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GUIA DE MATEMATICA
Guía No 1 – Colegio Luis Carlos Galán Sarmiento JT – Área de Matemáticas - Algebra Básica – Grado 804
GUIA DE MATEMATICAS ALGEBRA BÁSICA
- Conceptos algebraicos básicos - Operaciones con expresiones algebraicas - Notación algebraicas
- Valoración de expresiones algebraicas- Reducción de términos semejantes
TÉRMINO ALGEBRAICO
Consta de: a) signo
b) coeficiente numérico
c) factor literal
Ejemplo:
-3a4
GRADO DE UN TÉRMINO
Es la suma de los exponentes del factor literal
Ejemplo:
En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x)
En el término 4x2y3 tiene grado 2 (2 + 3, la suma de los exponentes)
GRADO DE UNA EXPRESIÓN
Es el grado mayor de sus distintos términos.
Ejemplo:
En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo termino)
En el término 4x2y3 – 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo termino)
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas.
De acuerdo al número de términos puede ser:
MONOMIO: tiene uno término
Ej. 5 x2yz4 ;
BINOMIO: tiene dos términos
Ej.
; p + q
TRINOMIO: tiene tres términos
Ej. x2 + 3x - 5
POLINOMIO O MULTINOMIO: tiene varios términos
Ej. Inventa uno __________________________
TERMINOS SEMEJANTES
Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden sumar o restar, sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal.
Ejemplo:
El término 3x2y y el término 2x2y , son semejantes. (tiene factor literal iguales) y al sumarlo da 5x2y
Reducción de términos semejantes. Es la operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes que se están sumado (o restando).
( Ejemplos resueltos
Reducir los siguientes términos semejantes:
(1) a + a = 2 a. R.
(2) 2x + x = 3x. R.
(3) –3a2b3 + 12a2b3 = 9a2b3. R.
(4) a + 3b – c + 5a – 8b – 4c = 6a – 5b – 7c. R.
(5) 2a – 3ab + 5ab + 7a = 9a + 2ab. R.
(6) 15mx+1 - 5mx+1 - 3mx+1 = 7mx+1. R.
Observa detenidamente los siguientes términos algebraicos. Clasifícalos en el cuadro por “familias” según sean similares con su respectivo signo (el que esta a la derecha). Finalmente en la parte inferior justifica tus decisiones.
x4 + x3 − 2x2+ 3x - 2xy2 + 2 -x3 − 2x2+ 3x + 2 - 2x2+ 3x + 2 + 3x + 2 - 2x2 + 3xy + 2x3 + 3x2 – 3 + 2x3 + 3x2 + 5x – 3 + 2x3 + 5x – 3 - 2x3 + 5x – 3 - 2x3 + 5x – 3 + 5x − 3 + 2x3 + 2x3 + 5x – 3 + 5x3 − 2x – 7 + (1/3)xy2 - 6xy -2x2 + 6y
+ 3xy +3x2 - 5xy – x -6xy + 5 + 5x2 + 6y + 4xy + x + 5
xy
x2
x4
y
xy2
x
x2y
x3
x0
Justifica:
Encierra con el mismo color los términos semejantes (de la misma familia) utilizando colores diferentes para términos diferentes (cada familia) incluyendo el signo
+ 2x3 + 5x – 3 - 2x3 + 5x+ 3xy +3x2 - 5xy – x -6xy + 5 – 3 - 2x3 + 5x – 3 + 5x − 3 + x4 + x3 − 2x2+ 3x - 2xy2 + 2 -x3
− 2x2+ 3x + 2 - 2x2+ 3x + 2 + 3x + 2 - 2x2 - 5x2 + 6y + 4xy + x + 5
En cada caso determina si los términos son semejantes o no. ¿Explica por que?
TERMINOS
¿SI O NO?
¿POR QUE?
TERMINOS
¿SI O NO?
¿POR QUE?
2x2y ; 3x2y
2c ; 3a
7xm ; -7mx
2mns ; 8nsm
-5mn3 ; -5nm3
12fs2 ; 12f2s
8p2q3 ; 2q3p2
9j2k5m2; 9jkm
5j ; 342j
32b2 ; 23b2d
6y3 ; 8y2
2x ; -2x
-6xm4 ; xm4
3xy ; 87 yx
Escribe al frente un término semejante para cada término dado.
-0,7mn3
+2x2y
–a
+3x
a
4
3
3
4
1
abr
-2x
0,2ab4
ab
-1,5x3
a2b3c
-8b3c2d3
EJERCICIOS: ahora te toca a ti demostrar lo que aprendiste
1) Define con tus palabras:
a) Coeficiente numérico
b) Factor literal
c) Término algebraico
2) En cada término algebraico, determina el coeficiente numérico, factor literal y el grado.
a) 3x2y b) m
c) mc2
d) –vt
e) 0,3ab5 f) 3
g) -8x3y2z4
h)
a
3
2
-
i)
3
2
1
x
-
j)
3
7
2
a
k)
4
3
m
-
l)
2
4
4
3
b
a
3) Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones:
a) 7x2y + xy
b) -3 + 4x – 7x2 c) -2xy
d) vt +
2
2
1
at
e) 7m2n – 6mn2
f)
2
c
b
a
+
+
g) x2 + 8x + 5
h) 2(3x + 4y)
i) 2x2(3x2 + 6y)j)
4
4
3
2
h
c
b
+
4) Para cada uno de los siguientes términos algebraicos determina:
Coef. Numérico
Factor literal
Grado
Coef. Numérico
Factor literal
Grado
2x2y
0,2ab4
a
ab
a
4
3
5
5
3
ab
-
-1,5x3
a2b3c
-0,7mn3
-8b3c2d3
3
4
1
abr
2
2
xy
3x
3
3
5
2
k
h
-
-2x
5) Clasifica cada una de las siguientes expresiones algebraicas según el número de términos que la integran:
a) 5x
i) a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
b) a2 + b – c
j) m2 – n2
c) 10x2y
k)
4
3
3
2
y
x
+
d)
4
3
2
y
x
l) a2 + ab + b2
e) 2 – x
m)
4
c
b
a
+
+
f) 2x – 3y2
n) 2a·3b
g) a – b + c – 2d
m)
3
b
a
-
6) Calcula el perímetro de cada rectángulo encontrando su expresión algebraica. Luego clasifica según su número de términos, antes de reducir términos semejantes:
7) Reduce los términos semejantes, resolviendo previamente los paréntesis, cuando corresponda:
1. 7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b =
2. 35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y =
3. 24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c =
4. 3m - 7n + 5m - 7n + 5n + 3n - 8p - 5n + 8p =
5. 4p - 7q + 5p - 12p - 11q + 8p - 11q + 12r + p + 5r =
6. 2a2 + 3b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 - 5 b2 =
7. 7a - 1,8 b + 5 c - 7,2a + 5a - 6,1b - 8a + 12b =
8. 8a + 5,2 b - 7,1a + 6,4 b + 9a - 4,3b + 7b - 3a =
9. 3m -
n + 5m - 7n + 5
n + 3n -
p - 5n + 8p =
10. 2
a2 + 3
b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 – 5 b2 =
11. 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) =
12. 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =
13. 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =
14. 9x + 13 y - 9z - (7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z }( =
15. -( x - 2y ) - ( { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) }( =
16. 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
17. 8x - ( 1
y + 6z - 2
x ) - ( -3
x + 20y ) - ( x +
y + z ) =
18. 9x + 3
y - 9z -
8) Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:
9) Reduzca términos semejantes:
(i) (a – b) – (b – a) =
(v) 12m3 – [5m2 + m – 1 – (m3 + 2m2 – 3m + 7)] =
(ii) (2a + c – 3b) – (7a + 4b – 8c) = (vi) 3x + {-5y – [-xy + (4x – 2xy – y)]} =
(iii) a + (b – c) + 2a – (a + b) =
(vii) 12a ( { -6b – [-3c ( (9b – 12a + c)]} =
(iv) a – 5b – [-3b – (a – b) + 2a] =
10) Si P = 4x – y + 4 y Q = 2x + 3y + 5. Calcular:
(i) P + Q =
(ii) 2P – Q =(iii) 3P – 2Q =(iv) Q – P = (v) – Q – 2P =
11) El perímetro de la figura siguiente está dado por la fórmula:
5y x
X
6y
3x
3x
EVALUACION DE EXPRESIONES
A cada letra o FACTOR LITERAL se le asigna un determinado valor numérico.
Ahora tú: Si a = -2 ; b = 4 ; c = -1 encuentra el valor de cada expresión
1. 12a - 8a + 10a + 3a - 18a + 5a =
2. 7ª - 8c + 4b + 6c - 4b + 3a =
Veamos ahora un ejemplo con números racionales: Si a =
3
2
y b =
2
1
, evaluemos la expresión:
3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b =
3(
3
2
- 2(
2
1
- 5(
3
2
+ 4(
2
1
- 6(
3
2
+ 3(
2
1
=
2 - 1 -
3
10
+ 2 - 4 +
=
6
5
2
6
17
-
-
=
Ahora te toca a ti :
Si a =
2
1
; b =
4
1
-
; c =
3
2
encuentra el valor de cada expresión
3. 2 a - 8 a + 10 a + 3 a -
a + 5 a =
4. -1
a + 5 b - 3 c + 2 a - 4
c + 7 b =
5. -5 c + 3
b - (-4 a) + 4
c + (-5 b) - 0,6 c =
EJERCICIOS: pone en práctica lo anterior
1) En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes y luego reemplaza en cada caso por a = -2 y b = 7, para valorar la expresión.
a) 3ab – b + 2ab + 3b
b) 3a2b – 8 a2b – 7a2b + 3a2b
c) 2a2b –
2
3
a2b – 1
d) ab2 – b2a + 3ab2
e)
b
a
b
a
10
7
4
5
5
4
2
3
-
-
+
f)
b
b
b
b
14
1
5
1
7
2
2
2
+
-
+
-
2) Calcula el valor numérico de las siguientes E. A., considera para cada caso a = 2; b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0
a) 5a2 – 2bc – 3d
b) 7a2c – 8d3
c) 2a2 – b3 – c3 – d5
d) d4 – d3 – d2 + d – 1
e) 3(a – b) + 2(c – d)
f)
7
2
b
a
d
c
+
+
-
g)
f
b
c
a
8
7
2
1
5
2
4
3
+
-
-
h)
(
)
a
c
b
+
i)
(
)
(
)
f
d
a
c
b
a
)
3
2
(
-
+
-
3) Encuentra el valor numérico de las siguientes fórmulas, aplicando en cada caso solo los valores asignados para las variables respectivas.
a)
2
·
2
at
t
v
d
i
+
=
; si vi = 8 m/seg , t = 4 seg , a = 3 m/seg2 (d : distancia q’ recorre un móvil)
b) Ep = m·g·h
; si m = 0,8 hg , h = 15 m , g = 9,8 m/seg2 (Ep: energía potencial)
c)
4
3
2
a
A
=
; si a = 3,2 m (A : área de triángulo equilátero)
d)
2
1
2
1
·
r
r
r
r
R
+
=
; si r1 = 4 ohm y r2 = 6 ohm (R : resistencia eléctrica total en paralelo)
e)
2
2
1
·
·
r
q
q
K
F
=
; si k = 9·109
2
2
c
Nm
; q1 = q2 = 4c y r = 10 m (F : fuerza atracción entre dos cargas)
4) Evalúa la expresión x2 + x + 41 para los valores de x = 0, 1, 2, 3, 4, …, 40. ¿Qué característica tienen los números que resultan?
ENCONTRANDO FÓRMULAS
A Continuación debes encontrar una fórmula que represente a todos los términos de la sucesión de números, esta fórmula debe ser válida para valores naturales, es decir si le damos valores a la fórmula, debe irnos entregando los términos de la sucesión.
Ejemplo: la sucesión 2, 4, 6, 8, ….. tiene una fórmula que general estos números, una manera de encontrarla es descomponer sus términos:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
……..
2n, donde n
Î
N. Esta es la fórmula que genera a esta sucesión. ¡Prueba dándole valores a “n” !
Ejercicios: Encuentra la fórmula para las siguientes sucesiones:
1) 22, 42, 62, 82, 102, …..
2) 73, 93, 113, 133, …..
3) -1, 1 , -1 , 1 , -1 , ……
4) 4, 10, 18, 28, ……
5) 0, 2, 5 ,9, …..
6) 2, 4, 8, 16, 32 ,……..
6) Mersenne, antiguo matemático, propuso la expresión 2p – 1. Al reemplazar p por un número entre 1 y 10, ¿cuáles resultan números primos?
7) Verifica si la fórmula 24n + 4(n + 1) + 10 entrega múltiplos de 7, para n
Î
N.
ALGEBRA Y GEOMETRÍA: CÁLCULO DE PERÍMETROS
Se dan los siguientes segmentos :
a b c
d e
1) Elige un segmento y dibujas 3 veces el segmento elegido
2) Elige dos segmentos y dibuja la suma de dichos segmentos
3) Elige otros dos segmentos y dibuja la diferencia entre ambos segmentos.
Recordemos el concepto de PERÍMETRO
1 cm
b
c
b
d P = a + b + c + d + e
e a
ejercicios: Ahora tú determinarás el perímetro de cada figura:
4.
5.
6.
x
P = _____________ P = ____________ P = __________
6. 7. 8.
2
1
m
2c 2c 2m
2m r m
m
c
2s
P = _________ P = __________
P = _____________
9.
10. 2y
3t 5t
m
y
4t
P = _________________
P = ____________________
Encuentra el polinomio que representa el perímetro de cada figura (todos sus ángulos son rectos):
11. y 12.
y
x
x
P = ________________
P = ____________________
ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS
Regla general para eliminación de paréntesis
I) Para suprimir un paréntesis precedidos por el signo +, se deja cada uno de los términos que agrupa con el mismo signo.
a + (b – c + d) = a + b – c + d. R.
II) Para suprimir paréntesis precedidos por el signo ( se cambia cada uno de los signos de los términos que agrupa.
a ( (b – c + d) = a ( b + c ( d. R.
(Ejemplos resueltos
Elimine paréntesis y luego reduzca términos semejantes:
(1) 2m + (5n – 14m) + 15n ( (6m – 10n)
= 2m + 5n – 14m + 15n - 6m + 10n
= -18m + 30n. R.
(2) 5a + [13b – (-8a + 10b)]
= 5a + 13b – (-8a + 10b) se suprimen paréntesis cuadrados
= 5a + 13b + 8a – 10b se suprimen paréntesis redondos
= 13a + 3b. R.
(3) 23x + {-5y – [-2x + (-4x + 7y)]} =
= 23x + -5y – [-2x + (-4x + 7y)] se elimina paréntesis llaves.
= 23x + -5y + 2x - (-4x + 7y) se elimina paréntesis cuadrados.
= 23x + -5y + 2x + 4x – 7y se elimina paréntesis redondos.
= 29x ( 12y. R.
Ejercicios: eliminar los paréntesis
15) 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) =
16) 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =
17) -( x - 2y ) - ( { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) }( =
18) 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =
19) 9x + 13 y - 9z - (7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z }( =
20) 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
21) 8x - ( 1
y + 6z - 2
x ) - ( -3
x + 20y ) - ( x +
y + z ) =
22) 9x + 3
y - 9z -
COMPLEMENTARIOS
1) Si la arista de un cubo mide 6a cm. Calcula:
a) La superficie del cubo
b) El volumen del cubo
c) La superficie y el volumen para a = 1, 2, 4, … , 16
¿en qué relación aumentan la superficie y el volumen cuando a aumenta en estos valores?
2) En una caja negra hay “b” bolitas blancas y “a” bolitas azules, Se realizan en orden los siguientes cambios:
1º Sacar 3 bolitas azules y 5 blancas
2º Duplicar las bolitas azules y cuadruplicar las bolitas blancas
3º Agregar una bolita blanca y sacar 1 bolita azul.
A partir de esta información completa la tabla de sucesos para determinar cuántas bolitas quedan al final.
Nº bolitas blancas
Nº bolitas azules
Total bolitas
Inicio
b
a
a + b
1º
2º
3º
Repite los mismos pasos pero tomando 5 bolitas blancas y 8 bolitas azules, en lugar de b y a, respectivamente.
3) Valorar
xyz
y
x
2
27
1
5
6
2
-
-
, para x =
2
, y =
3
; z = 0
4) Valorar
(
)
1
1
2
1
3
2
1
1
)
1
(
)
(
-
-
-
-
-
-
-
+
-
-
+
+
-
c
b
a
c
b
a
c
b
a
; para a =
2
1
, b = – 1 ; c = 2
5) Valorar
mn
n
mn
1
·
2
4
1
2
5
3
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
; para m =
4
1
, n = 2
6) Valorar
2
3
1
2
4
3
2
1
bc
a
ab
bc
a
-
-
-
; para a =
3
1
; b = – 6 ; c = 2
Factor literal
2 cm 3 cm
Ejemplo:
Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión:
3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b =
3 ( 3 - 2 ( 2 - 5 ( 3 + 4 ( 2 - 6 ( 3 + 3 ( 2 =
9 - 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14
Coeficiente numérico
2a
3a
4m
4mn
7y – 2x
5x + 3y
4 cm
a a
b
a a
x
m
a
b b
x
x
p
a
a a
x
m
r
m
y
y
x x
x x
x x
x x
y
x x
y
0,5y 0,5y
1,5x 1,5x
1,5x 1,5x
x+y
P = 2 + 4 + 3 + 1 = 10 cm es decir , perímetro es la suma de todos sus lados
P = a + b + a + b, es decir, P = 2a + 2b
Para resolver paréntesis se debe seguir por las siguientes reglas:
si el paréntesis está precedido por signo positivo, se consideran los términos por sus respectivos signos,
b) si el paréntesis está precedido por signo negativo, debes Sumar su opuesto, es decir, cambiar el signo de los términos que están dentro del paréntesis que vas a eliminar.
Edwin Roldan Cruz – 2013 – [email protected]