green
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Funcion de GreenTRANSCRIPT
comoPONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISOINSTITUTO DE MATEMTICAS
Nombre: Ral Carrasco Vargas Profesores: Sebastin Ossandn Jos Klenner Asignatura: MAT 148 Fecha: 04/03/10
Todos los fenmenos electromagnticos clsicos (no cunticos) se pueden describir a partir de las ecuaciones de Maxwell:
en las unidades correspondientes al sistema internacional, donde:
: Campo elctrico en volts/m,: Campo magntico en amperes/m, La densidad del flujo elctrico en coulombs/m,: La densidad del ujo magntico en webers/ m,: La densidad de corriente en amperes/m, y La densidad de carga en coulombs/m.
Estos campos conforman el campo electromagntico. Las dos ecuaciones del rotor (Faraday y Maxwell-Ampre) aseguran que hay una dependencia mutua entre campos elctricos y magnticos variables en el tiempo, de manera que en este caso ambos campos estn interrelacionados. Slo en el caso de campos estticos (que no varan en el tiempo) campo elctrico y magntico son independientes entre s.
Todas las cantidades que intervienen en las ecuaciones de Maxwell se describen, entonces y en general, como funciones de la posicin espacial y del tiempo.
Este es un conjunto de ecuaciones diferenciales vectoriales lineales acopladas inhomogneas. En general su resolucin es bastante difcil, por lo que se presentan modelos simplificados que permitan soluciones sencillas. Una primera propiedad que se deduce de las ecuaciones de Maxwell es que las fuentes de campo (cargas y corrientes) estn generalmente ligadas entre s.
Si tomamos la divergencia de la ley de Maxwell-Ampre obtenemos:
Pero la divergencia de un rotor siempre es cero, con lo que queda:
La expresin del primer miembro dice que hay que realizar primero la derivada temporal de D y luego las derivadas espaciales. Pero como el tiempo y las variables espaciales son independientes entre s se puede cambiar el orden de la derivacin:
Y usando la ley de Gauss elctrica para escribir:
nos queda la llamada ecuacin de continuidad:
Todas las cantidades que intervienen en las ecuaciones de Maxwell se describen, entonces y en general, como funciones de la posicin espacial y del tiempo.
Planteamiento del problema
Tenemos en 3. La permitividad dielctrica y la permeabilidad magntica estn dadas por:
z > 0() = z < 0
z > 0) = z < 0
y el nmero de onda por:
z > 0) = z < 0
El campo elctrico y magntico se descomponen anlogamente como la permitividad, segn la regin de ubicacin:
z > 0) = z < 0
z > 0) = z < 0
Digamos que la dupla (E;H) es el campo electromagntico producido y descrito en prrafos anteriores, esta campo electromagntico satisface las siguientes ecuaciones
Funcin escalar de Green
Encontrar la funcin de Green escalar (TM/TE) es esencial para formular las funciones de Green didicas.Derivaremos una frmula explcita para las funciones escalares de Green , para y solucin de la siguiente ecuacin diferencial:
)
y cuyas condiciones de borde estn dadas por:
en z=0
para la transversal magntica (TM), y
en z=0
para la transversal elctrica (TE).Consideramos tambin la condicin de radiacin, dada por:
Lm =0()!1
Tomando la Transformada bi-dimensional de Fourier de en las variables x e y para luego obtener la siguiente
Donde = + y , con vectores cannicos enR.Las condiciones de borde en Fourier estn dadas por:
en z=0
y en z=0
y representan la transformada de fourier de respectiva- mente. El nmero posee distintos comportamientos segn el signo de z, debido a ello definiremos de manera conveniente las siguientes expresiones:
y :
Luego encontramos que si z > 0 si z < 0
Los coeficientes ; i = 1, 2 dependen si es positivo o negativo y si > o < .Denotaremos por a la funcin para > 0, y para otro caso se denotar por . Tomando en cuenta la condicin de radiacin y las condiciones de borde llegamos finalmente a:
Para > 0
, para z > 0 , para z < 0
Y para < 0 , para z > 0 , para z < 0
donde
Y para > 0 , para z > 0 , para z < 0
Y para < 0 , para z > 0 , para z < 0
donde
Para concluir, la funcin de Green es obtenida a travs de su transformada de Fourier inversa dada por:
Donde
Funciones de Green espectral y
La funcin de Green espacial asociada al campo elctrico y generada por una fuente elctrica, satisface la ecuacin diferencial dada por:
Con las siguientes condiciones iniciales:
en z = 0
en z = 0
Se realiz el calculo de la funcin de Green mediante la utilizacin de los potenciales y esta representacin presenta un problema, ya que al aplicar los operadores diferenciales sobre los modos transversales surge una singularidad dada por la presencia de la funcin escalar de Green en estos modos. Este problema puede ser abordado descomponiendo la funcin de Green de la siguiente manera: =
Usando la transformada de Fourier, de la descomposicin realizada arriba llegamos a la funcin de Green espectral como
+
donde representa la variable de Fourier.
Para determinar la funcin de Green asociada al espacio libre debemos recordar que el campo elctrico es solucin de las ecuaciones de Maxwell en la presencia de una fuente . Hallando tal funcin , se llega a:
=g
Donde I es la matriz identidad y la funcin escalar de Green gest dada por:
g
Calculamos las expresiones para el caso de la funcin de Green de reflexin y para el caso de la funcin de Green de transmisin. Utilizamos la transformada de Fourier bi-dimensional, as obtenemos la funcin de Green espectral.
Usando siguiente identidad para hallar la funcin espectral
+
Donde y -
As
Y los modos para la reflexin estn dados por:
Para el clculo de , usamos la siguiente identidad:
Donde
=
Luego la funcin de Green est dada por:
Donde los modos transversales asociados a la transmisin, son:
Calculamos la funcin de Green asociada al campo magntico producido por esta fuente J1. Dada la descomposicin de la funcin de Green realizada en anteriormente, y considerando que es calculada como el rotor de esta, obtenemos la siguiente descomposicin:
=
Anlogamente y usando la transformada de Fourier, de la descomposicin realizada arriba llegamos a la funcin de Green espectral como
+
Calculamos ,
=
=
=
Funciones de Green espectral y
Si consideramos una fuente magntica m1, esta produce un campo electromagntico con caractersticas similares a las producidas por una fuente elctrica. De manera similar a la seccin anterior, el clculo del campo magntico y del campo elctrico se reduce al clculo de las funciones de Green asociadas a dichos campos, digamos y , respectivamente.La funcin de Green satisface la siguiente ecuacin:
Y la funcin de Green relacionada con el campo elctrico producido por la fuente magntica m1 se calcula simplemente como el rotor de , en otras palabras:
R.
Con las siguientes condiciones iniciales:
en z = 0
en z = 0
Por el principio de dualidad relacionamos los modos transversales TM y TE de la siguiente manera:
Anlogamente al caso anterior descomponemos por regiones:
Anlogamente y usando la transformada de Fourier, de la descomposicin realizada arriba llegamos a la funcin de Green espectral como
+
Llegamos a funciones de Green didicas:
=
Reemplazando y
=
=
=
=
Reemplazando y
=
y, adems,
=
Reemplazando y
Reemplazando
Ahora usando Para llevar a cabo tal propsito utilizaremos la transformada de Fourier bi-dimensional, que nos permite obtener las funciones de Green espectrales:
Para la regin 1:
Y para la regin 2:
Donde
Revisin script.
function C=calculus(n)%esta funcion permite calcular la matriz de lectura para una curva de nivel de la bola de centro (0,0,-20)a=sqrt(100-(n-1)^2); % a=%x=linspace(-a,(99*a-a)/100 ); x= -sqrt(100-(n-1)^2):0.2:sqrt(100-(n-1)^2)-0.2; % x= -a:0.2:a-0.2
A(:,1)= -x';A(:,2)=sqrt(100-(n-1)^2-x.^2)';A(:,3)= -20;B(:,1)= x';B(:,2)= -A(:,2);B(:,3)= A(:,3);
C=[A;B];X=A(:,1);Y=A(:,2);Z=B(:,3);plot3(X,Y,Z);axis([-10 10 -10 10]);
Las ltimas cinco lneas del programa, fueron agregadas para generar la grfica de la curva de nivel
Probamos con n=1a=x= -10:0.2:9.8
Corroboramos con
>> calculus(1)
function Y=cambio(x)s=size(x);for i=1:s(1) for j=1:s(2) Y(j,i)=x(i,j); endend
Probamos con el vector x = [1 2 3 4 5 6 7];
>> x=[1 2 3 4 5 6 7];>> cambio(x)
ans =
1 2 3 4 5 6 7
Este programa calcula xt
function derivadatest(x)f=x.^2;gradient(f,0.1)
Probamos con el vector x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
>> x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
>> derivadatest(x)
ans =
Columns 1 through 7
10.0000 20.0000 40.0000 60.0000 80.0000 100.0000 120.0000
Columns 8 through 11
140.0000 160.0000 180.0000 190.0000
function D=cambioper(A,sx,sy,sz)for i=1:sz for j=1:sy for k=1:sx D(j+(i-1)*sy,k)=A(j,(i-1)*sx+k); end endend
>> A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12];
>> cambioper(A,2,2,2)
ans =
1 2 5 6 3 4 7 8
>> cambioper(A,1,1,1)
ans =
1
>> cambioper(A,3,3,3)??? Index exceeds matrix dimensions.
>> A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12;13 14 15 16]
>> cambioper(A,2,2,2)
ans =
1 2 5 6 3 4 7 8
>> cambioper(A,3,3,3)??? Index exceeds matrix dimensions.
function y=expo(x)y=exp(x);
>> s=[1 2 3 4 5]>>expo(s)
ans =
2.7183 7.3891 20.0855 54.5982 148.4132
function expotest(k,N)
t=linspace(0,3,N);Ts=t(2)-t(1);Ws=2*pi/Ts;W=(Ws/N)*(0:N/2);s=size(W);for i=1:s(2)We(i)=W(i)^2;gee(i)=(i*We(i)*0.009*exp(i*sqrt(k-4-We(i))))/(sqrt(k-4-We(i)));end
fgee=(1/Ts)*gee;iF=ifft(fgee);plot(We,abs(iF))
>>expotest(2,20)
>> expotest(1,10)
function funcion(t,k)h=size(t);g=size(k);for i=1:h(2) for j=1:g(2) f(i,j)=t(i)*k(j); end g=ifft(f); % es la transformada de Fourier discreta inversa de fendg
>> t=[1 3]>> k=[2 4]>> funcion(t,k)
g =
3 -1
function y=gauss(x)y=(1+x.^2).^(-1);
>> x=linspace(-50,50,300);>> plot(x,gauss(x));
function f=funtest(x,y,z)f=x.^2+2*y.^2+z;
>> x=linspace(-10,10,20);>> y=linspace(-10,10,20);>> z=linspace(-10,10,20);
>> funtest(x,y,z)
ans =
Columns 1 through 7
290.0000 231.2188 179.0859 133.6011 94.7645 62.5762 37.0360
Columns 8 through 14
18.1440 5.9003 0.3047 1.3573 9.0582 23.4072 44.4044
Columns 15 through 20
72.0499 106.3435 147.2853 194.8753 249.1136 310.0000
function graffunc1(n)%esta funcion tiene por objetivo graficar la funcion de bessel j_0 por un%factor F(modo transveral) sobre k_ro(variable de integracion).
%constantese_0=8.8541878176*10^(-12);e_1=e_0;e_2=4*e_0;u_0=4*pi*10^(-7);u_1=u_0;u_2=u_0;r=[1 0 1];r1=[0 1 1];r_s=[r(1) r(2)];r1_s=[r1(1) r1(2)];w_0=2*pi*100;k_1=w_0*sqrt(e_0*u_0);k_2=w_0*sqrt(e_1*e_2);
%variables
x=(0.0001:0.0001:n);
k_1z=sqrt((k_1)^2-x.^2);k_2z=sqrt((k_2)^2-x.^2);RTM=(e_2*k_1z-(e_1*k_2z))/(e_2*k_1z+e_1*k_2z);RTE=(u_2*k_1z-(u_1*k_2z))/(u_2*k_1z+u_1*k_2z);
%funciones(modos)
FTE=-(1+RTE.*exp(i.*k_1z*(r(3)+r1(3))));FTM=-(1+RTM.*exp(i.*k_1z*(r(3)+r1(3))));
%funciones a graficar
f=(1./(k_1z.*x)).*besselj(0,norm(r_s-r1_s,2)*x).*FTE;g=(1./(k_1z.*x)).*besselj(0,norm(r_s-r1_s,2)*x).*FTM;s=size(x);s(2);ff=f(s(2));
f;g;%trapz(x,f)
%disp(fprintf('el valor de la funcion f es',ff));%disp(fprintf('el valor de la funcion g es',g(s(2))));plot(x,abs(f));figureplot(x,abs(g));
Lneas en rojo fueron agregadas para probar el programa, obtenindose los grficos de la funcin f y g respectivamente:
function intTE=funcionintTE(a,b,c,xp,yp,zp)%esta funcion tiene por objetivo calcular las funciones g^TE, g^TM en un%punto r, r1, sobre un vector que parte de un numero cerca del cero hasta % n. El metodo es el de los trapecios para resolver las integrales%involucradas. [a,n] es el intervalo de integracion
%constantese_0=8.8541878176*10^(-12);e_1=e_0;e_2=40*e_0;u_0=4*pi*10^(-7);u_1=u_0;u_2=u_0;r=[a b c];rp=[xp yp zp];r_s=[r(1) r(2)];rp_s=[rp(1) rp(2)];w_0=2*pi*100;k_1=w_0*sqrt(e_1*u_1);k_2=w_0*sqrt(e_2*u_2);
%variables
x=(1*10^-4:1*10^-3:1);
k_1z=sqrt((k_1)^2-x.^2);k_2z=sqrt((k_2)^2-x.^2);
RTE=(u_2*k_1z-(u_1*k_2z))./(u_2*k_1z+u_1*k_2z);
%funcion(modoTE)
FTE=(exp(i*k_1z*norm(r(3)-rp(3)))+RTE.*exp(i.*k_1z*(r(3)+rp(3))));
%funcion del integrando
gTE=(1./(k_1z.*x)).*besselj(0,norm(r_s-rp_s,2)*x).*FTE;
s=size(x);s(2);
%separa en parte real y parte imaginaria.
for j=1:s(2) imaggTE(j)=imag(gTE(j)); realgTE(j)=real(gTE(j)); end
ggTEimag=(i/(4*pi))*imaggTE*i;ggTEreal=(i/(4*pi))*realgTE;intTE=trapz(x,ggTEimag)+trapz(x,ggTEreal);
>> funcionintTE(1,3,4,1,1,1)
ans =
4.1082e+003
Revisin
Caractersticas del medio a simular
%constantes
e_0=8.8541878176*10^(-12); Permitividad dielctrica en el vaco [F/m] e_1=e_0; Permitividad dielctrica si z>0, pg. 9* e_2=40*e_0; Permitividad dielctrica si z0, pg. 9u_2=u_0; Permeabilidad magntica si z0, pg. 10k_2=w_0*sqrt(e_2*u_2); : Nmero de onda para z > funcionint(1,3,4,1,1,1)
ans =
1.0e+003 *
-4.1082 -7.9825
function funciondegreen
while 1 rp=input('**Ingrese la posicion de la fuente en forma de vector fila [a b c]\n'); breakendwhile 1 r=input('**Ingrese la posicion de lectura en forma de vector fila [a b c]\n'); break end
if r(3)>0 & rp(3)>0
Gyzxz=Gradientxzyz(r,rp);Gxxxx=Gradientxxxx(r,rp);Gyyyy=Gradientyyyy(r,rp);Gxxyy=Gradientxxyy(r,rp);Gyzyz=Gradientyzyz(r,rp);Gxzxz=Gradientxzxz(r,rp);Gyyyz=Gradientyyyz(r,rp);Gxzyy=Gradientxzyy(r,rp);Gyzxx=Gradientyzxx(r,rp);Gyy=Gradientyy(r,rp);Gyx=Gradientyx(r,rp);Gxy=Gradientxy(r,rp);Gxx=Gradientxx(r,rp);Gxzxx=Gradientxxxz(r,rp);
GREEN= -[Gyy(5,2) -Gxy(5,2) 0; -Gxy(5,2) Gxx(5,2) 0; 0 0 0]+[Gxzxz(5,2) -Gyzxz(5,2) Gxzyy(5,2)-Gxzxx(5,2) ;-Gyzxz(5,2) Gyzyz(5,2) -Gyyyz(5,2)+Gyzxx(5,2); Gxzyy(5,2)-Gxzxx(5,2) -Gyyyz(5,2)+Gyzxx(5,2) Gyyyy(5,2)+Gxxxx(5,2)-2*Gxxyy(5,2)];
fprintf('el valor de la funcion de green en el punto deseado es %12.5f\n')GREENend
if r(3)0 Gxzxzk12=GradientxzxzmpMk12(r,rp);Gyy=GradientyympM(r,rp);Gyx=GradientyxmpM(r,rp);Gxx=GradientxxmpM(r,rp);Gyzxzk12=GradientxzyzmpMk12(r,rp);Gyzyzk12=GradientyzyzmpMk12(r,rp);Gxzxx=GradientxxxzmpM(r,rp);Gxzxxk12=GradientxxxzmpMk12(r,rp);Gxzyy=GradientxzyympM(r,rp);Gxzyyk12=GradientxzyympMk12(r,rp);Gyyyz=GradientyyyzmpM(r,rp);Gyyyzk12=GradientyyyzmpMk12(r,rp);Gyzxxk12=GradientyzxxmpMk12(r,rp);Gxxxx=GradientxxxxmpM(r,rp);Gyyyy=GradientyyyympM(r,rp);Gxxyy=GradientxxyympM(r,rp);Gyzxx=GradientyzxxmpM(r,rp);Gxy=GradientyxmpM(r,rp);
GREEN= -[Gyy(5,2) -Gxy(5,2) 0; Gxy(5,2) Gxx(5,2) 0; 0 0 0]+[Gxzxzk12(5,2) -Gyzxzk12(5,2) Gxzyy(5,2)-Gxzxx(5,2) ;Gyzxzk12(5,2) -Gyzyzk12(5,2) -Gyyyz(5,2)+Gyzxx(5,2); -Gxzyyk12(5,2)+Gxzxxk12(5,2) Gyyyzk12(5,2)-Gyzxxk12(5,2) Gyyyy(5,2)+Gxxxx(5,2)-2*Gxxyy(5,2)];
fprintf('el valor de la funcion de green en el punto deseado es %12.5f\n')GREENend
if r(3)>0 & rp(3)> funciondegreen**Ingrese la posicion de la fuente en forma de vector fila [a b c][2 5 3]**Ingrese la posicion de lectura en forma de vector fila [a b c][7 3 3]el valor de la funcion de green en el punto deseado es GREEN =
0.0062 0.0058 0 0.0058 -0.0003 -0.0763 0 -0.0763 -0.0003
Con estos ejemplos comprobamos la simetra de la matriz.
function Graddx=Gradientx(x,y,z,xp,yp,zp)
sx=size(x);sy=size(y);sz=size(z);if sx==1 a=x; b=y; c=z; x=xp; y=yp; z=zp; xp=a; yp=b; zp=c; sx=size(x); sy=size(y); sz=size(z);end
for i=1:sz(2) for j=1:sy(2) for k=1:sx(2) fdx(k)= funcionintTE(x(k),y(j),z(i),xp,yp,zp); end Gra(j,:)=gradient(fdx,0.1); end for h=1:sy(2) Graddx(sy(2)*(i-1)+ h,:)=Gra(h,:); endend
>> gradientx(1,0,1,1,1,0)ans = 0>> gradientx(1,1,1,1,1,0)ans = 0>> gradientx(1,1,1,1,0,1)ans = 0>> gradientx(2,1,1,1,0,1)ans = 0>> gradientx(2,1,5,1,0,1)ans = 0
Revisamos el script funciondegreen. m por partes
Aqu rp=[xp yp zp]; La posicin de la fuente en forma de vector r=[a b c]; La posicin de lectura en forma de vector
Para la siguiente condicin r(3)>0 & rp(3)>0
Se calculan
Gyzxz=Gradientxzyz(r,rp);Gxxxx=Gradientxxxx(r,rp);Gyyyy=Gradientyyyy(r,rp);Gxxyy=Gradientxxyy(r,rp);Gyzyz=Gradientyzyz(r,rp);Gxzxz=Gradientxzxz(r,rp);Gyyyz=Gradientyyyz(r,rp);Gxzxx=Gradientxxxz(r,rp);Gxzyy=Gradientxzyy(r,rp);Gyzxx=Gradientyzxx(r,rp);Gyy=Gradientyy(r,rp);Gyx=Gradientyx(r,rp);Gxy=Gradientxy(r,rp);Gxx=Gradientxx(r,rp);
Elegimos r=[1 0 3] y rp=[ 0 0 7] y calculamos:
Gyzxz =
0.0074 -0.0037 0.0036 0.0036 -0.0000 -0.0038 -0.0038 0.0037 -0.0073 0.0074 -0.0037 0.0036 0.0036 -0.0000 -0.0038 -0.0038 0.0037 -0.0073 0.0074 -0.0037 0.0036 0.0036 -0.0000 -0.0038 -0.0038 0.0037 -0.0073
Gxxxx =
1.0e-016 *
-0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 0.4337 0.4337 0.4337 0.4337 0.4337 0.4337 0.4337 0.4337 0.4337 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000
Gyyyy =
1.0e-016 *
-0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337 -0.4337
Gxxyy =
0.0001 0.0024 0.0023 0.0001 0.0024 0.0023 0.0001 0.0024 0.0023 -0.0024 -0.0001 0.0022 -0.0024 -0.0001 0.0022 -0.0024 -0.0001 0.0022 -0.0023 -0.0022 0.0001 -0.0023 -0.0022 0.0001 -0.0023 -0.0022 0.0001
Gyzyz =
0.0013 0.0072 0.0059 -0.0066 0.0013 0.0065 -0.0072 -0.0059 0.0013 0.0013 0.0071 0.0058 -0.0064 0.0013 0.0064 -0.0070 -0.0058 0.0013 0.0013 0.0070 0.0057 -0.0063 0.0012 0.0063 -0.0069 -0.0057 0.0013
Gxzxz =
-0.0002 0.0036 0.0038 -0.0037 -0.0002 0.0037 -0.0036 -0.0038 -0.0002 -0.0002 0.0036 0.0038 -0.0037 -0.0002 0.0037 -0.0036 -0.0038 -0.0002 -0.0002 0.0036 0.0038 -0.0037 -0.0002 0.0037 -0.0036 -0.0038 -0.0002
Gyyyz =
0.0591 -0.0232 -0.0620 0.0230 0.0655 0.0424 -0.0689 -0.0423 0.0718 0.0580 -0.0227 -0.0609 0.0225 0.0643 0.0416 -0.0676 -0.0415 0.0705 0.0569 -0.0223 -0.0597 0.0221 0.0630 0.0408 -0.0664 -0.0407 0.0691
Gxzyy =
0.2031 -0.1014 0.1997 0.2979 -0.1964 0.2912 0.1931 -0.0950 0.1896 0.1993 -0.0995 0.1959 0.2923 -0.1928 0.2858 0.1895 -0.0932 0.1861 0.1955 -0.0976 0.1922 0.2868 -0.1891 0.2803 0.1859 -0.0914 0.1826
Gyzxx =
-0.9539 1.9493 1.0767 -1.8883 -0.0956 2.0400 -0.8871 -1.9786 1.0108 -0.9360 1.9129 1.0566 -1.8529 -0.0939 2.0019 -0.8705 -1.9417 0.9920 -0.9181 1.8764 1.0365 -1.8176 -0.0921 1.9639 -0.8538 -1.9047 0.9731
Gyy =
-0.0049 -0.0049 -0.0049 -0.0049 -0.0049 -0.0049 -0.0049 -0.0049 -0.0049 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0047
Gyx =
-0.0000 -0.0000 -0.0000 0 0 0 0.0011 0.0011 0.0012 0.0011 0.0011 0.0012 0 0 0 0.0010 0.0011 0.0011 0.0010 0.0011 0.0011 0 0 0 0.0000 0.0000 0.0000
Gxy =
1.0e-004 *
-0.1157 -0.1214 -0.5053 0 0 0 0.1157 0.1214 0.5053 -0.4965 -0.1148 -0.4856 0 0 0 0.4965 0.1148 0.4856 -0.4773 -0.1087 -0.1138 0 0 0 0.4773 0.1087 0.1138
Gxx =
-0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0047 -0.0046 -0.0046 -0.0046 -0.0046 -0.0046 -0.0046 -0.0046 -0.0046 -0.0046
Gxzxx =
-0.2028 -0.1076 0.1935 0.1078 -0.1964 0.0886 0.1993 -0.0888 -0.1900 -0.1990 -0.1056 0.1899 0.1057 -0.1928 0.0870 0.1956 -0.0871 -0.1865 -0.1952 -0.1036 0.1862 0.1037 -0.1891 0.0853 0.1919 -0.0855 -0.1829
Para la condicin r(3)0
Se calculan
Gxzxzk12=GradientxzxzmpMk12(r,rp);Gyy=GradientyympM(r,rp);Gyx=GradientyxmpM(r,rp);Gxx=GradientxxmpM(r,rp);Gyzxzk12=GradientxzyzmpMk12(r,rp);Gyzyzk12=GradientyzyzmpMk12(r,rp);Gxzxx=GradientxxxzmpM(r,rp);Gxzxxk12=GradientxxxzmpMk12(r,rp);Gxzyy=GradientxzyympM(r,rp);Gxzyyk12=GradientxzyympMk12(r,rp);Gyyyz=GradientyyyzmpM(r,rp);Gyyyzk12=GradientyyyzmpMk12(r,rp);Gyzxxk12=GradientyzxxmpMk12(r,rp);Gxxxx=GradientxxxxmpM(r,rp);Gyyyy=GradientyyyympM(r,rp);Gxxyy=GradientxxyympM(r,rp);Gyzxx=GradientyzxxmpM(r,rp);Gxy=GradientyxmpM(r,rp);
Elegimos r=[1 0 -5] y rp=[ 0 0 2] y calculamos:
Gxzxzk12 =
1.0e+011 *
-0.0627 + 0.0000i 1.1388 + 0.0000i 1.2011 - 0.0000i -1.1709 -0.0702 + 0.0000i 1.1633 -1.1308 - 0.0000i -1.1939 + 0.0000i -0.0627 + 0.0000i -0.0627 + 0.0000i 1.1388 + 0.0000i 1.2011 -1.1709 - 0.0000i -0.0702 1.1633 + 0.0000i -1.1308 -1.1939 + 0.0000i -0.0627 + 0.0000i -0.0627 1.1388 + 0.0000i 1.2011 + 0.0000i -1.1709 - 0.0000i -0.0702 - 0.0000i 1.1633 + 0.0000i -1.1308 + 0.0000i -1.1939 -0.0627
Gyy =
1.0e+006 *
-2.2809 - 0.2289i -2.2393 - 0.2247i -2.1939 - 0.2201i -2.2809 - 0.2289i -2.2393 - 0.2247i -2.1939 - 0.2201i -2.2809 - 0.2289i -2.2393 - 0.2247i -2.1939 - 0.2201i -2.2923 -2.2505 -2.2050 -2.2923 -2.2505 -2.2050 -2.2923 -2.2505 -2.2050 -2.2809 + 0.2289i -2.2393 + 0.2247i -2.1939 + 0.2201i -2.2809 + 0.2289i -2.2393 + 0.2247i -2.1939 + 0.2201i -2.2809 + 0.2289i -2.2393 + 0.2247i -2.1939 + 0.2201i
Gyx =
1.0e+005 *
-0.4159 - 0.0417i 0 0.4159 + 0.0417i -0.4347 - 0.0436i 0 0.4347 + 0.0436i 0.2652 - 1.1234i 0 -0.2652 + 1.1234i 0.2829 - 1.1006i 0 -0.2829 + 1.1006i -0.4369 0 0.4369 0.1517 - 1.1443i 0 -0.1517 + 1.1443i 0.1716 - 1.1234i 0 -0.1716 + 1.1234i -0.4347 + 0.0436i 0 0.4347 - 0.0436i -0.4534 + 0.0455i 0 0.4534 - 0.0455i
Gxx =
1.0e+006 *
-1.8026 - 0.1809i -1.8026 - 0.1809i -1.8026 - 0.1809i -1.8045 - 0.1810i -1.8045 - 0.1810i -1.8045 - 0.1810i -1.8026 - 0.1809i -1.8026 - 0.1809i -1.8026 - 0.1809i -1.8116 -1.8116 -1.8116 -1.8135 -1.8135 -1.8135 -1.8116 -1.8116 -1.8116 -1.8026 + 0.1809i -1.8026 + 0.1809i -1.8026 + 0.1809i -1.8045 + 0.1810i -1.8045 + 0.1810i -1.8045 + 0.1810i -1.8026 + 0.1809i -1.8026 + 0.1809i -1.8026 + 0.1809i
Gyzxzk12 =
1.0e+011 *
2.3395 + 0.0000i -1.1633 1.1308 + 0.0000i 1.1312 + 0.0000i -0.0000 -1.2014 + 0.0000i -1.2011 + 0.0000i 1.1709 -2.3243 + 0.0000i 2.3395 + 0.0000i -1.1633 - 0.0000i 1.1308 1.1312 + 0.0000i -0.0000 -1.2014 + 0.0000i -1.2011 1.1709 + 0.0000i -2.3243 + 0.0000i 2.3395 + 0.0000i -1.1633 - 0.0000i 1.1308 - 0.0000i 1.1312 -0.0000 -1.2014 - 0.0000i -1.2011 - 0.0000i 1.1709 + 0.0000i -2.3243 + 0.0000i
Gyzyzk12 =
1.0e+010 *
-0.7929 + 0.0000i -4.3245 + 0.0000i -3.5352 - 0.0000i 3.9280 -0.7025 + 0.0000i -3.8525 4.2377 - 0.0000i 3.4711 + 0.0000i -0.7626 + 0.0000i -0.7929 -4.3245 - 0.0000i -3.5352 3.9280 + 0.0000i -0.7025 -3.8525 4.2377 3.4711 + 0.0000i -0.7626 + 0.0000i -0.7929 - 0.0000i -4.3245 - 0.0000i -3.5352 + 0.0000i 3.9280 + 0.0000i -0.7025 - 0.0000i -3.8525 4.2377 + 0.0000i 3.4711 -0.7626
Gxzxx =
1.0e+012 *
0.1201 - 2.4009i 0.0632 - 1.2627i -0.1155 + 2.3077i -0.0636 + 1.2703i 0.1167 - 2.3322i -0.0530 + 1.0597i -0.1179 + 2.3552i 0.0534 - 1.0673i 0.1131 - 2.2605i 0 - 2.4009i 0 - 1.2627i 0 + 2.3077i 0 + 1.2703i 0 - 2.3322i 0 + 1.0597i 0 + 2.3552i 0 - 1.0673i 0 - 2.2605i -0.1201 - 2.4009i -0.0632 - 1.2627i 0.1155 + 2.3077i 0.0636 + 1.2703i -0.1167 - 2.3322i 0.0530 + 1.0597i 0.1179 + 2.3552i -0.0534 - 1.0673i -0.1131 - 2.2605i
Gxzxxk12 =
1.0e+012 *
-0.1201 + 2.4009i -0.0632 + 1.2627i 0.1155 - 2.3077i 0.0636 - 1.2703i -0.1167 + 2.3322i 0.0530 - 1.0597i 0.1179 - 2.3552i -0.0534 + 1.0673i -0.1131 + 2.2605i 0 + 2.4009i 0 + 1.2627i 0 - 2.3077i 0 - 1.2703i 0 + 2.3322i 0 - 1.0597i 0 - 2.3552i 0 + 1.0673i 0 + 2.2605i 0.1201 + 2.4009i 0.0632 + 1.2627i -0.1155 - 2.3077i -0.0636 - 1.2703i 0.1167 + 2.3322i -0.0530 - 1.0597i -0.1179 - 2.3552i 0.0534 + 1.0673i 0.1131 + 2.2605i
Gxzyy =
1.0e+012 *
-0.1208 + 2.4145i 0.0601 - 1.2001i -0.1186 + 2.3703i -0.1770 + 3.5376i 0.1167 - 2.3322i -0.1728 + 3.4522i -0.1147 + 2.2926i 0.0565 - 1.1299i -0.1123 + 2.2439i 0 + 2.4145i 0 - 1.2001i 0 + 2.3703i 0 + 3.5376i 0 - 2.3322i 0 + 3.4522i 0 + 2.2926i 0 - 1.1299i 0 + 2.2439i 0.1208 + 2.4145i -0.0601 - 1.2001i 0.1186 + 2.3703i 0.1770 + 3.5376i -0.1167 - 2.3322i 0.1728 + 3.4522i 0.1147 + 2.2926i -0.0565 - 1.1299i 0.1123 + 2.2439i
Gxzyyk12 =
1.0e+012 *
0.1208 - 2.4145i -0.0601 + 1.2001i 0.1186 - 2.3703i 0.1770 - 3.5376i -0.1167 + 2.3322i 0.1728 - 3.4522i 0.1147 - 2.2926i -0.0565 + 1.1299i 0.1123 - 2.2439i 0 - 2.4145i 0 + 1.2001i 0 - 2.3703i 0 - 3.5376i 0 + 2.3322i 0 - 3.4522i 0 - 2.2926i 0 + 1.1299i 0 - 2.2439i -0.1208 - 2.4145i 0.0601 + 1.2001i -0.1186 - 2.3703i -0.1770 - 3.5376i 0.1167 + 2.3322i -0.1728 - 3.4522i -0.1147 - 2.2926i 0.0565 + 1.1299i -0.1123 - 2.2439i
Gyyyz =
1.0e+008 *
-0.3498 - 6.9911i 0.1363 + 2.7231i 0.3690 + 7.3729i -0.1360 - 2.7185i -0.3886 - 7.7645i -0.2524 - 5.0441i 0.4082 + 8.1569i 0.2523 + 5.0410i -0.4272 - 8.5364i 0 - 6.9911i 0 + 2.7231i 0 + 7.3729i 0 - 2.7185i 0 - 7.7645i 0 - 5.0441i 0 + 8.1569i 0 + 5.0410i 0 - 8.5364i 0.3498 - 6.9911i -0.1363 + 2.7231i -0.3690 + 7.3729i 0.1360 - 2.7185i 0.3886 - 7.7645i 0.2524 - 5.0441i -0.4082 + 8.1569i -0.2523 + 5.0410i 0.4272 - 8.5364i
Gyyyzk12 =
1.0e+011 *
0.3532 - 7.0573i -0.1416 + 2.8304i -0.3662 + 7.3175i 0.1371 - 2.7401i 0.3890 - 7.7740i 0.2500 - 4.9962i -0.4126 + 8.2456i -0.2470 + 4.9361i 0.4234 - 8.4605i 0 - 7.0573i 0 + 2.8304i 0 + 7.3175i 0 - 2.7401i 0 - 7.7740i 0 - 4.9962i 0 + 8.2456i 0 + 4.9361i 0 - 8.4605i -0.3532 - 7.0573i 0.1416 + 2.8304i 0.3662 + 7.3175i -0.1371 - 2.7401i -0.3890 - 7.7740i -0.2500 - 4.9962i 0.4126 + 8.2456i 0.2470 + 4.9361i -0.4234 - 8.4605i
Gyzxxk12 =
1.0e+013 *
-0.0574 + 1.1473i 0.1161 - 2.3192i 0.0634 - 1.2665i -0.1132 + 2.2611i -0.0053 + 0.1053i 0.1202 - 2.4025i -0.0532 + 1.0635i -0.1172 + 2.3429i 0.0594 - 1.1872i 0 + 1.1473i 0 - 2.3192i 0 - 1.2665i 0 + 2.2611i 0 + 0.1053i 0 - 2.4025i 0 + 1.0635i 0 + 2.3429i 0 - 1.1872i 0.0574 + 1.1473i -0.1161 - 2.3192i -0.0634 - 1.2665i 0.1132 + 2.2611i 0.0053 + 0.1053i -0.1202 - 2.4025i 0.0532 + 1.0635i 0.1172 + 2.3429i -0.0594 - 1.1872i
Gxxxx =
1.0e-018 *
0.2711 - 0.0042i 0.2711 - 0.0042i 0.2711 - 0.0042i 0.2711 - 0.0042i 0 .2711 - 0.0042i 0.2711 - 0.0042i 0.2711 - 0.0042i 0.2711 - 0.0042i 0.2711 - 0.0042i 0.2711 0.2711 0.2711 0.2711 0.2711 0.2711 0.2711 0.2711 0.2711 0.2711 + 0.0042i 0.2711 + 0.0042i 0.2711 + 0.0042i 0.2711 + 0.0042i 0.2711 + 0.0042i 0.2711 + 0.0042i 0.2711 + 0.0042i 0.2711 + 0.0042i 0.2711 + 0.0042i
Gyyyy =
1.0e-004 *
-0.9537 - 0.1192i -0.9537 - 0.1192i -0.9537 + 0.1192i -0.9537 - 0.1192i -0.9537 - 0.1192i -0.9537 + 0.1192i -0.9537 - 0.1192i -0.9537 - 0.1192i -0.9537 + 0.1192i -0.9537 -0.9537 -0.9537 -0.9537 -0.9537 -0.9537 -0.9537 -0.9537 -0.9537 -0.9537 + 0.1192i -0.9537 + 0.1192i -0.9537 - 0.1192i -0.9537 + 0.1192i -0.9537 + 0.1192i -0.9537 - 0.1192i -0.9537 + 0.1192i -0.9537 + 0.1192i -0.9537 - 0.1192i
Gxxyy =
1.0e+010 *
0.1298 + 0.0130i -2.3579 + 3.7443i -2.4841 + 3.6590i 0.1298 + 0.0130i -2.3579 + 3.7443i -2.4841 + 3.6590i 0.1298 + 0.0130i -2.3579 + 3.7443i -2.4841 + 3.6590i 2.4303 - 3.8887i 0.4541 + 0.1510i -2.1064 + 3.8887i 2.4303 - 3.8887i 0.4541 + 0.1510i -2.1064 + 3.8887i 2.4303 - 3.8887i 0.4541 + 0.1510i -2.1064 + 3.8887i 2.0300 - 4.1119i 2.1637 - 4.0462i 0.1298 - 0.0130i 2.0300 - 4.1119i 2.1637 - 4.0462i 0.1298 - 0.0130i 2.0300 - 4.1119i 2.1637 - 4.0462i 0.1298 - 0.0130i
Gyzxx =
1.0e+013 *
0.0574 - 1.1473i -0.1161 + 2.3192i -0.0634 + 1.2665i 0.1132 - 2.2611i 0.0053 - 0.1053i -0.1202 + 2.4025i 0.0532 - 1.0635i 0.1172 - 2.3429i -0.0594 + 1.1872i 0 - 1.1473i 0 + 2.3192i 0 + 1.2665i 0 - 2.2611i 0 - 0.1053i 0 + 2.4025i 0 - 1.0635i 0 - 2.3429i 0 + 1.1872i -0.0574 - 1.1473i 0.1161 + 2.3192i 0.0634 + 1.2665i -0.1132 - 2.2611i -0.0053 - 0.1053i 0.1202 + 2.4025i -0.0532 - 1.0635i -0.1172 - 2.3429i 0.0594 + 1.1872i
Gxy =
1.0e+005 *
-0.4159 - 0.0417i 0 0.4159 + 0.0417i -0.4347 - 0.0436i 0 0.4347 + 0.0436i 0.2652 - 1.1234i 0 -0.2652 + 1.1234i 0.2829 - 1.1006i 0 -0.2829 + 1.1006i -0.4369 0 0.4369 0.1517 - 1.1443i 0 -0.1517 + 1.1443i 0.1716 - 1.1234i 0 -0.1716 + 1.1234i -0.4347 + 0.0436i 0 0.4347 - 0.0436i -0.4534 + 0.0455i 0 0.4534 - 0.0455i
Para la condicin r(3)>0 & rp(3)>r = [1 0 1] >> rp = [1 0 -1]
Gxzxzk21 =
1.0e+008 *
-1.7475 + 0.0000i -0.8738 + 0.0000i 0.8740 0 -1.7481 0 0.8740 -0.8738 + 0.0000i -1.7475 + 0.0000i -1.7475 + 0.0000i -0.8738 + 0.0000i 0.8740 0 -1.7481 0 0.8740 -0.8738 + 0.0000i -1.7475 + 0.0000i -1.7475 -0.8738 0.8740 0 -1.7481 0 0.8740 -0.8738 -1.7475
Gyy =
1.0e+004 *
-5.0273 + 0.5044i -5.0304 + 0.5047i -5.0273 + 0.5044i -5.0273 + 0.5044i -5.0304 + 0.5047i -5.0273 + 0.5044i -5.0273 + 0.5044i -5.0304 + 0.5047i -5.0273 + 0.5044i -5.0525 -5.0557 -5.0525 -5.0525 -5.0557 -5.0525 -5.0525 -5.0557 -5.0525 -5.0273 - 0.5044i -5.0304 - 0.5047i -5.0273 - 0.5044i -5.0273 - 0.5044i -5.0304 - 0.5047i -5.0273 - 0.5044i -5.0273 - 0.5044i -5.0304 - 0.5047i -5.0273 - 0.5044i
Gyx =
1.0e+003 *
0.0314 - 0.0032i 0 -0.0314 + 0.0032i 0 0 0 0.1105 + 2.5236i 0 -0.1105 - 2.5236i 0.1420 + 2.5220i 0 -0.1420 - 2.5220i 0 0 0 -0.1420 + 2.5220i 0 0.1420 - 2.5220i -0.1105 + 2.5236i 0 0.1105 - 2.5236i 0 0 0 -0.0314 - 0.0032i 0 0.0314 + 0.0032i
Gxy =
1.0e+003 *
0.0314 - 0.0032i 0 -0.0314 + 0.0032i 0 0 0 0.1105 + 2.5236i 0 -0.1105 - 2.5236i 0.1420 + 2.5220i 0 -0.1420 - 2.5220i 0 0 0 -0.1420 + 2.5220i 0 0.1420 - 2.5220i -0.1105 + 2.5236i 0 0.1105 - 2.5236i 0 0 0 -0.0314 - 0.0032i 0 0.0314 + 0.0032i
Gxx =
1.0e+004 *
-5.0273 + 0.5044i -5.0273 + 0.5044i -5.0273 + 0.5044i -5.0304 + 0.5047i -5.0304 + 0.5047i -5.0304 + 0.5047i -5.0273 + 0.5044i -5.0273 + 0.5044i -5.0273 + 0.5044i -5.0525 -5.0525 -5.0525 -5.0557 -5.0557 -5.0557 -5.0525 -5.0525 -5.0525 -5.0273 - 0.5044i -5.0273 - 0.5044i -5.0273 - 0.5044i -5.0304 - 0.5047i -5.0304 - 0.5047i -5.0304 - 0.5047i -5.0273 - 0.5044i -5.0273 - 0.5044i -5.0273 - 0.5044i
Gyzxzk21 =
1.0e+007 *
0.0055 + 0.0000i 0 -8.7403 -8.7376 + 0.0000i 0 -8.7376 + 0.0000i -8.7403 0 0.0055 + 0.0000i 0.0055 + 0.0000i 0 -8.7403 -8.7376 + 0.0000i 0 -8.7376 + 0.0000i -8.7403 0 0.0055 + 0.0000i 0.0055 0 -8.7403 -8.7376 0 -8.7376 -8.7403 0 0.0055
Gyzyzk21 =
1.0e+008 *
-1.7475 + 0.0000i -0.8738 + 0.0000i 0.8740 - 0.0000i 0 -1.7481 + 0.0000i 0 0.8740 - 0.0000i -0.8738 + 0.0000i -1.7475 + 0.0000i -1.7475 -0.8738 0.8740 0 -1.7481 0 0.8740 -0.8738 -1.7475 -1.7475 - 0.0000i -0.8738 - 0.0000i 0.8740 + 0.0000i 0 -1.7481 - 0.0000i 0 0.8740 + 0.0000i -0.8738 - 0.0000i -1.7475 - 0.0000i
Gxzxx =
1.0e+009 *
0.0874 + 1.7461i 0.1311 + 2.6194i 0.0437 + 0.8730i -0.1311 - 2.6199i 0 0.1311 + 2.6199i -0.0437 - 0.8730i -0.1311 - 2.6194i -0.0874 - 1.7461i 0 + 1.7461i 0 + 2.6194i 0 + 0.8730i 0 - 2.6199i 0 0 + 2.6199i 0 - 0.8730i 0 - 2.6194i 0 - 1.7461i -0.0874 + 1.7461i -0.1311 + 2.6194i -0.0437 + 0.8730i 0.1311 - 2.6199i 0 -0.1311 + 2.6199i 0.0437 - 0.8730i 0.1311 - 2.6194i 0.0874 - 1.7461i
Gxzxxk21 =
1.0e+009 *
-0.0874 - 1.7461i -0.1311 - 2.6194i -0.0437 - 0.8730i 0.1311 + 2.6199i 0 -0.1311 - 2.6199i 0.0437 + 0.8730i 0.1311 + 2.6194i 0.0874 + 1.7461i 0 - 1.7461i 0 - 2.6194i 0 - 0.8730i 0 + 2.6199i 0 0 - 2.6199i 0 + 0.8730i 0 + 2.6194i 0 + 1.7461i 0.0874 - 1.7461i 0.1311 - 2.6194i 0.0437 - 0.8730i -0.1311 + 2.6199i 0 0.1311 - 2.6199i -0.0437 + 0.8730i -0.1311 + 2.6194i -0.0874 + 1.7461i
Gxzyyk21 =
1.0e+009 *
0.0874 + 1.7472i -0.0437 - 0.8733i 0.0437 + 0.8730i 0.0437 + 0.8738i 0 -0.0437 - 0.8738i -0.0437 - 0.8730i 0.0437 + 0.8733i -0.0874 - 1.7472i 0 + 1.7472i 0 - 0.8733i 0 + 0.8730i 0 + 0.8738i 0 0 - 0.8738i 0 - 0.8730i 0 + 0.8733i 0 - 1.7472i -0.0874 + 1.7472i 0.0437 - 0.8733i -0.0437 + 0.8730i -0.0437 + 0.8738i 0 0.0437 - 0.8738i 0.0437 - 0.8730i -0.0437 + 0.8733i 0.0874 - 1.7472i
Gxzyy =
1.0e+009 *
-0.0874 - 1.7472i 0.0437 + 0.8733i -0.0437 - 0.8730i -0.0437 - 0.8738i 0 0.0437 + 0.8738i 0.0437 + 0.8730i -0.0437 - 0.8733i 0.0874 + 1.7472i 0 - 1.7472i 0 + 0.8733i 0 - 0.8730i 0 - 0.8738i 0 0 + 0.8738i 0 + 0.8730i 0 - 0.8733i 0 + 1.7472i 0.0874 - 1.7472i -0.0437 + 0.8733i 0.0437 - 0.8730i 0.0437 - 0.8738i 0 -0.0437 + 0.8738i -0.0437 + 0.8730i 0.0437 - 0.8733i -0.0874 + 1.7472i
Gxxxx =
1.0e-006 *
0.3725 - 0.0000i 0.3725 - 0.0000i 0.3725 - 0.0000i 0.3725 - 0.0000i 0.3725 - 0.0000i 0.3725 - 0.0000i 0.3725 - 0.0000i 0.3725 - 0.0000i 0.3725 - 0.0000i 0.3725 0.3725 0.3725 0.3725 0.3725 0.3725 0.3725 0.3725 0.3725 0.3725 + 0.0000i 0.3725 + 0.0000i 0.3725 + 0.0000i 0.3725 + 0.0000i 0.3725 + 0.0000i 0.3725 + 0.0000i 0.3725 + 0.0000i 0.3725 + 0.0000i 0.3725 + 0.0000i
Gyyyy =
1.0e-006 *
-0.0000 + 0.3725i -0.0000 + 0.3725i -0.0000 + 0.3725i -0.0000 + 0.3725i -0.0000 + 0.3725i -0.0000 + 0.3725i -0.0000 + 0.3725i -0.0000 + 0.3725i -0.0000 + 0.3725i -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 - 0.3725i -0.0000 - 0.3725i -0.0000 - 0.3725i -0.0000 - 0.3725i -0.0000 - 0.3725i -0.0000 - 0.3725i -0.0000 - 0.3725i -0.0000 - 0.3725i -0.0000 - 0.3725i
Gxxyy =
1.0e+008 *
0.2176 + 0.0218i -0.2737 + 8.7467i -0.4916 + 8.7303i 0.2176 + 0.0218i -0.2737 + 8.7467i -0.4916 + 8.7303i 0.2176 + 0.0218i -0.2737 + 8.7467i -0.4916 + 8.7303i 0.3825 - 8.7358i 0.9831 - 0.0000i 0.3825 + 8.7358i 0.3825 - 8.7358i 0.9831 - 0.0000i 0.3825 + 8.7358i 0.3825 - 8.7358i 0.9831 - 0.0000i 0.3825 + 8.7358i -0.4916 - 8.7303i -0.2737 - 8.7467i 0.2176 - 0.0218i -0.4916 - 8.7303i -0.2737 - 8.7467i 0.2176 - 0.0218i -0.4916 - 8.7303i -0.2737 - 8.7467i 0.2176 - 0.0218i
Gyyyz =
1.0e+009 *
0.0874 + 1.7461i -0.1311 - 2.6199i -0.0437 - 0.8730i 0.1311 + 2.6194i 0 -0.1311 - 2.6194i 0.0437 + 0.8730i 0.1311 + 2.6199i -0.0874 - 1.7461i 0 + 1.7461i 0 - 2.6199i 0 - 0.8730i 0 + 2.6194i 0 0 - 2.6194i 0 + 0.8730i 0 + 2.6199i 0 - 1.7461i -0.0874 + 1.7461i 0.1311 - 2.6199i 0.0437 - 0.8730i -0.1311 + 2.6194i 0 0.1311 - 2.6194i -0.0437 + 0.8730i -0.1311 + 2.6199i 0.0874 - 1.7461i
Gyyyzk21 =
1.0e+008 *
0.1183 + 2.3640i -0.1775 - 3.5463i -0.0591 - 1.1820i 0.1774 + 3.5461i 0 -0.1774 - 3.5461i 0.0591 + 1.1820i 0.1775 + 3.5463i -0.1183 - 2.3640i 0 + 2.3640i 0 - 3.5463i 0 - 1.1820i 0 + 3.5461i 0 0 - 3.5461i 0 + 1.1820i 0 + 3.5463i 0 - 2.3640i -0.1183 + 2.3640i 0.1775 - 3.5463i 0.0591 - 1.1820i -0.1774 + 3.5461i 0 0.1774 - 3.5461i -0.0591 + 1.1820i -0.1775 + 3.5463i 0.1183 - 2.3640i
Gxzyy =
1.0e+009 *
-0.0874 - 1.7472i 0.0437 + 0.8733i -0.0437 - 0.8730i -0.0437 - 0.8738i 0 0.0437 + 0.8738i 0.0437 + 0.8730i -0.0437 - 0.8733i 0.0874 + 1.7472i 0 - 1.7472i 0 + 0.8733i 0 - 0.8730i 0 - 0.8738i 0 0 + 0.8738i 0 + 0.8730i 0 - 0.8733i 0 + 1.7472i 0.0874 - 1.7472i -0.0437 + 0.8733i 0.0437 - 0.8730i 0.0437 - 0.8738i 0 -0.0437 + 0.8738i -0.0437 + 0.8730i 0.0437 - 0.8733i -0.0874 + 1.7472i
Gyzxx =
1.0e+010 *
-0.0437 - 0.8728i 0.0218 + 0.4365i -0.1311 - 2.6196i -0.1092 - 2.1826i 0.1311 + 2.6199i -0.1092 - 2.1826i -0.1311 - 2.6196i 0.0218 + 0.4365i -0.0437 - 0.8728i 0 - 0.8728i 0 + 0.4365i 0 - 2.6196i 0 - 2.1826i 0 + 2.6199i 0 - 2.1826i 0 - 2.6196i 0 + 0.4365i 0 - 0.8728i 0.0437 - 0.8728i -0.0218 + 0.4365i 0.1311 - 2.6196i 0.1092 - 2.1826i -0.1311 + 2.6199i 0.1092 - 2.1826i 0.1311 - 2.6196i -0.0218 + 0.4365i 0.0437 - 0.8728i
Gyzxxk21 =
1.0e+010 *
-0.0437 + 0.8728i 0.0218 - 0.4365i -0.1311 + 2.6196i -0.1092 + 2.1826i 0.1311 - 2.6199i -0.1092 + 2.1826i -0.1311 + 2.6196i 0.0218 - 0.4365i -0.0437 + 0.8728i 0 + 0.8728i 0 - 0.4365i 0 + 2.6196i 0 + 2.1826i 0 - 2.6199i 0 + 2.1826i 0 + 2.6196i 0 - 0.4365i 0 + 0.8728i 0.0437 + 0.8728i -0.0218 - 0.4365i 0.1311 + 2.6196i 0.1092 + 2.1826i -0.1311 - 2.6199i 0.1092 + 2.1826i 0.1311 + 2.6196i -0.0218 - 0.4365i 0.0437 + 0.8728i
Para la condicin r(3) r=[1 0 -3] ;>> rp=[1 0 -1];
Gyzxz =
-0.0000 0 0.0398 0.0398 0 0.0398 0.0398 0 -0.0000 -0.0000 0 0.0398 0.0398 0 0.0398 0.0398 0 -0.0000 -0.0000 0 0.0398 0.0398 0 0.0398 0.0398 0 -0.0000
Gxxxx =
1.0e-014 * 0.2776 0.2776 0.2776 0.2776 0.2776 0.2776 0.2776 0.2776 0.2776 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388
Gyyyy =
1.0e-014 * 0.2776 0.2776 0.2776 0.2776 0.2776 0.2776 0.2776 0.2776 0.2776 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388 0.1388
Gxxyy =
-0.0217 -0.5160 -0.4947 -0.0217 -0.5160 -0.4947 -0.0217 -0.5160 -0.4947 0.5051 0.0298 -0.4554 0.5051 0.0298 -0.4554 0.5051 0.0298 -0.4554 0.4649 0.4462 -0.0183 0.4649 0.4462 -0.0183 0.4649 0.4462 -0.0183
Gyzyz =
-0.1999 -0.0999 0.1000 0 -0.2000 0 0.1000 -0.0999 -0.1999 -0.1919 -0.0960 0.0960 0 -0.1920 0 0.0960 -0.0960 -0.1919 -0.1840 -0.0920 0.0920 0 -0.1841 0 0.0920 -0.0920 -0.1840
Gxzxz =
0.0796 0.0398 -0.0398 0 0.0796 0 -0.0398 0.0398 0.0796 0.0796 0.0398 -0.0398 0 0.0796 0 -0.0398 0.0398 0.0796 0.0796 0.0398 -0.0398 0 0.0796 0 -0.0398 0.0398 0.0796
Gyyyz =
0.9994 -1.4998 -0.4997 1.4993 0 -1.4993 0.4997 1.4998 -0.9994 0.9596 -1.4401 -0.4798 1.4397 0 -1.4397 0.4798 1.4401 -0.9596 0.9199 -1.3804 -0.4599 1.3800 0 -1.3800 0.4599 1.3804 -0.9199
Gxzyy =
-1.0003 0.4999 -0.4997 -0.5004 0 0.5004 0.4997 -0.4999 1.0003 -0.9605 0.4800 -0.4798 -0.4805 0 0.4805 0.4798 -0.4800 0.9605 -0.9207 0.4601 -0.4599 -0.4605 0 0.4605 0.4599 -0.4601 0.9207
Gyzxx =
-4.9948 2.4985 -14.9957 -12.4927 14.9979 -12.4927 -14.9957 2.4985 -4.9948 -4.7960 2.3991 -14.3988 -11.9954 14.4009 -11.9954 -14.3988 2.3991 -4.7960 -4.5972 2.2996 -13.8019 -11.4982 13.8040 -11.4982 -13.8019 2.2996 -4.5972
Gyy =
-0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0083 -0.0083 -0.0083 -0.0083 -0.0083 -0.0083 -0.0083 -0.0083 -0.0083
Gyx =
1.0e-003 *
0.0021 0 -0.0021 0 0 0 -0.1528 0 0.1528 -0.1507 0 0.1507 0 0 0 -0.1447 0 0.1447 -0.1427 0 0.1427 0 0 0 -0.0019 0 0.0019
Gxy =
1.0e-003 *
0.0021 0 -0.1528 0 0 0 -0.0021 0 0.1528 -0.1507 0 -0.1447 0 0 0 0.1507 0 0.1447 -0.1427 0 -0.0019 0 0 0 0.1427 0 0.0019
Gxx =
-0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0089 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0086 -0.0083 -0.0083 -0.0083 -0.0083 -0.0083 -0.0083 -0.0083 -0.0083 -0.0083
Gxzxx =
0.9994 1.4993 0.4997 -1.4998 0 1.4998 -0.4997 -1.4993 -0.9994 0.9596 1.4397 0.4798 -1.4401 0 1.4401 -0.4798 -1.4397 -0.9596 0.9199 1.3800 0.4599 -1.3804 0 1.3804 -0.4599 -1.3800 -0.9199
En los programas:
Gradientxx.mGradientxy.mGradientyx.mGradientyy.m
Se usa RTE=(u_2*k_1z-(u_1*k_2z))./(u_2*k_1z+u_1*k_2z); Y la funcin
FTE=exp(i*k_1z*(rp(3)-r(3)+0.1*(p-1)-0.1))+RTE.*exp(i.*k_1z*(r(3)+rp(3)+0.1*(p-1)-0.1));
El termino h=0.1*(p-1)-0.1 se agrega a la ecuacin y va desde h= -0.1 a 0.1, porque el espaciamiento entre los puntos en cada direccin es 0.1 Ejemplo:
function Graddxx=Gradientxx(r,rp)e_0=8.8541878176*10^(-12);e_1=e_0;e_2=40*e_0;u_0=4*pi*10^(-7);u_1=u_0;u_2=u_0;r_s=[r(1) r(2)];rp_s=[rp(1) rp(2)];w_0=2*pi*100;k_1=w_0*sqrt(e_1*u_1);k_2=w_0*sqrt(e_2*u_2);
%variables
x=(1*10^-4:1*10^-4:1);
k_1z=sqrt((k_1)^2-x.^2);k_2z=sqrt((k_2)^2-x.^2);
RTE=(u_2*k_1z-(u_1*k_2z))./(u_2*k_1z+u_1*k_2z);
%funcion(modoTE)
for p=1:3 for j=1:3 for k=1:3
if rp(3)>=r(3) FTE=exp(i*k_1z*(rp(3)-r(3)+0.1*(p-1)-0.1))+RTE.*exp(i.*k_1z*(r(3)+rp(3)+0.1*(p-1)-0.1)); else FTE=exp(i*k_1z*(r(3)-rp(3)+0.1*(p-1)-0.1))+RTE.*exp(i.*k_1z*(r(3)+rp(3)+0.1*(p-1)-0.1)); end % +0.1*(p-1)-0.1 %funcion del integrando va=[0.1*(k-1)-0.1 0.1*(j-1)-0.1]; if r(1)>=rp(1) & r(2)>=rp(2) gTE=(1./(k_1z.*x)).*besselj(0,norm([r(1)-rp(1) r(2)-rp(2)]+va,2)*x).*FTE; end if r(1)>=rp(1) & r(2)=rp(2) gTE=(1./(k_1z.*x)).*besselj(0,norm([r(1)-rp(1) r(2)-rp(2)]+va,2)*x).*FTE; end if r(1)>=rp(1) & r(2)=r(3) FTM=exp(i*k_1z*(rp(3)-r(3)+0.1*(k-1)-0.1))+RTM.*exp(i.*k_1z*(r(3)+rp(3)+0.1*(k-1)-0.1)); else FTM=exp(i*k_1z*(r(3)-rp(3)+0.1*(k-1)-0.1))+RTM.*exp(i.*k_1z*(r(3)+rp(3)+0.1*(k-1)-0.1)); end %funcion del integrando va=[0.1*(p-1)-0.1 0.1*(j-1)-0.1]; if r(1)>=rp(1) & r(2)>=rp(2) gTM=(1./(k_1z.*x)).*besselj(0,norm([r(1)-rp(1) r(2)-rp(2)]+va,2)*x).*FTM; end if r(1)>=rp(1) & r(2)