República Bolivariana de VenezuelaUniversidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza ArmadaCiclo Básico de IngenieríaMatemática ISemana 3: 24/09/2007 al 28/09/2007

Guía conjunta de Ejercicios resueltos Nº 2

Tema 1.2. Límites por definición. Propiedades y teoremas sobre límites. Evaluación de límites (por sustitución). Límites laterales.

1. En el siguiente ejercicio, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Epsilón-delta:

2. Evalúe el siguiente límite:

Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del Teorema dado en clase, nos daría la forma indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del Teorema:

1

3. En el siguiente ejercicio, completar la tabla y el utilizar el resultado para estimar el límite

x 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1f(x)            

Al sustituir los valores de x se obtiene lo siguiente:

Se concluye que el límite de función cuando x tiende a 2 se aproxima a 0,3333

4. Probar por de definición el siguiente limite

0 < | x-1| < δ entonces | (3x +1)-4| < ε

Puesto que la elección de δ depende de ε, es necesario establecer una relación entre los

valores absolutos.

| (3x +1)- 4| y |x-1|

|3x-3| = |3x-3| = 3| x-1|

De tal manera, para cada ε > 0 dado, se puede tomar δ = ε /3. Esto es porque

0< | x-1| < δ entonces 3 |x-1| <ε => |x-1| < ε /3 δ = ε/3

Implica que 3|x-2| < 3 (ε/3 ) = 3

5. Trace la gráfica y determine el límite indicado si existe; si no existe, dé la razón:

x 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1f(x) 0,344828 0,334448 0,333444 0,333222 0,332226 0,322581

2

Solución:

Si existe se cumple el teorema del límite lateral, debido a que existen los límites laterales y son iguales.

6. Hallar el valor del límite cuando n tiende a infinito.lim (-7n n + 5n + 6 n - 3)

(11n n - 4 n + 10) Evaluando la expresión nos damos cuenta que es un límite indeterminado de la forma: Infinito / InfinitoDividimos la expresión en el numerador y el denominador por n n, nos queda:Lim (-7 + 5 / n + 6 /n - 3 / n n)

(11 - 4 / n + 10 / n n)  Volvemos a evaluar para n= Infinito y obtenemos como resultado -7/11 la indeterminación se ha eliminado.

7. Dada la función F(x) determinar los valores de c y k para los cuales los límites existan.

Solución

Para que el límite exista debe cumplirse que:

Limite cuando x→1 por la izquierda

3

Limite cuando x→1 por la derecha

Para que el límite exista:

Limite cuando x→4 por la izquierda

Limite cuando x→4 por la derecha

Para que el límite exista debe cumplirse que:

Resolviendo el sistema de ecuaciones no da el valor de c y k

8. Dada la función F(x) determinar si el límite existe.

Solución

4

Para que el límite exista en -3 debe cumplirse que:

Limite cuando x→-3 por la izquierda

Limite cuando x→-3 por la derecha

Limite cuando x→-3 no existe

Para que el límite exista en 3 debe cumplirse que:

Como el límite cuando c→3 no existe.

9. Calcular los siguientes límites:

5

a.

Solución

b.

Solución

c.

Solución

10. Dada , hallar

Solución

Como y

11. Encontrar la solución de la siguiente expresión:

Solución: Multiplicando por la conjugada arriba y abajo

       3232

323222

22

xxxx

xxxx

 

6

Tenemos:

22

4

321

321

4lim

321

321

4lim

321

321

4lim

3232

3232lim

3232

32323232lim

2222

2

2

2

222

22

22

2222

xxxxxxx

xxx

x

xxx

xxx

x

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxxxx

xx

xx

x

12. Encontrar la solución del siguiente limite

Solución: La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a la indeterminación de la forma cero entre cero. Podemos llegar al resultado mediante dos caminos diferentes: Debido a que se puede expresar como Por lo que:

13. Sea

Encuentre los valores de a y b tales que y el existan.

Solución:Procedemos a graficar las funciones por partes conocidas, obteniendo la gráfica siguiente:

7

Si

Si

Si

x

x

x

2

22

2

62

2

x

bax

x

xf

1 2 3-1-2-3-4-5-2-3-4

4

De la gráfica anterior se puede observar que el y el

Para que exista el , se debe cumplir que:

= , esto quiere decir que el debe ser 4 para que exista el .

Así:

Para que exista el , se debe cumplir que:

= , esto quiere decir que el debe ser -2 para que exista el .

Así:

De ,

De ,

De , despejamos b:

Sustituimos b en :

Resultado: y , para que exista el y el

14. Halle el valor del

Evaluamos el límite en el denominador antes de aplicarlo, así:

8

42

baxLímx

1

22

baxLímx

2

1 3

2 4

3

4

, no se puede aplicar el límite a una función racional cuando el denominador es 0

(Cero). Además, evaluando el límite de: obtenemos la forma indeterminada . Por

tanto, se deben factorizar ambos polinomios, para luego, simplificar la expresión. Después, se aplican los teoremas del límite a la expresión simplificada, de la forma siguiente:

15. Sea h(x) una función cuya gráfica se adjunta:Indique:

Respuesta:

9

7

1

12

65

7

1

7

1

43

23

4

2

4

2

34

23

12

65

2

2

3

33

33

332

2

3

xx

xxLím

LímxLím

LímxLím

x

xLím

xx

xxLím

xx

xxLím

x

xx

xx

xxx

1 2 3 40

-1-2-3-4-5-6

0,5

1

2

3

4

5h(x)

x

16. Evaluar los siguientes límites:

Solución:

Solución:

17. Calcular el siguiente límite por sustitución:

10

Lim -------------- x 3 x – 3

Solución: Al sustituir nos resulta cero dividido entre cero, lo cual es una indeterminación, entonces factorizamos el numerador

Lim (x – 3)(x + 4) ---------------- x 3 x – 3

Ya que por definición el Límite no considera la función en el punto x = 3, entonces podemos eliminar el binomio x – 3, quedando:

Lim (x + 4) x 3

Sustituimos y resulta que el límite es: 7

18. Calcular el siguiente límite por sustitución: Lim x 4

Solución: Al sustituir nos queda la raíz cuadrada de – 4, por definición no existe la raíz de números negativos; por lo tanto este límite no existe en el conjunto de los números reales.

19. Sea:

20. Dada:

11

1

-1

21. Demuestre que utilizando la definición de límite.

Para hacer la demostración basta con encontrar un tal que:

< (I)

Ya que por definición, el existe siempre que

Para efectos de simplificación, asumimos un valor de =1 y obtenemos:

Sustituyendo en (I) se obtiene que 8 < y que < /8; ya que

por definición .

22. Encuentre .

Solución:

= = = =

=

23. Usando la definición rigurosa del límite de una función, pruebe que:

Sea un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:

(1)

12

Para ello considere la desigualdad de la derecha de (1).

(V.A.5)

(factorizando)

(2)

Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger . (Por supuesto, cualquier valor menor funcionará para .) Prueba formal.

Dado , existe, , tal que,

En particular, si A escoge un , en este ejemplo, entonces B responderá con un.

Si A propone , B escogerá (cualquier valor menor también satisface).

Al graficar la recta , se nota que para obligar a (9 - 3x) estar cerca de -6, se debe obligar a x que este cerca de 5.

24. Usando la definición del límite de una función, demostrar que:

Análisis preliminar. Sea un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:

13

Si , entonces (1) Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1).

(factorizando)

(simplificando, puesto que x - 1 0)

(2)

Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger (cualquier valor menor funciona). Prueba formal.

Dado ,

existe , tal que,

En particular, si en este ejemplo, A escoge un , entonces B responderá con un . Si A propone , B escogerá (cualquier valor menor también cumple). La gráfica de la

función es la misma que corresponde a la recta de ecuación

, con x 1.

En la figura siguiente, aparece la gráfica de la función dada. Nótese que si el ancho de la banda alrededor del punto y = 3 es , entonces, el ancho de la banda alrededor del punto x = 1 es .

14

 

15