guias de ondas

5/19/2018 Guias de Ondas

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Ondas Guadas

Alfonso Zozaya

15 de febrero de 2007

ndice

1. Introduccin 1

1.1. Planteamiento del problema ideal, 3.

2. Clasificacin de las soluciones 72.1. Ondas TEM, 7 2.1.1. Solucin, 7. 2.2. Ondas TE o H, 8 2.2.1. Solucin, 8. 2.3. Ondas

TM o E, 9. 2.4. Solucin, 10. 2.5. Estimacin de la solucin del problema real, 12. 2.6.

Atenuacin, 12. 2.7. Clculo de la atenuacin C por prdidas en el conductor, 14. 2.8.

Clculo de la atenuacin D por prdidas en el dielctrico, 16.

3. Resumen de frmulas 17

4. Cable coaxial 17

4.1. Onda de voltaje, 19. 4.2. Onda de corriente, 19. 4.3. Impedancia caracterstica, 19.

4.4. Atenuacin del cable coaxial, 19 4.4.1. Atenuacin debido al conductor, 20. 4.4.2. Atenuacin

debido al dielctrico, 20. 4.4.3. Atenuacin resultante, 20.

5. Gua de onda rectangular 215.1. Condicin de propagacin, 25. 5.2. Frecuencia de corte, 25. 5.3. Modo dominante, 25.

6. Gua de onda circular 26

6.1. Ondas TE, 28. 6.2. Ondas TM, 29. 6.3. Modo dominante, 31.

7. Relacin entre la densidad de corriente superficialJsde un conductor perfecto

y la densidad de corriente J en un conductor real 32

1. Introduccin

Una gua de onda est hecha de uno o ms materiales de propiedades electromagnticasintrnsecas diferentes y consiste, en general, en una estructura con gran desarrollo longitudinaly una seccin transversal uniforme. En la Figura 1 se muestran algunos tipos de guas deondas.

Una gua de onda puede tener la forma de una caera, hecha de material conductor,rellena de aire, o vaca, como es el caso de una gua de onda rectangular ver Fig. 1(a),o de una gua de onda circular; o podra consistir en dos regiones cilndricas concntricashechas de materiales dielctricos con distintos ndices de refraccin, como es el caso de lafibra ptica ver Fig. 1(d); o de un par de conductores cilndricos formando lo que se conoce

1


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(a) Gua de onda rec-tangular (tomado dehttp://www.quinstar.com).

(b) Cable coaxial(tomado dehttp://www.cybermarket.co.uk).

(c) Microcin-

ta (tomado dehttp://www.eecs.umich.edu).

(d) Fibra pti-

ca (tomado dehttp://www.drakausa.com).

Figura 1: Ejemplos de guas de onda.

como una lnea bifilar. Existen otras estructuras de guado, como el cable coaxial Fig. 1(b),la microcinta Fig.1(c), etc.

Normalmente se puede asumir que los campos se propagan en el interior de la gua 1 enla direccin longitudinal, mediante mltiples reflexiones en la superficie de separacin de losmateriales que conforman la estructura. Esto es intuitivamente cierto cuando uno cualquierade los campos presenta una componente longitudinal (modos TE y TM), pero resulta muydifcil admitirlo cuanto los campos son completamente transversales (modo TEM).

Si hacemos caso omiso de las fuentes impresas que pudieran excitar los campos dentro dela gua, lo cual se logra imponiendo la inexistencia de tales fuentes, los campos en la gua sepueden considerar libres, pero confinados, y su estructura estara determinada por la solucinde tantas ecuaciones homogneas de Helmholtz como materiales distintos formen parte de lagua y de la conciliacin de tales soluciones con las condiciones de borde que las Ecuaciones

1Se entiende por interior de la gua la regin ocupada por el material interno

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de Maxwell imponen en todas las interfaces entre dichos materiales dentro de la gua.En este documento nos ocuparemos del estudio de las guas de onda constituidas por uno

o dos conductores y rellenas de un dielctrico homogneo.

Cuadro 1: Clasificacin de las ondas guiadasTEM TE TM

ez, hz = 0 hz = 0 ez = 0

En una gua de onda arbitraria, todos loscampos que tienen alguna posibilidad de pro-

pagarse (en la direccin longitudinal) presen-tan, en general, una estructura que resulta decierta combinacin lineal de tres familias dis-tintas de estructuras posibles. Estas estructu-

ras se denominan ver Cuadro 1:

TEM: ondas transverse electromagnetic: los campos elctrico y magntico son ambostransversales a la direccin de propagacin.

TE o H: ondas (modos) transverse electric: el campo elctrico es transversal a la direc-cin de propagacin.

TM o E: ondas (modos) transverse magnetic: el campo magntico es transversal a ladireccin de propagacin.

Para analizar estas soluciones (estructuras) partiremos de una gua de onda ideal, esto es:hecha con conductores ideales ( ) y rellena con un dielctrico perfecto ( = 0). Elproblema que as resulta se reduce a resolver un problema con valores en la frontera en unasola regin: en el dielctrico, el cual se asume delimitado, como se ha indicado anteriormente,por uno o ms conductores perfectos.

1.1. Planteamiento del problema ideal

Dadas la ecuaciones de Helmholtz para los campos Ey Hen el dielctrico que rellena lagua:

2E+ 2E= 0 (1)2H+ 2H= 0 (2)

Pondremos el operador de Helmholtz en la forma:

2 + 2 (3)

(4)

2

x2+

2

y2 2T

+2

z2+ 2 (5)

(6)

2T+ 2

z2+ 2 (7)

3


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Descompondremos el campo elctrico en sus componentes transversales y longitudinales, yasumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transver-sales (xy y) y longitudinal (z) es separable:

E= ET(x , y , z) eT(x,y)g(z)+ Ez(x,y,z) ez(x,y)g(z)

az (8)

(9)E=eT(x, y)g(z) + ez(x, y)g(z)az (10)

Haremos lo propio con el campo magntico:

H=HT(x , y , z) hT(x,y)g(z)

+ Hz(x,y,z) hz(x,y)g(z)

az (11)

(12)H=hT(x, y)g(z) + hz(x, y)g(z)az (13)

Al aplicar el operador 7 a los campos 10 y 13, las ecuaciones vectoriales 1 y 2 dan lugara las ecuaciones del cuadro 2.

Cuadro 2: Ecuaciones de Helmholtz.

Campo elctrico Campo magntico2T+

2

z2+ 2

eT(x, y)g(z) = 0

2T+

2

z2+ 2

hT(x, y)g(z) = 0

2T+ 2z2 + 2 ez(x, y)g(z) = 0 2T+ 2z2 + 2hz(x, y)g(z) = 0La ecuacin

2T+ 2

z2+ 2

f(x, y)g(z) = 0 (14)

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se separa en dos ecuaciones:

g(z)2Tf(x, y) + f(x, y)d2

dz2g(z) + 2f(x, y)g(z) = 0 (15)

(16)2Tf(x, y)

f(x, y) = 2T (17)

1

g(z)

d2

dz2g(z) = 2 (18) (19)

2T+ 2 =

2 (20)

(21)2Tf(x, y) + 2Tf(x, y) = 0 (22)

d2

dz2g(z) + 2

g(z) = 0 (23)

La solucin de la ecuacin 23 es:

g(z) =Aejz + Bejz (24)

conA y B constantes complejas indeterminadas.La solucin 24 est compuesta por dos ondas viajeras: una en el sentido de crecimiento de

la coordenada longitudinalz,Aejz, y la otra en sentido contrario,Bejz. Nos quedaremoscon la onda viajera progresivaejz e incluiremos la constante indeterminadaAen la funcinf(x, y), por lo que escribiremos g(z) =ejz. De esta forma las ecuaciones del cuadro 2 dan

lugar a las ecuaciones del cuadro3.Dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:

E= jH (25) H=jE (26)

D= 0 (27) B= 0 (28)

Descomponemos los operadores yde la forma:

T+ zaz

T+

zaz

donde

T

xax+

yay

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Cuadro 3: Resumen de las Ecuaciones resultantes

Campo elctrico Campo magntico

2T+ 2

z2 +

2 eT(x, y)ejz = 0 2T+ 2

z2 +

2hT(x, y)ejz = 02T+

2

z2+ 2

ez(x, y)e

jz = 0

2T+

2

z2+ 2

hz(x, y)e

jz = 0

2

z2 (j)2; 2 2 =2T

2TeT(x, y) + 2TeT(x, y) = 0 2ThT(x, y) + 2ThT(x, y) = 0

2Tez(x, y) + 2Tez(x, y) = 0 2Thz(x, y) + 2Thz(x, y) = 0

Sustituyendo las expresiones de los campos Ey Hde las ecuaciones 10 y 13, respectivamente,y poniendo g(z) =ejz obtenemos:

T+ zaz eT(x, y)ejz + ez(x, y)ejzaz= j hT(x, y)ejz + hz(x, y)ejzaz

T+

zaz

hT(x, y)ejz + hz(x, y)ejzaz

=j

eT(x, y)ejz + ez(x, y)e

jzaz

T+

zaz

eT(x, y)ejz + ez(x, y)e

jzaz= 0 (29)

T+ z

az hT(x, y)ejz + hz(x, y)ejzaz= 0 (30)

Para el campo elctrico escribiremos:

T eT(x, y) = jhz(x, y)az (31)T ez(x, y)az jaz eT(x, y) = jhT(x, y) (32)

T eT(x, y) =jez(x, y) (33)

6


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Usando la identidad vectorial:

(A) = () A + Ase podr escribir:

T ez(x, y)az= Tez(x, y) azya queT az= 0. Reescribiremos la ecuacin 32 de la forma:

az Tez(x, y) +jaz eT(x, y) =jhT(x, y) (34)Y para el campo magntico:

T hT(x, y) =jez(x, y)az (35)az Thz(x, y) +jaz hT(x, y) = jeT(x, y) (36)

T hT(x, y) =jhz(x, y) (37)

2. Clasificacin de las soluciones

2.1. Ondas TEM

Para las ondas TEM se cumple que ez = 0 y hz = 0. Al sustituir en las ecuaciones deMaxwell estos valores se obtiene:

Ecuaciones para el campo elctrico:

T eT(x, y) = 0 (38)az eT(x, y) =hT(x, y) (39)

T eT(x, y) = 0 (40)

Ecuaciones para el campo magntico:

T hT(x, y) = 0 (41)az hT(x, y) = eT(x, y) (42)

T hT(x, y) = 0 (43)2.1.1. Solucin

T eT(x, y) = 0 eT(x, y) = (x, y) (44)

(45)

2T(x, y) = 0|S1,S2

(46)

= (47)

(48)E= T(x, y)ejz (49)

H=

az eT(x, y)ejz (50)

7


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= ya que E= eTejz debe satisfacer la ecuacin (1):

2eTejz + 2eTejz = 0

2T 2

eTe

jz + 2eTejz = 0

2.2. Ondas TE o H

Para las ondas TE o H se cumple que ez = 0. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwelleste valor se obtiene:


T eT(x, y) = jhz(x, y)az (51)az eT(x, y) =hT(x, y) (52)

T eT(x, y) = 0 (53)


T hT(x, y) = 0 (54)az Thz(x, y) +jaz hT(x, y) = jeT(x, y) (55)

T hT(x, y) =jhz(x, y) (56)

2.2.1. Solucin

1. Se resuelve la ecuacin de Helmholtz:

2

Thz(x, y) + 2

Thz(x, y) = 0 (57)

que junto con la condiciones Et = 0 y Hn = 0 sobre la superficie conductora, conEt = eT at y Hn = ht an, donde at y an son dos vectores unitarios, el primerotangente a la superficie conductora y contenido en el plano transversal, y el segundonormal a la superficie conductora, tal que az at= an:

(az Thz+jaz hT= jeT) at ecuacin 55 (58) (59)

Thz az at+jhT az at= 0 (60)

ya que A B C=A B CThz az at+jhT az at= 0 (61)

(62)Thz an+jhT an= 0 (63)

(64)hzn

= 0 (65)

8


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da lugar al denominado segundo problema de contorno para la ecuacin de Helm-holtz:

2Thz+ 2Thz = 0

hz

n

= 0 en ST

(66)

El problema de contorno 66 es un problema de autovalores, donde T, con T{Tn}, es un autovalor del operador2T,{Tn} es el espectro de2T, y la solucinhz es la autofuncin asociada, con hz {hzn}. Cada solucin hz del conjunto{hzn}da lugar a una estructura transversal de los campos E y H distinta, denominadamodo de propagacin . El conjunto {hzn} contiene todos los modos de propagacin: lasautofunciones.

2. Se calcula ht(x, y)a partir de hz(x, y):

T hT(x, y) = 0ecuacin 54 (67) (68)

T T hT(x, y) T[T hT(x, y) de la ecuacin 56

] 2ThT(x, y) del cuadro 3

= 0 (69)

(70)T[jhz(x, y)] + 2ThT(x, y) = 0 (71)

(72)hT(x, y) = j

2TT[hz(x, y)] (73)

3. Se calcula eT(x, y)a partir de hT(x, y), usando la propiedad abc= (ac)b(ab)c:az eT(x, y) =hT(x, y)ecuacin52 (74)

(75)az az eT(x, y) =az hT(x, y) (76)

(77)eT(x, y) =

az hT(x, y) (78)

Se define la impedancia de onda para el modo TE:

TE= eT

hT=

=

2.3. Ondas TM o E

Para las ondas TM o E se cumple que hz = 0. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwelleste valor se obtiene:

9


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Cuadro 4: Resumen del procedimiento de clculo de los campos para las ondas TE.

2Thz+ 2Thz = 0

hzn

= 0 en ST

hz =hz(x, y), hz {hzn}, T {Tn}

hT= j2T

Thz

eT = TEaz hT


T eT(x, y) = 0 (79)az Tez(x, y) +jaz eT(x, y) =jhT(x, y) (80)

T eT(x, y) =jez(x, y) (81)


T hT(x, y) =jez(x, y)az (82)az hT(x, y) = eT(x, y) (83)

T hT(x, y) = 0 (84)

2.4. Solucin

1. Se resuelve la ecuacin de Helmholtz:

2Tez(x, y) + 2Tez(x, y) = 0 (85)

que junto con la condicinez = 0sobre la superficie conductora, da lugar al denominadoprimer problema de contorno para la ecuacin de Helmholtz:

2Tez+ 2Tez = 0

ez = 0enST

(86)

10


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2. Se calcula et(x, y)a partir de ez(x, y):

T eT(x, y) = 0ecuacin 79 (87) (88)

T

T

eT(x, y)

T[

T

eT(x, y) de la ecuacin 81]

2TeT(x, y) del cuadro 3 = 0 (89)

(90)T[jez(x, y)] + 2TeT(x, y) = 0 (91)

(92)eT(x, y) = j

2TT[ez(x, y)] (93)

3. Se calcula hT(x, y)a partir de eT(x, y): Usando la propiedad abc= (ac)b(ab)c:

az

hT

(x, y) =

eT

(x, y)ecuacin83 (94)

(95)az az hT(x, y) = az eT(x, y) (96)

(97)hT(x, y) =

az eT(x, y) (98)

Se define la impedancia de onda para el modo TM:

TM= eThT

=

=

Cuadro 5: Resumen del procedimiento de clculo de los campos para las ondas TM.

2Tez+ 2Tez = 0

ez = 0 en ST

ez =ez(x, y), ez {ezn}, T {Tn}

eT = j2T

Tez

hT = 1

TMaz eT

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2.5. Estimacin de la solucin del problema real

En una situacin real, ni el dielctrico ni el conductor son perfectos. El dielctrico pre-sentar prdidas por polarizacin (= 0), por lo que parte de la energa transportada porlos campos se disipar en forma de calor en el propio dielctrico. Adems, otra fraccin de lamencionada energa transportada por los campos, an cuando muy pequea, se refractar enel conductor disipndose en l mediante el efecto Joule. Si estas prdidas se mantienen pe-queas, es posibleestimarla solucin del problema real mediante una pequea perturbacin 2

de la solucin del problema ideal:

E= (eT+ ezaz) ez

solucin ideal

E= (eT+ ezaz) e(z+ z) solucin ideal perturbada

(99)

H= (hT+ hzaz) ez

solucin ideal

H= (hT+ hzaz) e

(z+ z)

solucin ideal perturbada(100)

donde es la perturbacin, la cual se refleja en forma de una atenuacin en la expresin delos campos.

El calculo de, curiosamente, se puede realizar utilizando las soluciones de los campos delproblema ideal bajo la premisa, ya mencionada, de que las imperfecciones en los materialescausen prdidas muy pequeas. Este mtodo es referido en la literatura cientfica como elmtodo de las perturbaciones [1].

2.6. Atenuacin

Aplicaremos el mtodo de las perturbaciones para calcular la atenuacin (la perturbacin)

haciendo uso de la solucin del problema ideal3

. Para ello observamos que la potencia que sepropaga a los largo de la gua responde a una ley del tipo:

P =

ST

E H2

ds

=

ST

(eT+ ezaz) e(z+z) hT+ hzaz ezz

2

ds

=

ST

eT hT2

ds

P0e2z

=P0e2z

(101)

dondeSTes la superficie transversal del dielctrico y P0es la potencia que sera transportadapor los campos en el caso ideal (ausencia de prdidas) y que equivale, en el caso real, a lapotencia transportada por los campos en z= 0.

2Vale la redundancia?3Esto es: en las ecuaciones utilizadas todas las expresiones de los campos elctrico y magntico se refieren

a la solucin ideal, a menos que se indique explcitamente lo contrario.

12


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Dado que la onda electromagntica progresiva ha de experimentar una variacin de po-tenciaPen una longitud Zde la gua que se debe corresponder con la misma cantidadde potencia disipada tanto en el dielctrico como en el conductor por unidad de longitud, P,tomando en cuenta la ecuacin (101), se podr escribir:

P= lmz0P

z

= dPdz

= 2P

(102)

la cual implica que las prdidas por unidad de longitud en un plano transversal dado de lagua es directamente proporcional a la potencia transportada por los campos en el mismoplano. De la ecuacin (114) es posible despejar :

= P2P

(103)

Por razones de linealidad, se puede descomponer en una suma de dos partes: una, D,que modela las prdidas en el dielctrico y otra,C, que modela las prdidas en el conductor:= D+ C. Para el clculo de estas atenuaciones partiremos de la parte real de la ecuacinde balance energtico complejo:

S

E H2

ds=

2

V(S)

(H H + E E) d

12

V(S)

E E d (104)

la cual aplicaremos a una regin volumtrica de la gua definida por ST y una longitud incre-mental zver figura 2(a), suponiendo que el dielctrico no exhibe prdidas ni magnticasni hmicas:

S

E H2

ds=

2

V(S)

E E d (105)

z

atS

( )T

S z

( )T at

V S S+

(a) Corte en perspectiva.

TS

atL

na

(b) Corte transversal.

Figura 2: Tramo de gua de onda de longitud z.

La integral del miembro de la derecha se divide en dos partes al considerar que la superficiede integracin est compuesta por una superficie STtransversal, a travs de la cual fluye la

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energa transportada por los campos a lo largo de la gua, y una superficie lateral Sat verfigura 2(a), la cual coincide con la superficie interior de los conductores, a travs de la cualfluye la energa que se refracta en estos y que se disipa por efecto Joule:

S E H

2 ds= ST(z)+ST(z+z) E H

2 ds + Sat E H

2 ds (106)que al sustituir en la ecuacin (105), y luego de despejar apropiadamente, nos permite obtener:

ST(z)+ST(z+z)

E H2

ds=

Sat

E H2

ds

2

V(ST+Sat)

E E d

P =

Sat

E H2

ds

PC

2

V(ST+Sat)

E E d

PD (107)donde P es la variacin de la potencia electromagntica transportada por los campos enZmetros de longitud, PCes la potencia refractada hacia los conductores que fluye desdeel volumen considerado a travs de la superficie lateral, y PD es la potencia disipada en elinterior del volumen considerado debido a las prdidas de polarizacin del dielctrico.

Para la aplicacin de la frmula (103) tal que:

C=PC

2P D =

PD2P

(108)

es necesario definir PC

yPD

en funcin de PC

yPD

, respectivamente.

2.7. Clculo de la atenuacinCpor prdidas en el conductor

PC= lmz0

PCz

= lmz0

Sat

EH2

dsz

= lmz0

z Lat EH

2 ddzanz

=

Lat

E H2

dan

(109)

donde anes un vector unitario normal a la superficie lateral de la gua que apunta hacia elinterior del conductor yLat es el contorno lateral de los conductores en el plano transversalver figura2(b).

14


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En virtud de que el campo elctrico ideal es nulo en el contorno lateral Lat la integralanterior ecuacin (109) no nos sirve directamente para calcular PC. En un conductor real,el campo elctrico tangencial a la superficie, an cuando muy pequeo, no es nulo. Tendremosque calcularPCutilizando los valores de los campos en el conductor (cmo?):

PC= Lat

EC HC2 dan (110)Aplicando las condiciones lmites de Leontvich, podemos expresar el vector de Poynting

complejo en el conductor como un vector en la direccin de an, de tal forma que:

S0an=1

2EC HC

donde EC = E+(0)eCn y HC = H+(0)eCn son el campo elctrico y magntico, res-

pectivamente, en el conductor. Como EC=CHC an, sigue que:EC

HC

= (C

HC

an

)

HC

=C

HC HCan (111)sustituyendo la ecuacin (111) en la ecuacin (110), se obtiene:

PC=

Lat

C

HC HC

an

2

dan

={C}

2

Lat

HC HCd(112)

y como HC(0)= H(0), o sea: la componente tangencial del campo magntico en la superficiede separacin entre un dielctrico y un conductor real es continua:

PC= {C}

2

Lat

H H d (113)

Tomando en cuenta que

P =1

2 ST{E H} ds

=12ST

(DH az) H dsaz=

D2

ST

H Hds

(114)

ser:

C= {C}

Lat

H Hd2D

ST

H Hds (115)

15


16/35

2.8. Clculo de la atenuacinD por prdidas en el dielctrico

La potencia disipada en el dielctrico por unidad de longitud vale:

PD

= lmz0

PD

z

= lmz0

2

V(ST+Sat)

E E d

z

= lmz0

2

z

ST

E Edsdz

z

=

2

ST

E Eds

(116)

de modo que:D =

ST

E Eds2D

ST

H H ds (117)

16


17/35

3. Resumen de frmulas

Cuadro 6: Resumen del procedimiento de clculo de los campos para cualquier modo.

TEM TE TM

2T = 0 2Thz+ 2Thz = 0 2Tez+ 2Tez = 0

|ST1,ST2hzn

= 0en ST ez = 0 en ST

= TE=

TM=

eT=

T hT =

j

2

T Thz eT =

j

2

T Tez

hT =az eT

eT= TEaz hT hT = 1TM

az eT

Solucin ideal

E= (eT+ ezaz) ez

H= (hT+ hzaz) ez

Solucin real

E= (eT+ ezaz) e(+)z

H= (hT+ hzaz) e(+)z

= D+ C D =

ST

E E ds2ST

{E H} ds C={C}

T

H H d2ST

{E H} ds

4. Cable coaxialDado el cable coaxial que se ilustra en la figura 3, interiormente relleno de un dielctrico

ideal y hecho con conductores ideales, tambin, la estructura de los campos se puede obtenera partir de la solucin del problema de contorno:

1

d

d

d

d

= 0

(a) =V0, (b) = 0

(118)17


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ab

(a) Seccin transversal.

x

z

y

(b) Perspectiva.

Figura 3: Cable coaxial. : conductor; : dielctrico.

La solucin de la ecuacin (118) es:

() =A ln + B (119)

evaluando la solucin (119) en los bordes se obtiene:

A ln a+ B = V0A ln b+ B = 0

(120)

de donde

A = V0ln (a/b)

B = V0ln bln (a/b)

(121)

de esta forma:

() = V0

ln (b/a)

(ln b

ln ) (122)

y

eT = T= d

da

= V0

ln (b/a)

a

(123)

sustituyendo esta solucin en las ecuaciones (49) y (50) se obtiene:

E= V0ln (b/a)

a

ez (124)

H= V0

ln (b/a)

1

a

ez (125)

18


19/35

4.1. Onda de voltaje

Podemos calcular la diferencia de potencial entre los conductores en el plano transversalz= ctte. ST(z):

V = +

E d=

V0

ln(b/a)

ba

a

da

ez

=V0ez

(126)

y vemos como, existiendo una relacin unvoca entre E yV, es posible hablarde una ondade voltaje.

4.2. Onda de corriente

Podemos calcular la corriente enlazada por el campo magntico en el conductor interior(o exterior) en el plano transversalST(z). Sea un camino cerrado alrededor del conductorinterno del cable coaxial:

I=

H d

=

V0

ln(b/a)

2o

a

da

ez

= I0ez

(127)

donde

I0= 2V0ln(b/a)

Como la relacin entre HeIes unvoca, tambin podemos hablar de una onda de corriente.

4.3. Impedancia caracterstica

La relacin entre la onda de voltaje ecuacin (126) y la onda de corriente ecuacin(127) tiene unidades de Ohmios y es una funcin de la geometra transversal de la lnea yde las propiedades intrnsecas del dielctrico:

V

I =Zc =

ln(b/a)

2 (128)

Zc se conoce como impedancia caracterstica del cable coaxial.

4.4. Atenuacin del cable coaxial

La atenuacin = C +D del cable coaxial se puede calcular haciendo uso de lasfrmulas (115) y (117), respectivamente, sustituyendo en ellas las expresiones de los campos(124) y (125).

19


20/35

4.4.1. Atenuacin debido al conductor

A partir de la ecuacin (115):

C={C

} Lat H H d

2D ST H Hds=

{C}2D

V0

ln(b/a)D

2 20

da

+20

db

V0ln(b/a)D

2 ba

20

dd

={C}

2D

a + b

ab

1

ln(b/a)

(129)

y tomando en cuenta que para un buen conductor{C} =

02 =

f0 y que para un

un buen dielctrico D = 0, resulta:C=

1

2

f

ln(b/a)

a + b

ab (130)

4.4.2. Atenuacin debido al dielctrico

A partir de la ecuacin (117):

D =

ST

E E ds

2D ST H Hds=

2D

V0ln(b/a)

2 ba

20

dd

V0ln(b/a)D

2 ba

20

dd

=f

0

(131)

4.4.3. Atenuacin resultante

Finalmente podemos escribir:

= f

0

D

+1

2

f

ln(b/a)

a + b

ab C

(132)

20


21/35

a

b

(a) Seccin transversal.

a

b

x

y

z

(b) Perspectiva.

Figura 4: Gua de Onda rectangular.

5. Gua de onda rectangular

La geometra de una gua de onda rectangular se muestra en al figura 4. La ecuacin de

Helmholtz en este caso asume la forma:2u

x2+

2u

y2+ 2Tu= 0 (133)

Para las ondas TE:

2hzx2

+2hz

y2 + 2Thz = 0

hzx

= 0para

x= 0x= a

hzy

= 0 para

y= 0y= b

(134)

Para las ondas TM:2ezx2

+2ez

y2 + 2Tez = 0

ez = 0para

x= 0 y= 0x= a y= b

(135)La ecuacin 133 se resuelve asumiendo una solucin producto: u(x, y) = X(x)Y(y), donde

las funcionesX yYdependen exclusivamente de las variablesx y y , respectivamente:

2u

x2+

2u

y2+ 2Tu= 0 (136)

Yd2X

dx2 + X

d2Y

dy2 + 2TXY = 0 (137)

1

X

d2X

dx2 +

1

Y

d2Y

dy2 + 2T = 0 (138)

21


22/35

La ecuacin 138 se separa en dos ecuaciones:

1

X

d2X

dx2 +

1

Y

d2Y

dy2 + 2T = 0

d2X

dx2 + 2xX= 0

d2Y

dy2 + 2yY = 0

(139)

donde 2x+ 2y =

2T. Las soluciones de las ecuaciones 139 son:

X(x) =A cos(xx) + B sin(xx)

Y(y) =Ccos(yy) + D sin(yy)

Y por tanto:

u(x, y) = [A cos(xx) + B sin(xx)][Ccos(yy) + D sin(yy)] (140)

Para las ondas TE, la aplicacin de las condiciones de borde especificadas en la ecuacin134 permite obtener la solucin para hz:

hzx

x=0

= 0 x[A sin(x0) B cos(x0)]Y = 0 B= 0hzx

x=a

= 0 xA sin(xa)Y = 0 x = ma

, m= 0, 1, 2 . . .

hzy

y=0

= 0 Xy[Csin(y0) D cos(y0)] = 0 D= 0

hzy y=b = 0 XyCsin(yb) = 0 y = nb , n= 0, 1, 2 . . .

Yhz(x, y) =Hmncos

ma

x

cosn

b y

(141)

donde Hmn= AC.La ecuacin (141) representa la familia de modos de propagacin T Eo H.Para las ondas TM, la aplicacin de las condiciones de borde especificadas en la ecuacin

135 permite obtener la solucin para ez:

ez|x=0= 0 [A cos(x0) + B sin(x0)]Y = 0 A= 0ez|x=a = 0 B sin(xa)Y = 0 x=

m

a , m= 1, 2, 3 . . .

ez|y=0= 0 X[Ccos(y0) + D sin(y0)] = 0 C= 0ez|y=b= 0 XD sin(yb) = 0 y =

n

b , n= 1, 2, 3 . . .

Yez(x, y) =Emnsin

ma

x

sinn

b y

(142)

22


23/35

(a) Modo TM1,1 (b) Modo TM1,2

(c) Modo TM2,2 (d) Modo TM3,2

Figura 5: Estructura transversal de ezm,n(x, y)en una gua de onda rectangular de dimensiones a b, cona = 2b.

donde Emn= BD.La ecuacin (142) representa la familia de modos de propagacin T M oE.A partir de las soluciones 141 y 142, y utilizando las ecuaciones de los cuadros 4 y 5, se

pueden determinar las componentes restantes de los campos. En el cuadro 7 se resumen estos

resultados junto con otros parmetros de inters.En la Figura 5 se muestra la estructura transversal de ezm,n correspondiente a los modos

T M1,1 Fig. 5(a), T M1,2 Fig. 5(b), T M2,2 Fig. 5(c) y T M3,2 Fig. 5(d). Tales grficasfueron elaboradas usando MATLAB, mediante el siguiente cdigo:

a=1; b=0.5;

x=linspace(0,a,50);

y=linspace(0,b,30);

[X,Y]=meshgrid(x,y);

ez=sin(m*pi*X./a).*sin(n*pi*Y./b);

surf(X,Y,ez);

shading(interp);

axis([0 a 0 b]) set(gca,PlotBoxAspectRatio, [2 1 1]);

view(0,90),axis equal, grid off, box off , axis off

23


24/35

Cuadro7:Estructuradeloscamposyotraspropiedadesenunagu

adeondarectangular.

modosTE

modosTM

Hz

Hmncosmax cosn by

ej,mnz

0

Ez

0

Emnsinmax s

inn byej,mnz

Ex

TE,mnHmnj,mn

2T

,mn

n bcosmax sinn byej,mnz

jEmn

,mn

2

T

,mn

ma

cosmax s

inn byej

,mnz

Ey

TE,mnHmnj,mn

2T

,mn

ma

sinmax c

osn by ej,mnz

jEmn

,mn

2T

,mn

n bsinmax cosn by ej

,mnz

Hx

Hmnj,mn

2T

,mn

ma

sinmax cosn byej,mnz

j

Emn

TM,mn

,mn

2T

,mn

n bsinmax cosn byej

,mnz

Hy

Hmnj,mn

2T

,mn

n bcosmax s

inn byej,mnz

jEmn

TM,mn

,mn

2T,mn

ma

cosmax s

inn bye

j,mnz

TE,mn

,mn

TM,mn

,mn

T,mn

ma2+

n b2

,mn

2

ma2+

n b2

fc,mn

1

2

ma2+

n b2

c,mn

2

q(ma)2+(nb)2

24


25/35

5.1. Condicin de propagacin

Para que un determinado modo se propague en la gua es necesario que el coeficiente depropagacin,mn:

,mn= 2 2T=

2

ma

2+n

b

2sea real, circunstancia que se conoce como condicin de propagacin:

(2f)2 >m

a

2+n

b

2f >

1

2

ma

2+n

b

2 (143)5.2. Frecuencia de corte

La frecuencia lmite a partir de la cual un determinado modo m, n puede propagarse seconoce como frecuencia de corte de dicho modo:

fc,mn = 1

2

ma

2+n

b

2(144)

5.3. Modo dominante

El modo que presenta la frecuencia de corte menor se conoce como modo dominante.

Con la ayuda de la Ec. (144) y poniendo a = 2b, se ha llenado el Cuadro 8.

Cuadro 8: Frecuencias de corte de los primeros modos.

modo frecuencia de corte

m,n 12

ma

2+nb

21,0 12a0,1 1

a

1,15

2a

2,1 2

2a1,2

17

2a

A partir del Cuadro 8 se observa que:

fc,10 < fc,01< fc,11< fc,21< fc,12< fc,22< El rango [fc,10, fc,01] es el rango de frecuencias en el que se suele usar la gua, dado que

en dicho rango solo se propaga el modo dominante.

25


26/35

De la solucin deez ecuacin (142) vemos que los modos T Mrequieren quem y n seanambos distintos de cero, por lo que el modo ms bajo que puede propagarse es el modoT M11.Tal restriccin no existe para los modos T Ever ecuacin (141), siendo el modo T E10 elmodo dominante.

6. Gua de onda circular

a

(a) Seccin trans-

versal.

a

x

z

y

(b) Perspectiva.

Figura 6: Gua de Onda circular.

La geometra de una gua de onda circular se muestra en al figura 7. La ecuacin deHelmholtz en este caso asume la forma:

2u

2+

1

u

+

1

22u

2+ 2Tu= 0 (145)

Para las ondas TE:

2hz2

+1

hz

+ 12

2hz2

+ 2Thz = 0

hz

= 0, para = a

(146)Para las ondas TM:

2ez2

+1

ez

+ 1

22ez2

+ 2Tez = 0

ez = 0, para= a

(147)

La ecuacin145 se resuelve asumiendo una solucin producto: u(, ) =P()(), dondelas funcionesP y dependen exclusivamente de las variables y , respectivamente:

d2P

d2 +

dP

d +

P

2d2

d2+ 2TP = 0

1

P

d2P

d2 +

1

P

dP

d +

1

2d2

d2 + 2T = 0

26


27/35

multiplicando este resultado por2 se obtiene:

2

P

d2P

d2 +

P

dP

d +

1

d2

d2 + 22T = 0 (148)

2

Pd2

Pd2

+ P

dPd

+ 22T = 1 d2

d2

(149)

La ecuacin 149 se separa en dos ecuaciones:

2

P

d2P

d2 +

P

dP

d + 22T =

1

d2

d2

2

P

d2P

d2 +

P

dP

d + 22T =

2

1

d2

d2 = 2

o

d2P

d2 +

1

dP

d +

2T2

2

P = 0 (150)

d2

d2+ 2 = 0 (151)

donde 2 es cierta constante de separacin.Las solucin de la ecuacin 151 es:

() =A cos() + B sin()

dondeAyBson dos constantes indeterminadas. Como la funcin ()ha de ser unievaluada:[(+ 2)] = (), ha de ser un nmero entero:

() =A cos(n) + B sin(n)

La solucin de la ecuacin 150 es:

CJn(T) + DYn(T)

donde C y D son dos constante indeterminadas, Jn es la funcin de Bessel de orden n verla Fig. 7(a), y Yn es la funcin de Neuman de orden nver la Fig. 7(b).

La funcin de BesselJn(x)se define como:

Jn(x) =

m=0

(1)m(x/2)n+2mm!(n+ m)!

Las funciones Jn y Yn se conocen tambin como funciones de Bessel de primer y segundotipo, respectivamente, de orden n.

La ecuacin150 se denomina ecuacin de las funciones cilndricas o ecuacin deBessel. Sus soluciones, las funciones Jn y Yn, se denominan funciones cilndricas. Las

27


28/35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.5

0

0.5

1

x

Jn

(x)

J0(x)

J1(x)

J2(x)

J3(x)

J4(x)

(a) Del primer tipo o de Bessel.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.5

0

0.5

1

x

Yn

(x)

Y0(x)

Y1(x)

Y2(x)

Y3(x)

Y4(x)

(b) Del segundo tipo o de Neuman.

Figura 7: Funciones de Bessel.

funcionesJn y Yn no son peridicas, pero al crecer , oscilan cerca de cero, decrecen mon-

tonamente, y se aproximan a las funciones trigonomtricas para (ver figuras 7(a) y7(b)). Es cmodo comparar la ecuacin de funciones cilndricas con la ecuacin de funcionestrigonomtricas y exponenciales, as como las soluciones respectivas:

y+ 1xy+

1 n2x2

y= 0 y+ y= 0Jn(x) cos(x)Yn(x) sin(x)

La funcin de Neuman Yn(T) para 0 ver Fig. 7(b). Por esta razn lasolucin de la ecuacin 145 asume definitivamente la forma:

u(, ) = [A cos(n) + B sin(n)]Jn(T)

6.1. Ondas TE

Para las ondas TE, la aplicacin de las condiciones de borde, especificadas en la ecuacin146, permite obtener los autovalores{T,nm}a partir de las races de las ecuaciones4:

Jn(Ta) = 0 (152)

de donde

T,nm =pnm

a

siendo pnm la raz m-sima de la ecuacin 1525

ver Cuadro 9(a), n = 0, 1, 2 . . ., y m =1, 2, 3 . . ..Las soluciones para hz (modos o autofunciones) tienen la forma:

hz(, ) = [A cos(n) + B sin(n)]Jn

pnm

a

(153)

4Se comprueba que Jn

(x) = nxJn(x) Jn+1(x).

5La ecuacin 152 se obtiene al igualar la derivada de la funcin de Bessel de orden n evaluada en = a acero.

28


29/35

Cuadro 9: Races pnm

y pnm.

(a) Algunas races pnm

.

n pn1 pn2 p

n3

0 3.832 7.016 10.174

1 1.841 5.331 8.5362 3.054 6.706 9.970

(b) Algunas races pnm.

n pn1 pn2 pn3

0 2.405 5.520 8.654

1 3.832 7.016 10.1742 5.135 8.417 11.620

6.2. Ondas TM

Para las ondas TM, la aplicacin de las condiciones de borde, especificadas en la ecuacin147 permite obtener los autovalores{T,nm}a partir de las races de las ecuaciones:

Jn(Ta) = 0 (154)

de donde T,nm=pnm

a

siendo pnm la raz m-sima de la ecuacin 1546 ver Cuadro 9(b), n = 0, 1, 2 . . ., y m =1, 2, 3 . . ..

Las soluciones paraez (modos o autofunciones) tienen la forma:

ez(, ) = [A cos(n) + B sin(n)]Jnpnm

a

(155)

6La ecuacin 154 se obtiene al igualar la funcin de Bessel de orden n evaluada en = a a cero.

29


30/35

Cuadro10:Estructuradelos

camposyotraspropiedadesenunaguadeondacircular.

modosTE

modosTM

Hz

Jn

p nma

Acos(n)

+Bsin(n)

ej,nm

0

Ez

0

Jn

pnma

Acos(n)

+Bsin(n)

ej,nm

E

jTE,n

m,nm

2T

,nm

Jn

pnma

n

Bcos(n

)

Asin(

n)

ej,nm

j,nm

T,nm

p

n

ma

J npnma

Acos(n)

+Bsin(n)

ej,nm

E

jTE,nm

,nm

T,nm

p nma

J np nma

Acos(n

)

+Bsin(

n)

ej,nm

jn,nm

2T

,nmJ

npnma

n

Bcos(n)

Asin(n)

ej,nm

H

j,nm

T,nm

p nma

J np nma

Acos(n)

+Bsin(n

)

ej,nm

j

1

TM,nm

,nm

2T,nm

Jn

pnma

n

Bcos(n)

Asin(n)

ej,nm

H

j,nm

2T

,nm

Jn

p nma

n

Bcos(n)

Asin(n)

ej,nm

j

1

TM,nm

,nm

T,nm

pnma

J npnma

Acos(n)

+Bsin(n)

ej,nm

TE,mn

T,nm

,nm

TM,mn

,nm

T,nm

T,mn

p nma

pnma

,mn

2

pnma

2

2

pnma

2

fc,mn

1

2

p nma

1

2

pnma

c,mn

2apnm

2apnm

30


31/35

A partir de las soluciones 153 y 155, y utilizando las ecuaciones de los cuadros 4 y 5,se pueden determinar las componentes restantes de los campos. En el cuadro 10 se resumenestos resultados junto con otros parmetros de inters.

(a) Modo T E1,1 (b) Modo T E1,2

(c) Modo T E2,2 (d) Modo T E2,3

Figura 8: Estructura transversal de hzm,n(x, y)en una gua de onda circular.

En la Figura 8 se muestra la estructura transversal de hzm,n correspondiente a los modosT E1,1 Fig. 8(a), T E1,2 Fig. 8(b), T E2,2 Fig. 8(c) y T E2,3 Fig. 8(d). Tales grficasfueron elaboradas usando MATLAB, mediante el siguiente cdigo:

A=0,5 B=0,5

phi=linspace(0,(2*pi),200);

r=linspace(0,1,200);

[Phi,R]=meshgrid(phi,r);

[X,Y]=pol2cart(Phi,R);

p=[3.832,7.016,10.174;1.841,5.331,8.536;3.054,6.706,9.970]

Hz=besselj(n,p(n+1,m)*R).*(A*cos(n*Phi)+B*sin(n*Phi));

surf(X,Y,Hz);shading(interp);

view(0,90),axis equal, grid off, box off, axis off

6.3. Modo dominante

Inspeccionado las tablas 9(b) y 9(a) se observa que el modo T E11 ver Fig. 8(a) es elmodo dominante. Para este modo tenemos: ver cuadro11.

31


32/35

Cuadro 11: Campos del modo T E11E H

E= j E,11 J1p11

a

B cos()A sin()

ej,11 H = jH,11J1

p11

a

A cos()+B sin()

ej,11

E= jE,11J1 p11a A cos()+B sin() ej,11 H= j H,11 J1 p11a B cos()A sin() ej,11Ez = 0 Hz =J1

p11

a

A cos()+B sin()

ej,11

Con la ayuda de la grfica 9 podemos trazar las lneas de fuerza de E y de H a manoalzada. Intntalo!

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5J

1(x)

J1(x)

Figura 9: J1 y J

1.

7. Relacin entre la densidad de corriente superficial Jsde un conductor perfecto y la densidad de corriente Jen un conductor real

En un conductor ideal los campos elctrico y magntico son nulos, y la corriente essuperficial ver figura 10(a). De tal suerte que si se toma un contorno cerrado, comose ilustra en la figura 10(a), y se calcula la circulacin de H, se obtiene:

H d= S()

Js ds

= y

Js dyax(156)

En un conductor real los campos elctrico y magntico no son nulos, y la corriente,aunque se atena fuertemente a razn de 1/ nepers por metro de longitud, se distribuyevolumtricamente ver figura 10(b). Si tomamos un contorno, similar a como se procedi

32


33/35

x

z

y ( ) 0yH S S

( ) 0yH S =

L

SJ

y

(a) Conductor ideal

x

z

y

( , , 0) 0y

H x y S

( , , ) 0yH x y L

L

0J

J

y

(b) Conductor real

Figura 10: Relacin entre Js y J.

en el caso del conductor real y como se indica en la figura 10(b), al calcular la circulacin deH se obtiene:

H d= S()

J ds

= y

L0

J dzdyax

= y

L0

Jdz Js

dyax

= y

Js dyax

(157)

donde se ha definido de manera natural la densidad superficial de corriente Js del conductorideal en trminos de la densidad de corriente Jdel conductor real:

Js=

L0

Jdz (158)

.

Referencias

[1] Robert E. Collin. Foundations for microwave engineering. McGraw-Hill Book Company,

USA, 1963.

[2] V. V. Nikolski. Electrodinmica y propagacin de ondas de radio. MIR, Mosc, 1980.

[3] David Cheng. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniera. Addison-Wesley Ibe-roamericana, USA, 1997.

[4] Hermann A. Haus and James R. Melcher. Electromagnetic Fields and Energy. PrenticeHall, USA, 1989.

33


34/35

[5] Stanley V. Marshall, Richard E. DuBroff, and Gabriel G. SkiteK. Electromagnetismo,conceptos y aplicaciones. Prentice Hall Hipanoamericana, Mxico, 1997.

34


35/35

ndice alfabtico

Atenuacin, 12Atenuacin del cable coaxial, 19

autofuncin, 9autovalor, 9

clculo de la atenuacin, 14Cable coaxial, 17condicin de propagacin, 25condiciones lmites de Leontvich, 15

ecuacin de Bessel, 27ecuacin de las funciones cilndricas, 27espectro, 9

Frecuencia de corte, 25funcin de Bessel, 27funcin de Neuman, 27, 28funciones cilndricas, 27funciones de Bessel del primer y segundo tipo,

27funciones exponenciales, 28funciones trigonomtricas, 28

Gua de onda circular, 26Gua de onda rectangular, 21

Impedancia caracterstica del cable coaxial,19

impedancia de onda TE, 9impedancia de onda TM, 11

mtodo de las perturbaciones, 12modo de propagacin, 9Modo dominante, 25

Onda de corriente, 19Onda de voltaje, 19

ondas TE o H, 3, 8ondas TEM, 3, 7ondas TM o E, 3, 9ondas viajeras, 5

primer problema de contorno, 10problema de autovalores, 9

segundo problema de contorno, 9

35

guias de ondas

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