A ACTIVIDADES BÁSICAS1. CUANTO SABEMOS

Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados

a. El cuadrado de un número menos tres.

b. La suma de un número y su cuadrado

c. El cuadrado de la suma de dos números.

d. La suma de tres números consecutivos

2. Efectua las operaciones indicadas

Desempeño • factoriza una expresión algebraica utilizando diferentes estrategias

Indicadores de desempeño

• Aplica los diferentes casos de factorización para reducir

expresiones algebraicas

• Valora la importancia del trabajo en grupo y las actividades

extracurriculares en su proceso de formación.

Recomendación Para usted es de suma importancia formarse un hábito de estudio eficiente, pues esto le significará el éxito en la internalización del conocimiento adquirido y le brindará la posibilidad de estudiar y rendir académicamente de forma tranquila. Estudiar no significa "aprender de memoria" algún tópico específico, pues la memoria es frágil y con toda seguridad que pasado el período académico olvidará lo que según usted "estudió". Usted no debe conformarse con "estudiar" para una prueba o certamen. El estudiante no debe "estudiar" para una nota, es mas no debe estudiar para que lo vean. Usted debe realmente preocuparse de estudiar para aprender, pues así estará manejando la información y las herramientas que utilizará después en grados superiores y posteriormente en su desarrollo profesional. Con esta recomendación pretendo entregar una orientación sobre cómo estudiar en forma eficiente, reconociendo que no existe una norma general, sino que cada persona debe adecuar su propio hábito de estudio. Además, entrega algunos consejos de cómo preparar y rendir en la sustentación de la guía en forma adecuada.

Los siete puntos siguientes resumen las técnicas más importantes a tener en cuenta en el desarrollo de la guía:1. Dónde estudiar 2. Revise el texto completo. 3. Lea buscando las ideas principales. 4. Cuestiónese a medida que lea.5. Tome notas o apuntes (subraye sólo si el texto es suyo). 6. Use guías de estudio si están disponibles para el texto.7. Estudie sin ningún tipo de presión y en forma sistemática. 8. Utilice la bibliografía según lo requiera que se encuentra en la pagina Web www.profejersonandres.blogspot.com con ayudas didácticas para desarrollar tus guías

3. Resuelve los siguientes productos notables

a. (x + y )2 b. ( 3 a + 4 b )3 c. ( 3 a + 4 b ) ( 3 a - 4 b ) d. ( x - 2 ) ( x + 2 ) e. ( 2 x - 3 y )3

2° APRENDAMOS COSAS NUEVAS.

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL.

En matemáticas, la factorización (o factoreo) es la descomposición o transformación de una suma algebraica o expresión matemática en una multiplicación. Existen diferentes técnicas de factorización, cuyo objetivo es simplificar una expresión re escribiéndola en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores. Entre las estrategias más utilizadas están; el factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomios de la forma, suma y diferencia de cubos y casos especiales.

In mathematics, factorization (or factoring) is the decomposition or transformation of an algebraic sum or a mathematical expression multiplication. There are different factoring techniques, which aims to simplify an expression reescriendola in terms of "building blocks" which are called factors. Strategies are most used; the common factor, difference of squares, perfect square trinomial, trinomials of form, sum and difference of cubes and special cases.

A. FACTOR COMÚN MONOMIOEscuchemos el diálogo de Carlos y Zara:

El polinomio 4 x2 y - 4 x3 z + 4 x5 tiene factores repetidos o comunes: uno es numérico y el otro es literal. ¿Cuáles son?. FACIL, el numérico es 4 y el literal es x.¿Cuál es el menor exponente al que está elevado el factor común literal? Es 2; es decir, el factor común literal es x2 , Esto significa que el factor común del polinomio es 4 x2 .¿Podemos escribir 4 x2 y - 4 x3 z + 4 x5 como el producto del factor común 4x2 con otro factor? ¿ Con cuál factor? ¡Claro¡ observa:

4 x2 y - 4 x3 z + 4 x5 = 4 x2( y – x z + x3 )

¿Cómo hizo Zara para factorizar el polinomio 4 x2 y - 4 x3 z + 4 x5 . observemos: Primero identificó el factor común numérico y el factor común literal; así:

FACTOR COMÚN NUMÉRICO: 4

LITERAL: X2

Luego el FACTOR COMÚN del polinomio dado es 4 X2

A continuación, dividió cada término del polinomio entre el FACTOR COMUN, así:

( 4 x2 y - 4 x3 z + 4 x5 ) : 4 x2 = y – x z + x3

Por lo tanto : 4 x2 y - 4 x3 z + 4 x5 = 4 x2 ( y – x z + x3 )

Notemos que el factor común del polinomio se obtiene formando el producto de los factores REPETIDOS Y ELEVADOS AL MENOR EXPONENTE; es decir, hallando el máximo común divisor (M.C.D) de los términos del polinomio.

En los ejercicios del 25 al 39 del texto de BALDOR de la página 145. factoriza cada polinomio en el conjunto Q de los números racionales.

B. FACTOR COMÚN POLINOMIO

En los ejercicios 20 a 32 del texto de BALDOR página 147 factoriza cada polinomio en el conjunto Q, sacando un factor común BINOMIO O TRINOMIO.DESARROLLA EL TALLER ANEXO DEL TEXTO PENSAMIENTO MATEMTICO PAG 212.

CASO I IFACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Existen algunos polinomios que para factorizarse es necesario buscar la forma de agrupar sus términos de manera que podamos encontrar un factor común.Para factorizar un polinomio por medio de la agrupación de términos se siguen los siguientes pasos:

Se forman los grupos (con igual cantidad de elementos cada uno), aplicando el criterio de que los términos agrupados deben tener un factor común.

Se extrae el respectivo factor común en cada grupo. La expresión resultante debe tener como característica, que todos los términos que aparecen dentro de signos de agrupación, sean idénticos.

A la expresión anteriormente nombrada se le extrae, nuevamente, FACTOR COMÚN.

EJEMPLOS: aplica la factorización por agrupación de términos, a cada uno de los polinomios siguientes.

1. 7x y - 14y + 11 x z - 22 z = (7 x y – 14 y) + ( 11 x z – 22 z )

= 7 y ( x – 2 ) + 11 z ( x - 2 ) = ( x – 2 ) + ( 7 y + 11 z ) = R

2. 2 a m - 2 a n + 2 a - m + n - 1 =

3. 3 x – 9 a x - x + 3 a =

Caso III: trinomio cuadrado perfecto.Son tres criterios para reconocer si una expresión algebraica es, o no un trinomio cuadrado perfecto.

1. La expresión debe estar ordenada.2. Los términos primero y tercero deben poseer igual signo ( + ) y tener raíz cuadrada exacta,

o ser ( cuadrados perfectos ).3. El segundo término debe ser igual al doble producto de las raíces cuadradas de los

términos primero y tercero.

SI SE CUMPLEN LOS TRES CRITERIOS ANTERIORES, SE CONCLUYE QUE LA EXPRESIÓN ES, EFECTIVAMENTE, UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Un trinomio cuadrado perfecto se FACTORIZA en un binomio elevado al CUADRADO.De la siguiente forma:Se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva la cuadrado.

EJEMPLOS:

Descomponer en DOS factores:

1. 16 + 40 x2 + 25 x4 =

1. 49 m6 - 70 a m3 n2 + 25 a2 n4 =

CASO IV: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

CUADRADO PERFECTO: es el cuadrado de otra cantidad, es decir, el producto de DOS factores iguales. Raíz cuadrada de un MONOMIO: para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por dos.

REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS :

Se extrae la raíz cuadrada al MINUENDO y al SUSTRAENDO y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.EJEMPLOS:Descomponer en DOS factores:

1. a10 - 49 b12 =

2. 100 - x2 y6 =

2. 196 x2 y4 - 144 =

CASO V I TRINOMIO DE LA FORMA X + b X + C

TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA

Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:

Tienen un termino positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 ( ).

• Posee un termino que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).

• Tienen un termino independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).

Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:

Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz

cuadrada del termino .

2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

3. Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.

4. Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo

término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio.

Ejemplo explicativo:

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA

Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado ( ) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:

Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a ” por cada termino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el termino “bx” de la manera “b(ax)”, y en el termino “a ” de la

manera .

2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz

cuadrada del termino la que seria “ax”.

3. al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.

4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

5. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.

Ejemplo explicativo:

CASO V III CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

CUATRINOMIO CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

De los productos notables tenemos:

En este caso la factorización es realizar la operación inversa a esta:

Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos.

• Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.

• Dos de sus términos, el 1º (a ) y el 4º (b ), deben poseer raíz cúbica exacta.

• El segundo termino debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer termino por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a) (b)].

• El tercer termino debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer termino por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b) ].

• El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer termino siempre son positivos (si el primer y tercer termino son negativos realizar factor común con el factor -1).

• Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades (a + b) , si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a – b) .

Ejemplo explicativo:

CASO I X SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Recordamos de cocientes notables que:

Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, efectuándolo nos queda:

De donde se deducen las siguientes reglas:

• La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

• La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo explicativo:

3° AFIANCEMOS LO APRENDIDO

APLICA TUS CONOCIMIENTOS CON EL ALGEBRA GEOMETRICA

Extraído de: UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNPROYECTO MATEMÁTICAS Y FÍSICA BÁSICAS EN ANTIOQUIA

Código:MA-09

No. de páginas: 2

Materiales: FOMI, CARTULINA,REGLA, LAPICERO.

1. Selecciona entre en los cuadriláteros los rectángulos y los cuadrados:

2. Completa: • El área de un cuadrado es: _____________• El área de un rectángulo es: _____________

Naranja Verde Rojo1

1 a b

Termina de llenar la tabla:

FIGURA COLOR AREACuadrado pequeñoRectángulo 1Rectángulo 2Rectángulo 3Cuadrado medianoCuadrado grande

NaranjaVerdeRojo

3. Forma los rectángulos correspondientes a las áreas que se te indica, júntalos (suma sus áreas) para formar otro rectángulo, con todos los que tenías:

AREA 1AREA

2AREA

3AREA

4 AREA FINAL 2 x 1 2 x 5 2 x 3 2 x 3 3 x 6 3 x 3 1 x a 2 x a 4 x a a x b 5 x b 2 x a 10 a x b 3 x a 5 x b 15 a x b 3 x b 2 x a 6 a x b 4 x a 2 x b 8

a x a 5 x a 6 b x b 4 x b 3 a x a 6 x a 8 b x b 6 x b 9 a x a 8 x a 16 b x b 3 x b 2 a x a -5 x a 6 b x b -2 x b 1 a x a -7 x a 12 a x a a -2 b x b 2 x b -15 a x a -9 a x a 1 a x a -3 x a -10

2 x a x a 7 x a 3 3 x b x b 8 x b 4 3 x a x a 13 x a 4

Autor: Elízabeth Montoya y Juan David Montoya

Bibliografía: UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAModificado: Mayo 19 de 2000

B.. Actividades de Practica

Calcula:a) ( ) 22+x b) ( ) 24−x c) ( )2yx+

d) ( )23−x e) ( ) 222 +x f) ( )253 −x

Quita paréntesis (utilizando los productos notables):a) ( ) ( )11 −⋅+ bb b) ( ) ( )xx −⋅+ 44 c) ( ) ( )44 +⋅− mm

d) ( ) ( )1212 −⋅+ xx e) ( ) ( )yxyx 3232 −⋅+ f) ( ) ( )2323 +⋅− zz

Resuelve1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 =5. 14m2n + 7mn = 6. 4m2 -20 am =7. 8a3 - 6a2 = 8. ax + bx + cx =

9. b4-b3 = 10. 4a3bx - 4bx =11. 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =13. 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =15. 10x2y - 15xy2 + 25xy = 16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =17. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 = 18. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =

19. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 20. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =21. x2( p + q ) + y2( p + q ) = 22. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =23. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 24. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =25. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 26. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = 27. (a( a + b ) - b ( a + b ) = 28. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

29. x2 + 4x + 3 = 30. a2 + 7a + 10 =31. b2 + 8b + 15 = 32. x2 - x - 2 =33. r2 - 12r + 27 = 34. s2 - 14s + 33 =35. h2 - 27h + 50 = 36. y2 - 3y - 4 =37. x2 + 14xy + 24y2 = 38. m2 + 19m + 48 =39. x2 + 5x + 4 = 40. x2 - 12x + 35 =

41. 9a2 - 25b2 = 42. 16x2 - 100 =43. 4x2 - 1 = 44. 9p2 - 40q2 =45. 36m2n2 - 25 = 46. 49x2 - 64t2 =47. 169m2 - 196 n2 = 48. 121 x2 - 144 k2 =

49. =− 22 b36

49a

25

950. =− 44 y

16

9x

25

1

51. 3x2 - 12 = 52. 5 - 180f2 =53. 8y2 - 18 = 54. 3x2 - 75y2 = 55. 45m3n - 20mn = 56. 2a5 - 162 a3 =

57. b2 - 12b + 36 = 58. 25x2 + 70xy + 49y2 =59. m2 - 2m + 1 = 60. x2 + 10x + 25 =61. 16m2 - 40mn + 25n2 = 62.49x2 - 14x + 1 =63.36x2 - 84xy + 49y2 = 64.4a2 + 4a + 1 =65.1 + 6ª + 9a2 = 66.25m2 - 70 mn + 49n2 =67.25a2c2 + 20acd + 4d2 = 68.289a2 + 68abc + 4b2c2 =69.16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =

125. 64 – x3 = 126. 8a3b3 + 27 =127. 27m3 + 6n6 = 128. x6 – y6 =

129. 27

8

8

1 3 +x = 130. 64

13 −x =

70. 5x2 + 11x + 2 = 71. 3a2 + 10ab + 7b2 =72. 4x2 + 7x + 3 = 73. 4h2 + 5h + 1 =74. 5 + 7b + 2b2 = 75. 7x2 - 15x + 2 =76. 5c2 + 11cd + 2d2 = 77. 2x2 + 5x - 12 =78. 6x2 + 7x - 5 = 79. 6a2 + 23ab - 4b2 =

C. APLIQUEMOS LO APRENDIDO

Resuelve de la práctica 4 los ejercicios 1, 6, 8 y 9. Y la práctica 10 de las páginas 119 y 126 respectivamente, del texto GLIFOS 8°. Procesos matemáticos.

D. PARA SABER MAS

REFORCEMOS LO APRENDIDO

Resolver el ejercicio 106 sobre la miscelánea de los casos de factorización. ejercicios pares página 171 y 172. del texto de baldor.

PROFUNDICEMOS

LA LÓGICA. Es la forma correcta de llegar a la respuesta equivocada pero sintiéndote

contento contigo mismo.

LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (1). El director de una prisión llama a tres de sus presos,

les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: «Voy a colocar a cada

uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color

de la suya será puesto en libertad».

Si los presos están en fila, de manera que el primero no puede ver las boinas de

los otros dos, el segundo ve la boina del primero y el tercero ve las boinas de los otros

dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad?

CABALLOS. El caballo de Mac es más oscuro que el de Smith, pero más rápido y más

viejo que el de Jack, que es aún más lento que el de Willy, que es más joven que el de

Mac, que es más viejo que el de Smith, que es más claro que el de Willy, aunque el de

Jack es más lento y más oscuro que el de Smith. ¿Cuál es el más viejo, cuál el más

lento y cuál el más claro?

El cuadrado que se ve abajo, ha sido dividido en 4 cuadrantes de igual tamaño, que se

han denominado “A”, “B”, “C” y “D”, de acuerdo con lo ilustrado en la figura

A continuación, se le plantearán 4 desafíos para que usted resuelva.

Mentalmente, divida el área BLANCA del cuadrante “A”, de modo que

resulten dos (2) piezas de igual tamaño

Mentalmente, divida el área BLANCA del cuadrante “B”, de modo que

resulten tres (3) piezas de igual tamaño

Mentalmente, divida el área BLANCA del cuadrante “C”, de modo que

resulten cuatro (4) piezas de igual tamaño

Mentalmente, divida el área BLANCA del cuadrante “D”, de modo que

resulten siete (7) piezas de igual tamaño.

BIBLIOGARAFIA: BALDOR, Aurelio. Algebra elemental. México. Publicaciones cultural.

2002. DÍAZ, C. Faberth Alberto. Y otros. NUEVO PENSAMIENTO MATEMATICO.

8° Libros y libros S. A. 2005. URIBE, CÁLAD. Julio Alberto. Y otro. MATEMATICA EXPERIMENTAL. 8°. www.sector matemática. Cl/educmedia. htm

Elaboró: Jerson Andrés Parra

Nombre______________________________________________ Grado_______

Heteroevaluación 50%

Coevaluación 25 % Autoevaluación 25%Def/tiva.

Recup/ción

Fec

ha

1.2

1.2

1.3

1.4

Pro

med

ioo %

1.2

1.2.

1.2.

1.2. P

rom

edio

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.21.2.

1.2.

1.2. P

rom

edi

o

%

Act

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or

aci

ón

FIRMA JEFE Firma acudiente __________________________ ___________________________________