Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 57 A Series of Comprehensive Studies in Mathematics

Georg Hamel

Theoretische Mechanik Eine einheitliche Einführung in die gesamte Mechanik

Springer-V erlag Berlin Heidelberg GmbH 1978

ISBN 978-3-642-88464-1 ISBN 978-3-642-88463-4 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-88463-4

AMS Subject Classifications (1970): 70 A05

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Copyright 1949 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1949

Reprinted in India by Rekha Printers Private Limited, New Delhi

NY /3014-05432

DIE GRUNDLEHREN DER

MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELI;UNGEN MIT BESONDERER

BERÜCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE

HERAUSGEGEBEN VON

W. BI,ASCHKE · R. GRAMMEl,· E. HOPF · F. K. SCHMIDT

B. I,. VAN DER WAERDEN

BAND LVII

THEORETISCHE MECHANIK EINE EINHEITLICHE EINFÜHRUNG

IN DIE GESAMT!~ MECHANIK

VON

GEORG HAMEL

SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1949

THEORETISCHE MECHANIIZ

EINE EINHEITLICHE EINFÜHRUNG

IN DIE GESAMTE MECHANIK

VON

DR. PHIL. GEORG HAM:EL Q. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN UNIVERSIT.~T

BERLIN-CHARLOTTENBURG

Q. MITGLIED DER DEUTSCHEN AKADEMIE

DER WISSENSCHAFTEN

MIT 161 ABBILDUNGEN

SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1949

Vorwort. Bei Abfassung dieses Buches hatte ich hauptsächlich zwei Ziele

im Auge: Erstens sollte die ganze Mechanik als eine einheitliche Wissenschaft

erscheinen, nicht in herkömmlicher Weise nach Punktmechanik einer­seits, Mechanik der Kontinua andererseits getrennt, zweitens sollte die auf Lagranges unsterbliches Werk zurückgehende Methode eines einheitlichen Aufbaus auf den drei Säulen des Prinzips der "iiirtuellen Arbeiten, des d'Alembertschen Prinzips nnd des Lagrangeschen Prinzips der Befreiung konsequent durchgeführt werden.

Das schien mir Um so nötiger, als Lagrange die dritte Säule zwar ständig benutzt, aber nicht klar hingestellt hat und diese dritte Säule daher von den Nachfolgern nicht beachtet worden ist. Um den Unter­schied dieser deduktiven Methode gegen die sonst meist gebrauchten synfuetischen, mehr anschaulichen Methoden zu betonen, wurde das Buch , Theoretische Mechanik" genannt.

Das schien mir besser als etwa analytische Mechanik zu sagen, wdl dieser Begriff auch so verstanden werden kann, als spielte die Analysis, etwa die Integrationstheorie der Differentialgleichungen die Hauptrolle. Das soll nicht sein, wenn auch der Integrationstheorie ein guter Teil des Buches gewidmet ist.

Bei rigoroser Durchführung des zweiten Gesichtspunktes kann der erste, die Einheitlichkeit, gefährdet werden. Deshalb wurden die syn­thetischen Methoden zur Ergänzung bzw. ntustration auch heran­gezogen, ja an einer Stelle bei der Mechanik der Drähte (Kap. III § 2) sogar vorangestellt. Ferner wurde in die Sammlung der "Aufgaben und Probleme" manche Aufgabe aufgenommen, die an sich mehr in eine elementare oder technische Mechanik hineinpaßt, um die Ver­bindung herauszustellen. Diese Aufgaben sind mit dem Zeichen V versehen, das auch solche Aufgaben bekommen haben, die der Ver­bindung mit rein mathematischen Disziplinen, z. B. der Differential­geometrie, dienen. Endlich aber wurde zum Zwecke der Einheitlichkeit im Anhang ein Vortrag abgedruckt, den ich im Seminar an der Tech­nischen Hochschule über die Grundlegung der Mechanik halten durfte. In diesem Vortrag wurden die verschiedenen üblichen Methoden des Aufbaues nebeneinandergestellt. Es kann nicht ausbleiben, daß so das eine oder andere zweimal gesagt wurde, was der Leser gütigst ent­schuldigen möge.

VI Vorwort.

Das gestellte Programm wirklich ganz durchzuführen, hätte ein um­fangreiches Handbuch benötigt, viele Bände statt des einen. Ein Hand­buch aber war nicht beabsichtigt, sondern ein Lehrbuch. Es galt sich also zu bescheiden, zu bescheiden auf das, was als wesentlich für eine Gesamtmechanik anzusehen ist. Es mußte so viel gebracht werden, daß der Leser, der das Buch durchgearbeitet hat, den Zugang zu Spezial­werken findet, die nicht überflüssig gemacht werden sollen. So wurden etwa von der Elastizitätstheorie wohl die grundlegenden Theorien dar­gestellt, auch die der endlichen Deformationen, auch die Minimalprin­zipien von Castigliano u. a. sogar für endliche Deformationen, hier wurde ein Vortrag eingeschaltet, den ich einmal im Außeninstitut der Technischen Hochschule Berlin gehalten habe,. aber bis auf wenige ein­fache Beispiele auf Einzelausführungen verzichtet, wie man sie in den bekannten klassischen Werken findet. Ähnlich wurde mit der Hydro­dynamik verfahren, oder, um ein Beispiel aus der Stereomechanik zu nennen, mit der Kreiseltheorie. Doch soll der Leser, der nur dieses Buch über Mechanik studiert hat, immerhin wissen, was Mechanik ist.

Um den Aufbau recht klar hervortreten zu lassen, wurden Einzel­probleme, die an sich wichtig sind, aus dem eigentlichen Buch heraus­genommen und als Aufgaben in die Sammlung der "Aufgaben und Pro­bleme" verwiesen. Hier sind sie durch das Zeichen P hervorgehoben, wogegen die Aufgaben im engeren Sinne das Zeichen A bekommen haben. Zu der Kategorie P gehören z. B. die Untersuchungen von Painleve u. a. zur Reibung, Probleme von Stäckel und Di Pirro zur Trennung der Variablen, Aufstellung der Lagrangeschen Glei­chungen für den allgemeinen Kreisel in komplexen Koordinaten, eine längere Untersuchung zum n-Körperproblem im Anschluß an die ele­mentare Lösung von Lagrange. Und anderes mehr. Der Leser kann sich von diesen Problemen das aussuchen, was er mag.

So sind die Aufgaben und Probleme recht mannigfacher Art. Kleine, nur zum Nachdenken anregende Aufgaben stehen neben solchen, die gerechnet werden wollen. Ausrechnen wurde überhaupt nicht gescheut. Auch die Aufgabe'l sind ganz durchgerechnet. Sicher ist Denken wich­tiger als Rechnen. Aber Rechnen muß man auch können, und man lernt es nicht, wenn man daran vorbeigeht. Nichts gefährlicher als die Meinung, ein Problem sei gelöst, wenn man eine Methode kennt, es zu lösen.

Das Buch soll auch für den lesbar sein, der außer einer Vorlesung über Experimentalphysik noch keine Mechanik kennt. Da es außerdem bei dem noch immer zu beklagenden Zustand der Lehrbücher der Mechanik unbedingt notwendig war, außer den genannten drei Säulen noch die wichtigste, das Newtonsehe Grundgesetz mit "dem tragenden Begriff der Kraft zu entwickeln und nicht nur anzudeuten, war ein einleitendes elementares Kapitel nötig. Man wolle also den Titel

Vorwort. VII

"Theoretische Mechanik" nicht mißverstehen. Das Buch wendet sich auch nicht nur an Mathematiker, sondern ebensosehr an Physiker und Ingenieure.

Das Buch ist aus meinen Vorlesungen entstanden, die ich durch viele Semester über theoretische Mechanik, die Grundlagen der Me­chanik, über analytische Mechanik, über Hydromechanik und Elasti­zitätstheorie an der Technischen Hochschule Berlin gehalten habe. Den Grundstock bildet eine Ausarbeitung, die meine Schülerin, Frl. Dr. Inge­borg Kraft, angefertigt hat. Die Ausarbeitung wurde dann unter Mitwirkung von Herrn Ottokar Gdaniec immer wieder überarbeitet und erweitert, so besonders während meines Aufenthaltesam Bodensee und in Landshut 1945 bis 1948. Da ich an diesen Orten fast von allen Hilfsmitteln entblößt war, mußte vieles aus dem Gedächtnis an Früheres ergänzt oder auch aus dem Kopfe neu geschaffen werden. Meinen Tübinger Kollegen danke ich sehr, daß sie mir durch eine Gastvorlesung über Theoretische Mechanik, die vom Herbst 1946 bis zUm Sommer 1947 dauerte, ermöglichten, Literatur einzusehen. Von Einzelheiten möchte ich noch folgendes hervorheben. Die Mechanik der Häute und der dünnen Schalen wurde aus meiner Akademiearbeit übernommen. Während der erste Teil fast wörtlich als Kap. III, § 3 aufgenommen werden konnte, mußte der zweite in § 4 wesentlich umgearbeitet werden. Einmal war dieser Teil in der Originalarbeit durch ungewöhnlich viele Druckfehler entstellt. Dann aber enthielt diese einen Mangel, der in der voreiligen Annahme einer Symmetrie bestand und entsprechende Folgen hatte. Herr K. Ludwig in Hannover hat mich darauf auf­merksam gemacht. Ich habe daraus noch etwas Wichtiges über das Befreiungsprinzip gelernt. Kann man ein und dieselbe Tatsache über die virtuellen Verschiebungen in mehrfacher Weise ausdrücken, so sollte man jede Ausdrucksform mit einem anderen Lagrangeschen Parameter versehen, nicht wie ich es tat mit demselben. Sonst bekommt man zwar kein falsches aber leicht ein zu enges Ergebnis.

Steht auch etwasNeues in dem Buch? Ich glaube ja. Jedenfalls istvieles neu und selbständig durchgerechnet. So besonders in den Abschnitten über den starren Körper (Kap. II, § 9, Kap. VIII, § 7 und 8); über den Stoß (Kap. VIII, § 5), bei den nicht holonomen Systemen (Kap. IX, § 6), von schon Genanntem abgesehen. Über die Trennung der Variablen (nach Stäckel und Di Pirro) wurden in Aufgabe 123 u. ff. neue Unter­suchungen veröffentlicht. Vielleicht ist auch die Ausdehnung der La­grangeschen Methoden auf die Mechanik der Kontinua Kap. V,§ 10 neu. Ein wenig Relativitätstheorie kommt neben der sonst klassischen Mecha­nik auch vor, wohl etwas anders behandelt als gewöhnlich (Kap. I, § 9).

Sonst wurden für die analytische Mechanik im engeren Sinne außer dem Werk von Lagrange sehr stark der Enzyklopädieartikel von Prange und das Buch von Whittaker benutzt.

VIII Vorwort.

Noch ein Wort über die benutzte Bezeichnung. Wider das in Deutsch­land Übliche wurden Vektoren nach Resal und Heun durch über­gesetzte Striche, Dyaden durch zwei Striche gekennzeichnet. Das ist einprägsam international verständlich und erspart zwei oder gar drei Alphabete, die für andere Zwecke frei wurden. Nur war es nötig, für konjugiert komplexe Zahlen, die selten vorkommen, ein anderes Zeichen zu wählen, ich nahm die übergesetzte Schlange, z. B. ä, während für Mittelwerte die Indizesmoder 0 verwandt wurden, für alles, was sich auf den Massenmittelpunkt bezieht, der Stern. Das Vektorprodukt wurde nach Gib bs durch ein liegendes Kreuz bezeichnet.

Beim Korrekturlesen haben mich Herr Ottokar Gdaniec, meine Assistentin Fr1. Dipl. math. Erika Behlendorff und Frl. Dr. Ingeborg Kraft wesentlich unterstützt. Die Zeichnungen wurden nach meinen Skizzen von Herrn Gdaniec entworfen und von Herrn stud. ing. Günter Wyczecki ausgeführt. Ich sage allen vier meinen herzlichsten Dank.

Ganz besonders Dank gebührt dem Springer-Verlag dafür, daß er in diesen schweren Zeiten die Herausgabe eines so umfangreichen Werkes unternommen, den Druck eifrig betrieben und das Buch wie in alten Zeiten auch ästhetisch erfreulich herausgebracht hat.

Landshut, 29. Januar 1949. Hamel.

Inhaltsveneichnis •.

Teil I.

Aufbau der Theoretischen Mechanik.

Einleitung . . . . . . . . . . Zur Geschichte der Mechanik . Literaturübersicht . . . Einteilung der Mechanik . . .

Kapitel I.

Seilt

1 3 5 6

Der Begrlff der Kraft und das Newtonsehe Grundgesetz.

1. Vorbemerkung S. 6.

f l. Geschwindigkeit und Beschleunigung • 2. Axiomgruppe I S. 8.

I 2. GaUleische Fallbewegungen . . . . . 3. Die Erdbeschleunigung S. 11 - 4. Klasse und Beschleunigungs­

gesetz S. 13.

8 (528)

11 (528)

f 8, Ebene Bewegungen Jn Polarkoordinaten . . . . . . . . 15 (529) 5. Eine Zerlegung von Geschwindigkeit u. Beschleunigung S. 15.

f 4. Die Bewegung der Planeten und Kometen um die Sonne 17 ( 529) 6. Keplers Gesetze S. 17 - 7. Das Beschleunigungsgesetz der Planeten S. 19 - 8. Masse von Sonne und Erde S. 22.

f ö. Das r&•Körperproblem der Astronomie . . . . . . . . . 23 (534) 9. Das Parallelogrammgesetz S. 23 - 10. Gegenwirkungsprinzip und Impulssätze S. 25 - 11. Energie und Leistung S. 28 -12. Beispiel: Das Zweikörperproblem S. 30 - 13. Zwei Be-merkungen S. 31.

f 6. Widerstandsbewegungen. . . . . . . . . . . . . . . . 33 ( 538 ) 14. Reibung und Luftwiderstand S. 33 - 15. Wurf und Luft-widerstand S. 35 - 16. Schräger Wurf S. 37 - 17. Die Asym· ptoten S. 40.

§ 7. Zusammenfassung des I. Kapitels . . . . . . . . . . • 43 (540) 18. Das Beschleunigungsgesetz und seine Merkmale S. 43 -19. Masse und Kraft S. 44- 20. Die drei ersten Axiomgruppen 5.48.

• Die eingeklammerten Zahlen beziehen sich auf Teil li, Aufgaben und Probleme der Theorctis<'hen Mechanik.

X Inhaltsverzeichnis.

§ 8. Anhang zum I. Kapitel: Die Punktmechanik 21. Die Impulssätze S. 51 - 22. Der Energiesatz S. 53 - 23. Der starre Körper S. 55 - 24. Zur Potentialtheorie S. 56.

Seite

51 (544)

§ 9. Zweiter Anhang: Zur speziellen Relativitätstheorie. . . . 59 (541) 25. Die Lorentz-Transformation S. 59 - 26. Die Mechanik der Relativitätstheorie S. 62.

Kapitel li.

Statik gebundener Systeme von endlichem Freiheitsgrad.

27. Vorbemerkung S. 65. § 1. Der einzelne Punkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

28. Lagrangesche Parameter und Prinzip der virtuellen Arbeiten S. 65 - 29. Eins~itige Bindungen S. 68.

§ 2. Von der Reibung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 (543) 30. Haftreibung S. 69 - 31. Gleitreibung S. 72.

§ 8. Das Lagrangesehe Befreiungsprinzip . . . . 32. Eingeprägte Kraft und Reaktionskraft S. 73.

§ 4. Das Prinzip der virtuellen Arbeiten . . . . . 33. Axiom IV S. 75 - 34. Beispiele, die Waage S. 76.

§ 5.· Holonome Systeme von endlichem Freiheitsgrad . . 35. Lagrangesche Koordinaten und Kraftkomponenten S. 79 -36. Der starre Körper in der Ebene S. 80 - 37. Die Schneide, ein nichtholonorues System S. 83.

73

75 (549)

79 (550)

§ 6. Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 (552) 38. Lagrangesche Parameter S. 85 - 39. Beispiele S. 87.

§ 7. Das Befreiungsprinzip bei Systemen von endlichem Freiheits-grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 (555)

40. Ausführung und Beispiele S. 91:

§ 8. Der starre Körper im Raum . . . . . . . . . . . . . 93 (556) 41. Die Eutersehen Winkel S. 93 - 42. Die Eulersche Geschwin · digkeitsformel S. 97 - 43. Anwendungen auf die Statik S. 97 -44. Notwendige Gleichgewichtsbedingungen für beliebige Systeme s. 101.

§ 9. Weiteres zur Kinematik des starren Körpers im Raume . 103 (559) 45. Die Rodriguesschen Formeln S. 103 - 46. Die komplexe Darstellung S. 107 - 47. Die Zusammensetzung zweier Dre hungen S. 114 - 48. Quaternionen S. 116.

Kapitel III.

Statik der Systeme von unendlieh vielen Freiheitsgraden. 49. Vorbemerkung S. 118.

§ 1. Der Idealfaden . . . . . . . . . . . . . 50. Voraussetzungen S. 118 - 51. Eine Übergangsgleichung S. 119 - 52. Die Parametermethode S. 120 - 53. Beweis S. 122 - 54. Die Zugkraft S. 125.

118 (561)

Inhaltsverzeichnis. XI s~lte

§ 2. Seil und Draht . . . 128 (566) 55 Literatur '3. 128 - 56. Die synthetische Methode S. 128 --57. Unsere Methode S. 130 - 58. Kinematische Zwischen­betrachtung S. 130 - 59. Durchführung S. 132 - 60. Das Be­freiungsprinzip S. 135 - 61. Balken und steifes Seil S. 136.

§ 3. Die dünne Haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 (568) 62. Beltramis Gleichungen S. 138 - 63. Dk elastisch dehnbare Haut S. 141 - 64. Sonderfälle S. 145.

§ 4. Theorie der dünnen Schalen und Platten . . . . . . . . 148 65. Der Ansatz S. 148 - 66. Feldgleichungen und Randbedin­gungen S. 150-67. Bedeutung der ParameterS. 152-68. Zer­legung in Komponenten S. 156- 69. BefreiungS. 158 -70. Voll­kommene Elastizität S. 159 - 71. Die Platte S. 161 - 72. Die synthetische Methode S. 166 - 73. Literatur S. 170.

§ o. Die Flüssigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 170 (573) 74. Statik der inkompressiblen Flüssigkeit S. 170 - 75. Kom-pressible Flüssigkeiten und Gase S. 173 - 76. Bewegungs­gleichungen idealer Flüssigkeiten S. 174- 77. Potentialbewegun-gen S. 176- 78. Der ebene FallS. 177 - 79. Die Bemoullische Gleichung S. 178 - 80. Hydraulik S. 179.

f 6. Nochmals der starre Körper. . . . . . . . . . . . • . 181 (580) 81. Kinematische Betrachtung S. 181 - 82. Der Spannungstensor S. 183 - 83. Das beliebige System und die innere Arbeit S. 186 -84. Die drei allgemeinen Sätze der Mechanik S. 187.

f 7. Grundlegung der Elastizitätstheorie. . . . . . . . 85. Das Deformationsellipsoid S. 189 - 86. Spannungen und Gleichgewichtsbedingungen in den Koordinaten a, b, c S. 191 -87. Die virtuelle Arbeit S. 193 - 88. Die Abhängigkeit der inneren Spannungsgrößen von den Deformationsgrößen S. 194 - 89. Das Hookesche Gesetz S. 196 - 90. Beispiel S. 199 91. Kinetik elastischer Körper S. 205.

§ 8. Flüssigkeiten und Gase mit innerer Reibung 92. Die Bewegungsgleichungen S. 207 - 93. Exakte Lösungen s. 211.

Kapitel IV.

Die ersten allgemeinen Prinzipien der Kinetik.

§ 1 • .Einleitung . . . . . . . . 94. Kräfteäquivalenz S. 215.

§ 2. Das d' Alembertsche Prinzip . 95. FormulierungS. 217-96. Kritische Bemerkungen S. 220-97. Versuch eines Beweises aus dem Befreiungsprinzip mit Hilfe eines neuen Prinzips von der Passivität der Reaktionskräfte S. 222 - 98. Beispiele S. 223.

189 (583)

207 (593)

215 (605)

217 (666)

XII Inhaltsverzeichnis.

f 8. Die Energiegleichung für akleronome Systeme. 99. Der Energiesatz S. 225 - 100. Das mathematische Pendel S. 226 - 101. Das physische Pendel S. 229 - 102. Der Steiner­sehe Satz S. 231 - 103. Gegenbeispiel S. 232.

Seite

225 (609)

f 4. Das Bamlltonsche Prinzip. . . . . . . . . . . . . . . 233 (614) 104. Die Zentralgleichu:n,g S. 233 - 105. Das Hamittonsehe Prinzip S. 235. .

f 5. Die Lagrangeschen und die Belmholtzschen Wirbelsitze fiir Ideale Flllssigkelten. . . . . . . . . . . . . . . . . 237

106. Die Helmholtzschen Sätze S. 237 - 107. Lagranges Inte­gration S. 239 - 108. Die Kontinuitätsgleichung S. 241.

Kapitel V.

Holonome Systeme mit endliebem Freiheitsgrad. Die Lagrangesehen Gleichungen.

f 1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 (617) 109. Eine Übergangsgleichung S. 242 - 110. Die kinetische Energie S. 244.

f 2. Die Lagrangeschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . 244 (618) 111. Koordinaten der Beschleunigung und des Impulses S. 244-112. Die Ableitung aus der Zentralgleichung S. 246 - 113. Ab· Ieitung aus dem Hamittonsehen Prinzip S. 248 - 114. Der Energiesatz S. 249.

f 8. Der starre Körper in der Ebene . . . . . . . . . . . . 250 (628) 115. Die Bewegungsgleichungen S. 250 - 116. Beispiel S. 252.

§ 4. Kleine Schwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 254 (639) 117. Das geführte PendelS. 254-118. Das Doppelpendel S. 256 - 119. Schwebung S. 259 - 120. Glocke und Klöppel S. 260.

§ iJ. Weitere Beiilpiele zu den Lagrangeschen Gleichungen . . 260 (643) 121. Das Zykloidenpendel S. 260 - 122. Das sphärische Pendel S. 262 - 123. Der geknickte Faden S. 264.

§ 6. Kleine Schwingungen um eine Gleichgewichtslage bei Systemen von beliebig hohem endlichem Freiheitsgrad . 266 (645)

124. Satz von Lagrange S. 266.

§ 7. Der Stabilititssatz von Dirleblet . . . . . . . . . . . . 268 (649) 125. Satz und Beweis S, 268.

§ 8. Schwingungen um eine stabile Gleichgewichtslage bei einem Freiheitsgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 (649)

126. Satz von Weierstrass S. 271- 127. Satz von Poin<'are S. 272.

§ 9. Die Wirkung von Geschwindigkeitsgliedern 128. Satz von William Thomson S. 275.

§ 10. Systeme von unendlichem Freibettsgrad . 129. Beispiel des Fadens S. 278 - 130. Sogenannte Lagrangesche Gleichungen erster Art S. 281.

275 (651)

278 (652)

Inhaltsverzeichnis. XIII

Kapitel VI.

Mathematische Dureharbeitung. Seit•

f 1. Die Hamiltonschen oder kanonischen Gleichungen . 281 (653) 131. Der Phasenraum S. 281- 132. Die Hamiltonsche Funktion S. 282 - 133. Beispiele S. 284 - 134. Zyklische Koordinaten S. 285 - 135. Die Routhschen Gleichungen S. 286.

f 2. Kaaonische Transformationen . . . . . . . . . . . . . 287 (662) 136. Definition und Beispiele S. 287 - 137. Der erste Hauptsatz S. 289 - 138. Der zweite Hauptsatz S. 290 - 139. Ein Satz von Jacobi S. 291 - 140. Allgemeinere kanonische Transfor-mationen S. 292 - 141. Charakterisierung der kaiionischen Trans­formationen S. 293 - 142. Berührungstransformationen S. 294.

t· 3. "Ober erste Integrale der kanonischen Gleichungen und die Klammersymbole Poissons. . . . . . . . . . . . . . 295 (667)

143. Jacobis IdentitätS. 295 -144. J acobis andere Integrations-methode S. 296 - 145. Jacobis Theorema gravissimum S. 298.

f 4. lnlillltesimale kanonische Transformationen . . . . . . . 299 (688) 146. Der Begriff S. 299 - 147. Drei Sätze S. 300 - 148. Das Problem von Liouville und Stäckel S. 302.

f 6. Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . 303 (689) 149. Satz von I.agrange und Poisson S. 303 - 150. Störungs-gleichungen S. 305 - 151. Beziehungen zwischen den Klammer-symbolen S. 307 - 152. Kanonische Gleichungen bei Lagrange S. 308 - 153. Beispiel S. 309.

Kapitel VII.

Die Minimalprinzipien.

f 1. Das Prinzip der kleinsten Wirkung . . . . . . . . . . 312 (691) 154. Die Form von Euler 8.312-155. Die Form von Jacobi S. 314 - 156. Gravitation in der allgemeinen Relativitätstheorie S. 316.

f 2. Das Prinzip der variierten Wirkung. Die Prinzipalfnnktion 317 (699) 157. Hamiltons partielle Differentialgleichung S. 317- 158. Die Umkehr S. 320 - 159. Beispiel S. 324 - 160. Ausdehnung auf rheonome Systeme S. 326 - 161. Beispiel S. 328.

f 3. Das Prinzip der variierten Wirkung. Die charakteristische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 (699)

162. Jacobis Theorie S. 330-163. BeispielS. 332-164. Reihen­entwicklungen S. 334.

f 4. "Ober Integralinvarianten • . . . . . . . . . . . . . . 335 (707) 165. Eine Invariante erster Dimens.ion S. 335 - 166. Satz von Liouville S. 337.

f Ii. Zur Störungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . 338 167. Idee und Beispiel S. 338.

f 6. Zur Integrationstheorie der kanonischen Gleichungen 340 (708) 168. EinleitungS. 340-169. Erste IntegraleS. 341-170. Nutzen eines Integrals S. 343 - 171. Eine zweite Methode S. 347.

XIV Inhaltsverzeichnis.

f 7. Lineare und quadratische Integrale .... 172. Lineare Integrale S. 349- 173. Beispiel I. n = 2 S. 352-174. Beispiel2. n = 3 S. 354- 175. Quadratische Integrale S. 358.

S<ite

349 (708)

t 8. Das Gaußsehe l'rinzip des kleinsten Zwanges . . . . . . 361 (709) 176. Das Prinzip S. 361 - 177. Appells Gleichungen S. 362 -178. Beispiele S. 363 - 179. Erweiterung des Begriffes der virtuellen VerschiebungS. 365 -180.Das Prinzip von Hertz S. 366.

f 9. Die Minimalprlnzipe der Elastizitätstheorie . . . . . . . 368 181. Kanonische Transformationen S. 368 - 182. Das Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie S. 370 - 183. Das Castiglianosc-he Prinzip oder das Prinzip von der Ergänzungs­arbeit S. 371 - 184. Das Prinzip von Castigliano in seiner zweiten Bedeutung S. 372 - 185. Historisches S. 374.

Kapitel VIII.

Der starre Körper im Raum.

186. Vorbemerkungen S. 375.

f 1. Relativbewegung . . . . . 187. Grundlegende Formeln S. 375 ·-· 188. Über Bewegungen auf der Erde S. 378.

f 2. Bewegungsgleichungen des starren Körpers . 189. Schwerpunkt und Momentensatz S. 380.

f 8. Die Euleneben Gleichungen . . . . . • . . 190. Drall und Energie S. 382 - 191. Trägheitstensor S. 383 -192. Die Eulerschen Gleichungen S. 385 - 193. Ein zweites Trägheitsellipsoid S. 386.

375 (713)

380 (723)

382 (723)

I 4. Der kräftefreie Kreisel . . . • • . . . • . . . . . • • 387 (732) 194. Poinsotbewegung S. 387 - 195. Der symmetrische Fall S. 388 - 196. Der allgemeine Fall S. 389 - 197. Berechnung der Eulerschen WinkelS. 391 - 198. Stabilität gegen Stoß S. 393.

f o. "Ober den einpunktigen Stoß zweier starrer Körper gegenein-ander . . . . • • . . . . • . . . . . . • • . . • . 395 (739)

199. Der vollkommen elastische Stoß S. 395 - 200. Besondere F;ille S. 397 - 201. Der unvollkommen elastische Stoß S. 398 -202. Die Reibung beim Stoß S. 400 - 203. Historisches S. 401.

t 6. Der symmetrische schwere Kreisel. . . . . . . • . . . 402 (741) 204. Reguläre Präzession S. 402- 205. Pseudoreguläre Präzession S. 404 - 206. Deviationswiderstand S. 407.

f 7. Der allgemeine Kreisel; Lagrangesehe Gleichungen. • • . 407 (745) 207. Benutzung der Eulerschen Winkel S. 407 - 208. Ein Satz über konservative Systeme von drei Fr-iheitsgraden mit einer zyklischen Koordinate S. 410 - 209. Anwendung auf den Kreisel S. 412 - 210. Übergang zu den Eulerschen Gleichungen S. 415 - 211. Benutzung Rodriguesscher Koordinaten S. 416 -212. Hamiltonsche Gleichungen S. 420 - 213. Potenzentwick-lung S. 421.

Inhaltsverzeichnis.

Seite § 8. Der allgemeine Kreisel; Reduktion auf eine vektorielle

Gleichung erster Ordnung. . . . . . . . . . . . . . 422 214. Aufstellung der Gleichungen S. 422 - 215. Ist sie voll­ständig? S. 424 - 216. Die Schiff-Stäckelschen Gleichungen S. 426 - 217-222. Sonderfälle S. 428-449.

XV

f 9. Elementare Lösungen des n-Körperproblems. . . . . . . 449 (751) 223. Der Ansatz S. #9 - 224. Erster Fall: alle Punkte liegen in einer Geraden S. 452 - 225. Zweiter Fall: Punkte in einer Ebene. Allgemeines. Der Fall n = 3 S. 454 - 226. Der Fall n = 4 S. 458 - 227. Punkte im Raum S. 463.

Kapitel IX.

Nichtholonome Systeme von endlichem Freiheitsgrad. § 1. Die Parametermethode . . . . . . . . . . . . . . . . 464 (756)

228. Einleitung und erste Methode S. 464 - 229. Die Schneide S. 465 - 230. Der Reifen S. 470 - 231. Der Karren S. 471.

§ 2. Die Übergangsgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . 473 (766) 232. Ableitung der Gleichungen S. 473- 233. Kritisches S. 476 - 234. Beispiele S. 478.

§ 8. Ableitung der Bewegungsgleichungen. . . . . . . . . . 480 (766\ 235. Die Lagrange-Eutersehen Gleichungen S. 480 - 236. Der Fall m = 0 S. 481 - 237. Warnung und Bemerkung S. 482.

§ 4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 (766) 238. Die Schneide S. 483 - 239. Beispiel 3. Der zweirädrige WagenS. 484- 240. Ein rheonomes BeispielS. 485-241. Ein holonomes Beispiel S. 487.

§ 1). Der starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . 488 (773) 242. Neue Ableitung der Eutersehen Gleichungen S. 488.

§ 6. Der Reifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 (778) 243. Aufstellung der Bewegungsgleichungen S. 489- 244. Frage der Stabilität S. 491.

f 7. Das Prinzip der kleinsten Wirkung. . . . . . . . . 492 245. Erster Beweis S. 492 - 246. Zweiter Beweis S. 494.

§ 8. Nichtlineare Bedingungsgleichungen . . . . . . . . 495 (782) 247. Die erste Form S. 495 - 248. Die zweite Form S. 498 -249. Beispiel S. 499 - 250. I,inearisierung S. 501 - 251. Grenz-übergänge S. 504.

§ 9. Nichtholonome Systeme zweiter Klasse . . . . 505 252. Eine fragliche Sache S. 505.

Anhang. Übersicht über die Grundlagen der Mechanik 507

Teil II. Aufgaben und Probleme der Theoretischen Mechanik 527-789

Die Zuordnung zu den Kapiteln und Paragraphen beim Teil I, Seitenzahlen in Klammem.

Namenverzeichnis . Sachverzeichnis ....

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