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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Gráfica de funciones

Javier Trigoso T. 1

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 2

1. Gráfica de una función

La forma más importante de representar una función es por medio de su gráfica. La gráfica de una función y = f(x) es el conjunto de todos los pares ordenados (x; y), donde x pertenece al dominio de la función e y es el valor que toma la función f en el elemento x.

Para dibujar la gráfica de una función f se hace una tabla de las coordenadas (x; f(x)) para distintos valores de la variable x en el dominio de la función. Después se representan todos esos puntos en el plano cartesiano. Si la función no tiene saltos y no representa cambios bruscos de dirección, se pueden unir todos los puntos con una línea continua, es decir, sin levantar el lapicero del papel.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 3

Prueba de la línea vertical

La gráfica de una función es una curva en el plano XY. Pero surge la pregunta: ¿todas las curvas en el plano XY son gráficas de funciones?, ¿qué curvas si lo son?Esto se contesta mediante la prueba de la línea vertical.

“Una curva en el plano cartesiano es la gráfica de una función si y sólo si ninguna línea vertical corta a la curva más de una vez”.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 4

Prueba de la línea vertical

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 5

2. Puntos de corte con los ejes

Observa las siguientes gráficas de funciones:Veras que todas cortan al eje Y en un solo punto.La primera función no corta al eje X y las otras lo cortan en uno o más puntos.

Si f(0) = b, entonces f(x) corta al eje Y en el punto (0; b)Si f(a) = 0, entonces f(x) corta al eje X en el punto (a; 0)

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 6

Ejemplos:

f(x) = 4- 2xCon el eje Y: f(0) = 4 – 2(0) = 4 Punto de corte (0; 4)Con el eje X: 4 – 2x = 0 x = 2 Punto de corte (2; 0)

g(x) = x2 - 4Con el eje Y: g(0) = 02 – 4 = -4 Punto de corte (0; -4)Con el eje X: x2 - 4 = 0 x = ±2 Puntos de corte (-2; 0) y (2; 0)

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 7

3. Crecimiento y decrecimiento

a < b f(a) < f(b)

Una función es creciente cuando al incrementarse el valor de la variable independiente x, se incrementa también el valor de la variable dependiente y.

Dada una función f y los valores a y b del dominio, f(x) será creciente sí:

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 8

3. Crecimiento y decrecimiento

a < b f(a) > f(b)

Una función es decreciente cuando al incrementarse el valor de la variable independiente x, disminuye el valor de la variable dependiente y.

Dada una función f y los valores a y b del dominio, f(x) será decreciente sí:

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 9

3. Crecimiento y decrecimiento

a < b f(a) = f(b)

Una función es constante cuando al incrementarse el valor de la variable independiente x, el valor de la variable dependiente y no varía.

Dada una función f y los valores a y b del dominio, f(x) será constante sí:

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 10

La gráfica de la figura da el peso W de una persona a la edad x. Determina los intervalos en los que la función W es creciente y en los que es decreciente.

Ejemplos:

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 11

Interpreta el crecimiento y decrecimiento de esta función

Ejemplos:

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 12

4. Máximos y mínimos relativos

Una función puede tener en un intervalo valores máximos y mínimos. En el valor máximo, la función alcanza el mayor valor y en el mínimo, el menor valor en ese intervalo.

•Se dice que la función f tiene su máximo relativo en el punto a, si:

•Se dice que la función ftiene su mínimo relativo en el punto a, si

f(a) ≥ f(x) f(a) ≤ f(x)

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 13

En la figura se muestra el consumo de energía en la ciudad de San Francisco (P se mide en megawatts; t se mide en horas a partir de la medianoche)

a) Cuándo fue mínimo el consumo de energía?

a) a) Cuándo fue máximo el consumo de energía?

Ejemplos:

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 14

5. Funciones Simétricas

• Simetría respecto del eje de ordenadas (eje Y). Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando f(x) = f(-x).Este tipo de función se llama función par.

• Simetría respecto del origen de coordenadas. Una función es simétrica respecto del origen cuando verifica que f(-x) = -f(x).Este tipo de función se llama función impar.

Estudiaremos dos tipos de simetrías:

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 15

6. Funciones Continuas y discontinuas

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no presenta puntos de discontinuidad.Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad.

Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos: •Puntos en los que la función no está definida, es decir, los puntos que no pertenecen al dominio de la función (figura 1).•Puntos en los que la gráfica presenta un salto (figura 2).

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 16

7. Funciones Periódicas

Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo. Esta propiedad las hace muy útiles para entender la multitud de fenómenos periódicos que se dan en nuestro mundo. el día, la noche, las olas del mar, los latidos del corazón,

el movimiento de la cuerda en una guitarra, todos ellos son ejemplos de fenómenos periódicos.

Una función f(x) se llama periódica de período p si cumple que

f(x + p) = f(x)

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Funciones

Javier Trigoso T. 17

7. Funciones Periódicas

Esto quiere decir que, conocido el valor de la función en un intervalo de amplitud p, se puede construir el resto de la gráfica trasladándola a la derecha y a la izquierda por todo el dominio de la función.

La gráfica de una función periódica es del tipo:

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 18

8. Algunos ejemplos

Para la función analiza las siguientes afirmaciones:

I. f(0) = 4II. La función es creciente para

III. La función tiene un máximo en x = -1

IV. f(x) ≤ 4V. f(x) ≥ -1

x ,2

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Funciones

Javier Trigoso T. 19

8. Algunos ejemplos

Observa la gráfica de g y analízala.

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Funciones

Javier Trigoso T. 20

8. Algunos ejemplos

El siguiente gráfico muestra las horas de sol en un lugar durante cinco años consecutivos.

I. Si es una función periódica, ¿cuál es su periodo?II. ¿cuáles son los intervalos de crecimiento?

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Funciones

Javier Trigoso T. 21