- 1 -

- 2 -

Introduccin: El origen de las ecuaciones diferenciales se remonta hacia finales del siglo XVII y principios del siglo XVIII, cuando Newton, Leibniz, Huygens, Bernoulli, Euler y Clairaut, entre otros, plantearon modelos que les permitieron resolver preguntas relacionadas con Astronoma, Clculo, Fsica y problemas geomtricos. Se lograron ecuaciones diferenciales que permitan conocer la distancia vertical recorrida por un cuerpo que cae libremente, el desplazamiento vertical de una masa sujeta a un resorte, la rapidez con que un cuerpo se enfra cuando pasa de un lugar con una temperatura dada a otro lugar con otra temperatura, funciones cuyas tangentes y normales satisfacen condiciones muy particulares, etc. Definicin: Una ecuacin diferencial es una igualdad que contiene derivadas de una o ms variables dependientes con respecto a una o ms variables independientes. Hay entonces ecuaciones que contienen derivadas ordinarias y otras que contienen derivadas parciales. Definicin: El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada ms alta contenida en la ecuacin. Existen ecuaciones de primer, segundo, tercer, , y n-simo orden. Definicin: El grado de una ecuacin diferencial dada en forma polinomial es la potencia a la que est elevada la derivada ms alta. Una ecuacin lineal de orden n es de la forma

n n-1 n-2 1

n n n 1 0n n-1 n-2 1

d y d y d y d ya (x) a (x) a (x) ... a (x) a (x)y g(x).

dx dx dx dx+ + + + + = Una ecuacin que no se

pueda expresar de esta forma es no lineal. Definicin:

La funcin (x) se llama solucin explcita de la ecuacin diferencial n

n

dy d yF x,y, ,..., 0

dx dx

=

en un intervalo I, si al sustituirse por y en la ecuacin, la satisface para todo valor x del intervalo I. Definicin: La relacin G(x,y)=0 es una solucin implcita de la ecuacin diferencial

n

n

dy d yF x,y, ,..., 0

dx dx

=

en el intervalo I, si define una o ms soluciones explcitas en I.

Definicin: Un problema de valor inicial de una ecuacin diferencial de n-simo orden

n

n

dy d yF x,y, ,..., 0

dx dx

=

consiste en encontrar una solucin particular de la ecuacin

diferencial en un intervalo I que satisfaga en x0 las n condiciones iniciales y(x0)=y0, y(x0)=y1, y(x0)=y2, , y(n-1)(x0)=yn-1. donde x0I, y0, y0, y1, , yn-1 son constantes dadas.

- 3 -

Ejercicios. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales:

1) 3

3

d y dySen(x) + 4x = 0

dxdx 2)

2 2

dy 1=

dx 25 x y

3) ( )3 2dyy y = xdx

+ 4) 3dy

= x Cos(y)dx

5) 2

2

d y dy(1 x) - 4x +5y = Cos(x)

dxdx 6)

43

3

d y dyx 2 y 0

dxdx

+ =

7) 2 xx dy+(y - xy - xe )dx = 0 8) 3

3

d y dySen(x) Cos(x) 2

dxdx =

9) 2 2 2

2 2 2

T T T T0

t x y z

+ + =

10) 2 22 2

u uu(x,y)

x y

+ =

11) Considere la ecuacin diferencial 2 2

2

dy 4 y

dx 4 x

=

.

a) Explique porqu no tiene soluciones reales cuando lxl2? b) Hay otras regiones del plano XY donde la ecuacin no tiene solucin? c) En qu regin del plano tiene solucin?

Determine si la funcin o ecuacin dada es solucin de la ecuacin diferencial:

12) dy 2 y

(2 y)(1 y) ; x lndx 1 y

= =

13) 2 2 2x

x t x

0

dy2xy 1 ; y e e dt Ae

dx + = = +

14) ( )22

d yy Tan(x) ; y Cos(x)ln Sec(x) Tan(x)

dx+ = = +

15) ( )222

d yx xy 2y 0 ; y=xCos ln(x)

dx + =

16) 2x

22x

dy 1 Aey y ; y

dx 1 Ae

+= + =

17) y y y

x yCos dx xCos dy 0 ; Sen ln x Cx x x

+ = + =

18) 2

22

d y 1 1+y=xCos(x) ; y xCos(x) x Sen(x)

4 4dx= +

19) x x2 t t

x x2

a a

d y 1 1 e 1 e-y= ; y e dt e dt

x 2 t 2 tdx

=

20) ( )3 23

d y dySec (x) ; y Cos(x)ln Sec(x) Tan(x)

dxdx+ = = +

21) 2

2 2 22

d y dy 1 Cos(x) Sen(x)x x x y x x ; y A B x

dx 4dx x x

+ + = = + +

- 4 -

22) 2

-x -x -x2

d y dy 1+2 2y=e Sen(x)-2e Cos(x) ; y xCos(x) xSen(x) e

dx 2dx

+ = +

23) 2

x x2

d y dy 1 1 1-2 5y=e Cos(2x)+Sen(x) ; y Cos(x) Sen(x) e Sen(2x)dx 10 5 4dx

+ = + +

24) 3

2 3dy dy 3 1+2x 2y+1 ; x t , y tdx dx 2 2

= = =

25) 2

2dy dy 1y x ; x 2t , y t ln(t) 1dx dx t

= + = + = +

Plantear una ecuacin diferencial para cada una las situaciones y familias de curvas dadas a continuacin: 26) La familia de parbolas f(x) = (x+a)2. 27) La familia de funciones de la forma f(x) = Ax3. 28) La familia de parbolas con vrtice en el origen, cuyos focos estn en el eje X.

29) La familia de curvas 2x

2x

2Aef(x)

1 Ae=

+.

30) La familia biparamtrica f(x) = Ax2 + Bx3. 31) La familia biparamtrica f(x) = Ae2x + Be-2x. 32) La familia biparamtrica f(x) = Aex + Bxex. 33) La familia biparamtrica f(x) = ASen(lnx) + BCos(lnx). 34) La familia biparamtrica f(x) = e4x(ASen(2x) + BCos(2x)). 35) La familia biparamtrica f(x) = AxexSen(x) + BxexCos(x). 36) La familia de circunferencias con centro en el origen de coordenadas y radio r. 37) La familia de circunferencias que pasan por el origen de coordenadas y tienen el centro

en el eje X. 38) La familia de circunferencias que pasan por el origen de coordenadas y tienen el centro

en el eje Y. 39) La familia de circunferencias que pasan por (0,-5) y (0,5), y cuyos centros estn en el

eje X. 40) La familia de circunferencias que pasan por el origen de coordenadas y tienen el centro

en el eje Y. 41) La familia triparamtrica f(x) = Aex + Be2x + Ce3x. 42) La familia triparamtrica f(x) = A + BCos(x) + CSen(x).

- 5 -

43) La familia de hiprbolas 2 2(x h) (y 1)

1.9 25

=

44) La familia de elipses 2 2(x 1) (y h)

1.9 25

+ =

45) La familia de tangentes a la parbola y2 = 2x. 46) La curva para la cual, en cada uno de sus puntos (x,y) la pendiente es igual a doble de

la suma de las coordenadas del punto. 47) La curva para la cual, en cada punto (x,y) la pendiente de la tangente es igual al

cuadrado de la abscisa del punto. 48) La curva para la cual, en el punto (x,y) la longitud de la subtangente es igual a la suma

de las coordenadas del punto. 49) La curva para la cual, el eje de las Y divide en dos partes iguales al segmento que une

P(x,y) con el punto de interseccin de la normal en P(x,y). 50) Todas las lneas rectas cuya distancia al origen de coordenadas es 1. 51) La familia de curvas que son ortogonales a la familia y3 + 3x2y = c. 52) La familia de curvas que son ortogonales a la familia 2x2 + y2 = 4cx.

53) La familia de curvas que son ortogonales a la familia x

y1 cx

=

+.

54) La familia de curvas que son ortogonales a la familia 1

yc x

=

+.

55) La familia de curvas que son ortogonales a la familia 2

cy

1 x=

+.

56) La familia de curvas que son ortogonales a la familia 1 cx

y1 cx

+=

.

57) La familia de curvas que son ortogonales a la familia ( )1

yln cx

= .

58) La familia de curvas que son ortogonales a la familia exCos(y) = c. 59) La familia de curvas que son ortogonales a la familia Sen(y) = ce-x. 60) La familia de curvas que son ortogonales a la familia y = ln(c + tan(x)).

- 6 -

Definicin: La ecuacin M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es separable si puede escribirse de la forma dy

P(x)Q(y).dx

=

Definicin: Sea R una regin rectangular en el plano xy definida por a

- 7 -

15) 2

3

4

y 1ArcSen xdx 1 Cos(y) dy

y 1

+= + +

+

16) 3

dy Cos(x)Cos(2x)Cos(3x)

dx Sec (4y) =

17) ( )34 4

1 x dyArcTan(x)dx

Sen (y) Cos (y)

+=

+ 18)

( ) ( )( )

2

y

2

4

2

x 1 1 ydx 1 x dy

ye x 1

+= +

+

19) 21 y ArcTan( x) dx yArcTan(y) dy+ = 20)

=

+

3 3

2 2 2 2

dy Sen (y) Cos (y)Cos(y) 0

a Sen (x) b Cos (x)dx

21) 6xy 4y 9x 6

6xy 9y 4x 6

dy0

dx

+

+ + + = 22)

xy x y 1

xy x y 1

dy0

dx

+

+ =

23) y

x y y x

dy 1 e

dx e e e 1++

=

+ 24) ( )y y 1 dx 1 x 1 dy+ = + +

25) 4 2

15

y 1y dy

x dx x 1

+ =

26) 2

3

y dy 1 yy

x dx 1 x

=

27) 1 x 2y

3 2x 4y

dy

dx

+=

+ 28) ( )2Tan ax bydy

dx= +

29) 2 2 2 2

2 2 2 2

dy x y x y 1

dx x y x y 1

+ + +=

+ 30) y(1 2xy)dx x(1 2xy)dy 0+ + =

31) 2dy

2xy 2y 3x 6dx

+ = 32) ( ) ( )2 22 2x y ydx x y 2 xdy 0+ + + = 33) 4 2 3 3 3

dyx y x y 2x 3

dx+ = 34) 2 4 2

dyx 2xy x y 1dx

+ = +

35) 2 xdy

xSeny Cosy x e 0dx

+ = 36) 2

2

dy xy 2xy ln y y lny0

dx 2x lny x

+ ++ =

+

- 8 -

Definicin: La ecuacin diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es homognea de grado n si sus coeficientes son funciones homogneas de grado n, es decir, si existe un nmero real n para el cual M(tx,ty)=tnM(x,y) y N(tx,ty)=tnN(x,y).

Para su solucin se debe hacer una sustitucin. Por ejemplo: y=ux, x=uy, y

ux

= , x

uy

= .

Ejercicios.

37) 2 2dy

x y x ydx

= + 38) ( ) 3dy yx xy x ydx x

+ + =

39) ( )4 4 3x y dx 2x ydy 0+ = 40) ( )dy ax by , a bdx ax by

= +

.

41)

22dy y x

8dx x y

=

42) ( )ydx x ln(x) ln(y) 1 dy 0+ =

43) dy y y

Chdx x x

=

. 44)

dy x y 10

dx x y 1

+ =

+

45) 2 2y dy y

x xySen y Senx dx x

+ =

46)

y dy y yxCos yCos xSen

x dx x x

=

47) 2 2y y dy y

xyCos x Sen y Cosx x dx x

+ =

48) ( )x / y x / y x1 e dx e 1 dy 0

y

+ + =

49) x y x ydy

dx x y x y

+ + =

+ 50)

dy x y

dx x y

+=

.

51) dy x y 1

dx x y 2

+ =

+ . 52)

2dy x 3y 2

dx x 3y 1

+ =

+ + .

53) y y y

2xSh 3yCh dx 3xCh dyx x x

+ =

54) ( ) ( )2 2y xy dx x x y dy 0 + = .

55) ( ) ( )2 2y xy 1 dx x 1 xy x y dy 0+ + + + = 56) ( ) ( )2 2 3 21 xy x y dx x y x dy 0 + + = 57) ( )x 2Seny 3 dx 2x 4Seny 3 dy 0

Cosy

++ =

58) ( ) ( )2 22 2x y ydx x y 2 xdy 0+ + + =

59) ( ) ( )2 2 2 22x 3y 7 xdx 3x 2y 8 ydy 0+ + = 60) 5 2 23 3dy 3x 3x ydx 2x y 2y+= .

- 9 -

61) ( ) ( )x 2Seny 3 dx 4Seny 2x 3 Cosydy + = + 62) ( )2 4y y x y 1 dx 2xdy 0+ + + = . 63)

++ =

Sen(y) dy Sen(x) Cos(y)0

Cos(x) dx Sen(x) Cos(y) 64) ( )2 22 3xy dx 4x ydy 0+ =

65) ( ) ( )3 5 2x y dx 3y 3y x dy 0+ + = . 66) 32dy 2x 2xydx x 2y= +

67) ( ) ( )2 2 2 33y x 1 dy 2x 1 2x 3y dx 0 + + = 68) ( )4 3

3

y 4 2xydy3dx xy 3

=

.

69) ( ) ( )3 2 4 2 42y 3x y 2 dy x 2x 2y 1 dx + = + 70) ( ) ( )3 2 3x y dy 3x x y dx 0 + = .

- 10 -

Definicin: Una ecuacin diferencial M(xy)dx + N(x,y)dy=0 es exacta si la expresin de la izquierda es la diferencial total de alguna funcin f(x,y).

La ecuacin M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es una ecuacin diferencial exacta si y solo si M N=

dy dx

.

Definicin: Una ecuacin diferencial P(x.y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz=0 es exacta si la expresin (P(x.y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) es el gradiente de alguna funcin f(x,y,z).

La ecuacin P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0 es exacta si y slo si P Q=

dy dx

,

P R=

dz dx

y

Q R=

dz dy

.

Ejercicios. Determine el valor de k, para que las ecuaciones diferenciales 71 a 73 sean exactas:

1) ( ) ( )3 2 26xy Cos(y) dx kx y xSen(y) dy 0+ + = 2) ( ) ( )3 2 4 24x y 15x y dx x ky x dy 0 + + = 3) ( ) ( )4 y 3 2 4 y 2 22xy e 2xy y dx x y e x y kx dy 0+ + + = Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

4) ( ) ( )2 y 3 y3x y e dx x xe 2y dy 0+ + + = 5) ( )y 2 2dye 2xyCh(x) xy Sh(x) y Ch(x) 0

dx+ + + =

6) 2 22 xy 2 xy2ySen(x)Cos(x) y 2y e dx x Sen (x) 4xye dy 0 + = =

7) y2 2 2 2 2

1 1 y xdx ye dy 0

x x x y x y

+ + + = + +

8) ( ) ( )2 2 3y Cos(x) 3x y 2x dx 2ySen(x) x ln(y) dy 0 + + = 9)

dy x yCos(x)

dx Sen(x) y

=

+

10) ( ) ( )x xye Sen(x) dx e 2y dy 0 + = 11) ( )2 yx dx log(x) 2y dy 0

x

+ + + =

- 11 -

12) ( ) ( )2 2 2 2x x y y dx y x y x dy 0+ + + = 13) 3 3 4 2

1 14x y dx 3x y dy 0

x y

+ + =

14) ( ) ( )2 y 1y 2 dx 2y x 1 dy 0

x yx x y

+ + + + = ++

15) 2 2 2 2x y 2 xy 2 x y xy2xye y e dx x e 2xye 2y dy 0 + + + =

16) ( ) ( ) ( )x x 2e Sen(z) 2yz dx 2xz 2y dy e Cos(z) 2xy 3z dz 0+ + + + + + = 17) y y ye Sen(z)dx xe Sen(z)dy xe Cos(z)dz 0+ + =

18) ( ) ( ) ( )x z y x 1 x z y 1e e ln(y) dx e ln(z) e y dy e e z dz 0 + + + + = 19) ( ) ( ) ( )2 24xy 3yz 2 dx 2x 3xz 5z dy 3xy 10yz 1 dz 0+ + + + + = 20) 2zTan(y)dx xzSec (y)dy xTan(y)dz 0+ + =

21) yzdx xzdy xydz 0+ + =

22) ( ) ( ) ( )2 22xy dx x z dy 2yz dz 0+ = 23) ( ) ( )2 242x dx - y dy - dz = 01+ z 24) ( ) ( )Sen(y)Cos(x) dx + Cos(y)Sen(x) dy + dz = 0 25)

1 12Cos(y)dx 2xSen(y) dy dz 0

y z

+ + =

26) 2

2 z3x dx dy 2z ln(y)dz 0y

+ + =

27) ( ) 2x2x ln(y) yz dx xz dy xydz 0y

+ =

28) 2 2

1 1 x ydx dy dz 0

y z y z

+ =

29) 2 2 2

2xdx 2ydy 2zdz0

x y z

+ +=

+ +

30) ( ) ( ) ( )2yCos(2xy)+ yz dx + 2xCos(2xy) - 4zSen(4yz)+ xz dy + xy - 4ySen(4yz) dz = 0

- 12 -

Definicin:

La ecuacin n n-1 n-2 1

n n n 1 0n n-1 n-2 1

d y d y d y d ya (x) a (x) a (x) ... a (x) a (x)y g(x)

dx dx dx dx+ + + + + = es una

ecuacin diferencial lineal de orden n. En particular, una ecuacin lineal de primer orden es

de la forma 1

1 01

d ya (x) a (x)y g(x)

dx+ = o

dyP(x)y Q(x)

dx+ = .

Factores Integrantes:

La expresin (x,y) es un factor integrante de la ecuacin diferencial no exacta M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 en una regin R, si la ecuacin diferencial (x,y)M(x,y)dx + (x,y)N(x,y)dy = 0 es exacta en la regin R.

1. Si M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se puede expresar como dy

P(x)y Q(x)dx

+ = , entonces su factor

integrante es (x)= P(x)dxe . 2. Si M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se puede expresar como

dxP(y)x Q(y)

dy+ = , entonces su factor

integrante es (x)= P(y)dye . Los factores integrantes se pueden presentar en trminos de x, en trminos de y, o en trminos de xy. Algunas reglas para hallar factores integrantes son las siguientes:

a) Si

M N

y xf(x)

N(x,y)

= , entonces la expresin (x)= P(x)dxe es un factor integrante de la

ecuacin diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

b) Si

N M

x yf(y)

M(x,y)

= , entonces la expresin (y)= P(y)dye es un factor integrante de la

ecuacin diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. c) Si M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es homognea y xM(x,y)+yN(x,y)0, entonces la expresin

1

xM(x,y) yN(x,y)+ es un factor integrante de M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

d) Si M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es de la forma yP(x,y)dx + xQ(x,y)dy = 0 y P(x,y) Q(x,y),

entonces 1

xM(x,y) yN(x,y) es un factor integrante de M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

e) Si M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es de la forma ( ) ( )m n p qx y Aydx Bxdy x y Cydx Dxdy 0+ + + = , entonces M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 tiene un factor integrante de la forma x

y

.

- 13 -

f) Si las funciones M(x,y) y N(x,y) satisfacen las ecuaciones de Cauchy Riemann en cierta

regin del plano XY , de modo que M N

x y

=

y

M N

y x

=

, entonces

2 2

1

M (x,y) N (x,y)+ es

un factor integrante de la ecuacin diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

g) Si la expresin M N

y x

puede expresarse de la forma M(x,y)Y(y) N(x,y)X(x), entonces

la ecuacin M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 tiene un factor integrante de la forma (x,y) = g(x)h(y), en donde

X(x)dxg(x) e

= y

Y(y)dyh(y) e

= .

Ejercicios.

1) dy 1

dx xSen(y) 2Sen(2y)=

+ 2)

3dy 2 2x x, si 0 x 1y f(x)

dx x x ln(x) 1, si x 1

<

- 14 -

25) ( ) ( )2 3 3dy3xy x 1 2y 0dx

+ + = 26) ( ) ( )2 2 2 2dyy 2xy x x 2xy y 0dx

+ + + =

27) dy

2x Cos(x) xySen(x) 2yCos(x)dx

= 28) ( ) ( )2 3 3 22y 3x y dx 3x 5x y dy 0+ + + =

29) x y x1 y

2e 1 dx 2 e e dy 0x x

+ + =

30) ( )2Cos(y)dy Cos(x)Sen (y) Sen(y) dx 0 + =

31) x(4ydx+2xdy) + y3(3ydx+5xdy)=0 32) ( ) ( )xy ln(y) ye dx x yCos(y) dy 0+ + + = 33) (8ydx+8xdy)+x2y3(4ydx+5xdy)=0 34) x3y3(2ydx+xdy)-(5ydx+7xdy)=0

35) 2dy

2Cos(y) Sen(y) x Csc(y)dx

+ = 36) (y+x3y+2x2)dx+(x+4xy4+8y3)dy=0

37) yln(y)dx+(xln(y))dy=0 38) dy

2yCtg(2x) 1 2xCtg(2x) 2Csc(2x)dx

=

39) (4xy2+6y)dx + (5x2y+8x)dy=0 40) (3y2 x)dx + 2y(y2 3x)dy = 0

41) ( )2 /32dy 2x 2 x y 1dx

= + + 42) (8x2y32y4)dx + (5x3y28xy3)dy = 0

43) y(2x2y3+3)dx + x(x2y3 1)dy = 0 44) (2x+Tan(y))dx + (x-x2Tan(y))dy = 0

45) (7x4y 3y8)dx + (2x5 9xy7)dy =0 46) y(x2 + y2)dx + x(xdy ydx) = 0

47) y(x2y2 + xy)dx + x(x2y2 1)dy = 0 48) (x4ln(x) 2xy3)dx + 3x2y2dy = 0

49) 2 2

2 2

x x y ydy

dx y x y x

+ = +

50) ( ) ( )2 22 2 2 2x x y y dx y x y x dy 0 + + + + =

- 15 -

Ecuacin de Bernoulli:

Es una ecuacin de la forma ndy

P(x)y Q(x)ydx

+ = , con n0,1. Para resolver sta ecuacin se

hace la sustitucin w=y1-n, desde aqu se resuelve como ecuacin lineal. Ecuacin de Lagrange:

Es una ecuacin de la forma y = x(y) +(y). Para resolverla se hace la sustitucin y=p o dy=pdx, luego se diferencia, se simplifica y se resuelve la ecuacin lineal resultante. La solucin ser las ecuaciones paramtricas x=x(p) e y=y(p). Ecuacin de Clairaut:

Es una ecuacin de la forma y = xy +(y). Para resolverla se hace la sustitucin y=p o dy=pdx, luego se diferencia, se simplifica y se resuelve la ecuacin lineal resultante. La

solucin ser de la forma y=cx+(c). Tambin puede obtenerse una solucin singular eliminando el parmetro p de las ecuaciones x=(p) e y=xp+(p). La solucin singular es la envolvente de la solucin y=cx+(c). Ecuacin de Ricatti:

Es una ecuacin de la forma 2dy

P(x) Q(x)y R(x)ydx

= + + . Para resolverla se hace la sustitucin

y = y1 + u(x), donde y1 es una solucin particular conocida, u(x) ser una solucin uniparamtrica, con esta sustitucin la ecuacin de Ricatti se convierte en una ecuacin de Bernoulli.

Ejercicios.

1) 2x 3dy xy xe y

dx + = 2) 2 3

dyxy y x ln(x)

dx+ =

3) ( )x 2 /33y 3xe y dx xdy 0+ + = 4) 2dyx 2x y y log(y)dx

= +

5) 3 3dy

xy x ydx

+ = 6) 2dy

x y y ln(x)dx

+ =

7) 33dy

y x ydx

= 8) 2 xdy

y 2y edx

=

9) ( )2 3y log(x) dx xy dy 0 + = 10) ( ) 41 2x ydy ydx 3 3

+ =

11) ( )2dy y y Cos(x) Sen(x)dx

+ = 12) xdy ( y + xy3(1+ln(x)) )dx = 0

13) 6y2dx x(2x3+y)dy = 0 14) ( ) ( )2 3dy3 1 x 2xy y 1dx

+ =

15) ( )2 2dy y y x x 1dx

= + + 16) 2 3 Sen(x)dy

3y Cos(x) y Sen(x) e Cos(x)dx

=

- 16 -

17) ( )3 2 dyxSen x y 6xy 0dx

+ + = 18) 2 2 2 2

2 2 2 2 2

dy y x a x 3x a3dx x x a y x a

+ + =

19) ( )4dy y 2 xydx x 3

+ = 20) dy dy

y 1 x a bdx dx

= + +

21) 2 2

dy dyy x 1

dx dx

= +

22) dy dy

y 2x 2 1dx dx

= +

23) 2

dy dyy 1 x

dx dx

= + +

24) 2

dy dyy x 1

dx dx

= + +

25) dy dy dy

2y x lndx dx dx

= +

26)

dy dyy 2x Sen

dx dx

= +

27) 2

dy dyy 1

dx dx

= +

28)

dy

dx3 dy

y x e2 dx

= +

29) 2

dy dyy x 3

dx dx

= +

30)

dy dyx y lndx dx

=

31) 1

1 /2 dyx y ydx

=

32) 1 2

dy dyx y

dx dx

= +

33)

13 3dy dy

y x 1dx dx

= +

34) 2

dy dy dyx y 1 0dx dx dx

+ =

35) dy dy dy

ln 2y xdx dx dx

=

36)

dy 1 dyy x

dx 2 dx= +

37) dy dx

y xdx dy

= 38) 3

dy dyy x

dx dx

=

39)

22dy dx

y x 1dx dy

= +

40)

22dy dyy 3x 6y

dx dx

= +

41) dy dy

ln x ydx dx

=

42)

3

3dy dy

y x a 1dx dx

= +

43) dx dx

x ydy dy

=

44)

dy dy dyy x ln

dx dx dx

= +

45) dy dy dy

x y y x 2dx dx dx

+ =

46) ( )

22 2dy dyx 2 xy 2 y 0dx dx

+ =

47) dy dy dy

y x Sen Cosdx dx dx

=

48) 2 1

dy1 x y xy ; y (x) 1

dx= + =

49) ( )23 1dy y x y x ; y (x) xdx x= + = 50) 2

12

dy 4 y 2y ; y (x)

dx x xx= + =

51)

22

3

21

dy 2yy x ;

dx x

y (x) x

=

=

52) ( ) ( )2

2dy dy2y 2xy x 2 y y x 2 xdx dx

+ + + =

- 17 -

53) 2 2 1dy y

2x 2y ; y (x) xdx x

= + = 54) 2 1dy

4 3y y 0; y (x) 1dx

+ = =

55) 2

1

dy y y1; y (x) x

dx x x

= + =

56) 2 2 1

dy2xy 1 x y ; y (x) x

dx+ = + + =

57) ( )2x x 2x

1

dye 1 2e y y ;

dx

y (x) e

= + + +

=

58) 2 2

1

dySec (x) yTan(x) y ;

dx

y (x) Tan(x)

= +

=

59)

2 2 2

1

dy 2Cos (x) Sen (x) y;

dx 2Cos(x)

y (x) Sen(x)

+

=

=

60)

22

2

dy Cos(y)Sen(2x) dyCos (y)

dx 2 dx

Sen(y)Cos (x)

+ =

- 18 -

Variacin de parmetros:

La solucin de la ecuacin homognea dy

P(x)y 0dx

+ = es la familia uniparamtrica

P(x)dxHy (x) Ae

= . La ecuacin no homognea

dyP(x)y Q(x)

dx+ = tendr una solucin

particular de la forma P(x)dx

P Hy (x) u(x)e u(x)y (x)

= = , donde H

Q(x)u(x) dx

y (x)= . As

P(x)dx P(x)dx P(x)dx P(x)dxP

H

Q(x)y (x) e u(x) e dx e Q(x)e dx

y (x)

= = = .

Finalmente, la solucin de la ecuacin dy

P(x)y Q(x)dx

+ = es y(x)=yH(x)+yP(x), la cual

coincide con la solucin obtenida usando un factor integrante. Como se puede apreciar, la variacin de parmetros consiste en buscar una solucin particular yP(x) a partir de la solucin de la solucin yH(x) cambiando el parmetro A por una funcin u(x).

Ejercicios.

Resolver las siguientes ecuaciones usando el mtodo de variacin de parmetros:

61) 2xdy

y edx

= 62) 2 2dy

3x y xdx

+ =

63) ( )dy Cos(x) y Cos(x)dx

+ = 64) 2dy

x 2y 3x 2xdx

= +

65) 5 3dy

x 4y 9x 2xdx

+ = + 66) 3 xdy

x 4y x edx

+ =

67) 4dy

x 3y x Sen(x)dx

= 68) 4 2dy

x 5y x sec (x)dx

=

69) 2 3xdy

x 2xy edx

+ = 70) 2 2

dy y 1

dx 1 x 1 x =

+ +

71) ( )dy ln(x) y ln(x)dx

= 72) ( )dy Sec(x) y Cos(x)dx

+ =

73) ( )dy Tan(x) y xSec(x)dx

= 74) 2 2

dy y 3

dx 1 x 1 x =

75) ( )2

dy Sen(x)Sec(x)Tan(x) y

dx Cos (x)+ = 76)

2x

x x

dy 1 ey

dx e e

+ =+

77) 2 5 2dy

3x y x xdx

= + 78) ( )2 dy1 x xy ax, (a 0)dx

+ = .

79) 2

dy y1 x

dx 1 x = +

80) dy

yCos(x) Sen(x)Cos(x)dx

+ =

- 19 -

Campo direccional: La terna (x,y,y) determina la direccin de una recta que pasa por el punto (x,y). El conjunto de los segmentos de estas rectas es la representacin geomtrica del campo direccional, tambin llamado campo de pendientes o campo de elementos lineales de la

ecuacin diferencial dy

f(x,y)dx

= . La instruccin DIRECTION_FIELD(f(x,y), x, x1, x2, Px, y,

y1, y2, Py) del programa Derive muestra el campo de pendientes para la ecuacin

diferencial dy

f(x,y)dx

= en el rectngulo 1 2 1 2x ,x x y ,y , mostrando PxPy segmentos.

Isoclinas: Las curvas que atraviesan segmentos de pendientes idnticas se llaman isoclinas, es decir, las isoclinas son elementos de la familia f(x,y) = c.

Ejercicios.

Para las ecuaciones de 81 a 90, trazar los campos direccionales:

81) dy

xydx

= 82) ( )dy y 1 xdx

=

83) dy

x ydx

= 84) xdy

yedx

=

85) dy x

dx y= 86) ( )dy y x 2

dx= +

87) ( )dy 2y x ydx

= + 88) dy y x

dx y x

=

+

89) dy

3x ydx

= 90) 2 2dy

y xdx

= +

En las ecuaciones de 91 a 100, determinar las isoclinas:

91) dy

3x 2ydx

= + 92) 2dy

y xdx

= +

93) 2dy

y xdx

= 94) dy

Cos(x y)dx

=

95) 2 2dy

y xdx

= + 96) 2 2dy

y xdx

=

97) 2 2dy

x ydx

= + 98) 2 2dy

4x 9ydx

= +

99) dy y 1

dx x 2

=

100) dy y x

dx y x

=

+

- 20 -

Trayectorias ortogonales: Se llaman trayectorias ortogonales a curvas que se intersecan formando un ngulo recto. Si

la ecuacin diferencial de una familia de curvas es dy

F x,y, 0dx

=

, entonces la ecuacin

diferencial de la familia de trayectorias ortogonales es de la forma dx

F x,y, 0dy

=

.

Trayectorias isogonales: Una familia G de curvas que se interseca con otra familia F de curvas formando un ngulo 90 se llama familia isogonal. La familia G conforma las trayectorias isogonales de la

familia F. Si dy

f(x,y)dx

= es la ecuacin diferencial de una familia F, entonces la ecuacin

diferencial de la familia isogonal G es dy f(x,y) tan

dx 1 f(x,y) tan

=

.

Crecimiento de Poblacin y Desintegracin Radiactiva:

El modelo

=

= 0 0

dPkP

dt

P(t ) P

, donde k es una constante, representa la rapidez con que crece en

cada instante t una poblacin de bacterias o de especies pequeas, la cual es proporcional a la poblacin presente en el instante t. La condicin P(t0)=P0 se usa para hallar la constante de proporcionalidad k. El mismo modelo permite estimar la cantidad C(t) restante de una sustancia radiactiva que se desintegra a medida que transcurre el tiempo. La velocidad con que se desintegra cierta cantidad de sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad presente en el tiempo t, es

decir, dC

kC(t)dt

= , C(t0) = C0 es la cantidad en un instante t0 dado.

Enfriamiento: La Ley de enfriamiento de Newton dice: En un cuerpo que se est enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del

cuerpo y la temperatura T0 del medio que lo rodea. Es decir, ( )0dT k T Tdt = . Circuitos: La segunda Ley de Kirchhoff establece que: En un circuito LR en serie que contiene un

resistor y un inductor, la suma de las cadas de voltaje a travs del inductor di

Ldt y del

resistor iR es igual al voltaje E(t) aplicado al circuito. Es decir, di

L Ri E(t)dt

+ = , donde L es la

inductancia, R es la resistencia, i(t) es la corriente o respuesta del sistema.

- 21 -

Anlogamente, para un circuito RC en serie, se tiene que la cada de voltaje a travs de un capacitor de capacitancia C es q(t)/C, donde q es la carga del capacitor: por lo tanto, la

segunda ley de Kirchhoff establece 1

Ri q E(t)C

+ = , pero la corriente i(t) y la carga q(t) se

relacionan mediante i=dq/dt, transformndose 1

Ri q E(t)C

+ = en dq 1

R q E(t)dt C

+ = .

Mezclas: Al mezclar dos soluciones salinas con distintas concentraciones, la cantidad de sal que contiene la mezcla en cada instante se puede modelar con una ecuacin diferencial de primer orden. Si X(t) representa la cantidad de sal en un recipiente en cualquier momento t,

la rapidez con que cambia X(t) es la tasa neta E SdX

T Tdt

= , donde TE es la tasa de entrada

de la sustancia (Cantidad de galones de sustancia que entran por minuto, por concentracin de la sustancia que entra en libras por galn) y TS es la tasa de salida de la sustancia (Cantidad de galones de sustancia que salen por minuto, por concentracin de la sustancia que sale en libras por minuto = Cantidad de sal presente dividido por cantidad de agua presente).

Ejercicios. En los problemas 1 a 20, encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada: 1) 4x + 5y = c 2) y = cx2

3) cx2 + y2 = 1 4) 2x2 + y2 = c

5) ym = cxm, m y n fijos. 6) exCos(y) = c

7) x

y1 cx

=

+ 8)

1y

c x=

+

9) y3 + 3x2y = c 10) 2x2 + y2 = 4cx

11) 1 cx

y1 cx

+=

12) 2

cy

1 x=

+

13) y = ln( c + tan(x) ) 14) ( )1

yln cx

=

15) y3 + 3x2y = c 16) y = cSen(x)

17) xn + yn = c, n2. 18) y = cex (x+1)

19) 3 3x y c+ = 20) Sen(y) = ce-x

En los problemas 21 a 20, encuentre la familia G de trayectorias isogonales de la familia F que forman entre s el ngulo q dado:

21) y2 =c(2x+c), = 45. 22) 2 2x y

1C 1 C

+ =+

, = 30.

23) y2 + x2 = Cx, = 60. 24) (2C x)y2 = x3, = 45.

25) y = eCx, = 30. 26) y = x + Ce-x, = 60.

- 22 -

27) Cos(y) = Ce-x, = 45. 28) 2

cy

1 x=

+, = 30.

29) x

y1 cx

=

+, = 60. 30) 1y

c x=

+, = 45.

Plantear y resolver una ecuacin diferencial de primer orden para los problemas de 31 a 40: 31) Se sabe que la poblacin de cierta comunidad crece proporcionalmente a la cantidad de

personas presentes en cualquier momento. Si la poblacin se duplic en 6 aos, En

cunto tiempo se triplicar y se cuadruplicar la poblacin?

32) En cualquier instante, la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa

proporcional a las bacterias presentes. Si a las 3 horas hay 400 bacterias y a las 10

horas hay 2000 bacterias, Cuntas bacterias haban inicialmente?

33) 100 miligramos de una sustancia radiactiva disminuyen en un 3% al transcurrir 6 horas.

Si la razn de desintegracin en cualquier momento es proporcional a la cantidad de

sustancia presente, cul es la cantidad que queda despus de 2 horas.

34) Cierto istopo radiactivo del plomo se desintegra con una razn proporcional a la

cantidad presente en cualquier instante t y esta cantidad se reduce a la mitad en 3.3

horas. Si al principio haba 1 gramo de plomo, Cunto tiempo debe pasar para que se

desintegre el 90%?

35) Un termmetro se encuentra en una habitacin, en donde la temperatura del aire es

70F, se lleva al exterior, en donde la temperatura es 10F. Al transcurrir medio minuto

el termmetro indica 50F. Cundo indica el termmetro al final de un minuto? Cunto

tiempo debe transcurrir para que el termmetro llegue a los 15F?

36) Un termmetro se lleva del interior de un recinto al exterior del mismo, en donde la

temperatura del aire es de 5F. Al minuto el termmetro indica una temperatura de 55F

y a los cinco minutos seala 30F. Cul era la temperatura del recinto interior?

37) Se aplica una fuerza electromotriz de 30 v a un circuito en serie LR con 0,1 h de

inductancia y 50 de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0) = 0.

38) Se aplica una fuerza electromotriz de 200 v a un circuito en serie RC, en que la

resistencia es 1000 y la capacitancia es de 5x10-6 f. Determinar la carga q(t) del

capacitor, si i(0) = 0,4 amp. Halle la carga cuando t.

- 23 -

39) Un tanque mezclador contiene 500 galones de agua en los cuales se han disuelto 75

libras de sal. Otra solucin salina se bombea al tanque a razn de 5 galones por minuto.

El contenido se agita cuidadosamente y la mezcla resultante es desalojada a la misma

tasa. La concentracin de la solucin salina que entra es 2.5 libras por galn. Calcule la

cantidad de sal presente cuando han transcurrido 20 minutos.

40) Un tanque mezclador contiene 600 galones de agua en los cuales se han disuelto 100

libras de sal. Otra solucin salina se bombea al tanque a razn de 6 galones por minuto.

El contenido se agita cuidadosamente y la mezcla resultante es desalojada a razn de 4

galones por minuto. La concentracin de la solucin salina que entra es 3 libras por

galn. Calcule la cantidad de sal presente cuando han transcurrido 20 minutos.