Aritmética      Leyes  de  los  signos  para  sumas  restas:    1.  Números  con  signos  iguales  se  suman  y  se  conserva  el  signo:    -­‐7  –  8  =  -­‐15  7  +  8  =  15    2.  Números  con  signos  opuestos  se  restan  y  se  conserva  el  signo  del  número  mayor:    -­‐7  +  8  =  1  7  –  8  =  -­‐1    Leyes  de  los  signos  para  multiplicaciones:    (+)(+)=(+);      (-­‐)(-­‐)=(+)  (+)(-­‐)=(-­‐);      (-­‐)(+)=(-­‐)    Leyes  de  los  signos  para  divisiones:         !!= + ; !

!= + ;  (!)

(!)= − ; (!)

(!)= (−)  

 Fracciones.    ab    donde  a: numerador, b: denominador  

   Suma  y  resta  de  fracciones:    𝑎𝑏 ±

𝑐𝑑 =

𝑎𝑑 ± 𝑏𝑐𝑏𝑑  

 Multiplicación  de  fracciones:    𝑎𝑏

𝑐𝑑 =

𝑎𝑐𝑏𝑑  

 División  de  fracciones:    

𝐑𝐞𝐠𝐥𝐚  𝐝𝐞𝐥  𝐬𝐚𝐧𝐝𝐰𝐢𝐜𝐡:  𝑎𝑏𝑐𝑑=𝑎𝑑𝑏𝑐  

 O  también  tenemos:  𝑎𝑏 ÷

𝑐𝑑 =

𝑎𝑑𝑏𝑑  

Conceptos:    Proporción  directa:  si  una  de  las  cantidades  aumenta  o  disminuye  la  otra  también  lo  hace.    Proporción  inversa:  si  una  de  las  cantidades  aumenta,  la  otra  disminuye.  Si  una  de  las  cantidades  disminuye,  la  otra  aumenta.    Tanto  por  ciento:  número  o  cantidad  que  representa  la  proporcionalidad  de  una  parte  respecto  a  un  total  que  se  considera  dividido  en  cien  unidades:    100%  =  1    90%  =  0.9  80%  =  0.8  15%  =  0.15    Álgebra      Expresiones  algebraicas:    Monomios  →  x  Binomios  →  x  +  y  Trinomios  →  x  +  y  +  z  Polinomios  →  x  +  y  +  ⋯  +  z    Término  algebraico:    

3x^2  3:  coeficiente  x:  literal  o  variable  2:  exponente    Términos  Semejantes:  son  aquellos  que  tienen  la  misma  literal  y  mismo  exponente.    Reducción  de  términos  semejantes:    

3x  +  7y  +  6x  -­‐  9y  -­‐  12x  -­‐  8y  +  1=  ?    1.  Se  agrupan  los  términos  semejantes,  esto  es,  separar  “x”  con  “x”,  “y”  con  “y”:    

3x  +  6x  -­‐  12x  +  7y  -­‐  9y  -­‐  8y  +  1=  ?    2.  Luego  hacemos  la  suma  y/o  resta  (reducción):    

=  -­‐6x  -­‐  10y  +  1  

Propiedades  de  los  exponentes:    𝑖)  𝑎! ∙ 𝑎! = 𝑎!!!  

𝑖𝑖)  𝑎!

𝑎! = 𝑎!!!  

𝑖𝑖𝑖)  𝑎!! =1𝑎!  ,  

𝑖𝑣)  𝑎! = 1  𝑣)   𝑎! ! = 𝑎!∙!      Productos  notables    𝑎 ± 𝑏 ! = 𝑎! ± 2𝑎𝑏 + 𝑏!  𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎! − 𝑏!  𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥! + 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 ∙ 𝑏  𝑎 ± 𝑏 ! = 𝑎! ± 3𝑎!𝑏 + 3𝑎𝑏! ± 𝑏!    Binomio  de  Newton:  

𝑎 + 𝑏 ! = 𝑎! + 𝑛𝑎!!!𝑏 +𝑛 𝑛 − 1

2! 𝑎!!!𝑏!

+⋯𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ⋯ 𝑛 − 𝑟 + 1

𝑟! 𝑎!!!𝑏!

+⋯ 𝑛𝑎𝑏!!! + 𝑏!    Coeficiente  Binomial:    

𝑟 =𝑟(𝑟 − 1)(𝑟 − 2)⋯ (𝑟 − 𝑘 + 1)

𝑘!      Ecuaciones  de  primer  grado:  𝑥 + 𝑎 = 𝑏      Despejes:    Suma(+)  ↔  Resta(-­‐)  Resta(-­‐)↔Suma(+)  Multiplicación  ⟷ División  División  ↔  Multiplicación  Potencia  ↔  Raíz  Raíz  ↔  Potencia    Ecuaciones  de  2do  grado:      𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0      

Formulario  de  Matemáticas  para  el  Examen  UNAM  

Las  soluciones  se  obtienen  por  la  fórmula:    

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏! − 4𝑎𝑐

2𝑎  

 Sistemas  de  ecuaciones  lineales:    

𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦 = 𝑐!𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦 = 𝑐!

 

     Regla  de  Cramer:    

𝑥 =∆!∆ =

𝑐! 𝑏!𝑐! 𝑏!𝑎! 𝑏!𝑎! 𝑏!

=𝑐! ∙ 𝑏! − 𝑐! ∙ 𝑏!𝑎! ∙ 𝑏! − 𝑎! ∙ 𝑏!

 

𝑦 =∆!∆ =

𝑎! 𝑐!𝑎! 𝑐!𝑎! 𝑏!𝑎! 𝑏!

=𝑎! ∙ 𝑐! − 𝑎! ∙ 𝑐!𝑎! ∙ 𝑏! − 𝑎! ∙ 𝑏!

 

   Sistemas  de  ecuaciones  3x3:  𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦 + 𝑐!𝑧 = 𝑑!𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦 + 𝑐!𝑧 = 𝑑!𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦 + 𝑐!𝑧 = 𝑑!

 

 Número  Imaginario:  𝑖 = −1,⇒ 𝑖! = −1    Números  complejos:  𝑆𝑜𝑛  𝑑𝑒  𝑙𝑎  𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎:    𝑧 = 𝑎 + 𝑏�  𝑎:𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒  𝑅𝑒𝑎𝑙, 𝑏:𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒  𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖�      Funciones:    Función  lineal:  𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏    Función  cuadrática:    𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐,      

𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒  𝑉 ℎ, 𝑘 ;  ℎ = −𝑏2𝑎 , 𝑘 =

4𝑎𝑐 − 𝑏!

4𝑎      

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: −∞,∞  𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜:   −∞,∞  𝑆𝑖  𝑎   > 0.    𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: 𝑘,∞    𝑆𝑖  𝑎 < 0.    𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, 𝑘]    Función  Cúbica:  𝑓 𝑥 = 𝑥!  𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: −∞,∞  𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜:   −∞,∞  𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞,∞)    Función  Raíz  Cuadrada:  𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)  𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜:𝑔 𝑥 ≥ 0  𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: [0,∞)  𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: [0,∞)    Función  Racional:  

𝑓 𝑥 =𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)  

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: 𝑞(𝑥) ≠ 0  𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜:   −∞,∞  𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞,∞)    Función  Exponencial:  𝑓 𝑥 = 𝑎!  𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: −∞,∞  𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜:   0,∞  𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (0,∞)    Función  Exponencial  Natural:  𝑓 𝑥 = 𝑒!  𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: −∞,∞  𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜:   0,∞  𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (0,∞)    Función  Logaritmo:  𝑓 𝑥 = log 𝑥  𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: 0,∞  𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜:   −∞,∞  𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞,∞)    Función  Logaritmo  Natural:  𝑓 𝑥 = ln 𝑥  𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: 0,∞  𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜:   −∞,∞  𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞,∞)      

Propiedades  de  los  Logaritmos:    𝑖) log𝐴 ∙ 𝐵 = log𝐴 + log𝐵  

𝑖𝑖) log𝐴𝐵 = log𝐴 − log𝐵    

𝑖𝑖𝑖) log𝐴! = 𝑛 log𝐴  𝑖𝑣) log! 𝐵 = 1  𝑣) log 1 = 0        Geometría  y  Trigonometría      Grados  a  Radianes  𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟  𝑑𝑒  𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛:

𝜋180  

 Radianes  a  Grados:  

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟  𝑑𝑒  𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛:180𝜋  

 Ángulo  Recto:  Mide  90°.  Ángulo  Llano:  Mide  180°  Ángulos  Agudos:  Mide  más  de  0°,  menos  de  90°  Ángulos  Obtusos:  Mide  más  de  90°,  menos  de  180°  Ángulos  Complementarios:  Forman  ángulos  de  90°  .  Ángulos  Suplementarios:  Forman  ángulos  de  180°.    Perímetro.  (P)  Suma  de  las  longitudes  de  los  lados  de  un  polígono.    Área.  (A)  Superficie  delimitada  por  el  perímetro  De  un  polígono.    Triangulo:  

𝑃 = 3𝑙, 𝐴 =𝑏 ∙ ℎ2  

Cuadrado:  𝑃 = 4𝑙, 𝐴 = 𝑙 ∙ 𝑙  

 Rectángulo:  

𝑃 = 2𝑏 + 2ℎ, 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ      Rombo:  

𝑃 = 4𝑙, 𝐴 =𝐷 ∙ 𝑑2  

 

Circunferencia  y  Círculo:    𝑃 = 𝜋 ∙ 𝐷 = 2𝜋𝑟, 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟!    Pentágono:  

𝑃 = 5𝑙, 𝐴 =𝑃 ∙ 𝑎2  

 Hexágono:  

𝑃 = 6𝑙, 𝐴 =𝑃 ∙ 𝑎2  

 Volumen.  (V)  Espacio  que  ocupa  un  cuerpo.    Cubo:  𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎    Prisma  de  base  cuadrada:  𝑉 = 𝑙 ∙ 𝑙 ∙ ℎ    Prisma  de  base  rectangular:  𝑉 = 𝑏 ∙ 𝑎 ∙ ℎ    Cilindro:  𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟! ∙ ℎ    Pirámide  de  base  circular:  

𝑉 =𝜋 ∙ 𝑟! ∙ ℎ

3  Pirámide  de  base  cuadrada:  

𝑉 =𝑙 ∙ 𝑙 ∙ ℎ3  

Pirámide  de  base  rectangular:  

𝑉 =𝑏 ∙ 𝑎 ∙ ℎ3  

Esfera:  

𝑉 =4𝜋 ∙ 𝑟!

3    Trigonometría.  La  suma  de  los  ángulos  internos  de  cualquier  triangulo,  siempre  es  180°.    Teorema  de  Pitágoras:  

𝑐! = 𝑎! + 𝑏!      i)  Para  calcular  la  hipotenusa:  𝑐 = 𝑎! + 𝑏!    ii)  Para  calcular  cualquier  cateto.    𝑎 = 𝑐! − 𝑏!    

 Razones  trigonométricas:    senθ =

𝑐. 𝑜.ℎ ;  cosθ =

𝑐. 𝑎.ℎ ;  tanθ =

𝑐. 𝑜.𝑐. 𝑎.  

cscθ =ℎ𝑐. 𝑜. ;  secθ =

ℎ𝑐. 𝑎. ;   cotθ =

𝑐. 𝑎.𝑐. 𝑜.  

 Identidades  Trigonométricas    Identidades  Reciprocas:  𝑠𝑒𝑛  𝜃 ∙ csc 𝜃 = 1  cos 𝜃 ∙ sec 𝜃 = 1  tan 𝜃 ∙ cot 𝜃 = 1    Identidades  de  Cociente:  𝑠𝑒𝑛  𝜃cos 𝜃

= tan 𝜃  

 cos 𝜃𝑠𝑒𝑛  𝜃 = cot 𝜃    Identidades  Pitagóricas:  𝑠𝑒𝑛!𝜃 + cos! 𝜃 = 1  1 + cot! 𝜃 = csc! 𝜃  tan! 𝜃 + 1 = sec! 𝜃        Ley  de  senos:    𝐴

sen𝛼 =𝐵

𝑠𝑒𝑛  𝛽   =𝐶

𝑠𝑒𝑛  𝛾  

   Ley  de  Cosenos:    𝐴 = 𝐶! + 𝐵! − 2𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠  𝛼      Geometría  Analítica    Un  punto  en  el  plano  cartesiano  se  representa:  𝑃(𝑥, 𝑦)    Punto  Medio:  

𝑃𝑚 =𝑥! + 𝑥!2 ,

𝑦! + 𝑦!2  

 

Distancia  entre  dos  puntos:  𝑑 = 𝑥! − 𝑥! ! + 𝑦! − 𝑦! !    Línea  Recta:    𝐏𝐞𝐧𝐝𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞  𝑚 =

𝑦! − 𝑦!𝑥! − 𝑥!

                 

 𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧  𝐨𝐫𝐝𝐢𝐧𝐚𝐫𝐢𝐚    𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏  

   𝐏𝐮𝐧𝐭𝐨 − 𝐩𝐞𝐧𝐝𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞  𝑦 − 𝑦! = 𝑚 𝑥 − 𝑥!      𝐃𝐨𝐬  𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬  𝑦 − 𝑦! =

𝑦! − 𝑦!𝑥! − 𝑥!

𝑥 − 𝑥!        

 𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧  𝐆𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥  𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0          Circunferencia:    𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐  "r":    𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜  𝐶 ℎ, 𝑘  Ecuación  Ordinaria:    𝑟! = 𝑥 − ℎ ! + 𝑦 − 𝑘 !  Ecuación  General:    𝐴𝑥! + 𝐶𝑦! + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0      Parábola:    Horizontal:    𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒,𝑉 ℎ, 𝑘    𝐹𝑜𝑐𝑜,𝐹 ℎ + 𝑝, 𝑘  𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑥 = ℎ − 𝑝,    𝐿𝑎𝑑𝑜  𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜  𝐿𝑅 = 4𝑝    Ecuación  Ordinaria:   𝑦 − 𝑘 ! = 4𝑝(𝑥 − ℎ)    Vertical:    𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒,𝑉 ℎ, 𝑘      𝐹𝑜𝑐𝑜,𝐹 ℎ, 𝑘 + 𝑝  𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑦 = 𝑘 − 𝑝,    𝐿𝑎𝑑𝑜  𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜  𝐿𝑅 = 4𝑝    Ecuación  Ordinaria:   𝑥 − ℎ ! = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)    Elipse:    

Horizontal:        𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜  𝐶(ℎ, 𝑘)  𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠  𝑉 ℎ ± 𝑎, 𝑘  𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠  𝐹 ℎ ± 𝑐, 𝑘  𝐸𝑗𝑒𝑠  𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠   ℎ, 𝑘 ± 𝑏  𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑  𝑒 =

𝑐𝑎  

 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛    𝑎! = 𝑐! + 𝑏!  

𝐿𝑎𝑑𝑜  𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜  𝐿𝑅 =2𝑏!

𝑎    

Ecuación  Ordinaria:       !!!

!

!!+ !!! !

!!= 1  

 Vertical∶    𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜  𝐶(ℎ, 𝑘)  𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠  𝑉 ℎ, 𝑘 ± 𝑎  𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠  𝐹 ℎ, 𝑘 ± 𝑐  𝐸𝑗𝑒𝑠  𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠   ℎ ± 𝑏, 𝑘  𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑  𝑒 =

𝑐𝑎  

 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛    𝑎! = 𝑐! + 𝑏!  

𝐿𝑎𝑑𝑜  𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜  𝐿𝑅 =2𝑏!

𝑎    Ecuación  Ordinaria    𝑥 − ℎ !

𝑏! +𝑦 − 𝑘 !

𝑎! = 1    Hipérbola:      Horizontal∶    𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜  𝐶(ℎ, 𝑘)  𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠  𝑉 ℎ ± 𝑎, 𝑘    𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠  𝐹 ℎ ± 𝑐, 𝑘  𝐸𝑗𝑒𝑠  𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜𝑠   ℎ, 𝑘 ± 𝑏  𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑  𝑒 =

𝑐𝑎  

 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛    𝑐! = 𝑎! + 𝑏!  

𝐿𝑎𝑑𝑜  𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜  𝐿𝑅 =2𝑏!

𝑎    

Ecuación  Ordinaria    𝑥 − ℎ !

𝑎! −𝑦 − 𝑘 !

𝑏! = 1          

Vertical:      𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜  𝐶(ℎ, 𝑘)  𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠  𝑉 ℎ, 𝑘 ± 𝑎 ,    𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠  𝐹 ℎ, 𝑘 ± 𝑐  𝐸𝑗𝑒𝑠  𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠   ℎ ± 𝑏, 𝑘  𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑  𝑒 =

𝑐𝑎  

 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛    𝑐! = 𝑎! + 𝑏!  

𝐿𝑎𝑑𝑜  𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜  𝐿𝑅 =2𝑏!

𝑎    

Ecuación  Ordinaria  

 𝑥 − ℎ !

𝑏! −𝑦 − 𝑘 !

𝑎! = 1    Ecuación  General  de  2do  Grado:  𝐴𝑥! + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦! + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0    Casos:    𝑰)  𝑺𝒊  𝑩 = 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:  𝐴𝑥! + 𝐶𝑦! + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0  𝑖)  𝑆𝑖  𝐴 = 𝐶, 𝑦  𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛  𝑒𝑙  𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜  𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜,  𝑙𝑎  𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎  𝑢𝑛𝑎  𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎.  𝑖𝑖)  𝑆𝑖  𝐴 ≠ 𝐶  𝑦  𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛  𝑒𝑙  𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜  𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜,    𝑙𝑎  𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎  𝑢𝑛𝑎  𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒.  𝑖𝑖𝑖)  𝑆𝑖  𝐴 ≠ 𝐶  𝑦  𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛  𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜  𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜,    𝑙𝑎  𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛  𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎  𝑢𝑛𝑎  𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎.  𝑖𝑣)  𝑆𝑖  𝐴 = 0  ó  𝐶 = 0, 𝑙𝑎  𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛    𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎  𝑢𝑛𝑎  𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎.    𝑰𝑰)  𝑺𝒊  𝑩 ≠ 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:  𝐴𝑥! + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦! + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0  𝑇𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠  𝑒𝑙  𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑎𝑡𝑒  𝑑𝑒  𝑙𝑎  𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛:  𝐷 = 𝐵! − 4𝐴𝐶  𝑖)  𝑆𝑖  𝐷 > 0, 𝑙𝑎  𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝑒𝑠  𝑢𝑛𝑎  𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒.  𝑖𝑖)  𝑆𝑖  𝐷 < 0, 𝑙𝑎  𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝑒𝑠    𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎.    𝑖𝑖𝑖)  𝑆𝑖  𝐷 = 0, 𝑙𝑎  𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛  𝑒𝑠  𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎.                        

Estadística      Media  aritmética  o  promedio:    

𝑥! =𝑥! + 𝑥! + 𝑥! +⋯+ 𝑥!

𝑛  

 Mediana.   La   mediana   representa   el   valor   de   la   variable   de  posición  central  en  un  conjunto  de  datos  ordenados.    Moda.  Dato  que  más  se  repite.