graĐevna statika ii 4. vjeŽbevjeŽbe -...
TRANSCRIPT
1
GRAĐEVNA STATIKA II GRAĐEVNA STATIKA II –– 1. 1. VJEŽBEVJEŽBE
dr.sc.Tanja Kalman Šipoš, dipl.ing.građ.
Metoda sila – utjecaj temperature i prisilnih pomaka ležaja
GRAĐEVNA STATIKA IIGRAĐEVNA STATIKA II 4. 4. VJEŽBEVJEŽBE
2
RASPORED PREDAJE 1. PROGRAMA – 2013/2014.
Datum Opis Napomena
18.11.2013. ponedjeljak
Predaja 1. programa (1. KOLOKVIJ) 5 +1 BODOVA
20.11.2013. srijeda
Predaja 1. programa 5 BODOVA
22.11.2013. petak
Predaja 1. programa (KONZULTACIJE!) ZADNJI ROK !
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
2
Deformacija uslijed djelovanja jednolike temperature:
αt – temperaturni koeficijent (αt =1×10-5C-1 za beton i čelik)
a) JEDNOLIKA TEMPERATURA - uzrokuje promjenu duljine štapa za ∆l
- uzima se kod uzdužne sile N
1. UTJECAJ TEMPERATURE1. UTJECAJ TEMPERATURE
PRODULJENJE !
SKRAĆENJE !
2
ttt 21
s
+=
Srednja (jednolika) temperatura
st t×α=ε
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
Deformacija uslijed djelovanja nejednolike temperature:
h – visina poprečnog presjeka
b) NEJEDNOLIKA TEMPERATURA - uzrokuje zakrivljenost štapa χ
- uzima se kod momenta savijanja M
21 ttt −=∆
Razlika (nejednolika)
temperatura
h
tt
∆×α=χ
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
3
Temperatura se u proračunu uzima pomoću konstantnih dijagrama ε(jednolika) i χ (nejednolika), koji se nalaze na mjestima na kojima djelujetemperatura i predznaka koji odgovaraju predznacima srednje, odnosnorazlike temperatura.
Kako temperatura djeluje kao vanjsko opterećenje uzima se obzir samopri proračunima koeficijenata fleksibilnosti δδδδiv .
dstndsh
tmds
AE
Nnds
IE
Mmsti
ti
viviiv ⋅α⋅+
∆⋅α⋅+
⋅⋅
+⋅⋅
=δ ∫∫∫ ∫Sa faktorima uvećanja (umanjenja):
( ) ( ) +⋅+⋅=δ ∫ ∫ dsNnEA
IEdsMm
EI
IEviviiv
0000
dstnIEdsh
tmIE sti
ti ⋅⋅α⋅+
∆⋅α⋅+ ∫∫ 0000
χχ εε
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
Za prikazani sustav odrediti M, T i N dijagrameunutarnjih sila. Pri proračunu koeficijenatafleksibilnosti uzeti u obzir utjecaj momenatasavijanja i uzdužnih sila.
ZADATAK 1
b/h = 30/40 cm
E= 3×107 kN/m2
αt=1×10-5C-1
2
ttt 21
s
+=
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
4
1. Statička neodređenost
1S −= Sustav je jedan put statički neodređen.
2. Materijalne karakteristike
E= 3×107 kN/m2
3. Geometrijske karakteristike
kN3600000EAm12,0hbA
IEkNm48000EIm0016,012
hbI
cm4030hb
2
0024
3
==×=
===×
=
=
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
4. Osnovni sustav
013,0EA
IEN;1
EI
IEM 0000 =⇒=⇒
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
5
5. Stanje X1 = 1
ΣMA=0 ⇒ MA=3,0 kNm
ΣFy=0 ⇒ RAv=1,0 kN
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
6. Stanje za vanjsko opterećenje
ΣMA=0 ⇒ MA=400 kNm
ΣFx=0 ⇒ RAH=100 kN
C152
2010ts °=
+=
00015,0tst =×α=ε 2700
,IE =⋅ε
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
6
11
3 3 21 3 4 3 1 3 0,013 1 4 1 45,05
2 3δ
⋅= × ⋅ ⋅ + × ⋅ ⋅ + × ⋅ ⋅ =
7. Koeficijenti fleksibilnosti
1
400 41 3 7,2 4 1 2400 28,8 2428,8
2V
δ⋅
= × ⋅ + ⋅ ⋅ = + =
utjecaj jednolike temperature!
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
8. Jednadžba kontinuiteta
11 1 1
1 1
0
45,05 2428,8 0 53,91
VX
X X kN
δ δ× + =
× + = ⇒ = −vrijednost reakcije
u ležaju B
9. Konačni dijagrami unutarnjih sila
iiVk XmMM ×+= ∑iiVk XtTT ×+= ∑iiVk XnNN ×+= ∑
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
7
( )( )
kNm0M
kNm73,16191,5330M
kNm27,23891,533400M
B
1
A
=
−=−×+=
=−×+=
a) Vrijednosti momenata savijanja za X1= – 53,91 kN
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
( )( ) B
DESNO1
DOLJE1A
TkN91,5391,530,10T
TkN10091,530100T
==−×−=
=−=−×+−=
b) Vrijednosti poprečnih sila za X1= – 53,91 kN
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
8
( )( ) B
DESNO1
DOLJE1A
NkN10091,5300,100N
NkN91,5391,5310N
=−=−×+−=
=−=−×+=
b) Vrijednosti uzdužnih sila za X1= – 53,91 kN
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
9
Problem ćemo promatrati na primjeru dva puta statičkineodređenog sustava koji ima zadani prisilni pomak ∆∆∆∆v.
2. 2. UTJECAJ PRISILNIH POMAKAUTJECAJ PRISILNIH POMAKA(TRANSLACIJA ILI ZAOKRET ČVORA)(TRANSLACIJA ILI ZAOKRET ČVORA)
1. osnovni sustav
2. osnovni sustav
ILI
a) b)
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
a) Oslobođena veza X1 JE na mjestu i u pravcu prisilnog pomaka
i tada jednadžbe kontinuiteta (diskontinuiteta) glase:
0XX
IEXX
V2222121
00V1212111
=δ+×δ+×δ
×∆=δ+×δ+×δ ukoliko je X1 oslobođena veza onda je 1. jednadžba-jednadžba diskontinuiteta!
∆∆∆∆ – stvarna vrijednost prisilnog pomaka (∆∆∆∆v, ∆∆∆∆h, ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ)
E0I0 – faktor uvećanja
00IEv×∆+=
∆v i X1 idu u istom smjeru
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
10
b) Oslobođena veza X1 NIJE na mjestu i u pravcu prisilnog
pomaka i tada jednadžbe kontinuiteta (!) glase:
( )( ) 0IEXX
0IEXX
00V2V2222121
00V1V1212111
=×∆δ+δ+×δ+×δ
=×∆δ+δ+×δ+×δ
pomak na mjestu i pravcu veze Xi
uzrokovan pomakom ∆ na mehanizmu(određuje se iz plana pomaka)
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
Za prikazani sustav odrediti M dijagram zajednostrano upetu gredu koja je opterećenaprisilnim pomakom ∆∆∆∆v.
ZADATAK 2
b/h =30/40 cm
E= 3×107 kN/m2
1. Statička neodređenost1S −= Sustav je jedan put statički neodređen.
2. Geometrijske i materijalne karakteristike
002 IEkNm48000EI == 1
EI
IEM 00 =⇒
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
11
3. a) Osnovni sustav se odabire tako da je oslobođena veza X1
na mjestu i u pravcu prisilnog pomaka!
4. a) Stanje X1 = 1
ΣMA=0 ⇒ MA=4,0 kNm
ΣFy=0 ⇒ RAv=1,0 kN
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
5. a) Stanje za vanjsko opterećenje
ΣMA=0 ⇒ MA=100 kNm
ΣFy=0 ⇒ RAv=50,0 kN
33,2143
2
2
44111 =⋅⋅
⋅×=δ
6. a) Koeficijenti fleksibilnostim1
m1
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
12
1
100 2 2 11 4 2 333,33
2 3 3V
δ⋅ = − × ⋅ ⋅ + ⋅ = −
7. a) Jednadžba diskontinuiteta
11 1 1 0 0
1 121,33 333,33 0,01 48000 6,87
VX v E I
X X kN
δ δ× + = −∆ ×
× − = − × ⇒ = −
vrijednost reakcije u ležaju B
8. a) Konačni M dijagram
m1
MV
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
3. b) Osnovni sustav se odabire tako da oslobođena veza X1
nije na mjestu i u pravcu prisilnog pomaka!
4. b) Stanje X1 = 1
ΣMB=0 ⇒ RAV=0,25 kN
ΣFy=0 ⇒ RBv=0,25 kN
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
13
5. b) Stanje za vanjsko opterećenje
ΣMB=0 ⇒ RAv=25 kN
ΣFy=0 ⇒ RBv=25,0 kN
33,113
2
2
41111 =⋅⋅
⋅×=δ
6. b) Koeficijenti fleksibilnostim1
m1
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
1
50 2 1 21 1 0,5
2 3 3V
δ⋅ = − × ⋅ ⋅ + ⋅
δ1V(∆) – određujemo pomoću plana pomaka na mehanizmu kojinastaje tako da na osnovnom sustavu na mjestu na kojemje zadani prisilni pomak raskinemo vezu!
50 2 21 0,5 50,0
2 3
⋅− × ⋅ ⋅ = −
( )1
0,010,0025
4V
v
lδ
∆∆ = − = − = −
( )1 0 0120,0
VE Iδ ∆ × = −
m1
MV
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
14
7. b) Jednadžba kontinuiteta:
( )11 1 1 1
1 1
0
1,33 50,0 120,0 0 127,50
V VX
X X kNm
δ δ δ× + + ∆ =
× − − = ⇒ =
vrijednost momenta u ležaju A
8. b) Konačni M dijagram
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe
Zadaci za vježbu!
ααααt=1×10-5 C-1
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
Građevna statika II – 4. vježbe