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Graficando Ecuaciones Lineales
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Tabla de contenidos
Graficando una ecuación lineal: -una tabla -pendiente corte-y
-punto pendiente -interseccionesRectas horizontales y verticalesRectas paralelas y perpendicularesEscribiendo ecuaciones lineales
Revisión de la gráfica
-pendiente
Escribiendo ecuaciones a partir de una dada información
Click sobre un topico para ir a esa sección
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Graficaremos sobre un Plano de coordenadas, como el que vemos a la derecha. Este también se llama Plano Cartesiano o Plano XY.
El plano está formado por la intersección del eje-x y eje-y. 2
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El eje-x es una recta horizontal (de izquierda a derecha) y el eje-y es una recta vertical (de arriba a abajo).Los ejes se intersecan en el origen.
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Para graficar un par ordenado, tal como (4, 8), comienzas en el origen (0, 0) y entonces vas a la derecha o izquierda sobre el eje-x dependiendo del primer número y luego arriba o abajo desde allí paralelo al eje-y.
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(4,8)
Por lo tanto para graficar (4,8), iremos 4 a la derecha y desde allí 8 arriba
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Teorema de Geometría:
A través de cualquiera dos puntos en un plano solo puede dibujarse una
recta.
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Dada y=3x+2, queremos graficar nuestra ecuación para mostrar todos los pares ordenados que la satisfacen.
Por lo tanto de acuerdo al teorema de geometría, necesitamos encontrar 2 puntos.
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Una forma es crear una tabla de valores.
Consideremos la ecuación y= 3x + 2.
Necesitamos encontrar pares de números x e y que hacen a esta ecuación verdadera.
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Encontremos algunos valores para y=3x+2.
Elegimos un valor para x y lo introducimos en la ecuación, luego resolvemos el valor de y x 3(x)+2 y (x,y)0 3(0)+2 2 (0,2) 2 3(2)+2 8 (2,8)-3 3(-3)+2 -7 (-3,-7)
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x 3(x)+2 y (x,y)0 3(0)+2 2 (0,2) 2 3(2)+2 8 (2,8)-3 3(-3)+2 -7 (-3,-7)
Ahora graficaremos los puntos que hemos encontrado.
¿Notas algo particular en estos puntos que hemos graficado?
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Es cierto los puntos que hemos graficado forman una línea.
El teorema dice que solo necesitamos 2 puntos, por lo tanto ¿porqué graficamos 3?
El tercer punto sirve como control.
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Graficamos y = 2x+4
x 2x+4 y (x,y)0 2(0)+4 4 (0,4)3 2(3)+4 10 (3,10)-1 2(-1)+4 2 (-1,2)
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Ahora graficas tus puntosy dibujas la recta.
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Graficamos y = -2x+1
x -2(x)+1 y (x,y)0 -2(0)+1 1 (0,1)3 -2(3)+1 -5 (3,-5)-1 -2(-1)+1 3 (-1,3)
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Ahora graficas tus puntosy dibujas la recta.
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Graficamos y = ¾x-3
x ¾(x)-3 y (x,y)0 ¾(0)-3 -3 (0,-3)4 ¾(4)-3 0 (4,0)-4 ¾(-4)-3 -6 (-4,-6)
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Ahora graficas tus puntosy dibujas la recta.
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Recordar que en el ejemplo anterior a pesar que el número delante de la x era una fracción, nuestros resultados fueron enteros.
x ¾(x)-3 y (x,y)0 ¾(0)-3 -3 (0,-3)4 ¾(4)-3 0 (4,0)-4 ¾(-4)-3 -6 (-4,-6)
Observe que los valores de x elegidos son cero,el denominador y el opuesto del denominador.
¿Porque?Moveme para saber!
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1 Dada la ecuación y = 2x-5, ¿cuánto vale y cuando x=0?
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2 Dada la ecuación y = 2x-5, ¿cuánto vale y si x es 1/2 ?
A -5B -4C -3D 2E 4
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3 ¿Qué ecuación está graficada?
A y = 4x-2B y = -1/2x-4C y = -1/2x+4D y = -2x+4E y = -2x+8
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"Pendiente" y "Posición" de una recta
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Imaginemos que tratamos de decirle a una persona como dibujar una recta en el Plano Cartesiano.
Consideremos este gráfico del plano cartesiano, también llamado plano de
coordenadas o plano XY.
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Solo necesitas unos pocos datos de la recta para describirla completamente:
· Su intersección-y (donde ésta cruza al eje-y)
"b"
· Su inclinación (cuanto sube o baja)
"m"
· y = mx + b
La ecuación de la recta
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La intersección-y ("b") de una recta es el punto donde la recta corta al eje-y.
En este caso, la intersección-y de la recta es +4.
La intersección-y
Este es el par ordenado (0,4).
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4 ¿Cuál es la intersección-y de esta recta?
b = 6Respuesta(mover)
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b = -4
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5 ¿Cuál es la intersección-y de esta recta?
Respuesta(mover)
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6 ¿Cuál es la intersección-y de esta recta?
b = 8Respuesta(mover)
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7 ¿Cuál es la intersección-x de esta recta?
(-4,0)Respuesta(mover)
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(3,0)
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8 ¿Cuál es la intersección-x de esta recta?
Respuesta(mover)
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9 ¿Cuál es la intersección-x de esta recta?
(-6,0)Respuesta(mover)
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Un infinito número de rectas pueden pasar por el mismo punto sobre el eje-y... todos ellos tienen la misma intesección-y.
Ejemplos de rectas con una intersección del eje-y de 4 se muestran en este gráfico. ¿Cuál es la diferencia entre ellas (además del color)?
Considerar esto...
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Estas rectas tienen diferentes pendientes.
La pendiente es la inclinación de la recta.
Compare la inclinación de las rectas de la derecha.
La pendiente puede pensarse como una razón de cambio.
La pendiente de la recta
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La recta roja tiene pendiente positiva, ya que la recta asciende de izquierda a derecha.
La pendiente de la rectacorre
aumenta
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La recta naranja tiene una pendiente negativa, ya que la recta decrece de izquierda a derecha.
La pendiente de la recta
bajacorre
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2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
La recta púrpura tiene una pendiente cero, ya que no sube ni baja a medida que nos movemos de izquierda a derecha sobre el eje-x.
La pendiente de la recta
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-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
La pendiente de la recta
La recta negra es una recta vertical. Tiene una pendiente indefinida, ya que no corre para ningún lado a medida que nos movemos abajo hacia arriba en el eje-y.
aumento0 = indefinido
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10 ¿La pendiente de los siguientes gráficos es positiva, negativa, cero o indefinida?
A positivaB negativaC cero
D indefinida2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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11 ¿La pendiente de los siguientes gráficos es positiva, negativa, cero o indefinida?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
A positiva
B negativa
C cero
D indefinida
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12 ¿La pendiente de los siguientes gráficos es positiva, negativa, cero o indefinida?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
A positiva
B negativa
C cero
D indefinida
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13 ¿La pendiente de los siguientes gráficos es positiva, negativa, cero o indefinida?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
A positiva
B negativa
C cero
D indefinida
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14 ¿La pendiente de los siguientes gráficos es positiva, negativa, cero o indefinida?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
A positiva
B negativa
C cero
D indefinida
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15 ¿La pendiente de los siguientes gráficos es positiva, negativa, cero o indefinida?
2
4
6
8
10
-2
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-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
A positiva
B negativa
C cero
D indefinida
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16 ¿La pendiente de los siguientes gráficos es positiva, negativa, cero o indefinida?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
A positiva
B negativa
C cero
D indefinida
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Slide 46 / 158
17 ¿La pendiente de los siguientes gráficos es positiva, negativa, cero o indefinida?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
A positiva
B negativa
C cero
D indefinida
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Slide 47 / 158
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
Mientras que nosotros podemos ver si la pendiente de la recta es positiva, negativa o cero...también necesitamos determinar cuánto vale la pendiente...tenemos que medir la pendiente de la recta.
Medición de la pendiente de la recta
sube
corre
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Slide 48 / 158
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
La pendiente de la recta es la rezón entre lo que sube sobre lo que corre.
El símbolo para la pendiente es "m".
Por lo tanto la formula para la pendiente es:
Medición de la pendiente de la recta
sube
corrre
pendiente =subecorre
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Slide 49 / 158
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
La pendiente de la recta es la misma en cualquier parte, por lo tanto podrá medirse en cualquier parte sobre la recta.
Medición de la pendiente de la recta
sube
corre
pendiente =subecorre
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Slide 50 / 158
2
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6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
Por ejemplo, es este caso medimos la pendiente usando un movimiento de x = 0 a x = +6: ana corrida de 6.
Durante este desplazamiento, la recto sube de y = 0 a y = 8: una subida de 8.
Medición de la pendiente de la recta
sube
corre
m = 86
m = 43
pendiente =subecorre
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Slide 51 / 158
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
Pero obtenemos el mismo resultado con un desplazamiento de x = 0 a x = +3: una corrida de 3.
Durante este desplazamiento la recta sube de y = 0 a y = 4: una subida de 4.
Medición de la pendiente de la recta
sube
corre
m = 43
pendiente =subecorre
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Slide 52 / 158
Pero podemos empezar de x = 3 y corrernos a x = 6 : una corrida de 3.
Durante este desplazamiento la recta sube de y = 3 a y = 7: una subida de 4.
Medición de la pendiente de la recta
sube
corre
m = 43
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
pendiente = subecorre
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Slide 53 / 158
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
Pero podemos comenzar de x = -6 y corrernos a x = 0: una corrida de 6.
Durante este desplazamiento, la recta sube de y = -8 ay = 0: una subida de 8.
Medición de la pendiente de la recta
baja
corre
m = 86
m = 43
pendiente =subecorre
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Slide 54 / 158
18 ¿Cuál es la pendiente de esta recta?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 55 / 158
19 ¿Cuál es la pendiente de esta recta?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 56 / 158
20 ¿Cuál es la pendiente de esta recta?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 57 / 158
21 ¿Cuál es la pendiente de esta recta?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 58 / 158
22 ¿Cuál es la pendiente de esta recta?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 59 / 158
23 ¿Cuál es la pendiente de esta recta?
A -20B 0C 20D indefinida
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 60 / 158
Posición de una recta
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
![Page 61: Graficando Ecuaciones Linealescontent.njctl.org/courses/common-core-math-espanol/algebra-i/... · Graficando una ecuación lineal:-una tabla-pendiente corte-y-punto pendiente -intersecciones](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052408/5f071c7c7e708231d41b5c82/html5/thumbnails/61.jpg)
Slide 61 / 158
La inclinación es la misma, pero la posición cambia.
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
h(x)=x+6
q(x)=x+2
r(x)=x-1 s(x)=x-5
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Slide 62 / 158
Rectas de la forma y = mx+b.
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Slide 63 / 158
Por lo tanto es b en y = x + b el responsable de la posición de la recta.
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
h(x)=x+6
q(x)=x+2r(x)=x-1 s(x)=x-5
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Slide 64 / 158
¿Qué determina la pendiente?
Examine las siguientes ecuaciones:
y = 2x + 1 y = 3x + 1
y = -1/2 x + 1 y = -x + 1
¿Qué tienen las ecuaciones en común?
¿Qué de diferente?
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Slide 65 / 158
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
y=-7x+1
y=-1/2x+1
y=1
y=x+1y=-3x+1
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Slide 66 / 158
Cualquier ecuación de la forma y = mx + b da una recta donde
b es la intersección con el eje y
m es la pendiente
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Slide 67 / 158
24 ¿Cuál es la ecuación representada en el gráfico?
A y = -6x-6B y = -1x+6C y = 6x+6D y = x-6
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 68 / 158
25 ¿Cuál es la ecuación representada en el gráfico?
A y = 4xB y = x+4C y = 4D y = x
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 69 / 158
26 ¿Cuál es la ecuación representada en el gráfico?
A
B
C
D
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 70 / 158
27 ¿Cuál es la ecuación representada en el gráfico?
A
B
C
D
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
![Page 71: Graficando Ecuaciones Linealescontent.njctl.org/courses/common-core-math-espanol/algebra-i/... · Graficando una ecuación lineal:-una tabla-pendiente corte-y-punto pendiente -intersecciones](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052408/5f071c7c7e708231d41b5c82/html5/thumbnails/71.jpg)
Slide 71 / 158
28 ¿Cuál es la ecuación representada en el gráfico?
A y = 10x+10B y = -2x+10C y = 5x+10D y = -5x+10
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 72 / 158
29 ¿Qué gráfico representa y = 3x-2?
A recta AB recta BC recta CD recta D
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
AB
C
D
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Slide 73 / 158
30 ¿Qué gráfico representa y = -1/2x+3?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
AB
C
D
A recta A
B recta B
C recta C
D recta D
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31 ¿Qué gráfico representa
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
AB
C D
A recta A
B recta B
C recta C
D recta D
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La pendiente es "el aumento a medida que nos corremos" en una recta.
Esta idea del aumento a medida que nos corremos sobre la recta en un gráfico es como hemos podido determinar la pendiente de la recta.
Pero podemos encontrarla de otras formas además de "mirar" en el gráfico.
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Slide 77 / 158
La pendiente es la razón de cambio en y y (aumento) dividido por el cambio en x(corremos). pendiente= =
Una recta tiene una razón de cambio constante:Un incremento constante
Un decremento constante
No cambia, solo constante
Nuestra pendiente indefinida
aumentacorremos
cambio en ycambio en x
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Otra aplicación de la definición de pendiente
La pendiente de una recta nos indica la medida de que tan rápido estamos escalando o descendiendo.
Una ruta pude escalar 1 m por cada 10 m de distancia horizontal.
10 m
1 m
La razón, 1/10, la cual llamamos pendiente, es una medida de la inclinación de la montaña. Los ingenieros le llaman a este uso de la pendiente grado.
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Slide 79 / 158
Pendiente de 3/20
20 m
3 m
3 m
7 m
pendiente de -3/7(El grado de esta montaña es 3/20 = .15= 15%)
(El grado de esta montaña es 3/7 = .43= 43%)
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Entonces podemos definir la pendiente de una recta como:
pendiente = cambio vertical entre dos puntos de la recta
cambio horizontal entre dos puntos de la recta
(sube)
(corre)
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Slide 81 / 158
Suponer que el punto P = (x1, y1) y Q = (x2, y2) están sobre la recta cuya pendiente queremos encontrar.
Q(x2,y2)
P(x1,y1)
x
y
(x2,y1)Cambio horizontal(x2-x1)
Cambiovertical (y2-y1)
Pendiente de la recta PQ=(y2-y1)(x2-x1)
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El cambio vertical entre P y Q = y2 - y1
El cambio horizontal = x2 - x1
y2 - y1x2 - x1
pendiente =
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32 ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por A(-2,1) y B(3,-1)?
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Slide 84 / 158
33 ¿Cuál es la pendiente de la recta MN si M(1,7) y N(3,-4)?
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Slide 85 / 158
34 ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene a (-1,7) y (3,-7)?
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Slide 86 / 158
La formula de la pendiente se puede usar para encontrar la constante de cambio en problemas del "mundo real".
Cuando viajamos por una autopista, el conductor puede fijar el control crucero y viajar a una velocidad constante, esto significa que la distancia recorrida se incrementa de manera constante.
E gráfico de la derecha representa este viaje. El auto paso por la marca del km 60 luego de 1 hora y paso por la marca del km 180 a las 3 horas. Encontrar la pendiente de la recta y su significado.
m= = =
La pendiente de la recta es 60 y la rezón de cambio del auto es 60 km por hora.
180 km-60 km3 horas-1 horas
120 km2 horas
60 kmhoras
Tiempo(horas)
Distancia(km)
(1,60)
(3,180)
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Slide 87 / 158
Si un auto pasa por la marca de km 100 en 2 horas y por la marca de km 200 en 4 horas, ¿a cuantos km por hora está viajando el auto?
m= = =200 km- 100 km4 horas -2 horas
100km2 horas
50 kmhora
Use la información para escribir los pares ordenados (2,100) y (4,200).
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Slide 88 / 158
35 Si un auto pasa por la marca del km 90 en 1,5 horas y por la marca del km 150 en 3,5 horas, ¿A cuántos kilómetros por hora está viajando el auto?
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36 ¿A cuantos metros por segundo está corriendo una persona si está a los 10 metros en 3 segundo y a los 100 metros en 15 segundos?
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Gráficos usando la ecuación de la recta punto pendiente
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Slide 91 / 158
La ecuación punto pendiente para la recta esy - y1 = m (x - x1)donde m es la pendiente y(x1,y1) es un punto de la recta.
(x1,y1) puede graficarse y luego aplicando m, podemos graficar un segundo punto. Luego la recta que contiene todos los (x,y) podrá graficarse.
1) Graficamos (x,y)2) Desde este punto, usando la pendiente (m) graficar el segundo punto.3)Graficar la recta que pasa por estos 2 puntos.
Esta recta representa todos los puntos que son solución de la ecuación.
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Slide 92 / 158
La ecuación punto punto pendiente para la recta esy - y1 = m (x - x1)donde m es la pendiente y(x1,y1) es un punto de la recta.
Tenga en cuanta que los signos de (x1,y1) están cambiados en la fórmula.
Dada la ecuación y - 3 = 2 (x + 7)la recta pasapor (-7,3) y su pendiente es 2.
Ahora podemos realizar el gráfico
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
21
(-7,3)
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Slide 93 / 158
Dada la ecuación y +4 = 1/3 (x +2)Determinar un punto de la recta y la pendiente.
El punto de la recta es (-2,-4) y la pendiente es 1/3.
Graficamos la rectas que representa la ecuación.
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 94 / 158
Dada la ecuación y -1 = 2/5 (x +5)Determinar un punto sobre la recta y la pendiente.
El punto de la recta es (-5,1) y la pendiente es 2/5.
Graficamos la recta que representa la ecuación.
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 95 / 158
Dada la ecuación y = 5(x -1)Determinar un punto de la recta y la pendiente.
El punto de la recta es (1,0) y la pendiente es 5
Ahora graficamos la recta.
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 96 / 158
37 ¿Cuál es la pendiente de y-3 = 4(x+2)?
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Slide 97 / 158
38 ¿Cuál es el punto que pertenece a la recta y-3 = 4(x+2)?
A (-3,2)B (3,-2)C (2,-3)D (-2,3)
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Slide 98 / 158
39 ¿Cuáles son la pendiente y el punto que pertenece a la recta y+5 = -3(x-4)?
A m=-3; (4,-5)B m=-3; (-4,5)C m=3; (4,-5)D m=3; (-4,5)
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Slide 99 / 158
40 ¿Cuáles son la pendiente y el punto que pertenece a la recta y-1 = 1/3(x)?
A m=1/3; (-1,0)B m= -1/3; (0,-1)C m=1/3; (0,1)D m es indefinida; (0,1)
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Slide 100 / 158
41 ¿Cuál es la recta que representa a y+5 = -3(x-4)?
A recta AB recta BC recta CD recta D
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
AB
CD
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Slide 101 / 158
42 ¿Cuál es la recta que representa a y+1 = -(x + 5)?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
A B
C
D
12
A recta A
B recta B
C recta C
D recta D
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Slide 102 / 158
43 ¿Cuál es la recta que representa a y - 6 = 3(x + 4)?
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
A
B
C
D
A recta A
B recta B
C recta C
D recta D
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Slide 103 / 158
Podemos graficar una recta usando las intersecciones con los ejes x e y.
La técnica de usar las intersecciones funciona bien cuando la ecuación está escrita en la forma general. La forma general es la siguiente
Ax + By = C, Donde A, B, y C son enteros y A>0.
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Slide 105 / 158
Para graficar una recta, necesitamos dos puntos.
Dos puntos especiales que la mayoría de las rectas tienen son las intersecciones con los ejes x e y.
La intersección con el eje x está sobre el eje x y le corresponde el par ordenado (x,0).
La intersección con el eje y está sobre el eje y y le corresponde el par ordenado (0,y).
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Slide 106 / 158
La intersección con el eje x está sobre el eje x y tiene el par ordenado (x,0). Para encontrar x sustituimos a y por 0 y resolvemos.
La intersección y está sobre el eje y tiene el par ordenado (0,y). Para encontrar la intersección y sustituimos a x por 0 y resolvemos.
Ejemplo: 3x+5y=15intersección-x: reemplazamos y=0 en: 3x+5(0)=15 3x+0=15 3x=15 x=5 por lo tanto la intersección-x es (5,0)
intersección-y: reemplazamos x=0 en: 3(0)+5y=15 0+5y=15 5y=15 y=3 por lo tanto la intersección-y es (0,3)
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Slide 107 / 158
Dada la ecuación 4x-3y=12Encontrar la intersección-x.
Intersección-x: reemplazamos y=0:4x-3(0)=12 4x=12 x=3 por lo tanto la intersección-x es (3,0)
Encontrar la intersección-y.
intersección-y: reemplazamos x=0:4(0)-3y=12 -3y=12 y=-4 por lo tanto la intersección-y es (0-4)
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Slide 108 / 158
Dada la ecuación 4x-3y=12 encontramos que la intersección- x es (3,0) y la intersección-y es (0,-4).
Graficamos estas intersecciones y entonces la recta que pasa a través de ellas.
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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¿Cuales son las intersecciones x e y de le recta 5x-2y=10 ?
intersección-x: tenemos y=0 5x-2(0)=10 5x=10 x=2 entonces la intersección-x es (2,0)
intersección-y: tenemos x=0 5(0)-2y=10 -2y=10 y=-5 entonces la intersección-y es (0,-5)
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¿Cuales son las intersecciones x e y de le recta y=3x-9?
intersección-x: tenemos y=0 0=3x-9 9=3x 3=x por lo tanto la intersección-x es (3,0)
intersección-y: tenemos x=0 y=3(0)-9 y=-9 por lo tanto la intersección-y es (0,-9)
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44 Dada la ecuación y = 1/2x-7, ¿cuánto vale x cuando y=0?
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45 Dada la ecuación y = 1/2x-7, ¿cuánto vale y cuando x=0?
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46 Dada la ecuación y-3 = 4(x+2), ¿cuánto vale x cuando y=0?
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47 Dada la ecuación y-3 = 4(x+2), ¿cuánto vale y cuando x=0?
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Nivel del marx(m)
h(m)40
00 m
.
0
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Torre de Control
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Una recta VERTICAL va hacia "arriba y abajo".tiene por ecuación x=a número,la intersección-x. Observar que no está y en la ecuación.
Un ejemplo de una recta vertical x=3
recta horizontaly=2
Una recta HORIZONTAL va hacia "los lados".tiene por ecuación y=a número,la intersección-y. Observar que no está x en la ecuación.
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Un ejemplo de recta vertical x=3
recta horizontaly=2
Una recta horizontal tiene pendiente 0,opuesto a una recta vertical que tienen pendiente indefinida
2 puntos de la recta horizontal son (0,2) y (5,2): m= = =0
2 puntos de la recta vertical son(3,4) y (3,9): m= = =indefinido porque no podemos dividir por 0.
2-20-5
0-5
4-93-3
-5 0
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48 Es la siguiente una ecuación de una recta vertical, una recta horizontal, ninguna, o no podemos determinarlo: y=4
A VerticalB HorizontalC NingunaD No se puede determinar
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49 Es la siguiente una ecuación de una recta vertical, una recta horizontal, ninguna, o no podemos determinarlo: x+2y = 9
A VerticalB HorizontalC NingunaD No podemos determinarlo
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50 Es la siguiente una ecuación de una recta vertical, una recta horizontal, ninguna, o no podemos determinarlo: x = -23
A VerticalB HorizontalC NingunaD No podemos determinarlo
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51 Es la siguiente una ecuación de una recta vertical, una recta horizontal, ninguna, o no podemos determinarlo: 2x-3 = 0
A VerticalB HorizontalC NingunaD No podemos determinarlo
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52 ¿En cuál de los siguientes gráficos no podemos usar el método de graficar a través de las intersecciones?Hay más de una respuesta.
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
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53 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no puede graficarse usando el método de las intersecciones? Hay varias respuestas.
A y=3B y-2 = 1/2(x+9)C y = -3xD x = -4E y = 4x+7F 3x - 4y =12G x = 2y -8
H y=xI 2y = 8x-6
J y+4 = (x+1)
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Las rectas de la derecha son rectas paralelas. Observe que sus pendiente son todas las mismas.
Todas las rectas paralelas tiene iguales pendientes porque si cambiaran a diferentes razones eventualmente se intersecarían.
Esta también es cierto para rectas horizontales y verticales.
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
h(x)=x+6
q(x)=x+2r(x)=x-1 s(x)=x-5
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54 ¿Cuál es la recta paralela a y = -3x-17?
A y = -3x+1B y = 1/3xC y = 5D x = 2
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55 ¿Cuál es la recta paralela a y = 0?
A y = -3x+1B y = 1/3xC y = 5D x = 2
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56 ¿Cuál es la recta paralela a y + 1 = -3(x-6)?
A y = -3x+1B y = 1/3xC y = 5D x = 2
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En el diagrama las dos rectas forman un ángulo recto, cuando esto sucede decimos que las rectas son perpendiculares.Observe sus pendientes. Esta vez no son las mismas sin embargo son opuestas y recíprocas -3x1/3 = -1.
h(x)=-3x-11
g(x)=1/3x-2
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Slide 133 / 158
A) y=4x-2 es perpendicular a
B) y=-1/5x+1 es perpendicular a
C) y-2=-1/4(x-3) es perpendicular a
D) 5x-y=8 es perpendicular a
E) y=1/6x es perpendicular a
F) y-9=-5(x-.4) es perpendicular a
G) y=-6(x+2) es perpendicular a
Banco de ecuaciones perpendiculares
y=1/6x-6
y=-1/4x-3y=4x+1
6x+y=10
1/5y=x-2
y=-1/5x+9
y=1/5x
(Arrastrar la ecuación para completar el enunciado.)
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La regla de usar el opuesto y recíproco no funciona para rectas horizontales y verticales.
¿Por qué?Las rectas horizontales tienen pendiente cero. No podemos calcular el opuesto y recíproco de 0.Pero la recta perpendicular para una recta vertical es horizontal y viceversa.
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57 ¿Cuál es la recta perpendicular y = -3x+2 ?
A y = -3x+1B y = 1/3xC y = 5D x = 2
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Slide 136 / 158
58 ¿Cuál es la recta perpendicular y+2 = -3(x-6) ?
A y = -3x+1B y = 1/3xC y = 5D x = 2
![Page 137: Graficando Ecuaciones Linealescontent.njctl.org/courses/common-core-math-espanol/algebra-i/... · Graficando una ecuación lineal:-una tabla-pendiente corte-y-punto pendiente -intersecciones](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052408/5f071c7c7e708231d41b5c82/html5/thumbnails/137.jpg)
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59 ¿Cuál es la recta perpendicular y = 0 ?
A y = -3x+1B y = 1/3xC y = 5D x = 2
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2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
Nosotros damos el gráfico de la derecha y preguntamos por la ecuación para esta recta.
Comenzamos eligiendo el tipo de ecuación que vamos a usar.
En este caso y=mx+b funcinará bien.
Necesitamos encontrar m(la pendiente) y b (la intersección-y). El gráfico muestra una intersección-y de 4 y "la relación desciende corre" es 2, por lo tanto y=2x+4 es la ecuación.
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Escribir la ecuación para cada recta graficada.
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
Ejemplo 1 Ejemplo 2
y=x y=1/5x+4Moverpara la
respuesta
Moverpara la
respuesta
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Escribir la ecuación para cada recta graficada.
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
Ejemplo 1 Ejemplo 2
y=-2x-4 y=2
Moverpara la
respuesta
Moverpara la
respuesta
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Slide 142 / 158
60 ¿Cuál es la ecuación de la recta graficada?
A y = 3x-1B y = 3xC y = 3x+1D y = 1/3x-1E y = 1/3xF y = 1/3x+1
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 143 / 158
61 ¿Cuál es la ecuación de la recta graficada?
A y = 3x-1B y = 3xC y = 3x+1D y = 1/3x-1E y = 1/3xF y = 1/3x+1
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Slide 144 / 158
62 ¿Cuál es la ecuación de la recta graficada?
A y = 3x-1B y = 3xC y = 3x+1D y = 1/3x-1E y = 1/3xF y = 1/3x+1
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 0
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Escribiendo ecuaciones a partir de una información
dada.Volver a la tabla de contenidos
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Slide 146 / 158
Al escribir una ecuación en la forma punto pendiente: Primero encontramos la pendiente: -La pendiente puede darse: por ejemplo "la pendiente es" o "m=" -dados dos puntos, use la formula: m= -dada una recta paralela, usar la misma pendiente -dada una recta perpendicular, la pendiente será opuesta y recíproca Luego de encontrar la pendiente usamos un punto de la recta para escribir la ecuación.
Si las indicaciones se dan de diferente forma, como y=mx+b, la convertimos a la forma deseada.
y2-y1x2 -x1
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Slide 147 / 158
Escribir la ecuación de la recta de pendiente 1/2 y que pasa por el punto (2,5).
solución: La pendiente se da, por lo que m=1/2 entonces la ecuación es y-5=1/2(x-2).
Ya que no se pide una forma específica para la ecuación, esta sería aceptable.
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Escribir la ecuación de la recta de pendiente -3 que pasa por el punto (1,2) en la forma pendiente intersección-y.
Solución: La pendiente se da, por lo que m=-3. Una ecuación de la recta es y-2=-3(x-1). Se pide por la ecuación de la forma y=mx+b por lo tanto necesitamos convertir nuestra ecuación. y-2=-3(x-1) y-2=-3x+3 y=-3x+5 es la ecuación de la recta en la forma solicitada.
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Escribir la ecuación de la recta que pasa por(5,6) y (7,1).
Solución: Usamos la fórmula de la pendiente: m = = Una ecuación de la recta es:
y-6= (x-5)
1-6 -5 7-5 2
-5 2
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Escribir la ecuación de la recta que pasa por (3,1) y (4,5) en la forma general.
Solución: Usamos la fórmula de la pendiente: m= = =4
Una ecuación de la recta es y-1=4(x-3) Se pide por la forma general, por lo tanto necesitamos convertir la ecuación. y-1=4(x-3) y-1=4x-12 -4x+y-1=-12 -4x+y=-11 4x-y=11
5-14-3
41
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Escribir la ecuación de la recta con una intersección-x de 5 y una intersección-y de 10.
Solución: Ya que se dan dos puntos usamos la fórmula para la pendiente. Los puntos son (5,0) y (0,10).
m = = = -2.
Una ecuación de la recta es y=-2(x-5) Nota: y-10=-2x trabajamos para convertir ambas a y=-2x+10.
10-0 0-5
10-5
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Escribir la ecuación de la recta que pasa por (4,1) y es paralela a la recta y=3x-6.
Solución: Ya que las rectas paralelas tienen la misma pendiente, la pendiente de la recta que estamos buscando es 3. Una ecuación de la recta es y-1=3(x-4).
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Escribir la ecuación de la recta que pasa por (-3,-2) y es perpendicular a y=-4/5x+1 en la forma pendiente intersección-y.
Solución: Ya que las rectas son perpendiculares,nuestra recta tiene una pendiente de 5/4. Una ecuación de la recta es y+2=5/4(x+3). Ya que se pide por la forma y=mx+b debemos convertirla. y+2=5/4(x+3) y+2=5/4x+15/4 y=5/4x+15/4-2 y=5/4x+15/4-8/4 y=5/4x+7
4
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63 ¿Cuál es la ecuación de la recta con pendiente de -3 y pasa por el punto (1,-4)?
A y-4 = -3(x+1)B y+4 = 3(x-1)C y+4 = -3(x-1)D y+4 = -3(x+1)
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64 ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (1,3) y (2,5) en la forma pendiente intersección-y?
A y-3 = 2(x-1)B y = 2x+1C y-5 = 2(x-2)D y = 2x+3
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65 ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (-2,5) y es perpendicular a y-7 = -1/3(x+9)?
A y-5 = -1/3(x+2)B y-5 = -3(x+2)C y-5 = 3(x-2)D y-5 = 3(x+2)
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En esta unidad se cubrieron los siguientes tópicos:
Graficar ecuaciones lineales: -una tabla -pendiente intersección-y
-punto pendiente -interseccionesRectas horizontales y verticalesRectas paralelas y perpendicularesEscribir ecuaciones lineales
Revisión de gráficos
-pendiente
Escribir ecuaciones a partir de una información dada
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