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  • GUIA DE TRABAJO # 29 PROYECTO: MAGIA MATEMÁTICA SUBPROYECTO: ROMPECABEZAS MULTIFUNCIONAL. ESTRATEGIA: CONSTRUCCIÓN Y SECRETOS DEL ROMPECOCOS MULTIFUNCIONAL. OBJETIVO: JUGAR Y COMPRENDER LO SIMBÓLICO, EMPLEANDO MATERIAL CONCRETO. RESPONSABLE: JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ MATERIALES: LÁPIZ, REGLA, PAPEL DE COLOR Y TIJERAS.

    EL ROMPECABEZAS EL ROMPECABEZAS

    MULTIFUNCIONALMULTIFUNCIONAL

     ES UN MATERIAL DIDES UN MATERIAL DIDÁÁCTICO QUE PERMITE CTICO QUE PERMITE

    OPERAR O REALIZAR COPERAR O REALIZAR CÁÁLCUOS MATEMLCUOS MATEMÁÁTICOS TICOS

    (ARITM(ARITMÉÉTICOS, GEOMTICOS, GEOMÉÉTRICOS, ALGEBRAICOS, TRICOS, ALGEBRAICOS,

    TRIGONOMTRIGONOMÉÉTRICOS) EN UNA FORMA MTRICOS) EN UNA FORMA MÁÁS S

    CPRRECTA, SIGNIFICATIVA Y LCPRRECTA, SIGNIFICATIVA Y LÓÓGICA YA QUE GICA YA QUE

    PARTE DE LA GEOMETRPARTE DE LA GEOMETRÍÍA Y EVOLUCIA Y EVOLUCIÓÓNA EN EL NA EN EL

    PENSAMIENTO HASTA LOGRAR GENERALIZAR O PENSAMIENTO HASTA LOGRAR GENERALIZAR O

    ABSTRAER RESULTADOS EN UN CAMPO NO TAN ABSTRAER RESULTADOS EN UN CAMPO NO TAN

    CONCRETO COMO EL CONCRETO COMO EL ÁÁLGEBRA Y LA LGEBRA Y LA

    TRIGONOMETRTRIGONOMETRÍÍA. A.

  • MATERIALMATERIAL

     EN UN CARTEN UN CARTÓÓN PAJA, MADERA O ACRN PAJA, MADERA O ACRÍÍLICO LICO

    DISEDISEÑÑAR Y RECORTAR:AR Y RECORTAR:

    1)1) UN CUADRADO QUE ACTUARUN CUADRADO QUE ACTUARÁÁ COMO COMO

    UNIDAD:UNIDAD:

    2)2) UN RECTUN RECTÁÁNGULO QUE ACTUARNGULO QUE ACTUARÁÁ COMO DECENA O COMO DECENA O

    COMO CUALQUIER VARIABLE (PARA LAS COMO CUALQUIER VARIABLE (PARA LAS

    FRACCIONES ACTUARFRACCIONES ACTUARÁÁ COMO LA UNIDAD) COMO LA UNIDAD)

    ÓÓ

    3)3) UN CUADRADO DE LADO 10 (QUE ACTUARUN CUADRADO DE LADO 10 (QUE ACTUARÁÁ

    COMO CENTENA O CUADRADO DE COMO CENTENA O CUADRADO DE

    CUALQUIER VARIABLE) CUALQUIER VARIABLE)

    4)4) DE IGUAL FORMA PODRDE IGUAL FORMA PODRÍÍAMOS OBTENER AMOS OBTENER

    LAS FRACCIONES Y SUS LAS FRACCIONES Y SUS

    RESPECTIVOS CUADRADOS. (Y DE ACRESPECTIVOS CUADRADOS. (Y DE ACÁÁ

    OTRAS VARIABLES) OTRAS VARIABLES)

  • 5)5) PARA LA TRIGONOMETRPARA LA TRIGONOMETRÍÍA: RECORDEMOS A: RECORDEMOS

    QUE Y QUE POR QUE Y QUE POR

    TEOREMA DE PITTEOREMA DE PITÁÁGORAS EN UNA GORAS EN UNA

    CIRCUNFERENCIA UNITARIA (O DE RADIO CIRCUNFERENCIA UNITARIA (O DE RADIO

    IGUAL A 1) IGUAL A 1) ENTONCESENTONCES

    6)6) Y SE PUEDE LLEVAR AL CY SE PUEDE LLEVAR AL CÁÁLCULO DIFERENCIAL LCULO DIFERENCIAL

    E INTEGRAL, AL MENOS, COMO UNA E INTEGRAL, AL MENOS, COMO UNA

    APROXIMACIAPROXIMACIÓÓN AL CONCEPTO Y COMPRENSIN AL CONCEPTO Y COMPRENSIÓÓN N

    DEL MISMO.DEL MISMO.

    VEAMOS EN FORMA PRVEAMOS EN FORMA PRÁÁCTICA.CTICA.

    NOS APOYAMOS EN EL PLANO CARTESIANO: NOS APOYAMOS EN EL PLANO CARTESIANO:

    -- ++

    + + --

  • A)A) OPERACIONES CON NOPERACIONES CON NÚÚMEROS MEROS

    ENTEROS:ENTEROS:

    1)1) 5+3=5+3=

     DISPONGO UN DISPONGO UN RECTRECTÁÁNGULO DE 5 NGULO DE 5 UNIDADES EN EL I UNIDADES EN EL I ÓÓ III III CUADRANTE POR CUADRANTE POR ESTAR POSITIVO.ESTAR POSITIVO.

     A CONTINUACIA CONTINUACIÓÓN, N, DISPONGO UN DISPONGO UN RECTRECTÁÁNGULO DE 3 NGULO DE 3 UNIDADES.UNIDADES.

     LA RESPUESTA SERLA RESPUESTA SERÁÁ UN RECTUN RECTÁÁNGULO DE 8 NGULO DE 8 UNIDADES. (UNIDADES. (¡¡SIMPLE! SIMPLE! ¿¿VERDAD?) VERDAD?)

    2)2) ((--5) + (4)5) + (4)

     DISPONGO LOS DISPONGO LOS RECTRECTÁÁNGULOS EN NGULOS EN LOS CUADRANTES LOS CUADRANTES SEGSEGÚÚN SUS N SUS SIGNOS.SIGNOS.

     OBSERVO QUE 4 OBSERVO QUE 4 POSITIVOS SE POSITIVOS SE ANULAN ANULAN ÓÓ CANCELAN CON 4 CANCELAN CON 4 NEGATIVOS DANDO NEGATIVOS DANDO COMO RESPUESTA 1 COMO RESPUESTA 1 NEGATIVO.NEGATIVO.

  • 3)3) (3) POR ((3) POR (--2)2)

     UN FACTOR LO COLOCO UN FACTOR LO COLOCO

    EN UN SEMIEJE EN UN SEMIEJE

    POSITIVO (X)POSITIVO (X)

     EL OTRO EN UN EL OTRO EN UN

    SEMIEJE NEGATIVO (Y)SEMIEJE NEGATIVO (Y)

     SE COMPLETA LA SE COMPLETA LA

    FIGURA Y EL FIGURA Y EL

    RESULTADO SE OBTIENE RESULTADO SE OBTIENE

    CONTANDO EL NCONTANDO EL NÚÚMERO MERO

    DE CUADROS.DE CUADROS.

    = = --6.6.

    4)4) (12) POR (12)(12) POR (12)

    = 144= 144

  • B)B) OPERACIONES CON FRACCIONES.OPERACIONES CON FRACCIONES.

    1)1)

     COLOCO UNA UNIDAD COLOCO UNA UNIDAD DIVIDIDA EN MEDIOS EN UN DIVIDIDA EN MEDIOS EN UN SEMIEJE (X)SEMIEJE (X)

     LUEGO COLOCO OTRA UNIDAD LUEGO COLOCO OTRA UNIDAD DIVIDIDA EN TERCIOS EN EL DIVIDIDA EN TERCIOS EN EL OTRO SEMIEJE (Y)OTRO SEMIEJE (Y)

     SELECCIONO UN SELECCIONO UN ÁÁREA CUYA REA CUYA BASE SEA 2 Y ALTURA 3, PARA BASE SEA 2 Y ALTURA 3, PARA COMPLETAR LA SUPERFICIE COMPLETAR LA SUPERFICIE TOTAL. (QUEDA DIVIDIDA EN TOTAL. (QUEDA DIVIDIDA EN SEXTOS.)SEXTOS.)

     OBSERVEMOS QUEOBSERVEMOS QUE

    YY

    LUEGOLUEGO

    2)2)  COLOCO LAS UNIDADES COLOCO LAS UNIDADES

    FRACCIONADAS EN EL FRACCIONADAS EN EL SEMIEJE ADECUADO.SEMIEJE ADECUADO.

     SELECCIONO EL SELECCIONO EL ÁÁREA DE REA DE BASE 4 Y ALTURA 2, BASE 4 Y ALTURA 2, PARA COMPLETAR LA PARA COMPLETAR LA SUPERFICIE TOTAL SUPERFICIE TOTAL (QUEDA DIVIDIDA EN (QUEDA DIVIDIDA EN DOCEAVOS)DOCEAVOS)

     OBSERVEMOS QUE:OBSERVEMOS QUE:

    YY

    LUEGO:LUEGO:

  • TRIGONOMETRTRIGONOMETRÍÍA: IDA: IDÉÉNTIDADES Y NTIDADES Y

    ECUACIONES TRIGONOMECUACIONES TRIGONOMÉÉTRICASTRICAS

     DE ACUERDO A LA CIRCUNFERENCIA DE ACUERDO A LA CIRCUNFERENCIA

    UNITARIA (RADIO= 1) Y EL TEOREMA DE UNITARIA (RADIO= 1) Y EL TEOREMA DE

    PITPITÁÁGORAS TENEMOS QUE:GORAS TENEMOS QUE:

    1)1) DEMOSTRAR O PROBAR LAS SIGUIENTES DEMOSTRAR O PROBAR LAS SIGUIENTES

    IDIDÉÉNTIDADESNTIDADES

     MOSTREMOS QUE (SEN X + 1) ES LO MISMO QUE EL MOSTREMOS QUE (SEN X + 1) ES LO MISMO QUE EL

    OTRO LADO.OTRO LADO.

  • 2)2) (1+COS X) (1(1+COS X) (1--COS X) = SEN XCOS X) = SEN X

     MOSTREMOS QUE (1+COS X) (1MOSTREMOS QUE (1+COS X) (1--COS X) EQUIVALE COS X) EQUIVALE

    A A

    A)A) UBICAMOS (1+COS X ) COMO BASE Y (1UBICAMOS (1+COS X ) COMO BASE Y (1--COS X) COMO COS X) COMO

    ALTURA DE UN CUADRADO.ALTURA DE UN CUADRADO.

     SE ANULA SE ANULA

    COS X CON COS X CON

    --COS X Y COS X Y

    QUEDA QUEDA QUE EQUIVALE QUE EQUIVALE

    AA

    3)3) PROBAR QUE PROBAR QUE

    11--2SEN COS 2SEN COS = (SEN = (SEN -- COS )COS )

     SABEMOS QUE 1SABEMOS QUE 1--2SEN COS ES LO MISMO 2SEN COS ES LO MISMO

    QUE QUE

     SE FORMSE FORMÓÓ UN UN

    CUADRADO DE CUADRADO DE

    LADO Y LADO Y

    SU SU ÁÁREA REA

    CORRESPONDE CORRESPONDE

    A A

    ÓÓ

  • PARA EL CPARA EL CÁÁLCULO:LCULO:

    1)1) DADA UNA FUNCIDADA UNA FUNCIÓÓN Y= X SU DERIVADA Y = 1N Y= X SU DERIVADA Y = 1

     SE PODRSE PODRÍÍA ENTENDER A ENTENDER

    COMO COMO CUANTASCUANTAS VECES VECES

    SE NECESITA EL FACTOR SE NECESITA EL FACTOR

    XX, PARA OBTENER LA , PARA OBTENER LA

    FUNCIFUNCIÓÓN Y= X (EN ESTE N Y= X (EN ESTE

    CASO 1 VEZ) O TAMBICASO 1 VEZ) O TAMBIÉÉN N

    DERIVARDERIVAR LA FUNCILA FUNCIÓÓN N

    CON RSPECTO A X (1 Y X CON RSPECTO A X (1 Y X

    ORIGINAN Y= X)ORIGINAN Y= X)

    2)2) DADA LA FUNCIDADA LA FUNCIÓÓN REAL Y= ; SU DERIVADAN REAL Y= ; SU DERIVADA ___= 2X ___= 2X

     AL DERIVAR Y= SE OBSERVA QUE ES UN AL DERIVAR Y= SE OBSERVA QUE ES UN

    ÁÁREA GENERADA POR EL PRODUCTO DE DOS REA GENERADA POR EL PRODUCTO DE DOS

    EQUIS (2X). EQUIS (2X).

  • 1)1) HALLAR LA DERIVADA DE LA FUNCIHALLAR LA DERIVADA DE LA FUNCIÓÓN Y= +2N Y= +2

     LA FUNCILA FUNCIÓÓN SE OBTUVN SE OBTUVÓÓ DEL PRODUCTO DE DEL PRODUCTO DE YY X X

    ES DECIR 3 VECES MIENTRAS QUE EL ES DECIR 3 VECES MIENTRAS QUE EL ÁÁREA 2 REA 2

    NONO FUE ORIGINADA CON NINGUNA. X. POR ESO FUE ORIGINADA CON NINGUNA. X. POR ESO

    SU DERIVADA ES CERO. SU DERIVADA ES CERO.

    D)D) EN CUANTO A LA INTEGRAL:EN CUANTO A LA INTEGRAL:

    A)A)  SE OBSERVA QUE LA SE OBSERVA QUE LA

    INTEGRAL ME GENERA UN INTEGRAL ME GENERA UN

    RECTRECTÁÁNGULO CUYA BASE NGULO CUYA BASE

    ES LA ANTIDERIVADA Y ES LA ANTIDERIVADA Y

    CUYA ALTURA ES X. CUYA ALTURA ES X.

    TENIENDO COMO TENIENDO COMO

    FUNCIFUNCIÓÓN N

    SIENDO ENTONCES SU SIENDO ENTONCES SU

    TERCERA PARTE MTERCERA PARTE MÁÁS UNA S UNA

    CONSTANTE. (C)CONSTANTE. (C)

  • B)B) HALLAR LA INTEGRAL DE LA HALLAR LA INTEGRAL DE LA

    FUNCIFUNCIÓÓN: N: SERSERÍÍA IGUAL AA IGUAL A

    LUEGO:LUEGO:

    CONCLU