guia 2do. año secundaria matematicas

7/23/2019 Guia 2do. Ao SECUNDARIA MATEMATICAS

1/82

Gua didctica

para el docente

Nu

eva

ed

icin

Desarrollar

competenciaspara la

sociedad delconocimiento

MAT

EMTICAS

SECUNDARIA

SEGUNDOGRADO

EJEMPLAR DEOBSEQUIO


2/82

Direccin editorial

Doris Arroba Jcome

Gerencia editorial

Paulina Surez

Edicin

Berenice Valverde

Autora

Adriana Vargas

Jefatura de Correccin

Marxa de la Rosa

Correccin

Equipo SM

Casa Prieto

Servicios Editoriales

Arte y diseo de portada

Juan Bernardo Rosado

Coordinacin de diseo grfico

Rafael Tapia

Diagramacin

EDITEC S. A. de C. V.

Produccin

Carlos Olvera, Teresa Amaya

Gua didctica para el docente

Fractal 2. Matemticas

serie Construir,

2do. grado de secundaria

Primera edicin, 2007

Segunda edicin, 2008D. R. SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2008

Magdalena 211, Colonia del Valle,

03100, Mxico, D.F.

Tel.: (55) 1087 8400

www.ediciones-sm.com.mx

ISBN 978-970-785-524-3

Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana

Registro nmero 2830

No est permitida la reproduccin total o parcial de este material, ni su tratamiento

informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico,

mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito

de los titulares del copyright.

Impreso en Mxico/Printed in Mexico

Direccin de contenidos y servicios educativos

Elisa Bonilla Rius

Gerencia de publicaciones escolares

Felipe Ricardo Valdez Gonzlez

EdicinBerenice Valverde

Uriel Jimnez Herrera

Autora

Adriana Vargas

Jefatura de Correccin

Marxa de la Rosa

Correccin

Equipo SM

Carlos del Razo

Arte y diseo de portada

Brenda Lpez Romero

Coordinacin de diagramacin

Jess Arana

Diagramacin

EDITEC S. A. de C. V.

Vctor Martnez

Produccin

Carlos Olvera, Teresa Amaya

Gua didctica para el docente

Fractal 2. Matemticas

Primera edicin, 2007

Tercera edicin, 2011

D. R. SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011

Magdalena 211, Colonia del Valle,

03100, Mxico, D.F.

Tel.: (55) 1087 8400

www.ediciones-sm.com.mx

ISBN 978-607-471-929-1

Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana

Registro nmero 2830

No est permitida la reproduccin total o parcial de este material, ni su tratamiento

informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico,

mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito

de los titulares del copyright.

Impreso en Mxico/Printed in Mexico


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ndice

Presentacin ..................................................................... 4I. Panorama de la educacin bsica secundaria en Mxico .... 5

II. Caractersticas de los jvenes que asisten a la educacinsecundaria ................................................................... 8

III. Caractersticas de los jvenes que asisten a la secundariaen Mxico ................................................................. 9

Bloque 1 ......................................................................... 11

Bloque 2 ...................................................................... 77

Bloque 3 ..................................................................... 125Bloque 4 .................................................................... 165

Bloque 5 ................................................................... 207

Anexos ...................................................................... 237


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4

Esta gua tiene el propsito de apoyarlo en su labor dentro del aula deuna manera prctica y sencilla. En ella encontrar el panorama sobrela educacin bsica secundaria y la Reforma de Educacin Secun-

daria 2006, as como la descripcin de las caractersticas de los jvenes queasisten a la educacin secundaria.

Adems, en cada pgina aparecen el solucionario de las actividadesy ejercicios del libro de texto, sugerencias didcticas adicionales para apoyarel trabajo en el aula, criterios para valorar el desempeo de los estudiantes yalgunas recomendaciones para trabajar con otros recursos, como pueden serlas Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin ().

Presentacin


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5

Adems, la asistencia a la secundaria representa, para todos los alumnos,la adquisicin de los conocimientos, el desarrollo de habilidades, as como laconstruccin de valores y actitudes, es decir, la formacin en las competenciaspropuestas por el currculo comn, a partir del contexto nacional pluriculturaly de la especificidad de cada contexto regional, estatal y comunitario.2

Debido a lo anterior, la secundaria debe ser el espacio propicio para el de-sarrollo de capacidades como la reflexin, el anlisis crtico, la produccin, el

intercambio de conocimientos, el cuidado de la salud y el ambiente para quelos alumnos aprendan a aprender durante toda su vida y sean partcipes acti-vos, conscientes y responsables de una sociedad en continua transformacin.Para hacer que la educacin bsica secundaria sea la plataforma comn paratodos los mexicanos3es necesario tomar en cuenta: 1) el perfil de egreso, 2)las competencias para la vida, 3) los elementos centrales del currculo y 4)las caractersticas del plan y programas de estudio.

2Ibidem, p. 83Loc. cit.

I. Panorama de la educacin bsica secundaria en Mxico

Entre los compromisos que el Estado mexicano asumi, est el poderbrindar una educacin bsica secundaria democrtica, nacional, inter-cultural, laica y obligatoria que favorezca el desarrollo del individuo y desu comunidad, as como el sentido de pertenencia a una nacin multi-cultural y plurilinge, y la conciencia de solidaridad internacional de los

educandos.1

Por lo anterior, la educacin secundaria responde a las caractersticas y alos cambios continuos de la sociedad; es decir, reconoce la multiculturalidady la diversidad e impulsa la educacin intercultural, flexible, incluyente, glo-bal y que promueve la formacin en valores. Atenta a esta tnica, la secunda-ria brindar a los estudiantes bases slidas para participar de manera activa,consciente y responsable en su entorno inmediato.

1Secretara de Educacin Pblica. Las finalidades de la educacin bsica. En Plan de Estudios

2006. Mxico, , 2006, p. 7


6/82


7/82

7

Existen otros elementos que sustentan la definicin del currculo para la educacin secundaria como:

nfasis en el desarrollo decompetencias y definicinde aprendizajes esperados.

Profundizacin en elestudio de contenidosfundamentales.

El currculo como dispositivode cambio en la organizacinde la vida escolar.

Articulacin con los niveles

anteriores de educacin bsica.

Interculturalidad.Incorporacin de temas quese abordan en ms de unaasignatura; los campos son:educacin ambiental, formacinen valores y educacin sexualy equidad y gnero.

Caractersticas de los jvenesen edad de asistira la educacin secundaria.

Reconocimiento de la

realidad de los estudiantes.


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9/82


10/82

10

Dosificacin

Debido a que el tiempo que dedica a cada apartado de Conocimientos y habilidades o leccin depende, engran parte, de su forma de trabajo y de las caractersticas de sus grupos, esta tabla es una propuesta que

usted podr modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones

o las eventualidades que surjan (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita,

S E M A N A S

1 2 3 4

BLOQ

UES

1

1.1.Multiplicacin ydivisin de nmeroscon signo(lecciones 1 a 4)

1.2.Adicin y sustraccin deexpresiones algebraicas(lecciones 5 a 7)

1.3.Expresiones algebraicas

equivalentes(leccin 8)

1.3.Expresionesalgebraicasequivalentes(leccin 9 )

1.4.Estimar y medirngulos(lecciones 10 a 12)

1.5.Posicionesrelativas de rectas.ngulos entre dosrectas que se cortan(lecciones 13 a 16)

2

2.1.Jerarqua deoperaciones y usode parntesis

(lecciones 32 a 34)

2.2.Multiplicacin deexpresiones algebraicas(lecciones 35 a 37)

2.3.Caractersticas ydesarrollos planos decubos, prismasy pirmides(lecciones 38 a 41)

2.4.Frmulas delvolumen de cubos,prismas y pirmidesrectos(lecciones 42 y 43)

3

3.1.Sucesiones de

nmeros con signo(lecciones 53 a 55)

3.2.Ecuaciones del tipo

axbxcdxexf(lecciones 56 a 58)

3.3.Funciones de la

forma yaxbasociadas a diversosfenmenos

(lecciones 59 a 61)

3.4.Frmula para

la suma de ngulosinteriores decualquier polgono

(lecciones 62 y 63)

4

4.1.Potencias.Notacin cientfica(lecciones 70 a 72)

4.2.Criterios de congruenciade tringulos(lecciones 73 a 76)

4.3.Alturas,medianas,mediatrices ybisectrices deun tringulo(lecciones 77 y 78)

4.3.Alturas,medianas,mediatrices ybisectricesde un tringulo(lecciones 79 y 80)

5

5.1.Sistemas deecuaciones concoeficientes enteros

(leccin 88)

5.3.Representacin grficade un sistema de ecuaciones(lecciones 89 y 90)

5.1.Sistemas deecuaciones concoeficientes enteros(sustitucin)(lecciones 95 a 97)

5.2.Transformacionesen el plano(lecciones 91 a 94)


11/82

11

Gua de usoDosificacin

podr trabajar las actividades de Las matemticas en as como Y para terminar o adelantar el trabajo de otrosapartados si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores sealan al eje que corresponde a cada

apartado: en azulel eje Sentido numrico y pensamiento algebraico; en amarilloForma espacio y medida; y enverdeManejo de la informacin. Cabe sealar que la redaccin de los apartados ha sido simplificada.

S E M A N A S

5 6 7 8 9

1.6.ngulosentre paralelas.ngulos interioresde tringulos ycuadrilteros(lecciones 17 a 20)

1.7.Relacinproporcional: factorinverso y factor deproporcionalidadfraccionario(lecciones 21 a 24)

1.8.Proporcionalidadmltiple

(lecciones 25 y 26)

1.9. Problemasde conteo(lecciones 27 y 28)

1.10.Polgonosde frecuencia(lecciones 29 a 31)

Repasemoslo aprendido

(pginas 78 y 79)

Evaluacin

del bloque 1

2.5.Clculo delvolumen de cubos,prismas y pirmides.Conversionesde medidas devolumen-capacidad(lecciones 44 y 45)

2.6.Comparacinde razones(lecciones 46 a 48)

2.7.Medidas detendencia central(lecciones 49 a 52)


(pginas 126 y 127)

Evaluacindel bloque 2

3.5.Recubrimientosdel plano(lecciones 64 y 65)

3.6.Grficas derelaciones lineales dediversos fenmenos(leccin 66)

3.7.Anlisis dela grfica dey

mx

bcuandompermanececonstante y bvara(lecciones 67 y 68)

3.8.Anlisis dela grfica dey

mx

bcuandobpermanececonstante y mvara(leccin 69)


(pginas 166 y 167)


4.4.Probabilidadde ocurrenciade eventosindependientes(lecciones 81 a 83)

4.5.Grficas de lnea

(lecciones 84 y 85)

4.6.Grficasformadas porsegmentos de recta(lecciones 86 y 87)


(pginas 208 y 209)


5.4.Probabilidadde ocurrencia deeventos mutuamenteexcluyentes(lecciones 98 y 99)


(pginas 238 y 239)



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13/82


14/82

14

ndice

Leccin 96. Otras tcnicas para resolversistemas de ecuaciones II

230 5.1. Representar con literales los valores desconocidos de unproblema y usarlas para plantear y resolver un sistema deecuaciones con coeficientes enteros.

Leccin 97. Problemas diversos 232

Leccin 98. Independientes o noindependientes

234 5.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos queson mutuamente excluyentes. Determinar la forma en quese puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

4.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos queson independientes. Determinar la forma en que se puedecalcular la probabilidad de ocurrencia de dos o ms eventosindependientes.

Leccin 99. Problemas con urnas 236

Repasemos lo aprendido 238

Las matemticas en una tira de papel 240

Y para terminar 242

Anexos 243

Bibliografa 254


15/82

15

Sugerencias didcticasComo introduccin a este primer bloque, el profesor puede pedir a losestudiantes que busquen un evento de su vida cotidiana en el que sean

necesarios los nmeros negativos (ya que ser el tema de leccin 1),es decir, que describan una situacin no cuantificable con los nmerosnaturales.

Tambin es importante que les hable de los contenidos del bloque,que en gran medida se enfocarn a la construccin de un lenguajealgebraico; puede recomendarles que repasen operaciones aritmticasde todo tipo (con parntesis, quebrados, etc.) ya que esto les ser muytil durante todo el bloque.

Valoracin del desempeo Que el estudiante tenga los conocimientos previos para abordar los

temas del bloque.

Otros recursosComo apoyo didctico para abordar los temas le recomendamos lasiguiente bibliografa: F.J. Briales y M. Jimnez. (1988):Matemtica viva. B.R.E.D.A.

(Alhambra). J. de Lange, y otros (1989):Las matemticas en la enseanza

secundaria. ICE de Salamanca.

15

El pueblo babilnico fue el que comenz a utilizar el sis-

tema sexagesimal (de base 60); dividieron la esfera ce-

leste en 360 grados y cada grado en 60 minutos. As, la

medicin del tiempo qued estrechamente ligada con la

medicin de los ngulos. El da fue dividido en 12 horasdobles: 12 horas de da-luz y 12 horas de noche. Cada

hora a su vez se fraccion en 60 minutos.

Aunque este sistema es un poco ms difcil que el deci-

mal, es el que usamos actualmente para medir el tiempo

y los ngulos.

En este bloqueaprenders a:Resolver problemas

que implican efectuar sumas,

restas, multiplicaciones

y/o divisiones de nmeros

con signo. Justificar la suma de los ngulos

internos de cualquier tringulo

o cuadriltero.

Resolver problemas de conteo

mediante clculos numricos.

Resolver problemas

de valor faltante considerando

ms de dos conjuntos

de cantidades.

Interpretar y construir polgonos

de frecuencia.

BLOQUE 1

Torred

elRelojdelPalaciodeWestminster(Big

Ben),enLondres,Inglaterra.


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16

Sugerencias didcticasComo se trata de los primeros acercamientos que el alumno tiene con

los nmeros negativos, sugerimos utilizar al mximo la recta numrica

haciendo nfasis en que siempre que se sume un nmero negativo, elavance en dicha recta ser hacia la izquierda; esto ayudar al alumno a

visualizar las operaciones con este tipo de nmeros.

Para que se familiarice con el uso de las rectas numricas, podr

elaborar en su cuaderno una serie y representar en ellas las operaciones

del ejercicio 3.

Es muy importante que quede claro el significado de multiplicar

un nmero negativo por un positivo: sugerimos hacer nfasis en la

informacin del rectngulo 2, recalcando la siguiente igualdad:5a= 5(a)

En el ejercicio 5 es importante aclarar que el cero es el nico nmero

que no tiene signo, y que al multiplicar cualquier nmero por (1)

deber cambiar su signo.

Finalmente, en el ejercicio 6 se uti lizarn tres factores en la

multiplicacin; para ello ser necesario hacer mencin de lapropiedadasociativade la multiplicacin.

10

1

Leccin 1

10

16 14 1210 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

24 21 18 15 12 369 0 3 6 9 12

16 12 30

12 8 15

8 4 0

4 0 15 0 4 30

4 8

8

12

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18

3

3 x 6 = 18

( 4) + ( 4) + ( 4) + ( 4) + ( 4) = 20

( 4) x 5 20 4

16


17/82

17

11

2

3

4

5

6

7

11

1.1.

Resolverproblemasqueimpliqu

enmultiplicacionesydivisionesdenmeroscon

signo.

18 y 17

40 40

45 45

6 6

0 0

7 . 5 7 . 5

negativo

cero

negativo

(2) ( 12 ); (6) ( 4); (3) (8)(5) (175); (25) (35); (7) (125)

( 19) ( 2 )13 y 13

Valoracin del desempeo Familiarizarse con los nmeros negativos.

Aprender a multiplicar nmeros de distinto signo.

Comprender la importancia de la conmutatividad y asociatividad dela multiplicacin de nmeros enteros.

Otros recursosPara apoyar el estudio de las operaciones con nmeros enteros le

recomendamos visitar el siguiente sitio:

http://www.mamutmatematicas.com/lecciones/sumar_restar_enteros.

php

17


18/82


19/82

19

13

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

(3,9)

1234 2 3 4

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

y

x

1.1.


enmultiplicacionesydivisionesden

merosconsigno.

15 8 ab

15 7 ab

3

9

5 a 1

5 a 1

positivo

negativo

+

+

Valoracin del desempeo Aprender que el producto de dos nmeros con signos iguales es

positivo, y que el producto de dos nmeros con signos diferentes es

negativo. Con base en una regla de correspondencia, ser capaz de sustituir

y operar con nmeros de cualquier signo sin que la notacin lo

confunda.

Manejar sin dificultad la nueva notacin abreviada para el producto.

Otros recursosPara tener ms herramientas didcticas sobre el manejo de

multiplicaciones con nmeros de distinto signo, puede consultar lasiguiente pgina:

http://www.mamutmatematicas.com/lecciones/sumar_restar_enteros.

php

19


20/82

20

14

Leccin 3

1

2

3

4

280 120

4800 2500

1 4

6 24

120 120

0 8

(5) (5) (4) (2) (3) (1) = 600

(5) (5) (4) (2) (3) (1) = 600

el nmero de factores negativos

es par

el nmero de factores negativos

es impar

algn factor es cero

Sugerencias didcticasA partir del ejercicio 3 sugerimos la elaboracin de la siguiente tabla:

Nmero de factores con signo negativo Signo del resultadoPar Positivo

Impar Negativo

En esta parte se pretende que el alumno aprenda a traducir el lenguaje

coloquial de suma y producto a un lenguaje algebraico, para esto es

conveniente que elabore una tabla de ecuaciones como se muestra a

continuacin:

El producto dedos nmeros

La suma de dosnmeros

El producto de dos nmeros msotro nmero

x y x +y xy +z

Esta tabla permitir al alumno obser var la traduccin del lenguaje, de

este modo comenzar a abstraer y ver la utilidad de una ecuacin en la

solucin de un problema.

20


21/82

21

15

5

6

7

ColumnaA

(x)

ColumnaB

(y)

3 15

2

1

0

1

2 2 10

1.1.


enmultiplicacionesydivisionesden

merosconsigno.

120

10

5

0

5

multiplicar x por (5)

5x

(3) (10) (1); (15) (2) (1); (3) (5) (2)

9 y 9

4, 5, 6

50

150

100

120

Valoracin del desempeo Manejar con absoluta fluidez la multiplicacin de nmeros enteros

(positivos o negativos).

Primeros planteamientos de expresiones con lenguaje algebraico. Poder inferir mentalmente los resultados de operaciones con

nmeros enteros.

Aprender a identificar nmeros consecutivos y nmeros simtricos.

Otros recursosPara apoyar el estudio de las operaciones con un lenguaje algebraico le


http://www.vadenumeros.es/tercero/problemas-primer-grado.htm

21


22/82

22

16

Leccin 4

1

2

Multiplicacin en la que falta un factor Divisin que cor responde

a) (7)( )14 (14)(7)

b)

c)

d)

e) 1 ( )13 (13)1

f)

g)

h)

3

4

su nmero simtrico

2 2

23 23

13 13

13 a

2 2

(7) (2) = 14 14 (7) = 2

(23) (15) = 345 345 (15) = 23

(23) (15) = 345 345 15 = 23

13 13 (1) (13) = 13 (13) (1) = 13

( 1 ) (13) = 13 (13) ( 1 ) = 13

(5) (9) = 59 5a (5) = a

positivo

negativoel mismo nmero

Sugerencias didcticasNuevamente conviene que el alumno elabore una tabla como la

empleada en el ejercicio 7 de la leccin 2, que corresponda con el

cocientede enteros con diferentes signos. Podr comparar ambas tablaspara que observe que se trata de las mismas reglas, incluyendo aquella

en la que al dividir cualquier nmero por (-1), el resultado ser uno

negativo.

+

+ +

+

Es muy importante que en el ejercicio 7 se haga nfasis en el orden

de las operaciones, recalcando que cuando se altera dicho orden los

resultados cambiarn. Por ejemplo, en el inciso e):

2 6 4 30 = 12/4 30 = 3 30 = 27 correcto

2 6 4 30 = 12 4 30 = 12 26 = 14 incorrecto

Finalmente, en el ejercicio 9 es conveniente estimular al alumno para

que plantee ecuaciones (aunque an no sepa resolverlas), manejando

los nmeros desconocidos como incgnitas xy y, de manera quecomience a familiarizarse con el lenguaje algebraico. Como ejemplo

utilizaremos el inciso a):

x+y= 1 (x) (y) = 156

22

cero


23/82

23

17

5

6

7

8

9

10

1.1.

Resolverproblemasqueimpliquenmultiplicacionesydivisionesden

merosconsigno.

13; 12

12; 3

12; 2

(5) + (5) + (5); 25 + (40); (3) + (12)

20 (10); 10 (20); 50 60

(2) (10); (2) (2) (5); (1) (20)

24 (3); (8) (1); (16) (2)

30

_

30 = 1 4

9_3

= 3 5

4_8

= 1_2

27

Valoracin del desempeo Aprender que el cociente de dos nmeros con signos iguales es

positivo y que el cociente de dos nmeros con signos diferentes es

negativo. Poder resolver de manera correcta, clara y sin confusin divisiones

de nmeros combinadas con otras operaciones como suma,

producto o sustraccin.

Planteamiento de expresiones en lenguaje algebraico.

Otros recursosPara conocer ms sobre el tema, lo invitamos a visitar la siguiente

direccin electrnica:http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/division_enteros.

pdf

23


24/82

24

18

Leccin 5

1

2

D L

1

8

15

22

29

7

14

21

28

6

13

20

27

2

9

16

23

30

3

10

17

24

31

4

11

18

25

5

12

19

26

M M J V S

x = 4 5

11 12

Resolver la ecuacin 4x + 16 = 32

Sugerencias didcticasEl ejercicio 1 es de suma importancia, ya que estimula al alumno

mediante el juego a plantear expresiones algebraicas simples. Invitamos

al profesor a que utilice este tipo de ejercicios para promover en losalumnos la abstraccin matemtica.

Los alumnos podrn notar que trabajar con expresiones algebraicas

es ms fcil de lo que se imaginan.

24


25/82

25

19

3

4

5

1.2.

Resolverproblemasqueimpliq

uenadicinysustraccindeexpresio

nesalgebraicas.

Es verdad pues si ese problema lo planteamos con la siguiente ecuacin

x + 2x + 3x = 6x el resultado da un mltiplo de 6 siempre.

x + 1

x + 7

x + 8

=4x + 16 = 32 =4x = 16 =x = 4x + 1 x + 7 x + 8

x 8 x 7

x 1

x 1 x 7 x 8

4x 16 = 32 =4x = 48 =x = 12

12

Valoracin del desempeo Manejar de manera fluida el planteamiento de expresiones

algebraicas.

Distinguir los elementos de una expresin algebraica y comenzara operar con ellas, as como lo hizo con los nmeros enteros en las

lecciones anteriores.

Otros recursosComo apoyo en el planteamiento de expresiones algebraicas, le

recomendamos que visite el siguiente sitio:

http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas24.htm

25


26/82

26

20

Leccin 6

1

2

3

m + 2n + p

8u

3t + 4u

2m + 4p + 2n

2m + 2p 2n + 2p

84 98

53

Sugerencias didcticasSugerimos que el alumno elabore en su cuaderno el cuadrado no

mgico con las mismas expresiones algebraicas, pero que stas cambien

de casilla; y que realice las sumas de cada fila, columna o diagonal paraque practique la simplificacin de trminos.

Tambin es conveniente sustituir en el ejercicio 5 otros valores para

a, by c, ya que este ejemplo le permitir ejercitarse en las sustituciones.

26


27/82

27

21

4

5

6

7

1.2.



nesalgebraicas.

3z + 2

3a

3

1 0 4

6 1 4

2 2 3

2z + 1

Valoracin del desempeo Aprender a simplificar (sumar y restar) expresiones algebraicas.

Aprender a darle valor a cada incgnita a travs de la sustitucin.

Otros recursosPuede consultar la siguiente pgina electrnica para obtener ms

informacin sobre los cuadrados mgicos:

http://www.geocities.com/problemasyexperimentos/cap22em.html

27


28/82


29/82

29

23

6

7

8

9

n1 n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11n

20

n1 n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11n

75

n1 n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11n

635

n1 n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11n

1775

1.2.



nesalgebraicas.

10n + 45

29

84

626

1766

S

Usando la frmula del ejercicio 6 intentaremos encontrar el valor de n;

10n + 45 = 145845 =10n = 145845 45 = 145800 por lo tanto n debe valer 14580

No

Nuevamente haciendo uso de la frmula vemos que no existe n que

satisfaga la ecuacin 10n = 24305

Valoracin del desempeo Observar la importancia del planteamiento de una ecuacin para

resolver un problema.

Comprender el papel que juega una incgnita dentro de unaecuacin.

Realizar primeros despejes sencillos.

Otros recursosEn la siguiente pgina electrnica encontrar ms ejemplos sobre

igualdades y despejes:

http://matematicas-nestor.blogspot.com/2008/01/igualdades-y-

despejes.html

29


30/82

30

24

Leccin 8

1

2

3

multiplicar un nmero por dos

sumarle a un nmero dos

multiplicar un nmero por s mismo

d

a

e

b

f

c

Sugerencias didcticasDebemos prestar especial atencin para que en esta leccin ya no quede

ninguna duda sobre la manera de sumar y restar expresiones algebraicas,

para ello los ejercicios 1, 2 y 6 son muy formativos.

El ejercicio 5 requiere de un grado ms alto de abstraccin, de manera

que ayudar a su solucin dibujar en el pizarrn un rectngulo dividido

en cuatro y hacerle las anotaciones que se muestran en la figura:

a/2

b/2

Como podemos observar, las expresiones buscadas en este ejercicio

involucran fracciones, de modo que es importante recalcar que no

existe diferencia entre las operaciones de fracciones algebraicas y las de

fracciones numricas.

Por ejemplo, expresiones como la siguiente:

(a) (b) [ (a/2) (b/2) ] = (a) (b) (a) (b) /4 =3

_

4(ab)

suelen confundir al alumno que tiene deficiencias en el manejo de

quebrados. Quiz aqu sea conveniente hacer un recordatorio sobre el

tema, o bien encargar una tarea con la que recuerde cmo se realizan

las operaciones bsicas de fracciones, de lo contrario esto detendr el

avance en los objetivos de esta leccin.

30


31/82

31

25

4

5

6

1.3.

Reconoceryobtenerexpresion

esalgebraicasequivalentesapartird

elempleodemodelosgeomtricos.

c

a

e

b

f

d

ab (a_2

b_

2)

(b a_2)+a

_

2

3(a_2

b_

2)

3_

4ab

3

_

4ab

3

_

4ab

a + b

2x + 4

3x + 15

6b

Valoracin del desempeo Aprender a distinguir las expresiones algebraicas.

Aprender a simplificar expresiones algebraicas con una o mas

literales. Manejar expresiones algebraicas que involucren fracciones.

Otros recursosUsted encontrar ms ejercicios de fracciones algebraicas en el siguiente

sitio:


31


32/82

32

26

Leccin 9

1

2

3

n 2

n2

(n + n) y (2n)

(n + n) y (2n+ n)

3n

2+ n

n n2

2x + 4

2x+4

2x+

4

3x 3x

6

6

Sugerencias didcticasEl objetivo de esta leccin es que el alumno sepa distinguir con claridad

expresiones algebraicas que slo parezcan representar lo mismo, tales

como:n 2 2 n

Una manera de que el profesor se cerciore de que el alumno

comprende el tema, es realizar un dictado de expresiones algebraicas

que pudieran confundirlo. Aunque implique tiempo, ser mejor que el

objetivo est cumplido, de lo contrario, el alumno ir acumulando una

serie de errores algebraicos que ms adelante le impedirn resolver una

ecuacin.

Los ejercicios 4 y 5 invitan a continuar con la prctica de los

despejes, de modo que es importante sugerir al alumno que se esfuerce

por hacerlos en lugar de intentar obtener las respuestas mentalmente.

El ejercicio 6 es muy til para aumentar el nivel de abstraccin de

los estudiantes, y adems permite hacer uso de multiplicaciones que

involucran dos expresiones algebraicas. Sugerimos que se le muestre

de manera introductoria cmo efectuar dichas operaciones (leyes de

los exponentes para la multiplicacin), aun cuando dicho tema ser

retomado con mayor profundidad.

32


33/82

33

27

4

5

6

7

yy

c c

1.3.

Reconoceryobtenerexpresion

esalgebraicasequivalentesapartird

elempleodemodelosgeomtricos.

2cy + ( b ) (a c)

5r 4

p + 2

kp

2p

x2 +5

+2 x3

2ay + (b 2y) (a c)

ab (b 2y) ( c )

Valoracin del desempeo Planteamiento de igualdades de las que resultarn ecuaciones de

primer grado con una incgnita.

Solucin de las ecuaciones mediante despejes. Multiplicacin de expresiones algebraicas con ms de un trmino.

Otros recursosPara apoyar el estudio del planteamiento y solucin de ecuaciones con

una sola incgnita, le recomendamos visitar el siguiente sitio:


3 (p + 2) = 2p + 5

3p + 6 = 2p + 5

p = 1

33


34/82

34

28

Leccin 10

1

2

3

4

30 160 240 300

90 180 270 360

60 210 150 330

Sugerencias didcticasSugerimos que se estimule al alumno en la deduccin mentalmente del

valor de los ngulos que forman las manecillas de los relojes, partiendo

de que el ngulo completo de cualquier circunferencia mide 360 grados.Por lo tanto, si se quiere obtener el valor de cada hora en ngulos, se

har una divisin de 360 24, recalcando que los ngulos positivos

se miden en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si el alumno

es capaz de hacer tales deducciones, entonces estar preparado para el

ejercicio 6.

A partir del ejercicio 5, es importante que el alumno note que una

propiedad fundamental de los ngulos es que no importa el tamao

de las rectas que los comprenden; en otras palabras, los ngulos de

cualquier figura son un invariantede su tamao. Esto se utilizar en el

tema de proporcionalidad.

34


35/82

35

29

5

6

ngulo A ngulo B ngulo C ngulo D ngulo E

Estimacin

Medida

A B C

D

E

1.4.


uenreconocer,estimarymedirngu

los.

ninguno ninguno

150 150 150 150

nada

no

35 80 100 210 350

30 85 115 225 343

Valoracin del desempeo Aprender el concepto de vrtice, lado de un ngulo y cmo se miden

stos.

Que sea capaz de comprender que la medida de los ngulos es

independiente a la medida de sus lados.

Aprender el uso del transportador y la medicin de ngulos

dividiendo el permetro de una circunferencia en partes iguales,

partiendo de que el ngulo completo mide 360 grados.

Otros recursosPuede encontrar una explicacin ms profunda sobre la medicin

angular en la siguiente pgina electrnica:

35


36/82

36

Sugerencias didcticasEn esta leccin debemos tener especial cuidado en observar que el

estudiante haya entendido que con las escuadras no se puede trazar

cualquier ngulo; para esto sugerimos pedirle que en su cuaderno

intente dibujar determinados ngulos empleando dichos instrumentos,

por ejemplo, uno de 10 grados.

En el caso del ejercicio 6, es conveniente que trasporte diversos

ngulos en su cuaderno aplicando el procedimiento mostrado.

Tambin sugerimos hacer nfasis en la importancia y la uti lidad

que tiene este mtodo, ya que a partir de un ngulo dado, puede

ser transportado haciendo uso del comps, forma muy distinta de

la empleada con las escuadras. Tal comparacin elevar el nivel de

abstraccin geomtrico del alumno.

Al profesor le resultar muy interesante narrar a los alumnos que

este mtodo proviene de la Escuela Euclidiana de la cultura griega, de

modo que es un pilar histrico en el desarrollo de la geometra y que

hasta la fecha no hay otro procedimiento manual que nos proporcione

los mismos resultados.

30

Leccin 11

1

2

3

4

ngulo A ngulo B ngulo C nguloD

Estimacin

Medida

BA

D

C

60

90

30

90

45

45

60 130 200 260

60 120 240 255

36


37/82

37

31

5

6

7

A

C C

B A B

A B A B

1.4.

Resolverproblemasqueimpliquenreconocer,estimarymedirngu

los.

Respuesta libre

Valoracin del desempeo Aprender a trazar ngulos haciendo uso de las escuadras.

Aprender a trasportar ngulos haciendo uso nicamente del comps.

Otros recursosSi desea profundizar en el trazo de ngulos con regla y comps, le


http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/

reglaycompas/index.html

37


38/82

38

32

Leccin 12

1

2

Medida en grados 55.5 178.35 245.05

Medida en grados y minutos 35 12 35 6

3

90

45 90 4522.5

15 45 6 24

35.2 35.1

55 30 178 21 245 3

Sugerencias didcticasEl ejercicio 1 es muy interesante, ya que permite a los alumnos visualizar

de manera didctica la trasformacin que van sufriendo los ngulos a

partir de los dobleces de una figura de papel. Esto los llevar a plantearse

las siguientes preguntas:

Siempre que se doble un cuadrado a la mitad, los ngulos del

tringulo que se forman miden lo mismo? Si no, existe alguna manera

de doblarlo para que as suceda?

Como en esta leccin se trabajar con los ngulos de algunos

polgonos, sugerimos al inicio pedir a los estudiantes que en su

cuaderno construyan algunos partiendo de una circunferencia, y midan

sus ngulos internos de forma deductiva, sin el uso el transportador.

Esto los llevar a construir las propiedades de los ngulos interiores de

figuras geomtricas esenciales como el tringulo, cuya suma de ngulos

debe ser 180, o las del cuadrado, en el que los ngulos suman 360

grados.

Finalmente es conveniente proponerles ms ejemplos de cmo

convertir grados a minutos y viceversa, para que este proceso de

transformacin quede claro, ya que en su vida cotidiana ser muy til.

38

45


39/82

39

33

4

5

1.4.

Resolverproblemasqueimpliquenreconocer,estimarymedirngu

los.

7 30

45

90

4522.5

30 22 30

360

360

120 120

60 60

Valoracin del desempeo A partir de un ngulo dado, dividido en ciertas partes, poder deducir

sin el uso del transportador la medida de los ngulos resultantes.

Repasar las propiedades de los ngulos interiores de ciertas figuras

geomtricas.

Aprender la conversin de grados a minutos y viceversa.

Otros recursosPuede encontrar una explicacin ms profunda sobre la medicin

angular en la siguiente pgina electrnica:

http://personal.iddeo.es/romeroa/gravedad/angulo.htm

39


40/82

40

34

Leccin 13

1

2

Paralelas Perpendiculares Oblicuas

Oriente1

Oriente 3

Norte

2

Norte

4

Norte

6

Oriente 5

Oriente 5

Norte 2

Norte 4

Norte 4

Oriente 3

Oriente 5

Oriente 1

Norte 6 y Oriente 5

tienen la misma direccin y no se cortan

estn cortadas por un ngulo de 90

se cortan por ngulos diferentes a 90

Sugerencias didcticasComo en esta leccin se muestra la definicin de rectas paralelas,

perpendiculares y oblicuas, sugerimos hacer nfasis en que estas

definiciones no se basan en la posicin de las rectas, es decir, no importa

si stas son horizontales, verticales, etc., sino en el ngulo que se forma

cuando stas se cortan. Para ello es necesario hacer hincapi en que

si existe alguna duda en relacin con el tipo de rectas de que se trata

debido a que el corte no es visible, pueden extenderse las rectas en la

misma direccin, de manera que sea visible el ngulo en el punto de

corte.

40


41/82

41

35

3

4

Dos rectas son paralelas

solamente si

Dos rectas son perpendiculares

solamente si

Dos rectas son oblicuas

solamente si

ambas son horizontales

o ambas son verticales.

una est en posicin vertical y la

otra en posicin horizontal.

se cortan formando un ngulo

de 60.

5

6

7

1.5.

Determinarposicionesrelativasdedosrectasenelplano.

150

30

Las rectas perpendiculares son aquellas que se cortan formando cuatro ngulos rectos

Las rectas paralelas son aquellas que no se cortan

Las rectas oblicuas son aquellas que se cortan formando dos ngulos agudos y dos

obtusos

Si las extendemos en la direccin en

la que estn se cortarn ya que una

recta es infinita

Valoracin del desempeo Distinguir los tres tipos de rectas: paralelas, perpendiculares y

oblicuas.

Otros recursosEn la siguiente pgina encontrar diversas ilustraciones sobre los

distintos tipos de rectas:

http://www.escolar.com/avanzado/geometria008.htm

41

i did i


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42

36

Leccin 14

1

2

3

Q

p

Q

pM N

Q

pM N

Q

M N p

rectas

perpendiculares

rectas

paralelas

Trazar una circunferencia con centro en

el punto Q y que corte a la recta en M y N

Se traza otra circunferencia con

centro en M y radio MQ

Se traza una circunferencia con centro

en N y radio NQ

Sugerencias didcticasEsta leccin es muy formativa, ya que su objetivo es que el alumno

sea capaz de trazar distintos tipos de rectas haciendo nicamente uso

del comps. Es conveniente que se le haga ver la importancia histrica

de este instrumento en la geometra, por lo tanto sugerimos que se

aproveche al mximo este mtodo pidindole que construya tringulos

rectngulos, equilteros, issceles, cuadrados, etc.

60

60 60

equilatero issceles escaleno

En el ejercicio 5 desarrollar su intuicin geomtrica y ser muy

importante que el profesor evale si el alumno fue capaz de resolverlo.

42

V l i d l d


43/82

43

37

4

5

6

Q

pM N

R

Q

pM N

R

1.5.

Determinarposicionesrelativasdedosrectasenelplano.

Llamamos R al punto donde se intersectan

las dos circunferencias anteriores

Se traza la recta QR

Se utiliza el procedimiento anterior, primerotrazando una perpendicular a AB que pasepor C y despues una perpendicular a CA yfinalmente una perpendicular a AB que cortea la recta CD

D

Respuesta libre

Se trazan las intersecciones de una circunferenciacon centro M y la recta a. A partir de dichas

intersecciones (N, Q) se abre el compsy se trazan dos circunferencias arbitrarias,estas nuevas intersecciones y el punto Mson los puntos de la perpendicularde la recta a.

Valoracin del desempeo Aprender a trazar rectas paralelas y perpendiculares a una recta, las

cuales pasan por un punto, haciendo nicamente uso de la regla y el

comps.

Otros recursosPara conocer ms acerca de los trazos con regla y comps le sugerimos

visitar la siguiente pgina electrnica:

http://www.escolar.com/avanzado/geometria008.htm

43

S g i did ti


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44

38

Leccin 15

1

2

Medidas de ngulos Se puede? Si no se puede, por qu no es posible?

135

135

45

45

105

10575

75

S

No

No

S

Si dos de los ngulos miden 90 los otros

dos tambin deben medir 90La suma de dos ngulos continuos debe

ser 180 y 30 + 120 180

4

60; 120; 60; 120

Sugerencias didcticasEsta leccin es de gran trascendencia, ya que haciendo uso de

deducciones lgicas, el alumno ser capaz de inferir el valor de diversos

ngulos sin necesidad de medirlos con el transportador. Por tal razn,

invitamos al profesor a que formule en clase las siguientes preguntas:

Por qu los ngulos opuestos por el vrtice resultan iguales?

Siempre que dos ngulos sean iguales sern opuestos por el vrtice?

Cul es la propiedad de los ngulos adyacentes?

Adems sugerimos que realice los siguientes dibujos en el pizarrn:

A D

B C0

AOB y CODSon opuestospor el vtice

A D

CB0

AOB CODyNo son opuestos

por el vrtice

A D

B C0'

500

50

AOB y CO'DNo son opuestos

por el vrtice

44

Valoracin del desempeo


45/82

45

39

3

4

Los ngulos opuestos por el vrtice son aquellos

ngulos que miden lo mismo.

Los ngulos opuestos por el vrtice son aquellos

ngulos que tienen el mismo vrtice y un lado

comn.

5

2

4

1

3

6

8

5

7

10

12

9

11

1.5.

Reconocerngulosopuestos

porelvrtice

y

adyacentes.

A

B

C

V

2 y 4 6 y 8 5 y 7 9 y 11

Son iguales

Son los ngulos

Valoracin del desempeo Aprender el concepto de ngulos opuestos por el vrtice y ngulos

adyacentes.

A partir de dichos conceptos, poder calcular el valor de ciertos

ngulos sin su medicin directa.

Otros recursosPara profundizar ms acerca del tema, le sugerimos visitar el siguiente

sitio:

http://www.mat.usach.cl/Memorias/LEMC/Diccionario/Angulos_

Opuestos_por_el_Vertice.html

45

Leccin 16 Sugerencias didcticas


46/82

46

40

Leccin 16

1

2

3

2

1

2

1

12

1

2

2

1

21

Sugerencias didcticasEn esta leccin sugerimos hacer nfasis en las propiedades de los

ngulos adyacentes, ya que precisamente estas propiedades guiarn

a los alumnos en la resolucin de los ejercicios 4 y 5, sin ayuda del

transportador.

46

4 Valoracin del desempeo


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47

41

4

5

6

2

4

1

3

65

30

1.5.

Reconocerngulosopuestos

porelvrtice

y

adyacentes.

ngulos 2 y 3

ngulo 2 mide 105

y el ngulo 3

mide 75

ngulos 1 y 4

ngulo 1 mide 75

y el ngulo 4

mide 105

ngulos 3 y 4

ngulo 3 mide 75

y el ngulo 4

mide 105

En todas las parejas un ngulo mide 75 y el otro 105 de modo que ambos suman 180

60, 120, 60, 120

115

65

115

150

30150

Valoracin del desempeo Poner en prctica las propiedades de ngulos opuestos por el vrtice

y ngulos adyacentes para resolver los ejercicios sin hacer uso del

transportador.

Otros recursosEn la siguiente pgina electrnica usted encontrar ms informacin

sobrengulos opuestos por el vrtice y ngulos adyacentes:

http://enciclopedia.us.es/index.php/%C3%81ngulos_opuestos_por_

el_v%C3%A9rtice

47


48/82

3 Se llama ngulos alternos internosa los que estn ubicados por


49/82

49

43

3

4

5

6

7

x

z

60

150

95

3xx

1.6.

Establecerrelacionesentrelo

sngulosqueseformanenunsistem

adeparalelascortadasporunatrans

versal.

180

120

iguales

120

El ngulo de 60 es el correspondiente del ngulo y =y = 60 y como el ngulo y

ms x suman 180 entonces el ngulo x mide 120

30150

150 3015030 30

85

9595

85

85

85

95

13545 45135 135

45

3x + x = 180

4x = 180 x =

180

_

4

x = 45

dentro de las rectas y a distinto lado de la secante. De esta manera, son

ngulos alternos internos los pares de ngulos 3-5 y 4-6.

En el caso de rectas paralelas cortadas por una secante, se verifica

que los ngulos correspondientes son de igual medida, al igual que losngulos alternos internos y alternos externos. En resumen, para el caso

de rectas paralelas cortadas por una secante, los ngulos 1-3-5-7 son

iguales entre s, del mismo modo que los ngulos 2-4-6-8.

Valoracin del desempeo Ser capaz de distinguir los ngulos correspondientes en un sistema

de rectas paralelas cortadas por una secante.

Ser capaz de deducir el valor de ngulos mediante las propiedadesdel sistema y con el planteamiento de una ecuacin.

Otros recursosComo apoyo para el tratamiento de este tema lo invitamos a visitar el

siguiente sitio:

http://www.mat.usach.cl/Memorias/LEMC/Diccionario/Angulos_

Formados_por_2_Rectas_y_1_Secante.html

y

49



50/82

50

44

1

2

3

diferente

entre las dos rectas

Son aquellas que se encuentran en diferente lado de la transversal y en el interior de

las dos rectas

a

ba

ba

b

alternos externos

No Que deben ser paralelas para que se d la igualdad

gDado que las siguientes tres lecciones estarn encaminadas a conocer

y obtener ms propiedades del valor de los ngulos en un sistema de

rectas paralelas cortadas por una transversal, es muy importante que el

alumno no confunda los diversos tipos de ngulos. Para esto sugerimos

que cada uno elabore el sistema en una cartulina, con colores distintos,

y nombre cada ngulo como se muestra en la siguiente figura:

a b

c d

e f

g h

Lo ms importante de estas lecciones no es aprenderse de memoria

los nombres de los ngulos sino saber usar sus propiedades, ya que stas

le permitirn deducir el valor de los ngulos de figuras geomtricas, y

todo esto sin hacer uso del transportador.

El profesor puede hablar sobre la importancia de los procesos

mentales llamados deduccin e induccin, fundamentales en el

desarrollo de la matemtica. Estos ejemplos con ngulos son muy ricos

para mostrar este tipo de razonamientos.

50



51/82

51

45

5

6

a

bc

r2

r1

mr1

r2n

t2t1

r1

r2

c ei

d f

j h

1.6.

Establecerrelacionesentrelo

sngulosqueseformanenunsistem

adeparalelascortadasporunatransversal.

opuestos por elvrticecorrespondientes

iguales

Los ngulos m y n son alternos externos por

tanto miden lo mismo, pero n y L son opuestos

por el vrtice, por lo tanto iguales y como L es

correspondiente a m entonces ocurre que m y n

son iguales a L, por lo tanto son iguales entre s.

L

t1

t2

t2

t1

p Distinguir ngulos alternos externos y alternos internos en un

sistema de rectas paralelas cortadas por una transversal, as como

el uso de sus propiedades para calcular de maneradeductiva(sin el

empleo del transportador) el valor de todos los ngulos a partir deuno dado.

Otros recursosUsted encontrar ms informacin acerca del tema en la siguiente

pgina electrnica:

http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso2/

htmlb/SEC_55.HTM

51



52/82

52

46

1

r1

r2

ed

a cb

cb

a

verdes

azul

caf

caf

180

alternos internos

alternos internos

180

a b c 180

Dado que la malla dibujada en el ejercicio 1 puede confundir al alumno,

es necesario que el profesor revise que las respuestas acerca del tipo

de ngulo correspondan con el sistema de rectas paralelas que se est

tomando como referencia dentro de la malla, pues existen ms de dos.

El ejercicio 3 aborda no slo una propiedad angular caracterstica de

los tringulos, sino que de manera indirecta gua al alumno hacia lo que

es una demostracin matemtica por lo tanto, invitamos al profesor a

hacer hincapi en esto, ya que si el alumno se percata de tal importancia,

no tendr dificultades para resolver el ejercicio 4, adems de que su

intuicin geomtrica tendr un interesante avance.

52



53/82

53

47

3

4

5

x

zy y

xz

a

b c a ab c

1.6.

Justificarlasrelacionesentre

lasmedidasdelosngulosinteriores

detringulos.

No es posible ya que una vez trazados los lados de ngulos 60 y 30 el punto donde

se intersectan dichos lados es un vrtice de 9060

30 60 90

en 2

180

360

Que quede claro por qu la suma de los ngulos de cualquier

tringulo es 180 grados.

Que el alumno sea capaz de visualizar que la demostracin de tal

resultado se dedujo gracias a las propiedades de los ngulos que seestuvieron trabajando en lecciones anteriores.

Otros recursosUsted encontrar ms informacin acerca del tema en la siguiente

pgina electrnica:

http://matematicasies.com/spip.php?article268

53

Leccin 20 Sugerencias didcticasEl l b l b d d d l l


54/82

54

48

1

r1

r2

t2

t1

e

f

d

a

c

b

iguales

iguales

suman 180

suman 180

360

alternos internos

correspondientes

iguales

El ejercicio 1 engloba los conceptos trabajados desde la leccin 10, por

lo tanto es importante cerciorarse de que el alumno est capacitado

para responder con fluidez a todas las preguntas planteadas. En caso

contario, sugerimos al profesor que aclare las dudas ms frecuentes yenfatice la relacin existente en los ngulos.

54

Valoracin del desempeoQ l l d i li l i d d l d


55/82

55

49

2

3

4

1.6.

Justificarlasrelacionesentre

lasmedidasdelosngulosinteriores

deparalelogramos.

180 complementarios

correspondientes

180

Por ser alternos internos

< e + < c = 180 por ser complementarios< e = < d por ser correspondientes entonces < d + < c = 180

Es igual a 360 pues gracias a los clculos anteriores

< a + < b = 180 = < d + < c entonces < a + < b + < d + < c = 360

S S S

Que el alumno sea capaz de visualizar la propiedad angular de

cualquier paralelogramo: la suma de sus ngulos interiores es 360

grados.

Otros recursosComo apoyo en el estudio de este tema le recomendamos visitar el

siguiente sitio:

http://personal5.iddeo.es/ztt/For/F7_Triangulos.htm

55

Leccin 21Sugerencias didcticasComo en esta leccin se trabajar con factores de escala que


56/82

56

50

1

2

a b

e

d

c

Como en esta leccin se trabajar con factores de escala que

involucrarn operaciones con fracciones, sugerimos hacer un breve

repaso de cmo trabajar con tales nmeros, ya que generalmente al

alumno se le dificultan este tipo de operaciones.Es muy importante que se pueda visualizar el concepto de factor

de escala. El profesor puede hacer nfasis en por qu cuando se aplican

varios factores de escala el resultado final es una multiplicacin. As

tambin consideramos buen momento para que emplee como ejemplo

especial el factor de escala 1, y realice el siguiente cuadro en el pizarrn:

Factor de escala menor a 1 Disminuye el tamao de la figura

Factor de escala 1 La figura no cambia de tamaoFactor de escala mayor a 1 Aumenta el tamao de la figura

El ejercicio 1, adems de desarrollar la intuicin geomtrica del

alumno, lo ayudar a relacionar el factor de escala con el tamao de una

figura geomtrica, lo cual aumentar su grado de abstraccin.

56

3

2_3

Valoracin del desempeo Aprender el concepto de factor de escala y a manejarlo sin importar


57/82

57

51

4

5

Dibujo A1

Dibujo A4

Dibujo A5

Lado a 3

Lado b 6

Lado c 9

Lado d 18

Lado e 2

1.7.

Determinarelfactordeprop

orcionalidadinverso;componerydescomponerfactores.

A5 porque el factor de escala

es 2_3

que es menor a 1.

1 2

2 4

3 6

6 12

2_3

4

_

3

6 1_

6

1_

4

1_

55 2

4

12

_3

n_

m

m_

n

Aprender el concepto de factor de escala y a manejarlo sin importar

el tipo de nmero que sea, y tener claro que dependiendo del valor

de ste, la figura aumentar o disminuir de tamao.

Que el producto de los factores de escala dan el factor del resultadofinal.

Otros recursosEn la siguiente pgina electrnica puede obtener ms informacin

acerca de los factores de escala:

http://www.keymath.com/documents/dg4/GP_Spanish/DG4GP_

SPN_11.pdf

57

Leccin 22Sugerencias didcticasEn esta leccin se pretende que el alumno, mediante el razonamiento


58/82

58

52

1

2

Figura B1

Figura B2

Lado a 4

Ladob 1

Ladoc 8

Ladod 3

Figura C1

Figura C2

Ladoa

2

Ladob 6

Ladoc 8

Ladod 4

Ladoe 10

a

b

c

de

Figura C2

1

2

1_4

3_

4

1_

4

C1 porque el factor de

escala es menor que 1

515

20

10

25

En esta leccin se pretende que el alumno, mediante el razonamiento

aprendido en la anterior, sea capaz de inferir el valor de los lados de

una figura a partir de conocer los lados aumentados o disminuidos por

un cierto factor de escala. Es importante que el profesor estimule elrazonamiento del alumno para que pueda llegar al concepto de factor

recproco.

58

3

Valoracin del desempeo Comprender el significado de un factor de escala fraccionario, as


59/82

59

53

Figura C1

Figura C2

Lado a 2

Ladob 6

Ladoc 8

Ladod 4

Ladoe 10

Figura

1

Figura

2

Figura

3

Figura

1

Figura

2

Figura

3

1.7.


orcionalidadinverso;componerydescomponerfactores.

4

5

6

5 1

15 3

20 4

10 2

25 5

x5 x1_

2

x5_

2

x 1_

4 x 1_

8

x 1_7

x 1_5

x4_7 x8_

5

x7 x5

x8x4

m

_n

1_

2

ac

_

bd

igual

no cambia de tamao

la figura.

p g ,

como aprender a manejar el concepto de factor recproco.

Interpretar los cambios que sufre una figura de acuerdo con factor de

escala a travs de la informacin numrica.

Otros recursosEn la siguiente pgina electrnica puede obtener ms informacin

acerca de los factores de escala:

http://www.keymath.com/documents/dg4/GP_Spanish/DG4GP_

SPN_11.pdf

59


60/82

Valoracin del desempeo

Comprender el significado de un factor de proporcionalidad y su uso


61/82

61

55

3

Maz

(m)

Harina

(h)

Masa

(M)

Tortillas

(t)

5 kg 3 kg

2 kg 5 kg

10 kg 7 kg

4

h m M h t M

m h h M M t

t m m t

5

6

1.7.


orcionalidadinverso;componeryde

scomponerfactores.

x 1.05

x 7_10

x2_

5 x 10

_

7

x20_21

3_

5

5_

3

5_

2

2_

5

7_

10

10

_

7

20

_

21

1.05

10_3

kg

20_

3 kg 4 kg

( 21_20

)x 50 = 52.5 kg(20_

21)x 42 = 40 kg

en el planteamiento de ecuaciones simples.

Sustituir en las frmulas los datos que se tienen para encontrar el

valor de las incgnitas, y resolver diversos tipos de problemas deproporcionalidad.

Otros recursosPuede encontrar ms ejemplos al respecto en la siguiente bibliografa:

Charles Smith.lgebra, Addison-Wesley Iberoamericana. Mxico, 1992.

7.5 kg 5.25 kg

3.5 kg

61

Leccin 24Sugerencias didcticasEn esta leccin, mas all de que el alumno sea capaz de obtener los


62/82

62

56

1

2

3

Precio sin IVA IVA(15%) Precio con IVA

Suter $325.00

Pantaln $299.00

Camisa $30.00

Saco $1035.00

Precio sin IVA IVA(15%) Precio con IVA

Suter $325.00

Pantaln $299.00

Camisa $30.00

Saco $1035.00

100

115

$48.75 $373.75

$44.85 $343.85

$200 $230.00

$900 $135.00

x 1.15

x .15

$48.75 $373.75

$44.85 $343.85

$200 $230.00

$900 $135.00

100_15

porcentajes mediante una regla se tres, es conveniente promover un

razonamiento guiado hacia el por qu de dicha frmula, haciendo

referencia al tema de las proporciones visto en las lecciones anteriores.Por ejemplo, mostrarles que obtener 15% de una cantidad no slo es

multiplicarla por .15; lo que est detrs es dividir el total en 100 partes

iguales y posteriormente tomar 15 de estas partes.

De este modo, obtener los factores inversos de proporcionalidad le

ser ms fcil de comprender.

62

4

Valoracin del desempeo Aprender a obtener porcentajes y manejar las operaciones que hay

d d di h l l


63/82

63

57

5

6

7

8

1.7.


orcionalidadinverso;componeryde

scomponerfactores.

0.15

1.15

1_

1.15

$207.00

$321.74

0.12, 1.12,100

_

12 ,

100

_

112

$33 750.00

$12 000

0.4

8750

x 0.4

10

_

4

x 0.5

50.9 toneladas

detrs de dicho clculo.

Ser capaz de deducir factores de proporcionalidad.


Charles Smith. lgebra, Addison-Wesley Iberoamericana. Mxico 1992.

63

Leccin 25Sugerencias didcticasEl objetivo de esta leccin es que el alumno se familiarice con el uso de

la regla de tres que mediante los ejemplos le sea ms fcil isualizar


64/82

64

58

1

2

3

4

24 000 Litros

4 000 .

8 000 .

12 000 .

16 000 .

8 000 .

12 000 .

400 .

50 .

9 000 .

la regla de tres y que, mediante los ejemplos, le sea ms fcil visualizar

este clculo tan importante en la vida cotidiana. Para cumplir este

objetivo sugerimos que los estudiantes desglosen en su cuaderno lamanera en que obtuvieron las respuestas del ejercicio 6, por ejemplo:

8 estudiantes 4000 l. de agua 10 das

De este modo, visualizar de manera mucho ms clara el uso de la

regla de tres.

64

5

1 8 10 16 24 32 mNm. de

t di t

Valoracin del desempeo Ejercitar el uso de la regla de tres siendo capaz de distinguir cuando

un objeto es proporcional a dos magnitudes cuando una de ellas es


65/82

65

59

1

estudiante

8

estudiantes

10

estudiantes

16

estudiantes

24

estudiantes

32

estudiantes

m

estudiantes

1 da

8 das

10 das

18 das

20 das

30 das

ndas

6

m+ n+ 50 litros 50mnlitros mn+ 50 litros mnlitros

7

estudiantes

Nm. das

1.8.

Elaboraryutilizarprocedimientospararesolverproblemasdepro

porcionalidadmltiple.

50 . 400 . 500 . 800 . 1 200 . 1 600 . 50 m

400 . 3 200 . 4v000 . 6 400 . 9 600 . 12 800 . 400 m

500 . 5 000 . 8 000 . 12 000 . 16 000 . 500 m

900 . 7 200 . 9 000 . 14 400 . 21 600 . 28 800 . 900 m

1 000 . 8 000 . 10 000 . 16 000 . 24 000 . 32 000 . 1 000 m

1 500 . 1 200 . 15 000 . 24 000 . 360000 .48 000 . 1 500 m

50 n. 400 n. 500 n. 800 n. 1200 n. 1600 n. 50 mn

7 das

50 n

400 n

un objeto es proporcional a dos magnitudes cuando una de ellas es

constante.

Ser capaz de deducir frmulas que lo lleven a encontrar resultadosdeseados.


Charles Smithlgebra, Addison-Wesley Iberoamericana. Mxico 1992.

65


66/82

4

Valoracin del desempeo Distinguir y solucionar problemas de proporcionalidad mltiple o

compuesta.


67/82

67

61

2 cm 5cm cm mcm

3 cm 3mcm2

cm 50 cm2 100 cm2

15 cm 150 cm2

ncm 5n5ncm2cm2

5

6

7

Ladob

Ladoa

1.8.

Elaboraryutilizarprocedim

ientospararesolverproblemasdeproporcionalidadmltiple.

6 cm2 15 cm2 30 cm2

20 cm2 10m cm2

30 cm2 75 cm2 15m cm2

2n cm2 10n cm2 mn cm2

10

10

Aumentar en 3 uno de sus lados mientras el otro permanece constante

Cuatro

Seis veces

Duplicar uno de sus lados y el otro dejarlo constante

p

Encontrar la taza constante de crecimiento en un problema de

proporcionalidad compuesta.

Otros recursosUsted encontrar ms ejercicio sobre proporcionalidad compuesta en la

siguiente pgina:

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/magnitudes/

magnitudes_proporcionales.htm

67

Leccin 27

Sugerencias didcticasSugerimos que se le permita al alumno el uso de colores u otras tcnicas

didcticas inventadas por ellos, tales como el dibujo de banderillas,


68/82

68

62

1

2

3

4

5

10

Multiplicar el nmero de sabores por el nmero de veces que se puede cambiar cada

uno y dividir entre 2

igual

10

15

45

p j

etc., para encontrar el nmero de combinacionesen el problema 1, antes

de llegar a los diagramas de rbol, los cuales desde nuestro punto devista deben ser tomados en cuenta, ya que ilustran muy claramente

las posibilidades que se tienen para determinadas combinaciones.

Esto le permitir obtener una buena introduccin acerca del tema de

probabilidades, el cual est muy ligado al tema de las combinaciones.

Sugerimos que el profesor discuta en clase y con todo el grupo las

preguntas planteadas en el ejercicio 7.

68


69/82


70/82

5

Valoracin del desempeo Calcular el nmero de permutaciones posibles en determinado

evento.

d d d f l l ll l


71/82

71

65

6

1.9.

Anticiparresultadosenpro

blemasdeconteo.

1 Mara 1 Mara 1 Mara 1 Mara

23

4

5

P 23

4

5

P23

4

5

P

23

4

5 P


1

3

4

5

P 1

3

4

5

P

1

3

4

5

P

1

3

4

5 P


1

2

4

5

P 1

2

4

5

P

1

2

4

5

P

1

2

4

5 P


1

23

5

P 1

23

5

P

1

23

5

P

1

23

5 P


1

2

3

4

P 1

2

3

4

P

1

2

3

4

P

1

2

3

4 P

Ser capaz de deducir una frmula que los lleve a encontrar los

resultados deseados.

Otros recursosEn el siguiente sitio podr encontrar ms ejercicios sobre permutaciones

y combinaciones:

http://club.telepolis.com/ildearanda/index.html

20

71

Leccin 29

Sugerencias didcticasEstimar, medir y calcular son razonamientos muy importantes en

matemticas, ya que plasmar en una tabla ciertos datos le permite al

t di t bt l i t t j l i f i


72/82

72

66

1

Inter valo de estatura (m) Frecuencia

De 1.30 a 1.39

De 1.40 a 1.49

De 1.50 a 1.59

De 1.60 a 1.69

2

3

Intervalo de la medida del pie (cm) Frecuencia

De 20.6 a 22.5

De 22.6 a 24.5

De 24.6 a 26.5

De 26.6 a 28.5

De 28.6 a 30.5

Respuesta libre

Respuestalibre

}

}

1.50

1.59

en el cuarto

1.40 1.30 0.10

s

estudiante obtener relaciones entre stos, y manejar la informacin

mediante su agrupamiento resulta muy prctico. En esta leccin losestudiantes tienen la oportunidad de aplicar este tipo de razonamiento

capturando informacin mediante tablas como las que presentan los

ejercicios 1, 3 y 5.

72

4

5

26.6

Valoracin del desempeo Saber medir, estimar, agrupar y analizar informacin mediante el uso

de tablas de frecuencia.

Aprender el concepto de amplitud de intervalo as como las


73/82

73

67

5

Intervalo de estatura (cm) Frecuencia

De 130 a 139 3

De 140 a 149 9

De 150 a 159 8

De 160 a 169 5

De 170 a 179 1

6

1.1

0.

Interpretarycomunicarinformacinmediantetablasdedatos

agrupados.

24.52

A un vendedor de calzado

X Porque la informacin est dada por intervalo

X No se especifica

El quinto

En el segundo

151 cm

Respuesta libre

Aprender el concepto de amplitud de intervalo, as como las

nociones de promedio y frecuencia.

Otros recursosEn la siguiente pgina encontrar de manera ms profunda las

definiciones manejadas durante esta leccin:

http://club.telepolis.com/ildearanda/index.html

73


74/82


75/82


76/82


77/82

Leccin 13

Sugerencias didcticasEn los ejercicios 1al 4, el profesor puede darse cuenta del aprendizaje

del estudiante en relacin con las operaciones aritmticas (con signos

diferentes). Posteriormente ver su desempeo en el clculo de


78/82

78

7070

1

2

3

4

5

6

7

8

3x

5x+6

5x+6

3x

determinado evento, aplicando distintas formas de resolverlo; tambinpodr evaluar la identificacin de proporciones que maneja, as como el

uso correcto del lenguaje algebraico (planteamiento de ecuaciones de

primer grado).

En los ltimos ejercicios debe cerciorarse de que el estudiante ha

comprendido las propiedades de un sistema de rectas paralelas, ya que

deber calcular el valor de los ngulos formados con base en stas.

Finalmente analizar una serie de datos de los que tendr que extraer

el punto medio, la frecuencia y elaborar el polgono de frecuencias.

78

1

2p+3

4p+3

2p+28p 20

Valoracin del desempeo Evaluar si el estudiante fue capaz de responder los ejercicios

haciendo uso de los temas vistos durante el bloque 1.


79/82

79

7171

2

3

4

5

a

a+1

bx

a

x+20

(a + 1 ) ( a )

a2+ a

100 == 80

Son aquellas que en su punto de corte forman ngulos rectos ( R.L .)

Respuesta libre

Respuesta libre

Otros recursosUsted puede encontrar una cantidad mayor de ejercicios para evaluarlos contenidos de este primer bloque en la siguiente pgina electrnica:

http://www.fermatsi.org/Lecciones.htm

79

Sugerencias didcticasEsta parte es muy entretenida, ya que recoge problemas matemticos

interesantes, y los presenta de manera ldica y al alcance de los

estudiantes. El profesor puede hacer hincapi en lo difcil que fue


80/82

80

7272

frontera

no es

una frontera

Cuatro

resolver este enigma en matemticas, pero sobre todo cerciorarse de queel alumno comprendi el problema y lo estimul a investigar ms sobre

el mundo de las matemticas.

80

Valoracin del desempeo Reconocer y comprender el problema de los cuatro colores.

Otros recursos


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81

7373

73

Cuatro Dos

Dos Cuatro

Un sitio de divulgacin que aborda el problema de los cuatro colores esel siguiente:

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/

nombres/mate1o.htm

81

Y para terminar...Sugerencias didcticasSiguiendo con la parte ldica de las matemticas, esta pgina contiene

un par de juegos de adivinanzas con nmeros. Es importante que el

docente promueva en el estudiante la bsqueda de una explicacin al


82/82

82

7474

(2x + 1 ) 5 5 + y = 10x + yx = decenasy = unidades

razonamiento matemtico qu es lo que los hace funcionar.

Valoracin del desempeo Traduccin del lenguaje natural al algebraico.

Valorar la precisin, simplicidad y utilizacin del lenguaje algebraico

para representar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la

vida cotidiana.

Otros recursosUsted puede encontrar una cantidad mayor de adivinanzas matemticasen la siguiente pgina electrnica:

http://www.fermatsi.org/

82

guia 2do. año secundaria matematicas

Documents