GUIA DE TRABAJO # 29 PROYECTO: MAGIA MATEMÁTICA SUBPROYECTO: ROMPECABEZAS MULTIFUNCIONAL. ESTRATEGIA: CONSTRUCCIÓN Y SECRETOS DEL ROMPECOCOS MULTIFUNCIONAL. OBJETIVO: JUGAR Y COMPRENDER LO SIMBÓLICO, EMPLEANDO MATERIAL CONCRETO. RESPONSABLE: JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ MATERIALES: LÁPIZ, REGLA, PAPEL DE COLOR Y TIJERAS.

EL ROMPECABEZAS EL ROMPECABEZAS

MULTIFUNCIONALMULTIFUNCIONAL

ES UN MATERIAL DIDES UN MATERIAL DIDÁÁCTICO QUE PERMITE CTICO QUE PERMITE

OPERAR O REALIZAR COPERAR O REALIZAR CÁÁLCUOS MATEMLCUOS MATEMÁÁTICOS TICOS

(ARITM(ARITMÉÉTICOS, GEOMTICOS, GEOMÉÉTRICOS, ALGEBRAICOS, TRICOS, ALGEBRAICOS,

TRIGONOMTRIGONOMÉÉTRICOS) EN UNA FORMA MTRICOS) EN UNA FORMA MÁÁS S

CPRRECTA, SIGNIFICATIVA Y LCPRRECTA, SIGNIFICATIVA Y LÓÓGICA YA QUE GICA YA QUE

PARTE DE LA GEOMETRPARTE DE LA GEOMETRÍÍA Y EVOLUCIA Y EVOLUCIÓÓNA EN EL NA EN EL

PENSAMIENTO HASTA LOGRAR GENERALIZAR O PENSAMIENTO HASTA LOGRAR GENERALIZAR O

ABSTRAER RESULTADOS EN UN CAMPO NO TAN ABSTRAER RESULTADOS EN UN CAMPO NO TAN

CONCRETO COMO EL CONCRETO COMO EL ÁÁLGEBRA Y LA LGEBRA Y LA

TRIGONOMETRTRIGONOMETRÍÍA. A.

MATERIALMATERIAL

EN UN CARTEN UN CARTÓÓN PAJA, MADERA O ACRN PAJA, MADERA O ACRÍÍLICO LICO

DISEDISEÑÑAR Y RECORTAR:AR Y RECORTAR:

1)1) UN CUADRADO QUE ACTUARUN CUADRADO QUE ACTUARÁÁ COMO COMO

UNIDAD:UNIDAD:

2)2) UN RECTUN RECTÁÁNGULO QUE ACTUARNGULO QUE ACTUARÁÁ COMO DECENA O COMO DECENA O

COMO CUALQUIER VARIABLE (PARA LAS COMO CUALQUIER VARIABLE (PARA LAS

FRACCIONES ACTUARFRACCIONES ACTUARÁÁ COMO LA UNIDAD) COMO LA UNIDAD)

ÓÓ

3)3) UN CUADRADO DE LADO 10 (QUE ACTUARUN CUADRADO DE LADO 10 (QUE ACTUARÁÁ

COMO CENTENA O CUADRADO DE COMO CENTENA O CUADRADO DE

CUALQUIER VARIABLE) CUALQUIER VARIABLE)

4)4) DE IGUAL FORMA PODRDE IGUAL FORMA PODRÍÍAMOS OBTENER AMOS OBTENER

LAS FRACCIONES Y SUS LAS FRACCIONES Y SUS

RESPECTIVOS CUADRADOS. (Y DE ACRESPECTIVOS CUADRADOS. (Y DE ACÁÁ

OTRAS VARIABLES) OTRAS VARIABLES)

5)5) PARA LA TRIGONOMETRPARA LA TRIGONOMETRÍÍA: RECORDEMOS A: RECORDEMOS

QUE Y QUE POR QUE Y QUE POR

TEOREMA DE PITTEOREMA DE PITÁÁGORAS EN UNA GORAS EN UNA

CIRCUNFERENCIA UNITARIA (O DE RADIO CIRCUNFERENCIA UNITARIA (O DE RADIO

IGUAL A 1) IGUAL A 1) ENTONCESENTONCES

6)6) Y SE PUEDE LLEVAR AL CY SE PUEDE LLEVAR AL CÁÁLCULO DIFERENCIAL LCULO DIFERENCIAL

E INTEGRAL, AL MENOS, COMO UNA E INTEGRAL, AL MENOS, COMO UNA

APROXIMACIAPROXIMACIÓÓN AL CONCEPTO Y COMPRENSIN AL CONCEPTO Y COMPRENSIÓÓN N

DEL MISMO.DEL MISMO.

VEAMOS EN FORMA PRVEAMOS EN FORMA PRÁÁCTICA.CTICA.

NOS APOYAMOS EN EL PLANO CARTESIANO: NOS APOYAMOS EN EL PLANO CARTESIANO:

-- ++

+ + --

A)A) OPERACIONES CON NOPERACIONES CON NÚÚMEROS MEROS

ENTEROS:ENTEROS:

1)1) 5+3=5+3=

DISPONGO UN DISPONGO UN RECTRECTÁÁNGULO DE 5 NGULO DE 5 UNIDADES EN EL I UNIDADES EN EL I ÓÓ III III CUADRANTE POR CUADRANTE POR ESTAR POSITIVO.ESTAR POSITIVO.

A CONTINUACIA CONTINUACIÓÓN, N, DISPONGO UN DISPONGO UN RECTRECTÁÁNGULO DE 3 NGULO DE 3 UNIDADES.UNIDADES.

LA RESPUESTA SERLA RESPUESTA SERÁÁUN RECTUN RECTÁÁNGULO DE 8 NGULO DE 8 UNIDADES. (UNIDADES. (¡¡SIMPLE! SIMPLE! ¿¿VERDAD?) VERDAD?)

2)2) ((--5) + (4)5) + (4)

DISPONGO LOS DISPONGO LOS RECTRECTÁÁNGULOS EN NGULOS EN LOS CUADRANTES LOS CUADRANTES SEGSEGÚÚN SUS N SUS SIGNOS.SIGNOS.

OBSERVO QUE 4 OBSERVO QUE 4 POSITIVOS SE POSITIVOS SE ANULAN ANULAN ÓÓCANCELAN CON 4 CANCELAN CON 4 NEGATIVOS DANDO NEGATIVOS DANDO COMO RESPUESTA 1 COMO RESPUESTA 1 NEGATIVO.NEGATIVO.

3)3) (3) POR ((3) POR (--2)2)

UN FACTOR LO COLOCO UN FACTOR LO COLOCO

EN UN SEMIEJE EN UN SEMIEJE

POSITIVO (X)POSITIVO (X)

EL OTRO EN UN EL OTRO EN UN

SEMIEJE NEGATIVO (Y)SEMIEJE NEGATIVO (Y)

SE COMPLETA LA SE COMPLETA LA

FIGURA Y EL FIGURA Y EL

RESULTADO SE OBTIENE RESULTADO SE OBTIENE

CONTANDO EL NCONTANDO EL NÚÚMERO MERO

DE CUADROS.DE CUADROS.

= = --6.6.

4)4) (12) POR (12)(12) POR (12)

= 144= 144

B)B) OPERACIONES CON FRACCIONES.OPERACIONES CON FRACCIONES.

1)1)

COLOCO UNA UNIDAD COLOCO UNA UNIDAD DIVIDIDA EN MEDIOS EN UN DIVIDIDA EN MEDIOS EN UN SEMIEJE (X)SEMIEJE (X)

LUEGO COLOCO OTRA UNIDAD LUEGO COLOCO OTRA UNIDAD DIVIDIDA EN TERCIOS EN EL DIVIDIDA EN TERCIOS EN EL OTRO SEMIEJE (Y)OTRO SEMIEJE (Y)

SELECCIONO UN SELECCIONO UN ÁÁREA CUYA REA CUYA BASE SEA 2 Y ALTURA 3, PARA BASE SEA 2 Y ALTURA 3, PARA COMPLETAR LA SUPERFICIE COMPLETAR LA SUPERFICIE TOTAL. (QUEDA DIVIDIDA EN TOTAL. (QUEDA DIVIDIDA EN SEXTOS.)SEXTOS.)

OBSERVEMOS QUEOBSERVEMOS QUE

YY

LUEGOLUEGO

2)2) COLOCO LAS UNIDADES COLOCO LAS UNIDADES

FRACCIONADAS EN EL FRACCIONADAS EN EL SEMIEJE ADECUADO.SEMIEJE ADECUADO.

SELECCIONO EL SELECCIONO EL ÁÁREA DE REA DE BASE 4 Y ALTURA 2, BASE 4 Y ALTURA 2, PARA COMPLETAR LA PARA COMPLETAR LA SUPERFICIE TOTAL SUPERFICIE TOTAL (QUEDA DIVIDIDA EN (QUEDA DIVIDIDA EN DOCEAVOS)DOCEAVOS)

OBSERVEMOS QUE:OBSERVEMOS QUE:

YY

LUEGO:LUEGO:

TRIGONOMETRTRIGONOMETRÍÍA: IDA: IDÉÉNTIDADES Y NTIDADES Y

ECUACIONES TRIGONOMECUACIONES TRIGONOMÉÉTRICASTRICAS

DE ACUERDO A LA CIRCUNFERENCIA DE ACUERDO A LA CIRCUNFERENCIA

UNITARIA (RADIO= 1) Y EL TEOREMA DE UNITARIA (RADIO= 1) Y EL TEOREMA DE

PITPITÁÁGORAS TENEMOS QUE:GORAS TENEMOS QUE:

1)1) DEMOSTRAR O PROBAR LAS SIGUIENTES DEMOSTRAR O PROBAR LAS SIGUIENTES

IDIDÉÉNTIDADESNTIDADES

MOSTREMOS QUE (SEN X + 1) ES LO MISMO QUE EL MOSTREMOS QUE (SEN X + 1) ES LO MISMO QUE EL

OTRO LADO.OTRO LADO.

2)2) (1+COS X) (1(1+COS X) (1--COS X) = SEN XCOS X) = SEN X

MOSTREMOS QUE (1+COS X) (1MOSTREMOS QUE (1+COS X) (1--COS X) EQUIVALE COS X) EQUIVALE

A A

A)A) UBICAMOS (1+COS X ) COMO BASE Y (1UBICAMOS (1+COS X ) COMO BASE Y (1--COS X) COMO COS X) COMO

ALTURA DE UN CUADRADO.ALTURA DE UN CUADRADO.

SE ANULA SE ANULA

COS X CON COS X CON

--COS X Y COS X Y

QUEDA QUEDA QUE EQUIVALE QUE EQUIVALE

AA

3)3) PROBAR QUE PROBAR QUE

11--2SEN COS 2SEN COS = (SEN = (SEN -- COS )COS )

SABEMOS QUE 1SABEMOS QUE 1--2SEN COS ES LO MISMO 2SEN COS ES LO MISMO

QUE QUE

SE FORMSE FORMÓÓ UN UN

CUADRADO DE CUADRADO DE

LADO Y LADO Y

SU SU ÁÁREA REA

CORRESPONDE CORRESPONDE

A A

ÓÓ

PARA EL CPARA EL CÁÁLCULO:LCULO:

1)1) DADA UNA FUNCIDADA UNA FUNCIÓÓN Y= X SU DERIVADA Y = 1N Y= X SU DERIVADA Y = 1

SE PODRSE PODRÍÍA ENTENDER A ENTENDER

COMO COMO CUANTASCUANTAS VECES VECES

SE NECESITA EL FACTOR SE NECESITA EL FACTOR

XX, PARA OBTENER LA , PARA OBTENER LA

FUNCIFUNCIÓÓN Y= X (EN ESTE N Y= X (EN ESTE

CASO 1 VEZ) O TAMBICASO 1 VEZ) O TAMBIÉÉN N

DERIVARDERIVAR LA FUNCILA FUNCIÓÓN N

CON RSPECTO A X (1 Y X CON RSPECTO A X (1 Y X

ORIGINAN Y= X)ORIGINAN Y= X)

2)2) DADA LA FUNCIDADA LA FUNCIÓÓN REAL Y= ; SU DERIVADAN REAL Y= ; SU DERIVADA ___= 2X ___= 2X

AL DERIVAR Y= SE OBSERVA QUE ES UN AL DERIVAR Y= SE OBSERVA QUE ES UN

ÁÁREA GENERADA POR EL PRODUCTO DE DOS REA GENERADA POR EL PRODUCTO DE DOS

EQUIS (2X). EQUIS (2X).

1)1) HALLAR LA DERIVADA DE LA FUNCIHALLAR LA DERIVADA DE LA FUNCIÓÓN Y= +2N Y= +2

LA FUNCILA FUNCIÓÓN SE OBTUVN SE OBTUVÓÓ DEL PRODUCTO DE DEL PRODUCTO DE YY X X

ES DECIR 3 VECES MIENTRAS QUE EL ES DECIR 3 VECES MIENTRAS QUE EL ÁÁREA 2 REA 2

NONO FUE ORIGINADA CON NINGUNA. X. POR ESO FUE ORIGINADA CON NINGUNA. X. POR ESO

SU DERIVADA ES CERO. SU DERIVADA ES CERO.

D)D) EN CUANTO A LA INTEGRAL:EN CUANTO A LA INTEGRAL:

A)A) SE OBSERVA QUE LA SE OBSERVA QUE LA

INTEGRAL ME GENERA UN INTEGRAL ME GENERA UN

RECTRECTÁÁNGULO CUYA BASE NGULO CUYA BASE

ES LA ANTIDERIVADA Y ES LA ANTIDERIVADA Y

CUYA ALTURA ES X. CUYA ALTURA ES X.

TENIENDO COMO TENIENDO COMO

FUNCIFUNCIÓÓN N

SIENDO ENTONCES SU SIENDO ENTONCES SU

TERCERA PARTE MTERCERA PARTE MÁÁS UNA S UNA

CONSTANTE. (C)CONSTANTE. (C)

B)B) HALLAR LA INTEGRAL DE LA HALLAR LA INTEGRAL DE LA

FUNCIFUNCIÓÓN: N: SERSERÍÍA IGUAL AA IGUAL A

LUEGO:LUEGO:

CONCLUSIONES Y/O SUGERENCIAS

EVALUACIÓN: