guia de aprendizaje calculo

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ANALISIS Y CALCULO – NIVEL 1 GUIA 1

1. MATERIAL DE APOYO

Libro de texto: STEWART, J.: “Cálculo de una variable”, (Sexta edición). CengageLearning. 2008.

Software matemático

INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

GUÍA DE TRABAJO

Nombre de la Asignatura : ANÁLISIS Y CÁLCULO - NIVEL 2 Código :

Unidad 1 : APLICACIONES DE LA DERIVADA

Guía No. 6/6 Tiempo estimado para el desarrollo de la guía : 5

Autor de la Guía: ICFM Revisado por: ICFM

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Que el estudiante logre :

Obtener la ecuación de la tangente y normal a la gráfica de una función

• Usar la derivada para encontrar dónde una función se está incrementando o disminuyendo.

• Definir un punto estacionario de una función

• Distinguir entre un punto de crítico y un punto estacionario

• Localizar puntos críticos usando la primera derivada de una función.

• Clasificar puntos críticos usando primeras derivadas

• Comprender el concepto de continuidad y de smoothness

• Identificar el tipo de discontinuidad de una función

• Aplicar el teorema de valor intermedio a funciones continuas

• Diferenciar las funciones definidas paramétricamente

• Comprender las propiedades cóncava y convexa

• Identificar desde su gráfica donde una función es cóncava y donde es convexa

• Definir y localizar puntos de inflexión sobre la gráfica de una función

• Determinar los extremos locales aplicando la segunda derivada

• Realizar la gráfica completa de una función

• Obtener las ecuaciones de tangente y normal para ecuaciones implícitas

• Resolver problemas que involucren tasas de cambio relacionadas

• Usar los diferenciales para la estimación de errores y sensibilidad al cambio

• Localizar los valores máximos y mínimos de cantidades físicas

• Resolver problemas usando modelos de crecimiento y decaimiento

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2. PRERREQUISITOS:

1. Analice el dominio de la función y encuentre las asíntotas si existen

(a) 𝑓 𝑥 =𝑥 3−𝑥

𝑥2−6𝑥+5

(b) 𝑓 𝑥 =4𝑥 2

𝑥2−2

(c) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑥 < 0𝑥2 𝑥 > 0

2. Analizar la continuidad de las funciones:

(a) 𝑓 𝑥 =2

𝑥2−4

(b) 𝑓 𝑥 = 𝑥+1 3

𝑥−1 2

(c) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑥 < 0

𝑥2 𝑥 > 0

3. Determine la derivada de las siguientes expresiones:

A) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑒−𝑥 cos 𝜋𝑥

B) Determinar 𝑑𝑦

𝑑𝑥 por medio de diferenciación implícita

2𝑥 + 3 5 = 3𝑦5

4. Determine la derivada de la función dada mediante diferenciación logarítmica suponiendo que

la función está definida para valores de x donde f(x)>0

2

22 3

1

( 1)

x xy

x

5. Responder con verdadero o falso las siguientes preguntas, justificando las respuestas A) La recta tangente puede tocar a la curva en un solo punto? B) Si la recta tangente a la gráfica de y = f(x) es horizontal en x=c, entonces f´(c) = 0?

3


3. APLICACIONES DE LA DERIVADA

DEFINICIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES Y ABSOLUTOS.

Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si 𝑓 𝑐 ≥ 𝑓 𝑥 para todo x en D, donde D es el dominio de f. El número 𝑓 𝑐 se llama valor máximo de f en D. de manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en 𝑓 𝑐 ≤ 𝑓 𝑥 para todo x en D; el número 𝑓 𝑐 se denomina valor mínimo de f en D. Los valores máximo y mínimo de fse conocen como valores extremos de f.

DEFINICIÓN Y DETERMINACIÓN DE PUNTOS ESTACIONARIOS Y PUNTOS CRÍTICOS.

Teorema de valor extremo:si f es continua sobre un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 , entonces f alcanza un valor máximo absoluto 𝑓 𝑐 y un valor mínimo absoluto 𝑓 𝑑 en algunos números c y d en 𝑎, 𝑏 .

Un número crítico de una función fes un número c en el dominio de f tal que 𝑓′ 𝑐 = 0 o 𝑓′ 𝑐 no existe.

Si f tiene un máximo o minimo local en c, entonces c es un número crítico de f.

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

a) Si 𝑓′ 𝑥 > 0sobre un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo. b) Si 𝑓′ 𝑥 < 0sobre un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo.

Se ilustra la gráfica de la derivada f ’ de la función f.

(a) ¿En qué intervalos f es creciente o decreciente? (b) ¿En qué valores de x la función ftiene un máximo local o un mínimo local?

DETERMINACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES MEDIANTE LA 1ª DERIVADA.

Supongamos que ces un número crítico de una función continua f.

(a) Si 𝑓′ cambia de positiva a negativa alrededor de c, entonces f tiene un máximo local en c.

(b) Si 𝑓′ cambia de negativaa positiva alrededor de c, entonces f tiene un mínimo local en c.

(c) Si 𝑓′ no cambia de signo en c (es decir 𝑓′ es positiva en ambos lados de c, o negativa en ambos

lados), entonces f no tiene máximo ni mínimo locales en c.

RECORDAR

Continuidad de Funciones Se dice que una función es continua cuando al realizar la gráfica se puede

dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel, como podemos observar en la siguiente gráfica:

4


Analizando la siguiente gráfica podemos observar que esta función es continua en el intervalo [a, b]

Derivadas de orden superior

La operación de derivación toma una función f que produce una nueva función f´. Si ahora derivamos f’, producimos otra función denotada por f’’ y denominada segunda derivada de f. A su vez, puede derivarse, y de ahí producir f´´´ que se denomina tercera derivada de f, y así sucesivamente. La cuarta derivada se

denota con 𝒇𝟒, la quinta derivada se denota por 𝒇𝟓, etc.

Ejemplo

𝑓 𝑥 = 2𝑥5 − 4𝑥4 + 7𝑥3 − 5𝑥 + 9

𝑓´ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥= 10𝑥4 − 16𝑥3 + 21𝑥2 − 5

𝑓′′ 𝑥 =𝑑2𝑦

𝑑𝑥= 40𝑥3 − 48𝑥2 + 42𝑥

𝑓′′′ 𝑥 =𝑑3𝑦

𝑑𝑥= 120𝑥2 − 96𝑥 + 42

𝑓4 𝑥 =𝑑4𝑦

𝑑𝑥= 240𝑥 − 96

𝑓5 𝑥 =𝑑5𝑦

𝑑𝑥= 240

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Teorema del valor intermedio

Sea una función continua en un intervalo . Entonces para cada tal que ,

existe al menos un dentro de tal que .

DERIVACIÓN PARAMÉTRICA

Las ecuaciones de ciertas curvas están dadas en la forma paramétrica

𝑥 = 𝑥(𝑡)

𝑦 = 𝑦(𝑡)

Tanto𝒙,𝒚están expresadas en términos del parámetro𝒕, el objetivo será hallar directamente𝒅𝒚

𝒅𝒕

Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones paramétricas

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Ejemplo

Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es función de 𝒕, es decirque

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑦´(𝑡); por tanto la segunda derivada es:

Ejemplo

7


x

y

CONCAVIDAD Y EXTREMOS

Teorema de Concavidad

Sea f dos veces derivable en el intervalo abierto I

𝑎. 𝑆𝑖 𝑓′′ 𝑥 > 0𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝒙 𝑒𝑛 𝑰, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒇 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑕𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑒𝑛 𝑰

𝑏. 𝑆𝑖 𝑓´´ 𝑥 < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝒙 𝑒𝑛 𝑰, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒇 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑕𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝑰

Ejemplo. Sea: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 3

𝑓´ 𝑥 = 3𝑥2 − 6𝑥

𝑓´´ 𝑥 = 6𝑥 − 6 = 6(𝑥 − 1)

𝑥 − 1 = 0

𝑥 = 1(Punto crítico)

Criterio de la segunda derivada

𝑥 𝑓´´(𝑥) conclusión

𝑥 < 1 Negativa (-) Cóncava hacia abajo

𝑥 > 1 Positiva (+) Cóncava hacia arriba

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Ejemplo

TASAS DE CAMBIO RELACIONADAS Como la derivada expresa el cambio instantáneo que experimenta una variable con respecto a otra variable, para una función , se podría obtener la derivada o razón de cambio de las variables "x" y “y" con

respecto al tiempo "t", es decir: 𝑑𝑦

𝑑𝑡 y

𝑑𝑥

𝑑𝑡 . Lo cual nos va a permitir resolver problemas de aplicación.

A un problema en que intervengan razones de cambio, respecto al tiempo, de variables relacionadas, se le llama problema de rapideces de variación relacionadas, las variables tienen una relación específica para valores de t, donde t es el tiempo. Esta relación suele expresarse en forma de una ecuación, con frecuencia, los valores de las variables y sus velocidades de cambio con respecto a t se expresan en un instante dado.

Ejemplo:

𝑉 = 𝜋𝑟2𝑕

3

Analizando la gráfica existen dos triángulos rectángulos semejantes entre sí; entonces:

𝑟

𝑕=

2

4 ; 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑟 =

𝑕

2

Entonces sustituyendo en V tenemos:

𝑉 = 1

3𝜋

𝑕

2

2

. 𝑕 = 𝜋

12𝑕3

2

r

h

4

a) Un depósito para agua tiene la forma de un cono circular invertido; el radio de la base es de 2m y la altura es de 4m. Si el agua se bombea hacia el

depósito a una razón de 2𝑚3

𝑚𝑖𝑛,

determine la rapidez a la cual el nivel del agua sube el agua tiene 3m de profundidad.

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Derivando con respecto a t cada miembro:

𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝜋

4𝑕2

𝑑𝑕

𝑑𝑡

De modo que:

𝑑𝑕

𝑑𝑡=

4

𝜋𝑕2

𝑑𝑉

𝑑𝑡

Al sustituir h = 3m y 𝑑𝑉

𝑑𝑡 =

2𝑚3

𝑚𝑖𝑛, se obtiene:

𝑑𝑕

𝑑𝑡=

4

𝜋(3)2. 2 =

8

9𝜋

𝑚

𝑚𝑖𝑛

Quiere decir que el nivel del agua sube a razón de 0.28𝑚

𝑚𝑖𝑛

DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES

Definición de diferencial

Supongase que 𝑦 = 𝑓(𝑥) es diferenciable en “x” y que dx, la diferencial de una variable independiente “x”, designa un incremento arbitrario de “x”. La diferencial de “y” correspondiente a la variable dependiente “y” se define como: 𝑑𝑦 = 𝑓´ 𝑥 𝑑𝑥

Aproximación de una función

Observe la gráfica

Note que∆𝑥 = 𝑑𝑥 y que, si∆𝑥 → 0 entonces ∆𝑦 ≈ 𝑑𝑦 es decir ∆𝑦 ≈ 𝑓´(𝑥)∆𝑥 .

Por lo tanto 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0 ≈ 𝑓´(𝑥0)∆𝑥

Es decir 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓´(𝑥0)∆𝑥 , representa la aproximación de 𝑓(𝑥) en 𝑥0 .

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Estimación de errores

Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) , entonces la variación ∆𝑦 cuando varia “x” en una cantidad ∆𝑥 se la calcula

empleando la fórmula : ∆𝑦 ≈ 𝑓´(𝑥)∆𝑥 .

Revisar el ejemplo 3 de la página 250

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

Los métodos para hallar valores máximos y mínimos de funciones tienen aplicaciones prácticas. En la solución de estos problemas prácticos es necesario convertir el problema en palabras en un problema matemático de optimización. Es importante determinar en primer lugar la función que debe maximizarse o minimizarse.

Ejemplo:

1. El área de la superficie total del cilindro es igual al área de la superficie lateral más el área de

las dos tapas:

𝑆 = 2𝜋𝑟𝑕 + 2𝜋𝑟2 cuyo volumen es: 𝑉 = 𝜋𝑟2𝑕; donde 16𝜋 = 𝜋𝑟2𝑕

𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑕 = 16

𝑟2; 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

𝑆 𝑟 = 2𝜋𝑟𝑕 + 2𝜋𝑟2 = 2𝜋𝑟 16

𝑟2 + 2𝜋𝑟2

𝑆 𝑟 = 32𝜋

𝑟+ 2𝜋𝑟2

𝑆´ 𝑟 = 32𝜋

𝑟2+ 4𝜋𝑟 = 0 𝑦 𝑆′′ 𝑟 =

64𝜋

𝑟3+ 4𝜋

Ahora:

Haciendo 𝑆´ 𝑟 = 0; 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 4𝜋𝑟3 = 32𝜋; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑟3 = 8;𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟 = 83

= 2

2. Si una lata cerrada de estaño con

un volumen de 16𝜋 𝑝𝑙𝑔3 debe

tener la forma de un cilindro

circular recto, determine la

altura y el radio de dicha lata

para utilizar la mínima cantidad

de material en su construcción.

r plg

h plg

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Aplicando el criterio de la segunda derivada, tenemos:

S´(r) S´´(r) Conclusión

r= 2 0 + S tiene un mínimo relativo

Por lo tanto, la mínima cantidad de material se utilizará en la construcción de la lata cuando el radio sea 2

plg y la altura de 4 plg. Teniendo entonces un área total de:

𝑆𝑚𝑖𝑛 𝑟 = 2𝜋𝑟𝑕 + 2𝜋𝑟2 = 2𝜋 2 4 + 2𝜋(2)2 = 24𝜋 𝑝𝑙𝑔2

REGLA DE L´HOPITAL

Regla de l´hospital para formas del tipo 0/0

Suponga que lim𝑥→𝑢 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑢 𝑔(𝑥) = 0. Si lim𝑥→𝑢 𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥) existe en cualquiera de los sentidos

finito o infinito ( es decir, si este límite es un número finito 0 - ∞ o 0+∞), entonces:

lim𝑥→𝑢

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑢

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥)

Regla de l´hospital para formas del tipo ∞/∞

Suponga que lim𝑥→𝑢 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑢 𝑔(𝑥) = 0. Si lim𝑥→𝑢 𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥) existe en cualquiera de los sentidos

finito o infinito, entonces:

lim𝑥→𝑢

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑢

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥)

Aquí u puede significar cualquiera de los símbolos a, a-, a+, -∞ o +∞

Formas indeterminadas de la forma 00, ∞0, 1∞

Cuando tenemos indeterminaciones 00, ∞0, 1∞. Ahora regresemos a tres formas indeterminadas del

tipo exponencial. Aquí, el truco es no considerar la expresión original sino su logaritmo. Por lo común,

la regla de L´Hopital se aplicará al logaritmo. Por ejemplo:

Encuentre lim𝑥→0+(𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡𝑥

Si se evalúa en la forma directa tendremos 1∞. Entonces y=(𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡𝑥 , de modo que al sacar

logaritmo a las dos partes tendremos: 𝑙𝑛𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 1 =ln(𝑥+1)

𝑡𝑎𝑛𝑥 . Mediante la regla de L´Hopital

para formas 0/0, obtenemos:

lim𝑥→0+

𝑙𝑛𝑦 = lim𝑥→0+

ln(𝑥 + 1)

𝑡𝑎𝑛𝑥= lim

𝑥→0+

1

𝑥+1

𝑠𝑒𝑐2𝑥= 1

Ahora bien, como lo que necesito es y entonces aplico el antilogaritmo

𝑒𝑙𝑛𝑦 = 𝑒1

𝑦 = 𝑒

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4. RESOLVER:

AC1. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a las curvas en el punto dado. Grafique.

(a) 𝑦 = 𝑥, 𝑃 1, 1

(b) 𝑦 = 1 + 2𝑥 2 𝑃(1,9)

(c) 𝑦 = 2𝑥

𝑥+1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,1)

AC2. Encontrar una ecuación de la recta tangente a la curva:

𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,1)

Resp. 𝒙 + 𝒚 − 𝟐 = 𝟎

AC3. Encontrar una ecuación de la recta normal a la curva:

9𝑥3 − 𝑦3 = 1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,2)

Resp. 𝟒𝒙 + 𝟗𝒚 − 𝟐𝟐 = 𝟎

AC4. Responda:

¿Si la aceleración de un objeto es negativa, entonces su velocidad está disminuyendo?

x

y

x

y

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¿Si el radio de una esfera está aumentando a razón de 𝑘𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑠𝑒𝑔, entonces su volumen está creciendo

𝑉 = [𝑘3]𝑝𝑖𝑒𝑠 3

𝑠𝑒𝑔?

AC5.El largo de un rectángulo se incrementa a razón de 8𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔y el ancho en 3

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔. Cuando la longitud es de

20cm y el ancho de 10cm, ¿Qué tan rápido se incrementa el área del rectángulo?

Resp. 𝒅𝑨

𝒅𝒕= 𝟏𝟒𝟎

𝒄𝒎𝟐

𝒔𝒆𝒈

AC6.Dos personas parten de un mismo punto. Uno camina desde el este 𝟏𝟎° al norte con velocidad de

5𝑚𝑙𝑙𝑎𝑠

𝑕𝑟𝑎 y la otra camina desde el oeste 𝟑𝟓° hacia el norte con velocidad de 10

𝑚𝑙𝑙𝑠

𝑕𝑟𝑎 ¿Qué tan rápido cambia

la distancia entre las personas después de 80min?

Resp. 𝟏𝟐.𝟎𝟗𝒎𝒍𝒍𝒔

𝒉𝒓𝒂

AC7.Una lámpara está instalada en lo alto de un poste de 15 pies de altura. Un hombre de 6 pies de

estatura se aleja caminando desde el poste con una rapidez de 5𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑠𝑒𝑔 a lo largo de una trayectoria rectilínea.

¿Qué tan rápido la punta de su sombra se desplaza cuando está a 40 𝑝𝑖𝑒𝑠 del poste?

Resp.𝟕. 𝟖𝟎𝒑𝒊𝒆𝒔

𝒔𝒆𝒈

AC8. Analice el siguiente gráfico, y complete los enunciados planteados, para su ayuda cuenta con

las siguientes opciones:

a) Punto (a, f(a))

b) Punto (d, f(d))

c) Punto (b, f(b))

d) Punto (c, f(c))

1) El máximo absoluto de la función es ________________________

2) El mínimo absoluto de la función es ________________________

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3) Si sólo se consideran los valores de x cercanos a b (intervalo (a,c), el punto ________ es el

mas grande de esos valores de f(x) y se conoce como valor máximo local de f.

4) Si sólo se consideran los valores de x cercanos a c (intervalo (b, d), el punto ____________

es el mínimo valor de esos valores de f(x) y se conoce como valor mínimo local de f.

AC9. En el siguiente gráfico indique en que puntos se encuentran tanto los máximos y mínimos relativos como los máximos y mínimos absolutos.

AC10. Resuelva:

a)En el gráfico indique el Punto (-2, 16) ¿A qué máximo corresponde de la función?

b) En el gráfico indique el Punto (0, 0) ¿A qué máximo corresponde de la función?

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AC11.Encuentre los puntos críticos de las siguientes funciones:

a) xxxf 45)( 2 R: -2/5

b) xxxxf 243)( 23 R: -4, 2

AC12. Halle los valores máximo y mínimo absolutos de f sobre el intervalo dado:

a) ]3,0[5123)( 2 xxxf R: 0,5 2, -7

b) ]3,2[11232)( 23 xxxxf R: -1,8 2, -19

AC13. Si la derivada de una función en un intervalo es mayor que cero es decir: 0)(' xf

entonces f es creciente en ese intervalo. Justifique el enunciado mediante un ejemplo.

AC14. En la función 6127)( 3 xxxf determinar los puntos críticos y los intervalos donde la

función crece o decrece. Verifique con el gráfico.

AC15. Entre 0 °C y 30 °C el volumen V (en cm3) de 1 kg de agua a una temperatura T se expresa

aproximadamente mediante la fórmula:

32 0000679,00085043,006426,087,999 TTTV

Encuentre la temperatura a la cual el agua tiene su densidad máxima. R: CT 9665,3

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AC16. Complete:

Si 𝑓′ 𝑥 > 0, en todas partes, entonces f es_____________en todas partes; y si 𝑓′′ 𝑥 > 0en todas partes,

entonces f es _____________en todas partes

Si______ y ______ en un intervalo abierto I, entonces f es creciente y cóncava hacia abajo en I

Un punto en la gráfica de una función continua, en donde la concavidad cambia se denomina_________

AC17. En los siguientes ejercicios, la figura adjunta muestra la gráfica de la derivada de una función f

continua en su dominio, el cual es el conjunto de los números reales, A partir de la gráfica determinar:

a) Los números críticos de f y los intervalos en los que f es creciente y decreciente

b) Los números donde ocurren los extremos relativos de f

c) Dónde la gráfica es cóncava hacia arriba o abajo

a)

b)

c)

d)

e)

f)

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Determinación de máximos y mínimos locales mediante la segunda derivada y trazo completo

AC18. En los siguientes ejercicios, obtener los extremos relativos de la función usando el criterio de la

segunda derivada, además determinar los intervalos de concavidad y trazar la gráfica:

1. 𝑓 𝑥 = 3𝑥4 − 4𝑥3 − 12𝑥2 + 17

2. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 2

𝑥2

3. 𝑓 𝑥 = 2𝑥2

(9 − 𝑥)2

4. 𝑥 9 − 𝑥2

AC19.Un tanque rectangular cerrado de base cuadrada debe tener un volumen de 125 𝑚3. El costo por

metro cuadrado para el fondo del tanque es de $24 y el de los laterales es de $12. Obtenga las dimensiones

del tanque para que el costo del material sea mínimo.

Resp.𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝟑.𝟗𝟔𝒄𝒎 𝒚 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝟕. 𝟗𝟕 𝒄𝒎

AC20.Una página de impresión debe contener 24 𝑝𝑙𝑔2 de área impresa, márgenes de 1,5 plg por las partes

superior e inferior y los márgenes laterales deben ser de 1 plg. ¿Cuáles son las medidas de la página para

que el área sea máxima?

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Resp. 𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝟔𝒑𝒍𝒈𝒚𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝟗𝒑𝒍𝒈

AC21.Determine el punto en la recta 6𝑥 + 𝑦 = 9 que está más cerca al punto 𝐴(−3,1)

Resp. 𝑬𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝟔𝒙 + 𝒚 = 𝟗 𝒎á𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒄𝒂𝒏𝒐 𝒂 𝑨 −𝟑,𝟏 𝒆𝒔 𝑷 𝟒𝟓

𝟑𝟕,𝟔𝟑

𝟑𝟕

REGLA DE L´HOSPITAL

AC22. Calcular los siguientes límites:

lim𝑥→0(1 + 𝑥2)1

𝑥 Respuesta: 1

lim𝑥→0(cot 𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑥 Respuesta:1

lim𝑥→0 𝑥(3

4+𝑙𝑛𝑥) Respuesta:𝑒3

lim𝑥→𝜋

2(2𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 −

𝜋

𝑐𝑜𝑠𝑥) Respuesta:-2

5. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFUERZO

AC1. (Extra clase) Dibuje la gráfica de una función f que sea continua sobre [1,5] y tenga como

propiedades: mínimo absoluto en 2, máximo absoluto en 3, mínimo local en 4.

AC2. (Extra clase)Encuentre los puntos críticos de las siguientes funciones:

a) 234 643)( tttts R: 0, ½(-1± 𝟓)

b) 1

1)(

2

yy

yyg R: 0, 2

AC3. (Extra clase) Halle los valores máximo y mínimo absolutos de f sobre el intervalo dado:

a) ]3,2[32)( 24 xxxf R: 3 , 66 ±1, 2

AC4. (Extra clase) En los siguientes ejercicios determine los puntos críticos de la función, los

intervalos donde es creciente o decreciente y grafique la función.

a) 618)( 2 xxxf

b) 3)( xxf

SECCIÓN PÁGINA EJERCICIOS

4.1 277 12,27,33,35,55,74

4.3 295 9,12,13,21,37,39

6. BIBLIOGRAFÍA RELACIONADA CON EL TEMA

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AUTOR: STEWART, JAMES.

TITULO: Cálculo de una variable –Trascendentes tempranas / Cengage Learning. México. 6ta.

edición 2008.

AUTOR:THOMAS, GEORGE B., JR

TITULO : Cálculo: Una Variable; Undécima edición, 2006; Pearson Educación

AUTOR: LARSON, ROLAND E; HOSTETLER, ROBERT .; EDWARDS, BRUCE H.

TITULO: Cálculo y geometría analítica / Mc Graw-Hill. Madrid. 6ta. edición.Tomo1. 1999.

AUTOR: PENNEY, DAVID E.; EDWARDS, C. H.

TITULO: Cálculo con geometría analítica/ Prentice Hall Hispanoamericana. México. 1994.

7. OBSERVACIONES ESPECIALES

Revise los conceptos vistos en clase, que están relacionados con esta guía. Desarrollar todos los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por el docente. Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de algunos ejercicios. Ante cualquier duda, pregunte a su profesor.

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