guÍa de estudio cÁlculo diferencial …...i.- derivar las siguientes funciones algebraicas. 1. y...
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Prof. ALBERTO ALAVEZ CRUZ Página 1
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
“CUAUHTÉMOC”
GUÍA DE ESTUDIO
CÁLCULO DIFERENCIAL
FUNCIONES
I.- Hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
1. 0102 x Sol. 5x
2. 0205 x Sol. 4x
3. 3253 xx Sol. 8x
4. 10524 xx Sol. 2x
5. 10372 xx Sol. 3x
6. 3639 x Sol. 31 x
7. 64
731
x Sol. 13 x
8. 613
2 x
Sol. 153 x
9. 2x Sol. , 22 xx
10. 10x Sol. ,1010,
11. 52 x Sol. 7,3
12. 12
37
x Sol.
3,
3
5
13. 25
32
x Sol.
2
7,
2
13
14. 0322 xx Sol. ,31,
15. 0792 2 xx Sol.
2
7,1
Prof. ALBERTO ALAVEZ CRUZ Página 2
II.- Hallar el dominio y el contradominio de las siguientes ecuaciones e indicar si
corresponde a una función. Graficar.
1. 92 xy 2. 2522 yx 3. xy 2
4. xxy 62 5. 1 xy 6. xy 4
7. 216 xy 8. 252 xy 9. 4
2
xy
10. 5
92
x
xy 11. 2 xy
III.- Operaciones con funciones:
1.- Dado 2045)( 23 xxxxf , demostrar que
15732005121 - f , ff - , f , f f
2.- Si 2211024 42 - , f , f- , f , f, f x x - xf
3.- Si cos2)( senF , hallar )(),2/(),0( FFF
4.- Dado 622 y-yyf , demostrar que 22 1262 h)h(y-y- y hyf
5.- Dado xxxf 33 , demostrar que 322 313 hxhhxx-fhxf
6. )+(=)()( quedemostrar ,=)( Si v zyzyax
7.
yz
zyzy
x
xx
+1
+=)(+)( quedemostrar ,
+1
-1log=)( Si
8. 0hallar1Sea 23 ,hh
)F(x+h)-F(x , x F(x)=x
9. 0hallar1
1Sea
, h
h
f(x)h)f(x ,
x+ f(x) =
LÍMITES
I. Hallar los siguientes límites:
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1.
)32(lim1
xx
Sol. 5
2.
)153(lim 2
0xx
x Sol. 1
3.
)143(lim 23
1xxx
x Sol. -7
4.
)256(lim 4
4x
x Sol. 0
5.
)3)(3(lim 22
3xx
x Sol. 72
6.
1
2lim
2
2
3 y
yy
y Sol.
10
3
7.
)4
1(lim 2
2
1x
x
Sol. 0
8.
9
27lim
2
3
3 x
x
x Sol. 0
9.
1
153lim
2
0 x
xx
x Sol. 1
10.
x
x
x 2
2lim
2 Sol. 0
11. =xx
xxx
x 23
24lim
2
23
0
Sol.
2
1
12.
2012
65lim
2
2
2 xx
xx
x Sol.
8
1
13.
2
4lim
2
2 x
x
x Sol. 4
14.
1
1lim
3
1 x
x
x Sol. 3
15.
253
103lim
2
2
2 xx
xx
x Sol. 1
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16.
9157
4521lim
23
23
3 xxx
xxx
x Sol. 4
17.
qqx
ppx
x 22
22
0lim Sol.
p
q
18.
h
xhx
h
33
0
)(lim Sol. 23x
19.
x
xx
x
11lim
2
0 Sol.
2
1
20.
x
x
x
11lim
0 Sol.
2
1
21.
22
312lim
4 x
x
x Sol.
3
22
22.
1616173
810112lim
23
23
4 yyy
yyy
y Sol.
4
3
23.
32
54lim
x
x
x Sol. 2
24.
742
356lim
3
23
xx
xx
x Sol. 3
25.
124
132lim
3
4
xxx
xx
x Sol.
26.
2
105lim
2
x
xx
x Sol.
27. =yyy
y
y 132
74lim
23
2
Sol. 0
28.
33
322
234
23lim
hxxh
hxxhh
h Sol.
x2
1
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29. Dada f(x) = x2, hallar
x
xfxxf
x
)()(lim
0 Sol. x2
30. Dada S(t)=So + Vo t + ½ at2, hallar
t
tSttS
t
)()(lim
0 Sol. atVo
31. Dada f(x) = x3 + 2x2 + 5x +1, hallar
h
xfhxf
h
)()(lim
0 Sol. 543 2 xx
32. Dadax
xf1
)( , hallar
h
xfhxf
h
)()(lim
0 Sol.
2
1
x
33. Dada xxf )( hallar
Δx
f(x)Δx)f(x
Δx 0lim Sol.
x2
1
34. Dada nxxf )( , hallar
h
f(x)h)f(x
h 0lim Sol. 1nnx
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REGLA GENERAL DE LOS CUATRO PASOS
I. Mediante la regla general de los cuatro pasos, verificar la derivada de las siguientes
funciones:
1. 2rA = Sol. rdr
dA2
2. 2
2
1atVotS Sol. atVo
dt
dS
3. 257)( xxf Sol. xxf 10)(
4. 3
3
4rV Sol. 24 rV
5. 123 tttS Sol. 123 2 ttS
6. x
xy
1
1 Sol.
2)1(
2
xy
7. 2
1
xy Sol.
2)2(
1
xy
8. dct
batS
Sol.
2)dct
bcadS
(
9. 52 xy Sol. 52
1
xy
10. 12 xy Sol. 12
x
xy
II. En los siguientes ejercicios, hallar y usando los valores de 1x y 2x dados:
11. 51153 21 .= , x , xx y Sol 5.1y
12. , , 1.225 212 xxxxy Sol. 91.0y
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13. 712152 2123 . , x , xx+x+xy Sol. 367.2y
14. 3.3 , 3 , 1
= 212 xx
xy Sol. 0192.0y
15.- Un disco metálico de radio r =20cm. es expuesto al calor del Sol y su radio aumenta a
1.20r cm. , hallar el incremento en el área del disco. Sol. 01.4A cm2.
16.- Una bala de cañón de radio 10r cm. por efecto del calor, incrementa su radio 2.10
cm. Hallar el incremento en su volumen. Sol. 61.81V cm3
17.- Un cubo metálico por efecto de la temperatura, cambia cada uno de sus lados de 10 a
10.1cm. ¿Cuál es el incremento en su volumen?
Sol. 301.30V cm2
En los siguientes problemas, hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta
tangente a la curva en el punto indicado.
18. )3 ,2( ; 532 Pxxy Sol. 45,1 m
19. )8 ,3( ; 123
23
Pxx
y Sol. 562108,3 m
20. )1 ,2( ; 1
1P
xy
Sol. 135,1 m
21. )2 ,6( ; 2 Pxy Sol. 01214,4
1 m
DERIVADAS ALGEBRAICAS
I.- Derivar las siguientes funciones algebraicas.
1. 234 254 xxxy Sol. xxxy 41516 23
2. xxxy 41516 23 Sol. 43048 2 xxy
3. 2
3
xy Sol.
2)2(
3
xy
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4. t
ctbtas
2 Sol.
2
3
22
tc
t
b
tt
as
5. ax
aaxy Sol.
axx
a
ax
ay
22
6. 32)32()( ttf Sol. 22)32(18)( tttf
7. 22
1
xay
Sol.
2/322 )( xa
xy
8. 5/3)52()( f Sol. 5/2)52(
3)(
f
9. bxaxy Sol. bxa
bxay
2
32
10. x
xay
22 Sol.
222
2
xax
ay
11. cx
cxy
1
1 Sol.
221)1( xccx
cy
12. t
btas
Sol.
btat
btas
22
2
13.- xxy 252 Sol. 225
)2(5
x
xxy
14.
3 bar
Sol.
3 22 )(3
23
ba
bar
15. 2)2( 22 xxy Sol. 2
8883
2
23
x
xxxy
16. 3372
32
ts Sol.
3432 3232
4// t)(t)(
s
17. )23)(12( xxxy Sol. )19(2 2 xxy
18. )36)(12( 2 xxxy Sol. 12266 2 xxy
19. 22
42
xb
xy
Sol.
)(
)2(422
223
xb
xbxy
20. 2
3
1)(
t
ttf
Sol.
22
22
)1(
)3()(
t
tttf
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21. 3
)4()(
2
s
ssf Sol.
2)3(
)4)(2()(
s
sssf
22. 2
12
3
xx
xy Sol.
22
234
)2(
1262
xx
xxxxy
23. xaxay )( Sol. xa
xay
2
3
24. x
xy
1
1 Sol.
21)1(
1
xxy
25. 2
2
1
12
xx
xy
Sol.
322
2
)1(
41
xx
xy
26. xxxy Sol.
xxxxxxy
2
11
2
11
2
1
II.-Emplear la regla de la cadena para derivar las siguientes funciones:
1. , 143 235 xxxuuy Sol. )463(5 24 xxuy
2. xuuy 454 , Sol. x
uy
4
8 3
3. 211
1xu
u
uy
, Sol.
2)1(
2
uu
xy
4. xxxuu
y 841 24 , Sol. )884(
2
1 3 xxu
y
5. , 1
1
x
xuuy Sol.
2)1(
1
xuy
6. xxuuuy - , 322 Sol. 132
2
1 Sol. 2
xu
u
7. xb
xbu
ua
uay
, Sol.
22)(
4
xbua
aby
III.- Derivar las siguientes funciones implícitas.
1. 222 ryx Sol. y
xy
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2. 222222 bayaxb =- Sol. ya
xby
2
2
3. ayx =+ Sol. x
yy
4. 3/23/23/2 ayx =+ Sol. 3x
yy
5. 03 33 yaxyx Sol. 2
2
yax
xayy
6. 3323 3 ayyxx = Sol. 22
2 2
yx
xyxy
7. 204 434 y +yx+x Sol. 33
23 3
yx
yxxy
8. 6y
x
x
y Sol.
x
yy
9. 12 22 yxyx Sol. xxyy
yxyxy
2
2
10. 62 22 yxyxx Sol. 28
34
xxyy
xyxyxy
IV. En las siguientes funciones, hallar la derivada que se indica
1. 2
2234 1623
dx
ydxxxxy ; Sol. 121236 2
2
2
xxdx
yd
2. yxy ; 5 3 Sol. 5
12
125
42 xy
3. yx
Cy
n ; Sol.
2
)1(
nx
Cnny
4. yxay ;22 Sol.
2222
2
)( xaxa
ay
5. yx
xy
;
1
3
Sol. 4)1(
24
xy
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6. 2
22
dx
yd
xa
xy ;
Sol.
3
2
2
2 2
xa
a
dx
yd
7. 2
2
12 dt
sd
t
ts ;
Sol.
2/52
2
12
2
t
t
dt
sd
8. 2
233 1
dx
ydyx ; Sol.
52
2 2
y
x
dx
yd
9. 2
24224 ;2
dx
ydayxx Sol.
32
4224
2
2 2
yx
xyxy
dx
yd
10. 2
222 12
dx
ydbycxyax ; Sol.
3
2
2
2
bycx
abc
dx
yd
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
I. Hallar la derivada de las siguientes funciones:
1.- ts 2cos= t
tsens
2cos
2= Sol.
2.- 3 tan3= 3
2
2
)3(tan
3sec Sol.
y
3.-
cos1
sen=
cos1
1 Sol.
4.-3
3 asenr 3
cos3
Sol. 2
asen
d
dr
5.-senx
senxy
1
1
2)1(
cos2 Sol.
senx
xy
6.- tantan 1/3= 3 4tan Sol.
7.-
22
2cos1
xay
2cos
22 Sol. 3 xx
aseny
8.-x
xy
sec
1tan xsenxy cos Sol.
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9.-xxsen
xxseny
cos
cos
2) cos (
2 Sol.
xxseny
10.- )cos()( axaxseny )(2cos Sol. axy
11.- ttseny cos3 )cos3( Sol. 222 tsenttseny
12.-senx
senxy
1
1
senxy
1
1 Sol.
13.- )cos()()( aasenf 2cos)( Sol. f
14.-1tan
1tan
x
xy
2
2
)tan1(
sec2Sol.
x
xy
15.- 2cot)( xxxf )csc(cotcot2)(Sol. 2 xxxxxxf
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
I.-Hallar la derivada de las siguientes funciones
1.-a
xarcseny
22
1 Sol.
axy
2.-2)(arcsenxy
21
2 Sol.
x
arcsenxy
3.-21
2arctan
x
xy
21
2 Sol.
xy
4.- )arccos( 2xy 41
2 Sol.
x
xy
5.-x
xy
arccos
22
2
1
)arccos1( Sol.
xx
xxxy
6.-2
1
xarcseny
221
1 Sol.
xxy
7.-a
xarcsenaxaxy 222 222 Sol. xay
8.-av
avy
1arctan
21
1 Sol.
vy
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9.- senxarcsenxf )( xsensenx
xy
22
cos Sol.
10.-
22
a
aarcsenr
2
22
Sol.
a
d
dr
11.- 221cos xaxa
xarcay
x
xaxy
22Sol.
12.-a
xarcaaxy sec 22 Sol.
x
axy
22
13.- x
xarcy
1
22csc
2
Sol.21
1
xy
14.- xba
xaby
cos
cosarccos
Sol.
xba
bay
cos
22
DERIVADAS LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
Aplicando las fórmulas correspondientes, verificar las siguientes derivadas.
x
xy
1
1ln.1 Sol.
21
2
xy
)ln( -2. 2 xxy Sol.xx
xy
2
12
xy 3ln -3. Sol.x
xy
2ln3
) 1ln( -4. 2xxy Sol.21
1
xy
x
xy
1
1ln -5. Sol.
21
1
xy
xx
xxy
1
1ln.6
2
2
Sol.21
2
xy
x
xaaaxay
2222 ln -7.
Sol.
x
xay
22
2tanln
2
1
2
cos.8
2
x
xsen
xy Sol.
xseny
3
1
)ln(ln.9 xy Sol.xx
yln
1
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)ln( -10. xaaxy Sol.)(2
32
xax
xay
32.11 xey Sol.
322 xey
xxy 22
7-12. Sol. xxxy 22
7)1(2
xaey .13 Sol. xe
x
ay
2
)1( -14. 2xey x Sol. )21( 2xxey x
1
1.15
x
x
e
ey Sol.
2)1(
2
x
x
e
ey
x
x
e
ey
1ln -16. Sol.
xey
1
1
senxey x ln -17. Sol. )ln(cot senxxey x
senxxy .18 Sol.
xx
x
senxxy senx lncos
RAZÓN DE CAMBIO
La posición de una partícula sobre una recta horizontal está determinada por la función
dada. Hallar: a) la velocidad media en el intervalo de tiempo indicado, b) la velocidad
instantánea y c) la aceleración de la partícula en el instante t.
1.- 3 , 0,5 , 1123)( 2 ttttS Sol. a) 3, b) 6, c) 6
2.- 1 , 1,4 , 4
)( tt
ttS Sol. a) 0, b) -3, c) 8
3.- 2 , 1,3 , 6-2)( 23 ttttS Sol. a) 2, b) 0, c) 12
4.- 3 , 2,5 ; )2()1()( 2 ttttS Sol. a) 16, b) 8, c) 10
5.- 4 , 1,9 , 4)( ttttS Sol. a) 0, b) 0, c) 9/8
6.- La altura h, sobre el nivel del suelo, de una pelota que se deja caer desde la parte
superior de la Torre Eiffel, está dada por h (t) = - 4.9t2 +320.75, donde h se mide en metros
y t en segundos.
a) Determinar la altura de la pelota cuando t = 2 s.
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Sol. 300.4 m
b) Hallar el tiempo que tarda en caer al suelo.
Sol. 8.09 s
c) Determinar la altura de la torre.
Sol. 320.75 m
d) Encontrar la velocidad instantánea de la pelota cuando t = 4 s.
Sol. -39.2 m/s
e) Hallar la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo. Sol. -79.2 m/s
7.- La altura de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo está dado por
ttth 25616)( 2 , en donde S se mide en pies y t en segundos.
a) Determine la altura del proyectil cuando t = 2 s. Sol. 448 m
b) Demuestre que es cero la velocidad media entre t = 7 s y t =9 s. Interprete físicamente.
c) ¿En qué instante choca el proyectil contra el suelo? Sol. 16 s.
d) ¿Cuál es la velocidad de impacto? Sol. -256 pies/s
e) ¿Cuál la altura máxima que alcanza el proyectil? Sol. 1024 pies
8.- El gas de un globo esférico se escapa a razón de 3cm 1000 por minuto. En el instante en
que el radio es de 25 cm. a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio?,b) ¿Con qué rapidez
disminuye el área de la superficie?
Sol. - 0.127 cm / min
9.- El ancho de un rectángulo es la mitad de su longitud. ¿Con qué rapidez aumenta su
área si su ancho mide 10 cm y aumenta 0.5 cm/s?
Sol. /scm20 2
10.- Un persona de 1.5 m de estatura, corre con una velocidad de 3 m/s, alejándose de un
poste de alumbrado que tiene una altura de 9 m. ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de
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su sombra sobre el suelo cuando la persona se encuentra a 10 metros de la base del poste de
alumbrado?
Sol. 0.6 m/s
11.- Un papalote se desplaza en el aire horizontalmente a una altura de 100 metros y a
razón de 0.5 m/s, alejándose de la persona que sostiene la cuerda del papalote, al nivel de
piso. ¿A qué razón se está soltando cuerda cuando ya se soltaron 250 metros de ella?
Sol. 0.458 m
12.- Una escalera de 41 pies de longitud ha sido apoyada contra un muro vertical. La
escalera ha comenzado a resbalar de modo que su tope se desliza hacia abajo del muro
mientras su base se mueve sobre el suelo a una velocidad de 10 pies/s. ¿Con qué rapidez se
mueve el tope de la escalera cuando está a 9 pies sobre el suelo? Sol. -44.44 pies /s
13.- Una sonda climatológica se eleva verticalmente y está siendo observada desde un punto
en el suelo a 300 metros del punto que está directamente debajo de la sonda. ¿A qué razón
se eleva ésta, cuando el ángulo formado por el suelo y la línea visual del observador es 40 y
aumenta 2 por segundo?
Sol. 17.84 m /s
14.- Un aeroplano vuela en dirección horizontal a una altura de 3 millas, con una velocidad
de 480 mi/h y pasa directamente arriba de un observador en el suelo. ¿Con qué rapidez
aumenta la distancia del observador al aeroplano 30 segundos más tarde?
Sol. 384 mi /h
15.- Un recipiente de agua tiene la forma de un cono truncado con una altura de 2 pies y
radios de la base inferior y superior 6 y 12 pulgadas respectivamente. El agua está
escapando del recipiente a /minin 10 3. ¿A qué razón baja el nivel del agua cuando su
profundidad en el recipiente es de 1 pie?. El volumen del cono truncado es
22 3
1RrRrhV .
Sol. -0.039 pul /min
17.- Una alberca mide 30 metros de largo por 20 de ancho. Su profundidad varía
uniformemente desde 1metro en el extremo poco profundo hasta 3 metros en el más hondo.
Suponga que se llena la alberca a razón 2000 litros/min. ¿A qué razón aumenta la
profundidad del agua en el extremo hondo cuando es de 2 m?
Sol 0.003 m /min
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18.- Está cayendo arena de una tolva a razón de /spies 120 3 . La arena que cae forma una
pila cónica sobre el suelo, además la altura del cono es siempre 1/3 del radio de su base
.¿Con qué rapidez aumenta la altura cuando la pila mide 20 pies de altura? Sol. 0.033 pies /s
RECTA TANGENTE Y NORMAL
Dado el punto de tangencia T, obtener las ecuaciones de la recta tangente y la recta
normal, así como las longitudes de la tangente, normal, subtangente y subnormal.
1. T(2,-6) ,36 2xy Sol. 066 yx , 0386 yx , 37 , 376 ,1,36
2. )T(1,1 , 132 23 xxxy Sol. 012 yx , 032 yx ,2
5, 5 ,
2
1,2
3. T(5,5) , 5xy Sol. 052 yx , 0152 yx , 55 , 52
5,10,
2
5
4. T(3,5) , 42
13
x
xy Sol. 03127 yx , 02972 yx ,
7
535,
2
535,
7
10,
2
35
5. T(2,1/2) , 1
xy Sol. 044 yx , 01528 yx ,
2
17,
8
17,2,
8
1
6. T(2,3) , 7249 22 yx Sol. 01223 yx , 0532 yx , 13 , 2
133, 2,
2
9
7. T(4,3), 25=+ 22 yx Sol. 02534 yx , 043 yx ,4
15, 5,
4
9, 4
8. T(1,-2) , 0=4+ 4- 2+2 xyy Sol. 02 yx , 052 yx , 5 , 52 , 1, 4
9. T(9,6),)1(2 3/2 xy Sol. 093 yx , 0333 yx , 106 , 102 , 18, 2
10. T(1,0) , ln xy Sol. 0 yx , 0 yx ,0, 0, 0, 0
11. T(3,-2) , 0=2+2yxy Sol. 042 yx , 072 yx , 5 , 52 , 1, 4
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12. T(3,2) , 162 22 yxyx Sol. 03210 yx , 01710 yx ,5
101, 1012 ,
5
1, 20
13.- Hallar las ecuaciones de las tangentes al círculo 5822 yx que son paralelas a la
recta 01973 yx . Sol. 05873 yx , 05873 yx
14.- Hallar las ecuaciones de las normales a la hipérbola 364 22 yx paralelas a la recta
0452 yx . Sol. 05052 yx , 05052 yx
15,- Hallar las ecuaciones de las dos tangentes a la elipse 724 22 yx que pasan por el
punto (4,4) Sol. 0122 yx , 06014 yx
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
Dadas las siguientes funciones, hallar los intervalos en donde es creciente o decreciente.
1.- 14)( xxf Sol. Creciente en ,
2.- 22)( xxf Sol. Decreciente en ,
3.- 54)( 2 xxxf Sol. Decreciente en 2,
Creciente en ,2
4.- 22)( 2 xxxf Sol. Creciente en 1,
Decreciente en ,1
5.- xxxxf 102
3
3
1)( 23 Sol. Creciente en ,52,
Decreciente en 5,2
6.- 31292)( 23 xxxxf Sol. Creciente en ,21,
Decreciente en 2,1
7.- 112
1)( 3 xxxf Sol. Creciente en ,22,
Decreciente en 2,2
8.- 106)( 24 xxxf Sol. Creciente en ,30,3
Decreciente en 3,03,
9.- 3223)( xxxf Sol. Creciente en ,22,1
Decreciente en 1,33,
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10.- xsenxf )( , 20 x Sol. Creciente en
2,
2
3
2,0
Decreciente en
2
3,
2
11.- xexf )( Sol. Creciente en ,
Dadas las siguientes funciones, hallar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad.
12.- 154)( 2 xxxf Sol. Cóncava en ,
No hay puntos de inflexión
13.- 142)( 2 xxxf Sol. Convexa en ,
No hay puntos de inflexión
14.- 164)( 234 xxxxf Sol. Cóncava en ,11,
Punto de inflexión en 2,1
15.- 196)( 23 xxxxf Sol. Cóncava en ,2 ,convexa en 2,
Punto de inflexión en 3,2
16.- 373)( 23 xxxxf Sol. Cóncava en ,1 ,convexa en 1,
Punto de inflexión en 2,1
17.- 3)1()( xxf Sol. Cóncava en ,1 ,convexa en 1,
Punto de inflexión en 0,1
18.- 1
2)(
2
xxg Sol. Cóncava en
,
3
1
3
1, ,
Convexa en
3
1,
3
1
Punto de inflexión en
2
3,
3
1
19.- 4
)(2
x
xxf Sol. Cóncava en ,120,12 ,
Convexa en 12,012,
Puntos de inflexión en
8
3,12 ,
8
3,12
20.- Si 23)( bxaxxf , determine a y b de manera que la gráfica de )(xf tenga un punto de
inflexión en (1,2). Sol. 3,1 ba
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MÁXIMOS Y MÍNIMOS
I.- Dadas las siguientes funciones, hallar: a) los valores críticos, b) los máximos y mínimos
relativos, c) la gráfica.
1.- 3159)( 23 xxxxf Sol. Mínimo en )22,5(
Máximo en )10,1(
2.-32 231210)( xxxxf Sol. Mínimo en )10,2(
Máximo en )17,1
3.- 20152)( 23 xxxxf Sol. Mínimo en
27
940,
3
5
Máximo en 16,3
4.- 1+2-)( 24 xxxf Sol. Mínimo en 0,1
Mínimo en 0,1
Máximo en 1,0
5.- 81243)( 234 xxxxf Sol. Mínimo en 3,1
Máximo en 8,0
Mínimo en 24,2
6.- 154)( 23 xxxxf Sol. Mínimo en
27
77,
3
5
Máximo en 3,1
7.- 1223
)(23
xxx
xf Sol. Mínimo en
3
7,2
Máximo en
6
13,1
8.-23
23)(
2
2
xx
xxxf Sol. Mínimo en
2
234,2
2
Máximo en
2
234,2
2
9.- 32 )1()2()( xxxf Sol. Mínimo en
3125
26244,
5
4
Inflexión en 0,2
Inflexión en 0,1
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10.-22 )()( xaxxf Sol. Mínimo en 0,a
Máximo en
16,
2
4aa
11.-3/2)1(2)( xxf Sol. No hay máximos
No hay mínimos
12. xxxxf 21601253)( 35 Sol. Mínimo en 3834,3
Mínimo en 3712,4
Máximo en 3712,4
Máximo en 3834,3
13.- xxxxf 60253)( 35 Sol. Mínimo en 38,1
Mínimo en 16,2
Máximo en 16,2
Máximo en 38,1
14.- xxxf 1)( Sol. Máximo en
4
5,
4
3
15.-xx eexf )( Sol. No hay máximos
No hay mínimos
II.- Aplicaciones de los máximos y mínimos
1.- Dividir el número 100 en dos partes, tales que su producto sea máximo.
Sol. 50, 50
2.- Con una hojalata cuadrada de lado a es preciso hacer una caja abierta por arriba que tenga el
volumen máximo. Se recortan cuadrados en las esquinas de la hojalata y se doblan las salientes
para formar el cajón. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados recortados?
Sol. 6
a
3.- Demostrar que de todos los rectángulos que puedan inscribirse en un círculo de radio r, el
cuadrado tiene el área máxima. Demostrar que el cuadrado tendrá también el perímetro máximo.
Sol. Lado del cuadrado: r2
4.- Demostrar que de todos los triángulos isósceles inscritos en un círculo de radio r, el triángulo
equilátero tiene el perímetro máximo. Sol. Lado del triángulo: r3
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5.- Hallar las dimensiones de un cilindro recto de volumen máximo, inscrito en una esfera de
radio R.
Sol. Rr3
2 , Rh
3
2
6.- Hallar las dimensiones de un cono recto de volumen mínimo, circunscrito alrededor de una
esfera de radio R.
Sol. Rr 2 , Rh 4
7.- El interior de un recipiente con el fondo cuadrado y abierto por arriba debe revestirse con
plomo. Si el volumen del recipientes igual a 32 litros, ¿cuáles deben ser sus dimensiones para
que sea mínima la cantidad de plomo?
Sol. base: 40cm x 40 cm.
altura: 20 cm.
8.- Un barco se encuentra anclado a 9 km de un punto “P” más próximo a la costa. Es preciso
enviar un mensajero a un campamento situado a 15 km del punto “P”a lo largo de la costa. El
mensajero, andando a pie, hace 5km/hora y remando, 4km/h. ¿A qué distancia del punto “P”,
sobre la costa, debe desembarcarse el mensajero para llegar al campamento en el menor tiempo
posible?
Sol. 12 Km
9.- Se desea cortar un segmento de una hoja circular de radio R. Este segmento debe ser tal que
al enrollarlo se obtenga un embudo de capacidad máxima. Hallar las dimensiones del cono.
Sol. 3
Rh ; Rr
3
2
10.-Un pabellón deportivo cubierto, consta de una zona rectangular y un semicírculo en cada uno
de sus extremos. Si el perímetro del pabellón ha de ser una pista de 200 metros, calcular las
dimensiones que hacen máxima el área de la zona rectangular.
Sol. largo: 50 m ; ancho:
100m
11.- Una página ha de contener 30 pulgadas cuadradas de texto. Los márgenes superior e inferior
son de 2 pulgadas y los márgenes laterales de 1 pulgada. Hallar las dimensiones de la página que
ahorra más papel.
Sol. Largo: 1522 pulgadas; ancho: 152 pulgadas
12.- Una viga de madera tiene sección rectangular. La resistencia de la viga es directamente
proporcional a la anchura w y al cuadrado de la altura h. ¿Cuáles son las dimensiones de la viga
más resistente que puede cortarse de un tronco de 24 pulgadas de diámetro?
Sol. Largo: 68 pulgadas; ancho: 38 pulgadas.
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13.- Un envase de lata en forma de cilindro circular recto, deberá tener un volumen de 16 cm3
¿Cuál debe ser el radio r y la altura h del cilindro para minimizar su área total (incluyendo tapa y
fondo).
Sol. 2r cm ; 4h cm
14.- La iluminación de una lámpara es directamente proporcional a su intensidad e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia a la lámpara. Dos lámparas de intensidades I1 e I2 están
separadas por una distancia d. ¿En qué punto del segmento recto que las une es mínima la
iluminación?
Sol. A una distancia: 3
23
1
31
II
dI
a partir de 1I
15.- El metal usado para hacer la tapa y el fondo de una lata cilíndrica cuesta 4 centavos por
cm2, mientras que el de los lados cuesta 2 centavos por cm2. El volumen de la lata será de 1000
cm3. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la lata para minimizar su costo?
Sol. 32
5
r , 32
20
h