1

GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY

Bryły czyli figury przestrzenne dzielimy na:

graniastosłupy

ostrosłupy

bryły obrotowe

Graniastosłupy i ostrosłupy nazywamy wielościanami

Graniastosłupy mają dwie podstawy, a ich ściany boczne mają kształt prostokątów.

Nazwa składa się ze słowa graniastosłup i słowa informującego, jaka figura jest w podstawie.

Przykładowo: graniastosłup trójkątny to graniastosłup, który w podstawie ma trójkąt;

graniastosłup czworokątny to graniastosłup, który w podstawie ma czworokąt itp.

RYSUJEMY w rzucie, co znaczy, że na rysunku, niektóre figury wyglądają na inne niż są w rzeczywistości – szczególnie

jeżeli są to figury podstaw – wtedy:

- gdy mamy w podstawie jakikolwiek trójkąt rysujemy trójkąt niski, z wierzchołkiem przechylonym w jedną stronę;

- gdy mamy w podstawie jakikolwiek czworokąt rysujemy go jako równoległobok albo romb.

Krawędzie normalnie niewidoczne, rysujemy liniami przerywanymi.

Tworząc nazwy, czasem używamy też słowa: „prawidłowy”. Przykładowo: graniastosłup

prawidłowy trójkątny. Bryła prawidłowa to taka, która ma w podstawie figurę foremną (taką,

która ma boki tej samej długości i kąty tej samej miary – trójkątem foremnym jest trójkąt

równoboczny, czworokątem foremnym jest kwadrat itp.)

Graniastosłup prawidłowy trójkątny będzie więc miał w podstawie trójkąt równoboczny.

Ponadto, dwa graniastosłupy mają nazwy specjalne:

- prostopadłościan – to graniastosłup, który ma w podstawie prostokąt,

- sześcian – wszystkie jego ściany i podstawy mają kształt identycznych kwadratów.

2

Ostrosłupy mają jedną podstawę, a ich ściany zbiegają się w jednym wierzchołku i mają

kształt trójkątów.

Nazwy tworzymy tak samo, jak nazwy graniastosłupów. Przykładowo:

ostrosłup trójkątny to ostrosłup, który w podstawie ma trójkąt; ostrosłup czworokątny to

ostrosłup, który w podstawie ma czworokąt itp.

Ostrosłupy prawidłowe, podobnie jak graniastosłupy, mają w podstawie figurę foremną.

Przykładowo: ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat.

Ponadto, jeden ostrosłup ma nazwę specjalną:

- czworościan foremny – to ostrosłup, którego wszystkie ściany i podstawa są identycznymi

trójkątami równobocznymi.

Odcinki w wielościanach

3

Odpowiednie odcinki w graniastosłupach i ostrosłupach maja swoje nazwy:

- boki podstaw nazywamy krawędziami podstawy ( na zielono),

- pozostałe krawędzie bryły nazywamy krawędziami ścian bocznych (na czerwono),

Wysokość graniastosłupa (H) jest równa długości krawędzi bocznych, wysokość ostrosłupa

(H) (na niebiesko) to odcinek opuszczony z wierzchołka, prostopadle na podstawę:

Przykład:

POLE POWIERZCHI GRANIASTOSŁUPÓW I OSTROSŁUPÓW

Wzór na pole powierzchni wielościanów jest wzorem ogólnym. Mając do czynienia z

konkretną figurą należy go sprecyzować.

Wzory ogólne dla graniastosłupów i ostrosłupów mają postać:

Graniastosłupy: Ostrosłupy:

gdzie: pole powierzchni całkowitej

pole podstawy

pole powierzchni bocznej – jest sumą pól ścian bocznych

By ułatwić sobie precyzowanie wzorów, należy narysować rysunek poglądowy i oznaczyć

poszczególne elementy brył. Następnie zamiast symbolu Pp zapisujemy wzór na pole

podstawy, którego postać będzie różna w zależności od tego, jaką figurę mamy w

podstawie. Zamiast Pb zapisujemy wzory na pola poszczególnych ścian(prostokątów w

przypadku graniastosłupa i trójkątów w przypadku ostrosłupa). Jeżeli mamy dwie lub więcej

takich samych ścian, wzór na pole zapisujemy tylko raz i mnożymy przez ich ilość.

Przykłady:

- prostopadłościan

4

- ostrosłup prawidłowy czworokątny

Wzór na pole powierzchni sześcianu jest na tyle prosty, że można nauczyć się go na pamięć,

jednak gdybyśmy zapomnieli, można zawsze stworzyć go od podstaw, tak jak wzór na pole

powierzchni innych brył:

Gdy już zapiszemy wzór dla konkretnej bryły, wystarczy podstawić dane i wykonać

obliczenia.

Przykład:

5

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi

podstawy 6cm i wysokości 10cm.

dane:

wzór:

OBJĘTOŚĆ GRANIASTOSŁUPÓW I OSTROSŁUPÓW

Wzory na objętość brył podobnie, jak na pole powierzchni całkowitej, mają charakter ogólny i

należy je precyzować, gdy mamy do czynienia z konkretną bryłą.

Wzory ogólne dla graniastosłupów i ostrosłupów mają postać:

6

Graniastosłupy: Ostrosłupy:

gdzie: objętość

pole podstawy

wysokość

Precyzowanie wzorów dla konkretnych brył, wygląda tak samo, jak w przypadku pola

powierzchni całkowitej.

Przykład:

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, o krawędzi podstawy 3cm i

wysokości 5cm.

dane:

wzór:

Objętość otrzymujemy w jednostkach sześciennych.

ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI:

1. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu o krawędzi 10cm.

7

2. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość prostopadłościanu o długości 7cm,

szerokości 4cm i wysokości 12cm.

3. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa prawidłowego

trójkątnego o wysokości 6cm i krawędzi podstawy o długości 4cm.

8

4. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego

czworokątnego o krawędzi podstawy 6cm, wysokości 4cm i wysokości ściany bocznej

o długości 5cm.

5. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, jeżeli krawędź jego

podstawy ma długość 9cm, a przekątna ściany bocznej ma długość 15cm.

9

6. Oblicz objętość sześcianu, jeżeli przekątna jego podstawy ma długość 8cm.

7. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi √ , a wysokość

ściany bocznej ma długość 3cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły.

10

8. Oblicz objętość prostopadłościanu, o wymiarach: 5cm x 0,3dm x 40mm.

9. Oblicz wysokość ostrosłupa, który ma w podstawie trójkąt prostokątny o

przyprostokątnych 10cm i 3cm, jeżeli jego objętość wynosi 35 .

11

10. Objętość sześciu identycznych sześcianów wynosi 48 . Oblicz długość krawędzi

sześcianu.