Graduado en Matemáticas e Informática Universidad Politécnica de Madrid

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Informáticos

TRABAJO FIN DE GRADO

(Modelización de Curvas y Superficies Digitales)

MADRID, JUNIO 2015

Autor: Antonio Gálvez Montes Director: Antonio Giraldo Carbajo

ÍNDICE

1- Introducción y objetivos..............................................................................................1

2- Estudio 2-Dimensional................................................................................................3

2.1 - Definición de curva (espacio continuo), curva simple..........................................3

2.2 - Curvas digitales...................................................................................................4

2.2.1 - Adyacencia en 2.................................................................................4

2.2.2 – Entorno de un punto en n....................................................................5

2.2.3 – Caminos en 2.....................................................................................5

2.2.4 – Arcos en 2..........................................................................................6

2.2.5 – Conexión en n....................................................................................6

2.2.6 – Curvas digitales en 2..........................................................................7

2.3 – Funciones continuas de en ............................................................................8

2.4 – Relación entre curva continua digitalizada y curva digital................................11

2.5 - Algoritmo para obtener curvas digitales a partir de digitalizaciones de curvas continuas....................................................................................................................13

2.5.1 - Algoritmo...........................................................................................14

2.5.2 – Ejemplos............................................................................................18

3- Estudio 3-Dimensional..............................................................................................29

3.1 – Definición superficie.........................................................................................29

3.1.1 - Adyacencias en 3..............................................................................30

3.1.2 – Caminos, continuidad.........................................................................33

3.1.3 - Superficies digitales............................................................................33

3.2 - Superficies digitales como funciones multivaluadas de 2 en .........................34

3.3 – Relación entre superficie continua digitalizada y superficie digital...................35

3.4 – Digitalizaciones de superficies continuas mediante superficies digitales..........36

3.4.1 – Algoritmo...........................................................................................37

3.4.2 – Ejemplos............................................................................................40

4- Conclusiones.............................................................................................................47

5- Bibliografía................................................................................................................48

RESUMEN

Este trabajo se enmarca en el campo de la topología digital y en particular en las relaciones entre las nociones de continuidad digital multivaluada y de curva y superficie digital.

Por un lado se pretende estudiar la relación entre estos dos conceptos, partiendo de la ob-servación de que, en caso real, las gráficas de funciones continuas son curvas y superfi-cies. Por otra parte, basándonos en el estudio realizado, diseñaremos e implementaremos algorit-mos para, dada la gráfica de una función continua (de en , o de 2 en ) y su digitali-zación, obtener curvas o superficies digitales topológicamente similares a las gráficas conti-nuas, partiendo de su digitalización.

This work is included in the field of digital topology, particularly in the link between the concepts of digital multivalued continuity and those of digital curve and surface.

On one side, we pretend to study the link between these two concepts, starting from the ob-servation that, on the continuous case, the images of continuous functions are curves and surfaces.

Additionally, based on this study, we will design and implement algorithms to, given the image of a continuous function (from to , or 2 to ) and its digitization, obtain digital curves or surfaces topologically similar to those images, based on the digitization.

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1- INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

La noción de función continua es un concepto básico en el estudio de espacios topológicos. En el estudio de los espacios digitales (topología digital), ha habido numerosas aproxima-ciones a la hora de intentar definir esta noción de manera razonable. La primera definición fue propuesta por Rosenfeld en 1986 [I], el cual definió las funciones continuas de la manera en que se definen las aplicaciones continuas en n. Rosenfeld de-mostró, entre otras cosas, que una función entre espacios digitales es continua (de acuerdo con su definición) si y solo si lleva conjuntos conexos en conjuntos conexos. Más resultados relacionados con este tipo de continuidad fueron demostrados por L. Boxer [II], quien introdujo las nociones de homomorfismo, retracto y homotopías para funciones digitales continuas, aplicando estas nociones para definir un grupo fundamental digital, ho-motopías digitales… V Kovalevsky propuso en [III] una aproximación diferente usando aplicaciones multiva-luadas que preservan la conexión. En trabajos recientes [IV, V, VI], se ha dado una definición de continuidad digital usando funciones multivaluadas. De acuerdo con esta definición, una aplicación multivaluada es continua si y solo si está inducida por una aplicación univaluada continua definida en una subdivisión del conjunto de partida, de manera que la imagen de un pixel es la unión de las imágenes de todos los subpixels que lo forman mediante la aplicación univaluada asociada (ver [V] para más detalles). Esta definición permite modelizar como funciones continuas expansiones tales como f (x) = 2x, la cual debe transformar 1 pixel en 2 pixels en la imagen para conservar la conectividad. Además, este modelo multivaluado permite definir concep-tos topológicos (tales como retracciones) de manera mucho más natural que usando funcio-nes continuas digitales univaluadas. Por otra parte, también ha habido numerosos intentos de definir la noción de superficie di-gital. Entre ellos, destacamos las aportaciones de Morgenthaler-Rosenfeld [VIII] y Chen [IX], los cuales proponen una caracterización de punto de superficie la cual, aplicada a to-dos los elementos de un conjunto, nos permite asegurar si es o no superficie.

Uno de los objetivos de este proyecto es relacionar las dos nociones anteriores estudiando las curvas y superficies que se pueden considera gráficas de funciones multivaluadas conti-nuas, de la misma manera que las gráficas de funciones continuas reales son curvas y super-ficies (topológicas).

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Por otra parte, intentando profundizar en las relaciones entre las curvas y superficies reales y las digitales, si consideramos la gráfica de una función real , observamos que, aunque es-tas gráficas son curva o superficies reales, sus digitalizaciones no son en general curvas o superficies digitales.

En este trabajo presentamos un algoritmo para, en el caso de una curva real y partiendo de una digitalización de la misma, obtener una curva digital cuya topología sea similar a la de la curva real; y, en el caso de superficies reales, obtener una superficie digital a partir de su digitalización.

Esta memoria se estructura como sigue:

En este primer capitulo hemos introducido el entorno en que se enmarca en trabajo y hemos descrito los objetivos del proyecto.

En el segundo capítulo, presentaremos los conceptos de curva, algunos conceptos previos como adyacencia, camino, entorno… en 2, daremos una definición de curva digital, las cuales modelizaremos como imágenes de funciones continuas multivaluadas de en , ve-remos la relación entre curva digital y digitalización de una curva real y daremos un algo-ritmo para obtener curvas digitales a partir de la digitalización de una curva real.

En el tercer capítulo se estudia el problema análogo aplicado a superficies.

En el cuarto capítulo presentaremos unas conclusiones sobre el trabajo realizado y comen-tarios sobre futuros desarrollos y mejoras.

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2 – ESTUDIO 2-DIMENSIONAL

En las primeras secciones de este capitulo introduciremos las nociones y propiedades que utilizaremos en la parte 2-dimensional del proyecto. Aunque casi todas las nociones se po-drían definir en el caso general n-dimensional, para simplificar nos restringiremos en gene-ral al caso 2-dimensional.

2.1 - Definición de curva (espacio continuo), curva simple

En la primera parte de este trabajo nos centraremos en las curvas 2-dimensionales, caracte-rizándolas como imágenes de funciones F: . Por lo tanto trataremos con curvas sim-ples, imágenes de funciones en el plano real.

Ejemplos de curvas simples, imágenes de funciones de en . En orden: f(x) = 3x2 f(x) = sin(2sin(2sin(2sin(x)))) f(x) = xsin( )

Estas curvas se caracterizan globalmente por dividir el plano en dos regiones, y localmente por el hecho de que cada punto de la curva tiene entornos arbitrariamente pequeños tales que la parte de la curva contenida en el entorno lo divide en dos componentes conexas.

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2.2 - Curvas digitales

De manera análoga al caso discreto, en el plano digital podemos definir una curva como la traza de un punto en movimiento, e igual que en el caso continuo, habrá una caracterización local que dependerá del entorno de un punto (noción que definimos más adelante). En este caso, al ser un conjunto de puntos de x , contaremos con un número numerable pero lo-calmente finito de elementos (celdas de la “rejilla” x ), lo que nos permite definir con-ceptos de adyacencia y, a partir de estas adyacencias, definir la noción de continuidad y de curva de manera más simple que en el caso continuo.

2.2.1 - Adyacencia en 2

En 2, dados dos elementos P = (a, b), Q = (c, d), a,b,c,d , P ≠ Q, podemos definir dos tipos de adyacencia:

- P, Q son 4-adyacentes si una de sus coordenadas es igual y la otra difiere en una unidad:

a = c , |b – d| = 1 ó b = d , |a – c| = 1

Si dos elementos son 4-adyacentes, diremos que son 4-vecinos.

Fijándonos en el ejemplo de la izquierda, para el punto A

los puntos B,C,D,E son todos sus posibles 4-vecinos.

Al conjunto de todos los 4-vecinos de P lo notaremos como N4(P).

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- P, Q son 8-adyacentes si sus dos coordenadas difieren a lo sumo en una unidad: |a – c| <= 1 (en ) , |b – d| <= 1 (en )

Si dos elementos cumplen estas condiciones, diremos que son 8-vecinos.

En el ejemplo de la izquierda, los puntos B,C,D,E,F,G,H,I son todos los posibles 8-vecinos de A.

Al conjunto de todos los 8-vecinos de P lo notaremos como N8(P).

Nota: Como podemos observar en los ejemplos anteriores, N4(A) N8(A). Por lo tanto, po-demos afirmar que la 8-adyacencia engloba a la 4-adyacencia.

2.2.2 – Entorno de un punto en n

En n, el entorno de un punto P se define como el conjunto de todos los puntos k-adyacen-tes a P, con la k-adyacencia menos restrictiva existente para ese espacio.

- En 2, el entorno de un punto P es el conjunto de puntos 8-adyacentes a él.

2.2.3 – Caminos en 2

Un k-camino Δ en 2 de q0 a qr es una secuencia de puntos q0,q1,…,qr de manera que para cada i=0,1,2,...,r-1, qi y qi+1 son k-adyacentes. Si sólo existen esas adyacencias entre los puntos del camino, diremos que el k-camino es minimal.

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2.2.4 – Arcos en 2

Un k-arco Ω en 2 es un k-camino en el que cada elemento qi sólo tiene dos k-vecinos en Ω, qi-1 y qi+1; excepto los extremos, los cuales tendrán un único k-vecino en Ω (q1 y qr-1, respectivamente).

Por lo tanto, un k-camino será k-arco si y sólo si es minimal.

En este ejemplo, los puntos A,C sólo tiene dos 4-vecinos en su en-torno, y los puntos B,D sólo tienen uno. Si q0,…,qr = B,A,C,D; el conjunto de puntos es un 4-camino y 4-arco.

Sin embargo, A,C tienen tres 8-vecinos en su entorno, mientras que B,D tienen dos. Por lo tanto, B,A,C,D no es un 8-arco, a pesar de ser un 8-camino.

Si eliminamos el punto C, obtendríamos un nuevo conjunto de pun-tos el cual sería un 8-camino y 8-arco; sin embargo este caso no se-ría 4-camino ni 4-arco.

2.2.5 – Conexión en n

Un subconjunto de puntos S n es k-conexo si se cumple que para todo par de elementos s,s' de S, existe un k-camino de extremos s,s' contenido en S.

Una componente (S') k-conexa de S es un subconjunto conexo de elementos de S el cual cumple que, para todo subconjunto S'' tal que S'' no es k-conexo.

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2.2.6 – Curvas digitales en 2

2 contamos con 2 tipos de curvas. Una 4-curva digital es un conjunto 4-conexo en el que todo punto qi es 8-adyacente a 2 componentes 8-conexas “vacías” (formadas por puntos no pertenecientes a la curva) de su entorno. Se tiene que una 4-curva en 2 es un 4-arco sin extremos.

Ejemplo de curva 4-conexa (4-curva), la cual es también 4-arco. (se entiende que la curva continúa fuera de la rejilla, sino los extremos no cumplirían la definición de curva)

Una 8-curva digital es un conjunto 8-conexo en el que todo punto qi es 8-adyacente a 2 componentes 8-conexas “vacías”(formadas por puntos no pertenecientes a la curva) de su entorno. Una 8-curva en 2 es un 8-arco sin extremos.

A la izquierda, un conjunto que no es 4-curva ni 8-curva (no es 4-conexa; y el se-gundo pixel empezando por la izquierda no es 4-adyacente a dos componentes va-cías de su entorno). A la derecha, una 8 curva que también es 8-arco.

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2.3 – Funciones continuas de en

Sea f: X m n una función univaluada entre espacios digitales con adyacencias k y k´ respectivamente. De acuerdo con [I] y [VII], f es (k, k´)-continua si y sólo si para cuales-quiera p, p´ puntos k-adyacentes de X se cumple:

- f(p) = f(p´) ó - f(p) y f(p´) son k´ adyacentes en n

Cuando m = n y k = k´, se dice que f es k-continua.

Si observamos algunos ejemplos de curvas en 2:

vemos que, en general, no nos es posible expresarlas como gráficas de funciones continuas univaluadas (en el caso de la izquierda si podríamos, pero en cuanto la curva no sea una recta tendríamos problemas), ya que no pueden usarse para representar curvas que tengan elementos adyacentes verticalmente. Sin embargo, si trabajamos funciones continuas multi-valuadas (para un valor en eje x podemos tener varios valores en el eje y), podemos modeli-zar nuestras curvas digitales sin problemas.

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De manera análoga al caso univaluado, diremos que una función multivaluada F : X , F será 2-continua si envía conjuntos 2-conexos en conjuntos 2-conexos. Por tanto:

- La imagen de un elemento del espacio de partida debe ser un único intervalo de va-

lores en el espacio de llegada, por lo tanto, para un valor de x puede haber más de un valor de y, pero todos ellos deben ser consecutivos.

- Si x e y son adyacentes sus imágenes son adyacentes en el sentido de que se tocan o solapan, de manera que F({x,y}) es un intervalo

En este ejemplo, los pixels de la imagen no se-rían la imagen de una función continua multiva-luada. Como podemos observar, hay valores de X para los que tenemos más de un intervalo de valores en Y (parte izquierda); además de haber valores de X adyacentes cuyas imágenes no son conexas (parte derecha).

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Imagen de funciones multivaluadas de en . A la izquierda, una gráfica que no es una curva y presenta 4 y 8 adyacencias entre los pixeles multivaluados. A la derecha, una grá-fica que es 8-curva, exclusivamente con 8-adyacencias sin usar 4-adyacencias.

Una de las ventajas de trabajar con funciones multivaluadas de en es que siempre es posible obtener una curva con las mismas características pero definida de forma univaluada usando subdivisiones del dominio de la función [V].

La función multivaluada de la izquierda puede transformarse en una función univaluada aplicando subdivisiones sobre el espacio de partida. El resultado obtenido generará la misma digitalización a la “resolución” original que la función multivaluada original. En la imagen derecha podemos ver el resultado de aplicar las subdivisiones al valor multiva-luado original.

En este trabajo, consideraremos curvas como imágenes de funciones continuas multivalua-das de en . A cada punto multivaluado lo llamaremos pixel multivaluado.

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2.4 – Relación entre curva continua digitalizada y curva digital

Una digitalización de una curva continua (de 2) es el conjunto de pixels de 2 por los cua-les pasa la curva. Por lo tanto, la digitalización de una curva contiene todos los puntos de 2 en los cuales está contenido al menos un punto de la curva.

Ejemplos de curvas continuas y sus posibles digitalizaciones.

Como podemos observar en los ejemplos anteriores, en general, la digitalización de una curva no es una curva digital.

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A pesar de trabajar sobre 2, podemos variar el ancho de los elementos de nuestra “rejilla” de manera que cada pixel cubra una sección de 2 del tamaño que queramos. A la longitud del lado de nuestros pixels la denominaremos resolución. También podemos trasladar la re-jilla para obtener digitalizaciones mejores. Por ejemplo, es conveniente que la curva no pase por los vértices de la rejilla para evitar que un único punto fuerce 4 pixels de la digita-lización (los 4 que comparten el vértice).

Para algunas curvas, es posible encontrar una resolución para la que la digitalización no al-tera las propiedades topológicas de la curva. En otros casos, esto no será posible por la na-turaleza de la curva o por los recursos computacionales necesarios, es decir, puede que exista una resolución que genere una buena digitalización pero con la cual no podamos o no nos interese trabajar por falta de recursos.

En este ejemplo podemos observar como, a pesar de aumentar la resolución, nunca obtendríamos una digitalización para la cual el pixel que contiene al mínimo de la curva sea adyacente a la componente blanca superior y por tanto el resultado nunca es una curva digital.

Por lo tanto, en general, al digitalizar una curva continua obtenemos resultados que pueden no ser curvas digitales.

Por ello, con este trabajo buscamos una forma de, a partir de digitalizaciones, recuperar una aproximación de la curva, que sea curva digital, que mantenga las propiedades topológicas basándonos en los resultados de la digitalización, y que produzca la misma digitalización que la curva original (para la misma resolución usada inicialmente).

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2.5 - Algoritmo para obtener curvas digitales a partir de digitalizaciones de curvas continuas

Como hemos visto en la sección anterior, al digitalizar una curva continua obtenemos resul-tados que no son curvas digitales. Por lo tanto, buscamos un algoritmo que nos permita ge-nerar curvas digitales a partir de la digitalización de curvas continuas, sin perder informa-ción que nos pueda aportar la digitalización, y obteniendo un resultado topológicamente más parecido a la curva original.

Consideraciones:

- Partiendo de una digitalización D compuesta por n pixels multivaluados p0…pn, tra-bajaremos sobre una subdivisión en la que cada pixel univaluado se dividirá en una subrejilla de 7 x 7. Por lo tanto, un pixel multivaluado de altura h se dividirá en una rejilla de 7 x 7xh elementos.

- Como sabemos que la curva original pasa por los h pixels univaluados que forman cada pixel multivaluado, la curva digital que obtengamos también tiene que pasar por ellos.

- Para obtener un resultado que tenga más probabilidad de parecerse a la curva origi-nal, intentaremos minimizar el recorrido que realizará la curva digital que genere-mos.

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2.5.1 - Algoritmo

Algoritmo:

1- Sea Pi nuestro pixel multivaluado, con coordenadas (x,y) = (i, [a,b]), i,a,b , a≤b; sean Pi-1, Pi+1 los pixels anterior y siguiente a Pi, respectivamente.

2- Como Pi es adyacente a Pi-1 y Pi+1, Pi-1 y Pi+1 tienen valores adyacentes a [a,b], por lo que podemos calcular los valores l, r [a,b] tal que (i,l) es adyacente a Pi-1 y (i,r) es adyacente a Pi+1. Dependiendo de el número de pixels univaluados que formen Pi-1, Pi, Pi+1, puede que haya varios valores de l,r que podemos obtener. Dependiendo de la forma de la digitalización, obtendremos aquel que más nos convenga (por lo ge-neral, escogeremos el valor medio de aquellos que se solapen. Si el número de valo-res es par, podemos escoger el que queramos de los dos centrales).

3- Procedemos a dar valor a los 7 subpixels multivaluados s0,…,s6 de la subdivisión de Pi (matriz de 7 x 7(b-a+1), índices [0…6] y [0…7(b-a)+6] respectivamente):

4- Sean α = 7(l-a) + 3, β = 7(r-a) + 3, M = 7(b-a)+3; entonces las partes de los 7 subpi-xels multivaluados cubierta por la nueva función son la siguientes:

s0: altura = [α, α] s1: altura = [3, α] s2: altura = [3, 3] s3: altura = [3, M] s4: altura = [M, M] s5: altura = [β, M] s6: altura = [β, β]

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Ejemplo del resultado obtenido para 1 pixel multivaluado. Izquierda: Pi-1,Pi,Pi+1 en la digi-talización. Derecha: conjunto de subpixels multivaluados s0…s6 dentro de la matriz de la subdivisión de Pi .

Para reducir el recorrido de la curva digital que obtenemos e intentar obtener un resultado más cercano a la curva continua que genera la digitalización sobre la que trabajamos, consi-deraremos de manera especial las siguientes configuraciones:

- En los casos en que la adyacencia entre Pi y Pi-1 o Pi+1 sea mediante sus esquinas (8-adyacencia), modificamos los valores de α, β:

Esquina superior: α = 7(l-a) + 6, β = 7(r-a) + 6 Esquina inferior: α = 7(l-a), β = 7(r-a)

De esta manera, garantizamos que nuestro re-sultado siga siendo adyacente a Pi-1 y Pi+1 (ejemplo de la izquierda)

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- Cuando la adyacencia con Pi-1 sea mediante un valor de y mayor que la adyacencia con Pi+1, s0…s6 serán:

s1: [α, M] s2: [M, M] s3: [3, M] s4: [3, 3] s5: [3, β] s6: [β, β]

De esta manera, “invertimos” el orden del algoritmo (ejemplo de la izquierda)

- Cuando Pi sea un pixel univaluado, no será necesario alcanzar los valores 0 y M, por lo que podemos darle el mismo valor a s0…s6 (siempre que no tengamos 8-adyacen-cias con Pi-1 o Pi+1).

Ejemplo de un caso univaluado con adya-cencias por lados (no esquinas)

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- Cuando Pi coincida con Pi-1 en 2n valores( [x, x+1] ), podemos hacer α = 7(x-a) + 6 ó α = 7(x+1-a) (dependiendo de si “invertimos” o no el orden del algoritmo). En el caso de que Pi coincida en dos valores con Pi+1, podemos modificar de manera simi-lar el valor de β.

En este ejemplo, vemos como hemos modifi-cado el algoritmo para obtener una adyacencia por las esquinas interiores de los pixels multiva-luados.

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2.5.2 – Ejemplos

Función: f(x) = :

- Gráfica de la función:

- Digitalización (azul) y resultado algoritmo (en color claro, situado sobre la digitali-

zación):

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Función: f(x) = sin(x)

- Gráfica:

- Digitalización y algoritmo (resolución 0.7):

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- Digitalización y algoritmo (resolución ):

- Digitalización y algoritmo (resolución ):

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Función: f(x) = x sin(x-1)

- Gráficas:

- Digitalización y algoritmo (resolución 0.02):

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- Digitalización y algoritmo (resolución 0.002):

Vista general

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Detalle

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Función: f(x) = sin(x-1)

En este caso, vemos como el algoritmo produce resultados satisfactorios incluso cuando la curva está definida solo en un intervalo abierto y no existe límite en uno de los extremos (y por tanto no se puede extender a una curva en )

- Gráfica:

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- Digitalización y algoritmo (vista general y detalles):

Vista general.

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Detalle de la parte superior

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Detalle parte media

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Detalle parte inferior

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3 - ESTUDIO 3-DIMENSIONAL

3.1 – Definición superficie

En la segunda parte de este trabajo nos centraremos en las superficies de 3, caracterizán-dolas como imágenes de funciones F: 2 y de sus digitalizaciones en 3.

Ejemplos de superficies, imágenes de funciones de 2 en .

En orden: f(x,y) = x2 + y2

f(x) =

f(x) =

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3.1.1 - Adyacencias en 3

En 3, dados dos elementos A = (a, b, c), B = (d, e, f), a,b,c,d,e,f , A ≠ B, podemos defi-nir tres tipos de adyacencia:

- A, B son 6-adyacentes si sus coordenadas difieren, en total, en una unidad: |a – d| +|b – e| + |c – f| = 1

Si dos elementos son 6-adyacentes, diremos que son 6-vecinos.

En el ejemplo superior podemos ver un punto de 3 en la imagen de la izquierda, y sus 6-vecinos en la imagen de la derecha.

Al conjunto de todos los 6-vecinos de A lo notaremos como N6(A).

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- A, B son 18-adyacentes si sus coordenadas difieren, en total, en una o dos unidades: |a – d| +|b – e| + |c – f| ≤ 2

Si dos elementos cumplen estas condiciones, diremos que son 18-vecinos.

En el ejemplo de la izquierda, pode-mos ver algunos de los 18-vecinos para el punto del ejemplo anterior.

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- A, B son 26-adyacentes si sus coordenadas difieren, en total, en tres unidades o me-nos:

|a – d| +|b – e| + |c – f| ≤ 3

Si dos elementos cumplen estas condiciones, diremos que son 26-vecinos.

En el ejemplo de la izquierda, pode-mos ver algunos de los 26-vecinos para el punto de los ejemplos ante-riores.

Al conjunto de todos los 26-vecinos de A lo notaremos como N26(A).

Como podemos observar en los ejemplos anteriores, N6(A) N18(A) N26(A). Por lo tanto, 6-adyacencia 18-adyacencia 26-adyacencia.

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3.1.2 – Caminos, continuidad

Un k-camino Δ en 3 de q0 a qr es una secuencia de puntos q0,q1,…,qr de manera que para cada i=0,1,2,...,r-1, qi y qi+1 son k-adyacentes. Si sólo existen esas adyacencias, diremos que el k-camino es minimal y diremos que es un k-arco.

En 3, el entorno de un punto P es el conjunto de puntos 26-adyacentes a él.

En la sección 2.2.5 ya se proporcionó una definición de conectividad para n.

3.1.3 - Superficies digitales

Desde el comienzo del estudio de la topología digital, diferentes autores han sugerido y em-pleado diferentes definiciones de superficie digital. Nosotros trabajaremos con la propuesta por Morgenthaler y Rosenfeld [VIII]:

Sean k, k´ {6, 18, 26}. Una componente k-conexa S de 3 será una (k, k´)-superficie di-gital si, para todo punto P S, P cumple:

En el entorno de P existen solamente dos k´-componentes conexas “vacías” (forma-das por puntos de 3 no pertenecientes a S) y P es k´-adyacente a ambas.

Cada uno de los k-vecinos de P que pertenezca a S es a su vez k´-adyacente a ambas k´-componentes conexas vacías.

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3.2 - Superficies digitales como funciones multivaluadas de 2 ->

En la sección 2.3 de este trabajo, se proporcionó una definición de función (k, k´)-continua univaluada entre espacios m y n.

En el caso de las funciones 2 , disponemos de dos tipos de continuidad univaluada:

- 4-continuidad: envía conjuntos 4-conexos de 2 en conjuntos 2-conexos de .

- 8-continuidad: envía conjuntos 8-conexos de 2 en conjuntos 2-conexos de .

Análogamente, para funciones multivaluadas F : X 2 → , existen 2 tipos de continui-dad:

- Funciones (4, 2)-continuas: son funciones digitales multivaluadas que envían con-juntos 4-conexos de 2 en conjuntos 2-conexos de . Por lo tanto, la imagen de un elemento de 2 debe ser un único intervalo de valores en el espacio de llegada, por lo tanto, para un valor de x puede haber más de un valor de y, pero todos ellos de-ben ser consecutivos. Además, si dos elementos a,b de 2 son adyacentes, sus imá-genes deberán ser adyacentes. La imagen de estas funciones estará formada por un conjunto de pixels tridimensio-nales (voxels) multivaluados. Para cada elemento (x,y) del espacio de partida ( 2), se debe cumplir que su voxel multivaluado (imagen) correspondiente sea adyacente a los voxels multivaluados de sus 4-vecinos.

- Funciones (8, 2)-continuas: de manera análoga al caso anterior, son funciones digi-tales multivaluadas que envían conjuntos 8-conexos de 2 en conjuntos 2-conexos de . Para cada elemento (x,y) del espacio de partida ( 2), su voxel multivaluado (imagen) correspondiente será adyacente a los voxels multivaluados de sus 8-veci-nos.

Al igual que en el caso 2-dimensional, una función multivaluada (8,2)-continua puede transformarse en una función univaluada aplicando subdivisiones sobre el espacio de par-tida, de tal forma que el resultado obtenido generará la misma digitalización (a la misma “resolución”) que la función multivaluada original.

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3.3 - Relación entre superficie continua digitalizada y superficie digital

De manera análoga a las curvas digitales en el caso dimensional, la digitalización de una superficie no tiene por qué ser una superficie digital.

Sea f(x,y) = , su representación gráfica y una posible digita-lización:

Como podemos observar en el ejemplo anterior, el voxel situado en el centro del cubo obte-nido al digitalizar la imagen de la función no cumpliría nuestra definición de superficie, ya que no es k’-adyacente a dos componentes conexas “vacías” de su entorno.

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3.4 – Digitalizaciones de superficies continuas mediante superficies digitales

De manera similar al caso 2-dimensional, nuestro objetivo es generar un algoritmo para, partiendo de una digitalización de una superficie imagen de una función f: 2 , obtener una superficie digital modelada como la imagen de una función multivaluada continua de

2 en que aproxime su topología a la de la función continua original, y cuya digitaliza-ción sea la misma.

Para ello, realizaremos una subdivisión de cada voxel multivaluado en una matriz de 9 x 9 subvoxels.

NOTA: el algoritmo es una primera aproximación que sólo busca generar una superficie digital a partir de una digitalización. A diferencia del caso 2-dimensional, el funciona-miento del algoritmo no está optimizado para adaptarse a los valores de los elementos de su entorno, si no que siempre actúa de la misma manera. Además, nos aseguraremos de que todos los elementos de la subdivisión sean puntos de superficie, cosa que, en esta pri-mera aproximación, parece no cumplirse en algunos casos. Por lo tanto, los resultados ob-tenidos aún no son muy satisfactorios y actualmente estamos trabajando ya en la manera de mejorarlos.

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3.4.1 – Algoritmo:

El comportamiento de nuestro algoritmo dependerá de la adyacencia digital multivaluada que queramos obtener:

- (4, 2)-Adyacencia: Sea Vi,j = [a,b], a,b , a ≤ b un voxel multivaluado, sean Vα,β = [mα,β, Mα,β], α = {i-1, i, i+1}, β = {j-1, j, j+1}, Vi,j ≠ Vα,β; calculamos una serie de valores E11, E19… de la siguiente forma:

E11: [max(a, mi-1,j , mi,j+1), min(b, Mi-1,j , Mi,j+1)] E19: [max(a, mi+1,j , mi,j+1), min(b, Mi+1,j, Mi,j+1)] E91: [max(a, mi-1,j , mi,j-1), min(b, Mi-1,j , Mi,j-1)] E99: [max(a, mi+1,j , mi,j-1), min(b, Mi+1,j , Mi,j-1)]

EN: [max(a, mi,j+1), min(b, Mi,j+1)] = [EN[0], EN[1]] ES: [max(a, mi,j-1), min(b, Mi,j-1)] = [ES[0], ES[1]] EW: [max(a, mi-1,j), min(b, Mi-1,j)] = [EW[0], EW[1]] EE: [max(a, mi+1,j), min(b, Mi+1,j)] = [EE[0], EE[1]]

D1: [a, min(EN[1], EW[1])] D2: [a, min(EN[1], EE[1])] D3: [a, min(EW[1], ES[1])] D4: [a, min(EE[1], ES[1])]

LN: [a, EN[1]] LS: [a, ES[1]] LW: [a, EW[1]] LE: [a, EE[1]]

L: [a, a] H: [a, b-1] C: [b, b]

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Para dar valor a los 9 x 9 elementos de la submatriz del voxel Vi,j , calculamos los valores que aparecen en la imagen (representando una “vista aérea” de los valores que tendrá cada subvoxel) según las fórmulas definidas. Representado de forma ma-tricial:

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Donde cada elemento de la matriz representa los valores de un voxel de la subdivi-sión.

- (8, 2)-Adyacencia:

En el caso de la (8, 2)-adyacencia, modificaríamos la forma de calcular algunos ele-mentos:

E11: [max(a, mi-1,j , mi,j+1 , mi-1,j+1), min(b, Mi-1,j , Mi,j+1 , Mi-1,j+1)] E19: [max(a, mi+1,j , mi,j+1 , mi+1,j+1), min(b, Mi+1,j , Mi,j+1 , Mi+1,j+1)] E91: [max(a, mi-1,j , mi,j-1 , mi-1,j-1), min(b, Mi-1,j , Mi,j-1 , Mi-1,j-1)] E99: [max(a, mi+1,j , mi,j-1 , mi+1,j-1), min(b, Mi+1,j , Mi,j-1 , Mi+1,j-1)]

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3.4.2 – Ejemplos

f(x, y) = x2 + y2:

- Gráfica:

- Digitalización y resultados del algoritmo (resolución 0.4):

Digitalización

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Resultados con (4,2)-continuidad

Resultados con (8,2)-continuidad

42

- Digitalización y resultados del algoritmo (resolución 0.2):

Digitalización

Resultados con (4,2)-continuidad

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Resultados con (8,2)-continuidad. Cerca de la esquina inferior derecha podemos

ver ciertas diferencias con el caso anterior.

f(x, y) = :

- Gráfica:

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- Digitalización y resultados del algoritmo (resolución 0.4):

Digitalización. Vista superior (izquierda) e inferior (derecha)

Resultados con (4,2)-continuidad

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Resultados con (8,2)-continuidad

- Digitalización y resultados del algoritmo (resolución 0.13333):

Digitalización

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Detalle de el resultado obtenido con (4,2)-continuidad

Detalle de el resultado obtenido con (8,2)-continuidad.

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4 – CONCLUSIONES

- Hemos construido un algoritmo para obtener una curva digital a partir de una digita-lización de una curva continua que, en general, no tiene porque ser una curva digi-tal.

- La curva digital que obtenemos, a diferencia de la digitalización, es por tanto topo-lógicamente más afín (o similar) a la curva original. Además, preserva la digitalización (si se realiza a la misma resolución que la digita-lización de partida).

- La versión del algoritmo implementada en este proyecto resuelve, por tanto, de ma-nera totalmente satisfactoria todos los objetivos planteados antes de su diseño. Recientemente, sin embargo, ya sin tiempo para incluirlo en la versión final del pro-yecto, hemos descubierto una manera de reducir aún más el recorrido de la curva de manera que, en la mayoría de los casos, se aproxima aún mejor la curva original. No ha habido tiempo de integrar esas mejoras en esta versión del algoritmo pero se integrará en la versión final que se incluirá en [XI].

- El algoritmo que hemos obtenido en 3D genera también una superficie a partir de una digitalización, que puede no serlo, de una superficie continua. Este algoritmo, sin embargo, es susceptible de mejoras, por ejemplo, en vez de usar el caso general en todas las ocasiones habría que particularizar comportamientos diferentes para di-ferentes situaciones de los vecinos de un punto, de manera similar al caso 2-dimen-sional. Actualmente se está trabajando ya en esta mejora.

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5 - BIBLIOGRAFÍA

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IX. Li M. Chen; Digital and Discrete Geometry, Theory and Algorithms.

X. G. Bertrand, R. Malgouyres; Some Topological Properties of Surfaces in 3.

XI. A. Gálvez, A.Giraldo, M. A. Sastre; Digitization of real curves as digital curves. Preprint

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