Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ciencia, Dpto. de Matemtica y C.C.

Clculo 1, Mdulo Bsico Ingeniera

Guillermo Acua H. - Cristin Burgos G.

Gua 12: LHpital, Derivada de funciones inversas.

Estimados: mediante el presente documento, se muestran ejercicios de dicultad creciente, el objetivo de esta

gua en el fondo es orientar al estudiante el cmo debe ir avanzado con los problemas que debe resolver para

establecer una estrategia y metodologa de estudio clara, de manera de llegar lo ms rpido y acertivamente

posible a niveles de aprendizaje altos y con el trasfondo terico que corresponde aplicado a diversas situaciones

aqu planteadas. De ninguna manera se quiere decir que esto reemplaza el estudio de conceptos, es justamente

necesario para poder resolver problemas.

1. Calcule los siguientes lmites:

a) lmx+

x2 + x + 1

x3 + 8x

b) lmx0

1 + x2 1

x

2. Calcule:

a) lmx0

x2 + sin(x)

x cos(x)

b) lmx0

x arctan(x)x sin(x)3. Calcule:

a) limx0

(cos(2x))nx2

b) limx0+

x1ln x

4. Encuentre los valores de c tal que limx

(x + c

x c)x

= 4

5. Demuestre que

a) f(x) = arcsin(x) f (x) = 11 x2b) f(x) = arctan(x) f (x) = 1

1 + x2

6. Considere las siguientes funciones f(x) =ex ex

2conocida como seno hiperblico y g(x) =

ex + ex

2conocida como coseno hiperblico , las cuales se denotan como f(x) = sinh(x) y g(x) = cosh(x).

1

a) Demuestre que g2(x) f2(x) = 1b) Muestre que f (x) = g(x) y que g(x) = f(x)

c) Determine explcitamente g1(x) y f1(x)

d) Encuentre

(f1

)(x) y

(g1

)(x).

7. Considere la funcin f(x) = arcsin(bx) + arcsin

(1

bx

), con b R , constante. Determine f (x) y reduzcaal mximo posible.

8. Sea la curva implcita arctan(y) + arcsin(x) = C , C constante, demuestre que la curva satisface

(1 x2) 12 y + 1 + y2 = 0

9. Considere la funcin f(x) = arctan(x) x + x3

3

a) Analice el crecimiento o decrecimiento de f

b) Use lo anterior para demostrar que si x > 0 , entonces:

x x3

3< arctan(x)

10. Considere la funcin f(x) = x3 x y sea g(x) la inversa de f , determine g(0), para x < 13.

Problemas de controles y pruebas anteriores.

1. (PEP 2 1S 2012) Calcule lmx+

(1 +

1

x2

)x2. (PA 1S 2013) Calcule lm

h0(2 + h)2+h 4

h

3. (Control 4 1S 2014) Encuentre la derivada de y = ln(tan1(x)

), recuerde que tan1(x) = arctan(x)

2