República Bolivariana de VenezuelaUniversidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza ArmadaCiclo Básico de IngenieríaMatemática ISemana 2: 17/09/2007 al 21/09/2007

Guía conjunta de Ejercicios resueltos Nº 2Continuación tema 1.1. Funciones

1. La siguiente función esta definida por:

f(x) = x² - 9 x - 3

Determine: a) Dominio,b) contradominio de f(x) , y c) Dibuje su gráfica

Respuesta (a) :Cálculo del dominio; por ser función polinómica está definido para todo x que pertenece a los Reales, excepto para x=3

Numerador : x² - 9 implica x Є R

Denominador : x – 3 ≠ 0 entonces

Por lo tanto Domf (x) = R - {3}

Respuesta (b): El contradominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales excepto 6

Respuesta (c ) : Grafica de f(x)

Nota: en x=3, por no estar definida f(x) es ese punto

f(x) =x²- 9 x- 3

f(x) = (x+3) . (x-3) (x+3)

f(x) = x+3 si x ≠ 3

X ≠ 3

x -3 0y 0 3

1

X= -3 entoncesf(x) = x +3 f(x) = -3 + 3 = 0

x = 0f(0) = 0+3 = 3

Igualmente, se puede verificar de la siguiente forma:x = -3

f(-3) = (-3)² - 9 = 9 - 9 = 0 -3 - 3 - 6

x = 0

F(0) = 0²- 9 = - 9 = 3 0 - 3 -3

2. Dada la función f(x) = √ x-4 Determine : a)Dominio b)rangoRespuesta (a): Cálculo de dominio

X - 4 ≥ 0 Dom f(x) = [4,00+]

Respuesta (b) rango [0 , ∞ +)

x 4 6 8y 0 1.4 2

X ≥ 4

2

x = 4f(x) = √ x-4 f(x) = √ 4-4 = 0

x = 6f(x) = √ x-4 f(x) = √ 6-4 = 1.4x = 8f(x) = √ x-4 f(x) = √ 8-4 = √4 = 2

3. Dada la función :

a. Represente gráficamente

b. Di Domf(x) y Contf(x)

c. Determine si es uno a uno

d. Estudie simetria

e. Dé intervalos de crecimiento y decrecimiento

f. Restringiendo el dominio defina una función uno a uno con la misma regla de

correspondencia.

g. De la gráfica, de la función uno a uno.

h. A partir de la gráfica de f(x) obtenga la gráfica de

Solución.

a. Represente gráficamente

3

0,0 4,0

b. Domf(x) = (- ∞, - 1] U [1, +∞) = ; Contf(x) = (- ∞, 0]

c. Función no uno a uno

d. Simétrica respecto al eje y. Función par:

e. Función creciente en (- ∞, -1); Función decreciente en (1, + ∞)

f. Función uno a uno:

g. Gráfica de la función uno a uno de f(x):

h. A partir de la gráfica f(x), obtenga la gráfica g(x).

f x( ) := - x 2 - 1

g x( ) := x 2 + 2 x - 1ê

êúú

Partiendo de la gráfica de f(x) se tiene:

4

Gráfica de f(x) desplazada 1 hacia arriba:

f x( ) := - x 2 - 1 + 1

Gráfica de :

5

Para definir la función uno a uno, se tiene:

Definición:

4. A partir de la gráfica de obtener la gráfica de: ; ;

Solución

6

5. Si f y g son dos funciones tales que, (f o g)(x) = x y (g o f)(x) = x, entonces f y g son funciones inversas. Demuestre esto para las siguientes funciones:

f(x) = 2x – 3yg(x) = (x+3)/2

Resp.

(f o g)(x) = 2((x+3)/2)-3= (2x + 6)/2 – 3= 2x/2 + 6/2 – 3= x

7

Por otro lado(g o f)(x) = ((2x-3)+3)/2

= (2x-3+3)/2= 2x/2= x

6. Para las siguiente funciones f y g. Determine el dominio de la función compuesta

Resp.

7. Una fábrica A paga a sus viajantes 1 euro por artículo vendido más una cantidad fija de 500 euros. Otra fábrica B paga 1,5 euros por artículo y 300 euros fijos. ¿Cuántos artículos debe vender el viajante de la fábrica B para ganar más dinero que el de la fábrica A?

La cantidad que obtiene el viajante de la fábrica A se calcula así:(I)

La cantidad que obtiene el viajante de la fábrica B se obtiene de:

(II)

Resolviendo (II)>(I) Respondo a la pregunta formulada:

>

Es decir, que vendiendo más de 400 artículos, el viajante B gana más dinero.

8. Dadas dos funciones definidas en los reales por y determinar g(x)/f(x), e igualmente su dominio:

H(x)= , para calcular el dominio de h(x) se debe considerar que el término

debe ser mayor o igual que cero; y que el término debe ser diferente de cero.

8

por lo que el Df= , ya que fuera de este intervalo la

función es menor que cero.

Para tenemos que debe ser diferente de cero, pues se trata del denominador; por tanto:

0 . El dominio de h(x) es la intersección de ambos dominios; es

decir DH(x)= -{- },{ }

9. Hallar el dominio y el rango de la función dada:

Solución

El dominio de esta función es igual al dominio del denominador menos los puntos donde este se anula

Pero x esta en el domino del denominador

Luego el dominio del denominador es

= 2 x -4 =4 x2 = 8 x = 2 ; x = -2

Por tanto, Dom(Y) = (- 2 ,2 ]

Rango:

En está igualdad despejamos x en términos de y.

-2 = (1+2y)2= +2

x2 -4 = + 4

=

9

De ésta igualdad se obtiene que y en el despeje debemos tener también

que pero (y>0 y 1+2y 0 )

ó

(y < 0 y 1+2y 0)

y>0 y 2y -1 y - ½

solución : (0, + )

ó

y < 0 y y

solución : (- -1/2]

Rango (y) = (- , -1/2] U (0, + )

10. En las siguientes funciones determine si es par o impar ó ninguna de las dos.

a) f(x) = x2 (4 - x2 )

b) f(x) =

Una función es par si f(x) = f(-x) y es impar si f(-x) = - f(x)

a) f(x) = x2 (4 -x2 )

sustituyendo x = - x en a se obtiene f(-x) = (-x)2 (4-(-x)2 )

f(-x) = x2 (4-x2) entonces la función es par porque f(x) = f(-x)

b) f(X) =

sustituyendo x = -x en b se obtiene:

f(-x) = entonces f(x) f(-x) no es par

ahora veremos si es impar; debe cumplir que f(-x) = - f(x)

f(-x) =

-f(x) = -

= - - = - la función es impar.

11. Graficar la siguiente función: Hallar el dominio, rango, asuntotas e

intersecciones

10

Solución

Intersecciones

- Intersecciones con el eje y.

Hacemos

- Intersecciones con x

Hacemos

Asintotas

- Asintotas Verticales: Para obtener las asintotas verticales, se despeja y en función de x. Se

buscan todos los valores de x para los cuales el denominador se anula. Si a es uno de estos

valores, la recta vertical por (a, 0) es una asintota vertical.

- Asintotas Horizontales: Para obtener las asintotas horizontales, se despeja x en función de

y. Se buscan todos los valores de y para los cuales el denominador se anula. Si b es uno de

estos valores, la recta horizontal por (0, b) es una asintota horizontal.

Para este ejemplo en específico seria:

- Asintota vertical: para que el denominador sea cero debe cumplirse alguna de las 2

opciones:

despejando x de las 2 ecuaciones se tiene que:

Luego realizamos el cementerio para hacer un bosquejo de la función

-∞ 2 0 2 +∞

x - - + +

11

x-2 - - - +

x+2 - + + +

- + - +

Luego graficamos la función y queda de la siguiente manera:

Cálculo del dominio: generalmente cuando se habla de plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las x, y que nos generan una asociación en el eje de las y.Para este ejemplo en específico seria:

Dominio

Cálculo del Rango: Son todos los valores que pueden tomar la función o valores en el eje de las Y.Para este ejemplo en específico seria:

Rango:

12. Para la función: , hallar el dominio, rango, asintotas, intersecciones y graficar.

Solución

Intersecciones

- Intersecciones con el eje y.

Hacemos

12

- Intersecciones con x

Hacemos

Asintotas

- Asintota vertical: para que el denominador sea cero debe cumplirse lo siguiente:

despejando x se tiene que:

- Asintota horizontal se despeja x en función de y

para que el denominador sea cero debe cumplirse lo siguiente:

despejando y se tiene que:

Luego realizamos el cementerio para hacer un bosquejo de la función

-∞ ½ 1 +∞

1-2x - + +

x-1 - - +

+ - +

Luego graficamos la función y queda de la siguiente manera:

13

Dominio

Dominio

Rango

Rango

14