graf cayley sigit pancahayani no ujian: 3010-3-34730-8 · graf cayley dafar pustaka graf cayley...

26
Graf Cayley Dafar Pustaka GRAF CAYLEY Sigit Pancahayani No Ujian: 3010-3-34730-8 Surabaya, 23 Desember 2013 Tes Calon Pegawai Negeri Sipil-Dosen Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Upload: others

Post on 10-Jan-2020

26 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Graf CayleyDafar Pustaka

GRAF CAYLEY

Sigit PancahayaniNo Ujian: 3010-3-34730-8

Surabaya, 23 Desember 2013

Tes Calon Pegawai Negeri Sipil-DosenJurusan Matematika

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Graf

Definisi Graf:Diestel (2005) mendefinisikan graf G sebagai pasanganhimpunan (V ,E), dimana V adalah himpunan titik danhimpunan sisi E ⊆ [V ]2; artinya elemen dari E merupakansubhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen.

Dari definisi tersebut, maka bisa dipastikan bahwa grafyang terbentuk merupakan graf sederhana, yaitu graf yangtidak memuat loop maupun sisi ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.Misalkan V = {1,2,3,4}, maka[V ]2 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}. Misalkanpula E = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} ⊆ [V ]2. GrafG = (V ,E) ditunjukkan oleh Gambar 1

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Graf

Definisi Graf:Diestel (2005) mendefinisikan graf G sebagai pasanganhimpunan (V ,E), dimana V adalah himpunan titik danhimpunan sisi E ⊆ [V ]2; artinya elemen dari E merupakansubhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen.Dari definisi tersebut, maka bisa dipastikan bahwa grafyang terbentuk merupakan graf sederhana, yaitu graf yangtidak memuat loop maupun sisi ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.

Misalkan V = {1,2,3,4}, maka[V ]2 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}. Misalkanpula E = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} ⊆ [V ]2. GrafG = (V ,E) ditunjukkan oleh Gambar 1

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Graf

Definisi Graf:Diestel (2005) mendefinisikan graf G sebagai pasanganhimpunan (V ,E), dimana V adalah himpunan titik danhimpunan sisi E ⊆ [V ]2; artinya elemen dari E merupakansubhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen.Dari definisi tersebut, maka bisa dipastikan bahwa grafyang terbentuk merupakan graf sederhana, yaitu graf yangtidak memuat loop maupun sisi ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.Misalkan V = {1,2,3,4}, maka[V ]2 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}. Misalkanpula E = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} ⊆ [V ]2. GrafG = (V ,E) ditunjukkan oleh Gambar 1

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Figure: Graf G = (V ,E)

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Graf Berarah

Definisi Graf Berarah:Diestel (2005) juga mendefinisikan graf berarah D sebagaipasangan himpunan (V ,A), dimana V adalah himpunantitik dan himpunan sisi berarah A ⊆ [V ]2; artinya elemendari A merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk2-elemen.

Dalam D terdapat dua buah pemetaan init : A→ V danter : A→ V . Keduanya merupakan pemetaan yangmenghasilkan titik awal init(a) dan titik akhir ter(a) bagisetiap sisi berarah a ∈ A.Graf berarah D sering disebut sebagai digraf.Berdasarkan definisi yang diberikan, maka digraf Dmerupakan digraf sederhana, yaitu digraf yang tidakmemuat loop maupun sisi berarah ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Graf Berarah

Definisi Graf Berarah:Diestel (2005) juga mendefinisikan graf berarah D sebagaipasangan himpunan (V ,A), dimana V adalah himpunantitik dan himpunan sisi berarah A ⊆ [V ]2; artinya elemendari A merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk2-elemen.Dalam D terdapat dua buah pemetaan init : A→ V danter : A→ V . Keduanya merupakan pemetaan yangmenghasilkan titik awal init(a) dan titik akhir ter(a) bagisetiap sisi berarah a ∈ A.

Graf berarah D sering disebut sebagai digraf.Berdasarkan definisi yang diberikan, maka digraf Dmerupakan digraf sederhana, yaitu digraf yang tidakmemuat loop maupun sisi berarah ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Graf Berarah

Definisi Graf Berarah:Diestel (2005) juga mendefinisikan graf berarah D sebagaipasangan himpunan (V ,A), dimana V adalah himpunantitik dan himpunan sisi berarah A ⊆ [V ]2; artinya elemendari A merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk2-elemen.Dalam D terdapat dua buah pemetaan init : A→ V danter : A→ V . Keduanya merupakan pemetaan yangmenghasilkan titik awal init(a) dan titik akhir ter(a) bagisetiap sisi berarah a ∈ A.Graf berarah D sering disebut sebagai digraf.

Berdasarkan definisi yang diberikan, maka digraf Dmerupakan digraf sederhana, yaitu digraf yang tidakmemuat loop maupun sisi berarah ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Graf Berarah

Definisi Graf Berarah:Diestel (2005) juga mendefinisikan graf berarah D sebagaipasangan himpunan (V ,A), dimana V adalah himpunantitik dan himpunan sisi berarah A ⊆ [V ]2; artinya elemendari A merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk2-elemen.Dalam D terdapat dua buah pemetaan init : A→ V danter : A→ V . Keduanya merupakan pemetaan yangmenghasilkan titik awal init(a) dan titik akhir ter(a) bagisetiap sisi berarah a ∈ A.Graf berarah D sering disebut sebagai digraf.Berdasarkan definisi yang diberikan, maka digraf Dmerupakan digraf sederhana, yaitu digraf yang tidakmemuat loop maupun sisi berarah ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

ContohMisalkan V = {1,2,3,4}, maka[V ]2 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}. Misalkan pulaE = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} ⊆ [V ]2. Graf G = (V ,E)ditunjukkan oleh Gambar 2

Figure: Digraf D = (V ,A)

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Pendahuluan Graf Cayley

Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayleypertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yangdibangkitkan oleh sebuah generator.

Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagaielemen identitasnya.Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengansyarat e /∈ S dan jika s ∈ S maka s−1 ∈ S.Elemen dari S disebut generator Γ dan S adalah himpunangenerator, jika setiap elemen dari Γ dapat dituliskansebagai perkalian berhingga dari generator-generator di S.Dalam hal ini, kita katakan bahwa Γ dibangkitkan oleh S.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Pendahuluan Graf Cayley

Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayleypertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yangdibangkitkan oleh sebuah generator.Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagaielemen identitasnya.

Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengansyarat e /∈ S dan jika s ∈ S maka s−1 ∈ S.Elemen dari S disebut generator Γ dan S adalah himpunangenerator, jika setiap elemen dari Γ dapat dituliskansebagai perkalian berhingga dari generator-generator di S.Dalam hal ini, kita katakan bahwa Γ dibangkitkan oleh S.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Pendahuluan Graf Cayley

Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayleypertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yangdibangkitkan oleh sebuah generator.Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagaielemen identitasnya.Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengansyarat e /∈ S dan jika s ∈ S maka s−1 ∈ S.

Elemen dari S disebut generator Γ dan S adalah himpunangenerator, jika setiap elemen dari Γ dapat dituliskansebagai perkalian berhingga dari generator-generator di S.Dalam hal ini, kita katakan bahwa Γ dibangkitkan oleh S.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Pendahuluan Graf Cayley

Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayleypertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yangdibangkitkan oleh sebuah generator.Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagaielemen identitasnya.Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengansyarat e /∈ S dan jika s ∈ S maka s−1 ∈ S.Elemen dari S disebut generator Γ dan S adalah himpunangenerator, jika setiap elemen dari Γ dapat dituliskansebagai perkalian berhingga dari generator-generator di S.

Dalam hal ini, kita katakan bahwa Γ dibangkitkan oleh S.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Pendahuluan Graf Cayley

Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayleypertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yangdibangkitkan oleh sebuah generator.Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagaielemen identitasnya.Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengansyarat e /∈ S dan jika s ∈ S maka s−1 ∈ S.Elemen dari S disebut generator Γ dan S adalah himpunangenerator, jika setiap elemen dari Γ dapat dituliskansebagai perkalian berhingga dari generator-generator di S.Dalam hal ini, kita katakan bahwa Γ dibangkitkan oleh S.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Definisi Graf Cayley (Tak Berarah)

Graf Cayley G = Cay(Γ,S) = (V ,E) adalah graf yangdibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γdan himpunan sisi E = {(g,gs) : g ∈ Γ, s ∈ S}.

Tidak adanya elemen identitas pada S mengakibatkan grafCay(Γ,S) tidak memuat loop

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Definisi Graf Cayley (Tak Berarah)

Graf Cayley G = Cay(Γ,S) = (V ,E) adalah graf yangdibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γdan himpunan sisi E = {(g,gs) : g ∈ Γ, s ∈ S}.Tidak adanya elemen identitas pada S mengakibatkan grafCay(Γ,S) tidak memuat loop

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Contoh

Diberikan Z4 = {0̄, 1̄, 2̄, 3̄}, kita tahu bahwa (Z4,+) adalah grupdengan identitas 0̄. Pilih S = {1̄, 3̄} sebagai generator dari(Z4,+). Graf Cay(Z4,S) ditunjukkan oleh Gambar 2

Figure: Graf Cay(Z4,S)

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Contoh

Gambarkan graf Cayley Cay(S3,S) dari grup permutasi S3 dengan generatorS = {(12), (13), (23)}.

solusi:Diketahui, S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} danS = {(12), (13), (23)}. Ketetanggan setiap titik pada graf Cayley Cay(S3,S)diperoleh dengan memeriksa hasil komposisi p ◦ s dengan p ∈ S3 dan s ∈ S.Graf Cayley Cay(S3,S) ditunjukkan oleh Gambar 4

Figure: Graf Cay(S3,S)Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Definisi Graf Cayley (Berarah)

Fehr (2006) mendefinisikan Graf Cayley berarahD =

−−→Cay(Γ,S) = (V ,A) sebagai graf berarah yang

dibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γdan himpunan sisi berarah A = {(g,gs) : g ∈ Γ, s ∈ S}.

Untuk g1 dan g2 di Γ, terdapat sisi berarah dari g1 ke g2jika dan hanya jika g1s = g2 untuk suatu s ∈ S.

Dengan kata lain, D =−−→Cay(Γ,S) diperoleh dari graf

Cay(Γ,S) dengan memberi arah pada setiap sisinya.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Definisi Graf Cayley (Berarah)

Fehr (2006) mendefinisikan Graf Cayley berarahD =

−−→Cay(Γ,S) = (V ,A) sebagai graf berarah yang

dibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γdan himpunan sisi berarah A = {(g,gs) : g ∈ Γ, s ∈ S}.Untuk g1 dan g2 di Γ, terdapat sisi berarah dari g1 ke g2jika dan hanya jika g1s = g2 untuk suatu s ∈ S.

Dengan kata lain, D =−−→Cay(Γ,S) diperoleh dari graf

Cay(Γ,S) dengan memberi arah pada setiap sisinya.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Definisi Graf Cayley (Berarah)

Fehr (2006) mendefinisikan Graf Cayley berarahD =

−−→Cay(Γ,S) = (V ,A) sebagai graf berarah yang

dibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γdan himpunan sisi berarah A = {(g,gs) : g ∈ Γ, s ∈ S}.Untuk g1 dan g2 di Γ, terdapat sisi berarah dari g1 ke g2jika dan hanya jika g1s = g2 untuk suatu s ∈ S.

Dengan kata lain, D =−−→Cay(Γ,S) diperoleh dari graf

Cay(Γ,S) dengan memberi arah pada setiap sisinya.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Contoh

Gambarkan graf Cayley dari grup Γ = Z2 ⊕ Z4 dengan Z2 = {0, 1},Z4 = {0, 1, 2, 3}, dan generator S = {(1, 0), (0, 1)}.

solusi:Z2 ⊕ Z4 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3)}. Cekketetanggaan dari setiap ttik:

(0, 0) + (1, 0) = (1, 0); (0, 0) + (0, 1) = (0, 1);(0, 1) + (1, 0) = (1, 1); (0, 1) + (0, 1) = (0, 2);(0, 2) + (1, 0) = (1, 2); (0, 2) + (0, 1) = (0, 3);(0, 3) + (1, 0) = (1, 3); (0, 3) + (0, 1) = (0, 0);(1, 0) + (1, 0) = (0, 0); (1, 0) + (0, 1) = (1, 1);(1, 1) + (1, 0) = (0, 1); (1, 1) + (0, 1) = (1, 2);(1, 2) + (1, 0) = (0, 2); (1, 2) + (0, 1) = (1, 3);(1, 3) + (1, 0) = (0, 3); (1, 3) + (0, 1) = (1, 0).

Graf Cayley−−→Cay(Z2 ⊕ Z4,S) ditunjukkan oleh Gambar 7

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Graf dan Graf BerarahGraf Cayley

Figure: Digraf Cay(Z2 ⊕ Z4,S)

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Daftar Pustaka

Daftar Pustaka

N. Biggs (1974): Algebraic Graph Theory, CambridgeUniversity, Great Britain.

R. Diestel (2005): Graduate Text in Mathematics, GraphTheory, Third Edition, Springer-Verlag, New York.

M. Fehr, S. Gosselin, O.R. Oellermann (2006): The MetricDimension of Cayley Digraphs, Discrete Mathematics 306:31-41.

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching

Graf CayleyDafar Pustaka

Daftar Pustaka

Terima Kasih

Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching