guía 7 - regla de l'hopital

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7.1 Calcular los siguientes lmites

a)

Te habrs preguntado para qu quiero aprender a derivar? Bueno, yo tambin me lo habr

preguntado. Por el momento, nos va a servir para aplicar la regla de LHopital al resolver esta gua.

Antes de mandarnos a utilizar la regla de LHopital (vamos a abreviar LH), tenemos que

verificar que llegamos a una indeterminacin del tipo

o

. Es importante esto, porque la regla

est pensada para aplicar en esos casos.

Veamos lo que pasa:

Por lo tanto, tanto el numerador como el denominador tienden a cero. Llegaramos a una

indeterminacin del tipo

.

Por lo tanto, podemos aplicar la regla de LH.

( )

( )

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Gua 7 Anlisis matemtico (Cs Econmicas)

2014


b)

Reemplazando llegamos a una indeterminacin del tipo

. Por lo tanto, podemos aplicar LH.

Record que es fundamental verificar que se cumplan las hiptesis (cosas necesarias) para poder

aplicar los teoremas, leyes o reglas.

Reflexin: En general, como en la vida, pods usar ciertas herramientas pero antes tens

que verificar que se cumplan ciertos supuestos o hiptesis. Por ejemplo, si yo quiero usar una

picadora de carne, resulta obvio que no vamos a tratar de hacer aserrn metindole madera

porque la picadora funca con carne. Entonces, antes de meterle nada, tenemos que ver que lo que

ponemos sea carne. Lo mismo pasa con los teoremas, leyes y reglas que usamos en el ambiente de

las matemticas o las ciencias.

Volvamos al ejercicio, quedamos en que podamos aplicar LH:

( )

( )

Cuando sigas adelante, vas a ver que llegs a otra indeterminacin, vas a tener que aplicar de

nuevo la regla (s, la pods aplicar varias veces seguidas, siempre que tengas una

indeterminacin).

( )

( )

Viste? Si sos rpido derivando, aplicar LH es algo muy fcil y prctico.

c)


Fijate que el numerador es el mismo que el anterior, solo nos cambiaron un poco el denominador.

Empezamos igual que el anterior, llegamos a una indeterminacin del tipo

y podemos aplicar LH.

Ojo, por la inercia de aplicar LH no caigas en aplicarlo en todos los casos porque es un error muy

frecuente.

( )

( )

*Atencin para los que son distrados como yo: Que el numerador te de cero no significa que llegaste a una

indeterminacin del tipo

, no hay que apurarse a volver a usar LH sin estar seguro de que el denominador tambin

tienda a cero.

d)

En este caso tambin llegamos tambin a una indeterminacin del tipo

, podemos aplicar LH.

( )

( )

(

)

( )

e)

( )

(

)

(( ) )

( )

( )

(

( ) )

( )


f)

( )

( )

( )

( )

g)

( )

( ( ))

( )

h)

( )

( ( ) )

( )

. /

.

/

7.2 Calcular los siguientes lmites

a)

( )

En este caso, la indeterminacin es

. Atencin, porque no podemos aplicar LH.

Cmo resolvemos el problema? Fijate que el numerador tiene a un nmero cada vez mayor y

negativo y el denominador tiende a ser cada vez ms cercano a cero (lo que hace el cociente sea

cada vez ms grande en mdulo). Por lo tanto, la expresin ser cada vez mayor en mdulo y

negativa. Es decir, este lmite tiende a menos infinito.


b)

En este caso, nos enfrentamos a la indeterminacin

. Recordemos que este tipo de

indeterminacin se puede salvar con LH.

( )

( )

( )

( )

c)

( )

( ( ))

( )

( )

d)

( )

( )

( )

( )

e)

( )

( ( ))

( )

( )

( )


f)

( )

( ( ) )

( )

.

/

. /

(.

/

)

( . /

)

7.3 Determinar si ( ) ( )

tiene asntota vertical en

Recordemos que para saber si existe asntota vertical en un punto, hacemos el lmite

tendiendo a ese punto y, si ese lmite da infinito, podemos afirmar que hay.

Esta funcin tiene como dominio los reales menos , porque el denominador tiene

que ser no nulo.

( )

( ( ))

( )

Por lo tanto, la funcin no tiene asntota en . De hecho, el grfico de la funcin es:


7.4 Calcular de modo que

Para comenzar, vamos a tener que calcular el lmite. Eso nos va a dar algo que depende de

. Por ltimo, el enunciado dice que esa expresin tiene que valer .

Comencemos por calcular el lmite:

( )

( )

( )

( )

, ( )-

( )

( )

( )

, ( )-

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Pero el enunciado deca que esto tena que valer . Por lo tanto,

. Despejando,

.

7.5 Hallar las asntotas de ( )

( )

En realidad, es algo que no vinimos haciendo, pero cada vez que vemos una funcin, lo

primero que nos tenemos que preguntar es cul es su dominio. En este caso, lo que tenemos que

ver es que el dominio de la funcin logaritmo natural tiene que ser positivo y el denominador

tiene que ser distinto de cero.

Para que el dominio de la funcin logaritmo natural sea positivo,

Por lo tanto,


Para que el denominador sea no nulo,

( )

Por lo tanto, el dominio de la funcin nos queda:

( ( )) ( )( )

Comencemos por la asntota horizontal:

Recordemos que para hallar la asntota horizontal, lo que tenamos que hacer era calcular el lmite

de la funcin tendiendo a infinito.

En este caso,

( )

( )

, ( )-

.

/

Como a medida que va aumentando (tiende al infinito), la funcin es cada vez ms grande y no

tiende a ningn valor en particular, podemos afirmar que no hay asntota horizontal.

Veamos si hay asntotas verticales:

Recordemos que los puntos sospechosos donde podra haber asntota vertical eran los lmites

del dominio (ac tenemos los puntos y ). Si el lmite tendiendo a un punto daba infinito,

significaba que la funcin no llegaba a ningn punto en particular y, por lo tanto, haba asntota.

Veamos,

En

( )

No hay AV en .

En


( )

( )

, ( )-

.

/

Por lo tanto, tampoco hay AV en . La funcin no tiene AV.

7.6 Hallar para que sea continua en .

Recordemos que para que la funcin sea continua en un punto, la funcin tena que pasar

por ese punto, existir el lmite tendiendo a ese punto y coincidir con la imagen.

En este caso, se deber cumplir que ( ) . Adems, el lmite de la funcin tendiendo a

cero debe valer .

Comencemos con el lmite de la funcin tendiendo a ,

( )

, ( )-

( )

El lmite de la funcin tendiendo al punto tiene que coincidir con la imagen de la funcin en el

punto:

( )

(

)

Por lo tanto,

.

Ejercicios surtidos:

7.1 Calcular

Este ejercicio pods dejarlo para cuando hagas algn repaso, no vas a ver nada interesante ni

nuevo.


( )

7.2 Calcular

No hay nada nuevo que explicar. Simplemente vamos a tratar de aplicar LH que es lo que estamos

con ganas de hacer despus de hacer tantos ejercicios parecidos.

( )

( )

, ( )-

7.3 Calcular

Este ejercicio s es un poco ms feo que el resto de los de la gua porque vamos a tener que aplicar

la definicin de derivada, la del lmite del cociente incremental.

( )

( ) ( )

Desarrollando, nos queda:

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

7.4 Sea ( ) { ( )

Cuando calculemos ( ), vamos a llegar a una expresin que contenga . Segn dice el

enunciado, esa expresin tiene que valer y, como nos pas en el ejercicio , vamos a poder

obtener el valor de .


Al igual que en el punto anterior, vamos a tener que usar la definicin de derivada.

( )

( ) ( )

Desarrollando, nos queda:

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Por lo que vimos al principio del ejercicio, esto tiene que valer

Despejando, .

7.5 Hallar de tal manera que

Como vimos en el punto , para que una funcin sea continua en un punto, tiene que existir el

lmite en el punto y ser igual a la imagen. En este caso, ( ) .

( )

( )

Igualando,

Por lo tanto, llegamos a que

.

7.6 Hallar todos los que verifican


Este ejercicio no aporta nada nuevo, lo pods dejar para la etapa de repaso. De todas formas te lo

dejo hecho para que chequees los resultados:

En este caso, no hubo indeterminacin, no necesitamos utilizar LH. La clave del ejercicio es no

equivocarse y no ponerse a derivar por pura inercia.

Despejando ,

7.7 Estudiar las siguientes funciones

Este ejercicio est bueno para revisar todos los conceptos que vinimos aprendiendo sobre anlisis

de funciones, muy recomendable para un buen repaso.

a)

( )

Dominio:

El denominador tiene que ser no nulo, .

Por lo tanto, ( ( )) * +

Asntotas verticales:

El nico punto a analizar es .

*Como el denominador es cada vez menor, dividimos por un nmero cada vez ms pequeo y el resultado ser un nmero cada vez ms grande.

Por lo tanto, tenemos asntota vertical en .

Asntotas horizontales:


Por lo tanto, tenemos asntota horizontal en .

( )

( )

Por lo tanto, la nica asntota horizontal est en .

Races:

Planteamos lo mismo de siempre para hallar las races, igualamos la funcin a cero:

( )

tendra que ser un nmero muy grande pero nunca llegara a ser lo suficientemente grande

como para que la expresin llegue a cero. Por lo tanto, la funcin no tiene races.

Intervalos de positividad y negatividad:

Armemos la clsica tablita evaluando la funcin en cada intervalo que queda determinado:

Por lo tanto, los intervalos nos quedan:

( )

( )

Puntos crticos, extremos, crecimiento y decrecimiento:

Ahora vamos a tener que pasar a trabajar con la derivada de la funcin.

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )

( ) ( )


Vamos a buscar aquellos puntos sospechosos, donde la derivada se anula o no existe.

Como vemos, tenemos un denominador que tiene que ser no nulo:

Veamos ahora los puntos en los que se anula la derivada:

( ) ( )

( )

Por lo tanto, ya nos quedaron definidos los intervalos y podemos evaluar en cada parte:

( )

( )( )

Puntos de inflexin y concavidad:

Comencemos por hallar la derivada segunda,

( ) ( )

Como la derivada segunda no tiene puntos donde se anula, la funcin no tiene puntos de inflexin.

Sin embargo queremos ver en qu parte la funcin es cncava y en cul convexa, evaluando la

derivada segunda en cada intervalo.


( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )

mx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )


Grfico:

b)

( )

Dominio:

La nica restriccin es que el denominador sea distinto de cero. Pero es denominador no puede

ser cero porque no puede tomar cero, no importa que valor de tenga.


No hay ningn valor de dominio, borde de dominio o puntos que no pertenezcan al dominio y que

puedan resultar asntotas verticales.


Para obtener las asntotas horizontales, necesitbamos calcular el lmite de la funcin tendiendo a

infinito.

Para el caso que , el denominador tiende a cero y el numerador a infinito. Por lo tanto, en

ese caso, la funcin tiende a infinito.

Para el caso que ,

( )

( )

Por lo tanto, tenemos una asntota horizontal en .

Races:

Para hallar las races, igualbamos la funcin a cero:

( )

Tenemos un cero en .



Como siempre, armamos la tabla dividiendo el dominio en funcin de las races o puntos que no

pertenecen al dominio de la funcin.


( )

( )


Como siempre, para este tema, necesitamos la derivada primera de la funcin. La igualamos para

hallar puntos crticos.

( )

Ahora que ya tenemos el nico punto crtico, podemos dividir el dominio y armar la tabla de

siempre.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, nos quedan:

( )

( )

Viendo la tendencia de la funcin (si crece o decrece) en el cuadro, nos damos cuenta de que

tenemos un mximo en .

Ahora analicemos la concavidad,

La derivada segunda nos queda,

( ) ( ) ( ) raz ( )

( ) ( ) ( ) raz ( )

mx


( )

Igualamos a cero para hallar los puntos de inflexin,

Tenemos un cambio en el signo de la derivada segunda. Por lo tanto, tenemos un punto de

inflexin.



( )

( )

Grfico:

7.8 Hallar dominio, asntotas, intervalos de crecimiento

Comenzamos por la composicin de las funciones:

( ) ( ) ( )

( ) , ( )- ( )

Recordemos que el argumento del logaritmo natural tiene que ser positivo,

| |

( ( )) ( )( )


( ) ( ) ( ) ( )

inflexin


( )

( )

Por lo tanto, no hay asntotas horizontales.


Por lo que definimos al comienzo del ejercicio los puntos del dominio sospechosos son y

.

( )

( )

( )

( )

Por lo tanto, podemos afirmar que la funcin tiene asntotas verticales en y .

Races:

Para hallar las races, buscbamos los puntos en los que se anulaba la funcin:

( ) ( )

Por lo tanto, tendremos dos races:


Observemos que entre los intervalos, la funcin no est definida, son puntos que no pertenecen al

dominio.


( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


( )( )


, ( )- , ( )-

( )

( )

Puntos de inflexin y concavidad:

, ( )- ( )

( )

Los puntos de inflexin los vamos a encontrar entre los puntos donde la derivada segunda se

anule. La derivada segunda no se anula nunca y el denominador se anula cuando o .

Pero estos no pueden ser puntos de inflexin porque no estn en el dominio.


( )( )

Grfico:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )


7.9 Marcar la nica opcin

a) El ( )

es igual a

( )

[ ( )]

( )

La opcin correcta es la segunda.

b) El

es igual a

Ojo, en este caso no tenemos una indeterminacin!

Por lo tanto, la opcin correcta es la primera.

c) Las asntotas de ( )

( )( ) son

Comencemos por las asntotas horizontales:

( )( )

En cuanto a las asntotas verticales:

El dominio excluye los puntos y porque anulan el denominador. Por lo tanto, el

dominio de la funcin ser * +.

( )( )

( )

,( )( )-


Por lo tanto, no hay asntota vertical en .

( )( )

guía 7 - regla de l'hopital

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