Repblica Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Experimental Politcnica de la Fuerza Armada Ciclo Bsico de Ingeniera Matemtica I Semana 3: 24/09/2007 al 28/09/2007

Gua conjunta de Ejercicios resueltos N 2Tema 1.2. Lmites por definicin. Propiedades y teoremas sobre lmites. Evaluacin de lmites (por sustitucin). Lmites laterales. 1. En el siguiente ejercicio, demuestre que el lmite es el nmero indicado aplicando la definicin Epsiln-delta:

2. Evale el siguiente lmite:

Si pretendiramos aplicar el lmite directamente a partir del Teorema dado en clase, nos dara la forma indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresin antes de poder hacer uso del Teorema:

1

3. En el siguiente ejercicio, completar la tabla y el utilizar el resultado para estimar el lmite limx 2

x2 x x22

x f(x)

1,9

1,99

1,999

2,001

2,01

2,1

Al sustituir los valores de x se obtiene lo siguiente: x f(x) 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 0,344828 0,334448 0,333444 0,333222 0,332226 0,322581

Se concluye que el lmite de funcin cuando x tiende a 2 se aproxima a 0,3333 4. Probar por de definicin el siguiente limite lim (3x + 1) = 4x 1

Significa que para todo > 0

existe > 0

tal que si

0 < | x-1| < entonces | (3x +1)-4| < Puesto que la eleccin de depende de , valores absolutos. | (3x +1)- 4| y |x-1| |3x-3| = |3x-3| = 3| x-1| De tal manera, para cada > 0 dado, se puede tomar = /3. Esto es porque 0< | x-1| < entonces 3 |x-1| |x-1| < /3 = /3 es necesario establecer una relacin entre los

2

5. Trace la grfica y determine el lmite indicado si existe; si no existe, d la razn:

Solucin:

Si existe se cumple el teorema del lmite lateral, debido a que existen los lmites laterales y son iguales. 6. Hallar el valor del lmite cuando n tiende a infinito.lim (-7n n + 5n + 6 n - 3) (11n n - 4 n + 10)

Evaluando la expresin nos damos cuenta que es un lmite indeterminado de la forma: Infinito / Infinito Dividimos la expresin en el numerador y el denominador por n n, nos queda:Lim (-7 + 5 / n + 6 /n - 3 / n n) (11 - 4 / n + 10 / n n)

Volvemos a evaluar para n= Infinito y obtenemos como resultado -7/11 la indeterminacin se ha eliminado.7. Dada la funcin F(x) determinar los valores de c y k para los cuales los lmites existan.

x F( x ) = cx + k 2x Solucin

x 1 1< x < 4 x4

Para que el lmite exista debe cumplirse que: Limite cuando x1 por la izquierda

lim F( x ) = lim F( x )x 1 x 1+

3

lim F( x ) limx 1 x 1

x =1

Limite cuando x1 por la derecha

lim F( x ) limx 1+ x 1+

cx + k = c + k

Para que el lmite exista:c+ k = 1

Limite cuando x4 por la izquierda

lim F( x ) limx 4 x 4

cx + k = 4c + k

Limite cuando x4 por la derecha

lim F( x ) limx 4+ x4+

2 x = 2 4 = 8

Para que el lmite exista debe cumplirse que: 4c + k = 8 c+k =1

lim F( x ) = lim F( x )x4 x 4+

Resolviendo el sistema de ecuaciones no da el valor de c y kc = 3k= 4

8. Dada la funcin F(x) determinar si el lmite existe. x < 3 x+5 2 F( x ) = 9 x 3 x 3 5x x>3 Solucin

4

3

x+ 5

F(x)

9 w 5 v

2

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

3 x, w , v

x Para que el lmite exista en -3 debe cumplirse que: Limite cuando x-3 por la izquierda

lim F( x ) = lim F( x )x 3 x 3 +

lim F( x ) limx 3 x 3

x + 5 = 3 + 5 = 2

Limite cuando x-3 por la derecha

lim F( x ) limx 3+

x 3

+

9 x 2 = 9 ( 3) = 02

Limite cuando x-3 no existe Para que el lmite exista en 3 debe cumplirse que:

lim F( x ) = lim F( x )x 3 x 3 +

lim F( x ) = limx 3 x 3

9 x 2 = 9 ( 3) = 02

lim F( x ) limx 3+ x 3 +

5 x = 53 = 2

Como

lim F( x ) lim F( x )x 3 x 3 +

el lmite cuando c3 no existe.

9. Calcular los siguientes lmites: a. limx 1

2

x

x2 2

Solucin

5

limx 1

22 3

x

x2 2 *

3 3

2

1

12 2 6 3

2 3

6 3

Rac. :

b. lim ln 3 4 z z 0 Solucinlim ln 3 4 z ln 3 4 0 ln 3 4 ln 3 2 ln 1 0 z 0

c. limx e

x 3 ln x e2

Solucin x 3 ln x e 3 ln e lim e *1 e x e e2 e2 10. Dada f x x 3 x , hallar lim2h 0

f x h f x h2

Solucin Como f x x 2 3 x, f x h x h 3 x h ylimh 0

f x h f x h

x limh 0

2

2hx h 2 3x 3h x 2 3x hh 0

lim 2hx hh 0

2

3h

limh 0

h 2 x h 3 h

h

lim 2 x h 3 2 x 0 3 2 x 3

11. Encontrar la solucin de la siguiente expresin:

Solucin: Multiplicando por la conjugada arriba y abajox2 + 2x + 3 + x2 + 2x + 3 + x2 2x + 3 x2 2x + 3

Tenemos:

6

x2 + 2x + 3 + x 2 2x + 3 x 2 + 2x + 3 x2 2x + 3 2 x + 2x + 3 + x 2 2x + 3 = 2 2 x + 2x + 3 x + 2x 3 4x lim 2 = lim = 2 x x x + 2x + 3 + x 2x + 3 2 3 2 3 2 2 x 1 + + 2 + x 1 + 2 x x x x 4x 4 4 lim = lim = =2 x 2 3 2 3 2 3 x 2 3 2 x 1 + + 2 + x 1 + 2 1 + + 2 + 1 + 2 x x x x x x x x lim x 12. Encontrar la solucin del siguiente limite Solucin: La solucin, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a la indeterminacin de la forma cero entre cero. Podemos llegar al resultado mediante dos caminos diferentes: Debido a que se puede expresar como Por lo que:

(

)

13. Sea x 2 x2 Si f ( x ) = ax + b 2 < x < 2 Si 2 x 6 2x Si Encuentre los valores de a y b tales que Lmx 2

f ( x)

y el

Lm f ( x)x2

existan.

Solucin: Procedemos a graficar las funciones por partes conocidas, obteniendo la grfica siguiente:

4

-5 -4 -3 -2 -1

123 -2 -3 -4

7

De la grfica anterior se puede observar que el xLm f ( x) = 4 y el Lm f ( x) = 2 2 x 2 + Para que exista el Lm f ( x ) , se debe cumplir que: x 2x 2 x 2

Lm f ( x) = Lm+ f ( x) = 4 , esto quiere decir que el Lm+ f ( x) debe ser 4 para que exista el x 2 x 2

Lm f ( x) .As:

x 2 +

Lm ( ax + b ) = 4 1

Para que exista el Lm f ( x) , se debe cumplir que: x2

Lm f ( x) = Lm f ( x) = 2 , esto quiere decir que el Lm f ( x) debe ser -2 para que exista el x 2 x 2 + x 2

Lm f ( x) .x2

As: Lm ( ax + b ) = 2 2 x2 De 1 , De 2 ,

x 2 +

Lm ( ax + b ) = Lm+ ax + Lm+ b = 2a + b = 4x 2 x 2

3 4

Lm( ax + b ) = Lm ax + Lm b = 2a + b = 2 x 2 x 2 x 2

De 3 , despejamos b:

b = 4 + 2aSustituimos b en 4:

2a + 4 + 2a = 2 4a + 4 = 2 4( a + 1) = 2 1 1 1 2 3 a +1 = a = 1 a = a= 2 2 2 2 3 b = 4 + 2 b = 4 3 b = 1 2 3 Resultado: a = y b = 1 , para que exista el Lm x 2 2

f ( x) y el Lm f ( x) x2

8

14. Halle el valor del Lm

x 2 + 5x + 6 x 3 x 2 x 12

Evaluamos el lmite en el denominador antes de aplicarlo, as:

Lm x 2 x 12 0 , no se puede aplicar el lmite a una funcin racional cuando el denominador es 0x 3

0 x 2 + 5x + 6 obtenemos la forma indeterminada . Por 2 x 3 x x 12 0 tanto, se deben factorizar ambos polinomios, para luego, simplificar la expresin. Despus, se aplican los teoremas del lmite a la expresin simplificada, de la forma siguiente: (Cero). Adems, evaluando el lmite de: Lm

Lm

( x + 3)( x + 2) = Lm ( x + 2) = Lm x + Lm 2 = 3 + 2 = 1 = 1 x 2 + 5x + 6 x 3 x 3 = Lm x 3 x 2 x 12 x 3 ( x 4 )( x + 3) x 3 ( x 4 ) Lm x Lm 4 3 4 7 7x 3 x 3 x 3

Lm

x + 5x + 6 1 = x 2 x 12 72

15. Sea h(x) una funcin cuya grfica se adjunta: Indique: a) lim h(x)x 6 x 1

b) lim h(x)x 2

c) lim h(x) x 1

d) lim h(x) g) lim h(x)x 6

e) lim h(x)x 1

f ) lim h(x)x 4

h) lim h(x)x 6

h(x)

5 4 3 2 1

0,5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Respuesta:

9

a) lim h(x) 5x 6 x 1

b) lim h(x) 3x 2 x 1

c) lim h(x) 0.5 x 1 x 1 x 1

d) lim h(x) 3 f ) lim h(x) 3x 4

e) lim h(x) No existe, ya que lim h(x) lim h(x) g) lim h(x) 5x 6

h) lim h(x) 5x 6

16. Evaluar los siguientes lmites: a) lim x 2 5

3x 3 2x 2 x 1 x 3 x 3

x 3

Solucin: lim x 2

5

3x 3 2x 2 3x 3 x2 2x 2 lim 5 x 2 x 1 x 1 lim 3x 35 x 2x 2

lim

lim 2x 2

x 2

lim x 3

lim x 1x 2 2 lim x lim 2x 2 x 2 x 2

lim x lim 3x 2

3.lim x lim 35 x 2

lim x lim1x 2 5 x 2

x 2

5

3.2 3 2.2 2 2 1

23

1 92 5 9 2 9 3 1

b) lim Ln x 1 Solucin: lim Ln x 1

5x 1 2x 2

5x 1 5x 1 Ln lim x 1 2x 2 2x 2 Ln lim 5x 1 lim 2x 2 x 1 x 1

Ln Ln

lim 5x lim1 lim 2x lim 2x 1 x 1 x 1 x 1

Ln

5lim x lim1 2 lim x lim 2x 1 x 1 x 1 x 1

5.1 1 4 Ln Ln1 0 2.1 2 4

10

17. Calcular el siguiente lmite por sustitucin: Lim x3 x 2 x 12 -------------x3

Solucin: Al sustituir nos resulta cero dividido entre cero, lo cual es una indeterminacin, entonces factorizamos el numerador Lim x3 (x 3)(x + 4) ---------------x3

Ya que por definicin el Lmite no considera la funcin en el punto x = 3, entonces podemos eliminar el binomio x 3, quedando: Lim x3 (x + 4)

Sustituimos y resulta que el lmite es: 7 18. Calcular el siguiente lmite por sustitucin: Lim x 8 x4 Solucin: Al sustituir nos queda la raz cuadrada de 4, por definicin no existe la raz de nmeros negativos; por lo tanto este lmite no existe en el conjunto de los nmeros reales. 19. Sea: | x| f(x) , evaluar el limite lateral x El valor absoluto de x se define como : x x -x si si x 0 x0 1 -1 lim | x| 1 x lim x 0

x 0

|x| 1 x

El limite no existe ya que al evaluar el limite cuando x tiende a 0 + es distinto al limite cuando tiende a 0 -

11

20. Dada: f ( x) = x 2 3x, hallar limh 0

f ( x + h) f ( x ) h

Como f ( x) = x 2 3 x, se tiene f ( x + h) = ( x + h) 2 3( x + h) f ( x + h) f ( x ) ( x 2 + 2 xh + h 2 3 x 3h) x 2 3x = lim h 0 h 0 h h 2 2 xh + h 3h lim = lim(2 x + h 3) = 2 x 3 h 0 h 0 h lim2 21. Demuestre que LM x 3( x + x 5) = 7 utilizando la definicin de lmite.

Para hacer la demostracin basta con encontrar un tal que: 0 < x 3 < ( x 2 + x 5) 7 < ( x 2 + x 5) 7 = x 2 + x 12 = x + 4 x 3 < (I) Ya que por definicin, el LM x c f ( x) = L existe siempre que 0 < x c < f ( x) L < Para efectos de simplificacin, asumimos un valor de =1 y obtenemos: x 3