(408 ents) son my grndes pr e trtmento rmóno S rzón no esn mútpe n sperprtr y no es por tnto n onsonn Es sn em-brgo n ntervo meódo exeente pr mús monód pr

trón de rt sobre « sensbe» «es de Tmeo» en e gnero dtóno es es nón gregpor exeen pr posterdd Ptón opesto vrtossmo «degener-do» de os ets rt os bsdores de ntervos mínmos en os picknomata Rpúbica 531) L trdón ptgór r «de rrb h b-jo» es der proedendo mednte dvsón ontn de ntervosmyores en otros menores pree no tener n no ser qe egásemos n«ndd mínm» (omo nestro semtono temperdo) prtr de y pordón ompssemos ntervos myores Pero esto se h mostrdo mpo-sbe pes no es posbe dvdr en prtes ges o se geomtrmenten onsonn E desdertm de estbeer nddes mínms mednte dvsón de s onsonns en prtes ges v ser mpdo pr-mente por Arstóxenos ro qe rennndo poder de s mtemáts

L dvsón de tono de oo

Nómo y Boeo nos nrmn qe e ptgóro oo de n gener-ón nteror Ptón y Arqts hbí ntentdo dvdr e tono en dos pr-tes ges «Qemdmodm Phoos tonm ddt ] Phos veroPythgors o modo tonm dvdere temptvt» (Boeo 111 5) Se trt



Ge

de una división burda, basada en a división aritmtia de las direnias entre os números de las rawnes, pero uyo mtodo se ha seguido en agunasoasiones a lo argo de la historia de a teora musia oidenta Un mtodo

en parte reevante en las divisiones mirotonaes de siglo para os pariales superiores (vase e aptuo 9Partiendo de a división tetraordal lásia

L92 (89

Sol26 (89

243

Mi256

y restando os trminos de as rawnes, las diferenias son 24 27 y 13 respetivamente La diferenia entre os números del semitono» 13 no es a mitad ni del tono on 27 ni on 24 De esta rma se demostrara que e imma(iloao lo denomina dísis no es a mitad del tono o que dos immata nolegan a tono La razón del tono es 2724 9:8 y a diferenia entre sus trminos 3 2724 el primer número impar y la raz úbia de 27 Dividiendo27 en dos partes lo más aproximadamente iguaes, 1 3 y 14 13 es a diren-ia de los números de a razón del limma, de o que dedue que 14 orresponde al apotom; su diferenia, es e shisma

La atribuión a ilolao de este faso modo de proeder por parte de Nió

mao y Boeio es errónea E reurso no es de aráter pitagório, además deser postplatónio, derivado de as divisiones de Timeo (vanse as obras ásias de Burket, Winnington ngram o rank) E rank sugiere un origenatomstio produto de a desomposiión de os sonidos en sus elementosmnimos, las notas, omo la sib en etras (vase sobre todo elo, Levin,1967 p 207 y 214 Sabemos de sobra, tras las aportaiones de Arquitas reogidas en la Sctio Canonis que ninguna razón superpartiular puede dividirse geomtriamente, es deir, en dos partes iguales

Aristónos

Deniiones

Aristóxenos de Tarento (naido ca 375360 aC) e dispuo de Aristóteesy falido suesor suyo en la Aademia Aunque se le atribuyen numerosasobras nos quedan sólo agmentos de los Emntos Rítmicos y tres ibros de

los Emntos Armónicos A pesar de su estilo un tanto jatanioso, es Aristóxenos quien nos oee todo un programa maro para el estudio de la ieniaarmónia omo tal basada en e odo, aejándose tanto de un mero empirismo que se queda en los detales omo de a dependenia de la matemátia de



38 nn pno

hos

os pitagóios, que onsidea un eemento extaño a a músia E. A 32. La músia sigue unas eyes natuaes que hay que desubi mediante asutades de buen oído, a memoia y e inteeto 33

En pime uga distingue dos tipos de movimiento (kinsis) de a vozhon tanto voa omo instumenta) voz ontinua (nés} sin puntos -jos de detenión omo en e haba, y voz inteváia (diastimatiké) omo ene anto, on puntos jos de detenión y uya «distania» son os intevaos 3 8. Sóo esta útima es objeto de estudio de a ienia amónia. Estadistinión pevia a estudio de as eyes musiaes mó pate de uiuummusia posteio y apaee en mutitud de teóios Niómao, Ceónides,Bahio, A Quintiiano, et, y uego, Zaino o Sainas oma iguamentepate de este egado a asiaión de os eementos de a mónia, que seepiten on ietas vaiantes notas htongoi} intevaos (ditmata} esaas(systmata} gneos (gné) «tonaidades» (tonoi) moduaión (mtabo) yonstuión meódia (mpoia)

De estas siete áeas de investigaión tienen espeia signiado a deni-ión de «nota» e «intevao», donde puede apeiase a difeenia sustaniaon os pitagóios No obstante, seá habitua en teóios posteioes unamezoanza ente estas deniiones aistoxnias y e áuo numio pita-góio ijándose no tanto en a ongitud de una ueda sino en su tensión

(ambas inuyen en a atua de sonido), Aistóxenos intodue ino on-eptos eaionados on e heho básio de tensa y destensa una ueda Atensa una ueda sonoa (g ptasis at tnsio, e sonido va subiendo po-gesivamente de atua; a destensa (ansis rmissio} e sonido desiendeCuando a tensión se detiene en un punto deteminado tenemos una nota,aateizada po una tensión ja (sis tnsio) E esutado de a intnsio ese acumn (o agudo), e de a rmsio a ravit (o gave) 0, 2 Aun-que invouados en un mismo poeso, «son ino oneptos que no admi-ten identiaión ente sí» 13

A pati de este poeso, a deniión de nota htongos} es « a iniden-ia de a voz en un punto deteminado de tensión Dondequiea que esuhe-mos que a voz hon) pemanee estaionaia en una atua tona (tasis} tenemos una nota htongos) uaiada paa oupa un uga en a meodía(ms} 5 . Ptoomeo, po ejempo, dene «nota» omo a «aída» de avoz en una deteminada tensión 1 ago paeido os teóios posteioes

«Intevao» se dene a pati de «nota» «Intevao (ditma) es a distan-ia ente dos notas de difeente tensión [ ] a difeenia ente puntos de ten-

sión » 5ijmonos e n as difeenias ente Aistóxenos y os pitagóios Paa estosútimos, e dato pimaio no es e de nota sino e de intevao omo eaiónente dos ongitudes de ueda uaesquiea «Nota» aee de deniión o en



Gi 39

todo aso sería uno de los trminos de la proporión. tradiión aristoxnia está a este respeto más erana a la intuiión musial al onsiderar primero la nota omo un sonido determinado y el intervalo omo «distania» entredos notas previas, aunque el trmino espaial «distania» no deja de ser unametáfora apliada a la músia (vanse las onsideraiones de Maran, p 227al respeto) a metáfora de nota omo punto y línea omo intervalo seráampliada por teórios posteriores omo Zarlino 588 6 567 que lle-gan a omparar la onsonania on una superie y la armonía on el volu-men o que aquí nos interesa destaar es que las onepiones que ligan«nota» a «tensión» o «intervalo» a «distania» son aristoxnias, mientras quela onepión de «proporión» entre sonidos es pitagória. os teórios pos-

teriores tienden a onndir ambas tradiiones al omenzar habitualmenteon oneptos (aristoxnios) de nota» omo «tensio» para pasar al de intervalo omo «proportio», muho más operativo En realidad, aunque diferen-tes, ambas onepiones son ompatibles puesto que en los instrumentos deuerda la altura de las notas venía determinada tanto por la longitud de uer-da omo por su tensión Reordemos que en la leyenda de los martillos, loque hae Pitágoras en un primer momento es olgar pesos en las uerdas, esdeir, medir su tensión Sólo posteriormente se pasa al monoordio al medirlongitudes de uerda

A partir de nota» e «intervalo» se onsidera la posibilidad de intervalosmximos y mínimos determinados ahora por las posibilidades reales de la voz(no por la innitud matemátia y abstrata de los pitagórios) 6 El in-tervalo mínimo pereptible es la dísis narmónica, la onsonania mínima lauarta y el intervalo mximo a efetos prátios, dos otavas y quinta 20

Cálulo de intervalos

os trminos griegos de simphonía y diaphonía haen referenia a la mezlade dos sonidos en una onsonania Para los pitagórios, el grado de onso-nania venía determinado por la eranía a la unidad de los trminos de susrazones; la tradiión aristoxnia (Gaudenio, Porrio) hablará de «mezla»de dos sonidos Aristóxenos alulará ualquier intervalo mediante la suma yresta de onsonanias diversas Así, para hallar la disonania del ditono bajouna nota dada (por ejemplo, Sol), bastará on tomar una uarta haia arriba,desender una quinta, asender otra uarta y desender otra quinta Soldo-

aSiMi 55 . En 56 utiliza el mismo mtodo de diferenias entrequintas y uartas para hallar dos tonos sobre una nota) Mediante suma yresta de onsonanias, Aristóxenos divide ualquier onsonania en partesiguales, algo imposible en la tradiión pitagória, sólo que las divisiones aris



40 Afaió tem

eeos

sóis

oxnias no ienen ni o preenden una expresión uaniaiva As paramosrar que una uara se ompone de dos onos medio omamos dos o-nos haia arriba de la noa grave dos haia abajo de la aguda Sea la uara a

dividir Mia dos onos sobre Mi es So# dos bajo a a as disaniasMia y Sol#a son iguaes al haberse obenido por el mismo proedimieno Tomando ahora una uara haia el agudo a parir de «a noa más gravede di ono más agudo (aSi) y la uara por debajo de la noa más agudade diono más grave (Sol#Re#)» 1 5658 Re#Mi y Mia Sol#a aSi� son iguaes a ser produo de mismo proedimieno Someidas a juiiode odo las noas exremas (Re#a#) rman una quina Como Re#So#era una uara SiRe# una quina el exeso de a quina a a uara es un

ono dividido aqu en dos pares igues «Y omo ada una de esas paresiguaes que se ha probado as que son un semiono es a la vez e exeso de auara sobre e diono se sigue que la uara se ompone de ino semio-nos» (ibm)

As on ese proedimieno «ualiaivo» de suma resa de onsonaniasmusiaes ajeno a uso de as maemáias los onos pueden dividirse en dospares iguaes a uara se ompone de dos onos medio o ino semionosla quina de res onos medio a oava se dividira exaamene en seis onos o doe semionos iguales Cuando haga fala reurrir a inervaos menores

que e semiono en los gneros romáio enarmónio el proedimieno essimilar de rma que «en a meloda onurren as siguienes aiones de unono la miad amada semiono la erera pare llamada desis romáiamenor a uara pare llamada desis enarmónia menor No exise en aeoda ningún inervao menor» (11, 46) a onepión de inervalo omodisania adquiere ahora un senido operaivo a poder dividirse esa disaniaen unidades disreas mediane las direnias de las onsonanias

Arisóxenos divide el eraordo en 30 pares iguales y e ono en 2 (adapare es

/ 2de ono) El uaro de ono o

dsis narmónicase ompone de

3 pares 4 iene la dsis cromca 6 el semiono 2 e ono Conrme aello enemos las divisiones eraordales en los direnes gneros que ono-emos graias a Ceónides A Quiniliano que doba las anidades paraeviar aiones en el romáio (vase la abla de Poomeo)

Arisóxenos e un auor desonoido en Oidene hasa naes del Renaimieno Presenaba una radiión esueamene reogida por Boeio alnal de su libro on onepiones diferenes a las piagórias pero enorme-mene araivas y sólo aesibe en su originalidad a aquelos humanisas

poseriores que omo Salinas o Borigari onoiesen ano e griego omo aeora musia los demás inuido Zarino enan que audir a raduionesno siempre abes Eso no impidió que a hio de los nuevos iempos prendiese en un auor omo V Galiei (que ni siquiera poda eerlo en lan) de



G 4

seoso, como buen audsta, de dvdr a octava en doce partes guaes o casguaes (Gae as denomnará parc a pomca que e enentará aZarno tendrá como ndo, entre otras cosas, a naturadad racona de as

consonancas ente a a nueva músca barroca que prma a aprecacón sen-sora y a beracón de a dsonanca de as eyes matemátcas stóxenos ese padre esprtua de todos aqueos teórcos que, como Exmeno en e s-go XIII rechazan as matemátcas como herramenta adecuada para a ar-monía musca. Hay que ovdarse sn embargo de consderar a nuestro autorago así como partdaro de temperamento gua o cosas parecdas, ago queno consttuía un dea en su momento No sabemos hasta qu punto sus teo-rías y descrpcones tetracordaes se corresponden con a práctca musca

grega, s su mtodo es puramente teórco o se ajusta a casos puntuaes

Otras divisions tracors grigas Ptoomo

Ptoomeo 11, 4 trae una taba de dferentes dvsones tetracordaes conatrbucón de autor pero que no sabemos s eran de uso práctco o meras eu-cubracones numrcas

Según Ptoomeo 1, 3, Arqutas e e prmero en dvdr matemátca-

mente e tetracordo usando de rma sstemátca razones superpartcuares(de tpo m+ m, a excepcón de cromátco Hay que destacar a aparcónen e enarmónco de a accón 54, a razón de a tercera mayor justa, aun-que no sabemos s se utzaba en a práctca o es un puro constructo aprorístco Ptoomeo nos dce que a dvsón de Arqutas de datónco con sus dostonos de tamaño dferente era a más utzada en su poca Arstóxenos dauna dvsón parecda

Eratóstenes hace guamente un uso sstemátco de as razones superpart-cuares en e enarmónco y cromátco M Barbour

972pp

62da a

sguente dvsón de enarmónco, a 54 a 2423 a� 4645 M, mante-nendo en os otros dos as msmas que aparecen aquí No hemos encontradoesa dvsón en Ptoomeo Hay que señaar a aparcón de a tercera menorjusta 65 en e cromátco

Sobre Dídmo «e músco» (Didymos ho mousikos) que habría vvdo en-tre Arstóxenos y Ptoomeo, tenemos pocas notcas; sóo sobrevven unospocos agmentos de sus escrtos en ctas de Ptoomeo y Porro 233294Como Arqutas y Eratóstenes, usará razones superpartcuares, prncpo que

será eevado a genera por Ptoomeo Pero a dferenca de otros, nos presentamuy pocas anacones, todas eas correspondentes a a posteror anacónjusta. Dídmo representa a autntca aternatva a a anacón ptagórca oescaa de Tmeo que acabará mponndose en e Renacmento Aunque



42

Género enarmónico

ArquiasArisóxenos ares)EraósenesDdioooeo

Genero cromco

ArquiasArisóxenos ares)

EraósenesDdiooloeo

Género diaónico

ArquiasAisóxenos ares)

EraósenesDdio

oloeo

Cuerdas

Afnión yam

hói s

Mese Lichanos Parpae Hpae

La

La

La

5:424

19 : 185:45:4

32:27222 1186:56:56:57:6

9:81 51 2

9:89:88:7 989:810:9

10:9

Fa Fa� Mi36:35 28:27

3 339:38 40:39

16:15-31:30) 32:31)

Sol

24:23 46:45

Fa243:224 28:27

4 44,5 4,5

6 619 : 18 20:1925:24 16:1515:14 28:27

1 2 : 1 1 22:21

Sol Fa8:7 28:279 612 6

9:8 256:24310:9 16:15)

10:9 21:208:7 28279:8 256:2439:8 16 : 1 5

1 1 : 1 0 1 2 : 1 1

Mi

Makon oe suae ol)Hn squialero )Tnikon onaon oniaeu)

Makon olle)

Snn inciu inenso)

Mi

Makon oe)Snonon conenuinensu)«iaórico)

Makon olle)Tnion ediu onicus)Dioniaion dionicu)Snnon conenuminensu)Hemion aequabie)

die omo el esto de autoes, que hay tes gneos, sólo pesenta dos, dejan-

do el teeo sin ompleta. En el diatónio hay dos tonos de tamaño diente qe man la teea mayo justa :4 mientas el semitono queda ga-ias a ello en azón supepatiula, 9:8 0:9 6: La dienia ente losdos tonos (o ente el ditono pitagóio y la IIIM jsta) es la azón 8 :80 que



Gc43

se denomina comma sintónico o comma d Dídimo En el romátio tenemosla razón de la Im justa, 6:5 y dos semitonos desiguales ambos en razonessimples superpartiulares, 25:24 y 6: 15 razón esta última del semitono dia-tónio que apareía en el diatónio El semitono menor 25:24 perteneienteomo los otros intervalos a la posterior anaión justa, no aparee en ningúnotro teório griego El enarmónio aparee inompleto, 5:4 y el semitonomayor 16: 1 5 sin dividir

Ptolomeo ritia a Dídimo haber oloado en el diatónio el tono menoren la parte grave y el mayor en la aguda; l optará por la soluión ontraria.Igualmente le reproha haber oloado en el romátio una razón mayor enla parte grave que la del intervalo medio, y en el enarmónio el haber dejado

indiviso el semitono. De haberlo ompletado, die Ptolomeo, el resultadohubiese sido 32:3 1 :30 utilizando siempre razones superpartiulares o mismo piensa Barbour 172 p 2 : The small intervals are "equal quartertones, resultin om an arithmetia division of the 16: 1 5 semitone» os intervaos no son iguaes, sino que lo son las diferenias entre los trminos dela división aritmtia (vase el aquabi de Ptolomeo) Sainas pensará, a -nales del que la división del semitono podría haber sido perfetamentela de la justa entonaión si, omo ha heho antes on el semitono mayor, usatambin ahora un intervalo ya existente, el semitono menor del romátio,

25:24 y la dísis narmónica 128: 25.Habrá de ser sin embargo Ptolomeo el autor más valorado en el Renai

miento, uando se intenta oponer a la anaión pitagória la justa entonaión Inluso en el siglo XIII enontramos en iertos teórios la oposiiónentre el diatononditonaio (anaión pitagória de dos tonos grandesiguales) y el diatononsyntonon» ptolemaio (justa entonaión on tonosdesiguales y IIIM justa) Y todo, debido a la división sintónia» del diató-no

Podemos ver no obstante el grado de pura espeulaión que destilan lasdotrinas de Ptolomeo si onsideramos el mtodo empleado en la divisióndel tetraordio: hallar todas las divisiones posibles usando siempre razonessuperpartiulares ade además el riterio de oloar los intervalos mayoresen el agudo y los menores en el grave

1 Gneros espesos» (enarmónio y romátio) Establee una primeradivisión del tetraordio en dos partes de las tres únias rmas posibles a) 5:4 y 16 : 5 a dividir, b) 6:5 y 0: a dividir y ) 7:6 y 8:7 a

dividir Coloando las razones mayores en los intervalos más agudosmultiplia por 3 los trminos de los intervalos menores a dividir re-hazando aquellos intermedios que no rmen razones superpartiu-lares on los extremos.



Ad y

pame hió

a) Multiplicando po 3 los tminos 16 y 1 5 tenemos 4845 cuyosnúmeos intemedios son 46 y 47 Rechaza e 47 po no maazn supepaticua con e 45 y toma e 46 que hace con e 45

el intevao gave y con e 48 agudo (medio de los tes de lacuata), 4846 2423 La 54 a 2423 a� 4645 Mi

b) En la cuata mada po 65 en e agudo y divide e meno 093 3027 De los intemedios 28 y 29 echaza este útimo poas mismas azones anteioes y queda la divisin, 302827 Coocando e intevalo mayo en e medio y el meno en el gave,ma el comático «mole (maakon) La 6 5 So� 1 5 43028 a 2827 Mi

c) Tomando 76 como intevao agudo, divide 87 de a misma -ma, tipicando sus tminos, o que da 242 echazando de osintemedios el 23 y tomando el 22 queda a divisin 242222422 2 1 Poniendo el intevao mayo en e medio y emeno en e gave, el esutado es e comático «incitatum sivecontentum (ntonon) La 76 So� 2 1 a 2221 Mi

Ennico276 345 360 368

5:4 24:23 46:45 16: 1 5

Croáico maon105 126 135 140

6:5 1 5: 14 28:27 10:9

Croáco nonon66 77 84 88

7:6 12: 1 1 22:218:7

Cuando a pati de siglo comience a tenese en cunta e pacia na-tua 7 paa los intevalos de sptima, apaeceá a gua de Ptoomeo comopecusoa peo, insistimos, ¿tenía algún sentido sico o musical ea ¿Oso es una deduccin numica a pati de unas pemisas estabecidas comoestamos viendo y paece se el caso Igual ocue con otos intevalos en losque apaece e númeo 1

2 Gneos «no espesos (mas del diatnico) En estos, las popocio-nes menoes están en os intevaos más agudos, se dividen as azones tiplicando sus tminos y la azn mayo coesponde a inteva-lo del medio, la meno a más gave

Una pimea divisin colocaía a azn 16 1 5 en e agudo y se tataíade dividi 5 4 1 5 2 tomando e númeo intemedio 14 2 14 1 5

Como la azn meno está en el intevao agudo, dice, no puede ma eldiatnico Las dos siguientes sí son posibles siguiendo el mismo pocedi-miento,



G

Daónco nonon 72 80 90 96conenu 109 98 1615

65

makon 63 72 80 84ole 8:7 1 0:9 22:21

76

45

De os restantes incuidos en a ista e ditonaion es e pitagórico (comoe de Eratóstenes) cuya división e parece una buena aproximación a syntonon aunque una de sus razones no es superparticuar E hmioon («igua)mientras tanto divide a cuarta en diferencias iguaes entre sus trminos9 10 1 1 12 o que queda muy eegante en a teoría pero es de dudosa apica-biidad. Además tanto en e tonaion y syntonon, Ptoomeo va contra su propiocriterio coocar en os intervaos medios razones mayores que en os agudos

Todos estos gneros según Ptoomeo serían muy miiares oído a ex-

cepción de enarmónico y e cromático makon demasiado «espesos; e res-to serían «más amigos de a naturaeza E más beo y grato e diatonon syntonon

divisiones de Dídimo son más ajustadas a a reaidad pero ste era unautor de que no se sabía casi nada sino por rerencias mientras Ptoomeoera toda una autoridad tanto en e campo de a Geografía como de a Astro-nomía y a Música de hí su fama musica posterior como aternativa a pita-gosmo

La diferencia entre ambos estriba en que en a división de a IIM a deDídimo es aritmtica (e intervao menor en e grave) y a de Ptoomeo ar-mónica (intervao mayor en e grave):

Dsón arca DdofM 54

8 9 10La Sol

Apicado a a octava sta queda

Dsón arónca oloeofM 54

90 81 72La 10:9 Sol 98

Daononsynonon

oloeo 9:8Ddo 10:9

Do Re

10:9

9:8M

16 : 1 516 15

Fa

9:8

109

So

10:998

La

9:8

9:8

S

16 : 1 516 15

Do

«Didymus arrangement is the more ogica r constructing a mono-chord; Ptoomys in terms of the armonic series (Barbour 192, p 21 Paraque a justa entonación pueda evarse a a práctica será necesario un combi-nado de ambas divisiones La posteridad dudará muchas veces entre ambasaternativas es decir entre a coocación entre tónica y supertónica de a es



46 {ió y m s

istó

ala del tono mayor 9:8 o del menor 10:9 orrepondiendo el otro al intervalo entre upertónia y mediante para que la IIIM quede orretamente dividida Como veremo, utilizando una ola de ella, apareen alguna «ono

nania» que no on tae y por tanto, impratiable. Pero utilizando amba,el reultado e una «diviión múltiple» de la otava, on do «Re», uno paraada una de la diviione de la IIIM DoMi, en la eala diatónia, oluiónque permitirá a ogliano derivar de ah el ndamento teório del temperamento meotónio

Boo rmnoogía

El D nsttuton musa de Boeio erá el puente de tranmiión de la epeulaión griega a la Edad Media. Pero el libro etá in terminar debido,probablemente, a la muerte del autor Dividido en ino aptulo, etá dediado a la expoiión de la teora pitagória y diviión del monoordioen lo tre gnero iguiendo ta Sólo en lo último aptulo del libro Vmeniona a Ptolomeo, Aritóxeno y Arhita ( 17 «Quemadmodumptolomeu et aritoxeni et arhite tetrahordum diviione reprehendant» y1 8 «Tolomeu tetraorda divuera ratione partitur»), pero de rma muy

breve De ah que para el medievo, la teora muial de la Antigüedad e redua a Boeio, e deir, a la anaión pitagória que aaba muy bien onla prátia mononia Será labor del Renaimiento la exhumaión de lademá ente griega no tranmitida por Boeio y en la que buaron y,parialmente, enontraron la jutiaión teória para la polina de lapoa.

En uanto a la terminologa, hay que indiar que i uno e introdue enlo tratadita medievale o renaentita hay una erie de trmino que,pueto en atellano, requieren alguna alaraión Por ejemplo, el emitono

diatónio, mayor o igua que el romátio para nootro, e menor que elromátio en la anaión pitagória E preferible entone hablar de «apotom» y «limma» en lugar de emitono, a no er que epeiquemo muy biena qu no referimo He aqu la equivalenia iguiente:

Semitono diatónio limma 256243 en la anaión pitagória; en lajuta, «emitonium diatonium», «emitonium maiu» 16 15 . El emitonoromátio e el apotom griego 2187:2.048 mayor que el limma y que enla juta paa a er el «emitonium hromatium», «emitonium minu»

2524 o inuo «dei hromatia» 25:24 que e direniara de la «dei enharmonio» (o enarmónia) 128125 on la mima nión que elomma pitagório. El «omma harmonium» lo traduiremo omo «ommaintónio», a diferenia del «omma pithagorium»



rec 47

Las razones se denomnan «proporo mulplex» mnn VIII (2: 1) ,IV (3:1) , 2xI (4: 1), pero no, en Boeo, la I (8:3) «Proporo superparulars»

n n) es aquella en la que el número mayor onene l me-

nor y a una de sus pares En 43, 4 onene a 3 y 13 de 3 (3:3 13 4:3) Elrmno «sesqu» denoa la pare del número menor en que el mayor le supe-ra: «sesqualera», 3:2; el 3 onene al 2 y a 12 de 2 «sesquera» (4:3),«sesququara 54, e «Proporo superparens» es aquella en la que el número mayor onene al menor y alguna de sus pares pero sn que sas seanpare enera del número menor, 8:3, 75, e

El rmno lano para emperameno es parpao», que reme a la dvsón del omma o la díess en dferenes pares para que, repardas enre

oros nervalos, puedan (omma o díess) ser elmnadas



naciones pitagórica yjta

Ya hemos ndado que habando on propedad sóo hay dos anaones, aptagóra y a justa, y ambas han aparedo en Grea dentro de esquema dedos uartas separadas por un tono La anaón ptagóra se basa en as

quntas justas, a entonaón justa o natura en quntas y tereras justas, nompatbes entre sí Como as pretensones de a anaón natura son mposbes hay que audr a temperamento, a a modaón de a anaónjusta para adeuara a a práta musa S anaones hay dos, os temperamentos son muttud, omo orresponde a as posbdades de modaruna pauta dada En Grea apareen a anaón ptagóra y a justa pero sudesarroo y dutades de apaón orresponden a a práta musa deos sgos posterores Veamos sus reoveos

a aació piaóca

Ccuo intrvaos

La anaón ptagóra, on dos tonos grandes guaes y un «semtono datóno» muy pequeño, es váda sempre que orresponda a una músa que,omo en parte era a grega y despus a medeva, umpa dos ondones

ser monóda y datóna En e prmer aso, e pequeño imma es meódamente exeente No ourre así uando pasamos a a ponía donde e dtono exesvamente grande hae que os aordes no suenen ben En e segundoaso, a aumentar as ateraones se rman ntervaos que se desvían muho



50 fnaó yam

hió

Mención d intervas en el monocordio L Fogliano Musi thor enecia .

de los estableidos (el tono Sol#Si� po ejemplo) El poblema no se plan-teaba en la teoa giega poque el gneo omáio evesía oto signiadodifeente al nuesto Aumenta el númeo de aleaones (en la músia

ta po ejemplo) suponda inodui más notas en el eaodio diaónio.En el plano eóio la anaión pitagóia tiene la gan venaja de podededui todos los intevalos de un pinipio muy simple, la mea adiión dequinas Sumando quinas y esando ls oespondienes oavas podemos



Afnacones pt

g

rca js

51

oloar en la otava todos os intervalos Si partimos de Do, Sol es una Vmás aguda y una más, re A sobrepasar a otava, desendemos una otavaeste Re y e resutado es

Do

V

-Sol V

-

Do 98 R

3:2 32 9494 : 21 9:8

as operaiones matemátias se reduen a multipliar quintas un númerodeterminado de vees, 3:2 y dividir e resultado por e número de otavasque se han sobrepasado

Por adiión de quintas y sustraión de otavas podemos onstruir ualquier esala omo la pentána, o a diatónia habitual a Do So Re a Mi Si a Sol a Si Do Re Mi Sol Do Re Mi a So a Si doO la esala romátia (omenzamos en Mi� para que hayan tanto sostenidosomo bemoles), Mi� Si� a Do Sol Re a Mi Si a• Do• Sol • (Re#) � DoDo• Re Mi� Mi a a• Sol Sol# a Si� Si do Podemos visualizar a suesiónde quintas reurriendo al habitual «ruo de quintas

El álulo de un intervalo dado se redue a saber de uántas quintas seompone y uántas otavas sobrepasa, o sea, mutipliar n vees a razón 3:2y dividir el resultado por m vees 2: 1 . De esta rma extendemos el áulo aualquier número de notas

a esala de Timeo puede generarse de esta rma Hemos visto que eltono 9:8 se ompone de 2 quintas menos una otava Igualmente, e dtono(IIM) se ompondrá de 4 quintas menos 2 otavas, 3:2 : (2: 1 ) 8164 emismo resultado obviamente que suma de dos tonos grandes, 98 8164.



52 Af y mno h

En aso de querer halar un intervao que en el rulo de quintas «a haia atrás» por uartas se halla su intervao omplementario por quintas y sesustrae de la otava Intervalos ompementarios son los que juntos haen

una otava (V y I IIIM y Vm m y VIM) í la razón de la uarta Do-a es aDo = 3 :2; 2 1 : 32 = 4:3 La apliaión más habitual es a as tereras menores uyos intervalos ompementarios a la otava son a sexta mayorIIIm = VIII VIM de rma que es euente referirse a la VIM omo equivalente a a IIIm orrespondiente Como a VIM = 3xV II (tres quintasmenos una otava) bastará dividir dos otavas por tres quintas (2: 1 ) : (3:2) =32:27 El objetivo de esta operaión de inversión es aparte de una mayorsenilez que atravesar nueve quintas evitar la impratiable quinta del lobo

entre Sol#Mi�De esta rma os intervaos propios de a anaión pitagória son ade-más de VIII (2: 1 ) V (3:2) y IV (4:3) los siguientes:

Tono (lat tonus diferenia entre V y IV (3:2):(4:3) 9:8 En elruo de quintas vemos su omposiión de dos quintas menos unaotava (2xVVIII) (3:2) : 2: 1 = 9:8 Ej Do (Sol) Re

IIIM pitagória o dtono (lat ditonus ompuesto de uatro quintasmenos dos otavas (4xV2xV) (3:2):(2:1) = 81:86 Ej Do (Sol

Re La) Mi Es obviamente el mismo resultado que la suma de dos tonos (9:8) = 8 1 :64

IIm pitagória o semidtono (lat miditonus; desonozo el origendel trmino ya que su razón no es a que orresponde a la mitad deldtono) Halando el intervalo omplementario de VIM ompuestode tres quintas menos una otava (3:2):2 = 27: 16 y dividiendo laotava entre esta antidad hallamos el intervalo omplementario21 : 2716 = 81:64 Ej MiSol; So (Re La) Mi � MiSol Es el

mismo resultado que da la sustraión de un tono a una uata 43 :98 o la suma de tono y mma 98 X 256243 23041944 =32:27

Semitono menor o imma pitagório (lat smitonium minus Ej MiaL m senillo es restar un dtono a una uarta 43 : 8164 256:243Más engorroso es audir al rulo de quintas Podemos tambin haar el intervalo omplementario de IM aMi y dividirlo por el número de otavas pertinentes a (Do So Re La) Mi (3:2) = 243:32resultado que sustraemos de tres otavas 2 : (24332) = 256:243

Semitono mayor o apotomé (lat smitonus maius pe DoDo# Equi-vale a la sustraión del mma al tono 98 : 256243 = 2 1 87 :2048Es tambin a diferenia entre siete quintas y uatro otavas 7xV4xVII (3:2): 2; Do (Sol Re La Mi Si a#) Do# (3:2)2187:128;



nacon pta

g

a juta 53

2187/128 2 21872048 El apotomé no aparece en la escaladiatónica y no lo admite Platón en el Timeo

L cp LTono Do Re Do# Re

A.

Obsrvese cómo en la anación pitagórica de quintas justas los semitonosdiatónicos son menores y los cromáticos mayores Su diferencia es el commapitagórico

E comma pitagórico

Hay un hecho notorio en esta anación la inconmensurabilidad de los dosintervalos básicos octava y quinta Por más quintas que sumemos jamás llegaremos a la misma nota de partida o sea a base de sumar quintas y restaroctavas nunca llegaremos al intervalo de octava 32 2 1 Quintas yoctavas son intervalos inconmensurables Este descubrimiento que ya conocían Arquitas y Euclides (quien lo presenta mediante el hecho de que 6 tonos

sobrepasan la octava) debió tener para los pitagóricos un efecto perturbadorsemejante al descubrimiento de la irracionalidad de {Doce quintas las necesarias para recorrer el círculo completo sobrepasan

a siete octavas en un pequeño intervalo denominado comma pitagórico

12 5" M S Fa Do Sol Re La M S Fa# Do# Sol# Re#

7 8" M M M M M Mcp

M M

razón del comma pitagórico (cp) es 3/2 2/ 531441524.28823,5 cents)

o que ocurre con la V del lobo es lo siguiente

V jusa V jusas � Sol# M Re#

V lobo cp V lobo V jusa cp

El «círculo de quintas» no se cierra entre Sol# y Mi� porque Re# la quin

ta siguiente tras Sol# no coincide con Mi� El «círculo» de quintas no es uncírculo es una elipse de longitud indenida ya que puede prolongarse porlos extremos sin que coincidan las notas llamadas enarmónicas Do#Re�Mia Do��La# etc



54 Afaó ma

hrc

Si#

/Mi#

-Do

Fax

� íF Sol R

a# Sol a� Dox( Si R o Mi \

R# Mi Fa Si a Sox

\ ; � ) Sol# L

Do Rx

Re�

Sob

o

#

S

.

o Fa#

axSx_

Mix

-

No paree que en la músa grega el omma ptagóro onsttuyese un

problema a etos prátos debdo a la separaón entre gneros, pero llegóa serlo on el aumento de alteraones sobre el gnero datóno a naes dela Edad Meda S se desea errar la espral de quntas para rmar el rulode quntas habtual es preso que una de las quntas no sea justa, sno queasuma la mperfeón del omma ptagóro Es la llamada «qunta dellobo», por los «aulldos» que produe, a ausa de los batdos, uando suenansus dos notas Es una qunta 1 p más orta que las demás justas, y dada sumpratabldad se oloa en una «regón lejana» mo es entre Sol# y M�,

o menos euentemente entre Re# y La� La notaón musa nda que talqunta une sostendos on bemoles

( So R a Mi Si Fa# Do# Sol# (R# a

rcras smitonos

A mano dereha del írulo se enuentran en esquema las desvaones delos ntervalos que pueden dedurse lmente del írulo de quntas sn ne-esdad de poner tablas en que aparezan todas las notas Las IIIM on quntas justas +22 ents) son peores que las que en su rmaón atravesan la V



Af nes piag a

Re# c.Mi

Desiación de los intealosCents

55

V justas V Lobo: -co 2

IIIM 22 2I 2 -22

del lobo -2 ents); eso es evidente puesto que las tereras pitagórias muyaltas se reduen por ser esta última quinta más orta. Veremos ómo en el si-glo se puede saar proveho de esta situaión Otro dato a tener en uentaes que las Im presentan una posiión inversa a las IIIM fáilmente deduible de su onstruión en el írulo La suma de las desviaiones de las IIIMy Im regulares equivalen a la desviaión de la aquí 2222.

En uanto a la distribuión de los semitonos a se r la V del lobo más or-

ta que la justa (en vez de ir de Sol# a Re# va de Sol# a Mi�) si usamos másde doe notas las llamadas notas enarmónias» están separadas por 1 p avor de los sostenidos lo que supone que omo hemos visto ada nota dia-tónia tiene más era al semitono diatónio que al romátio

cSol Fa#

Fa Sol

cRe Do#

Do Re

Y en la esala

S c S S c etc

cLa Sol#

Sol La

cMi Re#

Re Mi

cSi La#

La Si

Fa La SM SM

El semitono diatónio es el pequeño el imma y el romátio el grandeel apotomé El omma pitagório es la diferenia entre ambos. El semitono

romátio o apotomé 2.1872048 se ompone de semitono diatónio yomma pitagório (o el resultado de sustraer al tono el semitono menor oimma. En las esalas de la músia griega podría darse rzando la situaiónentre las notas Si�Si produto de la interseión del tetraordo Synemme



56 Afaió mamnto

htó

non y Diezeugmenon De usar ambos semitonos a esaa habitua tendría19 notas que no es a de uso habitua Ésta es normamente a que orres-ponde a íruo de quintas indiado es deir on os bemoes Mi� y Si� y

os sostenidos Do# a# y So#:

En a rmaión de agunos intervaos as quintas que o rman neesitanatravesar a V de obo E dtono SiRe# por ejempo es en reaidad una uar-ta menor SiMi� (por ausenia de Re#) o a terera menor pitagória aa�es una segunda aumentada aSo# (por ausenia de a�) Exepionamente

pueden añadirse a a esaa habitua as notas a� yo Re# para disponer deos aordes de a menor o Si mayor Pero no existen omo terera menorMi�So� o Si�Re� ni as mayores a#a# o Do#Mi# et

oración anación pitagórica

Aparte de atrativo meódio de semitono diatónio muy pequeño a prin-

ipa virtud de a anaión pitagória estriba en sus quintas just Virtudtanto teória a a hora de operar numriamente omo prátia (en nuestrotemperamento igua as quintas son sóo 2 ents más bajas que as justa)Debido a eo se siguió aeptando en a teoría aun uando sta estuviese des-bordada por nuevas prátias Boeio siguió enseñándose en as universidadeshasta e sigo XIII Partidarios de esta anaión eran todavía Gaurio en esigo XI y R udd en e XII En a segunda mitad de XII Caramuearmaba que muhos de sus ontemporáneos seguían todavía os paos dePitágoras Muhos «buenos temperamentos» aemanes de sigo

XIIIno se-

rán sino una modiaión de íruo pitagório Es dudoso ómo se ana-ban a miia de os vioines en e XIII pero según Barbour 1933 a anarsus uerdas en quintas justas muestran una gran tendenia haia este tipo deanaión mientr e sistema armónio de Rameau en adeante está basadoen a progresión por uartas de as ndamentaes de os aordes

En genera a anaión pitagória presenta quintas y uartas justas peroterer y sextas muy desviadas de su razón natura Hay un únio tipo detono 9:8 y os semitonos además de estar invertidos onrme a a prátia

atua presentan una gran desviaión Se aera muho a temperamentoigua en a perfeión de sus quintas y en sus tereras mayores muy agudas Asu vor a simpiidad de sistema que se deriva todo de una únia onso-nania a quinta de razón 3:2.



Aa es gia js

57

La anaión de un ave en e sistema pitagóio es dado que todas asquintas son justas Comenemos en La o en Do, anamos po quintas justas,sin batidos, en un sentido de uo hasta Mi� y uego en e ontaio hasta

So# E intevao no anado, Mi�So#, es a V de obo

a ja oó

Nuvas ncsids armónicas E comma sintónico

IIIM de a naión pitaia se mpone de 4 quints menos 2 otavas y suazón es

8 1 :61 IIIM justa de n

5:4es más ota que

editono pitagóio

Ditoo ptaórico 81:64IIIM justa 5:4

Do 9:8 Re 9:8 MiDo M

cs.

La difeenia ente ambas es e comma sintónico o omma de Dídimo deazón 81 :80 81 64 : 5/4 8180 E pobema es que on quintas justas no

se onsigue a IIIM 5:4 Quintas y teeas son inonmensuabes exataión que os gandes teóios enaentists hiiean de diatononsyntonon de Ptoomeo, que inuía a zón 5:4, poo tenía que ve on a mú-sia giega L que aí enontaon e una justiaión de sus popios inteeses teóios ya que en a ntigüedad nuna se saaon todas as onseueniasde inui a IIIM justa en a esaa diatónia ¿Cómo feta esta inusión deuna nueva onsonania en e amazón de sistema musia? ¿Qu oue on asnotas omátias, po ejempo, o on e íuo de quintas? La intoduión denuevas onsonanias va a tastoa a simpiidad de sistema pitagóio a aña

di a a inompatibiidad existente ente quintas y otava otas nuevas ue steuno de os pinipaes motivos de ehzo de una entonaión justa que poota pate no podía evase a a pátia en os instumentos habituaes Sóoos gandes teóios de naes de Renaimiento, Zaino o Sainas, pudieonda umpida uenta de tod as impiaiones que tae apaejadas a intodu-ión de as nuevas onsonanias, inexistentes en e pitagoismo

Nueas cosoacias IIIM 5:4IM 53

Im 6:5m 8:5

Estas onsonanias son numiamente más senias que sus oespondientes pitagóias, ago que había de anima a su adopión po os teóios



58 A

dón eermn s

h s

renaentistas En la prátia el desarrollo tardomedieval de la poinía habíaheho que hubiese que tener en uenta tereras y sextas en la división delmonoordio onsonanias lamadas a menudo «impertas» pues no apare

ían en el ómputo pitagório transmitido por BoeioIntroduir una IIIM en el esquema pitagório supone alterar gravemente

todo el esquema Como la IIIM se ompone de 4 quintas y a IIIM justa esun omma sintónio menor que el dtono pitagório en algún lugar del reorrido de estas uatro quintas habrá que restar el omma bien en una de lasquintas bien repartida entre todas o que históriamente ourrió e quesin neesidad de teoría alguna los anadores omenzaron a rebajar algo lasquintas para que las tereras se aerasen a a justa Surgen así varios tempe

ramentos aproximativos que uego se denominarán de 4 29 5 et(es deir las quintas se rebajan en la aión de omma indiado) El temperamento prátio anteedió a a teoría sobre la entonaión justa que apareesólo a nales de siglo Ramos (1482) nos die que era habitual en su poa el temperamento en los instrumentos de tea os de trastes habrían adoptado antes diferentes tipos de temperamento no muy denidos ajustados a laespeial distribuión de los trastes en estos instrumentos Gaurio (1496) Aron ( 1 523) G M anano (1 533) o T de Santa María ( 1 565) menionan que as tereras se anaban justas o algo mayores que las justas mientras

Salinas ( 1 577) die estar usando e de 4 ya en 1 53 Reamente si as quintas se aortan en 4 las uatro quintas que haen la IIIM reduen en total (4x 4) y la IIIM es justa Si la reduión es menor la IIIM es má grande

Uno de os atrativos teórios que presentaba a nueva anaión a mentesrenaentistas amantes de la simetría omo Zarlino o Salinas era la suesiva división de os intervalos mayores que se reproduía en los menores Si la IIse dividía en V y I de igual rma la V puede dividirse en IM y Im

Dsó aróca ríada ayor)

V32 1 5 12 10 IIM 5 Im 65

Dsó arca ríada or)

fV 32

6 5 Im IIM

En la división armónia el intervao mayor queda en el grave y en la aritmtia el menor

De la misma rma puede dividirse la IIIM 5:4 en dos tonos de diferentetamaño según as divisiones aritmtia y armónia de Dídimo y Ptolomeo:

IIM 5: 0 9 8Too or Too ayor

109 98

IIIM 5 5 0 36Too ayor Too or

9:8 19



nac n ptagóia

y

j

59

A su vez, el tono mayor se ompone de tono menor más omma sntóno y el tono menor puede dvdrse en dos semtonos de dferente tamañosemtono mayor y semtono menor propos de la justa entonaón y sempre

en razones superpartulares:

Tonoayor 9 8 -

>Tono

enor 10 9 Coa sintónico 72 75 80 81

Seiono enor2524

Seiono ayor16 : 1 5

as razones 3:2 43, 5:4 6:5 9:8, 0:9, 6: 5 y 25:24 son propas de la

justa entonaón o anaón natural y todas ellas están en razones superpart-ulares o que ahora tenemos que ver es ómo enajan estas admrables, porlo senllas, smetrías numras en la anaón real

Consonancias usta ntonación intrvas mnors

Además de III V y I de razón gual a las ptagóras, 2: 3:2 y 4:3 losnuevos ntervalos de la justa entonaón son los sguentes:

Terera mayor 5:4S anamos uatro quntas justas, el resultado (ptagóro) es, omo he

mos vsto, un d tono de razón 8 :64

Do

SolR La

MiDoMi juso 54

DoMi piaórico 81:64

IIIM justa es más orta que el dtono ptagóro en 8 /64 5/4 8:80, comma sintónico o «omma de Dídmo» 25 ents) S el nador quere haerjusta la IIIM, tendrá que restar el omma en algún lugar de las uatro quntas

S nos remtmos a la uarta, el semtono Ma aumenta en el omma deDídmo y da lugar al de razón 6: 5 4/3 : 5/4 6/5:

Do 9:8 Re 9:8 Mi 256:243 FaDo 9:8 Re 109 Mi 16 : 1 5 Fa IIIM

¡El omma sntóno que expresa la nompatbldad entre quntas y ter

eras justas será uno de los mrontervalos a elmnar en el temperamento.



A hs

Equivale a 2 1 ,5062896 en (2 1 ,5 ) A pea de u denominaión no oeponde al omma piagóio que expeaba a inompaibilidad enequina y oava

Teea meno 65Tambin en una azón upepaiula, la eea meno ha ido iempe

un inevalo meno deiivo que la eea mayo Su azón (65) e 1 ommamayo que la del emidiono piagóio (3227), ya que i diminuimo en la IIIM maneniendo igua la el inevalo omplemenaio, la Im, aumena en la mima anidad

Re 98 Mi 256243 FaRe 98 Mi 1615 Fa

iagória

usa

En el íuo de quina audimo a u inevalo omplemenaio, la M,paa no aavea la V del obo a e ompone de 3 quina, jua en aanaión piagóia, on 1 meno en una de ella en la jua (ene DoSolo SolRe en el ejemplo) Como la quina que haen la paa la IIIM on4 e da una nueva inompaibilidad ene ee mayoe y menoe Si alhae una IIIM ebajamo una de a quina puede e que la Im que e

onuya on 3 quina jua eá piagóia; i eduimo una quina deada 3 paa ene eea menoe jua, habá eea mayoe on 2 quin-a eduida en un omma (2), iendo menoe que a jua en . Apaee una nueva inompaibiidad ene ononania a añadi a o ya onoi-do ene oavaquina y quinaeea

erceras mayores

- FaD

ol

Si Re eMi La3 // J

Sol# / Mi

/

Do#

/

S

_Fá#M FaLa usam Fa#a: piagórica

Terceras meores

Do_ Fa �ol

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La3 JSol# Mi

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m DoLa usaM SolSi



A1 nes igr

61

Este difíil equilibio ente los intevalos de IIIM y Im es un elemento más en la valoaión de los difeentes tempeamentos Cuantos más nosaeamos a unas onsonanias más nos desviamos de otas

Sextas IM 5:3; Vm 8:5 sextas son los intevaos omplementaios a la otava 2/ 1 :6/5 5:3;

2/1:5/4 8:5 Como hemos indiado la VIM es muy útil omo equivalentea la Im paa los áulos en el íulo de quintas

El Senaio azones de las nuevas onsonanias teeas y sextas llevaon a G Za

lino (1558 1315) a exploa el mismo poblema que los pitagóios: poqu las azones de las onsonanias se enuentan dento de unos poos númeos y más allá omienza el eino de la disonania sí omo los pitagóiosveían en el númeo uato tracs de la dada) el einto sagado de la onsonania Zalino lo extiende al snario e númeo 6) que apaee en las nuevas onsonani ¿Po qu el 6 onstituye un límite Zalino intenta enontaespuestas de tipo metafísio o numeológio: es el pimeo de los númeos«pefetos» en el que la suma de sus divisoes es igual a su poduto 1 +2+3 x2x3; es además un númeo «iula»: las suesivas multipliaiones po 6

siempe dan númeos teminados en 6 6x6 36 36x6 216 et Zainomuy inuido po el neoplatonismo oentino veía la esenia numiainmesa en todas las osas El xiv de las stioni pesenta una elaión de lapesenia del senaio en el mundo: signos del wdíao en ada hemisfeio númeo de planetas ualidades sustaniales de los elementos espeies de movimiento líneas de la piámide tiangula supeies del ubo tasendentesnúmeo de modos et Zalino mantendá ente a V Galilei una visión natualista de la músia las ones y leyes musiaes son leyes natuaes

as azones del senaio inluyen las onsonanias lásias y las nuevas:

Consonanias pitagóias: VIII : 2: 3:2 IV: 4:3Consonanias de la polinía: IIIM: 5 :4 m:6:5 IM: 5:3 Vm: 8 :5

Peo hay un poblema: una de las onsonanias la sexta meno (8 :5 ): tiene uno de sus tminos (8) que no petenee al snario. ¿Po qu no pone eloonario omo einto de las onsonanias Poque había que da abida alnúmeo 7 y los intevalos ompuestos on este númeo (7:6 8:7) se onsideaban disonanias Zalino audiá a la distinión aistotlia de «potenia» y«ato» paa dei que la Vm se enuenta en el senaio «en potenia» no enato lo ual lao está no soluiona nada Posteiomente ( 1 57 1 ) se enenta de nuevo al poblema onsideando las poteniaidades del oonario pi



62 Afai prat s hstricos

me númeo úbo (2), y dtnguendo ente «ononanza popamentedetta» (la del enao) y «ononanza omunmente detta» (exta meno)Oto autoe no e plantean el poblema o lo haen, pueden de, omo

Salna (1577, 11 13 14) , que la VIm e la omplementaa a la otava de laIIIM y puede edue a eta últma que enta en lo e pmeo númeo eple (1619) eue a la geometa y a la aateta peulae delheptágono paa nvada el númeo 7 omo geneado de ononana Hoypuede paee una uetón upeada o aente de nte peo gue latendoel poblema ¿Po qu el ntevalo de azón 85 e má ononante que 74 o75 u tmno on mayoe y etán má alejado del unono

Tono y emtonoHemo vto ya ómo lo tono y emtono e enuentan en azone

muho má enlla y empe upepatulae en la juta entonaón queen la anaón ptagóa La dfeena ente un tono gande de azón 98 yuno pequeño de azón 1 09 e un omma de azón 8 1 80 (el omma ntóno) que va a e un ntevalo a elmna paa hae tono guale A omolo do tono aen de la dvón de la IIIM, de la dvón del tono meno( 109) aen lo emtono, datóno, ahoa mayo, 1 6 1 5, y omáto omeno, 2524 No ha dejado de opende a alguno teóo enaentta

omo Salna que empe ea la dvón del ntevao mayo de donde ugan lo nuevo ntevao (en la VIII, de la en la V de la IIIM) ea ahoade la dvón del tono meno (109) y no del mayo (98) de donde ujanlo emtono ompendo a la meta dena ente ambo emto-no e la dsis ( 128 125, 4 1 ,05 ent), que tendá en la anaón juta lamma nón que el omma ptagóo en la ptagóa Mueta tanto lanompatbldad ente te teea mayoe juta y la otava (VII3xIIIM)omo la dena ente otendo y bemole apaeendo en la V del lobo,ahoa mayo que la juta en 1 de

Incompabiid nr rcr ocava

Ente teea mayoe y otava La Dsis (meno)

En la anaón ptagóa 12 qunta exedan a 7 otava; el exeo ea 1omma ptagóo. En la anaón juta hemo edudo ada uato

qunta paa tene teea mayoe juta y po ello 12 qunta meno 3 no llegan ahoa a 7 otava La dena ente 7 otava y 3 teea mayoe (12 qunta meno 3 omma) e la dsis (g, «epaaón») Lo queoue ahoa e a) que 3 IIIM no llegan a 1 VIII en una de, b) la V



Afai s piagra t

63

lobo es más grande que la justa y ) los semtonos amban el orden respeto a la anaón ptagóra sendo mayor el semtono datóno y menor elromáto

a) dferena entre 1 y 3 M justs equvale a 3 s p dísis.

VIII

VIII

Do Mi Sol#La� DoD

Do DoDo Mi Sol# Si# H Díesis

-

Diesis 3 e - p

Fa

Do

SolS

(

'c P Re - Mi� La

Re# V lobo Jo# Mi

Do# SiFa

Segumos la dvsón datóna de Ptolomeo on la V reduda Rea, queda el tono mayor en DoRe y menor en ReM a versón de Dídmo redue la V SolRe on lo que DoRe es menor y ReM mayor En la notaónde Etz utlzada por Barbour el grupo «datóno» de uatro quntas aDo-SolRe tenen el índe (sn desvaón); las otras uatro aMSa#, justas

entre sí, está desvado respeto a las anterores en (la que hay entre Rea), de hí el índe -1 de ls otras uatro quntas, Do#Sol#, desvadas respeto al anteror, lo estarían 2 respeto al prmero (índe 2) mentrasM� y S� tenen más que el prmer grupo (nde +2) a dsposón anteror del írulo queda en la exposón lneal on superíndes de Barbour

Cº C# Dº Eb E Fº F# Gº G# k' Bb B

Una dsposón más senlla sería

Mi� Si� Fa Do Sol Re La Mio o o o - o o

Si Fa# Do# Sol# Mi� - D



fnaió mae hóic s

b) El írulo de quintas se ha reduido en 3c respeto al pitagório yahora, a direnia de lo que ourría en la anaión pitagória, la Vdel lobo es mayor que la justa:

Vs 3c V usa Díesis Sol# Re# MiV lobo

Desis 3cs - cp

V lobo V usa díesis

Un álulo de la díesis en trminos del omma sintónio sería el siguien-te Con quintas justas se da el omma pitagório que habrá que restar a los 3ommas sintónios en que ahora se ha reduido el írulo a relaión entreomma pitagório y sintónio es: 1 / 1 cp 1 / 1 s y por tanto p 1/1 s Si a 3 s, 33/1 1 , le sustraemos 1 /1 1 , el resultado es 1 / 1 s, valorde la díesis en el que se agranda la V del lobo

) A ser ahora la V más orta que la justa, los sostenidos quedan «antes»que los bemoles y su separaión es la díesis que, omo entre Re# y Mi�, aparee en todas las notas enarmónias (bastaría on prolongar la espiral de ,Re Re# Mi� Mi os semitonos diatónios son los mayores y los romátioslos menores

S S Sd S. Sd Do Do# Re Re Re# Mi Mi Fa ecD D

El semitono mayor diatónio se ompone de semitono menor romátiomás 1 díesis, o la díesis es la diferenia entre semitono mayor diatónio ymenor romátio Esta «inversión» de los intervalos respeto a la anaiónpitagória da la disposiión de semitonos habitual

as razones de los semitonos ya se han indiado, el semitono diatónio esla diferenia entre y IIIM, 4/3 /4 16 1 (1 1 ents) El semitono menores la diferenia entre el tono menor y el semitono mayor, 10/ 1 6/ 1 4(0 ents) a díesis es la diferenia entre semitono mayor y menor, 16/1 /4 1 8 1 (4 1 , ents)

Una rma más ompleja de hallar la razón de los semitonos es sumando quintas y restando otavas a razón del sd Mia puede hallarse mediante su omplementario a la otava aMi ompuesto de quintas menos , 43/3 81/80 1.116. Restando diha antidad a dos

otavas, 4/1 11/16 1.1648 tenemos la razón de la sptima mayor aMi Y para hallar su omplementario en la otava, / 1 1 1 /648 1 6 11 161. ara alular por este mtodo la razón del semitonomenor hay que restar a las siete quintas que lo rman menos s las 4 ota



c s pg ja

65

va que e araviea, [(3/ (81/80 16/1 136.800 13.436.8 4. La operacione on engorroa pero mueran la poencia el méo-o piagórico e operar con muy poco inervao báico para allar cual-

quier oro.

ncompaibilia enre ercera menore y ocava. Díei mayor

Meno imporane e a dsis mayor inervalo en e que cuaro ercera me-nore uperan a la ocava

Sol Si Re Fa a� xIm 6)

6/) 2/1 6862 62,6 ces)Sol Sol VII 21

Aora ay que reucir caa 3 quina por lo que e l círcuo compeo ereuce en 4 comma. Por lo ano, la V el lobo e mayor oavía que a ela M cuaro M no legan a la ocava en la ciaa íei mayor, La� Fa Re Si So (La� la V e obo e muy grane, V + D.M (6,6 cenmayor que a jua

E schisma

En la ioria e a anacione a abio momeno en que en oo e cír-culo e a rebajao en oal 1 oo comma. E e cao ípco en que queremouna M jua ( en a noa iaónica e a ecala, ejano e reo ecírculo con quina jua

Mi� Si� Fa Do Sol Re a Mi Si Fa Do Sol Mi� e c - e

schisma

En accione e comma como 1 cp 1 / 1 1 e cima vae 1 / 1 1 1 1 / 1 1 /1c.

Aparece ee nervao en Ramo por ejempo, como una primera aproxi-mación ee a anación piagórica a a jua, o, con ora mea, en agu-no emperameno alemane e igo

XIIIEn ee úimo cao e objeivo

era acer juo inervalo «iaónico» muy ecuene mienra el círcuoe quina prácicamene e cierra, pueo que el comma inónico cai anu-la el comma piagórico. Ee inervalo, prouco e a uperpoición enre



A1d

teram

h s

la anaione piagóia y ua e enomina schisma, ienia ene ambo omma = p 314414.88 81/80 = 3803683 46 1 0 = 1 en en) El ima uge omo «eo» en a

V e obo uano ebaamo 1 omma inónia en oa a exenión elíuo.uano e aa e opea on schismata e meo no aui a aione

que e aen muy omplea ino oma a popio ima omo uniaAí la íei equivale ano a 3 .. meno 1 p. omo a meno 1 ima íei = 3 p = + ) Uamo impemene «» paa iniae omma inónio uano e aa e omma piagóio eá neeaio iniao «p».) Si euimo omma a lo lago e ulo el euao eun inevalo que Rameau po eemplo enomina «oma meno» = p =

V lobo: Sol#M Ces

V usas Sol# M� Re# omma iagóo V- 685 - So# M Re# shsma ) V-sh 00V - 2 Sol# Re# M 2 - V + 2 215V - 3 So# Re# M Díess 3 - ) V + díess 743

V 4c Sol# Re# M D mayor - ) V DM 646

El ineé e a vaiaión que ue a quina e lobo no eá ano enla popia quina uano en la impoania que iene u amaño paa la maión e inevalo que la aaviean p. e SiMi� Re) FaLa� Sol)eéea.

Hay oa equivalenia poibe Si elaionamo ima on omma

piagóio 1 = 1 / 1 p 1 . = 1 /4p omo 1 / 1 p = 1 / 1 en) 1 1 , 1 / = 1 /. Aemá 1 V 3 = + 1 / 1 1V = + 1 0/ 1 V = 1 / 1 o 1 / 1 p p = ) . La V obo e enel empeameno e 1 /4 equivalene a +3/44 y en el e 1 / a + 1 0/ eéea

Auoe omo on Faey 180) an uiliao el ima omo uniae meia paa u «empeameno imáio» Liney 001 a)



n tgi yj

Intrvaos usta ntonación

Inervalos Raones Cens Inervalos Raones

V 32 0196 IV 43IIIM 54 38631 Im 6:5

VIM 53 88436 Vm 85Tono M 98 20391 Tono m 109SM 16 15 1 1 1 3 Sm 2524

Díesis menor 1 28 125 4 1 06 cens; Díesis Mayor 648625 626 censComma iagórico 2346 cens Comma sinónico 8 80 2 5 censSchisma s - c) 1 95 cens

Cens

4980431564813681824006

riono 5 5 825 1 cens Vm, 95 0160 cens VM 1 5 8 0882 cens

Instabii ta ntonación. Vración

67

E pobema e a jua enonacón e que peene combna quna yecea jua. Peo veamo e guene ejempo:

l i

81:80

-

o

o

98 98

¿54?

E ono DoRe e mayo (:8 a e e euao e una quna jua (Do-

So meno una cuaa jua (SoRe y o mmo ocue con ReM (ReLameno LaM E euao ene DoM e e ono pagóco (8 :64. Squeemo ace a connuacón e nevao ecenene MDo e no pan-ea un pobema O ben acemo un ono pagóco paa egea a Do o acemo e nevao juo e M 5:4, abemo o a un Do 1 máaguo que e e nco ya que 8:80 e a feenca ene amba eceaEo panea un gave pobema e enonacón un canane expemenao y canano n acompañameno nena ace juo oo o neva

o ene que enenae a ema e ben eana eemnao nevaopaa manene empe a mma aua ona o o ace oo juoacepa a neaba e a enonacón Teneno en cuena que 1 eapoxmaamene 1 e ono baaá epe nueve vece e agmeno an



J• D. B

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i u 1 , hoc j k n s.. m rÚ ntu !

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nsbili d usa nonación Salinas Muses ibe eius



Anc nes ag juta

69

eo paa que a noa na aya aceno un ono epeco a «a mma» anca Eo poa expca en pae a enenca «naua» e o canane abaae e ono en cao e que a pocón e o nevao ea a nvea

no eán acompañao po un numeno e noa a que manengaconane a enonacón Soo cabe que e canane eane aguno neva-o paa que ee neeao eco no ocua o cua no ea e panea apaaoa e eaua aguno nevao paa que a anacón ga enoua. En numeno e ono o e pobema e noube

E eempo aneo uee apaece en a expocone a uo (Lneyoen y peenece a . Huygen ( 0 Un go ane Sana(66, c 6 ae o eempo guene con e pme nevao ecen-ene SoDoFaReSo y SoReFaDoSo En un cao e ono ecen-ene SoFa e mayo y a m FaRe e meno e ono acenene FaSo e meno y po ano e eguno So a eceno epeco apmeo (3/ 4/3 (4/3 6/ /8 0/ 880 En e eguno eem-po ocue a a nvea

Poemo ve a naecuacón e a ua enonacón e oa ma Lapocón e a ecala con cononanca ua e a guene

Do

98

Re98

09 65

Mi 54 4:3

98Sol

32

09 98 65

L Si Do2 6 58 2

Puee obevae n muco cácuo que a una DoSo e compone eun emono o ono gane (8 y uno pequeño (0, mena aquna ReLa ene un emono un ono gane y o pequeño MenaDoSo e una quna ua ReLa ene comma nónco meno o quepeme que a M DoM ea ua De naa no vaía ace ua ReLapue enonce eníamo que ebaa oa quna paa ace ua a ecea

La feenca ene amba quna eba en a feenca ene un ono gan-e y uno pequeño /8 0/ 8 80, a feenca ene e ono pagó-co y a ecea mayo ua e ec e comma nónco Po ano e a agave eguaa e que neceaamene a quna ReLa (en a vón ePoomeo SoRe en a e Dímo e un comma nónco má coa que aua y a ecea meno ReFa (SRe en a e Dímo pagóca a eaeca e quna ua Fánono en a ecaa ca V ene a aón 40(0 6 8 0 y a V LaRe 0. m (pagóca po u

pae e 3 ( 0 6 .E pobema eóco que e panea en oo eo e e guene a anacón ua e a naua y a eeabe e n embago mpobe e eva a apácca Paece abe una gave cepanca ene naualea y ae Ee e



70 ó y emement s hócos

el ogen e la aga poléma ene G alno y V Galle a nale el glo El pmeo, efeno a ulana e la jua enonaón, nguáene numeno nauale, omo la vo, e numeno aale, el e-

o A alno le paee mpoble que la Naualea aga naa en vano, quela ononana nauale el enao ean naplable l ae Reuá paaexpla el eo a agumeno an a o omo lo aoélo e poenay ao la ononana jua no apaeen en ao en lo numeno aale aunque e enuenen en poena, peo, omo la Naulea naa aeen vano, e neeao que e en en ao en el numeo naual e la voEn lo numeno e enonaón ja, la ononana jua e enuenan

ori d oro ara proporioi; sgiarbb ch i ch ascoo da ivri mri harmoici o si ririassro mai posi i ao; ma ssro smpr ipoza; a qa! poza sarbb vaa & sraoria a ara o o maicosa aca i vao pró bisoga dir ch a poza si ridca ac vo i ao[ as vocs ( 1 558, I, 45) .

V Galle ( 58 pp y añae a la «ononana» mpaableReLa, LaRe y ReFa, la M LaDo (864) y oa. on al númeo enevalo que no on juo, e Galle, la jua enonaón e mpaa

ble N quea e apa paa lo anane que e eo no guen una ana-ón onea (la ononóna e Polomeo al omo peene alno,no una mela e vaa Lo numeno e ae, po oo lao, uan la«aóno nena» e Aóxeno (epeameno gual (pp 303) Popone el aonal emono el laú e aón 8 omo el óneo paa alempeameno (p 4) Aunque e un emono páamene nngubleel gual, Galle abía, omo le eoaá alno, que (8) e e, que emono «guale» e aón 8 (85 en no llegan a laoava (.00 en, aunque en la páa la feena ea elevane Ea

un emono fál e lleva a la páa meane la vón e la uea eno pae, aa una e éa en e y e nuevo en e aa exa pae

Galle peenee ya en muo apeo a un muno no al e al-no, aunque la ena el empeameno gual en Galle ebe e maa.El empeameno gua en lo numeno e ae ea páa abualee muo ane Apaee en el Dokachorn e Glaeano (54) y e unluga omún en alno y Salna omo éo, Galle eomenaá paa loelao el meoóno egula La uón paee e má e oen onep

ual y elía, o e vaa ene maeo y pulo e quee, aea ela eóa «nauala» o «aaa» e la ononana jua, no anoe u aplaón La epuea e alno (588) ne en la nauaa y a-onala e la jua enonaón que la vo umana, omo numeno na



Anans

góca yjus

71

ura, debe egur y puede acerlo graca a u exbldad (1, p 8 , 6pp 4 46 232) réplca de Glle ( 8 e un aaque a la dn-cón enre nervalo naurale y arcale odo on gualmene naurale enla re anacone, pagórca, polemaca e gul El are e a vece uperor ala nauralea y an naurle on lo nervalo del enaro como lo que eánera de él como la épma de raón o el rono, « romp purl arlno la ea quano vuole» (24. El «aroxénco» Glle e danca del«pagórco» arlno elmnando odo conreñmeno numérco y «naural»en la múca, eparando la múca como cenca y múca como are y abogando por una aprecacón enoral y no maemáca de éa

Dvero epecala (Palca, Waker, oen e an ocupado de ea

moa polémca en la que aparece de rma clara la emergenca de una nueva época muca, el Barroco, y la ya mprecndble lberacón de la donanca en el nuevo elo scon pratica ene a prima praca Pero a pear del empo rancurrdo, gue laene el problema de la naplcabldad dela cononanca en u raone jua denro de una ecala mucal Porquela anacón naural no e una mple eraega eórca o uo de una eleccón peronal El dearrollo de la acúca y decubrmeno de lo armóncoen lo glo XII y XI no ará no doar de una bae ca naurl a loplaneameno maemáco de arlno o Slna Y eo releja la noable pa

radoja de la jua enonacón con nervalo naurale no podemo conruruna ecla apa para la prácca mucal o aí ee, éa debe ear omedaa evera lmacone Ea e la raón de u mpoble ulacón prácca enlo nrumeno auale, un eco que no gue orprendendo

nacone pagórca y jua Temperameno gual omparacón

Intera

OctaaQuintaCuartaDitn IIMTercera menrTnLmma d)Aptmé )

Afnación pitagórca

Razón Cents2:1 12003:2 701,964:3 498,04

81:64 407,8232:27 294,149:8 203,91

256:243 90,222187:2048 113,68

Afnación justa

Razón Cents2 : 1 12003:2 701,964:3 498,045:4 386,316:5 315,64

10:9 182,4016 : 1 5 1 1 1 ,7325:24 70,67

Cmma sintónic de Dídim 81:80 21,5053 cents 21 ,5)

T iguaDesiación

Centso 1200o 700o 500

+21,51 40021,50 300

200-21,51 100+43,01 100

Cmma pitagóric 531 441 :524288 23,4600104 cents 23,5)Des is 128:125 4 1 ,0588584 1 cents 41 )



Anan temeraos co

El állo en ens e los nervalos es en ambas anaones my senllosn neesa e allar nvalmene aa no e ellos Menras en laA. parmos e y en la A.. es preso añar el e M peso qe

no se erva e los anerores.

A A.

V 1 200 ets, V = 702 etsV = V - V 1 200 - 702 = 498 V = V - V 1 200 702 = 498T = V - V = 702 - 408 = 204 TM V - V = 702 - 408 = 204M = 2xT 204 204 = 408 M = 386,3m = V - M 702 - 408 = 294 m = V - M = 702 - 386,3 315,7

d = V M = 498 - 408 = 90. = T - d 204 - 90 = 1 14Cp = - d = 1 14 -90 = 24

Tm = - TM = 386,3 - 204 = 1 82,3d = V - M = 498 - 386,3 1 1 1 ,7 = Tm - d = 1 82,3 - 1 1 1 ,7 70,6D = d - = 1 ,7 - 70,6 = 4 , Cs = Doo - M = 408 386,3 = 2 ,7



3 Afnación «semipitagórica».Tmperamentos irregures

En e capíuo preceene emo anaao a anacón ua en comparacón con a pagórca. Hórcamene e o que uceó menra Boeco eguía eno a ene en a unverae y en a eoría muca, en a prác

ca o múco ban acercano o ercera y exa a u cononancanaurae o que creaba una connua crepanca enre eoría y prácca.Sóo umana con conocmeno e a ene cáca y a a ve exmonrumena (Fogano en Forenca, Sana en Saamanca, arno en Veneca pueron a nae e uncar prácca y eoría ora e eacrepanca e ebe namenamene a nacmeno y earroo e a ponía, a gran aporacón muca meeva que cambó envamene aconcepcón muca occena. La anacón pagórca, con u ercera y eguna muy grane, era oamene aecuaa para a expreva meócae organum paraeo e ncuo para a ponía góca poeror, en a quea onane exa mayore ejercían una ncón pareca a a épma eo acore e omnane en a múca ráca poeror Lo emono aónco muy pequeño añaían vaor exprevo a a caenca e enbe obe. Pero a ponía va exgeno a acepacón parca e a ercera y excomo cononanca (Ongon, Anonymu 11 X Vry, Mur . . ., epecamene en e borón e proceenca ngea, menra a múca cava oveno a moaa baaa en a ecaa aónca y eva a cambar a

erucura exacora por e móuo e a ocava en a que oocar o ferene nervao La eoría boecana, ereera e una prácca grega muy ferene, no oecía un moeo aecuao a ae exgenca e eracoroconuía e núceo erucura báco menra en a prácca ponca a



74 nai yat htórios

ecea iban elegano a un luga ecunaio a la cuaa en el oen e lacononancia. A lo lago e nuea ioia muical va a i apaecieno elpoblema e la cuaa que con una aón má encilla que la e la ecea

mayo e in embago una cononancia meno pefeca «meno cononan-e». La concepción e lo géneo e baba en la iviión e aquélla en einevalo miena la ocava complea acabaá iviia en emiono. Sinembago y a fala e una nueva eoía aún po acee el iema e ana-ción piagóico con u unicaa eucua y la poencia e u méoo calcu-líico baao en la aición e quina eguía ieno el maco eóico e efe-encia. A pea e u efena e ecea y exa jua ingon e mueveen el iema piagóico como efeencia global y cuano a nale el i-

glo X Ramo inouca una nueva iviión el monocoio incopoanoeniivamene ecea y exa volveá a la aición boeciana cuano lacoa e complican a la oa e eablece la aone e ono y emiono.

He aquí alguno poblema conceo. La nueva aón :4 no puee ivi-ie en o pae (ono iguale a ifeencia e lo que ocuía con el o-no piagóico E una e la aone po la que un eóico an peclao comoGuio y a pea e conoce la iviione eacoale e Polomeo e-caaá a nale el iglo X la innovacione e Ramo. Si la iviión e laecea en o ono e ya en í poblemáica má lo eá la iviión e eo

ono en emiono no ólo alejao ino inveio en u amaño epeco alo que eneña Boecio. qué eci e la eucción e una quina en un com-ma eneo paa que la ecea mayo ea jua quina que ebe ea aemáene noa iaónica.

El conaco ene ambo maco e efeencia piagóico en la eoía yjuo pacialmene en la pácica a luga a encona ipua ene eói-co Ramo y Gauio a pincipio el obe la nación Vicenino yLuiano obe lo géneo o a nale e iglo la conocia ipua ene alino y Galilei. En Epaña enemo como ejemplo e la peplejia apunaael cao e uan Bemuo epecao aeno el ecenaio muical y en cuyaoba poemo ve alguno poblema que acuciaban a lo eóico el mo-meno Bemuo aunque no e un umania en enio eico (ólo enlia e poía ea en conaco con l ene cláica y eo con gane i-culae e lecua e inepeación conoce la eoía boeciana obe lo gé-neo peo obeva que la pácica muical e u época no e aapaba a ninguno e ello Ni al iaónico po uo e noa aleaa ni al comáicoen el que el iemiono (la m no e maniene incompueo ino que

ambién eá iviio (con má e cuao noa comáica en la cuaa ypo ano lo llamaá «emicomáico». Ni al enamónico po no uae in-evalo menoe que el emiono meno aunque «Dien que en alia aymonocoyo que el emiono meno eá ivio con una ecla pequeña en



fión «smigó». men rs 75

o pare iguale [ ] Roguemo a Dio que el género enarmónico no vengaa Epaña» (1, 1, l. .

Lo prácico no aban juicación el uo e noa aleraa, egún

Bermuo: « mirano a lo re género e múica veya que que ningunoello era . . .]. A lo añeore que pregunava porqué aían puno ineno y uenao reponían lo que ya abía, que le onavan bien» (ibiem,l 86 El acual género cromáico naa iene que ver con el cláico inoque no e ino un iaónico ampliao con aleracione, que: on boeaccienale ayunaa a la boe naurale» (l 3v. « allé infaiblemene, que lo añeore ienen compueo un nuevo género el iaóni-co y cromáico el qual e puee llamar emicromáico» (l 86v. «Si

ee nuevo género no le ponen en are e a e viciar con la larga licenciae lo bárbaro añeore» (l 46vAociao al «emicromáico» e la prácica, one e ve bien la icrepan

cia enre una eoría boeciana (piagórica y una prácica muical que iba a-cia la anación jua, e en la cueión e lo emiono, menor el iaónicoen la piagórica, mayor en la jua Según G Maríne e Bicargui Art danto no 1 08 ay o emiono pero ólo e ua uno, el mayor, ene almenor e lo piagórico: oo emiono e mi a , aí cromáico comoiaónico, e mayor e canable, e oo menor incanable». . e Epinoa R

ataions 1 14, el a la raición boeciana, iniirá: «El emiono canable e meno e la meaa el ono egun el Boecio y el Guillermo [el Po-io] » Se a cuena no obane e que en la prácica e ua uno mayor queel piagórico y mayor que la mia el ono, pero para la equicuara (:4:«no a lugar porque aunque la oreia lo coniena no lo coniene el compáni la pura maemáica» (l. ) La coa parece crua, porque, excama: «Puecalle, calle ya e aya vergüena Gonalo Marine e Bicargui, capellán en laigleia e Burgo, e cee ya u barbárica e venenoa lengua en porfía e eneñar e poner en ecripo erejía rmae en Múica, conraicieno al Boecio e a Guillermo eñalaamene [ coa por ciero iabólica e e granblapemia» repuea e Bicargui e, in emoración maemáica, re-miire a la experiencia: Ee emiono que ie menor allamo er mayorpor experiencia» ( 1

Si emo mencionao ea ipua no muy inereane e para morar laperplejia e lo múico, incluo en época an aría, enre una eoría yuna prácica an ivergene ano en lo rerene a lo género como a la anación e lo emiono

Durane oo el Renacimieno y aa nale el iglo cuano ya eeablece en oo u ealle el nuevo marco e la anación jua o naural,aparecen muliu e emperameno «inermeio» que quieren ar cuenae la prácica muical rea (con inervalo juo y encajarla a la ve en una



6 f

ents

tórs

acón eóca poenene e pagomo y que ebe e anmanopaa aapae a a nuea exgenca

Tpao «a piaóo»

Aí enomna M Lney (001b guamene Babou 133 p. 86 a unapocón pacua e cícuo e quna que apaece a nae e -go I y pncpo e X conene en apoeca pecamene e commapagóco paa ebaja a ecea y acecaa a a anacón jua En a anacón pagóca aquea ecea que en u macón aaeaban a e

obo e acecaban muco a a jua a ea ea quna mnua en cp(4 cen ca gua a a neceaa coma nónca ( cen Puee apoe-cae ea ccunanca paa cooca a e obo ene eemnaa noamá o meno uuae Aí mena o ejempo mucae e RobertsbridgeCode ca. 1340 muean e uo e un ecao oamene comáco con a obo ene o abuae So•M en e Co Faen (pncpo e -go ) o ejempo mucae úgco paa ógano paecen nca a coo-cacón e a quna aa ene S y So

Fa Do ol Re La Mi -pi oFa#

Re La MiDo# o# Re#

i FaLa#

Toa a on jua excepo SSo Toa a ecea que en u -macón aaeen ca on ca jua ( cen a mayoe eencaene o o comma aeno oca a maa po una noa aónca y oa con oeno Re Fa• (So La Do• (Re M So•(La S Re• (M (e oman a coeponene noa «enamónca»So en uga e Fa• Re po Do• ec.. En caa pae e cícuo epaaapo a cp a quna on jua y a ecea po ano pagóca como en-e a noa aónca ReFaLaDoMSoSRe y ene nauae y be-moaa ReFaLaDoMSoSRe nnguna e a cuae aaea a coa Deene íaa ecbán eene aameno muca ene ocompooe e a época

En a eaua a epeco ea pocón e cícuo apaece a menuocomo «pagóca meeal» o «e oe» (po e aaa e meao e

go X Hen nau e oe y u anacón e eemenal pamo eLa ana con quna jua en un eno aa S y en oo aa So La e obo queaá ene ea o noa. Ea pocón e cícuo a menco-nan aemá e oe oo eóco e X Poocmu e Beeman



Afin sen1

ól Tmen fs

Ugolno e rveo, oanne Legrene, on Hoby, Ncolau Buru yFrancno Gafro. Poría er una anacón propa e cera peza mucale e la prmera ma el glo como Adiu ma trs b e Bnco (lbro

e órgano Buxem, o Mi bon jours e Duy.Para Gauro y oro efenore e la anacón pagórca conuye una

alernava a la nnovacone e Ramo. En Alemana parece que e uó lapocón el círculo e quna con la cora enre S� y y por anocon la ercera y exa que enen un bemol cercana a la jua. Sn embar-go la únca efena explíca e eo aparece en G. Anelm (1434 (Lnley00b.

ao ilar El ao d A Sk

ferenca el ema aneror, que e regular aparecen a lo largo el gloXI y prncpo el XII una ere e emperameno prácco, n gran elaboracón eórca, que manenen como en el aneror la cora SSol�pero mocan ora quna para conegur má ercera jua. Son porano emperameno rregulare que a vece emplean la vón el comma pagórco, ora el nónco pero en cualquer cao el objevo e el

mmo ener mayor cana e cononanca enre la noa má uualealgo que erearán lo anaore alemane el Barroco. Eo on lo máconoco:

Hc cb (Henrcu Grammaeu (118 repare el commapagórco (4 cen en o pare guale enre la quna SFa y S�Fa.

a Do

Sol Re

La

Mi Si Fa# /2p

Do# Sol#

Re# La# Fa /2p

aa reuca en 1 cen ene 60 ene a lo 0 cen el reo,pura. El círculo quea vo en o eccone, una aónca» y oracromáca». Una caraceríca mporane e ee emperameno e poner e ez emono guale menra el c.p. quea rbuo en pareguale enre lo o emono MFa, So, 1 cen menore que lo re-ane.

Dvr en pare guale un ono pagórco (8 por procemeno

arméco e mpoble, como emo vo. Para la vón el ono SolLaen una noa mea que valga ano para Sol como La� Grammaeu acuráa méoo geomérco ervao e Eucle Emntos y 13. El méoo abía o expueo por Faber Sapulen (146 y lo abían ulzao



8 nn m

rmens

hós

ene oo Eamu e H en un aao no publcao (c 1 06 (Vmá aeane

Apae e a en ee empeameno ay 4 p (408 cen y 8 con

1 /cp meno que la pagóca e 408 1 36 cen 10 cen má quea ua 6 mp (4 cen y 6 e 306 cen (1 má que a pagóca

M ío (1 3 a una anacón el monocoo como a pagóca meea con la «V lobo» ene SFa peo aoa euca no en cpno en E cma euane eá ene Re y S� El cícuo e qunaquea o en o eccone e quna ua S�S y un comma nónco meno FaRe

S

Do Sol

Re L

M

S Fa#- 22 ces

Do# Sol# Re# S h

2 ces

un ema muy paeco a e Ramo 148 en el que apae e aquna ay 4 M ua (a que aaean a V SFa 4 pagóca y 4(406 cen con 1 c meno que ea úma 3 m ua 6 pagóca y3 mayoe en 1 c (6 cen

Syvetro Gni (143 popone un empeameno paa laú y olacon la quna ReLa euca en y el eo e a noa «aónca» enquna ua. De ea ma nealo como FaLaDoSoS on puoaunque no ReFa pagóco

Lo emono comáco enen po la ón en pae guae e acononanca aneoe DoDoReM�MFaFaSol y LaS�SDo.Ammo So e nemeo ene Sol y La. El eulao e e guene

M S 11 +10

Do

So

sRe L

-22M

Si Fa#

+ 10Do# So# Re#

11

Jun Bermudo ( peena una anacón paa a ee cuea e lauela en a que ua el méoo geoméco e Gammaeu paa e ono en o emono guale Su apcacón al ógano 10 e un ano ambgua peo que paa po e una e lo pmeo empeameno paaee numeno muy cecano al empeameno gual Popone empea1/6c lo ono equocao mayoe paa poe «añe oo lo emono» En lo o pmeo ono DoReM ebe abe 1/3c lo que a unaM con +/3c ( la M ua e epeco a la pagóca e quna



Ai «smítgia». Tepeas gs

jua al eale ólo /3c quea ala oaía en /3c Poía epone aiguiene equema uponieno que Fa noa que no apaece en e empea-meno e Bemuo ea una quina ua epeco a Do

M S Fa Do Sol Re M S Fa#) Do# So# M1/12 -1/12-112 -/12-/12-1/12-1/12-/12/12 1/12 /12/2c

Lo ineeane oy e ea iiión e que la M DoMi SolSi y La-Do /3c mayoe que la ua con 4006 cen on pacicamene iguaeque la e empeameno igual (400 cen. Lo ono DoReMiFa y SolLaSiDo on /6c menoe que lo piagóico (004 cen cai iguale

que lo el empeameno igual (00 cen omo má ae aán eóicoe poca pepaación maemáica (Weckmeie Kinbege Bemuo aceuna iiión aiméica el comma inónico o que llea a ligeo eoe

Hay oa eión el empeameno e Bemuo no egula ea e baaa en u amación e que i e quia comma a ica M «queaánmá aboa oa a ecea mayoe» y la quina cai «pefeca» lo queaía una = /8c (4x/8 Babiei (98 0n e en el empe-ameno e Bemuo «una openene anicipación el empeamenomoeao» popueo po G De Loeni (80 como aenaia al igua

(MiDo con DoMi /8 MiDo / y DoSoMi caa una. Recuéee que / /c

Giovnni Mri ui (600 popone paa el aú un empeamenomeoónico (e ono meio ene el mayo y el meno moicao en elque la «íei» eulane ( / comma meno cp eá iiia en opae iguale ene la quina SiFa y SiFa y e ono iiio en paeiguale

Fa Do Sol Re M S Fa# Do# Sol# M S Fa1 4 -1 4 -1 /4 -14 -1 4 1 4 +5/4c 1 4 -1 4 -1 /4 1 4 +5/4c

-/2c -1/2c/4c = 3 cen

0 /4c + /c que epaia ene o caa una aumena /4c a oque ay que añai /cp paa epaila ene amba en oal ca. cen.El eulao on e ca. 696 cen y o e cen

Paa iii ecea mayoe y ono en pae iguae menciona la olu-cione geoméca euclea e Fabe y el poceimieno aquimeiano elMeoabio la M el meoónico egua puee iiie geoméicameneen o pae igule peo la iiión en má pae equiee oo poce



80 An tmp ho

mienos (éase ina). aa semiono equiae a en expresión ariméica. Según nos ice ay ineralos que resulan falsos en e cano pero no enel laú omo en el caso e Grammaeus ay 10 semionos iguales y que

no lo son.

Robert Dod (1610 propone un emperameno para el laú quecomo los e Grammaeus o Agrícola presena mucas quinas jusas (los números inican cens reoneaos) una especie e mecla enre piagórico(V lobo SolMi�) juso en la escala iaónica (V LaMi rebajaa en casi) y renamienos poseriores

a Do

Sol Re

-sch Mi-20

Si • Do•+5 +9

V loboSol• Mi� -28

Si� a +9

La reucción e la quina LaMi en casi ace que las M DoMi ySolSi sean casi jusas (388 cens) aunque al quina sea impracicable. Tomael Fa como meia ariméica enre Fa y Sol e rma que la quina SiFa es cens mayor que la pura. Las erceras ReFaLa son piagóricas y la V loboes más cora aún que la piagórica (iene 4 cens menos)

Se raa e una moicación e emperamenos aneriores como el ereas rnioparcus Musia ativa miroogus, Leipig 11 raucio al inglés por el propio Dolan en 160 namenalmene piagórico(SiLa� en quinas jusas). como el e Hans Gerle (13 a quien menciona con una isribución más unirme e las esiaciones e las quinasFa La jusas LaMi cens SiFa FaDo +9, Si�Fa 1 1 y SolMi� cens

A c ( 1 1 1 . Enre los emperamenos irregulares el siglo

me

rece mención especial el e Arnol Sclick uno e los más aniguos y mejo-res ese la perspecia acual en que peimos a los emperamenos ciera regularia (el emperameno igual es oalmene regular). Se raa e unemperameno para órgano con unas caracerísicas muy peculiares en ese aspeco es parecio pero anerior a los emperamenos mesoónicos e nalesel es circular sin V lobo iseñao para oa la escala cromáica iferenciano las onaliaes más usuales (noas iaónicas) e las menos (cromáicas) no iene ningún ineralo juso y posee una noable simería

Las insrucciones e Sclick son las siguienes a) anar por quinas «algocoras» las «claes naurales» a parir e Fa b) las erceras mayores serán emasiao granes pero FaLa DoMi y SolSi serán mejores que las emás c)las eclas corresponienes a Si� Mi� y Fa Do se anarán e la misma r



c «mp

g

'c». pm

81

ma, meiane «quina cora», La noa SolLa merece una aención epecial ebieno rmar M ano con Mi (Sol como con Do (La, e elreulao e ello e que la LaMi e «un poco má grane» que la jua.

Seguimo la reconrucción e . M. Barbour (17, pp 13713, pero enrma circular, para apreciar la imería

V diaócas: 698 ces

V cmáicas 700 cesDo#Sol# y La�Mi� 706 ces

La «iaónica» on cen ma grane que la jua, la «cromái-

ca 8 o 10 cen. MiSol y LaDo on cai piagórica y cercana a la elemperameno igual SiRe, FaLa y ReFa ienen 6 cen má que lajua, má que la piagórica.

A pear e u upuea percción no e un emperameno muy inio aunque no abemo bien en qué conicione e expuo. En cualquiercao, parece que e eplazao por el meoónico. omo en un meoónicoinermeio enre el e 1/c y /6c, la quina «iaónica» on cora en cen y, como en el igua, la «cromáica» en cen.

Barbour coniera ee emperameno como una emprana aproximaciónal igual, lo que inicaría que ée, el emperameno igual, ería el emperameno prácico a principio el iglo XI lejo e conieracione maemáica o el conocimieno e la eoría griega No parece que al opinión pueamanenere. La propuea e Sclick parece má bien un experimeno ailao y paricular in ninguna inuencia en el reo e lo eórico muicale eliglo XI

Lo emperameno irregulare e lo iglo XI y X on inereaneióricamene como preceene e lo emperameno irregulare barroco,

ano ancee como alemane, el iglo XII Pero en u momeno, y a pear e la ioneia e u aplicación, lo eórico el umanimo muical ialiano earán má preocupao en eablecer obre una bae riguroa la juaenonación que en planeamieno prácico e ee ipo.



4 El humanismo musical renacentista.Jta entonación y división múltle de octava

El érno «Renacmeno» como el e «manermo» o «barroco» e a omao e la ora el are y aplcao a la múca Do on al meno la caraceríca que rencan la múca el reo e la are en ee peroo

En prmer lugar el preomno e compoore «el Nore» (ancoamenco urane el glo X y la prmera ma el ene a lo alano queólo aparecen a parr e la eguna ma el En eguno lugar la auenca ca oal e eemplo mucale anguo a mar a excepcón e referenca lerara o loóca

La prmera caracerca a eco que muco mucólogo caracercenel Renacmeno mucal no en érmno elíco no culurale Aí HLang (140 o . Palca ( 18 pp. 6 «Renaance muc no a e ofcompoonal ecnque bu a complex of ocal conon nellecual ae of mn aue apraon ab of perrmer [ . . Evenuallymany of ee mpule ere ranlae no mucal yle bu a a graual proce» Frene al elo e polnía «abraca» (ca meeval e locompoore el Nore lo alano abrían aporao aunque aramenecaracerca propa ale como la omonía el rmo regular y obreoo la comprenón el exo e la palabra.

S e carecía e eemplo vvo e múca angua y úncamene e ponía e lo conabo comenaro e Plaón o Pluarco el graual ecubr

meno y conocmeno e la ene eórca angua ólo puo acere enala al amparo e u bbloeca. Pero eo exgía umana verao anoen la lengua grega como en eora mucal para no epener e raucconea menuo poco able. En cualquer cao no umana acaron con



84 A/nn

J pn ho

cluione muy iferene a parir e lo mimo exo aniguo en ncióne u propio ineree. «Mover lo afeco» o provocar en el oyene «lo maravilloo efeco e la múica» e convirió en lo ieale e la nueva múica.

Para ello la o vía raicionale eran el uo aecuao e lo moo y logénero y a ello e eicaron libro imporane como el Dodkahordon(14 e H. Glareano y Lntica musica ridotta a moa prattica (e N. icenino. Pero apare e no ponere e acuero lo iferene umania ni en cuale eran lo moo aniguo o qué emoción umana e aecuaba a caa uno e ello la principal iferencia enre la múica anigua y larenacenia era la polinía. A parecer la múica exaaa por Plaón o Arióxeno correponía a una prácica monóica. En un conexo polifónico

como el renacenia parecía poco aplicable ano la eoría e lo moocomo la e lo género En el primer cao poría are una «coliión moal»enre iina voce en el oro no parece que un género como el enarmónico el má maravilloo y efecivo e oo para alguno ee aplicable a lapolinía in grave iculae.

Eaba aemá la comprenibilia e la lera «el alma» (ogos) e la múica en la raición plaónica incomprenible abiualmene en la poliníaDe a erivó en pare la reacción e la ameraa orenina que inaugura yala nueva eapa barroca « . . e la Muica e gl'anici auee canao pi arie

mecolaamene inieme ella meeima anone come nno i Muici nori [ . . ] a vn meeimo empo rebbe ao ena ubbio impoibile ceella auee pouo i gagliaramene muovere gl' aei . » (G. Mei 60in paginación Si «mover lo afeco» muovr gi ai e un motto am-pliamene exenio en el iglo XI e el ieal muic que urge en el Renacimieno ólo al parecer porá cumplire en el Barroco gracia a la monoia acompañaa.

También ee la polina e aba inenao la expreión e lo atiel exo que eban er «exprimio» por la múica Treno propugnó unaomonía que iciee ineligible el exo religioo icenino e rma rai-cal y afín a epíriu marigaeco propone la reurrección e lo aniguogénero para exprear emocione exrema (véae má aelane mienra arlino criicará lo exremo armónico e ée proponieno e rma mucomá moeraa una relación naural enre lo afeco el exo y lo ifereneinervalo muicae (8 3233). arlino muera ya una polariaciónemocional (alegríariea que e correpone con la inerválica (ercera mayoremenore onoemiono con la iviione armónica y ariméica e

la cononancia y a la pore con la onaliae mayor y menor.Pero i para ar expreión muical a al cania e conicionane (peoe la raición evolución e la polina nuevo ieale umania a menuo en conico ec. aparecen en el Renacimieno una enorme variea e



El uno usfal stj

a tci

divión úp d la Ja 85

emperameno a principa aporación que no inerea e el eabecimieno e la ua enonación en oo u eale Y ello e obra e una erie eumania en conaco con a ene cláica en aia y que iene en lo

exremo e a evolución a o eórico epañoe Ramo y Salina.

mo de Prej ca 440ca 1498Haa ace bien poco iempo Ramo e Parea era conierao en Epa

ña ago aí como el «pare» el emperameno igua. Eo e riguroamenefalo. El mério principa e Ramo eriba en que era e la raición boeciana propone una anación para la ecala iaónica propia ya e a ua enonación. uano no obane e compican la coa como en a anación

e lo emiono cromáico regrea a puero eguro e la raición.Baroomé Ramo e Parea (Rami e Pareia e eórico compoior ycaeráico e múica en Saamanca e one paó a Bolonia y poeriormene a Roma. Fue auor enre ora obra peria e D Musca prcca (Bolonia 1482 que e acer cao a u icípulo Spaaro aró ie año en ecribir. Parece er que proyecaba u coninuación en un eguno volumen. Laobra coniuye una curioa amagama e iea conervaora y noveoa aguna provocaora y ució ferviene aaque y efena a ulrana Ramopreene uperar a opoición enre múico eórico (boeciano y prácico

(obérvee el íulo el raao. Eiminano ale iferencia cree con mucoopimimo que cualquier múico puee llegar a er un aria «periíimo».

La innovacione namenale e Ramo ecan por ierra ano el iema exacora e Guio al proponer un nuevo ámbio e euio eórico laocava (a primera cononancia epué el uníono como la concepcióneracoral boeciana meiane una nueva anación el monocorio con ercera y exa en a ua enonación. En u polémica con Ramo Burcio yGaurio e morarán pariario ano e la olmiación guioniana comoe la raone piagórica e o inervalo. bo exremo parecían ir uno en la raición e la época. Su ineré por la ocava (caa noa viene e-erminaa por una nueva nomencaura Paliurpervoceia no eaeno a conieracione numerológica como la perfección el número oco(xx número e ángulo e la gura geomérica. La aleracione muyecuene ya en a época conervan el mimo nombre que la noa nauralcon la aición e oenio o bemo y e ecana por e La en lugar el Sol.En eoría óo puee uare una aleración la ora no ería propia el génerocromáico.

Pero la innovacione má imporane abrán e venir e una nueva iviión el monocorio que ea má encila para lo canore que la boeciana:« menura ubilier [monocorium a Boeio iviiur e ilu icueorici uile iocunum e ia canoribu laborioum ineecuque ici



86 Ai mpt hticos

e» (p 6 guamene eioa y aborioa e a iviión e Guio (p Lauya e fáci y aiene a oa a cononancia uuae: « omne nora,quia vugare e non icie un acione, ciima fecimu eviione»

(p Aunque oecemo una verión ago impicaa e a anación emonocorio e Ramo, e ajua a a origina

Primera iviión: en miae cuera aq e ivie por a mia en a u ve, en , y en f Lo

mimo acemo con a ección q meiane p, y p meiane a d h

1

Suponieno que a ongiu e a cuera e e 4 uniae, aq:a 4: 1 : 1 , V a aq:q 4: 18 4:3, a aq:pq 4:6 4: 1 , xVap aq:q 4: 8:3, +V a (ocava má cuara, «que como ice Boe-cio, , óo Poomeo amie enre a cononancia»

Seguna iviión: e n ercio

Diviimo aq en re pare meiane m y e:

8 8 8a e m q

aq:ae 4:8 3: 1 , V+V en e aq:am 4:16 3:, en mVovieno a a primera iviión y comparano amba:

6a

6d h

121

q:qf 1 8 : 1 6:, m (q 6 pare, qf qf:q 1 : 1 :4 M (fq pare, q 4 Ea ercera mayor eá compuea por o ono, perfecouno e imperfeco e oro qa:qf 4: 1 8:, m qf:q 1 : :3, M

omparano a iviión en miae con a iviión en ercio obenemoe ono: q:eq 18 : 16 :8 , ó q:mq :8E reuao e, egú Ramo, una iviión e monocorio con raone

má encia que a piagórica



El humanmo musical rnanta.jus

onaióny dvsnmúlpe

d ova 8

La vón e Ramo parece una mecla e la e Dímo y Polomeoaunque llegae a éa e rma nepenene egún u cpulo G Spaaro

La98

Si Do Re16/15 10/9

Mi Fa98 16/15

Sol98 10/9

la

Diaóico de Dídimo Diaoo sytoo de Polomeo

Pueo en una uceón e quna:

Fa Do Sol Re Mi Si

La quna SolRe eá reuca en 1 lo que perme que oa la erce-ra e la ecala aónca que la aravean ean jua FaLaDoM . . noaquélla que no lo acen como SRe 3: que e pagórca. Evene-mene la cuara ReSol :0 y la quna SolRe 40: on mpracca-ble A pear e ello la ea e reucr en una quna erá reomaa conora perpecva en glo poerore.

Ramo no lleva a la ecala cromáca la vón el monocoro ula-a en la aónca Ello ace que el círculo e quna preene una po-cón pecular rregular una mecla e anacón pagórca ua con opo e quna e ferene amaño La ercera cromáca on pagór-ca a excepcón e S�Re ame úncamene como Boeco el ono p a-górco 98, «quae [vo 9 e 8 numerorum ambu concrbur» p 99)y elmna el apotomé

FaDSol

-1 402

¡i�

ReMi�

JLa� Mi

1 sch "Do# Si



88 Ann

eeto

tos

El círculo e qunas quea o en os seccones, La Sol y Re +Do, separaos por s, lo que a lugar al schisma e la quna el lobo, quna que se reuce en co neralo, cp s (380368, cens) que

ano muy cercana por ano a la jusa. Ello a lugar a res pos e erceras:

las que araesan la quna SolRe que son jusas (SReFaLaDoMSolS),

las compuesas e qunas jusas (LaDoMSolS y ReFa LaDoM)

aquellas muy cercanas a las pagórcas que araesan la quna reuca en un schisma (MLaSMFaSDoFa)

Hay asmsmo onos y semonos e res amaños ferenes los semonos el aónco MFa, LaS y SDo son jusos (161), menras SSes lgeramene menor ( 13 18) .

Puee erse que se raa e un prmer neno basane mperfeco eacercarse a los neralos jusos. Una V an abual como SolRe es mpraccable y aemás sólo aplca la reuccón al género aónco uano aparecen aleracones, esamos e nueo en el ssema pagórco o en un pagórcojuso.

La són el monocoro e Ramos es puramene prácca, como nca el íulo e su obra, y para el género aónco No parece aber leíoenes gregas, aunque sí conoce en prona a Boeco, aca quen semuesra ambalene. En el Prólogo e su obra le alaba por los namenoslosócos y armécos en que escansa su obra y proclama que sempre seráaprecaa por los eruos a la e que recaaa por los múscos auoacas, que la encuenran oscura y fícl.

El aaque a las nnoacones e Ramos abría e enr e aros enes.Un scípulo e Gallcus y ereero el ambene boecano que se resprabaen orno a Vorno a elre, Ncolás Burus (Burco, ca. 140 1 1 8) , lecrcará ano su alejameno el ssema exacoral guonano como susnnoacones en la anacón. uaro años espués, el scípulo e amos,Goann Spaaro ca. 1460141) salrá en su efensa Se un a la polémcaFrancno Gauro, quen enía a Spaaro una copa el De música prácicaseñalano los errores e Ramos Spaaro replca a su e con un raao enque enunca los errores e Gafro. Ese úlmo enunca e nueo (118)los errores e Ramos, con la consguene respuesa e Spaaro en una sere

e caras Gauro aaca a ambos e nueo y Spaaro reaca nalmene losErrori. . . ( 1 1 ) , su obra más conocaEsas spuas parecen mosrar la enenca muscal más progresa e

Bolona ene a la línea más conseraora e Parma y Mlán Spaaro e



A" t

rts

o

u eau eório en a obra bree pero eiia e Luoio Fogiano (Fogiani Foianu E a primera e que en una obra eória Musica thoca( 529) e aboran a impiaione eriaa e a inuión e a nuea

ononania Eabee por ora pare un méoo expoiio ripario on eeuio e a raone ariméia u onrapare muia y a iiión emonoorio que abrían e eguir oro omo arino o Saina Fogianoe e o eao umania e Renaimieno que unen a onoimieno egriego impreinibe en a époa para aeer a a ene muiae unaampia experienia muia omo anane y ompoior.

E obeo e a múia e e numro sonoro e número que mie a paree a uera e monoorio onepo ée que repien arino y Saina inmenionar a ene La múia e iguieno a raiión arioéia unaienia que eá enre a maemáia y a ienia naurae una scintiamdia (1, 1) La enaión iene un pape an imporane que en u nombrereaa a aiaión piagória e a ononania auoria que « . . .mii uieur faa: quum enui onraia» (11, 1 ) La eniión e ono-nania y ionania paa e a raiiona eniión numéria o meafíia aener un ego enoria (que por ora pare aparee ambién pariamene enBoeio en érmino e «amia» o «inimia auribu ommixio»: «ononania e uorum onorum eunum auum & graue ianium auribu

amia ommixio [ ionania onraria: e uorum onorum eunumauum & graue ianium auribu inimia ommixio» (11, 2)Siguieno ee rierio enoria aiere que a ononania e o

práio on má que a piagória omo a oaa má uara menionaapor Poomeo y obre oo a erera y exa ieno poibe una iiióne monoorio en que aparean a raone uperpariuare e ea úima Tra e euio maemáio e a iferene ononania Fogiano expone a iiión e monoorio en 111, 1 E un apíuo aamene inruio e u rma e proeer meiane a únia apiaión e a iiión

armónia e oaa y quina La oaa a iiir e Doo omo en Ramoy orrepone a a que reina año má are raerá arino ieniánoaon a «ynono iáona» e Poomeo (ompáree Fogiano 111, 1 , on arino st. 11, 39)

En primer ugar Fogiano iie armóniamene a oaa on a quinaen a pare inferior y a uara en a uperior:

V 3:2 V 4:3 Do Sol do

3600 2.400 1800Diisió armói de la V



El umno mucal enntsua ntonin dvií úipl

d / ocava 91

Procee a coninuación a iviir e la mima rma la quina con laM en el grave y La m en el aguo:

M 5:4

lm 6:5 Do Mi Sol3600 2880 2400

do1800

Diisió amóia de la V

La iguiene iviión conie en allar una quina bajo el Do aguo y i-viirla e la mima rma que la anerior El proceimieno e iénico pueo que puee omare la ocava Fa con la iviión en o:

Do MiM 54 m 65

Fa Sol La do

2700 2160 1800

Diisió de la V Fado

Fa

do

-

V32

Se alla en primer lugar una m bajo o y a coninuación una Mbajo La con lo que quea eerminaa la noa Fa

onierano a Sol como exremo aguo e una ocava quea aciaabajo una cuara Tl noa e Re exrum»:

43Do Re Mi Fa Sol do

3200 2400SolR

Sol aa

Según ea úlima iviión y conierano a Sol como el exremo grave

e la quina i la iviimo armónicamene enemo la noa Si (en el original ay una erraa ice 2.920 one ebe ecir 1 .920). Haa aquí la ecaamayor con el ono mayor enre DoRe e ecir iguieno el moelo e Polomeo

on el mimo proceimieno paa a la reane noa e la ecala cromáica alcula Si� una ercera menor obre Sol A ee Si� lo enomina«exrum» pue como en el cao e Re ará fala oro el inirum» epa-rao ambo por un comma inónico Una ercera mayor bajo Sol no a

Mi�. Una ercera menor bajo Fa no a Re inirum»bérvee que e neceian o Re para manener la purea e la jua enonación en o la cononancia iaónica: un Re rma una cuara juacon Sol y el oro una ercera menor jua con Fa E fácil verlo i no remii



92 A ) -mt s

st �

mo l ncón de Rmo All l m ReF er u co de l reduc-cón en un comm nónco de l V SolRe S eblecemo oro Re quehg un qun u con ee Sol mnenemo l u enoncón pr m-

b cononnc co de duplcr l no Re Tle duplccone eránuno de lo core hy oro que llevrán l prolfercón de nrumenocon má de doce no por ocv

Lo mmo ocurre con lo do S� «dexrum» y «nrum»

V jusa m jusa

Do R R Mi

m j usa

Fa Sol

V jusa

Si Si Si do

A prr de M un m hc el grve no d Do y hc el gudo SolFnlmene un m bjo L F.

«Sc hbe monochord duonem n nud & pur numer rclerconum n qu on d mucm exercendm necer per numero re-preenur . . . » El reuldo nl e el guene (vée l gur)

m c Tm " � X /i

M M

«S»

SM c Sm # Sol a S Si� Si

M

do

Señlmo rbrrmene como Re y Re lo repecvo «nrum» y«dexrum». L mmo con S�' y S�.

Ademá de e do no doble nóee que no hy un cur u en-

re FS Br pr ello duplcr mbén F y mnener l merí delcírculo de qun. Foglno no lo hce lo que le llev dmr re po deemono dónco (myor 6 5) cromáco (menor 2524) y uno epe-cl enre FSol de rón 2725 má grnde obvmene que el em-ono myor ( 6 5 880. Foglno lo denomn «mnu» «mnmum» y«mu» repecvmene. ¿Se ub ee emono «mu» en l prácc o edebe un cer ncoherenc de Foglno? E el mmo emono que e d-r enre DoRe Re'M� o LS� dvone cromác del ono myorSegún l decrpcón de Foglno el crculo de qun prece de l guen-

e rm n l duplccón del F



um1mo mul 1·n ]u non y diióm1Ul

d kl 93

ºsol

Je - �Sib

Re! Sib Re \-1 e/

. 1 eMib

/

"L JSol# MiDo# Si

-Fa•

La solucón de Fogano a la nestabldad de la usta entonacón consstepor tanto en duplcar notas que dentro de la tradcón equvale a superpo-ner las dvsones de Ptoomeo y Ddmo y permten en a prctca mantenertodas las consonancas ustas Se trata en prncpo de un constructo pura-mente teórco aunque aparezcan en Itaa teclados con tal dupcacón denotas E recurso no se ha extenddo sn embargo a todo el círculo de qun-tas lo que eva a la exstenca de ese tercer semtono (27:25) y a la qunta re-ducda en

lSFa#

2 Dvsón del commaFoglano ha pasado a la hstora de los temperamentos con poca rtuna

algo así como el propulsor del temperamento de 1/2c en algunas quntas Snos detenemos en é es no sólo porque algunos teclados de la época tenenlas ndcadas notas dobles sno porque marca la senda para el tratamentoteórco estrcto de os temperamentos mesotóncos senda que segurn Zar-lno y Sanas Medante el recurso de notas dobles podría mantenerse esta-

ble la usta entonacón utlzando ntervaos como FaRe' /ReSo E ncon-venente prctco es que Re y Re no son la msma nota su drenca ses perceptbe dase a dcutad que supondría para un ntérprete sabercul de las notas dobles debe usarse en casos compleos S la solucón deFoglano va a ser cunda teórcamente tene certos nconvenentes en aprctca (nos olvdamos de algunos ntérpretes vrtuosos como Luzasch oSalnas)

El próxmo paso de Fogano va a ser la emnacón del comma sntóncoque separa las notas dobles de rma que un solo sondo haga la ncón deambos Entonces caro consonancas como FaRe y ReSol aumentarn odsmnurn en 1 /2c



Elhumnismo musi ns]us

ió diisin múp d l c 95

trae una aplcacón de la geometra de Eucldes Emntos , 9 13) paraalar una meda proporconal entre dos longtudes de cuerda de rma quepueden dvdrse en partes guaes razones superpartculares del tpo 9 8 4:3,

3:2 o 2 1 (véase la gura).

D

División geoméca l ono mao cuara quina ocava Lvre daps en Pedroruelo Cusus quattuo mathematcaum atum lbealum Aa

En teora muscal se aplca sobre todo a la dvsón mposble por méto-dos artmétcos de la IIM 54 o en este caso del comma sntónco En realdad s dvdmos la IIIM usta DoM en dos tonos guales el resultado es elmsmo que la adcón de 1/2c a tono menor o su sustraccón a uno maor.La recuperacón en el Renacmento de los textos de Eucldes srvó a la teora musca para afrontar problemas teórcos de este tpo Erasmus de Hrtzpor eemplo en un tratado no publcado ca 1506) aplcó el método a la dvsón del tono 98 (Palsca 1985 p 243) el menconado Grammateus(Henrc Screber 1 5 1 8) para allar el semtono entre Sol que puedaservr tanto de Sol# como de � Foglano recurre al msmo procedmentoeucldano para la dvsón del comma

commats duas pates aequales secto: quae patcpatos est causa: usta

pus queu umes: quum ulla supepatculas popoto secudum temos athmetcos duo aequala ecpat sectoem [ . hac commats sectoem: & pe coseques patcatoem: geometce demostae tetabmus», 2)



l maimo uial aeaju oaió diió

míipe d ofva 97

corta en la del lobo (que el paciente lector puede cilmente calcular)Siete IIIM son justas (386 cents) una aumentada en /2c (397 cents) cuatro que atraviesan la quinta del lobo de las que tres tienen adems en una o

dos quintas s menos (427 cents) una sólo media (Fa•Si� 416 cents)Ha seis Im puras (316 cents) tres con /2c ms (327 cents) tres queatraviesan la quinta del lobo una de ellas (FaSol•) de 275 cents otra (Si�-Do•) con /2c menos (305 cents) otra con menos (Mi�Fa• 3 1 6 cents) .En cuanto a los tonos los ha de tres tipos maores (204 cents) que atravie-san dos quintas justas reducidos o en (menores 182 cents) o en /2c(medios 193 cents). Los semitonos son de cuatro tipos Aquellos que atra-viesan dos commas en el sentido de las agujas del reloj sin atravesar la quintadel lobo sern menores cromticos («minimi» 70 cents); los que atraviesan1 comma pero en sentido inverso maores diatónicos («minores» en térmi-nos de Fogliano 1 1 2 cents) el «maior» (2725 34 cents) que en sentidotambién contrario atraviesa 2 commas (Fa•Sol) medios aquellos que atra-viesan 1 1/2 comma (23 cents).

En el siglo tanto la reducción de alguna quinta en (caso de Ra-mos) como en /2c (caso de Fogliano) volver a ser considerada aunque des-de presupuestos dierentes a los renacentistas

Gioefo Zino (1571590)Ramos inicia el tratamiento teórico de la justa entonación Fogliano es-tablece de rma rigurosa la base teórica para el tratamiento del temperamento de tonos medios en los instrumentos habituales. Pero ambos se reerenprincipalmente al género diatónico sin saber mu bien cómo tratar el arduotema de los semitonos El autor que teorizar sobre toda la octava cromtica llevar a su culminación el tatamiento teórico de la entonación naturaljusta o pura es Gioseo arlino da Chiogga sucesor de A. Willaert comomaestro de capilla organista en San Marcos de Venecia uno de los teóricosmusicales ms importantes de todos los siglos. Estuvo en el centro de todaslas polémicas de la época a todas aportó algo sistematizando todos los ele-mentos dispersos de la teoría musical.

En lo que a nosotros atañe su principal aportación estriba en el tratamiento sistemtico de los semitonos en la nueva prctica musical sólo posi-ble uniendo la experiencia con el conocimiento de las entes clsicas. Fue elprimero en considerar la clsica dísis naónia (separación entre notas al-teradas enarmónicas) dentro de la justa entonación. El tratamiento de la teo-

ría musical diere del de Ramos o Fogliano es ms racionalista. En lugar decomo éstos partir de la división del monocordio establece previamente derma numérica todas las razones de las consonancias e intervalos menorespropios de la justa entonación sólo después se encargar de aplicarlas a la



ro

hco

dvsón de monocordo Especuacón numérca erudcón humansa cs-ca aencón a a prcca musca son os res pares de a especuacón deZarno Su combnacón evó a a ssemazacón de a jusa enonacón

En soni l ras as dvsones de a músca (c 51 1 ) raa e número sus especes (c 12 1 3) consderando a snario como e recno generadorde as consonancas (c 116) Los c 21 esn dedcados a as razonessus dvsones operacones numércas En 11 ras ampas consderaconeshsórcas concepuaes sobre a músca angua (c 1 26) pasa a a dvsónde monocordo (c 27) «Insrumeno d vna soa chorda co quae aun-gendou gudo dea ragone per vr dea Proporcona harmoncanuesgamo e ragon dee Consonanze musca & d ogn or pare » Frene a as dencones emprcas de Fogano s e raa aqu de una concep-cón exremadamene raconasa en a que se apcan a monocordo as ra-zones prevamene deducdas de rma racona

Tras a dvsón de monocordo sguendo a radcón csca parca poemaca de os cnco eracordos ms prosmbanomnos (c 2838) pasa aa dvsón eracorda de Poomeo dencada con a jusa enonacón en osc. 39 0 «Che Daono snono d Toomeo sa queo che naurameneha a sua rma da Numer harmonc» «Dea dusone de MonochordoDaonco snono a secondo a naura de Numer sonor» respecva-

mene. Vsa a mposbdad de apcar a monocordo odos os neraos ne-cesaros de a jusa enonacón a soucón ser e «emperameno» como enos nsrumenos en uso (c 15) Zarno no obsane revndca os ner-vaos jusos; e emperameno que aera as razones nauraes de deermnadosneraos no deja de ser un ma necesaro para posbar a prcca musca

ne! motrato Monohordo i ritrouano e frme vere&naturai di tutte quee Cononanze he ono poiii da rituare: per queto non doiamo redere he nei moderni itrumenti [ Ji Tuoni & Ji emituoni iano nea oro vera & natura frma [quantunque iano ori dea oro vera& naura frma periohe ono temperati

iMui[

in ta maniera; he [

ono ridutti in ta temperamento on o areeri odiminuiri eondo i propoito di vna ea quantit [ di to e non ontentaZarno expone drenes pos de varacón de os nervaos «d vna cer-

a quan» «secondo proposo» es decr de emperamenos mesoón-cos Se decana por os de 1/c 2/7c de os que como buen humansacacua con exacud as desvacones correspondenes E 1/c era e rad-cona 2/7 parece ser de su propa nvencón

Deermnacón de os neraos menoresUna de as aporacones ndamenaes de Zarno a a eoría musca es a

menconada deermnacón de os semonos ago que haba quedado pen



El huano uical rnacetaju ntain y divin úliple

d ocva 101

VIII Su emnacón permtr a uncacón de as notas enarmóncas(Do#=Re� So#La� etc) de a msma rma que a emnacón de commasntónco permtó os tonos medos

La recuperacón de a Antgüedad srvó as para ndamentar estrctamente a prctca musca de momento medante a posbe pero nvabe resurreccón de género enarmónco Zarno dce haber hecho construr en Veneca en 1 54 8: « vno nstrumento aa smganza d queo cho hmostrato; quae r commodo & atto a serure ae moduaton & harmo-ne d cascuno dee nomnat tre gener » Se trata de un cavcémbaoconstrudo por Doménco de Pesar de rma que cada tono est dvddo endos semtonos menores y dess con e que se pueden nterpretar os tres géneros y competo en s msmo quando s voesse aggungere a numerodee mostrate chorde acuna atra chorda ] senza dubbo sarebbe cosavana & superua »

Ta nstrumento (véase a gura) presenta dos octavas Aaa con 19 tecaspor octava

d d d. d d d do o# b Re Re# Mb M M# a a# Solb Sol Sol# b La# Sib Si S# o

Entre cada nota y su ateracón hay un semtono menor (DoDo# LaLa#etc) y un semtono mayor entre una nota y a ateracón de a sguente (Do-Re� LaS� etc) Puesto en una espra de quntas tene a sguente estructura

Si#Mi# /o a Sol

La#

libR\

Re# Mib La Lb !Sol# M1 Lab -Solb o# Sia# E «crcuo» de quntas se ha proongado en os extremos de rma que

todo semtono mayor queda dvddo en semtono menor y dess ncudosMFa y SDo Por eempo



102

SM SM

Afnn

)

ento

to

Do Do Re� Re

Sm D. Sm

La anacón del nstrumento no est caamente denda, pero dada lanexstenca de notas dobles ndudablemente oece algún tpo de tempera-mento mesotónco, pobablemente el de /4c, en el que la dess es justa.Con ello, las razones de la justa entonacón, tan caa a Zarlno, quedan eneste teclado en un puro espaco vtual

Se trata de una «dvsón múltple» de la octava en temnologa de Bo-sanquet, tan habtual en el Renacmento prmer Baoco La prmea rerenca a ms de 12 notas po octava apaece en Itala Según Dupont(1935, p. 45), antes de 484 ha a al menos un órgano, el de San Martnen Lucca, con teclas dentes para Sol# La�, Re# M� Tambén amos Schlc menconan órganos paecdos en España lemana espectvamente. Salnas mencona vaas veces el ógano de Santa Maa Novella de Florenca con las habtuales teclas adconales La� Re# para el acompañamen-to a los cantantes cuando transportan el «pmer tono» (Ree) a Fa (Fa, Sol,

La� . ) o M ( . . S, Do#, Re#, M) Zalno es el pmeo en hacer eeenca aun cémbao con 19 notas por octava, aunque la dvsón de ésta en 19 partescon algún tpo de tempeamento debó de ser bastante utlzada a nales delsglo prncpos del (¿para la nterpretacón de los tres géneos clscos?) Otro nstrumento moso de estas caacterstcas es el «clavcembalounversale» menconado por Praetorus en 168, del que dce e construdopo Elsass estaba al servco del duque de Paga, peo no especca su ana-cón exacta. Según Peatorus, en este clavcémbalo podran nterpretarseobras de los géneros comtco enarmónco, como los madrgales de L.

Marenzo. En los sglos deberon prolera, sobre todo en Itala,este tpo de nstrumentos con notas enarmóncas aunque no sabemos muchode su temperamento

«item peeto» de Sin ( 15131590)Francsco Salnas, el célebre ogansta de Salamanca, estuvo ms de vente

años en Itala es, con Foglano, uno de los pocos humansts que conocanla lengua grega la teora muscal Queda el engma sobe la ampltud de

sus lecturas sendo cego. Es el prmeo en proponer el temperamento de1/3c de determna unvocamente el temperamento gual, devados ambosde una dvsón peva de la octava en 24 partes en la justa entonacón Paallegar a este patcular «género enarmónco» (« . . quo nhl n e Hamonca



El uo usl st. ] ti d lpl d l O'v 103

percts, atqe absolts potest, nec debet excogtar») toma prestados loshallazgos de Foglano Zarno Del prmero la dplcacón de notas (como«D ners» «D spers» en s termnología) para el mantenmento de lajsta entonacón, del segndo la prolongacón del crclo de qntas para ladvsón de los semtonos con la exstenca de díess (véase la gra)

Vjta: V 1 e ----

Se trata de la espral de qntas Sol� + S# con las correspondentes notasdobles cada catro ntas para mantener la entonacón jsta, 19 notas más5 De ellas, 1 5 pertenecen al género cromátco ( 12+3) 9 al enarmónco Laqnta del lobo no es n problema en calqer tonaldad habtal al prolongar en ss extremos la espral de qntas

2c a•Mi -.

Si#- Fa#Do-.

ol•

Mii .Fa•+

Sib

Do Sol.Re

2c

SolLabMi¡Sib3c SolbLas dstntas cadenas de cnco qntas están separadas por s de rma

qe se vean en vertcal las IIIM jstas en dagonal (descendente, de zqerda a derecha) las Im

Para Barbor (1972 pp 108109) el «género enarmónco» de Salnas esno de los prmeros mejores sstemas de dvsón múltple de la octava No

se trata evdentemente de reprodcr el género enarmónco clásco sno deextender na dvsón mcrotonal estrcta a toda la octava qe permta, dentro de la jsta entonacón, la modlacón a todas las tonaldades maores menores qe aparecen en la escala cromátca tradconal, desde M� a Sol#



1 fnan mpao

hóo

Aparecen as nas cm Sl�, necesara cm Im de M�, S#, IIIM deSl#, prduc de la adcón en ls exrems del crcul de res cuarqunas respecvamene (cn sus respecvas duplcacnes)

Salnas (III, 8 p 127) hace reerenca a ds órgans que ena a su dspscón en Salamanca, un «mperc», cm ls usuales, el r «perec»,nexsene en la acualdad, que mandó cnsrur en Rma segura esa dvsón « sed mnum perecssmum es, qud eg Rmae cendum curau,& hc habe Salmancae » Se raa, quz, del que era Fra Lus e nsprarasu «Oda a Salnas», perméndle ascender a la «músca mundana», hecha decnsnancas usas dspscón del eclad debera ser una de la sguenes

� #� # � � A# H# � # # B

# B

quz

B# #

B # # # # # # #

1

qT

e

Aunque Salnas mencna alguna cmpscón, cm una msa de hanBerg (Inns Mnn) cn el semn menr Sl#La dvdd pr un La�, haga reerenca a ls res géners, n parece su nencón, cm era el casde rs nsrumens alans semeanes, que su órgan se ulzase para lanerpreacón de pezas enarmóncas p a las de De Rre Gesuald Tam-pc se parece (s n es en el hech de que se raa de una dvsón múlplede la cava) al ams «arcórgan» de Vcenn, cua dvsón mcrnal

Salnas explcamene rechaza (véase el capul sguene)A parr de la dvsón de la cava cn nas dbles separadas pr un

cmma snónc de nas enarmóncas separads pr dess, Salnas «de-ducr» ls emperamens mesóncs medane la elmnacón de ls cm



Género enarmónico

Salinas De Mus Lb Sepem 8



1 Anón

t ns isros

mas , una vez hecho esto, llega al tempeamento gual tas la elmnacónde la dess.

El lbo 111 del D Mica donde se encuenta el meollo de la teoa muscal

de Salnas, es de una gan compledad. Po eso no consguó dsuta de mu-cha compensón en su popo pas (consdéense la amosa bula de V Espnelen E scuro Marcos Obrgón mucho ms conocdo admado e, snembago posteomente en otos pases po Mesenne en Fanca, Ch Hu-gens en Holanda o Helmholtz en Alemana El menconado sstema de Salnashaba de se amplado o modcado po muchos teócos posteoes

tro item de diviin mútipe de otvG B Doni (635, c 3) , admado una espece de dscpulo de Sal-

nas, popone un ógano con tes teclados (Abacus Thamoncus) con 20notas po octava en cada uno de ellos, anados a una tecea mao, con al-gunas notas epetdas El obetvo no es oto en este caso que ecea los tesgéneos clscos Cada tado est en un modo, doo, go ldo:

ol ( Mi i Do ol R R La Mi i'(# (Do# (ol# (R# (# (M (#

El sstema caece de smeta en algunos puntos (no ha Re po eemplo) Las notas ente paéntess quedan ea del sstema geneal Su úncoobetvo es dvd los semtonos datóncos LaS, MFa SDo en cua-tos de tono» (medante una pogesón atmétca), M 6 5 Fa M (32)-M# (3)Fa (30)

Mrin Merenne (636), tas expone con todo detalle el sstema de Sal-nas añade 7 notas al de aquél, LaM, Fa, Sol, La, M S, hasta3 (véase la gua) El obetvo es evdente con dos cadenas de quntas sepa-adas po 1 pueden tenese todas las quntas teceas maoes puas

V ustas Fa Do ol R M 1 c

V ustas F Do ol R' L Mi Son ustas las quntas ReLa, MS ReLa, MS , las M Do-

M DoM, la m ReFa ReFa, etc. gual ocue con la seccón com-tca El nconvenente es, obvamente, la nmaneabldad de un teclado con

tales caactestcas Esta es la dea bsca de aquellos sstemas de dvsónmúltple de la octava que petenden mantene la entonacón usta establecesees de quntas ustas sepaadas ente s po l



lhuno ui nnJu

nonny

dó mlp d ova 10

de noas M Mersenne

Harmni UnirPars

Pero Mersenne quere que as adcones sean las menos posbles para noaumentar desmesuradamente e número de notas No estn repetdos Do y elRe y adems deberían aparecer S a Do y repetrse Do Sol y Reseparadas por un comma para mantener la smetría. Barbour (1972 p. 109)no consdera estas adcones como una propuesta ntegente.

A Kiche (1650) trae un tecado debdo a Galeazzo Sabatn que no sebasa en la usta entonacón. Sabatn crea una espral de quntas Re Lasn notas dobles separadas por 1 comma (véase Barbour 1972 p. 1 10)

A dferenca de Mersenne Quiinu Benbug (1739) reduce elnúmero de notas de su nstrumento con a ntencón de hacerlo út en aprctca. Es el sstema de Sanas pero emnando los extremos de la espralde rma que quedan 1 8 notas entre Re + Re con las notas dobes S R ya. No pretende como Do n vover a los géneros cscos.

En e sglo resurge el nterés por la dvsón mútpe de a octava enalgunos teórcos descontentos con as terceras mayores demasado grandesde temperamento gua E escocés Heny Liton (1812 pp. 37 330 enBarbour p. 1 12) construyó un órgano con 1 teclas por octava anadas en lausta entonacón con l de separacón entre ReLa a as que pueden añadrse sus equvaentes enarmóncas medante una sere de pedaes de rma quese crea a espral S + Do con toda as quntas ustas excepto aDo

MS ReLa DoSol y MS con s menos para mantener la ento-nacón usta. Medant otra sere de pedales estas notas pueden ascender comma de rma que se crea una dobe espra de 8 notas 2 notas separa-das de las otras 2 por 1 cs. Otros pedales permten que 1 1 de las notas or



1 {a y eamntos

hóos

gnales puedan a su vez descender Se tene as un compleo resultado de59 notas por octava posbles en un teclado de 1 acconado por pedaes

Pero el ms nteresante de todos estos expermentos es el de Hermnn von Hemhotz (1 863 Ells pp 3 1 6 ss ) quen sguendo el eemplode Mersenne construe tres seres de 7 quntas ustas en paralelo separadaspor s para tener ustas las IIIM Lo nteresante es que el «crculo» se cerrara en M#Do Do#La al ser cas enarmóncas S#Do Sol#La

2c

+

ol# Re# La#Mi i Fa# Do ol ReLab Mib ib

Mi# i# FDo# o# Re#La Mi ia Do ol

Dox o)a# Mi#Fa# Do#

Re LaLas las de ambos extremos se consderan enarmóncas (Sol#=LaRe#=M etc) a estar separadas tan sólo por 1 schsma ( cents) de rmaque MLa SM etc hacen el ntervalo de IIIM Las quntas M#Do Do#La son ustas menos sch

El resultado nal es de 4 notas por octava dspuestas en dos crculos dequntas concéntrcos con tres tpos de quntas ustas entre las quntas decada sere reducdas en 1 s entre notas repetdas de cada sere reducdas

en sch entre quntas de las seres extremas Paraelamente ha tres tpos deterceras ptagórcas (entre quntas con el msmo exponente) ustas (entre seres de quntas separadas por s) sch ms cortas que las ptagórcas cuando se usan notas enarmóncas con el msmo exponente (p e M La)

El sstema no dea de ser una enorme amplacón de las deas sobre la dvsón del monocordo de Ramos de Parea

La gran ventaa de esta dsposcón de las notas en el sstema de Helmholtz estrba en adems de mantener la usta entonacón ser un sstema cerrado cclco Aun a costa de desvar lgeramente algunas consonancascomo en el hecho de que no haa una IIM usta entre notas donde cabraesperarla como Sol#S# o una Im usta entre MSol como era el caso delsstema de Sanas Se trata en resumen de una mezcla de la anacón ptagórca en las seres de quntas ustas de usta entonacón medante la derenca de s entre tales seres chimtica o cuai chimtica por el uso de laenarmona en quntas terceras respectvamente Helmholtz señalar que elschsma es un ntervalo aceptable Su error 1 945 cents es cas gua a la desvacón de la qunta en el temperamento gual 1955 cents

Ha otros sstemas menos nteresantes de dvsón múltple con usta entonacón como el de Shoh n (1890) que se compone de 6 notastransportables a las 1 tonaldades (véase Barbour p 1 1 3)



5 Renacmento. mperamento meotónco e gual

Iodió

Llevar a la prcca la sa enonacón spone adopar compleos ssemas de

dvsón múlple de la ocava como los señalados, debdo a la ma ncom-pabldad enre consonancas. S en la músca vocal es posble la adapacóna las dsnas necesdades de anacón, en los nsrmenos de sondos os,con las habuales 2 noas por ocava, es necesaro el emperameno. Temperar es «arregla las consonancas en la escala bscando un equlbro enreellas hacer praccables los dsnos nervalos. Los érmnos lanos participatio diminuo hacen reerenca a al «adecada desanacón» El prmero,al reparo de la ncompabldad enre dsnas consonancas el segndo a

la dsmnucón de las qunas necesara para adapar las erceras.El comma snónco corresponde a la ncompabldad enre qnas erceras. El comma pagórco o s equvalene en la usa enonacón, la dess, a las qnas ( erceras) con la ocava La elmnacón del prmero da lgar a los dsnos emperamenos de onos medos o mesoóncos (dsnos,porque, como dra Salnas, s la perccón es una, la mpereccón pedeadopar dversas rmas). La elmnacón de la segnda hace que el crclo deqnas se cerre desaparecendo la quna del lobo, pueda modularse a odaslas onaldades concdan en la msma noa sosendos bemoles En ese

caso, enemos los dsnos ssemas rregulares qe reparen la dess o elcomma pagórco de rma desgual enre las dsnas qnas el emperameno gal, con odas las qunas guales, el ms regular de odos Todosellos haban aparecdo a a nales del Renacmeno.



110 fnó mpo

ó

De los emperamenos mesoóncos resularn onos guales semonosdesguales del emperameno gual, onos semonos guales. Los prme-ros se aplcaban a los nsrumenos de eclado, el segundo a los de rases,

que, debdo a su consucón, esaban cas oblgados a él. Sern los que ex-pongamos en ese capíulo. Los rregulares barrocos del sglo dada sumporanca compledad, merecen un capíulo apare.

En la eleccón de un emperameno ha que ener en cuena ano la ds-na valoracón que las dferenes consonancas (qunas erceras , en algu-nos casos, sépmas) han endo a lo largo de los sglos como el hecho de queno odas las consonancas muesran la msma sensbldad a la varacón. S elgran descubrmeno armónco renacensa eron las erceras, usas o cas

usas, a expensas de las qunas, poserormene se produo una revaorza-cón de la quna ano por ser una consonanca ms perfeca que la erceracomo por los nuevos usos armóncos basados en la cadenca domnaneón-ca en la prcca armónca. A prncpos del sglo . Sauveur esablecía ladesvacón deal de la quna en 4 cens, R Smh (1759) en 6, declarandoque la eleccón de su desvacón es el prmer ms mporane paso a la horade esablecer un emperameno, algo en lo que esar de acuerdo un sglodespués Bosanque (1 876). Drobsch, en el sglo acepa 5 cens de des-vacón en el sglo

Kornerup haa 6 menras Mandelbaum pone como

quna deal la pura de 70 1 95 cens.En el emperameno gual las qunas son cas usas pero las erceras maores son mu grandes (ms de 1/2) Muchos pardaros de ese empera-meno uscan su eleccón vendo en ello ncluso una venaa. Así, Barbourduda del méro muscal de la IIIM usa (54) demasado cora e nsípda ensu opnón a causa precsamene de su perccón. Muesra su prerenca porlas erceras maores ms grandes mu agudas del emperameno gua (encuso de la anacón pagórca). Sn embargo es sabdo que hsórcameneel emperameno gual aparecó mu prono, a naes del sglo

pero su

acepacón en los nsrumenos de ea e progresva (con noables excep-cones, como las de Sevn en el sglo o Rameau en el debdo enunos casos a lo agudo de sus erceras maores luego a la carenca de dferen-ca emoconaes enre las dversas onaldades. Incluso en el sglo plena-mene acepado, ano Bosanque como Helmholz muesran sus preferencaspor las erceras puras. Para ese úlmo ( 1 954 p. 3 1 5) el nconvenene delemperameno gual (our prsnt tmprd intonation) radca precsamene enque elmna la relacón naural enre ónca ercera, que debera ser 54 Al-

gunos eórcos poserores onquére, Brandsma, Fros) preferrn ercerasmaores usas en la armona ms grandes agudas en la melodía.La ercera menor ha recbdo menos aencón que la ercera maor deb-

do en pare a que no aparece en la sere de armóncos , anerormene a pre



nacien Tepent otó e K

111

ferencas armóncas Se han hecho nenos no obsane de crear la mejor re-lacón posble enre IIIM m La m es pura en el mesoónco de /3c

Una vez elegdas las consonancas que deseamos sean lo ms puras posble

surge el dlema de sus respecvas desvacones Consdérese por ejemplodos ssemas de emperameno dos consonancas a ener en cuena En unode ellos ambas consonancas se desvan 3 cens en el oro una lo hace en1 cen la ora en 5 cens ¿Cul de los dos emperamenos es preferble? Su-mando las desvacones respecvas ambos oecen el msmo resulado global6 cens sn embargo en un emperameno la desvacón es gual en ambasmenras que en el oro una se desva poco pero la ora mucho B Wool-house (1835) dseñó un méodo para valorar la «bondad» de los dversos em-peramenos que odava ene cera vgenca Usando undades logarmcas(savars o cens) se raa de sumar los cuadrados de las respecvas desvaconesen cada emperameno prmando de esa rma los emperamenos con des-vacones smlares ene a aquellos en los que uno o ms neralos se desvanmucho. En el caso aneror un emperameno endra una desvacón equvalene a 3 + 3 1 8 undades menras que en el oro seran + 5 26El segundo es peor debdo al aumeno consderable en el resulado nal delcuadrado de la maor de las desvacones

Ha odava s cores en juego a la hora de elegr un emperameno

Los propos concepos de consonanca dsonanca han varado coo es sa-bdo a lo largo de los sglos Zarlno Salnas manenan una nea separa-cón enre ambas separacón que guaba un dferene raameno melódco armónco de ésas Es de sobra sabdo que al demarcacón ha desaparecdoen el sglo X; las llamadas dsonancas no son sno consonancas menos sm-ples Inervalos como la sépma prmero luego novenas oncenas recenasec han do erosonando el ssema armónco rdco radconal

Oro cor a ener en cuena a la hora de esablecer un emperameno esel número de noas por ocava en el que se consdere acepable prcco

Un ssema de 50 noas por ocava puede oecer buenos resulados para de-ermnados objevos pero es dcl llevarlo a la prcca ¿ué po de par-uras s no son ad hoc esn escras para al candad de noas? ¿A qué pode nsrumenos pueden aplcarse? ¿Quén puede nerprearlas? En generalla maora de la músca es escra para 12 noas por ocava los nsrumen-os dseñados para al n aunque pueda admrse a veces la adcón de unaspocas noas enarmóncas auxlares para deermnados nes Aunque un nú-mero mucho maor de noas no deje de consur una excepcón el desarro-llo acual de la elecrónca la compuacón pueden esablecer nuevos reosexpermenales cas sempre ndvduales Fnalmene quedara por deerm-nar la sempre colcva relacón enre nauraleza are los nervalos rmas muscales de a músca onal ndamenados quzs en la sere de armó



112 (d tmen s

hs s

ncos ente a los nuevos panteamentos hstocstas que no os tenen encuenta No es nuestra ntencón ducda este compejo entramado concep-tua que ha determnado hstórcamente la eeccón de detemnados tempe-

ramentos sno smplemente exponer aquellos que, adems del gual, han sdolos ms relevantes en la músca occdental , a poder se, dentro del contextoen que han aparecdo

No sabemos cundo comenzó a usarse el temperamento en la prctcaYa en el sgo X se usaían agunos tpos dentes, no ces de casca alse meramente prctcos, al hacese «a oído», ateando aquí o al lgera-mente unos ntervalos para que otos esen ectvos Hemos vsto cómoen e pmtvo contexto de la anacón ptagóca autoes como Ramos,Agrícoa o Schc altean determnadas consonancas para acercarse a nte-

valos justos producendo sstemas egulares con ms de dos quntas falsasPero el temperamento ms mpotante de Renacmento es el mesotónco,anteo ncuso a la ducdacón de la justa entonacón a manos de os hu-manstas

mpmo de oo mdo o moóo

En el últmo capítulo de su Mia prtia (1482) Ramos dce que el tempe-ramento era usual en os nstumentos de tecado de su época Las obras deC Pauman, Oceghem, Busnos o Du paecen atestguarlo po el usocontnuo de tíadas vertcales en sus composcones Hugo Remann (1898,p 327) descubó la prmea mencón a tempeamento en Garo (1496)Aunque ptagóco otodoxo en a teoría, Gauo declaa que en la pctcaos anadores de órganos educían las quntas «un poco» No dce cunto esese poco n s a educcón aectaba a todas las quntas El objetvo sería, n-dudablemente, educ e agudo dtono ptagórco Cacula ese ndendo

«poco», como hcera Zalno, es mu senco, como veemos Dependendode cunto sea, ha dversos tpos de tempeamento mesotóncoE prncpo general que rge os tempeamentos mesotóncos es el s

guente tomando teceas (maoes) justas es necesao reducr el commasntónco de denca ente as cuatro quntas de las que se compone Lhabtual es que todas las quntas tengan a msma educcón Los tonos esul-tantes son guales al estar compuestos de dos quntas guaes Como ha ds-tntas opcones, la denomnacón de cada temperamento se hace en ncónde agmento de comma sntónco en que cada qunta es educda Conoc-da ta dsmnucón es senclo calcular la vaacón del resto de os ntevaosla cuata aumenta en la msma popocón a que con a qunta rma a oc-tava el tono maor, compuesto de dos quntas menos una octava dsmnue



114

-

naónramnos

hisicos

(dess) ete las otas eamóicas Como e la justa etoació, la V dellobo es mayo que la justa e díess

º So/

"

/ ' : ¡

/ \bSi�/

Re -14 M�

356 cents 14 Sol

#

;M

Do# S

Fa#

1/4c. 55 cents

Vm -1/4c. V Vm + dessIIIM jsta IIIM + dessIm -1/4c IIIml dess

Vaacó de los telos del mesotó de /4c especto a la aacó justa

Jsta entonacón Temperamento de /4c

Intervao Razón Cents Desvacón Cents Intervo temperadoSexa mayor 5:3 884 1/4 55 8895Sexta menor 85 814 o o 8 1 4Qnta 32 2 14 -5 5 6965Carta 4:3 498 1/4 55 535Tercera mayor 54 386 o o 386Tercera menor 65 316 - 1/4 -5 5 315Tono mayor 98 24 24 - 1 1 1 93

Tono menor 19 182 24 + 1 1 1 93 Semtono mayor 16 1 5 1 12 1/4 55 1 1 5Semtono menor 2524 1 4 55 55Dess 128 125 41 o o 4 1

La díesis pemaece ialteada Aquellos itevalos que e su macóataviesa la V del lobo sumaá o estaá el valo de dcha díesis E tém-os de comma sitóco, la díess equvale a 2/ c y la es ahoa +2 / 4 5/3 2/3c

E este tempeameto hay V mesotóicas ( /4c) de 696,58 cets (5,38) y de 3,62

cets (+36 cets, algo más que 3/4 c)



Riínto. Tepeauts sotni i

115

8 M puras de 386,32 cets y 4 M lsas o cuartas dsmudasde 42,36 cets.

9 m ( /4c) de 3 10,26 cets y 3 m sas o segudas aumetadas

de 269,22 cets. El Too medo es de 1 93,20 cets (etre el TM de 203,90 cets y el

Tm de 1 82,40 cets). El Sd. es de 1 1 cets (1 1 1 ,5 e la aacó justa) y el S de 6,20

(92,1 5 e la justa).

Usado los acordes de tóca domate y subdomate hay 6 toaldades mayores que puede usarse S Fa o Sol Re y La y 3 toaldades

meores Sol Re La. Las tríadas so muy cosoates.Para evar a a práctca este temperameto basta determar as tres Mjustas oMSol# y Lao reducedo de rma gual las qutas que lascompoe. ado prmero justos oM y MSo# y luego haca el graveoLa bastará reaar el La como Sol# El círculo se terrumpe e Sol#M. Hay otras opcoes como la sguete comezado e La amos laM LaFa y ua vez temperadas as qutas termedas se aa puras lasterceras mayores correspodetes a taes qutas e ambos setdos ReSSolM e u caso y oM SolS ReFa# Lao# y M So# e e otro.

ada su mportaca hstórca oecemos in tnso la supuestameteprmera descrpcó del temperameto mesotóco debda a Aro (1523),ua descrpcó emetemete práctca que os ustra el procedmetoque debía segur los aadores de la época. Se ejecuta e tres pasos: a) Prmero determamos o co quaa toatoe che a te pacerá y tras laoctava superor aamos la M justa M E la m uuole essere soora &gusta; uego a quta Sol algo corta u poco scarsa y de a msma rma Re y La aada de gua rma co Re y co M. La msma reacó se

establece etre oReM y sus qutas cortas SolLaS. b) E segudo lugar aamos la quta doFa u poco más grade que la justa alle opostodell altre . . azaa tato che pass alquato de perfetto de a msma rmaS a partr de Fa y M a partr de S. ) E tercer lugar aamos o# apartr de La y M (M y m) y Fa# como M de Re y m de La. Nomecoa a aacó del Sol# que supoemos sgue el msmo procedmeto etre M y S

De l pticiptione et modo dcode !instmento C XLI/ Adnqe etiiche in te pti fe / mo il nosto codo & pticiptione che olendo t che nonsi code &/ pticipe il to instmento bisogn che pim t considei chod oe/ positione chimt C f t [Do con ql inontione che te piceá. & qndo fi/ deibeto pigli lot sop t [do], & che sempe



116 Af

tepreto

·o

sia bene nita di/ poi la tea maggiore di sopra qale é E la mi [Mi] ole esseresonora & gista/ cioe nita al so possibile & ftto qesto piglia la qinta inmezzo cioe sol/ re t[Sol] & á che sia alqanto n poco scarsa cos segiterai al

altra qinta sopra/ qale é d la sol re [Re] di simile acordo & natra medesimaqale é stato sol re t detto di poi acorda D sol re ottava a d la sol re [re] & segitando pligia la/ sa qinta sopra di D sol re frmaa ne! logo di a la mi re[La] la qa! bisogna/ mancare tanto da E la mi qanto da D sol re cioe che satanto eqale da na/ qanto da! altra le qali son ttte qinte che non si tirano alsegno de a perettione/ mancando da! canto di sopra. Si che le qinte di sopra ladetto C t D sol/ re & E a mi qali sono sol re t a a mi re b f# mi [Si]sempre discadono & mancono de la sa perettione Per il secondo ordine & modoé che sempre a te bi/ sogna sopra la chorda di c sol t [c] qale é nita & gista

accordare F f t [Fa]/ qinta di sotto la qa! bisogna essere al oposito de le altredette di sopra cioe/ che sa partcipaa & alzaa tanto che passi alqanto de pereto & di qi na/ sce la participatione & acordo gisto & bono per la cal participatione re/ stano spntate oero diminte le terze & seste. Et cos acorderai il semitono/ di b f# mi [Si] sotto di F t & qello di E la mi [Mi] sotto b #mi il qale é qinta/ con qe! medesimo ordine & modo che acordsti F t conc sol f t Il ter/zo & ltimo modo aertirai di acordare gli semitoni maggioritra le se/ tee come é il semitono di C t [Do#] toccando A re lo acordareiinsieme con/ E la mi qinta anto che resti in mezzo terza maggiore con A re &minore/ con E la mi & cos da D sol re ad a la mi re la terza in mezzo & il semi

tono di F t [Fa#] cioe il simile che la passata & cos segendo in fno alfne del to/ instrmento ciascna ottaa acorderai de la qa! consideratione nenasce la/ era participatione de le voci. Finis Aron 1 523 II, 4 1 ) .

El prmero en tratar este temperamento de rma matemátca rgurosa lohemos vsto e Foglano quen jó las bases teórcas pero lo deó ncompleto Zarlno lo completa en 1 5 1 al referrse a n novo Temperamento &[ . . . una nova Partcpatone. Salnas da a entender que ya lo había elabora-do y lo usaba en 1530.

Tmperamento de c Salina ) Trcer menore juta

Menos mportantes que el de 1 /4c son los de 1 /3c y 2/c el prmero debdoa Salnas ( 1 5 14 1 ) y el segundo a Zarlno (1 55 8 1 4345)

S para tener terceras menores ustas (su equvalente es la VM) hay quedsponer de tres quntas reducendo una de éstas 1 3 de comma ( 1 6

cens) las m serán puras. ora la V es 1 /3c y la V + 1 /3c al ser la musta la desvacón de la M es la msma que la de la 1 /3c el tono mayor dsmnuye en 2/3c y el tono menor aumenta + 1/3c el semtono mayoraumenta 2/3c y el menor dsmnuye en 1/3c gualándose a la dess que



Ramien. Teat msotóc al 117

aumena 1 comma snónco enero El valor de la díess es ahora 4c cp,(4 X 1 1 1 1) 1 2/ 1 1 32/ 1 1 y la es de 32/1 1 1 3 85/33 = 52 21/2cs

Hay 1 1 V de 694,9 cens (0 1 ,95 , 16), menras la V del lobo aumena en 55,36 cens (+ 2 23 c) llegando a 5,3 1 cens ( 1 1 X 694,9)Hay 8 M de 39, 1 6 cens y 4 cuaras dsmnudas de 441 ,68 cens(+55,36) 9 m puras de 3 1 5,63 cens y 3 segundas aumenadas de 253, 1 1cens (+62,52)

Las ríadas son peores que en el mesoónco de 1/4c, de ahí su menoruso En el eclado habual de 12 noas por ocava no es un emperamenomuy acepable pueso que nuesros oídos esán habuados al emperameno

gua con las erceras mayores muy grandes y las menores muy coras, y enése las prmeras son 2 1 cens más coras y las segundas, como las jusas, 1 6cens más grandes que en aquél Ese emperameno puede ser neresane enodo caso por nverr el amaño de ales erceras

Para la anacón del monocordo, se oman erceras menores (VM) jusas, oM�, Lao, Fa#La (M�oLaFa# ) y se anan las qunas nermedas de rma gual

Una peculardad mporane de ese emperameno es el valor de la díess(62,5 cens) A veces se comee un error consderando ese nervalo como

jo, 128125 (41,0586 cens) Eso es así en la jusa enonacón y en mesoónco de /4c La díess, nervalo que separa sosendos y bemoles, es dferene en cada emperameno mesoónco porque varía en cada uno el amaño de las qunas En el emperameno de /3c cas guala al semono menorcromáco (63,5 cens) Ese hecho es de gran rascendenca pues de algunarma hemos llegado a esa «undad mínma» que srve de medda comúnpara el reso de los nervalos El semono menor equvale a 1 díess ( 63cens), el semono mayor, suma de ambos vale 2 deses (126 cens), los o

nos medos 3 deses (189 cens), al esar compuesos de SM y Sm, la M,compuesa de dos onos, 6 deses (38 cens), ec Eso hace que en una escala con 19 noas por ocava como la que maneja Salnas, y en la que aparece ladíess (no en la de 12), pueda esablecerse un emperameno cíclco, con elcírculo de 19 qunas cerrado, sn quna del lobo, exraordnaramene apocomo esquema eórco El círculo se cerra enre S# Sol� Fax, la quna sguene a S#) Es un emperameno gual de 19 noas por ocava, con cadaono (gual) dvddo en res pares, res deses guales (oo#Re�Re)

Llevar a la prácca ese emperameno en 19 noas por ocava es muy

sencllo, basa segur seres de erceras menores hasa los exremos de la espral de qunas Ch Huygens en el sglo XII omará la dea de Salnas y laaplcará al mesoónco de 1/4c en el que hay que llegar a 31 noas por ocavapara que se dé una dvsón en pares cas guales (5 el ono y 3 el semono



118 Aaó eeat

tór

datóco) e el de /5 hace falta 43 partes 50 e el 2/c etc (Véase e ca-ptulo )

Tmpermento e c rno ) Desvición il e s tercers

El temperameto de 2/c (/35c equvalete a 64 cets) es termedoetre los de /3c y /4c Como ua M se compoe de cuatro qutas yua m de tres reducedo 2 commas cada qutas llegamos a u compromso etre ambas terceras o etre los dos temperametos aterores e osque ua de elas era justa As las V descede 2/c (6 4 cets) y a V au

meta e la msma catdad; tercera mayores y meores tee la msmadesvacó (ésta es su prcpal vrtud) l (3 cets); e too mayor dsmuye 4/c y el meor aumeta 3/c; e semtoo mayor aumeta 3/c y elmeor permaece justo; la dess aumeta 3/c respecto a la justa (95 cets)

Hay V de 695 8 cets (6 4) metras la Vl aumeta 44 4 cets(+2 quedado e 4609 cets { x6958 ) Hay 8 M de 38324cets (308) 4 M lsas o cuartas dsmudas de 43352 cets (+42)9 m de 325 cets {306) y 3 m falsas o segudas aumetadas de26229 cets (55 34)

La aacó del moocordo para 9 otas que trae Zarlo es compejaE 2 otas por octava podra efectuarse de la sguete rma Puesto que setrata de estabecer los lmtes de algú tervalo puro e este caso podra seroo# compuesto de qutas Para jar dchos extremos co qutas yterceras mayores úcamete podemos tomar dos M justas oMSo# yrestarle ua V justa (o#) ado las qutas termedas todas guaesqueda cortas e 2/c (5/4) (3/2) (3/2) (8 /80) /(2)} Restará aar el grupo de qutas de u extremo o + M� y o#So# e el otro

por semejaza co las aterores ya reducdasAuque a aes del sgo aparece otros tpos de temperameto és

tos so los tres reacetstas cáscos Salas (588 32) los trató demaera sstemátca como dferetes rmas de elmar e comma stócode su strumeto perfecto reducdo ahora de 24 a 9 otas. So temperametos dseñados para a pureza de las terceras justas o más cortas que lasjustas Posteroremete y ate a ueva valoracó de las qutas aparecetemperametos mesotócos co meos reduccó de las qutas {/5c

/6c) co lo que la M se rá hacedo progresvamete mayor como ocu-rre e el temperameto gual (/ c o /2cp) o e la aacó ptagórcade qutas puras



Rncimino. T

mntos

msotóío

l 119

Comparacó de os tres temperametos e cets

Intelos jstos V 2, IIIM 386,3; Im 315,6

/4c 2/c /3cV 696,5 5,5 695,8 -6,2 694,8 -7,2

VL 3 +35 46 44 5,3 +55,3

8IIIM 386,3 383,3 3 39,3

4IIIML 42 41 433,5 4,2 441 ,7 55,49Im 31,3 5,3 312,6 3 3 1 5 3ImL 269,2 46,4 262,3 53,3 253, 62,5

Puede aprecarse fácmete que corme se aeja as qutas a su vaorjusto as M pasa e e msmo setdo que as qutas desde su vaor jus-to a cets de reduccó A a versa as m va de 53 cets cortas ajustas E e 2/c a desvacó de ambas terceras es a msma 3 cets

El mesobio

U probema añaddo a que tuvero que eetarse os teórcos humas

tas es a aparcó de úmeros rracoaes e os cácuos. Haar 12 1413 o 1 de comma equvae a haar a raíz cuadrada cuarta cúbca o sptma de 8180 o que da catdades rracoaes auque es posbe determaras agebracamete E e temperameto de 1/4c por ejempo e toomedo tee a razó

5/4, a ovea (octava más too) su mtad aquta mesotóca etc Todo esto carece de mportaca para u aador práctco pero os teórcos más estrctos buscará soucoes de dversaídoe a estos probemas como e e caso de a mecoada dvsó geomtrca de comma Como hemos vsto podemos dvdr ua razó superpart

cuar e dos partes guaes por procedmetos eucídeos pero o e tres omás No podemos co u procedmeto eucdeo como e descrto dvdrpor

j

o a octava e 12 partes (semtoos) guaes (cada ua de eas vadría 1'2). N a dvsó de a octava e tres partes tres M temperadas)

Zaro y Saas recurrrá a u procedmeto mecáco arqumedaopara haar más de ua meda proporcoa etre os térmos de ua razósuperpartcuar. Se trata de mesoabo u artugo mecáco cosstete e

tres paraeogramos rectaguares móves a o argo de estrías



120 Ann

e

eos

ói·os

A E G

B D F H B D F H

Para hallar dos medas proporcoales etre AB y H se deslza el segu-do paralelogramo bajo el prmero y el tercero bajo el segudo de rma quepueda trazarse ua líea recta A pasado por los putos CE lugar dodedeja de ser sbles las dagoales de los paralelogramos segudo

ytercero

C y EF so las medas proporcoales buscadas etre AB y HE el dagrama se muestra el uso del mesolabo para hallar dos medas, lo

cual es sucete para temperametos como el 2/c, /3c o el gual. Zarlohabía dcado que puede usarse para cualquer úmero de medas aume-tado el úmero de paralelogramos. L Ross dce usarlo e la dsó del archcémbalo de Vceto para 30 medas proporcoales, Mersee (636,p 224), por el cotraro, matee que sólo es aplcable a dos medas, talcomo lo expoe Vtrubo Sea lo que ere, el mesolabo podría ser útl para

e cálculo de los teralos e los temperametos mesotócos expuestos y elgual. Parece dudosa su utldad para la dsó de u teralo e muchaspartes proporcoales

l empamo al

223 Diision de la Ocaa en 12 paes igales. [ . De odas las diisiones, esa esla mas sepada del igo Hamonico poqe qia olmene la Desis, qe es la

dieencia ene los 2. Semionos; pes en esa dision no ay dieencia ene Semiono Mayo, y meno, y ningna de las consonancias es en s deido lga [ ... 225 Esa diision, anqe es la mas comn, po se la de la Giaa, ceo qe esla menos mediada de los Msicos [ .. Y anqe es vedad qe es con la impeeccion qe anes he pondeado, no es la dieencia sensible [ 226 [ .. . Repa bienFancisco Salinas qe mchos inealos hamonicos, qe son disonanes en el Ogano, no lo son en e empe de a Giaa [ ... 22. No dexa de casa mcha admiacion, el qe siendo an comn en la Gtaa, no se aya peso s emple en elOgano . . Desde enonces no hbiea yo pensado mas en la maeia, sino se

hiea oecido a ocasion de enoa el Ogano de la Capilla Rea de M. y elpime dia dixe al Aice, qe aia de haze vn Ogano peqeño con esa disposicion paa M En ese iempo vino D. Felix Flc de Valencia, y xo el Teachodo [monocodio de cao cedas qe, como aqél, seía n insmeno



Rcím am moo

l

121

p fn, qe pse en mnos de M. y me dixo qe le i y pesto en pctic en Vlenci el ño pssdo, con mcho plso de los Msicos de qell Cidd Y tengo po cieto, qe h sido el pimeo qe se h vlido dest disposicion.

Delnte de M se h hecho tmbien l expeienci con pocion de los Msicosde l Cpill Rel Lo cieto es, qe ls coneniencis qe te consigo est disposicion son tn gndes qe se pede tole, si tiene lgn deecto qe no cse notbe disonnci l odo Y qe no l pede tene, o demestn clmente los nmeos de Tbl ntecedente, compdos con los de Ogno comn Q Zgoz,Mdid, 164, pp. 2821.

Cuando hablamos del tempeamento igual nos efeimos habitualmente ala división de la octava en 1 2 pates doce semitonos iguales Si la anación

justa tiene tonos y semitonos difeentes y la pitagóica tonos iguales y semito-nos difeentes el tempeamento igual tiene tonos y semitonos iguales Se tatade un sistema egula y cíclico con todas las quintas semejantes (195 cents)sin quinta del lobo y en el que las notas enamónicas coinciden Do# Re�Sol# = La� etc Su pincipal ventaja es la libe modulación a todas las tonali-dades sin intevalos impacticables con los 12 sonidos de la escala habitualLas desventajas también existen y son de soba conocidas: no hay ningún in-tevalo justo a excepción de la octava y si las quintas son muy buenas las te-ceas mayoes son muy gandes ( 14 cents la 8ª pate de un semitono mayojusto) Esta caacteística e la causa pincipal de su echazo en los siglos y mientas que en el e pincipalmente la falta de expesividad di-feenciada de las distintas tonalidades Su aceptación denitiva se debe a lanecesidad modulatoia de la amonía ncional y se ha hecho incuestionableen el dodecanismo Nuesto oído actual está ya tan acostumbado a las te-ceas muy gandes que si escuchásemos las justas pobablemente nos sonaíanexcesivamente apagadas y sosas Ota cosa es que tas un peiodo de adapta-ción pudiésemos tolea de nuevo las tempeadas

Una ventaja indudable del tempeamento igual es que la octava se divida enpates iguales: 12 semitonos 6 tonos 3 teceas mayoes 4 menoes y 2 tito-nos Hasta la invención de los logaitmos estos intevalos sólo podían expe-sase mediante númeos iacionales Los intevalos vie-nen deteminados po las potencias sucesivas del semitono = 1 059463 .. . Do 1 Do#(Re�) 105946 Re (105946 ) 1 1224618 Re#(Mi�)= (105946 ) = 1189206 etc El valo de la V es 14983 muy cecano al 15 (3:2) del valo justo Hemos indicado en la Intoducción lo enga-ñoso que puede esulta el uso de medidas logaítmicas como el cent a la

hoa de establece la «dimensión de los intevalos pues inevitablemente eltempeamento igual se conviete en témino de compaación Damos una ta-bla oientativa de las desviaciones:



ó t

rns óc

nervao JE TI Error ntervao JE T Error

VII 12 12IM 188 11 1 2 VIm 1 18 1 18IM 884 9 16 VIm 814 8 -14

V 2 -2 Tri tono 590 6 1V 498 5 2IIM 386 4 + 14 Im 3 1 6 3 -16M 24 2 m. 1 82 2 12SM 1 12 1 12 Sm 1 3

S a descpcón de tempeamento gua en decmaes o en cents es muyc de eaza ota cosa es su puesta en páctca nada fác Hay que educ todas as quntas «un poco (/cp) y todas de ma gua hasta emna a qunta de obo (véase a contnuacón a descpcón de Rameau) Haytantos pocedmentos en un tempeamento tan usua que sea dfc expone os dfeentes métodos que utzan os anadoes Depende a menudode nstumento de s se tata de as notas centaes o a de os extemos gave o agudo etc

ntes de enta en as debatdas cuestones hstócas sobe su puesta enpáctca hay que tene en cuenta agunas consdeacones a especto Unacosa es a apcacón páctca de tempeamento gua más o menos exacto quepaeca necesaa en os nstumentos de tastes a menos a naes de Una segunda es e cácuo exacto de sus ntevaos po e métoo que sea numéco geométco o ogaítmco Y una tecea a aceptacón estétca de tatempeamento Autoes habá que mes defensoes de su utdad no dspongan de métodos exactos de medcón Gae Stevn); agunos que yadsponen de eos o echazan sobe bases estétcas (Huygens Hemhotz) y

otos namente pueden admto en os nstumentos de tastes y echazao en os de teca (Zano Sanas). Van a contnuacón agunas notas meamente nmatvas sobe a pogesva geneazacón de este tempeamentosn petensón n de exhaustvdad n de vaoacón

Las nnovacones de a music t evaon necesaamente a una emaen a anacón de as notas de a escaa En una see de atícuos E Lownsky (956 957) eee a menos dos expementos muscaes de sgo que debeían ecoe e cícuo de quntas competo y po tanto seía ne

cesao agún tempeamento ccua En 5 9 A Waet hace un ampouso de a musicct en e dúo Quinm ebriets Según Lowns ( 956 a)en e ntevao na Me M debe tene un dobe bemo paa competa aoctava y evta e comma ptagóco. Muy audazmente e auto compaa a



Reacimiento. Teement mestóni

1

Willaet con J Sebastián Elcano quienes hacia las mismas fechas dieon lavuelta completa uno al mundo oto al cículo de quintas El oto expei-mento lo cita Gegoius Fabe en 1 y se debe a aemán Mathias Geite

quien compone una pieza a cuato voces Pssibus mbiis en efencia altema de una antigua chanson Fortun spert (196b). Como ilustaciónmusical del texto sobe la voluble y eante tuna que no se detiene en nin-gún luga el composito ecoe toda las tonalidades mediante mutacioneshexacodales. Tempeamento igual o no son dos expeimentos aislados sinapenas tascendencia.

Donde paece necesaio el tempeamento igua es en los instumentos ha-bituales de tastes jos con divisiones iguales. Añádase que estos instumen-tos tienen ya de po sí una anación no muy exacta el sonido es pecutido y

beve y el intépete puede vaia la anación a pulsa las cuedas Otos c-toes como el mateial o la difeente tensión de éstas dependiendo del puntode pesión etc hacen que una división geomética sencilla o la tadicionalmencionada po Galilei (semitono de azón 1 8: 17) sea aceptable Se hanpopuesto distintas anaciones paa los instumentos de tastes: pitagóica(Fin 10) mesotónica a pesa de los inconvenientes que pesenta en lostastes (Ganassi 1 4) la iegula de Dowland (1 610) e incluso la anaciónjusta (Thompson 1 89) Los vihuelistas del Renacimiento sobe todo los de

la escuela española (Milán Mudaa Valdeábano ) intoducen detemi-nados pocedimientos paa encaa el poblema de la anación como la con-veniente colocación de los acodes elección de deteminadas notas etc pocedimientos no todos ellos acetados como muestan los comentaios deBemudo J Tinctois (14801487) menciona una posible invención de estosinstumentos po pate de los españoles. En cuaquie caso éstos tuvieon unpeso deteminante en la aceptación del tempeamento igual y no es de extaña que un teóico español como Salinas lo mencione y sea el pimeo enintenta dilucida los poblemas que planteaba

La dicultad de acepta el tempeamento igual se debió a los instumentos de tecla espinetas y claves y sobe todo a su aplicación en los óganos Silaúdes y vihuelas podían esta en tempeamento igua los cémbalos al dis-uta de la elativa cilidad y apidez de anación adoptaon en el si-glo divesos tempeamentos iegulaes antes de que el pode del pianoestableciese el tempeamento igual como el más idóneo El ógano es po supate el instumento más consevado po su uso eligioso de sonido nítidoy que puede mantenese indenidamente Su anación habitual ha sido elmesotónico estanda (1/4c) hasta la adopción geneaizada y denitiva deltempeamento igual hacia 1870 a causa del consevaduismo de los oganistas ingleses acéimos patidaios de las teceas mayoes puas o sea del mesotónico (al n y al cabo el bodón sugió en Inglatea)



124 nin ementos

hstóio

Si en otas épocas huo sus eticencias a a hoa de acepta e tempeamento igual paece que una vez adoptado univesamente cada pas quieeenconta su popio epesentante a quien atiui la «invención» Du

pont (195), cuya oa ea la iia de anaciones y tempeamentos hasta ade Baou paciamente inspiada en a suya popuso a A Weckmeiste( 169 1 y 1697) como e pincipal exponente del tempeamento igual opinión seguida desde entonces hasta tiempos ecientes La ctica actua lo hadesmentido Weckmeiste además de se un auto muy tado no ecomienda un tempeamento exactamente igua sino apoximaciones que pemiten a moduación a todas las tonaidades ceando el ccuo de quintas osea tempeamentos iegulaes ccicos La edición de 1 960 de he New Or History o Music negaa la atiución a Weckmeiste y lo hacía a

H Gammateus (1518) añadiendo inconsistentemente que éste ecomienda dividi la octava en 1 semitonos iguales y dos un poco más cotos Estono es tempeamento igual en sentido esticto Los anceses siempe han tenido en Mesenne su pincipa epesentante Mesenne se muesta a vecesun me patidaio de tempeamento igual que conoca ien po a exposición de Sainas Peo aunque intentó oece una mulación aitmética mediante aces cuadadas y cúicas no o consiguió (ni poda haceo sin utiizaloitmos) Oto candidato haitual (diccionaios Or New Grove, etc)es

Galilei ( 1 581 ) quien popuso como la meo apoximación e ya men

cionado semitono de azón 18 17 (99 cents) pácticamente indistinguiedel igua ( 100 cents) Tempeamento páctico tadicioa en os aúdes peoque saemos que no es exacto ( 18 17) La soución ea po oto adoeementa El tono mayo 98 ( 18 16) puede dividise aitméticamente endos «semitonos» desiguales 18 1716 Tomando meno 1 8 17 ya que seistonos mayoes soepasan la octava y tomándoo 1 veces se tiene una uena apoximación a ésta Es una solución de oigen pitagóico (ecuea a ladivisión del tono de Filoao) que apaece tan tade como 174 en Nasae

M Baou po su pate popone a G M Lananco (15) como epimeo en da eglas de anación paa e tempeamento igua opiniónmantenida po pestigiosos histoiadoes de a música del Renacimiento Noes cieto Como ocue con os anadoes pácticos las eglas de Lananco amenudo no están ien denidas y son de tipo « esse Quinte deono essee tiate in guisa: che la oecchia non e/ne di oo si contenti o estemo acuto di ciascuna teza maggioe ua alzata in modo chel senso piu neuo/glia » y cosas paecidas En ealidad estalece dos ódenes de anaciónpo quintas el de os sostenidos a pati de Si y el de os emoles a pati de

Si� «Lanancos keyoad tuning instuctions of 15 ae unequivocay soe m o meantone» (M Lindley 00 1) «Si ceduto ma toto checon queste nome Lananco avesse anticipato i sistema de tempeamento



Renceto. eamenos men

g

l

125

equale In ealt nulla ea pi lontano dai suoi pensiei Diionrio ,1 986, I pp 6970) Zalino ( 588, I 1 , p 1) menciona a don Giolamo Roselli de eugia, abad de Montecasino, en Sicilia, quien en una oba

pobablemente no publicada, Tttto l music spheric deende la división de la octava en 1 semitonos iguales, de ahí el título del tatado Lamención de Zalino paece taída a cuento paa nega a Salinas ( 577) la pi-macía, si no en su aplicación, sí en la descipción del tempeamento igual,que ahoa el popio Zalino incluiá en su tatado de 1 588 utilizando el mesolabio

Fancisco Salinas es el pime auto en oece de ma totalmente explí-cita la división de la octava en 1 pates igualmente popocionales de maiguosa y exacta, calculando la desviación de los intevalos en acciones de

dieses y oeciendo eglas paa la anación del monocodio: « diuidendamesse Diapason in duodecim pates aequ popotionales, quae duodecimeunt aequalia semitonia (1577, c 181) Salinas no se conma conlas impecisiones de los pácticos y deduce este tempeamento de su sistemaRecodemos que su «géneo enamónico se componía de 4 notas en la octava debido a la duplicación de notas paa mantene la entonación justa pouna lado y a la ampliación del cículo de quintas en los extemos hasta inclui todos los sostenidos y bemoles de la escala de 19 notas Si eliminamos

el comma sintónico, tenemos tempeamentos mesotónicos difeentes pues ladivisión puede hacese de divesas mas (pesenta los tes mesotóicos descitos anteiomente, 14c, 7c y 1c) De la misma ma, paa llega altempeamento igual hay que «dilui («tollendae sunt, aut potis connden-dae) las 7 dieses del enamónico aa cea el cículo de 1 quintas (mesotónicas) hay que epati la díesis sobante ente éstas aumentando cada una11 de díesis El esto de las consonancias aumentan o disminuyen de lamanea conocida la IV en sentido inveso a la la IIIM +41 de díesis, laIm 1, el tono, compuesto de dos quintas, + 1, la mitad que la IIIM,

etc Hay que tene siempe en cuenta que la díesis es dieente en cada tempeamento mesotónico, dependiendo de la longitud de las quintas

V tempeada V mesotónica 11 de díesis

/3c D 6254 1 1 1 2 5212/c D 528 1 1 2 4 19 /4c D 41 61 1/1 2 342

IV -/12dIm 3/12dSM -5/ 12d.

IIM +4/12d +2/ 12d

Sm. +/12d

El cálculo con cents es sencillo La lectua de Salinas es, po el contaio,mucho más adua o ejemplo, la IIIM en el 1 c vale 79,16 cents, que sumados a los 0,84 (4 X 5,1) dan 400, los cents del tempeamento igual El



126 fnacn epeamnto

htóo

tono en e /7c es de 1916 cents que sumados a 88 ( 419) dan os00 cents de tempeamento igua. semitono meno en e 1/4c vae 7605cents y si e sumamos 95 (7 4) equivae a os 100 cents de igua.

(gunos cents están edondeados debido a a insignicancia musicl de adiencia Po ejempo una apoximación más exacta a 1/1d. de /7c es4 1 898 y en e 1 /4c 4 175 sto puede hace que agunos cácuos nosean exactos). He aqu e diagama n que pesenta Sainas en e que os19 sonidos de os mesotónicos quedan educidos a os 1 de tempeamentoigua

X D X E X7 2 913 4 1 1 1 66

# D • E # •

tzt zt D E 715 91

X

�

D X

�

E �

G X A1 84 3

G # A

t G a

G X

�

a

X102

#

X

�

B

e12

• e

e

X e

Conecución l emperameno ial medne diviión Dei SalinaDe msica libri septem, Samanca « pecta totius Diapason in Vioa paticipatio Quam cedimus optimamesse [ neque aite ei posse pe quam educti sunt viginti soni cymbaitium geneum ad tedecim Los géneos comático y enamónico están«conndidos en uno.

No es po supuesto un enque páctico. Paa eo Sainas da otos dosmétodos uno eóneo mediante e ecuso a a sección áuea e oto ecu-

iendo a mesoabio paa dividi diectamente a octava en doce pates igua-mente popocionaes Peo es digna de notase a unidad que pesenta todoe sistema de Sainas en e que patiendo de a justa entonación se deivanos tempeamentos mesotónicos y namente juntando en uno os géneoscomático y enamónico apaece e impefecto po aejado de os intevaosjustos tempeamento igua popio de as vioas.

Si nos hemos extendido en a exposición de Sainas es paa contasta sudescipción con as amaciones de Babou quien no paece conocele diectamente Si po un ado econoce su peeminencia en a descipción de

tempeamento igua po oto o atibuye eóneamente a métodos geométi-cos «He is appaenty the st peson to give not ony the coect phasingof the geometic pobem invoved in equa tempeament but aso a pacti



enacmieno Tem

emntos sotóco e

12

cal way of accomplshng t such, he anks next to the peson who stput n actual numbes these atos of the equal semtones Athmetc wasnot Salnas' e [?] [ ] . But he should be qute content wth the gloy that

s ghtlly hs, that of avng at a coect geometcal soluton [? of hspoblem (19, p 105) Y de nuevo, de ma más pecavda, en su obapncpal: «The st sxteenth centuy wte to sugest a geometcal o mechancal means of solvng equal tempeament was Fancsco Salnas (197,p 50) Pobablemente Babou ha pensado que la lustacón de Salnas quehemos expuesto consste en la dvsón (¿geométca?) en pates guales deuna línea o cueda

E sopendente que nngún hstoado de la músca español haya evndcado paa Salnas, s no la nvencón, al menos la pmea exposcón exacta deltempeamento gual El popo Salnas se atbuye esta pmaca « huusmodsonoum tempeatua, ac ntualloum dsposto ] nemne tamen adhuc(quantum sce potuem) consdeata est (1577, 111 0)

El tempeamento gual podía devase dectamente de la anacón ptagóca, a la que se paece mucho po sus quntas cas justas, sus teceas muygandes y séptmas bastante buenas Bastaía con elmna el comma ptagóco educendo cada qunta en 1 / 1cp

A pat de nales del los pocedmentos paa establece el tempea

mento gual han sdo muchos Además del de Salnas, destaquemos el yamenconado de Galle paa el laúd y el mecánco con el mesolabo deG Zalno (1 588) , tambén paa laúd, el sopendente de S Stevn ( 1600) , aM Mesenne (166), medante la nteseccón de tángulos, Kche (1650),que combna métodos euclídeos y mecáncos, los de los españoles J Caamuel (1668) y J Zaagoza (1674) medante logatmos y Nasae (174),basado en la anacón ptagóca Igualmente, los páctcos de J G Nedhadt ( 174), J Ph Rameau (1 77), F Mapug ( 1776), J Knbege(1779), quenes no han pasado a la hstoa del tempeamento pecsamente

po adopta éste, y nalmente el uso de logatmos adaptados a este tempeamento de J Ells ( 1 885). Sea lo que ee, paece ndudable que ya a nales del sglo el tempeamento gual se utlzaba en nstumentos de tastesy captó ya la atencón de los teócos muscales

Taemos a contnuacón la exposcón tval de J J Rousseau ( 17 67) sobe la ejecucón del tempeamento gual po pate de Rameau

Po l ptqe penez dl [M Rme] telle toche d Clvecn ql vo

pl; ccodezen d bod l Qnte jte p dmnezl pe qe en pocédez n dne Qnte lte, tojo en montnt cetde, d gve a lg jq l dene dont le Son g été le gve de l peme; vo povez e cetn qe le Clvecn e ben d ccod.



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PRIMA EP E R A J DL 1 V TO , FAT E R TVON I E SN EQA N D I I I N S

PRT RON TRTE EL

División ocava en pares ias G rlino Sopplmen mscal. necia



130 1 tprens

áco

tudo de los géneos gegos que ntenta lleva a la páctca de su tempoEl título de su oba Ltic mic riott l moer prttic ( 555) es de po s lustatvo La pmea pate «Della theoca muscale está

basada pncpalmente en Boeco; la segunda «Della pattca muscale secompone de cnco lbos y en el últmo expone la constuccón de un rciórgo y un rchicémblo concebdos en tono a 540 que ponen enpáctca sus concepcones teócas Ambos nstumentos están constudoshaca 56.

Dento de la coente humansta Vcentno ctca la músca de su tempopo se ncapaz de expesa el contendo emotvo del texto La «musca ttasopa le paole llevaía a la esueccón de los antguos géneos comátco yenamónco de la músca gega como medo de evv los peddos tti

En el rchicémblo con la octava dvdda en mcontevalos podíanmtase las exones nteválcas del ectado poétco nada menos que encualque lengua del mundo

... e tutti potrno porre in music il suo modo di cntre con i grdi dell divisionedel nostro stomento, che con l music che or sus, non si pu scrivere cuncnzone nzese, né tedesc, né spgniuol né ungr, né turc né ebre né dltrenzioni, perché i grdi e slti di tutte le nzioni de mondo, secondo l su pronunci mte, non procedono solmente per grdi di tono e di semitoni nturli et

ccidentli, m per desis e semitoni e per slti enrmonici, si ch con ques nostrdivisione vremo ccomodto tutte le nzioni del mondo, che potrmo scrivere iloro ccenti e comporli qunte voci loro prerá perché l music tt sopr leprole non tt per ltro se non per esprimere il concetto e le pssioni e gli ettidi quelle con !rmon (ix 8v86v).

En teoía el rchicblo seía un nstumento con una see de posbldades cas mposbles de concla a) podan llevase a la páctca los tes géneos gegos sepaados entonces mezclados ahoa b) estaía anado en elmesotónco habtual de /4c a la vez que con ntevalos justos podíacompagnase con los nstumentos de tastes en tempeamento gual y seaposble la modulacón a cualque tonaldad En esumdas cuentas un ns-tumento pefecto « . lAchcembalo [ pmo & pefetto peche n ogntasto non l manca consonanza alcuna . .

Es sn embago dfcl sabe la anacón exacta puesto que Vcentno noes muy pecso en la detemnacón de los ntevalos que po ota pate escualtatva no cuanttatva (Kaufmann 96 y 970) La descpcón que

oece (1 c 442) es la de una dvsón de la octava en (+5) pates po-ducto de la dvsón del tono en 5 pates (deses)



Rmo n enc gu

n éminos de Vicenino Do Do Do# Re Re Re

Tono

131

n éminos acuales Do Re Do# Re Do## Re sepaados po1 díesis: Sm 2 d; SM d Si el ono se divide en paes iguales y laVIII coniene 6 onos y una díesis 6 + 1 1 pates po ocava

n cuano a la descipción del insumeno ése se compone de dos e-clados con es las de eas cada uno. Inenaemos ve l disinas caace-ísicas que nueso auo aibuye a tan maavilloso insumeno examinando la posible anación del sisema n la ocava Dodo apaecen lassiguienes noas en los eclados

Re Mi Sol La Si

Re� Mi� Sol� La Si 2° eclado

Do Re Mi a Sol La Si o

Re Re# Mi# Sol La La• Si#

Do Mi� a# So# Si� 1 eclado

Do Re Mi Sol La Si do

Vicenino no especica las noas con sosenidos o bemoles como hace-mos nosoos sino po su posición Así Sol# viene señalado como «A la mi esecondo» Re# como « la mi ezo» ec. ueden dase po ano oas vesiones del sisema en éminos de soenidos y bemoles.

Si aendemos a las pime cinco las de noas enemos en el eclado in

feio la división de la ocava en 19 paes (Sol Si#) con las noas diaóni-cas en la pimea la las comáicas habiuales en la segunda y las coespondienes enamónicas en la ecea anadas en el mesoónico egula: « ilpaico . d accodae empeae la asaua del pimo secondo odine con diligenza che sea bene accodaa piu pefeamene che gli sa ce puo accodaa poi che aua la pima seconda asaua secondo lusode glai someni con la quine quae alquano sponae secondo cheno li buoni maesi» (l 10v).

La anación del segundo eclado es más difícil de deemina n pala-bas de Vicenino la cuaa la iene ls mismas noas que la pimea peo 1díesis (1/ de ono) más agud (señaladas con un puno) Igualmene lasnoas de la quina la seían 1 díesis más agudas que ls coespondienes a



132 nn

e

ats

stórí

las de las segunda y tecea Hay que supone que las las cuata y quintamantienen ente sí la misma elación que la pimea y segunda Esta disposición haía la señalada división del tono en 5 pates y la de la octava en 1 (19

+ + 5) puesto que la desis equivae a 1 5 de tono En téminos de la espialde quintas la cuata la la polonga (po cuatas en los bemoles) en 7 a pa-ti de Sol� Do� Sol�� mientas en el oto extemo se polonga a pati deSi# Fax L Se cea sí un cculo de quintas Sol�� Lax ceado puestoque las siguientes quintas de ambos lados sean Mix Sol�� y Do�� Lax

Aunque en una segunda anación Vicentino hace equivaentes estas notsno está muy clao si petendía cea un sistema cíclico La descipción de Sa-linas lo da po supuesto Colonna (1618) se vale de la «cicolatione del sis-tema Doni (1640) dibuja el sistema como «ciculante L Rossi (1666) lo

estableceá denitivamente con la supuesta ayuda del mesolabio y nalmenteCh Huygens po las mismas fechas calcula con logaitmos la división de laoctava en 1 pates iguales y las desviaciones de los distintos intevalos especto al coespondiente tempeamento de 1/4c

Las notas de la sexta la (señaladas con « ) seían un comma (12 díesis) más agudas que las coespondientes de la pimea intemedias ente lasde las las pimea y cuata Su objetivo sea oece consonancias más puasque las ya establecidas a pati de las notas de las as pimea (supeioes) y

cuata (infeioes) Menciona Vicentino otos intevalos ligeamente mayoeso menoes que los habituales «popinqua + 1 díesis) y «popinquissima+ 1 comma o 1 /2 díesis) paa aceca teceas y sextas a las de la justa entonación Dice también que las tes las del segundo teclado deben anase enquintas justas con las del pimeo (Do de la pimea con La�� de la cuata Recon Si�� etc) mientas están tempeadas especto a sus homónimas Estaaposición de supuestas quintas justas al esquema genea paece algo imposi-ble y ha sido uno de los puntos que más cíticas ha ecibido Babou (p 1 18)y Kaufman (1961 p 47) considean esta pate caente de sentido o comple-

tamente consa Desde luego Vicentino no oece especicaciones matemáticas o de ningún tipo en la anación del instumento

Roma y Milán disponían de un achicémbalo y V Gilei (1589 l 8v)nos dice que Vicentino dio concietos públicos con su instumento en laspincipales ciudades italianas acompañando música vocal compuesta po élmismo pate de la cual apaece en su tatado Tas su muete se olvidaonsus composiciones enamónicas A nales del siglo E Botigai (1594) descibe el achicémbalo como un instumento casi insevible una pieza de mu-

seo ya que sólo el vituoso de Feaa L Luzzaschi poda tocalo medianamente bienA nales del siglo y pincipios del apaecen vaios instumentos ins-

piados en el de Vicentino Así el vmblum uvers de Ch Luython



Ro Tpemto mstóí gl

Dlla Smbcu Sb _

C E

133

cdos Sambuca Lincea Conna aiba Sel abajo Fabio Conna Sambuca Lincea libro



134 Aíó eet

ó

constuido po J Buus con 1 8 teclas po octava (Do� La•) y paa el queJ Bull escibió una ntasía enamónica Hay también un teclado enamóni-co constuido en 148 po Domenico de ésao con 4 teclas po octava y

oto constuido en 1601 consevado en el Museo Cívico de Bolonia, un instumento pácticamente igual que el de Vicentino, aunque con sostenidosúnicamente en la segunda la

eo el instumento má moso inspado en Vicentino es la SmbucLince de Fabio Colonna y Scipione Stella con seis teclados El pade Stellaea un oganista napolitano que, al sevicio de C Gesualdo, había conocidoen 194 en Feaa el rcicémblo y pidió al eudito, botánico y matemáticonapolitano F Colonna la constucción de un instumento de caactesticassemejantes con el que se pudiese intepeta música «enamónica Aunquese tata de la división de la octava en 1 pates y el tono en 5 éste tiene unadivisión dfeente Stella compuso una seie de piez paa este nstumento,incluidas en el tatado de Colonna (168) En este instumento se intepetóel Cpriccio de A Majone en contapunto gado en el que el tema Ut remi f mi f vuelve al punto de patida tas habe pasado po las 1 tonali-dades del ciclo (Babiei, 987, pp. 0001) Otos instumentos de estetipo son el cémbalo enamónco de G Sabatni (la disposción de su tecladoapaece en Kiche, 160 así como el de Doni) o el Cvemusicum omnito

num de V Tasuntino (1606) pefecconado posteiomente po F Nigettien su «omnichodo sigiendo a Vicentino. Es difícil sabe si la música itiana de nales de siglo en Roma, Feaa o Nápoles (Gesualdo, Majone, Den-tice, etc.), con sus «onsonanze stavaganti, necesitaba instumentos tancomplejos como éstos o las composiciones se hacen ad hoc, una vez concebi-do el instumento (véase asimismo en España, la cita de J Zaagoza de 1674en el captulo 9)



6 Los inicios de la ciencia acústica en elsiglo y teóricos importantes del

a olcó acúca dl lo En el siglo

el emperameno más usual pasó a ser e mesoónico ordina-

rio ( /4c) la realización prácica de la jusa enonación El probema de eseemperameno es que en 2 noas por ocava el círcuo de quinas no se cie-rra y hay por ano deerminadas onaidades impracicables. Pero el si-go es ambién e siglo de la Revoución Cieníca que supuso para lamúsica el nacimieno de la ciencia acúsica Cómo acó ésa a los empera-menos es lo que preendemos mosrar

E cambio ndamenal de la nueva aciud cieníca esriba en pasar demedir la alura de los inervalos como relación enre longiudes de cuerda ahacerlo enre ecuencias de vibración Lo que ocurre es que ambas son inversamene proporcionales l. Así una cuerda que sea la miad de oravibrará el dobe de veces por segundo si es un ercio e riple ec Dada laproporción inversa exaca enre ambas magniudes se manienen os cáculosen érminos de longiudes de cuerda aunque ahora cambian los érminos dela acción En érminos de ecuencia el numerador de una azón (sonidograve) es menor iene una menor ecuencia que el agudo del denominador(mayor ecuencia): V 2 23 M 45 , ec

A pesar de que Girolamo Mei (52) propuso en el dominio musica la

separación enre are y ciencia la relación enre ambas e compemenaria ao largo del siglo produciendo un cambio signicaivo en la considera-ción de os eóricos musicales Ésos haban sido radicionalmene músicosprácicos viruosos de algún insrumeno en algunos casos hora al pasar a



6 A{nCÍÓn

mp

óco

música al rango de las ciencias experimentales nos encontramos con una tipología de teóricos de corte cienticista de lo más variada desde el escaso onulo gusto musical de un Descartes hasta la pericia y el conocimiento musi

cal de Ch Huygens quien tocaba tanto la lauta como el clave pasando porel padre de la acústica J. auveur que quizás debido a su sordera se dedicó ala investigación En cualquier caso los teóricos menos dotados musicalmentese encargaban de inrmarse adecuadamente de las peculiaridades musicalescomo es el caso de Mersenne con Gallé y Denis o auveur con el constructorde órganos Deslandes La carencia de pericia musical no es obstáculo paraconsiderar la causa sica del sonido su velocidad o la serie de los armónicosEste espíritu de corte cientíco hace que se diseñen esquemas puramente

matemáticos de mensuración de intervalos que la única dicultad del tempe-ramento igual estribe más en su determinación sicomatemática y no tantoen su aplicación práctica e implicaciones musicales o que se sea partidario dela anación justa en la segunda mitad del siglo como Helmholtz debidoprecisamente al descubrimiento de la serie de los armónicos Es signicativoque los dos temperamentos más importantes del siglo se deban a músi-cos prácticos que bien poco tenían de cientícos el «inerudito A. Werckmeister y el organista padre F Vallotti quien en el último cuarto del seguía todavía considerando los sonidos en términos de longitudes de cuerda

por la dicultad práctica que entraña la medición de sus ecuenciasEl hecho de que con Galileo se sigan manteniendo las tradicionales razones sólo que en términos de ecuencia vibratoria en vez de longitudes decuerda hace que la ciencia no aportase demasiadas soluciones a la cuestióndel temperamento La elección de uno u otro se debió más bien a cambiosestilísticos o preferencias personales de los músicos L que sí hizo el nuevomarco cientíco y de manera extraordinaria es cambar el núcleo explicativode los diferentes fenómenos musicales y dar pie al descubrimiento de nuevosnómenos consonancia no se explica ya en términos numericometafísicos como las propiedades del senario sino en términos psicoacústicos deproducción y recepción sonora El campo de investigación se ensancha extraordinariamente Los aspectos ndamentales en la consideración musical sonahora tres uno sico la producción y disión de las ondas sonoras otro siológico la apreciación auditiva de la relación de sus ecuencias y un terce- muy importante en su época como lo muestran los casos de Kepler oDescartes el problema losóco de por qué nuestro espíritu aprecia comobellas determinadas percepciones sonoras aspecto que no trataremos aquí.

ólo a título inrmativo vamos a mencionar a los teóricos más impor-tantes que a menudo se encuentran entre la mera especulación la cienciapura y la práctica musical en terrenos a veces difíciles de deslindar Los nombres de muchos de ellos (Galileo Mersenne o auveur) son de referencia



Lo o d Úca y mpoan dv 13

obligada paa una histoia de la ciencia acústica y seguián invocándose entelos teóicos posteioes como antecedentes de sus popias teoías Dejamosapate pensadoes tan inteesantes como R. Fludd po ejemplo, un esticto

pitagóico que poco tiene que apota a nuesto estudioSi el cambio ndamental a pincipios del siglo estuvo en pasa de unmodelo de explicación de la consonancia basada en los númeos a oto basa-do en las ondas sonoas, este cambio estuvo pecedido del deumbamientodel pitagoismo, entendido éste en su sentido más lato Desde un punto devista todavía matemático, Keple intentaá enda en la geometía la demacación ente consonancia y disonancia y Stevin ataca la simplicidad delas azones como citeio de consonancia al defende el tempeamento igual

VGalilei mostaá expeimentamente que los númeos del senaio no son

los únicos aptos paa poduci consonancias, que éstas no son «natuales,como queía Zalino, y que la sepaación consonanciadisonancia no está tanclaa Finalmente, Benedetti, G Galilei y Mesenne iniciaán el camino de loque puede ya denominase ciencia acústica

a p 1511630) En el capítulo V de su Hrmonces mun1619) Keple evitaliza la vieja teoía pitagóica de la música de las esfeaspeo adaptada a la polinía, que él considea como un auténtico pogeso

especto a la monofónica música giega. Tas toma el Sol como punto de efeencia de los movimientos planetaios constató que las velocidades angulaes de cada planeta en el afelio y en el peihelio guadaban una deteminadaazón musical En su tayectoia elíptica, cada uno de los planetas suena enuna especie de glissando paticula y cuando coinciden deteminadas altuassonoas se poduce una maavillosa sinnía cósmica a seis voces. En su mu-cho más elevane «tecea ley Keple encontó que el cuadado del peiodoo tiempo de evolución de cada planeta es popocional al cubo de su distancia media al Sol o, dicho de oto modo, que la azón ente los peiodos de e-

volución de dos planetas cuaesquiea es la de sus distancias medias al Sol ele-vadas al exponente 3/2

Peo lo que aquí nos inteesa es menciona el nuevo método de justicalas azones musicales del senaio basado no en la aitmética sino en la geome-tía, que en última instancia se emite a Dios Si se inscibe un polígono e-gula (constuido con egla y compás) en un cículo, este último queda dividido en un númeo deteminado de acos iguales (cuato con el cuadado,cinco con el pentágono, etc) Denominando «pate al númeo de acossubtendidos que no supeen la mitad del cículo y «esiduo al esto que obviamente es igual o mayo que la «pate, se dan ente ambos y el «todounas detemnadas popociones El pentágono inscito en el cículo, poejemplo, genea las siguientes azones: pate a todo, 1 5 y 25 esiduo a



138 an

y

amentos

hstóo

odo, 3: 5 y 4:5 pae a esiduo, 1 :4 y :3 Hay que elmina las popocionesque se hubiesen geneado po un polígono que no pueda consuise de lamanea indicada, como el hepágono 7 . Todas las azones así geneadas se

educen a las habiuales del senaio 1 : 1 y 1 : se dan en la elación diámeo-cículo, :3 ene «esiduo y «odo del iángulo, 3:4 en el cuadado, 4:5 y3:5 en el penágono, 5:6 en el hexágono, 5:8 en un «esiduo especo alodo del ocógono Las azones con el númeo 7 (67, 7 8, ec) dan disonancias debido a que el hepágono, de donde sugiían no es un polígono egula Ese cieio geoméico de demacación ene consonancia y disonanciapuede paece un ano alambicado peo muesa una alenaiva ambiénmaemáica a la «numeología piagóica Si Keple sigue siendo piagóicoa ese especo el eso de los aaques al piagoismo ián más bien en seni

do conaio, diluyendo la sepaación ene consonancia y disonancia

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cruriw Hiloumbcam)•

eple Hamonie Mundi .

Smon Stevn (1 548 160) Poco vesado al paece en música, el inge-nieo y maemáico S Sevin es un paidaio adical del empeameno

igual, de la división de la ocava en doce paes iguales, algo queb

ar c lomás naual: (semiono), 6 (ono), 4

>

12

(m), 3'12 (IIM),

>

1128 ec No menciona la habiual azón 17:18 del semiono empeado paa el laúd, peo, buen maemáico, encuena que la aíz doceavade (el semiono empeado) equivale a 10000 : 9438 10595 (es en eali-dad, 1 059463 ) Considea que no hay númeos iacionales, que

>

(12)7

(la expesión numéica de la quina empeada) es un númeo an acionalcomo :3 (la quina jusa) Es más, aibui la azón :3 a la quina o consi-dea como Polomeo que hay dos onos difeenes sepaados po un comma es un eo pues no se coesponde con la pácica musical del cano na-ual (el émino que apaece en el íulo de su oba es ingcont «el ae decana)



L iii d l ia aúia

o Xy io ipran d 139

a esponsable de todo ello es la lengua giega a Natualeza hizo a losgiegos el pueblo más inteligente peo caecían de la lengua holandesa unaheamienta impescindible paa el desaollo cientíco y en especial paa

los téminos elacionados con la popocionalidad os difeentes tipos depopoción no hacen efeencia a las elaciones de los téminos sino a sus objetos especícos la aitmética a los númeos la geometía a las guas y laamónica a los sonidos. Sólo la media geomética es la auténtica al pocuala «equiacionalizació de dos azones musicales popocionando diisionesiguales de los intealos y no las otas dos que dan las diisiones tadicionales de la octaa os téminos giegos «logos y «anaoga y latinos «atio y«popotio y los de todas las lenguas deiadas de éstas no muestan la conexión ente ellos. Únicamente lo hace la lengua holandesa con el téminoevereenheyt («las azones rens «son iguales even lengua que seía laúnica idónea paa las expesiones cientícas po su conceción y esencialidad(ecodemos la búsqueda de un «lenguaje uniesal paa la ciencia popiadel siglo Como indica un comentado actual « paa Galileo el libo dela Natualeza estaba escito en lenguaje matemático; paa Stein e libo de lasmatemáticas e escito en holandés (Dake 1969)

Aunque Stein establece los intealos popios del tempeamento igualcomo un hecho empíico nunca menciona po ejemplo los batidos que se

poduciían en su aplicación De hecho se tata de una asunción puamentematemática y a pioi que desemboca en una petición de pincipio pues intenta demosta aquello de lo que pate Es sin embago inteesante constatacómo a pincipios del había mes y combatios patidaios del tempeamento igual aunque esta actitud ese más popia de un cientíco puoque de un músico páctico

ien Giei (15201591) Vaios autoes en especial alisca ( 1961 ,1985) han hecho nota la mutua elación a pincipios del siglo

ente el

cambio de estilo musical y el nueo empiismo cientíco a polinía enacenista sustentada en las estictas azones del senaio rim prtic) debióda paso a la monodia con acompañamiento (secon prtic monteverin)popuesta po Badi a imitación de la Antigüedad necesaia «libeación dela disonancia que ello taeía consigo iía paalela al nueo espíitu cientícoexpeimental a búsqueda de nueos ecusos musicales de una nuea iqueza amónica la necesidad cada ez mayo de modula a tonalidades lejanas eluso de semitonos la disonancia de los intealos de segunda séptimas aumen

tados etc poocaía ente otas cosas la idoneidad de un tempeamentoigual de aíces aistoxénicas que hemos isto tanto en los conseadoes Salinas(y luego Atusi) o en los m aanzados como Stein o Galilei. os nueosplanteamientos teóicos mentaon la expeimentación musical y iceesa



40

nn

y

tprames hsico

los poblemas muscales estmulaon la nvestgacón centca Benedett yGalle en opnón de Palsca nvestgaon la poduccón del sondo llevadospo poblemas muscales cuestones de ntedependenca ente nóme

nos estétcos y centcos son lo sucentemente aduas como paa que úncamente hagamos una lgea mencón de su posbldad en este caso. No paecetan fácl establece una mutua causaldad ente ambos nómenos.

Uno de los hechos más mpotantes que sguen a la polémca ZalnoGalle es el eplanteamento de la vea leyenda ptagóca de los matllosDcha leyenda había sdo ctada po cas todos los teócos muscales desdeBoeco a Gauo sn que nnguno se hubese tomado la molesta de epetlos expementos en ella menconados (algo semejante a la conocda expeenca de lanza dvesos pesos desde una detemnada altua que segúnAstóteles haía que el más pesado llegase antes a tea A epet la expeenca Golamo Boo mostó que no ea as) En el Discorso (589) y enotas obas manusctas V Galle dce habe hecho un descubmento queechaa po tea el senao complacendo a «alcun Astossenc suo amc Demuesta expementalmente («con l mezzo dell espeenza) que lasazones asocadas a las consonancas son coectas en las longtudes de cueday cañas peo no con otas vaables S medmos la tensón de una cueda medante el peso hay que cuaduplca y no smplemente duplca éste paa el

ntevalo de octava La azón de ésta no es ahoa : 1 sno 4 1 la de la qunta94 y la de la cuata 69. Tales númeos se muestan gualmente váldos quelos del senao y po tanto aquéllos dejan de se el ndamento de la amona amonía que a veces podía nclu no sólo la anacón sno la composcón muscal o la estuctua del cosmos Contnúa amando que en cuepostdmensonales como los tubos de ógano hay que eleva al cubo los témnos de las azones La octava tendía la azón 8 1 la qunta 78 etc Estoúltmo paece se una deduccón a po y no uto del expemento pues almagen del mateal de que esté constudo el tono de los tubos tene la ms

ma elacón que las longtudes de cueda Peo es fácl ve que paa un deal«ptagóco ecalctante los númeos elevados al cuadado o al cubo no dejan de se los tadconales : l : : 1 : etc.

En la acttud de Galle hay una uptua adcal con la metafsca del númeo que muesta en efecto un nuevo talante el talante expemental Losnstumentos muscales concetos pasan a se objeto de expementacón y deanálss teóco. A consdea el sondo no se tene en cuenta úncamente lalongtud de cueda sno otas vaables como el goso de éstas su tensón elmateal del que están hechas etc. algo que conscentemente explotaá Mesenne. El númeo ea de su Olmpo se aplca ahoa a estas vaables concetas del nstumento que pasa a se el pototpo muscal de esa «natualezaatcal popa de la Revolucón Centca (Cohen 984, p 85).



L s o XV

' pan

l 141

Otros autores como Mersenne (166, p 447) o Huygens 0 xix, 6)se sintieron también sorprendidos de que no se hubiesen repetido los experimentos pitagóricos de la leyenda de los martillos a lo largo de los siglos pero

no le prestan excesiva atención l Newton, que combinaba el más estrictoexperimentalismo con sus aciones ocultistas, sí lo hace Ve en dicha leyendaun anticipo de su propia teoría de la gravitación universal En un conjuntode Scholi a las Proposiciones ivix del libro no publicados y que iban aañadirse a la segunda edición de los Principi rermula la ley de los pesosde Galilei de la siguiente rma: si dos cuerdas del mismo grosor estántensadas mediante pesos, sonarán al unsono cuando tales pesos estén entre sícomo los cuadrados de las longitudes de las cuerdas plicado a los cielos, los«pesos» de los planetas hacia el Sol guardan la misma relación que el cuadradode sus distancias respectivas (McGuire y Rattansi, 1966) De esta rma, en elsentir de Newton, un prisco theologo como Pitágoras conocería ya la ley dela gravitación universal que, oculta y falsicada posteriormente, subyace en lapitagórica «armonía de las esferas»

El ncimiento cieni cústic

unque en Occidente prevaleció el análisis pitagórico de las consonancias, enla ntigüedad habían surgido también teorías acústicas de diverso signoristóteles, Nicómaco o Temistio discuten el fenómeno del sonido aunquesin resultados muy claros Sobre la generación y transmisión del sonido nosencontramos en la ntigüedad con dos explicaciones importantes Una, deorigen atomista, concibe el sonido como corpúsculos emitidos por la garganta o el instrumento musical y que llegan al oído El problema es cómo unospocos átomos sonoros pueden llegar a cientos de oídos en un teatro, porejemplo Pero más importante es otra teoría de carácter estoico y menciona

da por el propio Boecio, que concibe el sonido como ondas esféricas que sepropagan en el aire de la misma rma que las ondas circulares producidaspor e clásico guijarro en la supercie del agua El aire intermedio entre elemisor y el que escucha es golpeado y se expande en ondas esféricas Su puntodébil era en su momento cómo la onda no arrastra consigo el propio medioen el que se propaga sociado a todo ello aparecen en los Problemt aristotélicos dos elementos clásicos de la acústica, como el de la resonancia porsimpatía y el de los armónicos (xix, 91 8a y 9 1b) dbano en el siglo VGurio en el o Fracastoro en el V (1546) recogen algunas de estascustiones con más o menos rtuna y alguno de ellos observa cómo en laiglesia vibran unas estatuas de cera cuando se produce cierto sonido



14 fnón y empeos os

Se considea a Giovnni Bttit Benedetti (15301590), conocido enotos apatados de la ciencia como el pecuso de la ciencia acústica en lamodenidad n un ya clásico atículo de Paisca (1961) se hace efeencia

po pimea vez a dos catas que nuesto auto diigiese al composito Cipiano de Roe c 1563), donde agumentó que el efecto de la consonanciase debe a la coincidencia a intevalos eguaes de ondas aeas más cotas yecuentes con otas mayoes y menos ecuentes n la segunda de estas catas Benedetti dice que las consonancias se deben a una cieta «igualdad depecusiones (equlitione percussionum) a una «concuencia igual de ondasde aie (equli concursu unrum eris) o a su «oteminación (cotermittione erum) l oden de las consonancias unsono octava quinta povienedel oden de concodancia de las pecusiones de las ondas de aie que gene

an el oído «ideamu igitu odinem concusus pecussionum teminoum seu undaum aeis unde sonus geneatu (Paisca 1 9 6 1 , p. 106) nuna octava po ejemplo el tiempo de la pate de la cueda más laga es el doble de la más cota hasta que coinciden Cada pecusión de la pate lagacoincide con dos pecusiones de la cota de ahí su azón 2: 1 n la quinta lacoincidencia es ente tes pecusiones de la pate cota po dos de la lagaetc n los intevalos menos consonantes la ecuencia de la coincidencia esmeno y su mezcla es menos agadable al oído

Tenemos aquí una explicación autntica de la consonancia la coincidencia en las teminaciones de dos ciclos de ondas No se tata ya de ningunavitud o popiedad intínseca de los númeos como en el caso de Zalino nide la maavillosa adecuación ente númeos y sonidos que Sainas apeciapeo que que nada explica sino de un mecanismo convincente y fácil de pecibi Aunque Paisca ama «Benedettis discovey was potentialy a tablow to numbe symbolism (p 109), la cosa no paece tan gave Paa esteauto paece como si tanto la inestabilidad de la justa entonación como eltempeamento igual se deivasen de las amaciones de Benedetti y esen

patimonio de los nuevos tiempos Recodemos que el tempeamento mesotónico suge justamente como solución a la citada inestabilidad mientas unauto «anticuado como Salinas ha expuesto el tempeamento igua A pesade los esezos de Palisca no paece que la nueva ciencia expeimental seaimpescindible paa los cambios de anación de la escala o la evolución delestilo musical Despus de todo tampoco ea tan innovadoa la popuesta deBenedetti que simplemente explicaba las consonancias de la justa entonación en unos tminos sicos que povenan de la Antigüedad sin apotaninguna pueba expeimental de sus conclusiones Además de que el nuevo

paadigma ondulatoio sigue teniendo poblemas como luego veemos Unoobvio po qu la elación de ecuencias de 5 a 6 es consonante y no la de 6a 7? ¿A qu se debe esa uptua? De todas mas Benedetti establece que en



n d / n n elg

· p d 143

érmns de ecuenca de concdenca la jerarquía de las razones podría ser:1 : 4: 5 54 65 75 85 No habría una rupura abrupa enreconsonanca y dsonanca solo un connuum de nervalos más o menos _

consonanes Corresponde en cualquer caso a la aprecacón muscal másque a la ceníca deermnar la consonanca de nervalos del po 75 o laconnudad enre consonanca y dsonanca En el sglo sguene IsaacBeeckman Ch Huygens y Marn Mersenne endrán en cuena esa posbleconnudad Descares drá que es el oído quen decde enre consonancasdependendo más del conexo muscal que de la raconaldad ceníca

A nal de dcha cara el propo Benede hace un cálculo puramene numérco del grado de consonanca de cada una de ellas por el procedmenode mulplcar los érmnos de su razón al ser guales en los érmnos de cadaconsonanca los producos del número que represena la longud de la cuerda por el del número de sus respecvos períodos (en la V por ejemplox x) Así unísono 1 (x) VIII (x) 6 (x) I 1 (4x)VIM 1 5 II IM 0 Im 0 y m 40 (obsérvese que aparece la VIM másconsonane que la IIIM) Lsas parecdas raerán Mersenne o luego EulerCon ello Benede parece desandar el camno ya recorrdo al explorar la«mrabls analoga exsene enre el placer que produce cada consonanca yel produco de sus érmnos volvendo a un cálculo puramene especulavo

no muy dferene al de los pagórcos o Zarlno Palsca por supueso oeceora aprecacón (véase Cohen 1984 pp 7677)

Gaeo Gae (1564164) Quen sí perenece ya al nuevo paradgmaceníco es el hjo de Vcenzo Galeo Galle A nal de la «jornada prmera>> de los Dscors (168) Sagredo y Salva hablan de músca (pp 19007de a edcón casellana) El objevo es deducr «de experencas fácles y aalcance de los sendos («da cos cl e sensae esperenze) las razones de lasmaravllas que ocurren en maera de sondos Galeo enconrará la conr

macón expermenal y supuesamene vsual de las razones naurales («rme naural) de las consonancas problema que se rerorae a los neresespaernos Y lo hará en los números más sencllos (los del senaro)

Los problemas expuesos son dos «por qué me agradan esas o aquelasconsonancas más que oras e ncluso algunas no sólo no me agradan snoque me producen un prondo desagrado y «el problema an mando de lasdos cuerdas empladas al unsono de al rma que s se oca una vbra ysuena la ora

Su argumenacón comenza y ermna en cuesones referdas a péndulosPara raar e segundo de los probemas menconados raza una analogía conla socronía de la osclacones de péndulos de gual longud descubera porél Una cuerda he sonar ora cuerda no sólo unísono sno a la ocava y a



1 fdó

o

hó·

la quinta Ello es debido a que las vibaciones de la cueda pulsada «impimen en el aie cicundante ondulaciones temolantes que yendo a tavés delespacio hacen que ota cueda anada al unísono comience a movese un

poco hasta acaba vibando igual que la pimea y con la misma amplitudNo paece fácil conta la ecuencia de las vibaciones sonoas «a causa dela enome ecuencia de aquéllas Po ello tae Galileo dos supuestos expeimentos que pemitiían visualia las ondas y sus aones Uno es el conocido expeimento de ota con la yema del dedo el bode de un vaso con agua« ya que entonces se pecibe que las ondas se van mando en el agua conuna pefecta egulaidad [ ] Muchas veces me ha ocuido que al hace sona del modo indicado un vaso bastante gande y casi lleno de agua he podido ve pimeo la mación en el agua de ondas muy egulaes y después

si sucedía que el tono del vaso saltaba a una octava más alta también podíavese que en el mismo instante cada una de las ondas se dividía en dos hecho que pueba con claidad meidiana que las elaciones numéicas que expesan los intevalos de la octava están en popoción de dos a uno (« accidente che moo chiaamente conclude la ma dell'ottava esse ladupla)

Tas menciona las tes vaiables que inciden en la altua de una cuedalongitud tensión y goso (peso) eee el oto supuesto expeimento que

pemite ve las aones ente las ondas Saviati lo considea una «bellísimaobsevación que nos pemite distingui una a una las ondas poducidas polas vibaciones del cuepo que esuena y que después se popagan po el aiehasta alcana el tímpano de nuesto oído

El segundo expeimento lo menciona el popio Salviati «l puli con uncincel de hieo alado una chapa de latón [ ] mientas mova el cincel convelocidad sentí una o dos veces ente el echina de aquél un sonido quebotaba con mucha ea y claidad [un sibil m gglir e chir Miéentonces la chapa y pude obseva una laga y bien odenada seie de ayadu

as muy nas [vergte stili paalelas ente sí y sepaadas las unas de lasotas po intevalos iguosamente iguales [egulissimi intervi» Repitiendo el expeimento Galileo hace otas obsevaciones adicionales que elacionan lo agudo del silbido con la cecanía ente sí de las estías siempe en pefecto oden El temolante cincel se compotaía «igual que nosotos cuandohablamos Los silbidos poducidos po este pocedimiento hacen viba doscuedas de un clavicodio al unísono con aquéllos a distancia de quinta Miando las ayaduas coespondientes se veían esta en elación de 45 a 30, laaón de la quinta (« quale veamente

la ma che si attibuisce alla dia

pente)De todo lo anteio Gaileo saca la conclusión de que «las aones de los

intevalos musicaes no tienen como causa póxima e inmediata la longitud



146

G. Zalino

G Galie

Af arió1r

1

fO

históco

J Keper

M Mesenne



Lo no d cn ac n el s

g

l XV óos pons el 14

cientícos la investigación de las popiedades del sonido su poduccióntansmisión y pecepción el cálculo de la ecuencia de vibaciones etc Peose oece ahoa sobe todo una explicación siológica de la pecepción de la

consonancia en nción de la coincidencia de las pecusiones ecibidas en eltímpano del oído

El agmento temina con oto expeimento visual en el que se utilizan dosleyes del péndulo mencionadas al pincipio utilizando bolas de plomo colgadas de hilos paa conclui que la conmensuabilidad de las vibaciones de tales hilos pemiten la epetición de los peiodos. Su inconmensuabilidad poel contaio no se da la vuelta al punto de patida sino tas lago tiempo loque poduce desoden y malesta tanto en la vista como en el oído

... u f [ ] odno gugne nelleo momeno l emne de loo bon e d omne un lo ml peodo. M qundo le bon ddue o p l no o nommenubl he m non onno emn onodemene deemn nume d bon, o e pu non eendo nommenubl onndo dopo lungo empo e gn numeo d bon llo l onfnde nellodne dodno d egol neu, e ludo on no ee gl ppul nempe de emo dell he en odne e egol nno ee u! mpno (Discorsi I

Esta es la exposición clásica de la teoía de la consonancia bada en la ecuente coincidencia de pulsos vibatoios Muy paecida seá la denición deconsonancia de un teóico una geneación posteio como Ch Huygens « pecussion odonneé de l'ai qui agissant dans note oeille poduit le plaisi desconsonances . 0 x 364 En Dostovs p 01) Huygens no obstanteno quiee i más lejos en busca la causa de «estos placees de la consonancia

La teoía ondulatoia basada en la coincidencia de pulsos paece sencillaclaa y denitiva peo plantea usa seie de inteogantes agunos de los cua

les estaban ya en la teoía de Zalino y que otos teóicos intentaán esolvemuchas veces en vano. Estos son los siguientes

a) ntevalos con el númeo Hay una uptua ente consonancias y disonancias a pati de la coincidencia de 5 a 6? La teoía paece indicaque más bien debe tatase de un continuum El intevalo de azón 6(4) debeía se un poco menos consonante que 6:5 (0) y 4 (8)debeía selo algo más Más tade Ch Huygens se encaaá con los in

tevalos de séptima a avanza tas Mesenne hasta el séptimo pacialb) La consonancia de la V debe se mayo que la de la M puesto quela coincidencia de pulsos vibatoios es anteio y mayo (4 y 3 entea 5 y 4 Este es un viejo poblema que se emonta al menos hasta



1 nó

J

o

hó

Tinctoris (14) y continúa hasta el presente Con e ascenso de lasterceras en a polinía, la cuarta, de razón más sencilla, va quedandoreegada a un lugar secundario Descartes por ejemplo basa en gran

parte su estética distinguiendo entre consonancias cientícamentemás «simpes» (simples) «duces y perfectas» (ouces pites)como la cuarta, y consonancias sancionadas por la práctica musical,estéticamente más «agradabes» (grebles) caso de la IIIM Algo parecido hará Mersenne

c) La teoría da por supuesto que las ondas comienzan y terminan a lavez Pero podría suceder que en una consonancia las ondas respectivas comiencen y terminen con un igero retraso unas respecto aotras En ese caso la coincidencia no se daría nunca No parece sinembargo que esto ocurra

d) Pudiera ser que las notas de los intervaos temperados nunca coincidan, lo cual no hace que el oído «los reciben con disgusto» Es más,cuanto más ligeramente esté desviado un intervalo más tarde coincidirán las pulsaciones si es que o hacen, pero, al contrario, la experiencia auditiva indica que los temperamentos son más soportablescuanto menos desviados estén los intervalos respecto a as razonesjustas

e) Ese «continuo suplicio de plegarse a dos rmas distintas» no pareceexistir en el uso de las disonancias que pueden constituir un ctorestético

Habría que esperar a descubrimiento de los armónicos, a la teoría armónica de Rameau y al análisis cientíco del oído (Corti y otros) para queHemholtz aportase en el siglo algunas soluciones a todos estos probemas La percepción auditiva no es tan sencila

A excepción de teóricos cientícamente rezagados, la asociación de la altura con la ecuencia y su proporcionalidad inversa a la longitud de la cuerda es el suelo compartido en que se mueven os nuevos teóricos El sonidoconsiste en una cierta sucesión de pulsos o percusiones más o menos rápidasGaileo los llama percosse Descartes, secousses Mersenne y Huygens, bttements

c Beecn (1588163), por e contrario, mantiene una visión corpuscular del sonido, lo que a diferencia de la teoría ondulatoria permitiría

explicar por qué podemos oír a la vez sonidos procedentes de distintas direcciones En 16 14 1615 encuentra una prueba que relaciona la altura con laecuencia de vibración y e inverso de a longitud de cuerda, que comunica aMersenne y éste publicaría posteriormente (1636). Se trata de una prueba



Los inis nc ac n sigo V y eórms mp01ae d H 149

geométrica que muestra cómo longitudes de cuerda de razón 1 2 (octava) vibran en ecuencias : 1

h

e m

En la gura la cuerda cb es la mitad de ab A ser pulsadas tienen ambasuna misma rma triangular de rma que h 2 lm. A soltarse vuelven a sulugar de origen con la misma velocidad puesto que tienen la misma tensiónclb pasará dos veces por el punto m mientras ahb lo hará por sólo una alser la distancia h doble que lm. Este resultado se generaliza para el resto delos intervalos y para cualquier sonido La distancia recorrida en las sucesivas

vibraciones va disminuyendo pero como la altura tonal del sonido se mantiene la misma hay que suponer la isocronía de las vibraciones es decir queel movimiento de cada vibración se hace más lento para poder recorrer en elmismo tiempo espacios cada vez menores

René Desctes (159150) escribió su primera obra el Compniummusic a la edad de 22 años mientras era soldado en Breda La obra es tradicional y reseña lo que el autor aprendió de música con los jesuitas de LaFlche. Las innovaciones dignas de reseñarse que aparecen en ella muestran

ya la asunción de las nuevas teorías sicas y parecen deberse a sus conversaciones con BeeckmanLa división del monocordio consiste en la bisección continua de una

cueda B en C CB en D CD en E y CE en de rma que todas las con-sonancias se encuentran en ésta:

At

B

C F D

V AC AB; V AC AD V AD AB; M AC A De esta rma todas las consonancias se generan a partir de la misma cuer

da a la que meau convertirá en «el sonido generador» «el bajo ndamental.



e / a aa l XVIy p l 151

Llega así paa cuedas de la misma densidad a la ley de la cueda vibanteque lleva su nombe:

l\

Esta ley es coecta paa el modo ndamental y elaciona las difeentesvaiables: la ecuencia con el inveso de la longitud la aíz cuadadade la tensión y el inveso de la aíz cuadada de la sección o la densidadlineal de la cueda µ

Uno de los pincipales méitos de Mesenne es enentase a uno de losetos más difíciles de la ciencia del sonido del siglo explica las múltiplesaltuas que podían escuchase en una cueda cuando vibaba es deci el poblema de los amónicos (el témino no e acuñado hasta 1701 po . Sauveu) nvestigó en vaios instumentos viola ógano instumentos de viento tompeta maina etc Los escucha detenidamente en múltiples ocasionesy con suma concentación y está seguo de que los amónicos poceden todos de la misma cueda El pimeo de ellos la octava apaecía ya ampliamente mencionado en los tatadistas anteioes comenzando po los seudoaistotélicos Problemt (xix) elacionado aquí con la esonancia simpatéticaMesenne econoció no sólo la octava supeio (VII 2: 1 ) sino la octava más

quinta (XI : 1) doble octava 4: 1) y doble octava más tecea mayo(XI 5: 1) que siguen la azón de los númeos 1 :2 ::4: 5 (ej DO Do Soldo mi) i Descates ni ningún miembo de su cículo podía explica poqué sucedía esto Ea un fenómeno paadójico puesto que si identicamosaltua con ecuencia el que haya vaios sonidos simultáneos signica queuna cueda puede viba con más de una ecuencia a la vez algo que le paece imposible Mesenne intuyó no obstante la elevancia musical del fenó-meno de los amónicos al ama que el sonido de una cueda es más amonioso y agadable cuantos más sonidos dientes se escuchan al mismo

tiempo ( 66 l iv e inst l p 21 1) De los amónicos de la tompetalos mismos que los poducidos po una cueda deduce la natualidad del oden de las consonancias «D'o il est aysé de conue que l'ode des Consonances est natuel & que le maniee dons nous contons en commenant palunité iusques au nombe de six & au del est ndée dans la natue(p 25 )

nvestigó también sobe instumentos de vento peo éstos constituanun auténtico eto paa los investigadoes a pincipios del siglo A dife

encia de las cuedas que viban únicamente en el modo ndamental laauta paecía hacelo en tes modos la tompeta en muchos más mientasque los tubos de ógano no se compotan de la misma ma como seía deespea Mesenne apela a la obsevación de la atualeza y consulta a los



o ío d cna cúta

g

o v óo mportant d 153

J Sauveu (1511) matemático del College Royal menciona a Walisen su lectura a la Academia del 5 de marzo de 101 Pero a dierencia de losingleses dedicados a observar el comportamiento de las cuerdas Sauveur in

duce directamente los nodos en ésta haciendo que vibre en modos más agudos (se trata como se verá de modos de vibración más que de parciales armónicos) Mientras reere el experimento introduce parte del vocabularioacústico vigente hoy día «sonido armónico <nodo «modo «Apelle sonhrmonique dun Son ndamental celui qui it plusieurs vibrations pendant que le Son ndamental nen it quune ainsi un Son a douziéme duSon ndamental est harmonique parce quil it vibrations pendant que leSon ndamental nen it quune Si dividimos una cuerda en partes iguales por ejempo en cinco la cuerda total dará el sonido ndamental (Son nmentl) Si ponemos un obstáculo ligero en 15 de la cuerda de rmaque el movimiento se comunique a la otra parte se produce el quinto armó-nico es decir la 1ª (xV + M). Esto se comprende si consideramosque 15 de a cuerda vibra cinco veces más rápido que la cuerda total obi-gando al 15 vecino a seguir su movimiento llegando a ser igual Esta últimaparte obliga igualmente a la siguiente a vibrar cinco veces más rápido que acuerda total etc de rma que la cuerda dividida en cinco partes acabarávibrando cinco veces más rápida que toda ella y se producirá el quinto armó-

nico Estos puntos de división de la cuerda os denomina <nodos y sus mita-des donde más vibra la cuerda «vientres «Jappelleray ces points . les Noeus de ces onduations & les milieux de ces onduations seront appellez snes de ces ondulations Lo mismo ocurre si e obstáculo se coloca en elsegundo nodo porque la acción de la parte larga de la cuerda que vibra a lamisma veocidad que la corta será igual 25 La quinta parte restante al vibrar con su ecuencia (cinco veces má rápido) obigará a las demá a hacerlode la misma rma como ocurría en el caso anterior No importa en quénodo se cooque el obstáculo el resultado es siempre el mismo El sonido armónico será así siempre proporcional a las partes alícuotas en que dividamosla cuerda. Visualmente se aprecia e resutado colocando trozos de papel etitsmore ppier) negro en os nodos y blancos en los vientres; estos últimos«saltarán mientras los negros «reposarán. Viene a continuación la reerenciaa Wallis.

Colocando de nuevo un obstáculo sobre uno de los vientres se produceasimismo el armónico correspondiente del armónico primero y del sonidondamental (en el caso anterior sobre el ° vientre sería el 15° de nda

menta) Finalmente si deslizamos un obstácuo ligero a lo argo de unacuerda vibrante se escuchará un conso orden de armónicos « on entendra un gazoüillement de Sons harmoniques dont l ordre parotra conspero podrá establecerse con los criterios precedentes Posteriormente Sau



154 Aó y tpo

hó

veu lega a detemina que todo sonido musical contiene una mezca de amónicos Lo hace en sus investigaciones con el ógano instumento quepuede eza deteminados amónicos consiguiendo así divesos timbes

que los oganistas mezclan «asi como los pintoes mezclan los coloes(1702) Muesta que todo sonido es en eaidad una mezca de sonido ndamental y algunos de sus amónicos

Oos pectos

Hay otos ítems efeentes al sonido muy impotantes peo que atañen menos a la nalidad de este texto como son la deteminación de la ecuenciaabsoluta de os sonidos o su veocidad de popagación. Sobe el pimeo yaMesenne insinúa que se puede detemina a ecuencia sonoa en tonos tangaves que as vibaciones de la cueda a se laga puedan contase visuamente. Peo es en la siguiente geneación cuando se hacen os expeimentosdecisivos En mazo de 1 8 1 Robet Hooke pesenta en la Royal Society uninstumento que quizás po pimea vez muesta la natualeza peiódica delsonido musical Se tata de una ueda dentada sobe cuyos dientes pecuteuna pieza de metal. Vaiando la ecuencia de otación se vaía la altua de

sonido Un año después Ch Huygens pefeccionó el método y mostó visualmente as azones de ecuencia de una quinta una cuata y una octavaUtiliza paa ello dos uedas de difeente tamaño conectadas po una coeacon una punta metálica que golpea una pieza de metal en cada evoluciónCaculó también de esta manea la ecuencia absoluta de una nota de su cave Se la conoce hoy día en la liteatua ancóa como «ueda de Savat (roue e Srt) po se éste quien a pincipios de siglo la eutiizó pefeccionándoa.

Paa calcula la ecuencia absouta de un sonido (son e) Sauveu( 1700) utilizó los batidos que se poducen ente dos notas cecanas. Tomópaa ello en dos tubos de ógano un semitono meno gave de azón 2425(puede hallase cilmente mediante dos teceas mayoes ascendentes y unaquinta justa descendente) El que sea este intevao y sea gave hace que losbatidos sean sucientemente lentos paa pode contase Los 4 batidos que sepoducen multipicados po el sonido agudo (25), dan una ecuencia de100 Hz Este esultado paa el Mi gave da paa el La a ecuencia de 421Hz (ente a los actuales 440)

Más tade l Newton (1421727) utiizó este esutado en os Principipaa detemina la velocidad del sonido establecida en la mua

v .

lasticidad densidad del medio



156 An

ntos hstro

pecisas que deteminan el place poducido po las consonancias que estibaen e oden de suavidad de sus azones, en su «gadus suavitatis» (c. , «Desuavitate et pincipiis hamoniae», donde establece una escala de intevalos

según tal gado de suavidad). Se tata de una concepción casi metaísica delplace musical, basado en la capacidad de la mente paa la compensión de lasimplicidad de sus azones Es la mente, no el odo, quien compende la elación del todo con las pates y uzga el gado de suavidad de los intevaos según su sencillez « . . hoc ego modo cile eit istas consonantias chodis expimee atque e ipsa expeii, quae sit peceptu cilio quaeve dicilio»(11, , p60). Paa deiva las eglas que ndamentan dicho oden en el gado de suavidad basado en la ciidad de la pecepción de los intevaos, Eule azona más o menos como sigue (c

11,«e suavitate et pincipiis hamo-

niae», pp. 7 y ss. Los apatados coesponden a los núms , 4, 5, etc.)

a) La azón tiene el pime gado de suavidad, «pimum suavitatisgadum constituit»; el segundo, 4 e teceo, 8 el cuato, 6el quinto . y en genea, tiene el gado de suavidad n+ . De estama, los intevalos siguen un oden en a ciidad de pecepción(equliter in fcilitte perceptionis proeintur) Es más difíci pecibi el v gado que el iv, éste que el iii y éste último que el i i

b) Como tiene el gado i, , ii, , iii 5, v, 7, vii, en geneal p, siendo p pimo, tiene p gado de suavidad. A unta cuaquieintevalo con la dupa (octava), éste disminuye un gado en su suavi-dad 4 ( ) coesponde al gado iii, 8 ( ) al iv, etc Si p co-esponde al gado , 1 2p coesponde a gado +, 4 a +,etc. En geneal, p petenece al gado +n ( = = v(+) gado)

c) En azones de tipo pq y q pimos), el gado de suavidad de pqqueda establecido mediante a popoción aitmética pq es p

como q a , o, ya que el gado de suavidad de p es p y de q, q,la popoción aitmética ente pq, p, q, , hace que el gado de sua-vidad de pq sea lógicamentep+q . (En toda popoción aitméticade cuato númeos de mayo a meno con diencias iguales enteelos, a suma del ii+iiiiv = i. E , 08 64, 8+64= 0). «Simii mododeteminae licet gadum suavitatis ationis pq, si p et q eint numei pimi nam atio q eo magis est composita quam p, quo q magis est composita quam Ego ationis pq gadus cum p,q et debet popotionem aithmeticam constituee, unde eit igitup + q »

d) Si P petenece al gadop y Q a q, PQ petenece ap+q En una azón de tipo pqr , q, r pimos), ésta equivale a a com



58

Anan tpae br·.<

Trae Euler la coocda lsta de grados de suavdad de dversos tervalos ycsoacas (bsoas)

Grdo de suvidd(I:II:

I:IV:V:

VI:VII:

VIII:IX:X:

ec.

ones1 1 )13 141 6 3 1 81 5 19 12 3 1 161 10 25 1 1 8 29 1 24 38 1 321 7 1 1 5 3 1 20 1 27 1 36 49 1 8 3 1 6 1 641 14 27 ( ) ( : ( ) 89 ( ) 11281 21 37 ( ) 47 ( ) 5 9 1 60 ( ) 9 1 6 ( ) 12561 42 3 14 ( ) 9 1 0 ( ) 8 15 ( ) 1 512

La clascacó de os tervaos segú su gradus suavtats es V ()V (v) V (v) VM (v) M (v) m (v) Vm (v) TM (v) Tm(x) Ua cascacó que coloca tervaos como 19 ates que as terceraso equpara e grado de suavdad m y TM

Las eyes de Euler pretede teer ua apcacó uversal e a músca

Puede haarse el gradus suavtats o sóo de ua accó o ua sere soque el procedmeto se extede a ua meoda etera e cotraputo la armoa y e u troz completo de músca que sempre puede expresarsee accoes Cotúa co e cáculo de expoete de escaas mmes)cocretas y geros dode ya o le segumos (vase el captuo V y ss deTntmen

Auque Euer deja muchas cosas s explcar adecuadamete como a dreca de los acordes segú su versó o a cuestó de as sptmas etceste últmo puto goza de ua especa atecó hoy da Euer exama e

acorde de sptma domate e os úmeros 457 y 45544 co expoete 840 2 5 174) revaca de aorde de sptma coel armóco atural 47) haba aparecdo ya c Huyges y cotúa oEuler y Tart mostrado a pogresva mporaca que va adquredo ea práctca y teora muscales

A pesar de carácter u tato aprorstco de sus teoras stas gozao deua ampla dsó y aceptacó etre los teórcs de sgo Como atecedete de a obra de Helmhotz es teresate obsevar la gradacó de ostervaos s estabecer ua ruptura drástca etre cosoaca y dsoaca ola mecoada cosderacó de la sptma e a razó 47 El propo Helmholtz recoocerá que la clacacó eulraa tee muchos putos e comúco la suya a pesar de o sustetarse e gua base sca o soógca



la a úa el

lo ó pans dl 159

Jean Phiippe eau (1814) De todas las leyes de la acústica lamás inteesante paa los músicos e sin duda la de las vibaciones amónic En su ité rmonie (122) JeanPhilippe Rameau había cons

tuido un nuevo sistema de cote matemático sobe las azones de la divisiónde una cueda Cuando luego se enteó de las investigaciones de Sauveu( 101) descubió el pincipio que había estado buscando paa su teoía del«bajo ndamental» como denominaba a la nota gave de una tíada con lasnotas dispuestas en teceas El bajo ndamental había de detemina nosólo las cadencias en la amona sino todo un sistema completo de teoa ypáctica musicales a pesa de algunos fallos intenos de la teoía que eonciticados po matemáticos como dAlembet y Eule Su concepción de laamonía como ciencia deductiva y natual lo constituyen la amonía educida a númeos junto con la búsqueda de un pincipio unicado de ésta Lostéminos que apaecen en los títulos de sus obas son de po sí signicativos:«Amonía educida a sus pincipios natuales» «Geneación amónica» «Demostación del pincipio de la amonía»

La base de la teoía de Rameau es que toda cueda sonoa emite ademásde su sonido ndamental («généateu») una seie de sonidos compendiendo además de éste la duodécima (+) y la decimoséptima mayo( ) Es como se ve una extensión del sistema de Descates con esa

mezcla e geometía de los segmentos (cuedas) y acústica elemental En elto e rmoní (122) nos dice «El sonido es al sonido como la cueda es a la cueda; cada cueda contiene en sí todos los demás menoes queella peo no los que son mayoes; en consecuencia también en cada sonidotodos los agudos están contenidos en el gave» (p )

En una sola cueda AB pueden establecese todos los intevalos mediante

divisiones suecesivas ( ABAC; AEAC etc) Los intevalos más agudos están contenidos en ésta y son poducidos po ella cueda que constituye en su totalidad el sonido ndamental el pincipio geneado de los demás y que es elevado a pincipio de la amona

En el capítulo at 1 , que lleva po título «Du pincipe de lHamonieou du son ndamental» se nos dice que los sonidos poducidos po la cueda total son «engendados» po ésta « les Sons que doivent ende ces codes divisées sont engendez du pemie qui en est pa consequent le pincipe

&le ndament» La amonía no puede se pefecta sin este pime

sonido ndamental: «Si ce pemie son ne egne au dessous d eux commeen étant la Bsse & le Fonement ce pemie son est encoe le pincipe deces Consonances & de lHamonie quelles ment » (p 5)



160 nan man

hro

Tas considea las divesas consonancias y disonancias, pasa en el c VIII(p 4) a estalece la pate más conocida de sus descuimientos amónicos,asada en ese «ajo ndamenta y «geneado de la amonía antes estale

cido e tata de la invesión de los acodes (Du reversemet es Accor) odel acode pefecto mayo y de los que de él deivan

Acorde de 6 y 4

Mi 10DoSol

86 Sol

MiDo

654

Acorde pereco

Acorde de 6

DoSolMi

865

Tas a lectua de auveu, Rameau oeceá en las oas posteioes unaintepetación sica de todos estos elementos asada en la «esonancia delcuepo sonoo, en la sencilez y la natualidad de os acodes Las pimeasseis notas de la seie amónica están dispuestas como un acode equivalente auna tíada mayo soe un ajo ndamental (véase el Apéndice 11. u sistema pasaa a se «natual eguimos la exposición más asequie de DAem

et (1 75, 177, p 14 y ss)A hace esona un cuepo sonoo se oyen, además de a octava, otos dossonidos muy agudos po encima de sonido pincipal, la 1 (VIII+ y la17 (xVIII+IIIM) Esto, nos dice DAlemet, es especialmente notoiopaa un oído un poco expeimentado en las cuedas gaves del violoncelo Esonido ndamental se llama «geneado eerteur) y los otos, «amónicos Mediante la educción po la octava (dos sonidos suenan casi iguales enla octava), podemos considea al acode mayo una oa de la natualeza('ouvrge e ture) el más agadae, simple y natual de todos (e pus

simpe e pus ture e tous) en cuanto tiene su oigen en la popia esonancia del cuepo sonoo La expesión «la ésonnance du cops sonoe seáuna continua muletila en os teóicos anceses posteioes implicidad ynatualidad están en la ase de la concepción amónica de Rameau Hay queecoda que el Tto e rmoí es de 1 7, a misma fecha en que J Bach completa la pimea pate del Cve bie tempero (a segunda no seecopila hasta 1740)

La nueva concepción acionalista y natual de Rameau tiene vaias e im

potantes consecuencias paa la música del Baoco En pime luga, educetodos· os acodes de una tonaidad a unos pocos (1, IV y V) y sus invesionesEl nuevo hointe amónico lo constituye ahoa la modulación a dientestonaidades mediante la pogesión del ajo ndamental po quintas o cua



L i1 de l cma acúa m elsigÚH'l t'Ór mporante dl X' 6

G. Tii

Ch Huyges

] Ph Rme H L v Hemholtz



1 Af adón y tpo hó

tas (en uga de bao continuo baoco) tónica de a tonaidad inciaeece sobe e esto de a comosición una esecie de atacción gavitatoia(cicada a veces de «newtoniana>>) meodía deiva de a simicidad de a

amonía mientas que cualquiea que sea e temeamento que se adote asdifeencias inteváicas seán oco sensibes a oído que odá toeaas «sanseine» ocuado únicamente en escucha su eación con e bao ndamenta(1772, 59) Con a adoción de temeamento igual e caácte oio deuna ieza no viene dado tanto o a tonaidad eegida (esta ea a cave de adefensa de os temeamentos ieguaes ente a igua) sino o otos cto-es ente os que se encuenta de manea destacada a moduación a otas to-naidades « enteacement des modes» (1772, 57)

Peo hay un unto nego en a teoía de Rameau Si mediante a «eso

nancia de cueo sonoo» suge e acode mayo no ocue o mismo con emeno que no aaece en a seie de amónicos Tas difeentes intentos ousticao Rameau no o consigue La «usticación» de acode menooecida o D'lembet (1772, 20 y ss no aaece en a 1ª edición de1752) es a siguiente: Do hace esona Mi y So eo Mi no hace esona So(su m) Paa eo haía falta oto sonido esecto a cua So esonase como17ª, igua que Mi esecto a Do Ese sonido seía Mi� una M más gaveque So En este caso So es geneado tanto o Do como o Mi� eo Mi�no o es o Do (como ocuía con

111y en e acode mayo) y o tanto e

acode meno aunque también dictado o a natuaeza es un acode me-nos ecto y natua que e mayo («e mode maeu est ' ouvage immédiatde a natue»)

Giuseppe (1921770) En e caítuo 1 ( 119) de Tttto(1754) G Tatini dice habe descubieto en 1 7 1 4 un nuevo fenómeno a-mónico que ueba o ya sabido sobe a seie de amónicos «y mucho más» Dados dos sonidos de cuaquie instumento musical en que e sonido ueda

mantenese (tomas instumentos de aco oboe etc) se oduce un tecesonido más gave (tero suono) que es oducto de estos dos Hoy día os de-nominamos «tonos (o sonidos) esutantes» o da a imesión subetiva dea existencia de un «tece sonido» más débi en una ecuencia coesondiente a a difeencia ente as ecuencias de os dos sonidos dados Se ceeque es un efecto subetivo debido a a esencia de esonancia no ine en eoído Junto a os tonos adicones hacen os «tonos de combinación» (véasee éndice 11

E tono difeencial («tece sonido») coesondiente a una quinta cuyas

notas tengan as ecuencias 00 y 200 Hz tendía a ecuencia de 100 Hz(00200) y coesondeía a una octava más gave que a más gave de asdos notas de intevo de quinta En e caso de una tecea mayo de 400 y



. c d cca cúa

g

mpran d 163

500 Hz el sonido diencial sea asimismo de 1 Hz (500400) peo que-daa dos octavas más gave que la nota gave del intevalo ( 1 :4) aunquepuede conndise con el de una octava En cualquie caso se tata de una

impesión subjetiva sin existencia eal objetiva.Como señaa Tatini es un fenómeno que apaece sobe todo en instu-mentos en los que el sonido puede mantenese como en su caso ea el violnSi hacemos sona a la vez en un violn nos dice los siguientes intevalos pectamente anados se tendá un tece sonido pefectamente distinguiblepo debajo MiDo (DO) MiDo# MiSI (MI) etc La lista incluye lasconsonancias tonos y semitonos.

A pesa de su no existencia objetiva es un nómeno que tiene su impotancia en el colo tonal apotado po los intevaos justos. Tatini y sus segui

does cean que se tataba de un sonido objetivo eal y le dan una gan im-potancia ente a las teoas de Rameau po esa cuaidad tona de este tecesonido Tatini haba ledo a Rameau peo como Valotti echaza sus teoassicas volviendo la vista a la tadición matemática italiana Zalino pincipalmente que estableca los cálculos en téminos de longitudes de cueda (Wal-ke 1978 p 1 y ss.) El terz sun establecea un puente ente las teoasmusicaes matemáticas y fsicas Tatini dice habe descubieto el fenómenoen el violn en 1714 mientas otos teóicos lo descuban iguamente antes

que éste hiciese públicos los esultados Es el caso de G A. Soge (17451747) desconocido paa Tatini peo el pimeo en hace pública su descipción

A magen de agunos eoes lo impotante de la teoa de Tatini es quecualquie intevalo ente los téminos de la seie de amónicos tendá siem-pe el mismo «tece sonido 1: el bajo ndamental (véase el Apéndice paa algunos intevalos) As de 1 : y 1 : 1 : y 1 :4 1 :0 y 1 : 1 1 : 100 y1 : 11 etc. siempe da el mismo tece sonido difeencia 1 :. «ntanto pemezzo di tal fenomeno esta sicamente stabilita la unitá costante in innito

in 1 : come adice sica del sistema amonico. Multiplicando los téminosde una azón supepaticula el poducto es el «tece sonido (4:5 4x5=0;0:5 :4 1 : 1 /4: 1 /5) Como indica Walke (1 978 p 18) «el fenómeno de lostonos difeenciales eeza de hecho la seie de amónicos y es quizás legtimo mantene como hizo Tatini que povee de una base fsica más segua alas azones de las consonancias que lo que lo hace la seie de amónicos Notodos los instumentos poducen la seie completa de amónicos o la mismaseie mientas el terz sun al se un fenómeno que se poduce en el odo

seá siempe el mismo cualquiea sea la natualeza de la ente sonoaA pesa de los numeosos eoes de Tatini ya señalados po See (Walke ibidem p 19) la teoa gozó de un amplio consenso mostándosecomo altenativa a la de Rameau Rousseau po ejemplo se hace eco de ella



1nacn am1to hitóo

en el atculo «Systme» del Dictionnire Musique Indica al el «son po-duit» po los divesos intevalos que apaecen en la seie de amónicos laVIII no da ninguno la V da el mismo que el gave la IV la octava del agu-

do la IIM etc; el esultado es siempe la misma nota como haba señaado Tatini «He aqu entonces po este nuevo nómeno una demostaciónsica de la Unidad del pincipio de la Amona» concluye Rousseau

concepciones de Tatini eezan el concepto de bajo ndamentalya que el terz suono habitualmente eeza la nota del acode que Rameauidenticó como el bajo ndamental y que también Tatini acepta como lapieda angula de su sistema Ambos autoes se entetienen a menudo en es-peculaciones matemáticas geométicas y de todo tipo que no han aguantadomuy bien la ctica posteio Tatini más incluso que Rameau es un pensa-

do un tanto anacónico paa el tiempo en que vivió po sus concepcionesaitméticas y metafsicas que se etotaen a la antigüedad clásica y a Zalino.Hoy da nos paece más impotante como violinista o como composito ypueden espigase en sus obas deteminadas pácticas instumentales popiasde la época como la posible anación justa de las cuedas al aie en el violn



7 emperaments mestónics del sigl

El siglo pesenta en lo tocante a los tempeamentos cietas analogascon el Son ambos siglos de tansición en los que patiendo de un sistema dado (la anación pitagóica en un caso el mesotónico estanda de 4c

en oto) apaecen multitud de nuevas opciones altenativas al sistema geneal Podemos dividi éstas en tes apatados a) modicación del mesotónicob) nuevos tempeamentos mesotónicos y c) tempeamentos iegulaes Tasuna intoducción mencionamos en pime luga las modicaciones a tempeamento egula paa pasa después a los nuevos tempeamentos mesotónicos popios de este siglo Debido a su impotancia deamos paa el captulosiguiente los tempeamentos iegulaes baocos

Ioduó

El mesotónico egula de 14c ea el sistema de eencia que como antes elboeciano se estaba quedando obsoleto ente a las nuevas exigencias de lapáctica musical Las altenativas que se oezcan dependeán tanto de losinstumentos a utiliza como de las tadiciones de los dientes pases

Como la voz el violn es un instumento que al caece de tastes es capazde oece distintas anaciones E posible que agunos violinistas anasen

ustas las quintas de las cuedas al aie (paece pobable en el caso de Tatini)aunque quizás se temeasen paa evita la M pitagóica SolMi de lascuedas 1 ª y 4ª o cuando se tocaba unto al clave tempeado en mesotónicoEl violn puede difeencia los sonidos enamónicos distinguiendo ente Re#



166 A{ncíu

o híófo

y Mi� por ejemplo Los «subsemionia se pueden enonces ejecuar en diferenes enonaciones sosenidos más agudos que los respecivos bemoles (modelopiagórico) o viceversa (modelo mesoónico o juso) El primero puede ser pre

ferible en la meloda el segundo en la armona En el siglo Ch Huygensse haba dado cuena ya de las diferenes implicaciones onales y emocionalesde las disinas onaidades en la disribución de las noas del mesoónicoComparando las onalides de Re menor y Mi menor en la primera los semionos inferiores a la ónica y la dominane son semionos diaónicos mayores (Do# y Sol# respecivamene) y por el conrario en Mi menor ales semionos son cromáicos menores (Mi� y Si�) siendo esa úlima onalidad « aquelque chose de plus plainif e de plus endre cause des cadences qui sen par ces demions mineurs e aussi quelque chose de rise

cause de

quelques consonances qui en deviennen un peu usses e de ce qu on yemploye le ri on [Mi�La au lieu de la usse quine [Do#Sol p 7) Melódicamene es preferible la cadencia MiMi�Mi pero armónicamene sera preferible MiRe#Mi: « mais dans des accords surou la derniere noe dune cadence ou la basse es B le D# vau mieux (ibdem p 74En Barbieri 1986 p 4 14 n) go parecido puede darse enre la spimamenor y la sexa Huygens se muesra paridario de que el composior exploe arsicamene aes diferencias onaes que se dan en el mesoónico Hay

no obsane enre sus noas referencias a la posibilidad de subsemionia en elecladoDe los insrumenos de ecla el órgano es un insrumeno muy conserva

dor debido a su uso eclesiásico y a su especial sonoridad de noas manenidas Esaba anado habiualmene en el mesoónico de 14c El clave por elconrario es un insrumeno más grácil de uso en la música prona de sonido percuido y más propicio a la reanación coninua Esas caracersicashacen de l objeo de una coninua experimenación abiero a mayoresavenuras armónicas y de emperameno Más difcil es saber en los insru

menos como la aua o el oboe qu ipo de emperameno enanEn cuano a pases lemania con su radición organsica por un lado y

su relaivo alejamieno de la radición cienca de pases como Francia uHolanda por oro es más conservadora y maniene el mesoónico clásico de14c o los «buenos emperamenos prácicos que se reroraen a la anaciónpiagórica (por eemplo Werckmeiser) En Francia con la amplia radicióncienca maemáica y acúsica del siglo se prerirán los emperameno regulares mesoónicos aplicados a clavicmbalo y que suponen una evolución respeco a esándar 14c (por ejemplo Sauveur) lgo parecido ocurreen Inglaerra un pas muy radicional en la consideración de las erceraspero que elaborará nuevos crierios a la hora de elegir un emperamenoDada su propia radición cienca de core empirisa y ene a esquemas



T

n m

g

X 167

más abstactos de los anceses estos citeios seán de cote sico nda-mentalmente el poblema de los batidos (Smith) Italia po su pate mantenía ás qe ningún oto país la tadición clásica de los géneos Po un lado

el diatónico sigue consideándose el géneo «natal» y como tal se dieenciadel comático en la anación (Vallotti) Po oto y pese a la desapaiciónpogesiva de los teclados con «subsemitonia» esonaba todavía el géneo«enamónico» con intevalos menoes que el semitono Babiei (1987p 16) nos cuenta cómo el ancés Ch Hébet ( 17) eee los «vivas» quepodían escuchase en talia en los concietos incso en pesencia del Santísi-mo al toca una «cueda enamónica». Un ancés dice no podía sino mostasu disgusto ante estos hechos No obstante iban pogesivamente desapae

ciendo los instumentos con «cuedas enamónicas» en taia. A pesa de lo dicho y en meno gado peo también en Fancia obsevamos la dieenciaciónenamónica como lo muesta un teóico como J A See ( 176 pp 1 1) olo vemos en los intentos allidos de su puesta en páctica po pate de J. Ph.Rameau en el «Tío de las Pacas» de Hipólito Arici o en el teemoto delacto de Ls Inis glntes

En España tenemos a ese teóico tan inteesante como es J Zaagoza nosólo n expeto matemático capaz de cea esquemas cíclicos oiginales sinoque es capaz como hemos visto de popone el tempeamento igual en los

óganos a mediados del siglo algo que casi nadie se hubiese atevido ahacelo

Un cto decisivo en la música del siglo XI es la ampliación pogesiva del ámbito tonal lo que obliga a cea el cículo de quintas eliminan-do la quinta del lobo y pemitiendo la modulación a todas las tonalidadesalgo que ningún mesotónico oecía Paa consegui la libe modlaciónhay cuato posibles soluciones. Dos de ellas obligan a más de 1 notas pooctava Una es la antigua división enamónica de la octava la ota poviene

de los tempeamentos mesotónicos qe llevados a un númeo dado de notaspo octava pemiten una división egla de ésta Paa la páctica habitualde 1 notas po octava se poponen dos altenativas La pimea consiste en«tempea el tempeamento» habitual (1/4c) mediante la modicación delas alteaciones de ma que qede eliminada la díesis La segunda mucho más impotante consiste en distibui el comma pitagóico (o la díesis) ente algunas quintas de ma iegla y dieenciando ente tonalidades «diatónicas» y «comáticas» de ma que el cículo de quintas seciee. Son los llamados «buenos tempeamentos» los más impotantes del

siglo X



168 Ai pae

h<

odaió dl oóico

Duante todo el siglo

el mesotónico de /4c haba sido el tempeamen

to po excelencia el tempeamento estánda («sistema paticipato «optimum tempeamentum según Huygens etc) Peo el popio mesotónico de1/4c aplicado al ógano estaba sujeto a modicaciones como vemos poejemplo en las instucciones de anación del benedictino Dom Bédos deCees ( 770) sobe lnienne prtition que muestan un 1/4c egula con elSi un poco subido de ma que la IIIM SiRe bata lentamente siendo cota (H Legos 980 pp 485 )

modicaciones más impotantes del mesotónico en el siglo ián

destinadas a la eliminación de la quinta del lobo paa hace pacticables todas las tonalidades En cualquie tempeamento mesotónico notas diatónicas y comáticas se pesentan de la siguiente ma

Do Do R¡ R

Dejando jas las notas diatónicas Do R podemos altea las comáticasestableciendo un punto medio ente Do y Re que siva paa ambos Ello

supone subi un poco Do y baja un poco Re hasta que coincidan Estanota intemedia haa la nción de ambas alteaciones y dispondamos eneste cso tanto de una IIIM desde La (Do) como una Im desde Si (Re) Los dieentes tipos de tempeamentos dependeán de la mayo o meno alteación de la posición de las notas comáticas Es un planteamiento algo ingenuo y a menudo no denido explcitamente al que A J Ellis según Babou (p 148) denomina «tempeamento semimesotónico (semimentonetemperment)

Se tata en eecto de un tipo de tempeamento que mantiene el mesotó

nico únicamente en las notas diatónicas y da oto a las comáticas que disponen de oto tipo de anación (¿pitagóica?) La del lobo queda epatidaen dos ente las quintas de sepaación de las pates diatónica y comática delcculo SiFa y SiFa ebajadas especto al mesotónico en media desis cadauna (0 cents casi 1

Do Re Mi a Sol a Si Do

Tanto FaSi como SiFa son más cotas que las mesotónicas del tempeamento oiginal po el espectivo desplazamiento de Si y Fa como se veen el esquema



Tpno

eono dl

g

lo 169

Con cietas vaiantes, en las que no nos detenemos, es el tempeamentotpo que ya un siglo antes, haca 1650, haba popuesto el pade Caaml de Lokowitz ( Babiei, 198) y en el sglo lo haán el pade

Gamattsta Mrtini (1770) y el pade Antonio Soer (17758)Esta división del cculo en dos mtades, «diatónica y «comática, haceque no sean muy aceptables las consonancas que se dan ente ellas, enteuna nota diatónica y una comátca o que ente notas comáticas el tempeamento sea paecido al pitagóico No obstante, otos tempeamentos bendenidos haán de la divsión del cculo en dos mitades, diatónica y comá-tica, o de tansiciones de 1/c ente dos quintas, un ecuso musical no sóloaceptable sino aceptado hoy da Es el caso de los tempeamentos de Vallottio Kinbege

A magen de éstos, los dos gandes bloques en que podemos divd losmás mpotantes tempeamentos del siglo son los mesotónicos y losbuenos tempeamentos

Neo epeeo eoóo

Es en Holanda y Fancia donde la pecia matemática de sus teócos hace

que se consideen todas las posibilidades que oecen los tempeamentos me-sotónicos Todo tempeamento mesotónico llevado a un númeo detemina-do de notas se convete en cclco, es dec, puede dvidise en un númeo depates apoxmadamente guales dada la equivalencia del semtono menocon un númeo detemnado de dieses y la consiguiente desapaicón de laquinta del lobo Puede establecese as un maco teóco geneal que nos pe-mite compaa sus espectvas bondades Es algo que veemos más adelanteVamos a considea aqu los tempeamentos mesotónicos del siglo den-to del limite de las habituales 1 notas

Estamos apeciando ya en e siglo un elemento nuevo, la evaloiza-ción del intevalo de V ente al de IIIM, uto tanto de los cambios estilst-cos como de los nuevos planteamientos de la Revolución Cientca (la Vapaece antes en la see de los amónicos) En ealidad, lo ndamental deun tempeamento es el equilibo ente quintas y teceas. Los tempeamen-tos enacentstas oscilaban ente las teceas menoes ustas (1/c) y mayoesalgo cotas hasta las teceas mayoes justas (1/c) y menoes cotas. El nte-medio /7 c equiliba ambas teceas educdas ahoa en la misma popo-ción Peo conme hacemos más justa la V (1/5c, 1/6c, etc), las IIIM tas-pasan la baea de las justas y se hacen pogesivamente mayoes (y menoeslas Im en la misma popocón) ¿Cuál de ambas consonancias, quinta oteceas, admte más alteación? ¿Debemos también considea los gados de



10 Anón !eamto htóro

consonancia propios de sus respectivas 1ª por un lado y 10ª y 7ª por otro?A los de 1/c /7c y 1/4c hay que añadir a principios de siglo los temperamentos de Sauveur de 5 y 1 /6c Hay más temperamentos pero todos pue

den reducirse más o menos a los mencionados Así el 5/ 8c /7c} /17c= 1/6c) 5/19c ( 1/4c} etc Printz (1696 en Lindley 001 p 54) describelos de Sauveur pero añade que el /9c estaba en uso antes incuso que e 1/4c

El obetivo de los teóricos será escanciar ese temperamento «ptimo elmeor de todos los temperamentos posibles lo cual constituye un obetivoimposible por la cantidad de ctores en uego Romieu hará para su comparación listas exhaustivas de todos estos posibles temperamentos más teóricosque prácticos Imposible porque no hay un único criterio a la hora de temperar Ni en el método genera (¿anar por batidos? ¿siguiendo una propor

ción sólo numérica?) ni en la elección de qué consonancias entran en uego(¿contamos con la Im o sólo con V y IIIM?) o en qué grado hay que desviar cada una de estas consonancias (¿todas igual? ¿siguiendo agún criterioproporcional como el «gradus suavitatis euleriano?) ¿Admiten además unmayor grado de desviación unas consonancias que otras? La IIIM por eemplo es más «dura y se resiste más a ser temperada que la De todas rmassabemos ya de las mutuas incompatibilidades entre IIIM y Im Las terceras pueden equiibrarse cada una con a V pero no entre sí No hay rma

de satiscer igualmente a cada tercera según su proporción y su grado desuavidad; cuando esto ocurre sus relaciones respectivas con a V empeoran¿Y qué ocurre cuando consideramos las consonancias no aisladas sino untas?Sauveur por eemplo cree que en un acorde la alteración de una consonancia queda parciamente enmascarada por la ateración de otra Por el contrario experimentos psicoacústicos parecen indicar que no es así

Para calibrar los direntes temperamentos los distintos teóricos tendránen cuenta sobre todo la teora de la resonancia de Rameau unos y e «gradode suavidad de cada consonancia de Euer otros Criterios muy extendidos

serán considerar la proporción entre las respectivas desviaciones de V y IIIM(a veces la Im) según la razón de éstas en a serie de os armónicos V:IIIM 5 o a la relación de grado de suavidad entre consonancias perectas e imperctas

rnci

J. Suveur /c (1707) Dentro de su sistema general cícico aparecen en Sauveur tres temperamentos con dierentes divisiones del semitono y consiguiente división de a octava en un número dado de partes o «merides Denomina comm como en genera todos los anceses a o que nosotros íess



pn

eoón del

g

lo 171

la difeencia ente semtono mayo y meno que se toma como unidad demedida en los tempeamentos cclicos Los tempeamentos que menconason éstos

1/4c (s = c) es el tadiconal de Zalno aquél «do tous se sevent( 707 p 14) Oece una división cclica de la octava en 1 pates omeides como mostó Ch Huygens

1/6c (s = 4c) «est celui do les Musiciens odinaes se sevent (ibdem 1 5) La divisón de la octava sea en 55 meides

/5c (s c) «nte Sstme temperé» (707) que oece consonancias más punzantes iquns) que el de 1/6c y es en el que anan los«cteus de Clavecin du Roy

&de Pais ( 17 1 pp 1 4 5) Oece

una división de la octava en 4 pates iguales

Compaando las notas de cada sstema con los de la anación justa el sistema tempeado «más exacto y mejo es el de 4 pates ( 1/5c) que conjugala simplicdad (pocas pates) con la exactitud (poca difeencia a los intevalosde la anación justa) IIIM V y Vm se sepaan de sus espectivos intevalos justos en poco más que 1 heptameide ( 1/7 de mee 4 cents) Se conseva además justo un intevalo de la justa entonación el semitono diatónico

1615 Una de las caactesticas de este tempeamento es que pesenta lamsma desvación en V y IIIMEn la liteatua musical ancóla se denomina al tempeamento /5c

«tempeamento de Sauveu aunque sus antecedentes se emontan al menoshasta Stevn un siglo antes También Romeu lo haba tatado en 698 Estetempeamento constituye el medio geomético ente el tempeamento de1/4c y el pitagóico Su caactestica pincipal es la indcada simlitud entelas desviaciones de la V (1/5c) y IIIM (+1/5c) obviamente en sentdo in-veso que epate as la mpeccón de ma equitativa En la coespondiente divisón en 4 pates las dfeencas son muy paecidas peo no idénticas (V= 48 cents IIIM = +49)

Mi� Si � Fa Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol# Mi�1/5 -1/5 - /5 -15 -/5 -15 -1/5 -1/5 -15 -1/5 -1/5 +5/ 1

Hemos colocado la desis en la quinta del lobo habtual Sauveu la stúaente S� (La#) y Fa Oto tanto se deduce de las instucciones de anación

de RomieuHay un método geneal páctico de anación paa todos los tempeamentos mesotónicos El intevalo justo a delimita coesponde al númeo deqintas indicado en la desviación (4 en 1/4c 5 en 1/5c etc) o lo que es



1 d mos hso

iga eá to e intevalo competo de na M (4xV) y n deteminadonúmeo de qinta en e 1/4c 1 en /5c en /6c etc En el cao detempeamento de /5c y patiendo de Do anamo to el intevao DoSi

(M + xV) Ta hacela toda igale anamo po compaación laqinta en lo extemo de ete intevao DoFaSi�Mi� en n entido y SiFa#Do#So# en el oto Si egimo a Romie ataía ana toda laqinta igale en el intevalo Do Si y lo mimo ente el intevao to La-Si� La qinta del oo qeda en Si�Fa (vae a continación).

Una veión modicada de meotónico 1 /5c e dee a Wim a( 105) La qinta Fa Mi� etán en 1/5c qedando la qinta Mi�Si� ySi�Fa gande en +7 y + cent epectivamente Tonalidade como La� ma

yo Do meno y Do# meno meoan epecto a 15 etandaPierre Estve (1755) La m e ta en e 1/c y my deviada en el

1 /6c (1/ comma) Po elo Etve toma como eeente e 1 /4c y /5c ien-do medio aitmtico e 9/40c (/9c) con la azón VMm 94 1 Paa meoa a deviación de la qinta epecto a la tecea e ne-vo meo tempeamento dee eta ente te 9/40c y /40c (/5c) Podía e n 17/0c cai igal al /14c de Riccati

Jen Bptiste Romieu / ( 175) Romie tata de ma itemáticao dieente tempeamento meotónico Menciona tamin oto pa-mente epeclativo /7c 1/c 1/9c y 1/c peo in examinalo a dii ente í meno qe lo 1 /4c /5c y 1 /6c A no tene intevalo to hayqe eci a monocodio paa ana en eo el clave (176 p 506) Conidea oto po eemplo el / 1 c qe da ta la tecea amentada DoMi#( comma 5454) o el /17c (p 49)

Según neto ato la amonía etá aada en la eonancia de cepoonoo (Ramea) y po tanto dee edcie a V y M (amónico 1 y 17) eliminando del ego la m peto qe no apaece en la eie íhay qe enconta aqe tempeamento en qe V y M etn alteada egún epectivo «gado de avidad» o cononancia (como Ele anqete no tiene en centa el pincipio de identidad de la octava) cya elacióndee e XXV 15 Otiene aí e /1c my cecano al /6c(/1 ); 1 /6c al qe denomina tempérment ncrtique.

Si en e tempeamento de /5c el intevalo to () ta 5 qinta e elemitono mayo en e de 1/6c ta 6 qinta e el titono. Po ello Romie

popone la igiente anación de amo

1/5c comenzando en La anamo to LaSol# (emitono mayo)mediante na qinta má na tecea mayo ta ama LaMi



Tempernt s sot1cos s 173

So# Establecido el intevao LaSol# hacemos sus cinco quintasiguamente cotas eanando de nuevo el Mi Lo mismo hacemos cone semitono mayo LaSi�

1/6c patiendo del La dos quintas más una IIIM ustas hacia adean-te LaMiSiRe# y hacia atás LaReSoMi� Dividimos ambos in-tevalos en seis quintas igualmente cotas eanando a a octava Re#con Mi� La V(obo) queda ente Sol#Mi�

El tempeamento de 1/6c estuvo muy extendido en e siglo ea deFancia Es el de Nachini en Italia e «de Silbeman> en lemania

Alemni

Gottied Siermann l/c (168175) peteneció unto a su hemanomayo ndeas a una conocida miia alemana de oganeos y constuctoes de pianotes que tabaaon en sacia y Saonia No deó escitas ins-tucciones de anación de sus instumentos ni sabemos si los óganos actuaes a él atibuidos consevan a anación oigina En muchos lugaes apaeceel «tempeamento de Sibemann» (Silbermnnische mpertur) como 16

de comma sintónico Peo si nos amos de A Soge (1748 p 0) quee un testigo diecto de la anación de Silbemann se tataa de un tempe-amento egua mesotónico ente el 1/4c y e igual paecido a de 1 /6cp

Mi Si Fa Do Sol R Mi Si # Do# Sol# Mi- /6 -/6 6 -/6 - 6 -6 -6 6 - 6 6 - /6 +/6cp

6cp 4 cnts

V: cnts V -20 IIIM 6 IIIM(l) 29 IIIm -0 Im(l) 33 cnts

Es ma que este tempeamento e echazado po J S Bach Soge( 1748 p 1) lo echaza igualmente peiendo el Weckmeiste Tátese decomma sintónico o del comma pitagóico las dieencias no son signicati-vas pues su difeencia es de cents (4 cents en un caso 66 en oto) (Con-viene consulta el atículo «Sibemann» de L Maeta Sch en el New Grve Dictionry ed. 001 vol p 85 donde se oece e supuestotempeamento oiginal del ógano históico de la cateda de Feibeg Sao-nia con 5xV «diatónicas en 1 /5cp y el esto ¿ustas?)



174

Ingterr

Anc mm

hó·

m /c (179) La idea ndamental de R Smith es que las es

consonancias pincipaes en juego IIIM y m (VIM) (16891768) engan el mismo índice elaivo de desviación.En e Pecio de su Hrmonics (179 xixv) este matemático de Cam

bidge eee la obsevación que le hizo J. Haison de que en el tempea-meno de /c y sobe sobe a misma nota una V es acepable mienasuna VIM es muy maa (ambas tienen la misma desviación aunque en senidoconaio /c y +/c especivamene) «When he monochod was divi-ded upon de pincipe of making the majo d pec o but vey liteshape as in M Huygen's system [. .] M. Haison tod me that the majoVIhs wee vey bad and much wose than he Vths and VIths majo whenequally empeed shoud die so in thei hamony. . .»

Paa enconta el tempeamento adecuado y a difeencia de os cacuistasanceses Smih acude a fenómeno físico de os baidos apeciados po eoído inauguando así una adición que continuaá ene los eóicos inglesesy que se anticipaá en muchos aspectos a ls hallazgos posteioes de Helm-holtz (quien sin embago no l cita). Las consonancias impecas poducenbatidos más ápidos (rlingbets) que las pefectas. Smith da a fómua paa

halla la ecuencia de batidos con un esulado muy cecano al exacto (p. 8).Una consonancia de ón m/n cuya nota infeio tiene a ecuencia N y queesté tempeada en ± q/p c. poduciá un númeo de atidos con la segundanota según la mua (q/16p±q)mN Según ésta la VIM bate 5 ve-ces más ápido que una V en el mismo empeameno lo que coesponde ala teoía estanda de Hemholz: el segundo pacial de la quina coincide conel eceo de a nota base mientas el eceo de la sexa lo hace con e quinode aquéla ( Babiei 1987 p 1).

A contaio de la común opinión (ene oos de Sauveu) las consonan-

cias más simples admien po ano según nueso auo una mayo desviación (p 10) y po elo paa manene el equilibio seá pefeible un mesotónico con un tempeamento de las consonancias popocional a susimpicidad admitiendo más aidos cuano más simples sean Aplicándoloal caso de V y V esas seán «igualmente amoniosas» (temperment o equlhrmony) cuando sus tempeamentos sean invesamene popocionales alpoduco de los éminos de sus especivas azones (p. 1 1 8) TempV Temp V (5x) (x) 5 . Es algo paecido peo ahoa en senido si-

co a lo que hiciea Benedei en el siglo El empeameno idóneo seíaen ese caso e 5/ 17c.Peo paa encona el «empeamen of equa hamony» en vaias octa

vas y con un mayo númeo de consonancias Smih se enega a una seie



amentos meoónos si

o

175

de complicadas opeaciones (pp 14151) en divesos tempeamentos(5/ 17c, 1 0/7c, 7/5c, ) hasta llega a tes posibles

en 1 y octavas, IIIM 1 /8c; V = 9/c ( 1 ,56) en octavas, IIIM = 1 9; V = 5/18 ( 1/,6) en 4 octavas, III = 1 1 0; V 1 /40c ( 1,64)

De ellos, y puesto que las consonancias habituales se dan en las tes pimeas octavas, elige el 5/18c

My Id deemined by heoy upon he pinipe o making a he onods wihn he exen o evey hee oaves equally hamonious possible is empeeda by one ninh o a omma o almos one eigh when no moe onods ae aken ino he alulaion ha wha ae onained wihin one oave (1749, xixv)

En este tempeamento V y M tomadas sobe la misma nota baten casiigual y en sentido contaio; con La=440 Hz, V 5/ 18, 4,55bat/seg; VI +/ 18,+4,56 bat/seg

Como ea de espea, el tempeamento 5/ 18c está muy cecano al /7c deZalino (la VIM no es sino una invesión de la Im, aunque tomada sobe la

nota coespondiente) Ambos son tempeamentos óptimos paa el equilibioente las teceas Aunque el esultado nal de Smith no constituya una hazaña muy elevante a mediados del la señalada coincidencia de batidos lepemite una anación mucho más sencilla que la popuesta po Zalino unsiglo y medio antes usando el monocodio

A paece, el 5/18c es el tempeamento que usó paa eana el óganodel Tinity College de Cambidge, anado peviamente en un mesotónicocon iguales batidos paa V y IIIM sobe la misma nota (5/c /9c) (pp18919) Los tempeamentos 5/c y 1/4c debían se habituales en la In-

glatea de la época según testimonio del popio Smith, que atibuye a lapáctica común tempeamentos con IIIM justas o un poco más agudas quela justa (P Babiei, 1987, pp 117)

De todo lo dicho podía deivase que la consonanique más puedetempease seía la VIII, algo que Smith conside a pioi peo acaba descatando tas obseva los esultados expeimentales Es quizás el pime teóicoen hace una popuesta semejante que, no obstante otos, muy escasos, seguián po divesas azones En 1806 Stanhope (p 9) hace efeencia a algu

nos anadoes de la época que poponen tempea la octava paa mejoa lasquintas En el siglo X y po azones estéticas, han popuesto la alteación dela azón de la VII, ente otos, Wyschnegads (19) , Fokke ( 1951 ) ,M Kolinski (1959), S Codie (1974), etc No obstante, la VIII ha sido



16 A m

e

há'o

siempre esa consonancia ndamenal y privilegiada, más que una consonancia, el espacio sonoro a dividir desde los iempos de Piágoras hasa el dodecanismo

Oros emperamenos de Smih son el 5/2c o el , /0c

John Hrrson 3/lOc (1775). Ese cieníco ingls (1691776), especialisa en el raslado de relojes maríimos para la medición de las coordenadas erresres, usa un emperameno muy cercano al de Smih paraanar los rases de su viola, pero por procedimienos geomricos (al parecer, Harrison siempre sospechó que era Smih quien le robaba a l lasideas) Dividiendo la cuerda más cora de su viola baja como un mono-cordio, oma la relación M a V como el diámero de un círculo a su

circunerencia ( «his grea, or secre discovery) como modo general deanación Esá convencido de que odos los inervalos aunicos puedenderivarse maemáicamene de « real seps or inervals o une, or onaural melody, exacly poined ou, or are o be hence ruly genera-ed. .

Pregunado el porqu de esa relación, Harrison le dice a Smih que sela había reerido «n caballero recienemene llecido . Tal hipóesis surge,según Smih («whoever was he auhor), de la observación de que la V

es un poco más grande que res Ms jusas, de la misma rma que la circunerencia de un círculo es un poco más grande que res de sus diámeros , 1 16. Smih, xixv) Toma así la razón del diámero de un círculo a sucircunerencia como M a V y la del radio (la miad) como Tono aV Diámero : circunerencia M : V = ; radio : circunerencia =T V (pp. 10108) Usando logarimos en base 10, la M se calculacomo 0,0 10 : , 116 = 0,09582 (8 1 ,97 cens), algo más cora que la deSmih y , cens c 1 /5c) más cora que la jusa La V (2xV+M)/,vale 695, 9 cens, / c (Barbour, p . 0) Ése sería el aunico valor de

la V según el auor y no la razón «jusa :2. Algo parecido había dichoSevin con la del emperameno igual. T = 0,09582/2 ( 190,99 cens) y Sd =(V5T)/2 = 0,007 (122,5 cens). De esa rma quedan «he realconsonances, or chords o naural harmony, ruly limied or described . . .(1775, p. 108).

Itli

alia, cerrada a parir de la condena de Galileo a las inuencias cienicisaseuropeas, conó en la región del Vneo con algunos ilusres cienícos ilusrados. Para la elección del emperameno se iene en cuena una paricular



m ic<

g

H 1

elaboración de los «grados de suavdad» de las consonancas derivados parcalene de la eoría aeáca de Euler.

Gordo Rt /4 ( 1762). ara cca n las eorías aeácas nilas sc sascen el crierio de siplicidad de una consonanca, crierio quedebe esablecerse sensoralene (1762, p. 1) seplicá» de un nerva-lo es coo el inverso (1n) del núero ayor par de la razón. í, V (2:3)y V (3:) son de una «siplcdad» equivalene a 13, inverso de 3, áxionúero par de abas. IM y , 1, inverso de , ec. El eperaeno será proporcional al grado de siplcidad de las consonancias ndivduales. Tenendo en cuena en la elección del eperaeno que la relaciónde splicdad (rpporto e semplicit) enre las razones de V y as es 3::

V : I 3 : , V 31: = 14 (IIM = +21 ),V : IIM = 3 : , V = 3 17, IM + 17 ( 17),IM : 1 : 1, IM = 1 7, I = 17 (V 27) .

Si se saisce la relacón V : IIM es iposble saiscer adecuadaenela relación V : I y vceversa IIM y sólo ienen un so grado dedesvacón en el 27c que, enonces, no respea sus relaciones con la

Riccai elige coo el eperaeno ópio el 31 (" 1,67), ineredio enre los oros dos y seejane al 23 ( 1,60) que se usaba en In-glaerra.

essdro ca /2 c 10) . Coo Riccai, el padre Barca ( 171 11) considera insucienes las razones scas para la elección de eperaeno y apela al crero de la siplcdad de las razones. Esablece para ellovarias clases de inervalos según deerinadas reglas de ración. En lo quenos concierne, base decr que en la priera esán el unísono y la ocava; en

la segunda, quina, cuara y las erceras en la ercera, la sexa ayor y en lacuara, la sexa enor. La siplicidad de los inervalos es inversaene proporcional a la sua de los rinos de su razón. ueden esablecerse relaciones de splicidad enre los de cada clase. í, la «siplicidad» del unísono( 1 + 1=2) es a la de la VI (2+ 1=3) coo 3:2.

En la segunda clase, V:IM:I = 1 1 :9 : (I6+, IIM+4,V=3+2). Con ese criero, el eperaeno que le corresponde es el 29c(1 , " 6c), eperaeno «idea» para el gnero daónco Coo hi

ciese Roieu con su eperaeno anacráco, Barca acerca ese epera-eno al 6c y copara los resulados en abos relacionando qunas conerceras:



18 A-nón nto

htóo

V 1/6, IIIM +2/6, I 3/6 = 1 23 ( 10 1 para coprarlo con /29)V /29, IIIM +9/29, I 14/29 = 9 14 .

S Barca acepta este teperaento sólo para el gnero datónco es deb-do a la V del lobo que afecta croátco. Coo vereos, Rccat había pro-puesto un 3/ 7c (1,7) para enendar la anacón del 1 /6c que daba unaVl(obo) excesvaente grande Aunque partendo de crteros dstntos, abos teperaentos se aproxan ucho, tener que equlbrar ls terceras.

Tempeamentos mesotónicos

Comma 21 ,50 censIntealos justos (en cens) 702 (701 ,95) 386 (386,3 1) 3 1 6 (31 5, 64)

Tempeamento V IIIM IIIm l(obo) (desis)

/3c Salinas, 1577 -13 13 2 1 2 55 ,43 cens3/c Haison (Smith, 1749) -3/1 0 -2/1 0 -1 1 0 +2 15 47,552/7c alino, 1 558 27 -17 -1/7 +2 11 1 44, 17

5/18c Smih, 1749 5/18 -2/18 3/18 +2 42,29/4c Aon, 1523 /4 1/4 + 2/3 35,722/9c Rossi, 1666 -29 1 9 39 13 29 , 153/ 4c Riccati, 175 1 -3/14 2/14 -5/14 1 4 27,28/5c Stein, 1600 (Saueu) -15 +15 -2/5 19 23,90/6c Silbemann -16 +13 -12 3/4 16,02/7c Romieu, 1758 -17 +37 -4/7 +12 10,38/8c 1 8 +4/8 5/8 +13 6, 16

1/ 1 c -11 1 +71 1 -8/1 1 0,0

Los cálculos de cualquer teperaento en accones de coa sonuy sencllos Sabendo el descenso de la V ( /n), la IV tene el sopero en postvo {+ /n) ya que V + IV = VIII. Coo la IIIM tene 1 coa enos que en la ptagórca, debe estar rebajada en nn respecto cálculopor quntas Multplcando por 4 {quntas) la accón del teperaento dela V y restándo n/n teneos la desvacón de sta. A su vez, la sua de IIIM

y I deben dar la desvacón de la V (IIIM + I = V)V = (p/q) IV +{p/q) IIIM = (q/q) (4p/q) I = V IIIM



empent s sotnios sg

19

o ejeplo un supuesto tepeaento de 23c tendá la quinta tepeada en 23c y la IV seá +23c; 1 coa (2323) enos X 23(2023) es igual a +323 cantidad en que la IIIM excede de la justa Coo

ente IIIM y I deben sua 23 la I debe se (23) 323 23cEl cálculo de la del lobo en acciones de coa sintónico se hace estan

do a la díesis esultante en cada tepeaento la disinución de la quintaCoo 12cp 1 1 y cp 2 1 1 basta esta a los coas en que elcículo se ha educido el coa pitagóico (que sugía cuando las quintasean justas). o ejeplo en el tepeaento de 16c la educción total decículo es 2cs (22 1 1) ; 22 1 1 12 1 1 11 1 valo de la díesis; (lobo) 101 1 16

=3c (Vase el caso de los tepeaentos 1 c y 13c).

aa calcula en cents la difeencia ente la quinta del lobo y la justa enun tepeaento pq ultiplicaos 1 (quintas) po el coa (21 ) 2360) po pq y le estaos el coa pitagóico (230) En el citadotepeaento 23c 21 X 1 1 X 23 1 37; 1 37 230 +2797Es un tepeaento que está ente el 29c y el 31c

Observciones

a) uede apeciase cóo con la pogesiva puea de las quintas la Vdel lobo es ás cota hasta llega a se igual que las deás en el líite de tepeaento 1 1 c 112cp o tepeaento igual) Másallá con la puea de las quintas estaíaos en la anación pitagóca.

b) Las IIIM son pogesivaente ás gandes El tepeaento de1c aca el líite ente los tepeaentos con la IIIM justa oeno que la justa (tepeaentos enacentistas) y aqullos en que

ya es ayo (tepeaentos baocos) Se dice que el esotónico de1c es la justa entonación llevada a la páctica peo ligeaente ás«cota» as teceas ayoes son iguales peo las enoes y la quintaalgo enoes que en la entonación natual

c) IIIM y I van en diecciones opuestas es deci cuando una auenta la ota disinuye y vicevesa. Ente los tepeaentos de3c y 1c la IIIM auenta desde 3793 cents (7) a 363 cents(justas) y a la invesa las disinuyen desde la justa (3 1 cents)

en el de 13c a 3103 (3) cents en el de 1cd) uesto que IIIM y I están soetidas a distintas desviacionesse han adoptado difeentes citeios acionales a la hoa de establecesus elaciones utuas paa ve cuál podía se el ejo de los tepe



80

fnó J tm

retos hóos

amentos En el de 1 4c, la desvacón de V y m es la msma (1 1 )mentas en el de c lo son las de V y M y en el 27 ambas teceas; en 16c se da na desvacón ente los tes ntevalos oo

conal a s gado de savdad, VMm 1 23. Los lectoesocosos odán enconta otos tos de ooconaldades.e) Con lgeas vaacones de anacón, todos estos temeamentos

eden etenece a dstntos sstemas cíclcos, sstemas qe dvdenla octava en ates gales, deentes deendendo de cada temeamento y sn qnta del lobo (vase el caítlo 9)



8 Sigo meramentos irreguresbarrocos

Juno a la especulacón eórca asocada a los esoóncos se dan en elsglo oros eperaenos de índole esencalene prácca y cuyo oe-vo es elnar, o al enos «doescar», la una del loo para la lre o

dulacón a odas las onadades. Para ello hay ue reparr la díess o el co-a pagórco enre un núero deernado de unas no necesaraene dera regular. El resulado es ue las dsnas unas enen aaños dferen-es, lo ue hace ue cada onadad enga un «color», una «ondad» parculardeda a las dferenes relacones ue se dan enre sus nervalos Hacendo dela necesdad vrud, ese hecho es exploado concenzudaene por los coposores arrocos del sglo La asocacón eoconal de cada onaldad,«heroca», «lánguda», «alegre», ec., ene pleno sendo en el alo Barroco,

no así en el eperaeno gua con el ue, a excepcón de la alura, odaslas onaldades suenan guales, sn un color parcular. S en el Renacenose nenaron resucar los gneros anguos para poder provocar los ás va-rados afecos eoconales y en la aronía radconal de Zarlno se nenadoar a cada nervalo de una cera connoacón aníca, ahora esa laor seve ensalzada por las dferenes escalas ue se producen en las dsnas onaldades coo consecuenca del dferene reparo del coa o díess enre lasunas. Enre ulud de esonos, ogaos de nuevo a Rousseau laenándose de la decsón de Raeau de converrse al eperaeno gual:

ca il est bon dobseve dit M Rameau que nous ecevons des impessions dientes des ntevales a popotion de leus dienes altations Pa eemple aTiece majeue qui nous ecite natuellement a la joie nous impime jusqu des



182 Anan p

hri

ides de feu quand elle est top fte & la Tiece mineue qui nous pote a latendesse & a la douceu nous attiste losqu elle est top ible

es habiles Musiciens continue le mme Auteu savent pofte a popos de

ces diens eets des ntevaes & fnt vaoi pa lexpession quils en tientalteation qu on y pouoit condamneMais dans sa Généraion harmonique, le mme M Rameau tient un tout aute

angage se epoche sa condescendance pou lusage actue & dtuisant tout cequil avoit tabli aupaavant il donne une fmule donze moyennes popotionnees ente les deux temes de !Octave su laquelle fmula il veut quon gle toutea succession du systme chomatique; de sote que ce systme sultant de douzesemiTons pafitement gaux cest une ncessit que tous les ntevales semblabes qui en seont fms soient aussi pafitement gaux enteux (1767 pp 502503

En los sisteas cíclicos irregulares no hay quinta del lobo pudindoseodular a todas las tonalidades La díesis o el coa se reparte de rairregular entre unas pocas quintas de la parte diatónica del círculo de raque las tonalidades ás usuales tienen terceras ás puras ientras en las tonalidades con uchas ateraciones se acuulan las iperfecciones de la anación. Cada tonalidad tiene sus propias características.

ay dos todos ndaentales para hacer los teperaentos irregula

res según partaos del esotónico (díesis a eliinar) o de l quintas justas(coa pitagórico a eliinar). En Francia la práctica habitual es anar enesotónico de 1c las cuatro quintas de la tercera ayor DoMi e ir repartiendo la iperfección resultante entre las quintas «croáticas de raprogresiva hasta hacer practicable la del lobo. En Aleania se trata de repartir el coa pitagórico entre algunas quintas «diatónicas de ra que lasterceras sin ser justas, se acerquen lo ás posible a las puras ientras el círculo de quintas se cierra Son los «buenos teperaentos aleanes en losque «se ha puesto un bozal en la boca del lobo (Neidhardt 1706) Italiapor su parte antiene la naturalidad del gnero diatónico relegando a lquintas «croáticas la iperfección partiendo casi siepre del esotónicoTres puntos de partida que llegan a resultados siilares. Cuando se ezclenanación justa (o esotónico) y pitagórica aparece el ineludible schisa

Fa: l «a odiai» o l'aod odiai

Se comienza po el do del medio del tecado y se bajan las cuato pimeas quintasol re mi hasta que mi haga la tecea mayo justa con ; patiendo a continuación de este mi se nan las quintas i, # #, ol# peo bajándolas menos quelas pimeas de manea que ol# haga más o menos peu pr la tecea mayo



Si

V prame s i broc 183

jus con mi Cundo s h llgdo l sol# s pr s rom l primr s nl quin hci bjo dspués l quin si� c y s umnn un poco on renrce un peu ods ss quins hs qu s hy lgdo l � qu db sr lmism (no qu l sol# y ndo.

... n un clvcn ndo n l mprmno ordinrio empéramen ordinaire hy cinco o sis onlidds insoporbs mos insupporables y n los qund s pud jcur los músicos s imginn qu hcindo dsiguls lossmionos d l sc ésos dn cd onlidd un crácr priculr [ porjmplo n ls onlidds d DoM y MiM qu mosrrn xprsions dirns.Ejmplo dl uor n R dAlmbr 1772 pp 5556)

Tras la ció dl prao igual por par d Raau qu rducd ra igual odas las quias D'lbr xpo l prao uso(qu est en usge) Es l tempérment ornre usado Fracia hasa l úliocuaro dl siglo pro o s sa la úica vrsió. Las dscripcios d losobsrvadors varía y a udo so basa vagas. El prao acsdpd ás dl bo go» qu d rglas prcisas d aació pro gral s raa d u soóico d 1/4c para las qui diaóicas» iras s arrgla coo s pud l rso para crrar l círculo. La par diaóica s jusa o casi jusa las oalidads co sosidos sal jor libradasqu las d los bols co quias uy grads lo cual hac qu a vcs s

coic a aar Fa o Si para vorcr sas úlias. Daos a coiuació ua sri d dscripcios ordadas croológica.

A Ua praa aproxiació al prao ordiario acs cosis llvar oda la iprfcció d la dl lobo úica a las quicrcaas co bols MiSi y SiFa.

A als dl Lamert Chaumont (69) idica xplícia qu l soóico los aadors hac Mi y Si (las quias MiSi y SiFa) coras o largas ble ou rte) a voluad. Si odas so coras dríaos

u soóico rgular co la quia dl lobo uy dfcuosa; si s agrada R# sría pracicabl al rducirs la quia dl lobo. M. Lidly (1b)dic qu la alusió a sas dos quias podría drivar quizás d u rror dMrs qui o jcuaría l iso l prao sio qu oaríalas isruccios d J. Dis. El rror cosisiría qu así coo hay qubajar las quias ascds l soóico hay qu subir las dscds (DoFaSi. . . ) para qu l fco sa l iso. Mrs si ás hablad bajar» sas úlias coo ocurr co las oras.

Michl Corr (173 p. 88) cioa la ra d aar dl osocosrucor d órgaos d Rou» l Siur (Antine) Vincent 7 1 cosis aar d Do a Sol# co quias coras bs) y hacia arás Do Mi co quias largas rtes) o ligra crcis. El du d la



184 Afacó mpant tór

pariion» queda enre So# Re#. Según esa descripción, endríamos unalarga cadena de quinas coras en 14c (a Sol# en el caso de Chaumon,una menos, o Sol#, en el de Vincen)

B Un segundo modelo lo consiuyen aquellos emperamenos poseriores consisenes, como en la cia de Aember, en dividir la ocava en3xIM: o Mi So# o as dos primeras IM serían jusas (la segunda puede ser «casi jusa» si la quina oSol# no es 14c) y la erceraasume oda o casi oda la diesis

J Ph Rameau (1726, Aember, 1772, p. 5) menciona pocos deales del emperameno en uso ariendo, anes de su conversión a emperameno igual, de la base de que la aleración de la quina es más soporableque a de la ercera (p. 07, Alember, p. 57) propone el mesoónico conlas úlimas erceras mayores un poco más grandes (un peu op rtes) paravolver a la ocava del sonido principal (úlimas en el orden de la anación) a aleración es olerabe porque se encuenra en onalidades poco usuales amenos que se las escoja expresamene «pour rendre l expression plus dure»Rameau oece dos versiones irreguares del emperameno (p 1 0) , una comenzando en o y a ora en Si. En a primera, se ana de o a Sol# de

jando esa úlima noa para el nal ras la disolución de exceso de «commamenor» (schisma) enre las demás quinas, aunque dice ambin que seríamejor comenzar a inroducir el comma en o#. No esá claro si la quinao#Sol# es jusa y por ano lo es la ercera mayor MiSol#, ni esá cara ladisribución del sobrane schisma enre e reso de las quinas (un peu plusjustes) Alude sin embargo a las dos úlimas quinas (Sol#Mi, MiSi, úimas porque se comienza a reanar por cuaras desde e o). El esquema podría ser:

Sol# Mi)Si F+ ? ?

� M 4 4 -/4 -4 -4 -4 -/4 (4)

a segunda versión, paralea a la primera, comienza en Si, con quinasalgo más jusas a parir de a# para vorecer as onaidades con bemoles(Mi y a, además de Si)

Jean Le Rond d'emert ( 1752 , p 4 1772, p. 55 ) divide la ocava enres grupos de quinas iguaes, 3xIIM o Mi Sol# o (vase a ciaanerior) a primera es jusa y la diesis se repare de rma progresiva enreas oras dos de rma que la quina So#Mi sea pracicable En e primergrupo, las quinas son 1 4c para que a II IM oMi sea jusa en el segun



Sg

v mt Ígresbaoo 185

do las qunas son aors qu las anrors pro algo nors qu las jusas con la IIIM MSol# algo aor qu la jusa las qunas dscndnsdl rcr grupo Do Sol# son algo aors qu las jusas ( odas guals)

para qu concdan La� Sol#. La IIIM Sol#Do s n conscunca ugrand.

Sol# Mi Si Do Sol R Mi+ + + + -14 -1 4 - /4 -1 4

[ indic mnor qu jus; +, myor qu jus

Si F#-

Do# Sol#-

Sul nconars un supuso rror d Dlbr n la dcón d1752: ras anar las qunas dsd Do a Sol# lugo dc db hacrs dsd

Do hasa R� (Do#) con lo qu habría qu volvr a ranar l Sol# al rrorsul corrgrs n dcons posrors. ro J L. Bhz (14, p. 28) oRoussau dan nsruccons sjans. udra sr qu no xss al rrors s rana l Sol#.

ro s quzás n l Dictionnire de Musique d Jean-Jacques Rousseau(8, ¿oado d Brossard 703?) dond la xposcón dl pranoordnaro u parcda a la d Dbr s ás xaca o al nos áslarga:

Voil c qui séxcu u moyn du TmpéramenPour cl 1 on commnc pr lu du miliu du Clvir & lon oibli ls

qurs prmirs Quins n monn jusqu c qu l qurim mi fss Tirc mjur bin jus vc l prmir Son u c quon ppll l prmir pruv2° En coninun dccordr pr Quins ds quon s rrivé sur ls Diss onrnfrc un pu s Quins quoiqu s Tircs n sourn & qund on s rrivé u sol Dis on srré C sol Dis doi fir vc l mi, un Tirc mjurjus ou d moins sourbl; c s l scond pruv. 3 On rprnd u & l on ccord ls Quins u grv; svoir , si Bémol

&c ibls d bord; puis ls r

rn pr Dgrés csdir oiblissn ls Sons jusqu c quon soi prvnuu re Bémol lqul pris comm u Dis doi s rouvr dccord & ir Quinvc l sol Dis uqul on s éoi cidvn rré; c s l roissim pruv Lsdrnirs Quins s rouvron un pu frs d mm qu ls Tircs mjurs;c s c qui rnd ls To ns mjurs d si Bémol & d mi Bémol sombrs & mm unpu durs Mis c duré sr supporbl si l Priion s bin fi & d illurs cs Tircs pr lur siuion son moins mployés qu ls prmirs & ndoivn lr qu pr choix

Ls Orgniss & ls Fcurs rgrdn c Tmpéramen comm l plus prfi

qu lon puiss mployr En f ls Tons nurls jouissn pr c méhod dou l puré d lHrmoni & ls Tons rnsposés qui frmn ds moduionsmoins féquns orn d grnds rssourcs u Musicin qund il bsoin d xprssions plus mrqués cr il s bon dobsrvr di M. Rmu qu nous rc



86

fdó mrmet s hóos

vos ds imprssios diérs ds rvalls a proporio d rs diérs aléraios .J Rossa Dicionnaire Musique, Pars 1768 p. 502)

Aquí podeos aprear algunas aaterístas de los teperaentos an-eses ya sealadas a Las notas datónas (naturales están anadas de raás justa (natural , entras las alteraones tenen dferentes grados de alteraón. Esto oeería al opostor una gran varedad de posbldades ex-presvas. b Se oenza anando por Do y se avanza por quntas haa lossostendos hasta Sol#. Regresando al Do nal se ana ahora por quntas haa el grave hasta el tado Sol# (o nluso el Do#. La otava queda dvdda en tres zonas, tres IIIM DoM, MSol#, Sol#Do anadas de ra dferente. La prera, Do M, justa (las quntas en esotóno de 14;M Sol#, justa o un poo ás grande («as justa» on las quntas que laoponen algo enores que las anterores; la terera Sol# Do absorbe astoda la perfeón de la qunta del lobo on sus uatro quntas algo ayo-res que las justas

Fredrch Whem Marpurg (176, pp. 7, tras desrbr el teperaento gual expuesto por Sorge (tres IIIM guales, expone su fórula deteperaento desgual, «la ellure des parttons qu soent en usage». Co

enzando en Fa, dvde el írulo en dos grupos: sete quntas Fa Fa# ortas ibles) y no enos ortas (un peu plus justes ou plutt moins ibles) oás justas, Fa# Fa. S las preras esen 14, las segundas tendrían queser ayores que las justas, lo que es dudoso, dada la expresón «un poo ásjustas» y no «ás grandes» que las preras.

C Este terer odelo es paredo al anteror pero las quntas que asuen ladíess se anan de ra progresva, o a enos de anera dferente ada una.

Mche Corrette (173, pp. 67 propone oenzar la anaón en Fay teperar las oho quntas Fa Do# en 14, Do#Sol# un poo ás justaque las anterores, SM un poo ás grande rte) que las otras, MSás justa que las otras de ra que la IIIM MSol sea un poo ás gran-de dejando el «defeto de la partón» en las notas enos usadas de la qunta Sol#Re#. De esta ra, teneos justas las IIIM: FaLa y LaDo# dejandoque toda la díess la asua Do#

Jean Edme Gamard (174 oenza la anaón en S on setequntas ortas en 14, «rerzando» progresvaente según deternadosálulos las restantes no quntas para que el La# onda on el S nal(qunta del lobo MS.



S emerant s e

ul barocos 18

Jean Baptste Mercader de Beesta 1776, pp 7) describe de raalgo ás precisa el eperaeno en uso. Se coienza en Do y se ana porquinas algo coras hasa Mi de ra que se haga una IIIM usa con Do

Se hace lo iso de Mi a Sol# con la diferencia de que esa úlia noa debeser «n peu re», por lo que las quinas «no deben ser an baas» Toandola ocava de Sol# coo La se ana descendiendo de Do a La de ra queno se oque esa úlia Si colocaos el schisa «apóoe enor» lo denoina Mercadier) en la quina Do#Sol# de a que no sea an baa coolas aneriores, las quinas descendenes Do La serán usas. Quizás agoas:

L Mi

Sib

F Do Sol R Mi Si F Do Sol

14 -1 /4 -14 14 1/4 -14 14 -/4+s

Sin ebargo, coninúa, «el uso ordinario» hace que a la priera de lascuaro quinas descendenes DoFa) se le d un poco ás de «largura» (tréspeu e neur e plus) que a Do#Sol#, un poco ás a la siguiene FaSi),coninuando as hasa la úlia Sol#Mi), que se hace la ayor de odas:

F � M +++ ++ ¿ + 14 -14 -1/4 14 4 -14 1 4 ¿ /4+s?

Mercadier inroduce por ano de ra explcia el concepo de «aargaieno (érgissement) progresivo» de ls quinas descendenes: Do + Sol#Eso dara lugar a una gran canidad de quinas: coras, enos coras, usas,largas ás largas . or ese eperaeno, concluye, las iperfecciones soninsensibles en las onalidades naurales (tons nture) y en las que ienen ássosenidos que beoles.

D nales del siglo aparecen agun odicaciones al epera-eno usual Mercadier 174, pp 1 1 1 vase Sureain de Missery,173, pp 67) odica el sisea de D'leber para que no haya quin-as ayores que las usas Las res IIIM DoMi, MiSol# y Sol#Do son progresivaene ayores que las usas en 1 3c, 3c y 33c) enos el schsi-a de cens 1 1 c) que quedara colocado enre FaDo De esa ra, lasquinas de las IIIM respecivas seran 1 6c, 11c y FaDo: 1 1 c) Uneperaeno enre el ordinario y el igual y uy seeane a los del ipo6x6c, ipo Laber

1,Valloi o Young

11 (PBarbieri, 1 7, p. 3 1 )

Aexandre üet 1 77, c vii) propone un eperaeno para el repiano derivado del de Raeau, con varios ipos de quinas Si + Si con



188 ació

eamento

htóro

qitas otas ibs) y ReLa y ota (s fib) (o qe eea a Kibege 1 e esto asi jstas resque ustes) as M LaDo# y Mio# e-be se un peu rtes, ietas a qita e obo o#Mi este toeabe.

E estao es ya tepeaeto y eao a igaFiaete e e sigo e baó e Prony (2) a a itepeta-ió e atigo tepeaeto aés e osoaia paia o os eRaea D'ebet Coette o Mapg: siete oo qitas igaes eesotóio ega y e esto ayoes qe as jstas e /22 e oa sitóio. E áo o oee e ets:

+5/22 +522 +522 +522 1/4 -14 -14 -14 4 1/4 -1 4 - 4L Mi Si F Do So R L Mi Si F Do So

,3 2,9 9,86 4,93 0,00 6,9 1 ,93 8,90 3,86 10,83 5,9 0,6 ,3

os bos mpmos Ami l I

i os aeses oia e esotóio e /4 a osta a vees e otiosajstes e eaia asistios a a oiaió e a aaió pitagóiaosistete e a eió e agas qitas e /2avos e oa pita-

góio (/2p /6p /4p). La aateístia ás otabe e estos tepe-aetos es a seiez e s oepió y a oespoiete iia eaaió pátia. E étoo es expeitivo y eeeta si 2 qitas spe-a a otavas e oa pitagóio epatios éste ete agas qitas«iatóias». Cosegios as qe as osoaias ete éstas a aotasese aeqe a as jstas ietas e o se iea eso sí o a bea o-sis e qitas jstas oaete ete as «oátias». E aso e qe eitevao a eiia sea e oa sitóio poo eo qe e pitagói-o a ifeeia ete abos (e sisa e 2 ets) qea peio ete a

ga e as qitas geeaete iFa# qe ejee aoa oo a espeiee qita e obo evaaa. E ga eo estate e qitas jstasotigas peite a aaó seia y ápia si eesia as ve-es i e ai a oooio F W Mapg ( 0 p. ) abaá e agos asos e étoo eáio (mechnische Metoe) ( abiei 24 ota. go paeio eete a Loié p 24).

i obsevaos a ista e agos e estos tepeaetos veos qe osagetos e oa se a epatio ete qitas iatóias qe ay ga úeo e qitas oátias jstas y qe e sisa apaee eaqéos qe ivie e oa sitóio. Too eo os eea a a aa-ió pitagóia o qita e obo ete iFa# (A e Zwoe) e aso oa as aaioes e Raos y Fogiao óo ay qe tee e eta e ife



Si

eram s rres bao·os 89

rente contexto en que se producen. Entonces se iba del pitagorismo a la justaentonación, aora el camino es casi inerso, la sencille, racionalidad prácticay naturalidad de los interalos que caracterian la Ilustración ente al arti-

cio del temperamento tradicional.En el esquema, bajo el trmino modelo», aparecen el númeo de quintasque an sido rebajadas en la acción de comma correspondiente: 2x2cssignica que las dos quintas que se mencionan a continuación an sido acor-tadas en 12cs. En el caso de que se trate del coma pitagórico, se indicacomo cp. Los scismata están expresados en acciones de comma sintónicoy, a continuación, las quintas entre las que se encuentra. No escribimos lasquintas justas (son, obiamente, las que restan, tan sólo su núero (ase elcuadro de la p. 190.

Obseramos que en los dos primeros ejemplos ay quintas con s ente-ro de disminución. El tercero (Kirnberger 1 es el de Ramos. Neidardt(173, pp. 27 calica de casi intolerable» rorsus intolerbilem) a unmonocordio con una quinta reducida en cp y quintas justas denindolo como temperamento sin temperamento» tempertio tempertioneestitut Barbieri, 2n. A excepción de autores como Correte o Euler, nose acepta que sean tolerables quintas reducidas en 1 comma pitagórico osintónico.

En otros dos ay quintas reducidas en 1 2c, la solución de Fogliano, paraque sean tolerables. Un ejemplo paradigático de esta solución es el Kirn-berger 11 ara este autor, las quintas pueden disminuir 2c máximo, las terceras entero.

Señalar nalmente cómo mucas eces ay en estos temperamentosuna corrección» de un sistema con acciones de comma sintónico consis-tente en una reducción» a otro, calculado en acciones de comma pitagó-rico. Esto es debido a la poca diferencia entre ambos commas, mientras sealcana sencille y claridad a la ora de anar una quinta justa sin necesi-

dad del restante scisma. Es el caso de on Wiese respecto a Kirnberger odel Vallotti actual al original (a la inersa ocurre con Kirnberger respecto aSorge.

Alemni

Vamos a considerar aora aquellos temperamentos de teóricos alemanes quemás juego an dado o más utiliados oy da como son los de Wercmeister,Neidardt y Kirnberger. Junto a rint, Sorge y Marpurg pertenecen stos aun grupo de intrpretes, compositores y teóricos procedentes sobre todo delnorte de emania, un tanto alejados de la corriente cienticista que aba



90 ó .:mat tórico

Modelo Qntas Schsa QntaQntasjstas

Lol 1698), Corrette 1753)3xcs SFa, SolRe, SFa# +2111 Sol#M 8Eler 1739)

2xcs ReLa, Fa#Do# +10/11 SFa 9Krnberer 1766)

xcs ReLa -111 Fa#Do# 10Krnberer 1 771 )

2x/2cs ReLaM -1 1 1 Fa#Do# 9von Wese 1 795)

2x/2cp ReLaM 10Marpr 1776)3x/3cp FaDo, LaM, LaM 9

Stanhope 1 806)3x/3cs SolReLaM 2x/22) MS, SFa# 7

Lol 1698), Corette 1753)3xcs SFa, SolRe, SFa# + 211 1 LaM 8

Wercester 1691 )4x/4cp DoSolReLa, SFa# 8

Sore 1774)

4x/4cp DoSolReLaM 8Kberer 1771 )

4x/4cs DoSolReLaM -111 Fa#Do# 7Labert 1774)

6x/6cp SolReLaMSFa#Do# 6Vallott ¿ 1779)

6x/6cs FaDoSolReLaMS -1 1 1 SFa 5VallottTartn

6x/6cp FaDoSolReLaMS 6

Yon 1800)6x/6cp DoSolReLaMSFa# 6Labert 774)

7x/7cp FaDoSolReLaMSFa# 5edhardt 1732)

4x/6+4x/12cp DoSolReLaM//MSFa#,Sol#MS 4edhardt 1724)

3x/6+6x/12cp DoSolReLa//LaM, SFa#Do#Sol#, MSFa 3Sore 1 758)

3x/6+6x/12cp DoSolReLa//LaM, SFa#Do# ,Sol#MSFa 3



So T

rts rr

s bros 191

omenzado a eendee po uopa en e igo Neidad ea má bienun eóogo, ademá de ma maemáio, igua que inz, Mapug o Kinbege, quien a u vez popone empeameno muy aaio ya paa u po

a Wekmeie (169b, p 109) podía ompaa o mao empeamenoon e fao iianimo ya que «uano má eana eá una oa a u oigen, má ea eá de u pefeión» Deonoe inuo a aua de o baido en a anaión y a ega que o igen n uaquie ao, nada queve en gado de oiaión a un Sauveu en Fania, Huygen en Hoanda, Smi en ngaea o ue y Lambe en a popia emania n unaepeión de Babou (191, p 6) que a eo una, e denomina«ommajugging» a o poedimieno de eo eóio, que paaían a eago aí omo «manipuadoe de omma» Y in embago, po pimea vezapaee aquí, a nae de y ene a oda a miia de empeamenomeoónio y íio a novedoa idea, apiada a ógano, de un íuoeado de 12 quina in de obo, de diibuión deigua y uyo empeameno voeza a onaidade má uuae ene a a «peifia»(omo a denomina Wekmeie)

dreas ercester ( 64 106) A e debe e pimeo y má moo de o empeameno ieguae que, aunque poo onoido ea de u

paí, e onviió pono en uno de o má imiado deno de emania(Neidad, Soge, 148, p 21; Mapug, 16, p 160, quien no o onidea muy bueno; ük, 1808, pp 4482) e empeameno apaeía yaen a Orgel Probe de 1681 e inuo en eio aneioe de oo auoepeo e mediane e Musiclische Tmpertur (691, p ) omo e ampiamene onoido

Wekmeie peena en ea oba ei anaione y empeameno: i)un iema de jua enonaión de veine noa po oava que eviá demao de efeenia paa aua a deviaione de eo No e paiabe,

eazándoe e uo de «ubemionia» (ea dobe), ii) e empeamenomeoónio abiua de 14 que denomina lte fche o unrichtige Tmpertur y eaza, iii) e má moo de o empeameno po o que e auo eonoido, apiado a o moi cti (onaidade on noa omáia),iv) oo empeameno apiabe en ee ao a o rer moi (on noadiaónia), v) un ee empeameno emejane peo peo que o aneioe, y vi) e denominado empeameno septenrius

ercester (14p) omma piagóio e divide ene uaoquina; e eo on jua:



192 Aai to

hic

DoFa < Sol

S

; C

tu

,.>

R La

79 94 996 498La S Fa

JSol#

/Do#

S

-

Fa

/4 cp 6 cens

696 9 8883 390 09 5883Do Sol Re La S Fa#

/4p -/4p-/4p - /4p

90 79Do# Sol#

Ese eeraeno ara el genus chromticum da unas buenas ererasayores en las noas diaónias ienras las roáias son iagórias Elobjeivo de Werkeiser no es oro que haer ás uros los inervaos ásonsonanes y ás usuaes, on dierene grado de desviaión en las onso

nanias dasz die Oava nihs die Quina und Quara wenig die Ter-iae ajores ein ehres die Teriae inores noh ehr also auh die Seen in denen Teerauren verragen knnen» 1691, )

La anaión uede realizarse en res eaas, i) A arir de Do y haiaarás, oho quinas jusas Do + Mi, ii) Desde Do de nuevo y haia adelane,uaro quinas Do + Mi) iguaes de ra que el se reara equiaivaene enre las quinas de la erera DoMi, iii) nar jusas las noas, Mireseo a La y Si reseo a Mi de ra que la quina reduida en 1LaMi ase a SiFa#

Hay que indiar que a vees se denoina a se, Wrckmeister ! en reerenia a ser el rier eeraeno orreo» de los resenados or el auor sí, Barbour 191 Corre Teeraen, N° 1») o Di Veroli 197, 107) Esos auores llaarán a los siguienes, N° 2 N° 3, e Es ás habiual denoinarlo » or ser el erer sisea de anaión que resena elauor vase el aarado nal ara un ulerior raaieno)

erceter 13) E uaro sisea de eeraeno resenala siguiene esruura del írulo on unidades de 13:

7844 94 0039 4980 00 694 96 890 39 0863 5883 84 7844Sol# Re# S Fa Do Sol Re La S Fa# Do# Sol#

+ /3p /3p /3p - /3p /3p - /3p /3p



Sig

emes rere b 193

En contraste con el anteror se aplca a las tonaldades datóncas (« deGener datonco vorabel» p 77) Es en redad uy parecdo en resulta-do al 16cp (o ncluso al esotónco 16c) debdo a esa alternanca de qun

tas con 13cp y justasLas reglas de anacón del propo autor (pp 790) ndcan anar conás o enos batdos a partr de Do por quntas según ndca el dagraa ha-cendo pruebas en DoM («E robe en gar wenges welches an fastt de Gehr ncht penetrren kan herauarts schwebet») SolS («GHrobe aufarts schweben») Rea# («Ds robe herauerts schwe-ben ») etc.

Menos nteresante es ercesterV (p. 79)

Mi Si F Do Sol/4p Re L Mi/4p/4p Si F• Do# Sol• Re# /4p /4p 1 4

La alternanca de quntas 1cp y justas le hace parecerse a un 1cp oun esotónco de 1c con la Vlobo en Sol#M.

ercester («Teperatur aus de Septenaro») (p 0) No deja deser una curosdad nuerológca ás que un teperaento práctco. Barbour (191 p 166) sguendo a Dupont (193, p 2) lo nterpreta en tr-

nos de 17cp sn nnguna justcacón y hoy da algunos autores lo consderan un 1 7cp en 1 1 quntas entre Do M# .

h. Huygens conocía el texto de Werckester pero no lo aprecaba. araun centco coo l se trataba de ssteas eraente práctcos carentes derazón teórca. Su sstea de 31 notas por octava era tabn un sstea ce-rrado aunando la perfeccón teórca (un teperaento gual ateátcaente dendo) y práctca (correspondía al esotónco regular) Quzás porel estlo poco ssteátco de sus escrtos Huygens calca a Werckester de

autor lto de erudcón y de poco valor (uctor ineruis et prvii pretii)Kener (1cp) Desde Barbour sabeos que la expresón «ben tepe-

rado» del clave de . S. Bach no se reere al teperaento gual ¿Quzás unWerckester I? El Dr Herbert Anton Kellner (1977) cree haber dado conel teperaento del «lave ben teperado» dervado del Werckesterpero supuestaente ejor cnco quntas Do M ás Sa# teperadas en1cp y el resto justas

L Mi Si F Do Sol Re L Mi/5p /5p /5p/5p

Si F#/5p

Do# Sol#



1 A1adó

tpe

ác

«Bach's sca tprant coprss wthn ts crcl w tprdhs Ths syst wohtprrt oJS Bach th coposr's own athntc spng s th scal tnng r D wohltemperte er Th w

tprd hs ar (practcaly) a qa, bng rdcd by 1 thagorancoa, by abot 47 cnts. t s ssnta to not that Bach's syst woh-tprrt adts a 24 kys, aor and nor» (Vas a stracón corrs-pondnt al «so» d Bach q acopaña al tto n q n ano tr-no aparcn spstant as qntas stas y tpradas coo rbs yprlas vas asso ás adant a propsta d J. Barns n ngatrra)

edhardt (161739) Nacdo so año q J S Bach, JohannGorg Ndhardt propon ás d dos docnas d tprantos agrpándo

os sgún s adcacón (probabnt n canto a cantdad d odaconsposbs) n aptos para na va (Do na cdad pqña (kne Stt}gran cdad osse St) y cort Ho e tpranto ga). Todos os scaractrzan por prsntar as qntas rcds n 16 y 1 12avos d coa p-tagórco con agnas qntas stas. Los ás conocdos son os dos sgnts

edhardt (1732) (6cp, 12cp)

La Mi Si Fa Do Sol Re La Mi Si Fa# Do#112 -1/12 -16 16 -1/6 16 -112112

Es n tpranto strco a M, DoM n 6cp y as otras dosM con a sa dstrbcón d qntas 112, 1 12, or so, po-dos anar as trs trcras ayors ando ss ts DoMSo#Do )nar DoM ago ayor q a sta (batndo grant ás rápdo q2vs) y todas ss qntas gas, ) coocar a nota So#La d ra qhaga con Do y M dos trcras gas q srán bastant ayors q a s

ta. Tnos coo rrnca as notas So#, Do y M, ) as qntas qcoponn So#Do y So#M son strcas yndo haca abao n crcodos stas y dos dsndas n 112cp. Yndo d Do haca abao, anaosdos qntas stas, Fa y S, y coocaos ntr sta y So#, ya dtrnada,na nota gant tprada por qntas con abas, M. Lo so haros con So#Do#Fa# y S Es so procdnto q habaos hcho con So#

edhardt (1724, pp.1219)

La Mi Si Fa -1 12 112

Do Sol Re La Mi-16 16 -1/6 112

Si Fa# Do# Sol# -1/12 112 1/12



Sg

v mt r b 195

Ete tepeaento e anteio al pieo y cioaente á cecanoal igal qe aql. En el e difeencian á la tonalidade, bcándoela peza de la tecea diatónica a cota de la qinta. En te etao

á ceca del tepeaento igal (112cp en toda la qinta). Ototepeaento ditibyen de a paecida lo te taaño de laqinta:

w Fa L � -1/12 -1/12 -16 -1/6 -1/6 -112 -112 -1/12 -1/4 -112 -1/6 -1/12

-1/12 -112 1/12 -1/6 -1/4 -1/4

S Fa# Do# Sol# -1/12 112 1/12 -112 112 1/12 -112

Sorge (16cp y 12cp) (17). Geog dea Soge (7077) eoto teóico ipotante cyo tepeaento, coo lo de Neidhadt, ocilan ente lo beno tepeaento y el tepeaento igal. Fie patidaio del tepeaento igal ente al de Silbeann al qe calica de «epeaent ineqale vet», popone popio «epeaent ineqaeoden» ( 17) y paecido al Neidhadt I:

S Fa Do Sol Re La M S Fa# Do# Sol# Re# #-1/12 -1/6 1/6 -1/6 -1/12 -1/12 -112 -1/12 -112

Oto anteio (1744, p. 24), pede conideae n antecedente del Kinbege :

La M S Fa Do Sol Re M S

Do#

Oto (1744):

-14 -14 -1/4 -1/4

La M S Fa Do Sol Re La M S Fa# Do#

-1/12 -1/12 16 16 16 112-1 12-1/12 112 -16 -16 -1/6

-/12 -1121/6 112 112

Sol#

Sol#

berger (12c) (77). Mpg (1776) enciona do tepeaento debido a Johann hilipp Kinbege ( 172 7). En el pieo, laqinta ReLa etá ebajada en 1 coa intónico y el chia ( c) qeda ente SolRe ede vee qe e n itea y alo na veión ejoada e el Kinbege (2 2c) (177), n epígono del de Fogliano,conitente en dividi el coa en do itade ente la qinta ReLa y LaMi. El chia ( 1 1 c) qeda itado ente Fa#Re:



Anacn eeant

htrc

902 7922 294 9961 4980 00 7020 2039 895 3863 10883 5902 902Re¡ La M¡ S¡ Fa Do Sol R La M S Fa# Do#

-12 -12 -111

arece entra que a nales del sg XIII y en un dscíul de J S Bach,aarezcan teeraents tan arcacs sbre td tras las sutlezas de Nedhardt y Srge. Sn ebarg estu en bga a rncs de sgl en lea-na Inglaterra e Itala A Marurg n le gustaba y Lndley D Verl (. 10) cnsderan net c recendable en la ráctca Sgue aarecendsn ebarg hy día entre ls «buens teeraents en us. Las quntasreducdas sn ara alguns srtables entras sn ustas las IIIM DMSlS, ReFa# y las I MSl y SRe

El ayr xt de este teeraent rene de la cdad ara llear-se a la ráctca de ra ecánca ) Tercera DM usta ) ustas las quntas de la cadena Re Re ) as quntas MSFa# ustas. E schsa quedaentre ls lítes Fa# y Re ) dcar el ara ddr el ca en artes guaes entre ReLaM.

berger (1cs) (11). ara erar el teeraent anterr,Krnberger rne tr teeraent que dstrbuye el ca entre cuatr quntas cn bet de dsnur a ereccón de as ds quntas ante

rres. Es el cncd c Krnberger 1117922 294 1 996 1 498 696 1922 8883 3844 10863 5883 902 7922La¡ M S¡ Fa Do Sol R La M S Fa# Do# Sol#

-14 -14 -14 -1/4 -111

El teeraent se llea a la ráctca gua que el er dstrbuyendel ca entre las cuatr quntas D M.

nbg IFa

ol

S¡ R M¡ La

)Sol#M

� /Do#

S

.

Fa#

nbg II Iº � Sol _\IS¡ R -

M¡ La

)Sol#M

" � /Do#

S

-Fa•



Si V e s ir brocos 197

Una odcacón de Knbege III se debe a Pntz 1696 quen cooca el scsa ente Sa# paa eoa algo a tecea ayo Se#. Sogepo su lado 1774 ase abía popuesto una dsón paecda al Knbe-

ge 111 sn scsa ddendo el coa ptagóco ente cuato quntas DoSoeLaM Susttuyendo e coa sntónco po e ptagóco se enae scsa. De esta a se ptagozan» y spcan tepeaentos concs+sc cp.

o 1/2cp.. En las nstuccones de anacón de Cstan Lud-g Gusta baón on Wese 179 p. 1 apaece el sstea de Knbe-ge 11 de a totalente ptagóca con dez quntas ustas y dos educdasen 1/2cp

Re La

Mi Si

Fa Do

Sol Re Mi -12 -2

Si

Fa#

Do#

nando de a ecánca as 1 quntas a� M + e ustas y ddendo e tono eM en dos quntas guaes stas eLaM quedan edu-cdas en 1 /2cp desapaecendo e scsa. En otos casos coloca las dos 1/2cp en Sa# M�S� / Sa# DoSo / MS S�a / Sa# S�a /

eLa o Soe y Sa#. El esto de quntas son ustas. 1/3cs. Ota altenata conocda en Londes a pncpos del

sgo coesponde a Cales Stanope 1731816 186 pp. 1214quen tas ace usta la IIIM DoM ace auenta en edo scsa 1/22 as otas dos IIIM MSol#Do. La anacón de detenadas quntasustas ace que el scsa quede dddo en dos tades ente M�S� y S-a# y el coa sntónco en tes ente as quntas SoleLaM

589,2 91,2 793,2 294, 996, 498Sol Re La Mi Si Fa

-122 702 196,7 891 ,5 386,3 0883 589,2

Do Sol Re La Mi Si Fa# /3 -3 -13 122

1/6cp y 1 /7cp. . En leana el ateátco Joann HencLabet 1728177 popone 1774 paa quenes ecazan e tepeaen-to gual po deasado une V1/12cp un tepeaento desgualpeo stco consstente en ses quntas ustas y ses educdas en 1/6cp:

Mi Si

Fa La � M -1 6 - 16 -1 6 -1 6 - /6 -1 6

Sol# Re#



198 fnón m

hóÍ

Las qintas y sales aDoSol qedan jstas. Ya qe con esta ana-ción se voecen las tonalidades con sostenidos y paa na ejo anaciónde las teceas diatónicas popone oto tepeaento en qe las 7 qintas a

+ a# sean igales acotándose en 7cp; las cinco estantes qedan jstas29,5 999,4 501,4 698,6 19,2 895,8 394,4 1093 591,6 93,6Mi Si a Do Sol Re Mi Si a# Do#

1/ / 1/ -1 -1 -1 -1/ 95,5 29,5Sol# Re#

Labe convetiá este tepeaento a acciones n12cp aciendo

6cp aDoSol ReLaMiSi y 112cp SolRe Sia#; el esto jstas.Anqe el tepeaento 6x6cp de Labe no es excesivaente ape

ciado sí lo seá el de los otos dos epesentantes de esta odalidad de tepeaento allotti en Italia y Yong en Inglatea.

Itli

En el sigo II apaecen en la egión italiana del neto en conexión con laiglesia de Santo Doingo de ada na seie de úsicos y teóicos ipo

tantes ente los qe sobesale po s ipotancia actal F A. allotti. S objetivo pincipal consiste en ana de a egla las qintas diatónicas lasnotas ás sadas en el ocio divino.

El pade Petro acchn ( 16941769) e n ilste oganeo qe anaía ss instentos en algo seejante a n esotónico egla de 16c Lalobo Sol#Mi na sexta disinida sea excesivaente gande nos34c ientas en opinión de atini y allotti no debea spease 12c(paa qe la tecea eno aLa ese pacticable según el pieo; si noseía na tecea aentada).

El ateático físico aqitecto úsico y poeta Gordano Rccat( 17091790) popone con tal objetivo ace las qintas ente las notas diatónicas F+ Si) n poco ás cotas 317c (en lga de 31c) y las coáticas en tono al 11 c Cálclos ás exactos daan n tepeaento conlas qintas diatónicas 317 coáticas 110 y lobo " +37c ( 177). Oqintas diatónicas 16c coáticas 1 c y obo " + 3c ( 176). (aapondiza en todo este asnto y el posteio es ipescindible conslta PBabiei 197 pp. 174 y ss.)

La idea de Riccati es inteesante po dividi el cíclo de qintas en dositades igales anadas de a nie cada na de ellas 16 la patediatónica y 1 1 1 la coática. eo coo indicaía . Barca (100) estetepeaento tiene el inconveniente de tene tes difeentes tipos de qintas



So

XTato

g

/ boo 199

y la lta e progreón en el aumento e la cononanca ebo a la quntael lobo. El proceo que conuzca a un temperamento mtrco o mtae guale con anacón propa caa una e ella y n qunta el lobo cul

nara con Vallott.El pare Francescantono Vott aetro e caplla el Santo proponeal parecer un temperaento uy encllo reucr la qunta má uualela atónca en el regular 6c y ejar juta la otra De eta ra aparece el cha 1 c que egún u ntruccone e anacón (e 190 p.19 ¿ 1 779? queara tuao entre SFa

La M

S Do Sol Re M S1 1 1 -1 /6 1 6 1 6 1 6 1 /6 16

Fa#

Do# Sol#

No e n embargo ete teperamento el conoco actualente como«allott» N lo e la verón e Barca (100 contente en trbur elcha entre la e qunta cromátca que quean temperaa en 16 echa. Coo 16ch (033cent 166c (033cent eta eguna verónel teperaento quearía con la qunta entre nota atónca Fa S1 6c y entre la cromátca S F 166c. Eto teperaento no habrían o conoco era e tala

La verón el Vallott que actualmente conocemo e eba obre too ala nracón que e rma un tanto ambgua no oece Tartn (174que reprouco n exteno (la ecrpcón el temperaento aparece en laeguna ta el agmento

peo s , che questo tepeaento non ha ceta ee, ch o vuole euale , chp, o eno patecpato, ch p n un uoo, che n unalto C tanto veo,quanto che peeenteente n tala, e o dtala s studa oo pe tova que!tal tepeaento aonevoe, n cu convenano, e s acodno le nazon n cta loo dscodant), e qual nno uso coune d questa usca, e d quest stuent. Ma l caso dspeato, pech non v luoo a tepeaento nella adee aon d sstea el l petendee d dfa le aon con aone contadzone anesta Questo caso ha p sono d pudenza, che dalto ed o lodonfntaente l sentento del Pade Vallot [sc] nosto Maesto coe l p aonevoe d tutt, pech l p pudente El, dce, che s <eve lascae a tastbanch dell oano tutta la loo natuale pezone s pech so no l natual delGenee datonco s pech d quest ne! sevo Ecesastco se ne l aouso: ducendo la assa peezone a que tast ne, che sono p lontan da!Genee datonco, e d quas nunuso. n olte osseva qua! pacee sulta suonan

do loano [ da! confonto dea peezone aoe, e no de accod spetto alle vae odulazon, che occoono Se l tepeaento fsse euale, opoco p poco eno, non v saee cetaente questo chao oscuo, quale npatca poduce otto eetto G. atn, 1754, p. 100).



2 Afaió mpant s

tór· s

«Dejar en las eclas blancas el órgano oa su erfección naural» «o-nieno la áxia ierfección en las eclas negras» ice el exo Si oe-os suoner un 1/6c ara las eclas blancas naa concreo se esecica so-

bre la isribución e la ierfección en las eclas negras Ese eco y elefeco e «ciaro oscuro» ue se rouce con ese eeraeno oría ali-carse igualene al e Riccai y a oros seeanes

En cualuier caso la inerreación e ese ageno or el ue se co-noció la rouesa e Valloi es una «iagorización» y consiguiene «sie-rización» e su sisea en aras e la silicia Uilizano el coa i-agórico reario en seis uinas en lugar el coa sinónico se eliinael scisa Valloi aconsejaba no suerar cuaro aleraciones en la arau-ra (en ese caso esaríaos en efeco en la anación iagórica e uinasjusas).

Obsrvese la exrea siería e un eeraeno ue oece aleracio-nes igales en onaliaes con el iso núero e aleraciones en la ara-ura SolM y aM ReM y SibM y MibM ec.:

La Mi Si

ºFa Sol

/

Si '

)•\

\;

R

ke

( _\ Mi La cp }

Sol# Mi

ºV

Do#

Si

Fa•

Fa Do Sol Re Mi Si Fa# Do# Sol#/6p - /6p -/6p/6p/6p - /6p

Ese eeraeno es uy sencillo e llevar a la rácica e aí e suxio. Basa con anar jusas las uinas el rono Si a y con uinasigualene coras las el rono a Si (vase el Anice V ara oserioresconsieraciones)



o pno r b·oo 201

Ingte

glaterra, Thoas Youg (131829) expoe u tepe

raeto para teclado uy parecido a de Vallotti y del ue dice que es elusado por uchos costructores de istruetos (1800, pp 3) Laexpresió secilla de tal teperaeto e accioes de coa pitagórico esla siguiete:

7922 294 1 996 498L M S

o o o o/6cp 4cents (392)

698 196 894 3922 10902 5883Do Sol Re L M S #

1 6 16 16 -1 6 1 6 16 o902 7922Do# Sol#

o

uede aarse a partir de Do co seis cuartas justas el tritoo Do Soly co seis quitas iguaes Do Fa# eudo se calica a este teperaeto de Youg », siedo el »,

L M

o o

� 1 1 2 1 12 -16 -1 6 -16 -1 6 1/ 12- 11 2

o Bes (199) propoe u étodo de evaluació del teperaeto correspodiete a cada piea usical cocreta basado e las IIIM que,aplicado al Clave bie teperado» de Bach, oecería para esta obra u teperaeto ejor que los de Werckeister y eller. s uy parecido al deVallotti las quitas croáticas Fa# Fa so puras, así coo MiSi, ietraslas diatóicas Fa Mi y SiFa# está teperadas e 1 6cp.

L M S

o o o Do Sol Re L M

-16 -16 -16 -16 -16 S#

o -16 oDo# Sol#

o



Tmperamentos cíclicos. La microtonalidaddel siglo

odeos reontarnos hasta Arstóxenos, s quereos, para encontrar la octava dvdda en partes guales, deal que recorrerá contnuaente la teoríauscal tradconal. La dvsón en partes guales aparece en la oderndad

relaconada con un teperaento esotónco dado Vcentno había expues-to la dea de dvdr el tono en cnco partes guales, Salnas arreete contraella y quzás por eso no explota su descubrento de que en el teperaentode 3c en 9 partes ls ntervalos pueden ser últplos de la undad ína,que es la díess. Despus, Huygens, Zaragoza, Sauveur y otros generalzan ladea a varos teperaentos posbles. R. Sth antendrá en 9 quecualquer teperaento esotónco puede dar lugar a un sstea cíclco,sn qunta del lobo, por aproxacón de los ntervalos entre abos. En anosde los teórcos de corte scoateátco tales ssteas nconan ndepen

denteente de su aplcacón práctca. Hay algunos de ellos, sn ebargo,que se han utlzado a lo largo de la hstora uscal Son los que encona-os aquí.

S en los sglos y se exploran los teperaentos crculares asocados al correspondente esotónco, en el los ntervalos de los tepera-entos cíclcos tenden a copararse con los de la justa entonacón, sobretodo en nglaterra, donde en su poca, nos dce Bosanquet (), había to-davía órganos anados en esotónco Surgen así alternatvas ás ben teór

cas a la plantacón efectva del teperaento gual. En cualquer caso, losntervalos en juego son la qunta y las terceras y, en algún caso, la sptanatural. Es en el sglo X cuando, con el desarrollo arónco y la no separa-cón entre consonanca y dsonanca, se tenen en cuenta los parcales natura



2 1ó

tprme ó

le °, 3°, etc, que no tenen una eeentacn exacta en el tea habtua de notacn.

po o

En a dvn de la octava en 19 ate, dfeencando otendo y beole,en teeaento eotnco de 1/3c e da una dvn de la octava en ate guale o ca guale Ello e debe a que la díe e ctcaente gual aletono eno:

Do Do# Re� Re

S Desis SS Díesis

oando coo undad de edda la díe, = 1 díe, M = 2 deey ono = 3 dee. a octava e coone de 6 tono, 6 X 3 = dee (9nota) E cícuo de qunta e eenta ahoa ceado (# = Do�), n qunta de lobo y con nota enanca dtnta a la del tea habtual de 2nota Etao ante un teeaento gual de 9 nota.

A edado del go II Ch. Huygen ca 1661 , ublcado en 691 ) eda cuenta de que e a un «cclo anco en el eotnco de /c con3 nota o octava. En ete teeaento, la díe e a tad del etono eno y, o tanto, el tono uede dvde en cnco ate guale o caguale

Do Do# Re� Re

X XS 2 d

= 2 d., M = 3 d, ono = 5 d., VIII = 3 1 d e tata en abo caode teeaento guale de 19 y 31 nota eectvaente en lo que lontevalo on úto enteo de una undad ína

En 167 el ade o Zaagoza genealza la concecn de teeaento cícco

26 Del rcu Musico El Circlo Msico no es otra cosa qe la disposición delas cerdas

oteclas, con tal are, qe de qalqiera pnto se halen odas las conso

nancias sbiendo, o baxando con la esa proporcion Este circlo es ipossible,si las consonancias han de ardar s jsta edida [ ... ] . Pero sacando as consonancias de s lar, de serte qe no oendan al oido, es fcilisio, pes soo consisteen diidir la Octaa, o Diapason en partes iales 2 1 Sponiendo, pes, qe la



Teernt s cos. rooaüad des X 205

Octaa ha de constar de 5 tonos, y dos Seonos Mayores, se pede anarcada tono, dddo en 2 en 3 partes ales, en 5 &c Y sabendo las partesqe se qeren dr al Setono Mayor, se hallarn las de toda la Octaa Zara

oza, 164, bíde)

l td es general

Tono SM S V 5T 2SM

Ejeplo 1 3 partes 2 1 5 4 19 partesEjeplo 2 5 3 2 25 6 3 1 partesEjeplo 3 4 3 35 8 43 partes

Ejeplo 4 »

52 35 10 45 partes

etc.

] auveur ( 70 y ss) aprecia la cncepción generalista de la úsica«istea general » , «Mtd general . », «Tabla general » (vase labibligrafía), c l hiciese Mersenne (el títul de su bra agna es Armoní univrs n la ración de ests sisteas generales teperads(ystms tmprés) hay que tener en cuenta, ns dice, el tn, seitn ayry seitn enr, cuya difrencia es el ca Denina comm al interval

íni, diferencia entre seitn ayr y enr y diferente en cada teperaent (l que alinas Huygens deninan íss Del tn enr 09 yel seitn diatónic 5 salen e seitn crátic 2524 y un ca de8475 cparación en partes igules (lgaritserides) entre ests últis es de a 27 e trata, evidenteente, del estónic regular de 4 cAplicad el is prcediient al tn ayr 98, el resultad es un seitn crátic de razón 528 y un ca de 20482025 u relación es7 stablece la relación del ca al seitn enr entre el líi

te inferir 27 y el superir 7 i el seitn crátic es 2, 4 veces el ca, el resultad es la división de la ctava en 4 y 55 partes

splcdad de n sstea pde qe los valores de y se expresen en núerosenteros Por o qe s es al a será 2, 3 4, y la octava será 31 , 43 o 55 S es al a 2, srá 4, 5, 6, , 8 o 9, y la octava 62, 4, 86, 98, 1 10 122 S esal a 3, será 5, 6, , 8, 9, 10, 1 1 , 12, 13 14, y la octava 81 , 93, 105, 1 1, 129,14 1, 1 53, 165, 1 o 1 89, etc [ . . .]. Los sseas eperados se redcen a aqellosqe sponen c 1 , s 2, 3, 4, y la octava dvdda en 31, 43 y 5 5 pares (10,p 21 0)

i 2 4 5 etc, las partes de la ctava serían excesivas, «l que sepne a la siplicidad que debe tener un sistea» n el cas de c tene



2Ació y ement s

hóo

os la ocava dvdda en 12 seonos guales de la que dce ene sus padaos po su splcdad.

Copaando esos es «sseas de seonos edos» (Systms s smi

tons moyns) a los que consdea acos eócos geneales nenaá esablece el ás peeco. n la bl pour comprr ls Systéms tmprés vcl Systém Ditoniqu just (Mmoirs 10 pp. 212213) pesena auveu ocho ablas copaavas. as cuao peas esán dedcadas a lapesenacón de los nevalos logaos eleenos de los sseas juso epeados. a quna pesena la dvsón de la ocava en 12 «seonosedos»

Vene a connuacón la copaacón ene los es sseas anes en-conados oando la jusa enonacón coo eeenca no de copa-acón «pusque le juse es la egle des aues» (p. 214) a dvsón en 31paes (s 2) uesa u pocas deencas con el epeaeno odnaode 14c «que odos usan» enas 16c es «aquel del que se sven los úscos odnaos» los «ceus de Clavecn du Ro & de as» anan en1c «nueso ssea epeado».

Hasa aquí auveu peo ha oos sseas ácles de ve. Con qunasjusas po ejeplo el ssea se cea con 3 qunas a hsoa de los sseas cíclcos no es sno la de los epeaenos guales de ás de 12 noas

po ocava sus peculadades elódcas o aóncas n cada ssea cíclco vaa la equvalenca de noas enaóncas dependendo del núeo dnoas del ssea n el gual de 12 noas Re# M en el de 19 paes eneos que ReRe#MM son noas denes po lo ano Re## = M M = Re# n el de 31 paes son noas sepaadas ReRe#ReMMM po ano M = Re Re# M ec. l aueno de las paes lacoplcacón consguene haá que se busquen sseas de noacón alenavos al adconal.

Bosanque en el sglo

oa la escala daónca el ssea epea

do de 12 sondos coo aco de eeenca copaacón de sseas paala clascacón de los sseas cíclcos algo que puede ncooda ano a losdeensoes de la jusa enonacón coo a quenes poseoene valoaánlos pacales supeoes nauales Denona sseas egulaes «negavos» aaquellos cua quna es eno que la del epeaeno gual «posvos»cuando es ao coo seía el caso de las qunas jusas. os sseas se clascan po su desvacón (») en undades del ssea de 12 qunas especode ocavas. oaos po ejeplo la dvsón en 19 paes cada quna

ene 11 12 X 1 1 = 132 paes enas ocavas enen X 1 9 133 paes. n ese caso la desvacón de las qunas es de 1 undad = 1 A cadavalo de «» coesponde una see ndenda de sseas cclcos con 12paes de deenca ene cada uno Con = esán los de 12 24 36 4



erames ics. La dd dli 20

50 2 ... partes; con r = 1 os e 19 1 4 55 . . . partes si r l lose 5 1 29 41 5 5 ... partes por octava Se establecen así ilias esisteas cíclicos y pueen copararse sus características counes respeto a

los iferentes intervalos. No vaos a seguir aquí este proceiiento porqueno preteneos estabecer una coparación sincrónica y abstracta entre sisteas cíclicos Preteneos ás bien ostrar breveente las principalescaracterísticas e aquellos teperaentos que ás aceptación han tenio alo largo e los últios siglos y ello eiante un esarrolo puraente histórico

Nos encontraos así con os granes apartaos En e priero entranaquelos teperaentos cíclicos apliaente conocios antes el siglo Xcoo son os e 12 19 1 4 5 o 55 partes La especial eicación e laúsica el siglo X a la icrotonalia hará que e ra separaa nos ocupeos en el seguno apartao e sisteas e 1 19 24 1 4 1 o 2 partes.Con pocas excepciones se retoan en el sigo algunos sisteas que ya habían aparecio en siglos anteriores coo los e 1 9 o 5 partes por octavacon poco que añair a lo icho en pocas anteriores En otros casos los nue-vos sisteas son e invención reciente Por ello sólo en el caso e algún teperaento coo e e 1 partes se consiera en abos apartaos ebio asu reevaluación posterior

Los teperaentos anteriores al sigo X establecen una relación entreun esotónico y su corresponiente ivisión en partes iguaes (cíclio). Loque se busca es el equiibrio entre quintas y terceras o ás ustas posible Laevolución graua e la aronía y la eliinación e la istinción entre consonancia y isonancia hará que en los teperaentos cícicos el siglo X seaplíe la vaoración e los arónicos 1 1 y 1 Estos parciaes si sonnaturales aparecen señaaos en el habitual esquea e la serie con algunaarca (notas negras signos ± asociaos a elos etc.) porque no se corresponen a notas con la notación e las anaciones y teperaentos habi

tuales.

émpamnos cícicos ano a sgo xx Smas ados d nmpamno msoónco

T Se ha visto cóo en a octava iviia en 1 9 partes y anaa en el teperaento 1 íesis y seitono enor eran prácticaente eqivalentes

( cents). Elo perite la coinciencia e notas enarónicas y que e círco e quintas se cierre. E tono FaSo por eeplo se ivie en partes igales FaFa#SoSo que equivae a FaFa#FaxFa##. o SoSolSolSo La equivalenia es entre Dox y Re Mix y Fa Mi y Re# etc La quinta



n L n1dd d s

g

209

632 1263 1895 2526 3 158 3789 442 1 5053 5684 631 6 6947 7579Do Do# Re Re Re# Mi Mi Mi#Fa) Fa Fa# Sol Sol Sol#

821 8842 9474 10 105 10737 1 1368 1200La La La# S Si Si#Do) Do

1 9 pares no llegan a a oava (o 9xm a xVI) en la razón19.073.63. 1 : 19.0.91 .7 .3 (" 3 ens). Las direnias enreel T9 el de 3 y la jusa enonaión son las siguienes:

ntevalo

VM

Pates

1 1 1 1 19)6 6/1 1)5 51 1)

Cents

694743789531579

/3c

694793791631563

Dieenca Dieencia E)

-005 722021 -737016 0 15

Ora de las venajas del T9 es que ereras menores y mayores son muybuenas mejores que en T aunque las quinas sean peores. Sólo los de muhas noas omo T31 o T3 dan mejores ereras. Deensores auaes deese emperameno omo Yasser o Mandelbaum desaan ambin omouna venaja ene al T la exisenia de dos semionos dierenes y lara

mene perepibles. No obsane los paridarios de las IIMs grandes omoBarbour le ahaan que la IIM es más ora que la jusa uando esamosaosumbrados por el T a que sea mayor.

1

1 1

1

D E F G a N N \ ° " N ° "" o N o9 o o 9 o

¿División octava n parts ias? Salinas De sica libi septe Samanca .

La división en 19 pares oee mejores resulados en la esala diaóniauilizando la división eraordal de Ddimo (superónia 10:9 1 ens)que la de olomeo (9: 0 ens). Esa uesión ha esado siempre presene en la eora músia! ya que la razón 9: se uiliza en la serie de los armónios y en la armona de la dominane mienras 10:9 es preerible en oras si

uaiones. Rameau por ejemplo había mosrado una aiud ambivalene alrespeo en la esala de Do mayor. En 17 preere enre ónia y superónia el ono 10:9 omo inversión de la spima 9: mienras en 176 onsidera que el ono DoRe es produo de dos quinas y por ano de razón 9:.



210 ó prmntos hstóro

Los paridarios auales de esa división preeren la división de Ddio en laque 10:9 es la inversión del inervalo 9:, onsiderado oo la sua dequina y erera ayor jusas, 0::30:36. Aepan abin la spia e

nor 9 : y el rono : 1 ene a la spia del arónio naural :7 y elrono :7. El rono «juso y no el naural era al pareer el propio de laúsia renaenisa.

Es diil saber si Salinas, el prier exposior de esa división, e onsiene de la irularidad del sisea. La gura que aparee en De Music ,7 as paree aesiguarlo, pero no ae ninguna enión al respeo, llevadoquizás por su reazo a la división del ono de Vienino en ino paresiguales, reazo que opare on Zarlino. Aunque inena ejeuar la anaión propuesa por Vienino no lo onsigue, debido quizás a que dividir laoava en pares igules no era fáil sin la ayuda de logarios. El reazoiniial a al división va aopaado adeás de una serie de razones, ooque no es aróniaene aepable dividir una onsonania ediane la repeiión de ora, que la orrespondenia on el esoónio no es exaa oque no se llega (aeáiaene) a la isa noa repiiendo la isa onsonania un núero dado de vees. Aunque la división en pares iguales esun odo fáil de anaión, Slinas no lo neesia para el eperaeno de1/3. Es igu de il ediane el inervalo juso de I.

Miael raeorius (1619) eniona un Cvemblum universe onsruido en Viena reina aos anes para la práia del gnero enarónio yuyo elado paree onener 19 noas anads en eperaeno igual. Dera ipreisa, Mersenne eniona el órgano enarónio de Jean Tielouze invenado por Jean Gall on ese núero de noas, aunque es difil sabersi esaba anado en pares iguales.

J. Zaragoza es el priero en aer un álulo exao de sus inervalos ediane logarios, aunque no son neesarios para su anaión: «La Tereraenor, y Hexaordo Mayor, salen iguales a las onsonanias verdaderas,

on que por ese aino sin dependenia de los Logarios, se puede proeder oda la diuision de la Oaua, solo on diuidir en ino pares iguales, la Terera enor. Toda las oras onsonanias, salen de su lugar. . . (167.p. 03). Es algo que ya saba Slinas.

En el siglo XI se preeren quinas ada vez ás grandes, por lo que eseepereno va quedando al argen, ienrs on la adopión del igulos elados on subseionia ienden a desapareer. Sólo en Inglaerra, aausa de la radiión de ese pas en su prerenia por las onsonanias jusas, eree guna onsideraión. R Si, que lo inluye en una lisa junoa los de , 3 1 y 0 pares, lo desea porque al ser paridario de una igudesviaión enre las res onsonanias prinipales, en se las sexas son asijusas ienras quinas y ereras se desvan alrededor de /3. Casi un siglo



Tepeent < cos L oond de sg x 211

ás tarde, W Woolhouse (135), sguendo a Sith, no lo considera tanbueno coo el de 53 pates pero sí ás páctico: The scale o 19 sounds[ ] would, on account o ts siplicity and easy adaptaton to the construc

tion o the instruent, be a usel poveent in the corectness o theharony, wthout iningng on its pactcablity as egads the pere»(p 50)

En el siglo I F Opelt (152) lo consdea ejo que el de 12 partespo no habe ninguna consonancia con un eo ayo que 1 3c. Según Thornerup (1922), se conserva en el useo de Estocolo un aoniu de19 notas por octava construdo en 15 y debido a S Munc, que podríaconstituir el nicio del intes de los ndcos por la dvsin últiple de laoctava (Mandelbau, p 256) Ya en el sglo

M Sachs (19 1 1 ) pretende

ostar que la úsica en 12 seitonos puede intepetarse en el de 19, sendoesta últia divisin una evolucn natura haca una ayo iqueza expesiva apartir de las anteores de 5, 7 y 12 pates ropone, ente otras cosas, odi-car la notacin paa evita el uso de las alteracones, ipropas de esta dvisnA patr de las declaaciones de Sachs coenza una evaozacn del T19,que cuenta ente sus partidaios a los daneses S Wedell y Th oneup, alruso ovalenov, el annio Ael, el aleán J Würschidt o el norteaercano Yasser

T Fue Ch Huygens (16291695) quien por pea vez ost dea claa la estrecha elacin entre un teperaento esotnico y la dvisin de la octava en pates iguales de ra que se cee un cículo cerado,sin quinta del lobo Y e precisaente en el esotnco regular de 1c

La idea le viene de la lectura del libro de Salinas. Tras dversos avatares enhacerse con ste, Ch. Huygens conoce a travs del De Musi la existenca enItalia de un cierto instruento denoinado Achcybalu, de un autorque no se nobra (quisqus ille it»), y que tiene todos los tonos divddos

en cinco partes iguales correspondiendo 3 al seitono ayor y 2 al enorSe encuentran en l, según sus deensoes, todas las consonancas, y tas 31notas, las dieses se encuentran en la octava, los seitonos enores en dos octavas, los ayores en tres, etc:

nsruenu quoda [ n quo reperunur ones on n qunque paresdus qubus res vndca sb Seonu aus & duas Seonu nus[ ] & pos cera perodu ad eunde au aequvalene sb sonu pos 31nerualla redur s sn Deses n Dapason s Seona nora, n Dsdapason:

s aora n Trsdapason: & sc n o Dapason quo Desbus neruallu consab rces & seel reperur (Salnas De Musica, 7 p. 64



212 Afnó t

nt

hó·o

Huygens se muestra ompresivo on el reha de Sainas por el instrumento puesto ue sin la ayuda de logaritmos es muy difíil dividir la aióde la otava en muhas partes iguales

Todo ello se enuentra en la Letre touchnt c hrmonique publiadae otubre de 1691 y traduida literalmete a latí por Jaob'sGravesande bajo el título de Novus clus hrmonicus (172) En esta última hayuna omisión referida al «ilo armónio» del título ue se oserva en el mausrito origial y ue es pertinente:

Qenfn l constte n parft Cycle Haronqe en ce qen y onant o descendant tot de ste pa lntervalle de qnte o qeqatre qe ce sot on reven apres certane revolton

ala chorde d o on a coenc

En la meioada arta apareen por vez primera dos hallazgos importantes de la teoría armónia: la división múltiple de la otava en partes iguales omparada on un temperamento mesotónio dado y el uso de logaritmos omo mtodo general para haer posible la división y alular losintervaos (en las mismas fehas en España J . Zaragoza hae lo mismo)

El mesotóio por exeleia (1/) oee una división de la otava en31 partes asi iguales. Es euente enontrar e autores ontemporáneos la

referenia al ilo de 31 partes omo «el sistema de M(onsieur) Huyges».Obsrvese la enarmonía de las otas en la divisió del tono en 5 dieses o partes iguales oeDoeDoxe. El írulo se ierra teniedo omoenarmóias las notas Sol Mix en un extremo y Do en el otro Deesta rma son iguales a resto las uitas LaxSol(Mix) y DoMix(Sol)para errar el írulo

Huygens establee una omparaión etre los itervalos del / y la división en 3 1 partes iguales expresada en logaritmos En ents aguas de estas direnias son:

nervalo Partes Cens /4c Derenca Derenca E

V 1 8 696 69658 01 9 -5 1 8M 10 3810 38631 09 08 8 30968 3 1026 -058 -596V 25 964 9658 196 :4 96883)

Las sptimas menores son exelentes 109 ents respeto a la del armónio natural :7. Como veremos este va a ser un tor deisivo en la adopión de este temperamento en la músia mirotona del siglo X El T31 tendría tambin una serie de ventajas sobre el 1/ omo la simpliidad (sur



mpam clos mcooaldad dlg X

u

9 der Gu 9

U d

X/0n?9

f be ¡ "8

2 3

"º

Diviión de octava en parte. Quirimu van Bnkenburg Elemena musia. LaHaya .

tout cete simplicit y sobre todo a crcuardad que ermte a modua

cón mtada (un pit Cycle hrmonique)En a menconada carta se descrbe un tecado que corresonde a este cco.Pero a ntencón de Huygens no es rooner un sstema ráctco de 1 artesdebdo a su dcutad: . . arce quon ne saurot se servr d'un te caver sans



214 Anan epeat

htór

se conndre dans la uliplici des ouches & ines » La solución es uneclado óvil de 12 o 19 eclas por ocava que se desplazaría sobre unas varillas(btons) a disancias iguales correspondenes a las 31 pares seleccionando

previaene la onalidad deseada en eperaeno esoónico de 14c. Quedan uchos dibujos de Huygens al respeco Habría hecho consruir al eclado óvil en arís, el cual habría sdo iiado «por grandes aesros» ero nosería posible, ni el auor hace rerenca a ello el cabio de onalidad denrode la isa pie, para lo que endríaos que desplazar el eclado durane laejecución

Ch Huygens es un re paridaro del esoónico por su perfecciónaeicoacúsica y no acepa eperaenos que a cosa de ella perirían la odulación a odas las onalidades coo el gual de Sevin o el«buen eperaeno» de Werckeiser Rechaza el prero por ser conrario a la experiencia por sus erceras uy disonanes; el segundo por ser conrario a la razón, aecaene baso En realidad Huygens, úsico ex-pero por oro lado es conrario a la odulación coo recurso esilísico yabin a ras «an aricales y difíciles» coo la ga Sus preferenciasvan por la úsica ligera y elegane de la poca

Aunque el escrio de Huygens puede reroraerse en rena años al año desu publicación (1661), eso signca que no se conocó en Europa Oros au

ores habían llegado ya a conclusones parecidas coo G Doni (1640),L Rossi (1666) o J Zaragoza (1674) quien enciona la exisencia de un órgano especial con ese eperaeno:

N Poa Caualleo Valenciano, hizo un Oano de 5 teclados [ ] Estos cinco teclados no son ota cosa, que a Diuision de ono en 5 pates y de la Octaua en 31[ En esta diuision toa la Diesis coo la itad del Seitono eno yninuna de todas las consonancias est en su debido lua [ Peo si se coneecon la ecea de Oano, se hallar, que se dieencian uy poco Y assi puede se

ui paa el tepe de los Oanos counes, con ejo efcto que el teple odinaio pp. 0407)

Aunque en el siglo XII hay auores que desaprueban el 31 , coo Maheson (1719) o Sih (1749), Q van Blakenburg (1739) es uno de los quecon ayor iners lo conepla Opueso ano a la anación piagóricacoo al eperaeno igual, achaca a Huygens con quien uvo relación, nohaberse dado cuena de que con esa división se puede rar un círculo de

31 IM (vase la ilusración en la p 213) Blankenburg especica edianesignos dferenes la noación de las aleraciones de las diferenes noas del sisea En el siglo Woolhouse (13) lo enciona coo usual y A Ellis(1) lo clasica enre los «cyclic syses of equal eperaen» (1)



n

í 1oo1dd dlo 215

En el sig X habrá en Hlanda tda una crriente usical encabezada prel sic A Fer que asua esta división c veres.

4 En 101 J Sauveur generaiza e td de Huygens a trsteperaents estónics 1c y 16c que dan divisines de la ctava en 4y partes (comm) respectivaente (hes vist có la división de la ctava en 43 partes la había ya encinad J. Zaragza un cuart de sigl antes):

Temp mes

1/5c1/6c

Sm/comma

Sm 3 dessSm 4 dess

Paes del ono medo

3 + 1 74 + 1 9

Dvsón de a ocava

7 6 4 VIII 43 paes9 6 54 VIII 55 paes

Cparand las diferencias de las ntas de cada sistea cn las de la anación usta (expresadas en lgaritsheptaerides) encuentra que el sistea teperad «ás exact» y er es e de 43 partes y l es entre tds lspsibles pr cnugar a siplicidad cn la enr direncia respect a lsintervals usts. «Un sistea teperad debe ser siple y pr ell debe dividir la ctava en un núer pequeñ de partes haciend as diferencias des intervals teperads a s usts as enres que sea psibe» (p. 219).Iguaente: «Le syste tepr le plus parit est seluy qui ayant sn ctave divise en peu de parties a des dierences les indres et les ins ingales» 1 1 1 p 1 ).

ara Sauveur a división en 43 partes es a preferible ya que IIIM V yV se separan de sus respectivs intervas usts en un pc ás que1 heptaeride:

/5c s 3 paes, sd 4 paes 43 paeso 4 7 1 1 14 1 8 1 5 9 3 36 39 43

Do Re Re M M Fa Fa# Sol Sol La

LS S Do

o 85 4 1943 3 1 1 8 3957 503 587 697 8077 8933 1 0099 1 0903 1 00

/6c s 4 paes sd 5 paes 55 paeso 5 9 14 1 8 3 7 8 3 37 4 1 46 50 55

Do Do# Re M M Fa Fa# Sol Sol Sol# S S Doo 109 1 1964 3055 397 501 8 6 109 698 8073 8945 1 0036 1 0909 1 00

J. B. Rieu (1) al cparar sisteas cíclics y teperaents estónics advierte que su 1c crrespnde a un cic de partes de lactava

La división del tn en 9 partes se retrtrae a Fila pertenecerían aapt y 4 a ia. Est daría una división de la ctava en partes.



216 Afnaó

mpraeto htó

T Este teperaento equivale a la sua de los de T19 y T31 , con todas ls ventajas e inconvenientes de abos sin que la apliación del núerode notas copense los resultados. Corresponde al esotónico de 27 c de

Zarlino o su seeante, el 1c de Sith. Las quintas son casi 6 cents cortasrespecto a las justas y las terceras 2,3 cents, peores que las del teperaentode 3 partes.

Se atribuye a Konrad Hening su utilización, no tanto coo tepera-ento práctico sino, igual que en Sauveur, coo sistea o arco general decoparación y evaluación. En una carta del 17 de abril de 170, dirigida enprincipio a Leibniz (en 1706) y publicada en 1710 en la Real cadeia deCiencias de rusia en Berlín, Conradus Hening ( 164 1716) elabora una serie de intervalos a partir de los seitonos ayor (16 1), al que denoinaitonum, y enor (224), chrom La sua es el tono enor ( 109) y su diferencia la díesis (26243), denoinada hrmonie diferencia entre chromy hrmonie es otro intervlo denoinado hyperoche y la diferencia entre estosúltios, nlente, el eschtum (En cents, 12 1 12 70, 1 12 70 42,70 42 2, 43 2 14). E la división tradicional de Zarlino y Salinaspero llevada en sus divisiones ás llá de la díesis hasta una diferencia sucienteente pequeña que pueda toarse coo unidad de edida del resto delos intervalos Igualando eschtum e hyperoche coo l hrmonie equivale a 2,

chrom a 3, itonum, y el tono, Ello da lugar a una octava dividida en 0partes. En un onocordio enarónico que contenga estos intervalos, exainael coportaiento de varios teperaentos. Suponiendo que eschm es la división sería en 31 partes ( 1, 2, 3, respectivaente); si hyperochees habría 19 ( 1 , 1 , 2, 3) y si hrmonie 12 1 , 1, 2) La serie de lossisteas cíicos generados por este procediiento, 12, 19, 31, 0, es diferentede la de Saveur, 12, 31, 43, El todo es parecido al de este últio perotoando coo eje de la división el tono enor en lugar del tono edio.

R. Sith (1749) llega al ciclo de 0 partes a partir del esotónico de

1 c. Toando la relación TonoSeitono ayor en razón 21, 32, 3,1 1 7, . , la octava quedaría dividida en 12, 19, 3 1 , 69, 0. partes (Barbieri, ibíde, p. 313). El 1c tiene una quinta (69,9 cents) ás cercanaque la del 27c (69,1) a la de la división en 0 partes (696 cents)

En el siglo I, Woolhouse (13, c. iv) se propone hallar el tepera-ento circular que ejor se aproxie a las razones usts, que son aquelloscon dos tipos de seitono. Discípulo de Sith, considera las tres consonancias básicas, IIIM y I a las que aplica su regla del cuadrado de la des-

viación ya encionada para que las tres antengan un error lo ás equivalente posible. Toando coo sistea de coparación 730 partes o grados,propone un teperaento 7 26c que da un tono teperado de 1 17 gradosy un seitono de 72,, los cuales se encuentran en la relación aproxiada de



merue lo roal l

g

r 217

8:. U prao splcado d 0 pars cosuy ua bua aproxacó: l oo 8 pars y l soo (p. ). Es u pra-o sja a la scal of ual haroy» d h: s dcddly h

os prfc of ay syss ch h os ar all alk» (p 6). Wool-hous aalza ab oras dvsos, coo la d uygs (31 pars), a lau cura l dfco d sus rcras ors (y sxas ayors) dasa-do dsvadas auu la cosdra a vry good scal .] aprovd by ayuscas (p. 9). ara la aacó prácca d los sruos d cladola jor dvsó s, s bargo, la d 19 pars u copara co su ssa d 0 (p. 0) Aalza ab u clado d 3 pars cosrudo por J.Robso & o, pro cosdra u u xcsvo úro d as parasr praccabl (adás d uas rcras o uy buas, lo u podra sr u

rror d cálculo). Es jor l d 19 s aspco. ay ua abla (p. 6)co las dfrs loguds d curda corrspods a los pra-os d 12, 19, 3 1 , 0 y 3 pars para su coparacó.

T El prao d 3 pars guals s uá cosdrado l prao dal s os olvdaos dl xcsvo úro d oas. arbuy al aáco y asróoo Ncolaus Mrcaor c 16201687, ocodr co l oso proycsa d apas aco Grardus Mrcaor),

u calcula u la ocava s algo ayor u coas sócos, l -rvalo o J. Zaragoza calcula da logaros u s acrca a los6 y Bosau lo dja ,8 coas. E cualur caso, la dfrca -r 3 uas y 31 ocavas s 3 : 2 (32) : 2]. odos uvalsso F R.

E l sglo I, R. M. Bosau (1876) cura u uas y r-cras so uy buas, jors u l gual. Mras l rvalo íos lgra ayor u l coa sóco, la IIIM s acrca ucho a lapagórca La sua d los rrors d abos s la dsvacó d la IIM rs

pco a la jusa:

Inevao T53 Eo E) (AP Intevao T53 Eo E) (AP

701,887 0,068IIM 384,906 1,408 -0,273 Im 3 16,98 + ,340 +0,205Cs 22,642 +, 136[z 973,585 +4,759 (7/4) 543,396 7,922 (1 1 /8

Bosau cocb u sruo para llvar a la prácca s prao co uas uy jusas, algo u s cosguría ab co p-raos d 2, 36 o 8 pars (12x2, 12x3, 12x).



218 Andn pan

hico

El 3 cmbina la anación pitagórica y la justa. En la pimera, cadatn equivale a 93 de la ctava y cada semitn diatónic a 3 en la se-gunda, el tn mayr a 93, el men a 3 y el semitn diatónic a

3. La perección de sus quintas l asemeja igualmente al igual en 12 partes y, cm en ste sptimas y ncenas naturales n sn muy buenas Eneect, ls parciales 7° y 1 1° están muy desviads espect a ls naturales,cm se apecia en el cuadr, alg n muy aceptable y día para un temperament cn tal cantidad de ntas.

A Ellis cnsidera ls tempeaments de 12 31 y 3 pates ls mejres,cm ará despues A. Fe. En el sigl le an prestad atención, entetrs, E. ipple Óttingen, Wscmidt Yasser L. Sabaneiev, quien,cm el más cercan a la justa entnación, l denmina ultacrmátic

7 G Riccati (1762) establece dierentes aznes ente ls semitnsdiatónic y crmátic que dan luga a cicls cn dieente númer de pates,crrespndientes a distints tempeaments mestónics:

Sd:Sc Ciclo Tempeamento Sd:Sc Ciclo Temperamento

1 : 1 12 1 1 c 2 :1 19 -1/3c3:2 3 1 14c 5:3 50 -2/7c4:3 43 1/5c 5:4 55 -3/17c7:5 74 3/14c 6:5 8 1 -5/19c74 69 -724

Su mestónic de 31c (29c) crrespnde al cicl de 7 partes prctava ( 697 cents) (para una versión detallada, P Barbieri, 197, pp.3163 19). Es un temperament que cmbina l buen y l mal de ls 31y 3 y el resultad es paecid a cualquiea de ells, que tienen mens

ntas.

Mcotonla n múa l glo xx

A principis del sigl la música ccidental culta sue prndas transr-macines que n sól cuestinan ls pesupuests melódics y armónicstradicinales sin que incrpran elements nuevs. Se incluyen snids ncnsiderads asta entnces cm musicales el timbre y la percusión pasancn ecuencia a un pimer plan, se exige a ls instruments tadicinalesnuevas prestacines y se tcan a menud de ra nvedsa (cn grave riesg a veces para su integridad material) etc. Recurdese sin ir más lejs el pia



Tper 1entos ccl. ,a microtonalad dl glo 219

no pepaado de J. Cage en el ue la alteacón tíca epecute en su anacón No sóo se cean sonodades nuevas se utlzan nuevas escaas apat de las notas exstentes, coo es el caso de la hexátona de Deuss, la

see dodecanca de chneg o os odos de tasposcón tada deMessaen, etc., sno ue ocuen tan tansacones ás pondas.La escala clásca no puede satsce uchas veces las deandas de nuevospanteaentos coo a ncusón de os pacales natuales 1 1 13, eloconduce al auento de las de pates de la octava paa pet su ncusón. escala se aplía el setono no es a a undad ína, algo ue entonca con las deas expeentos a conocdos de Vcentno, anas, Hu-gens o auveu. El polea es ue la dvsón conteváca exge nst-entos especales no tadconles as nuevas de eecucón adaptados a

cada expeento patcula. ólo a llegada de a electónca ha petdoposteoente una posdad eal extensva de eecucón páctca en ás de setonos po octava

no de los peos ntentos de ula las nuevas ases esttcas tc-ncas de la úsca del sglo X lo consttuen los Apuntes sobre un nuev estéic músic de Feucco Buso n, pucado en 1 90. de ue a ú-sca se ee de os oldes tadconaes andose a nuevas posldades,ente otas, la dvsón en tecos sextos de tono. Aunue apunta a una dv-són de a octava en 36 pates 3x, 6 de tono), Buson no escó ús-ca cotona, peo una pate de las vanguadas á ás allá de a escala hatual de 1 notas po octava, dvdda sta en pates guales. Es lo uedenonaos «cotonaso o «cotonaldad.

Juega en elo un papel potante e ascenso de las popas úscas cló-cas, un eo conocento de as úscas «exótcas a popa evoucónuscl occdentl, ue l duendo la dstanca ente consonanca dso-nanca va aceptando cada vez ás ntevalos de spta, novena, oncena o tecena. Es conocdo el ntes po los espectvos lcoes ocaes de húngao

B Batók o e checo A. Háa, entas se estudan la dvsón de la octava en5 o pates de cetas escaas canas u oentaes (a), la escaa de tonos enteos, la áae de 1, ue uchos consdean ptagóca, o a de de a úscahndú, con o sn tepeaento gua. Dento de a popa evoucón uscloccdental, el conocdo «acode ístco de can, de tanta tascendencapaa lgunos teócos, utlzaía os aóncos 10 : 13 14 1 sólo seía expesale de a pena en dvsones de a octava ás allá de las 1 o 19 pa-tes Copostoes coo Ha atch, po su ado, seán gandes constucto-es de nstuentos de su popa nvencón con anacones patcuaes.

La evtalzacón de antguos tepeaentos o la ceacón de otos nue-vos puede oedece a oetvos deentes, desde la aplacón de capo tonal, ezando aóncos cada vez ás leanos, hasta a consecucón de eec



0 a

tne

i s

os mbrcos y colorsas sn ue sea exraño a pasmacón en eos de dver-sas y varadas mscas Trmnos como panonaldad», supraonadad»,pomcroonaldad», ec , aparecerán de rma abua

En genera, los dferenes eórcos evaúan dversos emperamenos anesde mosrar su predleccón por uno de elos, pero no es necuene ue con-sderen ue un número crecene de pares de a ocava obedezca a un crero evoluvo de la propa músca s, Josep Yasser ( 92 pare del concep-o de daoncdad» para explcar la evoucón de las escalas, evoucón ueya apareca en Sacs ( 19 1 1 Consdera ue la músca de composorescomo Scrabn es supradaónca» y, aunue esá en 12 noas, exgra 9Una escaa es daónca» (en sendo amplo cuando no odos sus nervalosson guaes or ejemplo, una escaa daónca penaónca dspone de oros

dos sondos adconales ili tones} ue, una vez pasan a rmar parede ea, dan lugar a una nueva escala daónca, aora de 7 sondos Esa úl-ma, dspone de noas auxlares ue permen ulzar as 7 noas de a esca-a en cualuer onaldad Una vez ue las noas auxares pasen a rmarpare de la escala dan ugar a un ssema supradaónco» de 9 noas, 12con 7 auxlares ( 12 plus 7» a próxma en la evolucón será a de noas( 19+2 , ec As, cada escaa ncorpora como auxlares un número de noasgual al de a aneror (2=7+, 912+7, =19+2, ec a evolucón

de número de noas de las escalas sgue a sere de Fbonacc, (2, , 7, 12,19 , , 0 , ec En esa sere, descubera por ese maemáco de sglo III yue en un prncpo ena ue ver con la procreacón de los coneos, cada nú-mero es la suma de los dos precedenes, n (n2+(n

Cada uno de esos ssemas ene su propa jusa enonacón», deerm-nada más por las exgencas meódcas de a escala a la ue odo sondo se re-ere ue por la base fscoarmónca de os parcales a consonanca se creaenre sondos aernos de a escala y la dsonanca enre sondos consecuvosor lo ano, conrme crece el número de pares, los nervalos consonanes

son cada vez más coros y dferenes ue en e ssema aneror Trmnoscomo ercera», cuara», sexa» se reeren a número de grados de una esca-a deermnada y son sempre consonanes, menras las segunda» o sp-ma», propas de cada ssema, son sempre dsonanes Una consonane er-cera» es un nervalo drene en cada una de as escaas de , 7, 12, 19 . pares, e nervalos ue son consonancas en un ssema no lo son en oro yvceversa Acorde» es asmsmo un concepo reavo a cada ssema y e bás-co se rma superponendo erceras sn ue uede una segunda dsonanerespeco a la ocava Es una dada en la escaa penafónca, rada en el acual,xada en la de 19, ec

Oros eórcos como Th Kornerup ( 922 an expueso ambn una sucesón evoluva de esos emperamenos sguendo a sere de Fbonacc



Te

erto cclco La crooald del

U 221

Pero a diferencia del apecto ociológicoevolutivo e hitórico de Yaer en elcao de Kornerup la erie e deduce del depliegue propio de la ección áurea(vae ina)

Prciles superiores Intervlos e I El número 7, lo hemo vito marcaba el límite riguroo entre cononancia ydionancia en el enario de Zarlino enario luego dotado de entidad icapor Galileo a teoría ica de la cononancia tendía in embargo a diluir laditinción entre cononancia y dionancia Quiá por ello ya Merenne(1, prop ) dejaba abierta la puerta a que en un turo lo intervalo 8 :

7 : , producto de la diviión de la cuarta intervalo duro y ápero acabaen iendo por la era de la cotumbre dulce» y fácile» Sin embargoarma con poterioridad que la naturea que e armónica rechaa al hiriente intervalo 7 que debería eguir a la m 5 y que tra el tono máximo» 8:7, podría coniderare como un tono upermimo» a cuetión adquiere carácter moral al comparare ete intervalo con el vicio queinterrumpe el ejercicio de la virtud Tit instrumens Pr X)

E Ch Huygen c 11) el legítimo valedor de lo intervlo de ptima Conidera que entre do cononanci e má cononante aquella cuya rplica primera o egunda etá en raón múltiple Puede aí olucionar un viejoproblema colocando la M ante que la V en el rango de l cononancia ecuchar 5:4, oímo a la ve 5:2 y 5 : 1 , má cononante ambo que 4: (obre Huygen y el intervalo de V vae Cohen 1984, p 212214) Siguiendo ete criterio la V 47 etaría en un grado de cononancia entre My Por otro lado dice i miramo la coa de rma deprejuiciada no eque el número 7 ea incapa de generar cononancia implemente que tano on compatible con la etablecida ni on tan buena Yendo má allá de

lo cinco primero armónico decubierto por Merenne cabría opechardice Huygen un ° y un 7° En una nota marginal a un agmento obre teoría de la cononancia ( 11) aparecen mencionado en efecto lo iete primero parciale No habría ya cononancia má allá de ete ptimo parcialque no e citado por u nombre En realidad el 7° armónico natural no aparece ni en la anación pitagórica ni en la juta ni en temperamento igual peroí en la propueta de Huygen del ciclo armónico» de 1 nota por octava

En el iglo II, el 7° armónico natural erá rechaado por Rameau (onux» on perdu») pero defendido por Euler Tartini y Kirnberger Recurde

e la derivación puramente aritmtica de lo gradi uavitati» de Euler en loque la raón 1:7 tiene el ptimo grado el mimo que la M (5:4) y M(5:) y uno anterior a la m (:5) y Vm 8:5), que pertenecen al octavo



222 Afó

perato

htóro�

grado (vae upra). En el noveno grado e encuentra la raón 7:4 la ptmaarmónca En 7 Euer conderará el acorde de ptma en lo número4:5::7 como la armonía má completa. Helmholt (8) encontrará má

tarde la concordanca entre tale aprormo y u reutado acútco. Segúnte el ntervalo 7 :2 e má armonoo que otro má tradconale. Lo problema urgen cuando da ugar a otro ntervao como 7: 7:5 o 7:8

Tartn (754) ntroduce una nueva notacón para el armónco 7 (una e-pece de bemol doble con ólo la línea vertcal ncal) para dtngurlo delntónco :5 (:2 :5) y trae eempo al repecto . . queto ntervao[7:4 d cma ntonaone opra l Volno ed voluto dala natura ar-monca perch trova tto dala natura nele Trombe marna e da ato ene' corn d cacca» (p 2 En Barber p. ) Sendo cononante ta p-

tma no neceta preparare n reolvere Por otra parte la mejor cuarta au-mentada ería a de raón 7:5

En e l go I Boanquet había hecho aproxmacone al ntervao deptma natural a partr de la anacone tradconale A la V natural eca equvalente a a menor tradconal : reducda en cp mentra a Vdel meotónco conttuye tambn una buena aproxmacón A pear detodo ello no goó en lo o III y de un vor epecal por parte delo teórco a pear de que Haendel Ron o Beethoven entre otro utaron al parecer ete parcal en o ntrumento de metal (Mandebaum ,p. 7) Sólo en e glo X ha vueto a adqurr u mportanca.

Añadendo a ptma natural a la tríada mayor e rman lo guententervalo

4 5 6 7Do Mi Sol (Si)

VII (DoSi) 47Im (SolSi) 67

Trtoo (MiSi) 57

La ntroduccón de 9° armónco trae nuevo ntervalo alguno de lo

cuae como la V 5:, e la de la uta entonacón pero aparece una nuevaM» y un nuevo Tono»

4 5 6 7 (8) 9Do Mi Sol Si (Do) Re

VII 59Too 78

IIIM (IV) 79

E ntervalo :7: puede rmar una tríada menor pecular y obre cuyapobdad de nverón debaten aguno teórco

Admtdo lo nterao de ptma natural e fácl paar lo parcale y , parcae que Schoenberg condera como a bae de la ecala cromá-tca a pear de la dcrepanca que muetran con la repectva nota detemperamento gua de 2 ondo.



pme clic L tl li

l

223

Eto arciale on in embargo de má difícil entonación que el de 7ª Aartir de Do

la erie roduce diviione aritmtica or diferencia numri

ca iguale de lo intervalo

D (8 Re 9) M (1 0 Fa# (1 1 Sl ( 12 ( 1 3 Si ( 14 Si ( 1 5 d ( 16

Como ha ocurrido con la tima la incluión de cada nuevo armóniconatural añade una nueva dimenión» como dirá Fokker a la etructura armónica Cada dimenión» tendrá u roio vocabulario eecíco comartido en arte or otra ero con elemento eecícamente roio Hablamo aí de intervalo etimale» undecimale» trecedecimale» etcConideremo lo armónico hata el 16

3ª4 5

D Mi

3ª6

Sl

3ª 3ª 7 8 9

(Si D Re

33ª ª

10 1 1Mi (Fa#

12 13 14 15

Sl ) (Si Si16D

Tenemo intervalo ara todo lo guto brvee el número de tercera diferente (II 54 97 1 1 9 m 76 1 1 1 1 6 1 ) de tritono

(75 1 1 7 14 1 1) tima (74 95 1 69) tono (87 98 1 09 1 1 1 0 ) Con el arcial 1° tendríamo ademá una exta 18 quinta diminuida19 cuarta diminuida 110 tono 112 y con má arciale cuarta aumentada 1 8 quinta aumentada 20 1 exta mayor 22 1 tercera mayor26 exta menor 52 tima 241 comma 2726 díei 409 etcbrvee incluo que el emitono» 1 2 1 1 e mayor que el tono» 1 12 debido a que lo arciale 1 1 y 1 on má bajo que la nota que lo rereentarían

Hay que tener en cuenta que todo eto intervalo que no aarecen en

la anacione y temeramento tradicionale on interalo naturale al baare en el armónico natural correondiente No on ademá decubrimiento reciente El 1 1 ° arcial e al arecer ecuente en cierta múica lclórica en cierta múica árabe y en la diviión tetracordal diatónica dePtolomeo Hemion 9 10 1 1 1 2 (vae ura)

Tale diviione on muy utiliada en la múica microtonal del iglo Wychnegradky (1 9) or ejemlo conidera al 1 1 ° arcial como labae de la diviión de la octava en cuarto de tono (24 arte) Según HPartch el T1 1 ería el rimero en el que todo lo arciale hata el 1 1° etán adecuadamente rereentado Yaer incluirá lo arciale 1 1 y 1 en udefena de la diviión de la octava en 19 arte aunque alguno intervalo ueran lo 20 cent de diferencia como 1 1 7 12 1 1 o 18 Podemo ir toda



224fa

pto hióo<

vía má allá y acudir al 17° parcial muy cercano al del temperamento igualen 12 emiono El lecor no ahorrará mencionar lo inervalo que e producen aceptando éte y otro parciale uperiore aunque mucha vece coin

ciden intervalo entre diviione ditinta de la octava obre todo obviamente cuando la parte de una on múliplo de otra:

Inevalo JE Mes AP TI

VII 74 96883 95 .0760 100690 9961 0 .000 +31Tono 75 58251 5902 57950 611 70 600 + 17,5

(ono e Eule 107 6 1750 cen)Im 76 26687 31564 3103 29414 300 -3313VII 9:5 0760IIIM 97 43508 54 3863 3863 864 40782 400 3508Tono 87 231 17 98 2039 20391 1932 200 -3 1 1 7XI (118) 55132XIII (138) 84053

El comportamieno de lo diferente emperameno ante lo nuevo parciale diere (véae la tabla al nal del capíulo). El habitual T12 da una excelene pero mala M y peore (+1 cent). En cuano a lo par

ciale 1 1 y 1 no e que ean malo e que encillamente no exiten en eetemperamento a raón 1 1 :8 equivale a 551 cent juo entre 500 y 600.L mimo ocurre con el X de raón 1 :8 y que equivale a 840 5 cent no800 ni 900. a diviión en 24 parte (2x12) viene a paliar ete problemapueto que oece intervalo de 550 y 850 cent El T19 oece peore yM que el T2 mejore (2 1 5) i tomamo como al la + y no mala X ( + 1 7) y X (19 5) Pero para alguno el problema de ete temperameno lo hemo indicado etriba en que la M e má corta que la juacon lo que uena muy inípida» acoumbrado como eamo a tercera

mayore muy grande. El T 1 e excelente para el acorde de épima(4:5:6:7) ya que oece una M muy buena acepable y cai juta( 1 cent). X (95) y X (+ 1 1 ) on aimimo baane buena El mejor ein duda el T5 con una prácticamene juta aí como la M y la X y X muy buena. Un reulado excelente lo da ambién el T41 de vonJank que no aparecía en lo iglo precedene

lguno eórico utilian el érmino límite» referido al mayor númeroprimo que marca el límie entre cononancia y dionancia egún lo intervalo que queramo coniderar. Aí en la anación piagórica e el (2: 1 :2en 4: 4 2) y en la juta el 5 (5:4 6:5). Si exendemo al 7 enemo la poibilidad de coniderar como cononancia lo inervalo de 7ª y neceiamouna nueva diviión de la octava que permia que ete intervalo ea juto o e



pmnents o L od d

g

225

le acerque. L mimo ocurre con lo intervalo a partir de lo parciale 1 1y 1

Eto permite calibrar el comportamiento de lo diferente temperamento

dentro de dicho límite. Vemo aí cómo el habitual T12 e progreivamentepeor al ir hacia lo parciale má alto. En el límite 2 (2:2 2: 1) la diferenciacon lo repectivo intervalo naturale e en el (:2 4:) e de 2 centen el 5 (5:4 :5 9:5) de uno 14 cent en 7 (7:4 7:5 7: 9:7) en uno 0en 1 1 ( 1 1 :8 1 1 : 1 1: 1 1 :9 1 1 : 1 0) uno 40 etc. Por ello aquello teóricoque buquen acercare a lo parciale uperiore neceitan bucar temperamento alternativo

Notón

Uno de lo problema que urgen en la microtonalidad e la neceidad deuna nueva notación y una nueva terminología para lo nuevo intervalo producto de la incluión de lo parciale uperiore y cuya complejidad hemovilumbrado. Ya con el ° armónico natural hay una tercera aumentada tercera mayor neutra menor o diminuida a lo que hay que añadir la VM12: y la Vm 14:9 la quinta emiaumentada» 54:5 novena menor 15:7 y

mayor 1:7 etc. e intervalo pequeño como la díei :5 de 4877 cent(2xV M V) o el comma 4: de 272 cent (2xV 2xV V).Sólo con el parcial 1 1 vario tipo de tercera mayor menor. . . ¿lamaremoa :7 tercera ub» o ina» menor (por er menor que la menor :5) a 7:9uper» o upra» mayor (mayor que la mayor 5:4) a 9: 1 1 intermedia»neutra» al etar ente la do grande y la do pequeña? a inverión de latercera ubmenor» :7) ería la exta upermayor 7: 12 Y en el cao de laquinta tendríamo quinta juta en 4::9 una ubdiminuida» 5:7 y una

aumentada»7: 1 1

a coa e complica cuando vemo que hay ditinto tamaño de cuarta quinta ptima y novena como la quinta emidiminuida 1 : 1 1 quinta diminuida 22:15 cuarta emiaumentada 1 1 : 8 cuarta aumentada 1 5 : 1 1 tercera mayor (cuarta diminuida) 1 4 : 1 1 egunda 1 2 : 1 1 exta 1 8 : 1 1 ptima 1 1 : y 8 1 :44 comma :2 ( armónico) etc.

Sobre la notación muical en la dirente ecala microtonale hay variatendencia. Un procedimiento má engorroo cuanto má aumenta el número de nota de un itema conite en utiliar la notación tradicional adaptando lo igno habituale de bemol» y otenido» a la neceidade con

creta de la diviión lo cual hace variar u ignicado Si en 1 2 partedividimo el tono de la iguiente rma DoDo# (Re�)Re en la diviiónen 1 9 parte la nota enarmónica on otra Do Do# Re� Re con loque Do# Re�. En 1 parte el tono e divide aí Do Re�� Do# Re�



226 fnacón

eea1to hitóros

Do Re Evdentemente, Do " Re�, Dox Re, Re�� " Do Conmeampamo el númeo de pate, hay qe etablece deente dvone deltono y deente nomencata, tenendo en centa la vaacón de la ena

mona Eta notacón e todava útl en el T 9 y T24 peo comena a eengooa en el T l En ota notacone altenatva a vaacone obela tadcona on ácmente compenble, anqe eqeen ceta explcacón gno de otendo con na, do o te aya vetcae, el gno debemo n competa o dpcado, gno + y , echa acendente o decendente, gno epecale meca de la notacone paa otendo y bemole, etc

Mcho teóco y compotoe condean qe la notacón tadconal,

adaptada en n pncpo a 12 o 1 9 pate, no eeja de ma adecada laeacone tonae ponda de lo nevo tema mcotonae po máqe a amplemo Tempeamento gae en 1, 14 , 15 o 2 pate dclmente peden expeae con la notacón tadcona n eva a cononeo maentenddo en la elacone ente ntevalo, gal qe oce cono de o 50 pate Agno poponen elmna totmente eta notacóntadconal nventando nevo gno adaptado a cada no de lo ne conceto popeto E e cao de eo de Ve, J Yae, T Mook o K Stockhaen A pat de 198, y con la geneaacón de tema MD, a ec

ta mcotona pede etablecee de ma nmca a dependepacalmente de a etcta de lo ntentadoe El poblema e qe nanotacón pamente nmca no oece na vón caltatva» de la caactetca melódca, amónca o de caqe oto tpo, en calqe caomcale, del tema tlado El mndo de o odenadoe ha evolconado tambn el tmbe mcal, qe ahoa e abe a expectatva neva yexge neva notacone o metanotacone

Tmpermento l siglo con ivisión ocv en prtes igules

4 X 4 de tono 1920940 a dvón de la octava en catode tono paece e na de la má enclla de etabece Se tata de dvdcada emtono tempeado en do mtade y el tono en 4 pate gae (hoyda denoe elmnan todo concepto de cononanca) Una manea eementa de llevala a cabo e ana en tempeamento ga do ntmento aa dtanca de 4 de tono Sendo na dvón mcotonal nttvamente

enclla qe no e apata tancamente de la páctca habta, no e de extaña qe apaeca en dveo lgae de ma ndependente S qeemobca pecedente podamo etotaeno a la dvone de Atóxeno,lego e ocpaon de ella Meenne, Kche, Ro, G Don, etc



eament s ccícos La croto1aíd des 7

Diviione micoonale en cuao de ono apaecen en J F Haly yaen 1847 (Prométhée enchné) y luego en Rchard Sein Zwei Konertstückeop 2 190 Ahur ourie en la hree Pieces r wo Pinos in Qurter

Tnes de Ch ve de hacia 1920 o el ine de RimKoakov al epeco al meno haa 1932

El mexicano Julián Carillo (1875195 e un pioneo de la eciuramicoonal que comiena a explora con u violn hacia 1895 Con eeencia al onido ece» (el armónico 13 má allá de lo 12 pimero radicionle) incluye diviione de ecio cuao ocavo y diecieiavo de ono(ademá del Preluio Con» que daa de 1922 lo ocho cuareo de cueda o la miaun Su concepcione eán impegnada de un pondo

miicimo y enuncia a odo lcloimo Aloi Hába (18931973 e uno delo má polco compoioe en múica micoonal de cuao de ono Suine en la modalidad y micoonalidad e encuena en el eudio del lcloe de u pa y en la inuencia de Schnbeg obe la conideación deligual eau de cononancia y dionancia Ceó inumeno en cuao yexo de ono para lo que hio divera compoicione en general aemáicaSeno curteto cuer eenado en 1922 Suite nº para guiaa laópera L mre de 1930, ec) Poeriomene conoce a A Fokke (1958 ye inerea po la múica en el T31 van Wychnegadky (18931979 e en

cieo modo un deudo de la idea mica de Sciabin y de la loofa deNieche Pae de la eliminación de la polaidad radicional enre cononancia y dionancia y uilia ecala poduco de la diviión no de una ocavaino de do o re A pari de u L jouée listence ( 1 9 1 7 y eviadapoeriormene) inirada en la meafica hindú e dedica juno a Hába acomponer múica ulacomáica en cuao y exo de ono Uiliandodo re o cuao piano anado a diancia micoonale puede uiliacuaro exo ocavo o doceavo de ono Arco iris 1957 Siguiendo aSciabin relaciona cada micoinervalo con un color ( 1 12 con el naranja1 amaillo 14 vede 12 ojo ec ) legó a inereare ambin po elórgan de 3 1 pare po ocava dieñado po Fokke nluye en Meiaeny Boule Son impoane alguna de u oba eóica (1922 con concepo como lo de panonoidad»

Aunque decae hacia lo año 30 a pai de lo 0 y 70 enació en Ruiael iner por el emperameno de cuaro de ono con nombe como edSchnike o Sofa Gubaidulina E Murin concibió hacia 1938 un inrumeno que como ineiador e conruyó en 1958 de nombe ANS en

honor del omnipreene A N Sciabin Sea poible la diviión de la ocavaen cuao y ocavo de ono ademá de la anación jua Al ear baado enla eucura ineválica de la eie de amónico haba la poibilidad decear una amona mbica



228 Afaó emeaent s

htór

Hay otras divisiones de la octava que, como la de 24, son múltiplos de lade 12 , 48, 0, 2 El T2 lo tienen en cuenta Hába y Augusto Novarrocomo una combinación de los temperamentos de 12, 1 8, 24 y partes c

tores de 2 Más que como un múltiplo del de 12 puede considerarse comoun balance entre los de 1 y 4 1 partes Así como el T1 combina los T12 yT19, en este caso las buenas terceras y sptimas del T1 se combina con lasbuenas quintas y onceavas del T41

T de ono. Junto al T 1 9 es uno de los más citados en la literaturamusical microinteválica y en opinión de Yasser si aqul era de aplicación inminente ste queda para una tura expansión tonal El inters por esta divi

sión de la octava es hoy casi un dominio exclusivo de musicólogos y compositores holandeses a travs de la HuygensFokker Foundation creada en190 y que cuenta incluso con nanciación gubernamental Posteriormentese ha extendido a pequeños núcleos de otros países

La división de Huygens en 1 partes aparece en el tomo 20 de sus ObrsCm que no aparece hasta 1940 Es el año en el que el sico tambinholands Adriaan Fokker (188192) se interesa por la música y por estadivisión de la octava Su inters se amplía a otros teóricos como Zarlino yRameau para la armonía tradicional Euler para el intervalo de sptima natu

ral y la modalidad o Tartini, otro defensor del intervalo de sptima Comparados con los intervalos de la justa entonación y los construidos con el °parcial el resultado es el siguiente

Intervalo T31 Error ntervalo T31 Eo

V 18/31 696774 -58IIM 10/31 387097 0783 m 8/31 309677 -5964m (74) 25/31 967742 1084 Tr tono 5/31 580645 -1868Im 7:6 7/3 1 270968 4097 IIM 9:7

Puede apreciarse la excelencia de la M y la V natural En su defectola m que suma los errores de M y de signo contrario Serán por ellopartidarios de este temperamento quienes valoren por encima de todo My V y no tanto los partidarios de incluir la m entre las consonancias importantes o quienes no tengan en cuenta la V natural Huygens determinalos cents de la díesis como 1 1 8 de 2 (9 cents) 1 1 de 4 (8,2), 110

de 54 (8,), 1 25 de 4 (8,8), 11 de 2 1 (8,), etcSegún Fokker podemos admitir varias dimensiones» en un sistema ar

mónicoa primera lo constituye el sistema de quintas (anación pitagórica) un sistema horiontal lineal en el que no aparece el intevalo de M



Tepent s cos L1 ioon l gl X 9

5:4 Para incluir éte hace lta una egunda dimenión vertical (uta entonación)

LaFaRe

MDoLa

S Fa#Sol ReM S

Do# Sol#La MFa Do

ncluir el intervalo de V natural (4:7) requiere una tercera dimenión(repreentada de rma tridimenion con cubo adyacente) que e conigue con el T1 y u buena éptima naturale (the «tricesimopriml equltemperment) o número primo mayore de cada dimenión on el 5y 7 De la mima rma que la M uta no puede derivare del itema pi

tagórico tampoco la V natural de la anación juta Pertenece in embargoa la erie de armónico naturale y u incluión hace que haya que ampliarela ecala habitual de 12 emitono en la que no aparece. Según Fokker ecala como la de tono entero la decrita por Tartini (Do re mi� # ol la�i do) o alguna de Bartók que propondrá la tétrada 4:5:6:7 como acorde bá-ico pueden tratare como compueta de tercera quinta y éptima naturale cuya mejor combinación la oece la diviión de la octava en parte.Fokker adopta la variación en la notación habitual para ecribir la V con lab» del bemol ligeramente modicada o el número de línea verticae delotenido que pueden er una do o tre. Aí el Fa del acorde de Sol e agomá bao que el Fa natural con lo que puede notare con un bemol terado(Fa minu» o Fa emibemol»); en el temperamento trigeimoprimo» eidentica con Mi En Do el Si� natural e algo menor que Si� (Si� minu» o Boneandahafat») y e identica con a# Mi y a# on diferente (una díei menore) que Fa y Si� o mimo ocurre con lo oteni-do Una éptima menor bajo Do e un Re un poco má agudo que elnatura (Re plu» o Re medio otenido» notado con el igno "# pero con

una ola barra vertical) y una éptima natural bao Si e un Do algo má agudo que Do (Do# plu» o Coneandahaf harp» notado con tre barraverticale) Aunque Fokker utilia tale igno que oecen una viión máexacta de lo intervalo de ete temperamento podemo hacerlo con la tradicional en la que la diviión de lo tono y emitono ería la iguiente: DoRe�� Do# Re� Dox Re Mi�� Re# Mi� Rex Mi Fa� M Fa . En ete temperamento 2V2M 5V+1V etc.

Depué de una erie de compoicione que podían interpretare en unpequeño órgano que reproducía lo género euleriano con intervao natu

rale el primer concierto público para trío de cuerda en eta anación eproduce en 1945 En 1950 e intala en el Teyler Stichting Mueum de Haarlem un órgano de 1 parte por octava con do teclado uno ininado



T

erent ics L nali del i

g

1

menra el marmono B y Lemke e han conagrado como nrpreeprvlegado

Fokker condera ambn el 4 en quna ercera y pma llegando

a la concluón de que no ene venaja acúca obre el

T El húngaroven Paul von ankó ( 8599 e dcípulo deHelmholz en Berln Conruyó un eclado epecal paenado en 882 baado en la dvone de Henlng y Boanque en el que cada acorde o ecuenca melódca puede nerpreare en vara pocone dna Conade e la de ecla dpuea por ono enero comenzando en Do y Do#alernavamene de color blanco la correpondene a la noa daóncay negro a la cromáca Deende en un opúculo ( 90 la dvón de laocava en 4 pare guale (upracomma») con epecal predleccón porla quna. E un emperameno perenecene a lo de la mla de 7 729 pare guale y como o povo» e decr con la quna má grande que la del emperameno gual (aunque ólo medo cen mayore que lajua en ee cao 70249 cen) La e ca cen (582 má coraque la ua y la ammo cen cora

Fokkr eablece una comparacón enre lo emperameno de 2 92 4 5 72 87 y 94 pare y llega a la concluón de que el mejor

emperameno para IX e el 4 egudo del S nclumola XI ambo on gualmene bueno. Propone por ano el para el preene y el 4 para un uro próxmo Su gran vrud e dede luego laperfeccón de u quna.

Divisiones múltles sin prtes iles

parte «Juta entonac6n» Harry Partc (90974 e un conocdo

compoor y conrucor de nrumeno orgnale En u obra prncpal(949 que recoge poulado de oro órco aboga por la jua enonacón y por la ncorporacón de lo número 7 y No lo hace ano en defena de la nauraldad de la ere armónca cuano de la poble dvoneeracordale angua y del eperameno de 4 pare por ocava. El concepo de mononía» le perme dervar la razone de la noa a parr deuna razón generadora haa el número

1 1 54 32 4 98 1 1 8 «Ütonality4 5 6 (8) 9 (10) 1 1Do Mi Sol Si (Do) Re (Mi) Fa1 1 8 5 43 8 169 1 6 1 1 Utonality»



2 fcó etos c

a tonality» conite en la inverión de la ei nota de la otonality»ba etán relacionada en lo que Partch llama the tonality diamond» dela iguiente rma:

[/ 7 8/ [9/ 10 11/12/7 [7/7 8/7 97 10/7 1 1/712/8 14/8 8/8 9/8 10/8 1 1/8

[12/9 14/9 1/9 [9/9] 10/9 11/912/10 14/10 1/10 18/10 [10/10 1 1 / 1 012/1 1 14/ 1 1 1/11 18/11 20/11 [ 1 1 1 1 ]

En la gura la otonality» aparece e n la línea y la tonality» en la co-

lumna. En el ejemplo previo e trata de l de 88 pero la ei raone de ladiagonal on equivlente bviamente la raone 9 y 128 equivalen a2 8 a 4 108 a 54 12 10 a 5 10 a 5 1 10 a 8 5 18 10 a 95148 a 74 y 14 10 75 Eliminando la raone repetida que aparecen entre corchete el reultado on 29 rone juta dentro de una octava Partchañade 1 4 má para permitir la trapoición de la repectiva otonality» utonality» lo que da lugar a 4 nota por octava a raone añadida on8180 2 2120 y 1 1 5; 227 2 1 1 2720 4027 22 1 27 1 y

1 5 8 40 2 1 4 1081 No e trata de un temperamento igual ino de un cao epecial de jutaentonación que permite la trapoicione deeada aunque no una modulación totalmente libre. Partch ha contruido divero intrumento al efecto.

Secci6n áurea Thorvld Kornerup dearrolló una anación baada en laección áurea como única contante (Mandelbaum pp 27 y ) Se tratade la conocida diviión armónica de una recta en media y extrema raón. aección áurea o proportio divina» ha ido objeto de mucho etudio en

geometría arquitectura y botánica y como e abido conite en una proporción entre do cantidade de rma que la uma de amba ea a la mayor comota a la menor ab/a a/b (b) Si llamamo < a ea proporción yreolviendo la ecuación < 1 2 118098 .. a raón puede continuare indenidamente entre a» y ab».

Kornerup conidera que eta raón debe er contante entre vario intervalo muicale dotando a todo el itema de una epecial unidad una epeciede armonía mítica generaliada Coniderando < como la diferencia entre

SM y Sm (SM/Sm ) y que 7 SM má 5 Sm equivalen a la octava (SM XSm 2) el reultado e de 1 18 9 cent para el SM y 75 para el Sm valoremuy parecido a lo de la juta entonación 1 1 1 7 y 707 cent repectivamente. Como el tono e la uma de ambo emitono tenemo de nuevo la



prt o. � X 233

sección áurea T/SM = <· Es un tono de 19243 cents más o menos intermedio entre los tonos mayor (2039) y menor (1824) de la justa entonaciónUtilizamos el mismo procedimiento a continuación ya que la m = T + SM

y de nuevo la V = m + T Sus respectivos valores son de 3 1 1 36 y 50378cents cercanos a los 3 56 y 498 de la justa entonación Podemos establecerpor tanto el esquema de intervalos descendente de la siguiente rma:

V/m = m/T T/SM SM/Sm = ( 1 6 1 80 .) .

La suma de todos ellos equivale a la octava. El resto de los intervalos seobtiene a partir de los conocidos dando para la V el valor de 69621 cents ypara la M 38486 cents cuyos valores justos son 701 9 y 3863 respectiva-mente. ncluye en el tratamiento los intervalos con el parcial 7 a mayoríade los intervalos de la escala india se acercan a los de la sección áurea segúnnuestro autor

ornerup considera la sección áurea una ley estética (¡y ética!) tan universal que sirve como ndamento para la evaluación de los diferentes sistemascíclicos. Relaciona de rma orgánica una serie dada de estos sistemas que siguen la serie de Fibonacci: 2 5 7 12 1 9 3 1 50 . . Cada temperamento serelaciona con el anterior de rma que conrme avanzamos en la serie nos

acercamos a es decir (n / n 1 ) 16180 cuando n En efecto19: 2= 583; 3 1 : 19 =1 63 1 ; 50:3 1 = 612; 8 1 :50=1 620 . . Cuanto más avanzamos más nos acercamos a < y las diferencias de los intervalos del sistemaáureo con los del sistema correspondiente se van reduciendo la V de lossucesivos sistemas se acercan más a la áurea 12T=+378 19T14831T+056 50T=021 81T=+008 131T003 212T=+00. . (véanseno obstante las consideraciones al respecto de Mandelbaum p 279 y ss yc. 12).

Siendo un temperamento «evolutivo» y siguiendo la serie de Fibonacci sucomportamiento entre los T 9 y T31 es el siguiente:

Intevo T9 T31 Sec A E Eo

V 6944 696 69621 0195 -54IIIM 3895 3810 38486 38631 -1,45

I 3159 30968 31136 31564 -428VII (4 943 964 96215 96883 -668

Otros intervalos son la «m (7:6) de 26593 094 cents respecto a surazón natural (26687) SM 1 1 893 (+720) Sm 7350 (+283) V+ (1 6: 1 1 )65079 (+21 1 ) y V ( 1 1 :8) 5492 1 (2 1 1 ). Menores aún que el Sm estarían



234 Afncó

mps

ócs

la díei áuea (45,43 cent) y el comma áueo» (28, cent), muy aejadode u aloe juto dado u tamaño Babou (1951, p 128) conidea muydeiada la má aún que a de meotónico (5 ,5), y aunque la IIIM ólo lo

etá en 1,5 cent, e má cota que la juta, algo gae paa ete auto, comoabemo

Jacque Dudon ha utilizado también la ección áuea y e de oba conocido el uo etuctual que de éta hizo Batók en el Adagio de u Múscpr cuers percusón ceest

Fi. nte lo compoitoe má conocido apaece la micotonaidad enoba como Le sge Nupcel (1940) o Polhone (1950) de Boulez, po

ejempo, o en alguna de Xenaki, Ligety o Lutolai n el tue y otaoba, Stochauen ( 1954) no utiliza a diiión de a octaa como el inteaode eencia ino el de azón 51, diidida en 25 intealo iguale 5

* * *

Si compaamo a epectia deiacione de o pincipale amónicoen o tempeamento má epeentatio, tenemo e iguiente eumen

Rón JE 12 19 24 31 4 1 53

32 019550 -2 72 -2 -5 +0,5 -007IIM 54 3863 137 + 1 37 74 +137 +08 -58 -14I 74 9688259 +312 214 +188 -1 -3 +48 1 1 8 55 131 79 487 +17 -13 -93 +48 8XI 138 8405277 405 -19,5 +9,5 + 1 1 8,3 - 2 8

La mejoe on a de 53 y luego el 41 Muy buena igualmente a de 2 y 24

IIIM mejo balance lo oece el 53 y depué el 31 y 41 Lo 2 y 24 on mao paa a IIIM, mienta el eo emejanteen 9 ente y IIIM hace que la Im ea cai juta

IIIMII l mejo e 31 eguido del 53 y 41 XI l 24 oece una apoximación muy buena eguido de 41 , 53

y 31 n 9 podía e aceptabe peo en 2 no exite ete intealo Paa mejoa la XI había que i a tempeamento de 63, 72 y 87

pate La mejo combinación de IIIMIIXI la da el 41 eguido de 3 1 y 53 XIII 5 3 e e l mejo eguido de 41 Paa mejoe apoximacione

debemo ino a 87 Buena combinacione de IIIMIIXIXIII



meo o mfo(n/i dl

X 5

lo oecen los T4 T5 y T El T 9 tene la V más desvada ue ladel T2 peo el esto de los ntevalos son mucho mejoes, especl-mente la

En cualue caso, el esto de los tempeamentos son

mejoes al esta dseñados paa tal n

Resumendo el tempeamento más cecano a la justa entonacón es elT9 El más páctco, po su númeo de notas, el T 2 con malas apoma-cones a los pacales 7, y Paa acodes de séptma, sn duda el mejoes el T ue tambén oece una ceta apomacón al ° pacal. S deseamos la mayo apomacón a todos los pacales con el mínmo númeode notas, está el T4 El T5 es en muchos aspectos el deal s no ese po el

ecesvo númeo de notas



éndice L Cálclo de intervalos

Solemos expresar un interalo musical como la razón entre dos sonidos determinada por la razón entre dos longitudes de cuerda o la de sus respectivas ecuencias sonoras. Pero esta representación sicomatemtica no se corresponde con la

experiencia musica Nuestra percepción de los intervalos musicaes es logarítmica. Adems los intervalos pueden ser mayores o menores sumarse y restarse dividirse en un número de partes etc algo imposile con el sistema matemtico deacciones en el que para sumar o restar interalos hay que multiplicar o dividirsus respectivas rzones. división lineal de los interalos en partes iguaes constituía un idea ya antiguo desde Aristóxenos o al menos así lo entendieron sus seguidores. Si pudiéramos determinar una unidad mínima los intervalos seranmúltiplos de tal unidad algo imposile en la concepción pitagórica de acciones.

Hemos visto ya cómo pitagórico Fioao haía intentado dividir el tono enpartes iguales mediante as diferencias entre los términos de las razones de un tetracordo diatónico En el sigo y como consecuencia de desarroo de lamúsica cta Marchetto de Padua (126) por ejemplo intentar dividir el tono98 en cinco partes (dieses) distinguiendo tres tipos de semitono: cromtico (4dieses) enarmónico (2 d.) usado en el canto ano y diatónico ( d.) que crealas disonancias. Pero una división de una razón superparticular en partes igua-les es imposile E ojetivo de Marchetto es comparar los distintos semitonosy dar cuenta de una prctica musical que excedía los presupuestos teóricos

d 3d d 4d dSol L Si� Si Do Do Re

98 18 : 17 17 : 16 1 8 : 1 7



238 ai

amnto htórs

Má tarde Faber Stapulen (1496 11 35) ntentará calcular lo commaptagórco de lo que e compone un ntervalo como el mma de raón256243 A prncpo del glo

V Gale ntenta n conegurlo dvdr

a octava artmétcamente en emtono guae (a lo que denomna prcelguendo a enda de tóxeno Tampoco e ajeno a todo ello la dvón dela M 54 en cuatro emtono» 2019181716 debda a Th Salmn aprncpo del go (1705).

a tranrmacón ogarítmca de a raone artmétca permte adecuarla magen muca con la perceptual al tranrmar a multplcacone dv-one y radcacone en uma reta y dvone Pongamo el guenteejemplo

100 = 10 10 = 10; 1000 = 10 1 0 1 0 1 010.000 10 10 10 10 10 etc

Para multplcar 1 1.000 por ejemplo umamo lo exponente de onúmero repectvo 13 4

10 X 1 .000 = 1 0 = 10 = 10000

Hemo convertdo la multplcacón de do número en uma de lo exponente de lo número repectvo S convertmo dtnto número en1 podemo umar retar mutplcar o dvdr o exponente en lugar demutplcar dvdr elevar a una potenca hallar raíce de eo númeroo logartmo no on no o exponente a o que elevamo un númerodado denomnado bae» y que repreentan al número en cuetón Toman-do ogartmo no ólo umamo o retamo número para umar o retar ntervalo tambén podemo comparar ntervalo y dvdr geométrcamenteen parte guale cualquer ntervalo algo mpoble con accone

Aunque la tranrmacón logarítmca de la accone no e conguehata el glo ya haca 1 544 aparece la Arithmetic inte de M Stfe yen 1614 la Mirci logrithmorum cnonis escriptio de Naper barón deMurchton Poterormente B Cavaler (1639 p 484) lord W Brounker(1635 p. 67) J Caramuel (1670 pp 86470 y dede 1647) Ch Huygen(1661) l Neton (1665) Sauveur (1697) Euler (1739) ambert(1776) e barón de Prony (1832) o nalmente E (1875) y Et (1891)proponen dvone de la octava en un número dferente de parte Neton

en 12 Huygen en 31, Sauveur en 301 Et en 1.000 Ell en 1.200 En tale cao la repectva undade on y 23º1 2 y 2 amá uuale on el svrt (30 1 undade en medo ancólo y el cent( 1 200 parte de aplcacón unveral



Aédic Cáo d vs 9

avartA nae del iglo

IIJ. Sauveur (167) conidera que el emperameno

má cercano a la anación naural e el meoónico de 1/5c Con ee emperameno puede eliminare la díei enarmónica dividiendo la ocava en 4pare méris, del gr merismerios pare») Dividiendo cada una de eapare en ora iee llega a una diviión de la ocava en 4 X 7 01 (heptméris) coincidene con que log 2 001 a raón enre la ecuenciap/q e conviere en meride mediane (1000 X log p/q) 7 El inervalo de 1meride iene la raón 1 2 1 016250 Una hepameride e la 01 parede la ocava y equivale a 1 2 1 00205 Hay ademá ecmeries ymiheptmeris cuya decripción e obviaPoeriormene a la unidad 1/01 de una ocava e le denominó svrten honor al ico anc Flix Savar (1711841) En raadia anceeenconramo odavía ea medida logarímica pero eá iendo uiuida porla má ncional del cent 1 meride 2707 cen 1 hepameride o avar 58 cen

C ntE in duda el cent (abreviaura de cenimo») la unidad de medición de inervalo má habiual hoy día Fue propuea por A J Elli en un apndice ala raducción que hiciera a ingl de la obra de H Helmhol On the enstions oTne ( 1 885 pp 44645 1 ) Elli lo aplica al emperameno igual dividiendo la ocava en doce emiono iguae y cada emiono a u ve en100 pare iguae El cent e la cenima pare de un emiono del emperameno igual la 1 /200ava pare de una ocava geomricamene dividida ocava (2/1) e compone de 12 X 100 1 200 cen

1 cen o 2

Si converimo la raone de lo inervalo en exponene (logarimo) de2 (la raón de la ocava) l converimo en agmeno» lineale pare dedicha ocava Pare que podremo umar rear dividir en pare compararec como hacemo con lo inervalo muicale Para halar lo cen de unaraón p/q (o una ecuencia ff baa muliplicar el logarimo en bae 2 de

dicha acción por el número de pare a dividir la ocava log (p/q) X iendo el número de pare a dividir aqulla En el cao de cen 1 200

Cen log (p/q) X 1200



240

an

pas srs

En el cao trivial de la octava log 2/1 1 e decir 2) que multiplicadopor 1 .200 da 1 200 cent En el cao de la quinta log 2 05849625 .. 2 2º ) que multiplicado por 1 200 e igual a 701 955 . cent

702). De la mima rma el log de 9/8 69925 . . . que multiplicadopor 1 .200 da 2039 cent 204) etc.

El logaritmo correpondiente variará en nción de la bae. a modernacalculadora o la antigua tabla de logaritmo no uelen oecer lo cálculoen logaritmo en bae 2 ino en bae Para cambiar de una bae a a otracualquiera b, eguimo la iguiente fórmula log p/q) log p/q) log b �log p/q) log p/q) log 2 Una rmula equivalente al reultado 1200 /log 2) [log p/q)] má fácil de manear e

cent log p/q) 1 .200/log 2)

E muy encillo con eta fórmula convertir en cent una relación de ecuencia o una raón p/q. Como 1 .200/log 2 39863371386 . . bata multiplicar el logaritmo de la raón por 39863 1

El intervalo de quinta por ejemplo tiene la raón 3:2 1 5 log 1 5 01 7609 12590 .. . 398631 701955000865 . z 702) cent Puede tomare el número de decimale que e deee. Podríamo obviamente hacer ope

racione emejante como la correpondiente a 1.200/log 2 X log p log q)que oecería lo mimo reultado.

El uo de la rmula etá indicado en cao muy concreto Como abemo a partir de intervalo báico como V y V y M en la anación uta) pueden derivare el reto de lo intervalo por mera adición o utracciónde cent

Podemo a la invera convertir lo cent en la acción correpondienteconvirtiendo la fórmula general en ta raón p/q) z Dividimo locent entre 1 .200 multiplicamo el reultado por log

2 y hallamo el antilo

garitmo Por ejemplo 350 cent correponde a 2 o 10 < x log2 10 º 1 0 ºº 1 2246 . . 71/58 En el itema de temperamentoigual T2 V 700 cent 14983 2 M 400 12599 2 T 200 225 2 etc a diferencia entre lo uceivo emitono en eltemperamento igual e de 100 cent y correponde a la raón R 2 105946



Apéndice IL Nociones elementales de acústica

Moos vb os toos

A partr de la Revoluón Centía del sglo XI la relaón entre longtudes de uerda se susttuye por relaón entre euenas de vraón Unauerda puede vrar on dferentes moos de resonana Adems de la vraón de toda la uerda que produe el sondo ndamental ésta vra smultneamente en aones alíuotas (1/2 13 1/4 15 et) produendo euenas ms agudas (soretonos) nversamente proporonales a lasrespetvas dvsones (2x 3x 4x 5x. . . ) La vraón de toda la uerda da elsondo ndamental su mtad (1/2) la otava 13 la 12ª et oando lgeramente una uerda en un punto 1/n (n = 1 2 3 et) se produe un nodo yel modo de vraón orrespondente.

La euena de una onda es la razón entre velodad y longtud de laonda f = v/L El ndamental o prmer modo tene la euena f1v/2L (elnodo se enuentra en el extremo de ah 2L); el segundo armóno f2=v/2 =2v/2L = 2f ; el terer armóno f3 = v/3 3v/2L = 3f; y en genera el narmóno = v/n nv/2L = nf . El modo n tene la euena n vees ladel modo ndamental odos los modos y sus sondos son los parales armónos de la uerda y las euenas 2 3 et onsttuyen la sere armóna. Aunque en prnpo el nmero de estas vraones superores puedeser nnto son ms mportantes uanto ms eranas a la nota ndamental

al r reduéndose su ampltud de onda (volumen) El erero tende a sonar todas las vraones en un no sondo on un tmre y altura determnados por su parte hasta el punto de que nluso puede pasar desaperda



242

-

naón emeant s

óos

Fundamnta / v2L

!- A

4

2° amónico2

2v/L

3e armónico

33f

0 = 3v/2L

4 amónico4

4 2v/L

la omsón el sono namental Como en la cuera en el etemo e untubo cerrao se prouce un moo mentras en uno aberto un antnooDe ah que paa la msma nota en el tubo cerao se necesta la mta elongtu y oece esonancas úncamente paa los armóncos mpaes

L os móno

El trmno sobretono hace efeenca como nca su nombre a un sonoque apaece sobe un tono ao y la see e los sobretonos seá el conjuntoe sobretonos propo e un sono. Serie armónica tene un matz más mate-mátco Hace rerenca a un conjunto e númeos en progesón atmtcaspuestos como razones e números enteros seres e ecuencas 1000 000 3000 y 500 1 000 1 500 son sees armóncas con sus res-pectvas namentales 1000 y 500 El esto e los númeos e caa sere seenomnan armónicos, sobretonos oparciales.

Nótese la estuctura logartmca e la aucón S la renca entrelas ecuencas e los pacales es la msma (100 Hz 00Hz 300Hz etc)la sensacón autva e stos no es e rencas guales sno e nterva



Apdic I N m úa

1$

o

o

2 3 4 5 6-

�

8 9

243

(

o

0 2

lo cada vez má cercano cuano má agudo. Aunque, en érmno de vbracone e raa en realdad de una ere arméca, lo múco enden aconcebrla como s rmónic que exprea el acorde naurl» producdo porun ondo

Dede meau ( 683764) e ha conderado la ere armnca como elndameno naural de la onaldad que él enconr en lo ocho prmero ondo armnco Lo número 4 5 y 6 rman el acorde mayor y, aunque noaparece el acorde menor obre la ndamenal, lo armnco , y 2 hacen una rada menor. El 7° y ° parcal enen una lura go menor queen el emperameno gual, enre S� y La y #

S amplamo algo má el número de armnco aparecen lo guene:

(La)3

S 5

8x2Do6

9x2Re8

0x2 2x2M Sol20 24

Sol#

25

8x4Do32

Vemo cmo ademá de la cononanca (2:3:4:5:6) que aparecan en loprmero parcle, de la exa 3 :5:8 y de la dvn de la IIIM en do onode drene amaño, 8:9: 0 hay do po de emono, danco 5: 6 ycromáco 24:25. Vemo cmo la ocava no e compone de re IIIM no endo IIIM y una IV+ en lo armnco 6:20:25:32. No aparece, como la

menaba Rameau, la Im obre la ndamenal la onldad menor no eándamenada en la ere de armnco.

Sobtonos, amónios paals

De la re rma de denomnar lo componene nuodale de la ecuenca, lo sobrtonos comenzan depué de la ndamenal y e reeren a loparcale parculare. Por ejemplo, un nrumeno puede conener lo armnco 2 5 y 8 con el como ndamenal Hay por ano 3 obreono, que on lo armnco 2 5 y 8. Lo rmónicos ondo perdco múlplo de la ecuenca má grave, comenzan con éa, a como lo prcils



2 Aaó eat

hitó

qe ede ser armóicos o o. odos los armónicos so arciales ero oodos los arciales so armóicos es decir múlilos de la ececia origina se úlimo caso se da en sonidos ercidos camanas gogs ec so

nidos no eriódicos en los qe aarece sobreoos qe o son múlilos dela ecencia grave es decir se rodce arciales ero esos no son armóicos. Soniendo qe e n imbre es resees odos los armóicos esel sobreoo ndamenal y el rimer arcial corresonde al sobreono1° ° armónico y ° arcial 3 al ° sobreoo 3° armóico y 3° arcialec a serie de armónicos ede exresarse como múlilos de las resecivasndameales 3 4 6 ec

qe e rminos de longides de cerda cosiye a serie armóica l 1 1 3 1 4 . . se radce en ececias e na serie arimica l

3 4 . . . a divisió de a qina e dos erceras or ejemlo ilizará laroorció armónica e rminos de longides de cerda sará la roorció armóica 1 1 1 y la arimica e el caso de ecencias (la rogresió de úmeros de mayor a meor se iviere 4 : 5 : 6

Dada la corresodecia enre ambos ios de roorciones da igal raar con a o con ora y ay aores qe mecioa ambas de rma idiferene mea ede llamar a la serie de los sobreoos «armónica» anqeiese en rmios de ecencias. Aores de core clásico qe iense enrminos de series armónicas enderá acia la «meafísica» nmrica de razoes de comlejidad descedene ec mienras oros de core más cieíco en el senido acal del rmio sará la roorción arimica corresodiene a ecencias de vibración

1 el maemáico ancs Jean Baptist Fourier (176130 demosró qe calqier io de onda or my comleja qe sea se comoede ondas sisoidales simles Calqier nció eriódica ede exresarsecomo la sma de n ciero número de ncioes rigonomricas senos o cosenos. as ecencias de esas odas sisoidales deben ser múlilos eeros

de algna ecencia damenal. a serie de seos o cosenos cya sma esigal a la ción dada se denomia sri o srrollo Fourir Ss cálclos a servido ara elaborar rogramas de ordenador qe ermien aislar losdiferenes arciales y observar s comoramieno en nció del iemo laamlid y el número de arcial corresodiee a veaja de reresenar sonido e rmios de s serie de Forier es qe nos ermie mailardirecamene s ecencia. Si qeremos acer más brillane soido orejemlo aceamos ls ecencias als aciedo ss coeciees de mayoramlid si qeremos acer de na oda de diene de sierra a oda cadrada odemos llevar a cero los coeciees de Forier de los arciales ares ec.



Ace Ncíes e aca 4

5

Bams bams bas puas

La onda inuoidale (pua) e combinan i en eacionada egún la e

ie de amónico ma de la onda euane e pecibe como un onidoúnico con una aua y un cace deeminado (imbe) dependiendo de oamónico que conenga. Peo cuando e combinan do onda inuoidaecon ecuencia muy póxima in lega a coincidi e oye un onido peoambin aeacione peiódica de inenidad o bts, ya que o onidoen alenaivamene en fae y ea de fae. Do onda inuoidae de ecuencia y muy cecana poducen una vaiación de a ampiud (-2 con una ecuencia media ene amba. Su ecuencia e a ea de aecuencia de amba onda

Po ejempo con do onda inuoidale de 442 y 440 Hz e peciben 2baido po egundo Lo onido comienzan juno y e ineeen de maconuciva. Depu de medio egundo el pimeo ha vibado 221 vecepo 220 del egundo de ma que ambo onido epaado po un cicloe ineeen deucivamene y u inenidad combinada diminuye nal de un egundo ambo onido han compleado un ciclo compleo 442Hz y 440 Hz epecivamene. De nuevo en en e lo onido y aumenala inenidad de la combinación Ee paón alenane de inefeenciaconuciva y deuciva coninua miena e combinen ambo onidoLa inenidad onoa aumena y diminui 2 vece po egundo. Igualmene e poducian 2 baido en e cao de a ecuencia 440 y 442 Hz.La alua que ecuchamo e inemedia ene a do Si la difeencia enela do ecuencia ee de n ciclo po egundo el volumen aumenaa ydiminuia n vece po egundo. Ea pulacione onoa poducida po lacombinación de do onido de ecuencia muy cecana e denominan bos y coniuyen el pincipal ecuo en la anación de un inumeno

Exaó sa. v Hmhz

La concepcione acúica de Galileo Meenne Sauveu y Rameau cuminan en a oba de Heman von ( 1 82 1 1 894) con quien comienza una nueva eapa en a acúica. El ono e una combinación de onido y u amónico que e odo «anaiza gacia a a ba de a membana baia (un«analizado de amónico») puea en vibación impaica con la ondaonoa.

En ( 1863) Helmhoz popuo iguiendo a Ohm una eoa de la cononancia y dionancia que iene en cuena a eie amónica o baido y a«dueza o «apee» pecibida po el odo Analiza o amónico «epan



2 Aaó ea1t s

hstóic

dolos» del connuo sonoro medante una see de resonres Son ésos unasesferas de crstal huecas con dos abeuas una para escuchar y la otra dgda al sondo que amplcan el amnco de un sondo gual o muy cecano a

su propa cadad esonane pudendo as aslalo Ulzando aros de estosresonadores pudo analzar las ecuencas de los amncos de un sondo pe-dco as como pacales no armncos de oos sondos consonancano se educe a la smple relacn de ecuencas enre dos notas sno que te-ne que er con el gado de concdenca enre los pacaes; la dsonanca conla aspereza que se produce entre éstos como la producda po los semtonosS compaamos res notas Do M y Sol con sus correspondentes amncostenemos el sguente esquema:

8 Sol5 10Mi5

8 Mi56 Re5 9 Re5

8 Do55 Si4 6 Si4

5 Sol#4 Sol4 6 Sol4

5 Mi4 4 Mi43 Re4

4 Do4

2 Sol3 3 Sol3

2 Do3

Do2

3 Si3

2 Mi3

Los amncos 3 6, de Do concden con los amncos 2 4, 6 deSol relacn de ecuencas ene una noa y la V (DoSol) es 3:2 (6:4:6 ); la concdenca con los amncos de M es :4 ( 108 1 5 12 ) la ra-zn de la IIIM En el caso de la cuarta concdrán los númeos 4, 8 1 2 con los 3 6, ec As con cualquer oo nealo Un neralo es másconsonante cuantos más armncos tengan en común los sondos coespon-denes y más cecanos se encuenren a las noas ndamentaes por ener en-tonces más olumen y se más percepbles En el caso aneror la V es un ntealo más consonane que la IIIM por ener un número mayo de



pédi Nes ets d ús 2 47

armónco en común entre lo prmero Igualmente e producen «colone» de emtono entre lo parcale, 4, y de Do con lo 3 5 y de M,mentra ólo entre el de Do y el 5 de Sol

En el cao del ntervalo de ptma 47 ya el egundo parcal de 4 ()«colona» con el 1 de 7 (en el pano, puede colocare el macllo en el nodo,17 de la cuerda para no exctar ete modo de vbracón). En general, e produce donanca cuando lo parcale armónco tenen una proxmdad nror a una Im

Ban cítc

Los esudios de Plomp (1976) y de oros, han demosrado que ese puno de visaes excesivamene simpisa Los baidos lenos no producen una sensación de disonancia sino que simplemene crean un rémolo un aumeno y una disminución dela ampliud Además a medida que se alejan las fecuencias de dos ondas sinusoidales o onos puros oímos una aspereza desagradable incluso cuando las fecuencias esán an alejadas que ya no producen baidos ( ) la zona de fecuenciasdonde percibimos baidos o asperezas se denomina ancho ban cco (Piercep 76 de la ed esp)

S mantenemo un ondo jo y hacemo ue otro vare dede muy por debajo del prmero hata muy por encma vamo paando, conrme lo ondoe acercan prmero y e eparan depu de una onordad dulce con lo ondo eparado a: onordad durabatdo onordad dura de nuevo y denuevo onordad dulce La banda crtca e el campo de ecuenca dentro delcual percbmo la onordad dura y lo batdo En la membrana balar correponde a la wna de eparacón mnma entre do tono puro ue no producen una enacón deagradable y cuyo ancho de banda vara con la ecuen

ca «La banda crtca e mportante en la percepcón del volumen, en ladencón de un ondo e rudo y en el enmascaramiento u ocultacón de unondo por otro En eenca, la banda crtca derva de la rma en ue el odoreuelve la ecuenca» (bdem)

no combnacón no ncal

Lo tono dferencale y adconale e llaman «tono de combnacón» o«tono reultante» Se producen cuando uenan a la vez do tono de ntendad emejante y cuya ecuenca hacen otra ecuenca audble Lo tonode combnacón acútcamente no exten, lo ntrumento centco no



2 fnaón mpats

tó

pdn dcal, án pdcd p a n lnadad d n dMamácamn, hala a cnca d l n adcnal mand acnca pncpa d l d n ncal +2) La d l n d

nca, and cnca. E pm bn d la cnca mága, 2 , pdc ambén n n dncal caacc (2) llama-

d tono drenia úbio D , l mn mpan n adcnal, q y n acn my abl, cm n d daa y q cac d mpanca n la ca nal

Cn d nd d cnca 500 Hz y 400Hz, l n adcnal a900Hz 500 + 400] , l cbc 300Hz (2x400) 500] y dnca,1 Hz 500 400] D má mpan l n dncal, lterz uono q Tan (Sg) dc hab dcb n 1 14

A pa d n n adad ba, n dncal n n nmn lgc, mpan mcamn dbd a la ca d acd Pd n la la n dncal mpl y dncalcbc (D, M = D, M )

Do Mayo Mi menoNoa DoMi MiSol DoSol DoMiSol MiSol SoSi MiSi MiSol S i di Do Do Do DoDo Do Sol Mi DoSolMi

Tdc Sol Do Do DoSoDo Do Re Mi MiDoRe

ada nvl pdc n dncal pcc p q pdnca cnc cn l acd d l q n man pa, anq n cn

En la ada may, 45 6; 5 4= 1 , 6 5=1 , 6 4=2, l nd dncaln l c d za la ndamnal n l ga P n l acd mn n l n la za n q ndc na dnanca,

Fa (Do) La 2 3 5

La La La 1 1 2

La Do Mi10 12 1 5

La Do# Mi4 5 6

L nd dncl qdan n pn ha q Hlmhlz nd n a En la a nnacn cn la nadad y cad nal q nga la nca pdc n pcc n dnca q za cnnd na , a qna a pa d a nca D

, da dnc D

(3/2 22 = 2) y l mm D cm n cbc dnc (4/2 3/2 =1 /2), la M, D

(5/4 4/4 = 1 /4) y Sl

(8/4 5/4 = 3/4), a m, � (6/5

5/5 = 5), a F (4/3 3/3 = 1 3) y F (6/3 4/3 = 2/3), c



péndice cief eenes "sta 249

Buscando una base natural para la armonía muscal Hndemth (942)extendó la dea del bajo ndamental a los grados de la escala los ntervalosarmóncos consonantes y dsonantes y toda clase de acordes basándose, como

sus predecesores en la sere de armóncos y en los tonos dferencales Jst-ca así la prmacía de la tríada El problema es que esto es váldo ncamenteen el sstema de anacón justa. Además tene en cuenta sólo los tonos drencales olvdando otros tonos de combnacón a veces más audbles



Apéndice IIL Comparación de intervalos

A)1) Comparación nr anacons pitagóca y justa

Afnación usta Afnación pitaóicaV 3:2 01553 3:2 01553IV 4:3 480452 4:3 480452IIM 5:4 386313 81:64 408201Im 6:5 3 1 5641 4 32:2 241351VIM 5:3 884351 2:16 05,8654Vm 8:5 813,6866Tono M :8 203,100 :8 203,100Tono m 10: 1824035

SM 16 :15 1 1 1 3 13 2.18:2048 1136850 ApotoméSm 25:24 0624 256243 0224 LimmaTi tono :5 582,5 125 2:51 2 61 1 302V+ 6.56 1 :406 8 1 5,6403Vm :5 1.01,553 16: 6,005VIIM 158 1.088,26 243:128 1.10,3



nce fCpó d tv

2) ntevals menes en(te) ambas

Cmma pitagóri

Cmma sintóniDiasqismaShisma (ps)Dsis (mnr)Dsis mayr (m)Dsis pqñaLimma

234600

21506319552619537

410589491661296136902250706724

251

235

2151962

41

492

29,6

90,2

70,7Smitn mnrSmitn (Fglian)

531441/524.288

81/802048/202532805/32768

128125250/243

3125/3072256/24325/242725 1332376 1332

B)vsón de una cuata en dstntas anacnes y tempeaments Caactestcas geneales.

1 ) Anacón ptagóca quntas justas (702 cents) tns gandes (204cents) semtn datónc muy pequeñ (90 cents) nvesón de lasntas enamóncas

Cp CpD R� D# R Mi� R# Mi FaTn grand Tn grand

Limma

Ditn pitagóri

2) Anacón justa M justa (386 cents) ds tps de tn semtndatónc ( 1 12 cents). nestable

D

D D# R� R Mi Fa>

Tn grand

Tn pqñ Smgran

3) Tempeament mestónc (1 /4c.) M justa y tns guaes (meds)mayes ( 1 17 cents) que ls de a anacón justa al se may la cuata(504 cents)

D R Mi Fa

Tn mdi Tn mdi Sm grand



252

1 y

ens hc

4) Tepeaento gal setonos gales concdenca de notas enaóncas M y gandes (400 cents); V (700 cents) y cecanas a lasstas (702 cents)

o oR R RM M F1 1

- 1 1 --+1

C) Dstntas densones de la V del lobo dependendo de la anacónadoptada y edda en accones de coa sntónco

Cculo s Rduccón

12V - 3c12V - 2c1 2V

V /4cV /c

V lobo (s)

+2 1 1 1+1/11-111

+3/441/11

Díess enaónco +2c sch. o 3c cpcoa eno» (Raea) + 1 c sch.

cpcs = sch 1/12cp



Apéndice IV zones y cents

A)

JE M 4c AP TI

Inealo ao Cens Cens ao Cens Cens

Unísono 1 1 1 1 S m 2524 70,7 7, 25243 90,2 100S M 1 15 1 1 1 ,73 21872048 113,8 100Tono 109 182,40 193,2 200

9:8 203,91 9:8 203,91 200Im 6:5 315,4 310,3 3227 294,14 300IIIM 54 38,31 38,3 814 407,82 400

I4:3

498,05 503,4 43 498,05 500I 4532 590,22 579,5 729512 11 ,73 00 445 09,78 00 32 701,9 9, 32 701,9 700 25 1 772, 772, 51409 815,4 800m 85 8 1 3,8 12881 792,2 800IM 53 884,3 889,7 271 905,87 900m 95 101,0 00,9 19 99,09 1000IM 1 58 1 088,27 1 082,9 243128 1109,78 1100II 2 1 1200 200 2 1 1200 1200



254

B) óncos supeoes

4 : 5 : 6 : : 8 : 9

Do Mi Sol (Si� Do Re

Ievalo

Semioo

Too

ImIII euraIIIMIVTioo

VVVm

VMVmVII (euaVIIM

Raio

8::6

9:

:510:

14:9

12::4

13:

VII

Ces

231 , 1266,8

435,08

582,5161,49

64,92

933,13968,83

101,0

dó eperanf(S hísó1·o

10 : 1 1 : 12 : 13 : 14 : 15

Mi (Fa# Sol (a (Si� SiXI

Raio Ces

1 2 : 1 1 150,641 1 : 1 0 165,00

1 1 :9 34,411 4 : 1 1 41 ,51

1 1 : 8 551,321 6: 1 1 648,68

1 1 : 82,49

1 8 : 1 1 852,5920: 1 1 1 035,0011:6 1049,36

XIII

14 : 1313 : 12

1 3: 1 116 : 13

13 : 101 8 : 1 313:920: 1313:913:8

22:13

24:13

16

Do

128,30138,5

289,21359,4

454,21563,38636,6245,9636,62840,53

910,9

1061,43



Apéndice V Resumen

Afnacones tempeamentos m1s usuales

Lo do intervao importante a dividir on

Comma piagóico, 2346 censComma sinónico, 21 , 1 cens

4cp ,86 cens 6cp 3,91 cens4c ,38 cens

Anación pitagórica nd Ed Mdia)

Mi Si Fa

Do Sol Re

La Mi Si

V loboDo# Sol# Mi

-cp

-23,46 c

Caractertica qinta jta tercer�ayore my agda my benapara a meoda pero no váida para a armona No hay modación a todaa tonaidade por a exitencia de la qinta del obo



256

Nos

DoDo#ReFF#SolSol#SSDo

Anaóu temperanos h<f

Tonldd de Do myor

Inervlo Rón Cens

nísono 1 1 oApoomé 2. 1 87 2.048 1136850Tono grnde 98 2039100Semdono (IIIm) 3227 294 1351Dono (III 8164 4078201Dessron (IV) 43 4980452Tr ono 729512 6117302Dpene (V 32 7019553V 6.5614.096 8156403Se myor 2716 9058654

Sépm menor 169 9960905Sépm myor 243128 1109775Ocv 21 1.200

Tmperamento meotónico de Jc (Aron Renacimiento igo 14 1 4 de comm snónco 53766 cens 3572 c. S F Do Sol Re L i Si F# Do# Sol#

1 4 -14 14 1 4 -14 14 -1 4 14 1 4 -14 1 4 + 23Caraceríscas se raa de la puesa en prácca de la jusa enonacón.

Las erceras mayores son jusas y las qunas son coras en 1/c cens

C.s. 21 5063 cens 4c = 53766 censTonldd de Do myor

Nos Inervlo Rón jus Cens 4c Cens Error

Do nísono 11 oDo# Semono menor 2524 706724 760490 -4cRe Tono 98 2039100 193 1 568 24c Tercer menor 65 3 1 564 14 3102648 -4c Tercer myor 54 3863139 3863139 oF Cur 4/3 4980452 5034218 +4cF# Tr ono 4532 5902232 5794700 -24cSol Qun 32 701 9553 6965787 4cSol# Qun umend 25 16 7726267 7726267 oL Se myor 5/3 8843591 8897357 +4c

S Sépm menor 915 1.0175953 10068421 24cS Sépm myor 158 1.0882678 10828912 -4cD Ocv 21 1 200 1 .200 o



pnc Rum

Wrckmeister

14p 4 d comma pitagóico 58650 cnMi Si Fa Do Sol R Mi

o o o 14p 4p 4p o o

257

Si Fa Do Sol Mi4p o o o

Paa apeca las tíadas en las dfeentes tonaldades obsevemos el com-potamento de teceas mayoes y menoes:

cp 23460 cn. 4cp 5865 cnFa Do Sol R a Mi Si Fa Do Sol Mi Si

o 59 59 59 o o 59 o o o o oM +3,9 +39 +9,7 +9,7 +156 +56 +156

p p p+56 +9,7

m p. p -156 -9,7 -3,9 -97 56 156 -156 -56 p. p.

Las teceas ptagócas (P) son 2151 cents s) las mayoes y 2151cents (s) las menoes. El esto de los cents son clmente deducbles. naM compuesta de 3 quntas justas y 1 educda en 1/4cp equvale a s 1/4cp 2 1 5 1 586 565 cents. De gual ma s 2/4cp 21 5 1 1 1 73 = 78 cents y s 3/4cp = 32 cents. Hay una gadacón po cuatos de comma ptagóco: 3 7 1 56 2 1 5

Puede apecase la dvesa consttucón de los acodes mayoes y meno-es. Hay que señala que el tempeamento gual tee la M = + 136 y lam = 1 564.

Caactestcas la pncpal vtud de este tempeamento es su cculadad de ma que puede modulase lbemente a todas las tonaldades yDo#=Re� Re#M� etc. Como ocue en este tpo de tempeamentos cadatonaldad tene sus caacteístcas popas dependendo del tpo de alteacones de que dspongan. En geneal ls notas datóncas se acecan a las justas ylas alteadas a las ptagócas.



258 Afó pant s

t·

Tonaidad de Do mayor

Notas

DoDo#ReReMiRe#MFaFa#SoSoSo#La

LaSiSiDo

ntervao

UnsonoSemitono menorTonoTerera menorTerera mayorCuartaTritonoQuintaSexta menor

Sexta mayorSéptima menorSéptima mayorOtava

rtiniVtti )

A

1 / 1256/243

983227

4/31024/729

32128/81

16/9

2/1

A

1 / 1

5/4

4/3

32

5/3

15/82/1

Cents

o9022519218029413539022549804558827069609792180

88827099609110921801200

/6p = 1 /6 de omma piagório = 39 1 ents

Fa Do So Re La Mi Si-/6p /6p -1/6p -/6p 1/6p -/6p Fa# Do# So#o o o o

Ero

ooooo

-5865ooo

P].

-215003911o

5865-21507

39

3 9 1 1o

Mi So FaoCaracterístcas su prncpal vrtud es la cldad de su eecucón os tr

tonos FaS usto con quntas guales (1/cp) y SFa con quntas ustas.as quntas entre notas cromátcas son ptagórcas No hay qunta del lobocon lo que es posble la modulacón a todas las tonaldades cada una de ellascon característcas dferentes

Para aprecar las drentes tríadas y su pogresva varacón en las suces

vas tonaldades observemos el sguente esquema

Re La Mi39 -39 -39+9,8 137 176

Siop

Fa# Do# So# Mio o o op p 176 137

Si Fa Do Soo -39 -39 -39

+9,8 59 59 59

VMm 98 -98 -98 -98 -137 -176 p p p p 76 -137

s 3/6p = 978 ents; s - 2/6p = 1 369 ents; s - 1/6p 1 760 entsP = pitagórias / 2 1 5 1 ents ( s)

s - 4/6p = 587 ents



pne Reun

Noas Inralo

Do UnísonoDo Smono mnorR Tonoi Trcra mnori Trcra mayorFa CuaraFa TrionoSo QuinaSol Sxa mnor

a Sxa mayorSi Sépima mnor (P)Si Sépima mayorDo Ocava

mperamento ia

Tonalia Do mayor

Cns

o94135

19609029804539218050195559218069804596090

89413510001090225

2/1

AJ

1 11615(98655/4 4/3

45/33285

5316/915/82/1

259

Error

o-1596

-820)-1596

+5866+3910+956-3910

159

+963909956

o

Caacteístcas: todas las qutas so guales educdas e 1955 cets teceas mayoes so muy gades y las meoes muy cotas, como las coespodetes setas s el úco tempeameto e 1 2 otas po octava que es aa vez egua todas as qutas so guales) y ccua o hay quta deobo) Todas las toaldades tee las msma estuctua teváca, co loque caece de setdo atbu caacteístcas emocoales a las dfeetes toaldades

Inrvao Cns AJ Error

Unísono o 1 1 oSmiono 100 16/ 15//25/24 1131//+2933Tono 200 98/1 09 391 //+ 1 60Trcra mnor 300 65 -15641Trcra mayor 400 5/4 +13685Cuara 500 4/3 +955Tri ono 600 45325 +96//1488Quina 00 32 1995Sxa mnor 800 85 -1368Sxa mayor 900 53 +15641Sépima mnor 1000 169954 +3910//1596//+314Sépima mayor 1 100 1 5/8 1 1 31Ocava 1200 2/1 o



260 ncn

ee ó

l t tono se ha caculado especto al justo (45/32) y al natural (5) lasptma respecto a la ptagórca (/9) justa (9/5) y natua (/4).

Tab de ecuenias de drentes sistemas afaión

0 Hz.

DO D R Mi M FA FA# SOL Si S DoPitag6rica260,74 27843 293,33 309,03 33000 347,75 3724 391,1 47,64 44000 463,55 49500 5248Pitagric-justa

260,74 274,69, 293,33 309,03 330,00 347,65 366,25 3911 42,03 440,00 463,55 49500 5248Justa entnaci6n afnaci6n natural264,00 27500 29333 3680 33000 352,00 366,67 366,00 42,50 44000 469,33 495,00 528,00Mest6nic 1/4c.263,18 275,00 294,25 34,84 32898 352,00 3678 393,55 41,22 440,00 47079 49194 52636Mest6nic 1/3c264,00 27386 294,55 316,80 32864 35346 36667 39436 40910 440,00 47324 49092 52800Mest6nic 2/7c.263,53 27451 29438 31568 328,83 352,63 367,32 393,90 40,31 44000 47,84 491,50 527,06Mest6nic 1/5c

262,69 275,68 294,06 33,67 32918 353 36849 393,06 42,50 44000 46933 49255 52538Mest6nic 1/c26237 27614 29394 32,89 329,32 350,55 368,95 392,73 43,36 44000 468,36 492,95 524,73'AembertRusseau263,8 276,71 294,25 3,2 328,98 350,64 369,33 39355 44,64 44000 467,7 492,95 526,36)Schlick262,51 276,56 29400 32,54 329,26 350,81 369,16 39288 45,77 44000 46827 49277 525,02Werckmeister 11126340 277,50 29433 32,18 33000 351,20 369,99 39377 416,24 440,00 468,27 49500 52680Werckmeister N263 27593 29466 3 1 ,83 33000 350,81 369,5839288 41 390 440,00 469,86 492,77 52622Kelner («Bach»)262,87 276,93 29413 31,55 32911 35049 369,24 39324 415,40 44000 467,32 493,66 525,74Kiberger 1126237 276,40 29516 30,95 32796 349,82 368,95 39355 414,60 44000 46643 4994 524,74Kiberger 11126318 27726 294,25 311,92 32898 35091 37010 39355 415,89 440,00 467,88 493,47 526,36TartiniVatti

262,51 276,56 294,00 311,3 329,26 35002 368,74 392,88 414,84 440,00 46669 492,76 525ü2Temperament igua2663 277,8 293,66 311,3 32963 34923 369,99 39200 41530 440,00 46616 493,88 523,26



Biblioaa

Además de la lecua de enes iginales, hay alguns exs que han sid fndamenales a la ha de elaba ese lib Señal ls más cnsulads

A pesa de sus más de cincuena añs de exisencia, el lib de J M Babu (1951

y 1972) sigue siend el ex básic de eeencia sbe anación y empeamens Esuna expsición sincónica, cn pca incidencia en las cicunsancias hisóicas y una ndisimulada inclinación p el empeamen igual O ex, más sencill pe muyinsuciv, es el de C di Veli (1978) En su cna iene la fecuene uilización deuna eminlgía paicula del au l que a veces scuece las eeencias hisóicas

Paa el peíd anigu aclaa muchas dudas la esis de R. Levin ( 1967) Sbe ladiícil ansmisión y asimilación de las enes clásicas p pae de ls eóics enacenisas esá el impescindible C Palisca (1985)

Quien quiea inducise en ls inicis de la ciencia acúsica debeá ene en cuena el ya clásic S Dsvsky ( 1975) y si se desea amplia hiznes sbe el pblemade la cnsnancia en esa épca, H Chen ( 1984) es ya clásic

Paa el sigl es una auénica mina de infmación veaz Babiei (1987) apesa de l esiciv que pueda paece el íul Y si, después del empeamenigual, queems adenans en el miniai esugimien de aniguas pcines dedivisión múliple de la cava, una buena pción sigue siend, a pesa de ls añs, MJ Mandelbaum (1 96 1 ).

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- Génaton Harmonque París 737- Démonstraon du príncpe de larmone, París 750Ramos de Pareja Bartolomé Musca pracca, Bolonia 482.Rasch Rdol A Sorges monochord» Mens Me/ode, vol 37 núm 5 982 pp

232243 The jst intonaton theories o Adriaan Fokker Part One» vol 4 núm

988 pp. 47 4 y Part Two» vol 4 núm 2 988 pp. 6 02Riccati Giordano Sao sopra l contrapunto, Castelfanco 762Riemann go Geschchte r Musktheoe, Berlín 898

Romie Jean Baptiste Mémoire théoriqe et pratiqe . » Hstore l'came royas scences, Montpellier 758 París 763Rossi Lemme Sstema musco overo Musca specutva, Pergia 666Rossea Jeanacqes Tempérament» en Dconnare Musque, París 767Rossier PierreJoseph até des accor et de ur successon París Lyon 764Sachs Melchior E Das temperierte 9Tonsystem » port of the Fourth Coness of

the nteaonal Muscal Soce, Londres mayo de 9 pp 27928Salinas Francisco de De Musca lbr Septem, Salamanca 577 592 ay trad al cas

tellano de Fernández de la Cesta Editorial Alperto Madrid 983- Musces Líber rtus, Brgos 566 Ed. ONCEBibl. Nac Madrid 993

Salmon Thomas The Theory o Msick Redced to Arithmetical and GeometricalProportions» Ph Tans ofhe Royal Soce, iv 20727 Londres 705Sancta Maria Tomás de Arte de ñernía, alladolid 565Saver Joseph Systme général des intervalles des sons et son application a tos les

systmes et a tos les instrments de msiqe» Hstore de l'came ra sscences, 70 París 704Méthode générale por frmer les systmes tempérés de msiqe » en ibídem707 París 708Tb généra s systmes tempérés, París 7

Savart

FMémoire » , Nouveau manuel du luther, París 894

Schlick Arnolt Spegel r Orgelmacher un Oansten, Mainz 5Schneegass Cyriacs Nova et equs monochord dmenso, Errt 590Serre eanAdam Essa sur s íncpes /armone, París 753 Observatons sur s pnces larmone Ginebra 763Severs Gacomo Fernando JPanorte Gu praca Nápoles 868Smith Robert Harmoncs o he Phsophy of Muscal Soun, Londres 748 Cam

bridge 749 759. Dr Robert Smiths comments on ohn arrisons msical tning ideas» Harmo

ncs, 749

Soler Antonio heoca y practca l temple para s organos y cves, 775783 Edde S. Rbio Madrd 983Sorge Georg Andreas Anesung zur Stmmung und Tmperau ambrgo 744.- rgemach der muskalschen Composon Lobensten 745.



2 ai eamns hór<

Gsrh zwshn nm uso horo un nm oso muss. . . Lobnsin 748Zuvrsg Anwsung Cvr un Oln bhrg . Lobnsin y Lizig 758

Saaro Giovanni Error Franhno Garo Lo, Bolonia 52

Sanho Charls «Princis o h Scinc o Tuning nsrumns wih Fixd Tons Phsohaagazn, vol 25, 806 2932.

Svin Simon n ghlng r ngons n n ons, 585, Amsrdam 884Surmain d Missry Anoin ho aousomusa.. . Pars 793.Tanaka Shoh «Sudin im Gbi dr rinm Simmung rahshr r u

skwssnsha, IV Lizig 890.Tarini Gius Taao usa . . Padua 754.- Drnj rmona musa, Padua 767Tincoris Johanns Líbr naura rora onorum, 476, n d Coussma

kr Pars 864876 D nvnon usu musa, 480487 Dnorum musa, Trviso 495, d Coussmakr (d) Pars 864876Thomson Thomas Prron !nsuons o my Daughr r yng on h Enharmo

n Guar, Londrs 829Türk Danil Goob Cvhul.. Lizig/Hall 789, 802 Anung zu mraurbrhnungn.. Hall 808.Valloi Francscoanonio Dl n ora Praa l oa usa, Pa

dua 779, 950Vroli Claudio di Unqual mramn an hr ro n h an of r u

s . . Bunos Airs 978.Vicnino Nicola Lna musa ra al moa raa, Roma 555, 557.- Dsrzon llroano, Vncia 56 Vogl Marn D Kbr mmung.. Bonn 967- D Lhr von n Tnbzhungn, 975.Walkr David Pickring s n usal n n h La Rnassan, Warburg

nsiu Londrs 978Wrckmisr Andras OrglProb. Frankur a.M./Lizig 68

usalsh mrau . Qudlinburg 69 - Hyomnmaa musa. Qudlinburg 697 (a)

- usalsh Paraxal_Dsu, Qudlinburg 697 (b)Wis Chrisian Ludwig Gusav von Dsou analqu.. . Drsdn 795Woolhous Wsly Sokr Bakr say on usal nrva.. Londrs 835Wyschngradsky van anul armon quars on, Pars 932Yassr Josh A ho of Evolvng Tnal, Nuva York 932.Young Thomas «Üuins o xrimns and nquiris Phlosohal ansaons

of h Royal o ofLonn, vo 90, 800, 0650.Zaragoza José Fabra y uso varos nsumns mahmos, Madrid 674, 675.Zarlino Gioso suon harmonh, Vncia 558, 562, 573, 589.

- Dmosaon harmonh, Vncia 57, 573. 2ª d 588- omn musal, Vncia 588Zwoll HnriArnau d Comoso vhorrum, a. 440.



Índice onomástico

Agcola, Man, 78 80 112(D')Aleme, Jean Le Rond, 159160,

162 183185, 187188Anselmi, Giogio, 77

Aiel (ps), 211Asides Quiniliano, 33Aisenos de Taeno, 21, 22, 23, 25 27

36, 37on, Pieo, 16 58 113 115116 178, 256Aquias de Taeno, 23, 29, 35, 36Ausi, Giovanni Maia, 79 139

Baiei, Paizio, 13 79 134 166167 169174175 187189 198, 216 218 222

Baou, James Muay, 12, 41 43 45 56,

63, 76 81 103 107108 110 124 126127 132 168 176 191193 209, 234Baca, Alessando, 177178 198199Banes, John, 194 201Bédos de Celles, Faois, 168Beeckman, Isaac, 143 148149Benedei, Giovanni Baisa, 137, 140,

142143, 155, 174Bemudo, Juan, 7475, 7879, 123Béhizy, JeanLauen de, 185Blankenug, Quiinus van, 107, 213214

Boecio, Anicius Manlius Toquaus Seveinus, 18 22, 24 2728 31 33 3537,40 4647, 56, 58 7375 8690 130140141

Bosanque, Roe Hald Macdowall, 13102, 110, 203 206 217 222, 231

Boigai, Ecole, 40Bossad, Séasien, 185

Bouncke William, 262Buius, Nicolaus, 77 88

Caamuel de Lokowiz, Juan, 169Censoino, 2728Chaumon, Lame, 183184Chladni, Ens Floence Fiedich, 155Cohen, H Flois, 69 71 140, 143, 221Colonna, Faio, 132134Coee, Michel, 183, 186, 188190

Delezenne, Chales Édouad Joseph, 263De Loenzi, Giamaisa, 79Denis, Jean, 136 183Descaes, Renaus, 136 143, 148149,

151 159Ddimo, 4143 45 5759, 63 69 71 87

93, 209210Di Veoli, Claudio, 192, 196Doni, Giamaisa 106107 132, 134

214 226

Dosovsky, Sigalia, 147 152Dowland, Roe, 80, 123Disch, Moiz Wilhelm, 11Dupon, Wilhelm, 102 124 193



Í onomá

Nasarre Pao 17Neidhardt Johann Georg 17 18 89

19 1 19196Nicómaco de Gerasa 7 9 31

3638 1Opel Friedrich Wilhelm 11

Palisca Caude V 71 83 9 1390113

Parret Wilid 66Parch Harr 19 3 33Pierce John R. 7Pitágoras 8 303 39 6 1

176

Platón 3 9 3 336 3 838Pomp Reiner 7Praetorius Michae 10 Prinz Wofgang Caspar 70 89 91

197Pron Gaspard Caire 188 38Ptoomeo Caudio 3 7 8 3 98

Quanz Johann Joaqun 66Quiniiano Arstides 8 33 38 0

Rameau Jean Phiippe 6 66 110 7 19 819 1 1916 167170 17 1818 187188 09 8 3

Ramos de Parea Barolomé 8 08Ratansi Pio M Riccati Giordano 3 7 7778 98

00 18Riemann Hugo 11Romieu Jean Baptiste 6 707 77

78 Rossi Lemme 0 1 3 178 6Rousseau Jean Jacques 16 7 9 63

16 8 8 86

Sachs Melchior E 1 0Sainas Francisco 6 9 8 38 0 3

78 6 6871 73 8 90 93 009 3 1 610 17 13139 0 78 03 0 09116 19

Saueur Josep 13 0 36 11 960 66 707 7 78 9103 006 08 6 19 3839

271

Saar Félix 3839Schick Arnod 77 808 0 11 60Schneegass Criacus 67Serre Jean Adam 163 167

Smith Roe 13 0 167 77678 19 1 03 0 1 6 7Soler Antonio 169Sorge Georg Andreas 63 73 186 189

19 1 997 8Spataro Gioanni 8 8789Stanhope Chares 17 190 97Stela Scipione 1333Stein Simon 10 1 7 3739

7 1 76 178 1 Suremain de Misser Antoine 87

Tanaka Shoé 08Tartini Giuseppe 6 18 66

9899 1 89 8Tincors Joannes 13 18Thompson Thomas Perrone 3T ürk Danie Gotto 9

Vaoti Francescoantonio 136 163 67169 187 8990 980

Vicentino Nicola 3 7 8 991000 0 93 3 03 0 930

Walker Daid Pickering 7 163Werckmeiser Andreas 79 136 66

73 8993 01 1 7 60Wiese Christian Ludwig Gusa on 89

90 197Woolouse Wese Stoker Barker

1 1 1 67

Wscnegradsk Ian 7 3 7 30Yasser Joseph 09 18 0

3 6 8Young Thomas 187 90 98 0

Zaragoza José 7 3 67 030 1 0 1 1 7

Zarino Gioseo 6 38 78 61707 737 8 90 93 97103 1 13 16 11810 78

137 3 7 0 6367 7 78 8 0 1 6 8

Zwole HenriArnau de 76 88



3422094

1 iterés desperado po los nuevos modeos de atepetacón hstórca muscal ha echo qe e

problema de a afnacó de os strmenos ad-

goldaraz gainza, j. - afinación y temperamentos históricos.pdf

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