Pablo Cáceres Pérez

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GUÍA DE EJERCICIOS

DISTRIBUCION NORMAL

1. Suponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene distribución normal con media

$600 y desviación estándar $100.

a) Calcular la probabilidad de que el ingreso de una familia escogida al azar sea menor que $400.

b) Calcular la probabilidad de que el ingreso de una familia escogida al azar sea mayor que $500.

c) Calcular la probabilidad de que el ingreso familiar se encuentre entre $300 y $700.

d) Si el 5% de las familias con mayores ingresos deben pagar un impuesto, ¿a partir de que

ingreso familiar se debe pagar el impuesto?

2. Sea X una ..av con distribución normal, con media 30 y desviación estándar 6 .

Encuentre la probabilidad de que esta variable tome un valor:

a) Menor que 22.

b) Mayor que 17.

c) Entre 32 y 41.

d) El valor de x que tiene 90% de probabilidad a la izquierda.

e) Los dos valores de x que contienen un intervalo central de un 95% de probabilidad.

Respuestas: a) 0,0918 b) 0,985 c) 0,3371 d) 37,69 e) Entre 18,24 y 41,76

3. Supóngase que durante períodos de meditación trascendental, el consumo de oxígeno de una

persona es una ..av que tiene una distribución normal con ..6,37 cc por minuto y ..6,4 cc

por minuto. Determine las probabilidades de que durante un período de meditación trascendental el

consumo de oxígeno de una persona se reduzca:

a) Cuando menos en 44,5 c.c. por minuto.

b) Cuando mucho en 35,0 c.c. por minuto.

c) Entre 30,0 y 40,0 c.c. por minuto.

Desarrollo:

a) Cuando menos en 44,5 c.c. por minuto.

2( 37,6 ; (4,6) )va x N

( 44,5) 1 ( 44,5)

44,5 37,61

4,6

P x P x

xP

1 ( 1,5)

1 (1,5)

1 0,9332

0,0668

P Z

b) Cuando mucho en 35,0 c.c. por minuto.

35 37,6( 35,0)

4,6

( 0,57)

xP x P

P Z

1 (0,57)

1 0,7157

0,2843

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c) Entre 30,0 y 40,0 c.c. por minuto.

30 37,6 40 37,6(30 40)

4,6 4,6

( 1,65 0,52)

xP x P

P Z

(0,52) ( 1,65)

(0,52) 1 (1,65)

0,6985 (1 0,9505)

0,649

4. Los diámetros de los tornillos fabricados por una compañía están distribuidos normalmente con

media de 0,25 cm. y desviación estándar de 0,02 cm. Se considera defectuoso un tomillo si su

diámetro es menor o igual que 0,2 cm. o mayor o igual que 0,28 cm. Encuentre el porcentaje de

tornillos defectuosos producidos por la compañía.

Desarrollo:

2( 0,25 ; (0,02) )

: 0,2 . 0,28 .

Pr 1 (0,2 0,28)

va x N

Defectuoso si x cm ó x cm

obabilidad Defectuoso P x

1 (0,2 0,28)

0,2 0,25 0,28 0,251

0,02 0,02

P x

xP

1 ( 2,5 1,5)

1 (1,5) ( 2,5)

1 (1,5) 1 (2,5)

1 0,9332 (1 0,9938)

0,073

P Z

5. Suponga, que la cantidad real de café instantáneo colocada por una máquina llenadora en frascos

de 6 onzas, es una ..av que tiene distribución normal con 05,0 onzas. Si sólo el 3% de los

frascos van a contener menos de 6 onzas de café. ¿Cuál debe ser el contenido medio de estos

frascos?

Desarrollo:

2: ( ; (0,05) ) me piden determinar

:

6( 6) 0,03 0,03

0,05

60,03

0,05

Entonces reemplazo el valor y despejo :

61,88 6,094

0,05

vax N

Se sabe que

xP x P

onzas

Busco el valor 0,03 dentro de la tabla normal.

Pero como no tengo la tabla de los números negativos, realizo el siguiente cambio:

Por ser simétrico el modelo puedo hacer lo siguiente: 1-0,03 0,97

El valor 0,97 lo busco en la tabla porporcionada,

el que equivale aproximadamente a 1,88

Después de haber encontrado el valor (1,88), le agrego el signo negativo

por corresponder al valor 0,03

6. En cierta empresa, los salarios diarios de los trabajadores se distribuyen normalmente con media

$300.000 y una desviación estándar de $75.000.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador tenga un salario diario inferior a $300.000?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador tenga un salario entre $250.000 y $350.000?

Desarrollo:

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a) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador tenga un salario diario inferior a $300.000?

2: ( 300.000 ; (75.000) )vax N 300.000 300.000

( 300.000)75.000

( 0) 0,5

xP x P

P Z

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador tenga un salario entre $250.000 y $350.000?

250.000 300.000 350.000 300.000(250.000 350.000)

75.000 75.000

( 0,67 0,67) 2 (0,67) 1 2 0,7486 1 0,4972

xP x P

P Z

7. Una ..av X tiene distribución de probabilidad normal con media 4,62 . Encuentre su

desviación estándar, si la probabilidad es 0,20 que tome un valor mayor que 79,2.

Desarrollo:

2: (62,4; )

( 79,2) 0,20 ( 79,2) 1 0,20

79,2 62,4( 79,2) 0,80 tan 0,80

16,8 16,80,80 0,80 0,80

Como el valor no se

vax N

P X sacamos el complemento P X

XP X es darizamos P

P Z Buscamos en tabla el valor

encuentra exacto interpolamos:

1 1 2 2

2 1

1 1

2 1

º1: 0,84 0,7995 º 2 : 0,85 0,8023

( ; ) : ?? 0,80

0,8023 0,79950,80 0,7995 0,84 0,841786

0,85 0,84

16,8: 0,841786 19,957566 19,96

Punto N x y Punto N x y

Punto x y x y

y yy y x x reemplazamos

x x

x x

Luego

8. El gerente de crédito de una gran empresa comercial, estima que el monto por deudas impagas en

el año, es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con media $30.000 y desviación

estándar de $4.000.

a) Si se analiza una de las deudas impagas, ¿Cuál es la probabilidad de que el monto adeudado se

encuentre entre $25.000 y $35.000?

b) Determine a partir de que monto se encuentra el 10% de las mayores deudas impagas.

Respuestas: a) 0,7888 b) $35.126

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9. El tiempo de vida útil de un artículo de línea blanca, se distribuye normalmente con media 19

meses. Según se ha observado el 75% de la producción tiene vida útil inferior a 35 meses.

a) Determine los parámetros de esta distribución.

b) ¿Qué porcentaje de la producción tiene vida útil entre 20 y 31 meses?

Respuestas: a) =23,72 b) 0,179

10. La vida útil de cierta marca de baterías para automóviles, se admite como distribución normal con

media 38 meses y desviación estándar de 2 meses. Si la compañía no desea reemplazar más del

5% de las baterías vendidas ¿qué tiempo de garantía debe dar?

Respuestas: 34,71 meses

11. Suponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene distribución normal con media

$600 y desviación estándar de $100.

a) Calcular la probabilidad de que el ingreso de una familia escogida al azar sea menor que $400.

b) Si el 5% de las familias con mayores ingresos debe pagar un impuesto, ¿a partir de que ingreso

familiar se debe pagar el impuesto?

Respuesta: a) 0,0228 b) 764,5k

12. Los puntajes de una prueba de aptitud académica están distribuidos normalmente con una media de

60 y una desviación estándar de 10 puntos.

a) Si el 12,3% de los alumnos con mayor puntaje recibe el calificativo A y el 20% de los

alumnos con menor nota reciben el calificativo C, calcular el mínimo puntaje que debe tener

un alumno para recibir una A, y el máximo puntaje que debe tener un alumno para recibir una

C.

b) Si el resto de los alumnos recibe el calificativo B y si el total de alumnos es igual a 90,

¿Cuántos alumnos recibieron el calificativo de A, B y C?

Respuesta: a) A=71,6 ; C=51,6 b) A=11, B=61, C=18

13. Las calificaciones de una prueba tienen distribución normal con media igual a 8. Si el 6,68% de los

examinados tiene nota aprobatoria (mayor o igual a once), ¿cómo debe modificarse cada nota para

conseguir un 45% de aprobados?

Respuesta: 2 ; :k nota a añadir; 2,74k

14. Suponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene distribución normal con media

$400 y desviación estándar de $50.

a) Si el 10% de las familias con mayores ingresos deben pagar un impuesto, ¿a partir de que

ingreso familiar se debe pagar el impuesto?

b) Si el ahorro familiar está dado por la relación 504

xy , ¿cuál es la probabilidad de que el

ahorro sea superior a $75?

Respuesta: a) 474k b) 0,0228