guia primeros medios

Liceo Paula Jaraquemada Departamento de Matemática

1

Profesor: Camilo Castillo


2

OBJETIVO:

Que las alumnas puedan comprobar, resolver y operar ejercicios

propuestos en la guía de preparación de la prueba de nivel.

¿Están listas chicas?

COMENZEMOS !!!!


3

Estamos frente a una

multiplicación de dos

binomios con un

TÉRMINO EN

COMÚN

PRODUCTOS NOTABLES

EJERCICIOS

Recuerda:

¿Cómo hacerlo?

Formaremos una expresión de 3

elementos

EN LA EXPRESIÓN

El término común es

Los términos no comunes son

Donde está M, tomaremos el término común y lo elevaremos al cuadrado:

Donde está N, sumaremos (según corresponda sus signos) los términos No

comunes (1 y 2) y los multiplicaremos con el término común (x):

Finalmente, en O multiplicaremos los términos no comunes:

OPERANDO, tenemos

Luego


4

1)

Entonces como ya vimos nos queda:

=

=

2)

Notemos que “a” término común y (1 y 8) términos No comunes

=

=

3)

Notemos que “2x” término común y (5 y 3) términos No comunes

=

=

=

4)

Tenemos “3a” término común y (2y y 5y) términos No comunes

=

=

=


5

Recuerda:

¿Cómo Resolverlo?

Tenemos un número que será el término en común

en este caso es “x”

Tenemos un término que se repite “a” uno es positivo y otro negativo

SOLUCIÓN:

Formará dos términos POR REGLA SIEMPRE IRÁ UN MENOS

TENEMOS QUE:

En M irá el término común al cuadrado:

Y en N ponga el término que queda y elévelo al cuadrado:

Luego

5)

Tenemos: “x” término común y el otro término es (4), entonces

= .

6)

Tenemos “x” término común y el otro término es (6), entonces

=

7)

Tenemos “2k” término común y el otro término es (5), entonces

=

Estamos frente

a una SUMA

POR SU

DIFERENCIA


6

8)

Tenemos “4a” término común y el otro término es (3b), entonces

=

RECUERDA:

¿Cómo resolverlo?

A “X” le denominaremos EL PRIMER TÉRMINO

a “y” le denominaremos EL SEGUNDO TÉRMINO.

Tenemos que formar 3 términos:

En M. tome el primer término y elévelo al cuadrado:

En N. Multiplique 2 veces el primer término por el segundo término:

=

En O. tome el segundo término y elévelo al cuadrado:

=

Luego

9)

Tenemos “x” primer término y “ ” el segundo término, entonces

=

10)

Tenemos “x” primer término y “5” el segundo término, entonces

=

Estamos frente a

un CUADRADO DE

BINOMIO


7

11)

Tenemos “3” primer término y “-x” segundo término, entonces

=

12)

Tenemos primer término y “3” segundo término, entonces:

=

RECUERDA:

¿Cómo hacerlo?

“x” será el primer término e “y” el segundo término.

Formaremos 4 términos:

IMPORTANTE= ELEVAR AL CUBO SIGNIFICA ELEVAR A 3

En M, tome el primer término y elévelo al cubo:

En N, multiplique 3 veces el primer término al cuadrado por el segundo

término:

En O, multiplique 3 veces el primer término por el segundo término al

cuadrado:

Finalmente en P, tome el segundo término y elévelo al cubo:

=

LUEGO

Estamos frente al CUBO DE

BINOMIO


8

13)

Tenemos “x” primer término y “1” segundo término, entonces

= ( )

=

=

14)

Tenemos “x” primer término y “ -2” segundo término, entonces

=

=

=

=

15)

Tenemos “x” primer término y “3”segundo término, entonces

=

=

=

=


9

16)

Tenemos “x” primer término y “4” segundo término, entonces

=

=

=

=

RECORDAR:

¿Cómo hacerlo?

Llamaremos a “x” primer término, “y” segundo término y “z” tercer

término.

Formaremos 6 términos:

En M, tome el primer término y elévelo al cuadrado

:

En N, tome el segundo término y elévelo al cuadrado, y el O tome el

tercer término y elévelo al cuadrado:

En P, multiplique dos veces el primer término por el segundo

: =

En Q, multiplique dos veces el primer término por el tercer término

: =

En S, multiplique dos veces el segundo término por el tercer término

: =

Luego

Estamos en

presencia de un

TRINOMIO AL

CUADRADO


10

17)

Explicado anteriormente, entonces

18)

Tenemos “x” primer término, “2y” segundo término y“3z” tercer término

=

=

=

19)

Tenemos “2x” 1er término, “5y” 2do término y “7z” 3er término.

=

=

=

20)

Tenemos “6x” 1er término, “2y” 2do término y “-3z” 3er término.

=

=

SI TIENES DUDAS CONSULTALAS

OPORTUNAMENTE CON TU

PROFESOR


11

FACTORIZACIONES

RECUERDA: c

¿Cómo hacerlo?

Vea el término común ( el que se repite)

entonces SÁQUELO de la expresión y

multiplíquelo por lo que quedo:

:

1.1. Cuando tenga algo como esto :

Deber identificar los términos comunes ( en este caso son “a” y “b”), pero

por regla debo tomar de los términos que se repiten, el término con MENOR

EXPONENTE. En el caso de “a” el a que se repite con menor exponente es

“ y en el caso de “b” el b de MENOR EXPONENTE es “b” pues esta

elevado a 1.

Sabiendo eso debemos sacarlos de la expresión y multiplicarlo por lo que

queda: . Si realizas la multiplicación puedes comprobar si

esta bueno o no.

1.2. Qué pasa si no se repiten letras, pero si existe relación entre los

números:

En este caso, sabemos que 4 es múltiplo de 2 y 6 también es múltiplo de 2,

entonces sacamos de la expresión el 2 (se repite)

: .

1)

Notemos que el término que se repite es “a” y no existe relación entre

los números, entonces al sacar el término común nos queda:

: .

Estamos frente a

una factorización

por TÉRMINO

COMÚN.


12

2)

Tenemos que {6,9 y 12) son múltiplos de 3, y que se repite a, b y c, pero de

“a” el que posee MENOR EXPONENTE ES , de “b” el que posee MENOR

EXPONENTE ES “b” y de “c” el que posee MENOR EXPONENTE es

:

3)

Tenemos que el término común ya no es una letra específica, sino que

ahora es un POLINOMIO. Mismo procedimiento. SACAR DE LA

EXPRESIÓN LO QUE SE REPITE Y MULTIPLICARLO POR LO QUE QUEDA

:

4)

Tenemos la expresión que se repite es , entonces

= .

5)

Este es otro tipo de factorización por término común, donde debemos

AGRUPAR y sacar el factor común.

Agruparemos y , tenemos

=

=

=

=


13

6)

Agruparemos y , entonces

=

=

=

7)

=

=

8)

=

= /Recuerde que se aplica

cambio de signo

=

http://www.google.cl/imgres?um=1&hl=es&sa=N&biw=1366&bih=587&tbm=isch&tbnid=sLg9mz6D2ZRrNM:&imgrefurl=http://dibujos-animados.org/imagenes-de-recreo/&docid=1UVE_5YI5rXgBM&imgurl=http://dibujos-animados.org/wp-content/gallery/imagenes-de-recreo/imagenes-de-recreo6.jpg&w=640&h=480&ei=bp-mUODYJYOy8ASIh4GgDw&zoom=1&iact=hc&vpx=593&vpy=92&dur=3960&hovh=194&hovw=259&tx=145&ty=103&sig=113540426208325600247&page=2&tbnh=133&tbnw=177&start=24&ndsp=27&ved=1t:429,r:16,s:24,i:266


14

Luego de ese recreo que tomaste, SIGAMOS

RECORDEMOS:

¿Cómo hacer?

Debemos formar una multiplicación de binomios:

EN M, pondremos el primer término que está en la expresión original

pero NO al cuadrado: ósea luego instalamos x en M

=

EN N y O, debemos buscar dos números que sumados me den el

término de al medio y que multiplicados me den el tercer término.

Luego

9)

Primer término 𝒙𝟐 𝒙 , ahora debemos buscar dos números que 𝒙

multiplicados me den +12 y sumados o restados de acuerdo a su signo me

de -7

Posibilidades 12 = 3*4 ó 12= 6*2 ó 12= 12*1, ahora de esas posibilidades la

suma o resta debe ser -7 y como 12 es positivos, AMBOS NÚMEROS DEBEN

SER NEGATIVOS. Tomaremos el 3 y el 4, los pondremos como negativos -3;

-4 y probaremos si se cumple:

= Efectivamente se cumple, pues -4-3= -7 y -4 * -3 = +12

Estamos frente a un

TRINOMIO ORDENADO


15

10)

Entonces y debemos encontrar dos números que sumados o

restados den +5 y multiplicados den -14, ellos son el 7 y el -2, pues 7-2=5

y 7 *-2= -14, luego nos queda

11)

Al igual que en el caso anterior, y debemos encontrar dos

números que multiplicados me den +4 y sumados o restados me den -4,

entonces ellos son el -2 y el -2, pues -2 -2 = -4 y -2 * -2 = +4, luego

Tenemos

12)

Entonces tenemos y debemos encontrar dos números que

sumados o restados según corresponda den -6 y que multiplicados den

+9. Los números deseados son -3 y -3 , pues -3 -3 = -6 y -3*-3= +9, luego

tenemos ; SE ELEVA A DOS PUES SE

ENCUENTRA REPETIDO DOS VECES Y MULTIPLICANDOSE


16

Recordemos:

¿ Cómo lo hago?

La idea es tomar el primer término que se encuentra elevado a dos y

descomponerlo: , luego tomamos el segundo término y lo

descomponemos: , LUEGO LOS ubicamos en los siguientes

paréntesis donde uno esta con signo + y el otro con signo –

.

Nos queda entonces

13)

Pues y

14)

Pues y

15)

Pues y

16)

Pues y


17

RECORDEMOS:

e , tomaremos solo una de ellas y las

pondremos en el primer paréntesis con el signo original, así ; donde

x será nuestro primer término e “y” será nuestro segundo término. En el

otro paréntesis pondremos el primer término “x” elevado a 2:

El término de al medio será la multiplicación del primer término por el

segundo término: y el último término será el segundo “y”

elevado a 2:

17) Y

Entonces tomamos uno de esos términos “x” y “2” y lo llevamos a la

fórmula:

18) Y

Entonces tomamos uno de esos términos un “x” y un “3” y lo llevamos a la

fórmula:

19) Y

Entonces tomamos uno de esos términos un “x” y un “4” luego tenemos

según la fórmula:

20) Y

Entonces tomemos un término de ellos, un “x” y un “5” luego llevémoslo

a la fórmula:

IMPORTANTE:

¿QUÉ PASA CON LOS SIGNOS?


18

¿QUÉ PASA EN ESTE CASO?

Este tipo de factorización se considera de alta dificultad, PERO NO

IMPOSIBLE.

Recordemos:

Cuando usted tenía la siguiente expresión ,lo que usted hacia

era y buscaba dos números que multiplicados le dieran +6 y

sumados o restados según correspondiera le diera +5.

Ahora en el ejercicio propuesto al principio caemos en que se parecen las

expresiones, pero la diferencia a simple vista es que en el ejercicio que nos

proponen el tiene un número 2 adelante. La Dificultad de estos tipos de

ejercicios cabe en eliminar el número que se encuentre al lado del y

luego el procedimiento es igual. HAGÁMOSLO.

: TOME EL TÉRMINO QUE ACOMPAÑE A Y

MULTIPLIQUE Y DIVIDA TODO POR DICHO NÚMERO. Así:

=

, ahora el 2 que está afuera multiplicará la parte de arriba de

la expresión:

= ( )

=

¿Por qué Por una propiedad de la

multiplicación. Para que usted entienda 2*1=1*2, si cambia el orden de la

multiplicación no afectará el resultado (PROPIEDAD CONMUTATIVA)

.

=

Luego nuestra expresión es parecida a , la única diferencia es

que en vez de x ahora hay un . Por tanto resolvemos de la misma forma:


19

Busquemos dos números que sumados me den 9 y multiplicados me den 14.

Ellos son el 7 y 2, pues 7*2= 14 y 7+2=9. Luego tenemos que:

=

=

=

21) Expuesto recién

22)

Entonces multiplicamos en este caso por 2 y dividimos todo por el mismo

número:

=

( )

=

23)

En este caso multiplicamos y dividimos por 4:

=

( )

=

24)

Multiplicaremos todo por 3 y también dividiremos todo por 3

=

( )

=


20

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Al hablar de estadística surgen ciertos conceptos que debemos tener en

claro que son las MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL que son:

LA MODA

LA MEDIANA

LA MEDIA O MEDIA ARITMÉTICA

A continuación definiremos cada una de ellas:

LA MODA: Es el término que más se repite

Ejemplo: 2,4,5,6,2,6,4,2,9,4,2,2

En este caso la moda es 2, pues es el término que más se repite

Ejemplo: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

En este caso nada se repite entonces NO HAY MODA

MEDIANA: Es el término que se ubica justo al centro. Recuerda

ordenar los términos de menor a mayor

Ejemplo: 1, 4, 3, 5, 7

Entonces ordenamos de menor a mayor nos queda 1, 3, 4, 5, 7 y

el número que se encuentra al medio es el 4. Por tanto LA

MEDIANA ES 4

Ejemplo: 1, 2, 3, 4

En este caso no hay un término al centro, así que debemos

sacar el promedio entre los dos términos centrales, entre el 2 y

3 que será 2.5


21

Media Aritmética: Es el promedio entre todos los datos

Ejemplo: 2, 4, 6, 8

Para sacar el promedio debemos sumar todos los términos y dividirlos

por el número de término:

=

PROPIEDAD: CUANDO HAYAN NÚMEROS CONSECUTIVOS (1.2.3.4.5…..) LA

MEDIANA SIEMPRE SERÁ IGUAL A LA MEDIA ARITMÉTICA

EJEMPLO: Determine la Moda, Mediana y Media aritmética de los

siguientes datos: 4, 5, 6, 7, 8

MODA: No hay moda, pues nada se repite

Mediana= El término del centro es 6

Media aritmética=

Luego cuando los datos sean consecutivos LA MEDIANA SIEMPRE SERÁ

IGUAL A LA MEDIA ARITMÉTICA.

FRECUENCIA: Se refiere a la cantidad de veces que se repite algo

EJEMPLO: 1 tiene una frecuencia de 3 está queriendo decir EL 1 SE

REPITE 3 VECES.

VAMOS A LA GUÍA

http://www.google.cl/imgres?num=10&hl=es&tbo=d&biw=1366&bih=587&tbm=isch&tbnid=-JNRLsXnguvvsM:&imgrefurl=http://redlacme.org/xn/detail/4315104:Comment:49804&docid=DZrfa4eNeCosVM&imgurl=http://api.ning.com/files/44-F-iimnvRTCT3RD-SKonjeg94ZTOSDUuKoMAlRTKYaqc6YRfkhb9fAKbmZcyBqGeL34wn53Qzf*eB8MmORRnPhaEydsa8V/Guia.jpg&w=425&h=480&ei=l8mzUM2JKKflyAHXsYHoBA&zoom=1&iact=hc&vpx=264&vpy=147&dur=3123&hovh=239&hovw=211&tx=153&ty=151&sig=100294789840674172796&page=1&tbnh=106&tbnw=94&start=0&ndsp=33&ved=1t:429,r:2,s:0,i:158


22

ÍTEM III:

Determine la Moda, Mediana y Media

aritmética

Para determinar todo esto, debemos basarnos

en la frecuencia, que recién dijimos que era la

cantidad de veces que se repetía algo.

Entonces si la frecuencia es la cantidad de veces

que se repite algo, y la Moda es el dato que

más se repite, debemos ir donde haya mayor

frecuencia. En este caso el 4 se repitió 4 veces, y fue el que más se repitió.

Por ello LA MODA ES 4. Es el dato que más se repite.

Sabemos que el total es 16. La mediana es el dato de al medio, entonces

bastará con el total dividirlo en la mitad o en dos para saber cuál es la

mediana. Entonces 16:2= 8.

Luego en la línea de la frecuencia si comienzas a sumar hacia abajo tienes

que ver dónde está el 8. La frecuencia 8 le corresponde al número 3, por

ello que la Mediana es 3

La media aritmética es el promedio. OJO la tabla dice que el 1 se repite 3

veces, el 2 se repite 2 veces, el 3 se repite 2 veces, el 4 se repite 4 veces, el 5

se repíte 3 veces y el 6 se repite 2 veces. Osea tenemos:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6.

Para sacar el promedio bastará de sumar y dividir por el total que son 16

términos.


23

Determine la Moda, Mediana y Media aritmética con los siguientes

datos no agrupados: 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.

Moda: Ningún dato se repite, entonces NO HAY MODA

Mediana: El dato que queda al centro es el 5

Media aritmética= sumar todos los datos, pero como vimos hace un

momento, los datos son consecutivos, por tanto la Mediana es igual a la

Media aritmética, entonces le Media aritmética es 5.

CONTESTE

¿QUÉ MES REPRESENTA LA MODA?

Quiere decir que mes fue donde mayor consumo hubo, si vas al gráfico

debería ser AGOSTO

¿Cuál(es) es (son) el(los) mes(es) donde el gasto se mantuvo constante?

Quiere decir cuáles son los meses donde se gastó lo mismo, si usted ve el

gráfico seria entre MARZO Y ABRIL y entre SEPTIEMBRE Y OCTUBRE.

0

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

30.000

35.000


24

¿Entre qué meses la cuenta tuvo el mayor crecimiento?

Quiere decir entre qué meses se gastó más, si vas al gráfico se ve que entre

Julio y Agosto se observa el mayor crecimiento.

PROBABILIDADES:

Son una herramienta que trata de establecer la probabilidad que ocurra

algo.

Lanzar un dado= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Recuerde que la probabilidad está definida por:

Casos favorables= Lo que me preguntan

0

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

30.000

35.000


25

Al lanzar un dado. Determine:

La probabilidad que salga el número 3.

Sabemos que lanzar un dado significa D= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ENTONCES me

preguntan cuál es la probabilidad que salga el 3.

Como el número 3 es una cara de las 6 caras del dado, entonces

=

Pues sólo me preguntan por 1 número, y los casos favorables es lo que

me preguntan.

La probabilidad que salgan números impares

Notemos que un dado D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y ahora nos preguntan por los

números del dado que sean impares. Los impares son 1, 3 y 5. SON 3

NÚMEROS entonces queda

SE SIMPLIFICA

Ojo que me preguntaban por 3 números de un total de 6.

La probabilidad que salgan números primos

Los números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13…… Y EN UN DADO entonces son

el 2, el 3 y el 5. SON 3 NÚMEROS DE UN TOTAL DE 6 entonces:

=


26

La probabilidad que NO salga el número 4.

Un dado D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que no salga 4, significa que si salga el 1, el

2, el 3, el 5 y el 6. Osea 5 de un total de 6

=

La probabilidad que salgan números mayores a 3

Un dado D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que salgan números mayores a 3, significa

que salga el 4, el 5 y el 6. Entonces son 3 números de un total de 6

=

La probabilidad que salgan números mayores o iguales a 2

Tenemos un dado D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y nos piden números mayores o

iguales, Osea me sirve el número 3, el 4, el 5, el 6 y como dice IGUAL

también sirve el 2. Osea 5 números de un total de 6.

=


27

LANZAR DOS DADOS SINGIFICA:

SI DEBEMOS ENCONTRAR SUMAS, DEBEMOS SUMAR CADA UNO DE LOS

PARES ORDENADOS

Al lanzar dos dados. Determine:

La probabilidad que la suma sea 7

SON 6 POSIBILIDADES DE UN TOTAL DE 36

=


28

La probabilidad que la suma sea 4.

Son 3 casos de un total de 36 . entonces

=

La probabilidad que la suma sea mayor o igual a 5

Son 30 casos favorables de un total de 36. Entonces

=

LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS


29

Al lanzar dos monedas. Determine:

La probabilidad que A LO MENOS salga una cara

Esto quiere decir que COMO MÍNIMO salga una cara, si sale más de una

cara también nos sirve.

ENTONCES DE LAS 4 POSIBILIDADES SON 3 LAS QUE POSEEN CARAS

ENTONCES.

La probabilidad que sólo salgan dos sellos

Entonces es ir a las 4 posibilidades y ver cuál de ellas tiene sólo dos

sellos. Tenemos 1 opción de 4. Entonces

La probabilidad que salga una cara y un sello

Esto quiere decir, que de las 4 opciones que tenemos, debemos ver cuál

tiene una cara y un sello. Vemos que son 2 opciones de un total de 4,

entonces tenemos

La probabilidad que NO salga sello

Quiere decir, ir a las 4 posibilidades y ver cuál de ella NO TIENE NINGUN

SELLO. Tenemos sólo 1 opción por tanto


30

Se lanzar una moneda 100 veces.¿ Cuál es la probabilidad que salga

cara?

Lanzar una moneda la probabilidad que salga cara es ½. Al lanzar la

misma moneda cien veces nos alterará su resultado, pues es UNA

moneda. Así que al lanzar una moneda 100 veces la probabilidad que

salga cara es de ½.

Se tiene una caja con 8 FICHAS VERDES y 7 FICHAS ROJAS. Determine:

La probabilidad de sacar una ficha verde

Notemos que son 8 fichas verdes de un total de 15, entonces

La probabilidad de sacar una ficha roja

Notemos que son 7 fichas rojas de un total de 15, entonces

La probabilidad de sacar una ficha roja, y luego una ficha verde, SIN

REPOSICIÓN.

Notemos que sacar una ficha roja es

. Ahora como ya sacamos una

ficha y dice SIN REPOSICIÓN, osea no las volvemos a usar la ficha que

sacamos, tenemos ahora 14 fichas, entonces sacar la ficha verde sería

Entonces tenemos

=

RECUERDA QUE EN

PROBABILIDADES QUE UNA COSA SUCESA Y QUE OTRA COSA SUCEDA ES

UNA MULTIPLICACIÓN.


31

La probabilidad de sacar una ficha verde, y luego una ficha

roja, CON REPOSICIÓN

Notemos que sacar una ficha verde es

y dice CON REPOSICÓN, asi

que debemos considerar la ficha sacada por tanto tenemos el mismo

total 15. Sacar una ficha roja es

=

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Con el triángulo adjunto. Determine:

El simétrico respecto al eje Y.


32

El simétrico respecto al eje X


33

La traslación con el vector

AL TRÁNGULO ORIGINAL DEBEMOS SUMARLE EL VECTOR MENCIONADO, de

la siguiente forma:

OJO QUE ALGO ASÍ, PUDIESE SALIR EN LA PRUEBA


34

Rotación respecto al origen sentido anti horario de 90°

AL ROTAR UNA FIGURA EN 90° DEBEMOS RECORDAR QUE:

Tienes que tomar cada par ordenado (X,Y) e invertirlo y cambiarle el signo

al primero


35

Una rotación respecto al origen sentido anti horario de 270°

Analíticamente sería TOMAR EL PAR ORDENADO, INVERTIRLO Y

CAMBIARLE EL SIGNO AL SEGUNDO TÉRMINO, pues es una rotación de

270°


36

Determine el vector traslación que se le aplicó a:

OSEA A se le suma y como resultado da

Entonces establezcamos ecuaciones

SUME LOS PRIMEROS TÉRMINOS E IGUALELOS A -6

De igual forma sume los dos términos segundos e iguálelos a 4

Luego el vector traslación aplicado es

=

=

Luego el vector traslación es


37

=

=


=

=


=

=


=

=



38

Determine el vector traslación que remplaza a

Cuando hablamos de que vector remplaza a ellos, nos referimos a TOME

LOS DOS VECTORES Y SÚMELOS

=

=

=

=

=


39

CON EL PARALELOGRAMO DETERMINE:

El simétrico respecto al eje X


40

El simétrico respecto al eje Y


41

Que se traslade 5 unidades a la derecha y 7 unidades hacia arriba.

Osea que utilice el vector traslación

ANALITICAMENTE:


42

Rote la figura en 180°

ANALÍTICAMENTE: Como es una rotación de 180° debe tomar cada par

ordenado, y cambiarle los signos a ambos términos

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