UNIVERSIDAD DE LOS ANDES-NÚCLEO “RAFAEL RANGEL”

Semestre A-2012

Guía Nº 2: Fotometría ÓPTICA 95

Prof. Hebert Lobo

Las fuentes de luz emiten energía en forma de ondas electromagnéticas.

Esta radiación se cuantifica con la ayuda de las magnitudes

radiométricas. Si interesa cuantificar solamente la radiación a la que es

sensible el ojo humano estas magnitudes radiométricas se transforman

en magnitudes fotométricas

¿Qué es la luz?

La luz es radiación electromagnética capaz de afectar el

sentido de la vista.

Tres características importantes de la luz:

• Propagación rectilínea: La luz viaja en línea recta.

• Reflexión: Cuando la luz incide en una superficie lisa,

regresa a su medio original.

• Refracción: La trayectoria de la luz cambia cuando

penetra a un medio transparente.

La velocidad de la luz es exactamente:

c = 2.99792457 x 108 m/s

Dos aproximaciones útiles son:

c = 3 x 108 m/s

c = 186,000 mi/s

Para todo el espectro electromagnético (visible o no):

c = f

Ecuación de Planck: E = h f (Energía)

Donde:

Luz y sombra:

Sombra formada por una fuente puntual de luz.

SSoommbbrraa ffoorrmmaaddaa ppoorr uunnaa ffuueennttee ddee lluuzz eexxtteennddiiddaa..

¿Qué es y cómo se mide el flujo

luminoso?

FFlluujjoo lluummiinnoossoo..

EEll fflluujjoo lluummiinnoossoo FF eess llaa ppaarrttee ddee llaa ppootteenncciiaa rraaddiiaannttee ttoottaall

eemmiittiiddaa ppoorr uunnaa ffuueennttee ddee lluuzz qquuee eess ccaappaazz ddee aaffeeccttaarr eell

sseennttiiddoo ddee llaa vviissttaa..

EEsstteerroorrrraaddiiáánn..

UUnn eesstteerroorrrraaddiiáánn ((ssrr)) eess eell áánngguulloo ssóólliiddoo (()) ssuubbtteennddiiddoo eenn eell

cceennttrroo ddee uunnaa eessffeerraa ppoorr uunn áárreeaa AA ssoobbrree ssuu ssuuppeerrffiicciiee,, qquuee eess

iigguuaall aall ccuuaaddrraaddoo ddee ssuu rraaddiioo RR.. Luego:

LLuummeenn..

UUnn lluummeenn ((11mm)) eess eell fflluujjoo lluummiinnoossoo ((oo ppootteenncciiaa rraaddiiaannttee

vviissiibbllee)) eemmiittiiddoo ddeessddee uunnaa aabbeerrttuurraa ddee 11//660000 ccmm22 ddee uunnaa

ffuueennttee ppaattrróónn ee iinncclluuiiddoo ddeennttrroo ddee uunn áánngguulloo ssóólliiddoo ddee 11 ssrr..

Intensidad luminosa

LLaa iinntteennssiiddaadd lluummiinnoossaa II ddee uunnaa ffuueennttee ddee lluuzz eess eell fflluujjoo

lluummiinnoossoo FF eemmiittiiddoo ppoorr uunniiddaadd ddee áánngguulloo ssóólliiddoo ..

Iluminación

LLaa iilluummiinnaacciióónn oo iilluummiinnaanncciiaa EE ddee uunnaa ssuuppeerrffiicciiee AA ssee ddeeffiinnee

ccoommoo eell fflluujjoo lluummiinnoossoo FF ppoorr uunniiddaadd ddee áárreeaa..

CCuuaannddoo uunnaa ssuuppeerrffiicciiee ffoorrmmaa uunn áánngguulloo ccoonn eell fflluujjoo

iinncciiddeennttee,, llaa iilluummiinnaacciióónn EE eess pprrooppoorrcciioonnaall aa llaa ccoommppoonneennttee

AAccooss ddee llaa ssuuppeerrffiicciiee ppeerrppeennddiiccuullaarr aall fflluujjoo..

Fotometría

La llamada ecuación de fotometría, que permite calcular la

intensidad de una fuente desconocida a partir de una fuente

patrón, utilizando el fotómetro, es la siguiente:

Ecuación de la

fotometría

Espectro continuo de luz visible

La luz visible está constituida por radiación electromagnéticas

cuyas longitudes de onda van de unos 350 (violeta) a unos 750

(rojo) nanómetros, o de manera equivalente, con frecuencias

que van de alrededor de 3,84 x 1014

Hz (rojo) hasta 7,69 x

1014

Hz (violeta).

Curva de sensibilidad El ojo humano tiene

sensibilidad diferenciada para

las diferentes longitudes de

onda o frecuencias de la luz

visible. Por ejemplo, una

lámpara verde-amarilla de

cierta potencia se verá más

brillante que una azul de la

misma potencia. La imagen

muestra la distribución en

forma de campana que indica la

respuesta del ojo a distintas

longitudes de onda.

Rendimiento luminoso o eficiencia luminosa No toda la energía eléctrica consumida por una lámpara

(bombilla, fluorescente, etc.) se transformaba en luz visible. Parte

se pierde por calor, parte en forma de radiación no visible

(infrarrojo o ultravioleta), etc.

Para hacernos una idea de la porción de energía útil definimos el

rendimiento luminoso como el cociente entre el flujo luminoso

producido y la potencia eléctrica consumida, que viene con las

características de las lámparas (25 W, 60 W...). Mientras mayor

sea mejor será la lámpara y menos gastará. La unidad es el lumen

por watt (lm/W).

Rendimiento

luminoso

Símbolo:

Unidad: lm/W

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- La sombra formada en una pantalla de 4 metros de distancia de una fuente

puntual de luz es de 60 cm de altura. ¿Cuál es la altura del objeto situado a 1 m

de la fuente y 3 m de la sombra?

SOLUCIÓN

De la relación de Triángulos semejantes:

60 cm

100 cm 400 cm

h

(400 cm)(60 cm)

;100 cm

h h = 2.40 m

2.- Una lámpara está cubierta con una caja, y se corta en el cuadro una rendija estrecha 20-mm de longitud de modo que la luz brilla a través. Un objeto de 30 mm de altura bloquea la luz de la rendija a una distancia de 500 mm. Calcular la longitud de la sombra y penumbra formada sobre una pantalla situada 1,50 m de la rendija.

SOLUCIÓN

De la relación de Triángulos semejantes: ( Similares):

500; 1000 mm

20 mm 30 mm

a aa

20 20;

1500 1500 1000 1000

u u

a a

; u = 50 mm

500 20

; 200 mm; , 20 30 1500

b b pb Now

b b

, de donde p = 130 mm

h 60 cm

3 m 1 m

20 mm

1500 mm

30 mm

c b

a p u

500 mm

3.- Calcule cuál es el rango de frecuencias para la luz visible, asumiendo que el

Rango de oscila entre 700 nm a 400 nm.

SOLUCIÓN

La velocidad de la luz es la misma independientemente de que parte del espectro

electromagnético se trate, por tanto, utilizando la expresión c = f para cada extremo del

espectro visible se obtiene, con c = 3 x 108 m/s:

8 814 14

1 2-9 -9

1 2

3 x 10 m/s 3 x 10 m/s4.29 x 10 Hz; 7.50 x 10 Hz

700 x 10 m 400 x 10 m

c cf f

Rango de frecuencias: 4.29 x 1014

Hz. a 7.50 x 1014

Hz.

4.- La frecuencia de la luz amarillo-verde es 5,41 x 1014

Hz. Expresar la longitud de onda de esta luz en nanómetros y en angstroms.

SOLUCIÓN

Conocida la velocidad de la luz y utilizando la expresión c = f,

8

14

3 x 10 m/s;

5.41 x 10 Hz

c

f

= 555 nm

= 555 x 10-9

m x (1 x 1010

A/m);

= 5550 Å

5.- Un ángulo sólido de 0.080 sr está subtendido desde el centro de una esfera de 9.00 cm de diámetro por el área A sobre la esfera. ¿Cuál es el área?

SOLUCIÓN

Conocida la expresión:

Se despeja y sustituye:

A = R2 = (0.08 sr) (0.09 m)

2;

A = 6.48 x 10-4

m2

6.- Una hoja de metal de 8½ x 11 cm está iluminada por una fuente de luz localizada a 1.30 m directamente arriba de ella. ¿Cuál es el flujo luminoso que cae sobre el metal si la fuente tiene una intensidad de 200 cd? ¿Cuál es el flujo luminoso total emitido por la fuente de luz?

SOLUCIÓN

Calculamos el área:

A = (0.085 m) (0.11 m); A = 9.35 x 10-3

m2

Con el área A y la distancia a la fuente R, se calcula el ángulo sólido:

3 2-3

2 2

9.35 x 10 m5.53 x 10 sr

(1.3 m)

A

R

Con el área A y la distancia a la fuente R, se calcula el ángulo sólido:

F = I = (200 cd)(5.53 x 10-3

sr); F = 1.11 lm

Para calcular el flujo total, tomamos el ángulo sólido para toda la esfera ( = 4)

Flujo Total = 4 I = 4 (200 cd); Flujo Total = 2510 lm

7.- Una fuente puntual de luz se coloca en el centro de una esfera 70 mm de diámetro. Un agujero está cortado en la superficie de la esfera, permitiendo que el flujo pase a través de un ángulo sólido de 0,12 sr. ¿Cuál es el diámetro de la abertura?

SOLUCIÓN

La distancia de la fuente a la superficie será:

R = D/2 = 35 mm

Aplicando directamente la fórmula calculamos el área sobre la superficie:

A = R2 = (0.12 sr) (35 mm)

2; A = 147 mm

2

Utilizando la fórmula del área de un círculo, se despeja y calcula el diámetro del orificio:

2 24 4(147 mm ); ;

4

D AA D

D = 13.7 mm

1.3 m

8.- Una fuente de luz estándar de 30 cd, se compara con una lámpara de intensidad desconocida utilizando un fotómetro de mancha de grasa (grease-spot

photometer, como se muestra en la figura). Las dos fuentes de luz se colocan 1 m, y la mancha de grasa se mueve hacia la luz estándar. Cuando la mancha de grasa es de 25 cm de la fuente de luz estándar, la iluminación es igual en ambos lados. Calcular la intensidad de la fuente desconocida? [La iluminación E es la misma para cada uno]

SOLUCIÓN

Si la iluminación es la misma, la relación siguiente será constante:

2 2

2 2 2 2

(30 cd)(75 cm); ;

(25 cm)

x s s xx

x s s

I I I rI

r r r

Ix = 270 cd

9.- La iluminación de una superficie dada es de 80 lx cuando se encuentra a 3 m de distancia de una fuente de luz. ¿A qué distancia será la iluminación igual a 20 lx? [Recordar que la intensidad I = ER

2 es constante]

SOLUCIÓN

Si la intensidad es la misma, la relación siguiente será constante:

2 22 2 1 1

1 1 2 2 2

2

(80 lx)(3 m); R ;

(20 lx)

E RE R E R

E

R2 = 600 m

10.- Una luz suspendida a 9 m sobre una calle provee una iluminación de 35 lux en un punto directamente debajo de ella. Determine la intensidad luminosa de la luz.

SOLUCIÓN

Como nos dan la iluminación y la distancia, se resuelve sustituyendo directamente:

2 2

2; (36 lx)(9 m) ;

IE I ER

R

I = 2920 cd

Ix 30 cd

75 cm 25 cm

11.- Una fuente de luz monocromática verde-amarilla (555 nm) ilumina una superficie de 0,6 m2, a una distancia de 1,0 m. ¿Cuál es el ángulo subtendido a la fuente? ¿Cuál es la intensidad luminosa de la fuente?

SOLUCIÓN

Haciendo la conversión de unidades de potencia, despejando y sustituyendo:

F = (680 lm/W) (60 W) = 40,800 lm; 2

2 2

0.6 m

(1 m)

A

R = 0.600 sr

Ahora se puede calcular directamente la intensidad luminosa:

(40,800 lm);

0.60 sr

FI

I = 68,000 cd

12.- ¿A qué distancia de una pared proveerá la misma iluminación una lámpara de 35 cd que otra de 80 cd localizada a 4 m frente a la pared? [E1 = E2]

SOLUCIÓN

Considerando la constancia en la iluminación, despejando y sustituyendo:

2 2

1 2 2 122 2

1 2 1

(35 cd)(4 m);

80 cd

I I I rr

r r I ; r2 = 2.65 m

13.- ¿Cuánto debería ser bajada una pequeña lámpara para doblar la iluminación sobre un objeto ubicado 80 cm justo debajo de ella? [E1 = E2]

SOLUCIÓN

Considerando la constancia en la iluminación, despejando y sustituyendo:

Dado que: E2 = 2E1 y E1R12 = E2R2

2 entonces: E1R12 = (2E1) R2

2

Despejando:

2 2

12

(80 cm);

2 2

RR R2 = 56.6 cm;

La lámpara se debe bajar la siguiente distancia:

y = 80 cm – 56.6 cm = 23.4 cm

14.- Calcule la iluminación de una superficie dada colocada a 140 cm de una fuente de luz de 74 cd, si la normal a la superficie hace un ángulo de 38º con el flujo luminoso.

SOLUCIÓN

Aplicando directamente la ecuación y considerando el ángulo formado entre la perpendicular a la superficie y el flujo:

0

2 2

cos (74 cd)(cos38 );

(1.40 m)

IE

R

E = 29.8 lx

15.- Una mesa circular está situado a 4 m por debajo y 3 metros a la izquierda de una lámpara que emite 1.800 lm. ¿Qué iluminación se proporciona en la super-ficie de la mesa? ¿Cuál es el área de la superficie de la mesa si 3 lm de flujo caen en su superficie?

SOLUCIÓN

El ángulo formado entre la perpendicular a la superficie y el flujo, se calcula a través de la siguiente relación trigonométrica:

3 mtan

4 m = 36.9

0

El flujo emitido es para un ángulo sólido = 4, es: F = 4 I

De donde podemos calcular la intensidad luminosa, la iluminación y finalmente el área:

1800 lm; 143 lm/sr

4 4

FI I

0

2 2

cos (143 lm/sr)cos36.9;

(5 m)

IE

R

E = 4.58 lx;

F

AE

= 0.655 m2

15.- Una lámpara incandescente cuyo consumo eléctrico son 100 W, emite un flujo luminoso de 1380 lm.

a. Determina su rendimiento luminoso.

b. Suponiendo que la luz emitida es de = 555 nm. Determina la eficiencia luminosa de esta lámpara. (Porcentaje de la potencia nominal eléctrica que se transforma en potencia fotométrica)

SOLUCIÓN

a. Aplicando directamente la ecuación de rendimiento luminoso para los valores

dados.

b. Si la luz emitida es verde-amarilla, de longitud de onda = 555 nm, tendremos la

potencia fotométrica máxima (de acuerdo a la curva de sensibilidad fotópica), luego no

habría que hacer ningún ajuste al flujo luminoso.

Se puede deducir la eficiencia luminosa a partir de la definición del lumen: El lumen es

el flujo luminoso de la radiación monocromática que se caracteriza por una frecuencia

de valor 540 x 1012 Hz y por un flujo de energía radiante de 1/683 W. Es decir, un

watio de energía radiante de longitud de onda de 555 nm en el aire equivale a 683 lm

aproximadamente.

Luego, la potencia radiante equivalente será:

La potencia consumida por el foco es: Pc = 100 W

Luego la eficiencia luminosa de la lámpara, expresada como el porcentaje de la

potencia nominal eléctrica que se transforma en potencia fotométrica, es

16.- La iluminación de una fuente isotrópica es EA en un punto A sobre una mesa de 30 cm directamente debajo de la fuente. ¿A qué distancia horizontal de A sobre la superficie de la mesa la iluminación se reducirá a la mitad?

SOLUCIÓN

2 2

cos; ; 2 ; A B A B A B

A B

I IE E E E I I

R R

2

A A

2 2 2

B B

2 cos R 1 R; ; cos

R 2cos RA B

I Ibut

R R

Entonces:

2 3 31 1(cos ) ; (cos ) ; cos 0.5 0.794;

2cos 2

and = 37.50

0tan ; (30 cm) tan37.5 ;30 cm

xx x = 23.0 cm

17.- La iluminación de una superficie 3,40 m directamente debajo de una fuente de luz es de 20 lux. Encuentra la intensidad de la fuente de luz, ¿A qué distancia por debajo de la fuente de luz de la iluminación se duplicará? ¿Ell flujo luminoso también se duplicó en ese lugar?

SOLUCIÓN

I = ER2 = (20 lx) (3.40 m)

2 ; I = 231 cd

E2 = 2E1 y E1R12 = E2R2

2 = (2E1) R2

2

2 2

12

(3.40 m);

2 2

RR

R2 = 2.40 m

F =0

x

30 cm

RB RA

R1

R2

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Una fuente puntual de luz se coloca a 15 cm de un montante de una regla de 6

cm. Calcular la longitud de la sombra formada por la regla en una pared colocada a 40 cm de

la regla.

2. ¿Hasta qué punto debe una placa de 80 mm de diámetro se coloca delante de una

fuente puntual de luz si es para formar una sombra de 400 mm de diámetro a una distancia de

2 m de la fuente de luz?

3. Una fuente de la luz 40 mm de diámetro brilla a través de un orificio en la tapa de

fondo de una caja de cartón colocada a 2 m de la fuente. ¿Cuál es el diámetro de la imagen

formada en la parte inferior de la caja si la altura de la caja es de 60 mm?

4. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz cuya energía es 7 x 10-19 J? ¿Cuál es su

frecuencia?

5. ¿Cuál es el ángulo sólido subtendido desde el centro de una esfera de 3,20 m de

diámetro sobre un área de 0,5 m2 en su superficie?

6. Una fuente monocromática de 40W de luz amarillo-verde (555 nm) ilumina una

superficie 0,5-m2 a una distancia de 1,0 m. ¿Cuál es la intensidad luminosa de la fuente y

cuantos lúmenes caen sobre la superficie?

7. Una lámpara ubicada a 2 m de una pequeña superficie produce una iluminación de 100

lx sobre la superficie. ¿Cuál es la intensidad de la fuente?

8. ¿Cuál es la iluminación producida por una fuente de 200 cd sobre una pequeña superficie ubicada a 4.0 m de distancia?

9. La superficie de una mesa de 1 m de ancho y 2 m de largo se encuentra colocada a 4,0

m de una lámpara. Si el flujo total en esta superficie es de 40 lm, ¿cuál es la iluminación E de la

superficie?

10. ¿Cuál debe ser la ubicación de la lámpara en el problema anterior con el fin

de producir el doble de la iluminación? (Nota: Iluminación E varía inversamente con el

cuadrado de la distancia: E1R12 = E2R2

2).

11. ¿Dónde debería colocarse la mancha de grasa del espectrómetro del problema

resuelto 9, para que la iluminación (E) de la fuente de luz desconocida sea exactamente el

doble de la iluminación de la fuente estándar? (use como guía el siguientes esquema)

12. Se utiliza una fuente de luz puntual de intensidad luminosa 100 cd para iluminar una

pequeña placa situada a 1 m de distancia. Si la iluminación sobre la placa es de 50 lux deduce

si la iluminación es frontal o bien la placa se encuentra inclinada un ángulo con respecto a la

dirección de emisión de la fuente.

1 m

30 cd

1 m – x x

270 cd

13. Dos lámparas pequeñas (suponer fuentes puntuales de luz) de 5 cd están situadas en

el techo de un aula de 2,7 m de altura. Las lámparas distan 3m entre sí. Una mesa de estudio,

está situada en una posición equidistante de ambas lámparas. El tablero de la mesa está a 70

cm. del suelo. a) Realiza un esquema del problema dibujando todos los elementos y sus

distancias relativas. b) Calcular la iluminación sobre el centro del tablero de la mesa.

14. ¿Qué ángulo entre el flujo y una línea trazada normal a una superficie, hará que la iluminación de la superficie quede reducida a la mitad cuando la distancia a la superficie no ha cambiado?

15. Se ilumina un papel difusor con una luz monocromática de = 555 nm. Si se quiere

iluminar el mismo papel con una luz de = 760 nm. ¿Cuántas veces se deberá aumentar el

flujo luminoso de la fuente emisora para producir una sensación visual de la misma

intensidad?

16. Una bombilla cuyo consumo eléctrico son 100 W presenta un rendimiento de 10 lm/W.

Determina:

a. El flujo luminoso emitido por dicha bombilla.

b. La intensidad de la bombilla (considerada puntual).

c. El flujo luminoso que incide en el ojo de 2 mm de pupila cuando el observador está

situado a 1 m de la bombilla y mira directamente a ésta.

17. Una luz de 300 cd se suspende 5 m por encima del borde izquierdo de una tabla.

Encontrar la iluminación de un pequeño trozo de papel situado a una distancia horizontal de

2,5 m del borde de la mesa.

18. Una superficie está iluminada por una fuente luminosa puntual de 80 cd de intensidad

constante en todas direcciones situada a 2 m de altura. Calcular la iluminación para los

siguientes valores del ángulo θ: 0, 30º, 45º, 60º, 75º y 80º.