grundbegriffe der theoretischen informatik · bpps1,s2q,wq “ pδ˚ 1ps1,wq,δ˚ 2ps2,wqq ‚ es...

Grundbegriffe der Theoretischen InformatikSommersemester 2016 - Thomas Schwentick

Teil A: Reguläre Sprachen

5: Abschlusseigenschaften, Grenzen und Algorithmen

Version von: 3. Mai 2016 (12:08)

Einleitung (1/2)‚ Das Verhalten von vielen

praktischen Systemen kanndurch DFAs oder NFAs abstra-hiert/beschrieben werden

Kaffeemaschine als DFA

warte

knopf?

tee kaffee

becher

mün

ze

kaffeeknopfteeknopf

brüh

eka

ffeebrühe tee

gieße

‚ Oft möchten wir Eigenschaftensolcher Systeme automatischüberprüfen

Beispiel

‚ Die Maschine soll nur Kaffee ausgießen, wenn (seitdem letzten Kaffee) eine Münze eingeworfen wurde

‚ Diese Eigenschaft lässt sich durch einen RE aus-drücken:

– Rdef“

`

S˚ münze S˚ gieße S˚q˚

(Mit S “ Σ ´ tmünze,gießeu)

‚ Lässt sich automatisch überprüfen, ob der Automatdie Eigenschaft R erfüllt?

‚ Formal führt das zur Frage: Ist LpAq Ď LpRq?

– Äquivalent: Ist LpAq X pΣ˚ ´ LpRqq “ H?

‚ Es wäre also praktisch, eine Toolbox für Automatenzu haben

– Schnitt, Vereinigung, Komplement, etc.

– Testalgorithmen...

GTI / Schwentick / SoSe 16 A: 5. Abschlusseigenschaften, Grenzen und Algorithmen . ✁✄ Folie 1

Einleitung (2/2)‚ Wir setzen in diesem Kapitel die Untersuchung der

Klasse der regulären Sprachen fort

‚ Wir betrachten

– algorithmische Methoden, mit denen sich re-guläre Sprachen kombinieren und modifizierenlassen

– eine weitere, einfache Methode zum Nachweis,dass eine Sprache nicht regulär ist

– Algorithmen zum Testen von Eigenschaften ei-ner durch einen Automaten gegebenen Sprache


Inhalt

✄ 5.1 Abschlusseigenschaften und Synthese von Automaten

5.2 Grenzen der Regulären Sprachen

5.3 Weitere Algorithmen für Automaten


Größenmaße für Automaten‚ Der Aufwand der folgenden Algorithmen

wird in Abhängigkeit von der Größe derEingabe beschrieben

‚ Wenn Die Eingabe aus Automaten besteht,stellt sich also die Frage:

– Wie „groß“ ist ein endlicher AutomatA “ pQ,Σ, δ, s, F q ?

‚ Es können verschiedene Größenmaßedefiniert werden:

– Anzahl der Zustände: |Q|

– Anzahl der Transitionen: |δ|– Größe der Kodierung des Automaten

als Bitstring

‚ Wir verwenden hier nur die ersten beidenMaße und geben das verwendete Maßjeweils explizit an

‚ Für reguläre Ausdrücke α bezeichnet |α|einfach die Länge des Strings

– Also: |pabq˚cpd ` ǫq| “ 11

✎ Ob Konkatenationssymbole und Klammernfür die Größe eines RE gezählt werden, istfür das Folgende nicht so wichtig

– Wir interessieren uns nur für asymptoti-sche Abschätzungen

– |α| (nach unserer Definition) ist linearin der Anzahl der Symbolvorkommenund der Vorkommen des ˚-Operators(sofern doppelte Klammerpaare ((...))nicht vorkommen)


Synthese endlicher Automaten: Boolesche Operationen (1/3)‚ Wir betrachten jetzt, auf welche Weisen

aus regulären Sprachen neue reguläreSprachen gewonnen werden können

‚ Uns interessiert also:

– Unter welchen Operationen ist dieKlasse der regulären Sprachen abge-schlossen ist?

– Mit welchen Algorithmen lassen sichsolche Operationen ausführen?

✎ Wichtig: es geht im Folgenden nicht umAbschlusseigenschaften von einzelnenSprachen sondern um Abschlusseigen-schaften der Klasse aller regulären Spra-chen

‚ Wir beginnen mit Booleschen Operationen

‚ Reguläre Ausdrücke haben einen Operatorfür die Vereinigung

➨ Die Vereinigung zweier regulärer Spra-chen ist regulär

‚ Um reguläre Sprachen algorithmisch gut„verarbeiten“ zu können, ist es wichtig,dass auch der Durchschnitt zweier regu-lärer Sprachen und das Komplement einerregulären Sprache wieder regulär sind

‚ Außerdem sollten diese Booleschen Ope-rationen auf der Ebene endlicher Automa-ten möglichst effizient ausgeführt werdenkönnen


Synthese endlicher Automaten: Boolesche Operationen (2/3)Satz 5.1

‚ Seien A1 “ pQ1,Σ, δ1, s1, F1q undA2 “ pQ2,Σ, δ2, s2, F2q DFAs

‚ Dann lassen sich Automaten für die folgenden Sprachen konstru-ieren:

(a) für LpA1q X LpA2qmit |Q1||Q2| Zuständen in Zeit Op|Q1||Q2||Σ|q

(b) für LpA1q Y LpA2qmit |Q1||Q2| Zuständen in Zeit Op|Q1||Q2||Σ|q

(c) für Σ˚ ´ LpA1q mit |Q1| Zuständen in Zeit Op|Q1|q

Folgerung 5.2

‚ Die regulären Sprachen sind unter Durchschnitt, Vereinigung undKomplementbildung abgeschlossen

✎ (a) und (b) gelten auch für NFAs

‚ Für den Beweis von (a) und (b) verwenden wir das Konzept desProduktautomaten


Produktautomat: Beispiel‚ Ein Automat für die Menge aller Strings, die 010 als Teilstring ent-

halten und gerade viele Nullen haben:

a

b

c d e f0 1 0

1 0 0,1

1

00

1

1

ac ad ae af

bc bd be bf

0

011

1

1

00

0

0

1

11

1

00

0110100‚ Um einen Automaten für die oben genannte Sprache zu erhalten,

muss af als akzeptierender Zustand gewählt werden


Synthese endlicher Automaten: Boolesche Operationen (3/3)Definition

‚ Seien A1 “ pQ1,Σ, δ1, s1, F1q,A2 “ pQ2,Σ, δ2, s2, F2q DFAs

‚ Sei F Ď Q1 ˆ Q2

‚ Der Produktautomat zu A1 und A2

mit akzeptierender Menge F ist derAutomat B

def“

pQ1ˆQ2,Σ, δB, ps1, s2q, F q,wobei δB komponentenweise definiertist, d.h.:

– Für q1 P Q1 und q2 P Q2 sei

δBppq1, q2q, σqdef“

pδ1pq1, σq, δ2pq2, σqq

✎ Wir schreiben manchmal A1 ˆ A2

für den Produktautomaten, ohne ei-ne akzeptierende Zustandsmenge zuspezifizieren

Beweis von Satz 5.1

‚ Wir beweisen zunächst Teil (a): Durchschnitt

‚ Sei B der Produktautomat zu A1 und A2 mitakzeptierender Menge F1 ˆ F2

‚ Durch Induktion lässt sich leicht zeigen, dassfür alle w P Σ

˚ gilt:δ˚B

pps1, s2q, wq “pδ˚

1ps1, wq, δ˚

2ps2, wqq

‚ Es folgt:w P LpA1q X LpA2q

ðñ δ˚

1ps1, wq P F1 und δ˚

2ps2, wq P F2

ðñ pδ˚

1ps1, wq, δ˚

2ps2, wqq P F1 ˆ F2

ðñ δ˚

Bpps1, s2q, wq P F1 ˆ F2

ðñ w P LpBq

‚ Teil (b) kann analog bewiesen werden, mit ak-zeptierender Menge F1 ˆ Q2 Y Q1 ˆ F2

‚ Teil (c) ist noch einfacher: WählepQ1,Σ, δ1, s1, Q1 ´ F1q als DFA

!GTI / Schwentick / SoSe 16 A: 5. Abschlusseigenschaften, Grenzen und Algorithmen . ✁✄ Folie 8

Zum Verständnis des ProduktautomatenPINGO-Frage: pingo.upb.de

‚ Wie muss die akzeptierende Menge F des Produk-tautomaten gewählt werden, damit er die Mengealler Strings akzeptiert, die von einem der Automa-ten A1 und A2 akzeptiert wird, aber nicht vomanderen?

(A) pF1 ´ F2q Y pF2 ´ F1q

(B) pQ1 ˆ Q2q ´ pF1 ˆ F2q

(C) pQ1 ˆ F2q Y pF1 ˆ Q2q

(D) pQ1 ˆ pQ2 ´ F2qq Y ppQ1 ´ F1q ˆ Q2q

(E) pF1 ˆ pQ2 ´ F2qq Y ppQ1 ´ F1q ˆ F2q


Synthese endlicher Automaten: Konkatenation und Iteration‚ Die Definition regulärer Ausdrücke garantiert auch

den Abschluss unter Konkatenation und Stern

Satz 5.3

‚ Seien A1 und A2 DFAs (oder NFAs) für SprachenL1 und L2

‚ Dann lassen sich NFAs (oder DFAs) für L1 ˝ L2

und L˚1

konstruieren

Beweisidee

‚ Ein DFA für L1 ˝L2 kann in zwei Schritten gewon-nen werden:

1. Verknüpfung von A1 und A2 durch ǫ-Übergänge von der akzeptierenden Zuständenvon A1 zum Startzustand von A2

– Wie bei der Umwandlung von REs in ǫ-NFAs

2. Determinisierung des entstandenen ǫ-NFAs

‚ L˚1

: analog


Abschlusseigenschaften: Homomorphismen (1/3)‚ Wir betrachten nun weitere Abschlusseigen-

schaften der Klasse der regulären Sprachen,die vor allem für theoretische Zwecke hilfreichsind:

– Abschluss unter Homomorphismen

– Abschluss unter inversen Homomorphis-men

Definition

‚ Eine Funktion h : Σ˚ Ñ Γ

˚ ist ein Ho-momorphismus, wenn für alle Stringsu, v P Σ

˚ gilt: hpuvq “ hpuqhpvq

‚ Aus der Definition folgt: hpǫqdef“ ǫ

‚ Zur Definition eines Homomorphismus vonΣ

˚ nach Γ˚ genügt es, hpσq für alle σ P Σ

festzulegen

‚ Dadurch ist hpwq auch für beliebige Stringsw “ σ1 ¨ ¨ ¨ σn eindeutig festgelegt:

hpwq “ hpσ1q ¨ ¨ ¨ hpσnq

Beispiel

‚ h : ta, b, c, du˚ Ñ t0, 1u˚

‚ Definiert durch:

– hpaqdef“ 00

– hpbqdef“ 1

– hpcqdef“ ǫ

– hpdqdef“ 0110

‚ Dann: hpabdcq “ 0010110

‚ Für L Ď Σ˚ sei

hpLqdef“ thpwq | w P Lu

‚ Für L Ď Γ˚ sei

h´1pLqdef“ tw | hpwq P Lu

‚ Wir werden sehen: aus einem DFA fürL lassen sich leicht konstruieren:

– ein DFA für h´1pLq und

– ein NFA für hpLq

➨ hpLq und h´1pLq regulärGTI / Schwentick / SoSe 16 A: 5. Abschlusseigenschaften, Grenzen und Algorithmen . ✁✄ Folie 11

Abschlusseigenschaften: Homomorphismen (2/3)

z

y

1

1

0 0

Automat für L

‚ h1:a ÞÑ 00

b ÞÑ 1

c ÞÑ ǫ

d ÞÑ 0100

ðh´1

1

z

y

Automat für h´1

1pLq

a, b, c

d

a, b, c

d

‚ h2:0 Ñ abc

1 Ñ aa

ñh2

z

y

Automat für h2pLq

w

v

a

b

c

x

a a

u

t

s

aa

a

b

c

!!GTI / Schwentick / SoSe 16 A: 5. Abschlusseigenschaften, Grenzen und Algorithmen . ✁✄ Folie 12

Abschlusseigenschaften: Homomorphismen (3/3)Satz 5.4

‚ Ist L eine reguläre Sprache über Σ und ist Γ ein Alphabet, sosind die folgenden Sprachen regulär:

(a) hpLq, für jeden Homomorphismus h : Σ˚ Ñ Γ

˚,

(b) h´1pLq, für jeden Homomorphismus h : Γ˚ Ñ Σ

˚,

Beweisidee

(b) Sei A “ pQ,Σ, δ, s, F q DFA für L

– Wir definieren A1 def“ pQ,Γ, δ1, s, F q durch:

δ1pq, σqdef“ δ˚pq, hpσqq

– Dann gilt: δ1˚ps, wq “ δ˚ps, hpwqq

– Also: w P LpA1q ðñ hpwq P LpAq

(a) Idee:

– Ersetze die Transition δpq, σq durch eine Folge von Transitio-nen für hpσq

➞ neue Zustände einfügen


Synthese endlicher Automaten: Größe‚ Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Größe der Zielautomaten (An-

zahl Zustände) für die betrachteten Operationen

‚ Dabei spielt es eine Rolle, ob die gegebenen Automaten und der ZielautomatDFAs oder NFAs sind

‚ Q1 und Q2 bezeichnen jeweils die Zustandsmengen für Automaten für L1 undL2

‚ |h| und |S| bezeichnen jeweils die Größe der Repräsentation von h und S

DFA Ñ DFA DFA Ñ NFA NFA Ñ NFA

L1 X L2 O(|Q1| ˆ |Q2|q Op|Q1| ˆ |Q2|q Op|Q1| ˆ |Q2|q

L1 Y L2 Op|Q1| ˆ |Q2q| Op|Q1| ` |Q2q| Op|Q1| ` |Q2|q

L1 ´ L2 Op|Q1| ˆ |Q2|q Op|Q1| ˆ |Q2|q |Q1| ˆ 2Op|Q2|q

L1 ˝ L2 |Q1| ˆ 2Op|Q2|q Op|Q1| ` |Q2|q Op|Q1| ` |Q2|q

L˚1

2Op|Q1|q Op|Q1|q Op|Q1|q

hpL1q 2Op|Q1|`|h|q Op|Q1| ` |h|q Op|Q1| ` |h|q

h´1pL1q Op|Q1|q Op|Q1|q Op|Q1|q


Inhalt

5.1 Abschlusseigenschaften und Synthese von Automaten

✄ 5.2 Grenzen der Regulären Sprachen

5.3 Weitere Algorithmen für Automaten


Pumping-Lemma: Einleitung‚ Wir haben mit dem Satz von Myhill und Nerode bereits

eine Methode kennen gelernt, mit der wir überprüfen kön-nen, ob eine Sprache regulär ist

‚ Damit haben wir gezeigt, dass die SpracheLab “ tambm | m ě 0u nicht regulär ist

‚ Wir werden jetzt mit dem Pumping-Lemma eine weitereMethode kennen lernen, mit der sich nachweisen lässt,dass eine gegebene Sprache nicht regulär ist

‚ Vorteile:

– Recht einfach und anschaulich

– Lässt sich verallgemeinern für kontextfreie Sprachen

– Liefert interessante Einsicht über reguläre Sprachen

‚ Nachteile:

– Funktioniert nicht immer

– Lässt sich nicht zum Nachweis von Regularität verwen-den


Pumping-Lemma: Grundidee (1/2)Beispiel

a b c d

e f g h

11

0

1

0

110 010 010 10110 010 010 010 10

...

110 10

x y z

x yy zx yyy z

x yk z

x z

110 010 10

‚ Beobachtung: Ein „Kreis“ in einer akzeptierenden Berechnung lässtsich beliebig oft wiederholen

‚ Der akzeptierte String wird dabei „aufgepumpt“ (oder „abgepumpt“)


Pumping-Lemma: Grundidee (2/2)Beispiel

a b c d

e f g h

0

1 0

0

0

1

1

11

0

1

0

0

10

‚ Etwas formaler:

– Wenn |w| ě |Q| gilt, muss es einenZustand geben, den der DFA beim Le-sen von w (mindestens) zweimal be-sucht

– Wenn der DFA beim Lesen einesStrings w P LpAq einen Zustandzweimal besucht, lässt w sich so inxyz zerlegen, dass gelten:∗ y “ ǫ und∗ für alle k ě 0 ist xykz P LpAq

➨ Wenn L regulär ist, gibt es ein n, so dasssich jedes w P L mit |w| ě n in xyzzerlegen lässt, so dass gelten:

– y “ ǫ und

– für alle k ě 0 ist xykz P LpAq

✎ n ergibt sich hier als Größe |Q| der Zu-standsmenge eines DFAs für L


Pumping-Lemma: Aussage und BeweisSatz 5.5

‚ Sei L regulär

‚ Dann gibt es ein n, so dass jeder Stringw P L mit |w| ě n auf mindestens eineWeise als w “ xyz geschrieben wer-den kann, so dass die folgenden Aussagengelten:

(1) y “ ǫ

(2) |xy| ď n

(3) für alle k ě 0 ist xykz P L

✎ Die Aussage des Pumping-Lemmas giltauch in der Form:

w R L . . . ñ . . . xykz R L

Beweisskizze

‚ L regulär ñL “ LpAq für einen DFA A

‚ Sei n die Anzahl der Zustände von A

‚ Sei w P L mit |w| ě n

➨ Beim Lesen der ersten n Zeichen von wmuss sich ein Zustand wiederholen

➨ δ˚ps, xq “ δ˚ps, xyq für gewissex, y, z mit w “ xyz und (1) und (2)

‚ Sei qdef“ δ˚ps, xq

➨ δ˚pq, yq “ q

➨ δ˚ps, xykzq “ δ˚ps, xyzq P F , füralle k ě 0

➨ (3)


Pumping-Lemma: Anwendung (1/2)‚ Für den Nachweis, dass eine gegebene

Sprache nicht regulär ist, ist die folgendeäquivalente Formulierung des Pumping-Lemmas besser geeignet

Korollar 5.6

‚ Sei L eine Sprache

‚ Angenommen, für jedes n ą 0 gibt eseinen String w P L mit |w| ě n, sodass für jede Zerlegung w “ xyz mit

(1) y “ ǫ und

(2) |xy| ď n

ein k ě 0 existiert, so dass xykz R L

‚ Dann ist L nicht regulär

‚ Da Korollar 5.6 die Kontraposition von Satz5.5 ist, folgt es direkt aus Satz 5.5

Beispiel

‚ Sei wieder Labdef“ tambm | m ě 0u

‚ Sei n beliebig

‚ Wir wählen w “ anbn P Lab

(wichtig: w hängt von n ab!)

‚ |w| “ 2n ě n

‚ Seien nun x, y, z beliebige Strings, diew “ xyz und die folgenden Bedingun-gen erfüllen:

(1) y “ ǫ

(2) |xy| ď n

‚ Wegen (2) enthält y kein b, wegen (1) ent-hält es mindestens ein a

➨ xz hat mehr b als a

‚ Wähle k “ 0:

➨ xy0z “ xz R Lab

➨ Lab ist nicht regulär


Pumping-Lemma: Anwendung (2/2)Beispiel

‚ Sei wiederLab

def“ tambm | m ě 0u

‚ Sei n beliebig

‚ Wir wählen w “ anbn P Lab

(wichtig: w hängt von n ab!)

‚ |w| “ 2n ě n

‚ Seien nun x, y, z beliebige Strings,die w “ xyz und die folgendenBedingungen erfüllen:

(1) y “ ǫ

(2) |xy| ď n

‚ Wegen (2) enthält y kein b, wegen(1) enthält es mindestens ein a

➨ xz hat mehr b als a

‚ Wähle k “ 0:

➨ xy0z “ xz R Lab

➨ Lab ist nicht regulär

‚ Bemerkungen zur Anwendung des PumpingLemmas

– n dürfen Sie nicht wählen∗ Der Beweis muss für beliebiges n funktio-

nieren

– w P L dürfen Sie selbst (geschickt) wählen∗ Es muss in Abhängigigkeit von n gewählt

werden (|w| ě n)· Dabei ist n für den Beweis eine Variable

– x, y, z dürfen Sie nicht wählen∗ Wir wissen aber (und verwenden), dass (1)

und (2) gelten

– Zuletzt muss ein k gefunden werden, für dasxykz R L gilt∗ Sehr oft ist hier eine Fallunterscheidung

nötig:· nach den Möglichkeiten, wie x, y, z den

String w unterteilen


Das Pumping-Lemma als Spiel‚ Das Pumping-Lemma ist zwar im Kern recht anschaulich,

der Wechsel zwischen Existenz- und Allquantoren kannjedoch durchaus zu Verwirrung führen

‚ Es kann deshalb hilfreich sein, die Aussage des Pumping-Lemmas in ein 2-Personen-Spiel zu fassen

‚ Spiel für Sprache L:

– Person 1 wählt n

– Person 2 wählt ein w P L mit |w| ě n

– Person 1 wählt x, y, z mitw “ xyz, y “ ǫ, |xy| ď n

– Person 2 wählt k

‚ Falls xykz R L, hat Person 2 gewonnen, andernfallsPerson 1

‚ Es gilt: falls Person 2 eine Gewinnstrategie hat, ist Lnicht regulär

‚ Wenn Sie nachweisen wollen, dass L nicht regulär ist,sind Sie Person 2


Grenzen des Pumping-Lemmas‚ Sei L die Sprache

tambncn | m,n ě 1uYtbmcn | m,n ě 0u

‚ Klar: L ist nicht regulär

– Das lässt sich durch eine leichte Ab-wandlung des Beweises aus Kapitel 4für Lab zeigen

‚ Aber: L erfüllt die Aussage des Pumping-Lemmas:

– Jeder String w, lässt sich als xyz zer-legen, mit x “ ǫ und |y| “ 1

➨ dann lässt sich y beliebig wiederholen:∗ falls y “ a: klar, dann ist das Wort

in der ersten Menge und es dürfenbeliebig viele a’s kommen

∗ falls y “ a: klar, dann ist das Wortin der zweiten Menge und das Zei-chen darf beliebig wiederholt werden

‚ Es gilt aber die folgende Verallgemeine-rung des Pumping-Lemmas

Satz 5.7 [Jaffe, 78]

‚ Eine Sprache L ist genau dann regulärwenn es ein n gibt, so dass jeder Stringw P L mit |w| ě n auf mindestens eineWeise als w “ xyz geschrieben wer-den kann, so dass die folgenden Aussagengelten:

(1) y “ ǫ

(2) |xy| ď n

(3’) für alle k ě 0 gilt: xykz „L xyz


Reguläre Sprachen: Grenzen‚ Woran lässt sich erkennen, ob eine Sprache regu-

lär ist?

‚ Intuitiv: wenn es genügt, sich beim Lesen einesEingabewortes nur konstant viel Information zumerken, unabhängig von der Eingabelänge

‚ Beispiel: Lab “ tambm | m ě 0u ist nicht

regulär, da nach Lesen von ai „das i gemerkt seinmuss“

‚ Insbesondere darf der Wertebereich, in dem ge-zählt wird, nicht mit der Eingabelänge größer wer-den

‚ Aber: es gibt auch reguläre Sprachen, die mit Zah-len zu tun haben, zum Beispiel: Ldrei

def“

tw | w ist die Binärdarstellungeiner Zahl, die durch drei teilbar istu


Reguläre Sprachen: Zählen modulo ...‚ Ziel: Automat für Ldrei “ tw | w ist die

Binärdarstellung einer Zahl, die durch dreiteilbar istu

‚ Ansatz: was passiert, wenn an eine Binär-zahl eine 0 oder 1 angehängt wird?

‚ Notation:

– Für w P t0, 1u˚ sei Bpwq die Zahl,die von w repräsentiert wird

– Also: Bp1100q “ 12

‚ Es gelten:

– Bpu0q “ 2Bpuq

– Bpu1q “ 2Bpuq ` 1

‚ Also: wenn Bpuq ”3 0, dannBpu0q ”3 0 und Bpu1q ”3 1

➞ Grundidee des Automaten: der Zustand(0,1, oder 2) gibt den Rest der bisher ge-lesenen Binärzahl bei Division durch 3an

0 1 21

1

0

0

0 1


Inhalt

5.1 Abschlusseigenschaften und Synthese von Automaten

5.2 Grenzen der Regulären Sprachen

✄ 5.3 Weitere Algorithmen für Automaten


Umwandlungsalgorithmen (Wdh.)

NFANichtdeterministischeendliche Automaten

DFADeterministische

endliche Automaten

REReguläre

Ausdrücke

ǫ-NFANichtdeterministische

endliche Automaten mitǫ-Transitionen

Potenzmenge

2Op|Q|q

Zustandseliminationoder Lk

i,j

4Op|Q|q

Potenz-menge

2Op|Q|q

ǫ-AbschlüsseOp|Q|3q

„Baukasten“Op|α|q

‚ Die Laufzeiten der Umwandlungsalgorithmen entsprechen im Wesentlichen den Grö-ßen der Zielobjekte


Algorithmen: Leerheitstest‚ Für Anwendungen (nicht nur) im Bereich

des Model Checking ist das folgende Pro-blem wichtig:

Definition: Leerheits-Problem für DFAs

Gegeben: DFA A

Frage: Ist LpAq “ H?

Beispiel

a

b

c

d

e

f

g

h

i

t

c

t

Algorithmus:

1. Vergiss die Kantenmarkierungen

2. Füge einen Zielknoten t ein und Kanten vonallen akzeptierenden Knoten zu t

3. Teste, ob es einen Weg von s nach t gibt

4. Falls ja: Ausgabe „LpAq “ H“

‚ Das Leerheitsproblem für DFAs lässt sichalso auf das Erreichbarkeitsproblem in ge-richteten Graphen zurückführen

– Aufwand: Op|δ|q

‚ Der Algorithmus funktioniert auch fürNFAs

‚ Der Leerheitstest für reguläre Ausdrücke αist (fast) trivial:

– falls kein H vorkommt, ist Lpαq “ H– Ansonsten lässt sich α gemäß der

Regeln aus Kapitel 2 vereinfachen– Lpαq “ H ðñ

am Schluss bleibt nicht H übrigGTI / Schwentick / SoSe 16 A: 5. Abschlusseigenschaften, Grenzen und Algorithmen . ✁✄ Folie 28

Algorithmen: WortproblemDefinition: Wortproblem für Reguläre Sprachen

Gegeben: Wort w P Σ˚, reguläre Sprache L,

repräsentiert durch DFA A, NFA A1 oder REα

Frage: Ist w P L?

‚ Der Algorithmus für das Wortproblem und damitder Aufwand hängen von der Repräsentationder Sprache ab:

– DFA: Simuliere den AutomatenAufwand: Op|w| ` |δ|q

– NFA: Simuliere den Potenzmengenautoma-ten, ohne ihn explizit zu konstruieren∗ Speichere dabei immer nur die aktuell

erreichte ZustandsmengeAufwand: Op|w| ˆ |δ|q

– RE: Wandle den RE in einen ǫ-NFA um undsimuliere dann den Potenzmengenautoma-ten Aufwand: Op|w| ˆ |α|q

Erläuterungen:

‚ Für die Simulation wird jeweils zuerstdie Transitionsfunktion δ in ein Arraygeschrieben

‚ Aufwand Op|δ|q

‚ Die einzelnen Übergänge könnendann durch Nachschauen in der Ta-belle ausgeführt werden

‚ Bei der Simulation von NFAs sind dieTabelleneinträge jeweils Mengen vonZuständen


Algorithmen: Äquivalenztest für DFAs (1/3)Definition: Äquivalenzproblem für DFAs

Gegeben: DFAs A1 und A2

Frage: Ist LpA1q “ LpA2q?

‚ Wir betrachten zwei Lösungsmethoden:

(1) Mit Minimalautomaten

(2) Mit dem Produktautomaten

(1) Mit Minimalautomaten:

– Konstruiere die Minimal-Automaten: A11

und

A12

zu A1 und A2

– Teste, ob A11

und A12

isomorph sind:∗ Konstruiere dazu schrittweise eine Bijek-

tion π von (den Zuständen von) A11

auf

A12

∗ Initialisierung: π bildet Startzustand aufStartzustand ab

∗ Dann: Setze π gemäß der Transitionenvon A1

1und A1

2fort

– Aufwand: Op|Σ|p|Q1|2 ` |Q2|2qq

(2) Mit dem Produktautomaten:

– Konstruiere den ProduktautomatenA “ A1 ˆ A2 mit der akzeptie-rende Menge F

def“

tpp1, p2q | pp1 P F1, p2 RF2q

oder pp1 R F1, p2 P F2qu

➨ δ˚A

pps1, s2q, wq P F genaudann, wenn w genau von einemder beiden Automaten akzeptiertwird

– Also: LpA1q “ LpA2q genaudann, wenn LpAq “ H

– Die Frage „IstLpA1q “ LpA2q?“ kanndann also durch den Leerheitstestfür A entschieden werden

➞ Aufwand:Op|Q1| ˆ |Q2| ˆ |Σ|q


Algorithmen: Äquivalenztest für DFAs (2/3)Beispiel

‚ Sind diese beiden DFAs äquivalent?

a

b

c d e

0

0

0 0 0

11

1 1

1

ac ae

bd

00 00

00

1

1

1

1

‚ Berechnung des Produktautomaten‚ Nicht erreichbare Zustände entfernen‚ Die Sprache des Automaten ist leer

➨ Die Automaten sind äquivalentGTI / Schwentick / SoSe 16 A: 5. Abschlusseigenschaften, Grenzen und Algorithmen . ✁✄ Folie 31

Algorithmen: Äquivalenztest für DFAs (3/3)Beispiel

‚ Sind diese beiden DFAs äquivalent?

a

b

c d e

0

0

0 0 0

11

1 1

1

Beispiel (Forts.)

‚ Minimierung des oberen Automatenliefert:

c d

0 0

1

1

‚ Beide Automaten sind nun isomorphgemäß

– a ÞÑ c

– b ÞÑ d

‚ Noch eine weitere Methode:

– Führe den Markierungsalgorithmusauf „A1 Y A2“ aus und überprü-fe, ob ps1, s2q markiert wird


Algorithmen: Äquivalenztest für NFAs und REs‚ Äquivalenztests für NFAs und REs sind zwar auch

automatisierbar, aber die Komplexität ist erheblichgrößer

‚ Genauer: Zu testen, ob zwei reguläre Ausdrücke(oder zwei NFAs) äquivalent sind ist vollständig fürdie Komplexitätsklasse PSPACE

– Das gilt sogar, wenn einer der REs gleich Σ˚ ist

– Intuitiver Grund: Die REs müssen zuerst inDFAs umgewandelt werden

‚ Was „vollständig für PSPACE“ bedeutet, werden wirim letzten Teil der Vorlesung sehen

‚ Hier lässt sich schon sagen: das Problem ist (wohl)noch schwieriger als NP-vollständige Probleme wiedas Traveling Salesman Problem


Algorithmen: EndlichkeitstestDefinition: Endlichkeitsproblem für DFAs

Gegeben: DFA A

Frage: Ist LpAq endlich?

‚ Hier hilft uns die Grundidee desPumping-Lemmas weiter:

Beispiel

a b c d

e f g h

0

101

1

0

1

0

Satz 5.8

‚ Die Sprache eines DFA A ist genau dann un-endlich, wenn A einen Zustand q mit den fol-genden Eigenschaften hat:

(a) q ist von s aus erreichbard.h.: Dx P Σ

˚: δ˚ps, xq “ q

(b) q liegt auf einem Kreisd.h.: Dy P Σ

˚: y “ ǫ und δ˚pq, yq “ q

(c) Von q aus ist ein akzeptierender Zustand er-reichbar d.h. Dz P Σ

˚: δ˚pq, zq P F

Beweisidee

„ð“ Dann werden die unendlich vielen Stringsxy0z, xy1z, xy2z, . . . von dem DFA ak-zeptiert

„ñ“ Die Existenz eines solchen Zustandes q folgt wieim Beweis des Pumping Lemmas

‚ Aufwand: Op|δ|q (Doppelte DFS-Suche)‚ Funktioniert auch für NFAs


Zusammenfassung‚ Um Automaten und reguläre Ausdrücke an-

wenden zu können (zum Beispiel im ModelChecking), benötigen wir Algorithmen fürdie Synthese und zum Testen von Eigen-schaften regulärer Sprachen

‚ Synthese:

– Die regulären Sprachen sind untervielen Operationen abgeschlossen

– In vielen Fällen lassen sich die ent-sprechenden Zielautomaten effizientberechnen

– Für Boolesche Operationen spielenProduktautomaten eine wichtige Rolle

‚ Test von Eigenschaften:

– Leerheit und Endlichkeit der Spra-che eines NFA können effizient getestetwerden - dabei wird im Wesentlichenein Erreichbarkeitsproblem für gerichte-te Graphen gelöst

– Äquivalenz zweier DFAs kann eben-falls effizient getestet werden

– Äquivalenz von NFAs und REs ist imallgemeinen (wohl) erheblich schwieri-ger zu testen

‚ Das Pumping-Lemma liefert ein weite-res Verfahren zum Nachweis, dass eineSprache nicht regulär ist


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