Grundlagen der Regelungstechnik

Dr.-Ing. Georg von WichertSiemens AG, Corporate Technology, München

Termine

• Dies ist der letzte Termin in diesem Jahr• 17.12.2004 fällt aus• Nächste Termine: 14.1., 28.1., 4.2.

Wiederholung vom letzten Mal

• Geschlossener Regelkreis

GF(s): FührungsfilterK(s): ReglerG(s): ProzessGM(s): Messglied

Regelkreis

d: Störungw: Führungsgrößeu: Stellgrößey: Ausgangsgröße

w u yGF(s) K(s) G(s)

GM(s)

d

v

-

Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises

w u yGF(s) K(s) G(s)

GM(s)

d

v

-

Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises Gg(s):

Übertragungsfunktion des offenen Kreises

w u yGF(s) K(s) G(s)

GM(s)

d

v

Geschlossener Kreis

Offener Kreis

Führungs- und Störübertragungsfunktionen

• Störung wird aufgeteilt auf– d1: Störung am Streckeneingang– d2: Störung am Streckenausgang

w u yGF(s) K(s) G(s)

GM(s)

d1

v

-

d2

+ +

Führungsübertragungsfunktion Störübertragungsfunktionen

Anforderungen an den Regelkreis

• Durch geeignete Wahl (Synthese) eines Reglers soll – bei gegebenem Prozess - dem geschlossenen Kreis ein gewünschtes Verhalten aufgeprägt werden

• Der geschlossene Regelkreis soll– stabil sein– der Führungsgröße folgen– Störungen unterdrücken

• Beispiel:w u y

K(s) G(s)

d1

-

d2

+ +

P-Regler

Beispiel (Schumacher-Skript)

Sprung der Führungsgröße wQuelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

Beispiel (Schumacher-Skript)

Sprung der Störgröße d1 Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

Beispiel (Schumacher-Skript)

Sprung der Störgröße d2 Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

Regelgüte

• Ausregelzeit tε

• Überschwingweite emax

• Regelfläche

– linear

– quadratisch

– Betrag

Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

Verhalten des Regelkreises: Ein Beispiel

w u yK(s) G(s)

d1

-

d2

+ +

P-Regler Prozess

OffenerKreis

GeschlossenerKreis

Stabilitätsbegriff

Ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied (LZI-Glied) ist dann stabil, wenn es auf ein beschränkte Eingangsgröße stets mit einer beschränkten Ausgangsgröße antwortet.

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 5 10 15 20 25 30-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

K = 4 K = 10

Grundlegendes Stabilitätskriterium

Ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied ist dann stabil, wenn die Pole seiner Übertragungsfunktion sämtlich links der imaginären Achse der komplexen Ebene liegen.

Re{s}=σ

Im{s}=jω

arg(s)

|s|

s

Grundlegendes Stabilitätskriterium

• Zu jedem Pol gehört ein exponentieller Ausgangssignalanteil– positive Realteile der Pole führen zu „aufklingendem“ Verhalten

nur ein-fache Pole

Sprungantwort (einfache Pole):

Anmerkung:Partialbruchsumme fürq-fachen Pol bei s=β:

Partialbruchzerlegung

• Numerische Kriterien– Ausgehend von der Charakteristischen Gleichung– Algebraische Bedingungen für deren Koeffizienten

– z.B. Hurwitz-Kriterium

• Grafische Kriterien– Aussagen basierend auf dem Verlauf des Frequenzgangs,

insbesondere des Phasenverlaufs– Dargestellt als Ortskurven– Nyquist-Kriterium

Stabilitätskriterien

Nyquist-Kriterium

• Frage an den offenen Kreis: „Wenn ich Dich schließe, bist Du dann stabil?“

• Was weiß man über den offenen Kreis?– Rechnerisch: Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion– Messtechnisch: Frequenzgang

• Bodediagramm• Ortskurve der Übertragungsfunktion

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Analyse der Ortskurve

• Besonders gut sichtbar– Betrag

– Phasenwinkel

• Phasenintegral

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Phasenverlauf

Beliebige, gebrochen rationale Funktion F(s)

Betrag Phase

αi βi

s

Re{s}=σ

Im{s}=jω

Polstelle

Nullstelle

Phasenintegral

αi βi

s

Re{s}=σ

Im{s}=jω

Polstelle

Nullstelle

C

falls si bzw. s0i innerhalb von C

falls si bzw. s0i außerhalb von C

s0isi

Phasenintegral

• Dies gilt allgemein für gebrochen rationale komplexe Funktionen– auch falls keine Polstellen vorhanden sind (z.B. einfaches Polynom)

Polstelle

Nullstelle

C

ln: eingeschlossene Nullstellen

lp: eingeschlossene Polstellen

αi βi

s

Re{s}=σ

Im{s}=jω

s0isi

• Kann man dem offenen Kreis „ansehen“, ob der geschlossene Kreis stabil sein wird?– Nyquist-Kriteium– Nullstellenbetrachtung

für Ng(s)– Ng(s) ist kein Polynom!

– Die Pole des offenen Kreises sind die Pole von Ng(s)

Nyquist-Kriterium

Phasenintegral

Phasenintegral von 1+Go(s)

R→ ∞

σ

jω

C1 C2

wegen weil

Stabilität des geschlossenen Kreises für ln = 0

Nyquist-Kriterium

• Wir betrachten die Ortskurve des offenen Kreises Go(s)!• Relevant: Phasendrehung von Ng(s) = 1 + Go(s)

– Phasendrehung von G0(s) bzgl. des Punktes -1

Die Ortskurve des offenen Kreises muss den Punkt −1 für den Durchlauf der Frequenzen ω von −∞ bis ∞ so oft

gegen den Uhrzeigersinn umlaufen, wie der offene Kreis Pole in der rechten Halbebene besitzt.

Go

Go

Go

Go

Beispiel: Instabiler offener Kreis

• Offener Kreis– Instabil

• Geschlossener Kreis

– Stabilität für K = 1.2

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Beispiel: Instabiler offener Kreis

• Sprungantworten der offenen Kreise– Beide instabil

• Sprungantworten der geschlossenen Kreise– Stabilität für K = 1.2

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-20

0

20

40

60

80

100

120Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

8

Polstellenlage des geschlossenen Kreises für verschiedene K

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

Axi

s

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

• Pole auf der reellen Achse werden umgangen mit r → 0

– Ohne Beweis: Stabilität für• la: Anzahl der Pole auf

der imaginären Achse

Nyquist-Kriterium für grenzstabile offene Kreise

Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

Nyquist-Kriterium für (grenz)stabile offene Kreise

Für (grenz)stabile offene Kreise gilt: Der Punkt -1 muss „links“ der Ortskurve des offenen Kreises liegen

Exakte Bedingung für die Phasendrehung:

lp: Instabile Pole des offenen Kreisesla: Grenzstabile Pole des offenen

Kreises

Quelle: Föllinger, Regelungstechnik

Betrags- und Phasenabstand

• Maße für die Robustheit der Regelung– Gegen Parametervariationen

(Modellfehler!)– Hinreichende Dämpfung von

Störungen– „Wie weit ist es bis zur

Instabilität?“

rπ: Betragsabstandωπ: Phasendurchtrittsfrequenz

ψd: Phasenabstandωd: Amplitudendurchtrittsfrequenz

Quelle: Schumacher/Leonhard, Grdl. der Regelungstechnik

Betrags- und Phasenabstand im Bode-Diagramm

• Bodediagramm und Ortskurvetragen dieselbe Information

Quelle: Schumacher/Leonhard, Grdl. der Regelungstechnik

rπ: Betragsabstandωπ: Phasendurchtrittsfrequenz

ψd: Phasenabstandωd: Amplitudendurchtrittsfrequenz