Graphische Rechentafeln (Nomogramme) flit die Berechnung der gnnzen rationalen Funktion.

Von ALEXANDER ~ISCHER (in Prag}.

Uobersieht. -- Es wivd~ wJder Hercenzieh~ng der einfachsten Hil fsmit te l der Nomographie, die B i ld~ng der ganzel~ rationo~len Fu~,ktion sowohl im reetle~ als auch hn komplexen Bereich a u f ~,omographisch-graphischem Weg gezeigt.

In den bekannteren Lehrbt ichern der prakt ischen Analysis werden zur

zeichnerischen Bildung der ganzen rat ionalen Funkt ion die Verfahren yon

I. A. v. SEO~E]:~ und E. LILL. allenfalls die Veral lgemeinerung und A_us-

dehnung des letzteren auf des komplexe Gebiet durch C. RUNGE behandelt .

In einer ve t einiger Zeit ersehienenen Arbeit gibt ferner H. BEK~IA:~ (1)I*) eine Vereinfachung des v. SEG~'Ensehen Verfahrens. Ich m0chte nun im fob genden eine wohl noeh einfachere, auf nomographisoher Grundlage beruhende

Behandlungsweise der ganzen rat ionalen Funkt ion

{I'} y , ~ a o x ~ -t- (Qx ~-~ q - ... + ( t , _ i x ~.- (G~

mitteilen, die den Vorzug hat, auch auf die komplexe Funktion

(I") ~v, : aoZ" + c , S ~-~ + ... + a , , _ ~ z + a,,

(mit komplexem Argmnent und komplexen Koeffizienten) ausgedehnt werden zu kSnnen. Sie geht yon der, sowohl dem v. S E O ~ E R - bzw. B E ~ I A ~ - - , als

aueh dem LII~Lsehen Verfahren gemeinsmnen Zerlegung der Gleiehung {I')in die Gleichungskette

(II'} y,,+~ ---- y, ,x ~ - a~+,

(v = 0 , 1 , . . . , n - - 1, Yo ~ ao) aus. ~) R e e l l e s Gebiet : Hier wird die einfache Gestalt yon (II'} benutzt, um

dutch abwechselnde Anwendung der t ibereinandergelagerten Tafeln fiir die beiden, schon in j edem einftihrenden Lehrbuch der Nomographie ausfilhrlich

(*) Die Zahlen in Ktammern beziehen sich auf den Schriftennachweis am Ende der A.rbeit.

282 A. FISCHER: Graphische Rechentafelu (Nomogramme)

behandelten, einfaehsten ~ kanonisehen Formen >~

(a) f,(x,) + f~(x~) -~- f~(x~) (b) f~(x,) .-=- f~tx,~f:,(x~O

die Gleichung (I') in Form eines einzigen ununterbrochenen Linienzuges zu

bilden. Abb. 1 zeigt die zu beachtende Vorzeichenwahl bei der Verquickung

f(x,)=f.(x? f~(x,)

÷

-i -i

x~

t

J

Abb. I

beider Formen. Die Abb. 2, die das BEISPIEL

y~ = x 2 -I- 2x - - 3

fttr ~ = 2 zeigt, dtlrfte dureh Ango.be der Schritte wohl sofort verstlt~ndlich

werden. SGHRITT 1: Bildung yon a,,(~ y0) auf der a'echten Leiter.

SO~RI~T 2 : Bildung yon - - a0x auf der l inken Leiter (Verwendung yon (b)).

SO~RI~T 3: Bildung you y, auf der rechten Leiter gem~ss - -aox-+-y , : a ~

(Verwendung yon (a)). So~ I~T 4: Bildung yon - - y , x auf der t inken Leiter (Verwendung yon (b)).

SCHRI~T 5 : Bildung yon y~ auf der rechten Leiter gemfi,ss - - y~x + y~. = a 2

tVerwendung yon (a)). Die linke Lei ter dient u lso bloss als << Zapfenlinie >>, tri~gt d~her keine

LeiteL'. Fiihrt man tins in Abb. 2 dargestel]te Nomogramm auf durchsiehtigem

Papier oder Zellhorn aus und bringt ftir versehiedene Werte yon x die ent-

sprechenden y -W er t e tiber die zugeh0rigen x -Wer te (Millimeterpapier als Grundblatt!), so kann die so entstehende verzerrte y -Kurve ohneweiteres z. B.

zur zeichnerischen LSsung der Gleiehung y , ~ 0 verwendet werden. ~) Komplex~es Gebiet: Da die Bildung yon (I ' )aus ( I I ' ) re in forma~ler Natur

ist, gilt sie insbesondere auch fa r komplexes Argument und ebensolche

['itr die Berechm~,nff der ganzen rationale-n Funktion 283

Koeffizienten. Es sei

.~ ,= ao~z*% a~,E'~-'+..--÷ am ~ X+a.,n.

(-a.oaC

(-E, x

,..., 6

5

3

/

/ //

/ / - ' /5

,z, (t=o,t,z..m /

/?/~< / / / /

/ / / 1 -

/ / ~ x

5 (ys)

(y,)

3 1 ~[t(i=O'l"2--r~') 2~ .l (yo)

-1

- 2

- 3

- 5

~6

- 7

- 8

Beispi~_l : y2=ac%2x-3 fSr x = 2 : E2 =5

Abb. 2

Dann ergibt die zu (II') analoge Gleichungskette

(II") w~+, ~ u~+, + iv,~+~ -~ (u~ + i%){~ + @) + ~+~ + i~+~

das Gleichungskettenpaar

Dies ist behufs nomographischer Verwertung folgendermassen zu sehreiben:

Hierin sind ~, und ~.~ Zapfenwerte auf den beztiglichen Zapfenlinien.

Anncelt di Matemat ica~ Ser ie I V , Tomo X I I i . 37

284 A. F~sc~E~: G,r(~phische Rechentafeln (Nomogramme)

Bei der Bildung yon u~+~ ist so vorzugehen: {s. Abb. 3a)

ScK~T~ 1 : Bildung yon - - vsq an[ der l inken Leiter (Verwenduag yon (b)). Sc~t~T~ 2: Bildung yon ~ gemass: ~ - - ~ - - v ~ ) q -~+~ auf der Zapfen.

linie ~ (Verwendung yon (a)).

-v,,"q I

-v~

Uv÷~

~ 7

v

~2

A.bb. 3

Son:~I~ 3 : Bi tdung yon - - ~,~ auf der linken Lei ter (Verwendung yon (b)).

SC~RI~ 4: Bildung yon u,~+, unter Benutzung yon ~'~ auf der reehten

Lei ter (Verwendung yon (a)). Ganz analog ist v~+~ zu bilden tAbb. 3b). Hierbei ist j edoch die zu be-

nutzende ~q-Leiter zu <~ verziffern ~, d. h , urn die Gr0sse u ~ s innentsprechend zu bilden, sind positive und negative Wer te der frtiheren ~q-Leiter zu ver-

tauschen. Zu diesem Behufe sind die beiden ~-Lei te rn mit den Zeigern (u)

bzw. (v), also ~(u) und ~(~) versehen worden. Wie leicht ersichtlieh~ kann die Bildung yon u~,_~ und v~+~, also schliess-

lich yon w,,, in einer Tafel erfolgen, da die ~ nnd ~(~)-Leitern zusammen- fallen, daher auf dem einen Ufer der waagrechten Mittelleiter P]atz linden,

wahrend deren zweites die ~%~)-Leiter tra, gt. Wie ersichtlich~ ist auch hier

die linke Lei ter bloss Zapfenlinie.

Abb. 4 zeigt das Beispiel:

w, ~ (2 -t- i}z + 3 d- 2i

ftlr z ~ 1 2i. Es ergibt sich : ~v, == 3 -~- 7i. Anmerkungen: 1) Der Gedanke, die Nomographie mit dem gew~ihnlichen

<< Graphischen Rechnen >> ztt koppeln, ist im vorliegenden Fall nicht neu.

Vgl. hierzu (5), S. 254 und 286 (Verfahren yon FARID BOULAD). Wie ieh in einigen Arbeiten (2), (31, (4) zeigen konnte~ ist diese auf nomographiseher

fi~.r die Berechnung der ganzen rat ionalen F u n M i o n 285

Grundlage beruhende ~Veiterbildung des gew~ihnlichen << Graphisehen Rech-

hens ~,, die ieh mit dem ~:amen << Nolnographiseh-graphisches Rechnen >> belegt habe und f~ir die sich iibrigens insbesondere in den technisehen Wis-

senschaften versehiedene Sonderfalle vorfinden, eine sehr wesentl iche Erwei-

,'~z~ = a . o Z ~ + ~ z ~ ' % .+a~, . . ,z÷a u .

w.÷ = u , . . , + i , v . , f v = 0 . 1 , 2 , . n - l )

J / i j

/ )

/ /

/ / /

J[61. I:

>z2 j4s

, I L v . ~ ,U¢**

o ' s L , ~ - ~ -

-2

-3

-O

-5

3etsptel: w : ( 2 + i ) z +(3+2i) f ~ ' r z = l + 2 i : W,=3+?i

&bb. 4:

ternng der Nomographie. Es ist daher in diesem Sinne die yon M. D' OGA@_NE (6) vorgeschlagene Eintei lung der geometrischen und mechanisehen Rechenver-

[ahren dutch einen, zwischen Punkt 4 (Caleul nomographique) und 5 (Caleul nomom6ea,nique) einzusehaltenden weiteren Punkt ~ Caleul nomographogra- phique ~> zu vervollst';i,ndigen.

2) ~r ie nor kurz erwlihnt sei, kann das Vorstehende ohne wesentl iche Sehwierigkei ten auch ftir kompliziertere derart ige Fa.1]e, ferner z. B. zur

Summenbi ldung unendl icher Reihen auf nomographisch-graphischem WeRe herangezogen werden, worauf aber nieht weiter eingegangen sei.

286 A . F I S C H E R : Gr(tighische Rechentafel.,~ (No,~wgram,tne)

S C H R I F T T U M

1 - [ [ , B E H M A N N ~ Z~tr graphischen Behandlung der ganzen rationalen Funktion. ,~ Z. f. ange- w a n d t e ]YJ[ath. u. M e c h a n i k )~, 11 (1931), H. 6, S. 463.

"2 - A. FJSCHER~ Ueber eine Ann, endung des nomographisch-graThischen Rechne~s au f eiq~e Aufgabe aus der technischen Sch~vingungslehre. ,, H D I - M i t t e i l u n g e n d e s H ~ u p t v e r - e i n e s deuCscher I n g e n i e u r e in d e r T s c h e c h o s l o w a k i s c h e n Re]?. ~ 1932, t~. 1~.

3 - A. FISC~Eu, Gra,phische Ermitttung dcr Scheinleistungsdauerlinie. ( Z u s c h r i f t ~ur g l e i c h n a - m i g e n A r b e i f y o n H. KuNzE) . ~ E l e k t r o t e c h n i k u. M a . s c h i n e n b a u ~, 1932, I-I. 45.

4 - A. FISCHER~ Ueber dces aIlgemeine ,~ Integ~'alrelief), zur nomographisch-gra~hischen LSsung von Rand~vertaufgaben ge~,Shnliche~" linearer Differentialgteichu~gen 2. Ordnung. das reelle Gege~sti4ck zum ,, Sinus.und Tangensrelief in der Elektrotech~ik ~, y o n FRv, 'z EMD~, ~ I - I D I - M i t t . ~, 1933~ I-I. 1/2.

5 - M. D ~ OC,~G~E~ Calcul graphique et :¥omographie~ 3e dd., P a r i s , 19"2~. 6 - M. D~0CAGnE, Le Calcul simplifid par les procddds mdcaniques et g~'aphiques~ 3 e d d ,

P a r i s : 1928.