Guide d’onda (cont.)

Nella lezione precedente Risolta l’equazione d’onda per Guida a Piatti piani

paralleli Introdotta la guida rettangolare

Possiamo immaginare almeno alcune delle soluzioni con un’argomentazione molto semplice; chiaramente non supporta un modo TEM (1 solo cond.) Potremmo vedere la guida d’onda rettangolare come una guida a piatti piani paralleli, orientata lungo x, e chiusa su dei corto-circuiti

Chiaramente, a frequenza zero, i 2 punti A e B (posti per esempio sul piano di simmetria) sono allo stesso potenziale: un’eventuale generatore connesso tra A e B risulterebbe completamente cortocircuitato

Ma la guida a piatti piani paralleli supporta un modo TEM, cioè tipo linea di trasmissione; sappiamo che con segnali tempovarianti, la linea può produrre onde stazionarie, e che un corto circuito può addirittura trasformarsi in un circuito aperto in presenza di una linea lunga un quarto d’onda, ovvero se

a

bx

y

z

A

B

aaccfaa 2/12//22/4/ A tale frequenza potremmo ben applicare un generatore tra A e B:

vedremo che tale frequenza è LA FREQUENZA DI TAGLIO DEL MODO FONDAMENTALE di una guida

Chiaramente una condizione simile si ripete in virtù del periodo della linea

Inoltre potremmo applicare lo stesso ragionamento in direzione y: otterremmo un’altra frequenza di taglio, maggiore della precedente se b<a; un valore standard è a=2b

Per ottenere il quadro esatto della situazione possiamo risolvere l’equazione d’onda: partiamo dai TM

022 zczt EkE Ora in generale E dipenderà da x e da y, visto che la struttura

non è uniforme in nessuna delle direzioni.

Possiamo però sperare nella “separazione delle variabili”, ovvero che sia possibile scrivere E come prodotto di una funzione solo di x, diciamo X(x) ed una funzione solo di y Y(y)

)()(),( yYxXyxEz

Sostituendo nell’equazione d’onda otteniamo

Dividendo per XY otteniamo

I due termini a sinistra sono uno solo funzione di x (e quindi costanti per variazioni in y) e l’altro solo funzione di y: possiamo porli separatamente uguali ad una costante

XYkXYYX c2''''

2''''ck

Y

Y

X

X

22 '';

''yx k

Y

Yk

X

X

E chiaramente deve essere

222cyx kkk

Entrambe hanno soluzioni armoniche

Imponendo le condizioni al contorno si ottiene

n ed m sono numeri naturali, eccetto 0: se uno dei due indici diviene 0, Ez si annulla, ed il TM diverrebbe un TEM che sappiamo non possibile

ykDsinykCYxkBsinxkAX yyxx cos;cos

00,0 AyxEz 000, CyxEz

yksinxkBDsinyxE yxz ,

a

nkyaxE xz

0,

b

mkbyxE yz

0,

Costante di propagazione e, conseguentemente, impedenza modale sono determinate da kc

22222

,

b

m

a

nkkk yxc mn

La frequenza di taglio del primo modo è quella con indici 1,1; non sappiamo ancora però se esistono frequenze di taglio più basse per i TE; il primo modo si definisce modo fondamentale

222

,

b

m

a

nmn

22

,2

1

b

m

a

nf mnc

TE Analogo, solo che ora risolveremo per Hz ottenendo

Le condizioni al contorno vanno imposte sulle derivate

Da cui

Con gli stessi autovalori (modi degeneri)

ykDsinykCxkBsinxkAH yyxxz coscos

0,0,0

ax

z

ax

z

x

H

n

H0

,0,0

by

z

by

z

y

H

n

H

ykxkBDH yxz coscos

b

mk

a

nk yx

,

Solo che ora n OPPURE m possono essere z. Non contemporaneamente o avremmo Hz uniforme (non dipende da x e y)

Hz uniforme non sarebbe ammissibile, visto che il campo magnetico tangenziale

Finirebbe per essere nullo, e così il campo elettrico (che è solo tangenziale), legato dall’impedenza modale al campo magnetico. Tra l’altro n ed m=0 darebbero una costante di propagazione coincidente con quella del TEM, impossibile

Se a>b il modo fondamentale è il TE10. Notate che l’indice 0, indica che in y non ci sono variazioni

In tal caso i campi non nulli risultano solo Ey, Hx ed Hz (provatelo), come nel caso della guida a piatti piani paralleli: del resto in una della direzioni non vi è variazione, proprio come in tale guida

ztc

t Hk

2

H

In tal caso i campi risultano

E la frequenza di taglio

…cioè quella ricavata in principio. Chiaramente il ragionamento iniziale ci consentiva di determinare le frequenze di taglio di modi che avevano uno degli indici 0, non quelli in cui si ha contemporaneamente una variazione in x ed una in y

x

aBsin

ajEx

aBsin

aHx

aBH yxz

cos

aafc

2

1

2

12

0,1

Noti i campi magnetici, conosciamo le correnti indotte sulle pareti

HnJ

Qualche “interpretazione” Considerate per semplicità una guida a piatti piani paralleli:

sappiamo che 22222 xc kkk Consideriamo il TM: quando kx=0, =k e diviene il TEM; in

pratica l’onda si sta propagando parallelamente ai piatti con costante di propagazione k

Et

x

zHy

k=uz

In generale però k non coinciderà con , ed il vettore d’onda sarà inclinato

Etx

zHy

k

kz In tal caso Et avrà una componente lungo z (ecco che il TEM

diviene un TM)

Qualche “interpretazione” L’onda si propaga per “rimbalzi” multipli; la velocità di fase,

inversamente proporzionale alla costante di propagazione lungo z, può ben essere maggiore della velocità della luce

Al “taglio”, la componente lungo z della costante di propagazione, , è nulla, e l’onda rimbalza, risuonando, tra le due pareti metalliche. I “rimbalzi” si schiacciano poi verso l’asse all’aumentare della frequenza (del resto si avvicina a k)

Etx

zHy

k=kxux

La forma di tali correnti è importante: se pratichiamo un’incisione sulla guida, essa perturberà il modo più o meno in funzione delle linee di corrente

Un’applicazione JAVA scaricata dal sito www.falstad.com (http://www.falstad.com/embox/guide.html) (courtesy of P. Falstad) vi consente di familiarizzare con le forme dei campi e delle correnti dei diversi modi. Ecco i campi magnetici

Correnti

Si capisce allora come la fessura centrale sul piano superiore nella linea fessurata, se sufficientemente sottile, poco perturbi il modo

Fessure invece non trascurabili e che intercettino linee di corrente irradiano: le antenne a “slot”

Relazioni di ortogonalità I modi all’interno di una guida rettangolare sono ortogonali, ovvero il

prodotto scalare (opportunamente definito) tra componenti di campo omologhe di due diversi modi è zero

Dove la indica la delta di Kronecker

2,, Ajiji

In realtà, con l’accortezza di modificare la definizione di prodotto scalare qualora le soluzioni non possano essere scritte in termini di modi TE o TM (ovvero modi “ibridi”), una relazione di ortogonalità esiste sempre nel caso di onde guidate, anche se le dimostrazioni risultano più complicate.

ji if

ji if ji 0

1,

rappresenta una delle componenti di campo (es. Ez o Hz) e la costante A è legata all’ampiezza dei campi; rapportando ad A i campi (normalizzazione), i modi risultano ortonormali

Incidentalmente: diremo che la struttura supporta modi “ibridi” qualora un singolo modo TE o TM non è in grado di soddisfare tutte le condizioni al contorno

Relazioni di ortogonalità: dimostrazione Nel caso di guide rettangolari, a piatti piani paralleli e circolari, che non

hanno modi ibridi, la dimostrazione è semplice. Definiamo in particolare il prodotto scalare come

Scriviamo l’equazione d’onda per ciascuno dei modi

00 2222 jcjticit jikk

Integriamo a destra e sinistra sulla sezione della guida

Ora utilizziamo una delle identità che consentono di ridurre l’ordine d’integrazione; usiamo la 2a identità di Green

jiccjtiitj ijkk 2222

dsS

jiji ,

Premoltiplichiamo la prima per j e la seconda per i e sottraiamo

dskkdsS

jiccS

jtiitj ij 2222

Essendo n la normale al contorno C, che è il bordo della sezione S. Ora su tale contorno o i campi o le loro derivate vanno a zero (parliamo di conduttori perfettamente metallici), per cui il termine a sinistra si annulla

Ecco che i due casi possibili sono: il prodotto scalare si annulla gli autovalori coincidono

Gli autovalori possono coincidere o perché i=j, oppure perché si tratta di modi degeneri. Nel caso di modi degeneri, si può dimostrare che si possono costruire due modi, combinazione lineare i e j, tra loro ortogonali

dskkdsnn S

jiccC

jiij ij

22

dskkS

jicc ij 220

L’ortogonalità dei modi implica che due modi in una guida uniforme in z non si scambino energia. Per aversi scambio di energia occorre una perturbazione lungo il percorso

Di fatto i modi costituiscono non solo un insieme di funzioni ortogonali, ma anche COMPLETO: un campo di forma arbitraria può essere ottenuto sommando un numero infinito di modi opportunamente pesati

Il campo di forma arbitraria è quello che potrebbe essere per esempio necessario per descrivere il campo del generatore, oppure un campo che soddisfi le condizioni al contorno in una sezione in cui la guida viene perturbata (per esempio inserendo una vite metallica)

Se inseriamo per esempio una vite metallica in un certo punto, nessun modo singolarmente soddisfa le condizioni al contorno (annullamento campi E tangenziali sulla vite), ma una loro sovrapposizione sì: per esempio se rappresentano le componenti x dei campi elettrici dei modi, in una sezione z, poniamo z=0 sarà

0),(

nnnx VyxE

Il calcolo dei coefficienti Vn è immediato: se vogliamo per esempio conoscere Vi, facciamo il prodotto scalare a destra e sinistra per i

Poiché tutti i prodotti scalari si sono annullati tranne quello per i=n (abbiamo poi considerato i modi normalizzati)

Pensiamo alla guida più semplice: i TM hanno campi (Ex,Ez, Hy) ed i TE (Ey, Hx, Hz). Se vogliamo rappresentare tutto il campo elettrico trasversale, avremo bisogno di sovrapporre sia i modi TE (che ci danno le componenti in x) che quelle TM (per avere le componenti in y). In una sezione arbitraria

in

nS

inixS

VdsVdsyxE

0),(

10

)()(),(n

zTETEny

n

zTMTMnxt

n

yn

n

xnexeVexeVzx uuE

In realtà, l’apice “+” preannuncia che occorrerà considerare sia onde progressive che onde regressive.

Le espressioni appena introdotte suggeriscono di trattare le guide come insiemi di linee di trasmissione, che non si vedono per via dell’ortogonalità dei modi

In un tratto con un solo modo, basta una linea, con l’accortezza di considerare V non la “tensione”, ma l’ampiezza elettrica del modo. Ecco che, sebbene non valgano le leggi di Kirchoff, e sebbene non si sia il più delle volte in presenza di modi TEM (in cui il concetto di differenza di potenziale resta valido purché ci si limiti a sezioni trasversali), POSSIAMO RECUPERARE UNA RAPPRESENTAZIONE CIRCUITALE

Infatti per il campo magnetico

10

)()(),(n

zTETEn

n

zTMTMnt

n

n

n

nexVexVzx hhH

Ma sappiamo di poter usare il concetto di impedenza modale

nzn ny euh 0

1

00

0 )()(),(n

zTEz

TETEn

n

zTMz

TMTMnt

n

nn

n

nnexyVexyVzx eueuH

Guide circolari La maggiore complicazione discende dalla necessità di utilizzare le

coordinate cilindriche: basta verificare come si scrive il laplaciano. Per i TM

Proviamo di nuovo con la separazione di variabili

zczzrzr EkEr

Er

E 222

2 11

FrREz Ottenendo

FRkr

RF

r

FRFR c

22

'' '''

E dividendo per 2/ rFR

F

Frk

R

Rr

R

Rr c

''' 22''

2

222''

2

2

'

''

rkR

Rr

R

Rr

F

F

c

Mentre la prima è la solita, la seconda ha come soluzione funzioni di Bessel di ordine

)()cos(

)()(

DsinCF

rkBNrkAJR cc

J0 x( )

J1 x( )

Jn 2 x( )

x0 5 10 15

0.5

0

0.5

1

Le J si dicono di “prima specie” ed hanno un comportamento simile alle funzioni armoniche: di fatto si approssimano con coseni per argomenti grandi

Notiamo che, perché il comportamento angolare si ripeta dopo =2, deve essere intero (dopo tutto F descrive il campo al variare dell’angolo nella sezione della guida). Inoltre =0 è accettabile, poiché individua solo soluzioni senza variazione angolare

Le N (Y in figura, notazione di Mathcad) si dicono di seconda specie: sono singolari nell’origine ed approssimano dei seni per argomenti grandi

Y0 x( )

Y1 x( )

Yn 2 x( )

x0 5 10 15

4

2

0

2

Poiché non ci aspettiamo un campo Ez infinito nel centro, scartiamo le N: B=0

Notiamo che delle funzioni seno e coseno possiamo ritenerne una sola, eventualmente sfasata. Per determinare kc dobbiamo imporre l’annullamento per r=a, se a è il raggio della guida: questo restituisce l’equazione caratteristica (quella che che da i kc, che abbiamo detto sono gli autovalori)

0)( akJ c Ora, per ogno , avremo infiniti zeri. Per esempio per =0 avremo il primo

zero a 2.405. In generale se indichiamo con pn,m l’m-simo zero della funzione di Bessel di ordine n, otterremo

apk mnc mn/,,

In particolare per il primo modo

afak cc

2

405.2/405.2

1,0

Per i TE dovremo risolvere l’equazione duale: tutto segue allo stesso modo, ma ora la condizione al contorno va applicata alla derivata di Hz

0'0

akJr

H

n

Hcn

ar

zz E dovremo trovare max e

min di J

Troviamo così che il primo modo è il TE11, per il quale

afak cc

2

84.1/84.1

1,1

E che risulta anche il modo fondamentale Quanto detto ci consente anche di calcolare i modi superiori di un cavo

coassiale, per il quale, come sappiamo, il modo fondamentale è TEM

In tal caso, però, non potremo scartare le funzioni di Bessel di seconda specie, perché andremo a costruire la soluzione solo tra ri ed re

ri

re

Dovremo imporre l’annullamento di Ez su ri ed re, essendo

)()()cos( rkCNrkBJAE ccz

Imponendo le condizioni al contorno si ha

E’ un sistema omogeneo che ammette soluzioni solo se il determinante della matrice associate è nullo, ovvero se

Che è la nostra equazione caratteristica; si risolve numericamente. Analogamente si fa per i TE, in cui le condizioni sono applicate sulle derivate prime

0)()(

0)()(

ecec

icic

rkCNrkBJ

rkCNrkBJ

)(

)(

)(

)(

ec

ic

ec

ic

rkJ

rkJ

rkN

rkN

)('

)('

)('

)('

ec

ic

ec

ic

rkJ

rkJ

rkN

rkN

Un’espressione approssimata del primo TE, che risulta effettivamente il primo modo superiore, è

)/(2 eic rrk Che consente di calcolare la frequenza

oltre il quale il coassiale smette di essere monomodale