g.probab.normal(otoñ2012)

8/18/2019 g.probab.normal(Otoñ2012)

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SEDE SANTIAGO CENTRO INACAPPROFESORA : Vivian Riquelme Jofré Sepiem!re "#$"

GUIA ESTADISTICA II APLICADA( Area Administración y Negocios )

CONTENIDOS : Pro!a!ili%a% normal &

La Distribución robabi!idad norma! "se considera como !a distribución de robabi!idad m#s

imortante$ Est# distribución de robabi!idad tiene una %ariab!e a!eatoria continua y usa dos

&unciones" una ara determinar !as ordenadas (%a!ores de y) de !a gr#&ica 'ue reresenta !a

distribución y otra ara determinar robabi!idades$ La siguiente &órmu!a eresa !a ordenada 'ue corresonde a cada abscisa$

Luego " !a &unción distribución de robabi!idad norma! es

2

2

1

2

1)(

==

−−

σ

µ

π σ

x

e x f yara todo ** rea!$

A! tra+ar una gr#&ica de ta!es untos" se obtiene !a cur%a norma! ( acamanada) " es decir

1



PROPIEDADES DE 'AS DISTRI()CIONES NOR*A'ES

,) Una distribución norma! tiene &orma de monta-a o camana

.) E! #rea ba/o !a cur%a y sobre e! e/e 01 es igua! a ,

2) La media se !oca!i+a en e! centro de distribución y !a cur%a norma! es sim3trica con

resecto a !a !4nea erendicu!ar " a! e/e 5ori+onta! en e! %a!or de !a media$

6) La media $ mediana y moda coinciden$

7) Una cur%a en distribución norma! se etiende inde&inidamente a !a derec5a y a !a i+'uierda de!a media$

8) Una cur%a ara distribución norma! nunca toca e! e/e 5ori+onta!$

9) La &orma y !a osición de una distribución norma! deenden de !os ar#metros σ µ y

en consecuencia 5ay n:mero in&inito de distribuciones$

En e! caso de !as distribuciones continuas se resentan !as robabi!idades or medio de #reas "

ero no #reas de rect#ngu!os" sino or medio de #reas ba/o cur%as continuas$

E! #rea 'ue se 5a!!a deba/o de !a cur%a entre dos %a!ores cua!es'uiera" a y b " da !a robabi!idad de

'ue una %ariab!e a!eatoria 'ue tiene esta distribución continua tome un %a!or de! inter%a!o de *a*a * b* $ Luego !a siguiente &órmu!a" roorciona !a robabi!idad asociada con e! inter%a!o de ; a

a ; b

∫ =≤≤b

a

dx x f b x a P )()(

E+ %e,ir :

ESTANDARI-ACI.N DE 'A DISTRI()CI.N NOR*A'

En a!gunas ocasiones " como !as a!icaciones de !a distribución< se desa conocer e! #rea ara

distribución norma! est#ndar con una media de 7= y una des%iación de 7$ No se uede usar

directamente !a tab!a norma! est#ndar (tab!a +) or'ue !a %ariab!e a!eatoria de inter3s no es !a

norma! est#ndar$ Entonces se necesita una reg!a em4rica 'ue ermita trans&ormar cua!'uier

distribución norma! en distribución norma! est#ndar y !uego seca!cu!a !as robabi!idades usando

tab!a *+*$

2

)( b x a P <<



Al e+an%ari/ar lo+ %ao+ 0 +1lo +e ne,e+ia la f1rmula %e ran+forma,i1n %e %ao+$< es

decir

Cua!'uier >$A$norma! 01 se con%ierte en una >$A$N$estandari+ada 0+1

>o!%iendo a! e/em!o y rea!i+ando !a trans&ormación resecti%a " se tiene

DETER*INACI.N DE PRO(A(I'IDAD )SANDO TA('A NOR*A')SANDO TA('A NOR*A'EST2NDAREST2NDAR

Para encontrar !as robabi!idades de distribuciones norma!es se usar# !a tab!a *+* 'ue se indica

a continuación y no !as eresiones anteriores 'ue corresonden a! camo de! C#!cu!o Di&erencia!$

Los %a!ores de una distribución continua deben ser no negati%os y 'ue e! #rea tota! ba/o !a cur%a"

reresente !a certe+a de 'ue una %ariab!e a!eatoria debe tomar uno de sus %a!ores" siemreresu!te ,$

E3emplo : Ca!cu!ar )96,1( > z P

Se +a!e que ,"?8 ; ,"? @ ="=8 " entonces <

a) Primero se debe ir a !a a!la 4/4 y buscar en !a rimera co!umna e! %a!or $05b) Luego en !a rimera &i!a buscar e! %a!or #0#6$

c) La robabi!idad buscada corresonde a la iner+e,,i1n de !as dos co!umnas" es decir #&#"7#

3

x

x x

z

σ

µ −

=

40 50 65 -2 0 3



TABLA DE ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMALESTÁNDAR, N(0, 1)

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,0 0,0!0,0 0,5000 0,5040 0,500 0,5120 0,5160 0,51!! 0,523! 0,527! 0,531! 0,535!0,1 0,53! 0,543 0,547 0,5517 0,5557 0,55!6 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,57!3 0,532 0,571 0,5!10 0,5!4 0,5!7 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,617! 0,6217 0,6255 0,62!3 0,6331 0,636 0,6406 0,6443 0,640 0,65170,4 0,6554 0,65!1 0,662 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,60 0,644 0,67!0,5 0,6!15 0,6!50 0,6!5 0,701! 0,7054 0,70 0,7123 0,7157 0,71!0 0,72240,6 0,7257 0,72!1 0,7324 0,7357 0,73! 0,7422 0,7454 0,746 0,7517 0,754!0,7 0,750 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,77!4 0,723 0,7520, 0,71 0,7!10 0,7!3! 0,7!67 0,7!!5 0,023 0,051 0,07 0,106 0,1330,! 0,15! 0,16 0,212 0,23 0,264 0,2! 0,315 0,340 0,365 0,3!1,0 0,413 0,43 0,461 0,45 0,50 0,531 0,554 0,577 0,5!! 0,6211,1 0,643 0,665 0,66 0,70 0,72! 0,74! 0,770 0,7!0 0,10 0,301,2 0,4! 0,6! 0, 0,!07 0,!25 0,!44 0,!62 0,!0 0,!!7 0,!015

1,3 0,!032 0,!04! 0,!066 0,!02 0,!0!! 0,!115 0,!131 0,!147 0,!162 0,!1771,4 0,!1!2 0,!207 0,!222 0,!236 0,!251 0,!265 0,!27! 0,!2!2 0,!306 0,!31!1,5 0,!332 0,!345 0,!357 0,!370 0,!32 0,!3!4 0,!406 0,!41 0,!42! 0,!4411,6 0,!452 0,!463 0,!474 0,!44 0,!4!5 0,!505 0,!515 0,!525 0,!535 0,!5451,7 0,!554 0,!564 0,!573 0,!52 0,!5!1 0,!5!! 0,!60 0,!616 0,!625 0,!6331, 0,!641 0,!64! 0,!656 0,!664 0,!671 0,!67 0,!66 0,!6!3 0,!6!! 0,!7061,! 0,!713 0,!71! 0,!726 0,!732 0,!73 0,!744 0,!750 0,!756 0,!761 0,!7672,0 0,!772 0,!77 0,!73 0,!7 0,!7!3 0,!7! 0,!03 0,!0 0,!12 0,!172,1 0,!21 0,!26 0,!30 0,!34 0,!3 0,!42 0,!46 0,!50 0,!54 0,!572,2 0,!61 0,!64 0,!6 0,!71 0,!75 0,!7 0,!1 0,!4 0,!7 0,!!02,3 0,!!3 0,!!6 0,!! 0,!!01 0,!!04 0,!!06 0,!!0! 0,!!11 0,!!13 0,!!16

2,4 0,!!1 0,!!20 0,!!22 0,!!25 0,!!27 0,!!2! 0,!!31 0,!!32 0,!!34 0,!!362,5 0,!!3 0,!!40 0,!!41 0,!!43 0,!!45 0,!!46 0,!!4 0,!!4! 0,!!51 0,!!522,6 0,!!53 0,!!55 0,!!56 0,!!57 0,!!5! 0,!!60 0,!!61 0,!!62 0,!!63 0,!!642,7 0,!!65 0,!!66 0,!!67 0,!!6 0,!!6! 0,!!70 0,!!71 0,!!72 0,!!73 0,!!742, 0,!!74 0,!!75 0,!!76 0,!!77 0,!!77 0,!!7 0,!!7! 0,!!7! 0,!!0 0,!!12,! 0,!!1 0,!!2 0,!!2 0,!!3 0,!!4 0,!!4 0,!!5 0,!!5 0,!!6 0,!!63,0 0,!!7 0,!!7 0,!!7 0,!! 0,!! 0,!!! 0,!!! 0,!!! 0,!!!0 0,!!!03,1 0,!!!0 0,!!!1 0,!!!1 0,!!!1 0,!!!2 0,!!!2 0,!!!2 0,!!!2 0,!!!3 0,!!!33,2 0,!!!3 0,!!!3 0,!!!4 0,!!!4 0,!!!4 0,!!!4 0,!!!4 0,!!!5 0,!!!5 0,!!!53,3 0,!!!5 0,!!!5 0,!!!5 0,!!!6 0,!!!6 0,!!!6 0,!!!6 0,!!!6 0,!!!6 0,!!!73,4 0,!!!7 0,!!!7 0,!!!7 0,!!!7 0,!!!7 0,!!!7 0,!!!7 0,!!!7 0,!!!7 0,!!!

Di+ri!u,i1n normal e+8n%ar

4



Es !a distribución norma! de !a %ariab!e est#ndar *+* denominada unta/e *+* " unta/e

est#ndar o unta/e norma! $

Re,or%ar propie%a%e+ %e la %i+ri!u,i1n normal e+8n%ar&

,) E! #rea tota! ba/o !a cur%a norma! es igua! a ,$.) La distribución tiene &orma de mont4cu!o y es sim3trica < se etiende inde&inidamente en

ambas direcciones " tendiendo a! e/e 5ori+onta! ero sin tocar!o$

2) La distribución tiene una media de = y una des%iación est#ndar de ,$

6) La media di%ide a! #rea a !a mitad " ="7= a cada !ado$

7) Casi toda e! #rea est# entre + ; 2$== y + ; 2$==

E3er,i,io+ A,laraorio+

,) Encontrar e! #rea ba/o !a cur%a norma! entre + ; = y + ; ,"7.

Usando !a tab!a" !a intersección encontrada es de %a!or ="6279 $ Bue es !a medida de! #rea o

robabi!idad ara e! inter%a!o + ; ="== a + ; ,"7.$

Es decir " la pro!a!ili%a% e+ : P9#0## / $07" ; < #0=>7?

.) Encontrar e! #rea ba/o !a cur%a norma! a !a derec5a de + ; ,"7. < es decir P( + ,"7. )

Solu,i1n Se conoce 'ue e! #rea ba/o !a cur%a a !a derec5a de !a media or roiedad eseactamente igua! a media unidad " es decir ="7 y e! #rea a !a i+'uierda tambi3n es ="7$

Luego P 9 / @ $07" ; < #07### #0=>7? < #0#6=>

2) Encontrar e! #rea a !a i+'uierda de + ; ,"7. es decir P ( + ,"7. )

5

Area +oli,ia%a

#0=>7?

Z=0 z =1,52 z



So!ución P ( + ,"7. ) ; P (+ = ) @ P ( = + ,"7. ) ; ="6279 @ ="7== ; ="?279

6) Ca!cu!ar e! #rea entre + ; ,"7 y + ; .", < es decir P ( ,"7 + .", )

Entonces P 9 $07 / "0$ ; < P 9 $07 / # ; B P 9 # / "0$ ;

#0=>>" B #0="$ < #05$7>

O!+erva,i1n :

P 9 $07 / # ; En !a tab!a se busca !a rimera co!umna %ertica! (+) y se encuentra e!

%a!or de + ; ,"7 < !uego en !a co!umna de ( ="===) se busca !a intersección con e! %a!or anterior y

se obtiene ( ="622. )$

De !a misma &orma ara P 9 # / "0$ ; en !a tab!a se busca + ; .", intersectado

con !a co!umna (="===) y se encuentra ( ="62.,) $

7) Encontrar P 9 #0? / "0$ ; es decir " e! #rea entre + ; ="9 y + ; .",

So!ución

P 9 #0? / "0$ ; < P9 # / "0$ ; P 9 # / #0?; < #0="$ #0"7#P 9 #0? / "0$ ; < #0""=$ 0,2580

V& R& J&

6

-1,5 0 2,1

Area pe%i%a

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