grupuri de simetrii - math.uaic.rooanacon/depozit/grupuri de simetrii.pdf · ind data o varietate...

Grupuri de simetrii

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Grupuri de simetrii

Rolul grupurilor de transformari in de�nirea unei geometrii

Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup

pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului.

In discursul inaugural de la Universitatea Erlangen (1872) -

�Tendinte recente in cercetarea geometrica� - Klein spune:

�ind data o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina

noastra este sa investigam acele proprietati ale unei �guri din

varietate care nu se schimba prin transformarile grupului.

Se da o multime M si SM grupul permutarilor lui M. Orice

subgrup G al lui SM este un grup de transformari ale lui M.

Se studiaza acele proprietati ale �gurilor care sunt invariate de

toate elementele lui G . Deci, apriori, M nu are proprietati

geometrice, acestea sunt dictate de grupul G . O geometrie

este notata prin (M,G ).

Rolul grupurilor de transformari in de�nirea unei geometrii

Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup

pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului.

In discursul inaugural de la Universitatea Erlangen (1872) -

�Tendinte recente in cercetarea geometrica� - Klein spune:

�ind data o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina

noastra este sa investigam acele proprietati ale unei �guri din

varietate care nu se schimba prin transformarile grupului.

Se da o multime M si SM grupul permutarilor lui M. Orice

subgrup G al lui SM este un grup de transformari ale lui M.

Se studiaza acele proprietati ale �gurilor care sunt invariate de

toate elementele lui G . Deci, apriori, M nu are proprietati

geometrice, acestea sunt dictate de grupul G . O geometrie

este notata prin (M,G ).

Geometria euclidiana (plana)

Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de

izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura

unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul

simplu al punctelor.

Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distanta

d : P × P → R :

d(A,B) ≥ 0, ∀A,B ∈ P; d(A,B) = 0 ⇔ A = B;

d(A,B) = d(B,A);d(A,B) ≤ d(A,C ) + d(C ,A), ∀A,B,C ∈ P; d(A,B) =d(A,C ) + d(C ,A) ⇔ A− C − B.

De�nition

Se numeste izometrie a planului P o aplicatie f : P → P cu

proprietatea

d (f (A), f (B)) = d(A,B), ∀A,B ∈ P.

Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o

aplicatie bijectiva.

Geometria euclidiana (plana)

Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de

izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura

unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul

simplu al punctelor.

Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distanta

d : P × P → R :

d(A,B) ≥ 0, ∀A,B ∈ P; d(A,B) = 0 ⇔ A = B;

d(A,B) = d(B,A);d(A,B) ≤ d(A,C ) + d(C ,A), ∀A,B,C ∈ P; d(A,B) =d(A,C ) + d(C ,A) ⇔ A− C − B.

De�nition

Se numeste izometrie a planului P o aplicatie f : P → P cu

proprietatea

d (f (A), f (B)) = d(A,B), ∀A,B ∈ P.

Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o

aplicatie bijectiva.

Grupul izometriilor

Theorem

Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu

compunerea functiilor.

Grupul izometriilor cu un punct �x este izomorf cu grupul ortogonal

O(2) ={A ∈M2(R) | AAt = AtA = I2

}={A ∈ Gl(2,R) | A−1 = At

}Clasi�care

Izometrii de specia I: translatia, rotatia

Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea

dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa

simetriei

Grupul izometriilor

Theorem

O(2) ={A ∈M2(R) | AAt = AtA = I2

}={A ∈ Gl(2,R) | A−1 = At

}Clasi�care

simetriei

Grupul izometriilor

Theorem

O(2) ={A ∈M2(R) | AAt = AtA = I2

}={A ∈ Gl(2,R) | A−1 = At

}Clasi�care

simetriei

Izometriile planului

Simetriile unei �guri

Odata �xata o geometrie cu un grup de automor�sme G , se

poate studia subgrupul automor�smelor care invariaza o �gura

�xata F . Aceste automor�sme se numesc simetrii ale �gurii

respective.

De�nition

Fie F ⊂ P o �gura �xata a planului P. Se numeste simetrie a lui

F o izometrie a planului, f : P → P, care invariaza �gura F :f (F) = F .

Theorem

Multimea simetriilor �gurii F ⊂ P este un subgrup al grupului

izometriilor planului P.

Simetriile unei �guri

Odata �xata o geometrie cu un grup de automor�sme G , se

poate studia subgrupul automor�smelor care invariaza o �gura

�xata F . Aceste automor�sme se numesc simetrii ale �gurii

respective.

De�nition

Fie F ⊂ P o �gura �xata a planului P. Se numeste simetrie a lui

F o izometrie a planului, f : P → P, care invariaza �gura F :f (F) = F .

Theorem

Multimea simetriilor �gurii F ⊂ P este un subgrup al grupului

izometriilor planului P.

Grupuri de simetrii

Grupurile de simetrii ale unor poligoane:

grupul lui Klein: grupul simetriilor unui dreptunghi diferit de

patrat

grupurile diedrale: grupul simetriilor unui poligon regulat

subgrupurile acestora formate din rotatii

Reciproc: dat un grup de simetrii, sa determinam un poligon

care sa aiba drept grup de simetrii pe cel initial

Determinarea tuturor grupurilor �nite de simetrii: teorema lui

Leonardo

Grupul lui Klein

V4 = {Id , σa, σb, σO}= < σa, σO = ρO,π >

◦ Id σa σb σOId Id σa σb σOσa σa Id σO σbσb σb σO Id σaσO σO σb σa Id

Grupul simetriilor patratului

Notatii:

ρ rotatia de centru O si

unghi π2

σ simetria axiala in raport

cu axa orizontala h

Sunt exact opt

simetrii

Putem genera toate

simetriile pornind de

la ρ si σ

Grupul diedral D4

{Id , σh, σr , σv , σl , ρO,π

O, 2π2

= σO , ρO, 3π2

{ρ, ρ2, ρ3, ρ4 = Id , ρσ, ρ2σ, ρ3σ, σ

σ2 = ρ4 = Id

σ−1 = σ ρ−1 = ρ3 ρ−2 = ρ2 ρ−3 = ρ

σr = ρσ σv = ρ2σ σl = ρ3σ

σvσ = ρ2 σlσ = ρ3

Grupul diedral D4

O, 2π2

= σO , ρO, 3π2

{ρ, ρ2, ρ3, ρ4 = Id , ρσ, ρ2σ, ρ3σ, σ

σ2 = ρ4 = Id

σ−1 = σ ρ−1 = ρ3 ρ−2 = ρ2 ρ−3 = ρ

Grupul diedral D4

O, 2π2

= σO , ρO, 3π2

{ρ, ρ2, ρ3, ρ4 = Id , ρσ, ρ2σ, ρ3σ, σ

σ2 = ρ4 = Id

σ−1 = σ ρ−1 = ρ3 ρ−2 = ρ2 ρ−3 = ρ

Grupul diedral D4

Compunerea dintre o simetrie axiala fata de dreapta d si o

rotatie cu centrul apartinand dreptei d este o simetrie fata de

o dreapta ce trece prin centrul rotatiei.

Deci σρ, σρ2, σρ3 sunt simetrii fata de drepte ce trec prin O,

deci sunt aplicatii involutive.

σρ = (σρ)−1 = ρ−1σ−1 = ρ3σ,

σρ2 = (σρ2)−1 = ρ−2σ−1 = ρ2σ,

σρ3 = (σρ3)−1 = ρ−3σ−1 = ρσ.

Grupul diedral D4

◦ Id ρ ρ2 ρ3 σ ρσ ρ2σ ρ3σ

Id Id ρ ρ2 ρ3 σ ρσ ρ2σ ρ3σ

ρ ρ ρ2 ρ3 Id ρσ ρ2σ ρ3σ σ

ρ2 ρ2 ρ3 Id ρ ρ2σ ρ3σ σ ρσ

ρ3 ρ3 Id ρ ρ2 ρ3σ σ ρσ ρ2σ

σ σ ρ3σ ρ2σ ρσ Id ρ3 ρ2 ρ

ρσ ρσ σ ρ3σ ρ2σ ρ Id ρ3 ρ2

ρ2σ ρ2σ ρσ σ ρ3σ ρ2 ρ Id ρ3

ρ3σ ρ3σ ρ2σ ρσ σ ρ3 ρ2 ρ Id

C4 ={Id , ρ, ρ2, ρ3

}=< ρ > subgrupul rotatiilor

Grupul diedral D4

◦ Id ρ ρ2 ρ3 σ ρσ ρ2σ ρ3σ

Id Id ρ ρ2 ρ3 σ ρσ ρ2σ ρ3σ

ρ ρ ρ2 ρ3 Id ρσ ρ2σ ρ3σ σ

ρ2 ρ2 ρ3 Id ρ ρ2σ ρ3σ σ ρσ

ρ3 ρ3 Id ρ ρ2 ρ3σ σ ρσ ρ2σ

σ σ ρ3σ ρ2σ ρσ Id ρ3 ρ2 ρ

ρσ ρσ σ ρ3σ ρ2σ ρ Id ρ3 ρ2

ρ2σ ρ2σ ρσ σ ρ3σ ρ2 ρ Id ρ3

ρ3σ ρ3σ ρ2σ ρσ σ ρ3 ρ2 ρ Id

C4 ={Id , ρ, ρ2, ρ3

}=< ρ > subgrupul rotatiilor

Poligoane care au ca grup de simetrii C4

Grupul diedral D3

σ = σh ρ = ρO, 2π

3σ2 = ρ3 = Id

D3 ={Id , ρ, ρ2, σ, ρσ, ρ2σ

}σρ = (σρ)−1 = ρ−1σ−1 = ρ2σ

σρ2 = (σρ2)−1 = ρ−2σ−1 = ρσ

Grupul diedral D3

◦ Id ρ ρ2 σ ρσ ρ2σ

Id Id ρ ρ2 σ ρσ ρ2σ

ρ ρ ρ2 Id ρσ ρ2σ σ

ρ2 ρ2 Id ρ ρ2σ σ ρσ

σ σ ρ2σ ρσ Id ρ2 ρ

ρσ ρσ σ ρ2σ ρ Id ρ2

ρ2σ ρ2σ ρσ σ ρ2 ρ Id

C3 ={Id , ρ, ρ2

Poligoane cu C3 drept grup de simetrii

Grupul diedral D6

D6 ={Id , ρ2, ρ3, ρ4, ρ5, σ, ρσ, ρ2σ, ρ3σ, ρ4σ, ρ5σ

}, ρ = ρO,π

Poligon cu grup de simetrii C6

C6 = {Id , ρ2, ρ3, ρ4, ρ5}

Grupul diedral Dn si subgrupul rotatiilor Cn

Avand un poligon regulat cu n laturi, �ecare varf Vi poate �

dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului,

de exemplu Vk . Atunci un varf vecin lui Vi poate � dus prin

acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui Vk . Deci in

total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat

printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc

imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca

exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv.

Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam

cu σ simetria axiala in raport cu h si cu ρ rotatia de centru O

(centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor

sale de simetrie) si unghi orientat 2πn.{

Id , ρ, ρ2, · · · , ρn−1, ρσ, ρ2σ, · · · , ρn−1σ}sunt 2n simetrii ale

poligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In

consecinta Dn =< ρ, σ > si subgrupul rotatiilor sale este

grupul ciclic Cn =< ρ > de ordin n.

Grupul diedral Dn si subgrupul rotatiilor Cn

Avand un poligon regulat cu n laturi, �ecare varf Vi poate �

dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului,

de exemplu Vk . Atunci un varf vecin lui Vi poate � dus prin

acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui Vk . Deci in

total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat

printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc

imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca

exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv.

Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam

cu σ simetria axiala in raport cu h si cu ρ rotatia de centru O

(centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor

sale de simetrie) si unghi orientat 2πn.{

Id , ρ, ρ2, · · · , ρn−1, ρσ, ρ2σ, · · · , ρn−1σ}sunt 2n simetrii ale

poligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In

consecinta Dn =< ρ, σ > si subgrupul rotatiilor sale este

grupul ciclic Cn =< ρ > de ordin n.

Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru

primele n linii folosim ρn = σ2 = Id si �ecare linie se obtine

practic din precedenta prin compunere la stanga cu ρ.

Pentru linia corespunzatoare lui σ folosim faptul ca orice

compunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie

axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel,

(σρk)−1 = σρk , ∀k ∈ 1, n − 1. Deci

σρk = ρn−kσ, ∀k ∈ 1, n − 1.

Dupa completarea acestei linii, ultimele n − 1 linii se obtin

�ecare din precedenta prin compunere la stanga cu ρ.

D1 =< σ > e grupul simetriilor unui triunghi isoscel

neechilateral, iar C1 = {Id}.D2 =< σ, ρO,π = σO >= V4, iar C2 = {Id , ρO,π} e grupul

simetriilor unui paralelogram diferit de romb.

(σρk)−1 = σρk , ∀k ∈ 1, n − 1. Deci

σρk = ρn−kσ, ∀k ∈ 1, n − 1.

(σρk)−1 = σρk , ∀k ∈ 1, n − 1. Deci

σρk = ρn−kσ, ∀k ∈ 1, n − 1.

(σρk)−1 = σρk , ∀k ∈ 1, n − 1. Deci

σρk = ρn−kσ, ∀k ∈ 1, n − 1.

Teorema lui Leonardo

Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat:

Theorem

Pentru orice n ∈ N∗, exista cate un poligon care are ca grup de

simetrii pe Dn si respectiv pe Cn.

Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup �nit de simetrii al

unei �guri plane este de tipul Dn sau Cn?Hermann Weyl (1885-1955) a�rma in cartea �Symmetry�, Princeton

University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci (1452-1519) era

preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod

sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze

capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.

Theorem

Singurele grupuri �nite de izometrii sunt Cn si Dn.

Corollary

(Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este Dn

sau Cn.

Theorem

Corollary

(Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este Dn

sau Cn.

Theorem

Demonstratie

Fie G un grup �nit de izometrii ale planului P. Rezulta ca acesta

nu poate contine translatii sau compuneri de translatii cu simetrii

axiale, deoarece acestea ar genera un subgrup in�nit. In consecinta

G contine doar rotatii si simetrii axiale.

Caz I Presupunem ca G contine doar rotatii:

G = C1 = {Id}∃ ρA,α ∈ G, ρA,α 6= Id . In aceasta situatie demonstram ca

toate rotatiile sunt de centru A.

Pp prin reducere la absurd ca ∃ ρB,β ∈ G cu A 6= B. Atunci

ρ−1B,βρ

−1A,αρB,βρA,α ∈ G. Dar aceasta compunere de rotatii

este o translatie diferita de Id caci suma unghiurilor

orientate ale acestor rotatii este 0. Se contrazice astfel

ipoteza ca G e grup �nit.

Deci ∀n ∈ N : ρnA,α = ρA,nα ∈ G si ρ−1

A,α = ρA,−α ∈ G. Astfel, toateelementele grupului pot � scrise sub forma ρA,α cu 0 ≤ α ≤ 2π.Fie α0 valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei

rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca

∀ ρA,β ∈ G, ∃k ∈ N∗ astfel incat β = kα0. Deci orice rotatie a

grupului este de tipul ρA,kα0 = ρkA,α0

, pentru un anumit k natural,

deci este generata de ρA,α0 . In concluzie

G =< ρA,α0 >= Cm, ρmA,α0 = Id .

Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala

Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar

compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia

I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza un

subgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz,

rezulta ca acest subgrup e de tipul Cn = {Id , ρ, · · · , ρn−1}. Ampresupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.

Deci ∀n ∈ N : ρnA,α = ρA,nα ∈ G si ρ−1

A,α = ρA,−α ∈ G. Astfel, toateelementele grupului pot � scrise sub forma ρA,α cu 0 ≤ α ≤ 2π.Fie α0 valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei

rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca

∀ ρA,β ∈ G, ∃k ∈ N∗ astfel incat β = kα0. Deci orice rotatie a

grupului este de tipul ρA,kα0 = ρkA,α0

, pentru un anumit k natural,

deci este generata de ρA,α0 . In concluzie

G =< ρA,α0 >= Cm, ρmA,α0 = Id .

Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala

Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar

compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia

I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza un

subgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz,

rezulta ca acest subgrup e de tipul Cn = {Id , ρ, · · · , ρn−1}. Ampresupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.

Presupunem ca G contine m ≥ 1 izometrii de specia a II-a.

Deoarece σ, ρσ, ρ2σ, · · · , ρn−1σ sunt izometrii de specia a II-a,

rezulta ca m ≥ n.

Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu σ,dau m izometrii de specia I, deci m ≤ n. In concluzie

m = n⇒ OrdG = 2n si

G ={Id , ρ, · · · , ρn−1, σ, ρσ, ρ2σ, · · · , ρn−1σ

Pentru n = 1 avem G =< σ >= D1, iar pentru n > 1,

ρkσ, ∀k ∈ 1, n − 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece prin

centrul A al rotatiei ρ. Deci G = Dn.

Presupunem ca G contine m ≥ 1 izometrii de specia a II-a.

Deoarece σ, ρσ, ρ2σ, · · · , ρn−1σ sunt izometrii de specia a II-a,

rezulta ca m ≥ n.

Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu σ,dau m izometrii de specia I, deci m ≤ n. In concluzie

m = n⇒ OrdG = 2n si

G ={Id , ρ, · · · , ρn−1, σ, ρσ, ρ2σ, · · · , ρn−1σ

Pentru n = 1 avem G =< σ >= D1, iar pentru n > 1,

ρkσ, ∀k ∈ 1, n − 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece prin

centrul A al rotatiei ρ. Deci G = Dn.

Bibliogra�e

1 Mircea Ganga, Manual Algebra clasa a XII-a, Mathpress,

Ploiesti, 2003

2 George E. Martin, Transformation Geometry, An Introduction

to Symmetry, Springer, 1982

3 Liviu Ornea, Adriana Turtoi, O introducere in geometrie,

Theta, Bucuresti 2011

4 Ioan Pop, Geometrie a�na, euclidiana si proiectiva, Editura

Universitatii �Al.I.Cuza�, Iasi, 1999

grupuri de simetrii - math.uaic.rooanacon/depozit/grupuri de simetrii.pdf · ind data o varietate...

Documents