GUÍA 3: “LA TERMODINÁMICA DE LOS SERES VIVOS”

Problema 1

a) Si dos cuerpos de igual masa, uno de cobre y otro de hierro …

Resolución

a) Nos plantean dos cuerpos de igual masa, a la misma temperatura inicial, a los cuales se les

proporciona la misma cantidad de calor, pero de diferente material. Lo que nos preguntan

aquí es cual de los dos alcanzará una temperatura final mayor. La diferencia de calor

recibido por cada cuerpo es proprcional a su capacidad calorífica a presión constante y

a la diferencia de temperatura que experimenta, luego para cada cuerpo podemos plantear:

Si a ambos se les entrega la misma cantidad de calor y se les aumenta la temperatura en la

misma cantidad, vamos a tener: y . Luego:

despejamos la diferencia de temperaturas final:

En ambas expresiones la única cantidad que varía entre ambos cuerpos es la capacidad

calorífica, que depende del material de cual cada uno esté hecho. El que tenga menor

capacidad calorífica será el que mayor aumento de temperatura experimente. Entre estos

dos elementos es el cobre el que posee menor capacidad, con lo cual:

.

b) Ahora nos proponen dos cuerpos de igual material, pero distinta masa y distinta

temperatura inicial. Ambos se colocan en un recipiente adiabático, es decir, que no

intercambia calor con el ambiente, con lo cual el equilibrio se alcanzará cuando ambos

cuerpos entren en contacto dentro de dicho recipiente. Lo que nos preguntan es cual de

los dos experimenta mayor variación de temperatura, teniendo en cuenta que hay que

realizar alguna suposición sobre algún evento hipotético que podría suceder y que podría

alterar considerablemente el experimento, debido a lo que nos propone la segunda

pregunta. Veamos, al igual que en el inciso anterior, vamos a plantear la variación de calor

que experimenta cada cuerpo, ahora en estas nuevas condiciones:

Aquí hay que realizar una aclaración: las capacidades caloríficas son distintas, debido a

que las masas de cada cuerpo son distintas. Tenemos la siguiente dependencia con la

masa:

En la cual es la masa del cuerpo y es el calor específico, que en este caso es igual

para cada cuerpo, pues nos dicen que están hechos del mismo material. Entonces, como en

el equilibrio los calores se igualan tenemos las siguientes igualdades:

Luego, el cuerpo que experimente la mayor variación de temperatura será:

.

En cuanto a esa segunda pregunta resulta bastante abarcativa, porque pudimos usar todos

los datos que nos dieron y no tuvimos ningún problema a la hora de calcular y de resolver,

quizás el problema esté en cuanto a que al realizar variaciones de temperatura de una

sustancia con dos fases, no experimente ningún cambio en el estado de agregación de

ninguna fase, lo cual alteraría considerablemente el experimento, pues muchas

propiedades se verían modificadas en ese caso.

Problema 2

El volumen de agua en un tanque …

Resolución

Nos están pidiendo que usemos simplemente la ecuación del calor para obtener el calor cedido

por el agua al bajarle dos grados su temperatura. Veamos:

Lo que hicimos acá fue reemplazar la masa del agua en función del volumen que es un dato

conocido y de su densidad, que está tabulada ( ), al igual que su calor específico

( ). Solamente nos queda evaluar la fórmula:

Problema 3

¿Cuál es la variación de temperatura …

Resolución

Nos preguntan cuanto varía la temperatura de cierto cuerpo conociendo la diferencia de calor, su

masa y su calor específico (es decir, su capacidad calorífica a presión constante). Entonces,

simplemente nos queda despejar dicha variación de la ecuación del calor y evaluarla:

Problema 4

El té de una taza está muy caliente …

Resolución

Este problema es bastante libre en cuanto a los valores numéricos, con lo cual nosotros

tenemos la posibilidad de elegir los valores de las cantidades que necesitemos, sin embargo,

para no confundir, vamos a tratar de respetar los valores que propone la guía (aunque, quede

claro que los mismos son absolutamente arbitrarios, y el problema sale igual dando

cualquiesquiera otros valores). La idea es averiguar cual debería ser la masa de agua fría de la

canilla (que sale a ), que se debe agregar a una taza de agua caliente (que vendría a ser el

té, aunque puede aproximadamente ser considerado como agua), por ejemplo a , cerca de

la temperatura de ebullición, para que el té se enfrie y pueda ser tomado. Obviamente, suponen

que el té puede ser tomado a . Vamos a suponer también que la taza donde está servido el

té es una taza común, que suele tener una capacidad para . Y estas son todas las

suposiciones que el enunciado propone que hagamos. Cualquier otra elección de números es

correcta también, lo que importa aquí son los cálculos, no los números.

Con estos datos, pasamos a resolver el problema, en el cual consideramos que cuando se

mezclan el agua de la canilla con el té ya preparado, la sustancia más caliente cede calor a la

que está más fría, y la cantidad cedida será igual a la recibida por la otra sustancia. Luego,

podemos plantear:

Obtuvimos la masa de agua que habría que agregar. Si queremos pasar a volumen, lo que

tenemos que hacer es dividir por la densidad:

Problema 5

¿Cuántas calorías requiere un bloque de hielo …

Resolución

a) El presente problema se resuelve en pocos pasos, pero antes de meternos con la

matemática es necesario explicar toda la física que contiene, porque de otro modo,

difícilmente se entienda. El calor que es necesario entregarle al agua en estado sólido (es

decir a temperaturas inferiores a ) es lineal con la temperatura excepto en los puntos

en los cuales cambia el estado de agregación de la sustancia (es decir en el punto de

fusión, que son los , y en la temperatura de ebullición, que son los ), donde al

aumentar el calor, el agua no se sigue aumentando su temperatura. Entonces, en los

tramos en los cuales la variación es lineal vamos a poder obtener las calorías que nos

piden mediante la ecuación del calor que veníamos trabajando, mientras que en los tramos

donde la temperatura es constante, vamos a utilizar la ecuación del calor para materia en

pleno cambio de estado, que es proporcional al calor latente:

Entonces, la idea es dar la cantidad de calor necesaria para hacer pasar al hielo de su

temperatura inicial de a su punto de fusión (a ); luego la cantidad necesaria para

derretir todo el hielo (allí emplearemos la fórmula recientemente introducida) y por último

daremos el calor necesario para llevar al agua ya líquida desde los hasta los .

Luego, sumamos los tres calores y obtendremos la respuesta a la primera pregunta:

b) Ahora nos piden el calor necesario para pasar desde el estado inicial (hielo a ) hasta

vapor a ). Son cuatro términos de suma, donde obviamente dos de ellos (los

primeros) ya los conocemos pues los calculamos en el inciso anterior. Luego, solo nos

quedará obtener el calor necesario para pasar de a en el estado líquido y el

calor para pasar, a esa temperatura de agua líquida a vapor. Veamos:

c) Por último, nos piden la energía necesaria para llevar los de hielo inicial a de

agua líquida y de vapor en equilibrio. Lo que debemos hacer es repetir los primeros

tres términos del cálculo anterior, y sumarle el calor necesario para evaporar, no en este

caso todo el líquido presente, sino solamente la mitad. Veamos:

Problema 6

Un trozo de platino de a se introduce …

Resolución

a) Se introduce platino muy caliente en un recipiente que tiene agua relativamente caliente, y

nos preguntan sin hacer cuentas, donde uno puede esperar que se ubique la temperatura

de equilibrio de la mezcla respecto de la temperatura promedio de las iniciales de ambas

componentes. Tenemos dos sustancias con la misma masa, agua a y platino a ,

las cuales al mezclarse, el calor que una entrega es el mismo que el que la otra recibe,

pues el recipiente en completamente adiabático. Entonces, la diferencia de temperatura va

a variar según el valor del calor específico de cada sustancia. Y tenemos los valores

y , con lo cual el agua tiene mayor calor

específico, luego su diferencia de temperaturas será menor, lo que nos dice que la

temperatura del agua variará poco hasta llegar al equilibrio. Es decir que:

.

b) Ahora nos piden que hagamos cuentas, y que demos esa temperatura de equilibrio. Para

ello usamos que el recipiente es adiabático, con lo cual el calor entregado por el platino es

igual al recibido por el agua, y usamos entonces dos veces la ecuación del calor:

Mediante manejos algebraicos, despejamos la temperatura de equilibrio:

Como se ve, de la expresion genérica de la temperatura de equilibrio, la misma es un promedio

de las temperaturas, pero ponderado por las capacidades caloríficas de ambas componentes.

Eso es lo que hace que el equilibrio no se alcance justo en el punto medio de ambas

temperaturas inciales.

c) Lo anterior (el hecho de que la temperatura de equilibrio sea un promedio ponderado) vale

solamente en el caso ideal de que el recipiente no reciba calor. En ese caso, la ecuación

inicial donde igualábamos el calor entregado por el platino y recibido por el agua tiene un

término más que es el calor recibido por el frasco. Debemos considerar aquí que la

temperatura incial del recipiente es la misma que la del agua, pues ya se supone que pasó

un cierto tiempo desde que se colocó el agua en el vaso, con lo cual las temperaturas

iniciales del agua y del vaso ya están en equilibrio. Por otro lado, la temperatura final del

frasco será la del equilibrio de la mezcla entre agua y platino, obviamente. Veamos:

Despejamos la temperatura de equilibrio de la misma forma que lo hicimos en el cálculo

anterior:

Nuevamente, lo que obtuvimos fue el promedio ponderado de todas las temperaturas. Se

consideró aquí al recipiente como un componente más de la mezcla (componente

obviamente virtual), pero contribuye igualmente con una pequeña cuota de recepción de

calor.

Problema 7

Se vierten de esquirlas de plomo …

Resolución

Este problema es similar al anterior en cuanto a la idea, con una salvedad importante, que

tiene que ver con que una de las sustancias puede cambiar de estado, y estamos hablando del

hielo, que al entrar en contacto con otro cuerpo caliente su temperatura tenderá a ascender, y

cuando llegue al punto de fusión, a partir de allí comenzará a derretirse. Entonces, el cálculo

deberá dividirse en partes. Lo que primero vamos a hacer es averiguar a qué temperatura se

encontrará el plomo cuando el hielo llegue a su punto de fusión, para lo cual vamos a plantear

la ecuación del calor para el hielo:

Entonces, para llevar al hielo a su punto de fusión, tuvo que recibir , que

inexorablemente tuvo que ceder el plomo al entrar en contacto. Con este dato, vamos a la

ecuación del calor para el plomo y despejamos la temperatura a la que llega en el momento en

el que el hielo llegó a . Veamos:

Luego, cuando el hielo llegó a su punto de fusión, la temperatura del plomo era la que

calculamos. Pero todavía no se alcanzó el equilibrio porque queda una diferencia de

temperaturas. Todavía el plomo y el hielo (que empieza a derretirse) siguen en contacto, con

lo cual el plomo continuará enfriándose pero la temperatura del hielo permanecerá en

mientras dure su cambio de estado. Luego, el equilibrio lo podremos encontrar en la

temperatura: .

El problema no lo pide en su enunciado pero en la respuesta no solamente nos dan esta

temperatura de equilibio, sino cómo queda la mezcla (es decir, que nos dan la masa de hielo, la

masa de agua y la masa de plomo finales en el equilibrio). Obviamente que la masa de plomo

no cambia porque no experimenta ningún cambio de estado, con lo cual tenemos:

En cuanto al hielo y al agua, lo que vamos a hacer es emplear la ecuación para el calor latente

que actúa en la situación en la que el hielo está cambiando de estado. En dicha situación

tenemos:

Pero de esta ecuación solamente conocemos al calor latente, que es un dato. El calor que

recibe el hielo derritiéndose es igual al que cede el plomo una vez que llegó a los y hasta

llegar al equilibrio final. Podemos calcularlo del siguiente modo:

Con este dato volvemos a la expresión para la masa de hielo que se convierte en agua líquida:

La masa de hielo que resta la conseguimos simplemente restando estos al total de hielo

que había inicialmente, que eran :

Nos falta dar el gráfico correspondiente de temperatura en función del calor para esta

situación:

Como vemos, la curva del hielo llega hasta cero, se frena y se mantiene constante hasta que

se cruza con la curva del plomo que viene descendiendo linealmente. Notar que cuando el

plomo llega a , el hielo recién llegaba a su temperatura de fusión.

Problema 8

a) Los recipientes usados para transportar agua …

Resolución

a) Comenzamos con la primera pregunta teórica, que tiene que ver con las famosas

cantimploras que uno se lleva a los campamentos para poder abastecerse de agua cuando

tiene sed, y que por lo general se las recubre externamente por una tela, la cual se la pone

en contacto con agua fría (más aún en verano, como nos dicen, debido al intenso calor que

suele hacer en esas épocas). La idea es mantener el frío dentro de la cantimplora, para lo

cual humedecemos el exterior. Lo que sucede es que al estar en contacto con el aire

cálido, el agua del exterior de la cantimplora va a empezar a evaporarse y en ese proceso

el agua del interior de la misma va a ir cediendo calor. Esto hace que el interior se

mantenga a una temperatura ideal para que el agua sea refrescante.

b) La segunda pregunta es sobre la función del desempañador del vidrio de los autos cuando

llueve o cuando hace demasiado frío. Cuando un vidrio se empaña es porque tiene

adosadas gotas de agua que se condensaron en algún momento del vapor. La función del

desempañador es elevar la temperatura ambiente del auto para que se evapore todo ese

agua (que podemos llamar también rocío) y entonces se aclare la visual del conductor.

Problema 9

En un recipiente adiabático que contiene …

Resolución

a) Tenemos un recipiente con agua fresca al cual se le vuelca cierta cantidad de plomo

líquido y muy caliente. Irremediablemente, el plomo va a ceder su calor al agua, con lo cual

va a tender a enfriarse y en algún momento va a llegar a su punto de solidificación. Esto es

lo que nos plantea el problema, la primera pregunta es sobre la temperatura a la que estará

el agua cuando el plomo alcance dicho punto de solidificación. Sin embargo, vemos en la

consigna que el plomo se lo vuelca a , que es justamente la temperatura de

solidificacion que nos marca la tabla, con lo cual lo primero que hará el plomo al entrar en

la mezcla será solidificarse. Entonces, lo que haremos será encontrar el calor cedido por el

plomo mediante la ecuación del calor para este material, y con este dato vamos a la

ecuación para el agua y despejamos de allí la temperatura que alcanza:

Estas son las calorías recibidas por el agua. Planteamos nuevamente la ecuación del calor,

esta vez para el agua:

b) Ahora, con el plomo sólido a su temperatura inicial y el agua a tenemos que hallar la

temperatura de equilibrio. Como ya no tenemos cambios de estado de ninguna de las

componentes, la temperatura de equilibrio la podemos calcular como el promedio de las

temperaturas ponderado por las capacidades caloríficas:

Problema 10

Si se calientan de estaño sólido …

Resolución

a) Mirando el gráfico de variación de la temperatura con el calor, nos piden dar el calor

específico del estaño sólido y su calor de fusión.

Miremos el primer tramo de este gráfico, donde la variación es lineal y en la cual

interviene el calor específico y además tenemos los datos suficientes para calcularlo. Para

ello vamos a plantear la ecuación del calor para el intervalo de calor que va desde las cero

calorías hasta las :

Ahora nos piden el calor latente de fusión, que está implicado en el segundo tramo del

gráfico (el tramo constante), donde hay un cambio de estado. Veamos:

b) Ahora nos preguntan cuál sería el estado de agregación del estaño cuando se le entregan

. Mirando el gráfico estamos en tramo constante, donde está cambiando de estado,

igualmente lo que nos están pidiendo es la masa de cada fase. Veamos:

Si la masa total era de , la masa de sólido que resta es simplemente una diferencia:

Problema 11

Un cilindro como el indicado en la figura …

Resolución

a) Nos piden el calor necesario para elevar la temperatura del gas oxígeno de a

con la tapa del frasco trabada, lo cual implica que tenemos un proceso de cambio de

temperatura a volumen constante. El oxígeno gaseoso ( ) es un gas diatómico, con lo cual

la ecuación de la variación del calor es la siguiente:

donde es la capacidad calorífica a volumen constante, que para un gas diatómico, por

definición tiene la forma:

, donde indica la cantidad de moles de dicho gas y

es la constante universal de los gases ideales. Considerando esta situación, podemos

evaluar la fórmula para el calor:

b) Ahora nos dicen que se retira la tapa permitiendo que se escape algo de gas (con lo cual el

volumen deja de ser constante), para que el proceso se realice a presión constante. En

este caso, en la ecuación del calor va a aparecer el ya conocido que es la capacidad

calorífica a presión constante, y que para el gas ideal diatómico vale:

. Y

planteamos la ecuación del calor que siempre vinimos trabajando:

Problema 12

Entre las propiedades térmicas del cobre …

Resolución

Este es un ejercicio teórico donde debemos explicar que significan las propiedades de calor

específico sensible y conductividad térmica, que son propias de metales como el cobre.

La primera de ellas hace referencia al calor específico como lo conocemos y lo venimos

trabajando, es una cantidad que lleva ese nombre en contraposición con el calor latente, debido

a que se trata de aquel calor que debe recibir un cuerpo para que su temperatura aumente,

pero que no cambie su estado de agregación, como lo proponía el calor latente. En este

sentido, ocurre lo que la guía propone, que si el calor sensible es de , entonces, el

cobre intercambiará esa cantidad de calorías cada vez que su temperatura aumente .

Por otra parte, la conductividad térmica es una medida de la capacidad de determinado

elemento (en este caso, el cobre) para conducir el calor. En este sentido, nuevamente, si

tenemos una conductividad de y le bajamos a del material, entonces

el mismo conducirá por segundo.

Problema 13

¿Qué longitud debe tener una barra cilíndrica de cobre …

Resolución

Estamos ante un problema simple de

transmisión del calor por conducción, el

clásico con el que uno empieza, donde le

dan todos los datos salvo uno que es la

incógnita, aplica la fórmula y allí se

termina todo. Lo que nos plantean es una

barra conductora de calor que une dos

extremos, como indica la figura, y lo que

tenemos que hacer es aplicar la ley de

conducción del calor de Fourier, cuya forma matemática guarda mucha similitud con la Ley de

Fick para el transporte de sustancias por difusión. Lo que sucede es que se trata básicamente

del mismo mecanismo de transporte, en aquel caso se movían sustancias mientras que en este

se transporta energía en forma de calor, por ello cambian las constantes y las unidades de

medición, pero la dinámica es básicamente la misma. En la ley que planteamos a continuación:

tenemos la conductividad térmica que introdujimos en el ejercicio anterior y que simbolizamos

con la letra , el desplazamiento del calor que equivale en este caso a la longitud de la

barra, el área de la sección de la misma y la diferencia de temperaturas entre los

extremos. Tenemos todos esos datos a excepción del desplazamiento de la energía que es lo

que tenemos que encontrar. Veamos:

Problema 14

a) En invierno algunas personas acostumbran …

Resolución

a) Nos plantean algo incomprobable en este inciso, pero vamos a creerles, después de todo si

hay física metida en medio, vale la pena darle importancia. Lo que nos dicen es que

algunas personas en invierno suelen dormir acurrucadas, es decir, con el cuerpo

prácticamente hecho bolita, con la intención supuestamente de pasar menos frío que si lo

hacen todos estirados. Veamos qué es lo que sucede aquí. Lo que ocurre es que en

invierno la diferencia de temperaturas entre nuestro cuerpo y el ambiente suele ser grande

porque a la noche la temperatura suele rondar los mientras que nuestro cuerpo

experimenta (el es grande). Por su parte la ley de transmisión de Fourier nos

dice que si la diferencia de temperaturas es grande el calor que nosotros debemos cederle

al ambiente va a ser grande también, a menos que modifiquemos alguna otra de sus

componentes, veamos:

La constante de conductividad es propia de cada cuerpo y no podemos modificarla, el

desplazamiento de la energía tampoco porque en cada punto de nuestro cuerpo el calor lo

cedemos de la misma manera, por lo tanto, solamente podemos achicar el área e nuestro

cuerpo que se expone al ambiente acurrucándonos. Achicamos el área, compensamos la

gran diferencia de temperatura y no nos sentimos tan frescos en la cama.

b) La pregunta ahora es acerca de las estufas. Estos artefactos suelen estar ubicados en las

plantas bajas de las residencias debido a que desde allí es posible calentar todas las

plantas y no es así si se las colocara solamente en las plantas altas. Lo que sucede es que

el aire cálido que se genera va a tender siempre a subir y nunca a bajar. De esta manera

cuando el aire caliente se genera, se calienta la habitación inferior e inmediatamente la

superior, mientras que si la estufa se colocara arriba, solamente la habitación superior se

calentaría y tendríamos dos ambientes totalmente distintos e incómodos.

c) Acá hay algo interesante, las ventanas con doble vidrio lo que hacen es confinar una masa

de aire entre dos placas paralelas de vidrio, con lo cual como el aire tiene bajo coeficiente

de conductividad, lo que hace es aislar termicamente a la vivienda, pues no deja que se

transmita el frío que viene de afuera hacia el interior. O, mejor dicho, ayuda a que entre

menos frío del que podría entrar si no se dispusiera de esta configuración.

d) Nuevamente aquí tiene que ver la ley de transmisión del calor de Fourier. Se va a

transmitir más calor si se aumenta el área que en contacto con el quemador del calefón.

Por ello la preferencia sobre tubos largos y angostos por sobre los anchos y cortos.

e) Nuevamente volvemos a Fourier, pero en este caso lo que varía es el coeficiente de

conductividad térmica del aluminio es mayor que el del plástico, siendo iguales en ambos

materiales el resto de las variables. De este modo, el calor cedido por el vaso de aluminio

va a ser mayor que el cedido por el otro vaso y nosotros cuando lo agarremos entre

nuestras manos lo vamos a sentir más frío.

f) Una nave espacial, fuera de la atmósfera terrestre y orbitando en el espacio no tiene un

medio a través del cual el calor pueda ser conducido de ninguna manera, con lo cual

eliminamos la posibilidad de que el calor pueda ser transmitido por conducción. La

convección requiere de algún cuerpo en particular, que por lo general suelen ser fluidos,

que ayudan a “movilizar” la energía. Pero la nave se encuentra solitaria en el espacio, con

lo cual este método no puede ser el que esté actuando. Con lo cual solamente nos queda

pensar en el método de la radiación, a través del cual, además, el calor puede viajar en el

vacío, que es lo que rodea a la nave en estas condiciones.

g) Pasamos a hablar de transmisión por radiación, donde nos plantean un cuerpo que absorbe

el de la radiación que incide sobre él. Eso significa que el coeficiente de emisividad

que aparece en la ecuación de Stefan – Boltzmann es alto, y vale lo mismo tanto para

absorción de energía que para emisión, con lo cual efectivamente se tratará de un buen

emisor de radiaciones.

h) Acá la gran pregunta que al menos una vez cada persona debío haberse hecho para sí

misma, y tiene que ver con el porqué de la gran diferencia en momentos de calor y de frío

entre la temperatura y la sensación térmica. En este caso, nos preguntan por el frío,

porque se encuentran implicados algunos conceptos de termodinámica vistos aquí,

mientras que en el caso del calor actúan otros factores. Lo que explica básicamente que en

invierno uno mire la tele y vea que la sensación térmica se despega de la temperatura

varios valores por debajo de esta, tiene que ver principalmente con la acción del viento,

que hace que la superficie de nuestra piel que inicialmente se encontraba cálida remueva

inmediatamente todo ese calor que poseía. La sensación posterior de frío es obvia.

i) Se enfriará más rápidamente el suelo, debido a que el calor específico del agua es más

grande que el del suelo, entonces, en esa cantidad el agua se resistirá a bajar su

temperatura.

Problema 15

Estime la cantidad de calor por hora que transmite por conducción …

Resolución

Vamos a plantear la ley de transmisión del calor por conducción, que es la ley de Fourier,

para explicar cómo transmite calor una frazada en una habitación que se encuentra a . Lo

que nos piden es el calor que transmite la frazada en una hora, donde la conductividad, el

espesor de la frazada y su superficie en contacto con nuestro cuerpo son datos del problema.

Entonces tenemos:

Aquí la superficie de la frazada es el área y es el desplazamiento de la energía que fluye

a través de la frazada, con lo cual dicho desplazamiento viene dado por el espesor de la misma.

El es la diferencia de temperaturas entre el medio externo frío y el medio interno de la

frazada (donde está uno inmerso) y el es el intervalo de tiempo considerado, que en este

caso es de una hora. Tenemos todos los datos conocidos, con lo cual solo queda evaluar:

Luego, el flujo de calor en una hora va a ser igual a: .

Problema 16

a) Calcule la cantidad de calor por hora que transfiere el cuerpo humano …

Resolución

a) Lo que nos pide este enunciado es dar el flujo de calor neto que entrega el cuerpo humano

al ambiente en las condiciones que nos presentan. Se da por entendido ya que el balance

de emisión y absorción da negativo para el cuerpo humano. Como tenemos transmisión por

radiación la ecuación que tenemos que plantear para el flujo de calor es la ley de Stefan –

Boltzmann:

Cabe aclarar que es la temperatura ambiental con la cual está en contacto el cuerpo,

es la temperatura del ambiente al cual le va a ceder calor por radiación, mientras que

es la temperatura corporal que va a recibir la radiación que nos dicen que recibe. La

constante de Boltzmann es conocida y la emisividad es igual a debido a que nos

dicen que el cuerpo humano se está comportando como un cuerpo negro. Evaluamos la

fórmula entonces:

b) Bueno, la guía ofrece varios y suficientes ejemplos de situaciones en las cuales el cuerpo

humano intercambia calor con el ambiente, no solamente por radiación, sino también por

convección, y allí se enumera el sudor, el calentamiento de la orina. Para más datos

internet es una buena fuente.

Problema 17

Calcule la energía emitida por segundo …

Resolución

Tenemos un cuerpo negro (emisividad unitaria) que irradia calor al ambiente. Para calcular

dicho calor irradiado tenemos que plantear la ecuación de Stefan – Boltzmann, y como

tenemos todos los datos conocidos, simplemente la tenemos que evaluar. Solamente nos piden

el calor emitido, con lo cual no vamos a tener una diferencia de temperaturas como en el

ejercicio anterior, sino que solamente vamos a considerar la temperatura del medio exterior

(igualmente la temperatura del cuerpo negro no era dato del problema). Veamos:

Ahora nos piden repetir el mismo cálculo para la situación en la cual el medio exterior se

encuentra a temperatura de . Veamos:

Queda claro que según la Ley de Stefan Boltzmann, el calor irradiado varía como la cuarta

potencia de la temperatura.

Problema 18

La potencia radiante emitida por cada de la superficie de un cuerpo …

Resolución

Simplemente una variante del problema anterior donde ahora nos dan de dato el flujo de calor

irradiado y nos ponen a la emisividad como incógnita (se supone que ahora no estaremos

tratando con un cuerpo negro). Vamos a plantear la ley de Stefan – Boltzmann y a despejar de

allí la emisividad:

El coeficiente de absorción (ya lo dijimos en algún ejercicio anterior) es el mismo en este caso

que el de emisión.

Problema 19

Se quiere utilizar energía solar para calentar …

Resolución

Nos piden el tiempo que llevará elevar la temperatura del agua de un tanque con energía solar

de a , para lo cual vamos a plantear su expresión en función del calor recibido por el

tanque y de la energía solar irradiada:

La radiación solar por unidad de área es dato del problema, por lo cual no nos preocupamos

por darle una expresión específica, sino que directamente le chantamos su valor. Le adosamos

un Lo que nos queda por determinar es el calor que recibe el agua del tanque. Para ello

retornamos a la vieja y querida ecuación del calor, y planteamos:

Ahora y conociendo el área del panel, que es dato del problema también, pasamos a evaluar la

fórmula para el intervalo de tiempo:

Problema 20

Indique si los siguientes sistemas termodinámicos …

Resolución

Este problema introduce la idea de sistemas termodinámicos para empezar a analizar el primer

principio. Simplemente aquí tenemos que clasificar a los sistemas que nos proponen en

abiertos (aquellos que intercambian materia y energía con el ambiente), cerrados (aquellos

que solo intercambian energía) y aislados (aquellos que no son capaces de intercambiar

materia ni energía). Comencemos:

Veamos una nube. La nube es un rejunte de partículas de agua hecho vapor que llegado un

momento condensa y cae en forma de lluvia. De esta manera, la nube pierde parte de su masa,

con lo cual aquí probamos que hay aquí intercambio de materia. Y el hecho de que haya, por

ejemplo, condensación de este vapor, implica que tuvo que haber una transformación

termodinámica, y como en su mayoría los fenómenos meteorológicos provienen de agentes

externos a la nube, necesariamente tiene que existir intercambio de energía con el ambiente

externo a la nube. Entonces, la nube es un sistema: .

Ahora veamos un ratón vivo. El análisis de este ejemplo podría valer para cualquier ser vivo,

porque nosotros no tenemos, por ejemplo propiedades metabólicas que difieran de los

animales. Por ejemplo, el ratón intercambia materia al ingerir alimentos y excretarlos, e

intercambia energía, por ejemplo al someterse a cambios bruscos de temperatura, el calor

ingresa al cuerpo y éste se calienta o se enfría según corresponda. Luego, el ratón vivo es un

sistema: .

Ahora veamos un fragmento de roca en el espacio exterior. Una roca, como cualquier

elemento sólido y sin vida propia, no va a ganar ni perder materia si se encuentra

solitariamente flotando en el espacio, con lo cual podemos decir que no va a intercambiar

materia con el ambiente. Sin embargo, si anda cerca del sol puede calentarse e intercambiar

energía calórica, con lo cual podemos decir que puede intercambiar energía en algunos casos.

Entonces, la roca en el espacio termina siendo un sistema: .

Continuamos con la heladera, otro objeto sólido inerte, con lo cual no va a intercambiar

materia con el medio, y como todo artefacto eléctrico, necesita de energía eléctrica para

poder funcionar, con lo cual debe haber intercambio de energía (en este caso, eléctrica) con

su entorno. Entonces, la heladera es un sistema: .

Para terminar, nos proponen un café en un termo. Si el termo se encuentra en reposo sobre

una mesa, por ejemplo, nada hará que haya más o menos café, y si el termo está tapado,

tampoco entrará más materia, como moscas, o partículas de polvo, etc. Entonces, no hay

intercambio de materia. Y en cuanto a la energía, al estar en reposo, no tenemos cambios en

la energía mecánica, tampoco en la energía calórica pues esa es una de las propiedades

fundamentales de los termos (mantener la temperatura de lo que haya dentro). Entonces,

decimos que no hay intercambio tampoco de energía, con lo cual podemos concluir que el café

en un termo es un sistema: .

Problema 21

Explique, aplicando el primer principio de la termodinámica …

Resolución

Lo que nos piden acá es dar una breve explicación física de los siguientes fenómenos

haciendo alusión al primer principio de la Termodinámica.

a) Veamos primero la situación de que un fósforo puede encenderse tanto acercando su punta

a una llama ardiendo, como raspándolo contra la caja. Recordemos cómo viene dado este

principio:

Si miramos la expresión para la energía interna, vemos que ésta aumenta cuando se le

entrega calor al extremo del fósforo, que es lo que ocurre cuando se acerca el fósforo a

una llama. De esta manera, la energía interna llegará a un punto tal que la temperatura del

fósforo produce la combustión y el mismo se enciende. Lo mismo ocurre si raspamos el

extremo, porque el sistema recibe trabajo, que en este caso es negativo, con lo cual la

energía interna también aumenta y esto genera que, si uno raspa con una determinada

intensidad, se alcance la temperatura de combustión.

b) Ahora tenemos que al expandirse rápidamente el gas de una garrafa, disminuye su

temperatura. Si el proceso se realiza sin que pase demasiado tiempo, solamente vamos a

estar variando la energía interna del gas (prácticamente no se ve afectada la cantidad de

energía calórica presente). Y por cómo viene dada la ecuación del primer principio, al

aumentar el volumen del gas, la energía interna (y por lo tanto, la temperatura) del gas va

a disminuir.

c) Nos preguntan ahora, por qué debemos frotar rápidamente dos ramas para hacer aparecer

allí una llama. Se trata del proceso inverso al del inciso anterior. Frotando rápidamente se

evita que se libere calor al exterior del sistema, al mismo tiempo que se realiza un trabajo

que hace aumentar la energía interna y por lo tanto, la temperatura del sistema. Cuando se

llegue a la temperatura de la combustión, aparecerá una llama.

d) Por último, nos dicen que si agitamos una pedazo de tela gomosa y porosa con hielo picado

dentro, terminaremos derritiendo al hielo. Lo que sucede aquí es que estamos entregando

energía cinética a las partículas de hielo, y eso es trabajo para el sistema, con lo cual

vamos a tener un aumento de la energía interna y, por consiguiente, de la temperatura.

Llegado a cierto punto, el hielo empezará a cambiar de estado.

Problema 22

Determine si los siguientes procesos se pueden efectuar …

Resolución

Nos proponen algunos procesos termodinámicos y lo que tenemos que hacer es decir si los

mismos pueden ser tanto reversibles como irreversibles.

a) Una expansión de un gas sin intercambio de calor es un proceso reversible (por lo tanto

también irreversible, si simplemente transformo y no devuelvo al sistema a su condición

original), pues podemos colocar al gas en un recipiente con pistón móvil, mover dicho

piston hacia afuera (expandir el gas) y luego hacia adentro (y volver a comprimirlo hasta la

situación inicial). Esto es posible, justamente porque las paredes del recipiente preservan

la energía calórica que posee el gas, pues si hubiese pérdidas, aquí habría una contribución

adicional a la compresión del gas, con lo cual no se podría controlar la transformación.

b) Luego nos proponen una compresión isobárica (es decir, a presión constante) de un gas. Lo

que hacemos ahora es justamente lo que no podíamos hacer en el caso anterior, disipar

energía en forma de calor para dejar invariante la presión en la compresión del gas. Si de

alguna manera, el recipiente pudiera recobrar el calor que le hicimos perder, el sistema

volvería a su situación original, con lo cual este proceso también es reversible (e

irreversible).

c) Ahora tenemos un globo que se desinfla en contacto con el aire. Obviamente, a menos que

luego inflemos por nuestros medios al globo, este proceso no puede ser reversible, pues el

aire del globo tiende a escaparse del mismo, si presenta algún orificio abierto. Este aire

luego se mezcla con el de la atmósfera y resulta imposible en estas condiciones devolverlo

al globo. Entonces, este proceso es solamente irreversible.

d) La mezcla de dos masas de agua a distinta temperatura en un recipiente adiabático es un

proceso que termina con una sola masa de agua a la temperatura de equilibrio. Si este

proceso fuese reversible, se podría tranquilamente vovler a tener las dos masas de agua

en el mismo recipiente con las dos temperaturas iniciales. Pero las moléculas de ambas

masas se mezclan entre sí y se hacen indistinguibles, como para vovler a juntarlas y a

crear las dos masas iniciales, con lo cual es imposible revertir este proceso. El mismo es,

entonces, irreversible.

e) Por último, nos dan la condensación del vapor de agua que sale del pico de una pava con

agua hirviendo, al entrar en contacto con el aire. Viene en la tónica de los últimos dos

incisos, porque trata acerca de partículas (en este caso de vapor de agua) que salen al

ambiente y se mezclan con las partículas del aire exterior. Se condensa el vapor pero

luego si queremos volver a evaporarlo, no vamos a poder recuperar exactamente la misma

masa original. Con lo cual este proceso también es irreversible.

Problema 23

a) ¿Qué cantidad de calor deberá entregar un mechero …

Resolución

a) La primera pregunta es de calorimetría, pues el calor que debemos entregar al agua para

aumentarle un grado desde su valor ambiente lo tenemos con la fórmula carácterística del calor:

b) Ahora nos piden la altura (llamémosla ) desde la cual hay que soltar las dos pesas del

experimento de Joule (en el cual, a partir de la energía mecánica de dichas pesas se obtivo

energía calórica para un recipiente con agua), para que la temperatura del agua ascienda

un grado desde su valor ambiente. Para ello planteamos la igualdad entre la energía

mecánica de las pesas antes de ser soltadas y la calórica que recibirá el agua:

Pero como ambas pesas en la altura inicial se encuentran en reposo, no tendrán energía

cinética, pues su velocidad será nula. Entonces podremos tirar los términos cinéticos y nos

quedaremos solo con dos:

Problema 24

Un bloque de plomo …

Resolución

Este es un típico problema de choque en el cual hay pérdida de energía, que se disipa (una

parte) en forma de calor y el resto se disipa al medio exterior. Veamos qué nos piden.

a) En primer lugar nos piden la energía que se disipa en forma de calor. Para ello tenemos la

tradicional ecuación del calor para un bloque de plomo sólido:

b) Ahora nos piden la energía que se transfiere al medio exterior. Veamos cómo interpretar

esto. Inicialmente cuando el bloque estaba en movimiento únicamente variaba su energía

mecánica. Luego del choque parte de dicha energía se perdió: una parte se transformó en

energía de tipo calórica, que como pudimos reconocerla la pudimos calcular aplicando la

fórmula del calor, pero el resto de la energía no sabemos de qué tipo es, con lo cual no la

podemos calcular con alguna expresión o fórmula directamente, sino que lo que tenemos

que hacer es razonar de la siguiente manera:

c) La respuesta a esta pregunta es negativa desde el vamos, sin ponerme a mirar y a leer

cuál es el universo que nos proponen, porque la energía del universo, sea cual sea no se

gana ni se pierde ni se destruye, sino que solamente se transforma, y aquí se transformó la

energía mecánica inicial en energía térmica y otros componentes.

Problema 25

El ventilador eléctrico de una habitación que tiene paredes adiabáticas …

Resolución

Este problema es teórico, no hay que hacer cuentas, pero es necesario observar bien la

situación para poder dar una respuesta convincente. La situación involucra a una habitación

totalmente aislada (esto lo deducimos del hecho de que este sistema obviamente no

intercamba materia y porque tampoco intercambia energía al tener límites adiabáticos, con lo

cual no puede entrar ni salir calor de la habitación), y la misma tiene un ventilador en el techo,

pero que se lo hace funcionar con una batería, y tenemos que analizar cómo va evolucionando

la energía de la habitación (recordemos que siempre en total vamos a tener la misma cantidad,

pero posiblemente de distintos tipos).

Lo que sucede es que cuando el ventilador se enciende, la batería empieza a consumirse, y

ello implica que se transforma su energía inicial, que es energía química en movimiento para

las aspas del ventilador (es decir, energía cinética para el ventilador), pero ello ocurre a costa

de energía química que se disipa como calor al ambiente. Esto termina generando, en principio

una disminución de la temperatura debido a la acción del ventilador, sin embargo, cuando se

agota la batería, se anula la energía cinética y solo queda la energía térmica, con lo cual la

temperatura del ambiente se eleva drásticamente.

Luego damos la respuesta de la guía, para resumir:

.

Problema 26

a) ¿Cuánto varía la energía interna de un sistema …

Resolución

a) La primera pregunta refiere a que demos la variación de energía interna de un sistema

cerrado (que solo intercambia energía con el medio) si la cantidad de calor que recibe es

la misma que entrega como trabajo. Planteemos el primer principio:

Si lo que nos dicen es que , entonces, se estarían restando dos cantidades iguales,

y el resultado sería: .

b) Si el sistema es cerrado y por lo tanto, permite el intercambio de energía, entonces es

totalmente posible que ocurra la situación que nos proponen. Lo que dicen es que el

sistema gasta más de lo que recibe, entonces lo que ocurrirá será que disminuirá la energía

interna, tendríamos una variación que es negativa. Veamos:

Esta es la cantidad en la que se reduce la energía interna del sistema.

c) Ahora si el sistema no realiza trabajo y cede una determinada cantidad de energía, la

diferencia de energía interna será negativa, con dicho valor absoluto de pérdida. Veamos:

d) Ahora nos dicen que el sistema del inciso anterior evoluciona entre los mismos estados,

con lo cual disipa la misma cantidad de energía, que es: . Esta respuesta la

obtuvimos del hecho de considerar la energía una función de estado, que no varía en un

ciclo cerrado (como una evolución entre dos estados iguales). Pero no usamos todavía el

primer principio de donde podemos extraer el dato sobre el trabajo que recibe el sistema,

usando el dato de que el sistema cede en forma de calor al ambiente. Veamos:

Problema 27

a) El consumo de energía por unidad de tiempo …

Resolución

a) Complica un poco la comprensión la forma en que se disponen las unidades, pero

simplemente lo que nos están diciendo que para un hombre de , de veinte años de

edad, su tasa metabólica basal es de , y que para una mujer en las mismas

condiciones, esta tasa es de . Entonces, lo que nos piden es decir cuánto valdría esta

tasa si dicho hombre y dicha mujer pesaran y respectivamente. No es otra

cosa que una regla de tres. Entonces tenemos, para el hombre:

b) Ahora nos proponen una situación en la cual la mujer del inciso anterior haciendo gimnasia

genera una diferencia de energía interna en su cuerpo. Y si permanece dos horas en ese

estado, lo que nos preguntan es a qué velocidad se produce esa variación de energía

interna (algo que también conocemos como tasa metabólica). Entonces, lo que nos

proponen es que planteemos el cociente:

Nos dicen que entrega un trabajo y que entrega energía calórica en un valor

. Entonces, esto es lo que hay que introducir en la fórmula:

El resultado nos lo dan en kilocalorías por hora y en watt, con lo cual vamos a dar ambos

resultados. Veamos primero en watt:

Y ahora en kilocalorías por hora:

Los resultados aparcen negativos, debido a que se trata de un balance de pérdida, sin

embargo, en la guía los presentan positivos porque les interesa la razón de cambio de la

energía interna simplemente y para ello el signo de la variación es anecdótico, con lo cual

termina dando igual con qué signo se presente el resultado, siempre y cuando se haga esta

salvedad.

c) Vamos a plantear la expresión para el rendimiento de nuestra gimnasta, siguiendo los

datos que nos plantea el enunciado. Veamos:

La energía consumida tiene que ver con la energía que se gastó haciendo gimnasia y se

calcula con el primer principio, y agregando los datos de enunciados de incisos anteriores:

Por otro lado, la energía interna basal la calculamos como la tasa metabólica basal (que

tiene unidades de potencia) por unidad de tiempo. Es decir, que la expresaremos como la

tasa basal multiplicada por la cantidad de tiempo que le lleva hacer gimnasia, en este caso,

dos horas. Veamos:

Con estos datos ya podemos evaluar la fórmula:

d) En primer lugar, las energía que debe reponer debido a la gimnasia realizada tiene que ver

con la energía consumida pero ahora con el signo contrario (positivo). Ese dato

ya lo tenemos:

En segundo lugar, la energía que debería reponer si en lugar de haber hecho gimnasia se

hubiese quedado en reposo las dos horas, sería simplemente la energía interna basal

(cambiada de signo). Veamos:

Problema 28

La tasa metabóilica y el intercambio …

Resolución

a) La idea acá es deducir primero la ecuación para la velocidad de variación de la

temperatura con el tiempo, que el enunciado propone como

. Para ello vamos a combinar

la ecuación del calor y la ley de Fourier de la transmisión del calor, de la siguiente manera:

Vamos a reemplazar la ecuación del calor en la ley de Fourier, para obtener la siguiente

fórmula para la velocidad de enfriamiento:

Si a la capacidad calorífica a presión constante la reemplazamos por su expresión en

función de la masa y el calor específico, y a la masa, por su expresión en función de la

densidad del material y de su volumen, tenemos los siguiente:

El área de cada cara del cubo es igual al cuadrado de uno de sus lados. Si es la longitud

de un lado, entonces el área de una cara será igual a . Entonces, el área de las seis caras

del cubo será igual a . Por otra parte, el volumen del cubo se calcula como la

sueperficie de la base multiplicada por la altura, con lo cual tenemos: .

Reemplazamos estos resultados en la fórmula:

Ahora apliquemos esta fórmula a los dos cubos que nos presentan, el que tiene lado

y el que tiene lado igual a :

b) La anterior deducción se generaliza a cualquier cuerpo voluminoso (no solamente se

reduce a cubos). Luego, si una persona tienen mayor volumen que otra, entonces se

enfriará más lentamente. En el caso del niño y del adulto, este último seguramente poseerá

más volumen, con lo cual el niño será quien disipe más rapidamente calor y sea más

friolento que el adulto. Entonces, la respuesta es: .

c) La explicación que se puede dar aquí de la conclusión que extrajimos de la respuesta al

inciso anterior tiene que ver con el tema que nos piden que introduzcamos en esta

respuesta, y es el tema de la diferencia en la tasa metabólica en los niños y en los adultos.

Los niños son cuerpos que ocupan menos volumen en el espacio que los adultos, con lo

cual tienen más energía para gastar que los adultos, por lo tanto su tasa de metabolismo

será mayor. Lo opuesto ocurre con los adultos, luego he aquí la respuesta a la cuestión:

.

d) La última pregunta es meramente una conclusión a todos los razonamientos que vinimos

realizando en la resolución de este problema. Por la mitad del ejercicio habíamos llegado a

que el niño (que ocupa menos volumen espacial que el adulto) disipaba más energía que el

adulto. Entonces, el niño debe comer y alimentarse más para reponer esas pérdidas.

Luego, no es del todo cierta la frase común de que el niño que está en plena etapa de

crecimiento, solo por eso debe alimentarse bien. La guía, por su parte, ofrece simplemente

un rotundo: .

Problema 29

Un gas en equilibrio se encuentra en un recipiente cilíndrico …

Resolución

a) Nos preguntan por el trabajo que realiza el gas en una expansión a presión constante (la

expansión se produce mediante una transferencia de calor, luego no es adiabática, tampoco

a volumen constante, porque se corre el pistón y el gas comienza a ocupar más espacio,

luego no queda otra alternativa, que no sea que la presión quede constante). El trabajo del

gas lo calculamos como la presión que mantiene al gas comprimido dentro del recipiente

multiplicada por el volumen que el gas ocupa. Esto es:

En este caso, la presión que comprime al gas es igual a la presión a la cual nos dicen que

se encuentra dicho gas en el frasco, pues no tiene contacto con el medio exterior, como

para sentir otra presión que lo mantenga comprimido allí dentro. Por su parte, el volumen

que consideramos es el volumen de frasco que recorrió el pistón. Entonces, tenemos:

. Veamos:

b) Ahora nos preguntan lo mismo pero considerando como nuestro sistema de estudio no

solamente al gas, sino al conjunto de este último con el pistón. Dicho sistema se encuentra

sometido a una presión externa que ya no es más la presión dentro del recipiente (que es

la presión del gas), sino que ahora todo el conjunto se encuentra sometido a la presión del

aire exterior, que es igual a

. Luego, lo que sigue es análogo:

c) Ahora el pistón desciende la misma distancia que ascendía en el primer inciso, con lo cual

se revierte el proceso que allí se había realizado. Con lo cual el trabajo, más allá de que el

proceso se realice de manera reversible o irreversible, cambia de signo debido a que el

desplazamiento del pistón, respecto de la subida, cambia de signo, manteniéndose

constante la presión. Entonces tenemos:

d) Y si queremos que el proceso que expande y comprime el gas se realice de manera

reversible, lo que debemos tener en cuenta es que todo cambio que se experimente en el

gas del frasco sea uniforme, y pueda ser fácilmente medible. Si ocurren cambios bruscos

que además afecten solo a un sector del frasco y que no puedan ser modelados de ninguna

forma, es difícil preparar un experimento que revierta todos los cambios que fueron

producidos y que, en general no fueron controlados.

Problema 30

Un gas absorbe y se expande contra una presión …

Resolución

Este es fácil, hasta el enunciado es bastante ameno, cortito como no venía sucediendo en estos

últimos. Nos proponen responder cuál es la variación de energía interna en un gas que se

expande entre un volumen inicial y otro final. La presión externa es dato, al igual que el calor

absorbido. Con lo cual para responder a esta pregunta simplemente vamos a plantear la

ecuación del primer principio termodinámico:

Sin embargo, en la guía, el resultado de este problema nos lo presentan en kilocalorías.

Entonces realizamos el pasaje de unidades correspondiente:

Problema 31

Un volumen de de agua a , contenido en un recipiente adiabático rígido …

Resolución

Volvemos a los largos y trabajosos. Nos presentan un experimento en el cual se coloca dentro

de un recipiente con agua fría, un circuito eléctrico conformado por una batería y una

resistencia que disipa calor. Dicho calor es lo que va a elevar la temperatura del agua. Lo que

nos piden es el calor intercambiado , el trabajo y la variación de energía interna , para

tres sistemas diferentes.

a) Comencemos por el sistema formado solamente por el agua. Nos dicen que la resistencia

disipa y las recibe el agua. Luego, el calor intercambiado será: . Por

otra parte al recibir calor no varía ni el volumen del agua ni tampoco la presión a la que

está sometida, luego no variará el producto de estas dos cantidades que es el trabajo, con

lo cual podemos decir que el agua no realiza trabajo en este proceso, y entonces decimos

que: . Aquí si en la batería hubiese pérdidas de energía habría que sumarlas al

calor recibido por el agua, sin embargo esto no sucede, según nos dicen. Por otra parte, si

consideráramos el trabajo que realiza el agua al dilatarse en el proceso que sufre,

tendríamos trabajo no nulo, pero no podríamos dar una respuesta numérica. Por último, si

las capacidades caloríficas de la resistencia y de la fuente no fueran despreciables, habría

intercambio de calor entre la fuente y el medio exterior, y entre la resistencia y el medio

exterior. Todos valores incalculables si no nos proporcionan más datos como para

establecer un cálculo a nivel numérico. Continuando con los cálculos que nos piden, para

saber cuál es la diferencia de energía interna en este proceso para el agua, simplemente

planteamos el primer principio, de donde ya conocemos el valor de dos de los datos

involucrados: .

b) Ahora nuestro sistema es el agua en conjunto con la resistencia, con lo cual el intercambio

de calor es interno al sistema (la resistencia le entrega calor agua, pero el sistema “agua –

resistencia” no intercambia calor con ningún agente, debido a que estamos considerando

que la resistencia no presenta capacidad calorífica apreciable, al igual que la fuente, y que

esta última no disipa). Entonces, podemos decir que el calor intercambiado por el sistema

es . Sin embargo la variación de energía interna afecta a ambos componentes del

sistema por igual (no sucede que la resistencia entrega energía interna y el agua la recibe,

sino que ambos presentan la misma variación), entonces tenemos .

Finalmente aplicamos el primer principio para obtener la cantidad que nos falta, que es el

trabajo realizado: . En

realidad se trata de un trabajo recibido por el agua, pues tiene signo negativo.

c) Por último nos proponen analizar el sistema formado por el agua, la resistencia y la

batería. Ahora ampliamos el sistema del inciso anterior, pero el calor intercambiado por el

agua y la resistencia sigue siendo interno al sistema (y aquí hacemos las mismas

aclaraciones que hicimos en aquel entonces, respecto de las aproximaciones que nos pedía

tener en cuenta el enunciado), luego no lo vamos a considerar. Entonces tenemos:

. En cuanto a los trabajos realizados, el sistema “agua – resistencia” recibía un

trabajo (eso concluíamos del inciso anterior), y ese trabajo era entregado por la fuente que

ponía en funcionamiento al circuito, con lo cual si ahora consideramos como nuestro

sistema a la fuente a la resistencia y al agua, el trabajo que realiza el sistema pasa a ser

interno del mismo, y no debería ser considerado. Luego, tenemos: . Finalmente,

usando el primer principio, tenemos que como las dos cantidades conocidas son nulas,

entonces, la diferencia de energía interna, que es lo que nos falta conocer, también será

nula. Veamos: .

Problema 32

Calcule el cambio en la energía interna …

Resolución

a) Veamos cuál es la diferencia de energía interna al llevar agua líquida a a vapor de

agua a la misma temperatura. Simplemente tenemos que considerar en la ecuación del

primer principio el calor absorbido para el cambio de estado y el trabajo que realiza:

La masa de agua presente es dato del problema, al igual que el calor latente de

vaporización del agua y la presión a la que ocurren los cambios. Luego, solo nos falta

averiguar como varían los volúmenes de agua presentes. La diferencia de volúmenes es

ampliamente favorable al vapor, debido a que al expandirse el agua en estado gaseoso va a

ocupar un volumen prácticamente infinito, como lo es el del medio exteiror, luego el

volumen que ocupaba cuando estaba en estado líquido lo podemos despreciar. Y entonces,

solamente tenemos que conseguir el volumen final, y para ello usamos el dato que nos dan,

sobre el volúmen específico del agua en estado gaseoso que es de . Esto significa

que en (es decir ) de vapor se tienen . Con lo cual, en del mismo,

habrá presentes (por regla de tres): , y ese es el volumen final. Coloquémoslo en

la fórmula para la energía interna:

b) Ahora repitamos el cálculo anterior, pero para llevar agua líquida a a agua en el

mismo estado pero a . Aquí no varía el volumen del agua, tampoco la presión, con lo

cual no se realiza trabajo en este proceso, entonces, la diferencia de energía interna tiene

que ver con el calor liberado por el agua. En este caso, el calor lo calculamos con su

ecuación característica de calorímetría. Veamos:

c) Ahora, repitamos una vez más el cálculo para llevar agua líquida a a agua sólida a

. Prácticamente el volúmen de agua no varía al cambiar de estado líquido a sólido,

luego solamente vamos a tener que trabajar sobre el calor intercambiado, al igual que en el

caso anterior. Sin embargo, aquí tenemos variación de temperatura y también cambio de

estado, luego el calor lo calculamos como suma de términos, de la siguiente manera:

Aquí usamos un signo negativo en el término con el calor latente, debido a que dicho calor

es entregado por el agua al ambiente, para el cambio de estado.

Problema 33

En la figura se muestra …

Resolución

Nos proponen en este problema un proceso como el que nos presentan en el gráfico. Para el

ciclo completo nos piden una serie de cosas.

a) El trabajo realizado por el gas, mirando el gráfico de presión versus volumen, lo extraemos

como el área encerrada por dicho gráfico. Para ello tenemos que calcular el área del

triángulo que queda determinado por el ciclo:

b) Veamos el calor intercambiado en todo el ciclo. Para ello vamos a plantear la ecuación del

primer principio, con los datos que tenemos hasta ahora:

El trabajo que se realiza en el ciclo completo es igual a , con lo cual solo nos falta

saber cuánto vale la variación de energía interna. Como la misma es una función de estado,

ya sabemos por definición que su variación va a ser nula en un ciclo cerrado, con lo cual el

calor intercambiado termina siendo igual al trabajo realizado.

Veamos:

c) Nos piden aquí, que demos la variación de energía interna en el ciclo completo, para lo

cual ya dimos una respuesta en la deducción del inciso anterior. Simplemente presentamos

la solución:

d) Ahora nos piden que digamos que cantidades de las anteriores pueden darse para cada

tramo por separado sin necesidad de añadir alguna suposición adicional, como suponer

conocidos datos que el enunciado no nos da. Por empezar el trabajo puede ser obtenido sin

ningún problema para cada tramo, debido a que se trata simplemente de calcular el área

bajo la gráfica de cada tramo por separado (teniendo en cuenta que para el isocórico el

trabajo es nulo pues no tenemos variación de volumen).

Por otra parte, para calcular los intercambios de calor en cada tramo, tenemos las

siguientes expresiones. Calculemos, por ejemplo, el calor para el tramo isocórico (que se

realiza a volumen constante):

Con lo cual para conseguir el calor intercambiado vamos a necesitar suponer conocido el

número de moles que hay presentes del gas, luego esta cantidad no la podemos calcular

con los datos del enunciado. Análogamente, para el caso isobárico (a presión constante)

nos surge la misma necesidad (realizar el cálculo completo y verificar que se obtiene la

siguiente expresión):

Y para el tramo restante, simplemente se supone que la suma de los cálculos sobre los tres

tramos nos da el resultado para el ciclo completo, luego, conocido este último, despejamos

el que estamos buscando. Entonces, para ningún tramo del ciclo podemos directamente

obtener el calor intercambiado.

Y por último, la energía interna se calcula para cada tramo, mediante el primer principio

restando el trabajo del calor intercambiado, con lo cual a ser obtenida una de esas

cantidades mediante suposiciones, entonces esto hace que no podamos tampoco calcular

directamente estas cantidades.

Entonces, en conclusión, las cantidades que pueden ser obtenidas de manera directa, con

los datos del enunciado son: , , .

Problema 34

a) Estimar el trabajo que realiza el músculo cardíaco …

Resolución

a) Este inciso es un poco raro, porque nos insta a que calculemos el trabajon que realiza el

músculo cardíaco como el área bajo la gráfica de presión y volumen, pero donde dicho

gráfico no tiene una forma geométrica “agradable”, con lo cual vamos a tener que calcular

dicho trabajo de manera bastante aproximada. Por suerte nos dan un gráfico bien

cuantitativo, donde en los lugares donde tenemos cuadraditos completos, el área la

sabemos calcular, después donde vemos que hay porciones de cuadraditos cuyas áreas se

compensan también es fácil de calcular, pero donde quedan cuadraditos libres, que no se

compensan con ninguno, ahí vamos a tener que meter mano negra y aproximar por el

cuadradito entero (por exceso). Contando los cuadraditos enteros y los que se compensan

se llega a un total de , y luego me quedan colgados que los voy a aproximar por

exceso, con lo cual el trabajo lo vamos a aproximar por veces el área de un cuadrado

de . Entonces tenemos:

b) La potencia desarrollada por el corazón al bombear sangre la expresamos como sigue:

Para obtener el intervalo de tiempo que le lleva realizar un bombeo tenemos que utilizar el

dato que nos dan sobre las pulsaciones que un hombre tiene por minuto (que son

aproximadamente ). Entonces, en un minuto, nuestro corazón ejerce un trabajo de

pero multiplicado por . Plasmemos esto en la fórmula de la potencia:

Problema 35

Un mol de gas ideal monoatómico …

Resolución

a) Nos plantean una expansión isobárica de un gas y nos preguntan por el trabajo realizado.

Como tenemos todos los datos podemos tranquilamente plantear:

b) Ahora nos preguntan por la diferencia de energía interna del gas. Su expresión sale del

primer principio:

De allí ya conocemos el trabajo realizado, pues ya fue calculado en el inciso anterior. Nos

falta obtener el calor intercambiado, para lo cual vamos a usar el dato del calor específico

molar del gas a presión constante, que nos dan en el enunciado. Entonces, podemos

expresar al calor como:

. Reemplazamos esta expresión en

la fórmula para la energía interna:

Las temperaturas inicial y final del gas las obtenemos a través de la ecuación de estado,

pues conocemos la presión y el volumen en ambos instantes. Veamos:

Reemplazamos nuevamente:

Problema 36

¿Cuánto calor intercambia un gas ideal …

Resolución

Nos proponen un gas ideal que se expande isotérmicamente y nos piden dar el calor

intercambiado, conociendo el trabajo que emplea. Queda claro, por los datos que tenemos, que

debemos comenzar planteado el primer principio:

El trabajo lo conocemos, aunque no así la diferencia de energía interna. Sin embargo, para

gases ideales uno tiene que la energía interna es igual a una constante por la temperatura del

gas. Y como la temperatura se mantiene constante, la energía interna es entonces igual a una

constante por otra constante: es en definitiva una gran constante. Y si la energía interna no

cambia, entonces su variación va a ser igual a cero, quedándonos el calor intercambiado igual

al trabajo realizado. Veamos:

También nos lo expresan en calorías:

Como vemos, el calor es positivo, con lo cual el gas recibe (o absorbe) un calor igual al trabajo

que realiza. Así de sencillo.

Problema 37

Un recipiente rígido y adiabático …

Resolución

Tenemos la siguiente situación inicial donde se expande un gas ideal monoatómico:

a) Lo primero que tenemos que hacer es dar el trabajo realizado por el gas al expandirse y su

variación de energía interna. Veamos esto, planteemos el primer principio:

Como las paredes del recipiente son adiabáticas, no tenemos intercambio de calor en

ningún momento, luego tenemos que , y la diferencia de energía interna es igual al

trabajo, es decir: . Ahora, como la expansión nos dicen que es libre, las partículas

del gas comenzarán a ocupar más espacio dentro del recipiente a medida que se mueve la

pared interna, pero sin ejercer fuerza alguna (de allí que se mueven libremente). Para que

esto sea posible, el aumento de volumen debe ser compensado por una igual disminución

de la presión inicial, lo cual redunda en un trabajo nulo. De esta deducción surge que:

. Y como el trabajo y la variación de energía interna eran iguales, también tenemos

entonces que: .

b) Nos piden ahora la temeperatura final del gas. Acá nos acordamos del dato de que el gas

es ideal y monoatómico. Luego, su energía interna se escribe como:

Entonces, su diferencia de energía interna en este proceso se escribirá como:

Sin embargo, la diferencia de energía interna (habíamos deducido) que era nula. De esta

relación se puede despejar la temperatura final del gas:

c) La calidad de ideal de un gas, en este problema entró en juego únicamente cuando

quisimos plantear la fórmula para la energía interna, pues la expresión en función de la

temperatura que propusimos es exclusiva de los gases ideales, y tiene distinta pinta según

el gas sea monoatómico, diatómico, triatómico, etc. Con lo cual esta cantidad sí depende de

cómo sea el gas. Sin embargo, las cantidades que dimos en el inciso a) no dependen de

esta calidad: el primer principio de la termodinámica vale para cualquier tipo de gas. El

problema quizás radique en que si no tenemos un gas ideal se nos complicaría trabajar con

la energía interna o con la ecuación de estado, pues no tenemos en general expresiones

bien cerradas.

Entonces, damos la respuesta: .

Problema 38

Un mol de gas ideal evoluciona …

Resolución

a) Nos presentan en el enunciado el gráfico de presión en función de la temperatura y a partir

de allí, y usando la ecuación de estado de un gas ideal, tenemos que dar el gráfico de

presión en función de la temperatura. Antes de tirarnos a dibujar, veamos qué forma tiene

cada tramo del gráfico:

El tramo a – b en el primer gráfico es una isoterma, con lo cual la temperatura es una

constante. En estas condiciones, si despejamos la presión en función del volumen de la

ecuación de estado, nos queda:

El símbolo empleado en la última implicación es el de proporcionalidad, nos dice que la

presión es inversamente proporcional al volumen, con lo cual el tramo a – b pasa a ser una

hipérbola en el gráfico de presión y volumen. Veamos ahora qué puntos conecta, para ello

vamos a dar el valor de la presión (que es el mismo en los dos gráficos), el de la

temperatura (que es constante y por lo tanto igual para los dos gráficos también), el de y

que son constantes también, y así vamos a despejar el volumen correspondiente para

cada extremo de cada tramo:

Comencemos por el punto a:

Luego, el punto va a parar al punto

Si hacemos lo mismo para el punto b, vamos a tener: , luego el punto

va a parar al punto .

Lo mismo va a ocurrir con la otra isoterma, la del tramo c – d del primer tramo. En el

gráfico de presión y volumen vamos a tener una hipérbola, en este caso desplazada

respecto de la anterior. Y los extremos de esta hipérbola se calculan de la misma manera

que calculamos el extremo inferior de la hipérbola anterior. Con lo cual tenemos, que el

punto va a parar al ; y que el va a parar al

.

Nos falta ver qué sucede con las dos isobaras que conectan a las isotermas. En estos

casos, solamente resta saber qué forma tendrá el gráfico de presión y volumen para estos

tramos, pues los puntos de los extremos ya los tenemos calculados. Planteemos la

ecuación de estado, pero ahora considerando a la presión como una constante:

Como la presión es constante, entonces, todo el segundo miembro será una constante, lo

cual no significa que cada parámetro por separado lo sea. En este caso, solamente lo

son, y la temperatura y el volumen varían, pero de manera de compensarse instante a

instante para que la presión se mantenga constante. Entonces, el gráfico para ambos

tramos faltantes va a ser una recta horizontal constante que una a los tramos que

quedaban sin unir. Ahora sí hagamos el gráfico:

b) Ahora nos piden completar un cuadro donde tenemos que poner el signo del calor

intercambiado, del trabajo y de la variación de energía interna (o poner cero si estas

cantidades son nulas) para cada tramo y para el ciclo completo.

Para empezar, como se trata de un gas ideal, la energía interna es proporcional a la

temperatura. Entonces, en las isotermas (tramos “ab” y “cd”), esta energía será una

constante, y por lo tanto su variación será nula. Y como la energía interna es una función

de estado, será nula en el ciclo completo. Nos falta saber el signo que tiene la energía

interna en las isobaras. Pero como en estos tramos es únicamente no nula, y ambas deben

sumar cero, entonces, en ambos tramos deben valer lo mismo, pero con signos cambiados.

Sin embargo, todavía no podemos decir nada sobre cuál es el positivo y cuál es el

negativo, sin embargo sabemos que la diferencia de energía interna depende

exclusivamente de la diferencia de temperaturas, que es positiva para el tramo “bc” (pues

la temperatura aumenta) y negativa para el tramo “da” (pues la misma disminuye).

Entonces, en bc la variación de energía interna es positiva y en da será negativa.

El trabajo en el ciclo completo es el área encerrada por esta curva, que es positivo, según

la convención de recorrido de la curva en sentido horario, lo que nos dice que se está

entregando trabajo. Por su parte, los trabajos parciales van a ser positivos solamente en

las expansiones (es decir cuando el volumen aumente –tramos “bc2 y “cd”-), y negativo

en las compresiones –tramos “ab” y “da”-.

Solo nos falta dar los signos del calor, pero eso sale ahora directamente usando la

ecuación del calor. Para el tramo “ab” teníamos energía interna nula y trabajo negativo,

luego el calor será negativo. Para el tramo “bc” teníamos energía interna y trabajo

positivos, con lo cual el calor también será positivo. Para el tramo “cd” teníamos energía

interna nula y trabajo positivo, con lo cual el calor va a ser positivo. Para el tramo “da”

teníamos energía interna y trabajo negativos, luego el calor será también negativo. Y para

terminar, para el ciclo completo teníamos energía interna nula y trabajo positivo, con lo

cual aquí vamos a tener calor positivo.

Demos entonces, el cuadro que nos piden:

Tramo “ab” Tramo “bc” Tramo “cd” Tramo “da” Ciclo completo

Problema 39

La figura adjunta representa en forma esquemática …

Resolución

a) La siguiente es el esquema de lo que llamamos “máquinas de vapor”, aquellas que fueron

inventadas durante la Revolución Industrial, cuya principal función es convertir energía

térmica, calentando agua, en energía mecánica o trabajo.

Sin embargo, lo que nos piden que miremos es el esquemita que nos propone el enunciado

y desde allí identificar la máquina propiamente dicha, sus fuentes y el ciclo que produce.

En primer lugar, llamamos máquina al circuito grande que se representa mediante un

sector en el cual el agua es calentada hasta convertirse en vapor, y sigue en el sentido en

que indica la flecha, pasando por lo que se conoce como “cámara de vapor”, donde hay un

cilindro. El empuje del agua en expansión hace mover al pistón y este a su vez hace

circular a la rueda que vemos en la imagen de esta hoja. El vapor pasa de largo y llega a

una zona donde se enfría y se condensa. El remanente de energía sale al exterior en forma

de vapor. En medio de la explicación encontramos el proceso cíclico que nos piden dar,

que ocurre cuando el vapor inicialmente llega a la cámara de vapor. Allí dijimos que

empuja a un pistón, que a su vez mueve al cilindro y que a su vez mueve a la rueda. Esta

última al girar hace que el pistón vuelva a su posición original y que el vapor siga de largo.

Esa parte del proceso cumple un ciclo cerrado. Por último, la fuente caliente naturalmente

va a ser el calentador y la fuente fría, el condensador.

b) El proceso que se lleva a cabo en la máquina en el cual se convierte calor en trabajo

mecánico se puede representar en un esquema como el siguiente:

Como vemos, el calor es liberado por la fuente a temperatura que la suponemos alta,

como para llevar rápidamente agua líquida a vapor. Llega al proceso cíclico donde para

mover la rueda se necesita entregar un trabajo , que es lo que se obtiene como producto

aquí, además de un remanente de calor que es llevado hacia el condensador.

Problema 40

Un inventor afirma haber desarrollado …

Resolución

Nos plantean un posible proceso efectuado por una máquina térmica, en el cual se envía cierto

calor, se genera cierto trabajo y se genera un cierto remanente de calor desde la máquina. Lo

que tenemos que hacer es ver si se satisface el primer principio. Planteémoslo:

Aquí el calor intercambiado es claramente la diferencia entre el calor enviado a la máquina

y el remanente expulsado por la misma, con lo cual tendremos . Por su parte, la

energía interna no varía, debido a que la temperatura de la máquina se mantiene constante, con

lo cual tenemos también que: . Usando todos estos datos, reescribimos el primer

principio del siguiente modo:

Estos datos son conocidos, pues nos los da el enunciado: si la máquina extrae de

una fuente térmica, está hablando del calentador, con lo cual ese valor será el del calor ;

luego si nos dicen que cede a otra fuente, se está refiriendo al condensador, y el

valor corresponde al de . Y el trabajo es el trabajo, el que se obtiene como producto de la

máquina, que también es dato. Con lo cual, ya estamos habilitados para comprobar si se

satisface el primer principio o no. Ello decidirá si es posible el invento o no, como nos

pregunta el enunciado. Veamos:

Veremos qué nos da cuando pasemos los del dato a . Si obtenemos el valor de

entonces será posible la máquina. Veamos:

Como se obtuvo otro valor del que debía obtenerse, concluimos que como no se satisface el

primer principio de la termodinámica, entonces dicha máquina no puede ser posible.

Problema 41

Definimos al rendimiento de la máquina como la relación costo – beneficio que uno tiene para

conseguir el trabajo que uno quiere. Entonces, es coherente pensar que el mismo puede

representarse como un cociente entre el calor que debe cedérsele a la máquina y el trabajo

que ésta devuelve. Entonces tenemos:

Multiplicamos por porque esta cantidad suele expresarse en porcentaje. Lo que nos piden

es el calor absorbido en cada ciclo (es decir ) y el calor cedido (que es ). El calor

absorbido sale trivialmente despejándolo de la ecuación del rendimiento, pues tenemos dicho

dato y el del trabajo que realiza la máquina. Veamos:

El calor cedido por la máquina lo obtenemos mediante el primer principio:

Si en el proceso no cambia la temperatura de la máquina (esto ya lo vimos) la energía interna

de la misma no va a variar. Luego tenemos , y la ecuación nos queda:

Problema 42

Un refrigerador recibe trabajo …

Resolución

a) Nos plantean una heladera para analizar, con lo cual pasamos primero a plantear como

funciona este artefacto como máquina térmica. El siguiente esquema lo explicará bien:

Como vemos, la heladera sigue un proceso parecido al que emplea la máquina de vapor

que fue introducida unos ejercicios más atrás. La única diferencia es que se invierten

algunos roles, como por ejemplo la máquina tiene en este caso, que extraer calor de la

fuente fría (que vendría a ser el interior de la heladera y tiene temperatura ) para poder

conservar el frío allí dentro. Para ello, debe hacer un trabajo , que además envía al

ambiente el calor que extrajo al principio (esa es la fuente a temperatura , que por lo

general es mayor que ). Lo que nos piden es dar este calor cedido al ambiente pero por

unidad de tiempo. Aquí intervienen las potencias que nos dan en el enunciado (que

justamente son energías por unidad de tiempo). Comenzamos como siempre con el primer

principio:

Como vimos en el problema 40, cuando introdujimos las máquinas térmicas, llegamos a la

conclusión de que había una forma más cómoda para dar el primer principio en una

máquina térmica (suponiendo variación de energía interna nula). Y nos quedaba de la

siguiente manera:

Y si queremos potencias, tenemos que dividir a la ecuación por unidad de tiempo:

Aquí el subíndice implica “extraída del congelador” como nos dice el enunciado, y el

subíndice implica “cedido al ambiente”. Justamente lo que queremos encontrar es lo que

despejamos, entonces evaluemos la fórmula:

Sin embargo, lo que nos piden es cuánto calor se cede al ambiente en una hora, con lo cual

la potencia cedida deberemos expresarla en . Veamos:

Luego, estos nos dice que en una hora se cedió un calor de .

b) Ahora demos la eficiencia de la heladera como máquina térmica. Para ello tenemos el

siguiente cociente en el cual relacionamos el calor que hay que extraer de la fuente

primaria con el trabajo necesario para que ello ocurra:

Debemos trabajar en una única unidad de tiempo. Por ejemplo, nos dicen que en un minuto

se extraen de la fuente fría. Entonces debemos considerar el trabajo que recibe la

máquina en un minuto. Veamos cuánto es eso:

Entonces, el trabajo que recibe la máquina en un minuto es: . Evaluemos ahora

la eficiencia:

Problema 43

El esquema de la figura representa una máquina que intercambia calor …

Resolución

a) Nos plantean una máquina térmica con todos los datos conocidos (temperaturas de las

fuentes, calor entregado, calor absorbido y trabajo realizado). Lo que nos piden es ver si

es posible que esta máquina funcione, para lo cual vamos a ver (como ya hicimos en otros

problemas) si se satisfacen, en este caso, los dos principios de la termodinámica (el

primero y el segundo), como nos piden. Comencemos por el primero en su versión para

máquinas térmicas que ya dedujimos en los problemas anteriores:

Efectivamente, el primer principio se satisface. Veamos si pasa lo mismo con el segundo,

con lo cual tenemos que ver si la entropía del sistema formado por las fuentes y la

máquina aumenta con el tiempo. Esto se plantea proponiendo que la variación de entropía

es mayor que cero. Vamos a plantear:

Usamos acá el hecho de que las temperaturas de las fuentes se mantienen constantes y

que la máquina no tiene variación de entropía. Los datos ahora son conocidos, con lo cual

ya podemos evaluar:

Luego, se verifica también el segundo principio, con lo cual es perfectamente posible

pensar una máquina que maneje los números del enunciado de este problema.

b) Ahora que vimos que es posible construir la máquina del enunciado, calculemos el

rendimiento de esta máquina, que viene como trabajo sobre calor absorbido (en este caso

esta es la relación costo – beneficio, analizar esto):

Problema 44

Un kilogramo de hielo a se funde hasta transformarse …

Resolución

Nos presentan un cacho de hielo que se lo derrite sin variarle la temperatura. Vamos a las

preguntas.

a) Nos preguntan en principio, por la variación de entropía del hielo. Como el proceso

mencionado se realiza sin variación de temperatura, la expresión para la variación de

entropía es sencilla:

El calor recibido no es dato, pero nos dicen que el proceso es el de fusión del hielo a

temperatura constante, con lo cual este calor se calcula sencillamente mediante la fórmula

de calorimetría que usa el calor latente de fusión. Veamos:

b) Ahora nos piden la variación de entropía del universo, que en este caso es el sistema

formado por el hielo y el medio exterior. Veamos:

Conocemos el primer término de la suma, pero no el segundo. Tenemos que calcularlo, y

para ello, planteamos básicamente la misma ecuación de variación de entropía que para el

hielo, pero en este caso el calor ya no es el recibido por el hielo, sino que es el entregado

por el medio (la diferencia es solamente un signo), y la temperatura no es la del hielo, sino

la del ambiente que es de :

Volvemos a la ecuación de la variación de entropía de nuestro universo:

c) Si obtuvimos una variación positiva de la entropía, esto significa que este proceso es

posible realizarlo en la realidad, porque significa que la entropía del universo va en

aumento. Si quisiéramos revertir este proceso, necesitaríamos que la entropía del universo

disminuya, lo cual no es posible, con lo cual idealmente no es posible volver a la situación

original, con de hielo a a temperatura ambiente. Sin embargo, podemos

aproximarnos tanto como queramos a una variación negativa de entropía, pero hasta cierto

límite. Obviamente que ese límite va a ser: . Esto significa que uno puede

enfriar el agua nuevamente, hasta recuperar el hielo inicial, pero siempre un mínimo

aumento de la entropía del universo va a haber. La variación nula, en realidad no se

alcanza nunca, sino que uno solamente puede acercarse a dicho valor. Una forma de hacer

esto es la que propone la guía en sus resultados, que es utilizar una fuente a la

temperatura de fusión más un pequeño infinitésimo de temperatura.

Problema 45

Se comprime un mol de gas ideal en forma reversible …

Resolución

a) Para el proceso que nos presentan nos piden primero dar la variación de entropía del gas,

para lo cual vamos a plantear (teniendo en cuenta que el proceso es isotérmico):

Luego, la temperatura no varía y vale esta fórmula para la variación de entropía. Para dar

el calor entregado, con los datos que tenemos no nos queda otra que usar el primer

principio:

El calor intercambiado es el calor que entrega el gas, y como el proceso se produce sin

variación de la temperatura y estamos en presencia de un gas ideal, la energía interna es

una constante, luego tenemos: . Y entonces nos queda:

La temperatura a la que ocurre el proceso es dato, con lo cual ya podemos dar la variación

de entropía del gas:

b) Ahora nos piden la variación de entropía del universo. Pero si nos dicen que el proceso es

reversible, nos están diciendo que puede idealmente volver a expandirse el gas hasta

recuperar el estado original, lo cual sucede si la variación de entropía del universo es la

límite, es decir, si se cumple que: .

Problema 46

Para el ciclo descrito en el ejercicio 38 …

Resolución

Este problema viene a ser algo así como un complemento para el ejercicio 38, que era aquel

que resolvimos con los cuadritos de doble entrada, donde poníamos los signos para todas

aquellas variables que intervenían en el primer principio (como , y ). Ahora nos piden

hacer lo mismo, pero con la variable del segundo principio, que es la diferencia de entropía

para el gas, para su medio exterior, y para todo el universo en cada tramo y en el ciclo

completo.

Comencemos con lo más trivial, que es la variación de entropía del universo entero, que es

nula siempre porque el proceso en el que interviene el gas ideal es reversible. Entonces ya

tenemos llena la tercera fila de la tabla.

Pasemos ahora a la fila de las variaciones para el gas. La fórmula más general para la variación

de entropía no es la que veníamos empleando hasta el momento, para procesos isotérmicos,

pero igualmente no deja de ser un cociente entre variación de calor y la temperatura a la que

ocurre dicho proceso. Como esta última es siempre una cantidad positiva, entonces el signo de

va a estar dado por el signo que lleve la variación del calor (si es entregado o recibido por

el gas). Y para averiguar que signo llevaba el calor en cada tramo y en el ciclo completo nos

vamos a la resolución del 38 y nos fijamos qué habíamos obtenido en aquella ocasión. […]

Luego de fijarnos encontramos que en el tramo “ab” el calor era negativo, al igual que en el

“da”; en el resto de los tramos es negativo, al igual que en el ciclo completo. Luego, lo mismo

ocurrirá con la entropía, excepto en la entropía del ciclo, que es nula por ser una función de

estado.

Terminamos dando la diferencia de entropía del medio exterior al gas. Para ello vamos a

plantear el segundo principio, que como el proceso es reversible tenemos:

Entonces, en el tramo en el cual la variación del gas sea positiva, la del medio exterior deberá

ser negativa, para que la suma de ambas dé cero. Lo mismo debe ocurrir si en el gas, la

variación de entropía es negativa (en el medio debe ser positiva). Entonces, tenemos que en el

medio para el tramo “ab” y para el “da” esta cantidad es positiva, mientras que para los dos

restantes es negativa. Como se dijo antes, para el ciclo completo, como tenemos una función

de estado, la misma deberá valer cero.

Damos la tabla final, con todos estos resultados volcados en limpio.

“ab” “bc” “cd” “da” ciclo

Problema 47

Una bolsa de arena de , originalmente en reposo …

Resolución

Nos plantean una situación en la cual se deja caer una bolsa de arena hacia el vacío, chocando

con el suelo, y nos hacen realizar una análisis energético de dicha situación.

a) Primero, nos preguntan si se conserva la energía del universo. Y la respuesta, justamente

es universal, y es afirmativa, debido a que, para cualquier proceso la energía no se crea ni

se destruye, solo se transforma. En este caso tenemos una bolsa que cae, con lo cual en el

instante inicial lo que tenía era energía potencial gravitatoria. Cuando cae, pierde esa

energía, pero no se destruye sino que se va transformando en cinética. En el momento de

la caída y del choque con el suelo se pierde toda la energía cinética, pero esta se va a

transformar en otro tipo de energías, entre las que se encuentra la energía calórica. Todo

ello se resume en lo que la guía propone como energía interna de la bolsa y del medio.

b) La siguiente pregunta tiene que ver con la entropía del universo, sobre si esta se mantiene

o no constante. La caída de una bolsa de arena no es un proceso que pueda ser revertido

naturalmente, con lo cual solamente en dicho tramo del proceso la entropía del universo no

se va a conservar, sino que (fielmente al segundo principio) va a aumentar.

c) Ahora nos preguntan si el proceso de caída de la bolsa se podría efectuar reversiblemente.

Idealmente no, pero se podría inventar alguna estrategia como para minimizar la variación

de entropía del universo. Por ejemplo, la guía propone hacer descender lentamente a la

bolsa de arena dentro de un balde apenas por encima de la masa de la bolsa. De esta

manera, uno puede levantar y dejar caer a la bolsa en un estado aproximadamente de

equilibrio, lo cual minimiza el aumento de entropía en la ida y en la vuelta.

d) Por último, nos hacen suponer que la bolsa no se deforma al chocar con el piso, y que este

y la bolsa son fuentes térmicas infinitas. En estas condiciones nos piden dar la variación de

entropía del universo. Planteémosla:

La bolsa no experimenta cambios en su entropía pues es quien entrega el calor al medio,

con lo cual este último si experimenta una variación de entropía que pasamos a calcular:

Entonces, tenemos:

Problemas de opción múltiple

Problema 1

Se colocan en termos iguales …

Resolución

Nos presentan tres sustancias de igual masa, a la misma temperatura inicial, y nos dicen que

se le va agregando el mismo calor, pero la temperatura evoluciona de distinta manera,

evoluciona según el gráfico que viene con el enunciado. Veamos qué afirmación es la correcta.

De una podemos decir que la e) es incorrecta, pues el cambio de fase de una sustancia se

realiza a temperatura constante, y en el gráfico de la sustancia B la temperatura aumenta

siempre. También la c) es inmediatamente falsa, pues para que se produzcan iguales

variaciones de calor a iguales variaciones de temperatura las tres funciones tendrían que ser

lineales e idénticas, y esto aquí no ocurre. Por otro lado, la d) nos dice que si se intercambia el

mismo calor, la sustancia que habrá alcanzado mayor temperatura será la A. Y no es así, y para

explicar ello veamos el gráfico invertido, de temperatura en función del calor:

En este gráfico tenemos lo que necesitamos: para un mismo punto, la temperatura de la

sustancia A es la más baja de las tres. Veamos la a), la b) y la f), que todas hablan sobre el

calor específico de las sustancias. La ecuación de evolución del calor para todas ellas plantea

lo siguiente:

En esta fórmula nos dicen que la masa y la temperatura inicial son constantes, luego el calor

evoluciona (al menos para las sustancias A y C) según una función lineal de la temperatura,

que no es la misma en ambas porque el calor específico no es el mismo para cada sustancia.

Por su parte, la sustancia B no evoluciona linealmente debido a que su calor específico

tampoco es constante, y varía con el tiempo. Esto invalida la opción b), que nos dice que el

calor específico no varía para ninguna sustancia. La f) plantea que el calor específico en B va

disminuyendo con la temperatura. La función es creciente, con lo cual la variación de calor

específico, que redunda en una variación de calor, debe ser positiva, lo cual invalida también la

opción f) y nos dice que la opción correcta termina siendo la a), que nos dice que el líquido A

es el de mayor calor específico. Para ver por qué esto es cierto, volvamos a mirar el gráfico,

pero en este caso el del enunciado, el de calor en función de temperatura. Concentrémonos en

los gráficos de las sustancias A y C (el calor de la B siempre estará entre medio de los de la A

y de la C, debido a que su gráfico siempre permanece ensanguchado entre los otros dos

gráficos), pero nos falta saber cuál es el más grande entre los dos que nos quedan. Entonces,

viendo este gráfico notamos que A y C evolucionan linealmente con la temperatura. Luego, la

función es lineal y la pendiente depende de la masa y del calor

específico. Como la masa es constante, el gráfico de mayor pendiente será el de mayor calor

específico. Y como el gráfico más empinado es el de la sustancia A, ése será el de mayor

pendiente, con lo cual la sustancia A será la de mayor calor específico, como nos lo propone la

opción a).

Damos entonces, la respuesta correcta: .

Problema 2

Un pedazo de cobre de …

Resolución

Tenemos una mezcla de cobre con agua en un vaso de aluminio (que intercambia calor), con lo

cual vamos a tener que considerar tres variaciones de calor (en el cobre, en el agua y en el

vaso). El calor que ceda el cobre será igual al calor que reciban el agua y el vaso, y ello se

representa de la siguiente manera:

Reemplacemos los calores intercambiados por sus expresiones según la ecuación de evolución

de calorimetría, directamente planteando esto en función de los calores específicos:

Parecen muchos datos, pero vamos a ver que son todos conocidos, o están en tablas. Por

ejemplo, del enunciado podemos obtener las masas de los tres materiales, las temperaturas

iniciales de cada material (recordemos que se supone que el agua y el vaso originalmente se

encuentran a la misma temperatura), y la temperatura final de todos, que es la temperatura de

equilibrio. Solo nos queda por conocer los calores específicos del agua y del aluminio, que es

el material del cual está formado el vaso, que son valores tabulados, que se pueden consultar

al final de la guía, en libros o en internet. Entonces, dicho esto, pasamos a evaluar la fórmula

para el calor específico del cobre (que si bien también está tabulado, la idea de este ejercicio

es calcularla mediante este experimento, y suponiendo conocidos los otros dos). Veamos:

Problema 3

En climas de fuertes heladas, es habitual que los agricultores coloquen dentro de los

invernaderos …

Resolución

Son dos preguntas en una. Vayamos de a una, y comencemos por decir cuánto calor cederá el

agua del tacho al ambiente del invernadero (decimos que el agua cederá calor al ambiente

debido a que se encuentra a mayor temperatura que este, pues se supone que en el ambiente

hay heladas, y difícilmente este fenómeno ocurra a temperaturas mayores a los que nos

dicen que presenta el agua originalmente). Además nos dicen que en un momento el agua pasa

a cambiar de fase y a solidificarse, con lo cual el calor entregado debemos calcularlo en dos

etapas (mediante el calor específico y el calor latente de fusión). Veamos:

Ya podemos descartar las opciones a), c) y e). Calculemos cuánto tiempo debería funcionar un

calefactor de para entregar estas a su medio exterior. Esto es bastante fácil,

pues nos dan la potencia de dato, que es nada más ni nada menos que energía (en este caso

calórica) por unidad de tiempo. Con lo cual lo que tenemos que hacer es expresar dicha

potencia en kilocalorías por hora. Luego, por regla de tres, sabremos cuántas horas serán

necesarias para que la energía entregada sea de . Veamos:

Luego, se entregan en una hora, con lo cual para que se entreguen

deberán pasar: .

Entonces, la respuesta correcta es la: .

Problema 4

Una varilla metálica …

Resolución

Este es un problema de conducción del calor, que lo vamos a resolver planteando la ley de

conducción de Fourier, que ya la conocemos de los primeros problemas de la sección anterior.

Veamos:

Recordemos, que es el camino que recorre el calor para ir de un extremo al otro de la

varilla (del más caliente al más frío), y este camino coincide con el largo de la varilla, del cual

conocemos la relación entre el caso (el original) y el caso (cuando se reducen sus

dimensiones). Por otra parte, es el área de la sección de la varilla, de la cual también

poseemos la relación de diámetros entre cada caso. La constante es la misma para cada

caso, al igual que la diferencia de temperaturas, que nos dicen que no se modifica. Veamos lo

que sucede en el caso , que es el original:

Ahora veamos qué sucede con el caso , e intentemos relacionarlo con el :

Ya está casi hecho, porque nos daban de dato que la varilla en el caso conducía .

Luego, en el caso conducirá la mitad. Veamos:

Entonces, la respuesta correcta es la: .

Problema 5

Un iglú tiene forma semiesférica …

Resolución

Tenemos un problema similar al anterior, donde hay una superficie con sus extremos a

diferentes temperaturas, desde la cual el calor se transmite de una pared a la otra por

conducción. Nos piden dar el calor intercambiado en una hora. Para ello planteamos la ley de

Fourier:

Esta es simplemente la ecuación maestra que hay que evaluar. Lo que tenemos que hacer

ahora es encontrar los valores de los parámetros que no conocemos, como el área de la

sección de la superficie que atraviesa el calor, y la longitud que el mismo recorre. Luego, la

conductividad es un dato del enunciado, al igual que la diferencia de temperaturas entre las

paredes.

Entonces, busquemos el área de la sección. Nos dicen que el iglú es perfectamente semiesférico,

con lo cual la superficie de la sección también será semiesférica. La fórmula para el área de

una esfera viene dada por la expresión: , con lo cual el área de la semiesfera

es la mitad:

. El radio, según nos dice el enunciado, no es una

constante, sino que es una función de la altura respecto del piso, sin embargo, nos sugieren

como buena aproximación, que consideremos el radio medio entre la pared del techo interno y

la del techo externo. Encontremos dicho radio medio:

Y la longitud recorrida por el calor es justamente el espesor del bloque de hielo que conforma

la pared, con lo cual tenemos .

Ahora sí, evaluemos la fórmula:

La respuesta correcta más aproximada a la que obtuvimos es la: .

Problema 6

Dos barras rectangulares idénticas están unidas …

Resolución

Otro típico ejercicio de transmisión del calor por conducción, donde lo complicado acá es

interpretar de que manera se conduce el calor en cada situación. Vamos a llamar situación al

caso en el cual las dos barras se encuentran pegadas por una de sus caras laterales y situación

al caso en el cual se encuentra una encima de la otra. En la situación , el calor se transmite

de extremo a extremo, con lo cual recorre un tramo correspondiente al largo de los dos

bloques, mientras que en la situación , solamente recorre el largo de un bloque, como se ve

en el siguiente esquema:

Ahora viendo el esquema, se supone que es inmediata la deducción de la relación de las áreas

de sección que recorre el calor. En el caso , la sección tiene la mitad del área que tiene la del

caso . Comencemos entonces, planteando la ley de Fourier para ambos casos:

Para el caso :

Para el caso :

Nos dicen que la potencia transmitida en el primer caso es de . Entonces, en el caso

, la potencia transmitida es la siguiente:

Entonces, la respuesta correcta es la: .

Problema 7

Una varilla de cobre y otra de acero …

Resolución

Comencemos descartando las opciones d) y e), porque es imposible que el calor fluya a

distinta velocidad en un tubo que en el otro, la energía se transmite a la misma velocidad,

porque si esto no ocurriera, habría pérdidas de energía en algún punto de las varillas, y eso no

nos dicen que sucede. Dos opciones menos. Por otro lado, la variación de energía calórica no

es lineal con el largo de las varillas, con lo cual no tenemos en el punto medio del recorrido la

mitad de la temperatura que tenía el extremo más caliente. Para saber cuál es esa temperatura

hay que realizar cierto cálculo, pero por ahora podemos ir descartando la opción c). La opción

f) es inmediatamente falsa, mientras que solamente nos queda analizar las opciones a) y b).

Aquí interviene este cálculo que dijimos que había que hacer para calcular la temperatura en el

punto medio del trayecto: la a) nos dice que es menor a y la b), que es mayor. Veamos

cuál es la correcta. Para ello usamos el dato que dedujimos del primer análisis: la potencia

entregada en una varilla es igual a la entregada por la otra, lo que se plantea como sigue:

Obtuvimos un valor mayor que , con lo cual la respuesta correcta es la:

.

Problema 8

Sean dos recipientes cúbicos A y B …

Resolución

Tenemos dos cubos (A y B), el primero más pequeño que el segundo, introducidos dentro de

sendos recipientes adiabáticos en todas sus caras a excepción de la superior. Por lo tanto, en

algún momento el cubo pequeño se derretirá por completo. La pregunta tiene que ver con qué

masa del otro cubo se derritió en ese lapso. Para ello vamos a plantear qué relación existe

entre el calor que recibe el B en el lapso de tiempo que le llevó derretirse al A, y el calor

necesario para que B se derrita completamente. Escribimos esta relación del siguiente modo:

Pasemos a obtener expresiones para estas cantidades. Comencemos por la del numerador, que

es el calor que recibe B en el tiempo en que A se derrite por completo. La ley de Fourier en

este caso plantea lo siguiente:

De esta expresión necesitamos conocer el tiempo que le lleva al cubo A derretirse por

completo. Para ello vamos a plantear la ley de Fourier para el cubo A, que también depende de

este intervalo:

Y el calor necesario para derretir al cubo A tiene también una expresión según la ecuación de

evolución de la calorimetría en función del calor latente de fusión, que es la siguiente:

Reemplazamos en la ecuación del intervalo de tiempo de A:

Reescribimos entonces, el calor equivalente al derretimiento de A:

Por suerte la segunda cantidad de la relación del principio, que es el calor que necesita B para

derretirse es mucho más fácil de encontrar, y es simplemente cuestión de escribir la fórmula

que viene de la calorimetría en función del calor latente de fusión:

Planteemos ahora, el cociente de ambas cantidades:

Conseguimos el cociente, después de todo este trabajo, pero todavía no terminamos. Falta

poco, pero hay que realizar un par de razonamientos más, que son más físicos que matemáticos

por suerte. La cuestión es que podríamos terminarlo así, pero no sabríamos qué responder

porque las opciones que nos dan son todas numéricas y ninguna depende de parámetros.

Entonces, vamos a mirar un poco la geometría de los cubitos para establecer relaciones sobre

las masas y las áreas transversales de ambos cubos.

Tenemos que usar el dato (que dejamos ahí olvidado) de que la arista del cubo A medía la

mitad de lo que mide la arista en el cubo B. Entonces, de aquí podemos obtener una relación

para las áreas, que se escriben como el cuadrado de la arista. Veamos:

Veamos qué ocurre con las masas. Ambas pueden escribirse como el producto entre la

densidad y el volumen de cada cubo. Y este último, viene como la arista al cubo (a la tercera

potencia):

Pero si la densidad de cada cubo es la misma ( ), pues ambos cubos están hechos de

hielo, se tiene que:

Volvemos con estas relaciones al cociente de calores intercambiados que habíamos dejado allí

atrás, y los evaluamos para obtener la relación numérica que nos piden:

Con lo cual, se termina derritiendo la mitad de la masa inicial del cubo B. Entonces, damos la

respuesta correcta: .

Problema 9

Si la temperatura de la superficie del sol …

Resolución

Lo que nos plantean acá es un poco más sencillo que lo que veníamos teniendo. Ahora eso sí,

cambiamos de tema. Ya no estamos viendo transmisión del calor por conducción, sino que

ahora estamos viendo transmisión por radiación. Luego, el calor transmitido por unidad de

tiempo sigue la ley de Stefan – Boltzmann. Lo que nos proponen es que la temperatura del sol

(llamémosla ) es igual a un quinto de la que tiene actualmente (llamémosla ),

que puede considerarse con buena aproximación como una constante. Entonces, nos piden dar

la relación entre la potencia entregada por el sol en la situación que nos plantean y la que

realmente entregaría. Ambas siguen la ley de Stefan – Boltzmann, con lo cual las pasamos a

plantear:

Como vemos, solamente la temperatura es lo que depende de la situación que se considere,

porque , que es la constante de Stefan – Boltzmann, es universal y no depende de ninguna

variable, al igual que el área de la superficie del sol, y que la eficiencia . Luego, hacemos el

reemplazo en cualquiera de las ecuaciones y despejamos la relación que cumplen las

potencias:

Luego, en esta situación planteada se cumple:

Entonces, la respuesta correcta es la: .

Problema 10

Una persona que realiza trabajo mecánico …

Resolución

Tenemos de datos para una persona que se supone que está haciendo ejercicios de gimnasia,

el trabajo que realiza y la energía interna que gasta (las tenemos por unidad de tiempo, pero

las tenemos). Entonces, podemos, a través del primer principio, obtener el calor que

intercambia en su proceso. Veamos, entonces, el primer principio dice lo siguiente:

Dividimos por un intervalo de tiempo genérico y generamos la ecuación del primer principio

pero para potencias, de lo cual tenemos datos:

Y si queremos el calor disipado en una hora, lo que tenemos que hacer es multiplicar por esta

cantidad de tiempo a la potencia disipada como calor:

Ahora, al final del enunciado nos dicen que un de ese calor disipado se va como radiación

y el restante se va como evaporación de sudor. Cuando nos preguntan por el volumen de

agua que pierde por hora esta persona, se están refiriendo a este sudor, luego, calculando el

de este calor tendremos la energía disipada como sudor evaporado. Obtengámosla:

Si queremos la el volumen de sudor que se perdió, podemos plantear la ecuación del calor,

esta vez en función del calor latente, pues el sudor se está evaporando (está cambiando de

estado). Veamos:

Entonces, la respuesta correcta es la: .

Problema 11

Indique cuál de las siguientes afirmaciones …

Resolución

Pasemos a evaluar cada afirmación para encontrar la correcta.

La a) nos propone que la energía interna de cualquier sistema solamente depende de la

temperatura, y eso es falso, porque esa suposición solamente la habíamos hecho para los

gases ideales, de los cuales habíamos obtenido expresiones cerradas si los mismos eran

monoatómicos, diatómicos, y hasta triatómicos. Sin embargo, para otros tipos de sistemas las

expresiones son más complicadas. La b) nos propone justamente lo que acabamos de decir,

que la energía interna es función de la temperatura solo en gases ideales, con lo cual

encontramos fácilmente a la verdadera. Luego, las que quedan serán todas falsas, pero veamos

por qué. La c) lo que dice es que en una evolución isotérmica no hay intercambio de calor. Esto

es falso, porque puede que se esté queriendo confundir calor con temperatura, que son dos

conceptos muy distintos. Un contraejemplo que pueda justificar esta falsedad tiene que ver con

los cambios de estado, que vinimos analizando, donde recordamos que la temperatura no

variaba y sin embargo había intercambio de calor, que era proporcional al calor latente. Por

otra parte, la d) nos propone la afirmación inversa a la anterior, que en un proceso adiabático

(a calor constante) no tenemos variación de temperatura. También seguramente nos están

queriendo confundir con los conceptos de calor y temperatura, pero un contraejemplo lo

podemos encontrar mirando la ecuación del primer principio: si el proceso es adiabático, no

habrá intercambio de calor, luego tendremos , pero si se tratara de un gas ideal habría

variación de temperatura debido a la variación de energía interna. Por otra parte, la e) nos dice

que la única condición para que un sistema realice o reciba trabajo es que haya cambios en el

volumen del sistema. Acá también nos quieren confundir, debido a que estamos trabajando con

gases ideales, donde la fórmula para el trabajo es el producto de la presión por el volumen,

pero si volvemos a la primera guía donde trabajábamos con mecánica, teníamos una fórmula

que era el producto de la fuerza que hacía o que recibía el sistema, que podía ser un bloque de

madera, por la distancia que recorría. Allí no experimentábamos cambios en el volumen del

bloque (y está muy bien que así fuera), luego no puede ser nunca verdadera esta afirmación si

se la generaliza para cualquier sistema termodinámico. Por último, tenemos la f), que nos dice

que si un gas ideal no varía su energía interna entonces no intercambia calor. La ecuación del

primer principio nos dice que si , entonces el calor intercambiado es igual al trabajo

que realiza dicho gas, que puede ser no nulo. Un ejemplo rápido en el que esto ocurre es en

una expansión isotérmica del gas, donde al no variar la temperatura solamente hay trabajo

realizado debido al cambio de volumen del gas.

Entonces, la respuesta verdadera es la:

.

Problema 12

Un hombre de andando en bicicleta entrega una potencia …

Resolución

En este problema, nos están preguntando por el calor que entrega un hombre andando en

bicicleta, pero los datos que nos dan son de potencias, es decir, de energía interna y de

trabajo, pero por unidad de tiempo. Con lo cual vamos a plantear el primer principio, pero

inmediatamente vamos a dividir dicha ecuación por un intervalo de tiempo cualquiera, como

para que nos queden expresadas dichas potencias. Veamos:

Cuando nos hablan de potencia mecánica, nos están hablando de trabajo mecánico por unidad

de tiempo, es decir que se refieren al término que viene como

, y cuando nos hablan de tasa

metabólica se están refiriendo a (como nos dicen ahí) la rapidez con la que varía la energía

interna, o en otras palabras, la energía interna por unidad de tiempo. Esa es la expresión de

.

Tenemos esos dos datos en el enunciado, con lo cual podemos obtener el calor intercambiado

por unidad de tiempo. Lo único que hay que tener en cuenta es quela energía interna se pierde,

por ello su variación lleva un signo menos. Calculémoslo entonces:

Ahora, si queremos la cantidad de calor intercambiado en , lo que tenemos que hacer es

pasar multiplicando el intervalo de tiempo que divide al calor en la última expresión despejada

y evaluarlo en :

Luego, aproximadamente, como nos dicen damos la respuesta correcta, que es la: .

Problema 13

Una central termoeléctrica cuyo rendimiento es del …

Resolución

Acá nos plantean una central termoeléctrica que realiza un trabajo, y del calor que disipa en el

intercambio, una buena parte va a parar a un río, haciéndole aumentar su temperatura. Lo que

nos piden es ese aumento de temperatura, que podemos llamar . Pero vamos a ir de a poco,

vamos a jugar antes con otras expresiones conocidas, que contengan a esta diferencia de

temperaturas, como por ejemplo, el primer principio:

Esta máquina, como toda máquina térmica no presenta variación de temperatura, con lo cual

tampoco presentará variación de energía interna, luego el trabajo obtenido será igual al calor

intercambiado, que en este caso será igual a la diferencia entre el calor que saca de la fuente

caliente y el que disipa hacia el ambiente. De este último (nos dicen también), un se

disipa por una chimenea, y el restante va a parar a un río. Este es el que nos va a

interesar, porque es el que va a hacer incrementar la temperatura del río. Veamos cuánto vale:

Sin embargo, los datos nos los dan en potencia (trabajo por unidad de tiempo), con lo cual va a

ser más cómodo trabajar con potencias, para lo cual vamos a dividir por un intervalo de tiempo

genérico (como venimos haciendo):

Ahora sí, tenemos el dato de la potencia eléctrica entregada, que tiene que ver con el trabajo

por unidad de tiempo, que es de . Para obtener el trabajo que recibe la máquina,

vamos a usar el dato de que su rendimiento es del . Entonces, vale que:

Evaluando la fórmula, vemos que los dos términos que se suman y que no conocemos su valor

(que son los correspondientes a los calores disipados) tienen que ver con el calor total que se

disipa, y del cual nos dicen que el va al río, veamos qué valor representa:

Y ahora, de estos , solo nos interesa el , veamos cuánto vale:

Ahora vamos a hacer aparecer la temperatura en la expresión de la potencia disipada en el río.

Para ello nos acordamos que la ecuación del calor dice:

Si dividimos a ambos miembros por el intervalo de tiempo :

obtenemos el cociente entre la masa y el tiempo que es el caudal másico de agua de río

(nosotros tenemos de dato al caudal volumétrico, pero mediante la relación que ambas

cantidades tienen con la densidad del agua, fácilmente pasamos de notación). Ahora

simplemente nos queda despejar el intervalo de temperaturas, pues todo lo demás ya es

conocido. Veamos:

Después de todo este trabajo, llegamos a la respuesta final, que es la: .

Problema 14

En la figura, los círculos representan seis máquinas cíclicas …

Resolución

Nos presentan seis máquinas distintas, que realizan distintos procesos obteniéndose distintos

resultados (trabajos), pero solamente una es posible que exista en la realidad. Intentemos

descubrirla analizando los dos principios de la termodinámica que conocemos:

Veamos la primera máquina, los dibujos los tenemos ahí todos bien juntitos y con la

información que necesitamos, bien ordenadita, con lo cual no tendremos problemas para

realizar el análisis de manera cómoda. Veamos primero si se cumple el primer principio,

recordemos que en estos procesos, la energía interna es una constante, pues no hay variación

de temperatura en la máquina, y que el calor intercambiado se expresa como la diferencia

entre el calor que saca de la fuente caliente y el que entrega al ambiente. Veamos:

El primer principio se verifica. Veamos qué pasa con el segundo. Lo que tenemos que hacer es

ver que la entropía del universo (que en este caso es el conjunto de la máquina más la fuente

caliente más la fuente fría) es mayor que cero. Tengamos en cuenta que al ser una función de

estado y al ser cíclica la máquina, la variación de entropía en la máquina va a ser siempre nula

en todos los casos. Entonces, en el análisis tenemos:

Esta máquina viola el segundo principio, con lo cual no puede ser real.

Veamos la segunda máquina, probemos el primer principio:

No se cumple el primer principio, pues debíamos obtener un trabajo negativo de . Ya ni

vale la pena analizar el segundo. Esta máquina tampoco puede ser real.

Veamos la tercera. Mirando simplemente esta máquina uno puede decir que no va a ser real

pues viola el postulado de Kelvin del segundo principio de la termodinámica, que dice que es

imposible diseñar una máquina que genere trabajo sin disipar calor al ambiente. Y es lo que

hace esta máquina. Esto puede corroborarse sumando las diferencias de entropía, pero

obviamente que va a obtenerse un resultado negativo, pero lo más sensato es dar esta

explicación.

Veamos ahora la cuarta máquina, analicemos el primer principio:

No se verifica el primer principio, luego tampoco esta máquina puede ser real.

Prosigamos con la quinta, analizando el primer principio:

Tampoco se cumple aquí, con lo cual esta máquina tampoco es real.

Y esta (la sexta) tiene que ser, pero veamos por qué. Analicemos el primer principio:

Obviamente aquí si se cumple el primer principio, y veamos cómo se cumple el segundo:

El segundo principio también se cumple, con lo cual esta es la máquina real. Entonces, la

respuesta correcta es la: .

Problema 15

A cierta masa de agua …

Resolución

Cuando nos dicen que en el proceso B el agua cede determinado número de kilocalorías (que

es lo que tenemos que averiguar), se va a referir tanto a trabajo como a energía interna, pues

al no realizar trabajo en este proceso, según el primer principio, calor intercambiado y

diferencia de energía interna van a ser iguales. Entonces, la idea es encontrar alguna de estas

dos cantidades, que son iguales. Para ello nos dan datos sobre un proceso anterior, que es el

A, que seguramente vamos a necesitar.

Ahora, hay un dato que es fundamental, y es que mediante el proceso B, el agua vuelve a su

estado original, con lo cual los procesos A y B forman un ciclo completo. Veamos entonces,

que datos tenemos del proceso A: recibe de trabajo y entrega de calor.

Entonces, mediante el primer principio podemos obtener la diferencia de energía interna del

agua en el proceso A:

Ahora recordamos que los procesos A y B forman un ciclo, luego en el ciclo completo, la

variación de energía interna vale cero. Luego, la misma variación para el proceso B,

simplemente se despeja:

Luego, el calor intercambiado será:

Como lleva un signo menos, es un calor entregado (cedido, como dicen las soluciones).

Descartamos de este modo, las opciones a), b), d) y f). Veamos entre la c) y la e), cuál es la

correcta. Tenemos que ver qué es lo que sucede con la entropía. Su variación en un proceso

reversible se escribe como un cociente entre calor intercambiado y temperatura. Como esta

última en su escala absoluta es siempre positiva, el signo de la variación depende del signo del

calor intercambiado. Y como este es negativo, esto implica que la variación de entropía es

negativa, y entonces la entropía disminuye. Esto echa por tierra a la opción c) y valida a la e)

que termina siendo la correcta.

Entonces, la respuesta correcta es la: .

Problema 16

Al mezclar, en un recipiente adiabático …

Resolución

Bien, cuatro multiple – choice en uno. Comencemos por la primera parte, donde nos piden la

masa de agua presente en una mezcla con hielo, en la cual este último se funde totalmente.

Esta masa inicial de agua forma parte de la ecuación para el calor cedido por la misma:

La diferencia de temperatura en el proceso y el calor específico del agua son datos del

problema, mientras que no ocurre esto con el calor intercambiado. Sin embargo, sabemos que

como el recipiente es totalmente adiabático, la cantidad de calor que el agua cede al hielo es la

misma que el hielo recibe del agua, y ese calor cumple la siguiente ecuación del calor:

pues el hielo se funde y cambia de estado en su proceso. Acá la masa del hielo es dato, al igual

que el calor latente de fusión, con lo cual podemos introducir esta expresión en la masa de

agua, teniendo en cuenta que hay que agregar un signo menos, porque el calor intercambiado

es cedido para el agua y recibido para el hielo, y allí hay un signo de diferencia. Veamos:

La respuesta correcta de esta parte es la c).

Pasemos a la segunda parte, donde nos piden la variación de entropía del hielo. Como el

proceso que sufre el hielo lo hace a temperatura constante (pues se trata de un cambio de

estado simplemente), entonces, su variación de entropía también la calculamos de manera

simple. Veamos:

Luego, la respuesta correcta de esta parte es la b).

Vamos con la tercera parte, en la cual nos piden, en este caso, dar algún dato sobre la

variación de entropía del agua líquida, debido a que todavía no sabemos cómo calcularla

explícitamente. Lo que sí podemos saber es que si se verifica el segundo principio, la suma de

ambas variaciones debe ser positiva. Y también sabemos que la variación de la entropía del

agua debe ser negativa, debido a que el calor intercambiado por el agua es negativo (y la

temperatura absoluta siempre es positiva (por más que varíe). Entonces, si y

, lo que debe ocurrir es que .

Luego, la respuesta correcta de esta parte es la d).

Para terminar, la última parte, en la cual nos piden dar el valor de la diferencia de entropía en

el agua. No es de este nivel esta última parte, con lo cual no es contenido de parcial, sin

embargo uno con lo que contestó hasta ahora puede descartar las opciones no negativas, y en

las cuales el valor absoluto no sea menor que el de la variación del hielo. Estas son las

opciones a), b), e) y f). Sin embargo, no podemos zafar de tener que hacer esta cuenta y entrar

en terreno desconocido, pues las dos que nos quedan son equiprobables pues cumplen todas

las condiciones para poder ser respuestas correctas. Bueno, la expresión general de la

variación de entropía para un sistema en un proceso en el cual varía la temperatura es una

expresión integral, que se resuelve de la siguiente manera:

Luego, la respuesta correcta de esta parte es la d).

Damos la respuesta final: .

Problema 17

Un mol de gas ideal evoluciona en forma reversible …

Resolución

Tenemos un proceso reversible de un gas ideal del cual tenemos que decir cómo varían la

energía interna y la entropía. Comencemos por la primera, que es la energía interna. Como

tenemos un gas ideal, esta solamente depende de la temperatura, luego esta solo puede variar

si tenemos variación de temperatura. Si comparamos ambas ecuaciones de estado, vamos a

darnos cuenta de que ambos estados (el inicial y el final) se encuentran a la misma

temperatura. Veamos:

Para el estado inicial:

Para el estado final:

Igualando ambas ecuaciones (recordemos que la constante se puede despejar de ambas y

se pueden obtener dos expresiones para la misma, que se pueden igualar). Entonces:

Evaluando las presiones y volúmenes en ambos estados (que son datos), obtendremos la

igualdad en este caso, de las temperaturas:

Luego, en este proceso no hay variación de temperatura, con lo cual la energía interna no

varía. Esto nos permite descartar las opciones d), e) y f). Nos quedan las primeras tres, y para

hallar de allí la correcta vamos a tener que analizar el signo de la variación de entropía. Esto

equivale a dar el signo de la variación de calor intercambiado. Para ello vamos a plantear el

primer principio:

Es igual al trabajo, porque ya vimos que la variación de energía interna era nula. Si en este

proceso el volumen disminuye (se trata de una compresión) entonces se tendrá que , lo

que implica, si las presiones son positivas, que , entonces tendremos que , y esto

desemboca en que: .

Entonces, la respuesta correcta es la: .

Problema 18

Indique cuál de las siguientes afirmaciones es la única verdadera:

a) Cuando un sistema pasa de un estado A …

Resolución

Terminamos con un par de ejercicios light como para descansar un poquito. Acá, como en el

problema posterior a este, tenemos que encontrar la afirmación verdadera. Veamos:

La a) dice que en un cambio de estado, cualquiera sea, se intercambia siempre el mismo calor.

Y eso es inmediatamente falso, debido a que el calor intercambiado en un cambio de estado

tiene una fórmula, una expresión que depende de la masa de la sustancia y del calor latente de

fusión, y este último es distinto según la sustancia que intervenga en el proceso. Luego, no

puede ser verdadera la opción a). La b) nos dice que en un cambio de estado la variación de

entropía es siempre la misma. Y esto sí es cierto, porque la entropía es una función de estado,

luego solamente va a depender de lo que suceda en el estado final y en le inicial. No le

importará qué es lo que sucede en el medio. Uno puede realizar cualquier proceso que genere

un mismo resultado y la variación de entropía va a ser la misma. Esa es la definición,

justamente, de función de estado. No ocurría esto con el calor intercambiado, porque

justamente esta no era una función de estado. Veamos ahora las restantes, e intentemos decir

por qué son falsas. La c) sigue con la misma tónica de las dos afirmaciones anteriores, pero en

este caso se refiere ahora a la variación de entropía de todo el universo que se considere. Sin

embargo, para considerar un universo, debe estar involucrada la partícula que se quiere

analizar y el medio exterior, luego tenemos acá una suma de dos variaciones de entropía, que

en un proceso determinado no va a decir nada sobre lo que sucede al terminar y al empezar el

proceso. La d) dice que el trabajo a lo largo de un ciclo cerrado es nulo. Ello sucedería si el

trabajo fuese una función de estado, ello ocurre con la energía interna por ejemplo. La e)

propone que no se puede transformar trabajo entregado a un sistema en calor. Esto es falso,

una máquina térmica puede diseñarse para que realice trabajo nulo y todo el calor que saque

de la fuente caliente vaya a pérdida. Esto no viola para nada al segundo principio. Por último,

la f) nos dice que no se puede transformar el calor absorbido de una fuente térmica totalmente

en trabajo. Pero lo que se postula allí es el enunciado de Kelvin del segundo principio. La

lógica diría que esta también es verdadera. Sin embargo, el enunciado del problema dice que

hay una sola respuesta correcta, y en las soluciones al final del capítulo figura la b) solamente.

Algo paso aquí ...

Entonces, la respuesta correcta (según la guía) es la:

.

Problema 19

Indique cuál de las siguientes afirmaciones es la única verdadera:

a) Es imposible transferir una cantidad determinada …

Resolución

Esperemos que no nos engañen como en el problema anterior, y que acá sí verdaderamente

haya una única respuesta correcta. Encontrémosla entonces, si es que existe:

La a) propone que no se puede entregar calor que se saca de una fuente a otra más caliente, y

la respuesta es falsa porque esto es justamente lo que se hace cuando se quiere enfriar un

ambiente: se le quita calor a una fuente y se la entrega a otra que seguramente va a estar más

caliente, debido a que lo que se quiere es generar frío. Pasamos a la afirmación b), que nos

dice que la entropía de un sistema nunca puede disminuir. También es falso, lo que no puede

disminuir es la entropía del universo entero, pero sí la de alguno de sus subsistemas

componentes (ya lo vimos en los problemas que resolvimos antes), con lo cual pasamos a la

afirmación c), que nos dice que toda transformación que se aplique sobre un sistema que

permita hacerlo retornar a su estado inicial se llama reversible. Esta también es falsa, debido a

que se refiere a todas las transformaciones que lo permitan, y no todas son así. El término

reversible refiere a todo proceso que permita el retorno del sistema al estado inicial pero sin

generar trabajo extra, porque de este modo estaríamos en presencia de dos procesos

irreversibles, uno el inverso del otro (por ejemplo: mover un objeto a la derecha y después

moverlo a la izquierda a la misma distancia, hay un doble trabajo realizado, con el mismo

proceso inicial no se lo puede hacer retornar). Pasemos a la afirmación d) que es una variante

del anterior. Retornando al ejemplo burdo de mover un objeto, uno puede muy lentamente

moverlo hacia la derecha, y no por ello se va a tratar de un proceso reversible, nada lo podrá

igualmente hacerlo retornar a su posición de origen. Sigamos con la e), que nos dice que los

procesos espontáneos ocurren con un aumento de la entropía del universo. Esta es la

verdadera, debido a que enuncia el segundo principio especializando en procesos espontáneos.

Esto significa que en realidad todo proceso cumple esto, en particular, los que ocurren de

manera espontánea. Terminamos con la f), que es obviamente falsa, en este caso porque nos

dice que en un proceso espontáneo siempre se disminuye la energía interna. Ya sabiendo que

es falsa (a menos que nos hayan engañado de nuevo), intentemos encontrar un contraejemplo.

Siguiendo con el simple caso de un objeto que se lo desplaza, suponiendo ahora un plano

inclinado (podríamos simplemente inclinar el sistema de referencia, pero no nos vayamos tanto

por las ramas), al dejarlo caer una cierta distancia, tenemos un proceso irreversible, de

evolución espontánea, donde lo que se pierde no es energía interna, sino energía potencial.

Esto termina justificando esta última falsedad.

Entonces, la respuesta correcta es la:

.

Problema 20

Una cacerola contiene agua …

Resolución

Terminamos con la misma tónica de los últimos problemas, ahora tenemos una pequeña

introducción. Nos proponen una trasformación de agua en una cacerola donde se la enfría

reversiblemente. Lo que tenemos que hacer es, como veníamos haciendo, decir cuál de las

siguientes afirmaciones sobre cómo se realizó dicho proceso es la correcta. Al parecer hay

solo una. Veamos.

La primera, es decir, la a) dice que el proceso se realiza colocando la cacerola en contacto con

el ambiente. Esto no es posible, porque si dejamos el agua en contacto con el ambiente, tarde

o temprano se enfriará (equilibrará su temperatura con la del ambiente) y si la queremos

nuevamente a tendremos que gastar energía en calentarla de nuevo. Luego esta

afirmación resulta ser falsa. Veamos qué sucede con la b), que propone un montón de

condiciones sobre la energía y la entropía del sistema y del universo. Al enfriar el agua de la

cacerola (nuestro sistema) evidentemente va a disminuir su energía (que es calórica) y su

entropía (la variación de calor es negativa, y la temperatura absoluta es siempre positiva). En

cuanto al universo, siempre conserva la energía, mientras que la entropía del mismo, al ser el

proceso reversible, al ser una función de estado, no va a variar. Luego, esto último es lo que

hace que este enunciado sea falso (venía muy bien, se durmió en el final). Veamos qué ocurre

con la afirmación c). La proposición tiene la misma tónica que la anterior. A ver, acá

corrigieron el tema de la entropía del universo. Estaba todo bien, pero tocaron donde no había

que tocar, tocaron algo que estaba bien, que era que la entropía del sistema disminuía, ahora

nos dicen que aumenta. Listo, esto ya es falso. Sigamos con la d), donde ahora corrige la

torpeza del inciso anterior. Y ahora sí estamos frente a la opción correcta: en el sistema la

entropía y la energía disminuyen, y en el universo se mantienen constantes. Ya está explicado

esto, y cerramos acá porque la justificación de las últimas dos se hacen en base a esta misma

justificación. Si encontramos la verdadera, no tenemos ni que razonar dichas explicaciones.

Entonces la respuesta correcta es la:

.