guia # elementos basicos de la geometria objetivo

ELEMENTOS BASICOS DE LA GEOMETRIA Objetivo: Aplicar los conocimientos geométricos para comprender y entender los conceptos básicos de la

geometría plana, además de reconocer los elementos básicos de la geometría plana.

Profesor: Luis Amado Camacho V.

La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: GEO = tierra y METRON = medida; o sea, significa "medida de la tierra". PUNTO: Es la figura geométrica más simple, representa una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto, no tiene dimensiones ni forma y se usa para indicar una posición en el espacio. LINEA: Es una sucesión infinita de puntos. Las líneas se clasifican básicamente en: Recta, poligonal y curva.

LÍNEA POLIGONAL Línea formada por segmentos rectos consecutivos no alineados. Se clasifican en:

•Poligonal abierta: si los primeros y últimos segmentos no están unidos,

•Poligonal cerrada: si cada segmento está unido a otros dos.

LÍNEA CURVA: Línea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. La curva puede ser abierta o cerrada. CURVA CERRADA: Una curva que se junta de tal manera que no tiene puntas sueltas o finales. Ejemplos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia.

CURVA ABIERTA: Una curva con las puntas abiertas (en otras palabras, las puntas no se juntan). Ejemplos de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de una curva de radio infinito.

Semirrecta o rayo: si señalamos un punto A en una recta, dicho punto junto con los puntos que le siguen

o le preceden en el mismo sentido se denomina semirrecta; A se conoce como el origen de la semirrecta. Para denotar una semirrecta se señala otro punto además del origen, y se utiliza el siguiente símbolo: 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗

SEGMENTO DE RECTA: Es una parte de la recta

que tiene dos extremos definidos. y se simboliza ̅ con la barra encima de las letras que determinan el segmento.

Ejemplo: Sí señalamos sobre una recta los puntos A y B, se denomina segmento el conjunto de puntos comprendidos entre A y B, incluyendo a los puntos A y B que se denominan extremos del segmento. El segmento de recta se denota por el siguiente

símbolo: 𝑨𝑩̅̅ ̅̅

𝑨𝑩

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Es el punto que divide un segmento en dos segmentos iguales. Si 𝑪 es el punto medio de 𝑨𝑩, entonces

𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 𝑪𝑩̅̅ ̅̅

RECTA: Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia. Se nombra con la letra que representa el punto inicial y el punto final y

el símbolo 𝑨𝑩⃡⃗⃗⃗ ⃗ encima de las letras que determinan la recta.

Ejemplo: Recta 𝑨𝑩⃡⃗ ⃗⃗ ⃗ se lee recta 𝑨𝑩 Las rectas pueden ser horizontales, verticales, oblicuas

SEMIRRECTA O RAYO: Cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos, tiene un origen y se extiende indefinidamente en un solo sentido a partir de un punto. Y se simboliza ⃗⃗ ⃗ encima de las letras mayúsculas con las que determinan la semirrecta.

Ejemplo: la semirrecta 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗

INSTITUCION EDUCATIVA ACADÉMICO NIT. 891901024-6

ICFES 018275-024364-018283 Resolución No. 1664 sept. 3 de 2002

Cod. DANE 176147000236 CARTAGO- VALLE

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GUIA DE TRABAJO GRADO SEXTO GEOMETRIA

GUIA #

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Fecha de aprobación:

PLANO: en geometría, sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de las definiciones geométricas fundamentales junto con el punto y la recta. El plano es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras. El Plano es la superficie donde se pueden trazar puntos y rectas. Tiene dos dimensiones (longitud y anchura).

Por Ejemplo: Utilizamos el símbolo 𝑷 para referirnos a un plano y debemos dibujar, a lo menos, tres puntos no alineados. El dibujo que ves, es una presentación del plano: 𝑷𝑪𝑩𝑫. El plano es una superficie sin grosor. Se requieren unicamente tres puntos para definirse un plano

Un plano posee dos dimensiones: longitud y anchura. Se nombran mediante letras griegas: α (alfa), β (beta)...

Dos planos que se cortan determinan una recta. Un plano viene determinado por: Tres puntos no alineados o coplanares. SEMIPLANO: Es cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas. A la recta que da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos.

DEFINICIONES FUNDAMENTALES

A partir de los elementos fundamentales se pueden definir otros elementos de la Geometría, en esta sección se definen algunos de ellos ESPACIO Está formado por todos los puntos posibles y contiene infinitos planos. PUNTOS COLINEALES Son todos los puntos que están situados sobre una misma recta.

PUNTOS COPLANARES Son todos los puntos que están situados en un mismo plano.

TALLER # 1) Escriba Verdadero o Falso en cada afirmación.

a) Un punto tiene dimensiones infinitas. _______

b) Al marcar un punto en una recta, esta queda

dividida en dos semirrectas. _______

c) El plano tiene dos dimensiones: largo y ancho.

________

d) Para nombrar un punto utilizamos una letra

mayúscula. ________

e) Si se marcan tres puntos en una recta, se

determina un segmento. ________

2) Marque un punto y trace varias rectas que pasen por él. ¿Qué concluye?

3) Observe y nombre 5 segmentos.

4) Marque dos puntos y trace las rectas que puedan pasar por ellos al mismo tiempo. ¿Qué concluye?

5) Observe la figura y responda cada literal.

a) Nombre tres puntos

b) Nombre tres rectas

c) Nombre un plano

d) Nombre dos segmentos con extremo M

e) Nombre dos segmentos con extremo N

f) Nombre dos rectas que pasan por el punto O

g) Nombre dos semirrectas con extremo O

6) Observe la figura y escriba:

a) Tres segmentos con extremo A

b) Dos planos que contengan 𝑬𝑭̅̅ ̅̅

c) Dos planos que contengan 𝑮𝑩̅̅ ̅̅

d) Dos segmentos diferentes

e) Seis planos diferentes

CONSTRUCCION Y MEDIDA DE ANGULOS OBJETIVOS: Reconocer, estimar y medir ángulos que nos permitan conocer los tipos y las unidades en que estos se miden, aplicándolos en el diario vivir y con elementos que nos rodean. Profesor: Luis Amado Camacho V.

¿QUÉ ES EL TRANSPORTADOR Y PARA QUÉ SIRVE? Es una herramienta de medición que nos permite medir

y construir ángulos. El transportador de ángulos es un

instrumento muy útil cuando tenemos que fabricar

algún elemento con ángulos no rectos. También sirve para copiar un ángulo de un determinado sitio y

trasladarlo al elemento que estemos fabricando.

También podemos afirmar que el transportador es un

semicírculo graduado que se utiliza para medir

ángulos. Está graduado de grado en grado, desde 0º a

180º, en los dos sentidos. Para medir un ángulo se

coloca el punto central del transportador sobre el

vértice del ángulo y se hace coincidir la línea del cero

con uno de sus lados.

Un transportador es un instrumento, como dijimos anteriormente, que mide ángulos en grados y que viene en dos presentaciones básicas:

a) Transportador con forma semicircular graduado en 180° (grados sexagesimales) o 200° (grados centesimales). Es más común que el circular, pero tiene la limitación de que al medir ángulos cóncavos (de más de 180° y menos de 360°), se tiene que realizar una doble medición.

b) Transportador con forma circular graduado en 360° o 400°.

¿CÓMO SE UTILIZA EL TRANSPORTADOR? Para trazar un ángulo en grados, se sitúa el centro del transportador en el vértice del ángulo y se alinea la parte derecha del radio (semirrecta de 0º) con el lado inicial. Enseguida se marca con un lápiz el punto con la medida del ángulo deseada. En otras palabras, coloca el origen sobre el punto central o vértice del ángulo que quieres medir. El agujero pequeño en el medio de la base del transportador se llama origen. Alinea el vértice del ángulo con el centro de la cruz del origen. Rota el transportador para alinear un lado del ángulo con la línea de base.

¿CUÁLES SON LAS UNIDADES QUE SE UTILIZAN PARA MEDIR ÁNGULOS? Si se mide en el sentido de giro de las agujas del reloj, se considera negativo y al contrario sería positivo. Las unidades para medir un ángulo son el grado sexagesimal, el radián y el grado centesimal. Grado sexagesimal. Un grado sexagesimal es cada uno de los ángulos que se obtienen al dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Para trazar un ángulo en grados, se sitúa el centro del transportador en el vértice del ángulo y se alinea la parte derecha del radio (semirrecta de 0º) con el lado inicial. Enseguida se marca con un lápiz el punto con la medida del ángulo deseada Pasos

1) Aprende a calcular la medida aproximada de tu ángulo. ...

2) Coloca el origen sobre el punto central o vértice del ángulo que quieres medir. ...

3) Rota el transportador para alinear un lado del

ángulo con la línea de base. ...

4) Sigue el lado opuesto del ángulo hasta llegar a la escala del arco del transportador.

Existen básicamente dos tipos de transportadores, de estilo semicircular o de estilo circular, con los cuales te puedes encontrar en el mercado común y son realmente lo mismo porque con ambos puedes hacer las mismas mediciones, eso sí dependiendo de si son transportadores de base o amplitud sexagesimal (de 0 grados a 360 grados) o de amplitud centesimal (de 0 grados a 400 grados), estos son:




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https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo

https://es.wikipedia.org/wiki/Grados_sexagesimales

https://es.wikipedia.org/wiki/Grado_centesimal

Hagamos unos ejemplos con otro tipo de transportador

que te puedes encontrar en las papelerías

Paso 1. El centro del transportador se coloca sobre el vértice del ángulo que se va a medir. Paso 2. Se hace coincidir uno de los lados con la línea horizontal del transportador, de tal manera que quede alineado en el grado 0. Paso 3. Leer en el círculo graduado el valor marcado por el otro lado del ángulo Medimos 80 grados

Medimos 90 grados

Medimos 140 grados

¿COMO SE MIDEN ÁNGULOS? Para expresar lo que mide un ángulo, es decir, su

amplitud, usamos las unidades: 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐( 𝟎), 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐( ′) 𝒚 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐( ′′) , cuyas

equivalencias son:

𝟏º = 𝟔𝟎’ = 𝟔𝟎 × 𝟔𝟎’’ = 𝟑. 𝟔𝟎𝟎’’ Para medir físicamente o dibujar un ángulo usamos el

transportador, que es una plantilla semicircular

graduada de 00 a 1800, generalmente de material

plástico.

¿CÓMO SE MIDEN LOS ANGULOS? Para medir un ángulo con el transportador, se siguen

los siguientes pasos:

1) Se coloca el transportador de forma que coincida

el punto de su base, con su centro, con el vértice del

ángulo, y que uno de los lados del ángulo pase por 00,

es decir, por la base del transportador.

2) Se lee sobre la semicircunferencia del transportador

la medida por la que pasa el otro lado del ángulo.

DIBUJAR ANGULOS Si en vez de medir queremos dibujar un ángulo, se

procede al revés. Por ejemplo, para dibujar un ángulo

de 𝟕𝟎º se siguen estos pasos:

1. Con una regla se traza un lado del ángulo

2. Se coloca la base del transportador sobre ese

lado, su con su centro sobre el que será el

vértice del ángulo.

3. Se marca con ayuda de la escala graduada el

punto correspondiente a los grados del ángulo

que queremos representar, en nuestro caso 70º

4. Con ayuda de la regla, se une el vértice con

dicho punto

TALLER # 1) Mida con el transportador los ángulos y escriba su valor

a) d)

b) e)

c)

2) Grafica con el transportador los siguientes ángulos:

a) 150º e) 100º

b) 200º f) 250º

c) 30º g) 10º

d) 90º




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BISECTRIZ DE UN ANGULO Y MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO OBJETIVO: Aprender a trazar una bisectriz y recordar los conceptos de mediatriz de un segmento y bisectriz de un

ángulo, así como sus principales propiedades. Profesor: Luis Amado Camacho V.

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. También se puede definir la bisectriz como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (es decir, están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.

Es importante resaltar, que se denomina lugar geométrico al grupo de puntos colocados a un lado del punto fijo de la recta, ésta tiene un punto de origen y como todas las rectas se expande hacia el infinito. Del mismo modo el punto de la bisectriz será de igual distancia a las dos rectas del ángulo, debido a su correlación, cuando dos rectas se entrelazan forman cuatro ángulos, en donde cada uno de ellos determina una bisectriz. Cuando la bisectriz se aplica en un triángulo, las tres bisectrices de los ángulos de la parte interior de un triángulo se partirán en un solo punto en donde se mostraran equivalentes en relación a los lados, este punto se denomina Incentro del triángulo, y representa el centro de la circunferencia incorporada al triángulo. El Incentro cuenta con una propiedad fundamental, de allí la procedencia de su nombre, es “el centro de la circunferencia incorporada al triángulo”. Para elaborar la circunferencia incorporada al triángulo, se debe tomar en cuenta lo siguiente:

• Primero se trazan las bisectrices.

• Con la intersección de las bisectrices obtendremos el Incentro

• A partir del Incentro se trazará una recta perpendicular a uno de los lados

• Se diseña la circunferencia con centro el Incentro y que este pase por la unión con la recta perpendicular al lado.

Uno de los aspectos relacionados con las líneas y ángulos más usados en multitud de ámbitos de la vida cotidiana es la MEDIATRIZ y la BISECTRIZ. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La BISECTRIZ de un ángulo es una semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales. La bisectriz tiene

su origen en el vértice del ángulo, y, al igual que sus lados, llega hasta el infinito. PASOS 1) Abre tu compás y traza un arco en el ángulo. 2) Pincha en la intersección de ese arco con un lado del ángulo y haz una marca. 3) Haz lo mismo desde la otra intersección en el otro lado del ángulo. Observarás que ambas marcas se cruzan. 4) Con tu regla, une el vértice con el cruce de las marcas.

Ya está, la semirrecta roja es la bisectriz

Nota: La bisectriz divide al ángulo en dos iguales, y su medida también se divide por la mitad. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO PASOS

1) Abre tu compás un poco más de lo que mide la mitad del segmento (calcúlalo a ojo). Traza una marca o un arco completo.

2) Haz lo mismo desde el otro extremo del segmento.

3) Une, con tu rebla, los puntos donde se han cortado ambas marcas (por arriba y por abajo).

Ya está la mediatriz, es la línea roja y que pasa por C y D

https://conceptodefinicion.de/punto/

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/triangulos.html

https://conceptodefinicion.de/union/

TALLER #

1) Construye ángulos de 90º, 120º, 60º y 80º y halla la bisectriz de cada uno de ellos.

2) Traza segmentos de 6cm, 10 cm, y 14 cm y halla con el compás la mediatriz en cada uno de ellos 3) usa colores para encontrar las palabras siguientes en la sopa de letras

• BISECTRIZ

• ANGULO

• BISECTRIZ DE UN ANGULO

• LUGAR GEOMETRICO

• INFINITO

• INCENTRO

• TRIANGULO

• INTERSECCION

• CIRCUNFERENCIA

• MEDIATRIZ

• PUNTO

• SEMIRRECTA

• SEGMENTO

• PUNTO INTERIOR

• PUNTO EXTERIOR

EN ESTOS LINKS PUEDES SEGUIR LA CLASE PARA QUE ENTIENDAS MUCHO MEJOR EL CONCEPTO.

https://www.youtube.com/watch?v=DWh2GSa6GSA

https://www.youtube.com/watch?v=TB8lkzoYtp4

https://www.youtube.com/watch?v=DWh2GSa6GSA

https://www.youtube.com/watch?v=TB8lkzoYtp4




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CLASIFICACION DE LOS ANGULOS OBJETIVOS: Aprender conceptos, divisiones y sumas de diversos ángulos ángulos

Profesor: Luis Amado Camacho V.

Los ángulos pueden clasificarse según su medida como agudo, recto, llano, obtuso, convexo y cóncavo. También se pueden clasificar según su posición, según su suma, dentro de una circunferencia y en un polígono regular. A continuación, detallaremos un poco más acerca de cada uno de estos.

ÁNGULOS SEGÚN SU TAMAÑO O AMPLITUD ÁNGULO AGUDO

• ÁNGULO AGUDO: es aquel que mide menos de 90 grados, y más de 0°. Por ejemplo, en un cono de helado puedes distinguir este tipo de ángulo.

ÁNGULO RECTO

• ÁNGULO RECTO: este ángulo mide 90°, siendo sus lados perpendiculares entre sí. Un ejemplo sencillo, seria ver la letra L.

ÁNGULO OBTUSO

• ÁNGULO OBTUSO: cuando el ángulo que se forma entre dos rectas supera los 90° pero es inferior a los 180° estamos hablando de uno obtuso. Un ejemplo sencillo es ver la apertura de un abanico.

ÁNGULO LLANO

• ÁNGULO LLANO: si sumamos dos ángulos rectos, nos da como resultado un ángulo llano, es decir, mide igual a 180°. Un ejemplo sencillo es un brazo estirado,

el ángulo que se forma entre el brazo y antebrazo es uno llano. Los ángulos también pueden clasificarse a gran escala como convexos (menor a 180 grados) o cóncavos (superior a 180°).

ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN Se clasifican en consecutivos, adyacentes, y opuestos. ÁNGULOS CONSECUTIVOS

• ÁNGULOS CONSECUTIVOS: son dos ángulos que comparten su vértice y uno de sus lados. ÁNGULOS ADYACENTES

• ÁNGULOS ADYACENTES: siguiendo la idea anterior, dos ángulos son adyacentes cuando tienen el vértice y un lado en común y el otro lado es una prolongación del otro, formando un ángulo llano.

ÁNGULOS OPUESTOS AL VÉRTICE

• ÁNGULOS OPUESTOS AL VÉRTICE: los

lados de uno son la prolongación del otro, teniendo un mismo vértice.

El ángulo 1 es igual al ángulo 3 El ángulo 2 es igual al ángulo 4 por opuestos por el vértice

ÁNGULOS SEGÚN SU SUMA

Según la suma de los ángulos estos pueden clasificarse en complementarios y suplementarios: ÁNGULO COMPLEMENTARIOS

https://www.clasificacionde.org/wp-content/uploads/2017/10/angulo-agudo.jpg

https://www.clasificacionde.org/wp-content/uploads/2017/10/angulo-recto.jpg

https://www.clasificacionde.org/wp-content/uploads/2017/10/angulo-obtuso.jpg

• ÁNGULO COMPLEMENTARIOS: si ambos ángulos al sumarse dan como resultado 90°, entonces son complementarios. Ejemplos:

o El complemento del ángulo de 30º es 60º porque su suma es 90º



ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

• ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: son aquellos que al sumarse dan un total de 180 grados. Ejemplos

o El suplemento del ángulo de 30º es 150º porque su suma es 180º



TALLER #

1) Completa los ángulos que faltan (Observa que son

complementarios)

a)

b)

c)

2) Completa los ángulos que faltan (Observa que son

Suplementarios)

a)

b)

c)

3) Completa los ángulos que faltan

a)

b)

c)




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ANGULOS FORMADOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL

OBJETIVOS: Saber a operar ángulos encontrados entre dos líneas paralelas y conocer su valor Profesor: Luis Amado Camacho V.

Al trazar dos líneas pueden ocurrir dos situaciones: la primera, que se crucen en un punto; la segunda, que por más que se prolonguen no lleguen a unirse.

Dos rectas que se cortan en un punto se llaman secantes

Dos rectas situadas en el mismo plano que no se cortan o no tienen ningún punto en común RECTAS PARALELAS RECTAS PERPENDICULARES Si dos rectas se intersecan formando ángulos rectos, las rectas son perpendiculares y la medida de los cuatro ángulos formados es 90º.En la figura las rectas 𝒍 y 𝒎 son perpendiculares.

𝟏 = 𝟐 = 𝟑 = 𝟒 = 𝟗𝟎°

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL Al cortar dos rectas con una secante se forman ocho ángulos, los cuales se representan por los números que vemos; estos se clasifican por parejas de acuerdo

con la posición que tienen con la secante. como se muestra en la figura siguiente.

Puede observarse que se forman cuatro pares de ángulos que son opuestos por el vértice, así como dos pares de ángulos que comparten el mismo vértice y son suplementarios. Adicionalmente se definen los ángulos siguientes

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES Los ángulos situados del mismo lado de la transversal, uno externo y el otro interno, pero con vértice diferente se llaman ángulos correspondientes; hay cuatro pares de ángulos correspondientes. Los ángulos correspondientes son iguales, es decir

Ejemplo

Los ángulos correspondientes son congruentes, por lo tanto: ∠𝒆 = ∠𝒈 ∠𝒇 = ∠𝒉

Entonces, ∠𝒈 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∠𝒇 = 𝟖𝟎𝟎

Los ángulos alternos son congruentes entonces: ∠𝒄 = ∠𝒇 ∠𝒂 = ∠𝒉 ∠𝒃 = ∠𝒈 ∠𝒅 = ∠𝒆

Por lo tanto: ∠𝒂 = 𝟖𝟎𝟎 ; ∠𝒃 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∠𝒆 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ; ∠𝒅 = 𝟏𝟎𝟎𝟎

Ángulos alternos internos Los ángulos situados dentro de las paralelas, en lados opuestos de la transversal o secante y con vértice diferente se llaman ángulos alternos internos; hay dos pares de ángulos alternos internos. Los ángulos alternos internos son iguales, es decir

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS Los ángulos situados fuera de las paralelas, en lados opuestos de la transversal y con vértice diferente se llaman ángulos alternos externos; hay dos pares de ángulos alternos externos. Los ángulos alternos externos son iguales, es decir

Ejemplo 1: Calculando ángulos entre paralelas Si las rectas l y m son paralelas y 𝟏 = 𝟐 =𝟓𝟓𝟎, Calcule la medida de 4

Solución Para resolver éste problema se utilizarán las propiedades de ángulos establecidas en ésta sección. Calculando el ángulo 𝐴𝐵𝐶 cuya medida es la suma de dos ángulos adyacentes ∠𝑨𝑩𝑪 = ∠𝟏 + ∠𝟐 = 𝟓𝟓𝟎 + 𝟓𝟓𝟎 =𝟏𝟏𝟎𝟎. Ahora se puede calcular el 3 ya que es igual al 𝐴𝐵𝐶 pues son alternos internos entre paralelas ∠𝟑 = ∠𝑨𝑩𝑪 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 Finalmente, el 3 y el 4 son ángulos suplementarios, es decir que suman 180º ∠𝟑 + ∠𝟒 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 ∠𝟒 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 − ∠𝟑 ∠𝟒 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟕𝟎𝟎

Entonces la medida del 𝟒 es 𝟕𝟎𝟎

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE son aquellos que tienen en común el mismo vértice y se oponen uno al otro.

Si las rectas cortadas por la secante son paralelas, los ángulos tienen las siguientes relaciones: Los ángulos OPUESTOS POR EL VÉRTICE tienen igual medida, esto es son congruentes:

∠𝒂 = ∠𝒅 ∠𝒃 = ∠𝒄 ∠𝒆 = ∠𝒉 ∠𝒇 = ∠𝒈

Si se traza una secante a dos rectas paralelas y se conoce la medida de uno de los ángulos, es posible determinar la medida de los otros. Obsérvese el siguiente ejemplo:

Como los ángulos colaterales son suplementarios y los ángulos 𝒆 y 𝒉 son colaterales, entonces: ∠𝒆 + ∠𝒉 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 ∠𝒆 + 𝟖𝟎𝟎 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 ∠𝒆 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝟖𝟎𝟎 ∠𝒆 = 𝟏𝟎𝟎𝟎

ÁNGULOS COLATERALES EXTERNOS: son aquellos que se encuentran del mismo lado de la secante y fuera de las rectas.

Los ángulos colaterales externos, son: ∠𝒂 𝑦 ∠𝒈 ; ∠𝒃 𝑦 ∠𝒉 ÁNGULOS COLATERALES INTERNOS: son los ángulos que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas.

Los ángulos colaterales internos son: ∠𝒆 𝑦 ∠𝒄 ; ∠𝒇 𝑦 ∠𝒅

TALLER #

Para resolver los ejercicios1 a10, utilice la figura siguiente, donde 𝒍 es paralela a 𝒎 (𝒍 ∥ 𝒎).

1) Escriba que pares de ángulos son opuestos

por el vértice. __________________________

2) Escriba que pares de ángulos son alternos

internos entre paralelas. __________________

3) Escriba que pares de ángulos son adyacentes

y suplementarios. _______________________

4) Escriba que pares ángulos son

correspondientes entre paralelas. __________

__________________

5) Escriba que pares de ángulos son

suplementarios y no comparten el mismo

vértice. _______________________________

6) Si 𝒍 ∥ 𝒎, Encuentre 𝟏 y 𝟐.

7) Si 𝒍 ∥ 𝒎, Encuentre la medida de los otros

ángulos numerados




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AREA Y PERIMETRO DE POLIGONOS Profesor: Luis Amado Camacho V.

OBJETIVO: Estudiar las áreas de polígonos sencillos, y calcular sus perímetros, como también

aprender sus fórmulas para encontrarlas

ÁREA

El área es una medida de extensión de una

superficie, expresada en unidades de medida

denominadas unidades de superficie (o

unidades cuadradas 𝑢2)

PERÍMETRO

El perímetro es la suma de las longitudes de

los lados de una figura geométrica

El perímetro es la distancia alrededor de una

figura de dos dimensiones, o la medición de

la distancia en torno a algo.

ÁREA DEL TRIANGULO

El área de un triangulo es igual a la

multiplicación entre la base y la altura de este

y dividida entre dos

La altura, que la simbolizamos con la “h”, es

la recta perpendicular trazada desde un

vértice del triángulo al lado opuesto.

El área de un triángulo rectángulo es igual a

el producto entre la multiplicación de los

catetos o lados divididos entre dos

𝐴 = 𝑏∙𝑐2

PERIMETRO DEL TRIANGULO

El perímetro de un triangulo es igual a la suma

de todos sus lados

AREA DEL CUADRADO

El área del cuadrado siempre es igual a la

multiplicación de lado por lado

𝑨 = 𝑳 ∙ 𝑳 = 𝑳𝟐

PERIMETRO DEL CUADRADO

El perímetro de un cuadrado es igual a la

suma de las longitudes de sus cuatro lados

iguales.

𝑷 = 𝟒 ∙ 𝑳

AREA DEL ROMBO

El área del rombo es igual a la diagonal

mayor multiplicada por la diagonal menor y

dividido entre dos.

PERIMETRO DEL ROMBO

El perímetro del rombo es igual a la suma de las

longitudes de sus cuatro lados iguales

𝑷 = 𝟒𝒂

AREA DEL TRAPECIO

El área del trapecio es igual a la suma de las

bases mayor y menor multiplicadas por la altura

y divididas entre dos

PERIMETRO DEL TRAPECIO

El perímetro de un trapecio es igual a la suma

de las bases y los lados del mismo

𝑷 = 𝑩 + 𝒃 + 𝟐𝒂

TALLER 1) ¿Cuál es el área y el perímetro de la siguiente

figura?

2) ¿Cuál es el área y el perímetro de la siguiente

figura?

3) ¿Cuál es el área y el perímetro del trapecio?

4) ¿Cuál es el área y el perímetro del triángulo

equilátero y cuya altura es de 10,4 cm?

5) ¿Cuál es el área y el perímetro de un

triángulo isósceles cuya altura es de 11,8?

6) ¿Cuál es el área y el perímetro del triángulo

escaleno?




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CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS Profesor: Luis Amado Camacho V.

OBJETIVO: Estudiar propiedades de triángulos y algunos cuadriláteros, y calcular sus ángulos, como

también aprender sobre las longitudes de sus lados, y sobre relaciones de perpendicularidad o paralelismo

de los mismos.

CUADRILATEROS Recuerde a los niños qué son cuadrados y

rectángulos

Un cuadrado es una figura de cuatro lados que

tiene cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales.

Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene cuatro

ángulos rectos (por tener ángulos rectos sus lados

también son paralelos entre sí y por lo tanto igual

de largos). Pida a los niños observar el cuadrado

y el rectángulo.

Una actividad importante aquí es pedir a los niños

que determinen los ejes de simetría de las dos

figuras y con ello justifiquen las anteriores

propiedades (haciendo los dobleces adecuados).

Genere un diálogo con los niños sobre si las

diagonales del rectángulo son o no ejes de

simetría.

Otros cuadriláteros

• Entregue a los niños grupos de 4 palitos, en los

que haya 4 palitos iguales, una pareja de palitos

de igual longitud y una pareja de diferente

longitud, y 4 palitos diferentes. Pida a los niños

que formen cuadriláteros, observen y hagan

conjeturas (opiniones) sobre sus características.

• Entregue a los niños una hoja de reciclaje y pídales que los recorten formando las figuras que

usted previamente les dibuja. Deben utilizar la

regla y el transportador para verificar las

conjeturas obtenidas en la actividad anterior (si

son cuadrados rectángulos o cualquier otro

cuadrilátero).

DEFINICIONES • PARALELOGRAMO:

figura de 4 lados en la que sus lados

opuestos son paralelos y por lo tanto iguales.

Sus ángulos opuestos son iguales.

Al observar cuidadosamente la figura y

usando las observaciones de la actividad

anterior, se pueden hacer conjeturas sobre

todos los ángulos de la figura. ¿Cuáles

suman 𝟏𝟖𝟎𝟎? ≮ 𝒆 + ≮ 𝒇 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 ≮ 𝒉 + ≮ 𝒈 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 ROMBO:

figura de 4 lados iguales. Sus ángulos

opuestos son iguales. En general, por ser el

rombo también un paralelogramo, los

ángulos tienen también las mismas

propiedades que en éste.

TRAPECIO:

figura de 4 lados en los que un par de lados

opuestos son paralelos.

Pida a los niños que usen otra vez los

cuadriláteros que recortaron para que

determinen, por medio de doblamientos

cuáles tienen ejes de simetría. Pídales que

comprueben con regla, lana o transportador

las anteriores propiedades.

Afianzamiento Presente a los niños dibujos que contengan

todas las figuras para que las identifiquen.

Haga ejercicios en los que calculen lados y

ángulos, dada la medida de un lado o un

ángulo.

PROFUNDIZACIÓN

Con los niños tome franjas de papel calcante

de colores diferentes y de diferentes anchos.

Monte dos franjas, una sobre otra, de igual o

de diferente ancho. Ponga la segunda franja

en diferentes posiciones y observe los

cuadriláteros que se forman. En esta

actividad van a resultar paralelogramos,

rombos, cuadrados y rectángulos. (La

posición perpendicular es importante para

obtener el cuadrado y el rectángulo).

Los niños deben hacer conjeturas sobre las

figuras que se forman y reconocer en éstas

las propiedades estudiadas anteriormente.

Invítelos a que den un paso más adelante

definiendo frases como estas:

TALLER

1) ¿Los cuadrados son rectángulos?

¿Porque si o porque no?

2) ¿Los rectángulos no son cuadrados?

¿Porque si o porque no?

3) ¿Los cuadrados son rombos? ¿Porque si

o porque no?




PAGINA: (1)

CÓDIGO: 250.1.158.01


GUIA #

VERSION: 1


CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS Profesor: Luis Amado Camacho V.

OBJETIVO: Estudiar propiedades de triángulos y algunos cuadriláteros, y calcular sus ángulos, como también

aprender sobre las longitudes de sus lados, y sobre relaciones de perpendicularidad o paralelismo de los

mismos.

TRIANGULOS Comencemos trabajando, recordando y

describiendo un triángulo.

Los niños lo pueden trazar y describir.

• ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos de un triángulo?

Recorte los ángulos del triángulo nombrados

previamente y péguelos uno después de otro,

manteniendo el vértice en el mismo punto, como lo

muestra la figura, para verificar que los tres juntos

forman un ángulo llano, o que la suma de las

medidas da 𝟏𝟖𝟎𝟎.

Verifique la conclusión anterior midiendo los tres

ángulos con el transportador y sumando sus

medidas. Dado que medir con exactitud no es fácil,

la suma debe ser aproximadamente 𝟏𝟖𝟎 𝟎.

Triángulos Comience el trabajo recordando y

describiendo un triángulo.

Los niños lo pueden trazar y describir. Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos y tres vértices La suma de los tres ángulos(interiores) de un

triángulo es 𝟏𝟖𝟎𝟎.

1) En el Triángulo △ ABC calcule la medida del

ángulo ∠BCA

2) ¿Cómo pueden ser las medidas de los otros dos

ángulos internos de un triángulo si hay uno que

mide 𝟓𝟎𝟎?

Dibuje dos triángulos distintos que tengan un

ángulo de 𝟓𝟎𝟎.

Respuesta: Los otros dos deben sumar 𝟏𝟑𝟎𝟎.

a) Busque ejemplos: 𝟏𝟎𝟎𝟎 y 𝟑𝟎𝟎…

b) Otros pueden ser 𝟕𝟎𝟎 y 𝟔𝟎𝟎

TRIANGULOS SEGÚN SUS ANGULOS

Triángulos isósceles, equiláteros, rectángulos y

obtusángulos ¿Qué llama la atención en los

triángulos que aparecen a continuación?

Sugiera a los niños, que usen lana o una regla para

comparar las medidas de los lados de los

triángulos, y que usen un transportador para medir

los ángulos.

Luego, que hagan conjeturas como estas: - Hay dos triángulos en los que todos los lados

tienen la misma medida (1 y 4). En esos triángulos

todos los ángulos miden 𝟔𝟎𝟎.

- Hay dos triángulos que tiene dos lados iguales (3

y 5). En esos triángulos también hay dos ángulos

que tienen la misma medida.

- Hay dos triángulos que tienen un ángulo de 𝟗𝟎𝟎

(3 y 6).

- Hay dos triángulos en los que todos los lados son

distintos (2 y 6) y todos los ángulos también son

distintos y se puede decir que son obtusángulos un

ángulo mayor de 𝟗𝟎𝟎.

Llame la atención de los niños sobre el hecho de

que el triángulo 3 aparece en dos categorías

diferentes e invítelos a dialogar sobre este

aspecto.

SIMETRÍAS DE LOS TRIÁNGULOS Pida a los niños que recorten los triángulos, que

encuentren los ejes de simetría haciendo

dobleces. De esta manera se verificarán las

conjeturas hechas en el párrafo anterior, porque

cuando hay igualdad de lados o ángulos, éstos

coinciden al doblar el triángulo por su eje.

En el caso de los triángulos rectángulos, si se

doblan los ángulos que no son rectos sobre el

ángulo recto, se puede confirmar que la suma de

estos dos ángulos es de 𝟗𝟎𝟎.

Afianzamiento Muestre triángulos de distintos tipos, de algunos

datos de ángulos o de lados y pida a los niños que

encuentren los datos que se les piden.

Ejemplo: en el triángulo 𝑷𝑸𝑹, el ángulo 𝑸𝑹𝑷 mide 𝟔𝟔𝟎. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos?

Como 𝑷𝑸 = 𝑸𝑹, el triángulo es isósceles. Los

ángulos ∡𝑸𝑷𝑹 y ∡𝑸𝑹𝑷 son iguales ∡𝑸𝑹𝑷 = ∡𝑸𝑷𝑹 = 𝟔𝟔𝟎 ∡𝑹𝑸𝑷 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝟔𝟔𝟎 − 𝟔𝟔𝟎 = 𝟒𝟖𝟎 DEFINICIONES • Un triángulo que tiene tres lados iguales se

llama equilátero. En este triángulo los tres

ángulos miden 𝟔𝟎𝟎..

• Un triángulo que tiene al menos dos lados iguales se llama isósceles. En este triángulo

los ángulos opuestos a los lados iguales

también son iguales.

Note: Un triángulo cuyos lados son

desiguales se le llama escaleno.

• Un triángulo que tiene un ángulo de 𝟗𝟎𝟎, se

llama triángulo rectángulo. La suma de los

otros dos ángulos es 𝟗𝟎𝟎. Un triángulo

rectángulo también puede ser isósceles.

• Un triángulo que tiene un ángulo mayor de 𝟗𝟎𝟎 se llama obtusángulo y puede ser

isósceles

TALLER 1) ¿Cómo pueden ser las medidas de los

otros dos ángulos internos de un triángulo si

hay uno que mide 𝟗𝟎𝟎 ?

2) ¿Cuál es la medida del ángulo de un

triángulo si dos de sus ángulos miden 𝟔𝟎𝟎 y 𝟒𝟓𝟎?

3) ¿Encuentra la medida del ángulo “a”?

4) ¿Podemos decir que si un triángulo tiene

dos ángulos iguales es isósceles?


dos lados iguales es isósceles?

6) ¿podemos decir que si un triángulo tiene un

ángulo recto es rectángulo?

7) ¿podemos decir que si un triángulo tiene

todos sus lados desiguales es rectángulo?

8) ¿podemos decir que si un triángulo tiene

todos sus lados desiguales y un ángulo recto

es rectángulo?


todos sus lados desiguales es escaleno?

guia # elementos basicos de la geometria objetivo

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