guia 2 2015. límites y continuidad

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 2(LÍMITES Y CONTINUIDAD)

I. LÍMITE DE FUNCIONES (en forma gráfica y numérica)

1) Utilizando gráfica de la función que se muestra a continuación, determinar (si existen) los límites siguientes.

a) f) k)

b) g) l)

c) h) m)

d) i) n)

e) j)

UNIVERSIDAD DE EL SALVADORFACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICASMateria: Matemática ICiclo: II / 2015

Guía de Ejercicios Nº 2 (Límites y Continuidad) Matemática I. Ciclo II/2015

2) Complete la tabla y use el resultado para estimar el límite propuesto.

X 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1

X 3.9 3.99 3.999 4.001 4.01 4.1

X -0.1 -0.01 -0.001 0.001

0.01 0.1

3) Sea la funciòn cuya regla de correspondencia está dada por:

a) Trazar la gráfica de

b) Usando la gráfica de , determinar los siguientes limites (si existen)

i) ii) iii)

c) Calcular .

4) Sea la función definida por:

2

a)

b)

c)


a) Trazar la gráfica de

b) Determinar (en caso de existir):

i) iv)

ii) v)

iii) vi)

c) Calcular:

i) ii)

5) Utilice las gráficas de las funciones trigonométricas inversas para calcular:

a) c)

b) d)

II. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. (Cálculo de límites en forma analítica)

1) Calcular los límites siguientes justificando detalladamente en cada paso las propiedades de limites que correspondan.

a) d) R/ 2

b) e)

c) R/ 5 f) R/ - 2

3


g) m) R/

h) R/ - 2 n)

i) ñ)

j) R/ o) R/ - 2

k) p) R/ 8

l) R/ q) R/ 2

2) Suponiendo que:

Calcular , justificando paso a paso

los teoremas de límites utilizados.

4


3) Si , calcular:

a) b)

4) Hallar el valor que debe tener , si cumple las afirmaciones dadas sobre

limites. Suponga que

5) a) ¿Qué hay de incorrecto en la ecuación ?

b) De acuerdo con lo obtenido en la parte a) explique por qué la ecuación

es correcta.

6) Evaluar los siguientes límites:

a) e)

b) R/ 2 f) R/ 3

c) g) R/

d) h)

5


i) q)

j) R/ r)

k) s) R/

l) R/ t)

m) R/ 1 u)

n) v) R/

o) R/ - 5 w)

p) R/ x)

6


y) z4)

z) R/ 2 z5)

z1) z6)

z2) R/ z7) R/

z3) z8)

7) ¿Hay un número “a” tal que exista ? En caso de haberlo,

determina el valor “a” y el valor del límite.

8) Determina los números a y b tales que

III. LIMITES LATERALES.

1) Calcular el límite lateral (si existe)

a) R/ 0 b) R/ - 1

7


c) k)

d) l) R/ - 4

e) R/ 0 m)

f) n)

g) o)

h) p)

i) q)

j) R/ 0 r)

8


2) La ley de Charles para los gases afirma que si la presión permanece constante entonces la relación entre el volumen (v) que un gas ocupa y su temperatura (T), en

grados Celsius, está dada por . La temperatura es el

cero absoluto.

a) Calcule

b) ¿Por qué se necesita un límite por la derecha?

3) En la teoría de la relatividad, la fórmula de Lorentz para la contracción

da la relación entre la longitud de un objeto que se mueve con la velocidad respecto de un observador, y la longitud en reposo, donde es la

velocidad de la luz. Esta fórmula indica que un objeto es más corto cuando se está

moviendo que cuando se halla en reposo. Calcular e interpretar y explicar

por qué se requiere un límite por la izquierda.

4) En los ejercicios siguientes, calcular:

i) ii) ii)

a) R/ i) ; ii) ; iii) no existe

b)

c)

9


d) R/ i) 4 ; ii) 4 ; iii) 4

e)

f)

g)

h) R/ i) 0 ; ii) 0 ; iii) 0

i)

IV. LÍMITES DE EXPRESIONES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

1) Calcular los siguientes límites:

a) b)

10


c) R/ l)

d) m) R/ 1

e) R/ n)

f) o) R/

g) p)

h) R/ 12 q) R/ 1

i) r)

j) R/ s) R/ 2

k) t) R/ 1

11


u) y)

v) , sugerencia: utilice z) R/ 7

cambio de limites;

w) R/ z1)

V. LÍMITES INFINITOS.

1) Calcular los siguientes límites.

a1) a2) a3) 4)

a) c) R/

b) d) R/

e) n)

f) o)

12


g) R/ p)

h) R/ q)

i) r)

j) s)

k) R/ t)

l) R/ u) R/

m) v) R/

w) z)

x) z1)

13


y) z2) R/ -

VI. ASINTOTAS VERTICALES (A.V.).

1) Haciendo uso de las gráficas de las funciones siguientes, responder a lo que se pide:

a)

i) v)

ii) vi)

iii) vii) Determinar las ecuaciones de las A.V.

iv)

b)

i)

ii) ¿Cuál es la ecuación de la asintota vertical de la gráfica de función?

14


2) Obtener las ecuaciones de las asíntotas verticales de las gráficas de las funciones dadas.

a) R/ c)

b) R/ d)

VII.LIMITES AL INFINITO

1) Calcular los siguientes límites:

a) R/ 0 g)

b) h) R/ -

c) R/ 0 i)

d) j)

e) k) R/

f) R/ - l)

R/

15


m) v) R/

n) R/ w)

o) R/ 0 y)

p) z) R/

q) R/ z1)

R/ 0

r) z2) R/

s) z3)

t) z4)

u) z5)

16


z6) R/ 0 z7)

2) Suponga que el tamaño de un animal pequeño, días después de haber nacido

es (en mm). ¿Cuál es el tamaño del animal al nacer? ¿Cuál es

el tamaño final del animal (es decir, el tamaño cuando )?.

R/ 30 mm ; 300 mm

3) Suponga que el tamaño de la pupila de un cierto animal esta dado por (en mm), donde es la intensidad de la luz sobre la pupila. Si

, encuentre el tamaño de la pupila con una cantidad

despreciable de luz y el tamaño de la pupila con una cantidad infinita de luz.

R/ 40 mm ; 6 mm

4) Después de una inyección, la concentración de droga en un músculo varía de acuerdo con la función del tiempo . Suponga que se mide en horas y que

. Halle el límite de cuando y cuando , e interprete ambos límites en términos de la concentración de droga.

5) La rapidez de un paracaidista de 128 libras está dada aproximadamente por

pies/s, donde es una constante que depende de la

orientación del cuerpo del paracaidista. Calcule . Explique por qué ésta se

llama “Velocidad final”. Compare la velocidad final de los paracaidistas que caen con los brazos y piernas extendidos y en la posición de encogido .

6) Suponga que la temperatura (en grados Fahrenheit) de la comida que se guarda en un refrigerador baja de acuerdo con la ecuación

. En donde es el tiempo en horas.

a) ¿Cuál es la temperatura inicial de la comida?

17


b) ¿Cuál es el limite de cuando tiende a infinito?7) La cantidad de sal (en libras) en un tanque en el tiempo (en minutos) está

dada por la ecuación .a) ¿Cuál es la cantidad de sal inicial en el tanque?b) ¿Cuál es la cantidad de sal en el tanque, pasado un largo tiempo?c) Grafica .

8) Suponga que un objeto con velocidad inicial y masa (constante) de se acelera mediante una fuerza constante de libras durante segundos.

De acuerdo con las leyes del movimiento de Newton, la rapidez del objeto será . De acuerdo con la teoría de la relatividad de Einstein, la rapidez del

objeto será , donde es la rapidez de la luz. Calcule

y .

VIII. ASINTOTAS HORIZONTALES(A.H.)

1) Utilizando las gráficas de las siguientes funciones, responder los numerales indicados

a)

i) iii) ¿Cuáles son las ecuaciones de las A.H.?

ii) iv) Las ecuaciones de las A.V. son:

18


b)

i)

ii)

iii) Las ecuaciones de las A.H. son:

c)

i)

ii)

iii) La ecuación de la A.H. es

2) Encontrar la, o las, asíntotas horizontales y/o verticales de la gráfica de la función dada y trazar la gráfica.

a) d) R/

b) e)

c) R/ f)

19


g) R/ j)

h) R/ k)

i) l) R/

IX. CONTINUIDAD

1) A partir de la gráfica de “ “, definir los números en los cuales es discontinua. Y para cada uno de los números definidos, decir si “ ” es contínua por la derecha, por la izquierda, o ningún caso.

2) Para la gráfica de “ ”, definir los intervalos en que “ ” es contínua.

20


3) Emplear la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que la función es continua en el número mencionado.

a) d)

b) e)

c)

4) Determinar los puntos en que “ “ es discontínua. ¿En cuáles es contínua por la derecha, por la izquierda o ni lo uno ni lo otro?. Trazar la gráfica de “ ”.

a) c)

b) d)

5) Determinar la constante “ ” para la que “ ” es contínua en

a)

6) Encontrar los valores de “ ” y “ ” para los que “ ” es contínua.

R/

7)7) Determinar si las siguientes funciones tienen una discontinuidad evitable (removible) en “ ” . Si es así, redefinir la función para que sea continua en RR..

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a)

b) R/ Esencial (no evitable)

c) R/ Evitable ;

d)

e) e)

8) Encontrar los puntos de discontinuidad (si los hay).

a) b)

c) c) R/ En e) R/ En

d) R/ En

9) Hallar las discontinuidades (si las hay) de la función dada. ¿Cuáles son evitables?. Graficar la función .

a)

b) R/ Evitable en ; ; No evitable en

22


c)

d)

e) R/ Esencial en

f) R/ Continua en todos los reales

g)

h) )

i)

j) j) R/ No evitable en

k)

l) l)

m)

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