guÍa n°1 periodo: i ih (en horas): 40 eje temÁtico nÚmeros ... · composición de los números...
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INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA SAGRADO CORAZÓN Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE
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GUÍA N°1
ÁREA: Matemáticas GRADO: 8
Docente: Maria Teresa Ospino
Fernández
PERIODO: I IH (en horas): 40
EJE TEMÁTICO NÚMEROS REALES
DESEMPEÑO Resuelve problemas y simplifico cálculos usando propiedades
y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos
NÚCLEOS TEMÁTICOS:
● Números racionales Q y sus aplicaciones
● Identificación, operaciones y propiedades de los Q
● Aplicación de la definición de números racionales y sus operaciones en la
resolución de situaciones problemas
● Números irracionales I y sus aplicaciones
● Identificación, operaciones y propiedades de los I
● Aplicación de la definición de números irracionales y sus operaciones en
resolución de situaciones problemas
● Generalización hacia los números reales R
● Composición de los números reales
● Operaciones y sus propiedades
● Aplicación de la definición de números reales y sus operaciones en la resolución
de situaciones problemas
COMPETENCIAS
CIUDADANAS PARA EVALUAR EN EL AULA
● Se comunica a través del diálogo constructivo
con los otros ● Considera las consecuencias de sus propios
actos ● Cuidar de sí mismo y de los demás respetando
las diferencias en sus compañeros
INDICADOR(ES) DE DESEMPEÑO(S)
✓ Identifica y opera a los números Q en sus diferentes representaciones y
contextos
✓ Identifica y opera a los números I en sus diferentes representaciones y
contextos
✓ Determina la conformación de los números R y los opera dándole solución a
situaciones problemas contextualizadas
SITUACIÓN(ES) PROBLEMA(S):
El automóvil fue inventado en Alemania en 1886 por Carl Benz. Desde su aparición hasta la fecha, son muchos los modelos, las clases y formas desarrolladas. Hoy día
todo vehículo con motor de combustión interna se puede clasificar de la siguiente forma: por sus dimensiones y por la carrocería, que está determinada por la utilidad
que se le da.
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El automóvil más largo es la limusina de Jay Ohrberg. Con 26 ruedas y más de 30
metros de longitud. En su interior dispone de una piscina y cama de agua. En 1962 fue creado el automóvil más pequeño del mundo, el Peel P50. Tiene el
récord Guinnes por ser el de menor dimensión jamás producido. Está construido en fibra de vidrio, y con sus 59 kilos, 134cm de longitud, 99cm de ancho y 134cmc de
altura, es entendible que a pesar de su ligereza, resulte difícil de conducir por el usuario. Este automóvil de una sola silla es impulsado por un motor Zweirad Union
de 49 𝑐𝑚3
Responde en tu cuaderno
1. Expresa las longitudes de la limusina de Jay Ohrberg y el Peel P50 en m, cm y dm
2. ¿Cuántos el Peel P50 alineados frente a la limusina de Jay Ohrberg son necesario para igualar sus longitudes?
3. Calcula el cuadrado de la mitad de las ruedas de la limusina 4. Calcula la cuarta potencia de la altura del Peel P50.
5. Si una mujer mide tres medios de la longitud del Peel P50 ¿cuál es su estatura?
FASE AFECTIVA
Evaluación Diagnóstica 1. Descompón los números 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y
m.c.m.
2. Representa gráficamente las siguientes fracciones 3
8
3
10
9
20
3. Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias. potencia Base Exponente Resultado
23
−32
( 1
5 )4
( −3
7 )2
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4. Ordena las fracciones de menor a mayor 7
4 14
5
23
11
33
14
5. Realiza la operación y simplifica si es posible
5
9∗ [3
4− (
5
7÷15
2)]
Glosario
Ángulos alternos externos: ángulos que se forman en distinto lado respecto a una
transversal que corta dos rectas no adyacente Ángulos alternos internos: ángulos que se forman, internamente, en distinto lado
respecto a una transversal que corta dos rectas no adyacente Ángulos opuestos por el vértice: ángulos que tienen un vértice en común donde
los lados de uno son semirrectas opuestas del otro Ángulos suplementarios: ángulos cuyas medidas suman 180°
Baricentro: punto en el concurren las medianas de un triángulo Binomio : expresión algebraica que tiene dos términos
Bisectriz: recta que divide un ángulo en dos congruentes Circulo: región delimitada por una circunferencia
Circunferencia: curva cerrada cuyos puntos están a un misma distancia del centro Coeficiente: constante que multiplica la parte literal de un término algebraico
Cuadrado perfecto: número que se obtiene al elevar otro al cuadrado
Decimal exacto: expresión decimal cuyas cifras decimales son finitas Decimal periódico: expresión decimal cuyas cifras decimales tienen una cifra o
grupo de cifras que se repiten infinitamente Desigualdad: expresión que simboliza una realción matemática de orden entre dos
cantidades Ecuación: igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo es cierta para
algunos valores de la variables. Expresión algebraica: expresión compuesta por números y letras que están
separadas por los signos de las operaciones fundamentales de la matemática Factorización: descomposición de un polinomio como producto de factores primos
Función: regla de correspondencia que asigna a cada valor del dominio un único valor del rango
Incógnita: cada una de las letras que aparecen en una ecuación Inecuación: relación de desigualdad entre expresiones algebraicas
Intervalo: subconjunto infinito del conjunto de los números reales, puede ser
abierto, cerrado o semiabierto Polinomio: expresión algebraica que consta de uno o más términos
Potenciación: expresión que simplifica la multiplicación de factores iguales Producto notable: multiplicación entre polinomios cuyo resultado se puede
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generalizar para hallar la respuesta sin realizar la respuesta sin realizar las
operaciones Radicación: operación opuesta a la potenciación. Permite hallar la base de una
potencia. Teorema: proposición que puede ser demostrada
Término: cada uno de los sumandos que aparecen en una expresión algebraica Valor absoluto: el valor absoluto de un número hace referencia a la distancia que
hay entre el cero y dicho número en la recta numérica Valor numérico de un polinomio: cantidad que se obtiene al sustituir las letras por
su valor numérico Variable algebraica: cada una de las letras que aparecen en una expresión
algebraica.
FASE COGNITIVA
LOS NÚMEROS REALES (R)
NÚMEROS RACIONALES (Q)
son todos los números que se pueden expresar de la forma
𝑎
𝑏donde a y
b son números enteros y b es diferente de cero
NÚMEROS ENTEROS (Z)
Se conformar con losenteros positivos ( 𝒛+ ),los enteros negativos( 𝒛−)y el cero (0), los númeronaturales N se comportande la misma maner quelos enteros positivos y poreso se dice que estanincluidos en este conjunto
FRACCIONES
DECIMALES FINITOS
DECIMALES PERIÓDICOS
NÚMEROS IRRACIONALES (I)
son los decimales infinitos no periodicos
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NÚMEROS RACIONALES Q Y SUS APLICACIONES
1. Números Enteros Y Operaciones Básicas
El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos 𝒛+
Y los enteros negativos 𝒛−.El comportamiento de los números enteros positivos es
equivalente al del conjunto de los números naturales, por esta razón se afirma que el
conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros se representa con el símbolo Z, y se determina
así:
Z = {...,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,...}
Los números enteros se representan en la recta numérica ubicando primero el
número 0 como referente; a su derecha se ubican los enteros positivos y a su
izquierda los enteros negativos
1.1. Valor Absoluto
𝑠𝑖 𝒛 ∈ 𝒁, el valor absoluto de 𝑧 se simboliza como |𝒛| y representa la distancia que
hay entre 𝒛 y el cero en la recta numérica
Por ejemplo, el valor absoluto de —3 es 3, ya que hay 3 unidades de distancia
entre -3 y 0. Se escribe |— 3| =3.
El opuesto del número entero a es -a. Se cumple que |a| = |-a|
1.2 Operaciones Entre Los Números Enteros
Adición: para sumar o restar números enteros se debe tener en cuenta los
siguientes aspectos:
➢Si los dos números tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y al
resultado se le asigna el signo de los números dados.
➢Si los números tienen signos diferentes, se halla la diferencia entre sus valores
absolutos y al resultado se le asigna el signo del número que tiene mayor valor
absoluto.
Por ejemplo: -5 + 3 = -2
Porque -5 y 3 tienen signo diferente, entonces, la diferencia entre |-5| y |3| es 2. El
resultado tiene signo negativo, porque |-5| > |3| y el signo de -5 es negativo.
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Sustracción: la resta de dos números enteros es la suma del primer número entero
con el opuesto del segundo número. Es decir, a - b = a + (-b).
Por ejemplo:
Al restar 8 — 17, se puede escribir como 8 + (-17) = -9.
Para simplificar a partir de este momento para los números enteros la adición y la
sustracción se verán como una operación conjunta y siempre hablaremos de
adicionar.
Multiplicación y división
Para multiplicar o dividir se debe tener en cuenta:
Se multiplican o dividen los número sin tener en cuenta los signos
Se determina el signo del resultado, producto o cociente, utilizando la ley de los
signos
Multiplicación División
(+).(+)=+ (+)÷(+)=+
(-).(-)=+ (-)÷ (-)=+
(-).(+)=- (-)÷ (+)=-
(+).(-)=- (+)÷ (-)=-
Por ejemplo:
(-10).(-6) = 60
(-92) ÷ (-4) = 23
(-19).(5) =-95
68 ÷ (-17) = -4
Polinomios Aritméticos
Un polinomio aritmético es una expresión que involucran varias operaciones con
números.
Para resolver polinomios sin signos de agrupación se resuelven primero las raíces y/0
potencias, luego las multiplicaciones y/o divisiones y por ultimo las sumas o restas
de izquierda a derecha.
Para resolver polinomios con signos de agrupación, se resuelven primero las
operaciones que están dentro del paréntesis para eliminar signos de agrupación de a
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dentro hacia afuera
Ejemplos:
Resolver cada polinomio aritmético
a. 9.8 ÷ 6 − 40 + 15 = 72 ÷ 6 − 40 + 15 = 12 − 40 + 15 = −28 + 15 = 13
b. 5 − [−11 − (−8 + 1)] ÷ 2 = 5 − [−11 − (−7)] ÷ 2 = 5 − [−11 + 7] ÷ 2 = 5 − [−4] ÷ 2 = 5 − [−2] = 7
ACTIVIDAD #1
Resuelve las siguientes operaciones.
a. 5 + (-3) -6- (-1)
b. [7 - (6 - 2)] - (3 - 1)
c. -6 • {[-32 ÷ 8 + (9 - 27)] - 14} - (-2)
d. 4 • 3 + [5 - 2(8 + 4)] + 6
Encuentra el valor absoluto de los siguientes números
a.│-15│
b. │21│
c. │0│
d.│-124│
Resuelve y luego de respuesta.
a. El producto de dos números enteros es —540. Si un factor es 12, ¿cuál es el otro
factor?
b. Un refrigerador baja su temperatura en 3 °C, cada 20 minutos. Si inicialmente
tiene una temperatura de 9 °C, responde. ¿Cuánto tiempo debe pasar para
alcanzar una temperatura de —27 °C?
Redacta 4 situaciones que se puedan representar utilizando los números enteros
negativos y luego de solución a dicha situación
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2. Números Racionales (Q) Y Sus Aplicaciones
El conjunto de los números racionales se simbolizan con la letra Q y se definen
como:
Q={ 𝒂
𝒃, 𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒂, 𝒃 ∈ 𝒁 𝒚 𝒃 ≠ 𝟎 }
2.1. Orden en el conjunto de los números racionales
Dados los números racionales 𝒂
𝒃 𝒚
𝒄
𝒅 𝒄𝒐𝒏 𝒃 𝒚 𝒅 ≠ 𝟎, se puede establecer una y solo una
de las siguientes relaciones: 𝒂
𝒃 >
𝒄
𝒅
𝒂
𝒃 <
𝒄
𝒅
𝒂
𝒃 =
𝒄
𝒅
Para determinar la relación de orden entre dos números racionales se convierten los
números en fracciones equivalentes de igual denominador. Luego, se comparan los
numeradores de las fracciones equivalentes.
Otra estrategia que se puede aplicar es.
Dados dos número racionales 𝒂
𝒃 𝒚
𝒄
𝒅 se tiene que:
𝒂
𝒃 >
𝒄
𝒅 𝒔𝒊 𝒂. 𝒃 > 𝒄. 𝒅
𝒂
𝒃 <
𝒄
𝒅 𝒔𝒊 𝒂. 𝒃 < 𝒄. 𝒅
Ejemplo:
2.2. Operaciones con los número Q
Adición y sustracción: la suma o resta de dos o más números racionales con igual
denominador es un número racional que corresponde a la suma o resta de los
numeradores con el mismo denominador. La suma o resta de dos números racionales
con distinto denominador equivale a la suma o resta de los números racionales
equivalentes con igual denominador.
Multiplicación: el producto de dos o más números racionales es otro número
racional, cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es
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el producto de los denominadores.
División: el cociente entre dos números racionales es el producto del primer número
racional con el recíproco del segundo número racional
Ejemplo:
2.3. Representación Decimal De Un Número Racional
Los números racionales se pueden representar en forma de número decimal
dividiendo el numerador entre el denominador. Los números decimales obtenidos de
esta forma pueden ser:
Números decimales finitos: son los números decimales que tienen una cantidad
finita de cifras decimales.
Números decimales infinitos periódicos: son los números decimales que tienen
una o varias cifras que se repiten indefinidamente, a las cuales se definen como
período. Los números decimales infinitos periódicos se clasifican como decimales
periódicos puros, cuando el período comienza a partir de la primera cifra decimal, y
decimales periódicos mixtos, cuando hay una o varias cifras que no se repiten
después de la coma y el período se repite después.
Ejemplo 1 :
Las frutas y verduras son una buena fuente de vitaminas y minerales además
aportan calorías para el funcionamiento de nuestro organismo así, 100gr de plátano
aportan 91 calorías, 100gr de manzana aportan 59 calorías y 100gr de nueces
aportan 665 calorías. ¿Cuál es el aporte en calorías por cada gramo de plátano,
manzanas y nueces?
Solución:
100gr de plátano aportan 91 calorías 91
100= 0,91
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100gr de manzana aportan 59 calorías 59
100= 0,59
100gr de nueces aportan 665 calorías 665
100= 6,65
Por tanto en un gramo de plátano hay 0,91 calorías, en 1 gramo de manzana hay
0,59 calorías y en 1 gramo de nueces hay 6,65 calorías
Ejemplo 2 :
Escribir en forma de fracción cada número decimal
Actividad #2
1. Ordena cada grupo de números
de mayor a menor
1
4, −
2
4,10
4, −
20
4, −
12
4,39
4, −
4
8
−3
4,5
4,1
2,11
12, −
4
3,5
6, −
5
8
2. Escribe en la casilla <, >, =,
según corresponda
1
2 −
1
2
−9
5 −
4
5
27
100
3
10
11
15
18
3
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3. Realiza las operaciones.
Simplifica si es posible
−1
3+7
5−8
6
(4
3−7
9) − (
−9
15−−12
5)
−3
2× {[
3
5× (−
4
8−7
9)] ÷ [
7
2+ (
−2
9)]}
[6−(−4)
9−3] × (
−15+(−17)
11−14) ÷ (
20
3−111
6)
a. A
.
Pedro estudio 11
2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Enrique
23
4 horas
y juan 6 horas ¿cuántas horas han
estudiado los tres juntos?
Esteban entrena de lunes a viernes y
se ha propuesto nadar 8 horas
semanales para prepararse para una
competencia. Del lunes al jueves
realizó los siguientes tiempos de
entrenamiento, el lunes una hora y
cuarto, el martes una hora y tres
cuartos, el miércoles dos horas y el
jueves una hora y media. ¿Cuánto
tiempo debe nadar el viernes para
alcanzar las 8 horas de entrenamiento
semanal?
Los tres cuartos de un numero son 60
¿cuál es el número?
un caballo costo 1.250.000 si cuanto
se vende por los tres quintos del costo
¿cuánto dinero se pierde?
4. Resuelve cada situación
La longitud de una de los lados de
cuadrado es de tres quintos ¿Cuál
es la medida del perímetro del
cuadrado? ¿cuál es el área del
cuadrado?
3. Números Irracionales (I)
se simboliza con la letra I o R-Q está formado por todos los decimales infinitos no
periódicos ejemplo de ellos tenemos √52 , √2
3 , 𝜋, 𝑙𝑜𝑔2, 𝑒
3.1. representación en la recta numérica de los irracionales
Así como a los racionales a cada número irracional le corresponde un punto en la
recta numérica es posible representar algunos números irracionales en la recta
numérica utilizando construcciones geométricas.
Por Ejemplo para ubicar en la recta numérica √2 se realizan los siguientes pasos:
se construye el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ donde 𝐴 = 0 𝑦 𝐵 = 1
se traza el segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ perpendicular al segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y de longitud 1
se una 𝐴 con 𝐶 para formar el segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y su medida se halla aplicando el
teorema de Pitágoras
por ultimo con el compás se hace centro en 𝐴 y se toma la distancia 𝐴𝐶 luego
con esta distancia se hace un arco que corte la recta numérica. Dicho punto de
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corte corresponde a √2
Ejemplo 2:
Ubica sobre la recta numérica √5
ACTIVIDAD#3
1.Construye geométricamente un segmento
de longitud y con ayuda del compás ubica
en la recta numérica los siguientes
números
−√5
2√2
√7
√11
√14
√3
√8
−√3
2. El número 𝜋=3,141592… se define como
el cociente entre el perímetro de una
circunferencia y su diámetro. ¿Cómo puedo
ubicar el número 𝜋 en la recta numérica?
3.Una hormiga transita dos veces por el
borde de una rectángulo cuyos lados miden
3cm y 5cm, otra hormiga recorre 6 veces su
diagonal ¿Cuál recorres mayor distancia?
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4. Generalización hacia los números reales R
4.1. Composición de los números reales
El conjunto formado por el conjunto de los números racionales(Q) y los
números irracionales (I) se denomina conjunto de números Reales(R)
4.2. Relación de orden en los números Reales
Al comparar dos números Reales se cumple una y solamente una de las
siguientes afirmaciones
𝑠𝑒𝑎 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 < 𝑏 𝑜 𝑎 > 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏
5. Operaciones y sus propiedades
En el conjunto de los números Reales la operaciones de suma y multiplicación
cumple las siguientes propiedades
5.1. Potencia en los números Reales (R)
Si 𝑎 es un número Real y 𝑛 es un entero positivo la expresión 𝑎𝑛 es el
producto que resulta de tomar n veces a 𝑎 como factor.
𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎…𝑎⏟
n veces
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propiedades de las potencias
Para todo 𝒂, 𝒃, 𝒏,𝒎, ∈ 𝑹
Propiedad Detalle
Producto potencia de la misma base 𝒂𝒏 × 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎
Producto potencia con mismo
exponente 𝒂𝒏 × 𝒃𝒏 = (𝒂 × 𝒃)𝒏
Cociente potencia de la misma base 𝒂𝒏 ÷ 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏−𝒎
Cociente potencia con el mismo
exponente 𝒂𝒏 ÷ 𝒃𝒏 = (𝒂 ÷ 𝒃)𝒏 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒃
≠ 𝟎 Potencia de una potencia (𝒂𝒏)𝒎 = (𝒂)𝒏×𝒎
Potencia con exponente racional (𝒂)
𝒏𝒎 = √𝒂𝒏
𝒎 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒎 ≠ 𝟎
Otras propiedades 𝒂𝟎 = 𝟏, 𝒔𝒊 𝒂 ≠ 𝟎
𝟏𝒏 = 𝟏
𝟎𝒏 = 𝟎, 𝒔𝒊 𝒏 > 𝟎
𝒂𝟏 = 𝒂
𝒂−𝒏 = (𝒂−𝟏)𝒏 = (𝟏
𝒂)𝒏
=𝟏
𝒂𝒏
Activida#4
Resuelvo aplicando las propiedades de
la potenciación
𝑎.𝟑𝟑. 𝟑𝟐
𝟑𝟑 b.
𝟖𝟑+.𝟖𝟐
𝟐𝟐 c.
𝟏𝟔𝟐.𝟖𝟑
𝟒𝟑. 𝟒𝟓 d.
𝟑𝟑.𝟑𝟐
𝟑𝟑
e. [(𝟔𝟐)𝟑.𝟓𝟔]
𝟑
𝟏𝟎𝟔.(𝟑𝟐)𝟑 f.
𝟑𝟑.𝟑𝟐
𝟑𝟑 g.
[(−𝟐)𝟖]𝟑
[(𝟒𝟑)𝟐]𝟒
i. 𝟒𝟓. 𝟒−𝟑
𝟒𝟐
Resuelve:
Cuánta área puede cubrirse con 6
tapetes cuadrados de 3m de lado
Si utilizo los tapetes del ejercicio
anterior para cubrir las paredes de un
cubo de 3 m de lado. ¿qué volumen
tiene el cubo?
Si en 7 cajas guardo 7 bolsas, y en cada
una de las bolsas 7 pelotas ¿cuántas
cajas, bolsas, y pelotas tengo?
Si cada caja pesa 590gr, cada bolsa
64,5gr y cada pelota,8gr cuánto pesa
todo el paquete
Utiliza la propiedad distributiva para realizar las siguientes operaciones
(3+4).(2,1+5,3) (-3,2+2,1).(2,1+5,3)
Evalúa la expresión |9 − √𝑥 − 1 para cada
valor de 𝑥 𝑥=10 𝑥=37 𝑥=1
𝑥=15 𝑥=26 𝑥 = √64
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5.2. Radicación de números Reales
Es el proceso que sirve para calcular la base cuando se conoce el exponente y la
potencia. Se define como : √𝑎𝑛
= 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖, 𝑏𝑛 = 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑁 𝑦 𝑛 > 1, 𝑎 ∈ 𝑅.
Cuando se calcula √𝑎𝑛
, (la raíz enésima de 𝑎) debemos tener en cuenta los siguientes
aspectos:
𝐿𝑎 √𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 , 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝐿𝑎 √𝑎𝑛 , 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝐿𝑎 √𝑎𝑛 , 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
𝐿𝑎 √𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 , 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝐿𝑎 √𝑎𝑛 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
Ejemplo:
Calculemos las siguientes raíces √−𝟔𝟒𝟑
; √𝟑𝟐𝟓
; √𝟔𝟐𝟓𝟒
; √−𝟒
√−643
= −4 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖, (−4)3 = 64
√6254
= ±5 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖, (−5)4 = (5)4 = 64
√−42
= 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
Para todo 𝒂, 𝒃, 𝒏,𝒎, ∈ 𝑹
Propiedad Detalle
Producto de igual índice √𝑎𝑛 . √𝑏𝑛
= √𝑎. 𝑏𝑛
Cociente de igual índice √𝑎𝑛
√𝑏𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
Exponente Racional √𝑎𝑚𝑛
= 𝑎𝑚𝑛
Potencia de un radical (√𝑎𝑛)𝑚 = √𝑎𝑚
𝑛
Si 𝑚 = 𝑛, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ( √𝑎𝑛)𝑛 = √𝑎𝑛
𝑛= 𝑎
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Activida#5
Completa la tabla teniendo en cuenta la información dada en la temática
Operación Índice
(par o impar)
Sub-radical
(+ o -)
Número de
solución
√−𝟏𝟐𝟓𝟑
√−𝟐𝟓
√𝟖𝟑;
√𝟏𝟔
√−𝟗
Ubico las respuestas de los ejercicios en la tabla cuya suma mágica es 3 (al sumar
las filas, columnas y diagonales la suma es 3)
a. b. c.
d. e. f.
g. h. i.
a.- √4 b. √273
c. √164
d. √252
e. √1𝑛
f. √−273
g. √0𝑛
h. √(−1)57
i. √162
Aplico las propiedades correspondientes para cada ejercicio
√625 . 2564
√322
. √22
√
256
16
2
√503
. √203
√200
√50
√. √6434
Resuelve:
El área de un triángulo equilátero se puede calcular mediante la expresión 𝑨 =√𝟑.𝒍𝟐
𝟒 donde 𝒍 es la medida del lado del triángulo.
Si el lado de un triángulo equilátero mide 6cm y el lado de un segundo
triángulo mide 4cm
¿cuántas veces es el área del primer triángulo con respecto a la del
segundo?
el número de oro (𝜙 =1+√5
2) se aprecia en la naturaleza, por ejemplo, la
longitud del abdomen de una abeja dividido por 𝜙 es igual a la longitud del
tórax, la longitud del tórax dividido entre 𝜙 es igual a la longitud de la cabeza.
Realiza la construcción con regla y compás del número 𝜙
Si el abdomen de una abeja mide 1,2 cm ¿cuánto mide su cabeza?
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5.3. Notación Científica
Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de un
potencia de 10 por un número x, tal que 1 ≤ x <10
Esta notación por lo general se utiliza para representar valores muy pequeños o muy
grandes.
Se debe tener en cuenta lo siguiente:
Si el número que se va expresar en notación científica hay que rodarle la coma
hacia la derecha el exponente de la potencia será un entero negativo
representado por la cantidad de espacios que se corrió la coma
Ejemplo:
Expresa en notación científica la siguiente cantidad
0,0000000000237
Primero, se escoge x; recordando la condición x=2,37
Segundo, para obtener a x la coma se debe correr 11 espacios por tal motivo la
potencia de diez será 10−11
Tercero, por último se expresa como una multiplicación
2,37 × 10−11
Si el número que se va expresar en notación científica hay que rodarle la coma
hacia la izquierda, el exponente de la potencia será un entero positivo
representado por la cantidad de espacios que se corrió la coma
Ejemplo:
La distancia de la tierra al sol es 149 600 000 km. Exprese esta medida en
notación científica.
En este caso x=1,496 y la potencia es 108; Ya que 8 son los espacios que se
debería correr la coma hacia izquierda para obtener x
Por tanto 149 600 000 km = 1,496 × 108
Activida#6
1. Las siguientes dimensiones de la tierra nos dan una idea de su tamaño. Las
expreso en notación científica.
a. Diámetro ecuatorial: 12 756 000 m
b. Diámetro polar: 12 713 000 m
c. Circunferencia ecuatorial: 40 076 000 m
d. Circunferencia polar: 40 009 000 m
e. Volumen: 1 083 000 000 000 𝑘𝑚3
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2. Escribo en notación científica las cantidades expresadas en las siguientes
situaciones
A. El número de Avogadro (cantidad átomos en un mol de un elemento
químico ) es 602 200 000 000 000 000 000 000 su símbolo es N
B. En 0,6 g de sodio hay 0,026 moles
C. El sol tiene un diámetro de 1 360 000 000 m y un volumen de
1 400 000 000 000 000 000 𝑘𝑚3.
3. Realizo las siguiente operaciones y expreso en notación científica
i. 49 500 × 65 000=
ii. 4,655 × 107 =
iii. 12,98 × 103 =
iv. 500 000 001 × 10−3=
v. 3986 × 1034=
vi. 0,004 × 0,005
5.4. Logaritmación de números Reales
cuando se conoce la base y la potencia, pero no se conoce el exponente, se
utiliza una de las operaciones inversas de la potencia que se llama
Logaritmación y se expresa de la siguiente manera:
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 = 𝒏 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒆 " 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒓𝒊𝒕𝒎𝒐 𝒆𝒏 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒂 𝒅𝒆 𝒃 𝒆𝒔 𝒏"
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑛 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎𝑛 = 𝑏
Ejemplo: calcular el logaritmo en base 2 de 8.
𝑙𝑜𝑔2 8 = 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 23 = 8
Los logaritmos cumplen las siguientes propiedades
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1 𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0 Logaritmo de una potencia
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥𝑛 = 𝑛. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =
Logaritmo de un cociente
𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥
𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦
Logaritmo de un producto
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥. 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦
Además de las anteriores hay otras propiedades que nos permiten calcular el
logaritmo en bases diferentes a base 10 y base e (2,71828…).
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎, 𝑏 > 0, aplicando esta propiedad en algunas ocasiones se puede
facilitar el cálculo de logaritmos
Ejemplo:
𝑙𝑜𝑔3 9 =𝑙𝑜𝑔10 9
𝑙𝑜𝑔10 3= 2
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Activida#7
Escribo el logaritmo que se deriva
de cada una de las siguientes
potencias
Aplico las propiedades de los
logaritmos para encontrar
respuesta, utilizo la calculadora
cuando sea necesario
Resuelve:
e. Para medir la magnitud de los sismos se
usa la escala de Richter. La fórmula es:
𝑅 = 𝑙𝑜𝑔10 𝐼 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑖𝑐ℎ𝑡𝑒𝑟 𝑒 𝐼 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑚𝑜
Expreso la escala de Richter en forma
exponencial.
f. Con la intensión de planificar las
necesidades futuras de una ciudad, un
ingeniero utiliza la función𝑓(𝑡) = 47 000 +
9 000 ln 0.7𝑡 + 1
¿Cuál es la población esperada dentro de 10
años?
Desarrolla los siguientes logaritmos
𝑙𝑜𝑔5 25 = 𝑙𝑜𝑔2 4096 = 𝑙𝑜𝑔10 10000 = 𝑙𝑜𝑔3 729 =
Completa la siguiente tabla
Base Exponente potencia Forma
exponencial
Forma
radical
Forma
logarítmica
2 3 8 23 = 8 √83
= 2 𝑙𝑜𝑔2 8 = 3
25 = 32
√164
= 2
𝑙𝑜𝑔3 27 = 3
33 = 125
√5123
= 8
10 4 10 000
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Fase de salida
1. dar solución al problema inicial y luego socializarlo
2. autoevalúate en la siguiente tabla, ten en cuenta las dificultades que tuviste y
prepárate para superarlas.
Autoevaluación
Indicador Bajo Básico Alto Superior
Identifica los números racionales y los
irracionales
Argumento mis respuestas
coherentemente basado en
información matemática
Aplico adecuadamente los algoritmos y
las propiedades de los números reales
Utilizo la notación científica para los
valores dados en ejercicios
Actividad de recuperación
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ANEXOS